Física - Ondas
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ONDAS
JHONE RAMSAY ANDREZ
TIPOS DE ONDAS
As ondas podem ser de três tipos especiais:
Ondas Mecânicas: Entre elas estão as ondas do mar e as ondas sonoras. São governadas pelas leis de Newton e existem apenas
em um meio material, como água e ar.
Ondas Eletromagnéticas: São por exemplo a luz visível, a luz ultravioleta, as ondas de rádio e tv , as microondas e os raios X. Estas não precisam de um meio material para se propagar, podem se propagar no vácuo. No vácuo elas se propagam com
velocidade 𝑐 ≈ 3 × 108 𝑚/𝑠2.
Ondas de Matéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas elementares, e mesmo átomos e moléculas. Elas sáochamadas de ondas de matéria porque normalmente pensamos
nessas partículas como elementos básicos da matéria.
ONDAS TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS
Ondas Transversais: A perturbação é perpendicular a direção de propagação
Uma onda mecânica é causada pela perturbação de um meio, e iremos dividi-las em dois grupos:
Ondas Longitudinais: A perturbação é paralela a direção de propagação da onda.
ONDAS TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS
COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA
𝐲 𝒕 = 𝒚𝒎 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
Deslocamento no instante t
Amplitude
Tempo
Posição Frequência angular
Numero de onda
A função que fornece a forma daonda é dada pela equação:
A amplitude 𝑦𝑚 consiste no máximo deslocamento doselementos da onda a partir da posição de equilíbrio.
O Comprimento de onda 𝜆 de uma onda é a distância(paralela à direção de propagação) entre repetições daforma da onda.
COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA
Para 𝑡 = 0, temos que a função posição fica: y 𝑡 = 𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥
Pela definição, o deslocamento é o mesmo nas duas extremidades do comprimento de onda, ou seja:
𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥1 = 𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥1 + 𝜆 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥1 + 𝑘𝜆)
Usando a propriedade de periodicidade da função seno: 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 2𝜋) 𝑘 =
2𝜋
𝜆
COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA
O período T de uma onda é definido pelo intervalo de tempo característico de uma repetição da onda. (Subida e descida de um elemento da onda ou intervalo de tempo necessário para que a crista alcance a posição da crista vizinha
A frequência angular 𝜔 determina quantos radianos são percorridos em cada segundo, e está relacionada com o período através da equação:
𝝎 =𝟐𝝅
𝑻= 𝟐𝝅𝒇
COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA
𝐲 𝒕 = 𝒚𝒎 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝝓
A Constante de Fase 𝜙de uma onda determina o deslocamento 𝑦 do elemento x = 0 deuma corda no instante 𝑡 = 0.
VELOCIDADE DE UMA ONDA PROGRESSIVA
Considere a mesma onda em dois instantesdiferentes de tempo. Podemos observar que afase da onda permanece constante.
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Derivando com relação ao tempo dos dois lados:
𝑘𝑑𝑥
𝑑𝑡− 𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡= 0
𝑣=𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑣 =
𝜔
𝑘
Como 𝝎 =𝟐𝝅
𝑻= 2𝜋𝑓:
𝑣 =𝜔
𝑘=
𝜆
𝑇= 𝜆𝑓
VELOCIDADE DE UMA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA
Podemos aproximar a crista da onda na cordapor uma trajetória circular com arco Δ𝑙 e raio𝑅. A corda está esticada por uma tensão τ. Noeixo x a tensão se anula restando apenas duascomponentes do eixo y . Nessa condição temos:
𝐹 = 2 𝜏𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃≈𝜃
𝐹 = 𝜏(2𝜃)
Usando a relação 2𝜃 =∆𝑙
𝑅:
𝐹 = 𝜏∆𝑙
𝑅
Podemos definir a densidade linear da corda analogamente a definição de densidade
volumétrica:
𝜇 =∆𝑚
∆𝑙
Da segunda lei de Newton, obtemos:
𝐹 = ∆𝑚. 𝑎
∆𝑚=𝜇∆𝑙𝐹 = 𝜇. ∆𝑙. 𝑎
VELOCIDADE DE UMA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA
Além disso, temos que o elemento de corda possui uma aceleração centrípeta
dada por: 𝑎 =𝑣2
𝑅. Assim:
𝐹 = 𝜇. ∆𝑙.𝑣2
𝑅
Igualando as duas equações de força:
𝜏∆𝑙
𝑅= 𝜇. ∆𝑙.
𝑣2
𝑅 → 𝑣 =𝜏
𝜇
A velocidade de uma onda emuma corda ideal esticada dependeapenas da tensão e da massaespecífica linear da corda, e nãoda frequência da onda.
ENERGIA E POTÊNCIA DE UMA ONDAPROGRESSIVA EM UMA CORDA
Energia Cinética: Um elemento de corda de massa 𝑑𝑚, oscilando transversalmente em ummovimento harmônico simples enquanto a onda passa por ele, possui energia cinéticaassociada a sua velocidade transversal 𝜇.
𝜇 =𝜕𝑦
𝜕𝑡= 𝑦𝑚 −𝜔 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝐾 =
∆𝑚𝜇2
2=
∆𝑚 𝑦𝑚 −𝜔 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 2
2
𝐾 =∆𝑚 𝜔𝑦𝑚
2cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
2
𝜇=∆𝑚
∆𝑥𝐾 =
𝜇𝑑𝑥 𝜔𝑦𝑚2cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
2
𝐾𝑚𝑒𝑑 =𝜇𝑑𝑥 𝜔𝑦𝑚
2 12
2𝐾𝑚𝑒𝑑 =
𝜇𝑑𝑥 𝜔𝑦𝑚2
4
Podemos calcular e energia cinética média, sabendo que: cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑚𝑒𝑑 =1
2
ENERGIA E POTÊNCIA DE UMA ONDAPROGRESSIVA EM UMA CORDA
A taxa média com que a energia cinética é transportada é:
𝑑𝐾𝑚𝑒𝑑
𝑑𝑡=
𝜇𝑑𝑥𝑑𝑡
𝜔𝑦𝑚2
4=
𝜇𝑣 𝜔𝑦𝑚2
4
Para um sistema oscilatório, a energia cinética média é igual a energia potencial média:𝐸 = 𝐾𝑚𝑒𝑑 + 𝑈𝑚𝑒𝑑 = 2𝐾𝑚𝑒𝑑. Podemos calcular assim a potência média:
𝑃𝑚𝑒𝑑 =𝑑𝐸
𝑑𝑡𝑚𝑒𝑑
→ 𝑃𝑚𝑒𝑑= 2𝑑𝐾
𝑑𝑡𝑚𝑒𝑑
→ 𝑃𝑚𝑒𝑑=1
2𝜇𝑣𝜔2𝑦𝑚
2
A EQUAÇÃO DA ONDA
Existe uma equação diferencial geral que governa a propagação de ondas de todos ostipos. Ela é chamada de equação da onda e é dada pela relação:
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2=
1
𝑣2
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS
Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma cordaesticada. Sejam 𝑦1 𝑥, 𝑡 e 𝑦2 𝑥, 𝑡 os deslocamentos que a corda sofreria secada onda se propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando as ondasse propagam ao mesmo tempo é a soma algébrica:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡
Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma ondaresultante ou onda total. Além disso, ondas superpostas não se afetammutuamente.
INTERFERÊNCIA DE ONDAS
Suponha que duas ondas possuam a mesma frequência angula 𝜔, mesmo número de onda𝑘, e mesma amplitude 𝑦𝑚, mas possuindo uma diferença de fase 𝜙. Assim:
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙
Usando o princípio da
superposição:𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙
Usando a relação: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛1
2𝛼 + 𝛽 𝑐𝑜𝑠
1
2(𝛼 − 𝛽)
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑐𝑜𝑠1
2𝜙 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
1
2𝑘𝜙)
INTERFERÊNCIA DE ONDAS
Interferência totalmente construtiva: 𝜙 = 0
Interferência totalmente destrutiva: 𝜙 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 (180°)
Imagine duas ondas com o mesmo comprimento de onda, mesma amplitude se propagandoem sentidos opostos As equações das ondas ficam:
ONDAS ESTACIONÁRIAS
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡
Usando o princípio da
superposição:
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡
Sendo: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛1
2𝛼 + 𝛽 𝑐𝑜𝑠
1
2(𝛼 − 𝛽)
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
ONDAS ESTACIONÁRIAS
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 A analise dos 5 instantes que aparecem na figura nos mostramque a onda resultante possui pontos que nunca se movem,chamados de nós. Os pontos da onda resultante que podematingir de máxima amplitude são chamados de antinós.
ONDAS ESTACIONÁRIAS
𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
REFLEXÃO EM UMA INTERFACE
ONDAS ESTACIONÁRIAS E RESSONÂNCIA
A condição de ressonância é satisfeitaquando o espaço de confinamento equivale a
um múltiplo inteiro de𝜆
2:
𝐿 = 𝑛𝜆
2→ 𝜆 =
2𝐿
𝑛𝑛 = 1,2,3, …
A frequência de ressonância fica:
𝑓 =𝑣
𝜆→ 𝑓 = 𝑛
𝑣
2𝐿