FÍSICA MODERNA -...

Ilhéus . 2013

Física . Módulo 8 . Volume 1

FÍSICA MODERNAPARTE I

Ana Paula Andrade

Universidade Estadual de Santa Cruz

ReitoraProfa Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro

Vice-reitorProf. Evandro Sena Freire

Pró-reitor de GraduaçãoProf. Elias Lins Guimarães

Diretor do Departamento de Ciências Exatas e TecnológicasProf. Roberto Carlos Felício

Ministério daEducação

Ficha Catalográfica

Projeto Gráfico e DiagramaçãoJoão Luiz Cardeal Craveiro

CapaSaul Edgardo Mendez Sanchez Filho

Impressão e acabamentoJM Gráfica e Editora

Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESCObra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA)

Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Jorge Amado, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia.www.nead.uesc.br | [email protected] | (73) 3680.5458

Física | Módulo 8 | Volume 1 - Física Moderna

1ª edição | Novembro de 2013 | 225 exemplaresCopyright by EAD-UAB/UESC

A553 Andrade, Ana Paula

Física moderna: módulo 8, volume 1 – EAD / Ana Paula Andrade –

Ilhéus, BA: EDITUS, 2013.

135 p.: il.

ISBN: 978-85-7455-339-9

1. Física. 2. Relatividade especial (Física). 3. Teoria quântica.

4. Física – História. 5. Físicos. I. Título.

CDD 530

Coordenação UAB – UESCProfa Dra Maridalva de Souza Penteado

Coordenação Adjunta UAB – UESCProfa Dra Marta Magda Dornelles

Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EaD)Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna

Elaboração de Conteúdo

Profa Dra Ana Paula Andrade

Instrucional DesignProfa Ma. Marileide dos Santos de Oliveira

Profa Dra Cláudia Celeste Lima Costa Menezes

RevisãoProf. Me. Roberto Santos de Carvalho

Coordenação Fluxo EditorialMe. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho

EAD . UAB|UESC

DISCIPLINA

FÍSICA MODERNA

EMENTAIntrodução à relatividade especial, primórdios da teoria quântica, modelos atômicos de Thomson, Rutherford e Bohr, as séries espectroscópicas, bases da mecânica quântica, equação de Schrödinger e aplicações elementares.

Carga horária: 90 horas

Profa Dra Ana Paula Andrade

O AUTOR

Ana Paula AndradeBacharel em Física pela UFMG – 1995Mestre em Ciências e Técnicas Nucleares pela UFMG - 1998Doutora em Astrofísica pelo INPE – 2003 Professora Adjunta da UESC desde 2007

E-mail: <[email protected]>.

O termo física moderna refere-se ao conjunto de teorias desenvolvidas no século XX, tendo por base a teoria da relatividade e a teoria quântica. Aterminologia “moderna” foi introduzida como forma de distinguir as novas teorias das teorias antecessoras, referenciadas pelo termo física clássica. Pode-se dizer que esta distinção é bastante oportuna, uma vez que os conceitos da física moderna trouxeram novas concepções a respeito da natureza, da descrição da matéria e dos fenômenos observados, desafiando o método determinístico da física clássica. Como veremos neste módulo, a partir das propostas apresentadas no início do século XX, alterações profundas foram introduzidas no entendimento de conceitos como: espaço, tempo, posição, trajetória, simultaneidade, medida e causalidade. Ao contrário do que se acreditava até então, tempo não é uma grandeza absoluta, matéria não tem comportamento único e imutável, enquanto a dinâmica de uma partícula subatômica é regida pelas leis da probabilidade! Estas são apenas algumas das novas concepções introduzidas pela física moderna e que fizeram emergir um novo cenário científico no campo da física. Apesar das concepções e interpretações inovadoras, ambas as teorias, da relatividade e quântica, representam uma generalização da física clássica, sendo esta tratada como casos especiais, não invalidando, de forma alguma, os conceitos já estudados. Enquanto a teoria da relatividade estende o campo de investigação da física clássica para a região de altas velocidades e altas energias, a física quântica estende o campo de investigação para regiões de pequenas dimensões. Inicialmente, pode-se pensar que os fenômenos relativísticos ou quânticos sejam

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

estranhos ou mesmo bizarros, uma vez que estão muito além da realidade detectada por nossos sentidos. De fato, nossa percepção da natureza é bastante limitada, mas, ainda assim, não devemos nos furtar a discutir teorias e conceitos revelados por meio das evidências experimentais. Este foi o maior desafio vivido pelos físicos do século XX, grandes nomes como Albert Einstein, Max Planck e Erwin Schrödinger, dentre outros que iremos discutir nas próximas Unidades. Esperamos que você, estudante, possa abrir a sua mente aos novos conceitos que serão apresentados e, consequentemente, desfrutar desta nova janela de conhecimento aberta pela física moderna. Neste módulo, iremos apresentar e discutir as importantes descobertas dos séculos XIX e XX, bem como as bases da física moderna sob a ótica da relatividade restrita, a quantização de energia e os postulados da mecânica quântica, enfatizando conceitos e aplicações. Esperamos assim que, ao final deste módulo, você possa compreender os argumentos que embasam a física moderna, que, apesar de imperceptíveis, permeiam a nossa vida cotidiana.

Este texto foi elaborado pensando em você, estudante a distância, que está cursando o módulo de física moderna e precisa se inteirar dos conceitos e aplicações deste tema. No intuito de fornecer uma visão mais ampla sobre o assunto, ao longo do texto principal, serão apresentados: o desenvolvimento histórico do tema, os conceitos envolvidos, os critérios de análise e o detalhamento dos cálculos.

Ao final de cada seção, quando pertinente, serão apresentados exercícios resolvidos e comentados. Não deixe de estudá-los antes de passar para a seção seguinte!

Caixas de curiosidade e lembretes foram introduzidos de modo a complementar os argumentos fornecidos no texto principal e devem ser analisados na sequência em que aparecem, fique atento! E não se esqueça de analisar detalhadamente as figuras apresentadas, estas são essenciais para compreensão e clareza dos argumentos de análise.

Ao final de cada unidade, você encontrará um resumo contendo os principais conceitos apresentados, que poderá ser útil para uma breve revisão, bem como uma lista de exercícios propostos como atividade para fixação do conteúdo. Não deixe de resolvê-los!

Tenha um ótimo estudo!

ORIENTAÇÃO DE ESTUDO

SUMÁRIO

UNIDADE 1

A TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL ......................19

1 Introdução ....................................................................... 21

2 Referenciais Inerciais ........................................................ 22

3 Os Postulados da Relatividade ............................................ 30

4 Conceito de Simultaneidade ............................................... 31

5 A Relatividade do Tempo ................................................... 36

6 A Relatividade do Comprimento .......................................... 42

7 As Transformadas de Lorentz ............................................. 46

8 Transformações de Velocidade Relativística .......................... 56

9 Massa, Momento e Energia Relativística ............................... 58

10 Conservação de Energia Relativística ................................. 68

11 Teoria da Relatividade Geral ............................................. 73

Resumindo ......................................................................... 74

Atividades .......................................................................... 77

Bibliografia Consultada ......................................................... 81

QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA, ONDAS E PARTÍCULAS .......83

1 Introdução .................................................................... 85

2 Emissão Térmica ............................................................ 85

3 Radiação de Cavidade..................................................... 87

4 Catástrofe do Ultravioleta ............................................... 93

5 A Quantização de Energia ............................................... 96

6 Planck e a Quantização de Energia ..................................102

7 O Efeito Fotoelétrico ......................................................106

8 A Explicação de Einstein para Efeito Fotoelétrico ...............108

9 O Efeito Compton .........................................................113

10 A Natureza Corpuscular da Luz......................................118

11 A Natureza Ondulatória da Matéria ................................119

12 Dualidade Onda-Partícula .............................................124

13 O Princípio da Incerteza ...............................................126

Resumindo .....................................................................131

Atividades ......................................................................133

Bibliografia Consultada .....................................................135

UNIDADE 2

A TEORIA DARELATIVIDADE ESPECIAL

Ao final desta unidade, o(a) aluno(a) será capaz de:

• ampliar os conceitos clássicos de movimento relativo, sob a perspectiva relativística;

• compreender os efeitos relativísticos;• conhecer as implicações da teoria da relatividade.

Módulo 8 I Volume 1 19UESC

A Teoria da Relatividade Especial

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de1ªunidade

Nesta unidade, serão apresentados e discutidos os conceitos

e as implicações da teoria da relatividade especial de Einstein, a

saber:

• conceito de espaço e tempo relativos;

• os postulados da relatividade;

• contração de Lorentz;

• dilatação do tempo;

• transformações relativísticas;

• massa de repouso;

• energia relativística;

1 INTRODUÇÃO

Até o presente momento, em todas as etapas do curso, o tratamento dado ao estudo do movimento dos corpos resultou da teoria newtoniana, sendo esta o alicerce da física clássica. Segundo Newton, se conhecermos as massas das partículas e as forças que atuam entre elas, é possível conhecer o estado dinâmico do sistema em qualquer instante futuro, em termos de seu estado inicial, uma vez que o sistema mecânico pode ser completamente descrito por meio do sistema de referência usado para especificar as coordenadas das partículas. Entretanto, em nosso cotidiano, frequentemente nos deparamos com situações em que certo sistema de coordenadas se desloca por meio da translação, (isto é, não girando) em relação a outro sistema. Neste caso, como transformar a nossa descrição do sistema de referencial antigo para este novo sistema? Como ficam as equações de movimento do sistema ao fazermos esta transformação? Estas são as questões básicas tratadas pela teoria da relatividade especial, teoria formulada por Einstein (com apenas 26 anos de idade!) no ano de 1905.

Quando as transformações necessárias envolvem aceleração entre os dois sistemas e os efeitos adicionais da gravitação, o tratamento é descrito pela teoria da relatividade geral, também elaborada por Einstein, mas somente em 1917. Pode-se dizer que a primeira formulação nada mais é do que um tratamento especial da

Imagem 1.1: Albert Einstein em 1882Fonte: http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/einst_4.jpg



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segunda, sendo esta última uma teoria geral mais ampla sobre a dinâmica do espaço e tempo. Neste módulo, trataremos apenas do caso em que os sistemas se movem com velocidade constante, ou seja, movimento uniforme descrito pela teoria da relatividade especial, também chamada de teoria da relatividade restrita.2 REFERENCIAIS INERCIAIS

Em nossa vida diária, as experiências e sensações que observamos restringem-se a movimentos com velocidades extremamente pequenas, quando comparadas à velocidade da luz. Mas, apesar das experiências restritas, uma simples observação do movimento de um automóvel em relação a outro pode nos ajudar a entender como o conceito de movimento é relativo. Imagine você no interior de um ônibus parado em um sinal de trânsito, ao lado de outro ônibus. Pela janela, observa quando o sinal verde é aceso e finalmente vai seguir destino. Você observa as janelas do outro ônibus se deslocarem, mas, ao contrário do que esperaria, a traseira do outro ônibus é avistada e você continua a ver o cruzamento à frente. Somente quando observa o cruzamento é que percebe que o outro ônibus arrancou e que, justamente, o seu ônibus continua parado no sinal. Então você começa a se dar conta de que não estava se movendo, era o outro ônibus que seguia viagem. Todos nós somos “enganados” desta forma, qualquer um que observa o movimento de outro corpo tem o direito de pensar que está se movendo enquanto o outro permanece parado, ou vice-versa. Isso acontece porque o conceito de movimento é relativo, uma vez que as leis da natureza são as mesmas para todos os corpos em movimento uniforme, isto é, todos aqueles em um referencial inercial. Vamos inicialmente analisar o que diz a teoria clássica de movimento. Considere uma partícula de massa

O termo referencial inercial refere-se a qualquer referencial que se mova com velocidade constante em relação a outro, ou seja, um referencial não acelerado. As leis de Newton para o movimento, por exemplo, são válidas para referenciais inerciais.

saiba mais

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m , em movimento sob a influência da força F

, tratada em termos de dois sistemas de referência, sistema S e sistema

’S . Para a determinação das coordenadas da partícula,

Figura 1.1 – Um sistema de referência ’,x ’,y ’,z ’t se transladando com velocidade constante v em relação a um referencial ,x ,y ,z .t Supomos que os eixos ’x e x sejam colineares.

precisamos definir dois sistemas de três eixos ortogonais que se interceptam em um ponto rotulado O no sistema S, e o ponto ’O no sistema ’S , respectivamente, sendo que o primeiro sistema, S , se move com velocidade v em relação ao segundo sistema, ’S , em um sentido que, por construção, é o sentido positivo dos eixos colineares ’,x x . Vamos definir que os tempos t e ’t medidos nos dois referenciais são ambos nulos no instante em que o plano ’ ’y z coincide com o plano .yz Segundo a física clássica, tratamento newtoniano, o movimento da partícula nestes dois sistemas pode ser descrito pelo conjunto de coordenadas ( , , , )x y z t e ( ’, ’, ’, ’),x y z t sendo que as relações entre elas podem ser descritas como:

' ,x x vt= − analogamente: 'x x vt= +

'y y=

'z z=



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Física Moderna

't t=

(1.1)Estas relações definem as transformações de coordenadas de um sistema para outro e são conhecidas como transformação galileana.

De acordo com este tratamento, se os zeros da escala de tempo utilizados nos referenciais diferentes são, por definição, iguais em algum instante e posição, então, segundo a física clássica, as duas escalas de tempo permanecerão as mesmas para todos os instantes e todas as posições, ou seja,

'.t t= Sabemos que as equações de movimento de Newton

no referencial S é tal que:

2

2xd xF mdt

=

2

2yd yF mdt

=

2

2zd zF mdt

=

Sim, o princípio da transformação galileana remonta a Galileu Galilei! Galileu já afirmava desde o século XVII que as leis da mecânica deveriam ser as mesmas em todos os referenciais inerciais. A primeira lei de Newton é, por assim dizer, uma derivação desta importante hipótese. Einstein estendeu as ideias de Galileu e Newton e incluiu todas as leis da física em sua consideração, incluindo ainda as leis do Eletromagnetismo.

Imagem 1.2: Galileu GalileiFonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Galileo.arp.300pix.jpg

você sabia?

24 EADFísica

(1.2)Diferenciando duas vezes as equações de (1.1) em

relação a t e lembrando que ' ,t t= tem-se:

2 2

2 '2'd x d x

dt dt=

2 2

2 '2'd y d y

dt dt=

2 2

2 '2'd z d z

dt dt=

(1.3)Assim, pode-se mostrar que a aceleração da massa

m medida no referencial S será a mesma que a aceleração medida no referencial ’,S ou seja, a transformação de um sistema de coordenadas para outro não modifica a aceleração medida. Portanto as equações de Newton, as quais definem o comportamento da partícula, não mudam mediante as Transformações de Galileu. Em outras palavras, a componente da força F

que atua sobre m na direção dos eixos x e ’x é a mesma, qualquer que seja o referencial observado:

'x xF F=

'y yF F=

'z zF F=

(1.4)

Como as equações são equivalentes, em quaisquer dos dois referenciais inerciais, pode-se dizer que os comportamentos de todos os sistemas mecânicos serão idênticos em todos os referenciais inerciais, embora estes se movam com velocidade constante em relação

Imagem 1.3: Isaac NewtonFonte:http://www.bbc.co.uk/

science/space/universe/scientists/isaac_newton



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uns aos outros. Este resultado é válido e comprovado por um grande número de evidências experimentais, entretanto não pode ser estendido para outras teorias. As equações de Maxwell, por exemplo, aquelas que descrevem o comportamento de sistemas eletromagnéticos, não são invariantes frente às transformações de Galileu. Ou seja, as equações de Maxwell mudam de forma matemática quando

O britânico James Clerck Maxwell (1831-1879) foi um dos mais importantes físicos de todos os tempos. Maxwell foi o grande responsável pela unificação dos fenômenos de eletricidade, magnetismo e óptica. Em seu trabalho, conseguiu organizar uma série de experimentos eletromagnéticos em quatro equações diferenciais, conhecidas como as equações de Maxwell. Estas representam a formulação básica das leis do eletromagnetismo, introduzindo a descrição da realidade física em termos do conceito de campos.

você sabia?

Imagem 1.4: James Clerck MaxwellFonte: http://www.browsebiography.com/bio-james_clerk_maxwell.html

submetidas às transformações galileanas, ao contrário das equações de Newton. Por exemplo, quando utilizadas para obter uma previsão da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas (a luz), obtém-se um valor diferente da velocidade.

O fato de a luz se deslocar com velocidade finita, mas muito alta, foi verificado pela primeira vez em 1676, pelo astrônomo dinamarquês Ole Christensen Romer. Entretanto, foi apenas em 1865 que o físico inglês James Clerk Maxwell previu a existência de ondas eletromagnéticas cuja velocidade de propagação era de 83 10x metros por segundo. Entretanto a velocidade obtida por Maxwell aparecia nas equações de maneira absoluta, ou seja, não era relacionada a qualquer referencial específico. E mais, os mecanismos de propagação destas ondas também não eram bem definidos. A teoria eletromagnética de Maxwell simplesmente previa

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a existência de campos eletromagnéticos se propagando no espaço na forma de uma onda, mas a comprovação experimental da existência de tais ondas só foi obtida, em 1886, pelo físico alemão Heinrich Hertz. Hertz foi o primeiro a gerar ondas de rádio no laboratório, mas ainda restavam dúvidas quanto ao mecanismo de propagação destas ondas. Assim como as ondas na superfície da água e as ondas sonoras se propagam através de um meio mecânico, respectivamente, a água e o ar, os físicos da época acreditavam que as ondas eletromagnéticas também deveriam se propagar por algum determinado meio. Entretanto este meio deveria ser sem massa, uma vez que a luz é capaz de se propagar no vácuo, mas, ainda assim, deveria ter propriedades elásticas de modo a transmitir as vibrações associadas ao movimento ondulatório. Acreditava-se então na existência de um meio

Quando entramos em um quarto escuro e acendemos uma luminária, a impressão que temos é que a luz chega instantaneamente em todos os lugares, chão, teto, parede. Mas não é bem assim! De fato, é necessário certo tempo para que a luz emitida pela lâmpada se propague no ambiente e atinja os anteparos. De fato, este tempo é muito pequeno, e o atraso é imperceptível aos nossos olhos, mas a propagação, apesar de muito rápida, não é instantânea! Medidas precisas indicam que a velocidade da luz no vácuo, c , é 299.792.458 m/s, sendo pouquíssimo menor no ar, devido à resistência do meio.

você sabia?

mecânico de propagação, denominado éter, cuja única função era sustentar a propagação das ondas eletromagnéticas. Desta forma, o vácuo existente deveria ser “preenchido” por uma substância com propriedades elásticas intrínsecas, exclusivas para a propagação da luz.

Mas a existência do éter foi bastante contestada na época. Muitos físicos não acreditavam na existência de um meio com características tão próprias para se adequar à teoria, mas aceitavam a ideia da existência do mesmo como meio de propagação. No entanto, em um sistema de referência que se move com velocidade constante em relação ao éter, as equações de Maxwell mudavam de forma quando



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submetidas às transformações galileanas para calculá-las no referencial em movimento. O resultado obtido era um valor de velocidade diferente da velocidade c estimada. Mas e se a fonte de luz estivesse se movendo? Poderíamos esperar uma composição de velocidades, tal qual um barco se movendo em direção às ondas? Se a luz fosse uma onda se movendo por um meio que permeasse todo o espaço, então, com o movimento de rotação da Terra, deveríamos esperar velocidades distintas em direções distintas?

A fim de responder a esta questão, Albert Michelson e Edward Morley realizaram, em 1887, uma importante experiência para a investigação da velocidade da luz. Eles mostraram que a velocidade da luz tem o mesmo valor, c , quando medida em direções perpendiculares em um sistema de referência que se supõe estar em movimento através do referencial do éter, contrariamente ao que era esperado. A experiência foi planejada com a intenção de estudar o movimento da Terra em relação

ao éter. A proposta era medir a velocidade da luz em duas direções perpendiculares, a partir de um sistema de referência fixo à Terra. Para tanto, eles construíram um aparelho tipo um interferômetro com sensibilidade suficiente para detectar a pequena diferença de velocidade da luz associada ao movimento da Terra em relação ao éter. Para grande surpresa

dos pesquisadores, as velocidades perpendiculares eram iguais! E eles estavam corretos, muitos outros experimentos se sucederam na tentativa de aperfeiçoar as medidas, mas nenhuma diferença foi observada. Apesar das considerações teóricas, a experiência de Michelson-Morley mostrou que a velocidade da luz independe do movimento do observador e do movimento da fonte, ou seja, a propagação da luz é isotrópica, e não há um sistema

Imagem 1.5: Albert Michelson (esquerda) e Edward Morley (direita)

Fonte: http://www.epola.co.uk/epola_org/michelson.html

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especial de referência, ou referencial do éter. Einstein foi o primeiro a mostrar, em 1905, que o

conceito de éter era desnecessário. Segundo ele, a luz se propaga no vácuo, que é realmente vazio, e com velocidade constante, .c Portanto a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores inerciais, não importando a direção ou o movimento da fonte nem do observador. Esta constatação foi apresentada por Einsten na forma de um postulado. Einstein, assim como outros físicos de renome (H. Poincaré e H. A. Lorentz), compreendeu que a natureza da luz não confirmava as leis de transformação das variáveis eletromagnéticas em relação à transformação de Galileu. A genialidade de Einstein ficou evidente diante da interpretação para o significado físico e as consequências deste novo

Apesar das evidências contrárias, muitos físicos da época, incluindo-se o próprio Michelson (que mais tarde se tornou o primeiro americano a receber o prêmio Nobel de Física), acreditavam ferrenhamente na existência do éter e tentaram formular explicações ou teorias para justificar o resultado obtido pelo experimento. Dentre as diversas justificativas destacam-se a “hipótese do arrastamento do éter” e a “teoria da emissão”. A primeira delas supunha que o referencial do éter seria localmente fixo a todos os corpos de massa finita e, assim, o éter se arrastaria com o movimento. Entretanto, esta hipótese vai de encontro às observações estelares que mostram o efeito cinemático de variação na posição de

estrelas distantes, associadas ao movimento da Terra em torno do Sol, e, assim, não pode ser válida. Na hipótese de arraste do éter, este efeito denominado “aberração da luz” não existiria se o referencial do éter fosse arrastado com a Terra. Na teoria da emissão, as equações de Maxwell são modificadas de modo a associar a velocidade da luz à velocidade da fonte. Porém esta teoria estaria em conflito com a observação da luz oriunda de estrelas binárias. Estas correspondem a um par de estrelas que giram rapidamente em torno do centro de massa do sistema, sendo que uma se afasta da Terra enquanto a outra se move em direção à Terra. Neste caso, a velocidade da luz observada de uma estrela deveria ser distinta da velocidade da luz observada para a estrela companheira. No entanto, o movimento observado das estrelas binárias é precisamente explicado pela teoria newtoniana, quando a velocidade da luz emitida é considerada com módulo independente do seu movimento.

você sabia?

Imagem 1.6: Albert Einstein em 1893 Fonte: http://www.alberteinsteinsite.

com/einsteinyoung.html



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conceito que culminaram na teoria da relatividade. Esta,

Princípio da Relatividade:

As leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência inerciais, apesar de estes sistemas se moverem uns em relação aos outros. Não existe referencial inercial privilegiado. Todos os referenciais inerciais são completamente equivalentes para todos os fenômenos.

por sua vez, é embasada por dois princípios importantes que estendem os conceitos clássicos de espaço e tempo, abandonando o paradigma newtoniano de tempo absoluto, e introduzindo o conceito da relatividade.3 OS POSTULADOS DA RELATIVIDADE

O princípio da relatividade, considerado o postulado fundamental da teoria da relatividade, não afirma que os

Postulado da Velocidade:

A velocidade da luz no vácuo tem sempre o mesmo valor c em todas as direções e em todos os sistemas inerciais.

valores das grandezas são idênticos em todos os referencias inerciais! As grandezas geralmente são diferentes para diferentes observadores (isto é, diferentes sistemas de referência), mas as leis da física que relacionam estas grandezas são as mesmas em diferentes referenciais inerciais.

O postulado da relatividade pode ainda ser interpretado como a existência de uma velocidade limite na natureza, ,c que assume sempre o mesmo valor em todas as direções e diferentes referenciais inerciais. Esta é a velocidade de propagação da luz. Portanto a velocidade da luz independe da direção ou velocidade da fonte emissora.

Com estes postulados, Einstein incluiu as leis do

30 EADFísica

Eletromagnetismo e da Ótica no princípio de relatividade de Galileu, o qual considerava a equivalência de referenciais apenas para leis da mecânica. Entretanto, estes postulados exigiam que Einstein modificasse ou as equações de Maxwell ou as transformações de Galileu, visto que ambas eram incompatíveis com as medidas de velocidade da luz. Em seu trabalho, Einstein optou por modificar as transformações de Galileu, o que culminou na introdução de novos conceitos de simultaneidade dos eventos no espaço e tempo.

4 CONCEITO DE SIMULTANEIDADE

A mais notável consequência da teoria da relatividade foi a maneira como ela revolucionou os conceitos de espaço e tempo. Se antes, de acordo com a teoria newtoniana, o efeito gravitacional era instantâneo, ou seja, se deslocássemos uma determinada massa de lugar (por exemplo, o nosso Sol), imediatamente os efeitos deste deslocamento seriam sentidos por uma massa vizinha (por exemplo, a Terra). Mas, se não é possível emitir sinais com velocidade infinita, nem mesmo sinais com velocidades superiores a c, então os conceitos clássicos de espaço e tempo precisavam ser modificados. Para entender o que estava errado, vamos analisar a transformação de Galileu para a coordenada de tempo (1,1):

't t=

Esta equação estabelece que as escalas de tempo no sistema S e S’ são as mesmas para todos os lugares e todos os instantes de tempo. Em outras palavras, pode-se dizer que existia uma escala de tempo universal para todos os referenciais, ou seja, perante a física clássica, o conceito de tempo, até então era absoluto! Portanto dois observadores deveriam sempre concordar quanto aos intervalos de tempo medidos entre dois eventos. Já na teoria relativística surgem



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novas e importantes implicações oriundas da constatação de que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores em referenciais inerciais. Vejamos, a seguir, como as novas concepções de espaço e tempo emergiram naturalmente da nova teoria.

Suponha que você seja um passageiro destinado a pegar o ônibus das 8 horas na praça principal da sua cidade. Você já se perguntou o que isto significa? Pois bem, este compromisso representa um evento no espaço-tempo: você estar em determinado local, no exato momento em que os ponteiros do seu relógio coincidirem com a marcação das

Portanto, a definição de um evento é algo que ocorre de tal modo que um observador pode associá-lo a três coordenadas espaciais e uma coordenada temporal.

8 horas! Mais especificamente, o evento “estar na praça às 8 horas” implica de você estar nas coordenadas espaciais definidas para a posição “praça” no momento em que a coordenada temporal, indicada pelos ponteiros do seu relógio, marcar 8 horas.

Mas, cadê o ônibus? Vejamos, se o relógio da empresa de transporte estiver sincronizado com o seu (e o trânsito estiver livre!), o ônibus também deverá estar na praça às exatas 8 horas. Assim, podemos dizer que você chegar à praça no momento em que os ponteiros do seu relógio indicarem 8 horas e o ônibus também chegar neste exato momento são eventos simultâneos. Mas e se o seu relógio estiver atrasado? Provavelmente você irá perder o ônibus e irá reclamar da empresa de transporte por não oferecer o serviço. Mas por certo que a determinação de eventos simultâneos que acorrem exatamente na mesma posição não é difícil, basta que você ajuste o seu relógio com o relógio da empresa de transporte e se apresse para estar na praça no horário

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marcado! Mas, quando dois eventos ocorrem em posições distantes, as dificuldades aparecem. Este é o problema básico na determinação de escalas de tempo, a dificuldade de sincronização dos indicadores de tempo, os relógios. Esta dificuldade não se limita ao bom funcionamento dos relógios, mas sim na dificuldade de transmissão dos sinais. Se você estiver na praça, basta perguntar as horas no balcão da empresa e ajustar o seu relógio; mas se você estiver em outra posição, vai depender de algum meio de transporte do sinal de resposta, por exemplo, o sinal do telefone celular. Caso fosse possível enviar sinais com velocidade infinita, você receberia a resposta (via telefone celular) instantaneamente e a tarefa de sincronização seria fácil. No entanto, nenhum sinal pode viajar a velocidade superior a c e, portanto, o sinal que você recebe via celular (cujo meio de transmissão são ondas eletromagnéticas na frequência de microondas) está sempre atrasado!

Por certo que o atraso inerente à propagação das ondas eletromagnéticas de uma localidade a outra dentro da sua cidade é totalmente desprezível (e você nunca poderá usar esta desculpa por perder o ônibus!); mas quando consideramos grandes separações espaciais, o tempo de propagação do sinal não pode ser desprezado. Este foi o erro cometido por Galileu, e também repetido por Newton, considerar implicitamente a capacidade de sincronização do tempo. De acordo com a teoria newtoniana, o sinal gravitacional emitido pelo Sol seria instantaneamente recebido na Terra, mas hoje sabemos que este sinal demora cerca de 8 minutos para chegar a nós. Portanto a luz que você observa da sua janela agora foi emitida pelo Sol aproximadamente 8 minutos atrás! Mas então, qual é a definição de “agora”?“Agora” representa o tempo que eu recebo o sinal aqui na Terra ou o tempo no qual o sinal foi emitido pelo Sol? Dois observadores, um na Terra e outro no Sol, dificilmente irão concordar quanto às coordenadas



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temporais de um evento. E não se trata apenas de uma particularidade das radiações eletromagnéticas, qualquer “sinal” que se propague à velocidade finita implicará nessas diferenças de coordenadas, visto que o tempo necessário para que o sinal chegue até o observador também será finito. A questão essencial é a limitação das velocidades (que por definição corresponde à distância dividida pelo tempo) e as implicações decorrentes para o conceito de espaço e tempo.

Na teoria de Newton, se um sinal é emitido de uma posição para outra, os respectivos observadores deverão concordar com o tempo gasto na trajetória do sinal, uma vez que o tempo era considerado absoluto, mas os diferentes observadores iriam discordar quanto à posição dos eventos. Por consequência, a velocidade estimada para o sinal emitido corresponderia à distância observada por cada um dividida pelo tempo observado. Neste caso, as grandezas estimadas para a velocidade do sinal recebido seriam diferentes. Já na teoria da relatividade, esta condição não é aceita e o contexto é exatamente oposto: ambos observadores deverão concordar quanto à velocidade do sinal. Podem discordar da posição e do tempo percorrido, mas a velocidade do sinal será sempre a mesma!

Em resumo, um determinado evento pode ser observado por um número irrestrito de observadores, cada qual em seu próprio sistema de referência. Entretanto, observadores situados em diferentes sistemas registrarão grandezas diferentes para as coordenadas do espaço-tempo. Lembre-se que um evento é um fato isolado que não é próprio de nenhum referencial, ou seja, não “pertence” a nenhum referencial inercial. Os eventos simplesmente ocorrem e qualquer observador pode associá-los a um sistema de coordenadas próprias. Portanto não existe a necessidade de concordância das coordenadas, visto que nenhum referencial é privilegiado. Em suma, a simultaneidade é relativa!

Esta nova concepção de simultaneidade no tempo,

34 EADFísica

ao contrário das considerações newtonianas, estabelece que o tempo não é uma grandeza isolada, com significado absoluto e independente da localização espacial, mas sim que espaço e tempo se combinam para formar um elemento composto denominado espaço-tempo. Assim, é intuitivo

Um evento ocorrendo em um tempo 1t e posição 1x é simultâneo a um evento ocorrendo em tempo 2t e posição 2x se os sinais emitidos em 1t de 1x e em

2t de 2x chegarem simultaneamente ao ponto médio entre 1x e 2 ,x medido geograficamente.

pensar nas quatro coordenadas de um evento (três espaciais e uma temporal) como coordenadas de um espaço único quadridimensional chamado espaço-tempo. Esta constatação levou Einstein a definir um novo conceito de simultaneidade para eventos separados:

Portanto dois eventos separados localmente serão considerados simultâneos para um observador situado no

Figura 1.2 – Ilustração da definição de simultaneidade dada por Eisntein.



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Física Moderna

ponto médio entre as duas posições, se, e somente se, os sinais emitidos por ambos chegarem simultaneamente a ele. Vide Figura 1.2. A definição de simultaneidade de Einstein mistura diretamente as coordenadas espaciais e temporais dos eventos, ao contrário do conceito clássico.

Uma consequência direta deste novo conceito de simultaneidade é que dois eventos que são considerados simultâneos em um sistema de referencial inercial não serão simultâneos em outro referencial que se move em relação ao primeiro. Em outras palavras, quando existe um movimento relativo entre dois observadores, geralmente, eles não concordam acerca da simultaneidade de dois eventos que estejam observando. Se um observador disser que os dois eventos são simultâneos, o outro dirá que não são e vice-versa! Não é possível julgar qual deles está certo ou errado, pois a simultaneidade não é um conceito absoluto, mas sim um conceito relativo, visto que é dependente do movimento do observador. Por certo que, em nossas experiências diárias, a diferença entre os eventos é tão pequena, uma vez que as velocidades dos observadores são baixas quando comparadas com a da luz, que os observadores acabam concordando quanto ao conceito de simultaneidade. Mas não podemos deixar de considerar a diferença resultante quando a velocidade relativa entre os observadores é comparável a .c

5 A RELATIVIDADE DO TEMPO

Vamos considerar uma experiência imaginária para analisar os efeitos da relatividade em uma sucessão de eventos detectados por dois observadores, enquanto um se move em relação ao outro. Imagine um casal de amigos, Ana e Paulo, os quais ajustaram seus respectivos relógios rigorosamente sincronizados. Ana está viajando em um trem que se move a velocidade v, indo ao encontro de Paulo. Este

36 EADFísica

aguarda ansiosamente por ela na plataforma da estação. Ao se aproximar da plataforma, Ana liga sua ponteira laser e emite um sinal luminoso direcionado para o teto do trem, onde há um espelho refletor. Assim, podemos definir dois eventos sucessivos: Evento 1: Ana emite o sinal de laser.

Evento 2: a luz refletida no espelho do teto do trem retorna à posição de Ana.

O intervalo de tempo decorrido entre estes dois eventos observados por Ana pode ser estimado como:

2' ,Dtc

∆ =

(1.5)Sendo D a distância entre a fonte de laser e o espelho

no teto do trem. Para Ana, ambos os eventos acontecem no mesmo local e, assim, ela pode medir o intervalo de tempo com o seu relógio de pulso. Ela então marca, inicialmente, o tempo no instante em que o laser é emitido e, posteriormente, o tempo em que a luz retorna à fonte. Esta medida de tempo estimada em dois momentos distintos, com um único relógio em repouso em relação ao observador, denomina-se intervalo de tempo próprio. Em nosso exemplo, este é o valor de ',t∆ mas é usual denominá-lo por 0.t∆ Mas e qual é a percepção de Paulo parado na plataforma da estação?

Paulo observa a passagem do trem onde Ana está

Figura 1.3 – Ana mede o intervalo de tempo que a luz leva para ir e voltar, usando um único relógio C, obtendo um tempo próprio

0.t∆ Paulo, examinando a passagem do trem, precisa de dois relógios sincronizados, C1 e C2, para medir o intervalo de tempo

.t∆



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Física Moderna

viajando. Para ele, a distância percorrida pelo laser emitido por Ana é um pouco maior que a distância observada por Ana, vide Figura 1.3.

Em seu percurso de ida e volta ao teto, a luz observada por Paulo percorre a distância 2L , sendo que o tempo estimado por ele para a trajetória total é:

2 ,Ltc

∆ =

(1.6)

onde:

221

2L v t D = ∆ +

(1.7)Mas, de acordo com (1.5),

1 ',2

D c t= ∆

então:

2 21 1 '2 2

L v t c t = ∆ + ∆

(1.8)

Substituindo o valor de L dado pela equação (1.8) na equação (1.6),

tem-se que:

38 EADFísica

2

' ,

1

ttvc

∆∆ =

−

(1.9)

Imagem 1.7: Albert Einstein em 1904Fonte: http://de.listofimages.com/

albert-einstein-1904-in-bern/

Como v é sempre menor que ,c de acordo com a equação (1.9), o intervalo de tempo medido por Paulo será sempre maior que o intervalo de tempo medido por Ana, ou seja, o intervalo de tempo próprio.

Em síntese: Ana e Paulo possuem relógios com funcionamento

idêntico e sincronizado. Ambos medem o intervalo de tempo entre dois eventos sucessivos. Ana está num referencial em repouso em relação aos eventos, visto que ambos ocorrem no trem em movimento onde ela está inserida, de modo que ela pode usar um único relógio para medir o intervalo de tempo. Para Paulo, os eventos ocorrem em pontos distintos no seu referencial e ele necessita de dois relógios idênticos e sincronizados para estimar o intervalo de tempo entre os eventos, sendo que cada um deles fica localizado no ponto onde ocorre o respectivo evento. Paulo verifica que, independente da velocidade do trem, o intervalo de tempo que ele estima para os eventos é sempre maior que o intervalo de tempo estimado por Ana. Este efeito relativístico é denominado efeito de dilatação do tempo. Nenhuma medição de qualquer observador, nem Paulo nem Ana, está errada, este é simplesmente um efeito da própria natureza, cada referencial tem o seu tempo. Apenas o referencial em repouso em relação aos eventos é dito referencial de tempo próprio, mas ambas as medidas estão corretas!

Importante notar que, para Paulo, os dois eventos ocorrem em locais distintos da plataforma e, para a medida de ,t∆ são necessários dois relógios distintos, 1C e 2C , localizados nos dois pontos diferentes do seu sistema de referência. Neste caso, intervalo de tempo estimado por



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Física Moderna

Paulo não é intervalo de tempo próprio, dado à necessidade de posicionamento de dois relógios.

Importante salientar que o efeito da dilatação do tempo não se aplica somente ao compasso dos relógios, mas igualmente a todos os fenômenos naturais que dependem do tempo, incluindo tempo de vida! Assim sendo, uma das considerações a respeito deste tema nos leva ao contexto conhecido como: Paradoxo dos gêmeos.

Considere dois irmãos gêmeos. Um deles parte em uma nave espacial para viajar pelo Cosmos e depois retorna à Terra, onde o outro irmão o está aguardando. Em relação ao irmão que ficou, o viajante teve sua percepção do tempo mais lenta, assim como o seu corpo físico, ou seja, as batidas do coração, a respiração e o desgaste celular também seguiram ritmos diferentes, mais lentos. Embora o viajante estivesse com seu relógio de pulso e não tenha notado nenhuma alteração em seu tempo próprio, o irmão que ficou vai aparentar mais idade no momento do reencontro! Poderia estar até mesmo morto, sendo representado apenas por sua neta!

Mas você deve estar se perguntando: porque o viajante não considerou a dilatação do tempo em relação ao irmão que ficou? Se ele fizesse esta correção, chegaria à conclusão de que está mais velho do que o irmão! Mas como o viajante pode estar fisicamente mais jovem, se a idade cronológica indica que ele está mais velho? Este contexto é conhecido como Paradoxo dos gêmeos. Mas como pode um ser mais jovem do que o outro? Qual deles realmente envelheceu mais do que o outro? Ou será que ambos têm a mesma idade?

As conclusões aparentemente contraditórias surgem porque os tempos estão sendo estimados em diferentes referenciais inerciais. De fato, não há nenhum paradoxo, o irmão viajante será efetivamente mais jovem quando retornar a casa! O viajante não deve “corrigir” seu tempo levando em

40 EADFísica

conta o efeito da dilatação, pois, em seu percurso de viagem, ele sofreu acelerações, deixando de estar em um referencial inercial e, portanto, a simetria de tempo entre os irmãos é quebrada. Apenas o irmão na Terra esteve em um referencial inercial todo o tempo. E, assim, o paradoxo é resolvido, não há nenhuma contradição! O paradoxo só existe para quem

considera o tempo absoluto. Na teoria da relatividade não há tempo absoluto, ou seja, cada indivíduo tem sua própria medida de tempo, sendo esta dependente de onde você está e como está se movendo.

Calcule a velocidade relativa de um relógio necessária para que um observador estacionário verifique que a taxa do seu relógio se reduz à metade da taxa do relógio idêntico que se move em relação a ele.

Solução:

A pessoa que se move juntamente com o relógio registra um intervalo de tempo próprio 0 ,t∆ uma vez que o relógio está em repouso em relação a ela. A pessoa que observa o relógio móvel registra um tempo dilatado t∆ para este relógio. De acordo com o enunciado do problema, temos que 0t 2 t .∆ = ∆ Então, tem-se:

2

121

γβ

= =−

Elevando ao quadrado:

EXERCÍCIO RESOLVIDO



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Física Moderna

( )24 1 1β− =

Portanto:

3 0,8664β = =

Assim, o relógio deverá deslocar-se com uma velocidade relativa igual a 87% da velocidade da luz para que o fator de dilatação do tempo seja igual a 2. Esta velocidade corresponde a circular o equador da Terra 6,7 vezes em um segundo.

6 A RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO

A dificuldade em estabelecer a simultaneidade dos eventos no espaço-tempo implica em outra dificuldade inerente aos referenciais em movimento. A propósito, você já tentou medir o comprimento de um peixe nadando no interior de um aquário? Pode imaginar a dificuldade inerente a esta medida?

Inicialmente, vamos considerar o mesmo exemplo da seção anterior, Ana viajando de trem, Paulo aguardando sua chegada na plataforma, enquanto Ana emite um sinal de laser para o teto do trem. Imagine se Paulo resolve estimar a distância percorrida pelo trem entre os momentos de emissão do sinal de laser até o retorno do sinal refletido no espelho. Imagine que Paulo coloca uma trena sobre a plataforma, cujas extremidades coincidem com a posição dos relógios 1C e 2.C Chamaremos de L o comprimento da trena medida no referencial de Paulo, o referencial no qual a trena está em repouso. Então, qual será o comprimento da trena estimado por Ana de dentro do trem?

No referencial de Ana, isto é, o do trem, a trena

42 EADFísica

está se movendo em uma direção paralela a seu próprio comprimento. Como a velocidade de Ana em relação a Paulo é ,v a velocidade de Paulo, e também da trena, em relação a Ana tem que ser exatamente – .v Caso contrário, haveria uma assimetria inerente aos dois referenciais e isto não é permitido na teoria da relatividade. Sendo 0t o intervalo de tempo medido por Ana entre os extremos da régua em 1C e

2 ,C então o comprimento da régua estimado por Ana será dependente deste intervalo de tempo ',t ou seja:

' 'L vt=

(1.10)Também é possível estabelecer uma equação relacionando as grandezas correspondentes medidas por Paulo. Para ele:

L vt=

(1.11)Combinando ambas as equações e eliminando v, tem-se:

' 'LL tt

=

(1.12)Mas, de acordo com a dilatação do tempo:

2

2' 1t v

t c= −

(1.13)Portanto, substituindo a equação (1.13) em (1.12), tem-se:

2

2' 1 vL Lc

= −

(1.14)Este resultado implica que a medida realizada

por Ana será sempre menor por um fator 2 21 / ,v c−



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Física Moderna

quando estimada em um referencial que se move em direção paralela ao seu próprio comprimento, do que o comprimento medido em um referencial em repouso, referencial da plataforma, isto é, o mesmo de Paulo. O comprimento da trena medido no referencial no qual ela está em repouso é chamado comprimento próprio. Em nosso exemplo, o comprimento próprio da trena corresponde à medida ,L mas é usual denominá-lo de 0.L

O efeito resultante das medidas discrepantes realizadas do referencial em movimento é chamado efeito de contração do comprimento, mas também é conhecido como contração de Lorentz. Este é mais um efeito decorrente da dificuldade em definir eventos simultâneos e, sendo assim, é intuitivo pensar que a medida de comprimento também deve ser relativa. Uma vez que Ana não tem como assegurar a simultaneidade dos eventos de passagem do trem pela trena, visto que o trem está em movimento, a medida estimada por ela será sempre discrepante em relação ao comprimento próprio da trena.

Vamos agora voltar ao problema da medição do comprimento de um peixe que nada livremente em um aquário. Você já sabe como estimar? Então vejamos: seja 0L o comprimento próprio do peixe, isto é, o comprimento medido por um observador em repouso em relação ao peixe. Se o peixe se move paralelamente a você, então o comprimento L que você medirá, se a velocidade do peixe for ,v é dado pela equação (1.14):

2

0 21 vL Lc

= −

Assim, o comprimento de um objeto que se

Imagem 1.8: Albert Einstein em 1912

Fonte:http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinstein.html

44 EADFísica

move em relação a você será sempre menor do que o comprimento próprio do referido objeto. Este é um efeito real da teoria da relatividade. Assim como a dilatação do tempo, a contração do comprimento é um efeito mensurável.

Duas espaçonaves, cada uma com o comprimento próprio 0 230 ,L m= passam uma pela outra, conforme indicado pela Figura 1A. Sônia, localizada no ponto A de uma espaçonave, mede um intervalo de tempo de 3,75 sµ

Mas você deve estar se perguntando, o peixe realmente encolhe? Os átomos e moléculas do peixe realmente se “comprimem”? Por certo que não, caso contrário o peixe não sobreviveria! A contração do comprimento é um efeito resultante do processo de medida em um referencial que se move. O correto é você pensar que a medida é afetada pelo movimento, mas não o objeto!

saiba mais


Figura 1A – Sônia mede o comprimento da espaçonave de Sam quando as duas naves se cruzam.

para a passagem da outra nave. Qual é o parâmetro de velocidade relativa entre as duas espaçonaves? Considere AB como a coincidência do ponto A com o ponto B e AC a coincidência de A com C .

Solução:

O intervalo de tempo entre os eventos AB e ,AC medidos por Sônia, usando um relógio situado no ponto

,A é um intervalo de tempo próprio 0 3,75 .t sµ∆ = O comprimento L que Sônia mede da outra espaçonave é próprio, sendo dado por:



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Física Moderna

0 0L v t c tβ= ∆ = ∆

Contudo, Sônia sabe que o comprimento próprio da outra espaçonave vale 0 230 ,L m= sendo:

200 1LL L β

γ= = −

Igualando as duas expressões anteriores, tem-se:

20 0 1c t Lβ β∆ = −

Elevando ao quadrado e explicitando β :

( )0

2 20 0

L

c t Lβ =

∆ +

( ) ( ) ( )2 2 28 6

230 0,2103,00 10 / 3,57 10 230

m

x m s x s mβ

−= =

+

Portanto as duas espaçonaves afastam-se com uma velocidade relativa de 21% à velocidade da luz.

7 AS TRANSFORMADAS DE LORENTZ

Nas últimas seções, discutimos os efeitos decorrentes da teoria relativística para descrição de eventos sucessivos realizados por observadores em diferentes referenciais inerciais, os efeitos da dilatação do tempo e o efeito de contração do comprimento. Nesta seção, vamos finalmente obter as equações de transformações de coordenadas

46 EADFísica

de um sistema para outro, sob a ótica relativística. Conforme discussão anterior, seção 1.2, você deve se recordar de que a transformação clássica, considerada por Galileu e Newton, é incompatível com o conceito de velocidade constante da luz. No entanto, em nossa experiência diária, limitada a casos em que as velocidades envolvidas são muito baixas quando comparadas a ,c as transformações galileanas, equações (1.1), correspondem satisfatoriamente à realidade observada. Apenas para velocidades comparáveis à velocidade da luz as transformações galileanas discordam das evidências experimentais. Assim sendo, podemos esperar que o tratamento relativístico se reduza ao tratamento clássico quando .v c Vejamos agora como obter as transformações relativísticas.

Considere uma terceira experiência imaginária, envolvendo os observadores O e ’,O sendo que o observador ’O se movendo relativamente a O, com velocidade de módulo v, no sentido positivo do eixo dos x e ’,x tal qual representamos na Figura 1.1(seção 1.2). Os planos xy e ’ ’x y são sempre coincidentes e as origens dos seus sistemas de coordenadas coincidem no instante

' 0.t t= = Neste instante, O’ produz um sinal luminoso em sua origem, o qual produz uma frente de onda luminosa que se expande, a partir do ponto de emissão, com velocidade c em todas as direções. Assim, no sistema

’,S a frente de onda em um tempo ’t será uma esfera, centrada na origem, de raio ' '.r ct= As coordenadas de um ponto qualquer pertencente à frente de onda neste instante deverão satisfazer à equação de uma esfera:

2 2 2 2 2' ' ' 'x y z c t+ + =

(1.15)Analogamente, no sistema ,S as coordenadas da

frente de onda serão:

Imagem 1.9: Hendrik Antoon LorentzFonte: http://www.nobelprize.

org/nobel_prizes/physics/laureates/1902/lorentz-bio.html



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Física Moderna

2 2 2 2 2x y z c t+ + =

(1.16)

E como encontrar a relação entre estes dois sistemas de coordenadas? De acordo com as discussões anteriores, já sabemos que as grandezas relativas ao tempo e à posição, ao longo do eixo de deslocamento entre os sistemas, deverão ser discrepantes. Então, vamos considerar que a forma a seguir seja válida para as equações de transformação:

( )'x x vtγ= −

'y y=

'z z=

( )' ,t tγ δ= +

(1.17)sendoγ uma grandeza adimensional e ä uma grandeza com dimensões de tempo. Nossa tarefa então será determinar as expressões de γ e .δ Por simples analogia com o tratamento clássico, já sabemos que, quando 0,v

c → devemos ter: 1γ → e 0.δ → E assim as equações (1.17) se reduziriam às

transformadas galileanas no limite clássico. Substituindo as transformações descrita sem (1.17) na expressão de (1.15), o resultado esperado seria obter uma expressão similar a (1.11), visto que nosso objetivo é obter as relações de transformação de um sistema de coordenadas para o outro. Procedendo assim, vamos tentar encontrar as relações para γ e δ que satisfazem a igualdade. Portanto a equação (1.10) se reduz a:

2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x vt y z c tγ γ δ− + + = +

(1.18) Perfazendo a expansão dos binômios, tem-se:

48 EADFísica

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x vxt v t y z c t tγ γ δ δ− + + + = + +

(1.19) Para que a igualdade acima seja válida e a equação se reduza à forma de (1.11), os termos em t devem se anular, de modo que:

2 2 22 2tc vxtδ γ γ= −

ou seja:

2vxc

δ = −

(1.20)

Conforme análise inicial, δ tem dimensões de tempo e, quando 0,v

c → 0.δ → Agora podemos substituir a expressão de 2δ em (1.18):

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

4( ) ( )v xx v t y z c tc

γ γ+ + + = +

(1.21)

Rearranjando os termos, tem-se:

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2v xx y z c t v tc

γ γ γ γ− + + = −

E agora reagrupando em termos de 2x e

2 :t

2 22 2 2 2 2 2 2

2 21 1 .v vx y z c tc c

γ γ − + + = −

(1.22)

Comparando esta última equação com a forma da



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Física Moderna

equação (1.17), é possível perceber que:

22

21 1,vc

γ − =

logo, tem-se:

2

2

1 .

1 vc

γ = −

(1.23) Nota-se que o parâmetro γ é adimensional e que 1,γ → quando 0.v

c → O parâmetro γ é denominado fator de Lorentz e é comumente expresso como:

( )2

1 ,1

γβ

=−

(1.24)sendo:

.vcβ ≡

Assim, chegamos às transformações de coordenadas válidas para qualquer velocidade, incluindo a velocidade da luz, deduzidas a partir dos postulados da teoria da relatividade:

( )' ,x x vtγ= −

( )'2 .vxt t cγ= −

(1.25) Analogamente, partindo das equações de (1.25), é possível obter as transformações inversas simplesmente rearranjando as variáveis:

50 EADFísica

( )' ' ,x x vtγ= −

( )2' ' .vxt t cγ= −

(1.26)Estas equações, (1.25) e (1.26), definem as

transformações de variáveis de espaço-tempo da relatividade e são chamadas de transformadas de Lorentz. Note que estas se reduzem às transformadas galileanas, quando a velocidade v é desprezível em relação à velocidade da luz,

.c Observando as equações em (1.25) e (1.26), notamos que, se de fato a velocidade da luz fosse infinita, os efeitos

A esta altura, você deve estar se perguntando porque as transformações de variáveis da teoria da relatividade receberam o nome de transformadas de Lorentz e não transformadas de Einstein? A justificativa do nome se deve a uma homenagem prestada ao grande físico holandês, Hendrick Lorentz, que obteve esta formulação matemática pela primeira vez, alguns anos antes da publicação dos trabalhos de Einstein. Porém Lorentz tentou relacioná-las com o conceito de éter, na tentativa de consolidar as bases da teoria clássica dos elétrons. Apesar da formulação matemática desenvolvida por Lorentz, a interpretação conceitual da relatividade e a mudança de paradigma de tempo absoluto para espaço-tempo relativo somente foi introduzida nos trabalhos de Einstein. Uma prova incontestável de que a interpretação física constitui o cerne das mudanças introduzidas pela teoria da relatividade.

saiba mais

relativísticos seriam desprezíveis e a física clássica nunca falharia. No entanto, para velocidades ,v maiores que c , s transformadas de Lorentz não têm significado físico, uma vez que o valor de γ será uma grandeza complexa. Desta forma, podemos concluir quão importante é o papel da velocidade limite ,c para a descrição dos fenômenos físicos. A equação (1.9) (seção 1.5), que expressa o efeito da dilatação do tempo relativístico, também é frequentemente



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de

Física Moderna

representada em termos do fator de Lorentz:

0.t tγ∆ = ∆

(1.27)E mais, o efeito de contração do comprimento

pode ser expresso em termos do fator de Lorentz, sendo:

0 .LLγ

=

(1.28)Imagem 1.10: Albert Einstein em 1921

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

Se dois eventos ocorrem num mesmo local de um referencial inercial, o intervalo de tempo entre os dois eventos, 0 ,t∆ medido por um único relógio em repouso, denomina-se intervalo de tempo próprio. Todos os outros observadores inerciais fora deste sistema medirão um intervalo de tempo maior do que 0.t∆

O comprimento 0L de uma barra, medindo no sistema inercial de referência no qual a sua barra está em repouso, denomina-se seu comprimento próprio. Todos os outros observadores inerciais fora deste sistema medirão um comprimento menor do que 0L na direção do movimento.

Você por acaso conhece algum “maluco” capaz de esperar na plataforma da estação de trem, munido de uma trena gigante, relógios idênticos e sincronizados, medindo distância entre eventos que ocorrem dentro dos trens? Imagino que não... Mas não se desespere, os exemplos descritos nesta unidade são exemplos clássicos dos cursos de relatividade, os quais tentam criar situações hipotéticas para explicar os efeitos da teoria, mas, de fato, não correspondem às situações corriqueiras do nosso cotidiano. Os efeitos da teoria da relatividade são sensivelmente detectados e analisados no estudo do Cosmos, onde as distâncias envolvidas são astronômicas e a única informação proveniente dos eventos é a luz emitida por eles. Neste contexto, a dificuldade em estimar medidas, estabelecer escalas de tempos e inferir as coordenadas próprias de cada evento tornam imprescindíveis as considerações relativísticas discutidas neste módulo.

você sabia?

52 EADFísica

Os efeitos da dilatação do tempo e a contração do comprimento podem ser resumidamente enunciados como se segue:

Num referencial inercial S , uma única lâmpada vermelha acende-se 5,35 sµ depois que surge um flash azul. A distância entre as duas lâmpadas é igual a

2,45 ,x km∆ = sendo que o flash vermelho ocorre num ponto x mais afastado do que o flash azul. Um sistema inercial ’S move-se no sentido positivo de x com um parâmetro de velocidade 0,855.β = Qual é a distância entre os dois eventos e o intervalo de tempo entre eles medido no sistema ’?S

Solução: de acordo com as transformadas de Lorentz, substituindo ,v cβ= temos:

( )' ,x x c tγ β∆ = ∆ − ∆

e' .xt t

cγ β ∆ ∆ = ∆ −

Sabemos que:

2,45 2450 ,V Ax x x km m∆ = − = =

e

65,35 5,35 10 .V At t t s x sµ −∆ = − = =




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de

Física Moderna

Porém,

2 2

1 1 1,9281 1 (0,855)

γβ

= = =− −

Substituindo na expressão de ' :x∆

( )' 8 6(1,928) 2450 0,855 (3,00 10 / )(5,35 10 )x m x x m s x s− ∆ = −

' 63,147 10 3,15x x s sµ−∆ = − ≈ −

Conclui-se que, no referencial S’, a lâmpada vermelha também está mais afastada do que a lâmpada azul; contudo a distância entre as duas lâmpadas é 2,08km e não 2,45km. O sinal negativo do último resultado nos informa que, contrariamente ao que ocorre no referencial S, no referencial S’ o flash vermelho ocorre antes do azul. Além disso, a diferença de tempo entre os dois sinais é de 3,15µs e não 5,35µs.

Um avião, viajando com velocidade ,u vai do Rio de Janeiro até São Paulo. Em relação a um referencial inercial S fixo no solo, o avião levanta voo no Rio e aterriza em São Paulo; estes dois eventos são separados por uma distância x∆ e por um intervalo de tempo .t∆ Suponha que um observador inercial ’S meça estes dois eventos. Verifique se é possível que estes eventos sejam registrados em ’S numa sequência oposta, ou seja, o observador ’S pode ver o avião aterrizar em São Paulo antes de levantar voo no Rio de Janeiro?


54 EADFísica

Solução:

Vamos considerar a transformada de Lorentz:

' ( )xt t cγ β ∆∆ = ∆ −

As quantidades x∆ (a distância entre o Rio e São Paulo) e t∆ (o tempo de voo) são quantidades positivas. Vamos calcular o valor de β para que ',t∆ na relação anterior, tenha um valor negativo. Para isso, devemos ter a condição:

x tc

β ∆> ∆

Porém, xt

∆∆ é justamente a velocidade u do avião

no sistema .S Portanto a condição anterior exige que:cu

β >

Entretanto um avião não pode ter velocidade superior à velocidade da luz, ou seja, ( ) 1,c

u > de modo que a exigência anterior se reduz a: 1.β > Mas esta condição não pode ser alcançada, novamente porque não é possível alcançar velocidades maiores que .c Portanto um avião não pode aterrizar antes de levantar voo, mesmo na relatividade restrita! Estes dois eventos não são independentes, pois estão relacionados por uma sequência de causa e efeito e, portanto, em todos os referenciais inerciais, eles ocorrerão nesta mesma sequência. Concluí-se, portanto, que, mesmo na teoria da relatividade, é impossível inverter a sequência de eventos relacionados por causalidade. Se o evento A é a causa do evento ,B então todos os observadores, independentemente de suas velocidades, concordarão que A ocorra sempre antes de .B Assim, em nenhum sistema de referência você poderia nascer antes dos seus pais!



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Física Moderna

8 TRANSFORMAÇÕES DE VELOCIDADE RELATIVÍSTICA

Vamos agora mostrar como a velocidade de uma partícula vista por um observador no sistema inercial S relaciona-se com a velocidade da mesma partícula vista por outro observador inercial no sistema ’.S Podemos representar a velocidade da partícula no sistema S como:

, , x y zdx dy dzu u udt dt dt

= = =

Analogamente para o sistema ’S :

' ' '' , ' , 'x y zdx dy dzu u udt dt dt

= = =

De acordo com as transformadas de Lorentz, sabemos que:

'

22

1 ( )1

dx dx vdtv

c

= −−

'dy dy=

'dz dz=

'22

2

1

1

dxdt dt vcv

c

= − −

(1.29)

Substituindo as expressões para 'dx e 'dt em (1.29), temos:

56 EADFísica

22

2 2222

1 ( )1''

1 1 11

xx

x

dx vdt dxv v u vdx c dtu v dx vudxdt dt vc dt ccv

c

−−− −

= = = = − −− −

( )2

2

2

22 22 222

1''1' 1 11

11

y yx

dy vdy dy cdtu uvudxdt v dxdt v

cc c dtv vcc

−= = = =

−− − −−

( )22

2

22 22 222

1''1' 1 11

11

z zx

dz vdz dz cdtu uvudxdt v dxdt v

cc c dtv vcc

−= = = =

−− − −−

(1.30)

Portanto as expressões acima descrevem, para cada componente, a transformação de velocidades relativísticas. Observe que, quando v

c tende a zero, as equações acima recaem nas mesmas equações da transformada clássica, sendo:

'x xu u v= −

'y yu u=

'z zu u=

Quando utilizada a notação vetorial, as equações acima podem ser expressas simplesmente como:


Fonte:http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinstein.html



1U

nida

de

Física Moderna

2

' 1

u vu v uc

−=

⋅−

(1.31)A relação acima é conhecida como a Lei da Velocidade

Relativística.

9 MASSA, MOMENTO E ENERGIA RELATIVÍSTICA

Face às novas transformações de velocidade, você deve estar curioso a respeito da validade das leis da mecânica clássica, como conservação de momento e energia. Por certo que a aplicação da teoria relativística precisa considerar também estas questões. A modificação introduzida por Einstein nas equações de transformação implica na introdução de novos fatores de compensação nas equações da mecânica. Neste contexto, fez-se necessário desenvolver uma nova mecânica, convenientemente chamada de mecânica relativística.

Inicialmente, vamos tratar do momento linear. Para o caso de uma partícula de massa m se movendo com velocidade constante v no sentido positivo de x , o momento linear definido pela mecânica clássica é estimado como:

,xp mv mt

∆= =

∆

(1.32)sendo ∆x a distância percorrida durante o tempo ∆t. Diante da restrição de velocidades imposta pelo limite c na teoria relativística, deveríamos esperar que o momento máximo que uma partícula pode atingir seria então: mc. Mas como interpretar fisicamente um limite finito para o momento de uma partícula?

58 EADFísica

De modo a preservar a definição clássica de momento, Einstein resolveu considerar uma alteração na massa das partículas, definindo-a como função da velocidade v, ou seja:

( )m m v=

(1.33)Por certo que, no limite clássico, 1,v

c devemos ter: ( ) 0 ,m v m= sendo 0m a massa da partícula medida classicamente, ou seja, em repouso. Esta ponderação é necessária para assegurar a validade da mecânica clássica, uma vez que esta corresponde perfeitamente bem às observações em baixas velocidades.

Resta agora determinar a função ( ).m v Para isso, partindo da definição clássica, podemos considerar que o momento de uma partícula, vista por um observador no referencial da própria partícula, ou seja, que se move junto a ela, e que, portanto, é capaz de medir um intervalo de tempo próprio da partícula, é dado por:

00

xp mt∆

=∆

A expressão acima também pode ser descrita em função do parâmetro de Lorentz:

0 0 00 0

x x t xp m m mt t t t

γ∆ ∆ ∆ ∆= = =

∆ ∆ ∆ ∆

Mas ,x vt∆ =∆ a velocidade da partícula e, portanto,

tem-se:

0p m vγ=

(1.34)Esta é a definição de momento relativístico, que

também pode ser apresentado na forma clássica, apenas considerando a massa como função da velocidade,



1U

nida

de

Física Moderna

( ) ,m m v= tipo:( )p m v v=

Então, a função m é definida como massa relativística, sendo:

0 022

1( )1

m v m mv

c

γ= =−

(1.35)Portanto a massa relativística de uma partícula é

função da massa de repouso da mesma, modificada pelo fator de Lorentz. Assim, a massa relativística de uma partícula cresce rapidamente à medida que a velocidade cresce, tendendo ao infinito quando a velocidade da partícula, ,v tende à velocidade da luz, .c Desta forma, ao contrário da definição clássica, não existe limite para o momento de uma partícula relativística. A única restrição que permanece é o limite de velocidade c .Verifique que para baixas velocidades,

1,vc tem-se: ( ) 0.m v m= Condição em conformidade

com as descrições da mecânica clássica e as observações cotidianas.

Mas e a energia cinética da partícula? Como defini-la na concepção relativística?

Vamos considerar a partícula descrita acima, massa de repouso 0 ,m inicialmente parada em 0.x = Para que seu movimento se inicie, é necessário que uma força seja aplicada à partícula. Vamos então considerar uma força de módulo

,F no sentido positivo do eixo ,x suficiente para colocar a partícula em movimento. Para estimar a energia cinética da partícula, precisamos calcular o trabalho realizado, que chamaremos de ,K por esta força enquanto a partícula se move até o ponto ,fx x= sendo ft o tempo no qual a partícula atinge .fx Assim sendo, de acordo com a definição de trabalho, tem-se:

60 EADFísica

0 0 0

f f fx x xdxK Fdx F dt Fvdtdt

= = =∫ ∫ ∫

(1.36) Para resolver a integral acima, precisamos encontrar uma expressão para a força .F De acordo com a mecânica newtoniana, esta força pode ser expressa em termos da variação do momento da partícula, ou seja, .dpF dt=

Supondo que esta definição de força continue válida para o tratamento relativístico, vamos apenas substituir a expressão do momento para momento relativístico e perfazer a integral acima. Portanto:

0 0

f ft tdpK v dt vdpdt

= =∫ ∫

Para resolver esta integral, precisamos empregar a tática de integração por partes, sendo:

[ ]00 0

f f

f

t ttvp pdv vdp= +∫ ∫

Assim, podemos expressar K como:

[ ]00

f

f

vtK vp pdv= − ∫

Substituindo a expressão para o momento relativístico, tem-se:

0 02 202 2

0

1 1 1 1

f

f

v

v

K v m v m vdvv v

c c

= − − −

∫

Reorganizando os termos em v e passando 0m para fora da integral, tem-se:



1U

nida

de

Física Moderna

20

02 202 2

0

1 1

f

f

v

vm v vdvK m

v vc c

= − − −

∫

(1.37)Resolvendo a integral anterior, obtém-se:

22 22

20 22

0

11

fv

vc vK m c cv

c

= + − −

Trabalhando um pouco mais a expressão de K :

f fv v2 2

2 22 2

0 02 22 2

00

v v1 1c cK m c m cv v1 1c c

+ − = =

− −

É possível simplificar ainda mais e, omitindo o índice f , tem-se:

220

0221

m cK m cv

c

= −−

(1.38)

Esta última corresponde, então, à expressão para a energia cinética relativística para a partícula de massa de repouso 0m que se move com velocidade .v Mas também

A integral da expressão (1.37) pode ser resolvida sem dificuldade por meio

de uma substituição de variáveis: 2

2 ,v ac

= enquanto: 22 . vdv dac

= Assim:

( ) ( )

21 12 2 2 22 2

220 2

1 1 1 122 11

fvvdv da vc c a da c a c

cavc

−= = − = − = −−−

∫ ∫ ∫

nota complementar


Fonte: http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinstein.html

62 EADFísica

nota complementar

é possível expressá-la em termos do fator de Lorentz, como:

20 ( 1)K m c γ= −

(1.39)Agora nos resta testar o valor de K no limite

1.vc Aparentemente, neste contexto, o valor de 0.K →

Entretanto, uma análise mais cuidadosa deste limite pode ser feita por meio da expansão em série de Taylor para o termo da raiz quadrada, sendo:

12 22

2 20 02 2

11 1 1 12

v vK m c m cc c

− = − − ≈ + −

E, por fim:2 22

0 022 2

m c m vvKc

≈ =

Assim, assegura-se que a expressão relativística de K se reduz à formulação clássica em baixas velocidades.

Você se lembra da expansão em série de Taylor? Esta é uma ferramenta matemática muito útil quando precisamos estimar o valor aproximado de uma função próximo a determinado ponto, sendo definida como:

( ) ( ) ( )' '' 20 0 0 0f x f f x f xε ε ε+ ≅ + + +…

Uma vez que o termo 2

2v

c tende a zero no limite clássico, a expansão em série de Taylor para o termo sob a raiz quadrada da expressão em K discutida acima pode ser feita, em boa aproximação, considerando apenas os termos lineares em å, ou seja, os dois primeiros termos da expansão. Assim:

( ) ( )'0 0 0f x f f xε ε+ ≅ +

( ) ( )1

2 22 1 32 2

2 211 1 12

v vc c

−− −

− ≈ − −

12 2 22

2 2 211 1 12

v v vc c c

− − ≈ + ≈ +



1U

nida

de

Física Moderna

Vamos analisar um pouco mais a expressão de ,K dada por (1.38). Nota-se que a energia cinética relativística de uma partícula é expressa como a soma de dois termos, sendo um dependente da velocidade, v , e outro termo constante. Sendo K a energia cinética, é natural deduzir que os demais termos também representem valores de energia associados à velocidade da partícula. Assim, podemos generalizar a expressão como:

( ) ( ) (0)K v E v E= −

sendo:

( )2

202

21

m cE v mcv

c

= =−

(1.40)lembrando que m é a massa relativística definida anteriormente. Já o termo (0)E pode ser interpretado como

( )E v quando 0,v = isto é:

( ) 200E m c=

(1.41)Esta energia, (0)E , foi nomeada por Einstein como energia de repouso da partícula de massa 0m . Invertendo a expressão de K (1.38) como se segue:

( ) ( ) 20 ,E v K v m c= +

(1.42)fica mais fácil interpretar o significado da equação 2

0E m c=

(1.41). Esta, portanto, define a energia relativística total de uma partícula, sendo equivalente à soma das energias cinética e de repouso da partícula com massa 0.m Esta é uma das mais famosas equações da teoria da relatividade. Embora o processo de dedução desta equação seja baseado em suposições que, embora razoáveis, não apresentam embasamento conceitual, as previsões da teoria relativística

64 EADFísica

já foram extensivamente testadas, nos mais diversos sistemas, por meio de experiências apropriadas, tendo sido muito bem sucedidas. Nem mesmo o incremento considerado com a energia de repouso de uma partícula é capaz de ferir as considerações da física clássica para o princípio de conservação de energia.

Por outro lado, o conceito de energia relativística total é bastante útil na descrição dos processos em que há variação da massa de repouso de um sistema. É possível mostrar que esta variação é sempre acompanhada por uma variação da energia cinética de modo que a energia final sempre se conserva. Assim, a energia relativística total, descrita pela expressão (1.42), tem uma implicação profunda para o entendimento da relação entre matéria e energia. De acordo com a previsão de Einstein, massa e energia podem ser convertidas entre si. Massa também é uma forma de energia! Este, por exemplo, é o princípio básico por trás dos processos nucleares, como decaimento radioativo, fissão e fusão nucleares.

Embasadas pelas previsões de Einstein e também pela descoberta do nêutron em 1932, pelo físico inglês James Chadwick, as pesquisas nucleares avançaram sob a perspectiva de construção de uma nova

arma: a bomba nuclear, um artefato com alto poder de destruição, capaz de alcançar milhões de megatons, isto é, toneladas de TNT. No entanto, se a explosão de uma bomba nuclear pode ser considerada um triste exemplo de aplicação da teoria da relatividade,

o processo controlado, tal qual ocorre nos reatores nucleares, pode representar uma aplicação justa e benéfica para toda humanidade. Atualmente, boa parte da energia elétrica consumida em vários países provém do núcleo atômico!

Imagem 1.13: Explosão de uma bomba atômica resultado de um processo de fissão nuclear.Fonte: http://www.brasilescola.com/quimica/quimica-nuclear.htm

você sabia?



1U

nida

de

Física Moderna

Na mecânica clássica, uma relação bastante útil considera a energia cinética de uma partícula em função do seu momento linear. Na mecânica relativística também é possível estimar esta relação entre K e ,p mas, de antemão, podemos esperar o surgimento de termos adicionais dependentes da energia de repouso, vejamos: o ponto de partida é a relação clássica:

221 1

2 2 2pK mv pvm

= = =

Invertendo esta última, tem-se: 2 2 .p Km= Procedendo da mesma maneira, é possível eliminar

a variável v da equação do momento e correlacioná-la com a energia total da partícula, vejamos como. Sabemos que a expressão do momento relativístico é dada por:

00 2

2

1

m vp m vvc

γ= =

−

portanto:

2 2 2 2 22 0 0

2 2 2

2

1

m v m v cpv c vc

= =−−

Assim:

2 2 2 2 2 2 20c p p v m v c− =

Rearranjando os termos:

2 2 2 2 2 2 20c p p v m v c= +

2 2 2 2 2 20( )c p v m c p= +

66 EADFísica

Explicitando v :

2 2 20

cpvm c p

=+

Agora, vamos substituir a expressão de v na equação da energia total relativística, (1.40), elevada ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

2 4 2 42 0 0

2 2 2

2 2 2 2 20

1 1( )

m c m cEv c pc c m c p

= =− −

+

Simplificando os termos:

2 4 2 4 2 2 22 0 0 0

2 2 2 2 2 20 0

2 2 20

( )

( )

m c m c m c pEm c p p m c

m c p

+= =

+ −+

Cortando os termos do numerador e denominador, tem-se:

2 2 2 2 20( )E c m c p= +

E, finalmente, encontramos uma expressão que correlaciona a energia total relativística e o momento da partícula:

2 2 2 2 40E c p m c= +

(1.43)



1U

nida

de

Física Moderna

10 CONSERVAÇÃO DE ENERGIA RELATIVÍSTICA

A esta altura, você deve estar se perguntando: como é possível compatibilizar a energia de repouso com a lei de conservação de energia da física clássica? Na verdade, não há nenhuma contradição, vejamos: como as experiências no mundo clássico envolvem sempre sistemas nos quais a energia de repouso é constante (massa constante), as energias de repouso podem ser adicionadas em ambos os lados das equações de balanço, sem destruir a validade da lei de conservação.

Pode-se ainda generalizar a energia total para um sistema de partículas como:

( )2 20 0i i iE E m c m c Kγ= = = +∑ ∑ ∑ ∑

(1.44)

E pode ser enunciada como:

Quando medida em um dado sistema de referência, para um sistema isolado, a energia relativística total E de um sistema de partículas permanece sempre constante, independentemente das interações ocorridas entre as partículas do sistema.

E o que acontece quando a massa do sistema varia? É permitido na natureza variar a massa de repouso de uma partícula? Sim, é este o contexto de muitas reações nucleares. Para estes processos, os testes experimentais demonstram que a variação na energia de repouso é compensada exatamente por uma variação na energia cinética, de modo que a energia relativística total do sistema sempre se conserva! Assim, nos processos de decaimento nuclear, a energia total do sistema depois da interação permanece igual à energia total do sistema antes da transformação.

68 EADFísica

Em 1939, Albert Einstein, temendo a ascensão do governo nazista, escreveu uma carta ao presiden-te dos Estados Unidos, Franklin Roosevelt, enco-rajando as pesquisas nu-cleares com fins bélicos. Na sequência, nasceu o Projeto Manhattan com o propósito de construção de uma bomba atômica. Após um exaustivo perío-do de investigação e tes-tes, em 1945, depois da rendição dos alemães, os Estados Unidos lançaram sobre as cidades japone-sas de Hyroshima e Naga-saki duas bombas nuclea-res, causando a rendição do governo japonês e o consequente fim da Se-gunda Guerra Mundial. Apesar do risco iminente de construção da bomba pelos alemães, é sabido que Albert Einstein, den-tre outros cientistas que participaram do Projeto Manhattan, lamentou pro-fundamente o apoio dado a esta causa.

Este é exatamente o caso típico de explosão de uma bomba atômica, na qual a energia de repouso (massa de repouso) das partículas é convertida em energia cinética das partículas que participam da reação.

Assim sendo, uma vez que a energia relativística total de um sistema de partículas também pode ser escrita na forma: 2 ,E mc=∑ sendo m a massa relativística, logo a Lei de Conservação de Energia pode ser expressa como a Lei de Conservação da Massa Relativística, mas não necessariamente ocorre conservação da massa de repouso. Portanto embora a massa de repouso de um sistema possa variar, a massa relativística permanece sempre constante.

As considerações acima constituem a base da famosa relação de Einstein: 2E mc= , a qual afirma que a energia de repouso pode ser convertida livremente em outras formas de energia.

Assim como a lei de conservação de energia, é possível mostrar que também as equações de Maxwell

também são con-sistentes com a mecânica rela-tivística, isto é, não apresentam contradições in-ternas. Embora a demonstração

fuja do escopo deste curso, é importante ressaltar quão completa e consistente é a teoria da relatividade. Uma teoria que permeia todas as áreas da física e que já passou por extensivos testes experimentais e diferentes valida-ções sem nenhuma discordância, constituindo-se, por-tanto, num modelo completo de teoria.

você sabia?

Imagem 1.14: Albert Einstein em 1953Fonte:http://www.guardian.co.uk/science/2008/may/12/

peopleinscience.religion



1U

nida

de

Física Moderna

Um elétron possui uma energia cinética 2,53 .K MeV= Pergunta-se: )a qual é a sua energia cinética

total?

20E m c K= +

Solução:

A energia de repouso de um elétron é dada por: ( )2 31 8 2 14

0 9,11 10 (3 10 / ) 8,199 10 0,511m c x kg x m s x J MeV− −= = =

Assim,

0,511 2,53 3,04E MeV MeV MeV= + =

)b qual é o momento linear ?p

Solução:

A equação do momento linear é: 2 2 2( ) ( ) .E pc mc= + Substituindo os valores, tem-se:

2 2 2(3,04 ) ( ) (0,511 )MeV pc MeV= +

Assim:

2 2(3,04 ) (0,511 ) 3,00pc MeV MeV MeV= − =

É costume representar, na física das partículas elementares, o momento linear p em termos de unidades de energia dividida por .c Então:

3,00Mevpc

=


70 EADFísica


)c Calcule a massa relativística do elétron.

Solução:

2 20E m c mcγ= =

Assim:

02 2

0

m EEmc m c

= =

0 03,04 5,950,511

MeVm m mMeV

= =

Portanto a massa relativística do elétron é 5,95 vezes sua massa de repouso. Este valor corresponde exatamente ao Fator de Lorentz.

Um próton é acelerado até alcançar uma velocidade de 1,08 TeV no acelerador do Fermilab. Calcule: )a o parâmetro de velocidade .β

Solução:

Considerando a equação de energia relativística sob a forma:

2 2K mc mcγ= −

Explicitando o valor de γ , temos:

2

2 2 1K mc Kmc mc

γ += = +



1U

nida

de

Física Moderna

12

61,08 10 1 1151,0 1 1152938,3 10

x eVx eV

γ = + = + =

Este fato de Lorentz, 1152,γ = é muito maior do que 1, indicando que a teoria da relatividade é realmente importante para este problema, uma vez que a energia cinética do próton que se move (com 121,08 10x eV ) é mais de 1000 vezes maior do que sua energia de repouso

6(938,3 10 ).x eVConhecido o valor de ã, podemos concluir que o

fator β deverá ser muito próximo de 1 e, portanto, em vez de resolver a equação em termos de β , é preferível resolvê-la em termos de 1 ,β− a diferença entre seu valor e a unidade. Assim, tem-se:

( )( ) ( )2

1 1 1 ,1 1 2 11

γβ β ββ

= = ≈− + −−

considerando a aproximação: 1 2β+ ≈ . Elevando ao quadrado e invertendo a equação:

( )7

221 11 3,77 10

2 2 1152xβ

γ−− = = =

Finalmente, encontramos o valor de :β

71 3,77 10 0,999999623xβ −= − =

Sugestão:

Se você duvida da aplicabilidade da teoria da relatividade, tente resolver este problema segundo a física clássica,

2

.2vK m= Você, provavelmente, encontrará

uma velocidade igual a 48 vezes a velocidade da luz!

72 EADFísica

)b Calcule a diferença entre a velocidade da luz e a velocidade deste próton.

Solução:

1 (1 )vv c v c cc

β ∆ = − = − = −

Usando os valores já calculados, temos:

( ) ( )8 71 3,00 10 / (3,77 10 )v c x m s xβ −∆ = − =

113 /v m s∆ =

11 TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL

Conforme dito no início desta unidade, a teoria da relatividade é subdividida em duas partes: a teoria especial, formulada em 1905, e a teoria geral, formulada em 1916. A primeira, amplamente discutida nesta unidade, lida com os efeitos do movimento uniforme sobre o espaço e o tempo, tendo como princípio a velocidade limite da luz. A segunda inclui os efeitos adicionais da aceleração da gravidade e propõe que a gravitação não é apenas uma força, mas, sim, um efeito da curvatura do espaço-tempo em função da presença de matéria. Neste caso, pode-se dizer que a existência de matéria altera a geometria do espaço-tempo e, consequentemente, partículas presentes neste “espaço-tempo curvo” terão suas trajetórias alteradas. Ao invés dos movimentos retilíneos com velocidade constante, a nova trajetória será definida pelas geodésicas espaciais com movimentos acelerados.



1U

nida

de

Física Moderna

Embora a teoria da relatividade geral tenha implicações profundas no estudo do Universo, a investigação detalhada deste assunto ficará fora do alcance deste módulo. No entanto, cabe ressaltar que a teoria apresentada por Albert Einstein abriu uma nova era no campo da cosmologia, permitindo a investigação detalhada da própria estrutura geométrica do Universo, por meio das equações da relatividade geral, servindo, assim, como principal ferramenta descritiva da natureza.

Imagem 1.15: Capa da revista Time em dezembro de 1999: “Albert

Einstein personalidade do século”Fonte:http://www.time.com/time/magazine/

article/0,9171,993017,00.html

RESUMINDO

• Um referencial inercial corresponde a qualquer referencial que se move com velocidade constante em relação a outro, ou seja, um referencial não acelerado.

• O Princípio da Relatividade: as leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe referencial inercial privilegiado!

• O Postulado da Velocidade: a velocidade da luz no vácuo tem sempre o mesmo valor c em todas as direções e em todos os sistemas inerciais.

• Um evento é algo que ocorre de tal modo que um observador pode associá-lo a três coordenadas espaciais e uma coordenada temporal.

• Conceito de simultaneidade: a simultaneidade não é um evento absoluto, mas sim relativo, pois depende do movimento do observador. Este efeito é consequência direta da velocidade finita c .

74 EADFísica

• O intervalo de tempo próprio, 0 ,t∆ corresponde a uma medida de tempo estimada em dois momentos distintos com um único relógio em repouso em relação ao observador.

• Definições: /v cβ = é o parâmetro de velocidade e 21/ 1γ β= − é o fator de Lorentz.

• O efeito da dilatação do tempo:

0 002 2

,1

1

t tt tvc

γβ

∆ ∆∆ = = = ∆

− −

• Comprimento próprio, 0 ,L corresponde ao comprimento real de um objeto, medido num sistema de referência inercial, no qual o objeto está em repouso.

• A contração do comprimento: para um observador que se desloque em velocidade v em relação ao sistema inercial original, o comprimento medido por ele será:

2

2 00 021 1 LvL L L

cβ

γ= − = − =

• Transformações de Lorentz correspondem às equações que relacionam as coordenadas de um único evento visto por observadores em sistemas distintos. Se considerarmos dois sistemas, S e

’,S com uma velocidade v no sentido positivo de ,x tem-se: ( )'x x vtγ= − e ( )'

2 .vxt t cγ= −



1U

nida

de

Física Moderna

• Transformações de velocidades: a velocidade de uma partícula vista por um observador no sistema inercial S relaciona-se com a velocidade da mesma partícula vista por outro observador inercial no sistema ’S da forma:

2

' 1

u vu v uc

−=

⋅−

• Uma vez válidas as leis de conservação de energia e momento, as expressões para ,p K e E de uma partícula em dinâmica relativística são:

00 2

2

( )1

m vm v momentorelativísticovc

γ =

−

( )20 1 ( )K m c energiacinética relativísticaγ= −

( )2

202

2

( )1

m cE v mc energia total raltivísticav

c

= =−

• Definições: 0m é a massa de repouso de uma partícula e 0mγ é a sua massa relativística.

• A energia total relativística se relaciona com o momento da partícula por meio da expressão:

2 2 2 2 40E c p m c= +

(energia total relativística)

76 EADFísica

ATIVIDADES

1. Que fração da velocidade da luz corresponde a

cada uma das seguintes velocidades, isto é, qual

é o parâmetro de velocidade β : (a) velocidade

característica do deslocamento dos continentes

(2,54 / );cm ano (b) a velocidade de flutuação

de elétronstransportados por uma corrente num

condutor (0,5 / ),mm s (c) velocidade limite

das autoestradas (90 / ),km h (d) a velocidade

média quadrática de uma molécula de hidrogênio

à temperatura ambiente, (e) a velocidade de

escape de um projétil da superfície da Terra, (f) a

velocidade da Terra na sua órbita em torno do Sol,

(g) a velocidade típica de recessão de um quasar

distante 4(3,0 1 0 / ).x km s

2. Determine a velocidade de uma partícula que leva

dois anos a mais do que a luz para percorrer a

distância de 6,0 anos-luz.

3. Qual deve ser o parâmetro de velocidade ,β

se o fator de Lorentz γ for: ( )1 ,01a , ( )1 0,0b ,

( )1 00c e ( )1 .000d ?

4. A vida média de múons encerrados numa caixa

de chumbo, fixo num laboratório, é 2,2 sµ . A

vida média dos múons de alta velocidade, numa

explosão de raios cósmicos, observada da Terra, é

16 sµ . Determine a velocidade destes múons de

raios cósmicos.



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Física Moderna

5. Uma barra mantém-se paralela ao eixo x de um

referencial ,S movendo-se ao longo deste eixo com

velocidade 0,63 .c O seu comprimento de repouso é

1,70 .m Qual será seu comprimento medido em ?S

6. O comprimento de uma astronave é calculado para

ser exatamente a metade do seu comprimento de

repouso. )a Qual é a velocidade da astronave em

relação ao observador do sistema no qual foi calculado

o seu comprimento? )b Por qual fator os relógios da

astronave movimentam-se em ritmo mais lento em

relação aos relógios do sistema deste observador?

7. Uma nave espacial, com um comprimento de repouso

de 130 ,m passa por uma estação de observação com

a velocidade de 0,74 .c ( )a Qual é o comprimento

da nave medido pela estação? ( )b Qual é o intervalo

de tempo registrado pelo monitor da estação entre a

passagem da parte dianteira e a da parte traseira da nave?

8. Um avião, cujo comprimento de repouso é de 40,0 ,m

desloca-se, em relação à Terra, com uma velocidade

constante de 630 / .m s ( )a Em que fração do seu

comprimento de repouso parecerá encurtado para um

observador na Terra? ( )b Quanto tempo demorará, de

acordo com um observador na Terra, para que o relógio

no avião se atrase de 1,00 ?sµ (Suponha que somente

a relatividade restrita seja aplicável.)

9. Um observador S determina as seguintes coordenadas

78 EADFísica

de tempo e espaço para um evento: 1 00 x km= e

200 .t sµ= Quais são as coordenadas deste evento

num referencial 'S que se move no sentido positivo

do eixo x com a velocidade de 0,95 ?c Suponha

'x x= para ' 0.t t= =

10. Um sistema inercial 'S se desloca com uma

velocidade de 0,60c em relação ao referencial S.

Dois eventos são registrados. No referencial ,S o

evento 1 ocorre na origem em 0t = e o evento 2

ocorre no eixo dos x em 3,0 x km= e 4,0 .t sµ=

Quais são os instantes de ocorrência registrados

pelo observador S’ para estes mesmos eventos?

Explique a diferença na ordem do tempo.

11. Para circular em torno da Terra, numa órbita

baixa, um satélite deve ter uma velocidade de

aproximadamente 27.353 km/h. Suponha que

dois desses satélites orbitem a Terra em sentidos

opostos. ( )a Qual é a velocidade relativa com que

um passa pelo outro, de acordo com a equação de

transformação da velocidade de Galileu? ( )b Que

erro foi cometido em ( )a por não ter sido usada

a equação (correta) de transformação relativística?

12. Um elétron desloca-se a uma velocidade tal que

poderia circunavegar a Terra, pelo Equador, em um

segundo. ( )a Qual é a sua velocidade em termos

da velocidade da luz? ( )b Qual é a sua energia

cinética K ? ( )c Qual é o erro percentual cometido

se a energia cinética K for calculada pela fórmula

clássica?



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Física Moderna

13. Qual é o trabalho necessário para aumentar a

velocidade de um elétron de ( )0,18a c até 0,19c e

( )0,98b c até a 0,99 ?c Observe que o aumento de

velocidade igual a 0,01c é o mesmo nos dois casos.

14. ( )a De acordo com a física clássica, que diferença

de potencial aceleraria um elétron até a velocidade

da luz? ( )b Com esta diferença de potencial, que

velocidade realmente atingiria?

15. Uma partícula de massa m tem um momento linear

igual a .mc Quais são ( )a o seu fator de Lorentz,

( )b a sua velocidade e ( )c a sua energia cinética?

16. Imagine as seguintes partículas, todas elas em

movimento no vácuo: um fóton de 2,0 ,eV um

elétron de 0,40 MeV e um próton de 10 . MeV ( )aQual delas se move mais rapidamente? ( )b Qual

delas se move mais lentamente? ( )c Qual delas

tem o maior momento linear? ( )d Qual delas tem

o menor momento linear? Lembre-se: um fóton é

uma partícula de luz, com massa nula!

80 EADFísica

EISBERG, Robert; RESNICK Robert. Física Quântica, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1988.

FEYNMAN Richard. Física em Seis Lições. Rio de Janeiro: Editora Ediouro, 1999.

GLEISER, Marcelo. A dança do Universo, dos Mitos de Criação ao Big-Bang. São Paulo: Editora Companhia de Bolso, 1997.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; MERRILL, John. Fundamentos de Física. vol. 4. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1991.

LOPES, José Leite. A Estrutura Quântica da Matéria, do átomo pré-socrático às partículas elementares.3. ed. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2005.

TAYLOR, Edwin; WHEELER, John Archibald.Spacetime Physics, Introduction to Special Relativity. 2nd edition, New York: Freeman and Company, 1991.

Bibliografia Consultada



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Suas anotações

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QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA, ONDAS E

PARTÍCULAS

Nesta unidade, serão discutidos os conceitos:

• radiação de corpo negro;• quantização de energia;• efeito fotoelétrico;• dualidade onda partícula; • os postulados de De Broglie;• o Princípio da Incerteza.

Aofinaldestaetapa,oalunoserácapazdeentender:

• as bases da mecânica quântica; • a correlação entre matéria e energia; • ospostuladoseprincípiosbásicosqueregemosfenômenosem

pequenas escalas.

2ªunidade


Quantização de energia, ondas e partículas

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1 INTRODUÇÃO

Na unidade anterior, vimos como a Teoria da Relatividade, por meio de questionamentos elementares como a velocidade limite da luz, alargou a nossa visão de: espaço, tempo, simultaneidade, matéria e energia. Por mais surpreendente que possa parecer, vimos que um objeto em movimento sofre contração de seu comprimento na mesma direção em que se move; vimos que um relógio em movimento funciona mais lentamente que outro em repouso; vimos que o conceito de simultaneidade é relativo; e que massa e energia podem ser convertidas entre si.

Nesta unidade, novos conceitos serão apresentados, invocando o mundo das pequenas dimensões, o comportamento da luz e a interação entre matéria e radiação. Assim como a Relatividade conta com uma constante de forte significado, a velocidade da luz, c, a física quântica também conta com uma constante fundamental, chamada constante de Planck, h, característica do mundo quântico. Por meio do estudo da radiação térmica, seremos levados ao conceito de quantização de energia e alcançaremos a compreensão do papel da constante de Planck no mundo físico. Por fim, veremos como o comportamento da matéria em pequenas escalas se diferencia do comportamento descrito pela física clássica.

2 EMISSÃO TÉRMICA

No final do século XIX, o espectro eletromagnético previsto pela teoria de Maxwell já era bem conhecido, graças ao trabalho de diversos físicos alemães. Logo no início do século, Joseph Fraunhoffer descobriu que o espectro de emissão solar exibia uma série de linhas escuras superpostas às cores do arco-íris (estas foram descobertas por Newton!).

Física Moderna

86 EADFísica

Você deve estar se per-guntando: será que os seres humanos emitem radiação térmica? Sim, to-dos nós emitimos! De fato, qualquer corpo aquecido à temperatura maior do que o zero absoluto emite on-das eletromagnéticas. No nosso caso, seres huma-nos com temperatura cor-poral de aproximadamente

37 ,C° as frequências de máxima emissão ocorrem na faixa de infravermelho. Este é o princípio por trás das câmeras de visão no-turna, ou seja, câmeras de infravermelho. Estas dis-pensam a iluminação dos corpos na faixa do visível, uma vez que é permitida a detecção da própria radia-ção térmica.

você sabia? Outros dois alemães, Gustav Kirchhoff e Robert Bunsen, anunciaram, por volta de 1860, a descoberta de que todos os elementos químicos têm a capacidade de emitir e absorver luz em comprimentos de onda específicos. Em 1886, foi a vez de Heinrich Hertz descobrir as ondas de rádio e, mais tarde, em 1895, os raios X foram descobertos por Wilhelm Röntgen. Assim, ao final do século XIX, o espectro eletromagnético adquiria maior completeza e os cientistas da época começavam a questionar os mecanismos de emissão espectroscópica. Àquela época, os cientistas não entendiam nem mesmo como se dava a emissão de radiação por objetos aquecidos, tal qual uma barra de ferro em brasa.

A radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura é chamada radiação térmica. Todo corpo emite este tipo de radiação para o meio que o cerca, e dele absorve. Sim, o processo de emissão e absorção é incessante e simultâneo, faz parte do mecanismo de interação com o meio e é o principal responsável pelo processo de termalização. Por exemplo, se um corpo estiver mais quente do que o meio, ele deverá se resfriar gradativamente, visto que sua taxa de emissão será maior do que a taxa de absorção. O equilíbrio térmico será atingido quando as taxas de emissão e absorção forem iguais.

A matéria em estado condensado (sólido ou líquido) emite um espectro contínuo de radiação, isto é, cobre certa faixa do espectro eletromagnético com intensidade contínua. Neste caso, o espectro emitido independe do material ou da forma do objeto, é característico apenas da temperatura. Vejamos um exemplo: imagine colocar uma barra de ferro imersa no fogo. Inicialmente, a barra apresenta coloração típica, marrom escuro, mas, à medida que ela vai se aquecendo, sua cor e brilho começam a mudar. Com o aumento da

Imagem 2.1: Imagem térmica do corpo humano obtida via câmera com sensor de radiação na faixa

do infravermelho. Áreas mais frias são aquelas em azul, passando pelo verde, amarelo, laranja,

até o vermelho, correspondendo estas as áreas mais quentes.

Fonte: http://biologicalexceptions.blogspot.com.br/2011/10/why-cant-we-just-go-with-flow-high-

cost.html



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temperatura, a quantidade de radiação emitida aumenta e os efeitos são visíveis: a parte aquecida adquire uma coloração avermelhada, tornando-se incandescente. Em temperatura ainda mais alta, a luz emitida seria branco-azulada. Neste caso, a cor da luz emitida, isto é, a frequência da luz emitida, é proporcional à temperatura.

Segundo a física clássica, o fenômeno de emissão térmica por uma barra de ferro incandescente poderia ser explicado por meio da combinação de teorias da termodinâmica e do eletromagnetismo, visto que o processo envolve cargas elétricas, as quais podem vibrar em resposta à energia absorvida, emitindo luz com frequências mais altas, à medida que a temperatura aumenta. Acontece que, na prática, existe certo grau de dependência do material para o espectro emitido. No caso específico do ferro, o material se derrete antes de atingir o tom azulado. Apesar do infortúnio, os físicos dedicados ao estudo da radiação emitida se questionavam se poderia haver um irradiador ideal, isto é, um dispositivo capaz de emitir radiação com espectro dependente apenas da temperatura. Esses seriam, portanto, irradiadores de espectro térmico de caráter universal.

3 RADIAÇÃO DE CAVIDADE

Na ânsia por estudar a emissão térmica, Gustav Kirchhoff (o mesmo que descobriu a emissão espectroscópica) propôs, por volta de 1860, a construção de um dispositivo de cavidade interna, similar a um forno, mas com características particulares: nenhuma radiação poderia ser emitida pelas paredes externas do dispositivo que seriam mantidas a temperatura constante, .T Neste caso, com o aquecimento da cavidade do dispositivo, o calor absorvido pelas paredes internas do mesmo induziria

Física Moderna

88 EADFísica

o movimento dos átomos, os quais começariam a vibrar e colidir entre si, emitindo radiação eletromagnética para o interior da cavidade. Esta mesma radiação seria reabsorvida internamente, favorecendo o equilíbrio entre absorção e emissão. Assim, a radiação incidente será refletida por repetidas vezes no interior da cavidade.

O dispositivo idealizado por Kirchhoff foi denominado corpo negro, visto que toda a radiação emitida no interior da cavidade seria absorvida pelas paredes internas do próprio corpo. Neste caso, o espectro emitido deveria ser um espectro contínuo, uma vez que as linhas de emissão e absorção do material se cancelariam mutuamente (condição de equilíbrio), fazendo com que a emissão não dependesse do material nem da geometria da cavidade, mas apenas da temperatura interna. Um pequeno orifício na parede do dispositivo foi aberto a fim de permitir a passagem da radiação para o meio externo, de modo que esta pudesse ser analisada. A Figura 2.1 ilustra um dispositivo deste tipo. Assegurando-se de que a área do orifício é muito pequena comparada com a superfície interna da cavidade, uma quantidade desprezível de radiação será extraída para investigação do espectro característico da temperatura T das paredes do dispositivo. Esta temperatura, por sua vez, tem o mesmo caráter que a radiação emitida pela superfície de um irradiador ideal, tipo corpo negro, a temperatura .T

Figura 2.1 – Ilustração de um irradiador ideal: um forno aquecido a uma temperatura ,T do qual a radiação escapa através de um pequeno orifício em uma das paredes.



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Portanto segundo Kirchhoff:

Imagem 2.2: Gustav Kirchhoff Fonte: http://www-history.mcs.st-

andrews.ac.uk/PictDisplay/Kirchhoff.html

Um corpo negro corresponde a um dispositivo irradiador ideal, cujo espectro da radiação emitida é conhecido como espectro de corpo negro, sendo a temperatura do corpo o único fator determinante para a quantidade de energia emitida em cada frequência.

Independente dos detalhes de sua constituição, verifica-se que todos os corpos negros à mesma temperatura emitem radiação térmica com o mesmo espectro. As propriedades universais da radiação de cavidade, ou radiação de corpo negro, fazem com que estes dispositivos sejam de interesse teórico particular, uma vez que o espectro emitido é útil para a compreensão do processo de emissão da radiação, da mesma forma que o conceito de “gás ideal” é útil para a compreensão dos fenômenos termodinâmicos.

Mas como analisar o espectro de corpo negro? Vamos começar discutindo a distribuição espectral da radiação de corpo negro. Esta é especificada pela quantidade

( ),TR ν chamada radiância espectral, definida de forma que ( )TR dν ν seja igual à energia emitida por unidade de tempo em radiação de frequência compreendida no intervalo compreendido entre ν e ,dν ν+ por unidade de área de uma superfície a temperatura .T As primeiras medidas precisas dessa grandeza foram obtidas em 1899, por Lummer e Pringsheim, utilizando um instrumento similar ao espectrômetro de prisma.

A dependência observada experimentalmente de ( )TR ν em ν e T é mostrada na Figura 2.2, a que mostra

a radiância espectral de um corpo negro em função da frequência da radiação, para diferentes temperaturas. Observe que a frequência na qual a radiância máxima ocorre (linha pontilhada) aumenta linearmente com a temperatura, e a potência total emitida por metro

Física Moderna

90 EADFísica

quadrado (área sob a curva) aumenta muito rapidamente com a temperatura. Em particular, para 1000 ,T K= observa-se que a potência é máxima para 14 ~1 ,1 10 ,x Hzν uma vez que a potência irradiada é máxima para esta frequência. Há muito pouca potência irradiada abaixo de 140,5 10 ,x Hz chegando à potência nula para ν igual a zero. Para valores acima de 14 ~1 ,1 10 ,x Hzν a potência irradiada cai lenta, mas continuamente à medida que ν cresce, e cai novamente a zero, quando ν se aproxima de valores infinitamente grandes.

Figura 2.2 – Radiância espectral de um corpo negro em função da frequência da radiação mostrada para temperaturas de 1000 ,K 1500K e 2000 .K A linha pontilhada indica a freqüência na qual a radiância máxima ocorre. Note que este valor aumenta linearmente com a temperatura, enquanto a potência total emitida (área sob a curva) aumenta muito rapidamente com a temperatura.

Fonte: Eisberg & Rensick,1998

A integral da radiância espectral ( )TR ν sobre todas as frequências ν corresponde à energia total emitida por unidade de tempo, por unidade de área, por um corpo negro a temperatura ,T e é denominada radiância ,TR sendo:

( )0

T TR R dν ν∞

= ∫(2.1)

Conforme discussão acima, ( )TR ν cresce rapidamente com o aumento da temperatura. Este fato foi enunciado pela primeira vez em 1879, sob a forma de uma relação empírica, sendo conhecido como lei de Stefan, sendo:



2U

nida

de

4 ,TR Tσ=

(2.2)onde σ é a chamada constante de Stefan-Boltzmann e vale:

8 2 45,67 10 /x W m Kσ −=

O deslocamento do espectro para regiões de maiores frequências à medida que a temperatura aumenta é conhecido como lei do deslocamento de Wien:

,max Tν ∝(2.3)

sendo maxν a frequência ,ν na qual ( )TR ν tem seu valor máximo para uma dada temperatura. À medida que T cresce, maxν se desloca para frequências mais altas.

Todos os resultados apresentados acima estão de acordo com as experiências realizadas. É notório que o aumento de temperatura ocasiona quantidade maior de radiação térmica emitida e a frequência de maior intensidade se desloca para valores maiores, conforme previsto pelas leis de Stefan e Wien. Entretanto, nossa investigação não está completa, falta estimar a distribuição por frequência da radiância espectral, ( ).TR ν Ainda não apresentamos esta relação por um motivo muito especial: resulta daí uma das maiores discrepâncias entre a teoria clássica e os dados experimentais, a qual ficou conhecida como catástrofe do ultravioleta. Este será o nosso próximo assunto.


Suponha que temos dois pequenos corpos opacos separados por uma grande distância, sustentados por fios num grande recipiente onde se fez vácuo, e cujas paredes são opacas e mantidas a temperatura constante.

Física Moderna

92 EADFísica

Neste caso, os corpos e as paredes podem trocar energia apenas através de radiação. Sendo e a taxa de emissão de energia radiante por um corpo e a a taxa de absorção de energia radiante, mostre que, no equilíbrio, é valida a relação:

1 2

1 2

1e ea a

= =

Esta relação é conhecida como a lei de Kirchhoff para a radiação.

Solução: O estado de equilíbrio é tal que a temperatura é constante em todo o sistema fechado, e nesse estado a taxa de emissão é necessariamente igual à taxa de absorção para cada corpo. Assim, tem-se:

1 1e a=

2 2 e a=

Portanto é válido dizer que:

1

1

1ea

=

e:2

2

1ea

=

Ou seja:

1 2

1 2

1e ea a

= =

Em resumo, se um corpo, por exemplo, o corpo 2, for um corpo negro, então 2 1,a a> porque um corpo negro é melhor absorvedor do que um que não é corpo



2U

nida

de

negro. Logo, segue-se que 2e deve ser maior que 1.e Então, o fato observado de que bons absorvedores também são bons emissores é previsto pela lei de Kirchhoff.

4 CATÁSTROFE DO ULTRAVIOLETA

Vamos então estimar a distribuição por frequência da radiância espectral, ( ).TR ν Consideremos uma cavidade com paredes metálicas aquecidas uniformemente a uma temperatura .T Então, as paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica de frequências. Sabemos que esta emissão ocorre em função do movimento acelerado dos elétrons constantes nas paredes metálicas, devido à agitação térmica. No entanto, não é necessário estudar a emissão dos elétrons, mas sim o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade. Este foi o procedimento adotado pelos físicos ingleses Lord Rayleigh e Sir James Jeans, no ano de 1900, para estimar a radiação emitida por um corpo negro.

Segundo a teoria eletromagnética, a radiação dentro da cavidade deve existir na forma de ondas estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas do corpo. Utilizando argumentos geométricos, Rayleigh e Jeans fizeram uma estimativa do número de ondas estacionárias, cujas frequências estão no intervalo compreendido entre ν e

,dν ν+ a fim de determinar como este número depende de .ν Segundo a física clássica, mais precisamente a teoria cinética dos gases, a energia total média dessas ondas, quando o sistema está em equilíbrio térmico, depende apenas da temperatura .T Assim, o número de ondas estacionárias no intervalo de frequência, multiplicado pela energia média das ondas e dividido pelo volume da cavidade seria uma

Física Moderna

94 EADFísica

boa estimativa para a energia média da radiação contida na cavidade no intervalo de frequência ν e .dν ν+ Esta seria, então, a densidade de energia, ( ),Tρ ν grandeza proporcional à desejada radiância espectral, ( ) :TR ν

( ) ( )T TRρ ν ν∝

O resultado encontrado para a quantidade de ondas estacionárias, ( ),N ν permitida para cada frequência ν é:

( ) 2 33

8 ,N d d acπν ν ν ν=

(2.4)onde a é a medida da aresta da cavidade. Resta agora estimar o cálculo da energia total média associada a cada onda esta-cionária.

De acordo com a física clássica, a energia de uma onda pode assumir qualquer valor, de zero a infinito, sendo este valor proporcional ao quadrado do módulo de sua amplitude. Entretanto, para um sistema contendo grande número de entes físicos do mesmo tipo, em equilíbrio térmico entre si, a uma temperatura ,T a física clássica faz previsões bem definidas acerca dos valores médios das energias destes entes. A previsão vem da teoria cinética clássica e é chamada lei da equipartição de energia. Esta lei, ou princípio, estabelece que, para um sistema de moléculas de um gás em equilíbrio térmico a uma temperatura T , a energia cinética média de uma molécula por grau de liberdade é dada por ,2

kT sendo k uma constante denominada constante de Boltzman, e vale: 231,38 10 / .k x J K−= Esta previsão da física clássica se aplica perfeitamente ao contexto, se considerarmos que os entes são as ondas estacionárias que têm apenas um grau de liberdade, no caso a amplitude do campo elétrico. Entretanto, por se tratar de ondas estacionárias com oscilação senoidal, a energia total de cada onda é igual a duas vezes o valor



2U

nida

de

atribuído à energia cinética média. Assim, de acordo com a equipartição clássica, cada onda estacionária na cavidade tem uma energia total média dada por:

kTε =

(2.5)Importante notar que esta estimativa prevê que a

energia total média independe da frequência de cada onda. Agora, nos resta multiplicar a energia total média estimada

em (2.5) pelo número de ondas estacionárias na cavidade, expressão (2.4). Assim, obtém-se, finalmente, a fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro:

( )2

38

TkTd d

cπνρ ν ν ν=

(2.6) Esta expressão, a princípio, define como deve ser o

espectro de radiação de corpo negro em função da frequência emitida. É possível notar que, em baixas frequências, a emissão é mais fraca, entretanto, à medida que a frequência cresce, a previsão teórica vai a infinito. Entretanto, os valores experimentais indicam que a radiação emitida é sempre finita e tende a zero, para frequências muito altas, conforme observamos na Figura 2.2. Portanto o espectro previsto pela física clássica era completamente diferente daquele medido em laboratório. A previsão teórica sequer passa pelo máximo da curva experimental! Diante das evidências, era gritante a necessidade de reformulação da teoria, a fim de explicar os espectros obtidos experimentalmente. A constatação desta falha grosseira da teoria clássica na previsão dos espectros de corpo negro ficou conhecida como a catástrofe do ultravioleta termo sugestivo que enfatiza a não validade da teoria clássica nesta região do espectro eletromagnético.

Física Moderna

96 EADFísica

5 A QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA

A catástrofe do ultravioleta culminou em um dos maiores dilemas científicos vivenciados pelos físicos no século XX. Após várias tentativas frustradas no intuito de conciliar a teoria clássica e as medidas experimentais, no dia 19 de outubro de 1900, o físico alemão Max Planck anunciou à sociedade Berlinense de física que havia encontrado uma solução para contornar o problema dos espectros de corpo negro. Entretanto a solução apresentada por Planck acabou por provocar uma revisão profunda de conceitos clássicos, desta vez os conceitos relacionados com a continuidade dos processos da natureza.

Ao tentar solucionar a discrepância entre a teoria e a experiência, Planck percebeu que era necessário introduzir “um corte” na distribuição de energia para altas frequências, ou seja, era necessário satisfazer a condição:

0εν→→∞

(2.7)E, assim, Planck foi levado a considerar a hipótese

de violação da lei de equipartição de energia, um dos pilares da teoria cinética. Planck então se voltou à investigação da origem da lei de equipartição, chegando até a lei de distribuição de Boltzmann:

( )kTeP

kT

ε

ε−

=

(2.8)Esta formulação expressa a probabilidade,

( ) ,P dε ε de encontrar um dado ente de um sistema com energia no intervalo entre ε e ,dε ε+ quando o número de estados de energia para o ente nesse intervalo independe de ε . Assim, de acordo com a teoria clássica,

Imagem 2.3: Max PlanckFonte: http://www.spaceandmotion.

com/Physics-Max-Planck.htm

A função de distribuição de Boltzmann está dire-tamente relacionada à função de distribuição de velocidades de Maxwell e nos diz como as molécu-las em um gás, a pres-são e temperatura cons-tantes, se distribuem de acordo com suas veloci-dades. Assim, a função de distribuição de Bolt-zmann estima a energia de uma molécula num sistema de moléculas em equilíbrio térmico.

você sabia?



2U

nida

de

a energia das ondas estacionárias oscilando em movimento harmônico simples em equilíbrio térmico, no interior de uma cavidade de corpo negro, deveria ser governada por (2.8).

Para estimar a energia média dos entes no sistema que estamos considerando, é necessário calcular:

( )( )

0

P d

P d

ε ε εε

ε ε

∞

−∞∞= ∫∫

(2.9)O integrando no numerador da expressão acima

representa a energia ε , ponderada pela probabilidade que o ente tem de ser encontrado com esta energia. Já o denominador representa a probabilidade de encontrar o ente com qualquer energia e, portanto, deve ter unitário. Assim, obtém-se justamente a lei de equipartição de energia,

.kTε =

A grande contribuição de Planck surgiu quando ele percebeu que poderia obter o corte necessário na distribuição, indicado em (2.7), caso modificasse o cálculo que leva de ( )P ε a ,ε tratando a energia ε como se ela fosse uma variável discreta ao invés de uma variável contínua. Assim, a suposição de Planck era que a energia ε só poderia assumir certos valores discretos, ao invés de qualquer valor!

Planck considerou, ainda, que os valores discretos de energia fossem uniformemente distribuídos, sendo o conjunto de valores permitidos do tipo:

0, , 2 ,3 , 4ε ε ε ε ε= ∆ ∆ ∆ …

E mais, Planck descobriu que era possível obter kTε ≅ quando a diferença entre energias sucessivas ε∆

fosse pequena, e ~ 0ε quando ε∆ fosse grande. Assim, era preciso obter: ε∆ pequeno para baixas frequências e ε∆ grande para altas frequências, ou seja, ε∆ deveria ser uma

Física Moderna

98 EADFísica

função crescente em ν . Sendo assim:

ε ν∆ ∝

(2.10)Considerando, a princípio, uma relação mais simples

possível entre ε∆ e ,ν Planck propôs:

,hε ν∆ =

(2.11)Sendo h uma constante de proporcionalidade, cujo

valor foi obtido em função do melhor ajuste entre os espectros obtidos experimentalmente. A constante h foi batizada como constante de Planck, em homenagem ao seu proponente, e tem valor estimado em:

346,63 10 .h x J s−=

A formulação obtida por Planck para a energia média das ondas estacionárias, ε , é obtida por meio da substituição da expressão (2.11) na integral (2.9), sendo:

( )( )

( )0 1

hkT

P d h

P d eν

ε ε ε νε ε νε ε

∞

−∞∞= = =

−

∫∫

(2.12)E, seguindo a definição em (2.6), o espectro de corpo

negro de Planck resulte em:

( )2

38

1T h

kT

hd dc

eν

πν νρ ν ν ν=−

(2.13)



2U

nida

de

Em função do comprimento de onda, tem-se:

( ) 58

1T hc

kT

hc ddeλ

π λρ λ λλ

=− (2.14)

Importante salientar que Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, ele apenas considerou valores discretos de energia para as ondas estacionárias eletromagnéticas, oscilando senoidalmente com o tempo. Procedendo assim, ele obteve uma expressão para a radiância de corpo negro perfeitamente ajustada às medidas obtidas em todos os comprimentos de onda, conforme mostra a Figura 2.3. A densidade de energia estimada por Planck para a radiação de corpo negro a diferentes temperaturas em função do comprimento de onda é ilustrada na Figura 2.4.

Figura 2.3 – Previsão de Planck para a densidade de energia (linha sólida) comparada aos resultados experimentais (círculos0 para a densidade de energia de um corpo negro a

temperatura de 1599 .K° Estes dados levaram a um valor de 346,57 10 .x J s− Fonte: Eisberg & Resnick, 1998

Física Moderna

100 EADFísica

Faltava ainda analisar duas questões: a lei Stefan e a lei de deslocamento de Wien a partir da fórmula de Planck! A lei de Stefan pode ser obtida integrando-se a lei de Planck sobre todo o espectro de frequência. Perfazendo a integral, obtém-se que a radiância estimada é proporcional à quarta potência da temperatura, em conformidade com a lei, sendo a constante de proporcionalidade, igual a:

48 2 4

2 32 5,67 10 /

15k x W m K

c hπσ −= =

Já a lei de deslocamento de Wien é obtida por meio da condição:

( ) 0,dd

ρ λλ = resultando em:

0,2014 .max

hcTk

λ =

As constantes ao lado direito da equação acima representam a constante de proporcionalidade de Wien, cujo valor estimado é: 32,898 10 . .x m K− Assim,

Figura 2.4 – A densidade de energia de Planck da radiação de corpo negro a várias temperaturas em função do comprimento de onda. Observe que o comprimento de onda

no qual a curva atinge seu máximo decresce à medida que a temperatura cresce.Fonte: Eisberg & Resnick, 1998.

você sabia?

A mais forte das comprova-ções experimentais a res-peito da radiação de corpo negro foi obtida em 1965 com a descoberta da Ra-diação Cósmica de Fundo. Esta radiação permeia todo o universo, que é também denominada radiação de corpo negro universal, apresenta espectro de cor-po negro quase perfeito com máximo de emissão na região de microondas, e é considerada um dos pi-lares do modelo de univer-so em expansão. Segundo este modelo, a radiação de fundo é remanescente dos primórdios do universo, estaria se propagando pelo espaço e se resfriando, à medida que o universo se expande, mantendo inalte-rada a forma do espectro. Atualmente, em órbita da Terra encontra-se um saté-lite europeu, batizado com nome Planck, cuja finalida-de é estudar a distribuição espacial desta radiação e inferir parâmetros obser-váveis para investigação de modelos cosmológicos como o modelo do Big Bang.

Imagem 2.4: Ilustração do satélite Planck atualmente em órbita.Fonte: http://planck.caltech.edu/



2U

nida

de

podemos reduzir a expressão acima a:

32,898 10 .maxT x m Kλ −=


Supondo que as superfícies estelares se comportam como corpos negros, é possível obter uma boa estimativa de suas temperaturas. Sabendo que o valor medido de

maxλ para o nosso Sol é 5100maxλ = 侌, , enquanto que para a Estrela do Norte (Estrela Polar) é de 3500maxλ = 侌, , ache:

)a a temperatura de superfície dessas estrelas.

Solução: Invertendo a lei de deslocamento de Wien, tem-se:

32,898 10 .

max

x m KTλ

−

=

Substituindo os valores de ,maxλ temos:

33

102,898 10 . 5,68 10 57005100 10Sol

x m KT x K Kx m

−

−= = ≅

33

102,898 10 . 8,28 10 83003500 10Norte

x m KT x K Kx m

−

−= = ≅

b) usando a lei de Stephan e a temperatura calculada no item a, determine a potência máxima irradiada por

21cm de superfície estelar.

Física Moderna

102 EADFísica

Solução:

Para o Sol, o valor de TR será:

( )8

44 7 2 22 4

5,67 10 5700 5,90 10 / 6.000 /Tx WR T K x W m W cm

m Kσ

−

= = = ≅

Para a Estrela do Norte:

( )8

44 8 2 22 4

5,67 10 8300 2,71 10 / 27.000 /Tx WR T K x W m W cm

m Kσ

−

= = = ≅

6 PLANCK E A QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA

A formulação de Planck para a radiação de corpo negro representa o marco de nascimento da física quântica. Entretanto, apesar do esforço de Planck, seu trabalho não estava completo, faltava encontrar um significado físico por trás da nova formulação. Por certo que esta foi a tarefa mais difícil!

Apesar da boa concordância entre a teoria e os dados experimentais, a ideia de que a energia da radiação só pode-ria obter valores discretos não estava muito bem ajustada à física da época, pois não havia uma base conceitual que justi-ficasse tal fenômeno. Como conciliar o conceito de radiação eletromagnética, impecavelmente descrita pelas equações de Maxwell, e o conceito de descontinuidade de energia? E mais, como descrever os fenômenos ondulatórios típicos, como interferência e difração, na condição de energia dis-creta? Estes eram os maiores questionamentos no início do século XX (antes da publicação dos trabalhos da teoria da relatividade de Einstein!).

Na tentativa de explicar a física por trás do seu tra-



2U

nida

de

balho, inicialmente Planck propôs que os átomos (respon-sáveis pela emissão das ondas eletromagnéticas) não liberam radiação de modo contínuo, mas o fazem em múltiplos dis-cretos, como pequenos “pacotes” de uma quantidade funda-mental de energia. Estes “pacotes”, Planck chamou de quan-tum, palavra que em latim significa uma “porção”. Assim, Planck abandonava a ideia tradicional e bastante arraigada nos físicos da época de que a energia de um oscilador har-mônico varia continuamente. Entretanto, o próprio Planck não se convencia com a hipótese quântica! Ao perceber a mudança radical de concepção que estava propondo, Planck quis recuar e passou a questionar o seu próprio trabalho. Planck não estava seguro quanto à introdução da constante h e seu importante papel na teoria e passou a amenizar sua ideia revolucionária, dizendo que no vácuo a radiação é bem descrita pelas equações de Maxwell e, portanto, se propa-ga em ondas. Assim, a descontinuidade se daria somente na zona de interação entre matéria e radiação. Planck chegou a comentar sobre o seu trabalho, referenciando-o como “ato de desespero” na tentativa de explicar o espectro de corpo negro e passou anos seguidos tentando, sem sucesso, conci-liar a ideia de energia discreta e os conceitos da física clássi-ca.

As inquietações de Planck se acalmaram um pouco em 1905, quando Albert Einstein, convencido da teoria de Planck, propôs estender o conceito de quantização de energia para toda classe de fenômenos de radiação eletromagnética. E Einstein estava certo! Descobertas posteriores no campo subatômico mostraram que o conceito de quantização de energia é universal, sendo válida não somente para átomos, mas também para todas as espécies de sistemas, sejam núcleos, moléculas ou elétrons nos sólidos. Apesar da descrença de muitos físicos famosos, com o passar dos anos, a física quântica se consolidou enquanto teoria soberana e absoluta na descrição do mundo microscópico.

Física Moderna

104 EADFísica

Em 1917, passados exatamente 17 anos, Einstein apresentou uma derivação extremamente simples do espectro de corpo negro, fazendo com que as suposições de Planck se tornassem mais claras. Segundo Planck, a energia da radiação na cavidade é quantizada, isto é, esta radiação aparece sob a forma de fótons, de energia .E hν= Mas, segundo Einstein, a explicação mais precisa do processo é: a energia dos átomos que formam a cavidade é quantizada, ou seja:

Os átomos que formam as paredes da cavidade só podem existir em estados definidos de energia; estados com energias intermediárias não são possíveis.

A relutância dos físicos da época em aceitar o fenômeno da quantização de energia, incluindo-se o próprio Planck, não é injustificada. As concepções da física clássica são inteiramente baseadas em processos contínuos, seguindo a nossa percepção do mundo cotidiano. Assim como nos fenômenos relativísticos, novamente somos traídos pelos nossos sentidos, pois não conseguimos perceber este caráter “granular” dos fenômenos. No entanto, o mundo microscópico parece contestar o nosso bom senso.

De acordo com a teoria clássica, era intuitivo aceitar que uma grandeza como a energia pudesse assumir qualquer valor, ainda que fosse infinitamente pequeno, mas sempre em processo contínuo. De acordo com a teoria quântica, o mínimo permitido tem, agora, um valor finito, definido pela constante h , sendo esta a dimensão característica do mundo quântico, 34 ~ 10 . .h J s− Assim sendo, a quantização de energia representa uma

Imagem 2.5: Max Planck e Albert Einstein em 1929, por ocasião de entrega da Medalha Max Planck, recompensa oferecida pela sociedade alemã de física.Fonte: http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceingroup.html



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de

limitação imposta pela própria natureza para definir a menor unidade possível de energia, que, por menor que seja, é sempre finita! Por sua grande influência na descrição dos fenômenos quânticos, a constante de Planck, assim como a velocidade da luz, representa uma das mais importantes constantes fundamentais da natureza, tendo sua presença assegurada no desenvolvimento de toda a teoria quântica.



A Luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio tem um comprimento de onda de 589 .nm Qual é a energia dos fótons correspondentes?

Solução: substituindo c λν= na equação de energia de Planck, tem-se:

( )( )15 8

9

4,14 10 . 3,00 10 /2,11

589 10x eV s x m shcE h eV

x mν

λ

−

−= = = =

Durante o processo de decaimento radioativo, certo núcleo emite um raio gama cuja energia do fóton é 1,31 .MeV Responda:

a) a que comprimento de onda corresponde este fóton?

Solução:

Novamente, trabalhando substituindo a relação c λν= na equação de energia de Planck, tem-se:

( )( )15 813

6

4,14 10 . 3,00 10 /9,20 10

1,35 10x eV s x m sc hc hc x m

h E x eVλ

ν ν

−−= = = = =

Física Moderna

106 EADFísica

)b qual é o momento linear deste fóton?

Solução:

Empregando novamente a relação ,c λν= tem-se:

,h h Epc

νλ λν

= = =

na qual E é a energia do fóton. Por substituição direta, encontramos:

( )( )1322

8

1,35 1,60 10 /7,20 10 . /

3,00 10 /MeV x J MeVEp x kg m s

c x m s

−−= = =

A expressão do momento linear é também expressa em função da velocidade da luz, ou seja:

1,35 /Ep MeV cc

= =

A vantagem desta expressão é que, dada a energia de um fóton, você conhece imediatamente o seu momento e vice-versa.

7 O EFEITO FOTOELÉTRICO

Em 1886, enquanto realizava seus experimentos para confirmar a existência das ondas eletromagnéticas, Heinrich Hertz observou que uma descarga elétrica entre dois eletrodos ocorre mais facilmente quando se faz incidir sobre eles uma luz com comprimento de onda específico na região do ultravioleta. Entretanto este curioso fenômeno não podia ser explicado pelo eletromagnetismo de Maxwell



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de

e, àquela época, por nenhuma outra teoria. Anos mais tarde, precisamente em 1905, este tema foi abordado em um dos artigos publicados por Albert Einstein, e recebeu o nome de efeito fotoelétrico. Segundo Einstein, a emissão de elétrons de uma superfície, devida à incidência de luz sobre essa superfície, ocorre por conta da energia da luz incidente. O efeito observado é como se a luz expulsasse os elétrons da superfície metálica. Contudo a física clássica não podia explicar este efeito que, segundo Einstein, é decorrente da quantização de energia. De fato, a explicação é imediata se compararmos como uma colisão entre um quantum de luz incidente e um elétron dentro do metal.

A Figura 2.5 mostra o esquema do aparelho usado para estudar o efeito fotoelétrico. Uma luz monocromática de frequência ν atinge a placa metálica P e libera elétrons, chamados fotoelétrons. Uma diferença de potencial adequada V entre P e a placa coletora C acelera esses elétrons, que são detectados como uma corrente fotoelétrica no amperímetro A .

Figura 2.5 – Esquema do aparelho utilizado para estudar o efeito fotoelétrico. A luz incidente atinge a placa P, ejetando fotoelétrons que são capturados pela placa C. Os fotoelétrons movem-se no circuito no sentido oposto ao da corrente convencional.Fonte: Halliday & Resnick, 1991

Física Moderna

108 EADFísica

Se o sinal V é invertido, a corrente fotoelétrica não cai imediatamente a zero, o que sugere que os elétrons são emitidos de A com alguma energia cinética. Alguns alcançarão o coletor C , apesar de o campo elétrico opor-se ao seu movimento. Entretanto, se essa diferença de potencial torna-se suficientemente grande, um valor 0V chamado potencial de corte ou potencial limite é atingido, a corrente fotoelétrica cai a zero. Assim, pode-se dizer que esta é a diferença de potencial necessária para parar os elétrons mais rápidos. Então, esta diferença de potencial 0V , multiplicada pela carga do elétron, mede a energia cinética maxK do mais rápido fotoelétron emitido. Ou seja:

0maxK eV=

(2.15) Uma das constatações experimentais é que a energia

cinética dos elétrons mais energéticos independe da intensidade da luz, depende apenas da frequência ν . Existe um limiar de frequência, 0 ,ν chamada frequência de corte, abaixo do qual o efeito fotoelétrico deixa de ocorrer. Estas informações foram obtidas pelo físico americano Robert Millikan em 1914, cujo trabalho lhe rendeu o prêmio Nobel de física em 1923. Entretanto, em 1921, Einstein já havia recebido o prêmio pela explicação do fenômeno, em 1905. Já o termo fóton só foi introduzido em 1926, pelo físico americano Gilbert Lewis, o qual o definiu como “átomos de luz”. Einstein usava a denominação de quantum de luz.

8 A EXPLICAÇÃO DE EINSTEIN PARA O EFEITO FOTOELÉTRICO

A explicação para o efeito fotoelétrico é considerada por muitos historiadores como um verdadeiro ato de coragem



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intelectual de Albert Einstein. Numa época em que os físicos estavam bastante satisfeitos com a teoria Ondulatória da luz, as ideias do quantum de Einstein não foram recebidas com bons olhos. Ainda assim, Einstein colocou em questão a teoria clássica da luz, propôs uma nova teoria, e ainda citou o efeito fotoelétrico como uma aplicação que poderia testar a teoria correta! Entre os grandes críticos de Einstein, estava Max Planck! Ao recomendar Einstein para membro da academia da Academia Real de Ciências da Prússia, em 1913, Planck escreveu: “que ele tenha algumas vezes errado o alvo em suas especulações, como, por exemplo, em sua teoria do quantum de luz, não pode ser realmente usado contra ele”. Planck era um dos grandes defensores da teoria ondulatória, ele realmente acreditava que a energia eletromagnética, uma vez irradiada, se espalhava pelo espaço na forma de ondas.

Apesar das posições contrárias, três aspectos importantes a respeito do efeito fotoelétrico chamaram a atenção dos físicos da época, uma vez que não poderiam ser explicados pela teoria ondulatória clássica da luz, são eles:

1- A teoria ondulatória requer que a amplitude do campo elétrico oscilante E

da onda luminosa cresça se a intensidade da luz for aumentada. Já que a força aplicada ao elétron é: eE

, isto sugere que a energia cinética dos fotoelétrons também deveria crescer ao aumentar a intensidade do feixe. Entretanto, no efeito fotoelétrico, observa-se que a energia cinética dos fotoelétrons é independente da intensidade da luz. Ao duplicar a intensidade da luz, duplica o número de quantum e, consequentemente, duplica a corrente fotoelétrica, mas a energia cinética dos fotoelétrons não se altera.

2- De acordo com a teoria ondulatória, o efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência da luz, desde que esta fosse intensa o suficiente para fornecer a energia necessária para a ejeção dos elétrons. No entanto, observa-se que há um limiar de frequência,

0ν , característico. Para frequências menores, o efeito não

Física Moderna

110 EADFísica

ocorre, independentemente da intensidade da luz. No entanto, um fóton com frequência 0ν tem exatamente a energia necessária para ejetar o fotoelétron e nenhum excesso aparece como energia cinética.

3- De acordo com a teoria clássica, se a luz incidente fosse suficientemente fraca, deveria haver um intervalo de tempo mensurável entre o instante em que a luz começa a incidir sobre a superfície e o instante de ejeção do fotoelétron. Durante este intervalo, o elétron estaria absorvendo energia do feixe, até acumular o suficiente para escapar. No entanto, nenhum retardo foi detectado nas medidas experimentais. Assim, considerando os fótons como partículas, a explicação quântica garante a transferência de energia instantânea dos fótons aos elétrons.

Einstein concentrou sua explicação para o efeito fotoelétrico na maneira corpuscular com que a luz é emitida e absorvida.

Einstein supôs que certo pacote de energia, o fóton, está inicialmente localizado em um pequeno volume do espaço, e que permanece localizado à medida que se afasta da fonte com velocidade c. Ele supôs que a energia E do pacote, ou fóton, está relacionada com sua frequência ν pela equação:

E hν=(2.16)

Supôs também que no processo fotoelétrico, um fóton é completamente absorvido por um elétron no fotocatodo (superfície metálica). Quando um elétron é ejetado, sua energia cinética é:

,K h wν= − (2.17)

sendo a energia do fóton incidente e é o trabalho necessário para remover o elétron do metal. Este trabalho é necessário para superar os campos atrativos dos átomos na superfície e as perdas de energia cinética devida às colisões internas do elétron. Portanto a energia cinética máxima dos fotoelétrons será:

0 ,maxK h wν= −(2.18)

onde 0w é a energia característica do metal, chamada função trabalho, definida como a energia mínima necessária para um elétron atravessar a superfície do metal e escapar às forças atrativas que normalmente ligam o elétron ao metal.



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de

Note que os fótons são absorvidos no processo fotoelétrico. Desta forma, os elétrons precisam estar ligados a átomos, ou sólidos, uma vez que um elétron livre não pode absorver um fóton e conservar simultaneamente a energia e o momento relativístico totais. Portanto é necessário ter elétrons inicialmente ligados para que as forças de ligação transmitam momento para o átomo ou sólido. Estes, devido à sua grande massa, podem absorver a quantidade de momento correspondente, sem adquirir quantidade significativa de energia.

Uma folha de potássio está a uma distância 3,5r m= de uma fonte de luz, cuja potência 1,5 .P W= Supondo que a luz incidente seja uma onda, calcule quanto tempo seria necessário para que a folha armazenasse energia suficiente (1,8 eV ) para um fotoelétron. Suponha que o elétron absorva sua energia de uma área circular de chapa, cujo raio é de 115,3 10 .x m− Este valor de raio é denominado raio de Bohr, sendo aproximadamente igual ao raio médio de um átomo médio.

Solução:

A área A do alvo é dada por:

( )( )22 11 21 23,14 5,3 10 8,8 10A r x m x mπ − −= = =

Se a fonte de luz irradiar uniformemente em todas as direções, a iluminação I na chapa será:

( )( )3 2

221,5 9,7 10 /

4 4 3,5P WI x W mr mπ π

−= = =


Física Moderna

112 EADFísica

A taxa de energia, ,R que incide sobre o alvo é, então:

( )( )3 2 21 2 239,7 10 / 8,8 10 8,5 10R IA x W m x m x W− − −= = =

Se toda a energia incidente for absorvida, o tempo necessário para que a energia se acumule o suficiente para ejetar o elétron será:

19

231,8 1,6 10 1 56

8,5 10 / 1 60eV x J mint min

x J s eV s

−

−

= =

No entanto não foi detectado nenhum retardamento em quaisquer circunstâncias.

Qual a taxa segundo a qual os fótons atingem a placa do metal no exercício anterior? Suponha um comprimento de onda de 589nm (luz amarela do sódio) e uma área de

21cm .

Solução:

Usando os resultados do problema anterior, podemos expressar a iluminação na placa como:

316 2

2 199,7 10 1 6,1 10 / .

1,6 10x W eVI x eV m sm x J

−

−

= =

Mas já sabemos que a energia de cada fóton é de 2,1 eV (vide exercício resolvido na seção 2.6). Assim, a taxa segundo a qual os fótons atingem a placa é:

( ) ( )16 2 4 2 1216,1 10 / . 10 2,9 10 /2,1 fótonR x eV m s m x fótons s

eV−

= =




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de

9 O EFEITO COMPTON

Outro importante experimento a evidenciar a natureza corpuscular da radiação eletromagnética foi realizado em 1923, pelo físico americano Arthur Compton. Compton fez com que um feixe de raios X, com comprimento de onda ,λ incidisse sobre um alvo de grafite, conforme esquema ilustrado na Figura 2.6. Foi então medida a intensidade dos raios X espalhados como função do seu comprimento de onda, para vários ângulos


Repare que, mesmo para este nível baixo de iluminação 2(~ 1 / ),W cmµ a taxa de fótons é muito grande, cerca

de 810 fótons atingindo a placa por segundo. É por este motivo que a granulosidade da luz não é percebida na vida cotidiana.

Calcule a função trabalho para o sódio, sabendo que o limiar de frequências para este material é: 14

0 4,39 10 / .x sν =

Solução:

Substituindo o valor de 0ν na expressão (2.18), tem-se:

( )14

340 0

4,39 106,63 10 . xw h x J ss

ν − = =

( )190 19

12,92 10 1,82 1,60 10

eVw x J eVx J

−−

= =

Portanto a energia mínima necessária para arrancar um elétron do sódio é de 1,82 .eV

Física Moderna

114 EADFísica

de espalhamento. Embora o feixe incidente consistisse de um único comprimento de onda ,λ os raios X espalhados têm máximos de intensidade em dois comprimentos de onda: um deles o próprio comprimento λ e o outro ',λ um pouco maior que ,λ sendo λ=λ' +∆λ. Este efeito foi denominado, efeito de deslocamento Compton, ou simplesmente, deslocamento Compton, e varia conforme o ângulo de espalhamento dos raios X observados.

Imagem 2.6: Arthur ComptonFonte:http://www.nobelprize.

org/nobel_prizes/physics/laureates/1927/compton-bio.html

Figura 2.6 – Representação esquemática da experiência de Compton. Raios X monocromáticos de comprimento de onda λ incidem sobre um alvo de grafite. A distribuição da intensidade em função do comprimento de onda é emitida para os raios X espalhados em qualquer ângulo .θ Os comprimentos de onda espalhados são medidos observando-se a reflexão de Bragg em um cristal. Suas intensidades são medidas por um detector como, por exemplo, uma câmara de ionização.

A presença do comprimento de onda 'λ não pode ser compreendida se os raios X incidentes forem encarados como uma onda eletromagnética clássica. Neste caso, a onda de frequência faria com que os elétrons do material oscilassem na mesma frequência, como cargas oscilando numa antena transmissora, e, consequentemente, irradiariam sempre com o mesmo comprimento de onda. No entanto, as observações indicam dois comprimentos de onda distintos.



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de

Compton interpretou seus resultados experimentais da mesma forma que Einstein o fez para o efeito fotoelétrico, considerando a natureza corpuscular da luz. Entretanto, ao invés de serem absorvidos, os fótons incidentes com energia E hν= colidem com os elétrons livres do alvo, da mesma forma que colidem duas bolas de bilhar! Uma vez que o fóton incidente transfere parte de sua energia para o elétron com o qual colide, o fóton espalhado deve ter uma energia ’E menor, ou seja, a frequência de emissão deve ser mais baixa:

'´ / .E hν = Assim, o comprimento de onda espalhado será:

' / .cλ λ= Neste contexto, os fótons são tratados como simples partículas, ao contrário do tratamento ondulatório clássico. A diferença básica entre o espalhamento Compton e o efeito fotoelétrico é que, no efeito Compton, os fótons são espalhados; enquanto no efeito fotoelétrico, os fótons são absorvidos.

Mas a esta altura, você deve estar se perguntando: como um fóton pode transferir apenas parte da sua energia se, conceitualmente, o quantum de luz implica em indivisibilidade? No caso, o processo de espalhamento é descrito como a absorção de um fóton incidente e a subsequente emissão de outro fóton, em outra direção. Entretanto, do ponto de vista da conservação do momento e da energia, o processo é similar a um espalhamento! E por que a colisão se dá com elétrons livres e não com os átomos? Foi observado que a frequência da radiação espalhada era independente do material constituinte do alvo. Assim, o espalhamento não deve envolver átomos inteiros, mas apenas os elétrons livres do material.

Baseado na ideia de que um fóton é uma partícula com energia E e momento ,p a relação relativística entre estas grandezas, conforme visto na unidade anterior, é dada pela equação (1.43):

2 2 2 2 40E c p m c= +

Entretanto, fótons não têm massa de repouso, ou seja, m0=0. Assim sendo:

E hpc c

ν= =

(2.19)

Física Moderna

116 EADFísica

Em termos do comprimento de onda:

hpλ

=

(2.20)

Por meio do tratamento relativístico para a colisão entre um fóton e um elétron, e o critério de conservação de energia, é possível encontrar a variação de comprimento de onda dos fótons espalhados no efeito Compton, sendo:

∆ ( )1 0Ä 1 ,e

h cosm c

λ λ λ φ= − = −

(2.21)

Onde: 0λ é comprimento de onda do fóton incidente, 1λ é comprimento de onda do fóton espalhado, em é a massa de re-pouso do elétron, e φ representa o ângulo de espalhamento do fóton. A constante / eh m c é chamada de comprimento de onda Compton do elétron. Assim, a expressão (2.21) se reduz a:

∆ ( )1 0Ä 1 ,C cosλ λ λ λ φ= − = −

para:

122, 43 10 0,0243Ce

h x mm cλ −≡ = = 侌

(2.22)

Agora, resta apenas explicar o que acontece com aqueles comprimentos de onda que não se alteram durante o processo de espalhamento. Pois bem, este pico resulta do espalhamento de elétrons ligados aos átomos do material alvo. Assim, o processo de colisão se dá com o átomo inteiro, cuja massa é muito maior que a massa do elétron. Para melhor entender esta consideração, substitua na equação (2.22) a massa de repouso do elétron pela massa de repouso do átomo (cerca de 22.000



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vezes maior). Neste caso, a diferença entre os comprimentos de onda, incidente e espalhado, será incomensuravelmente pequena, ou seja, desprezível, ∆λ ~ 0. Neste caso, o espalhamento é chamado espalhamento Thomson, em homenagem ao físico britânico que primeiro observou este fenômeno.

Em síntese, no processo de espalhamento dos fótons: alguns são espalhados por elétrons livres e têm seu comprimento de onda modificado, este é o chamado espalhamento Compton. Entretanto outros são espalhados em todas as direções por elétrons ligados, mas não têm seu comprimento de onda alterado, é o chamado espalhamento Thompson.

Além do efeito fotoelétrico e dos espalhamentos Compton e Thomson, há outro processo pelo qual os fótons interagem com a matéria, é o chamado processo de produção de pares. Neste caso, um fóton de alta energia perde toda sua energia hν em uma colisão com o núcleo, criando um par de partículas: elétron e pósitron, com certa energia cinética. A presença do núcleo pesado é necessária para assegurar a conservação de energia e momento do sistema. Também ocorre o processo inverso, chamado aniquilação de pares. Neste caso, o par elétron-pósitron se une e se aniquila, emitindo dois fótons que se movem com o mesmo momento e sentidos opostos.

você sabia?

Raios X de comprimento de onda 22 pm são espalhados por um alvo de carbono, formando a radiação espalhada um ângulo de 85° com o feixe incidente. Responda: )a qual é o deslocamento Compton?

Solução:

De acordo com a equação (2.21), temos:

∆ ( ) ( )( )

( )

34

831

6,63 10 . 1 cos85Ä 1

3,00 109,11 10e

x J sh cosm c x mx kg

s

λ φ−

−

− °= − =

122, 21 10 2,21x m pmλ −∆ = =


Física Moderna

118 EADFísica

10 A NATUREZA CORPUSCULAR DA LUZ

Nas seções anteriores, discutimos os efeitos de interação da radiação com a matéria, os quais só podem ser explicadass com base no comportamento corpuscular da luz. Por certo que a necessidade de invocar o fóton, enquanto partícula de luz, para interpretar os fenômenos de interação entre radiação e matéria é bastante justa, mas, ainda assim, se faz necessária a teoria ondulatória da radiação para explicar os fenômenos típicos de difração e interferência. Assim, nota-se que a radiação não é um fenômeno puramente ondulatório e nem meramente um feixe de partículas. Se, por ora, a radiação se comporta como partícula, em outros momentos se comporta como onda. Por mais estranho que possa parecer, e por mais contestação que possa ter havido, os físicos do século XX

b) então, que porcentagem da energia inicial é pedida pelo raio X incidente?

Solução:

A perda percentual de energia é estimada por:

f E EE

h hh

c cc

=−

=−

=( ) − ( )

( )=

−=

+' ' / / '

/'ν ν

νλ λ

λλ λλ

λΔλ Δλ

Substituindo os valores de λ e ∆λ, tem-se:

2,21 0,091 9,1%22 2,12

pmfpm pm

= = =+

Este resultado mostra que quanto menor for o

comprimento de onda incidente (ou seja, quanto mais energético for o fóton incidente) maior será a perda percentual de energia. Quanto maior a energia de um fóton, maior a probabilidade de ocorrer Efeito Compton.



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de

tiveram que reconhecer o caráter dual da radiação, uma espécie de “dupla personalidade” da luz!

Mas você já deve ter percebido que os físicos adoram e estão sempre procurando simetrias! Por exemplo, segundo a teoria de Maxwell, um campo elétrico variável induz um campo magnético. Este, por sua vez é capaz de induzir um campo elétrico, são, portanto, simétricos. Outro exemplo típico: partículas e antipartículas, novamente simetria! Então, se a radiação eletromagnética pode se comportar como partícula, será que as partículas podem se comportar como ondas? Esta curiosidade foi despertada inicialmente no físico francês Louis De Broglie, em 1924, e desencadeou uma série de investigações sobre o caráter ondulatório da matéria. Na seção seguinte, discutiremos em detalhes esta ideia.

11 A NATUREZA ONDULATÓRIA DA MATÉRIA

Louis de Broglie foi o primeiro a acreditar que o comportamento dual da radiação também se aplicava à matéria. Assim como o fóton tem uma onda associada a seu movimento, também a partícula de matéria deveria ter uma onda associada. De Broglie acreditava ferrenhamente numa grande simetria na natureza e propôs que os aspectos ondulatórios da matéria fossem relacionados com seus aspectos corpusculares, exatamente da mesma forma quantitativa como os aspectos corpusculares são relacionados à radiação. Portanto, segundo de Broglie, uma partícula com momento p e energia total E deve ter uma onda de frequência ν associada a seu movimento por meio das relações:

E hν=

(2.23)

hpλ

=

(2.24)

Física Moderna

120 EADFísica

Assim, as grandezas energia e momento estão ligadas por meio da constante de Planck h, aos parâmetros da onda: frequência ν e comprimento de onda λ. Portanto o comprimento de onda estimado para uma onda de matéria com momento linear p é:

hp

λ =

(2.25)Sendo este denominado comprimento de onda de

De Broglie. O primeiro teste experimental proposto para

analisar a natureza ondulatória da matéria, segundo as ideias de De Broglie, partiu de Elasser, em 1926, baseado nos parâmetros ondulatórios clássicos, ou seja, fazendo um feixe de elétrons de energia apropriada incidir sobre um sólido cristalino. Assim, os átomos do cristal atuariam como um arranjo tridimensional de fendas para a difração da onda, exatamente como na difração de raios X. Este experimento foi realizado por Davisson e Germer nos Estados Unidos e por Thomson na escócia. A Figura 2.7 apresenta a esquematização destes experimentos realizados. O resultado observado por ambos os experimentos era incontestável, o feixe de elétrons detectado era fortemente espalhado e apresentava um pico de intensidade típico de interferência construtiva de ondas espalhadas pelo arranjo periódico dos átomos cristalinos. Fenômeno análogo à “reflexão de Bragg” observada para o espalhamento de raios X pelos planos atômicos de um cristal. George Thomson dividiu o Prêmio Nobel de Física, em 1937, com C. Davisson por suas experiências com a difração do elétron.

Imagem 2.7: Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie

Fonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/

laureates/1929/broglie.html



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de

Importante salientar que o padrão de interferência observado nos experimentos é característico da interferência de uma onda associada a um único elétron, a qual foi espalhada em várias regiões do cristal. Portanto não se trata da interferência entre ondas associadas a elétrons distintos! Esta condição é assegurada usando-se um feixe de elétrons com uma intensidade tão baixa que os elétrons atravessam o aparelho um a um. Ainda assim, verifica-se que o padrão de espalhamento permanece o mesmo.

Diante das evidências experimentais com ótima concordância, tanto qualitativa quanto quantitativamente, as previsões de De Broglie foram confirmadas, fornecendo indícios convincentes de que as partículas materiais se movem de acordo com as leis do movimento ondulatório. Os experimentos que se sucederam neste campo de investigação indicam que não apenas os elétrons, mas todos os objetos materiais, carregados ou não, apresentam características ondulatórias em seu movimento.

Importante salientar que tanto a matéria quanto a radiação apresentam natureza dual, ondulatório

Figura 2.7 – Os experimentos de Davisson e Germer: elétrons do filamento são acelerados por uma diferença de potencial variável. depois do espalhamento pelo cristal, eles são coletados pelo detector em D.

você sabia?

Curioso que George P. Thomson era filho de J.J. Thomson, que ganhara o prêmio Nobel em 1906 pela descoberta do elétron e pela medida da relação entre sua carga e massa. Assim, Thomson, o pai, recebeu o Nobel por ter mostrado que o elétron era uma partícula, e Thomson, o filho, por ter mostrado, em 1937, que o elétron também é uma onda! Na Unidade seguinte, discutiremos em maiores detalhes os trabalhos de J.J. Thomson, o pai.

Imagem 2.8: George Paget ThomsonFonte: http://www.nobelprize.

org/nobel_prizes/physics/laureates/1937/

Física Moderna

122 EADFísica

e corpuscular, tanto em grandes quanto pequenos comprimentos de onda. No entanto, os aspectos corpusculares se manifestam quando estudamos os efeitos de absorção e emissão, e os aspectos ondulatórios quando estudamos o movimento através de um sistema. Apesar das comprovações, os aspectos ondulatórios são mais difíceis de observar quando os comprimentos de onda ficam menores. Esta é mais uma evidência do papel fundamental da constante de Planck . Se h fosse nula, então também seria nulo. Assim, as partículas materiais teriam comprimento de onda imensurável e os efeitos ondulatórios nunca seriam observados. No entanto, apesar de muito pequeno, o valor de h não é nulo! E é exatamente pelo fato de h ser muito pequeno que a existência das ondas materiais não é observada em nosso cotidiano. Para partículas macroscópicas usuais, a massa é tal que o momento das partículas grandes o suficiente para que o comprimento de onda de De Broglie seja muito pequeno, ficando além dos limites de detecção experimental, e a mecânica clássica predomina. Já no mundo microscópico, a massa típica das partículas é tão pequena que os respectivos momentos são pequenos, mesmo a altas velocidades, resultando em comprimentos de De Broglie suficientemente grandes para as observações.

Você sabe qual é o seu comprimento de onda típi-co? Pois bem, assim como toda partícula, uma onda deve estar associada ao seu movimento. Vamos estimá-la. Imagine você caminhando pela rua a uma velocidade de 1m/s. Considerando um peso médio de 60kg, o compri-mento de onda de De Bro-glie para o seu movimen-to, segundo a equação (2.25), será ~10-35m. Pe-queno, não é? Mas é isso mesmo, uma dimensão muito além de qualquer possibilidade de observa-ção ou medida, mesmo com a mais moderna das

você sabia?

a) Calcule o comprimento de onda de De Broglie de uma bola de futebol se movendo com velocidade v=10m/s.

Solução:

Supondo a massa da bola m=1,0 kg, de acordo com a equação




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de

λ = =( )( )

= =−

− −hp

x J skg m s

x m x6 6 10

1 0 106 6 10 6 6 10

34

35 25, .

/, , Α

�

(2.25):

b)Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um elétron cuja energia cinética é de 100eV.

Solução:

Neste caso, precisamos considerar p em função da energia cinética K:

λ = = =( )( )( )

−

− −

hp

hmK

x J s

x kg eV x J eV26 6 10

2 9 1 10 100 1 6 10

34

31 19

, ., , /

λ = = =−

−−6 6 10

5 4 101 2 10 1 2

34

24

10, .

, . /, ,

x J sx kg m s

x m Α�

Repare a diferença entre os comprimentos de onda de De Broglie. Esta é a razão pela qual os fenômenos ondulatórios não são perceptíveis no mundo clássico. Não é possível observar o comportamento ondulatório, uma vez que não existe qualquer abertura ou obstáculo para testar os efeitos de difração ou interferência. Os núcleos atômicos, comumente usados para tais medidas, são da ordem ~10-15m

Física Moderna

124 EADFísica

12 DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA

Na física clássica, a energia é transportada na forma de ondas ou partículas. A partir de observações meticulosas e experimentação rigorosa, as teorias se desenvolveram embasadas nos modelos de propagação ondulatória, para certa classe de fenômenos, e o modelo mecanicista do movimento corpuscular. Ambos os modelos foram extensivamente aplicados com sucesso para explicação dos mais variados fenômenos, como: propagação do som, teoria cinética dos gases, mecânica celeste, dentre muitos. No entanto, o sucesso alcançado condicionou a física clássica a esperar que todos os entes tivessem comportamento único, ou partícula, ou onda. Mas as descobertas do século XX mostraram que a natureza não é assim tão previsível. Na física quântica, os dois modelos, ondulatório e corpuscular, são necessários para descrever completamente qualquer ente físico, embora não nas mesmas circunstâncias. É a isso que se refere a expressão dualidade onda-partícula.

Diante das evidências experimentais, os físicos do século XX foram compelidos a aceitar ambos os modelos de comportamento para o mesmo ente. Entretanto é importante notar que os dois modelos não se manifestam simultaneamente, ou o ente é detectado na forma de onda, de modo que se observam os fenômenos de interferência; ou, então, o ente é observado na forma de partícula, por meio da sua localização. Em qualquer das situações, apenas um modelo pode ser aplicado. Esta constatação levou o físico dinamarquês Niels Bohr a elaborar o princípio da complementaridade:

Os modelos, corpuscular e ondulatório, são complementares. Se uma medida prova o caráter ondulatório da radiação ou da matéria, então é impossível provar o caráter corpuscular na mesma medida e vice-versa. Ambas as versões são possíveis, embora mutuamente incompatíveis. A escolha de qual modelo usar é determinada em função da natureza da medida.



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Assim, onda e partícula são duas formas complementares de existência, que se manifestam apenas após serem observadas. Antes do experimento, o ente não é onda nem partícula. Se o experimento testar as propriedades ondulatórias, então o ente se manifestará como onda; caso o experimento teste suas propriedades corpusculares, então o ente se manifestará como partícula. Desta forma, radiação e matéria não são apenas partículas ou ondas, mas ambas e a maneira como elas irão se comportar depende de como nós iremos investigar suas propriedades!

A interpretação acima do princípio da complementaridade fez emergir um novo questionamento no cenário científico: mas a realidade física observada pode ser resultado da escolha do observador? Parecia faltar um elo para a ligação dos dois comportamentos, um modelo mais geral capaz de descrever o comportamento da natureza em ambos os contextos.

A ligação entre os modelos, corpuscular e ondulatório, é feita por meio de uma interpretação probabilística da dualidade onda-partícula. Desta vez, o responsável pelo argumento de unificação das teorias ondulatória e corpuscular foi o físico alemão, naturalizado britânico, Max Born. Born considerou uma função associada à onda de De Broglie, denominada função de onda, cujo comportamento descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma unidade de volume em um dado ponto e instante de tempo. Desta forma, não mais se especifica a localização exata de uma partícula, mas sim a probabilidade da partícula ser encontrada em um dado ponto em um dado instante, por meio da função de onda. Assim, a física moderna substituiu o caráter determinístico da mecânica clássica pela interpretação probabilística dos fenômenos físicos. Apesar da estranheza inicial, o avanço no estudo das propriedades do mundo microscópico só poderia mesmo ser alcançado por meio de propostas radicais. No intervalo de dois anos, os físicos viram surgir e se consolidar uma das mais bem

Física Moderna

126 EADFísica

sucedidas teorias físicas de todos os tempos, a teoria quântica.13 O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

O uso de considerações probabilísticas não é estranho à física clássica. A termodinâmica, por exemplo, se valeu de muitos conceitos da teoria estatística para suas formulações. Entretanto o caráter determinístico da mecânica newtoniana é bastante marcante. Na física clássica está implícita a ideia de que qualquer grandeza associada ao movimento de uma partícula pode ser medida e descrita com precisão. Por exemplo, medir simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula sem perturbar seu movimento é uma tarefa relativamente simples. Na mecânica clássica, uma vez determinadas as condições iniciais de uma partícula, como posição e velocidade, e conhecidas as forças que atuam sobre o sistema, as equações de movimento se encarregam de determinar de maneira exata a posição e o momento em tempos futuros. No entanto, esta receita utilizada com bastante sucesso na física clássica precisou ser revista pela física moderna. O mundo subatômico, descrito segundo a interpretação probabilística, mostrou-se menos permissivo e questionou o caráter determinístico da ciência moderna. A discussão a respeito da determinação das grandezas no mundo subatômico começou por meio do questionamento: como determinar medidas? O processo de medir ou observar um sistema implica na interação direta com o sistema. Em linhas gerais, ao observar um objeto, precisamos, no mínimo, incidir a luz sob o mesmo. Em escala macroscópica, devido à massa do sistema, o efeito dessa interação pode ser ignorada, mas não em escala microscópica. De acordo com a física quântica, o ato de medir interfere na partícula e modifica o seu movimento. De acordo com as leis da ótica, para observar um fenômeno com separação espacial d , é necessário utilizar uma radiação eletromagnética com comprimento de onda λ inferior à escala d . Ou seja, para observar um elétron no átomo de hidrogênio, dimensão da ordem de 1010 m− , é necessário



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de

incidir sobre o mesmo uma radiação eletromagnética com comprimento de onda 1010 mλ −≤ , ou seja, um fóton com energia ( ) 4/ 1, 24 10E hc x eVλ= ≥ . Mas esta energia é da ordem da energia de ionização do átomo de hidrogênio e, portanto, irradiar o sistema com uma radiação eletromagnética com energia desta ordem perturbará completamente o sistema! E quanto mais precisão espacial for necessária, menor deverá ser o comprimento de onda e, consequentemente, maior deverá ser a energia da radiação e maior será a perturbação decorrente. Portanto maior será a incerteza do processo de medida. Esta constatação corresponde a um exemplo particular do princípio

Uma experiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente de momento, por exemplo, xp , de uma partícula e também o valor exato da coordenada correspondente X. Em vez disso, a precisão da medida está inerentemente limitada pelo processo de medida em si, de forma tal que:

,2xp x∆ ∆ ≥

sendo: xp∆ a incerteza em xp , x∆ a incerteza na posição x no

mesmo instante e 2h

π≡ .

da incerteza, o qual afirma:

O que o princípio diz, na realidade, é que: mesmo que tenhamos instrumentos precisos, nunca poderemos obter resultados melhores do que ∆ / 2.xp x∆ ≥ Observe que há um envolvimento entre o produto das incertezas, de forma que, quanto mais precisa for a medida em ,xp menos preciso deverá ser a determinação de ,x e vice-versa. Assim, a restrição não é para medidas isoladas, mas sim para medidas simultâneas. Deste modo, se não podemos determinar x e p simultaneamente, então, não podemos especificar as condições iniciais do movimento de forma exata e, portanto, não podemos precisar o comportamento futuro do

Física Moderna

128 EADFísica

sistema. A segunda parte do princípio da incerteza versa sobre

as medidas simultâneas da energia E e tempo t necessário à

Uma experiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma medida da energia E de uma partícula, durante um intervalo de tempo ,t∆ sendo este o intervalo de tempo característico da rapidez com que as mudanças ocorrem nos sistema. Neste caso:

,2

E t∆ ∆ ≥

sendo: E∆ a incerteza na medida de energia.

medida. Em resumo:

Assim, o princípio da incerteza relaciona o produto das incertezas entre x e ,xp e entre E e ,t∆ com o valor da constante de Planck e mostra que a diminuição de uma incerteza implica no crescimento da incerteza de outra grandeza. O ato de observar um sistema o perturba de tal forma que não é completamente previsível. A observação altera o movimento do sistema, fazendo com que ele não possa ser perfeitamente conhecido. Não se trata de uma limitação instrumental, mas sim uma limitação do processo de medir. Trata-se de uma limitação intrínseca da natureza!

Note que, novamente, a constante de Planck é usada para distinguir o mundo clássico do quântico. Por certo que, no mundo clássico, as medidas nunca alcançam a precisão definida por . Assim, por h ser de fato muito pequeno, o princípio da incerteza fica de fora das percepções do mundo clássico. Ao contrário do determinismo do mundo clássico, no mundo quântico, o que se pode estimar é apenas a probabilidade de encontrar uma ou outra medida.



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de

Pode-se mostrar que um elétron de 12eV tem uma velocidade igual a 62,05 10 / .x m s Suponha que você tenha medido esta velocidade com uma incerteza de 1,5%. Com que precisão você poderá medir simultaneamente o momento linear deste elétron?

Solução: o momento linear do elétron é dado por:

( )( )31 6 249,11 10 2,05 10 / 1,87 10 . /p mv x kg x m s x kg m s− −= = =

A incerteza no momento é de 1,5% disto, ou seja: 262,8 10 . / .x kg m s− A incerteza na posição pode ser

determinada da seguinte forma:

34

826

6,63 10 .~ 2,4 10 242,80 10 . /

h x J sx x m nmp x kg m s

−−

−∆ = = =∆

Este valor corresponde aproximadamente a 200 diâmetros atômicos. Dada a medida do momento linear do elétron, simplesmente não há qualquer modo para fixar a sua posição com maior precisão do que esta.



Exercício Resolvido: uma bola de golfe tem uma massa igual a 45g e uma velocidade que pode ser determinada com uma precisão de 1,5%, igual a 35 /m s . Qual é o limite imposto pelo Princípio da Incerteza sobre a sua habilidade de medir a posição da bola de golfe?

Física Moderna

130 EADFísica

O Princípio da Incerteza foi formulado em 1925, pelo físico alemão Werner Heisenberg, e é considerado um princípio fundamental da mecânica quântica. Se por um lado ele impõe restrições às medidas, por outro ele sugere uma relação causal entre o observador e o sistema observado, ou seja: toda vez que realizamos uma medida, interferimos no sistema de modo a induzir algum efeito. No entanto, em seus pronunciamentos, Heisenberg argumentou precisamente: “se soubermos o presente exatamente, podemos prever o futuro, entretanto nós não podemos, por uma questão de princípio, conhecer o presente em todos os seus detalhes”.

A partir do enunciado de Heisenberg, muitos físicos se debruçaram sobre o problema na tentativa de encontrar medidas simultâneas com grande precisão e, assim, falsear o Princípio da Incerteza. No entanto, os esforços foram inúteis! Após décadas de tentativas, ele se mantém válido de modo a sustentar a mecânica quântica.

Solução: este exercício é semelhante ao anterior, com exceção do fato de que a bola de golfe tem uma massa muito maior e é muito mais lenta do que o elétron considerado naquele caso. O mesmo cálculo fornecerá neste caso:

323 10x x m−∆ ≅

Este valor é aproximadamente 1710 vezes menor do que o diâmetro de um núcleo atômico típico! Assim, conclui-se que, quando se trata de objetos macroscópicos, o Princípio da Incerteza estabelece limites que não interferem na precisão da medida.

Imagem 2.9: Werner HeisenbergFonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_da_incerteza_de_

Heisenberg



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• Espectro de corpo negro: radiação emitida por uma cavidade aquecida a temperatura constante, sendo a temperatura o único fator determinante para a quantidade de energia emitida em cada frequência.

• A energia total emitida por unidade de tempo por unidade de área, por um corpo negro a temperatura

,T é denominada radiância TR e pode ser obtida pela Lei de Stefan: 4.TR Tσ=

• A lei de deslocamento de Wien relaciona o comprimento de onda máximo emitido por um corpo negro com sua temperatura, sendo: 32,898 10 . .maxT x m Kλ −=

• Na tentativa de desvendar a catástrofe do ultravioleta, Planck concluiu que a luz é composta de pacotes concentrados de energia, denominados fótons, e estes possuem energia quantizada: .E hν=

• Apesar de pequena, 346,63 10 . ,h x J s−= a constante de Planck é não nula e apresenta uma papel determinante da física quântica.

• Efeito fotoelétrico: elétrons são ejetados de uma superfície metálica pela incidência de luz. Einstein concentrou sua explicação para o efeito fotoelétrico na maneira corpuscular com que a luz é emitida e absorvida.

• A equação de Einstein para o efeito fotoelétrico: ,K h wν= − onde w é o trabalho necessário para

remover o elétron do metal.

RESUMINDO

Física Moderna

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• Efeito Compton: fótons de raios X são espalhados por elétrons livres e sofrem uma

variação no comprimento de onda, da forma: ∆

( )1 0Ä 1 .e

h cosm c

λ λ λ φ= − = − O tratamento deste

deslocamento espectral também sugere a natureza corpuscular da radiação eletromagnética.

• Espalhamento Thomson: fótons são espalhados em todas as direções por elétrons ligados, mas não têm seu comprimento de onda alterado. Neste caso, o processo de colisão se dá com o átomo inteiro, cuja massa é muito maior que a massa do elétron.

• Assim como a radiação apresenta propriedades corpusculares, partículas também apresentam propriedades ondulatórias. O comprimento de onda de De Broglie associado a uma partícula com momento p é: / .h pλ =

• Princípio da Complementaridade: o modelo corpuscular e ondulatório são complementares, se uma medida prova o caráter ondulatório da radiação ou da matéria, então é impossível provar o caráter corpuscular na mesma medida e vice-versa.

• Princípio da Incerteza: indica que as medidas quânticas são inerentemente imprecisas. O produto das incertezas entre x e ,xp e entre E e ,t∆ está diretamente relacionado ao valor da constante de Planck:

2xp x∆ ∆ ≥ e .

2E t∆ ∆ ≥



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1. Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é momentaneamente 710 .K Ache o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima.

2. A uma dada temperatura, 650max nmλ = para uma cavidade de corpo negro. Qual será ,maxλ se a taxa de emissão de radiação espectral for duplicada?

3. A energia solar que atinge a parte superior da atmosfera da Terra é 3 21,36 10 ,/x W m a chamada constante solar. ( )a Supondo que a Terra se comporte como um corpo negro de temperatura uniforme, use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura de equilíbrio da Terra. ( )b Se o diâmetro do Sol é da ordem de 91,6 10x m e a distância da Terra ao Sol é de aproximadamente

111,3 10x m e supondo que o Sol irradie como um corpo negro, use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura na sua superfície.

4. Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite sua radiação térmica máxima.

5. Certo fóton de raio-X tem o comprimento de onda de 35,0 .pm Calcular: ( )a energia do fóton; ( )b a sua frequência; ( )c o seu momento linear.

6. A luz amarela de uma lâmpada de sódio, usada na ilu-minação de estradas, tem o comprimento de onda de 585 .nm Qual a energia de um fóton emitido por uma dessas lâmpadas?

7. Quais são: ( )a a frequência; ( )b o comprimento de onda e ( )c o momento de um fóton, cuja energia é igual à energia de repouso do elétron?

ATIVIDADES

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8. A energia necessária para remover um elétron do sódio metálico é 2,28 .eV )a Uma luz vermelha, com

680 ,nmλ = provocará efeito fotoelétrico no sódio? ( )b Qual o comprimento de onda do limiar fotoelétrico do sódio e a que cor corresponde esse limiar?

9. Se a função trabalho de um metal for 1,8 ,eV responda: )a qual o potencial de corte para a luz de comprimento

de onda 400 ?nm ( )b qual a velocidade máxima dos fotoelétrons emitidos da superfície do metal?

10. Fótons com o comprimento de onda de 2,4 pm incidem sobre um alvo que contém elétrons livres. ( )adetermine o comprimento de onda para um fóton que é espalhado num ângulo de 30° em relação à direção de incidência. ( )b Faça o mesmo cálculo quando o ângulo de espalhamento for 120°.

11. Um fóton de raio-X, com 0,01 ,nm faz uma colisão frontal com um elétron ( 180 )θ = ° Determine: ( )a a variação do comprimento de onda do fóton; ( )b a variação da energia do fóton; ( )c a energia cinética adquirida pelo elétron; ( )d a velocidade do elétron.

12. Com a relação clássica entre o momento e a energia

cinética, mostre que o comprimento de onda de Broglie

de um elétron pode ser escrito como: )a 1,226 ,nmK

λ =

onde K é a energia cinética em elétron-volts. )b 1,50 ,

Vλ = onde λ está em manômetros e V é o potencial

acelerador em volts.

13. Imagine um jogo de bola num universo cuja constante de Planck fosse 0,60 . .J s Qual seria a incerteza na posição de uma bola de 0,50kg que estivesse em movimento a 20 / ,m s com uma incerteza de 1,0 / ?m s Por que seria difícil apanhar essa bola?



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14. Um microscópio de fótons é usado para localizar um elétron num átomo, num intervalo de distância de 10 .pm Qual é a incerteza mínima na medição do momento do elétron localizado desta forma?

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

EISBERG, Robert; RESNICK Robert. Física Quântica, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1988.

FEYNMAN Richard. Física em Seis Lições. Rio de Janeiro: Editora Ediouro, 1999.

GLEISER, Marcelo. A dança do Universo, dos Mitos de Criação ao Big-Bang. São Paulo: Editora Companhia de Bolso, 1997.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; MERRILL, John. Fundamentos de Física. vol. 4. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1991.

LOPES, José Leite. A Estrutura Quântica da Matéria, do átomo pré-socrático às partículas elementares. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2005.

Suas anotações

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