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Física 2 Física 2 ELETRICIDADE E MAGNETISMO Jaime E. Villate

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  • Fsica 2Fsica 2ELETRICIDADE E MAGNETISMO

    Jaime E. Villate

  • Fsica 2. Eletricidade e Magnetismo

    Jaime E. VillateFaculdade de Engenharia

    Universidade do Porto

  • http://www.villate.org/livros

    Fsica 2. Eletricidade e MagnetismoCopyright c 2009-2012 Jaime E. VillateE-mail: [email protected]

    Verso: 8 de setembro de 2012

    ISBN: 978-972-99396-2-4

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  • Contedo

    Prefcio vii

    Lista de smbolos e notaes ix

    1. Carga e fora eltrica 11.1. Estrutura atmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Eletrizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Propriedades da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Fora entre cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Campo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Condutores e Isoladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Carga por induo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2. Potencial, corrente e fora eletromotriz 152.1. Potencial eletrosttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Pilhas qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Fora eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Condutores e semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Corrente eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Potencial e campo nos condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7. Potncia eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3. Resistncia eltrica 333.1. Caratersticas tenso-corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Caraterstica de uma bateria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Cdigo de cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5. Resistividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6. Supercondutividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7. Associaes de resistncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  • iv Contedo

    4. Condensadores 494.1. Capacidade de um condutor isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2. Esfera condutora isolada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.3.1. Condensador plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2. Ultracondensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.4. Energia eltrica armazenada num condensador . . . . . . . . . . . . . . . 574.5. Associaes de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5. Circuitos de corrente contnua 635.1. Diagramas de circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2. Leis dos circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3. Mtodo das malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4. Princpio de sobreposio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5. Circuitos com condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    6. Campo eltrico 796.1. Campo eltrico produzido por cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . 806.2. Propriedades das linhas de campo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3. Fluxo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4. Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    6.4.1. Campo de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.2. Campo de um fio retilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4.3. Campo de uma esfera condutora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    7. Potencial eletrosttico 937.1. Potencial e campo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2. Potencial devido a cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3. Superfcies equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.4. Pontos crticos do potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.5. Potencial e energia eletrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.6. Potencial nos condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    7.6.1. Potencial de uma esfera condutora . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    8. Campo magntico 1078.1. Fora magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

  • Contedo v

    8.2. Fora magntica sobre condutores com corrente . . . . . . . . . . . . . . 1108.3. Momento magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.4. Fora magntica sobre partculas com carga . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.5. Campo magntico de um fio com corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.6. Fora entre condutores com corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    9. Induo eletromagntica 1239.1. Campo eltrico induzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.2. Gerador de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3. Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.4. Gerador de tenso alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.5. Indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.6. Autoinduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.7. Circuitos de corrente contnua com indutores . . . . . . . . . . . . . . . 133Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    10.Processamento de sinais 13910.1. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.2. Equaes diferenciais dos circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.3. Unidades de tempo e frequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.4. Impedncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.5. Associaes de impedncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.6. Funo de transferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    11.Circuitos de corrente alternada 15911.1. Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.2. Funes sinusoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.3. Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.4. Tenso alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.5. Impedncia complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.6. Potncia dissipada nos circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.7. Filtros de frequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.8. Ressonncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    12.Ondas eletromagnticas e luz 17912.1. Equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.2. Campos induzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

  • vi Contedo

    12.3. Campo eletromagntico no vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.4. Ondas planas polarizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.5. Ondas harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18812.6. Espetro eletromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.7. Teoria ondulatria da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.8. Teoria corpuscular da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.9. Dodos emissores de luz (LED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    A. Transformadas de Laplace 199A.1. Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    A.1.1. Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200A.1.2. Derivada da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200A.1.3. Transformada da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200A.1.4. Deslocamento na frequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200A.1.5. Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    A.2. Transformadas de funes importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A.2.1. Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A.2.2. Funes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202A.2.3. Funes sinusoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202A.2.4. Impulso unitrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    B. Constantes e dados numricos 205

    C. Crditos fotogrficos 207

    Respostas das perguntas e problemas 209

    Bibliografia 219

    ndice 221

  • Prefcio

    O objetivo deste manual preparar os estudantes para que possam compreender o funciona-mento dos dispositivos eltricos e eletrnicos com que so confrontados na sua experinciaquotidiana e os que venham a aparecer no futuro.

    Este livro foi escrito como texto de apoio para a disciplina de Fsica 2, do segundoano do Mestrado Integrado em Engenharia Informtica e Computao, na Faculdade deEngenharia da Universidade do Porto.

    Durante vrios anos tenho lecionado um semestre de Eletromagnetismo, para alunos dosegundo ano de Engenharia. Nos ltimos anos temos introduzido algumas alteraes noprograma, para se enquadrar melhor com os novos programas do Ensino Secundrio eos novos planos de estudo do Mestrados Integrados em Engenharia. Uma abordagemabstrata, baseada no estudo das equaes de Maxwell, j no se enquadra dentro dessesnovos planos de estudo.

    Por outra parte, a mudana rpida na tecnologia implica que alguns tpicos perdeminteresse e outros tornam-se mais importantes. Por exemplo, os livros tradicionais de FsicaUniversitria costumam abordar o funcionamento de um tubo de raios catdicos, mas nofalam dos cristais lquidos nem dos LED. Na poca em que foram escritos, os cristaislquidos e os LED provavelmente j tinham sido inventados mas no estavam a ser usadoscomercialmente, enquanto que qualquer aluno estaria familiarizado com o tubo de raioscatdicos do televisor. Hoje em dia a situao diferente; cada vez mais difcil encontrarmonitores ou televisores com tubos de raios catdicos, mas estamos rodeados de ecrs decristais lquidos (LCD) e dodos emissores de luz (LED). Tornou-se muito mais importantefalar de cristais lquidos e dodos emissores de luz do que o tubo de raios catdicos.

    Na sequncia da disciplina de Fsica 1, em que so usadas de forma intensiva as ferra-mentas de software, aqui tambm feito algum uso moderado do Sistema de lgebraComputacional Maxima e so usados alguns conceitos simples de sistemas dinmicos.

    Nos quatro primeiros captulos feita uma introduo eletrosttica e eletricidade deforma prtica. O captulo 5 sobre teoria de circuitos de corrente contnua. Nos captulos6 e 7 so estudados o campo e o potencial eltrico de forma mais geral. Os captulos 8 e 9esto dedicados ao campo magntico e a induo eletromagntica. Os captulos 10 e 11so tambm sobre teoria de circuitos, mas com tenses variveis. No captulo 10 feitauma introduo ao processamento de sinais e no captulo 11 so estudados os circuitos decorrente alternada e os filtros de frequncias. Finalmente, no captulo 12 so estudadas asondas eletromagnticas e a dualidade onda-partcula da luz.

    Nesta edio de 8 de setembro de 2012 foi dada uma maior nfase teoria de circuitos, com

  • viii Prefcio

    mais exemplos e problemas, e com vrias novas sees: mtodo de sobreposio, clculode correntes e cargas iniciais e finais nos circuitos de corrente contnua com condensadorese indutores e circuito LC. Para que o material do livro possa ser abordado num semestre,foi preciso eliminar outras sees: dodos e motores de corrente contnua.

    Foram tambm eliminadas as sees das atividades prticas no incio de cada captulo.Algumas dessas atividades foram integradas no texto do captulo ou em algum exemplo.Essas propostas de atividades prticas sero distribudas em outro documento separado.

    Devo agradecer os meus alunos pela sua valiosa ajuda na correo de muitos erros egralhas e pelo seu entusiasmo e interesse que tm sido fonte de inspirao para escrevereste livro. So muitos alunos para indicar todos os seus nomes aqui. Agradeo tambm aosmeus colegas com quem temos leccionado as disciplinas de Fsica 1 e 2, Joo Carvalho eFrancisco Salzedas.

    Jaime E. VillatePorto, 8 de setembro de 2012.

  • Lista de smbolos e notaes

    A,B . . . pontos no espao, curvas, superfcies e slidosA,B . . . fasores

    A,B . . .a,b . . . unidades~A,~B . . .~a,~b . . . vetoresA,B . . .a,b . . . variveis, funes ou mdulos dos respetivos vetores

    dd t

    derivada ordinria

    t

    derivada parcial

    f , f . . . derivadas da funo f de uma varivelf ou L{ f} transformada de Laplace da funo f

    f valor mdio da funo ffef valor eficaz da funo peridica f

    fmx valor mximo da funo sinusoidal f~a ~b produto escalar entre vetoresab produto entre unidades

    ~a~b produto vetorial entre vetores3.52.4 produto entre nmeros

    A rea de uma superfcieA ampere (unidade SI de corrente)~a vetor acelerao~B campo magnticoC capacidade eltricaC coulomb (unidade SI de carga)c velocidade da luzc prefixo centi (102)d distnciad prefixo deci (101)~E campo eltricoe carga elementare nmero de Euler (base dos logaritmos naturais)

    ~ex,~ey,~ez versores cartesianos nos eixos x, y e z~en versor normal a uma superfcie

  • x Lista de smbolos e notaes

    Emx rigidez dieltricaeV eletro-volt (unidade de energia)~F foraF farad (unidade SI de capacidade)f frequncia

    G gauss (unidade de campo magntico) ou prefixo giga (109)~g campo gravticog grama (unidade de massa)

    H funo de transfernciaH henry (unidade SI de indutncia)h constante de Planckh hora (unidade de tempo)

    Hz hertz (unidade SI de frequncia)I corrente eltricai nmero imaginrio

    1J joule (unidade SI de trabalho e energia)

    K constante dieltricaK kelvin (unidade SI de temperatura)k constante de Coulombk prefixo quilo (103)

    km constante magnticaL indutncia ou comprimento

    M indutncia mtuaM prefixo mega (106)~m momento magnticom massam metro (unidade SI de comprimento) ou prefixo mili (103)N newton (unidade SI de fora)n prefixo nano (109)P potnciap prefixo pico (1012)

    Q ou q cargar ou R resistncia ou raio

    R funo resposta de frequncia~r vetor posios distncia percorrida ou parmetro das transformadas de Laplaces segundo (unidade SI de tempo)

    T perodo de uma onda harmnica ou temperaturaT tesla (unidade SI de campo magntico)t tempo

    tC, tL constantes de tempoUe energia potencial eletrostticaUg energia potencial gravtica

  • xi

    V potencialV volt (unidade SI de potencial)~v vetor velocidade

    W watt (unidade SI de potncia)X reatncia

    x,y,z coordenadas cartesianasZ impedncia coeficiente de temperatura aumento de uma grandeza fsica fora eletromotriz fora contra-eletromotrize fluxo eltricoe fluxo magntico fase inicial carga linear ou comprimento de onda permeabilidade magntica prefixo micro (106)pi valor em radianos de um ngulo de 180 carga volmica ou resistividade carga superficial~ torque velocidade angular ou frequncia angular ohm (unidade SI de resistncia) grau (unidade de ngulo)C grau Celsius (unidade de temperatura)

  • 1. Carga e fora eltrica

    A fotografia mostra a mquina de Wimshurst, inventada na dcada de 1880. J no sculoXVIII existiam outras mquinas eletrostticas usadas para gerar cargas eletrostticas,usando o atrito; a inovao introduzida pela mquina de Wimshurst foi a separaode cargas usando induo eletrosttica, em vez de atrito, conseguindo assim produzircargas muito mais elevadas por meios mecnicos. H muitos mecanismos envolvidos nofuncionamento da mquina de Wimshurst, que sero estudados nos prximos captulos:garrafa de Leiden, rigidez dieltrica, etc.

  • 2 Carga e fora eltrica

    A transferncia de cargas eltricas um fenmeno que est presente na nossa experinciaquotidiana, especialmente nos dias em que o ar est mais seco. Uma forma fcil devisualizar esse fenmeno usando fita-cola. Cole aproximadamente 15 cm de fita-colanum lpis ou caneta, de forma a que, segurando no lpis, possa aproximar a fita-cola deoutros objetos para observar a fora entre a fita-cola e os objetos. Aproxime a fita-colasempre pelo lado que no tem cola, para evitar que fique colada, e tente evitar que toqueoutros objetos, para no perder a carga acumulada nela.

    Figura 1.1.: Fora repulsiva entre pedaos de fita cola com cargas do mesmo sinal, e foraatrativa entre pedaos com cargas de sinais opostos.

    Comece por observar a fora entre a fita-cola e outros objetos. O acetato do qual feito afita-cola adquire cargas eltricas facilmente. O simples facto de descolar um pedao dorolo, faz com que fique com alguma carga; outros objetos, como a mesa, um caderno, etc.,geralmente no tm qualquer carga eltrica.

    Para observar a fora entre diferentes cargas eltricas, cole dois pedaos de fita cola mesa, cada um colado a um lpis que permita puxar a fita-cola, descolando-la da mesa e aseguir colocar o lpis por baixo dum livro na borda da mesa, ficando a fita-cola penduradalivremente para poder aproximar outros objetos dela. Observe a fora entre os dois pedaos.

    Repita a experincia com quatro pedaos de fita-cola, dois deles colados mesa, e outrosdois colados por cima dos primeiros. Para cada par de pedaos, descole o conjunto damesa, enquanto descola os dois pedaos entre si. Em cada par de pedaos, o que estava porcima e o que estava por baixo ficam com cargas opostas (positiva ou negativa). Observe asforas entre as pedaos com cargas do mesmo sinal ou de sinais opostos. Observe tambma fora entre os pedaos de fita-cola com carga positiva ou negativa, e outros objetos semcarga.

    1.1. Estrutura atmica

    Toda a matria formada por tomos. Cada tomo tem um ncleo com dois tipos departculas, protes e neutres, muito perto uns dos outros. Entre os protes existe uma

  • 1.1 Estrutura atmica 3

    fora repulsiva designada de fora eltrica. Entre neutres no existe esse tipo de fora, eentre um neutro e um proto tambm no.

    Figura 1.2.: tomo de Hlio com dois eletres e dois protes mais dois neutres noncleo.

    volta do ncleo existem partculas muito mais pequenas, os eletres, com massa 2 000vezes menor que a do proto ou neutro, a uma distncia aproximadamente 100 000 maiorque o tamanho do ncleo. Entre dois eletres observa-se uma fora eltrica repulsiva damesma natureza e grandeza que a fora entre dois protes. Entre um proto e um eletroexiste tambm uma fora semelhante, da mesma grandeza, contudo, atrativa em vez derepulsiva. Por tanto, existem dois tipos diferentes de carga eltrica, a dos protes e a doseletres; a fora entre cargas semelhantes repulsiva, enquanto que a fora entre cargasdiferentes atrativa.

    Um tomo com igual nmero de protes e de eletres (tomo neutro) no produz foraseltricas sobre outras partculas. Consequentemente, as duas cargas tm sido designadasde positiva e negativa; o facto de que as foras entre eletres ou protes tenham a mesmaintensidade, devido a que a carga de um eletro, exatamente igual do proto, emvalor absoluto, mas com sinal oposto. A carga total nula de um tomo neutro , por tanto,consequncia de que a soma das cargas dos eletres e protes seja nula. A convenoque foi adoptada historicamente que os eletres tm carga negativa e os protes cargapositiva.

    A unidade usada para medir a carga o coulomb, indicado com a letra C. A carga dequalquer proto sempre igual e designada de carga elementar:

    e = 1.6021019 C (1.1)

    os eletres tm tambm todos a mesma carga, exatamente igual a e.

  • 4 Carga e fora eltrica

    1.2. Eletrizao

    preciso uma energia muito elevada para conseguir remover um proto, ou neutro, doncleo. Isso s acontece no interior das estrelas, na camada mais externa da atmosfera,onde chocam partculas csmicas com muita energia, ou nos aceleradores de partculas,onde os fsicos conseguem reproduzir as energias no interior de uma estrela. No entanto, mais fcil extrair eletres de um tomo, ficando um io positivo, com excesso de protes,ou transferir mais eletres para um tomo neutro, ficando um io negativo, com excesso deeletres.

    Seda

    Vidro

    +

    +

    +

    +

    +

    Figura 1.3.: Barra de vidro carregada esfregando-a com um pano de seda.

    De facto, sempre que dois objetos diferentes entram em contato muito prximo, passameletres dos tomos de um dos objetos para o outro. O objeto que for mais susceptvel aperder eletres ficar eletrizado com carga positiva (n protes a mais) e o objeto que formenos susceptvel a perder os seus eletres ficar com a mesma carga, mas negativa (neletres a mais).

    No caso da fita-cola, o contato prximo com outros objetos, devido cola, faz passareletres de um para o outro. A frio entre dois objetos faz tambm aumentar a passagemde eletres de um objeto para o outro, sendo usada como mtodo para eletrizar objetos. Osdiferentes materiais podem ser ordenados numa srie triboeltrica (tabela 1.1), em que osmateriais no topo da srie so mais susceptveis a ficar com carga positiva e os materiaisno fim da lista tm uma maior tendncia a ficar com carga negativa.

    Por exemplo, se uma barra de vidro for esfregada com um pano de seda, a barra ficacarregada com carga positiva e a seda com carga negativa, porque o vidro est por cima daseda na srie triboeltrica. Mas se a mesma barra de vidro for esfregada com uma pelede coelho, a barra fica com carga negativa, e a pele com carga positiva, porque a pele decoelho est por cima do vidro na srie triboeltrica.

  • 1.3 Propriedades da carga 5

    Tabela 1.1.: Srie triboeltrica.

    Pele de coelhoVidroCabelo humanoLChumboSedaAlumnioPapelMadeiraCobrePrataBorrachaAcetatoEsferoviteVinil (PVC)

    1.3. Propriedades da carga

    A carga eltrica uma propriedade intrnseca da matria, assim como a massa. A diferenada massa, existem dois tipos de cargas diferentes e existem partculas sem nenhuma carga.Duas propriedades muito importantes da carga eltrica so a sua quantizao e a suaconservao.

    Quantizao da carga. Nas colises entre partculas a altas energias so produzidasmuitas outras novas partculas, diferentes dos eletres, protes e neutres. Todas aspartculas observadas tm sempre uma carga que um mltiplo inteiro da carga elementare (equao 1.1). Assim, a carga de qualquer objeto sempre um mltiplo inteiro da cargaelementar.

    Nas experincias de eletrosttica, as cargas produzidas so normalmente equivalentes a umnmero muito elevado de cargas elementares. Por tanto, nesse caso uma boa aproximaoadmitir que a carga varia continuamente e no de forma discreta.

    Conservao da carga. Em qualquer processo, a carga total inicial igual carga final.No caso dos fenmenos em que existe transferncia de eletres entre os tomos, isso claroque tenha que ser assim. No caso da criao de novas partculas no teria que ser assim,mas de facto em todos os processos observados nos raios csmicos, e nos aceleradoresde partculas, existe sempre conservao da carga; se uma nova partcula for criada, comcarga negativa, ser criada uma outra partcula com carga positiva.

  • 6 Carga e fora eltrica

    1.4. Fora entre cargas pontuais

    No sculo XVIII Benjamin Franklin descobriu que as cargas eltricas colocadas na superf-cie de um objeto metlico podem produzir foras eltricas elevadas nos corpos no exteriordo objeto, mas no produzem nenhuma fora nos corpos colocados no interior.

    No sculo anterior Isaac Newton j tinha demonstrado de forma analtica que a foragravtica produzida por uma casca oca nula no seu interior. Esse resultado consequnciada forma como a fora gravtica entre partculas diminui em funo do quadrado dadistncia.

    Concluiu ento Franklin que a fora eltrica entre partculas com carga deveria ser tambmproporcional ao inverso do quadrado da distncia entre as partculas. No entanto, umadiferena importante entre as foras eltrica e gravtica que a fora gravtica sempreatrativa, enquanto que a fora eltrica pode ser atrativa ou repulsiva:

    A fora eltrica entre duas cargas com o mesmo sinal repulsiva. A fora eltrica entre duas cargas com sinais opostos atrativa.

    Vrios anos aps o trabalho de Franklin, Charles Coulomb fez experincias para estudarcom preciso o mdulo da fora eletrosttica entre duas cargas pontuais1

    q1 q2r

    Figura 1.4.: Duas cargas pontuais, separadas por uma distncia r.

    A lei de Coulomb estabelece que o mdulo da fora eltrica entre duas cargas pontuais diretamente proporcional ao valor absoluto de cada uma das cargas, e inversamenteproporcional distncia ao quadrado

    F =k|q1||q2|

    K r2(1.2)

    onde r a distncia entre as cargas (figura 1.4), q1 e q2 so as cargas das duas partculas,k uma constante de proporcionalidade designada de constante de Coulomb, e K aconstante dieltrica do meio que existir entre as duas cargas. A constante dieltrica dovcuo exatamente igual a 1, e a constante do ar muito prxima desse valor; assim, seentre as cargas existir ar, K pode ser eliminada na equao 1.2. No sistema internacionalde unidades, o valor da constante de Coulomb :

    k = 9109 N m2

    C2(1.3)

    Outros meios diferentes do ar tm constantes dieltricas K sempre maiores que o ar;consequentemente, a fora eltrica ser mais fraca se as cargas pontuais forem colocadasdentro de um meio diferente do ar.

    1Uma carga pontual uma distribuio de cargas numa pequena regio do espao.

  • 1.4 Fora entre cargas pontuais 7

    Exemplo 1.1Trs cargas pontuais esto ligadas por fios que formam um tringulo retngulo, comomostra a figura. (a) Calcule a tenso no fio que liga as cargas de 7.4 nC e 9.3 nC. (b) Se acarga de 5.6 nC fosse retirada, a tenso calculada na alnea a aumentava ou diminua?

    5.6 nC 9.3 nC

    7.4 nC

    1 cm

    1.5 cm

    Resoluo. (a) O diagrama de foras sobre a partcula de carga 7.4 nC (designada departcula nmero 3)

    F13 F23

    T13T23

    onde ~F13 e ~F23 so as foras eletrostticas produzidas pelas partculas 1 e 2, de cargas9.3 nC e 5.6 nC, respetivamente, e ~T13, ~T23 so as tenses nos fios que ligam a partcula 3a essas duas cargas. Para que a partcula permanea em equilbrio necessrio que:

    F13 = T13 F23 = T23

    Antes de fazer as contas, conveniente escrever o valor da constante k nas unidades usadasno problema (nC e cm):

    k = 9109 N m2

    C2= 9109 10

    6 N104 cm21018 nC2

    = 90N cm2

    nC2

    Assim, admitindo ar volta das cargas, a tenso no fio que liga as cargas 1 e 3 :

    T13 = F13 =k |q1| |q3|

    r2=

    907.49.312+1.52

    N = 1.9 mN

    (b) O valor da tenso permanece igual, pois como mostramos na alnea anterior, T13 nodepende da fora F23 produzida pela partcula de 5.6 nC.

  • 8 Carga e fora eltrica

    1.5. Campo eltrico

    Uma forma diferente de explicar a fora eletrosttica entre duas partculas com cargaconsiste em admitir que cada carga eltrica cria sua volta um campo de foras que atuasobre outras partculas com carga. Se colocarmos uma partcula com carga q0 num pontoonde existe um campo eltrico, o resultado ser uma fora eltrica ~F ; o campo eltrico ~Edefine-se como a fora por unidade de carga:

    ~E =~Fq0

    (1.4)

    Consequentemente, o campo eltrico num ponto um vetor que indica a direo e o sentidoda fora eltrica que sentiria uma carga unitria positiva colocada nesse ponto.

    De forma inversa, se soubermos que num ponto existe um campo eltrico ~E, podemoscalcular facilmente a fora eltrica que atua sobre uma partcula com carga q, colocadanesse stio: a fora ser ~F = q~E. Precisamos apenas de conhecer o campo para calcular afora; no temos de saber quais so as cargas que deram origem a esse campo. No sistemaSI, o campo eltrico tem unidades de newton sobre coulomb (N/C).

    Como vimos, a fora eltrica produzida por uma carga pontual positiva Q sobre umasegunda carga de prova q0 positiva sempre uma fora repulsiva, com mdulo que diminuiproporcionalmente ao quadrado da distncia. Assim, O campo eltrico produzido por umacarga pontual positiva Q so vetores com direo e sentido a afastar-se da carga, como semostra no lado esquerdo da figura 1.5.

    Q

    q0F

    r

    E

    Q

    E

    Figura 1.5.: Campo eltrico produzido por uma carga pontual positiva Q e representaodo campo usando linhas de campo.

    Uma forma mais conveniente de representar esse campo vetorial consiste em desenharalguma linhas de campo, como foi feito no lado direito da figura 1.5. Em cada ponto, alinha de campo que passa por esse ponto aponta na direo do campo. O mdulo do campo maior nas regies onde as linhas de campo esto mais perto umas das outras.

  • 1.5 Campo eltrico 9

    Para calcular o valor do campo eltrico produzido pela carga pontual Q num ponto, coloca-se uma carga de prova q0 nesse ponto e divide-se a fora eltrica pela carga q0. Usando alei de Coulomb, equao 1.2, obtemos o mdulo do campo eltrico produzido pela cargaQ:

    E =k |Q|

    r2(1.5)

    onde r a distncia desde a carga Q, que produz o campo, at o ponto onde se calcula ocampo. O sinal da carga Q indicar si o campo repulsivo (Q > 0) ou atrativo (Q < 0).

    O campo eltrico criado por uma nica carga pontual muito fraco para ser observado.Os campos que observamos mais facilmente so criados por muitas cargas; seria precisosomar vetorialmente todos os campos de cada carga para obter o campo total. No captulo6 retomaremos esse assunto; por enquanto, estaremos mais preocupados em estudar osefeitos produzidos pelo campo eltrico.

    As linhas de campo eltrico produzidas por um sistema de muitas cargas j no sero retas,como na figura 1.5, mas podero ser curvas, como no exemplo da figura 1.6.

    Figura 1.6.: Exemplo de um campo eltrico representado pelas linhas de campo.

    Exemplo 1.2A fora sobre uma carga de prova de 5 nC, num determinado ponto igual a 2104 Ne tem a direo do eixo dos x. Calcule o campo eltrico nesse ponto. Qual seria a forasobre um eletro no mesmo ponto?

    Resoluo. A partir da fora calcula-se o campo:

    ~E =~Fq0

    =2104

    5~ex

    (NnC

    )= 4104~ex

    (NC

    )A fora sobre um eletro no mesmo ponto seria:

    ~F =e~E =1.6010194104~ex =6.41015~ex (N)

  • 10 Carga e fora eltrica

    1.6. Condutores e Isoladores

    Em alguns materiais, como nos metais, o eletro mais externo em cada tomo livre de semovimentar pelo material; existe assim uma nuvem muito densa de eletres (eletres deconduo), com densidade constante se o material for homogneo. Esse tipo de material designado de condutor.Se o condutor for colocado numa regio onde existe campo eltrico, como a nuvemeletrnica tem carga negativa, desloca-se em sentido oposto s linhas de campo. Assim,acumulam-se eletres num extremo, ficando com excesso de carga negativa, e no extremooposto aparece uma carga do mesmo valor mas com sinal positivo (falta de eletres).Essa acumulao de cargas no condutor cria um campo interno oposto ao campo externo;quando os dois campos se anularem, o movimento da nuvem eletrnica cessar.

    No lado esquerdo da figura 1.7 mostra-se o que acontece quando aproximamos uma barra,com carga positiva, a uma esfera condutora isolada. A nuvem eletrnica aproxima-seda barra. Se a barra tivesse carga negativa, a nuvem eletrnica afastava-se dela. Nosdois casos, o resultado a induo de carga de sinal oposto perto da barra, e carga domesmo sinal na regio mais afastada da barra. A carga total da esfera continua a ser nula.Se a esfera no estivesse sobre um suporte isolador, as cargas do mesmo sinal da barraabandonavam a esfera, passando atravs do suporte para a terra.

    + ++

    ++++

    ++++

    +++

    Figura 1.7.: Efeito de uma barra com carga sobre uma esfera condutora (esquerda) e umaesfera isoladora (direita).

    Nos materiais isoladores, os eletres esto ligados a cada tomo. Quando uma cargaexterna colocada perto do material, os eletres e protes de cada tomo deslocam-sena direo das linhas de campo mas em sentidos opostos, sem sair do tomo. Assimcada tomo deforma-se criando um pequeno dipolo eltrico; nomeadamente, um sistemacom carga total nula, mas com as cargas positivas e negativas separadas por uma pequenadistncia.

    O lado direito da figura 1.7 mostra a deformao de alguns dos tomos de uma esferaisoladora, quando aproximada uma barra com carga positiva. Independentemente dosinal da carga da barra, em cada tomo as cargas de sinal oposto s carga da barra estaromais perto da barra e a as cargas do mesmo sinal estaro mais afastadas; portanto, a fora

  • 1.7 Carga por induo 11

    resultante da carga externa sobre cada tomo neutro ser sempre atrativa, independente-mente do sinal da carga externa. Assim, um material isolador sempre atrado por umobjeto externo com carga, independentemente do sinal dessa carga.

    1.7. Carga por induo

    Um mtodo usado para carregar dois condutores isolados, ficando com cargas idnticasmas de sinais opostos, o mtodo de carga por induo ilustrado na figura 1.8.

    Os dois condutores isolados so colocados em contato. A seguir aproxima-se um objetocarregado, como se mostra na figura 1.8. O campo eltrico produzido pelo objeto carregadoinduz uma carga de sinal oposto no condutor que estiver mais prximo, e uma cargado mesmo sinal no condutor que estiver mais afastado. A seguir, separam-se os doiscondutores mantendo o objeto carregado na mesma posio. Finalmente, retira-se o objetocarregado, ficando os dois condutores carregados com cargas opostas; em cada condutor ascargas distribuem-se pela superfcie, devido repulso entre elas, mas as cargas dos doiscondutores j no podem recombinar-se por no existir contato entre eles.

    + ++

    ++++

    +++

    ++++

    +

    + +

    Figura 1.8.: Procedimento usado para carregar dois condutores com cargas iguais mas desinais opostos.

    Na mquina de Wimshurst, usa-se esse mtodo para separar cargas de sinais opostos. Oscondutores que entram em contato so duas pequenas lminas metlicas diametralmenteopostas sobre um disco isolador, quando passam por duas escovas metlicas ligadas a umabarra metlica (figura 1.9). As duas lminas permanecem em contato apenas por algunsinstantes, devido a que o disco roda.

    Se no momento em que duas das lminas de um disco entram em contato uma lminado disco oposto estiver carregada, essa carga induzir cargas de sinais opostos nas duaslminas que entraram em contato. Essas cargas opostas induzidas em duas regies do discoinduzem tambm cargas no disco oposto, porque nesse disco tambm h uma barra queliga temporariamente as lminas diametralmente opostas.

    Em cada disco, aps induzirem cargas no disco oposto, as cargas saltam para dois coletoresligados a duas garrafas metlicas; uma das garrafas armazena carga positiva e a outra

  • 12 Carga e fora eltrica

    Figura 1.9.: Mquina de Wimshurst.

    carga negativa. Quando as cargas acumuladas nas garrafas forem elevadas produz-se umadescarga eltrica entre as pontas de duas barras ligadas s garrafas, ficando descarregadas.Essa descarga eltrica um pequeno trovo com uma fasca bastante luminosa.

    Os dois discos rodam em sentidos opostos e as duas barras que estabelecem o contato emcada disco e os dois coletores esto colocados de forma a que na rotao de cada lmina nodisco, primeiro seja induzida uma carga que a seguir induz carga oposta no disco oposto elogo passe para o coletor, ficando descarregada e pronta para iniciar outro ciclo.

    A cada ciclo as cargas induzidas aumentam, porque cada lmina induzida pelas cargas devrias lminas no disco oposto. Para iniciar o processo basta com que uma das lminastenha acumulado alguma pequena carga por contato com outro corpo como, por exemplo,o ar volta. A localizao inicial dessa lmina com carga determinar qual das garrafasacumula carga positiva e qual negativa.

  • 1.7 Carga por induo 13

    Perguntas

    1. Uma barra com carga positiva colocadaperto de uma folha de papel com carganula. A fora sobre o papel ser:

    A. Atrativa.

    B. Repulsiva.

    C. Nula.

    D. Depender da barra ser condutora ouisoladora.

    E. Atrativa se o papel estiver seco ounula se estiver hmido.

    2. O que faz com que um condutor eltricoseja diferente de um isolador :

    A. Ter mais eletres do que protes.

    B. Ter mais protes do que eletres.

    C. Ter mais eletres do que o isolador.

    D. Ter molculas que se deformam maisfacilmente.

    E. Ter alguns eletres livres.

    3. Trs cargas so colocadas sobre o eixo x:q1 =6.0 C, em x =2.0 m,q2 =+4.0 C, em x = 0,q3 =6.0 C, em x =+2.0 m.Calcule o mdulo da fora sobre q3.

    A. 2.4102 NB. 1.7102 NC. 0

    D. 2.7102 N

    E. 3.4102 N4. Temos trs esferas condutoras, isoladas,

    idnticas, uma delas com carga Q e asoutras duas sem carga. Se as 3 esferasforem colocadas em contato, cada umadelas tocando as outras duas, e a seguirforem separadas:

    A. Todas ficam sem carga.

    B. Cada uma delas fica com carga Q.

    C. Duas delas ficam com carga Q/2 eoutra com carga Q/2.

    D. Cada uma delas fica com carga Q/3.

    E. Uma delas fica com carga Q e outracom carga Q.

    5. Uma esfera metlica montada num su-porte isolador liga-se terra com um fiocondutor e a seguir aproxima-se da esferauma barra de plstico com carga positiva.A ligao da esfera a terra retirada e aseguir afasta-se a barra de plstico. Comque carga fica a esfera metlica?

    A. Nula.

    B. Positiva.

    C. Negativa.

    D. Diferente de zero, mas no possvelsaber o sinal.

    E. Positiva num extremo e negativa noextremo oposto.

  • 14 Carga e fora eltrica

    Problemas

    1. Quando uma lmina de acetato, eletrizada por frio, se aproxima a 1 cm de pequenospedaos de papel sobre uma mesa, estes ascendem colando-se ao acetato. Cada pedaode papel aproximadamente um quadrado com 0.5 cm de lado, cortados de uma folhade papel de 80 g/m2. Faa uma estimativa da ordem de grandeza da carga do acetato,admitindo que uma carga idntica e de sinal oposto induzida em cada pedao de papel.

    2. Duas cargas q1 e q2 tm a carga total q1 + q2 = 10 C. Quando esto afastadas 3 mentre si, o mdulo da fora exercida por uma das cargas sobre a outra 24 mN. Calculeq1 e q2, se: (a) Ambas forem positivas. (b) Uma for positiva e a outra for negativa.

    3. Admita que, num tomo de hidrognio, a distncia entre o proto no ncleo e o eletro de 5.31011 m. Calcule o campo eltrico devido ao ncleo, no ponto onde est oeletro.

    4. O campo eltrico na atmosfera terrestre da ordem dos 150 N/C e dirigido para ocentro da Terra. Calcule a relao entre o peso de um eletro e o mdulo da fora eltricaoposta exercida pelo campo eltrico da atmosfera (a massa do eletro encontra-se noapndice B e admita que a acelerao da gravidade 9.8 m/s2).

    5. Trs cargas pontuais esto ligadas por dois fios isoladores de 2.65 cm cada um (verfigura). Calcule a tenso em cada fio.

    3.2 nC 5.1 nC 7.4 nC

    6. Entre duas placas paralelas de cargas opostas existe um campo eltrico uniforme.Um eletro libertado na superfcie da placa carregada negativamente ser aceleradouniformemente, a partir do repouso, em direo da placa carregada positivamente (opeso do eletro pode ser desprezado em comparao com a fora eltrica e admitimosque as placas encontram-se dentro de um tubo com vcuo). Sabendo que a distnciaentre as placas de 2.0 cm e que cada eletro libertado demora 15 s at atingir a placapositiva, calcule: (a) o mdulo do campo eltrico (a massa do eletro encontra-se noapndice B) e (b) a velocidade com que os eletres batem na placa positiva.

    7. Um sistema de trs cargas pontuais est em equilbrio (a fora eletrosttica sobre cadacarga zero). Sabendo que duas das cargas so q e 2q, separadas por uma distncia d,calcule o valor e a posio da terceira carga.

    8. Calcule a fora eltrica resultante que atua sobre cada uma das cargas representadas nafigura, e o campo eltrico produzido pelas 3 cargas no ponto P.

    1 cm

    1 cm

    5 nC 9 nC

    7 nC

    1 cm

    3 cm

    P

  • 2. Potencial, corrente e foraeletromotriz

    Uma forma simples de sentir o efeito da corrente eltrica consiste em colocar uma colherpor baixo da lngua e um pedao de folha de alumnio por cima. Quando se junta a folha dealumnio colher, sente-se um sabor amargo na lngua, produzido pela passagem de cargaseltricas atravs da lngua. Esse fenmeno foi descoberto por Alessandro Volta, no fimdo sculo XVIII. importante que o metal da folha seja diferente do metal da colher; ascolheres so geralmente feitas de ao ou de prata. Na nossa lngua existem ies positivos enegativos; um dos metais ter uma maior tendncia a atrair os ies negativos e no outrometal os ies positivos sero atrados, criando um fluxo de cargas atravs dos dois metais.

    Volta reparou que o mesmo efeito podia ser obtido colocando dois metais diferentes, dentrode um lquido com uma soluo qumica. Algumas combinaes de metais produziammelhores resultados. Conseguiu intensificar mais o efeito colocando alternadamente vriosdiscos de cobre e de zinco, separados por discos de papel humedecidos com gua salgada;assim construiu a primeira pilha apresentada na foto acima.

  • 16 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    Neste captulo definiremos duas grandezas muito importantes em eletricidade, a diferenade potencial, ou simplesmente potencial, e a corrente eltrica. Para medir a diferenade potencial entre dois pontos num dispositivo, basta tocar nesses dois pontos com osdois terminais de um voltmetro. Se essa diferena de potencial no ultrapassar o valormximo que aceita o voltmetro, essa ser sempre uma operao segura e muito til paradiagnosticar problemas em algum dispositivo.

    Para medir a corrente eltrica usa-se um ampermetro. Igual que no caso do voltmetro, acorrente a ser medida no dever ultrapassar o valor mximo aceite pelo ampermetro. Oproblema neste caso que um bom ampermetro dever facilitar a passagem das cargas,para no interferir com o dispositivo onde queremos medir a corrente. Isso implica que seligssemos o ampermetro entre dois pontos de um dispositivo, todas as cargas passaropelo ampermetro, e no pelo dispositivo, j que encontraro um caminho mais livre atravsdo ampermetro. Ser produzida uma corrente muito elevada que queimar o ampermetro.

    Consequentemente, um ampermetro no deve ser manipulado livremente como umvoltmetro. Antes de aproximarmos os terminais do ampermetro ao dispositivo, serpreciso cortar o fluxo de carga no ponto onde vai ser medida a corrente e a seguirligar o ampermetro entre os dois pontos onde foi feito o corte do fluxo de carga. Assim,ser garantido que todas as cargas que passem pelo ampermetro tenham que passar pelodispositivo, que foi concebido para limitar o fluxo das cargas. Um multimetro combina asfunes de voltmetro e ampermetro num nico aparelho de medio

    2.1. Potencial eletrosttico

    As variveis (vetoriais) de estado de uma partcula, so a sua posio~r e a velocidade~v; oespao de fase tem seis dimenses: (x, y, z, vx, vy, vz). Uma partcula com massa m e cargaq, numa regio onde exista um campo gravtico~g e um campo eltrico ~E sofre uma foraresultante m~g+q~E. As suas equaes de movimento so:

    d~vd t

    =~g+qm~E

    d~rd t

    =~v (2.1)

    em que os campos~g e ~E so funes que dependem da posio~r. Essas duas equaes po-dem ser combinadas para eliminar o tempo e obter a relao entre a posio e a velocidade:

    ~v d~v =(~g+

    qm~E) d~r (2.2)

    As solues da equao 2.2 so as trajetrias no espao de fase, (~r,~v). Integrando os doislados da equao, desde um ponto inicial (~r0,~v0) at um ponto final (~r,~v) no espao defase e multiplicando pela massa m, obtm-se:

    12

    mv2 12

    mv20 = m~r

    ~r0

    ~g d~r+q~r

    ~r0

    ~E d~r (2.3)

    A expresso no lado esquerdo o aumento da energia cintica, e a expresso no ladodireito o trabalho realizado pelas foras gravtica e eltrica.

  • 2.1 Potencial eletrosttico 17

    Na Fsica 1 vimos que num campo gravtico uniforme, ~g = g~ey, o integral do campogravtico no depende do percurso de integrao, mas apenas das posies inicial e final,

    ~r~r0

    g~ey d~r = g(y0 y) (2.4)

    e a funo Ug = mgy define a energia potencial gravtica. Devido a que o campo gravtico conservativo, qualquer outro campo gravtico mais complicado tambm conduz a umintegral de linha que no depende do percurso usado e possvel associar a cada campogravtico uma funo escalar que multiplicada pela massa d a energia potencial.

    No caso do campo eltrico a situao anloga; os campo eletrostticos (campos eltricosque no variam com o tempo) so sempre conservativos e, portanto, para cada campoeletrosttico existe uma funo escalar V (x,y,z), que permite calcular o integral de linhado campo sem ser preciso saber o percurso de integrao:

    ~r~r0

    ~E d~r =V (x0,y0,z0)V (x,y,z) (2.5)

    A funo V designa-se potencial eletrosttico e a energia potencial eletrosttica :

    Ue = qV (2.6)

    Em funo das energias potenciais gravtica eletrosttica, a equao 2.2 a lei da conser-vao da energia mecnica:

    12

    mv2+Ue+Ug =12

    mv20+Ue0+Ug0 (2.7)

    No sistema internacional de unidades, a unidade do potencial eltrico V o joule sobrecoulomb, unidade essa que designada de volt e denota-se com a letra V:

    1 V = 1 J/C (2.8)

    Vimos no captulo anterior que a unidade SI do campo eltrico N/C, que pode ser escritocomo J/(mC); consequentemente, N/C equivalente a V/m e o campo eltrico pode serinterpretado como a diferena de potencial por unidade de comprimento.

    de salientar que, devido a que a carga q pode ser positiva ou negativa, a energia elet-rosttica Ue de uma partcula com carga negativa ser maior nos pontos onde o potencialfor menor, enquanto que as partculas com carga positiva tero maior energia nos pontosonde o potencial for maior. Consequentemente, a equao 2.7 implica que, dentro deum campo eltrico, as partculas com carga positiva so aceleradas para a regio commenor potencial e as partculas com carga negativa so aceleradas para a regio com maiorpotencial.

    A lei de conservao da energia mecnica s vlida para cargas que se deslocam novcuo. As cargas que se deslocam dentro de um material condutor, como um metal, oudentro de um isolador, como o ar, esto sujeitas a foras dissipativas que fazem diminuirrpidamente a energia mecnica, at a carga ficar em repouso.

  • 18 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    Exemplo 2.1Dentro de um tubo de vcuo h duas lminas condutoras paralelas. Uma das lminas feita dum material radioativo que emite radiao beta (eletres que saem dos ncleos).Para acelerar as partculas at outra lmina, liga-se uma diferena de potencial de 150 Ventre as lminas. Num dado instante emitida uma partcula beta com velocidade inicialde mdulo 300 m/s que acelerada at a outra lmina. (a) Calcule o modulo da velocidadecom que a partcula beta bate na segunda lmina. (b) Se a distncia entre as duas lminasfor 5 cm, calcule o mdulo do campo eltrico mdio entre elas.

    Resoluao. Como a carga das partculas negativa,sero aceleradas para onde o potencial for maior;assim, a diferena de potencial deve ser ligada deforma a que a lmina radioativa tenha menor potencial.As cargas negativas tambm so acelerados no sen-tido oposto ao campo e, portanto, as linhas de campoeltrico apontam para a lmina radioativa. Admitindoum campo constante, as linhas de campo sero parale-las entre si.

    +++++

    v0

    (a) O deslocamento da partcula no vcuo implica conservao da sua energia mecnica. Acarga da partcula beta a carga do eletro, 1.601019 C, a diferena de potencial de150 V implica uma diferena de energia potencial eletrosttica:

    Ue = 1.601019150 = 2.401017 Jpode parecer pouca energia, mas um valor muito elevado para uma eletro que tem massam = 9.111031 kg; para obter uma diferena de energia potencial gravtica, mgy, daordem de 1017 J, seria precisa uma diferena de alturas y da ordem dos 1012 metros!Assim, vamos ignorar a energia potencial gravtica e, portanto, o aumento da energiacintica ser igual diminuio da energia potencial eletrosttica:

    12

    mv2f 12

    mv20 = 2.401017

    substituindo os valores da massa e da velocidade inicial, obtemos o mdulo da velocidadefinal:

    v f =

    22.401017

    9.111031 +3002 = 7.26106 m

    sobserve o valor elevado, aproximadamente 2.4% da velocidade da luz, mas ainda noo suficiente para que a mecnica no relativista que estamos a usar deixe de ser vlida.Observe tambm que no preciso saber em que direo foi disparada a partcula.

    (b) O campo eltrico mdio calcula-se admitindo que seja constante. Seguindo um percursoparalelo s linhas de campo, desde a lmina da direita at da esquerda, a equao 2.5permite calcular o mdulo do campo:

    0.050

    E ds = 150 0.05E = 150 E = 3000 V/m

  • 2.2 Pilhas qumicas 19

    2.2. Pilhas qumicas

    Um dos avanos mais importantes na histria da eletricidade foi a inveno das pilhasqumicas, que permitem fornecer a energia necessria para manter um fluxo constante decargas num condutor, contrariando as foras dissipativas.

    O bilogo italiano Luigi Galvani (1737-1798) fez vrias experincias com cargas eletrost-ticas e rgos de animais. A figura 2.1 mostra o laboratrio de Galvani, com um geradoreletrosttico usado para produzir descargas eltricas nas pernas de uma r. Enquanto faziaas experincias, descobriu que quando tocava com uma faca na perna de uma r, no instanteem que era produzida uma descarga eltrica num gerador eletrosttico prximo dele, aperna da r morta encolhia-se bruscamente, como se a r estivesse viva.

    Figura 2.1.: Laboratrio de Luigi Galvani.

    Mais tarde conseguiu o mesmo efeito, sem precisar do gerador eletrosttico, espetandodois fios de metais diferentes na perna da r; quando juntava os dois fios, a perna da rencolhia-se. Galvani atribuiu o efeito a uma eletricidade de origem animal.

    O fsico italiano Alessandro Volta (1745-1827) demonstrou que a origem da eletricidadeobservada por Galvani no eram os organismos vivos, mas que o contato entre doismetais diferentes dentro de qualquer soluo qumica produz um fluxo de cargas eltricas(corrente), que nos seres vivos causa alguns efeitos: a contrao dos msculos ou um saboramargo quando colocamos dois fios de metais diferentes na nossa lngua.

  • 20 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    Figura 2.2.: Volta apresenta a sua inveno, a pilha qumica, a Napoleo.

    Em 1800 Volta construiu a primeira pilha, colocando alternadamente discos de zinco e decobre, separados entre si por discos de carto molhado numa soluo cida. Repetindo amesma sequncia de discos vrias vezes, conseguia produzir fluxos de carga mais elevadose sentir os seus efeitos, por exemplo, colocando as suas mos dentro de dois recipientescom gua salgada, ligados aos dois terminais da pilha; quando a pilha era formada pormais de 20 grupos de discos de cobre e zinco, o choque eltrico nas suas mos tornava-sedoloroso.

    2.3. Fora eletromotriz

    Uma pilha qumica est composta por duas barras condutoras, designadas de eltrodos,embebidas dentro de uma soluo qumica ( eletrlito). O eletrlito pode ser lquido ouslido; o importante que tenha ies positivos e negativos; por exemplo, um sal numasoluo qumica dissociado em ies positivos e negativos.

    necessrio tambm que os condutores dos dois eltrodos sejam diferentes, para que umdeles seja mais ativo do que o outro. Se dois metais so colocados, em contato, dentrode um eletrlito, um deles sofre corroso esse metal que sofre corroso diz-se que omais ativo dos dois. Diferentes materiais condutores podem ser ordenados numa sriegalvnica, em que os metais mais ativos aparecem no topo da lista. Por exemplo, atabela 2.1 mostra a srie galvnica quando o eletrlito usado for gua do mar. A ordem natabela galvnica pode ser diferente para diferentes eletrlitos.

  • 2.3 Fora eletromotriz 21

    Tabela 2.1.: Srie galvnica (em relao gua do mar). Os condutores mais ativos estocolocados no incio da tabela e os menos ativos no fim.

    MagnsioZincoAlumnioChumboFerroCobreTungstnioPrataOuroPlatinaGrafite

    A corroso do metal mais ativo (o que aparecer primeiro na tabela 2.1) resulta da combi-nao dos ies negativos do eletrlito com os tomos desse metal, ficando o metal comexcesso de carga negativa. Os eletres circulam pela ligao entre os dois condutores, forado eletrlito, passando para o eltrodo menos ativo (figura 2.3). Esses eletres atraem osies positivos para o metal menos ativo; a reao dos ies positivos do eletrlito com omaterial do eltrodo menos ativo introduz carga positiva nesse eltrodo.

    9 V+

    e

    e A

    B

    Figura 2.3.: Numa pilha qumica ligada a um condutor externo, saem eletres do eltrodonegativo e entram no eltrodo positivo.

    Assim, o eltrodo que corresponder ao condutor mais ativo ser o eltrodo negativo dapilha, e o condutor menos ativo ser o eltrodo positivo. Por exemplo, na pilha de Volta, oeltrodo positivo o disco de cobre e o eltrodo negativo o disco de zinco.

    O potencial eltrico maior no eltrodo positivo do que no negativo. Se ligarmos umcondutor entre os dois eltrodos da pilha, os eletres de conduo seram deslocados parao terminal positivo (maior potencial). Nesse percurso, a energia mecnica desse eletresdiminui, j que parte dessa energia dissipada em calor, devido s colises com os tomosdo material.

    Consequentemente, os eletres que entram do eltrodo negativo para o condutor, tm maiorenergia mecnica do que os eletres que saem do condutor e entram no eltrodo positivo.Essa diferena de energias, dever ser igual diferena entre as energias qumicas das

  • 22 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    reaes nos dois eltrodos, que a causa para a passagem de cargas entre e condutor e oseltrodos.

    A energia necessria para a reao qumica de corroso do metal no eltrodo negativo menor que a energia necessria para a reao entre o eletrlito e o metal do eltrodopositivo. Assim, os eletres livres do eltrodo negativo tm maior energia mecnica doque os eletres livres do eltrodo positivo.

    Designa-se por fora eletromotriz da pilha (ou de forma abreviada, fem), diferenaentre a energia de um eletro no eltrodo negativo, menos a energia de um eletro noeltrodo positivo, dividida pelo valor absoluto da carga do eletro. Representaremos a femcom a letra . Esse valor est determinado pelas energias associadas s reaes qumicasentre o eletrlito e os eltrodos; quanto mais afastados estiverem na srie galvnica os doiscondutores usados para os eltrodos, maior ser essa fem. A fem tem as mesmas unidadesdo potencial.

    A tabela 2.2 mostra os materiais usados para os eltrodos e o eletrlito em vrios tiposde pilhas produzidas industrialmente. O eltrodo da pilha onde h acumulao de cargaspositivas do eletrlito indicado com um sinal positivo (maior potencial) e o eltrodo ondeh acumulao de cargas negativas (menor potencial) indicado com um sinal negativo. Oeltrodo negativo, ou nodo, ser o metal que tiver uma maior tendncia a ser corrodopelo eletrlito, atraindo ies negativos (oxidao) e o eltrodo positivo, ou ctodo ser ometal que atrai os ies positivos do eletrlito (reduo).

    Tabela 2.2.: Alguns tipos de pilhas usados frequentemente.

    Tipo ctodo nodo eletrlito fem

    seca carbono zinco dixido de mangans/cloreto de amonio

    1.5 V

    alcalina carbono dixido demangans

    hidrxido de potssio 1.5 V

    de mercrio xido de mercrio zinco hidrxido de sdio 1.35 Vde xido de prata xido de prata zinco hidrxido de sdio 1.35 VNiCd xido de nquel cdmio hidrxido de potssio 1.2 VNiMH xido de nquel liga metlica hidrxido de potssio 1.2 Vde ies de ltio xido de ltio e

    cobaltocarbono ltio 3.7 V

    As pilhas nas trs ltimas linhas da tabela 2.2 so recarregveis; isto , as reaes qumicasnos eltrodos so reversveis e se usarmos uma fonte externa para contrariar o sentidonormal do fluxo das cargas, a carga total do eletrlito aumenta e os sais acumulados noseltrodos diminui, ficando a pilha num estado semelhante ao inicial. Numa pilha que noseja recarregvel, a inverso da corrente aquece a pilha com o perigo de poder explodir esem ser recarregada.

  • 2.4 Condutores e semicondutores 23

    2.4. Condutores e semicondutores

    Vimos no captulo anterior que num condutor slido existe uma nuvem muito densa deeletres de conduo, que no esto ligados a nenhum tomo em particular. Por exemplo,os tomos de cobre no seu estado neutro tm 29 eletres volta do ncleo; 28 desseseletres esto fortemente ligados ao tomo, enquanto que o ltimo eletro encontra-senuma rbita mais distante do ncleo e sai com maior facilidade para a nuvem de eletresde conduo.

    Um pequeno deslocamento da nuvem de eletres de conduo faz acumular um excessode cargas negativas num extremo e cargas positivas no extremo oposto. As cargas positivasso tomos com um eletro a menos em relao ao nmero de protes. Quando se ligaum fio condutor aos eltrodos de uma pilha, a nuvem eletrnica atrada pelo eltrodopositivo e repelida pelo eltrodo negativo; estabelece-se no condutor um fluxo contnuo deeletres desde o eltrodo nega tivo para o positivo.

    Os semicondutores so materiais semelhantes aos isoladores, sem cargas de conduo, masque podem adquirir cargas de conduo passando a ser condutores, atravs de diversosmecanismos: aumento da temperatura, incidncia de luz, presena de cargas eltricasexternas ou existncia de impurezas dentro do prprio material.

    Atualmente os semicondutores so construdos a partir de silcio ou germnio. Os tomosde silcio e de germnio tm 4 eletres de valncia. Num cristal de silcio ou germnio,os tomos esto colocados numa rede uniforme, como a que aparece na figura 2.4: os 4eletres de valncia ligam cada tomo aos tomos na sua vizinhana.

    Figura 2.4.: Rede cristalina num cristal de silcio ou de germnio.

    Os tomos de arsnio tm 5 eletres de valncia. Se forem introduzidos alguns tomos dearsnio num cristal de silcio, cada um desses tomos estar ligado aos tomos de silcio narede por meio de 4 dos seus eletres de valncia; o quinto eletro de valncia ficar livrecontribuindo para uma nuvem de eletres de conduo. Obtm-se assim um semicondutortipo N, capaz de conduzir cargas de um lado para outro, atravs do mesmo mecanismoque nos condutores (nuvem de eletres de conduo).

  • 24 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    Os tomos de glio tm trs eletres de valncia. Nos semicondutores tipo P existemalguns tomos de glio dentro de um cristal de silcio (ou germnio); os 3 eletres devalncia de cada tomo de glio ligam-no rede, ficando um buraco onde um tomo desilcio tem um eletro de valncia que no est ligado a outro eletro de um tomo vizinho.Esses buracos tambm podem ser usados para transportar corrente; os eletres podemdeslocar-se para um tomo de glio na vizinhana, onde exista um desses buracos.

    Na figura 2.5 representam-se dois blocos semicondutores dos dois tipos, N e P. Cada bloco um cristal de silcio ou de germnio; os crculos representam os tomos de arsnio ede glio introduzidos no cristal. Esses tomos encontram-se fixos na rede, em quantoque os eletres de conduo, no semicondutor N, e os buracos no semicondutor P, podemdeslocar-se entre os stios onde existam outros tomos de arsnio ou de glio.

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    Semicondutor tipo N Semicondutor tipo P

    Figura 2.5.: Os dois tipos de semicondutores.

    Se os extremos do um fio semicondutor do tipo P forem ligados aos eltrodos de uma pilha.Os buracos perto do eltrodo negativo sero preenchidos com eletres fornecidos por esseeltrodo; esses eletres podero saltar para outros buracos vizinhos e assim sucessivamente.Os eletres deslocam-se no sentido do eltrodo negativo para o positivo, mas saltam apenasde um buraco para o vizinho. No entanto, os buracos deslocam-se todo o percurso desde oeltrodo positivo at o negativo. semelhante circulao de automveis hora de ponta,quando h filas compatas; os automveis conseguem apenas deslocar-se uma pequenadistncia no sentido da estrada, mas aparecem buracos na fila, que se deslocam rapidamenteno sentido oposto.

    Assim, quando ligamos um fio semicondutor entre os eltrodos da pilha, o resultado omesmo, independentemente do tipo de semicondutor: passagem de cargas positivas doeltrodo positivo para o negativo, e passagem de carga negativa do eltrodo negativo parao positivo.

    Nos condutores lquidos, gasosos ou em p existem cargas de conduo tanto negativascomo positivas. J vimos por exemplo o caso do eletrlito de uma pilha, onde existem iespositivos e negativos. Num gs ionizado tambm existem ies positivos e negativos quese podem deslocar dentro do gs. Quando existir uma fem entre dois pontos desse tipode condutores, os ies positivos e negativos deslocam-se em sentidos opostos. O efeitoresultante, em termos de conduo de cargas, produzido pelo movimento dos dois tipos deies o mesmo: entram cargas negativas no eltrodo positivo e entram cargas positivas noeltrodo negativo.

    Numa lmpada fluorescente, uma fora eletromotriz usada para ionizar o gs. A ionizaodo gs produz ies positivos e eletres livres (ver figura 2.6). Se num determinado instante

  • 2.4 Condutores e semicondutores 25

    o eltrodo A estiver a maior potencial que o eltrodo B, os ies positivos deslocar-se-o deA para B, e os eletres de B para A. A passagem dessas partculas produz colises commolculas do gs que produzem mais ies e luz. Assim, uma vez aquecida, precisa umadiferena de potencial menor para manter o fluxo de cargas na lmpada.

    A

    B

    io positivo

    electro

    I

    I

    Figura 2.6.: Ies positivos e eletres livres dentro de uma lmpada fluorescente. No pontoo eltrodo A est a maior potencial que o eltrodo B.

    Existem outros mecanismos de conduo das cargas eltricas, como por exemplo o que usado nos detetores de incndio (figura 2.7). Dentro do detetor existe uma cmara deionizao (cilindro preto na figura) onde a passagem de cargas devida produo departculas alfa emitidas por uma substncia radioativa. As partculas alfa so ncleos dehlio, com carga igual a duas unidades elementares de carga. As partculas so disparadaspara fora da substncia radioativa, passando pelo ar volta da substncia, antes de seremrecolhidas num eltrodo no detetor. A presena de fumo introduz partculas slidas no ar,que travam as partculas alfa, produzindo uma reduo do nmero de partculas recolhidasno eltrodo. A reduo do fluxo de cargas faz disparar um sinal de alarme.

    Figura 2.7.: Detetor de incndios.

  • 26 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    2.5. Corrente eltrica

    A corrente eltrica, designada por I, o fluxo das cargas de conduo dentro de ummaterial. A intensidade da corrente a taxa de transferncia da carga, igual carga dQtransferida durante um intervalo infinitesimal d t dividida pelo tempo:

    I =dQd t

    (2.9)

    Por conveno, usa-se o sentido da transferncia de cargas positivas para definir o sentidoda corrente eltrica. Assim, se as cargas de conduo forem eletres, como acontece nummetal, o sentido da corrente ser oposto ao sentido do movimento dos eletres. Por exemplo,o fio metlico na figura 2.8 transporta corrente eltrica de B para A. Num determinadointervalo de tempo, a carga dos eletres transportados de A para B Q; isso implicaque a carga dos protes que se combinaram com os eletres em B foi Q, e essa tambma carga dos protes que ficaram em A aps a partida dos eletres. Consequentemente, equivalente considerar que houve transporte de carga Q de A para B, ou transporte decarga Q de B para A. A corrente I definida no sentido do transporte da carga positiva.

    A

    B

    electro

    Q

    Q

    Figura 2.8.: Fio metlico a conduzir uma corrente I de B para A.

    Na lmpada fluorescente da figura 2.6, o movimento dos dois tipos de partculas faz comque a carga positiva aumente em B e diminua em A, isto , h corrente de I A para B, nosentido indicado pelas setas na figura.

    A carga total transferida durante um intervalo de tempo o integral da corrente I, nesseintervalo:

    Q =

    t2t1

    I dt (2.10)

    No sistema internacional de unidades a unidade usada para medir a corrente eltrica oampere, designado pela letra A, que equivale transferncia de uma carga de um coulombcada segundo:

    1 A = 1 C/s (2.11)

  • 2.6 Potencial e campo nos condutores 27

    2.6. Potencial e campo nos condutores

    Consideremos um condutor cilndrico e retilneo com os dois extremos ligados aos termi-nais de uma bateria. Entre os extremos do condutor existir uma diferena de potencial.Se A for o extremo que est ligado ao terminal negativo e B o extremo ligado ao terminalpositivo, o potencial ser maior em B do que em A: VB >VA.

    As cargas de conduo no condutor deslocam-se na direo do campo eltrico; no mesmosentido do campo, se forem cargas positivas, ou no sentido oposto se forem negativas.Assim, as linhas de campo eltrico devero ser retas paralelas ao eixo do cilindro, comose mostra no lado esquerdo da figura 2.9. Portanto, o campo tem mdulo E constante esegue a direo do deslocamento ds ao longo do condutor; o integral de linha que define adiferena de potencial, na equao 2.5, pode ser calculado facilmente:

    AB

    E ds =VBVA VBVA = E s (2.12)

    onde s o comprimento do condutor. Assim, o mdulo do campo no condutor igual diferena de potencial entre os seus extremos, dividida pelo seu comprimento:

    E =Vs

    (2.13)

    O resultado anterior tambm mostra que o campo aponta sempre desde o ponto com maiorpotencial at o ponto com menor potencial, j que para obtermos um resultado positivo,tivemos que integrar desde B at A.

    A

    B

    A

    B

    II

    E E

    VB > VA

    Figura 2.9.: Corrente e campo eltrico em dois condutores diferentes, ligados mesmadiferena de potencial.

    Se o condutor na figura 2.9 for um semicondutor tipo N, as cargas de conduo negativasdeslocam-se no sentido oposto ao campo e, portanto, a corrente no sentido do campo. Seo semicondutor for do tipo P, as cargas de conduo positivas deslocam-se no sentido docampo e a corrente tambm no sentido do campo. Consequentemente, independentementedo tipo de condutor ou semicondutor, a corrente ser sempre na direo e sentido do campo

  • 28 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    eltrico, nomeadamente, desde o extremo com maior potencial para o extremo com menorpotencial.

    Se o condutor no for retilneo, como no lado direito da figura 2.9, as linhas de campo jno so retas mas seguiro a direo do condutor. Isso implica que o campo vetorial ~E no constante, mas se o condutor for homogneo, as separao entre as linhas ser sempreigual, indicando que o mdulo E do campo constante. Nessas condies, o integral delinha do campo pode ainda ser calculado como foi feito na equao 2.12 e o resultado 2.13tambm vlido.

    Assim, quanto mais comprido for o fio condutor que liga os pontos A e B, com potenciaisfixos VA e VB, menor ser o campo eltrico. A intensidade da corrente depende do mdulodo campo eltrico e da rea da seo transversal do fio; quanto maior for o mdulo docampo, mais rpido ser o movimento da nuvem de cargas de conduo e maior ser acorrente; quanto maior for a rea da seo transversal, mais grosso ser o fio e o movimentoda nuvem de cargas de conduo produzir uma corrente maior. Na figura 2.9, a corrente maior no condutor do lado esquerdo porque o comprimento menor e a rea da seotransversal maior. No prximo captulo estudaremos com mais pormenor essa relao.

    2.7. Potncia eltrica

    O transporte de cargas de conduo num condutor implica dissipao, geralmente na formade calor, fenmeno esse designado de efeito Joule. Mas existem outros mecanismos dedissipao de energia mecnica em que essa energia transformada em outros tipos deenergia. Por exemplo, no caso de uma lmpada parte da energia mecnica dissipada emcalor e outra parte transformada em luz.

    Consequentemente, se num condutor circula uma corrente desde um extremo A at outroextremo B, a energia mecnica das cargas de conduo dever ser menor em B do que emA e a diferena de potencial no condutor ser V =VBVA (o potencial dever ser maiorem B do que em A).

    Se a corrente for estacionria (igual em todas as partes do condutor), a energia cintica dascargas de conduo, por unidade de volume, permanece constante ao longo do condutor, ea diminuio da energia mecnica devida unicamente diminuio da energia potencialeletrosttica Ue. De acordo com a equao 2.6, por cada quantidade infinitesimal de cargadQ que for transferida no condutor, a energia eltrica dissipada ser:

    dUe = V dQ (2.14)

    A potncia dissipada em cada instante obtm-se dividindo dUe pelo intervalo de tempod t que demorou o transporte da carga dQ; portanto, obtemos o seguinte resultado para apotncia instantnea dissipada:

    P = V I (2.15)

  • 2.7 Potncia eltrica 29

    Usando as definies do volt e do ampere, podemos conferir que o produto dessas duasunidades de facto o watt (W), que a unidade SI de potncia.

    Para manter a corrente no condutor, ser preciso que a mesma potncia P dissipada nocondutor seja fornecida pela bateria que est a estabelecer a diferena de potencial V .Assim, a potncia fornecida pela bateria tambm V I, em que V a diferena depotencial entre os terminais da bateria. Numa bateria ideal essa diferena de potencial constante e igual ao valor da fem, ; a potncia fornecida por uma bateria ideal :

    P = I (2.16)

    Como veremos no prximo captulo, numa bateria real V diminui em funo da corrente.

    Exemplo 2.2Num condutor ligado a uma pilha ideal com fem de 1.5 V, circulam 1016 eletres deconduo durante 2 segundos. Calcule: (a) A corrente mdia. (b) A energia fornecida pelapilha durante esse intervalo. (c) A potncia mdia fornecida pela pilha. (d) Se a cargainicial da pilha for 3 A h e se fosse possvel manter a mesma corrente mdia at a pilhadescarregar totalmente, quanto tempo demorava a pilha a descarregar?

    Resoluo. (a) A carga transferida o valor absoluto da carga dos 1016 eletres:

    Q = 10161.601019 = 1.60103 Ce a corrente mdia :

    I =Q t

    =1.60103

    2= 0.8 mA

    (b) A energia fornecida pela pilha igual energia eltrica dissipada no condutor:

    Ue = V Q = 1.51.60103 = 2.4 mJ

    (c) A potncia mdia fornecida igual a essa energia, dividida pelo intervalo de tempo:

    Pm =Ue t

    =2.4103

    2= 1.2 mW

    (d) A carga que a pilha perde cada segundo metade da carga calculada na alnea a:Q = 0.8 103 C. Como um coulomb igual a 1 As, passando para unidades deampere-hora (Ah) :

    Q =0.8103

    3600A h = 2.22107 A h

    e o tempo total que era possvel manter a mesma corrente mdia era:

    t =3

    2.22107 = 1.35107 s 156 dias

  • 30 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    Perguntas

    1. A fora eletromotriz de uma pilhaqumica:

    A. independente das reaes qumicasno seu interior.

    B. Depende do tamanho da pilha.

    C. Depende da sua carga mxima.

    D. independente do tamanho doseltrodos.

    E. Nenhuma das outras respostas.

    2. Se o custo da energia eltrica fosse de 10cntimos por kilowatt-hora, quanto cus-taria manter uma torradeira de 660 W afuncionar durante meia hora?

    A. 15 cntimos.

    B. 12 cntimos.

    C. 6.9 cntimos.

    D. 3.3 cntimos.

    E. 1.7 cntimos.

    3. A corrente num condutor aumenta linear-mente desde um valor inicial de 3 A, emt = 0, at o valor final 6 A, em t = 3 h.A carga total transportada pelo condutordurante esse perodo :

    A. 48.6 kC

    B. 32.4 kC

    C. 64.8 kC

    D. 97.2 kC

    E. 16.2 kC

    4. Uma pilha AA tem uma carga total de 8Ah. Se for ligada a uma resistncia pro-duzindo uma corrente mdia de 50 mAdurante 50 horas, com que percentagemda sua carga ficar aps as 50 horas?

    A. 31 %

    B. 50 %

    C. 21 %

    D. 69 %

    E. 131 %

    5. Se cada segundo 4.0 1018 eletres e1.5 1018 protes atravessam a seotransversal de um tubo de descarga dehidrognio, a corrente mdia no tubo :

    A. 0.40 A

    B. 0.56 A

    C. 0.88 A

    D. 1.5 A

    E. 4.0 A

  • 2.7 Potncia eltrica 31

    Problemas

    1. Um eletro acelerado no vcuo, a partir do repouso, atravs de uma diferena depotencial de 220 V. Calcule a velocidade final do eletro (a massa do eletro encontra-seno apndice B).

    2. Num tubo de raios X os eletres so acelerados por meio de um campo eltrico. Oseletres so libertados do repouso, deslocam-se no vcuo atravs de uma regio ondeexiste uma diferena de potencial de 4 kV, e chocam com um alvo emitindo radiaoX. (a) Calcule a energia cintica e a velocidade com que chocam os eletres no alvo.(b) Se a variao de potencial se estender por uma distncia de 8 dm, calcule o campoeltrico mdio.

    3. Uma bateria de automvel tem uma carga mxima de 250 Ah, que corresponde cargadisponvel quando a bateria est carregada a 100%. (a) Depois de algum uso, a bateriadescarrega-se at 60%. Qual a carga, em coulombs, com que fica a bateria? (b) Pararecarreg-la, a bateria foi ligada a um carregador de 12 V. Inicialmente a corrente nocarregador foi 7 A, e ao fim de 6 horas diminuiu at 3 A. Admitindo que a correntediminuiu linearmente, com que percentagem da sua carga mxima fica a bateria no fimdas 6 horas?

    4. Uma calculadora pode funcionar com um adaptador que fornece 40 mA, a 3 V, oucom duas pilhas AA cada uma com 1.5 V e carga mxima de 8 Ah. Admitindo que acalculadora utiliza a mesma potncia quando funciona a pilhas ou com o adaptador, porquanto tempo poder funcionar antes de ser preciso mudar as pilhas?

    5. Numa casa, o fusvel do fogo eltrico na caixa de fusveis de 30 A. Qual a potnciamxima que pode ter o fogo? (admita diferena de potencial de 230 V).

    6. Uma pilha recarregvel, de Ni-MH, tem uma diferena de potencial de 1.2 V, e umacarga mxima de 2300 mAh. Calcule a energia mxima que pode armazenar a pilha.

    7. A corrente num cabo varia de acordo com a funo I = 20+3t2, onde I mede-se emamperes e t em segundos. (a) Que carga transporta o cabo desde t = 0 at t = 10 s? (b)Qual o valor da corrente constante que transporta a mesma quantidade de carga nomesmo intervalo de tempo?

  • 32 Potencial, corrente e fora eletromotriz

    8. Num condutor ligado a uma pilha com fem de 1.5 V, circulam 1016 eletres de conduodurante 2 segundos. Calcule:

    (a) A intensidade da corrente mdia.

    (b) A energia fornecida pela fem durante esse intervalo.

    (c) A potncia mdia fornecida pela fem.

    (d) Se a carga inical da pilha era de 3 Ah, com que carga fica aps os 2 segundos?9. Para manter uma temperatura de 20 graus num quarto, durante um dia de inverno, foi

    estimado que ser precisa uma energia de 132 kJ cada minuto. Para fornecer essaenergia ser usado um aquecedor eltrico, ligado tenso de 220 V disponvel na casa.

    (a) Calcule a intensidade da corrente que dever circular pelo aquecedor.

    (b) Se o custo da energia eltrica for de 12 cntimos por kwh, calcule o custo demanter ligado o aquecedor durante 10 minutos.

  • 3. Resistncia eltrica

    "Falando de uma maneira geral, os efeitos da corrente no corpo humano so os seguintes:

    com menos do que 0.01 A: sensao de formigueiro ou nada se sente; 0.02 A: sensao de dor e fica-se agarrado; 0.03 A: perturbaes respiratrias; 0.07 A: grandes dificuldades respiratrias; 0.1 A: morte devido a fibrilao; mais do que 0.2 A; no existe fibrilao mas verificam-se queimaduras muito graves

    e cessa a respirao.

    A gama intermdia que vai de 0.1 a 0.2 A , por estranho que parea, a que origina amaior parte das mortes nas situaes comuns, porque a este nvel de intensidade inicia-se afibrilao do corao, que consiste numa contrao muscular espasmdica e incontroladado corao. A quebra da corrente sangunea da resultante origina rapidamente a morte.Acima de 0.2 A o corao simplesmente pra, e as medidas normais de primeiros socorrospodem restabelecer o seu funcionamento. Mas o nico processo para deter a fibrilao um outro choque eltrico controlado. Por isso, correntes entre 0.1 e 0.2 A so mais mortaisdo que correntes mais intensas. A intensidade que passa por uma vtima geralmentedeterminada pela resistncia da pele que vai de cerca de 1000 para peles molhadasat 500 000 para peles secas. A resistncia interna menor do que a da pele, estandocompreendida entre 100 e 500 . Para voltagens superiores a cerca de 240 V, geralmenteresulta a perfurao da pele pela corrente."

    Jearl Walker, O Grande Circo da Fsica Walker (1975).

  • 34 Resistncia eltrica

    3.1. Caratersticas tenso-corrente

    A potncia eltrica que dissipa um elemento de um circuito, por exemplo, uma lmpada, igual ao produto da diferena de potencial e a corrente no elemento: P = IV . Duaslmpadas diferentes podem ter diferentes valores da potncia, com o mesmo valor davoltagem. Por exemplo, existem lmpadas pequenas de 12 V com potncias de 1 W e de2 W; isso indica que para o mesmo valor da diferena de potencial, a corrente na lmpadade 2 W o dobro do que a corrente na lmpada de 1 W.

    Cada elemento de circuito tem uma curva caraterstica que mostra os valores resultantesda corrente, I, para diferentes valores da diferena de potencial, V . A figura 3.1 mostraalgumas dessas curvas caratersticas, para trs elementos de circuito diferentes.

    I

    V

    I

    V

    I

    V(a) (b) (c)

    Figura 3.1.: Caratersticas tenso-corrente de trs dispositivos diferentes.

    3.2. Lei de Ohm

    Em alguns condutores (o caso a na figura 3.1), designados de ohmicos, a curva caraters-tica uma reta que passa pela origem. Essa relao linear entre I e V expressa-sematemticamente com a Lei de Ohm:

    V = RI (3.1)

    Onde R uma constante chamada resistncia, que corresponde ao declve da caratersticatenso-corrente. Um condutor ohmico designa-se simplesmente de resistncia. A figura3.2 mostra o diagrama usado para representar nos circuitos uma resistncia.

    R

    Figura 3.2.: Diagrama de circuito para uma resistncia.

    Nos materiais no ohmicos (b e c na figura 3.1) o declve no constante, o que indica quea resistncia diferente para diferentes valores da diferena de potencial.

  • 3.3 Caraterstica de uma bateria 35

    No sistema internacional de unidades, a unidade usada para medir a resistncia o ohm,designado pela letra grega omega maiscula,. Uma resistncia de 1 ohm uma resistnciaem que uma voltagem de 1 volt produz uma corrente de 1 ampere:

    1 = 1VA

    (3.2)

    Usando a lei de Ohm, a potncia dissipada por efeito Joule numa resistncia (P = IV )pode ser escrita em funo do valor da resistncia:

    P = RI2 =V 2

    R(3.3)

    assim, a especificao da potncia de um dispositivo eltrico tem implcito um valor dadiferena de potencial (tenso) que dever ser usado para o seu correto funcionamento.Quanto maior for essa potencia nominal, menor ser a resistncia do dispositivo.

    Figura 3.3.: A resistncia de cada eletrodomstico igual ao quadrado da diferena depotencial qual dever ser ligado, dividido pela sua potncia nominal.

    3.3. Caraterstica de uma bateria

    Uma pilha ou bateria fornece energia eletrosttica, devido s reaes qumicas entre oseltrodos e o eletrlito, mas tambm dissipa alguma energia em calor, devido passagemde cargas pelos eltrodos e pelo eletrlito. Assim, a caraterstica da bateria a soma dafuno constante V = mais a caraterstica de uma resistncia r (figura 3.4).

  • 36 Resistncia eltrica

    I

    V

    Figura 3.4.: Caraterstica tenso-corrente de uma bateria.

    A ordenada na origem o valor da fem, e o declive a resistncia interna da pilha. Assim,o diagrama de circuito correspondente dever incluir uma fem ligada em srie com umaresistncia (ver figura 3.5). A barra mais fina e mais comprida, na representao grfica dafem, representa o eltrodo positivo, e a barra mais curta e grossa o eltrodo negativo.

    r

    Figura 3.5.: Circuito equivalente para uma bateria.

    No lado em que I negativa no grfico 3.4, quer dizer que a corrente entra na bateria peloeltrodo negativo e sai pelo eltrodo positivo. Esse o modo normal de funcionamentodas baterias; nessas condies a bateria funciona como gerador, as cargas de conduoganham energia potencial na passagem pela bateria. A bateria fornece potncia eltrica;parte dessa potncia fornecida pelas reaes qumicas dissipada em calor dentro daprpria bateria.

    No lado em que I positiva no grfico 3.4, a corrente entra na bateria pelo eltrodo positivoe sai pelo eltrodo negativo. As cargas perdem energia potencial durante a sua passagempela bateria. Assim, dever existir outra bateria externa que fornece energia s cargas deconduo e que mantem a diferena de potencial entre os eltrodos por cima do valor dafem. Diz-se que a bateria est a funcionar como receptor. costume representar a corrente na bateria em valor absoluto. Assim, os dois modos defuncionamento da bateria aparecero no mesmo quadrante da caraterstica tenso-corrente(figura 3.6). Nos dois ramos, o valor absoluto do declive igual resistncia interna r.

    Na figura 3.7 mostram-se os dois modos de funcionamento usando o diagrama de circuitoda bateria. No modo de gerador, a diferena de potencial entre os eltrodos :

    Vgerador = r I (3.4)

    o sentido da corrente implica que as cargas de conduo ganham energia na passagem pelafem, mas dissipam alguma dessa energia na resistncia interna. A potncia total fornecida

  • 3.4 Cdigo de cores 37

    I

    V

    receptor

    gerador

    Figura 3.6.: Os dois ramos da caraterstica tenso-corrente de uma bateria.

    pela bateria a potencia fornecida pela fem (I), menos a potncia dissipada na resistnciainterna (I2r).

    r

    I

    +

    gerador

    r

    I

    +

    receptor

    Figura 3.7.: Sentido da corrente numa bateria, nos dois modos de operao.

    No modo de receptor, a diferena de potencial entre os eltrodos :

    Vreceptor = + r I (3.5)

    neste caso, as cargas de conduo perdem energia na fem e na resistncia interna. Apotncia total dissipada na bateria ser a soma da potncia dissipada na fem (I), mais apotncia dissipada na resistncia interna (I2r). A parte da potncia dissipada devida fem,poder ser usada para inverter as reaes qumicas entre os eltrodos e o eletrlito, se abateria for recarregvel; caso contrrio, essa potncia tambm dissipada em calor.

    3.4. Cdigo de cores

    As resistncias usadas com frequncia nos circuitos eletrnicos so pequenos cilindros decarbono, com um isolamento cermico.

    Usam-se 4 riscas de cores para indicar o valor da resistncia (figura 3.8). Trs das riscasesto mais juntas; as duas primeiras dessas riscas (a primeira a que estiver mais pertode um extremo) combinam-se para produzir um nmero com dois algarismos; cada corcorresponde a um algarismo (ver tabela 3.1). A terceira risca indica a ordem de grandezadesse nmero, em ohms, usando a mesma relao entre cores e algarismos usada nas duasprimeiras riscas. A quarta risca diz qual a tolerncia (erro relativo) desse valor; os valorescorrespondentes a cada cor aparecem na tabela 3.1.

  • 38 Resistncia eltrica

    Figura 3.8.: Circuito impresso (PCB) incluindo algumas resistncias e imagem amplifi-cada de uma resistncia.

    Tabela 3.1.: Cdigo de cores usado para as resistncias.

    Cor Algarismo Tolerncia

    Preto 0Castanho 1 1%Vermelho 2 2%Laranja 3Amarelo 4Verde 5 0.5%Azul 6 0.25%Roxo 7 0.1%Cinza 8 0.05%Branco 9Dourado 5%Prateado 10%Nenhum 20%

    Por exemplo, no caso apresentado na figura 3.8, as riscas so laranja, preta, azul e prateada,que conduzem ao valor: 30106 (3106 ).

    3.5. Resistividade

    A resistncia de um condutor ohmico devida s colises entre as cargas de conduoe os tomos ou ies. As cargas de conduo so aceleradas pela fora eletrosttica, masdevido s colises acabam por atingir uma velocidade mdia constante. A resistncia determinada pela relao que existir entre a velocidade mdia atingida e a diferenade potencial (por unidade de comprimento) que produz o movimento. Os fatores quedeterminam o valor da resistncia so: a natureza do material, o tamanho do condutor e a

  • 3.5 Resistividade 39

    temperatura.

    Para estudar a influncia do tamanho do condutor, consideremos dois cilindros idnticos,de comprimento L e rea transversal A, cada um com resistncia R, ligados em srie ou emparalelo (figura 3.9).

    2R

    R__

    2

    L

    L

    L

    L

    A

    A

    AA

    Figura 3.9.: Dois cilindros metlicos ligados em srie e em paralelo.

    No primeiro caso, como se tivessemos um nico cilindro de comprimento 2L, se acorrente for I, a diferena de potencial ser RI +RI, nomeadamente, a resistncia dosistema 2R. Assim, duplicando o comprimento duplica-se a resistncia: a resistncia diretamente proporcional ao comprimento do condutor.

    No segundo caso, como se tivessemos um nico condutor de comprimento L e reatransversal 2A. Nesse caso, se a diferena de potencial em cada um dos cilindros for V ,a corrente em cada cilindro ser V/R e a corrente total ser 2V/R, que corresponde corrente num sistema com resistncia R/2. Assim, duplicando a rea transversal, aresistncia diminui a metade: a resistncia inversamente proporcional rea da seotransversal.

    Assim, a resistncia de um condutor com comprimento L e rea transversal A :

    R = LA

    (3.6)

    onde a constante de proporcionalidade, , a resistividade do material, que depender datemperatura, e da natureza do material.

    Nos condutores ohmicos, a resistncia aumenta com a temperatura, em forma quase linear(figura 3.10), quando a temperatura no estiver perto do zero absoluto (273C)A expresso emprica para a resistncia de um condutor em funo da temperatura :

    R = R20 (1+20(T 20)) (3.7)

  • 40 Resistncia eltrica

    T

    R

    proporcional a T5

    proporcional a T

    Figura 3.10.: Variao da resistncia de um condutor em funo da temperatura.

    onde R20 a resistncia a 20C, 20 o coeficiente de temperatura e T a temperaturaem graus centgrados. O coeficiente de temperatura o mesmo para todos os condutoresfeitos do mesmo material; cada material tem um coeficiente de temperatura prprio que medido experimentalmente. Observe que o declive da reta na figura 3.10 o produtoR2020; consequentemente, a pesar de o declive ser quase constante, o valor da constante depende da temperatura. A tabela 3.2 mostra os valores da resistividade e do coeficien