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FILIPE CASSIANO DE CARVALHO BEZERRA CÁLCULO DA ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO: ESTUDO COMPARATIVO ENTRE NORMAS NATAL-RN 2017 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
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FILIPE CASSIANO DE CARVALHO BEZERRA
CÁLCULO DA ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO EM
VIGAS DE CONCRETO ARMADO:
ESTUDO COMPARATIVO ENTRE NORMAS
NATAL-RN
2017
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Filipe Cassiano de Carvalho Bezerra
Cálculo da armadura mínima de flexão em vigas de concreto armado:
Estudo comparativo entre normas
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do Título de Bacharel
em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Barros
Coorientador: Profa. Dra. Selma H. S. da
Nóbrega
Natal-RN
2017
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Sistema de Bibliotecas – SISBI
Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede
Bezerra, Filipe Cassiano de Carvalho.
Cálculo da armadura mínima de flexão em vigas de concreto armado:
estudo comparativo entre normas / Filipe Cassiano de Carvalho Bezerra. -
2017.
70 f. : il.
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, Centro de Tecnologia, Engenharia Civil. Natal, RN, 2017.
Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Barros.
Coorientador: Prof.ª Dr.ª Selma H. S. da Nóbrega.
1. Concreto armado - Monografia. 2. Armadura mínima de flexão -
Monografia. 3. Vigas - Monografia. 4. Ductilidade - Monografia. 5.
Momento de fissuração - Monografia. I. Barros, Rodrigo. II. Nóbrega,
Selma H. S. da. III. Título.
RN/UFRN/BCZM CDU
624.012.45
Filipe Cassiano de Carvalho Bezerra
Cálculo da armadura mínima de flexão em vigas de concreto armado:
Estudo comparativo entre normas
Trabalho de conclusão de curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Aprovado em 02 de junho de 2017:
___________________________________________________
Prof. Dr. Rodrigo Barros – Orientador (UFRN)
___________________________________________________
Profa. Dra. Selma H. S. da Nóbrega – Coorientador (UFRN)
___________________________________________________
Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega – Examinador interno (UFRN)
___________________________________________________
Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador externo (UFRN)
Natal-RN
2017
DEDICATÓRIA
Aos meus pais, Cassiano e Milene
AGRADECIMENTOS
Esta monografia representa o encerramento de mais um ciclo em minha vida, ciclo
este que iniciou-se 6 anos atrás com o ingresso na graduação de Engenharia Civil e no qual
muitas pessoas tiveram participação importante. Portanto, faz-se necessário agradecer:
Aos meus pais, Cassiano Bezerra e Milene Bezerra, que me proporcionaram uma
ótima educação acadêmica e moral, desde a infância, e estão sempre presentes nos momentos
de dificuldade e alegria.
Aos meus irmãos, Paulo Cassiano e Daniela Bezerra, que têm sido durante toda minha
vida meus fiéis companheiros.
Aos meus avós e tios que sempre me incentivaram a me dedicar à formação
acadêmica.
A toda minha família, que representa o pilar mais importante da minha vida e me dá
equilíbrio e motivação para sempre seguir em frente.
A Carolina Diniz, que teve grande importância para a concretização desta monografia.
Ao meu orientador, professor Dr. Rodrigo Barros, que tanto tem compartilhado seus
conhecimentos e me orientado com excelência, estando sempre disponível para me atender.
A minha coorientadora, professora Dra. Selma da Nóbrega, excelente professora e
pessoa, de quem tive a oportunidade de ser seu aluno em duas ocasiões.
Aos professores membros da banca examinadora, professor Dr. Joel Neto e professor
Dr. José Neres, duas referências na área de estruturas, que têm elevado o patamar da UFRN.
A todos que fazem parte do escritório George Maranhão Engenharia e Consultoria
Estrutural, que tanto contribuíram para meu amadurecimento profissional.
A todos os professores e colaboradores da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte.
Aos meus amigos, que representam outro importante pilar em minha vida.
A todos os que participaram do período de um ano e quatro meses passado na
Universidade da Columbia Britânica, no Canadá, pelo programa Ciências Sem Fronteiras.
A Deus, que tem sempre guiado meu caminho.
Filipe Cassiano de Carvalho Bezerra
RESUMO
Cálculo da armadura mínima de flexão em vigas de concreto armado: Estudo
comparativo entre normas
Este trabalho demonstra a origem das taxas e equações que determinam a armadura
mínima de flexão em vigas de concreto armado de acordo com a ABNT NBR 6118:2014,
ABNT NBR 6118:2003, ACI 318-14 e Eurocode 2 (2004), bem como compara os resultados
fornecidos por cada norma. As deduções e resultados obtidos para a ABNT NBR 6118:2003
apontam que muitas das considerações feitas para se obter as taxas mínimas fornecidas na
tabela 17.3 desta norma, não estão alinhadas com algumas teorias mostradas na mesma
norma. O ACI 318-14 fornece as maiores taxas mínimas; quando comparado com a ABNT
NBR 6118:2014, verifica-se valores maiores em, pelo menos, 70%. A ABNT NBR 6118, por
sua vez, mostra taxas mínimas maiores que as fornecidas pelo Eurocode 2 em no máximo
22%. O presente trabalho também apresenta o conceito do efeito de escala nas vigas (size
effect) e sua influência na determinação da armadura mínima, de acordo com estudos
mostrados por Bruckner e Eligehausen (1998) e por Ozbolt e Bruckner (1999). Nenhuma das
normas estudadas levam em conta esse efeito.
Palavras-chave: Armadura mínima de flexão. Concreto Armado. Vigas. Ductilidade.
Momento de fissuração.
ABSTRACT
Title: Calculation of minimum flexural reinforcement on reinforced concrete beams:
Comparative study between codes
This paper shows the derivation of ratios and equations which give the minimum
flexural (longitudinal) reinforcement area according to ABNT NBR 6118:2014, ABNT NBR
6118:2003, ACI 318-14 and Eurocode 2 (2004), as well as compares the results from each
code. The derivation and results obtained for ABNT NBR 6118:2003 show that many
considerations made to derive the minimum reinforcement ratios presented in the table 17.3 of
this code are not in line with the theory exposed in the same code. ACI 318-14 presents the
highest minimum reinforcement ratio; compared to ABNT NBR 6118:2014 it gives values at
least 70% higher. ABNT NBR 6118:2014, in turn, gives minimum reinforcement ratios that
are not more than 22% higher than the values calculated according to Eurocode2.
Furthermore, it is presented the concept of size effect and its influence on determining
minimum flexural reinforcement, as shown in Bruckner and Eligehausen (1998) and Ozbolt
and Bruckner (1999). None of the codes studied take this effect into consideration.
Keywords: Minimum flexural reinforcement. Reinforced Concrete. Beams. Ductility.
Cracking Moment.
ÍNDICE GERAL
CAPÍTULO PÁGINA
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 13
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................... 13
1.2 OBJETIVOS ................................................................................................. 14
1.2.1 GERAL ................................................................................................ 14
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................. 14
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................. 15
1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 15
1.5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................ 16
2. ABNT NBR 6118:2014 ............................................................................................. 18
2.1 SIMBOLOGIA ............................................................................................. 18
2.2 PREÂMBULO .............................................................................................. 19
2.3 EQUAÇÕES UTILIZADAS ........................................................................ 21
2.4 CONCRETOS DAS CLASSES C20 À C50 ................................................. 22
2.5 CONCRETOS DAS CLASSES C55 À C90 ................................................. 25
2.6 DISCUSSÃO ................................................................................................ 28
3. ABNT NBR 6118:2003 ............................................................................................. 30
3.1 SIMBOLOGIA ............................................................................................. 30
3.2 PREÂMBULO .............................................................................................. 30
3.3 EQUAÇÕES ................................................................................................. 32
3.4 CÁLCULO DOS VALORES TABELADOS ............................................... 32
3.5 DISCUSSÃO ................................................................................................ 39
4. ACI 318-14 ................................................................................................................ 41
4.1 SIMBOLOGIA ............................................................................................. 41
4.2 PREÂMBULO .............................................................................................. 41
4.3 DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO ACI 318-14 ......................................... 43
4.4 DISCUSSÃO ................................................................................................ 47
5. EUROCODE 2 .......................................................................................................... 48
5.1 SIMBOLOGIA ............................................................................................. 48
5.2 PREÂMBULO .............................................................................................. 48
5.3 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO ........................................................................ 49
6. RESULTADOS E DISCUSSÕES ........................................................................... 52
6.1 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ................................................... 52
6.2 DISCUSSÃO ................................................................................................ 58
6.2.1 EFEITO DE ESCALA NAS VIGAS .................................................. 58
6.2.2 RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO ....................................... 58
6.2.3 RESISTÊNCIA DE RUPTURA DO AÇO.......................................... 59
6.2.4 QUAL NORMA É MAIS COERENTE? ............................................ 59
6.3 SUGESTÕES ................................................................................................ 60
6.3.1 SUBSTITUIÇÃO DA EQUAÇÃO DO Md,mín .................................... 60
6.3.2 TRATATIVA PARA SECÕES T ....................................................... 63
7. CONSIDERACÕES FINAIS ................................................................................... 66
7.1 CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............ 66
ANEXO A ...................................................................................................................... 70
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA PÁGINA
Figura 1 - Viga de concreto armado no estádio III até C50 ..................................................... 16
Figura 2 - Comportamento elástico linear de uma viga de concreto simples até atingir a
ruptura ....................................................................................................................................... 17
Figura 3 - Seções T1 e T2 (Dimensões em cm) ....................................................................... 38
ÍNDICE DE TABELAS
TABELA PÁGINA
Tabela 1 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da ABNT NBR
6118:2014) ................................................................................................................................ 20
Tabela 2 - Cálculo do ρmin para a ABNT NBR 6118:2014 (C20 a C50) ................................ 24
Tabela 3 - Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2014 (C55 a C90) .................................. 27
Tabela 4 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da ABNT NBR
6118:2003) ................................................................................................................................ 31
Tabela 5 - Cálculo do ρmín de acordo com o exemplo 4 ........................................................... 36
Tabela 6 - Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2003 ...................................................... 37
Tabela 7 - Cálculo do ρmín para as seções T ............................................................................. 39
Tabela 8 - Cálculo do ρmín para o ACI 318 ............................................................................... 46
Tabela 9 - Cálculo do ρmín para o Eurocode 2 .......................................................................... 51
Tabela 10 - Comparação entre as resistências à tração na flexão de cada norma .................... 53
Tabela 11 - Comparação do ρmín de cada norma ....................................................................... 55
Tabela 12 - Comparação entre o ρmín (%) proveniente da equação sugerida e o da norma
ABNT NBR 6118:2014 ........................................................................................................... 61
Tabela 13 - Valores de ρmín (%) para diferentes relações d/h ................................................... 62
Tabela 14 - Cálculo do ρmín para as seções T por meio de diferentes metodologias ................ 64
ÍNDICE DE GRÁFICOS
GRÁFICO PÁGINA
Gráfico 1 - Comparação entre os módulos de rupturas de cada norma .................................... 54
Gráfico 2 - Comparação do ρmín de cada norma ....................................................................... 56
Gráfico 3 - ρmín para as seções T por meio de diferentes metodologias. .................................. 65
13
CAPÍTULO I
-INTRODUÇÃO-
1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Desde os princípios do uso do concreto para a fabricação de elementos estruturais foi
visto que o mesmo, quando endurecido, apresentava boa resistência à compressão, porém uma
resistência muito inferior à tração. Isso gerava a necessidade de elementos muito robustos,
principalmente quando ocorriam esforços de flexão. A solução para esse problema foi
encontrada no concreto armado, onde barras da aço são posicionadas nas regiões onde surgem
trações e absorvem essas tensões.
Com o advento do concreto armado, foi possível construir elementos bem mais
esbeltos e mais dúcteis também. Essa ductilidade é representada nas vigas pela capacidade de
abrir grandes fissuras, apresentar grandes deslocamentos e rotações nas seções antes que
ocorra a ruptura; ou seja, há um certo aviso antes da ruína. A capacidade de uma estrutura
hiperestática em redistribuir esforços e formar rótulas plásticas depende dessas características
de ductilidade.
Uma viga de concreto simples apresenta um comportamento frágil na ruptura, pois
quando ocorrer a formação da primeira fissura no bordo tracionado a seção terá sua
capacidade resistente esgotada, apresentando pequenos deslocamentos e fissuração.
A maioria das normas criou prescrições para garantir o comportamento dúctil e afastar
o frágil. Um exemplo clássico de comportamento frágil em elementos fletidos, são as seções
superarmadas, onde o concreto comprimido rompe antes que o aço escoe, o que não gera as
deformações e fissuração esperada. Para afastar esse comportamento, a linha neutra é limitada
a uma altura máxima de 0,45d (d é altura útil da seção) para concretos até 50 MPa e 0,35d
para concretos de 50 a 90 MPa na ABNT NBR 6118:2014. No ACI 318-14, o alongamento no
aço deve atingir pelo menos 0,5% para que o elemento apresente o comportamento
suficientemente dúctil.
Outra prescrição importante nas normas é a limitação de uma taxa mínima de
armadura de flexão (a partir de agora poderá ser tratada apenas como taxa de armadura
mínima ou taxa mínima) nas vigas de concreto armado. Essa limitação visa garantir que a
seção de concreto armado ao atingir o estado limite último (ELU) resista mais que a mesma
seção de concreto simples.
14
De acordo com o parágrafo anterior, o cálculo da armadura mínima é bastante direto e
simples, mas apesar disso, os valores de armadura mínima variam bastante entre as diversas
normas consultadas. Na última revisão da ABNT NBR 6118, publicada em 2014, as taxas de
armaduras mínimas mudaram consideravelmente e surgiram discussões no meio técnico.
O presente estudo terá seu enfoque nessas taxas mínimas de acordo com as normas
brasileiras ABNT NBR 6118:2014 e ABNT NBR 6118:2003, com a norma americana ACI
318-14 e com a norma europeia EN 1992-1-1 (2004) (Eurocode 2 ou simplesmente EC2).
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 GERAL
A pesquisa tem como objetivo geral compreender, através de deduções, as equações e
as tabelas utilizadas para fornecer as taxas mínimas de armadura de flexão das vigas de
acordo com as diferentes normas estudadas e comparar os resultados obtidos por elas.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
O trabalho tem como objetivos específicos:
Calcular as taxas mínimas de armadura de flexão presentes na tabela 17.3 da ABNT
NBR 6118:2014 através da dedução encontrada;
Calcular as taxas mínimas de armadura de flexão para seções retangulares presentes na
tabela 17.3 da ABNT NBR 6118:2003 através da dedução encontrada;
Entender o motivo das mudanças na tabela 17.3 da ABNT NBR 6118 entre a versão
de 2003 e 2014.
Elaborar uma tabela para seções retangulares para o ACI 318
Elaborar uma tabela para seções retangulares para o EC2
Comparar os valores tabelados, explicar as diferenças e sugerir mudanças
15
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
A pesquisa está desenvolvida em 7 capítulos, incluindo este primeiro.
Os capítulos 2 e 3 tratam da dedução da tabela 17.3 “Taxas mínimas de armadura de
flexão para vigas” das normas ABNT NBR 6118 de 2014 e 2003, respectivamente.
Em seguida, o capítulo 4 traz a dedução das equações do ACI 318-14.
Na sequência, o capítulo 5 trata da dedução das equações do EC2.
É importante salientar que os capítulos 2 ao 5 contam com simbologia específica
encontrada no início de cada capítulo, pois o mesmos usam simbologias de acordo com cada
norma estudada.
No Capítulo 6 os resultados dos capítulos anteriores são comparados e o autor faz
algumas sugestões.
Finalmente, o Capítulo 7 apresenta as conclusões do trabalho e sugestões para
trabalhos futuros.
1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O assunto de armadura mínima é limitado em termos de publicações, principalmente
nacionais. Pelo fato de ter uma teoria aparentemente simples, leva-se a crer que os conceitos
apresentados nas normas e livros sobre concreto armado em geral é suficiente para o total
entendimento do tópico. A maioria das literaturas sobre concreto armado, assim como
normas, apresentam o conceito de armadura mínima, mas não se aprofundam na origem dos
valores e equações estabelecidas. Apenas algumas publicações mostram essas deduções, e
outras poucas mostram resultados de ensaios.
A revisão bibliográfica teve seu enfoque nas quatro normas estudadas e no Código
Modelo do CEB-FIP (1990); para complementar a revisão sobre o estádio I e o estádio III e
encontrar exemplos de aplicação de armadura mínima foram consultados Araújo (2010),
Carvalho e Figueiredo Filho (2014) , Bastos (2015) e o CT 301 Projeto de Estruturas de
Concreto (2015); Publicações sobre o tema de Seguirant et al. (2010); Freyermuth e Aalami
(1997); Dahlgren e Svensson (2013); Bruckner e Eligehausen (1998); Carpintere et al. (1999),
Ozbolt e Bruckner (1999); e Shehata et al. (2003) foram consultadas para se ter
conhecimento de outros conceitos aplicados a armadura mínima e para encontrar informações
complementares.
16
Comentários, perguntas e repostas e exemplos apresentados por Migliore (2013),
Kimura (2013) e Sepeda et al. (2013) foram de suma importância para se entender os
questionamentos em torno das mudanças que ocorreram na Tabela 17.3 da ABNT NBR 6118
entre a versão de 2003 e a de 2014; e para encontrar uma dedução plausível que resultasse nas
taxas mínimas encontradas na ABNT NBR 6118:2003.
1.5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Como dito anteriormente, para promover o comportamento dúctil de uma viga, é
necessário que o momento resistente de cálculo da seção de concreto armado, MRd,, seja igual
ou superior ao momento resistente da mesma seção de concreto simples, esse último é
equivalente ao momento de fissuração, Mcr. A equação seguinte traduz isso.
𝑀𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝑐𝑟 (eq. 1)
O momento resistente de cálculo é calculado com base nas teorias do ELU, com a
seção trabalhando no estádio III (figura 1).
Figura 1 - Viga de concreto armado no estádio III até C50
Fonte: Bastos (2015)
Já o momento de fissuração é obtido pela teoria da elasticidade, com o concreto no
estádio I, através de equações provenientes da resistência dos materiais (figura 2).
17
Figura 2 - Comportamento elástico linear de uma viga de concreto simples até atingir a
ruptura
Fonte: Bastos (2015)
A figura anterior ilustra uma viga de concreto simples; devido à baixa resistência a
tração, associada com pequenos alongamentos na fibra mais tracionada, é possível imaginar
que antes da formação da primeira fissura haverá pouca deformação. Imagina-se também, que
quando ocorrer a primeira fissura, essa seção perderá a sua capacidade resistente de forma
repentina, e entrará em ruína. Esse comportamento frágil não avisa, através de grandes
deformações e fissuras, que a ruína está próxima; porém, tal comportamento pode ser evitado
quando as vigas têm, pelo menos, a armadura mínima.
Já as vigas de concreto armado com área de aço menor que a mínima recomendada por
norma poderão se comportar de forma similar a uma seção de concreto simples. Isso indica
que quando o concreto, no bordo tracionado, atingir a tensão de tração máxima e as primeiras
fissuras se formarem, o aço ali presente, em tão insignificante taxa, não resistirá aos esforços,
que a partir de então, deveriam ser resistidos pelo aço e não mais pelo concreto. Nesta
situação, entende-se que a presente seção de concreto armado no estádio III (Figura 1), não
resiste mais que a mesma seção no estádio I (Figura 2).
Todas as normas estudadas levam em conta a teoria supracitada. Essa teoria não
diferencia as vigas de acordo com suas dimensões, independentemente da altura de uma certa
viga, o cálculo da armadura mínima segue da mesma forma. Apesar das normas em questão
não considerarem, Bruckner e Eligehausen (1998) e Ozbolt e Bruckner (1999) apontam
comportamentos diferentes de acordo com a altura da viga. Isso será comentado na discussão
final.
18
CAPÍTULO II
-ABNT NBR 6118:2014-
2.1 SIMBOLOGIA
As simbologias utilizadas no decorrer deste capítulo, necessárias ao entendimento do
conteúdo do mesmo, situam-se abaixo.
SÍMBOLO SIGNIFICADO
Ac Área da seção transversal da peça
As Área de aço
As,mín Área de aço mínima
b Largura
d Altura útil da seção
fcd Resistência de cálculo à compressão do concreto
fck Resistência característica à compressão do concreto
fct Resistência do concreto à tração direta
fct,m Resistência média à tração do concreto
fctk,inf Resistência inferior à tração do concreto
fctk,sup Resistência característica superior do concreto à tração
fyd Tensão de escoamento de cálculo
fyk Tensão de escoamento de cálculo característico
c Coeficiente de ponderação da resistência do concreto
s Coeficiente de ponderação da resistência do aço
h Altura
Md Momento fletor de cálculo
Md,mín Momento fletor de cálculo mínimo que permite calcular a
armadura de mínima de tração
Mr Momento de fissuração do elemento estrutural
MRd Momento fletor resistente de cálculo
Msd Momento fletor solicitante de cálculo
Rcc Força de compressão no concreto
Rst Força de tração no aço
W0 Módulo de resistência da seção transversal bruta de
19
concreto, relativo à fibra mais tracionada;
x Altura da linha neutra
y Profundidade do diagrama retangular de compressão
equivalente
yt
Distância do centro de gravidade da seção à fibra mais
tracionada
α Fator que correlaciona aproximadamente a resistência à
tração na flexão com a resistência à tração direta
αc Parâmetro de redução da resistência do concreto na
compressão
λ
Relação entre a profundidade y do diagrama retangular de
compressão equivalente e a profundidade efetiva x da linha
neutra
ρmín Taxa geométrica mínima de armadura longitudinal de vigas
e pilares
Ic Momento de inércia da seção de concreto
2.2 PREÂMBULO
A ABNT NBR 6118:2014 expõe, no item 17.3.5.1 – Princípios básicos, que “a ruptura
frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada
considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor
correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a
resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup, devendo também obedecer às condições
relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 17.3.3”. Percebe-se que o texto se
alinha com a fundamentação teórica.
O primeiro passo do estudo foi reproduzir a tabela 17.3 (tabela 1) da ABNT NBR
6118 em questão, com base nas informações encontradas na própria norma. O item 17.3.5.2.1
Armadura de tração, enuncia que:
“A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve
ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela
expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15 %:
20
𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,8 𝑊0 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝
onde,
W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra
mais tracionada;
fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (ver 8.2.5).
Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem
respeitadas as taxas mínimas de armadura da Tabela 17.3.” (O valores 20 a 90 referem-se às
classes dos concreto C20 a C90).
Tabela 1 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da ABNT NBR
6118:2014)
Fonte: ABNT NBR 6118:2014
A tabela de 17.3 ainda informa que os valores de ρmín tabelados foram calculados para
seções retangulares e considerando o aço CA-50, relação d/h = 0,8, c = 1,4 e s = 1,15.
Adicionalmente, é exposto que “em elementos estruturais, exceto elementos em
balanço, cujas armaduras sejam calculadas com um momento fletor igual ou maior ao dobro
de Md, não é necessário atender à armadura mínima”. Neste trecho o autor entende que Md
representa Msd.
O item 8.2.5 – Resistência à tração, citado anteriormente, indica que na falta de
ensaios para obtenção da resistência à tração, o seu valor médio ou característico pode ser
obtido por meio das seguintes equações:
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 𝑓𝑐𝑡,𝑚
21
para concretos de classes até C50:
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 𝑓𝑐𝑘2/3
para concretos de classes C55 até C90:
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ln(1 + 0,11 𝑓𝑐𝑘)
Sendo, 𝑓𝑐𝑡,𝑚 e 𝑓𝑐𝑘 expressos em megapascal (MPa).
Complementarmente, o item 17.2.2 - Hipóteses Básicas, da norma ABNT NBR
6118:2014, informa o seguinte:
“A distribuição de tensões no concreto é feita de acordo com o diagrama parábola-
retângulo, definido em 8.2.10.1, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em
12.3.3. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de profundidade y= λx, onde o
valor do parâmetro λ pode ser tomado igual a:
λ = 0,8, para fck ≤ 50 MPa; ou
λ = 0,8 – (fck – 50)/400, para fck > 50 MPa.
e onde a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a:
αc fcd, no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir
a partir desta para a borda comprimida;
0,9 αc fcd, no caso contrário.
sendo αc definido como:
para concretos de classes até C50, αc = 0,85
para concretos de classes de C50 até C90, αc = 0,85 . [1,0 – (fck – 50) /200]
As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e
aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional.”
2.3 EQUAÇÕES UTILIZADAS
Com as informações demonstradas anteriormente é possível obter-se às equações a
seguir, que são encontradas comumente nas literaturas sobre concreto armado.
Para concretos até 50 MPa:
Md,mín = 0,8 ∙ W0 ∙ fctk,sup (eq. 2)
22
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 (eq. 3)
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘2/3
(eq. 4)
𝑀𝑅𝑑 = 0,68 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥) (eq. 5)
𝑥 = 1,25 ∙ 𝑑 [1 − √1 −𝑀𝑠𝑑
0,425∙𝑏∙𝑓𝑐𝑑∙𝑑2] (eq. 6)
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (eq. 7)
𝑅𝑠𝑡 = 𝑅𝑐𝑐 (eq. 8)
𝐴𝑠 = 𝑅𝑠𝑡/𝑓𝑦𝑑 (eq. 9)
𝜌𝑚í𝑛 = 𝐴𝑠,𝑚í𝑛/𝐴𝑐 (eq. 10)
Para concretos de 50 a 90 MPa:
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 0,8 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 (eq. 2)
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 (eq. 3)
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ∙ ln (1 + 0,11 ∙ 𝑓𝑐𝑘) (eq. 11)
𝜆 = 0,8 − (𝑓𝑐𝑘 − 50)/400 (eq. 12)
𝛼𝑐 = 0,85 . [1,0 – (𝑓𝑐𝑘 – 50) / 200] (eq. 13)
𝑀𝑅𝑑 = 𝛼𝑐 ∙ 𝜆 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (𝑑 − 0,5 ∙ 𝜆 ∙ 𝑥) (eq. 14)
𝑥 =𝑑
𝜆[1 − √1 −
𝑀𝑠𝑑
0,5∙𝛼𝑐∙𝑏∙𝑓𝑐𝑑∙𝑑2] (eq. 15)
𝑅𝑐𝑐 = 𝛼𝑐 ∙ 𝜆 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (eq. 16)
𝑅𝑠𝑡 = 𝑅𝑐𝑐 (eq. 8)
𝐴𝑠 = 𝑅𝑠𝑡/𝑓𝑦𝑑 (eq. 9)
𝜌𝑚í𝑛 = 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛/𝐴𝑐 (eq. 10)
Obs.: As equações 6 e 15 são as soluções das equações 5 e 14, respectivamente,
descartando-se as raízes negativas.
2.4 CONCRETOS DAS CLASSES C20 À C50
Para encontrar as taxas mínimas tabeladas para concretos até 50 MPa foi seguida a
sequência do próximo exemplo.
23
Exemplo 1: ρmín para concreto C35.
ℎ = 60 𝑐𝑚
𝑏 = 25 𝑐𝑚
𝑑 = 0,8ℎ = 48 𝑐𝑚
𝑓𝑐𝑘 = 3,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
γ𝑐 = 1,4
𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
γ𝑠 = 1,15
Incialmente, aplica-se a eq. 4 na eq. 3 e encontra-se o valor do fctk,sup,
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 ∙ 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘23 = 0,39 ∙ 35
23 = 4,17 𝑀𝑃𝑎 = 0,417 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
Em seguida calcula-se o Md,mín pela eq. 2,
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 0,8 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 0,8 ∙ 𝑊0 ∙ 0,417
onde, para seções retangulares, W0 é b.h2/6,
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 0,8 ∙𝑏 ∙ ℎ2
60,417 = 0,8 ∙
25 ∙ 602
6∙ 0,417 = 5007,54 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚
Na sequência, na eq. 6, substitui-se o Msd pelo Md,mín,
𝑥 = 1,25 ∙ 𝑑 [1 − √1 −𝑀𝑠𝑑
0,425 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑑2] = 1,25 ∙ 48
[
1 − √1 −5007,54
0,425 ∙ 25 ∙3,51,4 ∙ 482
]
𝑥 = 2,51 𝑐𝑚
Na eq. 7, aplica-se o valor de x encontrado,
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 = 0,68 ∙ 25 ∙ 2,51 ∙3,5
1,4= 106,55 𝑘𝑁
24
Como Rcc é igual a Rst, As é dado pela eq. 9 a seguir
𝐴𝑠 =𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑=
106,55
50/1,15= 2,45 𝑐𝑚²
O ρmín é então encontrado pela eq. 10
𝜌𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑐=
2,45
60 ∙ 25= 0,00163 = 0,163%
Seguindo o procedimento mostrado no exemplo anterior, foi elaborado, através do
software Excel, uma tabela para calcular as taxa mínimas paras as demais classes de concreto,
até a classe C50. A tabela 2, a seguir, expõe os resultados obtidos.
Tabela 2 - Cálculo do ρmin para a ABNT NBR 6118:2014 (C20 a C50)
Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2014 (C20 a C50)
DA
DO
S
Classe 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa
h (cm) 60 60 60 60 60 60 60
b (cm) 25 25 25 25 25 25 25
fck (kN/cm2) 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
fyk (kN/cm2) 50 50 50 50 50 50 50
d (cm) 48 48 48 48 48 48 48
γc 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
γs 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15
CÁ
LCU
LO
fctk,sup (kN/cm2) 0,287 0,333 0,377 0,417 0,456 0,493 0,529
Md,mín (kN∙cm) 3448,25 4001,34 4518,49 5007,54 5473,76 5920,90 6351,74
x (cm) 3,03 2,81 2,64 2,51 2,40 2,30 2,22
Rcc (kN) 73,70 85,36 96,25 106,55 116,36 125,76 134,82
As,mín (cm2) 1,70 1,96 2,21 2,45 2,68 2,89 3,10
ρmín calculado 0,113% 0,131% 0,148% 0,163% 0,178% 0,193% 0,207%
ρmín 6118:2014 0,150% 0,150% 0,150% 0,164% 0,179% 0,194% 0,208%
Fonte: Autor
Observa-se que às taxas calculadas para os concretos C30 a C50 são praticamente
iguais as taxas encontradas na ABNT NBR 6118:2014. Para os concretos C20 e C25
prevalece a taxa mínima absoluta de 0,15%. Acredita-se que essa taxa mínima absoluta é uma
25
herança proveniente do Código Modelo do CEB-FIP (1990); porém o seu embasamento
teórico não foi encontrado.
2.5 CONCRETOS DAS CLASSES C55 À C90
Para os concretos C55 à C90, o mesmo procedimento mostrado para as Classes C20 à
C50 foi realizado, com a ressalva que algumas equações são distintas para os concretos acima
de 50 MPa. O exemplo seguinte apresenta a rotina de cálculo para esses concretos.
Exemplo 2: ρmín para concreto C70.
ℎ = 60 𝑐𝑚
𝑏 = 25 𝑐𝑚
𝑑 = 0,8ℎ = 48 𝑐𝑚
𝑓𝑐𝑘 = 7 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
γ𝑐 = 1,4
𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
γ𝑠 = 1,15
Incialmente, aplica-se a eq. 11 na eq. 3 e encontra-se o valor do fctk,sup,
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 ∙ 2,12 ∙ ln(1 + 0,11 ∙ 𝑓𝑐𝑘) =
= 1,3 ∙ 2,12 ∙ ln (1 + 0,11 ∙ 70) = 5,96 𝑀𝑃𝑎 = 0,596 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
Em seguida calcula-se o Md,mín pela eq. 2,
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 0,8 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 0,8 ∙ 𝑊0 ∙ 0,596
onde, para seções retangulares, 𝑊0 é 𝑏ℎ2/6,
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 0,8 ∙𝑏 ∙ ℎ2
60,596 = 0,8 ∙
25 ∙ 602
6∙ 0,596 = 7154,54 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚
26
Na sequência, na eq. 15, substitui-se o 𝑀𝑠𝑑 pelo 𝑀𝑑,𝑚í𝑛 e aplica-se os parâmetros λ
(eq.12) e αc (eq. 13) calculados em seguida,
𝜆 = 0,8 − (𝑓𝑐𝑘 − 50)/400 = 0,8 − (70 − 50)/400 = 0,75
𝛼𝑐 = 0,85 . [1,0 – (𝑓𝑐𝑘 – 50) / 200] = 0,85 . [1,0 – (70 – 50) / 200] = 0,765
𝑥 =𝑑
𝜆[1 − √1 −
𝑀𝑠𝑑
0,5 ∙ 𝛼𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑑2] =
48
0,75
[
1 − √1 −7154,54
0,5 ∙ 0,765 ∙ 25 ∙7
1,4∙ 482
]
𝑥 = 2,11 𝑐𝑚
Na eq. 16, aplica-se o valor de x encontrado,
𝑅𝑐𝑐 = 𝛼𝑐 ∙ 𝜆 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 = 0,765 ∙ 0,75 ∙ 25 ∙ 2,11 ∙7,0
1,4= 151,55 𝑘𝑁
Como Rcc é igual a Rst, As é dado pela eq. 9
𝐴𝑠 =𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑=
151,55
50/1,15= 3,48 𝑐𝑚2
O ρmín é então encontrado pela eq. 10
𝜌𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑐=
3,48
60 ∙ 25= 0,00232 = 0,232%
Seguindo o procedimento mostrado no exemplo anterior, foi elaborado, através do
software Excel, uma tabela para calcular as taxas mínimas paras as classes C55 a C90. A
tabela 3 expõe os resultados obtidos.
27
Tabela 3 - Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2014 (C55 a C90)
Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2014 (C55 a C70)
DA
DO
S
Classe 55 MPa 60 MPa 65 MPa 70 MPa
h (cm) 60 60 60 60
b (cm) 25 25 25 25
fck (kN/cm2) 5,5 6,0 6,5 7,0
fyk (kN/cm2) 50 50 50 50
d (cm) 48 48 48 48
γc 1,4 1,4 1,4 1,4
γs 1,15 1,15 1,15 1,15
CÁ
LC
UL
O
fctk,sup (kN/cm2) 0,538 0,559 0,578 0,596
Md,mín (kN∙cm) 6459,05 6707,49 6938,56 7154,54
λ 0,788 0,775 0,763 0,750
αc 0,829 0,808 0,786 0,765
x (cm) 2,14 2,12 2,11 2,11
Rcc (kN) 136,96 142,17 147,02 151,56
As,mín (cm2) 3,15 3,27 3,38 3,49
ρmín 0,210% 0,218% 0,225% 0,232%
ρmín 6118:2014 0,211% 0,219% 0,226% 0,233%
Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2014 (C75 a C90)
DA
DO
S
Classe 75 MPa 80 MPa 85 MPa 90 MPa
h (cm) 60 60 60 60
b (cm) 25 25 25 25
fck (kN/cm2) 7,5 8,0 8,5 9,0
fyk (kN/cm2) 50 50 50 50
d (cm) 48 48 48 48
γc 1,4 1,4 1,4 1,4
γs 1,15 1,15 1,15 1,15
CÁ
LC
UL
O
fctk,sup (kN/cm2) 0,613 0,629 0,644 0,658
Md,mín (kN∙cm) 7357,28 7548,30 7728,88 7900,12
λ 0,738 0,725 0,713 0,700
αc 0,744 0,723 0,701 0,680
x (cm) 2,12 2,14 2,16 2,19
Rcc (kN) 155,82 159,83 163,64 167,25
As,mín (cm2) 3,58 3,68 3,76 3,85
ρmín 0,239% 0,245% 0,251% 0,256%
ρmín 6118:2014 0,239% 0,245% 0,251% 0,256%
Fonte: Autor
28
Observa-se que as taxas mínimas calculadas para os concretos C55 a C90 são muito
próximas às taxas encontradas na ABNT NBR 6118:2014.
2.6 DISCUSSÃO
Apesar de usar o fctk,sup, a equação do momento mínimo de cálculo (eq.2) equivale,
aproximadamente, à equação do momento de fissuração para seções retangulares, com fct
sendo fctk,inf.
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, no item 17.3.1
𝑀𝑟 =𝛼 ∙ 𝑓𝑐𝑡 ∙ 𝐼𝑐
𝑦𝑡
Substituindo-se fct por fctk,inf, e α por 1,5 (α para seções retangulares), obtem-se à
equivalência explicitada anteriormente
0,8 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 ≅ 𝛼 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 ∙ 𝐼𝑐
𝑦𝑡
0,8 ∙ 1,3 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ≅ 1,5 ∙ 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ∙ 𝑊0
1,04 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ≅ 1,05 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ∙ 𝑊0
1,49 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 ≅ 1,5 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 ∙ 𝑊0
Isso contradiz o item 17.3.5.1 - Princípios básicos, que explicita que o momento
mínimo deve ser dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de
concreto simples (como exposto na fundamentação teórica, entende-se que o valor que gera a
ruptura da seção de concreto simples é dado pelo momento de fissuração) supondo que a
resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup; o que se verifica é que essa resistência à
tração está sendo dada por fctk,inf,. Se fosse usado o fctk,sup, o momento de fissuração seria mais
alto, o que resultaria uma armadura mínima maior.
Se fosse utilizada a resistência média a tração, seria obtido um aumento bastante
significativo, em torno de 43%, na taxa mínima; se fosse aplicada a resistência superior, o
aumento seria de aproximadamente 86%, que aparenta ser bastante exagerado, tendo em vista
que não se há notícias de colapsos frágeis em vigas com a armaduras mínima prescrita na
presente norma. Apesar disso ser verdade, também não se sabe ao certo qual é a margem de
29
segurança encontrada nessas vigas. Nos item 6.2.2 ao 6.2.4 da discussão final, esta
problemática voltará a ser discutida.
Outro fato interessante é que em 2014, quando do lançamento da revisão da ABNT
NBR 6118, os concretos C65, C75, C85 e C90 não eram normatizados pela ABNT NBR
8593:1992- Concretos para fins estruturais, pois na tabela 1 desta norma, após a classe C60 só
existiam as Classes C70 e C80. Porém, com a revisão da ABNT NBR 8953 em janeiro de
2015, os concretos C65, C75 e C85 foram contemplados no item 4.1 desta norma, entrando
sob a denominação de valores intermediários. A classe C90 foi incluída na Tabela 1; A classe
C100 agora é a classe mais resistente regida pela ABNT NBR 8953:2015.
30
CAPÍTULO III
-ABNT NBR 6118:2003-
3.1 SIMBOLOGIA
As simbologias utilizadas no decorrer deste capítulo são as mesmas utilizadas no
capítulo anterior, porém com a adição das situadas abaixo.
SÍMBOLO SIGNIFICADO
mín Taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para
vigas
bf Largura colaborante da mesa de uma viga T
hf Altura da mesa de uma viga T
bw Largura da alma de uma viga T
hw Altura da alma de uma viga T
3.2 PREÂMBULO
Analisando o item 17.3.5.2.1 da ABNT NBR 6118 de 2003 e 2014 é possível perceber
que o texto do item se manteve praticamente inalterado entre as duas versões, conservando o
mesmo sentido; já a tabela 17.3 mudou drasticamente na revisão de 2014 (tabela 1) em
relação a versão de 2003 (tabela 4); na ABNT NBR 6118:2014 as seções T e as circulares
foram removidas e mesmo para as seções retangulares, que foram mantidas, houve grandes
mudanças nos valores tabelados.
31
Tabela 4 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da ABNT NBR
6118:2003)
Fonte: ABNT NBR 6118:2003
Percebe-se que nos itens 17.2.2 (e) e 8.2.5 da ABNT NBR 6118 também não houve
mudanças consideráveis entre a versão 2003 e a de 2014, em relação aos concretos até a
classe C50 (a ABNT NBR 6118:2003 não abrangia classes acima da C50), ou seja, as
hipóteses de cálculo para o ELU não mudaram, nem tão pouco as formulações para se obter a
resistência a tração direta média, superior e inferior. Contudo, há duas diferenças
consideráveis, uma é que na tabela 17.3 de 2003 (tabela 4) não está especificada a relação d/h
e a outra é que esta tabela mostra valores fixos para a taxa mecânica mínima (mín) para todas
as classes de concretos presentes na mesma.
Na tentativa de entender como foram calculados os valores da tabela 17.3 na versão
em questão (tabela 4), foi encontrado em Migliore (2013), um exemplo feito que resultava no
valor tabelado para C35. A partir desse exemplo percebeu-se que a relação d/h seria 0,9333 e
que o valor do Md,mín seria calculado através da equação seguinte:
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 𝛼 ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 (eq. 17)
Esta equação é equivalente ao momento de fissuração referente à resistência a tração
média do concreto. Logo, as equações utilizadas para encontrar os valores das taxas de
armadura mínima para seções retangulares presentes na tabela 17.3 da ABNT NBR
32
6118:2003 são iguais às encontradas no item 2.3 desta monografia, com exceção das equações
17 e 18.
3.3 EQUAÇÕES
As equações utilizadas são as equações 4 a 10 apresentadas no item 2.3, a equação 17
mostrada anteriormente e a equação 18 exposta em seguida:
𝜔𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛∙𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑 (eq. 18)
3.4 CÁLCULO DOS VALORES TABELADOS
O exemplo a seguir mostra como foram calculadas as taxas mínimas para seções
retangulares para a versão de 2003.
Exemplo 3: ρmín para concreto C35.
ℎ = 60 𝑐𝑚
𝑏 = 25 𝑐𝑚
𝑑 = 0,9333. h = 56 cm
𝑓𝑐𝑘 = 3,5 kN/cm²
γ𝑐 = 1,4
𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
γ𝑠 = 1,15
Incialmente, calcula-se o valor de fct,m pela eq. 4,
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘23 = 0,3 ∙ 35
23 = 3,21 𝑀𝑃𝑎 = 0,321 kN/cm2
Em seguida calcula-se o valor do Md,mín pela eq.17,
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = α ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚
33
onde 𝑊0 = 𝑏ℎ2/6 e α= 1,5 para seções retangulares, de forma que:
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 1,5 ∙𝑏 ∙ ℎ2
6∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 1,5 ∙
25 ∙ 602
6∙ 0,321 = 7222,42 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚
Na sequência, na eq. 6, substitui-se o Msd pelo Md,mín,
𝑥 = 1,25 ∙ 𝑑 [1 − √1 −𝑀𝑠𝑑
0,425 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑑2] = 1,25 ∙ 56
[
1 − √1 −7222,42
0,425 ∙ 25 ∙3,51,4 ∙ 562
]
𝑥 = 3,10 𝑐𝑚
Na eq. 7, aplica-se o valor de x encontrado,
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 = 0,68 ∙ 25 ∙ 3,10 ∙3,5
1,4= 131,90 𝑘𝑁
Como Rcc é igual a Rst, As é dado pela eq. 9 a seguir:
𝐴𝑠 =𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑=
131,90
501,15
= 3,03 𝑐𝑚2
O ρmín é então encontrado pela eq. 10,
𝜌𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑐=
3,03
60 ∙ 25= 0,00202 = 0,202%
O ωmín é dado pela eq.18,
𝜔𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑=
3,03 ∙ 50 ∙ 1,4
60 ∙ 25 ∙ 3,5 ∙ 1,15= 0,035
Observa-se que os valores de ρmín e ωmín encontrados são muito próximos aos valores
tabelados (tabela 4) para C35. Isso leva a crer que apenas repetindo o exemplo anterior para as
34
outras classes de concreto, os demais valores tabelados seriam encontrados. Porém,
observando o exemplo a seguir, percebe-se que isso não é verdade.
Exemplo 4: ρmín para concreto C45.
ℎ = 60 𝑐𝑚
𝑏 = 25 𝑐𝑚
𝑑 = 0,9333. h = 56 cm
𝑓𝑐𝑘 = 4,5 kN/cm²
γ𝑐 = 1,4
𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
γ𝑠 = 1,15
Incialmente, calcula-se o valor de fct,m pela eq. 4,
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘23 = 0,3 ∙ 45
23 = 3,80 𝑀𝑃𝑎 = 0,380 𝑘𝑁/𝑐𝑚2
Em seguida calcula-se o valor do Md,mín pela eq.17,
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = α ∙ 𝑊0 ∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚
onde 𝑊0 = 𝑏ℎ2/6 e α= 1,5 para seções retangulares
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 1,5 ∙𝑏 ∙ ℎ2
6∙ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 1,5 ∙
25 ∙ 602
6∙ 0,380 = 8539,76 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚
Na sequência, na eq. 6, substitui o Msd pelo Md,mín,
𝑥 = 1,25 ∙ 𝑑 [1 − √1 −𝑀𝑠𝑑
0,425 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑑2] = 1,25 ∙ 56
[
1 − √1 −8539,76
0,425 ∙ 25 ∙4,51,4 ∙ 562
]
𝑥 = 2,85 𝑐𝑚
Na eq. 7, aplica-se o valor de x encontrado,
35
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 = 0,68 ∙ 25 ∙ 2,85 ∙4,5
1,4= 155,73 𝑘𝑁
Como Rcc é igual a Rst, As é dado pela eq. 9 a seguir,
𝐴𝑠 =𝑅𝑠𝑡
𝑓𝑦𝑑=
155,73
501,15
= 3,58 𝑐𝑚2
O ρmín é então encontrado pela eq. 10,
𝜌𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑐=
3,58
60 ∙ 25= 0,00239 = 0,239%
O ωmín é dado pela eq.18,
𝜔𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑=
3,58 ∙ 50 ∙ 1,4
60 ∙ 25 ∙ 4,5 ∙ 1,15= 0,032
Observa-se que os valores de ρmín e ωmín encontrados destoam dos valores tabelados
(pela tabela 4 para C45, tem-se 0,259% e 0,035 respectivamente). O que indica que o exemplo
4 não ilustra como o valor da taxa de armadura mínima para a classe C45 foi calculada.
Repetindo o exemplo anterior para as outras classes, obtém-se a tabela 5 a seguir.
36
Tabela 5 - Cálculo do ρmín de acordo com o exemplo 4
Cálculo do ρmín de acordo com o exemplo 4
DA
DO
S
Classe 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa
h (cm) 60 60 60 60 60 60 60
b (cm) 25 25 25 25 25 25 25
fck (kN/cm2) 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
fyk (kN/cm2) 50 50 50 50 50 50 50
d (cm) 56 56 56 56 56 56 56
γc 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
γs 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15
CÁ
LC
UL
O
fct,m (kN/cm2) 0,221 0,256 0,290 0,321 0,351 0,380 0,407
Md,mín (kN∙cm) 4973,44 5771,17 6517,05 7222,42 7894,85 8539,76 9161,16
x (cm) 3,76 3,48 3,27 3,10 2,97 2,85 2,75
Rcc (kN) 91,26 105,69 119,16 131,90 144,04 155,67 166,87
As,mín (cm2) 2,10 2,43 2,74 3,03 3,31 3,58 3,84
𝜌mín calculado 0,140% 0,162% 0,183% 0,202% 0,221% 0,239% 0,256%
𝜌mín 6118:2003 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% 0,230% 0,259% 0,288%
𝜔mín calculado 0,043 0,039 0,037 0,035 0,034 0,032 0,031
Fonte: Autor
Percebe-se que o procedimento mostrado no exemplo anterior, só é coerente para a
Classe C35.
Conclui-se, então, que para a elaboração da tabela 17.3 da ABNT NBR 6118:2003
(tabela 4), inicialmente, calculou-se o ρmín e ωmín para a classe C35, como no exemplo 3; em
seguida fixou-se o valor ωmín encontrado no exemplo 3 (0,035) para todas as outras classes;
finalmente, isolando-se As,mín/Ac na eq. 18, obtém-se o ρmín. O exemplo a seguir apresenta
essa sequência.
Exemplo 5: ρmín para concreto C45.
ℎ = 60 𝑐𝑚
𝑏 = 25 𝑐𝑚
𝑑 = 0,9333. h = 56 cm
𝑓𝑐𝑘 = 4,5 kN/cm²
γ𝑐 = 1,4
𝑓𝑦𝑘 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
γ𝑠 = 1,15
37
O valor de ωmín é fixado em 0,035. Na eq. 18, isola-se As,mín/Ac que é o mesmo que o
ρmín,
𝜌𝑚í𝑛 =𝐴𝑠,𝑚í𝑛
𝐴𝑐=
𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝜔𝑚í𝑛
𝑓𝑦𝑑=
4,5 ∙ 0,035 ∙ 1,15
50 ∙ 1,4= 0,00259 = 0,259%
Seguindo o procedimento exposto no exemplo anterior, foi elaborado através do
software Excel uma tabela para calcular as taxa mínimas paras todas as classes de concreto até
a classe C50. A seguir, encontra-se a referida tabela.
Tabela 6 - Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2003
Cálculo do ρmín para a ABNT NBR 6118:2003
DA
DO
S
Classe 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa
h (cm) 60 60 60 60 60 60 60
b (cm) 25 25 25 25 25 25 25
fck (kN/cm2) 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
fyk (kN/cm2) 50 50 50 50 50 50 50
d (cm) 56 56 56 56 56 56 56
γc 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
γs 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15
CÁ
LCU
LO
𝜔mín fixado. 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035
𝜌mín Calculado 0,115% 0,144% 0,173% 0,201% 0,230% 0,259% 0,288%
𝜌mín 6118:2003 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% 0,230% 0,259% 0,288%
Fonte: Autor
Observa-se que as taxas calculadas para os concretos C30 a C50 são iguais as taxas
encontradas na ABNT NBR 6118:2003. Para os concretos C20 e C25 prevalece a taxa mínima
absoluta de 0,15%.
O cálculo para seções T também foi realizado, mas foi visto que a taxa de armadura
mínima de uma seção T depende, além de todas as variáveis mostradas no cálculo para
seções retangulares, de bf, hf, bw e hw. Isso é fácil de perceber quando imagina-se uma seção T
com alma (bw) bem larga, com largura quase igual a mesa (bf); a distribuição das tensões
normais (estádio I) nesta seção será similar à de uma seção retangular; já em uma seção T
com a mesa bem mais larga que a alma, essa distribuição será bem diferente. Entende-se que
as duas seções são T, mas as taxas mínimas serão completamente diferentes devido à grande
38
influência da geometria no cálculo do momento de fissuração. Este comportamento é o que
torna impraticável, na opinião do autor, ter valores tabelados para seções T. É provável que
essa tenha sido a razão para retirá-las da tabela 17.3 na ABNT NBR 6118:2014; o ACI 318,
assim como o EC2, não apresentam formulações específicas para o cálculo da área de aço
mínima de seções T. Para ilustrar o comportamento mencionado anteriormente, foram
calculadas as taxas mínimas para duas seções T que apresentam área de seção transversal
similares, as seções T1 e T2 representadas na figura 3.
Figura 3 - Seções T1 e T2 (Dimensões em cm)
Fonte: Autor
Seguindo a mesma sequência do exemplo 3, com exceção de que b será igual a bf e
que α será 1,2 (α para seções T), obtém-se a tabela 7. Comparando os dois valores da taxa
mínima para C35, percebe-se que há uma diferença considerável. Logo, conclui-se que se
torna um tanto quanto incoerente fixar o valor da taxa mínima para seções T sem considerar a
relação entra as dimensões bf,, hf, bw e hw.
Como as outras normas em estudo não têm valores tabelados ou equações específicas
para seções circulares, optou-se por não analisar essas seções. Além disso, a forma circular é
uma seção pouco comum para vigas.
39
Tabela 7 - Cálculo do ρmín para as seções T
Seção T1 T2
DA
DO
S
Classe 35 MPa 35 MPa
bf (cm) 145 117
hf (cm) 11 11
bw (cm) 25 45
hw (cm) 49 34
fck (kN/cm2) 3,5 3,5
fyk (kN/cm2) 50 50
d (cm) 56,00 42,00
γc 1,4 1,4
γs 1,15 1,15
CÁ
LCU
LO
fct,m (kN/cm2) 0,321 0,321
yt (cm) 41,47 27,28
Ic(cm) 884762,13 514240,85
Wo (cm) 21335,98 18850,78
Mr,m (kN∙cm) 8218,52 7261,24
x (cm) 0,60 0,88
Rcc (kN) 147,39 174,35
Rst (kN) 147,39 174,35
As,mín (cm2) 3,39 4,01
Ac (cm2) 2820,00 2817,00
𝜌mín 0,120% 0,142%
Fonte: Autor
3.5 DISCUSSÃO
A principal crítica aos valores tabelados é que a forma como foram calculados,
aparentemente, não segue um embasamento teórico muito forte; segundo Kimura (2013), a
taxa mecânica mínima não deveria ser igual para todas as classes de concreto, pois a relação
fck/fctk não é linear (era linear na NB-1, onde 𝑓𝑐𝑡𝑘 = 𝑓𝑐𝑘/10) e a taxa geométrica mínima
(𝜌mín) deveria ser calculada individualmente para cada fck, como é feito na versão de 2014.
Outro ponto, é que relação d/h utilizada (igual a 0,9333) não é especificada na norma e
pode ser alta, principalmente, quando usadas em vigas baixas ou lajes. Além disso, o
40
momento utilizado para calcular as taxas mínimas (eq.17), não é o Md,mín que consta na seção
17.3.5.2.1 da norma em questão. Finalmente, a ideia de se fixar valores de taxas mínimas para
seções T aparenta ser errada e esse procedimento não é encontrado em outras normas.
41
CAPÍTULO IV
-ACI 318-14-
4.1 SIMBOLOGIA
As simbologias utilizadas no decorrer deste capítulo, necessárias ao entendimento do
conteúdo do mesmo, situam-se abaixo.
SÍMBOLO SIGNIFICADO
AS,mín Área mínima de armadura
bf Largura efetiva da mesa de um seção T
bw Largura da alma
d Distância do bordo comprimido para o centroide da
armadura longitudinal de tração
f’c Resistência à compressão do concreto
fr Resistência à tração na flexão
fy Resistência de escoamento do aço passivo
h Altura da seção
Ig Momento de inércia da seção bruta de concreto
Mcr Momento de fissuração
Mn Momento fletor resistente nominal
yt Distância do cg da seção para a fibra mais tracionada
z Braço de alavanca das forças internas
λ
Coeficiente de redução para considerar a inferioridade das
propriedades mecânicas dos concretos leves quando
comparados com concretos de peso normal de mesma
resistência
Φ Coeficiente redutor de resistência
4.2 PREÂMBULO
No comentário R9.6.1.1, o ACI 318-14 diz que a prescrição da área de aço mínima
intenciona fornecer um momento resistente maior que o momento de fissuração com uma
42
certa margem – é importante notar que neste ponto, o ACI já se distancia da ABNT NBR
6118:2014 quando introduz uma margem. O ACI também comenta que esta prescrição só
governa o dimensionamento de vigas que, por razões arquitetônicas ou outras razões, têm
seções transversais maiores que as necessárias para resistir aos esforços solicitantes.
O ACI 318, assim como a maioria das normas internacionais consultadas, não dispõem
de valores tabelados para as taxas de armadura mínima. Porém, apresentam equações para o
cálculo da área mínima de armadura de flexão. O ACI trata deste ponto nos itens 9.6.1.1,
9.6.1.2 e 9.6.1.3 apresentados em seguida.
Item 9.6.1.1: Uma área mínima de armadura de flexão deve ser provida em toda seção
onde armadura de tração for requerida por análise.
Item 9.6.1.2: As,mín deve ser o maior entre (eq.19) e (eq.20), exceto quando 9.6.1.3 se
aplicar. Para vigas T estaticamente determinadas com a mesa tracionada, o valor de bw deve
ser o menor ente bf e 2bw.
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,25∙√𝑓
𝑐′∙𝑏𝑤∙𝑑
𝑓𝑦
(eq. 19)
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =1,4∙𝑏𝑤∙𝑑
𝑓𝑦 (eq. 20)
Item 9.6.1.3: Se o As provido em cada seção for, pelo menos, um terço maior que o
requerido por análise, 9.6.1.1 e 9.6.1.2 não precisam ser atendidos.
De uma forma simplista, percebe-se que é possível deduzir uma equação para achar o
As,mín para seções retangulares, dividindo o momento de fissuração pelo braço resistente (z), o
que nos dá uma força concentrada no cg das armaduras; em seguida, dividindo essa força pela
tensão de escoamento do aço, obtém-se a área de aço mínima. A equação a seguir representa
isso.
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =𝑀𝑐𝑟
𝑓𝑦∙𝑧 (eq. 21)
Percebe-se que o mais complicado de se obter é o z, pois não se sabe a posição da
linha neutra, porém, em seções com armadura mínima, geralmente, a relação x/d não passa de
0,1, o que faz sentido, pois é necessária uma pequena área de concreto em compressão para
equilibrar a reação no aço (Rst); logo, z pode ser aproximado de forma conservadora como
43
sendo 0,9d. O estudo no ACI iniciou-se nesta linha, a partir da eq. 21 tentou-se chegar na
equação 19.
4.3 DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DO ACI 318-14
Para a dedução a partir da equação 21, foi encontrada no ACI a equação do momento
de fissuração. Ela está descrita no item 24.2.3.5, da referida norma, como sendo:
𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑟 ∙𝐼𝑔
𝑦𝑡 (eq. 22)
onde fr é a resistência a tração na flexão, dado no ACI em 19.2.3.1 por,
𝑓𝑟 = 0,62 ∙ λ ∙ √𝑓𝑐
′ (eq. 23)
e λ = 1 para concreto de peso normal
Ig é o momento de inércia da seção bruta de concreto, para seções retangulares é dado por
𝑏𝑤ℎ3
12
yt é a distância do cg da seção para fibra mais tracionada; para seções retangulares, dado por
h/2
Substituindo a eq. 22 e 23 na eq. 21, tem-se:
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,62 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ ℎ3 ∙ 2
𝑓𝑦 ∙ 𝑧 ∙ 12 ∙ ℎ
Substituindo z por 0,9d
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,62 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ ℎ2
𝑓𝑦 ∙ 0,9𝑑 ∙ 6
Adotando a relação 𝑑/ℎ = 0,8, ou seja, ℎ = 1,25𝑑, tem-se:
44
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,62 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 1,252
𝑓𝑦 ∙ 0,9𝑑 ∙ 6
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,62 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 1,5625
𝑓𝑦 ∙ 0,9 ∙ 6
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,18 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑦
Percebe-se que ainda não foi obtido o valor esperado.
Segundo o PCI Journal (2006) e Freyermuth e Aalami (1997), a equação 19 pode ser
deduzida a partir da equação seguinte:
ϕ 𝑀𝑛 > 1,2 𝑀𝑐𝑟 (eq. 24)
onde ϕ é igual 0,9 para seções onde o alongamento do aço é maior ou igual a 0,005, o que é o
caso das seções com armadura mínima. Deixando o Mn em evidência na eq. 24, tem-se:
𝑀𝑛 >1,2 𝑀𝑐𝑟
0,9
Dividindo ambos os lados por (𝑓𝑦 ∙ 𝑧), obtém-se:
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =1,33 ∙𝑀𝑐𝑟
𝑓𝑦∙𝑧 (eq. 25)
Percebe-se que a única diferença entre a eq. 25 e a 21, é o fator 1,33. Logo, a dedução
da eq. 19 a partir da eq. 24 se torna,
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =1,33 ∙ 0,18 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑦
45
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,24 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑦
A equação anterior se aproxima bastante da fornecida pelo ACI 318 (eq. 19) e pode ser
vista como uma sugestão sobre como foi deduzida a equação 19. É perceptível que para o
cálculo do momento resistente de cálculo (ϕ 𝑀𝑛), ainda aplica-se um aumento de 20% em
relação ao momento de fissuração, o que concorda com a margem adicional explicitada no
primeiro parágrafo do item 4.2. Como foi visto no Capítulo II e III e como será apresentado
no capítulo V, essa majoração do momento de fissuração não acontece na ABNT NBR 6118
(ambas as versões) nem no EC2.
Em relação à equação (eq. 20),
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =1,4 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑦
O ACI explicita (nos comentários da versão de 2005) que ela foi deduzida para
fornecer a mesma taxa mínima de 0,5% (para aços de resistência de escoamento de 280 MPa)
presentes nas versões mais antigas. Não foi encontrada a exata origem desta taxa, mas sabe-se
que a eq. 20 torna-se igual a eq.19 quando fc’ é 30,6 MPa.
Através das equações 19 e 20, usando a relação d/h igual 0,8 e o fy especificado no
ACI 318, igual a 420 MPa, foram obtidas as taxas mínimas para concretos de 20 a 90 MPa,
como mostrado em seguida na tabela 8.
46
Tabela 8 - Cálculo do ρmín para o ACI 318
Cálculo do ρmín para o ACI 318 (C20 a C55)
Classe (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55
h (cm) 60 60 60 60 60 60 60 60
bw (cm) 25 25 25 25 25 25 25 25
fc’ (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55
d (cm) 48 48 48 48 48 48 48 48
As,mín (eq. 20) 4 4 4 4 4 4 4 4
As,mín (eq. 19) 3,19 3,57 3,91 4,23 4,52 4,79 5,05 5,30
As,mín 4,00 4,00 4,00 4,23 4,52 4,79 5,05 5,30
𝜌mín = As/Ac (%) 0,267 0,267 0,267 0,282 0,301 0,319 0,337 0,353
Cálculo do ρmín para o ACI 318 (C60 a C90)
Classe (MPa) 60 65 70 75 80 85 90
h (cm) 60 60 60 60 60 60 60
bw (cm) 25 25 25 25 25 25 25
fc’ (MPa) 60 65 70 75 80 85 90
d (cm) 48 48 48 48 48 48 48
As,mín (eq. 20) 4 4 4 4 4 4 4
As,mín (eq. 19) 5,53 5,76 5,98 6,19 6,39 6,59 6,78
As,mín 5,53 5,76 5,98 6,19 6,39 6,59 6,78
𝜌mín = As/Ac (%) 0,369 0,384 0,398 0,412 0,426 0,439 0,452
Fonte: Autor
47
4.4 DISCUSSÃO
Transformando a eq. 19 em taxa (basta dividir por bw.h), tem-se:
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,25 ∙ √𝑓𝑐
′ ∙ 𝑑
𝑓𝑦. ℎ
Percebe-se que quanto maior a relação d/h, maior será a taxa de aço, o que aparenta ser
um contrassenso, pois em uma mesma seção, aumentando-se o d, aumenta-se o z e logo
menos aço é necessário para equilibrar o momento solicitante. Por exemplo, na seção
apresentada anteriormente 25x60, para um concreto C35, se d=51 cm, a taxa de aço resultaria
em 0,299%; já, se fosse usado um d=56 cm, a taxa seria 0,329%; Aparentemente, isso não faz
sentido.
48
CAPÍTULO V
- EUROCODE 2-
5.1 SIMBOLOGIA
As simbologias utilizadas no decorrer deste capítulo, necessárias ao entendimento do
conteúdo do mesmo, situam-se abaixo.
SÍMBOLO SIGNIFICADO
AS,mín Área da seção mínima de armaduras
AS Área da seção de armadura para concreto armado
b Largura total de uma seção transversal
bt
Largura total de uma seção transversal, ou largura real do
banzo de uma viga em T ou L
bw Largura da alma de vigas em T, I ou L
d Altura útil de uma seção transversal
fct,m Valor médio da tensão de ruptura do concreto à tração
fyd Valor de cálculo da tensão de escoamento à tração do aço
das armaduras para concreto armado
fyk Valor característico da tensão de escoamento à tração do
aço das armaduras para concreto armado
h Altura total de uma seção transversal
Ic Momento de inercia
Mcr Momento de fissuração
MRd Momento fletor resistente de cálculo
Zmax Distância do cg da seção para fibra mais tracionada
5.2 PREÂMBULO
O Eurocode 2 segue na mesma linha que o ACI, e fornece uma equação para o cálculo
da armadura mínima e uma taxa mínima absoluta. O item 9.2.1.1- Áreas mínimas e máximas
de armadura- fornece essas informações.
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =0,26∙𝑓𝑐𝑡𝑚∙𝑏𝑡∙𝑑
𝑓𝑦𝑘 (eq. 26)
49
Mas não inferior a 0,0013bt.d
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,0013 ∙ 𝑏𝑡 ∙ 𝑑 (eq. 27)
Alternativamente, o EC2 expõe que “para elementos secundários, para os quais se
poderá aceitar um certo risco de ruptura frágil, As,mín poderá ser considerado como 1,2 vezes a
área requerida pela verificação em relação ao estado limite último.”
5.3 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO
Similar ao que foi feito no ACI, a equação 26 pode ser deduzida a partir do
dimensionamento da seção de concreto armado para proporcionar um momento resistente de
cálculo de valor igual ou superior ao momento de fissuração.
𝑀𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝑐𝑟 (eq. 1)
De fato, Dahlgren e Svensson (2013) apresentam uma dedução para a equação 26 a
partir da equação 1, como reproduzido em seguida.
O momento resistente é estimado pela equação de equilíbrio a seguir, onde o braço de
alavanca z é estimado como sendo 0,9d. Sendo assim, tem-se:
𝑀𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 0,9𝑑 (eq. 28)
O momento de fissuração é calculado com a equação a seguir,
𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ∙𝐼𝑐
𝑧𝑚𝑎𝑥
para uma seção retangular,
𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ∙𝑏 ∙ ℎ3
12∙2
ℎ
𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ∙𝑏∙ℎ2
6 (eq. 29)
50
Aplicando as equações 28 e 29 na equação 1, obtém-se:
𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 0,9𝑑 ≥ 𝑓𝑐𝑡,𝑚 ∙𝑏 ∙ ℎ2
6
Reescrevendo com As em evidência, tem-se:
𝐴𝑠 ≥𝑓𝑐𝑡,𝑚 ∙ 𝑏 ∙ ℎ2
6 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 0,9𝑑
As autoras optaram por uma relação d/h=0,9 ou seja, h=d/0,9; fct,m e fyd são dados
como na ABNT NBR 6118:2014.
𝐴𝑠 ≥𝑓𝑐𝑡𝑚 ∙ 𝑏 ∙ (
𝑑0,9)
2
∙ 1,15
6 ∙ 𝑓𝑦𝑘 ∙ 0,9𝑑=
𝑓𝑐𝑡𝑚 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 1,15
6 ∙ 𝑓𝑦𝑘 ∙ 0,93
𝐴𝑠 ≥0,26 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚 ∙ 𝑏𝑡 ∙ 𝑑
𝑓𝑦𝑘
A dedução resulta na eq. 26, como esperado.
A lógica envolvendo o valor mínimo da eq.27 não foi encontrada.
Através da eq. 26 e 27 foi elaborada a tabela 9 com a taxa de armadura mínima para os
concretos das classe C20 a C90, considerando a relação d/h igual 0,8 e fyk igual a 500 MPa.
Devido à discussão dos resultados obtidos neste capítulo ser equivalente a do capítulo
IV, não se faz necessário apresentá-la.
51
Tabela 9 - Cálculo do ρmín para o Eurocode 2
Cálculo do ρmín para o Eurocode 2 (C20 a C55)
Classe (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55
h (cm) 60 60 60 60 60 60 60 60
bt (cm) 25 25 25 25 25 25 25 25
fck (MPa) 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
d (cm) 48 48 48 48 48 48 48 48
As,mín
(cm² - eq.27) 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56
As,mín
(cm² - eq.26) 1,38 1,60 1,81 2,00 2,19 2,37 2,54 2,58
As,mín (cm²) 1,56 1,60 1,81 2,00 2,19 2,37 2,54 2,58
𝜌mín = As/Ac (%) 0,104 0,107 0,120 0,134 0,146 0,158 0,169 0,172
Cálculo do ρmín para o Eurocode 2 (C60 a C90)
Classe (MPa) 60 65 70 75 80 85 90
h (cm) 60 60 60 60 60 60 60
bt (cm) 25 25 25 25 25 25 25
fck (MPa) 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0
d (cm) 48 48 48 48 48 48 48
As,mín
(cm² - eq.27) 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56
As,mín
(cm² - eq.26) 2,68 2,78 2,86 2,94 3,02 3,09 3,16
As,mín (cm²) 2,68 2,78 2,86 2,94 3,02 3,09 3,16
𝜌mín = As/Ac (%) 0,179 0,185 0,191 0,196 0,201 0,206 0,211 Fonte: Autor
52
CAPÍTULO VI
-RESULTADOS E DISCUSSÕES-
6.1 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Como forma de comparar as prescrições das quatro normas do presente estudo que
versam sobre armadura mínima de flexão, foram elaboradas duas tabelas; a tabela 10 expõe a
resistência à tração na flexão usada em cada norma estudada e a tabela 11 mostra as taxas
mínimas para concretos C20 a C90 de acordo com cada norma; Complementarmente, a partir
das mesmas tabelas foram elaborados os gráficos 1 e 2 respectivamente.
53
Tabela 10 - Comparação entre as resistências à tração na flexão de cada norma
Comparação entre as resistências à tração na flexão (C20 a C55) (MPa)
Classe 20 25 30 35 40 45 50 55
NBR 6118:2014
(1,04∙fct,m) 2,30 2,67 3,01 3,34 3,65 3,95 4,23 4,31
NBR 6118:2003
(1,5∙fct,m) 3,32 3,85 4,34 4,81 5,26 5,69 6,11
ACI 318 (0,62∙fc'
(1/2)) 2,77 3,10 3,40 3,67 3,92 4,16 4,38 4,60
Eurocode 2 (fct,m) 2,21 2,56 2,90 3,21 3,51 3,80 4,07 4,14
ACI/ NBR 6118:2014 1,21 1,16 1,13 1,10 1,07 1,05 1,04 1,07
NBR 6118:2014 / EC 2 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04
Comparação entre as resistências à tração na flexão (C60 a C90) (MPa)
Classe 60 65 70 75 80 85 90
NBR 6118:2014
(1,04∙fct,m) 4,47 4,63 4,77 4,90 5,03 5,15 5,27
NBR 6118:2003
(1,5∙fct,m)
ACI 318 (0,62∙fc'
(1/2)) 4,80 5,00 5,19 5,37 5,55 5,72 5,88
Eurocode 2 (fct,m) 4,30 4,45 4,59 4,72 4,84 4,95 5,06
ACI/ NBR 6118:2014 1,07 1,08 1,09 1,09 1,10 1,11 1,12
NBR 6118:2014 / EC 2 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04
Fonte: Autor
54
O gráfico em seguida reproduz o comportamento dos valores encontrados na tabela
anterior.
Gráfico 1 - Comparação entre os módulos de rupturas de cada norma
Fonte: Autor
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
Mó
du
lo d
e R
up
tura
(M
Pa)
Resistência à compressão (MPa)
NBR 6118:2014 (1,04∙fct,m)
NBR 6118:2003 (1,5∙fct,m)
ACI 318 (0,62∙fc'(1/2))
Eurocode 2 (fct,m)
55
Tabela 11 - Comparação do ρmín de cada norma
Comparação do ρmín de cada norma (C20 a C55)
Norma C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55
6118:2014 (%) 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211
6118:2003 (%) 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
ACI 318 (%) 0,267 0,267 0,267 0,282 0,301 0,319 0,337 0,353
EC2 (%) 0,104 0,107 0,120 0,134 0,146 0,158 0,169 0,172
ACI 318 / 6118:2014 (%) 178 178 178 172 168 165 162 167
6118:2014/
EC2 (%) 144 141 124 123 123 123 123 123
Comparação do ρmín de cada norma (C60 a C90)
Norma C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90
6118:2014 (%) 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256
6118:2003 (%)
ACI 318 (%) 0,369 0,384 0,398 0,412 0,426 0,439 0,452
EC2 (%) 0,179 0,185 0,191 0,196 0,201 0,206 0,211
ACI 318 / 6118:2014 (%) 168 170 171 173 174 175 176
6118:2014/
EC2 (%) 122 122 122 122 122 122 122
Fonte: Autor
Classe
Classe
56
Gráfico 2 - Comparação do ρmín de cada norma
Fonte: Autor
Na tabela 10 e no gráfico 1, a resistência à tração na flexão usada pela ABNT NBR
6118:2014 para calcular a armadura mínima é representado pelo termo 𝟏, 𝟎𝟒 𝒇𝒄𝒕,𝒎 (isso pode
ser encontrado na discussão do capítulo II). A ABNT NBR 6118:2003 considera um 𝒇𝒄𝒕,𝒇 =
𝟏, 𝟓 𝒇𝒄𝒕,𝒎, como visto nas deduções. Já o ACI 318 utiliza 𝒇𝒓 = 𝟎, 𝟔𝟐 (𝒇′𝒄)𝟏/𝟐. O EC2, por sua
vez, de acordo com a dedução apresentada usa 𝒇𝒄𝒕,𝒇 = 𝒇𝒄𝒕,𝒎. Percebe-se que os valores
usados pela ABNT NBR 6118:2014, pelo ACI e EC2, estão bem alinhados, com variações na
ordem de 10%.
Analisando o gráfico 1 e 2, percebe-se que as linhas que representam a ABNT NBR
6118:2003 destoam das demais; no gráfico 1, ela está consideravelmente acima e apresenta
maior inclinação; no gráfico 2, a partir da classe C30, ela cresce linearmente devido a fixação
da taxa mecânica mínima, como apontado na discussão do capítulo III. Por essas não
conformidades e pelo fato da ABNT NBR 6118:2003 não ser mais a versão vigente, a mesma
não será comparada com as demais.
Ainda analisando o gráfico 1 e tabela 10, percebe-se que os valores da resistência à
tração na flexão do ACI 318 são maiores entre 4% à 21% em relação a ABNT NBR
6118:2014, porém as taxas mínimas (tabela 11 e gráfico 2) superam as da ABNT NBR
0.000%
0.050%
0.100%
0.150%
0.200%
0.250%
0.300%
0.350%
0.400%
0.450%
0.500%
ρm
ín
Resistência à compressão (MPa)
𝜌mín 6118:2014
𝜌mín 6118:2003
𝜌mín ACI 318
𝜌mín EC2
57
6118:2014 na ordem de 70%. Esse aumento significativo é representado pela diferença da
resistência a tração na flexão; pelo coeficiente 1,33 que surge na eq.25 da dedução
apresentada no capítulo IV; pela diferença do braço resistente (no ACI 318, z é considerado
igual a 0,9d, já na ABNT NBR 6118:2014 é o real, z = d-0,4x, ficando em torno de 0,98d para
os momentos mínimos calculados); e, no fim da dedução apresentada no ACI, também faz-se
um arredondamento de 0,24 para 0,25. A equação a seguir representa aproximadamente esses
acréscimos.
𝛿 = (1,125 ∙ 1,33 ∙0,98
0,9∙0,25
0,24) − 1 = 0,70 = 70%
Comparando agora a ABNT NBR 6118:2014 com o EC2, percebe-se que os valores
da resistência à tração na flexão são praticamente os mesmos, a diferença é apenas o fator
1,04 (proveniente da equivalência com a equação do Md,mín) apresentado na discussão do
capítulo II. Na verdade, a ABNT NBR 6118:2014 e o EC2 compartilham vários capítulos,
entre eles, o que trata da resistência a tração direta. É perceptível que, tanto a ABNT NBR
6118:2014 (desconsiderando o fator 1,04 explicitado anteriormente) quanto o EC2, utilizam a
resistência à tração na flexão como sendo a própria resistência à tração média, fct,m . Num
primeiro momento, isso pode parecer estranho, porém, mais adiante, quando for brevemente
explanado o conceito de efeito de escala (size effect) nas vigas (item 6.2.1), o exposto terá
melhor compreensão.
Em relação às taxas mínimas, a ABNT NBR 6118:2014 apresenta valores maiores que
o EC2 em torno de 22% (desconsiderando os valores onde a taxa mínima absoluta governa).
Essa defasagem pode ser explicada pelo fator 1,04 que surge na discussão do capítulo IV; pela
diferença no braço resistente z (na dedução da ABNT NBR 6118:2014 é em torno de 0,98d e
na dedução do EC2 é 0,9d); pela diferença da relação (d/h)2, que é (0,8)
2 para a norma
brasileira é (0,9)2 para a dedução apresentada para a norma europeia; e no fim da dedução da
eq. 26 o fator 0,2629 é arredondado para 0,26.
𝛿 = (1,04 ∙0,90
0,98∙0,92
0,82∙0,2629
0,26) − 1 = 0,22 = 22%
A relação d/h igual a 0,8 é criticada por ser muita baixa para vigas de alturas usuais
(de 40 a 60 cm, por exemplo); normalmente d é maior que 0,9h; porém, como essa relação foi
58
utilizada para calcular os valores tabelados, que podem ser utilizados para vigas faixas baixas
e até lajes, entende-se que 0,8 não é tão incoerente.
6.2 DISCUSSÃO
6.2.1 EFEITO DE ESCALA NAS VIGAS
Todas as normas estudadas fizeram análises independentes do tamanho das seções,
levando em conta o momento de fissuração proveniente da teoria da elasticidade. Nenhuma
das normas estudas levaram em conta a influência da altura das vigas no cálculo das
armaduras mínimas. Bruckner e Eligehausen (1998) indicam que vigas mais altas apresentam
comportamento mais frágil quando da formação das primeiras fissuras, o que leva à
necessidade de taxas de armadura mínima maiores; já vigas mais baixas apresentam
comportamento mais dúctil, o que sugere que a taxa de armadura mínima poderia diminuir
com a diminuição da altura das vigas. Também é indicado que concretos de alta resistência
apresentam comportamento mais frágil que concretos comuns.
Por outro lado, segundo a formulação do próprio EC2, a resistência à tração na flexão
reduz com o aumento da altura da viga, até uma certa altura, não podendo ser menor que a
resistência a tração direta média.
𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙 = max{(1,6 − ℎ/1000) 𝑓𝑐𝑡𝑚; 𝑓𝑐𝑡𝑚 }
Com h maior ou igual a 600 mm, tem-se que a resistência a tração média é igual a
resistência a tração na flexão; isso dá um certo sentido às deduções da ABNT NBR
6118:2014 e do EC2, quando os mesmos utilizam a resistência à tração na flexão igual a
resistência a tração média.
6.2.2 RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO
Inicialmente, quando lê-se o item 17.3.5.1 da ABNT NBR 6118:2014, como mostrado
na discussão do capítulo II, leva-se a crer que o momento de fissuração deve ser calculado
aplicando-se o fctk,sup e um coeficiente α, para transformar a resistência a tração direta na
resistência a tração na flexão. O fato do α ser suprimido (α = 1), pode ter sua justificativa no
59
último parágrafo do item anterior, 6.2.1. Mas o fato de se usar o fct,m e não fctk,sup, não está
explicado ainda.
Segundo Seguirant et al. (2010), a resistência à tração na flexão utilizada no ACI,
𝑓𝑟 = 0,62√𝑓𝑐′, está entre a resistência à tração direta (que em testes fica em torno de
0,33√𝑓𝑐′ ) e a resistência à tração na flexão (que em testes fica em torno de √𝑓𝑐′). O valor
0,62√𝑓𝑐′ para a resistência à tração na flexão aparenta ser um valor razoável para vigas
usuais, que são bem mais altas que as vigas ensaiadas (efeito de escala) e, geralmente, têm
cura de 7 dias, contra a cura controlada em laboratório nas vigas testadas (a cura é fator
importante para se obter alta resistência a tração). Segundo o Comitê 363 do ACI, Report on
High-Strength Concrete (1992 apud SEGUIRANT; BRICE; KHALEGHI, 2010, p. 81),
0,62√𝑓𝑐′ deve representar os valores máximos da resistência à tração na flexão para vigas
onde há apenas 7 dias de cura feita em campo.
Como foi visto na apresentação de resultados (Item 6.1), o valor de fct,m está próximo
ao valor da resistência à tração na flexão apresentada no parágrafo anterior, principalmente
para os concretos mais comuns (30 a 50 MPa), o que corrobora o uso do fct,m em detrimento
do fctk,sup.
6.2.3 RESISTÊNCIA DE RUPTURA DO AÇO
Um ponto interessante apontado por Freyermuth e Aalami (1997) é que em vigas
armadas com as taxas mínimas, a ruptura no ELU se dá, normalmente, pela ruptura no aço.
Ou seja, o aço é levado à tensão de ruptura, que é consideravelmente mais alta que a tensão de
escoamento. Esse mecanismo é uma reserva extra de segurança não contabilizada nas
formulações para se obter a armadura mínima. Esses autores defendem que a formulação do
ACI 318 permaneceria a mesma, mas o fy seria trocado pelo fsu (resistência de ruptura).
6.2.4 QUAL NORMA É MAIS COERENTE?
Percebe-se que todas as deduções para os valores das armaduras mínimas começam de
um mesmo ponto, que é fazer MRd ≥ Mcr; também percebe-se que os módulos de ruptura não
variam tanto. Porém, após as deduções, é visto que devido a variações nos valores adotados
para a relação d/h, para a relação z/d, devido aos arredondamentos e coeficiente de segurança
extra (particularmente no ACI), os valores das taxas mínimas variam na ordem de 70% (ACI
60
vs. ABNT NBR 6118:2014). Ou seja, são valores muito aproximados para atender às várias
situações.
É fácil perceber que o ACI apresenta a armadura mínima mais conservadora, mas sem
ensaios não se pode afirmar que a ABNT NBR 6118:2014 e o EC2 apresentam valores abaixo
do necessário. Em testes feitos por Bruckner e Eligehausen (1998) com vigas de 0,125m,
0,250m e 0,500m de altura; moldadas com concreto C30; e com taxa de aço de 0,0015, foi
verificado comportamento muito dúctil em todas as 3 vigas, porém a viga mais baixa mostrou
uma reserva de resistência (hyperstrenght) de 70% quando comparada a carga de ruptura
ensaiada com a carga de ruptura calculada (considerando a tensão de ruptura do aço); as
outras duas vigas apresentaram, respectivamente, 30% e 5% de reserva.
Em outro estudo realizado por Ozbolt e Bruckner (1999), eles concluem que as vigas
acima de 1 m de altura armadas com a armadura de pele e armadura mínima indicada pelo
EC2, de acordo com os resultados numéricos, apresentam um comportamento dúctil, o que
indica que armadura mínima do EC2 atende as condições de ductilidade.
Com base nos parágrafos anteriores e levando-se em conta que a ABNT NBR
6118:2014 apresenta taxas de armadura mínima ligeiramente mais altas que o EC2, considera-
se que as taxas presentes na tabela 17.3 são satisfatórias e devem garantir as condições de
ductilidade esperadas, pelo menos para os concretos mais usuais (C20 a C40). Além disso, as
taxas mínimas estabelecidas se aplicam para elementos que, por razões arquitetônicas ou
outras razões, têm suas dimensões maiores que as necessárias para resistir os esforços
provenientes da análise estrutural, ou seja elementos pouco solicitados.
6.3 SUGESTÕES
6.3.1 SUBSTITUIÇÃO DA EQUAÇÃO DO Md,mín
Como dito no parágrafo anterior, considera-se aceitável as taxas mínimas tabeladas e
apesar da relação d/h utilizada ser 0,8, os valores tabelados não são tão altos, inclusive bem
abaixo do estabelecido no ACI, por exemplo. Mesmo assim, sugere-se que adicionalmente à
tabela, a equação do Md,mín seja substituída por uma equação mais simples, que forneça
diretamente a área de aço, como acontece no ACI e no EC2. Para isso, a equação a seguir é
sugerida.
61
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,20 ∙𝑓𝑐𝑡,𝑚∙𝑏∙ℎ2
𝑓𝑦𝑘∙𝑑 (eq. 30)
Para compará-la com os valores de taxa mínima tabelados, basta dividi-la por b.h e
usar a relação h/d = 1,25 (equivalente a d/h utilizado na tabela 17.3 da ABNT NBR
6118:2014)
𝜌𝑚í𝑛 = 0,20 ∙𝑓𝑐𝑡,𝑚∙ℎ
𝑓𝑦𝑘∙𝑑 (eq. 31)
A tabela a seguir mostra tal comparação.
Tabela 12 - Comparação entre o ρmín (%) proveniente da equação sugerida e o da norma
ABNT NBR 6118:2014
Comparação entre o ρmín (%) proveniente da equação sugerida e o da norma
ABNT NBR 6118:2014 (C20 a C55)
Classe (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55
𝜌mín sugerido (eq.31)
0,150 0,150 0,150 0,160 0,175 0,190 0,204 0,207
𝜌mín 6118:2014 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211
Comparação entre o ρmín (%) proveniente da equação sugerida e o da norma
ABNT NBR 6118:2014 (C60 a C90)
Classe (MPa) 60 65 70 75 80 85 90
𝜌mín sugerido (eq.31)
0,215 0,222 0,229 0,236 0,242 0,248 0,253
𝜌mín 6118:2014 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256
Fonte: Autor
62
A diferença entre os valores expostos na tabela anterior é devido ao arredondamento
do fator 0,20. A principal vantagem da eq. 30 é que ela apresenta valores coerentes para
qualquer relação d/h obtida, com o aumento dessa relação, a taxa de aço diminui;
diferentemente das equações apresentadas pelo ACI e pelo EC2, como mostrado na discussão
do capítulo IV. Esse comportamento é visível na tabela 13 a seguir. Como exemplo foi
utilizado o concreto de 45 MPa.
Tabela 13 - Valores de ρmín (%) para diferentes relações d/h
Classe 45 MPa
d/h 0,9333 0,9 0,85 0,8
𝜌mín sugerido (eq. 31) 0,163% 0,169% 0,179% 0,190%
𝜌mín EC2
0,184% 0,178% 0,168% 0,158%
𝜌mín ACI 0,373% 0,359% 0,339% 0,319%
Fonte: Autor
Analisando a tabela, também percebe-se que o ρmín sugerido é maior do que o ρmín do
EC2, nas relações d/h igual a 0,85 e 0,80; nas relações mais usuais (0,9333 e 0,9), a equação
do EC2, apesar de apresentar comportamento estranho (a taxa de aço é inversamente
proporcional a relação d/h), gera valores mais altos de taxa mínima. Essa característica faz
com que, quando usada a relação d/h igual a 0,9333, o ACI 318 gere taxas mínimas quase
100% maiores que as presentes na tabela 17.3 da ABNT NBR 6118:2014 (tabela 1) (no item
6.1 são maiores em torno de 70%, pois d/h é 0,8). Nesta mesma situação, o Eurocode 2
geraria valores em torno de 5% menores que os encontrados na Tabela 17.3 (tabela 1) (no
item 6.1 são menores em torno de 22%, pois d/h é 0,8).
Como, provavelmente, os testes e análises numéricas que corroboraram os valores de
área de aço mínima proveniente do EC2 usaram relações d/h mais usuais, por exemplo 0,933,
acredita-se que a taxa mínima testada ou analisada, seria, para 45 MPa, 0,184%. Logo, pela
falta de resultados experimentais, o autor acredita ser mais sensato utilizar o valores da tabela
17.3 da ABNT NBR 6118:2014, ao invés de calcular a área de aço mínima através da eq.30,
pois serão quase sempre maiores que os calculados pelo EC2.
De qualquer forma a eq. 30, permanece mantida como sugestão para substituir a
equação do Md,mín.
63
6.3.2 TRATATIVA PARA SECÕES T
A ABNT NBR 6118:2014 não sugere o que fazer em relação a armadura mínima de
vigas T; o EC2 permite usar a equação 26 usando a largura média da zona tracionada no lugar
de bt. Se os banzos estiverem comprimidos, o EC2 indica que deve-se utilizar a largura da
alma no lugar de bt. Analogamente, transferindo a solução dada pelo EC2 para a ABNT NBR
6118:2014, o procedimento seria aplicar as taxas tabeladas para seções retangulares,
considerando apenas a área da alma na seção T (essa solução é apresentada na coluna 5, “Área
apenas da alma”, da Tabela 14)
Em relação as seções T com as mesas comprimidas, o autor acredita que a solução
dada pelo EC2 é uma aproximação que não favorece a segurança; pela teoria da elasticidade,
o momento de fissuração da alma seria menor que o momento de fissuração da mesma alma
acrescida de abas colaborantes, portanto a seção T teria que ter uma área de aço maior.
A fim de desenvolver uma solução alternativa ao procedimento indicado pelo EC2, tal
procedimento foi comparado com outras duas soluções de fácil cálculo e com a solução,
considerada ideal, porém de cálculo mais laborioso, apresentada no parágrafo a seguir. Todas
as quatro soluções mencionadas nesse parágrafo foram aplicadas em 12 seções T distintas
como mostrado na tabela A.1 do anexo A.
Através do mesmo procedimento apresentado no capítulo II, exemplo 1, e
considerando a seção T, alma acrescida abas, para o cálculo do momento de fissuração,
calcula-se as taxas mínimas ditas ideais para cada uma das 12 seções T usando concreto C50.
Para se obter a altura da linha neutra, foi utilizado o bf, pois a linha neutra passa pela mesa,
uma vez que para equilibrar a força de tração (pequena, pois a armadura é mínima) com a de
compressão, uma área pequena de concreto, comprimida, é necessária. Esse procedimento tem
um melhor embasamento teórico e portanto gera taxas mínimas mais coerentes, porém é
complicado para ser realizado sempre que se desejar verificar a armadura mínima de uma
seção T (essa solução é apresentada na coluna 2, “Solução ideal”, da Tabela 14).
Uma das soluções de fácil cálculo, definitivamente a favor da segurança e de fácil
procedimento, seria aplicar as taxas mínimas provenientes da tabela de 17.3 (tabela 1) da
ABNT NBR 6118:2014 considerando a área total da seção T; os valores de ρmín para essa
alternativa constam na quarta coluna, “Área total”, da Tabela 14. No entanto, isso pode gerar
uma armadura mínima excessivamente alta em alguns casos, como pode-se perceber na tabela
14, quando comparado com a alternativa exposta no parágrafo anterior.
64
Tabela 14 - Cálculo do ρmín para as seções T por meio de diferentes metodologias
Cálculo do ρmín para as seções T por meio de diferentes
metodologias (C50)
Seções Solução
ideal
Alma + metade da
mesa Área total
Área apenas da alma
T8 0,118% 0,136% 0,208% 0,081%
T11 0,141% 0,144% 0,208% 0,100%
T12 0,142% 0,144% 0,208% 0,102%
T6 0,149% 0,143% 0,208% 0,117%
T1 0,154% 0,149% 0,208% 0,111%
T9 0,178% 0,160% 0,208% 0,129%
T7 0,180% 0,161% 0,208% 0,139%
T2 0,183% 0,160% 0,208% 0,150%
T4 0,194% 0,169% 0,208% 0,155%
T5 0,197% 0,170% 0,208% 0,170%
T10 0,198% 0,147% 0,208% 0,193%
T3 0,203% 0,176% 0,208% 0,184% Fonte: Autor
Com os valores das taxas mínimas obtidas, procurou-se chegar a uma alternativa que
desse valores mais aproximados dos valores ideais (representados pela coluna 2, “Alma +
metade da mesa”, da Tabela 14) do que simplesmente aplicar a taxa mínima tabelada (tabela
17.3 da ABNT NBR 6118:2014) na área da alma (coluna 5, “Área apenas da alma”, da Tabela
14, equivalente à solução proposta pelo EC2).
Observou-se que considerando a área de uma seção T, como sendo a área da alma
acrescida de metade da área da mesa (neste caso, a interseção da área da alma com a área da
mesa é contabilizada como sendo área da mesa), obteve-se um melhor ajuste em relação a
coluna 2, considerada a ideal. Com essa seção T equivalente reduzida, pode-se simplesmente
aplicar as taxas provenientes da tabela 17.3 da ABNT NBR 6118:2014. Quando essa área
equivalente for menor que a área total da alma (inclui a interseção da área da alma com a área
da mesa), usa-se a área total da alma. O Gráfico 3 mostra essa solução em comparação com
outras mais comuns.
65
Gráfico 3 - ρmín para as seções T por meio de diferentes metodologias.
Fonte: Autor
Em relação às seções T invertidas (mesa tracionada), concorda-se com o proposto pelo
ACI 318-14; como foi apresentado no item 4.1, o ACI considera uma seção retangular com
largura bw igual a 2bw ou bf, o que for menor. O ACI 318-14 justifica no comentário R9.6.1.2
que se a mesa estiver tracionada, a quantidade da armadura de tração necessária para tornar a
resistência da seção de concreto armado igual a da seção de concreto simples é
aproximadamente duas vezes aquela para a seção retangular (alma da seção T) ou duas vezes
aquela para a mesma seção T com a mesa comprimida. Esse comentário ainda cita que, uma
quantidade maior de amadura mínima é necessária para vigas em balanço ou em outras
situações onde não há possibilidade de redistribuição de momentos.
Logo, é sugerido que, nas vigas T com a mesa tracionada, a armadura mínima seja
calculada aplicando as taxas da tabela 17.3 da ABNT NBR 6118:2014 à uma seção retangular
com a altura da seção T e com a largura bw igual a 2bw ou bf, o que for menor. Para elementos
onde não há a possibilidade de redistribuição de momentos, sugere-se que uma análise mais
precisa seja feita.
0.000%
0.050%
0.100%
0.150%
0.200%
0.250%
T8 T11 T12 T6 T1 T9 T7 T2 T4 T5 T10 T3
ρmín ideal
Aw+Af/2
Ac total
Aw
66
CAPÍTULO VII
-CONSIDERACÕES FINAIS-
7.1 CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Como apontado na discussão do capítulo III e na discussão final, conclui-se que a
revisão de 2014 da ABNT NBR 6118 apresenta valores de taxas mínimas de armadura de
flexão mais coerentes do que a versão anterior. Através das deduções apresentadas, que fazem
várias aproximações e simplificações, percebe-se que as taxas de armadura mínima e as
equações utilizadas para calcular a área de aço mínima resultam em valores com pouca
exatidão.
O ACI 318-14 gera valores de armadura mínima consideravelmente mais altos que as
demais normas estudadas. Mesmo assim, a tabela 17.3 da ABNT NBR 6118:2014 apresenta
valores acreditados seguros por serem alinhados com os valores calculados pelo Eurocode 2
(2004), valores esses que já foram testados numericamente e experimentalmente em vigas até
50 cm e numericamente em vigas maiores. Contudo, não se sabe ao certo a margem de
segurança para vigas com altura maior que 50 cm.
A partir disto, sugere-se que sejam feitos testes em vigas com alturas maiores que 50
cm, utilizando também concretos de resistência normal e de alta resistência. Esses testes
serviriam para validar, reprovar ou calibrar as teorias e modelos numéricos que explicam o
efeito de escala e também o comportamento mais frágil dos concretos de alta resistência.
É importante salientar que, apesar das incertezas em torno dos valores de taxas
mínimas fornecidos pelas normas em questão, não foram encontrados na revisão bibliográfica
casos de acidentes causados pela ruptura frágil de vigas armadas com armadura mínima.
67
REFERÊNCIAS
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Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
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para Fins Estruturais . Rio de Janeiro, 1992.
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68
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CONJUNTO ABECE/IBRACON. ABNT NBR 6118:2014 – Comentários e Exemplos de
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70
ANEXO A
Tabela A.1: Taxas mínimas para 12 seções T de acordo com 4 soluções diferentes.
Fonte: Autor
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
Classe 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa 50 MPa
bf (cm) 145 117 79 97 93 100 70 165 170 40 60 65
hf (cm) 11 11 11 11 11 15 12 14 15 25 5 7
bw (cm) 25 45 50 32 46 30 19 20 30 35 9 11
hw (cm) 49 34 39 55 39 30 53 51 100 20 21 26
fck (KN/cm2) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
fyk (KN/cm2) 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
d (cm) 48,00 36,00 40,00 52,80 40,00 36,00 52,00 52,00 92,00 36,00 20,80 26,40
γc 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
γs 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15
fct,m (KN/cm2) 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407 0,407
cg (cm) 41,47 27,28 27,21 39,96 28,58 29,06 41,28 48,05 76,42 23,24 18,48 23,13
yt (cm) 41,47 27,28 27,21 39,96 28,58 29,06 41,28 48,05 76,42 23,24 18,48 23,13
Ic(cm4) 884762,13 514240,85 631623,30 1177826,67 644889,25 380390,63 729538,11 1006183,24 7105076,01 283872,55 27166,46 65780,17
Wo (cm3) 21335,98 18850,78 23215,78 29478,64 22565,30 13088,71 17672,61 20942,50 92975,35 12217,30 1470,41 2843,74
Mr,m (KN∙cm) 9034,70 7982,35 9830,70 12482,71 9555,26 5542,40 7483,45 8868,08 39370,33 5173,41 622,64 1204,18
x (cm) 0,54 0,79 1,30 1,01 1,07 0,64 0,85 0,43 1,04 1,50 0,21 0,29
Rcc (KN) 189,07 223,69 249,00 238,24 241,46 155,06 144,86 171,10 429,88 146,15 30,05 45,81
Rst (KN) 189,07 223,69 249,00 238,24 241,46 155,06 144,86 171,10 429,88 146,15 30,05 45,81
As,mín (cm2) 4,35 5,14 5,73 5,48 5,55 3,57 3,33 3,94 9,89 3,36 0,69 1,05
Ac (cm2) 2820,00 2817,00 2819,00 2827,00 2817,00 2400,00 1847,00 3330,00 5550,00 1700,00 489,00 741,00
ρmín ideal 0,154% 0,183% 0,203% 0,194% 0,197% 0,149% 0,180% 0,118% 0,178% 0,198% 0,141% 0,142%
Aw+Af/2 0,149% 0,160% 0,176% 0,169% 0,170% 0,143% 0,161% 0,136% 0,160% 0,147% 0,144% 0,144%
Ac total 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208% 0,208%
Aw 0,111% 0,150% 0,184% 0,155% 0,170% 0,117% 0,139% 0,081% 0,129% 0,193% 0,100% 0,102%
Seção
DA
DO
SC
ÁLC
ULO
