FISICA Plan 95 Departamento de Fısica Aplicada

Primer Examen Parcial 21 12 2006

1. Problema

Unimos dos cuerdas de densidades ρ1 y ρ2 y las colgamos tal y como indica la Figura 1. La cuerda inferiortiene una longitud `1 y su extremo inferior no esta fijado al suelo, mientras que su otro extremo esta unidoa la otra cuerda por el punto p. A su vez, la cuerda superior de longitud `2 se fija al techo por arriba.

(a) Determinar la tension, T (y), en cualquier punto de las cuerdas. ¿Es T (y) continua en p?.

(b) Utilizando la expresion de la velocidad de propagacion de las ondas transversales en una cuerda contension uniforme, determinar la velocidad que tendrıa un pulso de onda en cada una de las cuerdas.

En el instante t = 0, generamos un pulso de onda de amplitud AI en el extremo o de la cuerda inferior(Figura 2a). Dicho pulso se propaga hacia arriba hasta llegar al punto de union p. Suponiendo ahoraque la cuerda de arriba tiene densidad ρ2 = ρ1/2:

(c) determinar el instante t1 en el cual dicho pulso llega a p.

(d) determinar las amplitudes AR y AT de los pulsos reflejado y transmitido, respectivamente, represen-tados en la Figura 2b.

Posteriormente, los pulsos reflejado y transmitido se propagan hacia el punto o y hacia el punto q,respectivamente, reflejandose ambos en los extremos, para despues volver a p.

(e) Determinar la longitud `2 para que ambos pulsos lleguen a 34 p de forma simultanea y calculese lasamplitudes de las ondas resultantes en las dos cuerdas inmediatamente despues de que eso suceda.

Aclaracion: ρ2 =ρ12

unicamente en los apartados c) d) y e). La constante gravitatoria g se supone

conocida. Se suponen validas las relaciones de TA y RA pese a que Z1 y Z2 no son uniformes.

PSfrag replacements

p

ρ2

ρ1 `1

`2

~g

y = 0

y = `1 + `2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

PSfrag replacements

p

o

q

`2

`1 ρ1

ρ2

~g

(a) (b)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 1 Figura2

2. Problema

Se tiene un ciclo rectangular como el de la figura 3, recorrido por n moles de un gas ideal. La temperaturamınima la alcanza en el punto a, (p0, 2V0), y vale 2T0. La temperatura maxima la alcanza en el puntoc y vale 18T0. Los puntos a y c se pueden unir por una recta, cuya prolongacion pasa por el origen delplano p V .

(a) Calcular las presiones, volumenes y temperaturas de los puntos b, c y d.

(b) Calcular los calores intercambiados en los tramos rectos a→ b, b→ c, c→ d y d→ a.

(c) Se quiere construir una nevera, que extraiga calor de un foco frio a la temperatura del punto a ylo entregue a un foco caliente a la temperatura del punto c. Calcular la variacion de entropıa deluniverso originada por la nevera y las fuentes termicas. Interpretar el resultado.

(d) Se quiere construir un motor termico, que extraiga calor de un foco caliente a la temperatura delpunto c y lo entregue a un foco frio a la temperatura del punto a. Calcular su rendimiento termicoy calcular su diferencia con el rendimiento de un motor reversible de Carnot, que trabaje entre lasmismas temperaturas.

(e) Calcular la variacion de entropıa del universo originada por el motor y las fuentes termicas.

p

V

2V0

p0

a

cb

d

Figura 3

Soluciones de los problemas

1. Problema

(a) Para determinar la tension en un punto arbitrario a altura y (con 0 ≤ y ≤ `1 + `2) , consideramos elpeso del tramo que queda por debajo de ese punto. De este modo

T (y) =

ρ1yg y ∈ [0, `1),

[ρ1`1 + ρ2(y − `1)]g y ∈ (`1, `1 + `2].

La tension es contınua en el punto p, dado que

limy→`−

1

T (y) = limy→`1

ρ1yg = ρ1`1g = limy→`+

1

T (y) = limy→`1

[ρ1`1 + ρ2(y − `1)]g .

(b) Para una cuerda de densidad ρ con tension uniforme T , velocidad de propagacion de las ondastransversales es c = (T/ρ)1/2. Luego, en primera aproximacion, y localmente en cada punto de lasdos cuerdas, la velocidad sera:

c(y) =

√gy y ∈ [0, `1),

√

g

(

y + `1ρ1 − ρ2ρ2

)

y ∈ (`1, `1 + `2].

(c) El pulso se desplaza a una velocidad que depende del punto arbitrario de altura y sobre la cuerda dedensidad ρ1. Por lo tanto, la ecuacion que determina la posicion del pulso en funcion del tiempo seobtiene integrando la de su velocidad local. De este modo, el tiempo t1 que tarda el pulso en llegara p es:

dy

dt= c(y) = (gy)1/2 → y−1/2 dy = g1/2 dt→

∫ `1

0

y−1/2 dy =

∫ t1

0

g1/2 dt = g1/2]t1

0→

t1 = 2

√

`1g

(d) Los coeficientes de transmision y reflexion vienen dados por las expresiones,

RA =

√ρ1T1 −

√ρ2T2√

ρ1T1 +√ρ2T2

, TA =2√ρ1T1√

ρ1T1 +√ρ2T2

.

Las tensiones T1 y T2 deben calcularse en el punto en el que se produce el cambio de medio (puntop), es decir, en y = `1,

T1(`1) = T2(`1) = gρ1`1 (por continuidad de la funcion),

y las tensiones se simplifican en numerador y denominador. Teniendo en cuenta ahora que ρ2 = ρ1/2,los factores de transmision-reflexion son,

RA =

√2− 1√2 + 1

= 3− 2√2, TA =

2√2√

2 + 1= 2(2−

√2).

Por lo tanto,

AR = (3− 2√2)AI y AT = 2(2−

√2)AI .

(e) El tiempo t2 que tarda el pulso transmitido en llegar a q lo determinamos de la misma forma queen el apartado (c), teniendo ahora en cuenta que el pulso se desplaza por la cuerda de densidadρ2 = ρ1/2:

dy

dt= c(y) =

√

g(y + `1)→ (`1 + y)−1/2dy = g1/2dt.

La diferencia radica ahora en que debemos integrar entre p y q, es decir, entre y = `1 e y = `1 + `2:

∫ `1+`2

`1

y−1/2 dy =

∫ t2

0

g−1/2dt.→ t2 =2√g

(

√

2`1 + `2 −√

2`1

)

.

La condicion de simultaneidad impone que t1 = t2, para que ambos pulsos coincidan de nuevo en p,luego:

t1 = t2 ⇒√

2`1 + `2 −√

2`1 =√

`1 → `2 = `1(1 + 2√2) .

Para determinar las amplitudes resultantes en las dos cuerdas debemos tener en cuenta que cualquierpulso reflejado en el extremo de la cuerda inferior (libre) no cambia de signo, y que los coeficientesde reflexion-transmision para el pulso que baja desde el techo son:

R′

A = −RA, T′

A = TA

√2

2.

La suma de las amplitudes resultantes en las cuerdas superior e inferior son:

Asup.result. = [TAAR − R′

AAT]AI = 4(10− 7√2)AI

Ainf.result. = [RAAR − T′

AAT]AI = 3(11− 8√2)AI

Nota: para obtener este ultimo resultado no era necesario determinar `2.

2. Problema

(a) Se calculan en primer lugar las variables de estado del punto c. La recta ac pasa por el origen, por

tanto su ecuacion es: p =p02V0

V . Comparando los datos del punto a y los del c se tiene:

p0V2c

36V0T0=p02V02T0

=⇒ Vc = 6V0 ⇒ pc = 3p0

Para el punto b se cumple: Vb = Va = 2V0 y pb = pc = 3p0. Por tanto: Tb = 6T0.

Para el punto d se cumple: Vd = Vc = 6V 0 y pd = pa = p0. Por tanto: Tc = 6T0.

(b) Qab = nCv(Tb − Ta) = 4nCvT0.Qbc = nCp(Tc − Tb) = 12nCpT0.Qcd = nCv(Td − Tc) = −12nCvT0.Qda = nCp(Ta − Td) = −4nCpT0.

(c) Si el ciclo describe una nevera, el sentido de recorrido es a→ d→ c→ b→ a.

La variacion de entropıa del ciclo es nula. La entropıa es una funcion de estado.

Para calcular la variacion de entropıa del universo, hay que calcular la variacion de entropıa de cadafuente.

La variacion de entropıa de la fuente fria, de la que absorbe calor el sistema, es:

∆Sa = −Qabs

Ta= −Qad +Qdc

2T0=Qda +Qcd

2T0= −6nCv − 2nCp = −8nCv − 2nR

La variacion de entropıa de la fuente caliente, a la que cede calor el sistema, es:

∆Sc = −Qced

Tc= −Qcb +Qba

18T0=Qbc +Qab

18T0=

2

9nCv +

6

9nCp =

8

9nCv +

2

3nR

La variacion de entropıa del universo vale:

∆S = ∆Sa +∆Sc = −(

64

9nCv +

4

3nR

)

< 0

La variacion de entropıa negativa implica que esta nevera es imposible porque contradice el segundoprincipio de la termodinamica.

(d) Si se considera como un motor termico el recorrido es a→ b→ c→ d→ a.

El rendimiento de un motor termico es η =W

Qabs. El trabajo W se puede calcular de dos formas:

i. W = Qabs+Qced = Qab+Qbc+Qcd+Qda = 16nCvT0+12nRT0− 16nCvT0− 4nRT0 = 8nRT0.

ii. W = 2p0 × 4V0 = 8p0V0 = 8nRT0. En este caso W se calcula a prtir del area del rectangulo.

El calor absorbido por el ciclo es Qabs = Qab +Qbc = 16nCvT0 + 12nRT0.

El rendimiento es η =2R

4Cv + 3R. El rendimiento de un ciclo de Carnot reversible, trabajando entre

las mismas fuentes termicas, es ηC = 1− TaTc

=8

9. La diferencia entre ambos ciclos es

ηC − η =8

9− 2R

4Cv + 3R=

32Cv + 6R

9(4Cv + 3R)> 0

Como era de esperar, el rendimiento del ciclo de Carnot reversible es mayor.

(e) Para calcular la variacion de entropıa del universo, se hace lo mismo que en el apartado c.

La variacion de entropıa del ciclo es nula. La entropıa es una funcion de estado.

Para calcular la variacion de entropıa del universo, hay que calcular la variacion de entropıa de cadafuente.

La variacion de entropıa de la fuente caliente, de la que absorbe calor el sistema, es:

∆Sc = −Qabs

Tc= −Qab +Qbc

18T0=Qba +Qcb

18T0= −8nCv + 6nR

9

La variacion de entropıa de la fuente fria, a la que cede calor el sistema, es:

∆Sa = −Qced

Ta= −Qcd +Qda

2T0= 8nCv + 2nR

La variacion de entropıa del universo vale:

∆S = ∆Sa +∆Sc =

(

64

9nCv +

4

3nR

)

> 0

Este motor es posible e irreversible.

FISICA Plan 95 Departamento de Fısica Aplicada

Test. Primer Parcial. Diciembre 2006. Identificacion de la prueba: 250 18004 00 0 00

Notas:

El tiempo para hacer el test es de una hora.Hay que marcar con lapiz o bolıgrafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutacion, NO se corregira el TEST.

1. Tenim una massa M de gel a 0oC en un calorımetre l’equivalent en aigua del qual es 8M . Quina massade vapor a 100oC cal afegir per tal que la temperatura final d’equilibri sigui de 56oC? (La calor latent defusio del gel a 0oC i una atmosfera es Lf = 80 cal/g, la calor latent de vaporitzacio de l’aigua lıquida a100oC i una atmosfera es Lv = 540 cal/g, i la calor especıfica de l’aigua lıquida es pot considerar 1 cal/(gK))

(a) M .

(b) M/8.

(c) 66M/73.

(d) El proces no es possible perque l’entropia del vapor disminuiria.

2. En un recinte adiabatic, n mols d’un gas ideal experimenten una compressio des d’un volum inicial Vi aun volum final Vf < Vi i observem que la seva temperatura (T ) no ha variat. Indiqueu quina afirmacio escorrecta.

(a) El proces no es posible perque viola el segon principi de la termodinamica.

(b) El proces es necessariament irreversible.

(c) El treball absorvit pel gas es W = nRTln(Vf/Vi).

(d) El treball absorvit pel gas es W =nRT

1− γ

(

(

VfVi

)1−γ

− 1

)

.

3. Un gas ideal amb Cv constant duplica el seu volum seguint un proces quasiestatic x, que respon a l’equaciod’una parabola en un diagrama p-V (p = aV 2). Que podem dir de la calor especıfica (Cx(T )) al llargd’aquest proces?

(a) Cx(T ) = Cx = Cv +R/3, i es constant (independent de T ) al llarg del proces.

(b) Cx(T ) = Cx = Cv + 2R/3, i es constant (independent de T ) al llarg del proces.

(c) Cx = Cv +R/3, pero Cx(T ) varia al llarg del proces.

(d) Cx = Cv + 2R/3, pero Cx(T ) varia al llarg del proces.

4. Volem mantenir l’interior d’una casa a la temperatura T durant l’hivern quan a l’exterior tenim T ′ < T ,fent servir una bomba de calor reversible de Carnot. Les perdues de calor a traves de les parets de lacasa son Qp. Se’ns ha acudit de subministrar la potencia requerida per la bomba de calor amb un motorreversible de Carnot que aprofiti l’interior de la casa com a font calenta i l’exterior com a font freda.Indiqueu quina afirmacio es certa.

(a) No es possible mantenir la temperatura a l’interior de la casa amb el sistema proposat. El conjuntde les dues maquines viola el segon principi de la termodinamica.

(b) La potencia que ha de suministrar el motor a la bomba de calor es |W | = T

T − T ′Qp

(c) L’entropia de l’univers es mante constant perque les dues maquines son reversibles.

(d) El conjunt de les dues maquines te un rendiment superior a la unitat, i per tant resulta mes avantatjosaque la instalacio d’una caldera.

5. Una habitacio cubica esta formada per 3 murs i un sostre d’espessor e i conductivitat k, un terra aıllat iuna gran vidriera ocupant una paret sencera, d’espessor e/4 i conductivitat 4k.

(a) Les perdues a la vidriera representen el 80% de les perdues totals.

(b) Les perdues a la vidriera son les mateixes que per cadascuna de les altres parets i el sostre, tret delterra.

(c) Les perdues a la vidriera son les mateixes que per totes les altres parets i sostre sumades.

(d) Les perdues a la vidriera representen mes del 98% de les perdues totals.

6. Un fluid a temperatura Ti circula per una canonada cilındrica de radi interior R, radi exterior 2R iconductivitat termica k. La recobrim amb una capa d’aıllant d’espessor 2R i conductivitat k/2. Si latemperatura a la superfıcie exterior de l’aıllant resulta ser To, la temperatura en el punt de contactecanonada-aıllant sera:

(a) T =2Ti + To

3

(b) T =Ti + To

2

(c) T =Ti + 2To

3

(d) T =4Ti + To

5

7. La desigualdad de Clausius,

∮

δq

T≤ 0, define:

(a) La funcion de estado, llamada entropıa, solo para procesos reversibles.

(b) La variacion de entropıa en un proceso cualquiera.

(c) La variacion de entropıa para procesos irreversibles.

(d) La funcion de estado, llamada entropıa, solo para procesos irreversibles.

8. Un mol de un gas ideal, cuyo Cv es constante, pasa de un estado inicial, (pi, Vi, Ti), a uno final ,(pf , Vf , Tf ),mediante el proceso politropico cuasi estatico pV = C . Su calor especıfico molar, CX , para este procesovale:

(a) ∞.

(b) 0.

(c) Cv −R.(d) Cp.

9. El calor especıfico molar de un gas ideal, a volumen constante, viene dado por: Cv(T ) =β2T 2

T 2 + α2. La

variacion de entropıa por mol de gas, para un proceso cualquiera, vale:

(a) ∆S =β2

2ln

(

T 2f + α2

T 2i + α2

)

+R ln

(

VfVi

)

.

(b) ∆S =β2

2

Tf + α

Ti + α+R ln

(

VfVi

)

.

(c) ∆S =β2

2ln

(

T 2f + α2

T 2i + α2

)

.

(d) ∆S =β2

2ln

(

T 2f + α2

T 2i + α2

)

−R ln

(

VfVi

)

.

10. Indicar que afirmacion es la correcta, cuando n moles de un gas ideal monoatomico se expanden, medianteuna isobara cuasiestatica, hasta alcanzar un volumen doble del inicial.

(a) El calor absorbido vale ∆H = 5nRTi/2, siendo Ti la temperatura inicial.

(b) El calor absorbido vale ∆H = 5nRTf/2, siendo Tf la temperatura final.

(c) El calor absorbido vale ∆U = 5nRTf/2, siendo Tf la temperatura final.

(d) El calor absorbido vale ∆U = 5nRTi/2, siendo Ti la temperatura inicial.

11. Un motor funciona entre dos temperaturas Tf = 350K y Tc = 500K. El fabricante dice que el rendimientoes del 40%. Indicar que afirmacion es cierta:

(a) El rendimiento no puede superar el 35%.

(b) Puede ser cierto, el rendimiento teorıco ha de ser menor del 75%.

(c) Si el motor es un ciclo de Carnot reversible, es verdad.

(d) Si el motor es un ciclo de Carnot reversible, en el que la sustanacia cembia de estado, es verdad.

12. Un mol de gas ideal a una presion inicial 2P se expande adiabaticamente contra el vacio, hasta una presionfinal P . Indicar que afirmacion es cierta:

(a) La variacion de entropıa del universo es ∆S = Rln2.

(b) La variacion de entropıa del universo es ∆S = −Rln2.(c) La entropıa del universo no varıa.

(d) Para calcular la variacion de entropıa del universo, en este caso, hay que conocer el calor intercam-biado por el gas con el medio.

13. Para un proceso adiabatico y a presion constante de un gas ideal, se verifica:

(a) Si es una compresion la temperatura aumenta siempre.

(b) En una expansion la temperatura disminuye siempre.

(c) El trabajo viene dado por W = (pfVf − piVi)/(γ − 1).

(d) La entropıa del universo no varıa.

14. Dos cuerdas de densidades uniformes ρ1 y ρ2 estan unidas por un extremo. Por la cuerda de densidad ρ1se propaga una onda dirigiendose hacia la conexion entre ambas cuerdas. Que relacion deben guardar lasdensidades para que las amplitudes absolutas de las ondas transmitida y reflejada sean las mismas?

(a) ρ2 = ρ1.

(b) ρ2 = 9ρ1.

(c) ρ2 = 4ρ1.

(d) ρ1 = 4ρ2.

15. En una cuerda de longitud ` unicamente fijada en x = 0, las posiciones xm de los nodos del modo delongitud de onda λn = 4`/(2n+ 1) se encuentran en:

(a) xm = 2`m/(2n+ 1) (0 ≤ m ≤ n).

(b) xm = `(2m+ 1)/(2n+ 1) (0 ≤ m ≤ n).

(c) xm = 2`(2m+ 1)/(2n+ 1) (0 ≤ m ≤ n).

(d) xm = `m/(2n+ 1) (0 ≤ m ≤ n).

16. Las dimensiones de la impedancia de una cuerda son:

(a) MT−1.

(b) MT−1L−1.

(c) M−1T .

(d) es un numero adimensional.

17. En los nodos de una cuerda vibrante cuyos extremos estan fijos:

(a) la potencia siempre es cero.

(b) la potencia es siempre positiva o nula.

(c) la potencia es siempre negativa o nula.

(d) la potencia nunca se anula.

18. En una cuerda, que se puede considerar de longitud infinita y coincidente con el eje x, se propaga hacia laderecha una onda armonica con longitud de onda λ = 1m y velocidad c = 2m/s y amplitud 0.05m. Si enel instante inicial la abcisa x = 0.25m se encuentra en la posicion de equilibrio y su velocidad transversales negativa, la ecuacion de onda sera:

(a) 0.05 sin(2π(x− 2t)− π/2).(b) 0.05 cos(2πx− 4πt)

(c) 0.05 sin(2π(x− 2t))

(d) 0.05 cos(2π(x− 2t)− π/2)

19. Se tienen dos cuerdas de densidades ρ1 y ρ2 situadas en el eje x negativo y positivo respectivamente yunidas en la posicion x = 0. Inicialmente, se propaga una onda armonica hacia la derecha. Si ρ1 > ρ2,podemos afirmar que:

(a) La frecuencia de la onda transmitida sera menor a la de la onda incidente.

(b) La frecuencia de la onda transmitida sera mayor a la de la onda incidente.

(c) La velocidad de propagacion de la onda reflejada sera mayor a la de la onda incidente.

(d) La velocidad de propagacion de la onda transmitida sera mayor a la de la onda incidente.

20. En una cuerda de longitud L se observan dos armonicos consecutivos de una onda estacionaria en lasfrecuencias fn = 425Hz y fn+1 = 475Hz. Si la velocidad de propagacion de la onda es 200m/s, indicarque afirmacion es cierta:

(a) Los dos extremos de la cuerda estan fijos.

(b) La longitud de la cuerda es 2m.

(c) La frecuencia fundamental vale 50Hz.

(d) No hay suficientes datos para encontrar la longitud de la cuerda.

Departament Fısica Aplicada.

FISICA Pla 95. ETSECCPBRespostes al Test. Primer Parcial

Permutacio

Preg. 0 1 2 3 4

1 a d d a d

2 a d a b d

3 a b d d a

4 a d c d a

5 a c b c d

6 a d b a d

7 a c a d b

8 a b c c a

9 a c b a b

10 a a d c b

11 a a a c c

12 a c d b d

13 a d a a a

14 b a a c b

15 a d a d b

16 a c c b c

17 a c a c b

18 a b a c b

19 d d d b b

20 b b d c b

FISICA Plan 95 Departamento de Fısica Aplicada

Segundo Examen Parcial 25 06 2007

1. Problema

En una region del espacio esta definido el campo electrico ~E = α(z, 0,−x). La constante dielectrica delmedio en esa region es ε0 y su permeabilidad magnetica es µ0.

(a) Calcular la carga electrica total contenida en dicha region.

(b) Calcular la densidad de energıa debida a ~E.

(c) ¿Es ~E conservativo?¿Por que?

(d) En el plano y = 0, hay una espira circular, centrada en el origen, de radio a y resistencia total R.Calcular la fem inducida en ella.

(e) Calcular el valor, la direccion y el sentido de la intensidad de la corriente inducida.

(f) Calcular un campo magnetico, inicialmente nulo, que pueda generar ~E.

(g) Calcular la densidad de energıa total del campo electromagnetico.

2. Problema

Una espira rectangular de lados a y b tiene una resistenciaR y un condensador de capacidad C (inicialmentedescargado en t = 0) tal y como indica la figura. La espira se encuentra en el seno de un campo magneticoB = B z (B > 0) uniforme y constante, perpendicular al plano de la espira. Una varilla conductorarectilınea de resistencia R se desliza en contacto con la espira con velocidad constante v = v x, siempreorientada paralelamente al eje y. Inicialmente (t = 0), la varilla se encuentra situada en x = 0. Se pide:

(a) determinar la orientacion de las intensidades inducidas en las resistencias y en el condensador. Indicarclaramente el sentido de las fuerzas electromotrices inducidas.

(b) determinar el valor de las fuerzas electromotrices inducidas durante el perıodo en el cual la varillarecorre toda la longitud a.

(c) determinar la carga del condensador Q(t) en funcion del tiempo, ası como los valores de las intensi-dades que circulan por la resistencia de la espira, IR(t), por la resistencia de la varilla, Iv(t), y porel condensador, IC(t), durante el mismo periodo que en el apartado anterior.

(d) determinar las intensidades maximas ImaxR , ImaxC , Imaxv en cada tramo del circuito y los instantes detiempo en los cuales se alcanzan dichos valores maximos.

(e) el instante de tiempo en el cual el condensador tiene carga maxima, y el valor de dicha carga.

PSfrag replacements

C

R

x

y

B = B z

R

v = v x

b

x = 0 x = a

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1. Solucion del primer problema

Se supone α > 0. Para α = 0 el problema carece de sentido porque se anula el campo electrico. Paraα < 0 las cuestiones a), b), c) y g) no cambian y las d), e) y f) cambian de signo y por tanto lasmagnitudes asociadas cambian de sentido.

(a) Por la ley de Gauss ~∇· ~D = ρ =⇒ ~∇· ~E =ρ

ε0= 0 =⇒ ρ = 0. En esa region no hay carga, la densidad

volumica de carga es nula.

(b) uE =ε0α

2

2(x2 + z2).

(c) ~∇× ~E =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ex ~ey ~ez∂x ∂y ∂zαz 0 −αx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2α~ey 6= ~0

Este campo no es conservativo.

(d) Tomando ~ey como normal unitaria de la superficie encerrada por la circunferencia dada se tiene:

∫

S

(~∇× ~E) · d~S =

∮

∂S

~E · d~= ε = 2παa2

Falta definir su sentido. De acuerdo con el apartado f), el signo es el adecuado y la ε = 2παa2. Portanto, su sentido es el antihorario.

(e) Teniendo en cuenta el apartado f), la intensidad de la corriente inducida vale ε = 2παa2/R. Sudireccion es tangente a la circunferencia y su sentido antihorario, de acuerdo a la ley de Lenz.

(f) ~∇× ~E = −∂~B

∂t= 2α~ey =⇒ ~B = −2αt~ey.

(g) La densidad de energıa del campo electromagnetico es la suma de las densidades de energıa de loscampos electrico y magnetico.

uem = uE + uB =ε02| ~E|2 + 1

2µ0| ~B|2 = ε0α

2

2(x2 + z2) +

2α2t2

µ0

2. Solucion del segundo problema

(a + b) Dividimos el circuito en las submallas 1 (a la izda. de la varilla) y 2 (a la dcha. de la varilla). Aldesplazarse la varilla, el flujo magnetico en 1 (Bbvt) aumenta y en 2 (Bb[a− vt]) disminuye, lo cualinduce f.e.m.’s ε1 y ε2 en cada una de esas mallas, respectivamente. La orientacion de dichas f.e.m.viene determinada por la ley de Faraday-Lenz:

ε1 =

∮

∂S1

E1 · dl1 = −∂

∂t

∫

S1

B · dS1 y ε2 =

∮

∂S2

E2 · dl2 = −∂

∂t

∫

S2

B · dS2.

En ambas ecuaciones, las circulaciones se calculan en sentido antihorario (adoptando el convenio dela regla de la mano derecha con respecto a los vectores dS1 = zdS1 y dS2 = z dS2), es decir:

ε1 = −d

dtBbvt = −Bbv y ε2 = −

d

dtBb(a− vt) = Bbv,

lo cual nos da una ε1 negativa (horaria) y una ε2 positiva (antihoraria), tal y como se indica en lafigura:

PSfrag replacements

CR

B = B z

R

x(t) = v tx = 0 x = a

1

ε1

2

ε2

IR Iv

IC

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Por lo tanto, las intensidades IR, Iv e IC tienen los sentidos indicados en el dibujo.

(c) Aplicando las leyes de Kirchoff en nudos y mallas, obtenemos las ecuaciones que determinan laevolucion temporal de las intensidades y de la carga del condensador:

(1) Iv = IR + IC (2) RIR +RIv = Bbv (3)Q

C+RIv = Bbv .

Sumando (1) y (2) obtenemos:

(4) Iv =1

2R(Bbv +RIC) .

Por otro lado, IC es la variacion intantanea de carga del condensador, es decir:

(5) Ic =dQ

dt.

Sustituyendo (4) y (5) en (3), nos queda la ecuacion para la carga del condensador:

dQ

dt+

2

RCQ =

Bbv

R,

con condicion inicial Q(0) = 0 (condensador inicialmente descargado), y cuya solucion es:

Q(t) =BbvC

2

(

1− e−2t/RC)

.

La intensidad IC se obtiene directamente derivando la expresion anterior con respecto al tiempo, Ivse obtiene utilizando (4) e IR utilizando (1):

IC(t) =Bbv

Re−2t/RC Iv(t) =

Bbv

2R

(

1 + e−2t/RC)

IR(t) =Bbv

2R

(

1− e−2t/RC)

(d) Todo el proceso de carga del condensador transcurre en el intervalo de tiempo comprendido entret = 0 y t = a/v, i.e., momento en el cual la varilla llega al otro extremo de la espira. Las intensidadesmaximas de IC e Iv se alcanzan por lo tanto en t = 0, mientras que IR alcanza su valor maximo ent = a/v. Dichos valores son:

ImaxC =Bbv

RImaxv =

Bbv

RImaxR =

Bbv

2R

(

1− e−2a/RCv)

(e) Del mismo modo, la carga del condensador se alcanza en t = a/v, cuyo valor es:

Q(t) =BbvC

2

(

1− e−2a/RCv)

.

Todo ello viene resumido en las siguientes graficas (no era necesario representarlas) de las intensidadesy la carga, en las cuales se han indicado los valores maximos de Q e IR mediante puntos grises.

PSfrag replacements

Q(t)

Iv(t)IC(t)

IR(t)

t = 0 t = a/v

t = 0 t = a/v

0

Imax

R

Imax

v = Imax

C= Bbv/R

0

Qmax

BbvC/2

FISICA Plan 95 Departamento de Fısica Aplicada Test. Segundo Parcial. Mayo 2007.

Identificacion de la prueba: 250 18004 01 0 00

1. Una carga puntual 4q esta incrustada en una superficie esferica de radio a. En el volumen rodeado por laesfera hay una carga q. El flujo del campo electrostatico a traves de la superficie esferica vale:

(a) 3q/ε0.

(b) 5q/ε0.

(c) q/ε0.

(d) No esta definido.

2. A muy poca distancia de una superficie plana metalica, con una densidad superficial de carga σ, inmersaen un medio de constante dielectrica ε y coincidente con el plano y = 0, el campo electrostatico vale:

(a) ~E =σy

2ε|y| ~ey.

(b) ~E =σy

ε|y| ~ey.

(c) ~E =σ

ε|y| ~ey.

(d) ~E =σy

ε~ey.

3. Se carga un condensador, de capacidad C0 cuando hay aire entre sus placas, con una carga Q. Sindesconectarlo de la baterıa, se introduce un dielectrico de permeabilidad relativa εr.

(a) Su carga aumenta.

(b) La diferencia de potencial entre sus placas disminuye.

(c) El campo electrico entre sus placas aumenta.

(d) El vector desplazamiento permanece constante.

4. En el interior de una esfera de radio R, centrada en el origen, hay una polarizacion uniforme ~P . Paratodo punto contenido en la superficie esferica de radio R, se cumple:

(a) La densidad superficial de carga inducida vale σp =~P · ~rR

, siendo ~r su vector posicion

(b) La densidad superficial de carga inducida es uniforme.

(c) El campo electrostatico es nulo.

(d) El campo electrostatico tiene direccion radial.

5. En un circuito hay un condensador, de capacidad C, y una resistencia, R. La carga inicial del condensadores Q0. Se cumple:

(a) la energıa total disipada en la resistencia esQ202C

.

(b) la energıa total disipada en la resistencia esQ20C

.

(c) la energıa total disipada en la resistencia esQ20C

2.

(d) la energıa total disipada en la resistencia esQ02C2

.

6. Anulada

Para cargar un condensador de capacidad C, se conectan en serie el condensador, una resistencia R y unabaterıa cuya fuerza electromotriz es ε. Cuando el condensador esta totalmente cargado, su carga es Qm

y se cumple:

(a) la diferencia de potencial entre las placas del condensador es ε.

(b) la diferencia de potencial entre las placas del condensador es ε− Qm

C.

(c) la intensidad de corriente en el circuito valeε

R.

(d) la intensidad de corriente en el circuito valeε

R− Qm

RC.

7. El vector momento magnetico se mide, en el S.I., en: (N=newton, A=amperio, m=metro)

(a) Am2.

(b) Nm/A.

(c) m2/A.

(d) N/A2.

8. El potencial vector sobre el eje x de una espira circular, contenida en el plano x = 0 y centrada en elorigen, por la que circula una intensidad, es cero.

(a) El campo magnetico sobre este eje no tiene por que ser nulo.

(b) El campo magnetico sobre este eje es nulo.

(c) El campo magnetico sobre este eje no esta definido.

(d) El campo magnetico sobre este eje tiene la componente x nula.

9. Una carga puntual q se encuentra en el centro de una esfera dielectrica, de radio R1 y constante absolutaε1. A su vez, la esfera anterior esta rodeada por una corteza esferica concentrica dielectrica de grosorR2 −R1 y constante absoluta ε2. Indicar que afirmacion es cierta

(a) El vector desplazamiento es ~D(~r) =q~r

4π|~r|3 , si |~r| > 0.

(b) El campo electrostatico es ~E(~r) =q~r

4πε1|~r|3, si |~r| > 0.

(c) El campo electrostatico es ~E(~r) =q~r

4πε1|~r|3, si 0 < |~r| ≤ R2.

(d) El vector desplazamiento es ~D(~r) =q~r

4πε0|~r|3, si |~r| > 0.

10. Un conductor es un polıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R. la intensidadde la corriente es I y el modulo del campo magnetico resultante en el centro de la circunferencia esµIn

2πRtan

(π

n

)

.

(a) El valor maximo del modulo es3√3µI

2πR.

(b) El valor maximo del modulo corresponde al valor n = 2.

(c) Cuando n→∞, | ~B| → 0.

(d) Cuando n→∞, | ~B| → ∞.

11. Una superficie cerrada S contiene en su interior un dipolo electrico de momento dipolar p que crea uncampo electrico E. Podemos afirmar que:

(a)

∮

S

E · dS = 0.

(b)

∮

S

E · dS < 0.

(c)

∮

S

E · dS > 0.

(d)

∮

S

E · dS =2‖p‖ε0

.

12. Por dos hilos conductores rectilıneos, paralelos e infinitos, separados 1 m, circula una misma intensidadde 1 A, pero en sentidos opuestos. Podemos afirmar que los hilos:

(a) se repelen con una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10−7 Nm−1.

(b) se atraen con una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10−7 Nm−1.

(c) se atraen con una fuerza por unidad de longitud de 4π · 10−7 Nm−1.

(d) se repelen con una fuerza por unidad de longitud de 4π · 10−7 Nm−1.

13. Un anillo circular no conductor contiene una densidad lineal uniforme de carga electrica. El anillo gira convelocidad angular constante alrededor de un eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centroO. Si E0 y B0 son los modulos del campo electrico y magnetico en el centro del anillo, respectivamente,podemos afirmar que en O:

(a) E0 = 0 y B0 6= 0.

(b) E0 6= 0 y B0 = 0.

(c) E0 = 0 y B0 = 0.

(d) E0 6= 0 y B0 6= 0.

14. Las armaduras de un condensador de capacidad C, inicialmente cargado y aislado, se conectan a losextremos de una bobina de autoinduccion L de resistencia despreciable. La carga del condensador oscilaracon el tiempo con frecuencia:

(a) 1/√LC.

(b) 1/LC.

(c) 2/√LC.

(d) 2/LC.

15. Una superficie esferica conductora se encuentra cargada en equilibrio electrostatico. Si duplicamos sucarga electrica, la presion electrostatica resultante:

(a) se cuadruplica.

(b) se duplica.

(c) de reduce a la mitad.

(d) no cambia.

16. Un hilo no conductor, rectilıneo, infinito y paralelo al eje z contiene una densidad uniforme de cargaelectrica λ. Si el hilo se desplaza con velocidad constante v = v z, el modulo del campo magnetico creadopor el hilo a una distancia r del mismo es:

(a) µ0vλ/2πr.

(b) 0.

(c) µ0vλ/r.

(d) µ0vλ/2r.

17. Una corteza esferica conductora de radios interno y externo r = R1 y r = R2, respectivamente, tiene unacarga neta Q. En r = 0 situamos una carga puntual q. La carga neta en la superficie externa de radio R2es:

(a) Q+ q.

(b) Q− q.(c) q.

(d) −q

18. Si S es una superficie cerrada arbitraria, C una curva cerrada arbitraria, E es el campo electrico y B elcampo magnetico, ¿cual de las siguientes expresiones es siempre cierta?:

(a)

∮

S

B · dS = 0

(b)

∮

S

E · dS = 0

(c)

∮

C

E · dC = 0

(d)

∮

C

B · dC = 0

19. Dos espiras circulares concentricas de radios a y b (a << b) estan contenidas en el mismo plano. Elcoeficiente de induccion mutua de las dos espiras es, aproximadamente,

(a) µ0πa2/2b.

(b) µ0πb2/2a.

(c) µ0πa2/b.

(d) µ0πb2/a.

20. Las dimensiones de la magnetizacion o imantacion (momento dipolar magnetico por unidad de volumen)son:

(a) QT−1L−1.

(b) QT−1L2.

(c) QTL−1.

(d) QT−2L−2.

Soluciones del Test. Segundo Parcial

Permutacion

Preg. 0 1 2 3 4

1 a b d b d

2 a a d d c

3 a b b d b

4 a c a b a

5 a c a c c

6 nula d b d b

7 a a a nula a

8 a d b d b

9 a b d d nula

10 a d d c c

11 a c c c d

12 a d c d a

13 a a b b c

14 a a c d a

15 a c b d b

16 a b nula d c

17 a b d d a

18 a b a d a

19 a nula d c c

20 a b a b d

FISICA Plan 95 Departamento de Fısica Aplicada

Examen Final 15 06 2007

1. Problema

En una fabrica de gelats, es vol recobrir el nucli cremos dels gelats amb una capa fina de gel d’espessore. Per fer-ho, es refreda el nucli cremos (capacitat calorıfica C i superfıcie total exposada A) fins a unatemperatura Ti < 0 oC, i a continuacio es submergeix en un bany d’aigua lıquida a Te = 0 oC.

a) Expliqueu en 3 lınies per quins mecanismes es formara la capa de gel al voltant del nucli cremos delgelat.

b) Calculeu la temperatura Ti a la qual s’ha de refredar el nucli per aconseguir, a l’equilibri, l’espessordesitjat e.

c) Calculeu l’increment d’entropia de l’univers en aquest proces i demostreu que es positiva.

d) Raoneu quant temps es tarda en assolir l’espessor e.

Es proposa refredar el nucli mes del necessari (Ti encara mes baixa) per assolir l’espessor e en un tempsmes curt te.

e) Trobeu l’expressio del flux de calor q(t) a traves del gel en funcio de la temperatura del nucli Ti(t) ide l’espessor de la capa de gel e(t), per a cada instant t.

f) Sabent que la variacio de temperatura del nucli es deguda a l’absorcio de calor a traves del gel,

expresseudTidt

(t) en funcio de Ti(t) i e(t).

g) Sabent que el creixement de l’espessor de gel es deu a la cessio de calor de l’aigua lıquida per escalfar

el nucli, expresseude

dt(t) en funcio de Ti(t) i e(t).

h) Suposant que assolim l’espessor desitjat e rapidament de manera que Ti(t) ' Ti es pot considerarconstant, calculeu la temperatura aproximada a la que haurem de refredar el nucli (Ti), per enretirarel gelat del bany despres d’un temps te amb l’espessor desitjat e.

Hipotesis:

• Considereu l’espessor e petit en front de la curvatura de la superfıcie sobre la qual creix (l’area A delgelat acabat es aproximadament la mateixa que la del nucli cremos del qual partim).

• Considereu la dinamica de conduccio de la calor en l’espessor de gel molt mes rapida que la de creixe-ment de l’espessor o d’escalfament del nucli del gelat per assumir que el proces es pseudoestacionarii la llei de Fourier val a cada instant de temps.

Dades adicionals: Lf : calor latent de fusio del gel a 0 oC; k: conductivitat del gel; ρ: densitat del gel.

2. Problema

Cuando una cuerda elastica oscila, el aire opone una resistencia a las oscilaciones transversales de dichacuerda. La fuerza que experimenta un tramo infinitesimal de cuerda de longitud ∆x es −∆xR vT, siendoR un coeficiente de rozamiento dado y vT la velocidad transversal del tramo (el signo negativo indica queesa fuerza es opuesta a la velocidad instantanea del tramo de cuerda). La ecuacion de ondas para losdesplazamientos u(x, t) transversales de una cuerda de densidad ρ sometida a una tension T y a friccionpor el aire es de la forma:

∂2u

∂t2+ 2k

∂u

∂t− β2 ∂

2u

∂x2= 0.

(a) Determinar los parametros k y β en funcion de R, T y ρ.

(b) Determinar las dimensiones de k y de β. Es decir, si [k] = MpLqTr, determınense los exponentes p,q y r y hagase lo mismo para β.

(c) Comprobar si funciones del tipo f(x± βt) son solucion de la ecuacion de ondas del enunciado.

(d) Supongamos ahora que la cuerda se encuentra fijada entre los extremos x = 0 y x = `, de forma quese satisface la condicion k < πβ/`. Nos dicen que el modo n−esimo de oscilacion de la cuerda es dela forma:

un(x, t) = gn(t) sin(nπx

`

)

, con n = ±1,±2,±3, . . .

siendo gn(t) una funcion por determinar. Determinar dicha funcion gn(t) y las frecuencias temporalesde oscilacion en funcion de k, β y `. ¿Es gn(t) periodica en tiempo?.

3. Problema

Una espira circular, de radio a y centrada en el origen, esta contenida en el plano x = 0. Por ella se mueveuna carga q con una velocidad angular constante Ω en sentido antihorario.

(a) Calcular el potencial vector creado por la espira en un punto lejano P . Es decir si (x, y, z) son sus

coordenadas, se verifica a¿ r =√

x2 + y2 + z2, siendo r la distancia de P al origen de coordenadas.

(b) Calcular el vector momento dipolar ~m de la espira y expresar el potencial vector en funcion delmomento dipolar de la espira.

(c) Calcular el campo magnetico creado por la espira en el punto P .

(d) El campo electrico creado por la espira en P ¿es conservativo?. Explicar por que.

(e) Sea conservativo o no, calcularlo en P .

Ayuda: Recordar que: |u| ¿ 1⇒ (1 + u)α ' 1 + αu.

1. Solucion del primer problema

(a) En estar el nucli cremos mes fred que el bany d’aigua que l’envolta, tendira a absorbir-ne calor permirar de restablir l’equilibri termic. En cedir calor l’aigua a la seva temperatura de congelacio,solidificara entorn al nucli cremos, tot formant una capa de gel.

(b) Aplicant un balanc energetic al sistema aıllat format pel nucli cremos i el bany d’aigua podem deduirTi:

Qnucli +Qaigua = 0 =⇒ C (Te − Ti)− ρAeLf = 0 =⇒ Ti = Te −ρAeLfC

,

(c) L’increment d’entropia de l’univers es pot descomposar com la suma dels increments d’entropia delnucli i del bany:

∆Su = ∆Sbany +∆Snucli = C

((

TiTe− 1

)

− lnTiTe

)

,

on cal recordar que Ti < Te.

No es difıcil comprovar que

∆Su(Ti = Te) = 0

Ti < Te =⇒d∆SudTi

(Ti) = CTi − TeTiTe

< 0

(d) Hem fet coincidir l’assoliment de l’espessor desitjat e amb l’establiment de l’equilibri termic. Aixoes produira a un instant te pel qual tindrem Ti(te) = Te i el flux de calor a traves del gel s’anul.lara.Pero l’aproximacio de Ti(t) cap a Te, nomes sera asimptotica, ja que el creixement es proporcional(llei de Fourier) a Ti(t)−Te, que decau exponencialment a mesura que ens apropem a l’equilibri. Pertant, el sistema tardara un temps infinit a assolir l’equilibri:

te =∞

(e) Per trobar l’expressio de q(t) en funcio de Ti(t) i de e(t), nomes cal plantejar la llei de Fourier per alflux de calor a traves de la capa de gel, sota les hipotesis de flux pseudoestacionari i seccio transversalconstant:

q(t) = −kAdTdx

(x, t) =kA(Ti(t)− Te)

e(t).

(f) Plantejant l’absorcio de calor per part del nucli, dQnucli = C dTi, en forma instantania, i tenintpresent que la calor absorbida pel nucli es precisament la que atravessa la capa de gel (que definimpositivament quan va cap a l’exterior), tenim:

dQnucli

dt(t) = C

dTidt

(t) = −q(t) =⇒ dTidt

(t) = −kAC

(Ti(t)− Te)e(t)

,

on hem substituint l’expressio abans calculada per q(t).

(g) Fent l’aproximacio Ti(te) ' Ti en el moment en que retirem el gelat del bany, l’equacio corresponenta la dinamica de creixement del glac desacobla i pot ser resolta analıticament:

de

dt(t) = − k

ρLf

(Ti(t)− Te)e(t)

' − k

ρLf

(Ti − Te)e(t)

−→ e(t)2

2= − k

ρLf(Ti − Te) t.

Podem finalment trobar quin ha de ser el valor de Ti per tal que a temps te l’espessor sigui precisamente(te) = e:

Ti = Te −ρLf2k

e2

te.

Es pot demostrar que l’aproximacio sera tant mes valida si el nucli del gelat te gran capacitatcalorıfica, la superfıcie exposada es petita i l’espessor de la capa de glac desitjada no es massa gran.

2. Solucion del segundo problema

(a) Las ecuaciones de Newton para un tramo arbitrario de cuerda de masa ∆m y longitud ∆x son (vistoen clase de teorıa):

∆max = T (x+∆x) cos θ(x+∆x)− T (x) cos θ(x),∆may = T (x+∆x) sin θ(x+∆x)− T (x) sin θ(x),

siendo ax y ay las aceleraciones longitudinal y transversal del tramo, respectivamente. Dado queno hay oscilacion longitudinal (ax = 0) y aproximando cos θ ∼ 1 (pequena amplitud), la primeraecuacion nos determina que la tension es T constante.

En la segunda ecuacion hacıamos la aproximacion sin θ ∼ tan θ =∂u

∂x. Si ahora incluimos los efectos

de friccion:

∆may = T

(

[

∂u

∂x

]

x+∆x

−[

∂u

∂x

]

x

)

−∆xR vT,

o bien

∆m∂2u

∂t2= T∆x

∂2u

∂x2−∆xR vT.

Dividiendo en ambos lados por ∆m nos queda

∂2u

∂t2=T

ρ

∂2u

∂x2− R

ρ

∂u

∂t

donde hemos utilizado la definicion de la densidad ρ = ∆m/∆x y de la velocidad transversal vT =∂u

∂t.

Identidicando terminos con la ecuacion del enunciado nos queda

k =R

2ρ, β =

√

T

ρ.

(b) Por consistencia dimensional de la propia ecuacion del enunciado, se debe cumplir que

[

∂2u

∂t2

]

=

[

k∂u

∂t

]

→ LT−2 = [k]LT−1 → [k] = T−1 → p = 0, q = 0, r = −1 .

De la misma forma, para β tenemos

[

β2∂2u

∂x2

]

=

[

∂2u

∂t2

]

→ [β2]L−1 = LT−2 → [β] = LT−1 → p = 0, q = 1, r = −1 .

(c)

(d) Primero calculamos las derivadas correspondientes de la funcion

f(x+ βt):

∂2f(x+ βt)

∂x2= f

′′

(x+ βt),∂2f(x+ βt)

∂t2= β2f

′′

(x+ βt),∂f(x+ βt)

∂t2= βf

′

(x+ βt).

Sustituyendo en la ecuacion del enunciado, se ve claramente que f(x+βt) no satisface dicha ecuacion:

β2f′′

+ 2kβf′ − β2f ′′ = 2kβf

′ 6= 0.

Lo mismo ocurre con f(x − βt). Por lo tanto, la ecuacion del enunciado no admite soluciones enforma de superposicion de ondas viajeras.

(e) Sustituyendo el modo n−esimo en la ecuacion del enunciado nos queda

g sin(nπx

`

)

+ 2kg sin(nπx

`

)

+

(

nπβ

`

)2

gn sin(nπx

`

)

= 0,

con lo que desaparece la dependencia en x, quedando unicamente una ecuacion para gn(t):

g + 2 k g +

(

nπβ

`

)2

gn = 0,

cuya solucion general es

gn(t) = e−kt (An cos(ωnt) +Bn sin(ωnt) ) ,

siendo ωn las frecuencias determinadas por las partes imaginarias de las raices del polinomio carac-terıstico de la ecuacion:

λ2 + 2kλ+

(

nπβ

`

)2

= 0, λ = −k ± i

√

(

nπβ

`

)2

− k2 = −k ± iωn.

Las oscilaciones esta amortiguadas por el factor e−kt, por lo tanto gn(t) no es periodica.

3. Solucion del tercer problema

(a) Para un conductor filforme se verifica:

~A(x, y, z) =µI

4π

∫

cond

d~l′

|~r − ~r′|

Siendo ~r = (x, y, z) el vector de posicion del punto P , ~r′ un punto de la curva (en este caso ~r′ =

(0, y′, z′)) e I la intensidad de la corriente, que circula por el conductor. En este caso I =QΩ

2π.

La espira en coordenadas polares es ~r′ = (0, a cosϕ, a sinϕ) =⇒ d~l′ = a (0,− sinϕ, cosϕ) dϕ, conϕ ∈ (0, 2π].

El denominador de la integral es1

|~r − ~r′|y cumple:

1

|~r − ~r′|=

1√

x2 + (y − a cosϕ)2 + (z − a sinϕ)2=

1

(r2 − 2ay cosϕ− 2az sinϕ+ a2)1/2=⇒

1

|~r − ~r′|' (r2 − 2ay cosϕ− 2az sinϕ)−1/2 =⇒

(teniendo en cuenta que |u| ¿ 1⇒ (1 + u)α ' 1 + αu)

1

|~r − ~r′|'=

1

r+ay cosϕ

r3+az sinϕ

r3

Sustituyendo este valor en la definicion del potencial vector, queda

~A(x, y, z) =µIa

4πr

∫ 2π

0

(0,− sinϕ, cosϕ)

(

1

r+ay cosϕ

r3dϕ+

az sinϕ

r3

)

=⇒

~A(x, y, z) =µIa2π

4πr3(0,−z, y)

Con I =QΩ

2π.

(b) Se sabe que ~m = πr2I ~N es el vector momento magnetico de una espira de radio r, por la que circula

una intensidad I y cuya normal unitaria ~N viene dada por el sentido de la intensidad, segun la regladel tornillo. En este caso el momento magnetico es:

~m = πa2I~ex

y el potencial vector en funcion de el es:

~A(x, y, z) =~m× ~rr3

=µIa2π

4πr3(0,−z, y) =

µm

4π

(0,−z, y)r3

(c) El campo magnetico es:

~B(x, y, z) = ~∇× ~A(x, y, z) =µ

4π

(

3(~m · ~r)r5

~r − ~m

r3

)

.

(d) Teniendo en cuenta que

~∇× ~E +∂ ~B

∂t= ~0

y que en todo punto∂ ~B

∂t= ~0 , se tiene ~∇ × ~E = ~0 =⇒

∮

C

~E · d~l = 0, para toda curva cerrada

C, =⇒ ~E es conservativo.

(e) Por ser ~E conservativo, existe una funcion escalar V (x, y, z) cuyo gradiente cambiado de signo es ~E.

V (x, y, z) =1

4πε

∮

C

dl′

|~r − ~r′|

Teniendo en cuenta que dl′ = adϕ, que ϕ varıa entre 0 y 2π y el desarrollo, obtenido antes para1

|~r − ~r′| , queda

V (x, y, z) =1

4πε

∫ 2π

0

λadϕ

|~r − ~r′| 'λa

4πε

∫ 2π

0

(

1

r+ay cosϕ

r3+az sinϕ

r3

)

dϕ =⇒

V (x, y, z) =2λπa

4πε

1

r

Como λ es la densidad de carga por unidad de longitud, queda λ =q

2πa=⇒ λ2πa = q =⇒

V (x, y, z) =q

4πεr=⇒ ~E =

q

4πεr3~r

FISICA Plan 95 Departamento de Fısica Aplicada

Test. Examen Final. Junio 2007. Identificacion de la prueba: 250 18004 02 0 00

Notas:

El tiempo para hacer el test es de una hora.Hay que marcar con lapiz o bolıgrafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutacion, NO se puede corregir el TEST.

1. Indicar que afirmacion es cierta para una onda transversal cualquiera:

(a) La densidad de energıa mecanica no es ni constante ni uniforme.

(b) Podemos calcular la densidad de energıa mecanica media en un periodo.

(c) La densidad de energıa mecanica es uniforme.

(d) La densidad de energıa cinetica es igual a la densidad de energıa potencial.

2. Indicar que afirmacion es cierta para una onda armonica que se propaga:

(a) La potencia transmitida en un punto y un instante es proporcional a la densidad de energıa en esepunto y ese instante.

(b) La potencia media transmitida en un perıodo es cero en todo punto.

(c) La potencia transmitida es uniforme.

(d) La potencia transmitida no se puede anular nunca.

3. Una onda transversal en una cuerda viene descrita por la ecuacion y(x, t) = Ae−(x+ct)2

. Indicar cual delas siguientes afirmaciones es correcta:

(a) En todo punto e instante las densidades de energıa potencial y cinetica son iguales.

(b) La onda se propaga hacia la derecha.

(c) La potencia media transmitida en un periodo no puede ser nula.

(d) La densidad de energıa cinetica media en un perıodo es igual a la densidad media de energıa potencialen un perıodo.

4. Se tienen dos cuerdas en el eje x que estan unidas en x = 0. La primera situada en x < 0 tiene unaimpedancia Z1. La segunda esta en x > 0 y su impedancia vale Z2. Si se propaga una onda hacia laderecha, ¿cual de las siguientes afirmaciones es correcta?

(a) La onda transmitida estara en fase con la onda incidente.

(b) La onda reflejada estara en fase con la onda incidente si Z1 < Z2.

(c) Si Z2 es cero, no habra onda reflejada.

(d) El coeficiente de transmision en amplitud sera negativo si Z1 < Z2.

5. Tenim el mateix nombre de mols, a la mateixa T i p, de dos gasos ideals diferents, un monoatomic i l’altrediatomic.

(a) En una expansio isobarica contra la mateixa pressio externa i fins al mateix volum final, realitzen elmateix treball.

(b) En una expansio adiabatica reversible fins al mateix volum final, realitzen el mateix treball.

(c) En un escalfament isocor fins a la mateixa temperatura final, l’increment d’entropia es el mateix.

(d) En un escalfament isobaric fins a la mateixa temperatura final, l’increment d’entropia es el mateix.

6. En un calorımetro adiabatico se mezcla una masa de agua lıquida, ml, inicialmente a 20oC, con una masade hielo, mh, inicialmente a 0oC. Ası se obtiene agua lıquida a 0oC. Sabiendo que el calor latente de fusion

del hielo es 80cal

gy el calor especıfico del agua lıqida es 1

cal

g00C, indicar que afirmacion se cumple:

(a) ml = 4mh.

(b) ml = 2mh.

(c) No se puede decir nada porque hace falta el calor especıfico del hielo.

(d) Es imposible que se funda todo el hielo si no se da calor exterior.

7. Un mol de un gas ideal esta inicialmente en un estado de equilibrio (pi, Vi, Ti). Se comprime adi-abaticamente hasta el estado (2pi, Vf , Tf ), con una presion exterior constante 2pi. ¿Que afirmacion escierta?

(a) el volumen final valeVi(Cp +R)

2Cp.

(b) la temperatura final valeTi(Cp +R)

2Cp.

(c) la temperatura final valeTi(Cp −R)

Cp.

(d) el volumen final valeVi(Cp +R)

Cp.

8. Un mol de un gas ideal esta inicialmente en un estado de equilibrio (2p, Vi, Ti). Se expande adiabaticamentea presion constante, p, hasta el estado p, Vf , Tf . Si γ = Cp/Cv, ¿que afirmacion se cumple?

(a) La variacion de entropıa del universo vale ∆S = Cp ln

(

γ + 1

γ

)

− Cv ln 2.

(b) La variacion de entropıa del universo vale ∆S = Cp ln

(

γ + 1

γ

)

.

(c) La energıa interna del gas permanece constante.

(d) La variacion de entropıa del universo vale ∆S = R ln 2.

9. El calor especıfico molar, a volumen constante, de un gas ideal viene dado por Cv =αRT 2

T 2 + β2. Indicar

cual de las siguientes afirmaciones es cierta, cuando se calienta el gas desde una temperatura Ta hastaTb > Ta.

(a) La variacion de entropıa del gas es ∆S = αR ln

(

T 2b + β2

T 2a + β2

)1/2

.

(b) La variacion de entropıa del gas es ∆S = Cv lnTbTa

.

(c) El calor absorbido por el gas es Qab = αR(Tb − Ta) + αR arctan

(

T 2b + T 2a2β2

)

.

(d) El calor absorbido por el gas es Qab = αR(Tb − Ta) +αR

2ln

(

T 2b + T 2a2β2

)

.

10. La pared de una habitacion esta dividida en dos partes de la misma superficie y grosor. La inferior estaformada por cemento de conductividad termica kc y la de arriba por vidrio de conductividad termicakv > kc. Indicar que afirmacion es cierta, para los flujos de calor a traves del vidrio, φv, y del cemento,φc.

(a)φvkv

=φckc

.

(b) φc ≥ φv.

(c) φvkv = φckc.

(d) φv + φc = 0.

11. Se tiene un esfera hueca conductora de radio interior R1 y exterior R2 (R1 < R2) cargada con una cargaq. Si r es la distancia al centro de la esfera, indicar que afirmacion es falsa:

(a) r ∈ (R1, R2)⇒ V (r) = 0.

(b) r < R1 ⇒ V (r) = constante.

(c) r ∈ (R1, R2)⇒ ~E(r) = ~0.

(d) El campo electrico es discontinuo en R2.

12. Indicar que afirmacion es cierta:

(a) ~D y ~P se miden en las mismas unidades.

(b) ~D y ~E se miden en las mismas unidades.

(c) ~H y ~B se miden en las mismas unidades.

(d) ~M y ~B se miden en las mismas unidades.

13. La densidad de corriente en un conductor no filiforme cumple ~j 6= ~0 y ~∇ ·~j = 0. Indicar que afirmaciones cierta:

(a) El campo electrico creado por este conductor es cero en todos los puntos.

(b) La densidad de corriente en el conductor es uniforme.

(c) La intensidad de la corriente en el conductor es cero.

(d) El campo electrico creado no es uniforme y varıa con el tiempo.

14. Una superficie metalica tiene una densidad de carga σ.

(a) La componente normal de ~D es discontinua en ella y el salto de la funcion es, en valor absoluto, |σ|.

(b) La componente normal de ~E es discontinua en ella y el salto de la funcion es, en valor absoluto,|σ|2ε0

.

(c) La componente tangencial de ~D es discontinua en ella y el salto de la funcion es, en valor absoluto,|σ|.

(d) La componente tangencial de ~E es discontinua en ella y el salto de la funcion es, en valor absoluto,|σ|2ε0

. m

15. La relacion ~P = ε0χ~E, que relaciona la polarizacion de un dielectrico con el campo electrostatico, cumple:

(a) es un modelo simplificado para dielectricos homogeneos, isotropos y lineales.

(b) es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell.

(c) es un modelo que vale para todo dielectrico.

(d) si se cambiara, no valdrıan las ecuaciones de Maxwell.

16. Un campo vectorial ~V =β(−y, x, 0)x2 + y2

(a) puede representar un campo magnetico creado por una corriente infinita coincidente con el eje z.

(b) puede representar un campo magnetico creado por una corriente en un conductor, contenido en eleje z, de longitud L y con un extremo en el origen.

(c) puede representar un campo electrico no conservativo en una region del espacio donde hay un campomagnetico que varıa con el tiempo.

(d) puede representar un campo electrico conservativo en una region del espacio donde hay una densidadde carga ρ(x, y, z) > 0.

17. Dados el campo magnetico ~B = −3t2α~ez, con α 6= 0 y el electrico ~E = β(y,−x, z), ambos estaranasociados por alguna ecuacion de Maxwell si:

(a) β = −3αt.(b) β = 3αt.

(c) Nunca porque ~∇ · ~E 6= 0.

(d) Nunca porque ~∇× ~B = ~0.

18. Se tiene una distribucion de cargas que pueden moverse, tal que ~∇ ·~j = 0. En este caso:

(a) El campo electrico debido a estas cargas es conservativo.

(b) El rotacional del campo electrico creado por estas cargas es diferente de cero.

(c) La divergencia del campo magnetico creado por esta distribucion no es nula.

(d) Estas cargas no pueden crear ningun campo magnetico.

19. Una superficie conductora, en la que hay una densidad de corriente ~j, separa dos medios diferentes. Indicarque afirmacion es cierta:

(a) La componente normal del campo magnetico ~B es continua e igual en ambos medios.

(b) La componente normal del campo magnetico ~B es discontinua en la superficie y su discontinuidad es|~jN |.

(c) La componente normal del campo magnetico ~B es discontinua en la superficie y su discontinuidad es

|~jN |µ0

.

(d) La componente normal del campo magnetico ~B es discontinua en la superficie y su discontinuidad esµ0|~jN |.

20. Una esfera construida con un material dielectrico tiene una densidad de carga por unidad de volumen ρ yun radi R. Indicar que afirmacion es cierta

(a) En r = R la componente normal del vector desplazamiento es continua.

(b) En r = R la componente normal del vector desplazamiento es discontinua.

(c) En r < R el vector desplazamiento es nulo.

(d) En r < R no se puede definir el vector deplazamiento.

Respostes al Test. Examen Final

Permutacio

Preg. 0 1 2 3 4

1 a a b b d

2 a d a a c

3 a a d c c

4 a b d c c

5 a c b c b

6 a a b a a

7 a c b b a

8 a b a a c

9 a b b b b

10 a d d a c

11 a c d d b

12 a d a b a

13 a b c c d

14 a b a b d

15 a b d b b

16 a a b c a

17 a d c d b

18 a d a a c

19 a b d b d

20 a b c b b