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Física 2 - Notas de aula – Capítulo 2 – Vibrações e MHS – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

Introdução

Existem situações na vida prática em que

ocorrem problemas que envolvem uma situação em

que a posição de um corpo é de equilíbrio; uma vez

deslocado dessa posição, ele sofre a atuação de uma

força restauradora, que o obriga a uma posição de vai

e vem em torno da posição de equilíbrio.

Exemplos dessas situações são:

O pêndulo: uma massa suspensa por uma

corda. Na posição de equilíbrio, a massa fica na

posição vertical do ponto de suspensão e quando

deslocada desta posição, ela retorna a ela oscilando de

um lado para outro de forma regular e repetitiva.

Uma massa conectada a uma mola.

Nesse caso, a massa, presa à mola, uma vez deslocada

da posição de equilíbrio (quando a mola está relaxada)

ela retorna a essa posição num movimento repetitivo.

Os pistões de um motor a gasolina.

As cordas de um instrumento musical.

O movimento das moléculas de um

sólido. Movimentam-se em torno de sua posição de

equilíbrio na rede cristalina do sólido.

As vibrações das moléculas de água

causadas pelas microondas num forno de microondas,

rompendo as ligações de hidrogênio nas moléculas,

causando o aquecimento da substância.

A batida do coração humano.

Circuitos elétricos: Num circuito elétrico

no qual há uma corrente elétrica alternada, podemos

descrevê-lo em termos de voltagens, correntes e

cargas elétricas que oscilam com o tempo.

Figura 1 – Exemplos de sistemas oscilantes

e vibratórios.

(a) Pêndulo de um relógio.

(b) Movimento dos pistões num motor de

automóvel.

(c) Movimento da suspensão de um carro.

(d) Funcionamento de um amortecedor e

mola da suspensão de um carro.

(e) Movimento de átomos e de moléculas

numa rede cristalina de uma substância.

(f) Sistemas oscilantes e massa-mola.

Assim, os estudos de movimentos

vibratórios e oscilantes servem de base para muitos

campos da Física.

Quando há a inclusão de forças dissipativas

nesse estudo, chamaremos de força de amortecimento,

importante para descrever o funcionamento da

suspensão de um automóvel.

Também quando há a necessidade de se

acoplar uma força periódica externa ao sistema, para

mantê-lo forçado, onde situações da chamada

ressonância aparecerão, de importante aplicação em

diferentes setores da física.


2

Oscilações livres: O movimento Harmônico

simples - MHS

Quando submetemos um corpo a forças de tração,

compressão ou torção, ele sofre deformação.

Cessando a aplicação, o corpo pode ou não

retornar à sua forma original, retomando as suas

dimensões ou formas iniciais ou permanecer

deformado.

A propriedade que determina como um corpo

retorna às suas condições iniciais depois da aplicação

da força é denominada de elasticidade.

Tracionando-se ou comprimindo-se certa mola

helicoidal, esta irá se deformar em relação à seu

comprimento inicial L0, de uma deformação x e

apresentando-se um comprimento final L.

0 ( )L L x t

Figura 1 - Variação do comprimento de uma

mola em função da deformação x(t).

A intensidade da força aplicada na mola é

proporcional à deformação observada x(t), dentro de

um certo limite elástico. Essa propriedade é traduzida

pela equação:

F k x

Conhecida como Lei de Hooke.

A constante de proporcionalidade k é

chamada de constante elástica da mola e sua unidade

no sistema internacional é o N/m (Newton por metro).

O gráfico de F versus x é uma reta que passa

pela origem, com inclinação k.

No caso de um bloco de massa m suspenso

por uma mola, quando em equilíbrio, a força peso P é

igual à força elástica –kx, a uma deformação que

chamaremos de :

P k

Se houver uma pequena deformação xp da

mola em torno dessa posição de equilíbrio:

0L L

A nova deformação da mola oscilará entre um

máximo e um mínimo desse valor:

0 px t L L x

Ou seja, px t x

A segunda lei de Newton ficará: 2

2

d xm k x P k

dt

2

2

d xm k x

dt

2

20

d x kx

dt m

Situação similar ocorrerá quando tivermos

um bloco conectado à mola na posição horizontal,

desprezando o atrito entre o solo e o bloco.

Observa-se que, uma vez abandonado o

bloco de massa m a partir de uma amplitude xm, a

aceleração será máxima para a esquerda, a velocidade

nula. Quando passar pela posição de equilíbrio,

situada em x = 0, sua velocidade será máxima para a

esquerda e aceleração nula. Ao chegar em –xm, o

bloco comprimiu o máximo a mola, possuirá

velocidade 0 e aceleração máxima para a direita. Ao

passar novamente na posição de equilíbrio em x = 0,

sua velocidade será máxima para a direita e sua

aceleração nula. Assim o movimento se repete num

período T, com uma freqüência f e se relacionando

por:

1T

f


3

Figura 2 – Variação da posição, velocidade

e aceleração num MHS.

Período: Intervalo de tempo de uma

oscilação ou um ciclo.

Unidade: Segundo (s).

Freqüência: Número de oscilações por

unidade de tempo: nf

t

Unidade: Hertz: 1 Hz= 1/s

Rotações por minuto: 1rpm =(1/60)Hz

A dimensão de k

m é de 1/s

2 e esse termo

aparece na equação de movimento do MHS: 2

20

d x kx

dt m

Para resolvermos essa equação, utilizamos a

teoria das equações diferenciais. Assim, podemos ter

como solução:

cosmx t x t

Ou

mx t x sen t

Aqui:

Fase: ,: Constante que depende das

condições iniciais do problema.

Unidade: Radiano: rad.

Freqüência angular : Constante que

dependerá da constante elástica da mola e da massa do

oscilador.

Observamos que para x(t) ser solução da equação

diferencial que representa o movimento do MHS,

deve satisfazê-la.

Assim, precisamos encontrar as derivadas

primeira e segunda de x(t). Escolhendo:

cosmx t x t

m

dx t x sen t

dt

2

2

2cosm

dx t x t

dt

ou

2

2

2

dx t x t

dt

Assim: 2

2

20 0

d x k kx x x

dt m m

k

m

22 f

T

Observe que:

Posição do oscilador:

cosmx t x t

Unidade: metro (m).

xm: máxima amplitude.

Velocidade instantânea:

m

dxv t v t x sen t

dt

Velocidade máxima:

m mv x

Unidade: metro por segundo: (m/s).

aceleração instantânea:


4

2

2

2( ) ( ) cosm

dv d xa t a t x t

dt dt

Aceleração máxima: 2

m m m ma x a v

Unidade: metro por segundo ao

quadrado: (m/s2).

Condições iniciais: As condições iniciais do problema de oscilação

são fundamentais para se conhecer a solução do

problema. São dadas por:

Posição inicial:

00x t x

Velocidade inicial:

00v t v

Assim, se aplicarmos as condições iniciais na

equação:

cosmx t x t

Teremos:

0

0

cosm

m

x x

x sen v

Resolvendo o sistema, acharemos:

2

2 00m

vx x

(Amplitude máxima)

0

0

varctg

x

(Constante de fase)

Se aplicarmos as condições iniciais na

equação:

mx t x sen t

Teremos:

cosm

dxv t v t x t

dt

2

2

2 m

d xa t a t x sen t

dt

0

0cos

m

m

x sen x

x v

Resolvendo o sistema, acharemos:

2

2 00m

vx x

(Amplitude máxima)

0

0

xarctg

v

(Constante de fase)

Gráficos (t, x(t)); (t, v(t)) e (t, a(t))


5

Oscilador Harmônico e Movimento

circular uniforme:

Podemos associar o Movimento Harmônico

Simples ao movimento de uma partícula de massa m

sobre uma circunferência com velocidade constante

(em módulo). Observe que a projeção da posição x da

partícula sobre o eixo x é a posição x(t) do MHS e:

t

cosmx t x

my t x sen

Figura 3 – Relação entre movimento circular

uniforme e MHS.


6

A Energia no Movimento Harmônico

Simples

Conforme ocorre o movimento Harmônico

Simples, há uma transformação constante da energia

potencial elástica da mola (U) em energia cinética da

massa (K). Lembrando que: 2

2

k xU

2

2

m vK

A energia mecânica (E) é dada por: 2 2

2 2

k x m vE U K E

Se substituirmos: cosmx t x t

e mv t x sen t

2 2

cos

2 2

m mk x t m x sen tE

Lembrando que: 2kk m

m

Teremos: 2

2

mk xE

ou

2 2

2

mm xE

Figura 4 – Relação entre as energias no MHS,

energias em função do tempo e da posição.


7

Associação de molas Pode-se encontrar as molas associadas da

seguinte maneira:

Série (a).

Paralelo (b).

Figura 5 – Associação de molas em série (a)

e paralelo (b).

(a) (b)

1 2x x x

1 2x x

1 2

F F F

k k k

1 2k k k

1 2

1 1 1 1

s nk k k k

1 2p nk k k k

Períodos

1 2

1 2 1 2

2 ; 2A A

s p

k k m mT T

k k k k

Pêndulo simples

Pêndulo simples é um instrumento ou uma

montagem que consiste em um objeto oscilando em

torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos

alternados em torno da posição central, chamada

posição de equilíbrio. É muito utilizado em estudos da

força peso e do movimento oscilatório.

A descoberta da periodicidade do movimento

pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de

um pêndulo simples envolve basicamente uma

grandeza chamada período (simbolizada por T): é o

intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer

toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição

original de lançamento, uma vez que o movimento

pendular é periódico).

Figura 5 – Parâmetros necessários para medir a

gravidade g utilizando um pêndulo simples de massa

m: ângulo inicial de lançamento, (t): ângulo num

instante t; l: comprimento do pêndulo.

l

(t)

Pcos

h

s

Psen


8

2

2

d sF ma Psen m mgsen

dt

2 2

2 2

d l dm mgsen l gsen

dt dt

2

2

d gsen

dt l

2

20

d gsen

dt l

3 5

3! 5!sen

2

20,1 0

d gsen

dt l

22

20

g d

l dt

0 cost t

2 g

T l

2l

Tg

Apêndice

Discussão - Pêndulo simples: Caso de qualquer

ângulo inicial

Analisando com a conservação da energia

mecânica:

21

2m c pE E E mv mgh

(para os pontos = 0 e = 0°)

Como:

0cos cosh l l e ( )ds d l d

v ldt dt dt

Substituindo, teremos:

2

0

1cos cos

2

dm l mgl

dt

2

2

0

2

0

1cos cos

2

2 cos cos

dml mgl

dt

d g

dt l

02 cos cosd g

dt l

{1}

0( ) 2 cos cosg

t dl

Se invertermos a relação {1}, teremos:

0

1 1

2 cos cos

dt l

d g

0

1 1

2 cos cos

lt d

g

O período será dado, portanto, por: 4

Tt

0

0 0

4 1

2 cos cos

lT d

g

Como 2 2

22 2 12 2

1 cos 2cos 1

2 2

sensen

0210 2 2

cos 1 sen

0

02 21 10

2 2 2 2

4 1

2 1 1

lT d

g sen sen

0

02 20

2 2

4 1

2 1

2

lT d

gsen sen


9

0

02 20 2 2

14

lT d

g sen sen

Fazendo a mudança de variável:

0 01 12 2 2 2 2 2

cos cossen sen sen d sen d

0

2

2

coscos

send d

Observe que:

0

2

2

arcs nsen

esen

. Assim, quando

0 20 0

Substituindo, teremos:

0 0

0 0

2

2 2 220 2 2

14 cos

cos

senlT d

g sen sen sen

0 0

0

2

220 2

14 cos

cos1

senlT d

g sen sen

0 0

0

2

220

14 cos

coscos

senlT d

g sen

0

20

14

cos

lT d

g

0

20 2

14

1

lT d

g sen

0

02 20 2

41

l dT

g sen sen

2

02 20 2

41

l dT

g sen sen

Como:

2

2 20 1

dK k

k sen

2

0

0

2

22 2

0 21

dK k sen

sen sen

2

2 2 20

( , )1

dK k F k

k sen

Série:

2 2 2

2 4 61 1 3 1 3 51

2 2 2 4 2 4 6K k k k k

0 0 0 0

2 2 2

2 4 6

2 2 2 2

1 1 3 1 3 51

2 2 2 4 2 4 6K sen sen sen sen

Abramowitz & Stegun – Handbook of

Mathematical functions – 9a Ed..17, pg. 589.

02

24

lT K k sen

g

A expansão em série para a integral elíptica de

primeira espécie K(z) fica:

2 3 49 25 1225( ) 1

2 4 64 256 16384

k k k kK k

0 0 0 0

2 2 2

2 4 6

2 2 2 2

1 1 3 1 3 51

2 2 2 4 2 4 6K sen sen sen sen

2 20

( , )1

dF

sen sen

( , ) ( )2

F k K k

Assim:

0 0 0

2 2 2

2 4 6

2 2 2

1 1 3 1 3 52 1

2 2 4 2 4 6

lT sen sen sen

g

Pêndulo físico

Pêndulo físico é chamado de pêndulo real,

pois não tem uma distribuição uniforme de massa.

Para pequenas amplitudes, o cálculo do

período é :

2I

Tm g h

, onde:

I: momento de inércia,

m: massa do pêndulo,

g: é o valor da aceleração da gravidade e

h: é a distância do ponto de pivô onde o

pêndulo está fixo até seu centro de massa.

Se o ponto de apoio O (de pivô) estiver em

seu centro de massa C, não haverá oscilação.


10

Oscilações Forçadas

As vibrações mais importantes do ponto de vista

da engenharia são as vibrações forçadas de um

sistema, que ocorrem quando o sistema é submetido à

uma força periódica ou quando está elasticamente

ligado a um suporte que tem um movimento

alternado.

Suponha uma força periódica do tipo:

mF t F sen t

Onde: Fm é a amplitude de força e a frequência

angular da força externa.

A 2ª Lei de Newton para esse sistema será:

2

2 est m

d xm P k x F sen t

dt

Na ausência de força externa (no equilíbrio):

estP k

Assim:

2

2 m

d xm k x F sen t

dt

mm x k x F sen t

mFkx x sen t

m m

2

0mF

x x sen tm

Aqui chamaremos a frequência angular

natural do sistema como:

0

k

m

A solução da equação diferencial é dada por:

H px t x t x t

Onde: Hx t é a solução da equação

diferencial homogênea:

2

0 0x x

0

0

cosM

H

M

x tx t

x sen t

0 0cosHx t A t B sen t

px t é a solução particular da equação

diferencial:

2

0 1mFx x sen t

m

Podemos considerar como solução particular

a função:

p mx t x sen t

Assim, para satisfazer {1} teremos:

cosp mx t x t

2

p mx t x sen t

Substituindo em {1} teremos:

2 2

0m

m m

Fx sen t x sen t sen t

m

2 2

0m

m

Fx

m

2 2

0

m

m

F

mx


11

2

m

m

F

mxk

m

2

mm

Fx

k m

2

1

m

m

F

kx

k

m

2

2

0

1

m

m

F

kx

Chamamos de:

mm

F

k

Assim:

2

0

1

mmx

A solução geral será, portanto:

H px t x t x t

0 0cos mx t A t B sen t x sen t

0 0 2

0

cos

1

mx t A t B sen t sen t

Assim, a vibração obtida consiste em duas

vibrações sobrepostas. Os dois primeiros termos

representam as vibrações livres do sistema, cuja

frequência é chamada de frequência natural do

sistema, que depende apenas da constante da mola k e

da massa m do sistema. Também chamamos de

vibração transitória, pois logo será dominada pelo

termo permanente xp(t) a seguir. As condições

iniciais para a posição inicial x0 e velocidade inicial v0

permitirão calcular os termos A e B.

Podemos ainda a amplitude máxima xm do

termo permanente da forma:

2

0

1

1

m

m

x

2

0

1

1

m m

m m

x x

F k

O fator de ampliação m m

m m

x x

F k versus a

razão das frequências angulares

0

está representado

graficamente, onde se observa uma singularidade em

0 . Nesse caso, a amplitude da vibração forçada

se torna infinita. Dizemos que a força excitadora ou o

movimento excitador do suporte está em ressonância

com o sistema dado. Na realidade essa amplitude

permanece finita devido às forças dissipativas

amortecedoras, que desconsideramos inicialmente;

porém, essa situação deve ser evitada e a frequência

forçada não deve ser escolhida muito próxima da

frequência natural do sistema.

Notamos que para 0 o coeficiente de

sen(.t) é positivo: a vibração forçada está em fase

com a força excitadora ou o movimento excitador do

suporte, enquanto que no caso 0 esse

coeficiente será negativo e ela estará 180° defasada.


12

Exemplos

1. Imagine que você está numa

embarcação que oscila na água para cima e para

baixo. O deslocamento vertical y da embarcação é:

1,2 cos2 6

ty m

s

(a) Determinar a amplitude, a freqüência

angular, a constante de fase, a freqüência e o período

do movimento.

(b) Qual a posição da embarcação no instante

t = 1 s?

(c) Determinar a velocidade e a aceleração

iniciais da embarcação.

(d) Determinar a posição, a velocidade e a

aceleração iniciais da embarcação.

Solução:

(a)

1,2 cos cos2 6

m

ty m y t

s

ym = 1.2m;1

2rad

s ;

6rad

24T T s

(b)

1

1 1,2 cos2 6

y t ms

1 1,2 cos 1.024y t m

1 1.2 cos 1.024 0.624y t m m

(c)

0.62 6

y

dy tv sen

dt

0.3cos2 6

y

dv ta

dt

(d)

0

0 1,2 cos2 6

y t ms

0 1.04y m

0

0 0.62 6

yv t sens

00.3 m

y sv

0

0 0.3 cos2 6

ya ts

20

0.260 my s

a

2. Um corpo de 0.8 kg está preso a uma

certa mola de constante elástica k = 400 N/m.

Calcular a freqüência e o período do movimento do

corpo quando for ligeiramente deslocado da posição

de equilíbrio.

Solução:

40022.36

0.8rad

s

k

m

20.28T T s

13.56f f Hz

T

3. Um corpo oscila com freqüência

angular de 8 rad/s. No instante t = 0s, o corpo está na

posição x0 = 4 cm, com a velocidade inicial v0=-25

cm/s.

(a) Determinar a amplitude do movimento.

(b) Dar x em função do tempo.

Solução:

(a)

2

2 00m

vx x

(Amplitude máxima)

x0 = 4 cm =0.04m

v0 = -25 cm/s = 0.25 m/s

= 8 rad/s

2

2 0.250.04 0.0506

8mx m

0

0

0.66v

arctg radx

(b)

cosmx t x t

5.06 cos 8 0.66x t t cm

4. Um corpo de 2kg está preso a uma mola.

A constante de força da mola é de k = 196 N/m. O

corpo, inicialmente, está a 5 cm de distância da

posição de equilíbrio e é solto no instante t = 0.

(a) Calcular a freqüência angular , a

freqüência f e o período T do movimento.

(b) Dar a equação de x em função do tempo t.

Solução:

(a) 196

9.902

rads

k

m

20.633T T s

1

1.58f f HzT


13

(b) x0 = 5 cm =0.05m

v0 = 0 m/s

= 9.90 rad/s

2

2 00.05 0.05

9.90mx m

0

0

0v

arctg radx

5 cos 9.90x t t cm

5. Seja um corpo preso a uma mola com o

movimento descrito pela equação:

5 cos 9.90x t t cm

(a) Qual a velocidade máxima do corpo?

(b) Em que instante o corpo tem esta

velocidade máxima?

(c) Qual a aceleração máxima do corpo?

(d) Em que instante o corpo tem essa

aceleração máxima?

Solução:

(a) 5 cos 9.90dx d

v tdt dt

mv t x sen t

m mv x

9.9 0.05 495 cmm s

v

(b)

3 5

1 , ,2 2 2

sen t t

0.1592 2 2 9.90

t t s

(c)

m

dv da x sen t

dt dt

2 cosma t x t 2

m ma x

2

29.9 0.05 490 cmm s

a

(d) t = 0s.

6. Um corpo preso a uma mola, de massa

3kg, oscila com amplitude 4 cm e período 2s.

(a) Qual a energia mecânica total do sistema?

(b) Que velocidade máxima tem o corpo?

(c) Em que posição x1 a velocidade é metade

da velocidade máxima?

Solução:

(a) 2

T

2m

Tk

2

24

mk

T

2

2

34

2k

29.6 Nm

k

2

2

mk xE

229.6 0.04

2E

22.37 10E J

(b)

22

0.1262

m mm s

m v EE v

m

(c)

2 2

2 2

m v k xE K U

max2

22

2 2

vm k x

E

x = 3.46 cm.

7. Um corpo de 3 kg, pendurado numa certa

mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é

deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e

solto para que oscile preso à mola.

(a) Determinar a freqüência do movimento.

(b) Determinar a freqüência se o corpo de 3 kg

for substituído por um de 6 kg.

Solução:

(a)

0

0

184 Nm

m gm g k y k

y

2f

1

11.25

2

kf Hz

m


14

(b)

2

10.884

2

kf Hz

m

8. Calcular no exemplo anterior e determinar

vmax.

Resposta

= 3.14 rad/s; vmax=0.126 m/s.

9. Um corpo de 2 kg e massa oscila preso a

uma mola de k = 40 N/m. Sua velocidade é 25 cm/s

quando está na posição de equilíbrio.

(a) Qual a energia total do sistema oscilante?

(b) Qual a amplitude do movimento?

Resposta (a) 0.0625J.

(b) 5.59 cm.

10. Um corpo de 4 kg, pendurado numa

mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é

deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e

solto para que oscile preso à mola.

(a) Determine a freqüência do movimento.

(b) Determine a freqüência se o corpo for

substituído por outro de 8 kg.

11. Uma plataforma oscila com freqüência de

4 Hz e amplitude 7 cm, presa a uma mola vertical.

Uma pequena conta é pousada na plataforma no exato

momento em que ela se encontra na posição mais

baixa. Admita que a conta seja leve de forma que não

altere a oscilação.

(a) A que distância da posição de equilíbrio

da plataforma sobre a mola a conta perde contato com

a plataforma?

(b) Qual a velocidade da conta no instante

em que abandona a plataforma?

Resposta (a) 1.55cm.

(b) 1.72 m/s.

12. O corpo de 3 kg do exemplo

anterior estica 16 cm a mola quando pendurado na

vertical e em equilíbrio. A mola é então alongada

outros 5 cm em relação à posição de equilíbrio e o

sistema é solto para oscilar livremente. Calcular a

energia total e a energia potencial da mola quando o

corpo está na posição de deslocamento máximo.

Resposta E = 0.23 J.

1.70 J.

13. Calcular o período de oscilação de

um pêndulo simples com 1 m de comprimento.

Resposta T = 2.01 s.

14. Um pêndulo simples com o

comprimento de 1 m está num vagão que se desloca

com aceleração a0 = 3m/s2. Calcular a aceleração g´ e

o período T.

Resposta g´= 10.3 m/s

2 e T = 1.96s.

15. Um relógio de pêndulo é calibrado para

manter o período exato de oscilação com um ângulo

= 100. Se a amplitude das oscilações diminuir e ficar

muito pequena, o relógio irá adiantar ou atrasar? Qual

o valor do atraso ou do adiantamento em um dia?

Resposta Adianta. 2.74 min por dia.

16. Uma barra homogênea de massa M

e comprimento L está suspensa por uma das

extremidades.

(a) Calcular o período da oscilação quando

os deslocamentos angulares forem pequenos.

(b) Calcular o período de oscilação se o

ponto de suspensão P estiver à distância x do centro

de massa.

Resposta

(a) 2

23

lT

g

(b)

2 21

122

l x

Tx g

17. Qual o período de oscilação, com

deslocamentos angulares pequenos, de uma barra de

um metro suspensa por uma de suas extremidades?


15

Resposta T = 1.64 s.

18. Mostrar que, quando x = l/6, o período é

igual ao da oscilação quando x = l/2.

19. Determinar o valor de x, no

exemplo 16, para o qual o período é um mínimo.

Resposta

12

lx

20. Um motor pesando 1750 N está

apoiado por 4 molas, cada uma com constante elástica

de 105 kN/m. O desbalanceamento do rotor é

equivalente a um peso de 0.3 N localizado a 0.15 m

do eixo de rotação. Sabendo que o motor é obrigado a

mover-se verticalmente, determine:

(a) a frequência em rpm que ocorrerá a

ressonância.

(b) a amplitude da vibração do motor na

frequência de 1200 rpm.

Solução:

(a) 4e

m

k k

m P g

34 150 1058

1750 9.81

rad

s

58

2 2f f

9.23 9.23 60f Hz f rpm

554f rpm

(b) Amplitude de força:

22 2d

m d m

PF m r F f r

g

2 24 dm

PF f r

g

2

2 0.3 12004 0.15

9.81 60mF

72.43mF N

2

0

1

1

m

m

x

3

72.43

4 150 10

mm m

e

F

k

41.207 10m m

2

0

1

1

m

m

x

f

f

2

1

12001

554

m

m

x

0.2708m

m

x

40.2708 1.207 10mx

53.2 10mx

21. Um pêndulo simples de massa m

funciona como um relógio.

(a) Encontre seu comprimento.

(b) Calcule o novo valor do período sem

considerar a aproximação de pequenos ângulos para

cada ângulo dado na tabela.

0 0 0

2 2 2

2 4 6

2 2 2

1 1 3 1 3 52 1

2 2 4 2 4 6

lT sen sen sen

g

0(°) 180

(rad)

T(s)

5 5

180

10 10

180

15 15

180

20 20

180

25 25

180

30 30

180

35 35

180

40 40

180

45 45

180 1.00193

50 50

180


16

Solução:

(a) 2l

Tg

2 2

2 2

19.81

4 4

Tl g l

0.2485l m

Beer Johnston – Capítulo 19

19.1 Um ponto material desloca-se em

movimento harmônico simples com aceleração

máxima de 3,00 m/s2 e sua máxima velocidade, 150

mm/s. Determine a amplitude e a freqüência do

movimento.

19.2 Determine a máxima velocidade e a

máxima aceleração do um ponto material que se

move em movimento harmônico simples com

amplitude de 150 mm e período de 0.90s.

19.3 O cursor está preso à mola ilustrada na

figura e pode deslizar sem atrito na barra horizontal.

Se o cursor for afastado 0.102 m de sua posição de

equilíbrio e liberado, determinar o período, a

velocidade máxima e a aceleração máxima do

movimento resultante. A massa vale 2.27 kg e a

constante da mola, 525 N/m.

A

19.4 Um cursor de 1,36 kg está preso a uma

mola de constante 700 N/m e poda deslizar sem atrito

ao longo de uma haste horizontal. O cursor

inicialmente em repouso receba um golpe, adquirindo

uma velocidade de 1.27 m/s. Determine a amplitude e

a máxima aceleração do cursor durante o movimento

subseqüente.

19.5 Um motor de velocidade variável está

rigidamente preso à viga BC. O motor está

ligeiramente desbalanceado e faz a viga vibrar com

freqüência angular igual à velocidade do motor.

Quando a velocidade do motor é menor que

450 rpm ou mais que 900 rpm, observa-se que um

pequeno objeto colocado em A permanece em contato

com a viga. Para velocidades entra 450 e 900 rpm o

objeto "dança" e realmente perde o contato com a

barra. Determine a amplitude do movimento de A

quando a velocidade do motor é:

(a) 450 rpm, (b) 900 rpm.

A

19-6. Coloca-se um pacote B sobra uma

mesa oscilante, como indica a figura. A mesa se

move horizontalmente em movimento harmônico

simples com freqüência de 3 Hz. Sabendo que o

coeficiente de atrito estático pacote-mesa é = 0.40,

determine a máxima amplitude do pacote para que ele

não escorregue da mesma.

19.7 O cursor de 3.00 kg repousa sobre,

mas não está preso a, a mola Ilustrada. O cursor é

pressionado 0.050 m e liberado. Se o movimento que

se segue é harmônico, determine

(a) o valor máximo permissível da

constante k da mola

(b) a posição, a velocidade e a aceleração

do cursor 0.15 s após ele ter sido solto.

19.8 Um cursor de 4.00 kg está preso a uma

mola de constante k = 800N/m como ilustrado. Se a

ele é dado um deslocamento de 40 mm para baixo de

sua posição de equilíbrio, determine

(a) o tempo necessário para o cursor

mover-se 60 mm para cima e

(b) a sua aceleração correspondentes.

19.9 Um cursor de 1.36 kg está ligado a

uma mola da constante k = 876 N/m como ilustrado.

Se deslocarmos o cursor 63.5 mm para baixo da sua

posição de equilíbrio, determine

(a) o tempo gasto pelo cursor para ele se

mover 50.8 mm para cima

(b) suas correspondentes velocidade e

aceleração.

19.10 No Problema 19.9, determine a

posição, a velocidade e a aceleração do cursor, 0.20s

após sua liberação.

19.11 e 19.12 Sustenta-se um bloco por

meio de molas, como indicam as figuras. Se

movermos o bloco verticalmente para baixo de sua

posição de equilíbrio e então o soltarmos, determine:

(a) o período e a freqüência do movimento

e

(b) a velocidade e a aceleração máxima

atingidas pelo bloco para uma amplitude de 0,0318 m.


17

2.63 kN/m 2.63 kN/m

1.75 kN/m

19.13 e 19.14 O bloco mostrado na figura

foi deslocado verticalmente para cima da posição de

equilíbrio, e, então, liberado. Determine

(a) o período e a freqüência do movimento

adquirido pelo bloco e

(b) a velocidade e a aceleração máximas

para um movimento com amplitude de 25 mm.

19.15 O período de vibração do sistema

indicado na figura é de 0.40s. Com a remoção do

cilindro B, o período se torna igual a 0.30 s.

Determine:

(a) a massa do cilindro

(b) a constante elástica da mola.


indicado na figura é 1.5º s. Se substituirmos o cilindro

B por outro de peso igual a 17.8 N, o período passará

a ser de 1.6 8. Determinar

(a) a massa do cilindro A e

(b) a constante da mola.

19.17 Uma bandeja de massa m, presa a três

molas tem o período de vibração igual a 0.50s.

Colocando-se um bloco de 1.50 kg sobre a bandeja, o

período se altera para 0.60 s. Sabendo que a amplitude

das vibrações é pequena, determine a massa m da

bandeja.


bandeja-molas é 0.75s. Removendo-se a mola central

C, o período se altera para 0.90 s. Sabendo-se que a

constante da mola C vale 100N/m, determinar a

massa m da bandeja.

19.19 Um cursor de massa m desliza

sem atrito numa barra horizontal e está presa

uma mola AB de constante k.

(a) Se o comprimento da mola não

deformada é exatamente ic mostre que o cursor

não executa um movimento harmónico simples

mesmo quando as osc são de pequena amplitude,

(b) Se o comprimento da mola não

deformada é menor que /, mós;

o movimento é harmónico simples para pequenas

amplitudes.

19.20 A barra AB esta presa d uma

articulação A e a duas molas, cada uma de constante

elástica k. Quando h = 0,60 m, d = 0.25 m e m =

25kg, determine o valor de k para que o período de

pequenas oscilações seja

(a) 1.0 s.

(b) infinito.

Despreze o peso da barra e suponha que

cada mola pode atuar tanto na tração como na

compressão.


18

19.21 Se d = 0.40m, h = 0.60m e cada mola

tem uma constante elástica k = 700 N/m, determine a

massa m para a qual o período de oscilações pequenas

é

(a) 0.50s

(b) infinito.

19.22 Denotando por est a deflexão estática

de uma viga sob uma determinada carga, mostre que a

freqüência de vibração da carga é:

1

2 est

gf

21.23 Desenvolvendo o integrando de:

0

02 20 2 2

14

lT d

g sen sen

Numa série de potências pares de sen e integrando,

mostre que o período de um pêndulo simples de

comprimento l pode ser dado aproximadamente pela

fórmula:

212 1

4 2

mlT sen

g

Onde m é a amplitude das oscilações.

19.24 Utilizando a fórmula dada anterior,

determine a amplitude m para a qual o período de um

pêndulo simples é 1% maior que o período do mesmo

pêndulo para pequenas oscilações.

19.25 Utilizando os dados da tabela 19.1,

determine o período de um pêndulo simples de

750mm de comprimento

(a) para pequenas oscilações,

(b) para oscilações de amplitude m = 600 e

(c) para oscilações de amplitude m = 900.

19.26 Utilizando a tabela de integrais

elípticas, determine o período de um pêndulo simples

de comprimento l = 750 mm se a amplitude das

oscilações é de m = 500.


19

Atividade

1a Parte:

Utilizando o programa Interactive Physics

(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do

arquivo osh.ip

Fazer as simulações indicadas na tabela a

seguir, seguindo o procedimento:

i k

(N/m)

m

(kg)

v0

(m/s)

L

(m)

x0

(m)

T

(s)

f

(Hz) 0

(rad/s)

xm

(m) (0)

vm

(m/s)

am

(m/s2)

1 50 1 0 1,75

2 50 1 0,50 1,75

3 100 2 0 1,75

4 100 2 1,00 1,50

5 500 5 0 1,80

6 10000 10 0,50 1,80

7

Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Procedimento para simulações:

1. Escolha o botão do controle da constante

elástica k da mola e coloque o valor indicado na

simulação.

2. Escolha o botão do controle da massa do

bloco e coloque o valor indicado na simulação.

3. Clique duas vezes no bloco e altere o valor

da posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de

acordo com a simulação i.

4. Clique duas vezes com o botão esquerdo do

mouse sobre a mola e confira os valores de L e L0 da

mola.

5. Faça a simulação e observe os gráficos x(t),

v(t) e a(t).

6. Confira os valores indicados como mostra a

tabela que você completou em sala de aula.

7. Faça as simulações usando o programa

graphdpr, acessando oscilações mecânicas, e construa

os gráficos, para cada simulação:

x(t) versus t.

v(t) versus t.

a(t) versus t.

Ec(t) versus t.

Ep(t) versus t.

EM(t) versus t.

Faça o download em:

www.claudio.sartori.nom.br

8. Confira os dados calculados em classe com a

execução do programa graphdpr.

Formulário – Oscilador Harmônico

Posição x(t):

0( ) ( )mx t x sen t

Ou

0( ) cos( )mx t x t

Velocidade v(t):

( )dx

v tdt

Aceleração a(t):

( )dv

a tdt

Freqüência angular:

m

k0

Freqüência:

0

2f

Período:

0

2 1T

f

Máxima amplitude xm:

2

2 00

0

m

vx x

(se 0( ) ( )mx t x sen t )

Fase :

0

0

varctg

x

(se 0( ) ( )mx t x sen t )

2a Parte:

Utilizando o programa Interactive Physics

(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do

arquivo osh2.ip e osh3.ip.

http://www.claudio.sartori.nom.br/

Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Problemas

1. Para cada caso:

(a) Encontre a freqüência angular 0 natural.

Encontre o período T e a freqüência f.

Complete a tabela. Caso

i

ke

(N/m)

m

(kg)

v0

(m/s) 0

(rad/s)

x0

(m)

T

(s)

f

(Hz)

1 0,75 0 0,25

2 0,75 0 0,25

3 0,75 0 0,25

(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso,

onde x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s.

Dados:

k = 50N/m; m = 0,75 kg

2. Dado o sistema da figura:

Dados:

k = 300N/m; m = 0,75 kg e Fm = 50 N.

(a) O valor da freqüência de ressonância:

m

k0

(b) O valor da amplitude de deformação para

cada valor da tabela dada:

2

0

1

mmx

(rad/s)

xm (m)

0.2 0

0.4 0

0.6 0

0.8 0

1.2 0

1.8 0

2.0 0

4.0 0

(c) Faça um gráfico de m

m

x

versus 0

(d) Faça os gráficos de x(t), v(t) e a(t) usando

x0=0.25m e v0=0 para cada do item (c).

3. Dado o pêndulo simples com 0 = 20.

(a) Faça o cálculo do período para:

l = 0,2 m e l = 0,3 m.

(b) Encontre a freqüência angular para os valores

do comprimento do pendulo acima.

(c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0.

MA - N1- Mecânica Aplicada – Oscilações Forçadas, Amortecidas e amortecidas forçadas 1

1

Procedimento para simulações:

9. Escolha o botão do controle da constante elástica k

da mola e coloque o valor indicado na simulação.

10. Escolha o botão do controle da massa do bloco e

coloque o valor indicado na simulação.

11. Clique duas vezes no bloco e altere o valor da

posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de acordo com a

simulação i.

12. Clique duas vezes com o botão esquerdo do mouse

sobre a mola e confira os valores de L e L0 da mola.

13. Faça a simulação e observe os gráficos x(t), v(t) e

a(t).

14. Confira os valores indicados como mostra a tabela

que você completou em sala de aula.

15. Faça as simulações usando o programa graphdpr,

acessando oscilações mecânicas, e construa os gráficos,

para cada simulação:

x(t) versus t.

v(t) versus t.

a(t) versus t.

Ec(t) versus t.

Ep(t) versus t.

EM(t) versus t.

Faça o download em:

www.claudio.sartori.nom.br

16. Confira os dados calculados em classe com a

execução do programa graphdpr.

17. Em oscilações livres forçadas há a possibilidade de

construir os gráficos com:

2

mF m r

Formulário – Oscilador Harmônico e

forçado

Posição x(t):

0 0( ) ( ) cos( )Hx t Asen t B t

( )P mx t x sen t

( ) ( ) ( )H Px t x t x t

0 0( ) ( ) cos( ) mx t Asen t B t x sen t

Velocidade v(t):

( )dx

v tdt

Aceleração a(t):

( )dv

a tdt

Freqüência angular:

m

k0

Freqüência:

0

2f

Período:

0

2 1T

f

Máxima amplitude xm:

2

0

1

mmx

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Física 2 - Notas de aula Capítulo 2 Vibrações e MHS Prof ... · Figura 1 – Exemplos de...

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