Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

1

Introdução e Conceitos Básicos

A óptica é um ramo da Física que estuda a

luz ou, mais amplamente, a radiação

electromagnética, visível ou não. A óptica explica os

fenômenos de reflexão, refracção e difracção, a

interação entre a luz e o meio, entre outras coisas.

Geralmente a disciplina estuda fenómenos

envolvendo a luz visível, infravermelha, e

ultravioleta; entretanto, uma vez que a luz é uma

onda eletromagnética, fenômenos análogos

acontecem com os raios X, microondas, ondas de

rádio, e outras formas de radiação electromagnética.

A óptica, nesse caso, pode se enquadrar como

uma subdisciplina do eletromagnetismo. Algums

fenômenos ópticos dependem da natureza da luz e,

nesse caso, a óptica se relaciona com a mecânica

quântica.

Segundo o modelo para a luz utilizada,

distingue-se entre os seguintes ramos, por ordem

crescente de precisão (cada ramo utiliza um modelo

simplificado do empregado pela seguinte):

Óptica geométrica: Trata a luz como um

conjunto de raios que cumprem o princípio de

Fermat. O Princípio de Fermat é um princípio

fundamental da óptica geométrica e diz que o

caminho seguido por um raio luminoso de um ponto

A para um ponto B é tal que o tempo decorrido entre

a partida de A e a chegada a B é estacionário para

pequenas variações do caminho.

Utiliza-se no estudo da transmissão da luz

por meios homogêneos (lentes, espelhos), a reflexão

e a refração.

Óptica ondulatória: Considera a luz como

uma onda plana, tendo em conta sua freqüência e

longitude de onda. Utiliza-se para o estudo da

difração e interferência.

Óptica eletromagnética: Considera a luz

como uma onda eletromagnética, explicando assim a

reflexão e transmissão, e os fenômenos de

polarização e anisotrópicos.

Óptica quântica ou óptica física: Estudo

quântico da interação entre as ondas

eletromagnéticas e a matéria, no que a dualidade

onda-corpúsculo joga um papel crucial.

Teorias sobre a luz

Primeiras idéias dos gregos

No século I a.C. Lucrécio, dando

continuidade às ideias dos primeiros atomistas,

escreveu que a luz e o calor do Sol eram compostos

de pequenas partículas.

Teoria corpuscular da luz

O físico inglês Isaac Newton, em 1672,

defendeu uma teoria onde se considerava a luz como

um feixe de partículas que eram emitidas por uma

fonte, e que estas atingiam o olho, e assim

estimulavam a visão. A este modelo, se deu o nome

de modelo corpuscular da luz.

Teoria ondulatória da luz

O físico francês Jean Bernard Léon

Foucault, no século XIX, descobriu que a luz se

deslocava mais rápido no ar do que na água. O

efeito contrariava a teoria corpuscular de

Newton, esta afirmava que a luz deveria ter uma

velocidade maior na água do que no ar.

James Clerk Maxwell, ainda no século

XIX, provou que a velocidade de propagação de

uma onda eletromagnética no espaço, equivalia

à velocidade de propagação da luz de

aproximadamente 300.000 km/s.

Foi de Maxwell a afirmação:

A luz é uma "modalidade de energia

radiante" que se "propaga" através de ondas

eletromagnéticas.

Teoria da dualidade onda partícula

No final do século XIX, a teoria que

afirmava que a natureza da luz era puramente

uma onda eletromagnética, (ou seja, a luz tinha

um comportamento apenas ondulatório),

começou a ser questionada.

Ao se tentar teorizar a emissão fotoelétrica,

ou a emissão de elétrons quando um condutor

tem sobre si a incidência de luz, a teoria

ondulatória simplesmente não conseguia

explicar o fenômeno, pois entrava em franca

contradição.

Foi Albert Einstein, usando a idéia de Max

Planck, que conseguiu demonstrar que um feixe

de luz são pequenos pacotes de energia e estes

são os fótons, logo, assim foi explicado o

fenômeno da emissão fotoelétrica.

A confirmação da descoberta de Einstein se

deu no ano de 1911, quando Arthur Compton

demonstrou que "quando um fóton colide com

um elétron, ambos comportam-se como corpos

materiais."

Comprimentos de onda da luz visível

A luz visível é a parte do espectro com

comprimentos de onda entre cerca de 400

nanómetros (abreviando nm) e 800 nm (no ar).

A luz pode também ser caracterizada pela sua

frequência.

Figura 1 - Espectro eletromagnético

A velocidade da luz

De acordo com a moderna física teórica,

toda radiação eletromagnética, incluindo a luz

visivel, se propaga no vácuo numa velocidade

constante, comumente chamada de velocidade

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2

da luz, que é uma constante da Física, representada

por c. No vácuo: c f

Alterações na velocidade da luz

Toda luz propaga-se a uma velocidade finita.

Até mesmo observadores em movimento

medem sempre o mesmo valor de c, para a

velocidade da luz no vácuo, com c = 299.792.458

metros por segundo (186.282,397 milhas por

segundo); contudo, quando a luz atravessa alguma

substância transparente tal com o ar, água ou vidro,

sofre refracção e sua velocidade é reduzida. Assim

sendo, n=1 no vácuo e n>1 na matéria.

Medição da luz

As seguintes quantidades e unidades são

utilizadas para medir luz.

brilho, medida em watts/cm2

iluminância ou iluminação (Unidade SI:

lux)

fluxo luminoso (Unidade SI: lumen)

intensidade luminosa (Unidade SI: candela)

Ondas, Raio e frente de Onda

Uma onda em física é uma perturbação

oscilante de alguma grandeza física no espaço e

periódica no tempo. A oscilação espacial é

caracterizada pelo comprimento de onda e a

periodicidade no tempo é medida pela freqüência da

onda, que é o inverso do seu período. Estas duas

grandezas estão relacionadas pela velocidade de

propagação da onda.

Fisicamente uma onda é um pulso

energético que se propaga através do espaço ou

através de um meio (líquido, sólido ou gasoso).

Segundo alguns estudiosos e até agora observado,

nada impede que uma onda magnética se propague

no vácuo ou através da matéria, como é o caso das

ondas ondas eletromagnéticas no vácuo ou dos

neutrinos através da matéria onde as partículas do

meio oscilam à volta de um ponto médio, mas não se

deslocam.

Exceto pela radiação eletromagnética, e

provavelmente as ondas gravitacionais, que podem

se propagar através do vácuo, as ondas existem em

um meio cuja deformação é capaz de produzir forças

de restauração através das quais elas viajam e

podem transferir energia de um lugar para outro sem

que qualquer das particulas do meio seja deslocada

permanentemente como acontece num imã; isto é,

nenhuma massa transportada associada pode anular

o efeito magnético. Em lugar disso, qualquer ponto

particular oscila em volta de um ponto fixo.

Uma onda pode ser longitudinal quando a

oscilação ocorre na direcção da propagação, ou

tranversal quando a oscilação ocorre na direcção

perpendicular à direcção de propagação da onda.

Pelo princípio de Huygens (físico holandês,

1629-1695), cada ponto de uma frente de onda,

num dado instante, pode ser considerado uma fonte

de ondas secundárias, produzidas no sentido de

propagação e com a mesma velocidade do meio.

Podemos dizer que a frente de onda

anterior é considerada como um gerador de uma

nova frente de onda, ou ainda que a frente de

onda separa a região "pertubada" da região não

pertubada. Um exemplo básico é o som onde até

o instante em que as partículas de ar estão em

repouso não se ouve nada, e só no momento que

estas partículas são vibradas (uma frente de

onda empurrando e gerando uma nova frente de

onda) é que haverá a propagação do som (neste

caso haverá propagação da energia e não da

matéria). No caso das ondas eletromagnéticas,

com sua energia irradiada igualmente em todas

as direções (circular), haverá um determinado

instante onde a fase da onda irradiada começará

a se repetir em todos os pontos, começando uma

nova frente de onda

A frente de onda é o lugar geométrico

de todos os pontos adjacentes que possuem a

mesma fase de vibração de uma grandeza física

associada com a onda.

Figura 2.1 -

Figura 2.2 -

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3

Um raio é uma linha reta imaginária na

direção de propagação de uma onda.

São linhas retas, perpendiculares às frentes

de onda.

Reflexão e Refração

Reflexão:

Em física o fenômeno da reflexão consiste

na mudança da direção de propagação da energia, no

retorno da energia incidente em direção à região de

onde ela é oriunda, após entrar em contato com uma

superfície refletora.

A energia pode tanto estar manifestada na

forma de ondas como transmitida através de

partículas. Por isso, a reflexão é um fenômeno que

pode se dar por um caráter eletromagnético, óptico

ou sonoro.

A reflexão difere da refração porque nesta

segunda, há desvio da energia para meio diverso do

meio de onde se originou.

A reflexão pode ser explicada totalmente

com base em apenas duas leis, de cunho geral.

Para enuncia-las, é preciso antes definir alguns

conceitos.

A normal é a semi-reta que se origina a

partir da superfície refletora, situando-se

perpendicularmente a esta

Ângulo de incidência é o ângulo que a

direção de deslocamento da energia faz com a

normal

Ângulo de reflexão é o ângulo que a direção

que a energia que é refletida faz com a normal

Assim, as duas leis da reflexão podem ser expressas

da seguinte maneira:

1. A direção do raio incidente, a normal e a

direção do raio emergente pertencem a um único

plano.

2. O ângulo de incidência tem valor igual ao

valor do ângulo de reflexão.

Explanação teórica

Sendo um fenômeno que encontra

exemplos em física ondulatória como na física de

corpos materiais, é natural desconfiar-se que tem

uma explicação comum aos dois tipos de

comportamento.

Historicamente, o primeiro a formular uma

explicaçao para a reflexão (especificamente, a da

luz) foi Heron de Alexandria. Utilizando-se do

princípio aristotélico que diz que a natureza nada faz

de modo mais difícil, argumentou que a luz percorre

o menor caminho entre dois pontos quaisquer.

Como a luz é obrigada a se desviar durante

o percurso, ainda assim percorre o menor caminho

entre a fonte e o alvo. A esse princípio de óptica

geométrica damos o nome de princípio de Heron.

Muito mais tarde Fermat enunciou

princípio semelhante. Porém assinalava que o

tempo era mínimo e não a distância percorrida.

Esse princípio é conhecido como princípio de

Fermat.

Ainda mais tarde, Maupertuis formulou

pela primeira vez o princípio da menor ação,

onde então surge a noção de ação. Entretanto,

dentro do ponto de vista do cálculo das

variações, melhor seria chamar esse princípio de

princípio da ação estacionária, já que na

verdade a condição é de se achar um extremante

para a funcional ação.

Mais tarde, sir Hamilton enunciou a

forma moderna do princípio variacional.

A reflexão luminosa é a base da

construção e utilização dos espelhos.

Os espelhos, tanto planos quanto os

esféricos, tem larguíssima utlização, e são a

base dos telescópios refletores, que sofrem de

menos restrições que os telescópios refratores.

Figura 3 -

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4

Figura 4 - Tipos de reflexão.

Figura 5 -

Refração:

ÍNDICE DE REFRAÇÃO

Índice de refração é uma relação entre

a velocidade da luz em um determinado meio e

a velocidade da luz no vácuo (c). Em meios com

índices de refração mais baixos (próximos a 1) a

luz tem velocidade maior (ou seja, próximo a

velocidade da luz no vácuo). A relação pode ser

descrita pela fórmula:

cn

v

Onde: c é a velocidade da luz no vácuo

(c = 3.108 m/s); v é a velocidade da luz no meio;

De modo geral, a velocidade da luz nos

meios materiais é menor que c; e assim, em

geral, teremos n > 1. Por extensão, definimos o

índice de refração do vácuo, que obviamente é

igual a 1. Portanto, sendo n o índice de refração

de um meio qualquer, temos:

1n

A velocidade de propagação da luz no

ar depende da frequência da luz, já que o ar é

um meio material. Porém essa velocidade é

quase igual a 1 para todasas cores. Ex: índice de

refração da luz violeta no ar = 1,0002957 e

índice de refração da luz vermelha no ar =

1,0002914. Portanto, nas aplicações, desde que

não queiramos uma precisão muito grande,

adotaremos o índice de refração do ar como

aproximadamente igual a 1:

1n

Como vimos, as cores, por ordem

crescente de freqüências, são: vermelho, laranja,

amarelo, verde, azul, anil e violeta.

A experiência mostra que, em cada

meio material, a velocidade diminui com a

frequência, isto é, quanto maior a frequência,

menor a velocidade.

vermelho laranja amarelov v v

Portanto como c

nv

, concluímos que o índice

de refração aumenta com a frequência. Quanto

maior a frequência, maior o índice de refração.

Em geral, quando a densidade de um

meio aumenta, seu índice de refração também

aumenta.

Como variações de temperatura e

pressão alteram a densidade, concluímos que

essas alterações também alteram o índice de

refração. No caso dos sólidos, essa alteração é

pequena, mas para os líquidos, as variações de

temperatura são importantes, e no caso dos

gases tanto as variações de temperatura como as

de pressão devem ser consideradas.

A maioria dos índices de refração é

menor que 2; uma exceção é o diamante, cujo

índice é aproximadamente 2,4. Para a luz

amarela emitida pelo sódio, sua frequência é f =

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5

5090.1014

Hz e cujo comprimento de onda no vácuo

é λ = 589nm. Essa é a luz padrão para apresentar os

índices de refração.

Consideremos dois meios A e B, de índices de

refração nA e nB; se nA > nB, dizemos que A é mais

refringente que B.

Continuidade Óptica

Consideremos dois meios transparentes A e

B e um feixe de luz dirigindo-se de A para B. Para

que haja feixe refletido é necessário queA Bn n .

Quando nA = nB, não há luz refletida e

também não há mudança na direção da luz ao mudar

de meio; dizemos que há continuidade óptica.

Quando temos um bastão de vidro dentro

de um recipiente contendo um líquido com o mesmo

índice de refração do vidro, a parte do bastão que

está submersa, não refletindo a luz, fica "invisível".

Índice de refração relativo

Se o índice de refração de um meio A é nA e o índice

de um meio B é nB, definimos:

nAB: índice de refração do meio A em

relação ao meio B:

A

AB

B

nn

n

nBA: índice de refração do meio B em

relação ao meio A:

B

BA

A

nn

n

Sendo vA e vB as velocidades da luz nos meios A e B,

temos:

A B

AB

B A

n vn

n v

B A

BA

A B

n vn

n v

LEIS DA REFRAÇÃO

Consideremos dois meios transparentes A e

B e um feixe estreito de luz monocromática, que se

propaga inicialmente no meio A, dirigindo-se para o

meio B. Suponhamos, ainda, que uma parte da luz

consiga penetrar no meio B e que a luz tenha

velocidades diferentes no dois meios. Nesse caso,

diremos que houve Refração. O raio que apresenta

o feixe incidente é o raio incidente (i), e o raio que

apresenta o feixe refratado é o raio refratado (r).

A primeira lei da Refração

O raio incidente, o raio refratado e a normal, no

ponto de incidência, estão contidos num mesmo

plano.

A normal é uma reta prependicular à superfície no

ponto de incidência, θA é denominado ângulo de

incidência e θB, ângulo de refração.

A segunda lei da Refração

A A B Bn sen n sen

Dessa igualdade tiramos:

A

BA

B

senn

sen

A Segunda Lei da Refração foi

descoberta esperimentalmente pelo holandês

Willebrord Snell (1591-1626) e mais tarde

deduzida por Descartes, a partir de sua teoria

corpuscular da luz. Nos Estados Unidos, ela é

chamada de Lei de Snell e na França, de Lei de

Descartes; no Brasil é costume chamá-la de Lei

de Snell-Descartes.

Inicialmente a Segunda Lei foi

apresentada na forma da equação II; no entanto,

ela e mais fácil de ser aplicada na forma da

equação I.

Observando a equação I, concluímos que, onde

o ângulo for menor, o índice de refração será

maior. Explicando melhor:

Se:

A B

, o mesmo ocorre com seus senos:

A Bsen sen

; logo, para manter a igualdade da equação:

B An n

Ou seja, o menor ângulo θB ocorre no

meio mais refringente, nB.

Pelo princípio da reversibilidade, se a

luz faz determinado percurso, ela pode fazer o

percurso inverso. Assim, se ela faz o percurso

XPY, ela pode fazer o percurso YPX. Mas,

tanto num caso como no outro, teremos:

A A B Bn sen n sen

Quando a incidência for normal, não

haverá desvio e teremos 0A B , e,

portanto, 0A Bsen sen , de modo que a

Segunda Lei também é válida nesse caso, na

forma da equação I:

B An n

Caso de ângulos pequenos

Na tabela seguinte, apresentamos

alguns ângulos "pequenos" expressos em graus

e radianos, com o respectivo valor do seno e da

tangente:

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6 Observando esta tabela, percebemos que, para um

ângulo θ, até aproximadamente 10° temos:

sen tg

quando θ está expresso em radianos. Assim, para

ângulos pequenos, a Segunda Lei da Refração pode

ser escrita:

A A B Bn n

para ângulos em radianos.

Figura 6 -

Figura 7 -

Índice de refração e aspectos

ondulatórios da luz.

A freqüência da onda não varia quando

ela passa de um meio para outro. O

comprimento de onda da luz geralmente é

diferente quando a onda passa de um material a

outro. Ele é menor num material do que no

vácuo. Assim:

0

n

Quando a luz passa de um material a a

outro b de índice de refração maior, de modo

que nb > na, a velocidade da onda diminui. O

comprimento de onda no segundo material

0b bn no segundo material é então menor

que o comprimento de onda no primeiro

material 0a an no primeiro material. Já

quando o segundo material possui índice de

refração inferior, de modo que nb < na, a

velocidade aumenta. Então o comprimento de

onda b no segundo material é maior do que o

comprimento de onda a no primeiro material.

Intuitivamente: quando a velocidade da onda

diminui, ela é ―comprimida‖ (o comprimento de

onda torna-se menor); quando a velocidade

aumente ela se ―dilata‖ (o comprimento de onda

torna-se menor).

Reflexão Interna Total

Existem certas circunstâncias em que a

luz pode ser totalmente refletida de uma

interface e nenhuma luz ser transmitida, mesmo

quando o segundo material é transparente, como

mostra a figura a seguir:

Figura 8 -

Ângulo° Ângulo rad Seno Tangente

0 0 0 0

2 0,035 0,035 0,035

4 0,070 0,070 0,070

6 0,105 0,104 0,105

8 0,140 0,139 0,140

10 0,174 0,174 0,176

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7

Os raios mostram como isso pode ocorrer; a

figura contém diversos raios que emanam de uma

fonte puntiforme dentro de um material a com

índice de refração na. Os raios incidem sobre a

superfície de outro material b com índice de refração

nb, sendo na > nb (Por exemplo, o material a é água e

o b é o ar).

De acordo com a Lei de Snell:

a

b a

b

nsen sen

n

Como 1a

b a

b

nsen sen

n ; o raio é

desviado e se afasta para fora da normal. Deve

portanto existir um valor de a < 90° para o qual a

Lei de Snell fornece 1bsen e 90b .

Isto ocorre com o raio 3 indicado no

diagrama, ele emerge tangenciando a superfície,

com um ângulo de refração igual a 90°.

Assim, o ângulo crítico para reflexão

interna total é dado por:

b

crít

a

nsen

n

Por exemplo, na interface vidro-ar, sabendo

que o índice de refração do vidro é 1,52:

10.658 41.1

1.52crít crítsen

A luz que se propaga no interior será

totalmente refletida quando ela incidir na interface

vidro-ar, formando umângulo igual ou superior a

41.1°.

Como refletores, os prismas que usam a

reflexão interna total apresentam algumas vantagens

em relação a superfícies refletoras metálicas, como,

por exemplo, espelhos comuns, que possuem uma

película metálica depositada sobre o vidro. Se, por

um lado, nenhuma superfície metálica pode refletir

100% da luz que sobre ela incide, por outro lado,

umprisma pode refletir totalmente a lus queincide

sobre ele. Além disso, as qualidades refletoras de

um prisma possuem a propriedade adicional de não

perderem o brilho, com o envelhecimento.

Figura 9 -

Um prisma com ângulos 45°-45°-90°,

como indicado na figura é denominado prisma

de Porro. No prisma, a luz entra e sai, formando

um ângulo de 90° com a hipotenusa, sendo

totalmente refletida nas faces menores. O

ângulo de desvio total entre o raio incidente e o

raio emergente é 180°. Os binóculos geralmente

usam uma associação com dois prismas de

Porro, como indicado na figura. (b)

Quando um fexe de luz penetra a

extremidade de uma barra transparente, como

mostra a figura acima, a luz pode sofrer reflexão

interna total se o índice de refração da barra for

maior que o índice de refração do material

existente em seu exterior. O raio de luz fica

confinado no interior da barra, mesmo quando a

barra é curva, desde que a curvatura não seja

muito acentuada. Essa barra muitas vezes é

chamada de tubo de luz. Feixes de fibra de vidro

ou fibras de plásticos podem se comportar de

modo semelhante, com a vantagem de serem

flexíveis. Tal feixe pode ser constituído por

milhares de fibras individuais, cada uma com

diâmetros da ordem de 0.002 a 0.01 mm.

Quando as fibras são agrupadas em um feixe, de

tal modo que uma das extremidades possua a

mesma geometria da outra, formando imagens

especulares, o feixe pode transmitir

umaimagem, como mostra a figura 10:

Figura 10 -

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8

Dispositivos feitos com fibras óticas são

largamente aplicados na medicina, em instrumentos

chamados de endoscópios, que podem ser

introduzidos em tubos no organismo e são usados

para examinar diretamente os brônquios, a bexiga, o

cólon e outros órgãos. Um feixe de fibras pode ser

encerrado em uma agulha hipodérmica para estudar

tecidos e vasos sanguíneos muito afastados da pele.

As fibras óticas também são aplicadas em

sistemas de comunicação, nos quais ela pode ser

usada para transmititr um feixe de laser modulado.

A taxa com a qual a informação pode ser usada para

transmitir uma onda (de luz, de rádio ou qualquer

outro tipo) é proporcional à freqüência. Para

entender qualitativamente a razão disso, imagine que

você module, ou seja, modifique a onda cortando

algumas cristas de onda. Suponha que a crista

representa dígitos binários, sendo que a crista

cortada represente o 0 e a crista não modificada o

algarismo 1. O número de algarismos binários que

podemos transmitir por unidade de tempo é

proporcional à freqüência da onda. A luz

infravermelha e a luz visível possuem freqüências

muito maiores que a das ondas de rádio, de modo

que um feixe de laser modulado pode transmitir uma

quantidade muito grande de informações através de

um único cabo de fibras óticas.

Outra vantagem dos sistemas que usam

cabos de fibras óticas é que eles são isoladamente

elétricos, não sofrem interferências produzidas por

relâmpagos e outras fontes, e não permitem que

correntes indesejadas surjam entre a fonte e o

receptor. Elas são muito seguras e dificilmene

apresentam falhas, mas também implicam

dificuldades para montagem e para fazer junções.

Em 1952, o físico Narinder Singh Kapany,

com base nos estudos efetuados pelo físico inglês

John Tyndall de que a luz poderia descrever um

trajetória curva dentro de um material (no

experimento de Tyndall esse material era água),

pode concluir suas experiências que o levaram à

invenção da fibra óptica. A fibra óptica é um

excelente meio de transmissão utilizado em sistemas

que exigem alta largura de banda, tais como: o

sistema telefônico, videoconferência, redes locais

(LANs), etc. Como mencionamos, há basicamente

duas vantagens das fibras ópticas em relação aos

cabos metálicos: A fibra óptica é totalmente imune a

interferências eletromagnéticas, o que significa que

os dados não serão corrompidos durante a

transmissão. Outra vantagem é que a fibra óptica

não conduz corrente elétrica, logo não haverá

problemas com eletricidade, como problemas de

diferença de potencial elétrico ou problemas com

raios. O princípio fundamental que rege o

funcionamento das fibras ópticas é o fenômeno

físico denominado reflexão total da luz. Para que

haja a reflexão total a luz deve sair de um meio mais

para um meio menos refringente, e o ângulo de

incidência deve ser igual ou maior do que o

ângulo limite (também chamado ângulo de

Brewster)

As fibras ópticas são constituídas

basicamente de materiais dielétricos (isolantes)

que, como já dissemos, permitem total

imunidade a interferências eletromagnética;

uma região cilíndrica composta de uma região

central, denominada núcleo, por onde passa a

luz; e uma região periférica denominada casca

que envolve o núcleo. O índice de refração do

material que compõe o núcleo é maior do que o

índice de refração do material que compõe a

casca.

Núcleo: O núcleo é um fino filamento de

vidro ou plástico, medido em micra (1 mm =

0,000001m), por onde passa a luz. Quanto

maior o diâmetro do núcleo mais luz ele pode

conduzir.

Casca: Camada que reveste o núcleo. Por

possuir índice de refração menor que o núcleo

ela impede que a luz seja refratada, permitindo

assim que a luz chegue ao dispositivo receptor.

Capa: Camada de plástico que envolve o

núcleo e a casca, protegendo-os contra choques

mecânicos e excesso de curvatura.

Fibras de resistência mecânica: São

fibras que ajudam a proteger o núcleo contra

impactos e tensões excessivas durante a

instalação. Geralmente são feitas de um material

chamado kevlar, o mesmo utilizado em coletes a

prova de bala.

Revestimento externo: É uma capa que

recobre o cabo de fibra óptica.

Existem duas categorias de fibras ópticas:

Multimodais e Monomodais. Essas categorias

definem a forma como a luz se propaga no

interior do núcleo.

Multimodais: As fibras multimodais

possuem o diâmetro do núcleo maior do que as

fibras monomodais, de modo que a luz tenha

vários modos de propagação, ou seja, a luz

percorre o interior da fibra óptica por diversos

caminhos. As dimensões são 62,5 mm para o

núcleo e 125 mm para a casca. Dependendo da

variação de índice de refração entre o núcleo e a

casca, as fibras multimodais podem ser

classificadas em : Índice Gradual e Índice

Degrau.

Monomodais: As fibras monomodais são

adequadas para aplicações que envolvam

grandes distâncias, embora requeiram

conectores de maior precisão e dispositivos de

alto custo. Nas fibras monomodais, a luz possui

apenas um modo de propagação, ou seja, a luz

percorre interior do núcleo por apenas um

caminho. As dimensões do núcleo variam entre

8 mm a 10 mm, e a casca em torno de 125 mm.

As fibras monomodais também se diferenciam

pela variação do índice de refração do núcleo

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em relação à casca; classificam-se em Índice Degrau

Standard, Dispersão Deslocada (Dispersion Shifed)

ou Non-Zero Dispersion.

Obs: As fibras ópticas transmitem luz com um

comprimento de onda invisível ao olho humano.

Portanto, nunca devemos olhar diretamente para

uma fibra óptica enquanto ela estiver transmitindo,

pois corremos o sério risco de ficarmos cego.

Figura 11 - Fibras óticas

(a) Estrutura

(b) Fribra óptica monomodal.

(c) Fibra óptica multimodal

Dispersão

A luz branca comum é uma superposição

de cores cujos comprimentos de onda abrangem

todo o espectro visível. A velocidade da luz no

vácuo é a mesma para todos os comprimentos de

onda, porém, no interior de um material, ela varia

com o comprimento de onda Portanto, o índice de

refração de um material depende do comprimento de

onda. A dispersão indica como a velocidade da onda

e o índice de refração dependem de seu

comprimento de onda.

A figura a seguir ilustra como varia o

índice de refração n() para alguns materiais

comumente usados em ótica.

Figura 12 -

Para quase todos os materiais, n aumenta

quando o comprimento de onda diminui, ou a

freqüência f aumenta. Para esses materiais, a luz

que possui o comprimento de onda maior se

desloca com velocidade superior àquela que

possui comprimento de onda menor.

A figura a seguir mostra um feixe de

luz branca incidindo em um prisma. O desvio

produzido pelo prisma aumenta com o aumento

do índice de refração e da freqüência e com a

diminuição do comprimento de onda. A luz

violeta sofre o maior desvio e a luz vermelha é a

que se desvia menos. As demais cores sofrem o

desvio entre esses extremos.

Quando a luz emerge do prisma, ela se

espalha e as cores são separadas.

Figura 13 - Dispersão luminosa da luz.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10

10

índice n

Índice np

N2

N1 2 r2

1 i2

i1

r1

O raio luminoso sofre duas refrações: a

primeira ao entrar na interface entre o meio e o

prisma:

1 1i r psen n sen n

1

1

i p

r

sen n

sen n

E sofre um primeiro desvio angular 1; e a

segunda refração:

2 2i p rsen n sen n

2

2

r p

i

sen n

sen n

Comparando as expressões:

2

2

r

i

sen

sen

1

2 1 2 1

1

i

r i i r

r

sen

sen

Ao passar do prisma para o meio, sofrendo

outro desvio angular 2.

Aplicando a geometria, temos:

1 2

2 2r i

1 2 1 21 1i r i r

2 2 2 22 2r i r i

1 2 2 2i r r i

1 2 2 2( )i r i r

1 2i r

2

Ao apreciar a beleza do arco-íris, você está

vendo efeitos combinados de refração e reflexão. O

Sol está atrás do observador e a luz se refrata para o

interior de uma gotícula de água: a seguir ela é

(parcialmente) refletida na parte interna posterior da

gotícula de água e finalmente refratada, saindo da

gotícula. A dispersão faz a separação das cores

como resultado da refração que ocorre em ângulos

diferentes para as diversas cores. Quando você vê

um segundo arco íris, está vendo o resultado da

dispersão e de duas reflexões que ocorrem na

parte interna posterior da gotícula. Ambos os

arco-íris, o arco-íris primário e o arco-íris

secundário, podem ser vistos na figura a seguir.

Figura 14 -

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11

11

Polarização

A polarização é uma característica de todas

as ondas eletromagnéticas. Essa seção descreve

a luz, contudo, deve-se lembrar que a luz é um

tipo de onda transversal, formada por campos

elétrico e magnético, perpendiculares entre si e

dependentes do tempo, que podem estar em

algum dos eixos x,y ou z.

Sempre definimos como direção de

polarização de uma onda eletromagnética como

a direção do campo elétrico E e não a direção

do campo magnético, pois quase todos os

detetores de ondas eletromagnéticas funcionam

sob a ação da força elétrica sobre os elétrons do

material e não pela ação da força magnética.

Figura 15 - (A) Esquema de onda

eletromgnética.

(B)

Nesse caso, os campos elétricos e

magnéticos são dados por:

maxˆ( , )E x t E sen t kx j

maxˆ( , )B x t B sen t kx k

Nesse caso, a luz é polarizada na

direção y.

Filtros Polarizadores

As ondas produzidas por uma emissora

de rádio são em geral linearmente polarizadas.

A antena vertical de um telefone celular emite

ondas contida num plano horizontal em torno da

antena e que são polarizadas em uma direção

vertical (paralela à antena). Se uma antena de

TV no telhado de uma casa possui um elemento

horizontal ela capta ondas polarizadas na

horizontal, se o elemento na antena estiver na

direção vertical, ela detecta as ondas polarizadas

verticalmente.

Para a luz, a situação é diferente. As

fontes comuns, como as lâmpadas

incandescentes ou fluorescentes, emitem luz que

não é polarizada. As ―antenas‖ que são ondas

luminosas são as moléculas que constituem as

fontes de luz. A luz emitida por uma única

molécula, pode ser linearmente polarizada como

a onda emitida por uma antena de rádio.

Contudo, qualquer fonte de luz que

tenha um número extremamente grande de

moléculas com orientações caóticas, de modo

que a luz emitida possui ondas polarizadas

aleatoriamente em todas as direções transversais

possíveis. Essa luz é chamada de luz natural ou

luz não polarizada. Para produzir um feixe de

luz polarizada a partir de um feixe de luz natural

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12

12

é necessário um filtro análogo ao filtro indicado na

figura a seguir.

Figura 16 –

(a)

(b)

(c)

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13

13

Os filtros usados para polarizar ondas

eletromagnéticas possuem difrentes detalhes de

construção, que dependem do comprimento de onda.

Para microondas, que possuem comprimentos de

onda da ordem de alguns centímetros, um bom filtro

polarizador é uma grade de fios condutores

próximos e paralelos, isolados entre si e igualmente

espaçados (imagine uma grelha de churrasqueira

com a moldura de ferro externa substituída por uma

outra de material isolante.) Os elétrons podem se

mover livremente ao longo dos fios em resposta a

uma onda com um campo elétrico E paralelo aos

fios. A corrente resultante que percorre os fios

dissipa calor com uma taxa Ri2; a energia dissipada é

oriunda das ondas, de modo que as ondas que

atravessam a grade de fios paralelos possuam

amplitudes menores do que as amplitudes das ondas

incidentes. As ondas com um campo elétrico E

perpendicular aos fios atravessam a rede

praticamente sem nenhuma alteracão, visto que os

elétrons não podem mover-se através do ar entre os

fios. Portanto, um feixe de ondas que passa através

desse tipo de filtro emerge polarizado

perpendicularmente ao plano dos fios. No caso da

luz, o filtro polarizador mais comum é conhecido

como polaróide – nome derivado de uma marca

registrada Poloroid -, largamente utilizada em óculos

de sol e como filtros polarizadores em câmeras

fotograficas. Desenvolvido inicialmente pelo

cientista americano Edwin H Land, esse material

possui uma propriedade chamada de dicroísmo,

uma absorção seletiva na qual um dos componentes

de onda é absorvido muito mais acentuadamente do

que o outro. Um filtro polaróide transmite mais de

80% da intensidade da luz polarizada em uma

direção paralela a um certo eixo do material,

chamado de eixo polarizador, porém transmite

menos de 1% quando a luz é polarizada em um eixo

perpendicular a esse eixo. Em um tipo comum de

filtro polaróide, existem longas cadeias de moléculas

em seu interior orientadas em uma direção paralela

ao comprimento dessa moléculas desenhando um

papel análogo ao da grade de fios condutores que

funcionam como filtro de microondas.

Um filtro polarizador ideal, chamado

simplesmente de polarizador, deixa passar 100% da

luz polarizada que incide sobre ele quando a luz é

linearmente polarizada na mesma direção do eixo do

polarizador e bloqueia completamente a luz

linearmente polarizada na mesma direção do eixo

polarizador e bloqueia completamente a luz

linearmente polarizada na direção perpendicular a

esse eixo. Tal dispositivo é uma idealização

inatingível, porém é um conceito útil para esclarecer

idéias básicas. Nas discussões a seguir vamos

assumir que todo polarizador seja ideal. Na figura

anterio (c), uma luz não polarizada incide sobre um

disco polarizador. O eixo do polarizador é indicado

pela linha inclinada mostrada na figura. O valor de

E do feixe incidente pode ser decomposto em

componentes paralelos e perpendiculares ao

eixo de polarização; somente os componentes

de E paralelos ao eixo do polarizador são

transmitidos. Portanto, a luz que emerge do

polarizador é linearmente polarizada na direção

paralela ao do eixo do polarizador.

Quando um feixe de luz não polarizada

incide sobre um polarizador ideal, como

indicado na figura 16 (b), a intensidade da luz

transmitida é exatamente igual a um meio da

intensidade da luz não-polarizada incidente,

qualquer que seja a direção do eixo polarizador.

A explicação é a seguinte: podemos decompor o

campo E em um componente paralelo e outro

perpendicular ao eixo do polarizado. Como a

luz incidente possui estados de polarização

aleatórios, podemos dizer que, na média, os dois

componentes são iguais. Como o polarizador

ideal transmite apenas o componente paralelo ao

seu eixo, podemos concluir que somentemetade

da intensidade incidente é transmitida.

Quando a luz linearmente polarizada

que emerge de um polarizador incide sobre um

segundo polarizador, como indicado na figura

16 (b), considerando um caso geral, em que o

eixo do segundo polarizador, ou analisador, faz

um ângulo com o eixo de polarização do

primeiro polarizador, podemos decompor a luz

polarizada transmitida pelo primeiro polarizador

em duas componentes, um paralela e uma

perpendicular ao eixo do analisador.

Somente o componente paralelo, com

amplitude Ecos, será transmitido pelo

analisador. A intensidade do feixe transmitido,

será máxima, quando =00 e será 0 quando

=900, ou seja,o eixo do polarizador está

cruzado com do analisador. Para determinar a

direção da polarização da luz transmitida pelo

primeiro polarizador, giramos o analisador até

que a fotocélula mostrada indique intensidade

igual a 0; nessa posição o eixo do primeiro

polarizador é perpendicular ao eixo do

analisador. Para determinar a intensidade

transmitida para valores intermediários do

ângulo , esta é proporcional ao quadrado da

amplitude de onda. A razão entre a amplitude da

onda transmitida e a amplitude da onda

incidente é igual a cos; portanto a razão entre

suas intendidades é cos2. Logo, a inensidade da

luz que emerge do analisador é dada pela Lei de

Malus:, descoberta experimentalmente em 1809

e vale somente quandoo feixe de luz que incide

sobre o analisador já está linearmente

polarizado: 2

max cosI I

Imax: intensidade máxima da luz

transmitida.

I: intensidade transmitida para um dado

ângulo .

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14

14

Polarização com reflexão

A luz não polarizada pode ser polarizada

parcial ou totalmente, por meio da reflexão. Na

figura a seguir, um feixe de luz não polarizada

incide na superfície de separação entre dois

materiais transparentes: denomina-se plano de

incidência o plano que contém o raio incidente, o

raio refletido e anormal à superfície.

Figura 17 –

Contudo, para determinado ângulo de

incidência, denominado ângulo de polarização p, os

componentes de E paralelos ao plano de incidência

são totalmente refratados.

Para esse mesmo ângulo de incidência, os

componentes de E perpendiculares ao plano de

incidência são parcialmente refletidos e

parcialmente refratados. A luz refletida é, portanto,

totalmente polarizada em um plano perpendicular ao

plano de incidência, como indicado.

A luz refratada é parcialmente polarizada

em um plano paralelo a esse plano, logo a luz

refratada é composta pela mistura da luz com o

campo elétrico paralelo ao plano de incidência,

cujos componentes são totalmente refratados,

superpostos com os componentes perpendiculares

restantes.

E 1812, o cientista inglês Sir david

Brewster descobriu que, quando o ângulo de

incidência é igual ao ângulo de polarização p, o raio

refletido é perpendicular ao raio refratado. Nesse

caso, o ângulo de refração b torna-se igual ao

complemento de p: 090b p

De acordo com a lei da refração:

a p b bn sen n sen

90 cosa p b p b pn sen n sen n

bp

a

ntg

n

(Lei de Brewster para o ângulo de polarização)

A polarização por reflexão possibilita o

uso de eficiente de filtros polarizadores em

óculos de sol. Quando a luz solar é refletida por

uma supefície horizontal, o plano de incidência

é vertical e a luz refletida contém

preponderantemente luz polarizada na direção

horizontal. Quando a reflexão ocorre na

superfície lisa do asfalto de uma estrada ou na

superfície de um lago, ela produz um

ofuscamento indesejável. A visão pode ser

melhorada se o excesso de luz reponsável pelo

ofuscamento for eliminado. O fabricante de

óculos produz lentes com eixo de polarização na

direção vertical, de modo que a maior parte da

luz refletida com polarização horizontal não

atinja seus olhos. Além disso, os óculos também

reduzem em cerca de 50% a intensidade global

da luz não polarizada que incide sobre suas

lentes.

Figura 18 – (a) (b)

Luz circularmente polarizada e

elipticamente polarizada.

Além da luz linearmente polarizada, a

luz e outras ondas eletromagnéticas podem ser

circularmente polarizadas ou elipticamente

polarizadas. Para introduzir esses conceitos,

vamos retornar mais uma vez aos estudos das

ondas mecânicas em uma corda esticada.

Quando duas ondas linearmente polarizadas

estão em fase e possuem, mesma amplitude e se

superpõe, como mostra a figura a seguir, cada

ponto da corda deve possuir simultaneamente os

deslocamentos y e z iguais em módulo. A onda

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15

15

resultante está contida em um plano que forma um

ângulo de 450 com os planos xy e xz.

A amplitude da onda resultante é 2

vezes maior do que a amplitude de cada onda

componente, e a onda resultante é linearmente

polarizada.

Figura 19 –

Mas vamos supor agora que as duas ondas

mencionadas possuam uma diferença de fase de ¼

de ciclo. Então o movimento resultante de cada

ponto corresponde a uma superposição de dois

movimentos harmônicos simples ortogonais, com

uma diferença de fase de ¼ de ciclo. O

deslocamento y de um dado ponto é máximo quando

o deslocamento z é igual a zero e vice versa. O

movimento resultante da corda não está mais

contido em um único plano. Podemos mostrar que

cada ponto descreve uma circunferência contida em

um plano paralelo ao plano yz. Os pontos sucessivos

da corda contém diferença de fase consecutivas e o

movimento resultante assemelha-se a um

movimento helicoidal. Isso é mostrado no lado

esquerdo do polarizador indicado da figura 15. Esse

tipo particular de superposição de duas ondas

linearmente polarizadas denomina-se polarização

circular. Por convenção dizemos que a luz é

circularmente polarizada direita ou destrógira

quando o sentido do movimento de uma partícula da

corda, para um observador que olhe a onda se

aproximar frontalmente é horário: a luz é

circularmente polarizada esquerda ou levógira se o

sentido do movimento é contrário, ou seja, anti-

horário.

Na figura acima, mostra-se a situação

análoga para o caso de uma onda eletromagnética.

Ocorrem a superposiçao de duas ondas senoidais de

amplitudes iguais, polarizadas ao longo dos eixos y e

z e com uma diferença de fase de ¼ de ciclo. Na

onda resultante, o vetor E em cada ponto possui

módulo constante, porém gira em torno da direção

de propagação da onda. A figura ilustra o caso de

uma onda circularmente polarizada destrógira, pois

quando a onda se aproxima de você o vetor E gira

para a direita.

Quando a diferença de fase entre as

ondas componentes é diferente de um quarto de

ciclo, ou quando as duas ondas componentes

possuem amplitudes diferentes, então cada

ponto da corda, em vez de descrever uma

circunferência, passa a escrever uma elipse. A

onda resultante é chamada de elipticamente

polarizada.

Para as ondas eletromagnéticas na faixa

de radiofreqüência, a polarização circular o

elíptica pode ser produzida usando-se duas

antenas perpendiculares, alimentadas pelo

mesmo transmissor, porém com circuitos

projetados para se produzir diferenças de fase

apropriadas. No caso da luz, a diferença de fase

necessária para ser obtida usando-se um

material com birrefringência, ou seja, aquele

que possui dois índices de refração para ondas

polarizadas em planos perpendiculares entre si.

Um exemplo comum é a calcita (CaCO3).

Quando um cristal de calcita está orientado

convenientemente em relação a um feixe de luz,

não-polarizada, seu índice de refração para um

comprimento de onda de 589 nm é igual a 1.658

para uma onda polarizada em certa direção e

igual a 1.486 para uma onda polarizada em uma

direção perpendicular à primeira. Quando duas

ondas com amplitudes iguais e polarizadas em

planos perpendiculares entre si penetram nesse

material, elas se propagam no interior desse

material com velocidades diferentes. . Quando

elas estão em fase ao penetrar no material, então

geralmente não estão em fase quando dele

emergem. Quando o material possui uma

espessura apropriada suficiente para produzir

uma diferença de um quarto de ciclo, o cristal

converte luz linearmente polarizada em luz

circularmente polarizada. Esse tipo de cristal é

chamado de lâmina de um quarto de onda ou

placa de um quarto de onda. Essa placa também

pode converter luz circularmente polarizada em

luz linearmente polarizada. Você é capaz de

demonstrar essa afirmação?

Fotoelasticidade

Alguns materiais que normalmente não

exibem birrefringência podem se tornar bir-

refringentes quando submetidos a tensões

mecânicas. Essa c a base de uma ciência deno-

minada fotoelasticidade. Tensões em vigas, nas

paredes de caldeiras e nos pilares de uma

catedral podem ser analisadas construindo-se

um modelo transparente do objeto, geralmente

de um material plástico, submetendo o objeto a

tensões e analisando-o com luz polarizada entre

um polarizador cruzado com um analisador.

Distribuições de tensões extremamente

complicadas podem ser analisadas com esse

método ótico.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 16

16

Espalhamento da Luz

O céu é azul. O pôr-do-sol é vermelho. A luz

do céu é parcialmente polarizada: por isso, quando

olhamos para o céu usando óculos com lentes

polaróides notamos que o céu em certas direções

parece mais escuro do que em outras. Um mesmo

fenômeno é responsável por todos esses efeitos.

Ao olhar para o céu durante o dia, a luz que

você vê é a luz solar que foi absorvida e depois

retransmitida em muitas direções. Esse fenômeno

denomina-se espalhamento. (Caso a Terra não

possuísse atmosfera, o céu seria negro tanto durante

o dia quanto à noite, tal como um astronauta vê o

céu em volta da Lua quando ele está no espaço ou

sobre a superfície lunar: você veria a luz solar

somente quando olhasse diretamente para o Sol e

poderia observar as estrelas também durante o dia.)

A Figura 20 mostra alguns detalhes do processo do

espalhamento. A luz solar, que não é polarizada,

incide da esquerda para a direita ao longo do eixo

Ox e passa acima de um observador que está

olhando verticalmente de baixo para cima ao longo

do eixo Oy. (Estamos vendo a cena lateralmente.)

Considere moléculas do ar atmosférico localizadas

no ponto O. As cargas elétricas de cada molécula

oscilam por causa da ação do campo elétrico da luz

solar. Como a luz é uma onda transversal, a direção

do campo elétrico de qualquer componente do feixe

da luz solar permanece sobre o plano yz; e o

movimento das cargas deve ocorrer sobre esse

plano. Não existe nenhum campo e, portanto,

nenhum movimento ao longo do eixo Ox.

Uma onda de luz com o campo elétrico E

formando um ângulo com o eixo Oz obriga as

cargas elétricas das moléculas a vibrar ao longo da

direção de E, conforme indicado pelas setas em

torno de O. Podemos decompor essa vibração em

uma vibração ao longo do eixo Oy e outra ao longo

do eixo Oz. Cada componente da luz incidente

produz o efeito semelhante ao de uma "antena",

oscilando com a mesma freqüência da luz incidente

e situada sobre o eixo Oy e sobre o eixo Oz.

Figura 20 –

Uma carga oscilante não irradia na

direção de sua vibração. Portanto, a "antena" ao

longo do eixo Oy não emite nenhuma luz para o

observador que está diretamente abaixo, embora

ela emita luz nas outras direções. Assim, a luz

que atinge o observador deitado é proveniente

de outras "antenas" moleculares

correspondentes às cargas que oscilam do eixo

Oz. Essa luz é linearmente polarizada, com o

campo elétrico ao longo do eixo Oz. Os vetores

com setas opostas paralelos ao eixo Oz abaixo

do ponto O indicado na Figura 20 mostram a

direção da polarização da luz que incide sobre o

observador deitado.

Como o feixe original da luz solar

passa através da atmosfera, sua intensidade

diminui à medida que a energia é retirada para a

luz espalhada. Uma análise rigorosa do processo

de espalhamento mostra que a intensidade da

luz espalhada pelas moléculas do ar aumenta

com a quarta potência da freqüência (é

inversamente proporcional à quarta potência do

comprimento de onda). Logo, a razão entre as

intensidades dos dois extremos do espectro

visível é dada por (700 nm/400 nm)4 = 9,4.

Fazendo-se uma aproximação, podemos dizer

que a luz azul é cerca de nove vezes mais

espalhada do que a luz vermelha. É por isso que

o céu é azul.

As nuvens contêm uma concentração

elevada de gotículas de água e de pequenos

cristais de gelo que também espalham a luz. Por

causa disso, a luz que passa através das nuvens

possui mais centros de espalhamento de tipos

diferentes do que no caso do céu sem nenhuma

nuvem. Portanto, a luz com todos os

comprimentos de onda acaba sendo espalhada,

de modo que as nuvens parecem brancas. A cor

do leite é branca pela mesma razão: todas as

cores são espalhadas por pequenos glóbulos de

gordura existentes no leite. Se você diluir o leite

misturando-o com uma quantidade de água

suficiente, a concentração dos glóbulos de

gordura passará a ser muito pequena, de modo

que a cor azul será espalhada mais

substancialmente do que as outras cores;

portanto, a solução fortemente diluída será azul

e não branca. (O leite sem gordura, que também

contém uma pequena concentração de glóbulos,

exibe, pela mesma razão, uma cor ligeiramente

azulada.)

Perto do pôr-do-sol quando a luz solar

atravessa uma extensa camada da atmosfera ter-

restre, uma grande quantidade da luz azul é

removida pelo espalhamento na atmosfera. A

luz solar sem a cor azul parece ser vermelha ou

ligeiramente amarela. Isso explica por que você

geralmente vê a luz solar amarela ou vermelha

durante o poente (e isso é notado pelo obser-

vador indicado no lado direito da Figura 20.)

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 17

17

Como a luz solar é parcialmente polarizada,

um polarizador pode ser útil na arte fotográfica.

Você pode obter uma fotografia do céu escuro

usando um polarizador com um eixo perpendicular à

direção do eixo com a polarização predominante da

luz espalhada. A luz mais fortemente polarizada

provém da parte do céu que está a 900 afastada da

direção da luz proveniente do Sol — por exemplo, a

direção diretamente acima de nossa cabeça quando o

Sol está no levante ou no poente.

Princípio de Huygens

As leis da reflexão e da refração que

estudamos anteriormente foram descobertas

experimentalmente muito tempo antes de a

natureza ondulatória da luz ser de fato

comprovada. Contudo, podemos deduzir essas

leis a partir de considerações ondulatórias e

mostrar que elas são consistentes com a natureza

ondulatória da luz. O mesmo tipo de análise que

faremos aqui será muito importante quando

estudarmos a ótica física.

Vamos começar com um princípio

conhecido como princípio de Huygens. Em 1678 o

cientista holandês Christian Huygens formulou um

princípio que permite a construção geométrica de

uma nova frente de onda a partir de uma frente de

onda conhecida em um dado instante. Huygens

afirmou que todos os pontos de uma frente de onda

podem ser considerados fontes de ondas

secundárias que se espalham para fora com uma

velocidade igual à velocidade de propagação da

onda. A nova frente de onda em um instante

posterior pode ser determinada construindo-se uma

superfície que tangencie as ondas secundárias, ou,

como se costuma dizer, traçando-se a envoltório

das ondas secundárias. Todos os resultados obtidos

a partir da aplicação do princípio de Huygens

também podem ser conseguidos com as equações

de Maxwell. Logo, ele não é um princípio

independente, mas de uma ferramenta geralmente

útil para explicar fenômenos ondulatórios.

O princípio de Huygens é ilustrado na

Figura 21. A frente de onda AA' está se deslocando

para fora de uma fonte, como indicam as pequenas

setas. Vejamos determinar a forma da frente de onda

depois de um intervalo de tempo t. Seja v a

velocidade de propagação da onda; então no

intervalo de tempo t ela se deslocou de uma

distância vt. Construímos diversas circunferências

(interseções das ondas secundárias esféricas com o

plano) centralizadas nos pontos da frente de onda

AÃ' com raios vt. A envoltória dessas ondas

secundárias, que fornece a nova frente de onda, é a

curva BB'. Estamos supondo que a velocidade v seja

a mesma em todos os pontos e em todas as direções.

Para deduzir a lei da reflexão a partir do princípio de

Huygens, consideramos uma onda plana

aproximando-se de uma superfície refletora plana.

Na Figura 34.27, as linhas AA', OB' e

NC' representam posições sucessivas das frentes

de onda que se aproximam da superfície MM'. O

ponto A da frente de onda AA´ acaba de atingir a

superfície refletora. Podemos usar o princípio de

Huygens para determinar a frente de onda

depois de um intervalo de tempo t. Usando os

pontos da reta AA´ como centros, podemos

desenhar diversas ondas secundárias com raios

vt. As ondas secundárias que se originam na

extremidade superior de AA´ se espalham até

encontrar o obstáculo, e a envoltória dessas

ondas fornece o segmento OB' da nova frente de

onda. Caso a superfície refletora não existisse,

as ondas secundárias que se originam na

extremidade inferior de AA´ se espalhariam de

modo análogo e atingiriam as posições

indicadas pelas linhas tracejadas. Em vez disso,

essas ondas secundárias atingem a superfície

refletora.

A superfície refletora produz uma

variação da direção dessas ondas secundárias

que incidem sobre ela, de modo que as ondas

secundárias que deveriam penetrá-la na

realidade retornam para o lado esquerdo da

superfície, como indicam as linhas contínuas.

A primeira dessas ondas secundárias está

centralizada no ponto A; a envoltória das

ondas secundárias que retornam é o segmento

OB da frente de onda. O traço da frente de

onda completa nesse instante fornece o ângulo

definido pela linha BOB'. Um raciocínio

semelhante permite a construção da linha

CNC´ para a frente de onda depois de outro

intervalo de tempo t.

Figura 21 –

De acordo com a geometria plana, o

ângulo a entre a frente de onda incidente e a

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 18

18

superfície é igual ao ângulo entre o raio incidente e

a normal à superfície, e, portanto, é o ângulo de

incidência.

Analogamente, r, é o ângulo de reflexão.

Para achar a relação entre esses dois ângulos,

observe a Figura 22. A partir de O desenhamos o

segmento OP = vt, perpendicular a AA´. O segmento

OB, por construção, é tangente ao círculo vt com

centro em A. Desenhando o segmento AQ a partir de

A até o ponto de tangência, os triângulos APO e

OQA são congruentes porque são triângulos

retângulos que possuem o lado comum AO e o lado

AQ = OP = vt. Portanto, concluímos que a = r,

obtendo assim a lei da reflexão.

Figura 22 –

Podemos deduzir a lei da refração fazendo

um raciocínio semelhante. Na Figura 23 temos uma

frente de onda plana, representada pela linha reta

AA'. para a qual o ponto A acaba de incidir sobre a

interface SS' entre os dois materiais transparentes a e

b que possuem índices de refração na e nb e nos

quais as velocidades das ondas são va e vb. (As ondas

refletidas não são indicadas nessa figura; elas se

propagam exatamente como indicado na Figura 22).

Podemos aplicar o princípio de Huygens

para determinar as posições das frentes de onda

depois de um intervalo de tempo t.

Usando os pontos da reta AA' como centros,

desenhamos diversas ondas secundárias. Aquelas

que se originam na extremidade superior de AA' se

deslocam com velocidade va e, depois de um

intervalo de tempo t, são superfícies esféricas com

raio vt. Contudo, a onda secundária com origem no

ponto A se desloca no segundo material com

velocidade vb, e. depois de um intervalo de tempo t,

é uma superfície esférica com raio vbt. A envoltória

das ondas secundárias obtidas a partir da frente de

onda inicial é a nova frente de onda cuja interseção

com o plano da página fornece a linha BOB'. Uma

construção semelhante nos permite traçar a linha

CPC' depois de um segundo intervalo de tempo t.

O ângulo a entre a superfície e a frente de

onda incidente é o ângulo de incidência, e o ângulo

b, entre a superfície e a frente de onda refratada é o

ângulo de refração. Para verificar a relação entre

esses ângulos observe a Figura 23 (b). Desenhe o

segmento OQ = vat na direção perpendicular a AQ e

trace o segmento AB = vbt na direção

perpendicular a BO.

Pelo triângulo AOQ: a

a

v tsen

AO

Pelo triângulo AOB: b

b

v tsen

AO

Combinamos as relações anteriores e

teremos:

a a

b b

sen v

sen v

Figura 23 -

Como: a a b bn c v n c v

b b a

a a b

n c v v

n c v v

a b

b a

sen n

sen n

ou a a b bsen n sen n

que reconhecemos como a lei de Snell. Desse

modo, deduzimos a lei de Snell a partir de uma

teoria ondulatória. Alternativamente, podemos

considerar a lei de Snell um resultado

experimental que define o índice de refração de

um material; nesse caso, a análise anterior ajuda

a confirmar a relação v = c/n para a velocidade

em um material.

As miragens fornecem outro exemplo

do emprego do princípio de Huygens. Quando

os raios solares aquecem a superfície de um

pavimento ou a areia do deserto, forma-se nos

arredores da superfície, uma camada quente,

menos densa, com índice de refração n menor

do que o índice de refração da camada superior.

A velocidade da luz nessas áreas da superfície é

ligeiramente maior do que nas vizinhanças da

camada superior, e as ondas secundárias de

Huygens possuem raios um pouco maiores, de

modo que as frentes de onda se inclinam

levemente e os raios que se aproximam da

superfície com ângulos de incidência elevados,

(próximos de 90°) se encurvaram para cima,

como indicado na Figura 24. O raio de luz que

está afastado do solo não sofre quase nenhum

desvio e se propaga praticamente em linha reta.

O observador vê o objeto em sua posição

natural, juntamente com uma imagem invertida

embaixo dela, como se ela estivesse observada

refletida por uma superfície horizontal. Mesmo

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 19

19

quando a turbulência do ar aquecido impede a

formação de uma imagem invertida nítida, o cérebro

do viajante sedento interpreta a imagem como se ela

estivesse refletida pela superfície do lago.

Figura 24 -

Vidro.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 20

20

Introdução

Seu reflexo no espelho do banheiro, a Lua vista

por meio de um telescópio, os desenhos observados

em um caleidoscópio; todas essas visões são

exemplos de imagens. Em cada um desses casos, os

objetos são vistos em posições aparentes diferentes

das posições nas quais eles realmente se encontram;

seu reflexo forma uma imagem do outro lado do

espelho, a Lua parece estar muito mais próxima

quando você a observa através do telescópio e um

objeto visto em um caleidoscópio parece estar em

diversos lugares ao mesmo tempo. Em cada caso,

um raio de luz proveniente de um ponto do objeto

sofre um desvio produzido por reflexão ou refração

(ou uma combinação dos dois efeitos) e parecem

divergir de ou convergir para um ponto chamado de

imagem puntiforme. Nosso objetivo é verificar

como isso ocorre e estudar os diferentes tipos de

imagens que podem ser obtidos usando-se um

dispositivo ótico simples.

Para entender as imagens e como elas são

formadas, precisamos apenas do modelo da

descrição da luz por meio de raios, as leis da

reflexão e da refração e um pouco de geometria e de

trigonometria. O papel central desempenhado pela

geometria em nossa análise é o principal motivo de

usarmos o nome ótica geométrica para designar o

estudo da formação de imagens.

Começaremos pelo espelho plano, um dos

dispositivos óticos mais simples para a formação de

imagens. A seguir estudaremos como as imagens

são formadas por espelhos curvos, por superfícies

refratoras e por lentes delgadas. Nossos estudos

servirão de base para entender o funcionamento de

muitos instrumentos óticos familiares, incluindo a

máquina fotográfica, a lupa, o olho humano, o

microscópio e o telescópio.

REFLEXÃO E REFRAÇÃO EM EMA SUPERFÍCIE PLANA

Antes de discutir o que significa uma imagem,

inicialmente precisamos do conceito de objeto

empregado na ótica. Chamamos de objeto qualquer

coisa da qual emanem raios de luz. Quando a luz é

emitida pelo próprio objeto dizemos que ele possui

luz própria — como, por exemplo, o filamento de

uma lâmpada comum. Alternativamente, depois de

emitida por uma fonte (como o Sol ou uma

lâmpada), a luz se reflete no objeto; por exemplo,

quando você lê este livro, a luz é refletida pelas

páginas do livro. A Figura l mostra raios de luz

irradiados em todas as direções por um objeto

situado no ponto P.

Figura 1 -

(a)

(b) Espelho plano

Para que um observador veja diretamente o

objeto é necessário que não haja nenhum

obstáculo entre o objeto e o olho do observador.

Note que os raios que partem do objeto chegam

ao olho do observador formando ângulos

diferentes; a diferença entre os dois ângulos é

processada no cérebro do observador para obter

uma estimativa da distância entre o observador e

o objeto.

O objeto P indicado na Figura 1 denomina-

se objeto puntiforme e é representado por um

ponto que não possui nenhuma dimensão. Os

objetos reais que possuem comprimento, largura

e altura são chamados de objetos estendidos.

Inicialmente vamos considerar um objeto ideal

concentrado em um ponto, visto que um objeto

estendido pode ser um conjunto muito grande de

objetos puntiformes.

Suponha que alguns raios provenientes do

objeto atinjam uma superfície plana refletora

(Figura 1 (b)). Essa superfície poderia ser a

fronteira de um material com índice de refração

diferente, que reflete parte da luz incidente, ou

então uma superfície metálica polida que reflete

quase 100% da luz incidente. Vamos sempre

representar uma superfície refletora como uma

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 21

21

linha negra com um sombreado adjacente na parte

traseira da interface, como na Figura 2. Os espelhos

usados em banheiros possuem uma fina placa de

vidro na parte dianteira da superfície refletora para

protegê-la: desprezaremos o efeito dessa fina placa

de vidro.

De acordo com a lei da reflexão, para todo

raio que atinge a superfície o ângulo de incidência é

igual ao ângulo de reflexão. Como a superfície é

plana, a normal é sempre perpendicular à superfície

em todos os seus pontos e a reflexão é especular.

Parece que os raios depois de refletidos emanam de

um ponto P'. Chamamos o ponto P de objeto

puntiforme e o ponto P' correspondente denomina-se

imagem puntiforme; dizemos então que a superfície

refletora forma uma imagem do ponto P. Um

observador que esteja vendo apenas os raios re-

fletidos pela superfície e que não sabe que está

vendo uma reflexão pensa que os raios estão

emanando do ponto onde se forma a imagem P'. A

imagem puntiforme é portanto um modo

conveniente de descrever as direções dos diversos

raios refletidos, assim como o objeto puntiforme P

descreve as direções dos raios que atingem a

superfície antes da reflexão.

Se a superfície indicada na Figura 2 não

fosse lisa, ocorreria uma reflexão difusa e os raios

refletidos de diversos pontos da superfície

possuiriam direções diferentes. Nesse caso não

haveria a formação de uma imagem puntiforme P' a

partir da qual os raios parecem emanar. Ao olhar

para uma superfície metálica comum você não

consegue ver sua imagem refletida porque

geralmente essa superfície é rugosa; fazendo o

polimento do metal você alisa a superfície de modo

que a reflexão especular se torna possível e vê-se

uma imagem refletida.

Uma imagem também é formada por uma

superfície plana refratora, como indicado na Figura

3. Os raios provenientes de um ponto P são

refratados na interface entre dois materiais

transparentes. Quando os ângulos de incidência são

pequenos, as direções dos raios depois da refração

são oriundas de um ponto P', conforme indicado, e

chamamos novamente P' de imagem puntiforme.

Mostramos como esse efeito faz com que um objeto

imerso na água pareça estar mais próximo da

superfície do que sua posição real (Veja a Figura 2).

Figura 2 -

Os raios não passam através da

imagem puntiforme P'. Na verdade quando o

espelho na Figura 1 é opaco não existe

absolutamente nenhuma luz em seu lado direito.

Quando os raios emergentes não passam

efetivamente no local onde se encontra o objeto,

dizemos que nesse local se forma uma imagem

virtual. Mais adiante analisaremos casos para os

quais os raios passam efetivamente no local

onde se encontra o objeto — dizemos que nesse

local se forma uma imagem real. As imagens

que se formam sobre uma tela de cinema, sobre

a película de uma máquina fotográfica e sobre

as retinas dos seus olhos são exemplos de

imagens reais.

FORMAÇÃO DA IMAGEM EM UM

ESPELHO PLANO

Vamos no momento nos concentrar na

descrição de imagens formadas por reflexão;

voltaremos ao problema da refração mais

adiante neste capítulo. Para localizar a imagem

virtual P' que um espelho plano forma para um

objeto P usaremos a construção indicada na

Figura 3. A figura mostra dois raios oriundos de

um objeto puntiforme P situado a uma distância

s à esquerda de um espelho plano.

Figura 3-

Chamaremos s de distância do objeto. O

raio PV incide ortogonalmente sobre o espelho

plano (ou seja, ele é perpendicular à superfície

do espelho) e retorna na mesma direção do raio

original.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 22

22

O raio PB forma um ângulo 0com o raio PV.

Ele atinge o espelho plano com ângulo de incidência

O e se reflete formando o mesmo ângulo com a

normal. Estendendo os dois raios refletidos para trás

do espelho, eles se cruzam em um ponto P' situado a

uma distância s' atrás do espelho. Chamaremos s' de

distância da imagem.

A linha que liga P com P' é perpendicular ao

espelho. Os dois triângulos são congruentes, de

modo que P e P' possuem distâncias iguais até o

espelho plano e portanto s e s' possuem módulos

iguais. A distância entre o espelho e a imagem P'

formada atrás do espelho é exatamente igual a

distância na frente do espelho entre o objeto P e a

superfície do espelho.

Podemos repetir a construção indicada na

Figura 3 para qualquer raio que emane do ponto P.

A direção de qualquer raio refletido é tal que parece

que ele é oriundo do ponto P', confirmando que P' é

a imagem de P. Qualquer que seja a posição da

pessoa que está observando o objeto, ela sempre

verá a imagem localizada no ponto P'.

REGRAS DE SINAIS

Antes de prosseguir vamos introduzir algumas

regras de sinais. Elas podem parecer

desnecessariamente complicadas para o caso simples

da imagem formada por um espelho plano, porém

desejamos formular essas regras de modo que

possam ser aplicadas para quaisquer situações que

sejam encontradas mais adiante. Essas situações

incluem a formação de imagens por meio da

reflexão ou da refração em interfaces planas ou

esféricas ou de um par de superfícies refratoras que

formam uma lente. As regras são:

1. Regra do sinal para a distância do objeto:

Quando o objeto está do mesmo lado da luz que

incide sobre a superfície refletora ou refratora, a

distância do objeto s é positiva; em caso contrário, é

negativa.

2. Regra do sinal para a distância da imagem:

Quando a imagem está do mesmo lado da luz que

emerge da superfície refletora ou refratora, a

distância da imagem s' é positiva;

em caso contrário, é negativa.

3. Regra do sinal para o raio de curvatura de

uma superfície esférica: Quando o centro de

curvatura Cesta do mesmo lado da luz que emerge

da superfície refletora ou refratora, o raio de

curvatura é positivo; em caso contrário, é negativo.

Para um espelho o lado do raio incidente é

sempre o mesmo do raio emergente; por exemplo,

nos dois casos indicados nas figuras 2 e 4 o lado em

questão é o lado esquerdo. Para a superfície refratora

indicada na Figuras 2, o lado da luz incidente é o

lado esquerdo da interface entre os materiais e o

lado da luz emergente é o direito.

Na Figura 3 a distância do objeto s é positiva

porque o objeto puntiforme P está do lado da luz

incidente sobre a superfície refletora (o lado

esquerdo).

A distância da imagem s' é negativa porque

a imagem puntiforme P' não está do lado da luz

que emerge da superfície refletora (o lado

esquerdo). As distâncias s e s´ são relacionadas

por

s s

~

Para uma superfície refletora ou

refratora plana, os raios de curvatura são

infinitos e, portanto, não fornecem nenhuma

informação útil; para esses casos na verdade não

necessitamos da terceira regra. Porém, mais

adiante neste capítulo, veremos que essa regra

será extremamente útil quando estudarmos a

formação de imagens no caso de interfaces

curvas que refletem ou refratam a luz.

FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM

OBJETO - ESPELHO PLANO

Vamos agora considerar um objeto

estendido com um tamanho definido. Por

simplicidade geralmente tomamos um objeto

que possui apenas uma dimensão, tal como uma

seta estreita orientada paralelamente à superfície

refletora, como a seta PQ na Figura 5.

Figura 5 -

A distância entre o ponto inicial e a

extremidade da seta indicada desse modo é sua

altura; na Figura 5 a altura é y. A imagem

formada por esse objeto estendido é uma

imagem estendida; cada ponto do objeto possui

um ponto correspondente da imagem.

Mostramos dois raios provenientes do ponto Q;

parece que todos os raios provenientes de Q

divergem da imagem puntiforme Q' depois da

reflexão. A imagem da seta é o segmento P'Q',

com altura y'. Os outros pontos do objeto PQ

possuem imagens entre os pontos P' e Q'. Os

triângulos PQV e P'Q'V são congruentes, de

modo que PQ possui a mesma dimensão e

orientação da imagem P'Q', logo y = y'. A razão

entre a altura da imagem e a altura do objeto,

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 23

23

y'/y, em qualquer situação de formação de imagem,

denomina-se ampliação transversal m; ou seja:

ym

y

(ampliação transversal)

Logo, para um espelho plano a ampliação

transversal m é igual a l. Quando você olha para um

espelho plano, sua imagem possui um tamanho igual

ao seu.

Na Figura 5 a seta que representa a imagem

aponta na mesma direção e no mesmo sentido da

seta que representa o objeto; dizemos que a imagem

está em pé, é direita ou então que se trata de uma

imagem ereta. Nesse caso, y e y' possuem o mesmo

sinal e a ampliação transversal m é positiva. A

imagem formada por um espelho plano é sempre

ereta, de modo que y e y' possuem sempre o mesmo

sinal e o mesmo módulo; de acordo com a Equação

da ampliação transversal é sempre dada por m = +1.

Mais adiante encontraremos situações nas quais

obtemos uma imagem invertida, ou seja, a seta da

imagem aponta no sentido oposto à seta que

identifica o objeto. Para uma imagem invertida, v e

v' possuem sempre sinais contrários e a ampliação

transversal m é sempre negativa O objeto indicado

na Figura 5 possui apenas uma dimensão, sua altura

y'. A Figura 6 mostra um objeto em três dimensões

formando uma imagem virtual em três dimensões

em um espelho plano. O sentido aparente da imagem

é relacionado com o sentido do objeto do mesmo

modo que a mão esquerda é relacionada com a mão

direita.

Figura 6 - (a)

(b)

Você certamente perguntará: "Por que

a imagem é reversa e troca a direita com a

esquerda porém mantém o sentido vertical de

baixo para cima inalterado?" A pergunta é

embaraçosa! Como se observa na Figura 6 (a),

tanto a imagem vertical P'Q' quanto a imagem

horizontal P'S' são indicadas por vetores

paralelos aos respectivos vetores do objeto e não

sofrem nenhuma reversão! Somente o vetor que

indica a imagem frontal de trás para frente PT?

é que está invertido em relação ao vetor que

indica o objeto PR. Portanto, seria mais correto

dizer que um espelho plano reverte apenas o

sentido de frente para trás na direção frontal em

relação ao espelho. Para verificar essa formação

de imagens aponte seus dois polegares ao longo

de PR e PT?', os dedos indicadores ao longo de

PQ e P'Q' e. seus dedos médios ao longo de PS

e P'S'. Para evitar confusão com a definição de

imagem invertida feita anteriormente, dizemos

que a imagem obtida por um espelho plano

constitui uma imagem reversa: objetivamente

somente ocorre inversão no sentido de frente

para trás na direção frontal em relação ao

espelho. A imagem reversa formada por um

espelho plano de um objeto em três dimensões

possui o mesmo tamanho do objeto em todas as

dimensões. A imagem é ereta na direção

paralela ao espelho. Portanto, um espelho plano

forma sempre uma imagem ereta porém reversa.

A Figura 6 (b) fornece um exemplo disso.

Uma propriedade importante de todas

as imagens formadas por superfícies refletoras

ou refratoras é que uma imagem formada por

uma superfície ou por um dispositivo ótico pode

servir como um objeto para a formação de outra

imagem para uma segunda superfície ou dis-

positivo. A Figura 7 fornece um exemplo

simples.

Figura 7 -

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 24

24

O espelho l forma uma imagem P, ' de um

objeto situado no ponto P e o espelho 2 forma outra

imagem P', cada uma delas do modo que acabamos

de descrever. Porém, além disso, a imagem P,'

formada pelo espelho l serve como objeto para o

espelho 2, que a seguir forma uma imagem desse

novo objeto no ponto P^' como indicado.

Analogamente, o espelho l usa a imagem P,'

formada pelo espelho 2 como um objeto para formar

uma imagem sobre ele.

Deixamos para você demonstrar que a

imagem puntiforme obtida está também no ponto

P,'. A idéia de que uma imagem formada por um

dispositivo ótico pode servir como um objeto para a

formação de outra imagem para um segundo

dispositivo é de importância fundamental na ótica

geométrica. Mais adiante neste capítulo usaremos

essa ideia para localizar a imagem que sofre duas

refrações sucessivas nas superfícies curvas de uma

lente; no Capítulo 36 essa ideia nos ajudará a

entender a formação de imagens em dispositivos,

contendo combinações de lentes, tais como um

microscópio ou um telescópio refrator.

Reflexão em superfície esférica

Um espelho plano produz uma imagem do

mesmo tamanho do objeto. Porém existem muitas

aplicações para as quais as imagens e os objetos

devem possuir tamanhos diferentes. O espelho usado

pelo dentista gera uma imagem maior do que a do

objeto e o espelho de monitoramento produzem

imagem menor do que a do objeto. Existem também

algumas aplicações de espelhos nas quais se busca

obter uma imagem real, de modo que a luz passe

efetivamente pela imagem puntiforme P'; um

exemplo é o telescópio refletor, no qual se coloca

uma placa fotográfica para gravar a imagem de uma

estrela muito distante. Um espelho plano não serve

para realizar nenhuma dessas tarefas. Ao contrário,

somente espelhos curvos podem ser usados nessas

aplicações.

Vamos considerar o caso especial (e

analisado facilmente) da formação da imagem d um

espelho esférico. A Figura 8 mostra um espelho

esférico com raio de curvatura R com o lado

côncavo voltado para a luz incidente. O centro de

curvatura da superfície (o centro da esfera da qual o

espelho é uma parte) é o ponto e o vértice do

espelho (o centro da superfície refletora) é o ponto

V. A linha CV denomina-se eixo ótico. O ponto P é

um objeto puntiforme situado sobre o eixo ótico; no

momento estamos supondo que a distância do ponto

P até V é maior do que R.

O raio PV, que passa através do ponto C

atinge o espelho perpendicularmente e é refletido de

volta na mesma direção. O raio PB, que forma um

ângulo a com o eixo, atinge o espelho no ponto B,

onde os ângulos de incidência e de reflexão são

designados por raio refletido intercepta o eixo no

ponto P'. Mostraremos de modo breve que todos

os raios provenientes do ponto P interceptam o

eixo no mesmo ponto P', como na Figura 8 (b),

desde que o ângulo a seja pequeno. O ponto P'

é, portanto, a imagem do objeto puntiforme P.

Diferentemente dos raios refletidos

indicados na Figura 1, os raios refletidos na

Figura 8 (b) se interceptam realmente no ponto

P', a seguir divergem do ponto P' como se eles

emanassem de uma fonte nesse ponto. Logo, P'

é uma imagem real.

Figura 8 -

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 25

25

Para entender a utilidade da formação de

uma imagem real, suponha que o espelho esteja em

uma sala escura na qual a única fonte de luz seja um

objeto no ponto P' que emite luz própria. Se você

colocar uma pequena película fotográfica no ponto

P', todos os raios de luz proveniente do ponto P que

se refletem no espelho irão se interceptar no mesmo

ponto P sobre a película fotográfica; quando for

revelado, o filme mostrará um ponto brilhante que

representa a imagem focalizada do objeto situado no

ponto P. Esse princípio é a base do funcionamento

de muitos telescópios astronômicos, que utilizam

grandes espelhos côncavo* para fotografar corpos

celestes. Quanto ao espelho plano indicado na

Figura 2, colocai uma película fotográfica no ponto

P' seria perda de tempo: os raios luminosos não

passando efetivamente pelo ponto da imagem e ela

não pode ser gravada na película fotográfica a

colocada. As imagens reais desempenham um papel

essencial na fotografia.

Vamos agora localizar a imagem real P' indicada

na Figura 8 (b) e provar que todos os raios

provenientes do ponto P se interceptam no ponto P'

(desde que o ângulo a seja pequeno). A distância do

objeto, medida a partir do vértice K é igual a s: a

distância da imagem, também medida a partir de V,

é igual a s' e o raio de curvatura do espelho é igual a

R. Os sinais de s, s' e R são obtidos usando-se as

regras de sinais mencionadas. O objeto puntiforme P

está do mesmo lado do raio incidente, logo, de

acordo com a primeira regra, a distância s é positiva.

A imagem puntiforme P' está do lado da luz

refletida; portanto de acordo com a segunda regra, a

distância também é positiva. O centro de curvatura

C está do mesmo lado da luz refletida, e assim, de

acordo com a 3ª regra, a distância R também é

positiva; R também é sempre positiva quando a

reflexão ocorre no lado côncavo da superfície.

Usando agora o seguinte teorema da

geometria: o ângulo externo de um triângulo é igual

a soma dos ângulos internos não adjacentes.

Aplicando esse teorema aos triângulos PBC e P´BC´

indicados na figura, teremos:

2

Podemos calcular agora a distância da

imagem s´. Seja h a altura do ponto B acima do eixo

ótico e uma pequena distância entre V e a base

dessa linha vertical. Escrevendo as expressões para

as tangentes dos ângulos , e :

; ;h h h

tg tg tgs s R

Essas equações trigonométricas não são de

solução tão simples como as obtidas no caso do

espelho plano. Contudo, quando o ângulo é

pequeno, os ângulos e também são. A

tangente de um ângulo muito menor do que um

radiano é aproximadamente igual ao próprio

ângulo (medido em radianos), de modo que

podemos substituir nas equações anteriores tg

por e assim por diante. Além disso, quando o

ângulo é pequeno, é possível desprezar em

comparação com s, s' e R. Portanto, para

ângulos pequenos, obtemos as seguintes

relações aproximadas:

; ;h h h

s s R

Substituindo esses valores na Equação

2 e dividindo por h, obtemos uma

equação geral envolvendo s, s' e R:

1 1 2

s s R

Ou

1 1 1

s s f

(relação imagem-objeto, espelho esférico).

Essa equação não contém o ângulo .

Logo, todos os raios provenientes do ponto P

que formam um ângulo suficientemente

pequeno com o eixo se interceptam no ponto P'

depois da reflexão; isso demonstra nossa

afirmação anterior. Tais raios, aproximadamente

paralelos e próximos do eixo, são chamados de

raios paraxiais. (A expressão aproximação

paraxial é em geral usada para a aproximação

que acabamos de descrever.) Como todos os

raios refletidos convergem sobre o ponto da

imagem, um espelho côncavo também é

chamado de espelho convergente.

Você deve entender que a Equação

anterior, bem como outras equações

semelhantes que vamos deduzir neste capítulo e

no próximo, é uma relação aproximadamente

correta. Ela decorre de um cálculo no qual

empregamos aproximações e vale somente para

raios paraxiais. Quando o ângulo a que o raio

forma com o eixo ótico é grande, o ponto P'

onde os raios interceptam o eixo ótico fica mais

próximo do vértice do que no caso de raios

paraxiais. Em conseqüência, um espelho

esférico, diferentemente de um espelho plano,

não forma uma imagem puntiforme precisa de

um objeto puntiforme — a imagem fica

"borrada". Essa característica de um espelho

esférico é chamada de aberração esférica. Os

resultados desanimadores inicialmente obtidos

pelo Telescópio Espacial Hubble colocado em

órbita em 1990 foram produzidos em parte por

erros cometidos na eliminação das aberrações

esféricas de seu espelho primário (veja a Figura

9 (a)).

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 26

26

O desempenho do telescópio melhorou

substancialmente após a instalação, em 1993, de

dispositivos óticos para correção das aberrações

(veja a Figura 9 (b)).

Quando o raio de curvatura torna-se

infinito (R = ), o espelho torna-se plano e a

Equação anterior se reduz à Equação s = s´ referente

a uma superfície plana refletora.

Figura 9 -

FOCO E DISTANCIA FOCAL

Quando o objeto puntiforme P está muito

longe do espelho esférico (s = ), os raios incidentes

são paralelos. (A estrela mostrada na foto da Figura

9 é um exemplo de objeto distante.) De acordo com

a Equação anterior, a distância s' para esse caso é

dada por:

1 1 2

2

Rs

s R

Essa situação é indicada na Figura 10 (a).

O feixe dos raios incidentes paralelos convergem,

depois da reflexão no espelho esférico, para um

ponto F situado a uma distância R/2 do vértice do

espelho. O ponto F para o qual os raios paralelos

convergem é chamado de foco do espelho: dizemos

que os raios se encontram no ponto focal. A

distância entre o foco e o vértice do espelho,

designada pela letra f, denomina-se distância focal.

Vemos que entre f e o raio de curvatura R existe a

relação:

2

Rf

A situação oposta é indicada na Figura 10 (b).

Agora o objeto é colocado no ponto focal F. de

modo que a distância do objeto é dada por .s = f =

R/2. A distância da imagem s' pode novamente ser

obtida pela Equação:

2 1 2 10 s

R s R s

Quando o objeto está situado sobre o ponto

focal, os raios refletidos indicados na Figura 10 (b)

são paralelos ao eixo ótico — eles se encontram

somente no infinito, logo, a distância da imagem é

infinita.

Portanto, as propriedades do foco F de um

espelho esférico mostram que (l) todo raio que

incide paralelamente ao eixo ótico é refletido

passando pelo foco e (2) qualquer raio passando

pelo foco que incide sobre o espelho é refletido

paralelamente ao eixo ótico. Para um espelho

esférico essas afirmações são válidas apenas

para os raios paraxiais. Para um espelho

parabólico essas afirmações são exatas sempre:

essa é a principal razão pelas quais os espelhos

parabólicos são preferidos nos telescópios

astronômicos. Espelhos parabólicos e espelhos

esféricos são usados em lanternas e nos faróis

dos automóveis para transformar a luz da

lâmpada em um feixe paralelo. Em algumas

usinas para aproveitamento da energia solar se

usa uma grande rede de espelhos planos para

simular aproximadamente um espelho esférico

côncavo: a luz solar é coletada pêlos espelhos e

projetada para o ponto focal, onde são colocadas

as caldeiras para produzir vapor. (Os conceitos

de foco e de distância focal também se aplicam

a lentes, como veremos.)

Geralmente expressaremos a relação entre

as distâncias da imagem e do objeto, em termos

da distância focal:

1 1 1

s s f

Figura 10 -

FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM

OBJETO - ESPELHO ESFÉRICO

Vamos agora supor que o objeto possua um

tamanho finito, representado pela seta PQ na

Figura 11, perpendicular ao eixo ótico CV. A

imagem de P formada pelos raios paraxiais se

encontra no ponto P'. A distância do objeto para

o ponto Q é quase igual à distância do objeto

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 27

27

para o ponto P, de modo que a imagem P'Q' é

aproximadamente reta e perpendicular ao eixo ótico.

Observe que as setas do objeto e da imagem

possuem tamanhos diferentes, y e y',

respectivamente, e que os sentidos das setas estão

invertidos. Definimos a ampliação transversal m

como a razão entre a altura da imagem y' e a altura

do objeto y:

ym

y

, Como os triângulos PVQ e P´VQ' na Figura 11 são

semelhantes, obtemos a relação y/s = -y´/s'. O sinal

negativo é necessário porque a imagem e o objeto

estão em lados opostos em relação ao eixo ótico:

quando y é positivo, y' é negativo, e vice-versa.

Logo,

y sm

y s

Quando m é positivo a imagem é ereta ou direita

em relação ao objeto; quando m é negativo a

imagem é invertida em relação ao objeto, como

indica a Figura 11. Para um espelho plano, s = -s',

logo, y' = y e m = +1; como m é positivo, a imagem

é ereta, e como |m| = l, a imagem possui o mesmo

tamanho do objeto.

Figura 11 -

ATENÇÃO: Embora a razão entre a altura da

imagem e a altura do objeto seja chamada de

ampliação, a imagem formada por um espelho ou

por uma lente pode ser menor, maior ou do mesmo

tamanho do objeto. Quando ela é menor, o valor

absoluto da ampliação é menor do que um: |m| < l. A

imagem formada pelo espelho de um telescópio

astronômico ou pela lente de uma máquina

fotográfica é muito menor do que o objeto.

Para objetos com três dimensões, a razão entre as

distâncias da imagem e do objeto medidas ao longo

do eixo ótico é diferente da razão medida

perpendicularmente ao eixo ótico (a ampliação

transversal). Em particular, quando m for uma

fração pequena, a imagem tridimensional de um

objeto tridimensional ao longo do eixo será muito

mais reduzida do que transversalmente. A Figura 12

ilustra esse efeito. Observe que a imagem formada

por um espelho esférico, assim como a imagem de

um espelho plano, é sempre reversa ao longo do

eixo ótico.

Figura 12 -

Em nossa discussão sobre espelhos

côncavos, consideramos até o momento apenas

objetos situados para fora do foco ou sobre o

foco, de modo que a distância do objeto s ou é

superior ou é igual ao valor da distância focal f

(positiva).

Nesse caso a imagem se forma sempre do

mesmo lado do espelho que os raios refletidos e

a imagem é real e invertida.

Quando um objeto é colocado entre o foco e

o vértice, de modo que s < f, a imagem resul-

tante é virtual (ou seja, a imagem se forma sobre

o lado do espelho oposto ao lado onde se

encontra o objeto), ereta e maior do que o

objeto. Os espelhos usados pêlos dentistas

(mencionados no início desta seção) são

espelhos côncavos; quando o dentista usa o

espelho, o dente está entre o foco e o espelho e

ele vê uma imagem real com tamanho maior do

que o do dente observado. Você pode provar as

afirmações anteriores sobre espelhos côncavos

aplicando as equações anteriores. Estaremos

também aptos para verificar esses resultados,

quando estudarmos os métodos gráficos para a

determinação das posições e dos tamanhos dos

objetos e das imagens.

Exemplo 1 - Imagem formada por um

espelho côncavo I

Figura 13 -

de lanterna está a uma distância de 10,0 cm em frente a

um espelho côncavo que forma uma imagem sobre uma

parede situada a uma distância de 3,00 m do espelho (Figura

13). (a) Qual é o raio de curvatura e a distância focal do

espelho? (b) Qual é a altura da imagem sabendo que a altura

do objeto é de 5,00 mm?

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 28

28

SOLUÇÃO a) A distância da imagem e a distância do objeto

são ambas positivas; temos s = 100 cm e s' = 300 cm. De acordo

com a Equação (35.4),

1 1 2 1 1 219.4

10.0 300R cm

s s R R

A distância focal do espelho é f = R/2 = 9.7 cm.

Em uma lanterna, o filamento da lâmpada é

geralmente colocado próximo do foco, produzindo

um feixe de raios aproximadamente paralelos.

(b) De acordo com a Equação (35.7), a

ampliação transversal é:

30030.0

10.0

y sm

y s

Como m possui valor negativo, a imagem é

invertida. A altura da imagem é igual a 30,0 vezes a

altura do objeto. ou (30.0)(5.00 mm) = 150 mm.

Exemplo 2 - Imagem formada por um espelho

côncavo II No Exemplo l, suponha que a metade da

superfície esquerda do espelho seja recoberta por

uma película não refletora de fuligem. Que efeito

isso produziria sobre a imagem do filamento?

SOLUÇÃO: Seria natural imaginar que a

imagem obtida deveria mostrar somente a metade do

filamento. Contudo, a imagem continua mostrando o

filamento completo. A explicação pode ser

encontrada examinando-se a Figura 9 (b). Os raios

luminosos provenientes de qualquer ponto P do

objeto são refletidos por todas as partes do espelho e

convergem sobre a imagem puntiforme

correspondente situada no ponto P'. Se você

remover uma parte do espelho ou se recobrir uma

fração de sua área com

uma película não refletora, os raios luminosos que

atingem a superfície refletora restante ainda

formarão uma imagem de qualquer ponto do objeto.

O único efeito produzido pela redução da

área é que a imagem se torna mais fosca porque uma

quantidade menor de energia luminosa atinge o

ponto onde se encontra a imagem. No presente

exemplo, a área foi reduzida para a metade do valor

inicia], portanto o brilho da imagem será

aproximadamente igual à metade do brilho da

imagem do exemplo anterior. O aumento da área de

reflexão produz imagens mais brilhantes: para obter

imagens razoavelmente brilhantes de estrelas muito

distantes, os telescópios astronômicos usam

espelhos que possuem até alguns metros de

diâmetro.

Espelho Convexo

Na Figura 14 (a) o lado convexo de um

espelho esférico está de frente para o feixe incidente.

O centro de curvatura encontra-se do lado oposto

dos raios emergentes; de acordo com a terceira regra

de sinais exposta, R possui valor negativo. O raio PB

é refletido com o mesmo ângulo de incidência . O

raio refletido, projetado para trás, intercepta o

eixo no ponto P'.

Analogamente ao caso do espelho

côncavo, todos os raios provenientes de P

refletidos pelo espelho divergem de um mesmo

ponto P', desde que o ângulo seja pequeno. O

ponto P' é portanto a imagem de P. A distância

do objeto s é positiva, a distância da imagem y' é

negativa e o raio de curvatura R é negativo para

um espelho esférico convexo.

A Figura 14 (b) mostra dois raios

divergindo da extremidade da seta PQ e a

imagem virtual P'Q' da seta. O mesmo

procedimento usado no caso do espelho

côncavo é aplicável no caso do espelho

convexo,R:

1 1 2

s s R

e a ampliação transversal é

y sm

y s

Figura 14 -

Essas expressões são exatamente iguais

às equações anteriores obtidas para um espelho

côncavo; deixamos a demonstração como um

problema. Portanto, quando usamos

corretamente as regras de sinais, as equações

valem tanto para um espelho côncavo quanto

para um espelho convexo.

Quando R é negativo (espelho

convexo), os raios que incidem paralelamente

ao eixo ótico não passam através do foco F. Ao

contrário, eles divergem como se estivessem

emanando de um ponto F situado a uma

distância f atrás do espelho, como indicado na

Figura 15 (a). Nesse caso, f é a distância focal e

F denomina-se foco virtual. A correspondente

distância da imagem s' é negativa, logo, f e R

possuem sinais negativos e a Equação f = R/2,

vale tanto para um espelho côncavo quanto para

um espelho convexo. Na Figura 15 (b) os raios

incidentes convergem como se eles fossem

atingir o foco virtual no ponto F e são refletidos

paralelamente ao eixo ótico.

Em resumo, todas as equações obtidas

para um espelho esférico são válidas tanto para

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 29

29

um espelho côncavo quanto para um espelho

convexo, desde que as regras de sinais sejam usadas

adequadamente.

Figura 15 -

Exemplo 3 - Problema da imagem do Papai

Noel Papai Noel verifica se está sujo de fuligem

olhando para sua imagem refletida em um enfeite

prateado brilhante da árvore de Natal situado a uma

distância de 0.750 m (Figura 16 (a).) O diâmetro do

enfeite é igual a 7.2 cm. As referências da literatura

afirmam que Papai Noel é um "velhinho alegre e de

estatura mediana", de modo que sua altura estimada

é de l.60 m. Onde se forma e qual é a altura da

imagem de Papai Noel refletida pelo enfeite. Ela é

direita ou invertida?

Figura 16 -

SOLUÇÃO: A superfície do enfeite mais

próximo do Papai Noel funciona como um espelho

convexo com raio R = -(7.20 cm)/2 = -3.60 cm e

distância focal f = R/2 = -1.80 cm. A distância do

objeto é dada por:

s = 0.750 m = 75.0 cm.

De acordo com a Equação:

1 1 1 1 1 1

s s f s f s

1 1 11.76

1.8 75s cm

s

Como s' é negativo, a imagem se forma atrás

do espelho, ou seja, no lado oposto ao dos raios

emergentes (Figura 16 (b)) sendo uma imagem

virtual. A imagem se forma na metade da

distância entre a pane frontal do ornamento e

seu centro de curvatura.

A ampliação transversal m é obtida da

Equação:

21.762.34 10

75

y sm

y s

Como m é positivo, concluímos que ela é

ereta. Ela é apenas cerca de 0.0234 da altura do

Papai Noel:

y' = my = (0.0234)(1.6 m)=3,8.10-2

m = 3.8

cm.

Quando a distância do objeto í é

positiva, um espelho convexo sempre forma

uma imagem virtual, ereta, menor do que objeto

e reversa. Por essa razão se costuma usar um

espelho convexo para monitorar o interior de

lojas para — a fim de observar possíveis furtos,

nos espelhos colocados em cruzamentos

perigosos e em espelhos retrovisores com

"grande angular" de carros e caminhões

(incluindo aqueles que exibem a frase "objetos

vistos no espelho estão mais próximos do que

parecem").

Método Gráfico

Nas seções precedentes, usamos as

equações para definir a posição e o tamanho da

imagem formada por um espelho. Podemos

também determinar as propriedades das imagens

usando um método gráfico simples. Esse

método consiste em encontrar o ponto de

interseção de alguns raios particulares que

divergem de um ponto do objeto (tal como o

ponto Q indicado na Figura 35.18) e que são

refletidos pelo espelho. Então (desprezando as

aberrações), verificamos que todos os raios

provenientes desse ponto do objeto e que se

refletem no espelho se interceptam no mesmo

ponto. Para essa construção sempre escolhemos

um ponto do objeto que não esteja situado sobre

o eixo ótico. Os quatro raios geralmente

desenhados com mais facilidade são indicados

na Figura 17. Eles são chamados de raios

principais.

1. Um raio paralelo ao eixo, depois da

reflexão, passa através do foco F de um

espelho côncavo ou parece emanar do foco

(virtual) de um espelho convexo.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 30

30

2. Um raio que passa através do foco F (ou

que provém do foco) é refletido paralelamente ao

eixo ótico.

3. Um raio na direção do raio passando pelo

centro de curvatura C (ou cujo prolongamento

atinge o centro de curvatura) intercepta a

superfície perpendicularmente e, portanto, se

reflete para trás ao longo de sua direção inicial.

4. Um raio que passa pelo vértice V é

refletido formando ângulos iguais com o eixo

ótico.

Método gráfico para localizar a posição da imagem

formada por um espelho usando um diagrama com

os raios principais, (a) Espelho côncavo, (b)

Espelho convexo.

Uma vez encontrada a posição da imagem

puntiforme pela interseção dos raios principais (l, 2,

3, 4), podemos desenhar a trajetória de qualquer

outro raio que emane do objeto puntiforme e

verificar que ela atinge o mesmo ponto onde se

forma a imagem.

ATENÇÃO: Embora tenhamos enfatizado os

raios principais, na verdade qualquer raio que atinge

o espelho deve passar através de um ponto da

imagem (para uma imagem real) ou parece emanar

de um ponto da imagem (no caso da imagem

virtual). Em geral são usados apenas os raios

principais porque esses raios são suficientes para

localizar a imagem.

Estratégia

1. O diagrama dos raios principais tem na ótica

geométrica um papel análogo ao desempenhado pelo

diagrama do corpo livre na mecânica. Em qualquer

problema que envolva a formação de imagens por

um espelho, caso você disponha de informações

suficientes, sempre desenhe antes um diagrama dos

raios principais. (O mesmo conselho deve ser

seguido quando você estudar lentes nas próximas

seções.) Geralmente é mais conveniente fazer seu

diagrama orientando os raios incidentes da esquerda

para a direita. Não trace muitos raios desnecessários;

é suficiente traçar os raios principais, pois você tem

informações sobre eles. Um esboço traçado à mão

livre sem cuidado não fornece bons resultados.

2. Quando os raios principais não convergem

para uma imagem puntiforme real, você deve

prolongá-los em linha reta para trás para localizar

uma imagem puntiforme virtual, como indicado na

Figura. Recomendamos que esses prolongamentos

sejam desenhados com linhas tracejadas.

3. Preste bastante atenção aos sinais das

distâncias dos objetos e das imagens, dos raios de

curvatura e das alturas dos objetos e das imagens.

Todo sinal negativo para qualquer uma dessas

grandezas sempre possui significado físico; use

as equações e as regras de sinais

cuidadosamente e de modo consistente e elas

mostrarão a você a solução correta! Lembre-se

de que a mesma regra de sinais se aplica para os

quatro casos estudados neste capítulo: reflexão e

refração em superfícies planas e esféricas.

Exemplo 4 - Espelho côncavo, objeto situado em diferentes distâncias:

Um espelho côncavo possui raio de

curvatura com valor absoluto igual a 20 cm.

Determine graficamente a imagem de um objeto

cm forma de seta perpendicular ao eixo do

espelho para as seguintes distâncias do objeto:

(a) 30 cm,

(b) 20 cm,

(c) 10 cm e

(d) 5 cm.

Confira a construção calculando o tamanho

e a ampliação de cada imagem.

Figura 17 -

SOLUÇÃO: As construções são indicadas

nas quatro partes da Figura. Estude cada um

desses diagramas cuidadosamente. Comparando

cada raio numerado com a descrição feita

anteriormente. Convém mencionar diversas

observações importantes. Inicialmente, na parte

(b) a distância do objeto ó igual a distância da

imagem. Para esse caso, o raio 3 não pode ser

desenhado porque um raio partindo de Q e

passando pelo centro de curvatura C não atinge

o espelho. O raio 2 não pode ser desenhado em

(c) porque um raio partindo de Q c passando por

F também não atinge o espelho. Para esse caso

os raios emergentes são paralelos,

correspondendo a uma imagem que se forma no

infinito. Em (d) os raios emergentes não

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 31

31

possuem nenhum ponto de interseção real; eles

devem ser estendidos para trás do espelho para

encontrar a imagem puntiforme virtual Q', o ponto

do qual os raios parecem divergir. Todo objeto

situado entre o foco c o vértice de um espelho

côncavo produz uma imagem virtual e a situação

indicada em (d) ilustra um exemplo deste caso.

Medidas realizadas com uma régua apropriada

fornecem as seguintes distâncias das imagens

aproximadas: (a) 15 cm; (b) 20 cm; (c) ou -

(porque os raios emergentes são paralelos e não

convergem para nenhuma distância finita); (d) -10

cm. Para calcular essas distâncias, inicialmente

notamos que f = R/2 = 10 cm: a seguir usamos a

Equação:

(a) 1 1 1 1 1 1

1530 10

s cms s f s

15 1

30 2

sm

s

(invertida)

(b) 1 1 1 1 1 1

2020 10

s cms s f s

201

20

sm

s

(invertida)

(c) 1 1 1 1 1 1

10 10s

s s f s

10

sm

s

(d) 1 1 1 1 1 1

105 10

s cms s f s

102

5

sm

s

(direita)

Em (a) e (b) as imagens são reais; em (d) ela é

virtual. Em (c) a imagem se forma no infinito.

REFRAÇÀO EM UMA SUPERFÍCIE

ESFÉRICA

Conforme dissemos, as imagens podem ser

formadas por reflexão ou por refração. Para

começar, vamos considerar a refração em uma

superfície esférica, ou melhor, na interface esférica

entre dois materiais transparentes com índices de

refração diferentes. Essa análise pode ser aplicada

diretamente para alguns sistemas óticos reais, como,

por exemplo, o olho humano.

Ela também fornece os fundamentos para o estudo

das lentes, que geralmente possuem duas superfícies

esféricas (ou quase esféricas).

Na Figura 18 uma superfície esférica de raio

R forma a interface entre dois materiais com

índices de refração na e nb. A superfície forma

uma imagem P' de um objeto puntiforme P

desejamos saber como as distâncias do objeto e

da imagem (s e s'} são relacionadas.

Figura 18 -

Aplicaremos as mesmas regras de sinais

usadas para o caso de espelhos esféricos. O

centro de curvatura C está do lado dos raios

emergentes da superfície, logo, R é positivo. O

raio PV incide sobre o vértice V na direção

perpendicular à superfície (ou seja, na direção

perpendicular ao plano tangente à superfície no

ponto de incidência V). Ele passa para o outro

material sem sofrer nenhum desvio. O raio PB,

que forma um ângulo com o eixo incide

formando com a normal da superfície um

ângulo a, e é refratado formando um ângulo b.

Os raios emergentes se cruzam no ponto P', a

uma distância s' do lado direito do vértice. A

figura foi desenhada para o caso na < nb. As

distâncias do objeto e da imagem são ambas

positivas.

Vamos agora provar que se o ângulo é

pequeno, todos os raios provenientes de P se

interceptam no mesmo ponto P', portanto P' é a

imagem real de P. Faremos um tratamento

semelhante ao adotado quando analisamos o

caso do espelho esférico. Usamos novamente o

teorema segundo o qual o ângulo externo de um

triângulo é igual à soma dos ângulos internos

opostos; aplicando esse teorema aos triângulos

PBC e P'BC. obtemos

a

b

De acordo com a lei da refração.

a a b bn sen n sen

As tangentes dos ângulos , e são dadas

por:

; ;h h h

tg tg tgs s R

Para raios paraxiais, a e b são ambos

pequenos em comparação com um radiano,

logo, tanto a tangente quanto o seno são dados

aproximadamente pêlos próprios ângulos

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 32

32

(medidos em radianos). Então a lei da refração pode

ser escrita na forma:

a a b bn n

Combinando a relação anterior com a primeira

das equações,

a

b

b

n

n

Substituindo o valor de :

a b a bn n n n

Usando a aproximação tg = e

desprezando a distância pequena :

; ;h h h

s s R

Substituindo, teremos:

a b b an n n n

s s R

Para obter a ampliação transversal,

observemos a figura 19:

Figura 19 -

Desenhamos dois raios a partir do ponto Q, um

através do centro de curvatura C e outro incidente do

vértice V, Pelos triângulos PQV e P´Q´V, obtemos:

;a b

y ytg tg

s s

~

Pela lei da refração: a a b bn sen n sen

Para ângulos pequenos:

;a a b btg sen tg sen

Achamos: a bn y n y

s s

Ou: a

b

n sym

y n s

(Ampliação transversal, superfície refratora esférica)

Para uma superfície refratora plana,

fazemos R = ; então:

0a bn n

s s

Exemplo 5 - Formação da imagem por

refração I - Uma barra de vidro cilíndrica no ar é

indicada na figura 20 e possui índice de refração

igual a 1.52. Uma de suas extremidades foi cortada e

polida formando uma superfície hemisférica

com raio R = 2.00 cm.

(a) Calcule a distância da imagem

formada por um pequeno objeto situado sobre o

eixo da barra a uma distância de 8.00 cm à

esquerda do vértice.

(b) Determine a ampliação transversal.

Figura 20 -

Solução:

(a) Como: na = 1.00; nb = 1.52; R =

2.00cm e s = +8.00 cm:

a b b an n n n

s s R

1.00 1.52 1.52 1.0011.3

8.00 2.00s cm

s

(b) a

b

n sym

y n s

1.00 11.30.929

1.52 8.00

ym

y

A imagem é invertida e ligeiramente

menor que o objeto.

Exemplo 6 - Formação da imagem por

refração II - A barra de vidro do exemplo

anterior é imersa na água. (índice de refração =

1.33). As demais grandezas permanecem com

os mesmos valores. Calcule a distância da

imagem e a ampliação transversal.

Figura 20 -

Solução:

(a) Como: na = 1.33; nb = 1.52; R =

2.00cm e s = +8.00 cm:

a b b an n n n

s s R

1.33 1.52 1.52 1.3321.3

8.00 2.00s cm

s

Como s´ é negativo, concluímos que,

depois que os raios se refratam na superfície,

eles não convergem, porém parecem divergir de

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 33

33

um ponto situado a 21.3 cm à esquerda do vértice.

(b) a

b

n sym

y n s

1.33 21.32.33

1.52 8.00

ym

y

A imagem é direita e maior que o objeto.

Exemplo 7 - Profundidade aparente em

uma piscina.O proprietário de uma piscina sabe que

a profundidade aparente é sempre menor que a real e

deve identificar com clareza qual é a parte mais

profunda para que uma pessoa que não sabe nadar

não mergulhe na parte cuja profundidade seja maior

que a da altura da pessoa.

Se um freqüentador da piscina olha

diretamente para a água na parte em que sua

profundidade é igual a 2.00 m, qual é a profundidade

aparente vista por essa pessoa?

Figura 21 -

Solução:

1.33 1.000 0 1.50

2.00

a bn ns m

s s s

Lentes Delgadas

O dispositivo ótico mais familiar e geralmente

mais usado (depois do espelho plano) é a lente. Uma

lente é um sistema ótico com duas superfícies

refratoras. A lente mais simples possui duas

superfícies esféricas suficientemente próximas para

desprezarmos a distância entre elas (a espessura da

lente): chamamos esse dispositivo de lente delgada.

Se você usa óculos ou lentes de contato quando lê

você está vendo estas palavras através de lentes

delgadas.

Podemos analisar com detalhes as lentes

delgadas aplicando os resultados referentes à

refração através de uma única superfície esférica.

Contudo, faremos essa análise mais adiante visto

que desejamos inicialmente descrever as

propriedades das lentes delgadas.

PROPRIEDADES DAS LENTES

A propriedade característica de uma

lente do tipo indicado na Figura 35.25 é que

lodo feixe paralelo ao eixo da lente que passa

para o outro lado da lente converge para um

ponto F, (Figura 22) e forma uma imagem real

nesse ponto. Tal lente é chamada de lente con-

vergente.

Analogamente, os raios que emanam do

ponto F emergem da lente formando um feixe

paralelo (Figura 35.25b). O ponto F é chamado

de primeiro foco o ponto F, é o secundo foco e a

distância f (medida a partir do centro da lente) é

chamada de distância focal. Observe a

semelhança entre os dois focos de uma lente

convergente e o foco de um espelho côncavo

(Figura 22). De modo análogo ao espelho

côncavo, a distância focal de uma lente

convergente é definida como uma grandeza

positiva e esse tipo de lente é também

conhecido como lente positiva.

Figura 22 -

A linha horizontal central indicada na

Figura 22 é chamada de eixo ótico, como no

caso de um espelho esférico. Os centros de

curvatura das duas superfícies esféricas definem

o eixo ótico. As duas distâncias focais indicadas

na Figura 22, ambas designadas por f possuem

sempre o mesmo valor para uma lente delgada,

mesmo quando as curvaturas das duas

superfícies são diferentes. Mais adiante, quando

deduzirmos nesta seção a relação que envolve f,

o índice de refração da lente e os raios de

curvatura das suas superfícies, mostrarão a

validade do resultado anterior que parece

surpreendente.

Como no caso de um espelho côncavo,

uma lente convergente pode formar a imagem

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 34

34

de um objeto estendido. Na Figura 23 indicamos

como se determina a ampliação transversal e a

posição da imagem produzida por uma lente delgada

convergente. Usando a mesma notação e as mesmas

regras de sinais anteriores, chamaremos de s a

distância do objeto e de s' a distância da imagem; y é

a altura do objeto e y' é a altura da imagem. O raio

QA paralelo ao eixo ótico antes da refração, passa

através do segundo foco F. O raio QOQ' passa

através do centro da lente sem sofrer nenhum desvio

porque (supomos) as duas superfícies estão muito

próximas e são praticamente paralelas. Existe

refração quando esse raio entra no material e quando

sai dele, porém não existe variação apreciável da sua

direção.

Os dois ângulos indicados pela letra cena

Figura 23 são iguais. Portanto, os dois triângulos

retângulos PQO e P'Q'O' são semelhantes e as

razões entre os lados correspondentes são iguais.

Logo,

ou y y y s

s s y s

(O sinal negativo indica que a imagem está abaixo

do eixo ótico e y' é negativo.).

Também os ângulos indicados pela letra β

são iguais e os dois triângulos retângulos OAF e

P'Q'F são semelhantes, logo,

ou y y y s f

f s f y f

Igualando agora as equações, dividindo por

s’ e reagrupando, obtemos

1 1 1

s s f

(relação objeto-imagem, lente delgada).

Essa análise também fornece a ampliação

transversal m = y'/y para a lente; de acordo com a

Equação

sm

s

(ampliação transversal, lente delgada).

Figura 23 -

O sinal negativo mostra que, quando s e s'

são ambos positivos, como na Figura 23, a

imagem é invertida e y e y' possuem sinais

opostos.

As equações são fundamentais para as lentes

delgadas. É com prazer que notamos que elas

são exatamente iguais às correspondentes

equações obtidas para espelhos esféricos. Como

observamos as mesmas regras de sinais usadas

para espelhos esféricos também são válidas para

lentes delgadas. Em particular, considere uma

lente com uma distância focal positiva (uma

lente convergente). Quando um objeto está fora

do primeiro foco F, dessa lente (ou seja, quando

s > f), a distância da imagem s´ é positiva (ou

seja, a imagem está do mesmo lado dos raios

emergentes); essa imagem é real e invertida,

como indica a Figura 23. Um objeto colocado

entre o vértice e o primeiro foco de uma lente

convergente, ou seja, s < f, produz uma imagem

com valor de s' negativo; essa imagem está

situada do mesmo lado da lente onde se

encontra o objeto, ela é virtual, ereta e maior do

que o objeto. Você pode comprovar essas

afirmações algebricamente usando as equações

anteriores; na próxima seção vamos verificá-las

usando métodos gráficos semelhantes para

espelhos.

A Figura 24 mostra como uma lente forma

uma imagem tridimensional de um objeto

tridimensional. O ponto R está mais próximo da

lente do que o ponto Q. De acordo com a

Equação, a imagem puntiforme R' está mais

afastada da lente do que a imagem puntiforme f

e a imagem P'R' aponta no mesmo sentido do

objeto PR.

Figura 24 -

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 35

35

Note que as setas das imagens P'S' e P'Q' estão

invertidas em relação aos objetos PS e PQ.

Vamos comparar a Figura 24 com a Figura 12,

que mostra a imagem formada por um espelho

plano. Notamos que a imagem formada pela lente é

invertida, porém não é reversa, ou seja, ela não está

disposta de trás para frente ao longo do eixo ótico

como no caso do espelho plano. Em outras palavras,

se o objeto é a mão esquerda, sua imagem também é

outra mão esquerda. Para verificar essa formação de

imagens aponte seu polegar esquerdo ao longo de

PR seu dedo indicador esquerdo ao longo de PQ e

seu dedo médio esquerdo ao longo de PS. A seguir

gire sua mão de 180° usando seu dedo polegar como

eixo; essa rotação fará seus dedos coincidirem com

os segmentos P'Q' e P'S'. Ou seja, dizemos que uma

imagem invertida é aquela que se obtém mediante

uma rotação de 180° em torno do eixo ótico da

lente.

Até o momento discutimos apenas lentes

convergentes. A Figura 25 mostra uma lente

divergente, um feixe de raios paralelos que incide

sobre a lente diverge depois da refração. A distância

focal de uma lente divergente é uma grandeza

negativa e a lente também é chamada de lente

negativa. Os focos de uma lente negativa estão em

posições invertidas em relação aos focos de uma

lente convergente. O segundo foco, F´ de uma lente

divergente é o ponto a partir do qual os raios que

estavam originalmente paralelos ao eixo parecem

divergir depois da refração, como na Figura 25 (a).

Os raios incidentes que convergem para o primeiro

foco F1 como indicado na Figura 25 (b) emergem da

lente formando um feixe paralelo a seu eixo.

Figura 25 -

As equações anteriores podem ser aplicadas para

qualquer tipo de lente, tanto no caso de lentes

positivas quanto para lentes negativas. Na Figura 26

mostramos diversos tipos de lentes convergentes e

divergentes. Anote a seguinte observação

importante: Qualquer lente que possua o centro mais

grosso do que sua periferia é uma lente convergente

com valor de f positivo; e qualquer lente que possua

o centro mais fino do que sua periferia é uma lente

divergente com valor de f negativo (desde que essas

lentes estejam imersas em um material com índice

de refração menor do que o índice de refração

do material da lente). Podemos provar isso

usando a equação do fabricante de lentes, cuja

dedução será nossa próxima tarefa.

Figura 26 -

EQUAÇÃO DO FABRICANTE DE

LENTES

Vamos agora deduzir a Equação com mais

detalhes e ao mesmo tempo deduzir a equação

do fabricante de lentes, que fornece uma relação

entre a distância focal f, o índice de refração n

do material da lente e os raios de curvatura R1 e

R2 das superfícies da lente. Usamos o princípio

de que a imagem formada por uma superfície

refletora ou refratora pode servir de objeto para

outra superfície refletora ou refratora.

Começamos com o problema um pouco mais

geral de duas interfaces esféricas separando três

materiais com índices de refração na, nb e nc,

como indicado na Figura 27. As distâncias do

objeto e da imagem para a primeira superfície

são, respectivamente, s1, e s1' e para a segunda

superfície essas distâncias são s2, e s2'.

Supomos que a lente seja delgada, de modo

que a distância t entre as duas superfícies seja

pequena em comparação com as distâncias do

objeto e da imagem e que, portanto, f pode ser

desprezada. Então s2 e s1' possuem o mesmo

módulo, mas sinais contrários. Por exemplo, se

a imagem se forma do lado dos raios

emergentes da primeira superfície, s1' é positivo.

Contudo, como essa imagem funciona como

objeto para a segunda superfície, a primeira

imagem não está do lado incidente dessa super-

fície. Logo, podemos dizer que s2 = -s1´.

Precisamos usar duas vezes, para cada

superfície separadamente, a fórmula da superfí-

cie única dada pela Equação. Obtemos as duas

seguintes relações:

1 1 1

a b b an n n n

s s R

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 36

36

2 2 2

b c c bn n n n

s s R

Como a lente geralmente está imersa no ar ou no

vácuo, para o primeiro material e para o terceiro

material temos na = nc = 1. O segundo índice de

refração nb é o da lente, que podemos simplesmente

designar por n. Substituindo esses valores e a

relação s2 = -s1´ obtemos:

1 1 1

1 1 1n

s s R

1 2 2

1 1n n

s s R

Para obter uma relação entre a posição inicial do

objeto dada por .s', e a posição final da imagem s2´,

somamos as duas equações anteriores. Com isso

eliminamos o termo n/s1' e obtemos:

1 2 1 2

1 1 1 11n

s s R R

Finalmente, imaginando a lente como uma

entidade única, chama a distância do objeto

simplesmente de s, e a posição final da imagem, em

vez s2', será simplesmente designada por s'. Fazendo

essas substituições encontramos:

1 2

1 1 1 11n

s s R R

Vamos agora comparar o resultado anterior

com a outra relação sobre lente delgada. Vemos que

as distâncias s e s' aparecem nessas duas equações

exatamente nas mesmas posições; portanto, a

distância focal/pode ser determinada pela relação:

1 2

1 1 11n

f R R

(equação do fabricante de lentes).

A relação anterior é chamada de equação

do fabricante de lentes. No processo da dedução de

uma nova relação entre a distância do objeto, a

distância da imagem e a distância focal de uma lente

delgada, também deduzem uma relação para a

distância focal da lente em função do índice de

refração n da lente e dos raios de curvatura R1 e R2

das superfícies da lente. Essa relação pode ser usada

para mostrar que todas as lentes indicadas na Figura

26 (a) são lentes convergentes com distâncias focais

positivas e que todas as lentes indicadas na Figura

26 (b) são lentes divergentes com distâncias focais

negativas.

Podemos aplicar todas as regras de sinais

nas equações. Por exemplo, na Figura 27 s, s' e R1

são positivos, porém R2 é negativo.

Não é difícil generalizar a Equação para

situações na qual a lente está imersa em um meio

com índice de refração maior do que l.

Desafiamos você a deduzir essa forma mais

geral da equação do fabricante de lentes.

Enfatizamos que a aproximação

paraxial é na verdade apenas uma aproximação!

Para uma lente esférica, os raios que

formam ângulos suficientemente grandes com o

eixo ótico não produzem o mesmo foco obtido

pêlos raios paraxiais; trata-se do mesmo tipo de

problema de aberração esférica que existe em

espelhos esféricos. Para evitar essa e outras

limitações das lentes esféricas delgadas, cm

instrumentos óticos de precisão se usam lentes

com outras formas geométricas mais complexas.

Exemplo 8 - Determinação da distância

focal de uma lente:

(a) Suponha que os valores absolutos

dos raios de curvatura das superfícies da lente

indicada na Figura 27 sejam ambos iguais a 10

cm e que o índice de refração seja n = 1,52.

Qual é a distância focal f da lente?

(b) Suponha que os valores absolutos

dos raios de curvatura das superfícies da lente

indicada na Figura 25 sejam ambos iguais a 10

cm e que o índice de refração também seja n =

1.52. Qual é a distância focal da lente?

SOLUÇÃO: (a) O centro de curvatura

da primeira superfície está do mesmo lado dos

raios emergentes, portanto R1 é positivo:

R1 = +10 cm. O centro de curvatura da

segunda superfície não está do mesmo lado dos

raios emergentes, portanto R2 é negativo:

R2 = -10 cm. De acordo com a equação

do fabricante de lentes:

1 2

1 1 11n

f R R

1 1 1

1.52 110 10f

f = 9.6 cm.

Uma vez que f é positivo, trata-se de

uma lente convergente (como era de esperar,

porque a parte central da lente é mais grossa do

que sua periferia).

(b) O centro de curvatura da primeira

superfície está do mesmo lado dos raios

incidentes, portanto R1 é negativo; para a

segunda superfície, o centro de curvatura está

do mesmo lado dos raios emergentes, portanto

R2 é positivo. Assim, R1 = -10 cm e R2 = +10

cm. Usando novamente a equação do fabricante

de lentes:

1 1 1

1.52 110 10f

f = -9.6 cm

Uma vez que f é negativo, trata-se de

uma lente divergente (como era de esperar,

porque a parte central da lente é mais fina do

que sua periferia).

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 37

37

MÉTODO GRÁFICO PARA LENTES

Podemos determinar a posição e o tamanho

da imagem formada por uma lente delgada mediante

um método gráfico semelhante ao usado na seção

para espelhos esféricos. Desenhamos novamente

alguns raios especiais, chamados de raios principais,

que divergem de um ponto do objeto que não esteja

sobre o eixo ótico. A interseção desses raios, depois

de eles ter passado através da lente, determina a

posição e o tamanho da imagem. Ao usar o método

gráfico, consideramos o desvio total do raio como se

ele ocorresse em um plano vertical passando pelo

centro da lente, como na Figura 27. Isso é

consistente com a hipótese de que a distância entre

as superfícies da lente é desprezível.

Figura 27 -

Os três raios principais cujas trajetórias

podem ser facilmente traçadas para lentes são

indicados na Figura 27:

1. Um raio paralelo ao eixo emerge da lente

passando através do segundo foco F, de uma lente

convergente ou parece emanar do segundo foco de

uma lente divergente.

2. Um raio que passa através do centro da

lente não sofre nenhum desvio apreciável; no

centro da lente, as duas superfícies são paralelas;

portanto o raio emergente entra e sai

essencialmente na mesma direção.

3. Um raio que passa através do primeiro

foco f, (ou cujo prolongamento o atinge) emerge

paralelamente ao eixo ótico.

Quando a imagem é real, a posição da

imagem puntiforme é determinada pela interseção

entre qualquer um dos três raios l, 2 e 3 (Figura 27

(a)). Quando a imagem é virtual, a posição da

imagem é determinada pela interseção dos

prolongamentos dos raios emergentes (Figura

27 (b)).

ATENÇÃO: Lembre que qualquer raio

que se origina do objeto e atinge a lente passará

por algum ponto da imagem (no caso da

imagem real) ou aparentemente se origina de

um ponto da imagem (no caso da imagem

virtual). Fizemos um comentário semelhante ao

abordar a formação da imagem em espelhos.

Enfatizamos apenas os raios principais porque

eles são os únicos que você precisa desenhar

para a determinação da imagem.

A Figura 28 ilustra diversos casos nos

quais usamos os raios principais para a deter-

minação da imagem para um objeto situado a

diversas distâncias de uma lente convergente.

Sugerimos que você estude esses diagramas

muito cuidadosamente, comparando cada raio

numerado com a descrição feita anteriormente.

Figura 28 - Determinação da imagem em

lente convergente.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 38

38

É importante observar diversos pontos

relacionados com a Figura 28. As partes (a), (b) e

(c) dessa figura ajudam a explicar o que ocorre

quando focalizamos a máquina fotográfica. Para que

uma fotografia fique nítida, é necessário que a

imagem focalizada pela lente se forme sobre o filme

da máquina fotográfica. Quando um objeto se

aproxima da máquina fotográfica, a distância entre a

lente e a imagem real aumenta, de modo que o filme

deve se afastar da lente (ou melhor, a lente deve se

afastar do filme). Na Figura 28 (d) o objeto se

encontra sobre o foco: nesse caso o raio 3 não e

desenhado porque ele não passa através da lente.

Parece que os raios que emergem paralelamente da

lente são provenientes do infinito. Na Figura 28 (e)

o objeto se encontra entre o foco e o vértice da lente,

ou seja. a distância do objeto é menor do que a

distância focal da lente. Os raios emergentes são

divergentes c se forma uma imagem virtual: sua

posição é determinada estendendo-se os raios

emergentes para trás. Nesse caso. a distancia da

imagem s' é negativa. Note também que a imagem é

ereta e maior do que o objeto. (Uma lente

convergente usada dessa maneira denomina-se lente

de alimento ou lupa simples. A Figura 28 (f) mostra

um objeto virtual. Os raios incidentes não divergem

de um objeto real, porém seus prolongamentos

convergem como se eles se encontrassem na

extremidade de um objeto virtual O situado do lado

direito da lente; agora a distância do objeto s é

negativa. A imagem obtida é real, visto que a

distância s' é positiva e está localizada entre a lente e

o segundo foco. Essa situação pode surgir quando os

raios que atingem a lente na Figura 28 (f) emergem

de uma outra lente convergente (não indicada na

figura) situada do lado direito da figura. O último

exemplo desta seção envolve um objeto virtual.

Estratégia para a Solução de

Problemas

1. A estratégia recomendada pode

também ser aplicada para lentes e sugerimos

que você faça agora uma revisão daquela

estratégia.

Sempre comece com um diagrama dos

raios principais quando as informações dadas

permitirem.

Oriente seu diagrama consistentemente

fazendo os raios incidirem da esquerda para a

direita. Para uma lente existem apenas três raios

principais em comparação com os quatro raios

principais de um espelho. Não faça apenas um

esboço dos raios; desenhe os raios com uma

régua, medindo cuidadosamente as distâncias.

Desenhe-os como se eles se refratassem no

plano vertical situado no centro da lente, como

indicado na Figura 27. Certifique-se de ter

usado todos os três raios quando as informações

permitiram. Para identificar a imagem basta

localizar a interseção de apenas dois raios

principais; contudo, se o terceiro raio não passar

pela mesmo ponto da interseção, provavelmente

você cometeu um erro. Nesse caso, a

redundância pode ajudar a descobrir erros.

2. Quando os raios principais não convergem

para uma imagem puntiforme real a imagem é

virtual. Você deve prolongar esses raios em

linha reta para trás para achar o ponto de

interseção da imagem virtual, que se encontra

do lado mesmo lado da lente no qual os raios

incidem.

3. As mesmas regras de sinais que usamos

para espelhos e para uma única superfície

refratora também são válidas para lentes

delgadas. Tenha bastante cuidado ao aplicar

essas regras e interprete os resultados

corretamente.

4. Use sempre os dois métodos para

determinar a posição e o tamanho da imagem,

ou seja, o método gráfico deve ser confirmado

pêlos cálculos. Essa é a melhor maneira de

garantir a consistência dos resultados.

5. A imagem formada por um espelho ou por

uma lente pode servir de objeto para outro

dispositivo ótico. Nesse caso, determine

cuidadosamente as distâncias do objeto e da

imagem para essa imagem intermediária;

certifique-se de ter incluído as distâncias entre

os dois dispositivos (lentes e/ou espelhos) cor-

retamente

Exemplo 9 - Localização da imagem e

ampliação usando uma lente convergente. Uma

lente convergente possui distância tocai igual a

20 cm. Faça um gráfico para localizar a imagem

para um objeto cuja distância ate a lente é de:

(a) 50 cm; (b) 20 cm: (c) 15 cm; (d) -40 cm.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 39

39

Determine a ampliação transversal cm cada caso.

Confira os resultados calculando a posição da

imagem c a ampliação a partir das equações dadas.

SOLUÇÃO: Os diagramas dos raios principais

apropriados são indicados nas figuras 28 (a), 28 (d),

28 (e) e 28 (f). A partir de medidas feitas nos

gráficos, as distâncias são aproximadamente 35 cm,

-∞. -40 cm e 15 cm, e as ampliações são,

respectivamente: -2/3, +∞, +3 e +1/3.

De acordo com a Equação:

1 1 1

s s f

achamos os seguintes valores para as posições

das imagens:

(a) 1 1 1

33.350 20

s cms

(b) 1 1 1

20 20s

s

(c) 1 1 1

6015 20

s cms

(d) 1 1 1

13.340 20

s cms

Os resultados obtidos graficamente são

aproximadamente iguais aos obtidos por meio dos

cálculos, exceto para o caso (c); a precisão do

diagrama da Figura 28 (e) é limitada porque os raios

que se estendem para trás possuem direções

aproximadamente iguais. Observe que a distância s'

é positiva para as imagens reais dos casos (a) e (d) é

negativa para a imagem virtual do caso (c).

De acordo com a Equação, as ampliações são:

(a) 33.3 2

50 3m m

(b) 20

m m

(c) 60

415

m m

(d) 13.3 1

40 3m m

Exemplo 10 - Formação da imagem usando uma

lente divergente Você dispõe de uma lente delgada

divergente e verifica que os raios paralelos

incidentes são espalhados depois de passar pela

lente, dando a impressão de que emanam de um

ponto situado a uma distância de 20,0 cm do centro

da lente. Você deseja usar essa lente para formar

uma imagem virtual ereta com altura igual a 1/3 da

altura do objeto. (a) Onde o objeto deve ser

colocado? (b) Faça um diagrama dos raios

principais.

SOLUÇÃO (a) A informação sobre os raios paralelos

incidentes mostra que a distância focal é f = -20,0

cm. Desejamos que a ampliação transversal seja

igual a + 4 (o valor positivo foi usado porque o

objetivo é que a imagem seja ereta.) De acordo

com a Equação, m = + = -s'/s. portanto ,s' = -

s/3. De acordo com a Equação

1 1 1 4040 13.3

3 20 3 3

ss s cm

s s

A distância da imagem é negativa, portanto o

objeto e a imagem estão do mesmo lado da

lente.

(b) A Figura 29 pode ser usada par

fazer o diagrama solicitado, traçando os raios

numerados de modo semelhante ao indicado na

Figura 28.

Figura 29 - Diagrama dos raios

principais para a formação da imagem em uma

lente delgada convergente.

Exemplo 11 - Imagem de uma

imagem. Um objeto com altura igual a 8,0 cm é

colocado a 12,0 cm à esquerda de uma lente

convergente com distância focal de 8,0 cm.

Uma segunda lente convergente com distância

focal de 6,0 cm é colocada a 36,0 cm à direita

da primeira lente. Ambas as lentes possuem o

mesmo eixo ótico. Determine a posição, o

tamanho e a orientação da imagem final

produzida por essa combinação de lentes.

(Combinações de lentes convergentes são

usadas em microscópios e telescópios,)

SOLUÇÃO: A situação é ilustrada na

Figura 30.

Figura 30 -

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 40

40

O objeto O se encontra à esquerda do

primeiro foco F, da primeira lente, de modo que essa

lente produz uma imagem real I. Os raios luminosos

que incidem sobre a segunda lente emanam dessa

imagem como se a imagem I fosse um objeto

material. Portanto, a imagem formada pela primeira

lente serve como objeto da segunda lente.

Na Figura 30 desenhamos os raios

principais l, 2 e 3 a partir da extremidade superior

da seta do objeto

O para determinar a posição da primeira imagem I e

desenhamos os raios principais l', 2' e 3' a partir da

extremidade superior da seta da imagem para definir

a posição da segunda imagem I' formada pela

segunda lente (embora os raios 2' e 3' não possuam

existência real no caso presente). Note que a

imagem final sofreu duas inversões, uma em cada

lente, de modo que a segunda imagem iI' possui a

mesma orientação do objeto original.

Para calcular a posição e o tamanho da

segunda imagem I', inicialmente precisamos

determinar a posição e o tamanho da primeira

imagem I.

Aplicando para a primeira lente a Equação:

1 1 1

s s f

Obtemos: '

1'

1

1 1 124,0

12 8s cm

s

A primeira imagem I está a 24,0 cm à

direita da primeira lente. A ampliação é dada por:

m = -(24,0 cm)/( 12,0 cm) = -2.00

portanto a altura da imagem é:

(-2.00)(8,0 cm) = -16,0 cm.

A primeira imagem está a 36,0 cm - 24.0

cm = 12.0 cm à esquerda da segunda lente, de modo

que a distância do objeto para a segunda lente é

igual a +12.0 cm. Aplicando para a segunda lente a

Equação (35.16), obtemos a posição da imagem

final:

A imagem final está a 12,0 cm à direita da segunda

lente e a 48,0 cm à direita da primeira lente.

A ampliação da imagem produzida pela segunda

lente é dada por:

m2 = -(12,0 cm)/( 12,0 cm) = -l .0.

Portanto a altura da imagem final é

exatamente a mesma altura da primeira imagem.

Porém com orientação oposta. Esses

resultados são também indicados pelo diagrama dos

raios principais.

Exemplo 12 - Imagem de uma imagem.

Na situação descrita no exemplo anterior, a

segunda lente é deslocada para uma distância de 12

cm à direita da primeira lente. Para essa nova

configuração, determine a posição, o tamanho e a

orientação da imagem final produzida pela

combinação dessas duas lentes.

Figura 31 -

2

2

1 1 1 1 1 14,0

12 6s cm

s s f s

Ampliação da segunda lente:

45.33

12m m

Tamanho final da imagem:

0.33 16 5.33y m y y cm

Imagem invertida em relação ao objeto.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 41

41

Instrumentos de Óptica Geométrica

Introdução

Nos capítulos precedentes aprendemos os

fundamentos da formação de imagens usando

espelhos e lentes. Agora aplicaremos essas idéias em

alguns dispositivos óticos comuns e explicaremos

como eles funcionam. Em que aspectos a máquina

fotográfica é semelhante ao olho humano? Quais são

as diferenças'? O que deve fazer um fotógrafo ou um

operador de projetor de cinema para ajustar o "foco"

do filme? Como pode uma particular combinação de

duas lentes produzir um microscópio, porém outra

combinação produzir um telescópio? As respostas a

essas e outras perguntas podem ser dadas aplicando-

se os princípios básicos sobre espelhos e lentes que

estudamos.

O conceito de imagem que serviu de base para o

entendimento dos dispositivos óticos simples,

discutidos no Capítulo 35, desempenha papel

igualmente importante na análise dos instrumentos

de ótica. Continuamos a orientar nossa análise pelo

modelo de raios luminosos, portanto este capítulo

está enquadrado no estudo geral da ótica geométrica.

CÀMERAS E PROJETORES

A câmera e o projetor são exemplos de

dispositivos óticos simples e muito usados na vida

cotidiana. Eles aplicam princípios óticos

semelhantes para realizar tarefas complementares. A

câmera ou máquina fotográfica produz uma pequena

imagem de um objeto, registrando-a em um filme.

Esse filme pode, a seguir, ser usado como um objeto

para um projetor que produz uma imagem ampliada

desse objeto sobre uma tela.

CÂMERAS

Os elementos básicos de uma câmera ou

máquina fotográfica são uma lente convergente, uma

caixa hermética (a palavra "câmera" é de origem

latina e significa "compartimento fechado"), um

filme sensível à luz para registrar a imagem e um

obturador combinado com um diafragma que serve

de janela para que a luz penetre na câmara fechada e

atinja a película durante um certo intervalo de tempo

(Figura 1 (a). A lente forma sobre o filme uma

imagem invertida real do objeto que está sendo

fotografado. As lentes das máquinas fotográficas de

boa qualidade possuem diversos elementos que são

usados para corrigir diferentes aberrações, incluindo

a dependência do índice de refração com o

comprimento de onda e as limitações impostas pela

aproximação paraxial. (As aberrações das lentes

serão discutidas depois) Um modelo clássico de

lentes para máquinas fotográficas é o dispositivo

"Tessar" da marca registrada Zeiss indicado na

Figura 1 (b).

Quando a máquina fotográfica está

corretamente focalizada, a posição do filme

corresponde à posição da imagem real formada pela

lente. A fotografia resultante será tão nítida quanto

possível. Para uma lente convergente, a

distância da imagem aumenta quando a

distância do objeto diminui. Portanto, para

"focalizar" a máquina fotográfica, a lente deve

ficar mais próxima do filme para um objeto

distante e mais afastada do filme quando o

objeto está próximo da máquina. Geralmente

isso é feito fazendo-se girar uma montagem com

rosca que aproxima ou afasta a lente.

A escolha de uma distância focal/para

uma dada máquina fotográfica depende do

tamanho do filme e do ângulo de visão desejada.

Na Figura 2 as três fotografias foram obtidas

comum filme de 35 mm, usando a mesma

máquina fotográfica e focalizando a mesma

cena na mesma posição, porém empregando

lentes com diferentes distâncias focais.

Uma lente com distância focal muito

grande, denominada lente telefoto, fornece um

ângulo de visão pequeno e uma imagem grande

de um objeto distante (tal como a estátua

mostrada ma figura 2 (c)), a chamada lente

grande angular é uma lente com distância focal

pequena, que fornece um ângulo de visão

grande e uma imagem pequena.

Figura 1 -

Figura 2 -

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 42

42

Para entender esse comportamento, lembre

que a distância focal fornece a distância entre a

imagem e a lente quando o objeto está no infinito.

Em geral, para qualquer distância do objeto, o uso

de uma lente com distância focal maior fornece uma

distância maior para a imagem. Isso também faz

aumentar a altura da imagem; conforme vimos, a

razão entre a altura da imagem y' e a altura do objeto

y (a ampliação transversal) é igual ao módulo da

razão entre a distância da imagem s' e a distância do

objeto s.

y sm

y s

Para uma lente com distância focal

pequena, a razão s/s´ é pequena e um objeto distante

fornece somente uma imagem pequena. Quando

usamos uma lente com distância focal grande, a

imagem desse mesmo objeto pode cobrir

inteiramente a área do filme. Portanto quanto maior

for a distância focal, menor será o ângulo de visão

(Figura 2 (d)).

O ângulo de visão pode ser aumentado

simplesmente fazendo-se aumentar o tamanho do

filme. Quando usamos uma máquina fotográfica

com filme de 35 mm, para o qual a área da imagem

é igual a 24 mm x 36 mm, uma lente com f = 50 mm

fornece um ângulo de visão igual a 45°; a lente com

esse ângulo de visão é chamada de lente "normal".

Para uma máquina fotográfica que empregue uma

lente com a mesma distância focal, porém com um

filme de 60 mm x 70 mm, a lente funciona como

uma grande angular com um ângulo de visão igual a

63°.

A fim de que o filme registre uma imagem

apropriadamente, a energia total da luz incidente que

atinge o filme por unidade de área (a "exposição")

deve ficar situada entre determinados limites. Isso é

controlado pela velocidade do obturador e pela

abertura do diafragma. O obturador controla o

intervalo de tempo durante o qual a luz permanece

sobre o filme. Esse tempo pode ser ajustado em

intervalos com um fator igual a dois, geralmente

desde l s até 1/1000 s.

A intensidade da luz que atinge o filme é

proporcional à área vista pela lente da máquina

fotográfica e à área efetiva da lente. O tamanho da

área que a lente "vê" é proporcional ao quadrado do

ângulo de visão da lente e, portanto, ela é

aproximadamente proporciona a l/f 2. A área efetiva

da lente é controlada por meio do ajuste da abertura

da lente, ou diafragma, um orifício

aproximadamente circular com diâmetro variável D;

portanto a área efetiva é proporcional a D2.

Reunindo esses dois fatores, vemos que a

intensidade da luz que atinge o filme com uma lente

particular é proporcional a D2/f

2. A capacidade da

entrada de luz de uma lente é expressa pêlos

fotógrafos em termos da razão f/D, chamada de

número/da lente:

Distância focal

Diâmetro da aberturaf

fN

D

Por exemplo, dizemos que uma lente com

distância focal f = 50 mm e um diâmetro de

abertura D =25 mm possui um número/igual a 2,

ou "uma abertura de f/2. A intensidade da luz

que atinge o filme é inversamente proporcional

ao quadrado do número.

Para uma lente com diâmetro de abertura

variável, quando este aumenta de um fator igual

a 2 , o número/aumenta de 1 2 e a

intensidade da luz que atinge o filme aumenta

de um fator 2. As aberturas ajustáveis possuem

geralmente uma escala com números sucessivos

(chamada de escala do número/) relacionados

por fatores de 2 , tais como:

f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16,

e assim por diante. Os números maiores

correspondem a aberturas e exposições menores

e cada ponto da escala corresponde a um fator

igual a 2 na intensidade (veja a Figura 36.3). A

exposição efetiva (quantidade total da luz que

atinge o filme) é proporcional ao tempo de

exposição e à área da abertura. Portanto, f/4 e

1/500s, f/5 e 1/250s, f/8 e 1/125s são pares de

valores que correspondem à mesma exposição

efetiva.

Muitos fotógrafos usam a chamada

lente zoom, um conjunto complexo de lentes

que fornece uma distância focal que varia

continuamente, em geral em um intervalo

grande da ordem de 10 até l. As figuras 4 (a) e

(b) mostram sistemas simples com distâncias

focais variáveis e a Figura 4 (c) mostra uma

lente zoom típica de uma máquina fotográfica

de 35 mm.

A lente zoom fornece um intervalo de

imagens com diversas ampliações para um

mesmo objeto. É um problema muito complexo

nos projetos de ótica manter a imagem em foco

e, ao mesmo tempo, um número/constante

enquanto a distância focal varia. Ao variar a

distância focal de uma lente zoom típica, dois

conjuntos de elementos se movem no interior da

lente e um diafragma abre e fecha.

O sistema ótico empregado em uma

câmara que produz imagens para a televisão é

essencialmente análogo ao sistema ótico da

máquina fotográfica. O filme é substituído por

um sistema eletrônico que, no formato usado

nos Estados Unidos, produz uma varredura da

imagem com uma série de 525 linhas paralelas.

O brilho da imagem ao longo dessas linhas é

traduzido em impulsos elétricos que podem ser

armazenados em fitas de vídeo ou então

enviados por ondas eletromagnéticas com

freqüências da ordem de 100 até 400 MHz. A

cena inteira é varrida 30 vezes por segundo, de

modo que são varridas 30 x 525 ou 15.750

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 43

43

linhas em cada segundo. Alguns receptores de TV

emitem um som fraco com altura elevada para essa

freqüência de varredura (duas oitavas acima do B

mais elevado do piano).

Figura 3 -

Figura 4 -

Exemplo 1: Exposição de uma fotografia.

Uma lente telefoto comum da máquina fotográfica

de 35 mm possui uma distância focal igual a 200

mm e intervalos da escala f desde f/5.6 até f/745.

(a) Qual é o intervalo de diâmetros das aberturas

correspondentes?

(b) Qual é o intervalo correspondente para a

intensidade da imagem no filme?

SOLUÇÃO: (a) De acordo com a Equação:

o intervalo de diâmetros é dado por:

20036

5.6f

fD mm

N

2004.4

45f

fD mm

N

(b) Como a intensidade é proporcional ao

quadrado do diâmetro, a razão entre a intensidade

para f/5.6 e para f/45 é: 2

3665

4.4

Caso o tempo de exposição correio para f/5.6

seja igual a 1/1000 s, então para f/45 ele será dado

por:

(65)(1/1000s) = 1/15s.

PROJETORES

Um projetor é um dispositivo usado para

ver diapositivos ou filmes de cinema e seu fun-

cionamento equivale ao inverso da máquina

fotográfica. Seus elementos essenciais são indicados

na Figura 5. A luz proveniente de uma fonte (uma

lâmpada incandescente ou uma lâmpada de arco de

carbono no caso de um projetor de cinema)

passa através do filme e uma lente de projeção

forma sobre uma tela uma imagem real,

invertida e maior que o filme. Um espelho

côncavo atrás da lâmpada também ajuda a

direcionar a luz. As lentes do condensador

devem ser suficientemente grandes para cobrir a

área total do filme. A imagem formada sobre a

tela é sempre real e invertida; por essa razão os

diapositivos ou slides devem ser sempre

colocados no interior do projetor em uma

posição invertida. A posição e o tamanho da

imagem projetada sobre a tela são determinados

pela posição e pela distância focal da lente do

projetor.

Figura 5 -

Os retroprojetores usados nas salas de

aula apresentam um esquema semelhante para

projetar uma imagem sobre uma tela, porém

existem duas diferenças importantes (Figura 6

(a)). Depois de a luz sair da lente do projetor,

um espelho plano inclinado reflete e inverte a

imagem de modo que ela possa ser vista sobre a

tela com a orientação correta. Além disso, a luz

proveniente da lâmpada é direcionada para a

lente do projetor por um dispositivo de

plástico transparente sobre o qual colocamos a

transparência que desejamos projetar. Esse

dispositivo de plástico é um exemplo de lente de

Fresnel. Todas as lentes que descrevemos até o

momento funcionam com a refração que se dá

em suas superfícies, nenhuma refração ocorre

no interior da lente. Se eliminássemos uma parte

do material do interior da lente, poderíamos

reduzir sensivelmente o peso de uma lente

grande. É exatamente isso que a lente de Fresnel

faz (Figura 6 (b)). Cada segmento circular copia

o contorno circular correspondente de uma lente

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 44

44

comum. Você pode ver esses segmentos

examinando a superfície do retroprojetor onde

apoiamos a transparência. As lentes de Fresnel

geralmente não possuem qualidade muito boa, mas

são leves e custam pouco, levando em consideração

seu tamanho. Elas lambem são usadas em sinais de

trânsitos luminosos, em coletores de luz, em. células

solares, em lupas planas de bolso, em lâmpadas para

iluminação e em muitos outros dispositivos.

Figura 6 -

Exemplo 2 - Um projetor de diapositivo A

área de um diapositivo colorido comum de 35 mm é

igual a 24 mm x 36 mm. Qual é a distância focal da

lente do projetor necessária para que uma imagem de

l,2 m x l ,8 m se forme sobre uma tela situada a 5,0

m da lente?

SOLUÇÃO: Precisamos de uma ampliação

transversal com módulo dado por (l ,2 m)/(24 mm) =

50. De acordo com a Equação (35.17), a razão s'ls

também deve ser igual a 50. (A imagem é real, de

modo que s' é positivo.) Sabemos que s' = 5,0 m.

Logo, s = (5,0 m)/50 = 0,10 m. Então, de acordo

com a Equação (35.16).

1 1 1 1 1 198

0.1 5f mm

s s f f

Uma distância focal comum para um projetor

de diapositivos doméstico é igual a 100 mm; esse

tipo de lente é fácil de encontrar e poderia ser uma

escolha apropriada para essa situação. Diversos

projetores são equipados com lentes do tipo zoom

a fim de possibilitar um dado intervalo para os

tamanhos da imagem e de permitir o uso de

diferentes distâncias entre o projetor e a tela.

O OLHO

O comportamento ótico do olho é

semelhante ao da máquina fotográfica. As partes

essenciais do olho humano, considerado um sistema

ótico, são indicadas na Figura 7. A forma do olho é

quase esférica, com diâmetro aproximadamente

igual a 2,5 cm.

Figura 7 -

A parte frontal é ligeiramente mais

encurvada e é recoberta por uma membrana

dura e transparente, a córnea. A região atrás da

córnea contém um líquido chamado de humor

aquoso. A seguir vem o cristalino, uma lente em

forma de cápsula com uma gelatina fibrosa dura

no centro e progressivamente mais macia à

medida que se aproxima de sua periferia. A

lente do cristalino é sustentada por ligações com

o músculo ciliar, localizado em sua periferia.

Atrás dessa lente, o olho está cheio de um

líquido gelatinoso chamado de humor vítreo. Os

índices de refração do humor vítreo e do humor

aquoso são ambos aproximadamente iguais a

1.336, valor quase igual ao índice de refração da

água. O cristalino, apesar de não ser

homogêneo, possui um índice de refração de

1.437.

Esse valor não é muito diferente do

índice de refração do humor vítreo e do humor

aquoso: a maior parte da refração da luz que

chega ao olho ocorre na superfície externa da

córnea.

A refração na córnea e nas

superfícies da lente produz uma imagem real

do objeto que está sendo observado. A

imagem é formada sobre a retina, uma

membrana sensível à luz situada junto da

superfície interna da parte traseira do olho. A

retina desempenha o mesmo papel do filme na

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 45

45

máquina fotográfica. Os cones e os bastonetes

existentes na retina agem como minúsculas

fotocélulas, que captam a imagem e transmitem os

impulsos através do nervo ótico para o cérebro. A

visão é mais precisa em uma pequena região

central chamada fóvea central, com diâmetro

aproximado de 0,25 mm.

A íris se localiza na parte dianteira do

cristalino. Ela contém uma abertura com diâmetro

variável denominada pupila que se abre ou se

fecha para adaptar a entrada da luz de acordo com

a variação da luminosidade. Os receptores da

retina também possuem mecanismos de adaptação

da intensidade.

Para que um objeto seja visto com bastante

nitidez, a imagem deve ser formada exata-mente

sobre a retina. O olho se ajusta para diferentes

distâncias s do objeto, fazendo alterações na

distância focal/de sua lente; a distância s' entre a

lente e a retina não varia. (Compare com a máquina

fotográfica, na qual a distância focal é fixa, porém a

distância entre o filme e a lente varia.) Para um olho

normal, um objeto no infinito é focalizado quando o

músculo ciliar está relaxado. Para produzir uma

imagem bem focalizada sobre a retina de um objeto

próximo, a tensão no músculo ciliar que envolve o

cristalino aumenta, o músculo ciliar se contrai e o

cristalino fica mais grosso na parte central fazendo

diminuir os raios de curvatura de suas superfícies;

logo, a distância focal diminui. Esse processo é

chamado de acomodação.

Tabela 1 -

VARIAÇÃO DO PONTO PRÓXIMO

SEGUNDO A IDADE

Idade (anos) Ponto próximo (cm)

10 7

20 10

30 14

40 22

50 40

60 200

Os extremos do intervalo para o qual a

visão distinta é possível são chamados de ponto

próximo e de. ponto distante. O ponto distante de

um olho normal se encontra no infinito. A posição

do ponto próximo depende da capacidade do

músculo ciliar de reduzir o raio de curvatura do

cristalino. O intervalo de acomodação diminui

gradualmente à medida que a pessoa envelhece, pois

o cristalino aumenta durante a vida (para uma idade

de 60 anos ele é 50% maior do que aos 20 anos) e os

músculos ciliares tomam-se menos capazes de

contrair uma lente maior. Por essa razão, a

distância do ponto próximo aumenta à medida

que a pessoa envelhece. Esse aumento da

distância do ponto próximo recebe o nome

popular de vista cansada e o nome científico de

presbiopia. Na Tabela 36. l mostramos alguns

valores aproximados da posição do ponto

próximo para o olho normal de uma pessoa

comum em diversas idades. Por exemplo, uma

pessoa com 50 anos não consegue focalizar com

nitidez nenhum objeto que esteja a uma

distância aproximadamente menor do que 40 cm

Figura 8 -

Diversos defeitos comuns da visão

resultam de relações incorretas entre distâncias

que ocorrem no olho. Um olho normal forma

sobre a retina uma imagem de um objeto que se

encontra no infinito quando o olho está relaxado

(Figura 8 (a)). No olho míope, o globo ocular é

muito alongado em comparação com o raio de

curvatura da córnea (ou a córnea é encurvada

muito fortemente) e os raios de um objeto

situado no infinito são focalizados antes da

retina (Figura 8 (b)). Logo, a maior distância

para a qual um objeto forma uma imagem sobre

a retina está em um ponto mais próximo do que

no caso do olho normal. No olho hipermétrope,

o globo ocular é muito curto ou a córnea não é

suficientemente encurvada, e, assim, os raios de

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 46

46

um objeto situado no infinito são focalizados atrás

da retina (Figura8 (c)). O olho míope produz uma

convergência demasiadamente grande dos raios

paralelos e forma uma imagem antes da retina; o

olho hipermétrope produz uma convergência

insuficiente e forma uma imagem depois da retina.

No astigmatismo a superfície da córnea não

é esférica, porém é mais encurvada em um dado

plano do que em outro. Por causa disso, uma reta

vertical pode formar uma imagem em um plano

diferente do plano formado pela imagem de uma

reta horizontal (Figura 9). O astigmatismo pode

tornar impossível, por exemplo, a focalização

simultânea das barras verticais e horizontais de uma

janela.

Figura 9 -

Todos esses defeitos podem ser corrigidos

mediante o uso de lentes corretoras (óculos ou lentes

de contato). O ponto próximo de um olho com

miopia ou presbiopia está mais longe do que o ponto

próximo de um olho normal. Para ver nitidamente

um objeto situado na distância normal de leitura

(geralmente em torno de 25 cm), é necessário o uso

de uma lente que forme uma imagem situada sobre o

ponto próximo ou depois dele. Isso pode ser

conseguido com uma lente convergente (positiva),

como indicado na Figura 10. Na verdade, a lente faz

o objeto se deslocar para uma distância mais

afastada do olho para que a imagem seja focalizada

sobre a retina. Analogamente, a correção da miopia

é obtida usando-se uma lente divergente (negativa)

para fazer o objeto se deslocar para uma distância

mais próxima do olho do que a distância real do

objeto, como indicado na Figura 11.

Figura 10 -

Figura 11 -

Figura 12 -

O astigmatismo é corrigido pelo uso de

uma lente com superfície cilíndrica. Por exem-

plo, suponha que a curvatura da córnea em um

plano horizontal seja correia e focalize sobre a

retina raios provenientes do infinito, porém que

sua curvatura em um plano vertical seja tão

grande que a focalização ocorra antes da retina.

Quando uma lente cilíndrica divergente com

eixo horizontal é colocada antes do olho, os

raios no plano horizontal não sofrem nenhuma

modificação, mas a divergência adicional dos

raios no plano vertical faz com que esses raios

sejam focalizados sobre a retina, como se vê na

Figura 12.

As lentes corretivas são geralmente

descritas em termos da potência, definida como

o inverso da distância focal expressa em metros.

A unidade de potência é a dioptria. Portanto,

uma lente com f'= 0,50 m possui uma potência

igual a 2,0 dioptrias, f= -0,25 m corresponde a

uma potência igual a -4,0 dioptrias, e assim por

diante. Os números em uma receita de óculos

geralmente referem-se a potências expressas em

dioptrias. Quando o defeito envolve

simultaneamente astigmatismo e miopia ou

hipermetropia, existem três números: um para a

potência da lente esférica, um para a potência da

lente cilíndrica e um ângulo para descrever a

orientação da lente cilíndrica corretora.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 47

47

Exemplo 3 - Correção da hipermetropia. O

ponto próximo de certo olho hipermétrope está a

100 cm em frente ao olho. Para ver com nitidez um

objeto situado a uma distância de 25 cm do olho.

qual é a lente de contato necessária?

SOLUÇÃO: Desejamos que a lente forme uma

imagem virtual do objeto em um local

correspondente ao ponto próximo do olho a uma

distância de 100 cm do olho. Ou seja, quando s = 25

cm, s' tem de ser igual a -100 cm. De acordo com a

equação das lentes delgadas.

1 1 1 1 1 133

25 100f cm

s s f f

Necessitamos de uma lente convergente com

distância focal f = 33 cm. A potência correspondente

é l/(0.33m), ou +3,0 dioptrias.

Exige o uso de uma lente convergente

(distância focal positiva), portanto devemos

empregar uma lente biconvexa.

Exemplo 4 - Correção da miopia. O ponto

distante de um certo olho míope está a 50 cm em

frente ao olho. Para ver com nitidez um objeto

situado no infinito, qual é a lente necessária para os

óculos de correção? Suponha que a lente seja usada

a uma distância de 2.0 cm do olho.

SOLUÇÃO: O ponto distante de um olho

míope está mais próximo do que o infinito. Para ver

com nitidez objetos mais afastados do que o ponto

distante desse olho, é necessário que a imagem

virtual do objeto se forme a uma distância que não

seja maior do que o ponto afastado. Suponha que a

imagem virtual de um objeto no infinito seja

formada sobre o ponto afastado, a 50 cm do olho e a

48 cm da lente dos óculos. Ou seja, quando s = °°,

desejamos que s' seja igual a -48 cm. De acordo com

:

1 1 1 1 1 148

48f cm

s s f f

Necessitamos de uma lente divergente

com distância focal -48 cm = -0,48 m. A potência

correspondente é igual a -2,1 dioptrias. Você é

capaz de verificar se, caso fosse usada lente de

confeito, em vez de óculos, f seria igual a -50

cm?

A LUPA

O tamanho aparente de um objeto é

determinado pelo tamanho da imagem sobre a

retina. Se o olho não possui nenhuma lente

adicional, o tamanho depende do ângulo 6

subtendido pelo objeto no olho, grandeza chamada

de tamanho angular (Figura 13 (a)).

Para observar um objeto pequeno, tal

como um inseto ou um cristal, você deve

colocá-lo mais próximo do olho, de modo que a

imagem sobre a retina e o ângulo subtendido

possuam o maior valor possível. Contudo, o

olho não pode focalizar com nitidez objetos que

estejam mais próximos do que o ponto próximo,

de modo que o tamanho de um objeto é máximo

(ou seja, ele subtende o ângulo máximo) quando

é colocado sobre o ponto próximo. Nas dis-

cussões apresentadas a seguir, vamos supor que

o ponto próximo de um observador médio esteja

situado a 25 cm de distância do olho.

Uma lente convergente pode servir

para formar uma imagem virtual maior e mais

afastada do que o próprio objeto, como indicado

na Figura 36.13b. Portanto, usando essa lente, o

objeto pode se deslocar para uma distância mais

próxima do olho e o tamanho angular da

imagem pode ser muito maior do que o tamanho

angular do objeto a uma distância de 25 cm sem

o uso da lente. Uma lente empregada dessa

maneira é chamada de lupa, também conhecida

como lente de aumento ou lupa simples. A

imagem virtual é vista com mais conforto

quando colocada no infinito, para que o

músculo ciliar não fique contraído; nas

discussões apresentadas a seguir vamos supor

que isso ocorra.

Na Figura 13 (a) o objeto está sobre o

ponto próximo, onde ele subtende um ângulo

no olho. Na Figura 13 (b) uma lupa colocada em

frente ao olho forma uma imagem no infinito e

o ângulo subtendido com auxílio da lupa é '. A

medida da ampliação fornecida pela lente é dada

pela razão entre o ângulo '(com a lupa) e o

ângulo (sem a lupa). Essa razão é chamada de

ampliação angular M:

M

(ampliação angular).

ATENÇÃO: Não confunda a

ampliação angular M com a ampliação

transversal m. A ampliação angular é a razão

entre o tamanho angular da imagem e o

tamanho angular do objeto correspondente; a

ampliação transversal fornece a razão entre a

altura da imagem e a altura do objeto

correspondente. Para a situação indicada na

Figura 13 (b), a ampliação angular é

aproximadamente igual a 3x, visto que a

imagem da formiga subtende um ângulo cerca

de três vezes maior que o ângulo subtendido

pela formiga na Figura 13 (a); portanto o olho

tem a impressão de ver a formiga três vezes

maior. A ampliação transversal m = -s'/s na

Figura 13 (b) é infinita porque a imagem se

forma no infinito; contudo isso não significa que

o objeto aparente um tamanho infinito quando

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 48

48

observado através da lupa! (Foi por essa razão que

não desenhamos uma formiga infinitamente grande

na Figura 13 (b).) Ao estudarmos uma lupa, a

ampliação angular M é um conceito útil, porém a

ampliação transversal m não é.

Para calcularmos o valor de M,

inicialmente supomos que os ângulos sejam

suficientemente pequenos para que cada ângulo (em

radiano) seja igual a sua tangente ou a seu seno.

Usando a Figura 13 (a) e desenhando o raio na

Figura 13 (b) que passa através do centro da lente

sem sofrer desvio, verificamos que os ângulos e '

são dados por:

25

y y

f

Combinando essas relações, obtemos:

25

25

y fM

y f

(ampliação angular para uma lupa)

A fórmula obtida sugere que seria possível

conseguir uma ampliação angular tão elevada que

fizesse diminuir a distância focal f. Contudo, as

aberrações de uma lente biconvexa simples (que

serão discutidas) impõem um limite prático para M

aproximadamente igual a 3x ou 4x. Caso essas

aberrações possam ser corrigidas, a ampliação

angular pode chegar até 20x. Se o objetivo são

ampliações angulares maiores do que esta, em geral

é usado um microscópio composto, que será

discutido na próxima seção.

Exemplo 5 - Dispomos de duas lentes de

plástico, uma biconvexa e a outra bicôncava,

cada uma delas com distância focal com valor

absoluto igual a 10.0 cm.

(a) Qual das duas lentes pode ser usada

como uma lupa?

(b) Qual é a ampliação angular?

SOLUÇÃO: (a) A formação da imagem

virtual indicada na (b) De acordo com a equação da ampliação angular:

25

2.510

M

O MICROSCÓPIO

Se necessitamos de uma ampliação

angular maior do que a que pode ser obtida com

uma lupa simples, devemos usar um

microscópio, algumas vezes denominado de

microscópio composto. Os elementos essenciais

de um microscópio são indicados na Figura 14.

Para analisarmos esse sistema, tomamos como

base o princípio de que a imagem formada por

um elemento ótico tal como uma lente ou um

espelho pode servir de objeto para um segundo

elemento ótico. Já utilizamos esse princípio ao

deduzirmos a equação das lentes delgadas

aplicando duas vezes seguidas a equação da

refração nas duas superfícies da lente; usamos

novamente esse princípio nos exemplos, para os

quais a imagem formada por uma lente servia de

objeto para uma segunda lente.

Figura 14 -

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 49

49

O objeto O é colocado em um ponto

ligeiramente para fora do primeiro foco F, da

objetiva, uma lente convergente que forma uma

imagem I real e maior do que o objeto (Figura 14

(b)). Em um instrumento projetado adequadamente,

essa imagem se forma entre o foco F,' e o vértice de

uma segunda lente convergente, chamada de ocular,

em um ponto quase sobre seu foco. (Deixamos para

você explicar a razão pela qual essa imagem deve

ser formada na parte interna do foco quase sobre

F1'.) A ocular funciona como uma lupa simples,

conforme discutido, e forma uma imagem virtual

final I' do objeto O. A posição da imagem I' pode

estar situada entre o ponto próximo e o ponto

distante do olho. Tanto a lente ocular quanto a

objetiva de um microscópio são lentes compostas

altamente corrigidas, com diversos elementos óticos;

contudo, por simplicidade, cada uma dessas lentes é

indicada aqui como uma única lente delgada

simples.

Analogamente ao caso da lupa, o que

importa para um microscópio é sua ampliação

angular M. A ampliação angular total de um

microscópio composto é o produto de dois fatores. O

primeiro fator é a ampliação transversal m1, da

objetiva, que determina o tamanho linear da imagem

real I; o segundo é a ampliação angular M2 da

ocular, que relaciona o tamanho angular da imagem

virtual vista através da ocular com o tamanho que a

imagem real I teria se ela fosse vista sem a ocular.

O primeiro fator é dado por:

1

1

1

sm

s

Onde s1, é a distância do objeto e s´1 é a distância

da imagem para a lente objetiva. Em geral, o objeto

está muito próximo do foco, de modo que a

distância da imagem s1´ é muito grande em

comparação com a distância focal f1 da lente

objetiva. Logo s'1 é aproximadamente igual a/i e

podemos escrever:

1

1

1

sm

f

A imagem real I está próxima do foco F1' da

ocular, de modo que, para calcular a ampliação

angular da ocular, podemos usar a Equação:

2 225M f onde f2, é a distância focal da ocular

(tomada como uma lente simples). A ampliação

angular total M de um microscópio composto (com

exceção de um sinal negativo que se costuma

ignorar) é o produto das duas ampliações

mencionadas:

1

1 2

1 2

25sM m M

f f

(ampliação angular de um microscópio)

onde s1´, f1 e f2 são grandezas medidas em

centímetros. A imagem final é invertida em relação

ao objeto.

Os fabricantes de microscópios

geralmente especificam os valores de m1, e de

M2 para os componentes do microscópio em vez

de especificar as distâncias focais da objetiva e

da ocular.

A Equação mostra que a ampliação

angular de um microscópio pode ser aumentada

usando-se uma objetiva com uma distância focal

f1, pequena, fazendo-se aumentar o valor de m1 e

o tamanho da imagem real I. Muitos

microscópios óticos possuem uma "torre‖

giratória com três ou mais objetivas com

diferentes distâncias focais para que o mesmo

objeto possa ser visto com diferentes

ampliações. A ocular também deve possuir uma

distância focal f2; pequena para se obter o valor

máximo de M.

TELESCÓPIOS

O sistema ótico de um telescópio é

semelhante ao de um microscópico composto.

Eu ambos, a imagem formada pela objetiva é

vista através de uma ocular. A diferença

essencial é que o telescópio é usado para ver

objetos grandes situados em distâncias grandes

e o microscópico é usado para ver objetos

pequenos situados muito próximos de nós.

Outra diferença é que muitos telescópios usam

como objetiva um espelho curvo e não uma

lente

Na Figura 15 mostramos um telescópio

astronômico. Como esse telescópio usa uma

lente como objetiva, ele é chamado de

telescópio de refração ou telescópio refrator. A

lente objetiva forma uma imagem real reduzida

I do objeto.

Essa imagem é o objeto para a lente

ocular, que por sua vez forma uma imagem

virtual ampliada de I. Os objetos que são visto

com um telescópio quase sempre estão tão

afastados do instrumento que a primeira

imagem I se forma aproximadamente sobre o

segundo foco da lente objetiva. Se a imagem

final I’ formada pela ocular está no infinito

(para a visão mais confortável de um olho

normal), primeira imagem deve se formar sobre

o foco da ocular. A distância entre a objetiva e a

ocular, que é igual ao comprimento do

telescópio, é portanto a soma f1+f2, das

distâncias focais, da objetiva e da ocular.

A ampliação angular M de um telescópio é

definida como a razão entre o ângulo subtendido

pela imagem final I' no olho e o ângulo

subtendido pelo objeto quando visto a olho nu.

Podemos expressar essa razão em termos das

distâncias focais da objetiva e da ocular. O

objeto (não-indicado) subtende um ângulo na

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 50

50

objetiva e deve subentende também essencialmente

o mesmo ângulo quando a observação é feita a olho

nu. Além disso, visto que ( olho do observador se

encontra imediatamente à direita do foco F2', o

ângulo subtendido no olho pela imagem final é

aproximadamente igual ao ângulo ’. Como bd é

paralelo ao eixo ótico, a distância ab é igual a cd e é

também igual à altura y’da imagem real I.

Figura 15 -

Como os ângulos e ' são pequenos, eles

podem ser aproximados pelas respectivas tangentes.

Pelos triângulos retângulos F1ab e F2'cd, obtemos:

1 2

y y

f f

A ampliação angular M de um telescópio é dada

pela razão entre a distância focal à objetiva e a

distância focal da ocular. O sinal negativo mostra

que a imagem final é invertida. A Equação mostra

que, para obter uma ampliação angular grande, um

telescópio deve possuir uma objetiva com distância

focal F1 grande. Em contraste, vimos que um

microscópico precisa de uma objetiva com uma

distância focal pequena. Contudo, um telescópio que

possua uma objetiva com uma distância focal grande

deve também ter um diâmetro D grande para que o

número, dado por f1/D, na seja muito grande; como

dissemos, um número grande significa um imagem

sem brilho, com pouca intensidade. Normalmente

um telescópio não possui muitas objetivas para

serem trocadas; em vez disso, a variação da

ampliação angular obtida fazendo-se variar as lentes

da ocular com diferentes valores da distância focal

f2. Analogamente ao caso do microscópico, valores

pequenos de f2 fornecem ampliações angulares

maiores.

Uma imagem invertida não oferece nenhuma

desvantagem para uma observação astronômica.

Contudo, quando usamos um telescópio ou

um binóculo para observar um objeto na Terra,

desejamos que a imagem não seja invertida. A

inversão da imagem em um binóculo com prismas é

obtida por meio de prismas de Porro,

constituído por um par de prismas com faces a

45°-45°-90° que produzem reflexão total. Eles

são inseridos entre a objetiva e a ocular

conforme indicado na Figura 16.

Figura 16 - Inversão da imagem obtida

com dois prismas de um binóculo.

A imagem é invertida pelas quatro

inversões internas que ocorrem nas faces do

prisma adjacentes ao ângulo de 45°.

Os prismas também servem para

inverter a trajetória dos raios, diminuindo o

tamanho do instrumento e tomando-o mais

compacto. Os binóculos geralmente são

especificados por dois números separados pelo

sinal de multiplicação, tal como 7 x 50. O

primeiro número indica a ampliação angular M

e o segundo revela o diâmetro da lente objetiva

(em milímetros). O diâmetro serve para

determinar a capacidade da entrada de luz

através da objetiva e, portanto, indica o brilho

da imagem.

No telescópio refletor (Figura 17), a

lente objetiva é substituída por um espelho côn-

cavo. Para um telescópio de grandes dimensões,

esse esquema apresenta muitas vantagens

teóricas e práticas. Um espelho não apresenta

inerentemente nenhuma aberração cromática

(dependência da distância focal com o

comprimento de onda) e as aberrações esféricas

(associadas com a aproximação paraxial) são

mais fáceis de corrigir do que no caso de lentes.

A superfície refletora é muitas vezes parabólica

em vez de esférica. O material do espelho não

tem de ser transparente e pode ser mais rígido

do que no caso de uma lente, que só pode ser

suportada em sua periferia.

Figura 17 - Sistema ótico de um

telescópio refletor. (a) O primeiro foco; (b) o

foco newtoniano (um esquema inventado por

Isaac Newton): (c) o foco de Cassegrain.

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 51

51

(d)

(e) Hubble.

Os maiores telescópios refletores existentes no

mundo ate o momento são os telescópio,' Keck, no

cume da montanha Mauna Kea, no Havaí; cada um

deles possui um espelho com diâmetro total de 10 m

montado com 36 elementos refletores

hexagonais. Lentes com dia metros superiores a

l m geralmente não são práticas.

Como a imagem é formada em uma região

atravessada pêlos raios incidentes, ela só pode

ser observada bloqueando-se uma parte desses

raios (Figura 17 (a)); isso só é prático quando o

telescópio é muito grande. Esquemas

alternativos usam um segundo espelhos para

refletir a imagem para a parte lateral ou então

apresentam um orifício na região central do

espelho, como indicado nas figuras 17 (b) e 17

(c).

Quando um telescópio é usado par

fazer uma fotografia, a ocular é removida e no

local onde se forma a imagem real da objetiva

coloca-se um filme ou um detector. (Algumas

"lentes" com distâncias focais muito grande

empregadas em fotografia são na realidade

telescópios refletores.) Quase todos os

telescópio refletores usados em pesquisas

astronômicas nunca empregam oculares.

A grande importância do Telescópio

Espacial Hubble (nome dado em homenagem ao

astrônomo norte-americano Edwin Powell

Hubble que viveu de 1889 a 1953) está no fato

de ele estar colocado no espaço, fora da

atmosfera da Terra. A luz dos astros para chegar

a ele não precisa passar por nossa atmosfera.

Toda informação que obtemos de um astro está

na luz que vem deles. A atmosfera sempre

"some" com parte dessa informação e é por isso

que os observatórios astronômicos profissionais

sempre são construídos em locais bem altos.

Mesmo assim um telescópio "de solo" somente

conseguirá momentaneamente uma resolução de

imagem superior a 1,0 segundo de arco, isso em

condições atmosféricas extremamente

adequadas à observação. Com essa resolução

somos capazes de ver uma bola de futebol a

51,5 km de distância. A resolução do Hubble é

cerca de 10 vezes melhor, ou seja, de 0,1

segundo de arco. Com essa resolução e com a

ajuda de técnicas de reduções fotográficas

feitas por computador, podemos distinguir

separadamente objetos suficientemente

brilhantes a até menos de dois metros de

distância um do outro, como os dois faróis de

um carro que estivesse na Lua.

A "potência" de um telescópio está na

quantidade de luz que ele pode receber

instantaneamente de um objeto. Quanto maior o

diâmetro de um telescópio, maior a sua

"potência". O Hubble é um telescópio refletor

(seu elemento óptico principal é um espelho)

com 2,40 metros de diâmetro. Se fosse um

telescópio de solo ele seria considerado de porte

médio. (Os 2 maiores telescópios do mundo

estão no observatório de Mauna Kea no Havaí e

têm 10 metros de diâmetro cada. Existem 28

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

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52

telescópios maiores que o Hubble, espalhados pelo

mundo, em funcionamento.) Mais que um

telescópio, o Hubble é um verdadeiro observatório

espacial, contendo instrumentação necessária a

vários tipos de observação. (Contém 3 câmeras, 1

detector astrométrico e 2 espectrógrafos). Além de

fotografar os objetos e medir com grande precisão

suas posições, o Hubble é capaz de "dissecar" em

detalhes a luz que vem deles. O Hubble está em uma

órbita baixa, a 600 km da superfície da Terra e gasta

apenas 95 minutos para dar uma volta completa em

torno de nosso planeta. A energia necessária para o

seu funcionamento é coletada por 2 painéis solares

de 2,4 x 12,1 metros cada. A sua massa é de 11.600

kg.

Os objetivos do Hubble podem ser

resumidos como sendo: Investigar corpos celestes

pelo estudo de suas composições, características

físicas e dinâmica; Observar a estrutura de estrelas e

galáxias e estudar suas formação e evolução;

Estudar a história e evolução do universo. Para

atingir seus objetivos a pesquisa do Hubble é

dividida em Galáxias e Aglomerados; Meio

Interestelar; Quasares e Núcleos Ativos de Galáxias;

Astrofísica Estelar; Populações Estelares e Sistema

Solar. (http://www.observatorio.ufmg.br/hubble.htm)

ABERRAÇÕES DAS LENTES

Uma aberração é qualquer comportamento de

um espelho ou uma lente que não seguem as

fórmulas que deduzimos anteriormente. Existem

basicamente dois tipos de aberrações:

aberração cromática, que envolve a

dependência da imagem com o comprimento de

onda;

aberração monocromática, que

ocorre mesmo no caso de a luz incidente ser

monocromática (luz com um único comprimento de

onda). As aberrações das lentes não são produzidas

por um defeito de fabricação, tal como uma

irregularidade em sua superfície, ma decorrem

inevitavelmente das leis da refração em superfícies

esféricas.

Todas as aberrações monocromáticas são

associadas com a aproximação paraxial. Todas as

deduções que fizemos sobre objetos, imagens,

distâncias focais e ampliações foram baseadas nessa

aproximação. Admitimos que todos os raios eram

paraxiais, ou seja, consideramos todos os raios

próximos ao eixo ótico formando ângulos muito

pequenos com o eixo ótico. Essa condição nunca é

seguida com precisão.

Para qualquer lente com uma abertura de

tamanho finito, o cone de raios que forma uma

imagem em dado ponto também possui tamanho

finito. Em geral, quando raios não paraxiais provêm

de um ponto do objeto, eles não fornecem um único

ponto na interseção desses raios.

Por essa razão, a imagem formada por esses

raios nunca é perfeitamente nítida. A aberração

esférica consiste na impossibilidade de um

objeto puntiforme situado sobre o eixo da lente

convergir para uma imagem puntiforme. Em vez

disso, os raios convergem para uma região no

interior de um círculo que possui um raio

mínimo, chamado de círculo de confusão míni-

ma, e a seguir divergem novamente, como

indicado na Figura 18. As aberrações corres-

pondentes para um objeto situado fora do eixo

ótico produzem imagens em forma de cone em

vez de círculos; esse efeito é chamado de coma.

Note que, à medida que diminui a abertura

efetiva da lente (veja a Figura 36. l a), os raios

que formam ângulos grandes são cortados e

portanto as aberrações esféricas diminuem.

Figura 18 -

As aberrações esféricas também

ocorrem em espelhos esféricos, como

discutimos brevemente. Os espelhos usados em

telescópios astronômicos são geralmente

parabólicos em vez de esféricos; essa forma

elimina completamente as aberrações esféricas

de pontos no eixo ótico. As formas parabólicas

são mais difíceis de fabricar do que as esféri-

cas.

Os resultados precários obtidos pelo

Telescópio Espacial Hubble logo após seu

lançamento em 1990 foram associados com

aberrações esféricas, oriundas de erros nas

medidas durante o processo de fabricação do

espelho.

O astigmatismo é uma aberração

originada de um ponto situado fora do eixo cuja

formação da imagem dá origem a duas linhas

situadas em planos perpendiculares entre si.

Nessa aberração, os raios provenientes

de um objeto puntiforme convergem a certa dis-

tância da lente formando uma imagem primária,

que é perpendicular ao plano definido pelo eixo

Física Moderna - Capítulo 2 - Óptica Geométrica -

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 53

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ótico e o objeto. Para outra distância diferente da

lente, eles convergem formando uma segunda linha,

chamada de imagem secundária, que é paralela a

esse plano. Esse efeito é indicado na Figura 19. O

círculo de confusão mínima (convergência máxima)

se forma entre essas duas imagens.

Figura 19 -

A localização do círculo de confusão

mínima depende da distância medida transver-

salmente entre o objeto e o eixo ótico bem como da

distância longitudinal entre o objeto e a lente. Por

causa desse efeito, os objetos puntiformes situados

sobre um plano geralmente não produzem uma

imagem sobre o plano, porém a imagem forma uma

superfície encurvada. Esse efeito é chamado de

curvatura de campo.

Finalmente, verificamos que a imagem de

uma linha rela que não passa pelo eixo ótico pode

ser encurvada. Por causa disso, a imagem de um

cubo centralizado sobre o eixo ótico pode possuir

forma semelhante a um barril (com lados

encurvados para fora) ou uma forma contrária (com

lados encurvados para dentro). Esse efeito, chamado

de distorção, não é relacionado com a falta de

nitidez da imagem, porém decorre da variação da

ampliação transversal com as distâncias ao longo do

eixo.

As aberrações cromáticas decorrem da dispersão,

a variação do índice de refração com o comprimento

de onda. A dispersão faz com que a lente possua

diferentes distâncias focais para diferentes

comprimentos de onda, portanto diferentes

comprimentos de onda produzem imagens em

pontos diferentes. A ampliação de uma lente

também varia com o comprimento de onda; esse

efeito é relacionado com o aparecimento das cores

do arco-íris em tomo de imagens formadas em

binóculos e telescópios de baú custo. Os espelhos

não sofrem aberrações cromáticas, sendo esse o

principal motivo do uso de espelhos em telescópios

astronômicos de grande porte.

Exemplo 6 - Aberração cromática. Em

uma lente plano-convexa de vidro sua face plana é

voltada para o objeto. A outra face tem raio de

curvatura igual a 30,0 cm. O índice de refração do

vidro para a luz violeta (comprimento de onda de

400 nm) é de 1.537 e para a luz vermelha (700 nm) é

de 1,517. A cor púrpura é uma mistura da cor

vermelha com a cor violeta. Quando um objeto

de cor púrpura é colocado a uma distância de

80,0 cm dessa lente, onde se formam as imagens

vermelha e violeta?

SOLUÇÃO: (a) usamos a equação das

lentes delgadas na forma indicada na Equação:

1 2

1 1 1 11n

s s R R

Nesse caso, aplicando as regras de sinais

mencionadas na Seção 35.2, obtemos R1 = e

R2 = -30.0 cm. Para a luz violeta (n =1,537),

1 1 1 1

1.537 180.0 30.0s

185s cm

Para a luz vermelha (n = 1,517),

encontramos s´= 211 cm. A luz violeta sofre

uma refração maior do que a da luz vermelha e

sua imagem se forma mais perto da lente.

Verificamos que uma variação bastante

pequena de índice de refração produz um

deslocamento substancial da imagem.