2 EdioFlorianpolis, 2011Fsica Bsica C-IIIvan Helmuth BechtoldNilton da Silva BrancoGoverno FederalPresidente da Repblica Dilma Vana RousseffMinistro da Educao Fernando HaddadSecretrio de Ensino a Distncia Carlos Eduardo BielschowskyCoordenador da Universidade Aberta do Brasil Celso Jos da CostaUniversidade Federal de Santa CatarinaReitor: Alvaro Toubes PrataVice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretrio de Educao a Distncia: Ccero BarbosaPr-Reitora de Ensino de Graduao: Yara Maria Rauh MllerPr-Reitora de Pesquisa e Extenso: Dbora Peres MenezesPr-Reitor de Ps-Graduao: Maria Lcia de Barros CamargoPr-Reitor de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz Henrique Vieira SilvaPr-Reitor de Infra-Estrutura: Joo Batista FurtuosoPr-Reitor de Assuntos Estudantis: Cludio Jos AmanteCentro de Cincias da Educao: Wilson SchmidtCentro de Cincias Fsicas e Matemticas: Tarciso Antnio GrandiCentro de Filosofa e Cincias Humanas: Roselane NeckelCurso de Licenciatura em Fsica naModalidade DistnciaCoordenao de Curso: Snia Maria S. Corra de Souza CruzCoordenao de Tutoria: Rene B. SanderCoordenao Pedaggica/CED: Roseli Zen CernyCoordenao de Ambientes Virtuais/CFM: Nereu Estanislau BurinComisso EditorialMarcelo Henrique Romano TragtenbergNelson Canzian da SilvaPaulo Jos Sena dos Santos Frederico Firmo de Souza CruzDemtrio Delizoicov NetoJos Andr AngottiSilvia Martini de Holanda JaneschLaboratrio de Novas Tecnologias - LANTEC/CEDCoordenao PedaggicaCoordenao Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen CernyNcleo de Formao: Nilza Godoy GomesNcleo de Pesquisa e Avaliao: Henrique Csar da Silva,David Antonio da Costa Ncleo de Criao e Desenvolvimento de MateriaisDesign GrfcoCoordenao: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha OliveiraProjeto Grfco Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca JuniorRedesenho do Projeto Grfco: Laura Martins Rodrigues,Thiago Rocha OliveiraDiagramao: Thiago Felipe Victorino, Karina SilveiraIlustraes: Kallani Bonelli, Grazielle XavierCapa: ngelo Bortolini SilveiraDesign InstrucionalCoordenao: Elizandro Maurcio BrickDesign Instrucional: Rodrigo Machado CardosoReviso do Design Instrucional: Luiz Gustavo da SilvaReviso Gramatical: Renata de Almeida, Evillyn Kjellin,Tony Roberson de Mello RodriguesCopyright 2011, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSCNenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Coordenao Acadmica do Curso de Licenciatura em Fsica na Modalidade Distncia.Ficha Catalogrfca B392fBechtold, Ivan Helmuth Fsica bsica C-II / Ivan Helmuth Bechtold, Nilton da SilvaBranco. 2. ed. Florianpolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. 186 p. : il. Inclui bibliografa UFSC. Licenciatura em Fsica na Modalidade Distncia ISBN 978-85-8030-009-3 1. Fsica bsica. 2. Fluidos. 3. Termodinmica. I. Branco, Nilton da Silva. II. Ttulo. CDU: 53 Catalogao na fonte pela Biblioteca Universitria da UFSCSumrioApresentao ............................................................................. 91. Esttica dos Fluidos ............................................................ 111.1 Propriedades dos fuidos ........................................................... 131.2 Presso num fuido .................................................................... 151.3 Variao de presso em um fuido em repouso ..................... 191.4 Aplicaes .................................................................................... 241.4.1 Princpio de Pascal ............................................................. 241.4.2 Vasos comunicantes ........................................................... 271.4.3 Medidas de presso ........................................................... 291.4.4 Empuxo: Princpio de Arquimedes ................................. 30Resumo .............................................................................................. 35Exerccios ........................................................................................... 36Bibliografa bsica ............................................................................ 38Bibliografa complementar comentada ......................................... 382. Dinmica dos Fluidos ........................................................ 412.1 Introduo ................................................................................... 432.2 Conservao da massa: equao de continuidade ................ 452.3 Conservao da energia: equao de Bernoulli ..................... 492.4 Viscosidade ................................................................................. 56Resumo .............................................................................................. 60Questes ............................................................................................ 60Problemas ...........................................................................................61Bibliografa bsica ............................................................................ 62Bibliografa complementar comentada ......................................... 623. Temperatura e Calor........................................................... 633.1 Introduo ................................................................................... 653.2 Temperatura ................................................................................ 663.2.1 Escalas de temperatura ..................................................... 673.3 Expanso trmica ....................................................................... 683.4 Calor ............................................................................................. 723.4.1 Capacidade trmica e calor especfco ............................. 723.4.2 Transio de fase e calor latente ....................................... 773.5 Transferncia de energia trmica ............................................. 793.5.1 Condutividade trmica ...................................................... 81Resumo .............................................................................................. 85Questes ............................................................................................ 87Bibliografa bsica ............................................................................ 89Bibliografa complementar comentada ......................................... 904. Primeira Lei da Termodinmica ...................................... 914.1 Introduo ................................................................................... 934.2 Equivalente mecnico de caloria .............................................. 944.3 Trabalho adiabtico .................................................................... 954.3.1 Anlise grfca .................................................................... 984.4 Transferncia de calor .............................................................. 1004.5 Primeira lei da termodinmica .............................................. 1004.6 Processos reversveis ................................................................1014.7 Aplicao em processos termodinmicos ............................. 1044.7.1 Processo adiabtico .......................................................... 1044.7.2 Processo isocrico ............................................................ 1044.7.3 Processo isobrico ............................................................ 1054.7.4 Processo isotrmico .......................................................... 1064.7.5 Processo cclico ................................................................. 1064.8 Gs ideal .................................................................................... 1094.8.1 Energia interna de um gs ideal .....................................1124.8.2 Capacidade trmica de um gs ideal .............................1134.8.3 Processo adiabtico de um gs ideal ..............................116Resumo ............................................................................................ 122Exerccios ......................................................................................... 123Bibliografa bsica .......................................................................... 127Bibliografa complementar comentada ....................................... 1275. Teoria Cintica dos Gases ............................................... 1295.1 Introduo ..................................................................................1315.2 Modelo de gs ideal ..................................................................1315.3 Presso...................................................................................... 1345.4 Temperatura: interpretao cintica ...................................... 1385.5 Fluido de Van der Waals ......................................................... 139Resumo ............................................................................................ 144Questes ...........................................................................................145Problemas .........................................................................................145Bibliografa bsica ...........................................................................1466. Segunda Lei da Termodinmica e Entropia ................ 1476.1 Introduo ..................................................................................1496.2 Segunda Lei da Termodinmica:enunciados de Clausius e Kelvin ............................................1516.3 Motor trmico e refrigerador .................................................. 1556.3.1 Motor trmico ................................................................... 1556.3.2 Refrigerador .......................................................................1576.4 Equivalncia dos enunciados de Kelvin e Clausius ............ 1586.4.1 O enunciado de Kelvin leva ao de Clausius ................. 1586.4.2 O enunciado de Clausius leva ao de Kelvin ................. 1596.5 Ciclo de Carnot ..........................................................................1606.6 A escala termodinmica de temperatura ............................. 1656.7 Exemplos de mquinas trmicas.............................................1666.7.1 Refrigerador domstico .....................................................1666.7.2 Bomba de calor ..................................................................1676.7.3 Ciclo Otto ............................................................................1676.7.4 Ciclo Diesel .........................................................................1696.8 Teorema de Clausius ................................................................ 1716.9 Entropia ..................................................................................... 1726.9.1 Entropia e processos reversveis ..................................... 1726.9.2 Entropia e processos irreversveis.................................. 1756.9.3 O princpio do aumento da entropia ..............................178Resumo ............................................................................................ 183Questes .......................................................................................... 183Problemas ........................................................................................ 184Bibliografa bsica .......................................................................... 186ApresentaoEste livro contempla de forma simples e direta os contedos per-tencentes s reas de teoria dos fuidos e termodinmica. Ao lon-godostextosasdiscussesrelacionamosfenmenosfsicosa situaes prticas, com o intuito de facilitar o entendimento por parte dos estudantes.Iniciamos esta disciplina com o estudo da esttica dos fuidos no Captulo1:nessecontextoconsideramosfuidosemequilbrio, ondepropriedadescomopressoeempuxosodiscutidasem detalhes.No Captulo 2 veremos uma introduo dinmica dos fuidos, ondefuidosidealizadosemmovimentossimplesseroestuda-dos. Apesar da simplicidade dos modelos tratados, as aplicaes so vrias, desde o escoamento de fuidos em encanamentos at a sustentao de avies.Dando seqncia ao contedo, iniciamos o estudo das proprieda-des trmicas da matria no Captulo 3, que discute os fenmenos relacionadoscomtemperaturaecaloreondeabordamosases-calastrmicas,osefeitosdedilataotrmicaeosprocessosde transferncia de calor. No Captulo 4 apresentada a primeira lei da termodinmica, a qual baseada nos conceitos de conservao de energia, sendo o calor e o trabalho as formas de energia transferidas entre os sis-temas considerados. Essa lei aplicada a diversos processos ter-modinmicos e dada uma nfase importncia dos processos reversveis na determinao dos parmetros citados acima. Nesse Captulo tambm introduzido o conceito de gs ideal, bem como as condies em que observado.No Captulo 5 apresentamos a Teoria Cintica dos Gases, a qual se prope a dar uma interpretao microscpica s leis termodin-micas estudadas nos Captulos anteriores. Assim, estabelecemos a presso e a temperatura como mdias de grandezas microsc-picas. Veremos ainda um modelo de gs que vai alm daquele de gs ideal, o chamado gs de Van der Waals.Finalmente, no Captulo 6 ser estudada a Segunda Lei da Termo-dinmica,nosseusvriosenunciados.Discutiremosmquinas trmicas(motoreserefrigeradores),ciclostermodinmicos-es-pecialmente o de Carnot, que permite a defnio de uma escala termodinmica de temperatura - e um conceito importante e de-licado em Termodinmica, o de entropia.Ivan Helmuth Bechtold Nilton da Silva BrancoCaptulo 1Esttica dos FluidosCaptulo 1Esttica dos FluidosNeste Captulo, iremos estudar as propriedades de fuidos emequilbrio.Vamosanalisarconceitosbsicosdedensi-dade,presso,empuxoetensosuperfcial.Aofnaldes-te estudo voc dever ser capaz de: aplicar os conceitos de presso,entenderoPrincpiodePascaleoproblemados vasos comunicantes; defnir densidade e explicar o empuxo sobreoscorpos(porexemplo,sobrebarcosebalesdear quente) mediante o princpio de Arquimedes; resolver pro-blemas envolvendo variaes de presso e problemas com foras de empuxo sobre corpos futuantes e imersos. 1.1 Propriedades dos fuidosUsualmente,costumamosclassifcaramatriaemslidos,lquidos e gases. Um corpo slido tem geralmente volume e forma bem de-fnidos,quessealteram(geralmentepouco)emrespostaaforas externas. Uma das principais propriedades dos lquidos e gases o escoamento,porissoambossodenominadosfuidos.Oslquidos tmvolumebemdefnidos,masnoaforma,sendoqueovolume amolda ao recipiente que o contm. J os gases no apresentam nem formanemvolumebemdefnidos,expandindoatocupartodoo volume do recipiente que os contm. Em alguns casos, a separao entre slidos e fuidos no bem defnida; o caso de fuidos como o vidro quente e o piche: eles escoam to lentamente que se comportam como slidos nos intervalos de tempo que trabalhamos com eles.Oplasma,caracterizadocomoumgsaltamenteioniza-do,frequentementechamadodeoquartoestadoda matria,emmeiostrsclassesdeestadojexistentes14(slido, lquido e gasoso). Alm disso, existem os materiais que se enquadram na chamada matria condensada mole, osquaisapresentamumagrandevariedadedeformase cujasprincipaiscaractersticasso:elasticidade,interaes fracas entre os elementos estruturais, grande variedade de grausinternosdeliberdadeetc.Algunsexemplosso:ar-gila,sistemasgranularescomoaareia,polmeroscomoa borrachaeoplstico,espuma,sistemascoloidaisemicro-emulses (maionese), membranas e outros materiais biol-gicos, gis, cristais lquidos (para saber mais sobre matria condensada mole, consulte o artigo da Revista Brasileira de Ensino de Fsica, que pode ser obtido no endereo: )etc.Osestudos nessarearenderamoPrmioNobeldefsicade1991a Pierre-Gilles de Gennes. Para uma defnio mais precisa de slidos e fuidos, preciso classi-fcar os diferentes tipos de foras que atuam sobre eles. Essas foras so geralmente proporcionais rea de um elemento de superfcie (que pode ser interna ou externa ao meio) sobre o qual esto sendo aplicadas.Aforaporunidadedereadefnidacomotenso:as tensespodemsernormaisoutangenciaisssuperfciessobreas quais atuam, veja a Figura 1.1 abaixo:mTmTmT1T2ColaA B CFigura 1.1 (a) e (b) so exemplos de tenses normais sobre o teto esobre o solo, respectivamente, e (c) um exemplo de tenses tangenciais sobreas superfcies laterais adjacentes ao corpo de massa m.15Na Figura 1.1, (a) e (b) so exemplos de tenses normais. Em (a) um bloco de massam puxa o fo que exerce uma tenso T num elemen-to de superfcie do teto, tambm chamada de trao. Em (b) o bloco est sobre o cho e exerce diretamente uma tensoT sobre um ele-mento de superfcie deste, chamada de presso. Na Figura 1.1, em (c),oblocoestcoladoentreduasparedese,comosepodenotar, exerce as tenses 1T e 2T sobre as superfcies de cola que aparecem paralelassparedes.Esseumexemplodetensestangenciais, tambm chamadas de tenses de cisalhamento.A diferena fundamental entre slidos e fuidos est na forma com que estes respondem s tenses tangenciais sobre si. No caso de um slido,aforaexternapodedeformarumpoucoasuaestrutura, atqueseatinjaoequilbriocomastensestangenciaisinternas e o corpo permanea em repouso. Se a fora externa no for muito grande e o slido voltar condio inicial depois dela ser retirada, a deformao dita elstica. Essas deformaes, em geral, so muito menores que as dimenses do corpo slido. Um fuido no consegue equilibrar uma fora externa tangencial (por menor que seja), o resultado disso o escoamento. Fisicamente esse fenmeno est relacionado com o deslizamento relativo entre as part-culas constituintes do fuido. A resistncia a esse deslizamento cha-mada de viscosidade e ser vista no Captulo seguinte.Lembrando de (c) na Figura 1.1, enquanto a cola estiver fuida ela es-coa ao longo das paredes devido ao da gravidade; apenas depois de solidifcada ela consegue equilibrar as foras tangenciais exerci-das pelo bloco.1.2 Presso num fuidoComumentevamosnosreferiraelementosdevolumenumfuido V x y z = , onde suas dimenses, , x y z devem ser muito me-nores que as distncias macroscpicas (ex.: a medida de uma caixa) e ao mesmo tempo muito maiores que as distncias interatmicas. Essa proposio necessria para queV contenha um grande n-merodetomoseasfutuaesnaspropriedadesdofuidosejam desprezveis, resultando na condio de continuidade do fuido. No caso de um pneu de automvel ou bicicleta, a presso interna do pneu est relacionada com as colises das molculas de ar com a superfcie interna (mais detalhes no Cap-tulo 5), mas existe ainda a presso atmosfrica na superfcie externa do pneu (que igual a 1 atm quando prximo ao nvel do mar). A presso medida com um calibrador equivale diferena entre as presses interna e externa, diferena essa que compensada pela elasticidade do material de que feito o pneu. Um fuido se comporta como um meio contnuo porque, na escala macroscpica, suas propriedades variam continuamente de um ponto para outro. 16Vamos imaginar uma quantidade de fuido com massam fechada em um elemento de volumeV . Podemos ento defnir a densidade do fuido nessa regio como: 0limVm dmV dVr = = .(1.1)ondeolimite0 V nessaexpressosignifcaqueV um infnitsimo fsico, portanto a densidade pode variar continuamente na escala macroscpica. A unidade de densidade no Sistema Inter-nacional de medidas (SI) 3Kgm. Na Tabela 1.1, apresentamos alguns valores de densidades de algumas substncias.SubstnciaDensidade Hidrognio a 0C e 1atm 9,0 10-2Ar: 0C e 1atm100C e 1atm0C e 50atm1,290,956,50Isopor 1,0 102Petrleo (valor mdio) 8,0 102Gelo 9,2 102gua: 0C e 1atm100C e 1atm0C e 50atm1,000 1030,958 1031,002 103Sangue 1,06 103Glicerina 1,26 103Alumnio 2,7 103Ferro, Ao 7,8 103Prata 1,05 104Mercrio 1,36 104Ouro 1,93 104Platina 2,14 104Tabela 1.1 Densidades de algumas substnciasUm fuido est em equilbrio quando o resultado da soma das for-as que agem em cada poro do fuido igual a zero. Essas foras podem ser divididas em volumtricas e superfciais. Um exemplo de foras volumtricas a fora gravitacional, a qual de longo alcance e atua em todos os elementos do fuido, sendo dada porF mg = , Infnitsimo fsicoUm elemento infnitesimal defnidocomosendomuito pequeno,pormmaiorque zero.17onde e representa a massa de um elemento de fuido. Te-mos ento: .(1.2) ondeg a acelerao da gravidade.Como discutimos anteriormente, os fuidos escoam quando submeti-dos a foras tangenciais superfcie, por isso a fora superfcial deve ser sempre perpendicular superfcie para um fuido em repouso.AforasuperfcialF dofuidosobreumelementodesuperfcie S proporcionalreadesseelemento.convenienteentode-fnir a pressoPcomo o nmero que mede a fora por unidade de rea. Na Figura 1.2 a seguir, nrepresenta um vetor unitrio normal aS , onde convencionamos que naponta sempre para fora de uma superfcie fechada. Dessa forma, podemos escrever: F P Sn = . (1.3) ondeF e n tmamesmadireoesentido,portantoapresso pode ser escrita como:FPS=. (1.4)Tomando o limite onde o elemento de rea tende a zero, obtemos a seguinte equao diferencial para P:0limSF dFPS dS = =. (1.5)S SF ^nFigura 1.2 Representao esquemtica de um elemento de superfcie S(parte de uma superfcie S), indicando o sentido da fora sobre S, bem comoo vetor unitrio nnormal superfcie em S.As foras superfciais ocorrem em uma dada poro do meio limitada por uma superfcie. Por exemplo: a fora que a gua exerce na superfcie interna de um copo.18Em geral, a presso pode variar de um ponto a outro da superfcie, o que vem do fato dela depender diretamente da fora aplicada no pontoemquesto.SendoAareadeumasuperfcieeF afora resultante sobre ela, a presso pode ser escrita como:FPA= .(1.6) importante notar que a presso uma grandeza escalar, ouseja,nodependede.Oquedeterminaadireoda fora a orientao da superfcie, ou seja,.AunidadedepressonoSIoPascal,abreviaturaPa,sendoque 21Pa 1N/m = . H outras unidades bastante comuns como: atmosfera (51atm 1, 013 10Pa = ) e mmHg (1atm 760mmHg = ).Exemplo1.Calculeamassaeopesodoarnointeriordeuma sala contendo2,0m de altura e um piso com rea de3,0m 4,0m . Quais seriam a massa e o peso do mesmo volume de gua? Encon-tre ainda a fora total sobre o piso dessa sala exercida de cima para baixo pela presso do ar.Soluo: Na tabela 1.1, encontramos os valores da densidade da gua edoar(vamosconsideraradensidadedoariguala 31,2Kg/m na temperatura ambiente). Ovolumedasala 3(2,0m)(3,0m)(4,0m) 24m V = = ,portantoa massa do ar pode ser obtida pela equao abaixo, partindo da equa-o 1.1:3 3(1, 2Kg/m)(24m) 28, 8Kgar arm V = = = .O peso do ar dado em Newtons:(28, 8Kg)(9,8N/Kg) 282,2Nar arw m g = = = .Aprincpiosurpreendentequeopesodeumvolumetogran-dedearsejaigualaodeumacrianadeaproximadamente30Kg , masagorafaaasmesmascontasconsiderandoaguanolugardo arevocvaiencontrarqueamassadomesmovolumedegua 324 10Kgguam = e consequentemente seu peso 423, 5 10Nguaw = .Em homenagem ao cientista e flsofo francs Blaise Pascal (1623-1662).19A presso de 1atm (quando prximo ao nvel do mar) sobre o piso de rea 2(3,0m)(4,0m) 12m A = = produzumaforatotaldecimapara baixo que dada pela equao abaixo, a partir da equao 1.6:5 2 2 5(1, 013 10N/m)(12m) 12 10N F PA = = .Essaforaequivalenteaopesodeaproximadamente120tonela-dasdegua.Assim,comoopisosuportaumpesotogrande?A respostaqueexisteumaforademesmamagnitudeapontando de baixo pra cima sobre o piso, da mesma maneira como um livro fca parado sobre uma mesa: seu peso est atuando para baixo, mas existe uma fora que atua de baixo para cima. E no caso de ser o piso de um apartamento no segundo andar? A precisamos lembrar que o apartamento de baixo tambm est preenchido de ar, e que esse ar produz uma fora igual de baixo para cima no piso.1.3 Variao de presso em um fuido em repousoVamos considerar um pequeno elemento de um fuido, situado no interior deste e, alm disso, supor que esse elemento tem forma de disco com pequena espessura e est situado a uma distncia de re-ferncia z, como mostra a Figura 1.3. APzz = 0dz APFigura 1.320A espessura do disco dz e cada face tem uma reaA. Partindo da equao 1.1, podemos escrever a massa desse elemento como:dm dV Adz = = . (1.7)Asforassuperfciaisatuandonoelementodevolumeprovmdo fuido que a este rodeia e so perpendiculares a sua superfcie em todosospontos.Aresultantedasforasnoseixoshorizontais nula, pois o elemento no tem acelerao ao longo desses eixos. As foras horizontais so devidas apenas s presses do fuido e, por simetria, a presso deve ser a mesma em todos os pontos do plano horizontal com altura z.Oelementodefuidotambmnotemaceleraonadireover-tical, logo a resultante das foras que agem nessa direo tambm nula;entretantoasforasverticaisnoprovmunicamentedas pressesnasfacesdodisco,masexistetambmumacontribuio do seu peso. Sendo P a presso na face inferior eP P dP = +a pres-so na face superior, a condio de equilbrio obtida observando que a fora sobre a face superior mais o peso do elemento de fuido igual fora sobre a face inferior do elemento, que escrita a partir da equao 1.6:( ) PA P dP A dw = + + . (1.8)ondedw Agdz = opesodoelementodevolume,eapontapara baixo.Desenvolvendo a equao 1.8, temos:( ) PA P dP A Agdz = + + ,AdP A gdz = ,logo, dPgdz = . (1.9)A equao 1.9 mostra que a presso no fuido varia com a altura em relao a um certo referencial. Essa variao de presso equivale ao peso por unidade de volume do elemento de fuido compreendido 21entre os pontos onde ocorre a variao de presso (lado direito da equao anterior).Se 1P a presso na altura 1ze 2P a presso na altura 2z , acima de um nvel de referncia, a integrao da equao 1.9 fornece:2 21 1P zP zdP gdz = ou . (1.10)A equao 1.10 foi obtida considerando e g constantes de 1za z2. Para lquidos, a densidade varia muito pouco, portanto, com boa aproximao,podemostratarumlquidocomoincompressvelna esttica dos fuidos, ou seja, = constante. Em geral, as diferenas de nvel no so muito grandes para que seja necessrio considerar as variaes de g, por isso a aproximao g = constante tambm consistente.A superfcie livre de um lquido em contato com a atmosfera uma superfcieondeapressoconstante,poistodososseuspontos estosubmetidospressoatmosfrica 0P .Essevaloromesmo paratodasassuperfcieslivresemlquidosnavizinhananuma mesmaaltitude.Assim,convenientedefniressasuperfcielivre como sendo o nvel natural de referncia, e ento podemos escrever 2 0P cte P = = .Consideremos 1z umnvelarbitrrioequeapresso nessa altura dada porP . Logo:0 2 1( ) P P g z z = ,mas 2 1z z representa uma profundidadehabaixo da superfcie li-vre, onde a presso P (veja a Figura 1.4), ento temos que:0P P gh = + .(1.11)A equao 1.11 conhecida como Lei de Stevin e diz que a presso no interior de um fuido aumenta linearmente com a profundidade. Alm disso, ela mostra claramente que a presso a mesma em to-dos os pontos de mesma profundidade. Uma consequncia impor-A densidade da gua, por exemplo, aumenta aproximadamente 0,5% quando a presso varia de 1atm a 100atm em temperatura ambiente.22tante que a presso no depende do volume do fuido; a presso da gua a 1m abaixo da superfcie de uma piscina igual presso da gua a 1m abaixo da superfcie da Lagoa dos Patos (RS), conside-rando que ambas esto na mesma altitude e esto preenchidas com o mesmo lquido.1P P =2z1z2 1z z h =Figura 1.4 Lquido confnado num recipiente, onde asuperfcie superior est aberta para a atmosfera.Um exemplo da aplicao da equao 1.11 ocorre na construo de represas ou barragens: a base projetada mais larga que a parte su-perior e isso se deve ao fato que a presso da gua no fundo maior que na superfcie.Para os gases, bem menor que para os lquidos (ver tabela 1.1), por isso a diferena de presso entre dois pontos nas proximidades da superfcie da Terra desprezvel. No entanto, se o resultado de 2 1z z h =for muito grande, poder haver uma diferena de presso entre as duas extremidades do objeto (o que no ocorrer quando o hformuitopequeno):sabemosqueapressodoarvariabastante quando subimos a grandes altitudes na atmosfera terrestre. Nesses casos, onde a densidade varia com a altitude, precisamos conhecer a funo que relaciona comz,( ) z , antes de fazermos a integral que resultou na equao 1.10. Exemplo 2. Achar a presso a 10m de profundidade, abaixo da su-perfcie de um lago, quando a presso na superfcie for de 1atm.A presso atmosfrica est relacionada com o peso da coluna de ar acima da superfcie da Terra. O peso de uma coluna de ar com rea de 21cm aproximadamente 10 N, resultando numa presso de 51, 013 10Pa .23Soluo: Para resolver esse problema, vamos utilizar a equao 1.11, 0p p gh = + .Sendo: 5 201atm 1, 013 10 N/m p = = , 31000Kg/m = e 9, 8N/Kg g = , temos:5 2 31, 013 10 N/m (1000Kg/m)(9, 8N/Kg)(10m) p = +3 2199, 3 10N/m 1, 97atm p = = .Ou seja, a 10m de profundidade, a presso quase o dobro da pres-so na superfcie do lago, por isso dito que cada 10m de diferena de profundidade na gua corresponde a 1atm de presso.Exemplo 3. Uma represa retangular, de 50 m de largura, suporta uma massa de gua com 20 m de profundidade (veja o esquema na Figura 1.5 abaixo). Calcule a fora horizontal total que age sobre a represa.H = 20 mL = 50 mdA = LdhFigura 1.5 Represa retangular indicada no exemplo 3.Soluo:Pelofatodapressovariarcomaprofundidade,nopo-demos simplesmente multiplicar a presso pela rea da represa para encontraraforaexercidapelagua.Pararesolveroproblema, necessrio integrar os elementos de fora sobre os elementos de su-perfcieemdiferentesalturasdh ,dabaseatonvelsuperiorda gua, ou seja, de0 h =at20m h H = = . A presso da gua numa determinadaprofundidadeh dadapelaequao1.11,mas,nesse caso,noprecisamosconsiderarapressoatmosfrica 0p ,poisela age nos dois lados da parede da represa. O elemento de fora ento escrito como:ondedA Ldh = , sendo queL a largura da represa. A fora obtida atravs da integral:24220 0 012 2Hh H HhhF dF gLhdh gL gLH === = = = .Substituindo os valores, obtemos:3 2 71(1000Kg/m)(9, 8N/Kg)(50m)(20m) 9, 8 10N2F = = .1.4 AplicaesA seguir sero estudadas as aplicaes dos fundamentos apresenta-dos anteriormente.1.4.1 Princpio de PascalPela Lei de Stevin (equao 1.11), a diferena de presso entre dois pontos de um fuido em equilbrio constante, dependendo apenas do desnvel entre estes pontos. Assim, se produzirmos uma diferen-a de presso num ponto de um fuido em equilbrio, essa variao setransmitiratodosospontos.Oresultadoprticodissoque todos os pontos do fuido sofrem a mesma variao de presso. Esse princpio foi enunciado por Pascal em seu Tratado sobre o equil-brio dos lquidos e conhecido como Princpio de Pascal.Uma aplicao prtica disso o macaco hidrulico utilizado nas ofcinas mec-nicasparalevantarcarros(veresque-ma da Figura 1.6). A ideia bsica que, quando o pisto da esquerda baixado pelaaplicaodeumaforaf ,oau-mentodapressotransmitidopara todosospontosdofuido(emgeral leo),inclusivenaoutraextremidade onde existe um pisto com reaA bem maior que a rea a do primeiro. Como apressonosdoispistesamesma, pois esto no mesmo nvel, a fora para cima no pisto da direitaF ser maior que a foraf . daAFDfFigura 1.6 Esquema de um macaco hidrulico. Uma pequena fora aplicada num pisto pequeno produz uma grande fora para movimentar um pisto grande.25Paraobtermosarelaoentreasforas feF ,consideramosa igualdade da presso no pisto da esquerda (eP ) com a presso no pisto da direita (dP ), e dP P = , logo:f Fa A=ento:AF fa= . (1.12)Ou seja, a foraf aumentada pela razo entre as reas. Sendode D as distncias de deslocamento dos pistes da esquerda e direita, respectivamente, e considerando o fuido incompressvel, o volume deslocadopelopistodaesquerda( )eV ad = deveserigualaovo-lumedeslocadopelopistodadireita( )dV AD = ,entoobtemosa seguinte relao entre as distncias:ad AD = . Utilizando a equao 1.12,encontramosumarelaoentreasforaseasdistnciasnos dois pistes:. fd FD = (1.13)Aequao1.13pareceindicarqueotrabalhorealizadopelafora externanopistodaesquerdaigualaotrabalhorealizadopelo fuido no pisto da direita. No entanto importante lembrar que a equao 1.13 obtida considerando a igualdade entre as presses na equao 1.12, ou seja, isso vlido apenas quando ambos os pistes esto na mesma altura. Dessa forma, a equao 1.13 passa a ser uma boa aproximao para deslocamentos infnitesimais dos pistes. Para deslocamentos maiores, que produzem uma diferena de altura entre o pisto da esquerda e o da direita, estando este ltimo mais elevado, necessrio considerar tambm a presso devido ao peso da coluna do fuido no pisto da di-reita, ou seja:. O resultado prtico disso que a fora no pisto da esquerda tem que ser um pouco maior que a dada pela equao 1.12, pois precisa empurrar a colu-na do fuido, alm disso essa fora precisa ser maior com o aumento da altura. Nesse caso, vemos que a equao 1.13 no satisfeita, ou seja, o trabalho devido ao deslocamento26dos dois pistes no o mesmo. Esse fato merece uma aten-o especial, pois alguns livros de fsica bsica no tratam desse problema.Exemplo 4. O pisto grande de um macaco hidrulico tem 40 cm de dimetro. Que fora deve ser aplicada ao pisto pequeno, de 8 cm de dimetro, para elevar uma massa (m = 1.800 Kg), que inclui a massa do carro mais a plataforma que o sustenta, a uma altura de 1,5 m?Soluo:Paravisualizarasituao,observeaFigura1.6.Afmde resolver o problema, vamos inicialmente utilizar a equao 1.12, que relacionaasforasnosdoispisteseasreasdestes.Oobjetivo determinar a forafa ser exercida no pisto pequeno para elevar o carro no pisto grande, cuja foraF mg = . Inicialmente, precisamos determinar as reas dos pistes:2(4cm) a = e2(20cm) A = Ento:22(4cm)(1.800Kg)(9, 8N/Kg) 705, 6 N.(20cm)af mgA= = =Uma fora de705, 6 N equivale ao peso de uma pessoa de72Kg .Esse resultado obtido considerando a igualdade das presses entre os dois pistes durante todo o processo, o que na prtica no ocorre porque o pisto da direita precisa subir para elevar o carro. Conside-rando que o pisto da esquerda permanea no nvel do solo e o da direita se eleve a uma altura1, 5m h = , sabemos que ser necessria umaforaf f > devidoaopesodacolunadefuidoasereleva-da no pisto da direita. O valor def aumenta com o aumento da altura,sendomximonaalturamxima1, 5m h = .Nessasituao, vamos calcular ento o valor mximo dessa fora, considerando que os pistes esto preenchidos com leo cuja densidade volumtrica aproximadamente 3820Kg/m . Nesse caso, a equao 1.12 se torna:f Fgha A= +ou seja, .af mg a ghA = +27Assim:2 3705, 6 N (0, 04m)(820Kg/m)(9, 8N/Kg)(1, 5m)705, 6 N 60, 6 N 766, 2 N.ff = + = + =Nessa situao, a fora mxima (a ser aplicada no pisto da esquer-da),paraelevarocarroaumaalturade1, 5mdosolo,precisaser incrementada de60, 6 N , que equivale a um aumento de8,6% em relao situao de equilbrio das presses.1.4.2 Vasos comunicantesA equao 1.11 d a relao entre as presses em dois pontos quais-quer de um fuido, independentemente da forma do recipiente que o contm. Portanto, se um recipiente formado por diversos ramos que comunicam entre si e possuem as superfcies livres (ver exemplo (a) na Figura 1.7 a seguir), o lquido sobe mesma altura h em todos os ramos. Note que, nesse caso, o fuido tambm tem a mesma presso em quaisquer pontos dos diferentes ramos que estejam mesma al-tura z. Esse conhecido como o Princpio dos Vasos Comunicantes. Bp0h2h112p0AC Chz A Ap0p0p0Superfcie deseparaozA BFigura 1.7 (a) Vasos comunicantes e (b) dois lquidos imiscveis comdensidades diferentes em um vaso com forma de U.Agora, se compararmos os dois vasos externos no exemplo (a) da Fi-gura 1.7, primeira vista, seramos induzidos a pensar que a presso do lquido maior na base do vaso da esquerda que na base do vaso da direita (apesar de ambos possurem a mesma rea A). Essa intui-o deve ao fato que, se os dois vasos fossem independentes e pesa-dos em separado, o vaso da esquerda acusaria um peso maior, pois existe um volume de gua maior nesse vaso. Se isso fosse verdade, a 28altura da coluna de gua deveria ser maior no vaso da direita, o que no observado experimentalmente. Esse conhecido como o pa-radoxo hidrosttico. A explicao para essa situao resulta do fato quenovasodaesquerdaaresultantedasforasprovenientesdas pressesqueatuamsobreassuperfcieslateraistmumacompo-nente para baixo, a qual gera uma reao das paredes do vaso com umacomponenteparacimaquetendeacontrabalanarpartedo peso do lquido. No caso do vaso da direita, as foras de reao pro-venientesdaspressesdasparedesverticaissohorizontais,logo elasnotmcomponentevertical(observeassetasindicativasno exemplo (a) da Figura 1.7). O mesmo raciocnio vlido para o tubo do meio, com forma curvada, se a rea da base for a mesma que a dos tubos laterais.Consideremos agora um tubo em forma de U que contm dois lqui-dos imiscveis com densidades diferentes; por exemplo, um lquido mais denso no ramo da direita (1 ) e um menos denso no ramo da esquerda (2 ). A presso pode ser diferente num mesmo nvel dos doisramosdotubo.Essasituaoestilustradapeloexemplo(b) da Figura 1.7, onde se pode ver que a superfcie do lquido mais alta no ramo da esquerda que no da direita. A presso emCeCamesmaemambososlados,osquaisestomesmaalturaz . No entanto, a presso diminui menos deCparaA que deCpara B , porque acoluna do lquidodo lado esquerdo pesamenos que a coluna do lquido do lado direito. Assim, a presso no pontoA devesermaiorquenopontoB.SeP apressoemC eC ,da equao 1.11 temos:0 1 1 0 2 2P P gh P gh = + = + ,de modo que:1 22 1hh= . (1.14)Atravs da expresso 1.14 acima, podemos determinar a relao entre as densidades de dois lquidos imiscveis a partir da medida das altu-ras das colunas de cada lquido em relao superfcie de separao entre eles.291.4.3 Medidas de pressoPodemosusarofatodeadiferenadepressoserproporcional profundidade de um lquido para medir presses desconhecidas. Na Figura1.8aseguir,apresentamosummodelosimplesdemedidor de presso, chamado de manmetro de tubo aberto. Nesse disposi-tivo, um lado fca aberto presso atmosfrica 0P , enquanto a outra extremidadefcaemcontatocomapressoPaqualdesejamedir (essaextremidadepodeestarconectadaaqualquersistema,como exemplo estufas e cilindros de gs). A diferena 0P P chamada de presso manomtrica e, de acordo com a equao 1.11, igual agh , onde a densidade do lquido no tubo. Dessa forma, conhecendo a presso atmosfrica e a densidade do lquido, podemos determi-nar a presso absolutaP .Ph1h2P0hFigura 1.8 Manmetro de tubo aberto para a medio de uma presso desconhecida.Outrotipocomumdemanmetroobarmetrodemercrio,uti-lizadopelaprimeiravezemmeadosdosculoXVIIparamedira presso atmosfrica. Ele consiste de um longo tubo de vidro (apro-ximadamente 1m), fechado em uma extremidade, previamente pre-enchido com mercrio e posteriormente invertido em um recipiente contendo a mesma substncia (ver Figura 1.9 ao lado). O lquido que est no tubo tende a descer, mas impedido pela presso atmosfri-ca atuando na superfcie do lquido que est no recipiente, mantendo assim uma coluna de mercrio dentro do tubo. O espao que se for-ma acima da coluna contm apenas vapor de mercrio, e sua presso muito pequena, podendo ser desprezada, de modo que a presso nesse volume considerada nula. Assim, o barmetro de mercrio Figura 1.9 Barmetro de mercrio, utilizado para medir a presso atmosfrica P0.P0P0hP 0A presso manomtrica justamente aquela presso medida para o pneu de seu automvel no posto de gasolina. 30mede a presso atmosfrica diretamente a partir da altura da coluna de mercrio. Ao nvel do mar, a altura da coluna de aproximada-mente 76 cm, sendo essa uma outra unidade de medida de presso: 76 cmHg = 1 atm; no alto de uma montanha, essa altura pode dimi-nuir em at8cm, indicando a diminuio da presso externa.1.4.4 Empuxo: Princpio de ArquimedesUma percepo familiar a todos ns que um corpo imerso na gua parece apresentar um peso menor que quando est no ar. Alm dis-so,sabemosqueumcorpofutuaquandosuadensidademenor que a do lquido. Aparentemente, parece existir uma fora que ajuda asustentaroscorposdentrodeumlquido;essaforarealmente existe e denominada de fora de empuxo. Vamos imaginar um corpo slido cilndrico, de reaA na base e de alturah , totalmente imerso e em equilbrio dentro de um recipiente contendo um fuido com densidade . A condio de equilbrio re-quer que a somatria de todas as foras sobre esse corpo seja nula. Como ilustrado na Figura 1.10 a seguir, vemos por simetria que as foras sobre a superfcie lateral do cilindro se cancelam, pois num mesmo eixo horizontal tm a mesma magnitude (que o caso das presses, P Pe, P P nafgura),entretantoapresso 2P exercida pelofuidosobreabaseinferiormaiorqueapresso 1P sobrea base superior. Pela equao 1.11, temos:2 1P P gh = . (1.15)Logo, a resultante das foras superfciais exercidas pelo fuido sobre o cilindro ser a fora de empuxo . E E z =, que dirigida para cima, onde:2 1E P A PA ghA = = .(1.16)Como a altura multiplicada pela rea d o volume (hA V = ) e a den-sidade multiplicada pelo volume d a massa (V m = ), temos que o empuxo dado por:fluidoE mgz w = = . (1.17)31Ouseja,oempuxoigualaopesodaporodefuidodeslocada (fluidow ), com o sinal invertido.hA P 1P P PP2PFigura 1.10 Presses do lquido atuando sobre um cilindro slido imerso num fuido.Diante disso, como ento o cilindro fca em equilbrio no fuido se existe uma resultante sobre ele de baixo para cima? Precisamos lem-brar que, alm do empuxo, atua sobre o slido uma outra fora vo-lumtrica que a fora peso ( w), aplicada no centro de gravidade; essa fora que contrabalana o empuxo. No entanto, o equilbrio s acontece se as densidades do slido e do lquido forem as mesmas. Quando a densidade mdia do slido for menor que a do fuido, ele nopodefcartotalmentesubmerso,poisE w >.Oslidofcar ento futuando, com o empuxo, devido poro submersa equili-brando o seu peso. Como exemplo podemos citar os icebergs que futuamcomapenas11%doseuvolumeforadagua;issoocorre porqueadensidadedogeloaproximadamente90%dadensida-de da gua (ver Exemplo 6 no fnal desta Seo). Por outro lado, se E w ; para afundar, bombeia gua para o interior dos compartimentos at que E w , e um tubo com um fuido de densidade em seu interior acoplado ao encanamento. Note que foi atravs desse procedimento que Torricelli, quando assistente de Galileu, enunciou a frmula que leva seu nome.53Aa12hFigura 2.6 Medidor de Venturi: equipamento usado para medir a velocidade de escoamento de um fuido em um encanamento. A densidade do fuido no encanamento e no tubo .Devido equao de continuidade, temos que:2 1,Av va= (2.14)onde 1v avelocidadedofuidonapartedatubulaocomseo retaA (ponto 1) e 2v a velocidade na parte com seo retaa(pon-to2 ). Desconsiderando a diferena de altura entre os pontos, pode-mos usar a equao de Bernoulli para escrever: 2 22 2 1 11 1.2 2P v P v + = + Aqui 2P apressonoponto2e 1P apressonoponto1.Usan-doaequao2.14eofatodadiferenadepressoserdadapor 1 2P P gh = ,ondehadiferenaentreasalturasdolquidode densidade nos dois lados do tubo, podemos mostrar (faa os cl-culos como exerccio) que: 2 22( )ghv aA a=. (2.14.1)Exemplo 4. Uma outra aplicao importante, usada na medio de velocidadedeavies(quandoacopladasextremidadesdasasas), o chamado tubo de Pitot (este equipamento pode ter apresentado defeito no vo da Air France que caiu, em 2009, quando ia do Rio de Janeiro para Paris). Nessa montagem (veja Figura 2.7 a seguir), uma abertura (ponto A) est em um ponto de acumulao, tal que a velo-cidade nesse ponto seja zero, ou seja, a presso a presso esttica, A eP P = . Na outra abertura no tubo (ponto B), a presso a dinmica Usado para medir a velocidade de um fuido em relao a um avio ou, de forma equivalente, a velocidade de um avio se movendo em um fuido.54e a velocidade do fuido supostamente no perturbvel pela pre-sena do aparato, o que , formalmente, uma aproximao.Tomando0Av = esupondocomodesprezveladiferenadealtu-ra entre os pontosA eB , a equao de Bernoulli pode ser escrita como: 2 21 1,2 2e B e BP P v P P v = + = onde a densidade do fuido externo ao tubo.BhA0BFigura 2.7 Esquema do tubo de Pitot, usado para medir a velocidade de um fuido em relao a um avio ou, de forma equivalente, a velocidade de um avioem relao ao fuido. O pontoA um ponto de acumulao, no qual o fuidoencontra-se em repouso; no pontoB , por outro lado, supe-se que o fuido no tem sua velocidade modifcada pelo aparato. Podemos tambm relacionar a diferena entre as presses ePe BPcom a diferena de altura no tubo, 0,e BP P gh = onde 0 a den-sidade do fuido no interior do tubo. Assim: 2 0012 .2gh v v gh = =Exemplo5.Umprocedimentofeitocomcertafrequn-cianopassado,pararemovercombustveldeumcarro, est desenhado na Figura 2.8. O lquido do reservatrio, de densidade, aspirado atravs da mangueiraABC , para que saia pela aberturaC .Vamos calcular a velocidade de escoamento do fuido na aberturaCda mangueira, em funo das alturas 1he 2he da presso 0Pna superfcieO do reservatrio (se essa h1h2AOCBFigura 2.8 Um fuido de densidade as-pirado por uma mangueira delgada e sai pela sua aberturaC . Esse esquema utilizado (mas no recomendado), por exemplo, para extrair combustvel do tanque de um veculo.55superfcie estiver aberta, essa presso a atmosfrica; vamos supor isso aqui). Suponha ainda que a superfcieO tenha uma rea muito maior que a da seo reta da mangueira, de modo que a velocidade com que a superfcie O diminui sua altura, medida que o fuido es-coa, seja desprezvel. A presso em Ctambm a atmosfrica e pode-mos ento aplicar a equao de Bernoulli ao longo de um flete (como indicado em cor azul escuro na Figura 2.8) para os pontosO eC : 20 2 0 212 ,2c cp gh p v v gh + = + =(2.15)onde cv a velocidade do fuido na aberturaCe as alturas so sem-pre medidas em relao aberturaC . Note que, se 2htende a zero, a velocidade cvtambm vai a zero. Se o valor de 2h se torna negativo, ou seja, a superfcieO fca abaixo da sadaC , o fuido no escoa (pois o valor de 2cvseria negativo).Sabendo a velocidade emC , podemos usar a equao 2.15 de con-tinuidade(lembre-sequeofuidosupostoincompressvel)para calcular as velocidades emA e emB . Como a rea a mesma ao longo de toda a mangueira:22 .B A Cv v v gh = = =Comaajudadesseltimoresultado,podemoscalcularapresso PB no pontoBe a presso PA no pontoA. Aplicando a equao de Bernoulli aos pontosA eC , obtemos:2 22 01 1,2 2A A CP gh v P v + + = + onde supomos que a diferena de altura entreA eO seja desprez-vel. Lembrando que as velocidades emA e emCso iguais, chega-mos ao seguinte resultado:0 2.AP P gh = O mesmo procedimento pode ser aplicado aos pontosBeC :2 21 2 01 1( ) .2 2B B CP gh h v P v + + + = + 56Mais uma vez usando a igualdade entre as velocidades emBe em C , obtemos:0 1 2( ).BP P gh h = + (2.16)Note que a presso emB menor que a presso atmosfrica. Se 1hfor grande o sufciente, PB pode inclusive ir a zero. Dessa maneira, existe um valor mximo para 1hpara que o fuido escoe pela man-gueira, dado pela condio de PB ser igual a zero: 01 2.ph hh = 2.4 ViscosidadeVamos discutir alguns aspectos simples de viscosidade. Essa uma fora de atrito entre camadas do fuido. Como toda fora de atrito, elaumadescriofenomenolgicadosefeitosdeforasfunda-mentais (como tambm o na descrio do atrito entre superfcies slidas, visto por voc nas disciplinas anteriores). Consideremos ento uma poro de fuido entre duas placas planas paralelas,conformemostradonaFigura2.9aseguir:observado experimentalmenteque,seaplacasuperiorpuxadademodoa escorregar com velocidade constantev, lminas inferiores do fuido so arrastadas, de tal forma que a lmina imediatamente abaixo da placa tem a mesma velocidade desta e a lmina em contato com a placa inferior est em repouso. Tambm observado que a veloci-dade dessas placas diminui linearmente com a alturaye, eventu-almente, vai a zero em alguma altura (que defnimos como0 y = ). Esse escoamento chamado de laminar, pois o fuido se move em lminas, as quais deslizam umas sobre as outras. A fora por unida-de de rea, chamada de tenso tangencial, necessria para arrastar a placa superior com velocidade constante dada, em mdulo, por: (2.17)ondeAareadaplacaeocoefcientedeviscosidade,oqual uma caracterstica do fuido. Essa a fora que a lmina de fuido imediatamente inferior placa faz nesta e tambm a fora que ela sofre da lmina de fuido inferior. A unidade de no MKS 2N.s / m . Descrio fenomenolgicaDescriofeitaapartirde informaesexperimentais dosistema,buscando-se enunciarumaleiquedes-creva aquele sistema em es-pecial e sistemas anlogos a ele. Esse procedimento al-ternativoaousadoemdes-cries a partir de princpios fundamentais da Fsica.57Uma unidade mais comum na prtica o centipoise (cp), dado por 1 cp 210= poise = 3 210 N.s / m.dyAxyvFigura 2.9 Nesse processo, a placa superior puxada com velocidadev e a placa inferior est em repouso. O fuido entre as placas arrastado devido viscosidade.Quanto mais viscoso o lquido, maior ser , e valores tpicos des-secoefcienteparaalgunsfuidosso,em 2N.s / m :0,11 = para oleolubrifcantea0 C , 0, 03 h = paraoleolubrifcantea20 C , 31 10 = para a gua a20 C e 51, 8 10 = para o ar a20 C .Considereagoraumescoamentoviscosoaolongodeumcanoci-lndrico de raio a, de tal modo que a velocidade de escoamento no seja grande e este seja laminar. A poro do fuido em contato com o encanamento (r = a) est em repouso, e a velocidade aumenta no sen-tido do centro da tubulao. A fora necessria para manter o esco-amento com velocidade constante vem de uma diferena de presso entreasextremidadesdoencanamento(vejaFigura2.10aseguir); para manter constante a velocidade de todas as lminas, a fora total sobre cada uma delas tem que ser nula. Sendo 1P e 2P as presses nas extremidades esquerda e direita do tubo de comprimento l, res-pectivamente, a fora por unidade de rea na superfcie externa de um tubo cilndrico do raio r dada por:21 2 1 2( ).2 2P P r P P FrA rl l = =(2.18)aP2P1Figura 2.10 Escoamento viscoso em um cano de seo reta cilndrica.58Como essa a fora de viscosidade, a qual dada pela equao 2.17, temos:1 2,2P P F dvrA dr l= = ondeusamosaequao2.18,eosinalnegativovemdofatoquea velocidade diminui medida queraumenta. Podemos isolardvdrna equao anterior, obtendo:1 2( ).2P P dvrdr l= Podemos resolver essa equao diferencial da seguinte forma: pas-sando a diferencialdrpara o lado direito da equao e integrando ambos os lados, obtemos:0' 1 2( )( ),2avr rP Pdv rdrl= onde usamos a condio de contorno da velocidade ser zero no con-tato com o cano, isto ,( ) 0 v a = . Obtemos ento:2 2 1 2( ) ( ).4P Pv r a rl= Assim, o perfl de velocidades dentro da tubulao parablico, sen-do, como esperado, mximo para0 r =e mnimo, e igual a 0, para r a = .A partir da equao anterior, podemos calcular a vazo total, isto , o volume de fuido que escoa por unidade de tempo atravs da se-o reta circular do cano. Como a velocidade varia com a distncia ao eixordo cano, devemos dividir o volume total do cilindro em pequenos volumes elementares, associados a uma poro compre-endida entre dois raiosrer dr +(veja a Figura 2.11 a seguir), com drpequeno o sufciente para que a velocidade seja aproximadamen-teconstanteentrer er dr + .Acontribuiodessaporoparaa vazo , ou seja, o volume escoado por unidade de tempo, : 2 2 1 2( )( ) ( )2 ( ) .2p p dVd v rdA v r rdr a r rdrdt l = = = = 59rar + drFigura 2.11 Diviso do cano representado na Figura 2.10 em pequenaspores cilndricas, de raio r e espessura dr.Essa, porm, apenas a contribuio da poro cilndrica entre os raiosrer dr + ; para obtermos a vazo de todo o cano, temos que integrar desde0 r =atr a = :2 2 1 20( )( ) .2ap pd a r rdrl = = Essa integral pode ser resolvida da seguinte forma: (a2 r2)r dr0a=a2r22 r440a= a42 a44 = a44 ,Assim o resultado fnal para a vazo :41 2( ).8a P Pl= Essa a lei de Hagen-Poiseuille, a qual diz que a vazo em um enca-namento proporcional queda de presso por unidade de compri-mento e inversamente proporcional ao coefciente de viscosidade. Ela diz tambm que a vazo maior para tubos de raios maiores (manti-das constantes as outras caractersticas do escoamento e do fuido). A defnio de viscosidade, representada pela equao 2.17, vlida para fuidos chamados de newtonianos. Para estes, um grfco entre a fora por unidade de rea ( FA) e o gradiente da velocidade em umadireoperpendicularrea( dvdy )umaretaquepassa pelaorigem.Osfuidosquenoseguemessecomportamentoso chamadosdefuidosno-newtonianos.Emalgunsdessesfuidos, aviscosidadedependedogradientedevelocidade,demodoque 60ofuidosecomportacomoumslidosetentarmos,porexemplo, estic-locommovimentosbruscos,esecomportacomoumlqui-doseoperturbarmosdeformamaissuave.Emumfuidodesse tipo, uma pessoa pode ser capaz de caminhar sobre ele, caso o faa com passos rpidos; por outro lado, se a pessoa parar em p sobre o fuido, ir afundar, de forma parecida com o que aconteceria em umfuidonewtoniano.Umfuidono-newtonianopodeserfeito em casa, adicionando-se maizena, aos poucos, a um copo de gua e misturando. Se voc tentar enfar seu dedo rapidamente na mis-tura, sentir uma forte reao contrria; o fuido se comporta como um slido deformvel. Por outro lado, se voc lentamente tentar in-troduzirqualquerobjetonofuido,estesecomportarcomoum lquido e a reao contrria ser bem menor que no caso anterior.ResumoFoi apresentado neste Captulo um breve estudo dos fuidos em mo-vimento. Utilizando conceitos bsicos como a conservao da massa econservaodeenergia,foideduzidaafrmuladacontinuidade parafuidoseaequaodeBernoulli.Essaltimaimplicaque,se um fuido estiver escoando em um estado de fuxo contnuo, ento apressodependedavelocidadedofuido.Quantomaisrpidoo fuido estiver se movimentando, tanto menor ser a presso mesma altura no fuido.QuestesPor que o jato de gua em uma torneira, quando o escoamento1) estacionrio,fcamaisestreitomedidaqueaalturadimi-nui? Essa questo j foi levantada no texto anterior sobre visco-sidade. Talvez seja uma boa hora de voltar a pensar nela.Um recipiente, com um fuido em seu interior, est em repouso2) sobre uma mesa. Voc caminha em relao ela. Voc usaria esttica ou dinmica dos fuidos para estudar o fuido no reci-piente? Por qu?Esse interessante e divertido efeito pode ser visto no endereo realizando-se uma busca com a expresso non-newtonian fuid.61Em um escoamento estacionrio, a velocidade em cada ponto do3) fuido constante. Como pode ento a partcula ser acelerada?Seria possvel o grande Zico bater uma daquelas faltas de efei- 4) to, que em geral terminavam com a bola dentro do gol do Flu-minense ou do Vasco, se o jogo se realizasse na Lua?Expliquequalitativamentecomosedoempuxodinmico5) responsvel pela sustentao de avies.Em2002,duranteumaventaniamuitoforte(semelhanteaos6) tornados, to comuns em algumas regies dos EUA), ocorrida no bairro Ribeiro da Ilha, em Florianpolis, o telhado de uma casa de alvenaria foi levantado e posteriormente caiu na rua, em frente casa. Tente explicar como isso pde acontecer, uti-lizando os conceitos estudados neste Captulo.Explique o funcionamento de um canudo para tomar lquidos. 7) ProblemasUmamangueiradejardimtem1,9cmdedimetrointernoe1) estligadaaumirrigadorqueconsistedeumrecipienteci-lndricocom24furos,cadaumcom0,12cmdedimetro.Se a velocidade da gua no interior da mangueira de 1,05 m/s, com que velocidade ela sai dos orifcios do irrigador?Umgrandereservatriodeparedesverticaiseconstrudo2) sobreumterrenohorizontalcontmguaatumaalturah . Suponha que um pequeno orifcio seja feito em uma de suas paredes. A que distncia mxima dessa parede o jato de gua que sai do reservatrio ir atingir o cho do terreno? Em que altura deve estar esse orifcio, acima do terreno, para que essa distncia seja atingida?Expliquequalitativamenteporque,quandoestventandoe3) uma janela est aberta, as cortinas tendem a sair do aparta-mento,isto,elassopuxadasparaforadajanela.Suponha agora que a janela mea 4,26 m por 5,26 m, que o vento esteja soprando a 28,0 m/s fora do apartamento, em uma direo pa-ralela janela, e que dentro do apartamento o ar esteja parado Uma simulao interessante desse fenmeno pode ser encontrada no endereo

62(emmdia).Qualaforaresultantesobreascortinascitadas acima considerando que a densidade do ar = 1,3 Kg/m?Um avio temuma massa total de 2000 Kg e a rea total co- 4) berta pelas duas asas de 30 m2. A velocidade de escoamento acima das asas 1,25 vezes maior que abaixo delas, quando o avioestdecolando.Adensidadedaatmosferaaproxima-damente1,3Kg/m.Quevelocidademnimadeescoamento acima das asas necessria para que o avio decole? Proponha uma forma de o avio baixar de altura, no pouso, usando ape-nas a diferena de presso nas asas.Bibliografa bsicaNUSSENZVEIG, H. M. Curso de fsica bsica. So Paulo: Edgard Blcher, 1997. 2 v.SEARS, Z. Fsica II: termodinmica e ondas. 10. ed. So Paulo: Addison Wesley, 2003.RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fsica. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 2 v.TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 1 v.Bibliografa complementar comentadaAGUIAR, C. E.; RUBINI, G. A aerodinmica da bola de futebol. Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 26, n. 4, p. 297-306,dez. 2004. Disponvel em: . Acesso em: 18 jan. 2011. UmaaplicaoprticadosconceitosvistosnesteCaptulopodeser encontrada nesse artigo, o qual tambm pode ser localizado no endereo , no link Fsica do futebol. Essa pgina foiconstrudapeloprofessorNelsonCanzian,doDepartamentodeFsica da UFSC.Captulo 3Temperatura e CalorCaptulo 3Temperatura e CalorAofnaldoCaptuloestaremosaptosaentenderedife-renciar os conceitos de temperatura e calor, bem como de-fnir a Lei Zero da Termodinmica; conhecer e relacionar matematicamente as escalas de temperatura e conceituar capacidade trmica e calor especfco relacionando-os com processos de transferncia de energia trmica.3.1 IntroduoDaquiemdiante(nesteenosprximosCaptulos)iremosestudar os fenmenos termodinmicos, ou seja, os fenmenos relacionados com a temperatura, o calor e as trocas de calor. Entre outras coisas, ser possvel explicar processos cotidianos como a conduo de calor em um ferro eltrico ou o fato dos cabos de madeira de uma panela evitaremquevocqueimeasuamo.Almdisso,vocentender ofuncionamentodemquinastrmicascomoumageladeira,um aparelho de ar condicionado e um motor de automvel.Historicamente, a termodinmica foi elaborada baseando-se emob-servaes empricas. A descrio termodinmica sempre uma des-crio macroscpica (que se aplica a um nmero muito grande de par-tculas, considerando mdias entre as grandezas envolvidas), o que compatvel com uma descrio estatstica. Somente mais tarde, com a formulao da teoria cintica dos gases, precursora da teoria atmica da matria, que se procurou dar uma explicao microscpica (ao n-vel atmico ou molecular) para alguns resultados da termodinmica. A termodinmica clssica trata de sistemas em equilbrio termodi-nmico, ou seja, quando as variveis macroscpicas que caracteri-zam o sistema no variam com o decorrer do tempo. No entanto, o fatodeessasvariveisseremconstantesnotemponoquerdizer que o sistema esttico do ponto de vista microscpico, ou seja, as partculas que formam o sistema esto em constante movimento e mudam constantemente de velocidade.A partir da observao experimental.As variveis macroscpicas so, por exemplo: presso, volume e temperatura.66Neste Captulo iremos abordar os conceitos de temperatura, de calor e as propriedades trmicas da matria, para nos Captulos seguintes estudarmos as leis da termodinmica, as quais acreditamos que re-gulam os fenmenos trmicos na natureza.3.2 TemperaturaO conceito de temperatura est associado a uma propriedade comum de sistemas em equilbrio trmico. No entanto, a sensao subjetiva de temperatura no fornece um mtodo confvel de medio. Por exemplo: num dia frio, tocar um pedao de metal e um pedao de madeira, que estejam no mesmo ambiente, d a falsa impresso de que o metal est mais frio. Como voc explica esse fato? Mais adian-te isso fcar claro.DesseproblematrataachamadaLeiZerodaTermodinminca(em algunslivroschamadadeAnteprimeiraLeidaTermodinmica),que pode ser enunciada da seguinte forma:Quandodoissistemas( e)estoemequilbriotrmico com um terceiro (C), ento e esto em equilbrio trmico entre si (ver fgura 3.1).A BCFigura 3.1 Ilustrao da Lei Zero da Termodinmica. SeA eBesto em equilbriotrmico com C, entoA eBesto em equilbrio trmico entre si.A Lei Zero a princpio parece bvia, mas preciso entender que ela sseaplicaparasistemasemequilbriotrmico,ouseja,quando atemperaturanovariacomodecorrerdotempo.Essaleitrouxe grandes contribuies para a cincia: graas a ela que podemos uti-lizar termmetros para medir a temperatura de corpos diferentes.673.2.1 Escalas de temperaturaAescalaCelsius(C)amaisconhecidaparans,poisaesca-la adotada nos termmetros que usamos aqui no Brasil. Em outros pasesoutrasescalassomaiscomuns.AescalaCelsiusfoidef-nida como sendo 0C o ponto de congelamento da gua e 100C o ponto de ebulio da gua, ambos considerados prximos ao nvel domar.Dessaforma,umtermmetrocalibradoapartirdesses parmetros, sendo dividido em 100 partes iguais, onde cada diviso equivale a 1C. Com isso pode-se medir a temperatura desconheci-da de outros corpos.A escala Fahrenheit (F) de uso corrente em pases de cultura in-glesaefoidefnidacomosendo32Fopontodecongelamentoda gua e 212F o ponto de ebulio da gua, quando prximo ao nvel domar.Portanto,adiferenaenteospontosdecongelamentoede ebulio de 100 para a escala Celsius e de 180 para a escala Fahre-nheit.Comisso,pode-seestabelecerumarelaogeralentreessas duas escalas de temperatura para realizar converses entre elas:(3.1)em que TC a temperatura em graus Celsius e TF a temperatura em graus Fahrenheit.A escala Kelvin (K) denominada de escala de temperatura absolu-ta, pois o ponto de 0 K, que igual a -273,15C, a temperatura de presso nula de qualquer gs. Esse valor obtido atravs da extra-polao da curva de presso em funo da temperatura, medida por umtermmetroagsdevolumeconstante;paraatingirapresso zero o grfco intercepta o eixo da temperatura em -273,15C, que conhecido como Zero Absoluto. Como a variao de 1 K igual a 1C, a relao entre as duas escalas dada por:273,15KK CT T = + (3.2)em que TK a temperatura em Kelvin.Assim, a temperatura de ebulio da gua na escala Kelvin 373,15 K. Para a maioria dos propsitos prticos pode-se arredondar para 273 K a temperatura de congelamento da gua.Sabemos que no alto de uma montanha a gua entra em ebulio abaixo de 100C. Isso est relacionado com a presso atmosfrica, que menor no alto da montanha (como vimos no Captulo 1).Para mais informaes sobre o Zero Absoluto, verifque a bibliografa comentada ao fnal deste Captulo.68Exemplo 1. Faa as seguintes converses entre as escalas de tempera-tura: a) de 37C para o equivalente em Fahrenheit; b) de 310 K para o equivalente em Celsius; e c) de 68F para o equivalente em Kelvin.Soluo:Para essa converso vamos utilizar a equao 3.1, ento: a) ou seja,9(37 ) 32 98, 6F5FT = + = .Para essa converso vamos utilizar a equao 3.2, ento: b) 310K 273,15K,CT = +ou seja,310K 273,15K 36, 85 C.CT = - = Para essa converso precisamos primeiro transformar osc)68Fem Celsius pela equao 3.1 para depois transformar esse valor para Kelvin atravs da equao 3.2, ento:( )568 32 20 C,9CT = - = portanto273,15K 20 273,15K 293,15K.K CT T = + = + =3.3 Expanso trmicaQuando a temperatura de um corpo aumenta, em geral observa-se umaexpansodesuasdimenses.Issoocorredevidoaoaumen-todaenergiainternadomaterial,fazendocomqueasmolculas ou tomos constituintes se afastem um pouco mais uns dos outros, em mdia. Consideremos uma barra comprida de comprimentoL mantida temperaturaT: se sua temperatura for alterada ( T ), ob-serva-se uma variaoL , no seu comprimento, proporcional aT e ao comprimento originalL:69L L T a = (3.3)Aqui a o coefciente de expanso linear e suas unidades so1/C ou 1/K. Esse coefciente no varia sensivelmente com a presso, mas podevariarcomatemperatura,portantoaequao3.3forneceo valormdiodeanumintervaloT .Ovalorcorretonumadada temperatura obtido tomando-se o limite de a para0 T .01limTL L dLT L dTa = = (3.4)No entanto, para fns prticos, podemos considerar a constante para valores de temperatura no muito prximos da temperatura de fu-sodosslidos.Valorestpicosdeaparaslidossodaordemde 510- porC . importante destacar que em se tratando de slidos aniso-trpicos, isto , aqueles em que as propriedades variam de acordo com a direo a ser tomada, assume valores dife-rentes, dependendo da direo considerada.Vamos considerar agora uma lmina delgada (muito fna), com es-trutura isotrpica (igual em todas as direes) e lados 1Le 2L , cuja reaA dada por 1 2L L . Nesse caso, uma variao na temperatura dTproduzir uma mudana na readA dada por:1 2 2 11 2( ) d L L dL dL dAL LdT dT dT dT= = + (3.5)Logo, se dividirmos ambos os lados da igualdade por 1 2A L L = , obtemos:2 12 11 1 12dL dL dAA dT LdT L dTa = + =portanto2 A A T a = (3.6)70Ou seja, o coefciente de dilatao superfcial igual a duas vezes o coefciente lineara. Analogamente, para o caso de um paralelep-pedo teremos uma variao no volumeV , devida a uma variao de temperaturaT , que dada por:V VT = (3.7)onde3 a = defnido como o coefciente de dilatao volumtrico. Emgeral,ovalorde paralquidos(daordemde 310-porC ) bem maior que para os slidos (da ordem de 510- porC ). A defni-o de um coefciente de dilatao volumtrico conveniente no caso de lquidos e gases, os quais ocupam todo o ambiente em que esto confnados, onde se busca saber apenas a variao volumtrica.Para a maioria dos materiais > 0, mas existe uma exceo para a gua, onde0 < no intervalo de temperatura de 0 C a 4 C . Isso quer dizer que a gua apresenta um volume mnimo a4 C e, portanto, a densidadedaguamximanessatemperatura;diminuindo-sea temperatura abaixo desse valor, a gua expande-se at congelar.Uma consequncia direta desse efeito o fato da superfcie de um lago (numa cidade de inverno rigoroso) congelar, sem que as guas maisprofundascongelem.Ogeloformadonasuperfciefuncio-na como um isolante trmico, mantendo as guas mais profundas numa temperatura mais elevada, com densidade maior, permitindo queogelofutue.Percebaqueissoessencialparaamanuteno da vida marinha abaixo da superfcie congelada, pois se a gua na superfcie descesse para o fundo ao se congelar, o lago se congelaria como um todo. Esse comportamento da gua deve-se s proprieda-des especfcas das ligaes de hidrognio entre suas molculas.Exemplo 2. Uma ponte de ao tem comprimento de1000m. Qual a expanso no seu comprimento quando a temperatura sobe de0 C para30 C ? Considere 6 111 10 Kaoa- -= .Soluo: Como a unidade do coefciente linear dada em 1K-, preci-samos determinar a variao da temperatura em Kelvin. Vimos que a variao de 1K 1 C = , ou seja, a variao de temperatura a mesma em graus Celsius ou graus Kelvin (o mesmo no vlido para a escala Fahrenheit). Assim:Isso explica o rompimento de canos cheios de gua quando congelam em uma cidade muito fria no inverno. O mesmo acontece se voc colocar uma garrafa cheia de gua (tampada) para congelar no freezer. importante perceber que o coefciente b no precisa estar vinculado dilatao linear na direo dos trs eixos cartesianos do espao tridimensional, ele est relacionado com uma variao de volume. Por exemplo, no caso de lquidos e gases (que assumem a forma do recipiente que os contm), em geral interessa saber apenas a variao V.7130 C 0 C 30 C 30K T = - = =logo, 6 1(11 10 K )(1000m)(30K) 0,33m L L T a- -= = = ,ouseja,aponteexpande33cm.porissoquenecessriodeixar folgas ao longo de uma ponte para que essa expanso seja possvel, caso contrrio a ponte poderia romper. Essa folga tambm necess-ria ao longo dos trilhos de trem, ou estes poderiam se curvar.Exemplo 3. Um recipiente de vidro de 1 litro est cheio de lcool at abocaemtemperaturade10 C .Seatemperaturaforaumentada para30 C ,qualaquantidadedelcoolquetransbordardoreci-piente? Dados: 6 19 10 Kvidroa- -=e 3 11,1 10 Klcool- -= .Soluo: Para determinarmos a quantidade de lcool que transborda, precisamos calcular separadamente a variao no volume do vidro e a variao no volume do lcool. Para isso utilizaremos a equao 3.7, e depois subtrair os valores. Temos que a variao de temperatura 20 C 20K T = = . Alm disso:A variao do volume do vidro dada por: a) 6 1vidro vidro4vidro3 3(9 10 K )(1 litro)(20K)5, 4 10 litros 0, 54mlV VTV a- -- = = = =A variao do volume do lcool dada por: b) 3 12(1,1 10 K )(1 litro)(20K)2, 2 10 litros 22, 0 mllcool lcoollcoolV VTV- -- = = = =Assim, a quantidade que transborda ser:c) lcool vidro22, 0ml 0, 54ml 21, 46mlV V VV = - = - =Vale lembrar que existem materiais como o plstico e a bor-racha,queapresentamumefeitochamadoentrpico,ou seja, eles contraem com o aumento da temperatura.723.4 CalorA primeira tentativa de defnir calor foi dada por Lavoisier no s-culo XVIII, com a hiptese do calrico, uma substncia que escoaria entre os corpos, transferindo calor de um corpo para outro, sendo queaquantidadetotaldecalricoeraconservada.Ahipteseri-valfoidadaporFrancisBaconeThomasHookeeenunciadapor Newton, atribuindo o calor ao movimento de vibrao das partcu-las dos corpos (ver sugesto de leitura no fnal deste Captulo).A defnio mais correta para o calor, considerada atualmente, que o calor uma forma de energia, que transferida de um corpo para outro em virtude de diferena de temperatura, portanto o calor uma energiaemtransio.Nessecontexto,nofazsentidodizerqueum corpopossuimaiscalorqueoutro;naverdade,oscorpospodem possuirtemperaturasdiferentes,masocalor(comoveremosmais adiante) est sempre associado a um gradiente de temperatura.3.4.1 Capacidade trmica e calor especfcoQuandoseadicionaenergiatrmicaaumasubstncia,ouseja, quando transferido calor para uma substncia, a temperatura ge-ralmente se eleva1. Nesse caso, a quantidade de energia trmicaQ necessriaparaelevaratemperaturadasubstnciaemT pro-porcional variao de temperaturaT e sua massam. Podemos escrever ento:Q mc T C T = = (3.8)ondeC mc = chamada de capacidade trmica2 ec chamado de calor especfco3. A unidade para a quantidade de calor a caloria efoidefnidainicialmentecomoaquantidadedeenergiatrmica para elevar a temperatura de 1 grama de gua de 14, 5 C at 15, 5 C . No Sistema Internacional de medidas 1cal 4,186J = .Analogamente, pode-se ento defnir uma capacidade trmica mo-lar,/MC Mc Cn = = ,comosendoacapacidadetrmicade1mol da substncia, ondeM a massa molecular. Nesse sentido, a capacida-de trmica denmoles dada por n MC nC = .1 Como veremos mais adiante, uma exceo ocorre nas transies de fase, ondea quantidade de calor absorvida utilizada para alterar propriedades fsicas da substncia.2 A capacidade trmica est relacionada com a capacidade que uma substncia ou corpo tem de absorver calor e variar a temperatura. Vemos que quanto maior a massa de um corpo, maior a sua capacidade trmica.3 O calor especfco uma propriedade de cada substncia e representa a medida da capacidade que uma substncia tem de absorver calor.73Amassamolecular(emalgunslivroschamadaequi-vocadamentedepesomolecular)defnidacomoamas-sapormoldasubstnciae,portanto,asuamassatotal dada por. O valor de para todos os elementos existentesnanaturezapodeserdeterminadoutilizando-seamassaatmica(muitasvezeschamadadenme-rodemassa)decadaelementodatabelaperidica,que expressaemgramaspormol.Porexemplo:paraoOxig-nio16, 0g / molam eparaoHidrognio1, 0g / molam , entoumamolculadegua(2H O)possui18g / mol M .A capacidade trmica de um sistema com mais de uma substncia, cujas massas so 1 2 3, , ,... m mm , nm , e seus respectivos calores espec-fcos 1 2 3, , ,... c c c , nc dada pela soma da capacidade trmica de cada substncia, ou seja:1 1 2 2 3 3...n nC mc m c m c m c = + + + +Nesse caso, a quantidade de energia trmica necessria para intro-duzir uma variaoT na temperatura do sistema dada por:1 1 2 2 3 3( ...) . Q mc m c m c T = + + + (3.9)O calor especfco varia com a temperatura e com as condies em que a variao de temperatura ocorre: a presso constante ou a volume constante.Porissodefne-seocalorespecfcoapressoconstante como Pce o calor especfco a volume constante como Vc . Para l-quidoseslidosadiferenaentre Pc e Vc pequenaepodeser desprezada,poisovolumevariamuitopoucocomapresso.Em geral, o calor especfco determinado nas condies de presso at-mosfrica (que constante), por isso a maioria dos valores de calor especfcorefere-sea Pc .Entretanto,paragases Pc e Vc sobas-tante diferentes, como veremos no Captulo seguinte. Na tabela 3.1 a seguir apresentamos os valores de calor especfco e capacidades trmicas molares de alguns slidos e lquidos, juntamente com seu valor de massa molecular; esses valores foram obtidos em condies de presso atmosfrica (1atm).74Quandoavariaodatemperaturagrande,precisoconsiderar a dependncia deccom a temperatura:( ) c c T = . Assim, o correto seria integrar a equao 3.8 da temperatura inicial iTat a tempera-tura fnal fT : (3.10)Para pequenas variaes de temperatura, porm, onde o calor espe-cfconovariaapreciavelmente,aequao3.8podeserutilizada com boa aproximao. Nesse caso, o calor especfco pode ser consi-derado como o valor mdio entre iTe fT .NoprximoCaptuloveremosquealinhaemindica que se trata de uma diferencial inexata.Substncia (J / Kg K) c (Kg / mol) M (J / mol K)MCAlumnio 910 0,0270 24,6Cobre 390 0,0636 24,8Ouro 126 0,203 25,6Chumbo 128 0,207 26,5Prata 234 0,108 25,3lcool etlico 2.428 0,0461 111,9Mercrio 138 0,201 27,7Sal (NaCl) 879 0,0585 51,4gua 4.186 0,0180 75,4Gelo (-10C) 2.050 0,0180 36,9Tabela 3.1 Calores especfcos e capacidades trmicas molares dealgumas substncias (a presso constante de 1 atm).Atravsdatabela3.1interessanteobservarqueascapacidades trmicasmolaresdetodososmetaissopraticamenteasmesmas, apesardeteremcaloresespecfcosbemdiferentes.Oscaloreses-pecfcosdoslquidossobemmaiores,especialmenteodagua, 75que consideravelmente maior que o das outras substncias: , por exemplo, aproximadamente 10 vezes maior que o do cobre. Assim, devidoasuagrandecapacidadetrmica,aguaumaexcelente substnciaparaarmazenarenergiatrmica.Almdisso,ocalor especfco da gua varia muito pouco num amplo intervalo de tem-peraturas; medidas precisas mostraram uma variao de aproxima-damente1%nointervalode0 C a100 C .Dessaforma,elapode serutilizadaparadeterminarovalordocalorespecfcodeuma substncia desconhecida.Sabendo-seatemperaturainicialdeumasubstnciaqualquer STcom massa Sme calor especfco Sc(desconhecido), se ela for mer-gulhada num recipiente termicamente isolado, de massa Rme calor especfco Rce contendo uma massa de gua Amcujo calor espec-fco dado por Ac , ambos numa temperatura inicial conhecida iT , ocorre uma troca de calor entre a substncia, a gua e o recipiente contendo a gua, at que o equilbrio trmico seja atingido e todo o sistema assuma a mesma temperatura fnal fT . No caso de tambm ocorrerem transies de fase, necessrio considerar a quantidade de calor utilizada nesse processo.Nessas condies, a quantidade de calor trocada pela substncia dada por:( )s s s f sQ m c T T = - ,(3.11)emque f ST T T = - avariaodetemperaturadasubstncia.A quantidade de calor trocada pelo recipiente e a gua dada por:( ) ( )RA R R f i A A f iQ m c T T m c T T = - + - , (3.12)onde f iT T T = - a variao de temperatura do conjunto recipiente + gua. Como o sistema substncia + recipiente + gua est termi-camente isolado, pela conservao de energia todo calor que sai da substncia absorvido pelo conjunto recipiente + gua, e vice-versa. Portanto, a soma das equaes 3.11 e 3.12 tem que ser igual a zero. Assim:0,S RAQ Q + =ou seja,( ) ( )( ) 0s s f s R R A A f im c T T m c m c T T - + + - = . (3.13)Recipiente termicamente isoladoChamadodecalormetro, temapropriedadedeno permitiratrocadecalor com o meio externo.O fato que grandes massas de gua como lagos e o oceano tendem a moderar as variaes de temperatura nas suas vizinhanas, ou seja, no inverno, quando a noite cai, a gua comea a liberar o calor absorvido do sol durante o dia, no deixando a temperatura cair bruscamente. J numa regio desrtica, onde praticamente no existe gua, durante o dia, com sol as temperaturas chegam facilmente a 40C, baixando rapidamente para valores negativos com o pr do sol.76Atravs da equao 3.13, conhecendo-se as massas e medindo-se as temperaturas,pode-sedeterminarocalorespecfcodeumasubs-tncia desconhecida.Como nesses clculos utilizam-se variaes de temperatura e essa variao igual nas escalas Celsius e Kelvin, ambas as escalas podem ser utilizadas.Reescrevendoaequao3.8naforma QTC = ,obtemosumaex-presso para a variao da temperaturaT de um sistema com ca-pacidade trmicaCpela transferncia de uma quantidade de calor Q . ComoC proporcional massa, vemos que0 T quando a massa for muito grande. Nesse caso limite, o sistema permite uma transferncia de calorQ sem que a temperatura se altere signifca-tivamente. Tal sistema chamado de reservatrio trmico. Exemplos de reservatrios trmicos ideais so a atmosfera terrestre e o oceano, mas na prtica pode-se considerar qualquer recipiente de tamanho adequado e contendo um fuido em equilbrio trmico como sendo um reservatrio trmico.Exemplo 5. Um pedao de chumbo com massa de600g aquecido a100 C e colocado num recipiente de alumnio de200gcontendo 500gde gua, ambos a 17, 3 C . Sabendo-se que a temperatura fnal de equilbrio 20 C , determine o calor especfco do chumbo. Da-dos: 30, 9 10J / Kg KAlc = e 23HO4,18 10J / Kg K c = .Soluo:Vemosqueavariaodetemperaturadorecipientecom agua20 C 17, 3 C 2, 7 C 2, 7KRAT = - = = edochumbo 20 C 100 C 80 C 80KchT = - = - = - . Lembre-se que, nas unidades dos calores especfcos, a massa aparece em quilogramas (Kg), assim as massas do problema precisam ser transformadas para essa unida-de. Usando a equao 3.13 temos:33(0, 6Kg)( 80) [(0, 2Kg)(0, 9 10J / Kg K)(0, 5Kg)(4,18 10J / Kg K)](2, 7K) 0,chc - + + =33(0, 6Kg)( 80) [(0, 2Kg)(0, 9 10J / Kg K)(0, 5Kg)(4,18 10J / Kg K)](2, 7K) 0,chc - + + =77onde, isolando-se chc , obtemos:3 3(0, 486 10J 5, 643 10J)128J / Kg K.48Kg Kchc + = =3.4.2 Transio de fase e calor latenteComoditoanteriormente,quandoseforneceumaquantidadede caloraumasubstncia,apressoconstante,usualmenteseobser-va um aumento da sua temperatura. Entretanto, numa transio de faseumasubstnciapodeabsorvergrandesquantidadesdecalor sem variar a temperatura. Nesse caso, a energia transferida subs-tncia utilizada para alterar o seu estado fsico. As transies de fase mais conhecidas so:Fuso: a) do estado slido para o lquido;Vaporizao:b)do estado lquido para o gasoso;Sublimao:c)passagem direta do estado slido para gasoso (ex: gelo seco (CO2 solidifcado), naftalina etc.) e vice-versa;Condensao:d)do estado gasoso para o lquido;Solidifcao: e) do estado lquido para o slido.Nocasodeumasubstnciapuracomoagua,astransiesocor-rem em uma dada temperatura, que, nas proximidades do nvel do mar, so:0 C para a fuso e 100 C para a vaporizao.Observou-se experimentalmente que a quantidade de calor necess-ria para ocorrer uma transio proporcional massa m, e ento de-fniu-se a constante de proporcionalidade como sendo o calor latente L. Para um processo de fuso existe o calor latente de fuso FL :F FQ mL = , (3.14)Para um processo de vaporizao existe o calor latente de vaporiza-o VL :v vQ mL = , (3.15)onde, para a gua, a presso de 1atm,A transio de fase identifcada pela alterao do estado fsico da substncia. Quando o gelo derrete, por exemplo, ocorre a passagem do estado slido para o estado lquido da gua.783 3333, 5 10J / Kg 79, 7 10 cal / KgFL = = e6 32, 26 10J / Kg 540 10 cal / KgVL = = .Percebe-se que o calor latente de vaporizao bem maior que o de fuso, isso indica que necessria uma quantidade de calor maior para realizar a transio do estado lquido para o gasoso.importantedestacarqueovalordocalorlatenteparaa solidifcaoomesmoqueovalorparaafuso,adife-renaqueparaocorrerafusoumaquantidadedeca-lortemquesertransferidaparaasubstncia,enquanto queparaasolidifcaoessamesmaquantidadedecalor deveserremovida.Portanto,convencionou-sequepara afusoeparaasolidifcao.Omes-moraciocniovlidoparaavaporizaoecondensao.Exemplo6.Qualaquantidadedecalornecessriaparavaporizar 1, 0Kgde gelo a20 C - e mantido a uma presso de 1atm?Soluo:Paraencontrarmosaquantidadedecalornecessriapara vaporizar o gelo, precisamos inicialmente determinar a quantidade de calor gasta para lev-lo de20 C - a0 C , depois aquela para fundi-lo nessa temperatura, em seguida a quantidade de calor para lev-lo de0 C a 100 C e por fm aquela para vaporiz-lo a 100 C . Assim, calcula-seaquantidadedecalorgastaemcadaumdosprocessos para somar todas as quantidades ao fnal.Levar o gelo dea)20 C - a0 C :Ocalorespecfcodogelo 32, 05 10J / Kg Kgeloc = etemosque 0 ( 20) 20 C 20K T = - - = = . Utilizando a equao 3.8:33(1, 0Kg)(2, 05 10J / Kg K)(20K)41 10J.gelo gelogeloQ mc TQ = = = Fundir b) o gelo a0 C (a temperatura permanece constante), para isso vamos utilizar a equao 3.14:3 3(1, 0Kg)(333,5 10 J / Kg) 333, 5 10JF FQ mL = = = 79Levaraguadec)0 C a100 C :ocalorespecfcodagua 23HO4,18 10J / Kg K c = etemosque100 C 100K T = = .Uti-lizando a equao 3.8:2 223HO HO3HO(1, 0Kg)(4,18 10J / Kg K)(100K)418 10J.Q mc TQ = = = Vaporizar a gua ad)100 C (a temperatura permanece constante), para isso vamos utilizar a equao 3.15:6 6(1, 0 )(2, 26 10J / Kg) 2, 26 10J.V VQ mL Kg = = = Dessaforma,aquantidadetotaldecalornecessriapararealizar esse processo a soma das quantidades de calor de todas as etapas, logo:233052, 5 10J.total gelo F H O VtotalQ Q Q Q QQ = + + + = 3.5 Transferncia de energia trmicaDe modo geral, sabemos que sempre que existir uma diferena de temperatura entre dois corpos ou dois meios, esse gradiente de tem-peratura faz com que haja um fuxo de energia trmica da tempera-tura maior para a menor. Existem trs mtodos pelos quais a energia trmica pode ser transferida: conduo, conveco e radiao.ConduoAtravs da conduo, o calor transferido pelas interaes entre os tomos e molculas que constituem o material, mas sem transfern-cia direta de matria. A conduo ocorre pela vibrao e coliso das partculas constituintes. Lembrando que a vibrao maior onde a temperatura for mais elevada, na coliso parte da sua energia cinti-ca transferida para as partculas com vibrao menor, que tambm passam a vibrar mais. O resultado um processo em cadeia que se propaga para longe da regio mais aquecida. No caso de um metal, o transporte tambm feito pelos eltrons livres; no caso de um gs, apenas pelas colises diretas entre as partculas.Certamente voc j queimou a mo ao tirar uma panela do fogo por-que o cabo estava quente, esse um exemplo tpico de conduo de 80calor atravs do material do cabo. Para evitar isso, em geral os cabos so constitudos ou revestidos de materiais que no conduzem muito bem o calor (ex.: madeira, borracha); os metais so exemplos de bons condutores de calor. Agora voc consegue responder pergunta no incio da seo 3.1; a sensao de que o metal mais frio deve-se ao fato de que ele melhor condutor de calor do que a madeira, assim ele absorve a energia trmica da sua mo com maior efcincia.ConvecoA conveco caracterizada pelo transporte de matria no processo detransfernciadecalor,queocorrepelomovimentocoletivodas molculasdeumfuido(lquidoougs).umprocessocontnuo, ativado pela diferena de temperatura entre duas regies do fuido, aqualalteraadensidadedomeio.Dessaformaocorreummovi-mentodofuidonosentidodehomogeneizaradensidade.Quan-do voc coloca uma panela com gua no fogo para ferver, durante um certo tempo possvel notar que a temperatura da superfcie da gua aumenta lentamente. Durante esse perodo a transferncia de calor para a superfcie ocorre pela conduo atravs da vibrao das molculas. Obviamente, a temperatura no fundo da panela aumenta mais depressa, e quando a diferena entre a temperatura da gua da superfcie e a do fundo atinge um valor crtico, a gua comea a se mover.Apartirdesseponto,oprocessodeconvecodominan-tenatransfernciadecalor,fazendocomquerapidamenteagua atinja o equilbrio trmico. Portanto, a conveco uma forma muito efciente de transferir calor.A conveco um processo muito comum na natureza. As chama-das correntes de conveco podem ser observadas na atmosfera ter-restre e nos oceanos, em um copo com gelo percebe-se o movimento da gua, num dia de vero o ar prximo ao asfalto parece trmulo, ao abrir a porta de um freezer percebemos que o ar frio desce etc.RadiaoImagine-se entrando em casa num dia frio de inverno em que voc encontra a lareira acesa, de imediato voc sente o calor na pele. No entanto,comoocalortransportadodofogoatasuapele?No pode ser por conduo, pois o ar um pssimo condutor de calor. Tambmnopodeserporconveco,poisoardasalaestqua-81se parado. Nesse exemplo voc est experimentando a transmisso por radiao, onde a energia transmitida atravs de ondas eletro-magnticas.Essasondasviajamdofogoatasuapele,damesma forma que a luz, onde ento so absorvidas e convertidas em ener-gia interna. Todos os corpos do universo irradiam calor, e ao mesmo tempo que um corpo irradia tambm recebe energia irradiada por outros corpos.A radiao a nica maneira de transmitir energia sem a necessidade de um meio para isso, ou seja, a radiao pode atravessar o espao vazio, caso contrrio no sentiramos o calor do Sol aqui na Terra.3.5.1 Condutividade trmicaVamos considerar dois reservatrios trmicos (sendo que um possui maior temperatura que o outro) ligados por uma barra condutora de calor,permitindoofuxocontnuodecalordatemperaturamaior (1T ) para a menor (2T ), como mostra o exemplo a na fgura 3.2 a se-guir. Nesta, o exemplo (b) representa um segmento da barra condu-tora com rea de seo retaA e comprimentox , atravs do qual existe um gradiente de temperatura/ T x , ondeT a diferena entre as temperaturas nas duas extremidades do segmento.Fluxo de calorT1T2AxTABFigura 3.2 (a) Esquema de uma barra condutora de calor ligando dois reservatrios trmicos com temperaturas diferentes (1 2T T > ) e (b) detalhe de um segmento da barra condutora.SendoQ a quantidade de calor conduzida num intervalo de tempo t , ento existe uma taxa de conduo dada por/ Q t I = , que de-fnida como a corrente trmica ( I ). Experimentalmente, verifcou-se que a corrente trmica proporcional rea da seo reta e ao gra-diente de temperatura, ou seja,. / I AT x (o smbolo represen-ta proporcionalidade). Juntando as duas expresses paraI , temos:82Q TI kAt x = = .(3.16)ondek uma constante de proporcionalidade caracterstica do meio condutor, defnida como a condutividade trmica. A unidade deI JWs = e a dek/ . Wm K . Se isolarmos a variao de temperatura na equao 3.16, encontramos:xT I IkA = = , (3.17)onde xkA = a resistncia trmica.Vamosanalisaragoracomoocorreaconduotrmicaentreduas barras condutoras (com propriedades condutoras diferentes) ligadas entre si, como mostra a fgura 3.3, onde 1Te 3Tso as temperaturas nas duas extremidades externas e 2T a temperatura na juno das barras (1 2 3T T T > > ); supomos que elas tm a mesma rea transversal A, e 1ke 2kso as condutividades trmicas em cada barra.T1T2L1L2k1T3k2Figura 3.3: Sistema constitudo de duas barras condutoras diferentes, decomprimento 1Le 2L , unidas numa extremidade e submetidas a umgradiente de temperatura, em que 1 2 3T T T > > .Pela lei de conservao de energia, o fuxo trmico e, consequente-mente, a corrente trmica deve ser o mesmo atravs das duas barras. Pela equao 3.17 a variao de temperatura nas placas dada por:11 2 11LT T Ik A- = = 22 3 22LT T Ik A- = = 83Somando os lados da igualdade das duas equaes resulta que:1 3 1 2( )eqT T I T I - = + = ,(3.18)onde 1 2 eq= + a resistncia equivalente para dois condutores ligados em srie. Note que o resultado seria o mesmo se houvessem outros condutores a mais ligados da mesma forma, em queT a variao total de temperatura (nos dois extremos) e eqa soma de todas as resistncias.Uma situao um pouco mais complexa a determinao da quan-tidade de calor perdida numa sala em certo intervalo de tempot ; issoequivaleaencontrarofuxodecalor/ Q t I = .Nessecaso, precisamos encontrar a corrente trmica atravs do teto, das paredes laterais,portasejanelas.Comoosmateriaisqueconstituemessas partes so diferentes, ento a corrente trmica deve ser diferente em cadaumadelas.ConsiderandoqueT (queadiferenaentrea temperatura interna e externa da sala) o mesmo em cada caminho, o fuxo total dado pela soma das correntes trmicas em cada meio, ou seja, 1 2 3...totalI I I I = + + + + nI , e comoT I = temos: 1 2 31 2 3...1 1 1 1 1...eq neq nT T T T T = + + + = + + + (3.19)Nesse caso, eqrepresenta a resistncia trmica equivalente atravs de condutores ligados em paralelo.Mais adiante, na disciplina de Fsica III (que trata de fen-menos eltricos), voc ver que os conceitos abordados aqui so perfeitamente equivalentes ao caso eltrico. Aqui vimos queumadiferenadetemperaturaproduzumacorrente trmicaemumcorpoquedependedasuaresistnciatr-mica pela relaoT I = .No caso eltrico, a corrente el-tricaproduzidaporumadiferenadepotencialeltrico ( ) que depende da resistncia eltrica pela relao conhe-cida como Lei de Ohm, eletrV I = . Note que as duas rela-essoidnticas.Omesmoacontececomarelaopara84resistnciaseltricasequivalentes,emsrieeemparalelo. Lembramos que a corrente trmica est relacionada com o fuxo de calor num intervalo de tempo, enquanto a corrente eltrica relaciona-se com o fuxo de cargas eltricas num in-tervalo de tempo.Certamente voc j percebeu que num dia frio de inverno os pssa-ros enchem suas plumas, parecendo mais gordos; isso um exem-plo de que os pssaros conhecem a condutividade dos materiais! O fato que a condutividade trmica do ar muito pequena, ou seja, o ar um bom isolante trmico, ento a camada de ar que preenche as plumas ajuda a evitar a fuga de calor do corpo. Pela mesma razo os casacos de l e as cobertas de pena mantm o nosso corpo aque-cido. Quem j andou de avio deve ter percebido que as janelas so duplas ou triplas, o motivo disso confnar ar entre as lminas de vidro para obter isolamento trmico. No entanto, se o espaamento entre as lminas for grande, a efcincia diminui por efeito de con-veco. A distncia otimizada de isolamento do ar de 1cm a2cm. Na tabela 3.2 esto apresentados valores de condutividade trmica de algumas substncias.Substncia k (W/mK) Substncia k (W/mK)Alumnio 205,0 Vidro 0,8Cobre385,0 Gelo 1,6Ao 50,2 Madeira 0,04 a 0,12Concreto 0,8 Ar 0,024Tabela 3.2 Condutividade trmica de algumas substncias.Exemplo7.Consideredoiscubosmetlicos(chumboeprata)com 2, 0cmdearesta,ligadosemsrie,ondeasextremidadesexternas esto entre dois reservatrios trmicos, um com 1100 C T = (em con-tato com o chumbo) e o outro com 30 C T = (em contato com a prata), semelhante ao sistema da fgura 3.3. Assim: E