Ficha para Identificação da Produção Didático-Pedagógica

Título: Modelagem Matemática: uma metodologia alternativa de ensino da

geometria na perspectiva do conhecimento matemático para os alunos do 9°

ano.

Autor Maria Leni Maran

Disciplina Matemática

Escola de implementação do projeto e sua localização

Colégio Estadual Léo Flach, localizado na rua Marília nº190, Bairro Padre Ulrico.

Município da Escola Francisco Beltrão

Núcleo Regional de Educação

Francisco Beltrão

Professor Orientador Amarildo de Vicente

Instituição de Ensino Superior

UNIOESTE- Cascavel

Resumo Considerando o sentimento de rejeição e de dificuldades que os alunos apresentam pela matemática e a possibilidade de amenizar os problemas de ensino aprendizagem desta disciplina, propõe-se desenvolver, por meio da Modelagem Matemática conteúdos de geometria, partindo de situações problemas do cotidiano que promovam a percepção da relevância da Matemática perante a sua aplicabilidade nas mais diversas situações, despertando no aluno o interesse e o gosto pela Matemática. As atividades desta proposta serão desenvolvidas através da exploração do espaço físico escolar na construção de modelos matemáticos como: planta baixa, orçamento de pintura, reforma do telhado e maquete da escola.

Palavras chave Geometria, Modelagem Matemática, Metodologia.

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Público Alvo Alunos do 9º Ano do Ensino Fundamental

APRESENTAÇÃO

A geometria é um importante ramo da Matemática e possui grandes

contribuições na Física, na Química, na Biologia, na Agricultura, na Arquitetura, na

Arte, na Moda e outras áreas do conhecimento. Mesmo sabendo que a geometria

é um conteúdo de importância reconhecida e inquestionável na representação do

mundo que nos cerca, e que contribui em grande parte para a construção do

conhecimento matemático ao longo do processo de escolarização, percebem-se

grandes dificuldades dos alunos e professores em relação ao seu processo de

ensino e aprendizagem.

Com a finalidade de amenizar as dificuldades apresentadas nesse

processo, através de uma abordagem que atribua significado aos conteúdos

propostos, esta unidade didática apresenta atividades para serem desenvolvidas

através da modelagem matemática explorando conceitos matemáticos

relacionados mais especificamente a geometria e sua aplicabilidade na

construção civil, utilizando o espaço físico da escola como ambiente de

exploração desse conteúdo. Dessa forma pretende-se que a Matemática seja

trabalhada de maneira mais interessante e motivadora, de tal modo que estimule

nos alunos: a curiosidade, a percepção, a criatividade, a capacidade de formular

hipóteses e buscar soluções, colaborando para um ensino aprendizagem mais

eficaz e significativo.

Nas atividades aqui apresentadas tem-se por objetivo fazer com que os

alunos tenham a possibilidade de desenvolver capacidades tais como: aprender a

observar e interpretar a realidade, sendo capaz de expressá-la de forma oral,

escrita e gráfica; argumentar, formular hipóteses, experimentar e encontrar

soluções para situações problemas; estimular a criatividade e desenvolver o

espírito cooperativo; compreender o valor da matemática como conhecimento

historicamente construído e de grande aplicabilidade nas mais diversas áreas do

conhecimento e de grandes contribuições nas construções sociais e humanas.

As atividades desta Unidade Pedagógica, desenvolvidas por meio da

modelagem matemática, não privilegiam a memorização de fórmulas, regras e

conceitos. Foram estruturadas e elaboradas a fim de proporcionar situações de

pesquisa, investigação, exploração, manipulação e descobrimento para que o

aluno construa os conceitos ou organize e amplie os conhecimentos já estudados.

Encaminhamentos Metodológicos

Para o desenvolvimento destas atividades será utilizado como referencial

as etapas sugeridas pelos autores Biembengut & Hein (2000, p.13) que são:

1) Interação

Reconhecimento da situação problema;

Familiarização com o assunto a ser modelado – referencial teórico.

Nesta etapa, a situação a ser estudada será esboçada e para torná-la mais

clara deverá ser feita uma pesquisa sobre o assunto escolhido de modo direto

(através de bibliografia especializada, entre outros) ou indireto, in loco (através da

experiência em campo, de dados experimentais obtidos com especialistas da

área).

2) Matematização

Formulação do problema – hipótese;

Resolução do problema em termos do modelo.

Esta é a fase mais complexa e desafiadora, onde se começa a estabelecer

hipóteses para a solução do problema. É nesta fase que se dará a tradução da

situação problema para a linguagem matemática. Assim, a intuição e a

criatividade e a experiência acumulada são elementos indispensáveis.

3) Modelo matemático

Interpretação da solução;

Validação do modelo – avaliação.

É nesta fase que é feita a interpretação do modelo sugerido, quanto a sua

validação. O modelo concluído deverá corresponder à situação-problema

apresentada, caso contrário, deverá ser retomado na segunda etapa.

Para obter-se maior êxito no processo de ensino e aprendizagem,

recomenda-se que as atividades com modelagem matemática sejam

desenvolvidas preferencialmente pelos alunos em grupos. Nesse sentido, para o

desenvolvimento das atividades desta Produção Didático-Pedagógica, propõe-se

adotar um sistema de trabalhos em grupos, de modo que todos os alunos

participem, onde cada integrante possa dar a sua contribuição tanto para o

desenvolvimento das atividades quanto ao auxílio aos seus colegas de classe e

com a mediação do professor, seja envolvido, motivado a compartilhar suas

ideias, e capaz de resolver as situações problemas apresentadas com as ajudas

necessárias, ou seja, encorajado a ser um sujeito ativo na construção do próprio

conhecimento.

UNIDADE PEDAGÓGICA – 1ª PARTE

Objetivos:

- Reconhecer as formas geométricas identificadas no espaço de seu

ambiente escolar e representá-las de forma oral, escrita e gráfica.

- Explorar e manipular as formas geométricas planas, observando suas

características e propriedades.

Atividades:

1- Iniciar a aula com questionamentos orais referentes a importância da

Matemática no cotidiano das pessoas.

1.1 Porque precisamos estudar e aprender matemática?

1.2 Qual a sua importância no nosso dia a dia?

1.3 Cite algumas situações, pelo menos duas, em que a Matemática é

utilizada nas atividades domésticas, no comércio, no esporte, nas construções e

na escola.

1.4 Observem o espaço ao seu redor, aqui na sala de aula, vocês

percebem a presença da Matemática? Onde? Olhem detalhadamente, as

paredes, a porta, as janelas, o quadro, o teto, o chão, os objetos escolares.

Nesse momento o objetivo é fazer com que eles percebam as formas

geométricas presentes no mundo ao seu redor e sua importância na

construção civil e no seu cotidiano. O Professor fará as anotações no

quadro e aproveitará para fazer uma revisão sobre as principais figuras

planas e suas propriedades.

2- Dividir a turma em grupos de 4 alunos e propor o seguinte problema:

quais formas geométricas encontramos no nosso espaço escolar? Para resolver

este problema propor:

2.1 Façam um passeio pelo colégio e levantem as formas presentes nos

ambientes: sala de aula, biblioteca, sala de informática, refeitório, cozinha, ginásio

de esportes e outros. Elaborem uma forma de registro para cada ambiente. Para

melhor organizar os dados, pode-se sugerir que registrem os dados numa

tabela: Ex:

Sala de Aula

Objeto observado/desenho Forma poligonal

Ex: porta Retângulo

2.2 Ao final do passeio, cada grupo deverá apresentar os registros feitos,

socializando com os demais para comparar e validar os resultados encontrados.

Juntamente com o professor será elaborado um relatório final relacionando os

objetos às suas formas poligonais planas, identificando as suas propriedades.

Esse relatório final, todos devem registrar individualmente no caderno.

3- Colocar na TV Pendrive, para os alunos assistirem, o recorte de vídeo:

“A Matemática em toda parte” - parte 2, disponível em:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12539.

Este recorte apresenta exemplos de como explorar os polígonos e

suas propriedades e faz demonstrações com as formas geométricas mais

utilizadas no ladrilhamento ou pavimentação de uma superfície plana.

3.1 Com relação ao vídeo assistido, responder:

Lembrando que as atividades em que se utiliza a Modelagem

Matemática como Metodologia de ensino, as mesmas devem ser

desenvolvidas pelos alunos preferencialmente em grupos, e o professor

deve assumir o papel de mediador na condução das atividades.

a) Porque o ângulo reto é muito utilizado nas construções?

b) Quais são quadriláteros mais vistos no dia a dia? Quais são as razões

de se utilizar essas formas?

c) Porque o quadrado é um quadrilátero especial?

d) Qual é a propriedade mais importante dos paralelogramos? Cite alguns

objetos que utilizam o paralelogramo na sua estrutura.

3.2 Socializar as respostas com os demais grupos.

4- De acordo com o vídeo, quais são as formas mais utilizadas para

pavimentar ou ladrilhar um plano?

4.1 Para cobrir uma superfície plana, um piso ou uma parede, da nossa

sala de aula, por exemplo, que combinação de ladrilhos, com formato poligonal

regular é possível de se formar? Considerando que deve haver um encaixe

perfeito, isto é, não se pode fazer sobreposição de peças e nem deixar espaços

vazios entre elas, que tal fazer experimentações para verificar as possibilidades:

Para resolver este problema, desafiar os alunos a montar o

preenchimento de uma superfície plana manipulando polígonos regulares

com o propósito de perceberem quais deles podem ser utilizados para

recobrir superfícies.

- Para fazer este experimento, utilize régua, compasso, transferidor e papel

cartão colorido e seguindo as orientações do professor, desenhe um triângulo

equilátero, um quadrado, um pentágono regular, um hexágono regular e um

octógono regular, todos de lado 3 cm, que serão utilizados como modelos para a

reprodução de mais 11 polígonos ou mais de cada tipo. Polígonos regulares de

mesmo número de lados devem ser elaborados da mesma cor. Portanto

usaremos diversas cores, pois cada tipo de polígono deve ser feito em uma cor

diferente.

a) Utilizando-se um tipo de polígono regular. Exemplos:

Figura 1: ladrilhamento triangular Fonte: Arquivo próprio

Figura 2: ladrilhamento quadrangular Fonte: Arquivo próprio

Figura 3: ladrilhamento hexagonal Fonte: Arquivo próprio

Figura 4: ladrilhamento pentagonal Fonte: Arquivo próprio

No caso da figura 4, os alunos irão perceber que não é possível fazer

um ladrilhamento com pentágonos, pois não se encaixam perfeitamente

lado a lado deixando um espaço vazio entre eles de 36°.

b) Utilizando-se dois tipos de polígonos regulares. Exemplo:

c) Utilizando-se três tipos de polígonos regulares. Exemplo:

d) Utilizando-se quatro tipos de polígonos regulares.

Neste caso os alunos irão constatar que é impossível de fazer uma

pavimentação combinando quatro tipos de polígonos regulares. Através da

experimentação espera-se que os alunos percebam as regularidades e as

condições necessárias que possibilitam um ladrilhamento. Ou seja, a soma

dos ângulos internos ao redor de cada vértice do ladrilhamento precisa ser

Figura 6: ladrilhamento com três polígonos regulares Fonte: Arquivo próprio

Figura 5: ladrilhamento com dois polígonos regulares Fonte: Arquivo próprio

igual a 360°.

Esta atividade pode ser desenvolvida no laboratório de informática,

utilizando-se o software Geogebra.

4.2 Baseando-se no experimento, responda:

a) É possível fazer um revestimento de parede ou piso com ladrilhos de

formato pentagonal? Justifique a sua resposta.

b) Qual é a condição necessária para que uma combinação de polígonos

cubra um plano?

4.3 Exposição dos trabalhos no mural da sala.

UNIDADE PEDAGÓGICA – 2ª PARTE

Objetivos :

- Medir, estimar e comparar medidas de comprimento por meio de

estratégias pessoais não convencionais ou convencionais na resolução de

problemas;

- Identificar a importância social da escolha de unidades padronizadas e de

seu uso;

- Desenvolver conceitos relacionados às medidas de superfície.

- Conduzir o aluno a perceber que a fórmula da área dos polígonos mais

utilizados pode ser deduzida a partir do retângulo.

Atividades:

1- Com a turma dividida em grupos de 4 ou 5 alunos, questionar:

- Para a construção de uma casa, um apartamento, uma escola ou

qualquer outro tipo de construção o que é necessário pensar? Você consegue

identificar quais seriam os procedimentos a serem seguidos? Quais

profissionais estão envolvidos na execução de cada etapa? Enumere os

procedimentos de cada etapa segundo a ordem de relevância para o grupo e

relacione os profissionais envolvidos nas mesmas.

1.1 Socializar as respostas com os demais grupos, e com a mediação do

professor chegar a um consenso quanto à ordem de relevância das etapas que

devem ser seguidas em uma construção. O professor fará as anotações no

quadro.

2 – Vimos que a construção de uma obra, do início a sua finalização, passa

por várias etapas. E cada etapa há um profissional especializado para o

desenvolvimento da mesma. Que tipo de conhecimento é mais importante para

que cada um desses profissionais possa executar suas funções? Espera-se que

os alunos respondam: conhecimento Matemático. Mas, qual conhecimento

matemático todos eles precisam ter noção? Medidas. Quais instrumentos eles

usam para medir?

2.1 Após esse diálogo com os alunos, desafiar os alunos propondo a

seguinte situação:

- Se você fosse um pedreiro, e fosse desafiado a dar a medida de

comprimento dessa sala em metros, sem poder utilizar qualquer instrumento

convencional ou não convencional para medir ou comparar, apenas olhando,

conseguiria pelo menos acertar uma medida aproximada do valor correto?

Vamos verificar quem é bom no “olhômetro”?

Cada aluno dará seu palpite e o professor anotará no quadro. Em seguida,

com o auxilio de um metro ou fita métrica será conferida a medida correta e o

vencedor será o aluno que mais se aproximou da resposta certa.

2.2 Com os alunos organizados em grupos novamente, utilizando unidades

de referência não convencionais como passo e palmo, propor que realizem

algumas medidas como: largura da sala, comprimento do quadro, altura da porta,

comprimento da mesa do professor, largura da carteira do aluno, comprimento

das janelas e façam as estimativas com devidos registros.

Estabeleça um tempo para cada medição e acompanhe o trabalho dos

alunos. Para não tumultuar, estabeleça também, um sistema de rodízio entre

os grupos e os objetos a serem medidos. Por exemplo, o primeiro grupo

começa medindo a largura da sala, enquanto o segundo grupo começa pelo

comprimento do quadro de giz...

Para melhor organizar os dados, pode-se orientar que registrem os

dados numa tabela: Ex:

Objeto medido Unidade padrão

(não convencional)

Quantas

unidades

padrão

Estimativa em

metros

Largura da sala passo 7 passos 7 metros

Largura carteira palmo 3 palmos 40 cm = 0,40 m

Explique que estimar significa fazer previsões razoáveis e que nem

sempre acertamos, mas temos que tentar encontrar um resultado bem

próximo do correto.

2.3 Quando todos os grupos terminarem essa atividade será feito a

socialização dos resultados e o professor fará o registro de cada grupo no quadro,

acrescentando a medida correta de cada objeto medido, conforme tabela a seguir.

Objeto

medido Grupos

Unidade

padrão (não

convencional)

Quantas

unidades

padrão

Estimativa

em metros

Medida

correta

em

metros

Largura

da sala

1

2

3

4

5

Largura

carteira

1

2

3

4

5

2.4 Após o preenchimento dos valores finais dos grupos, questionar os

alunos sobre os valores encontrados:

- A medida de dimensão do mesmo objeto é igual em todos os grupos?

- O palmo ou passo pode ser utilizado como padrão de medida de

comprimento?

Nesse momento é importante colocar alguns aspectos históricos,

destacando que, a necessidade de medir é muito antiga e nos remete à origem

das civilizações. Por longo tempo, cada povo baseou-se em um sistema de

medidas próprio, eram arbitrárias e imprecisas. Utilizavam partes do próprio corpo

como unidades de medidas: palmo, passo, pé, braço e outros. Essa falta de

padronização de tais medidas gerava muitos problemas no comércio. Para

resolver o problema foi criado o Sistema Métrico Decimal que adotou inicialmente

três unidades básicas: metro, litro e quilograma. Em 1872, o Brasil adotou esse

sistema, reconhecido e aceito por muitos países. Entretanto com a evolução das

sociedades e o grande desenvolvimento cientifico e tecnológico exigiu um sistema

padrão de unidades que tivesse maior precisão nas medidas. Em 1960 foi

ampliado, criou-se então o Sistema Internacional de Medidas (SI).

3- Colocar na TV Multimídia o vídeo: Unidade de Medidas, disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=ApesKqnUMks, para os alunos assistirem

com objetivo de reforçar e ampliar o conceito sobre padrão de medidas, e motivar

os alunos para o estudo das unidades de medidas de superfícies.

Esse vídeo tem a duração total de 13:58, mas é aconselhável que se

deixe rodar metade desse tempo, pois é nesse intervalo de tempo que é

apresentada as informações necessárias para o desenvolvimento das

próximas atividades.

3.1 Questões para serem respondidas em grupo:

a) O que significa medir?

b) Em matemática, o que é grandeza? Dê exemplos de unidades de

grandeza.

c) Quando e porque foi criado o Sistema Internacional de Medidas?

d) Qual a origem da palavra metro e o que ela significa?

e) Quais são os múltiplos e submúltiplos do metro? Que correspondência

tem cada um deles em relação ao metro?

f) Cite algumas situações práticas em que se utiliza:

- múltiplos do metro

- submúltiplos do metro

g) Você sabe qual é a diferença entre medida de comprimento e medida de

superfície? Exemplifique com pelos menos dois exemplos de cada.

h) Defina superfície e área.

i) Qual é a unidade padrão de medidas de superfície?

3.1.1 Expor ao grande grupo, as conclusões encontradas.

Nesse momento o professor pode fazer a complementação de alguns

conceitos, caso seja necessário para validar os mesmos. Como sugestão

pode-se utilizar o vídeo:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22553.

4- Vimos através do vídeo que as medidas fazem parte do nosso dia a dia

e respondem as nossas perguntas mais corriqueiras do nosso cotidiano como:

Qual a sua altura?

Qual o comprimento de um campo de futebol?

Quanto de tecido é necessário para confeccionar uma determinada peça

de roupa?

Quantos metros de rodapé é preciso utilizar nesta sala?

Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para recobrir o

piso desta sala?

Qual a área pintada das paredes desta sala?

Qual a área dessa sala?

Concluímos que superfície é uma grandeza com duas dimensões,

enquanto a área é a medida dessa grandeza, ou seja, um número, e que o metro

quadrado (m²) é a unidade fundamental para medidas de superfície. Mas o que é

um metro quadrado? Que área ele representa? Quantas vezes ele caberá aqui no

piso dessa sala? Para responder a estas perguntas vamos representar o metro

quadrado na prática.

4.1 Cada grupo deverá confeccionar o metro quadrado utilizando papel

pardo, régua do professor, trena ou fita métrica, esquadro para conferir os

ângulos retos e tesoura.

4.2 Utilizando os vários quadrados confeccionados pelos grupos propor

que meçam a superfície do chão da sala de aula, a superfície do quadro de giz e

façam a representação geométrica e algébrica em seus cadernos. Ex:

Para a realização desta tarefa é necessário que o professor organize o

espaço de tal forma que pelo menos metade dele esteja livre de carteiras e

outros objetos.

Superfície do piso da sala de aula = 49 m²

Em relação ao quadro de giz e da própria sala de aula onde as

dimensões podem não ser inteiras, pois ao medirem algumas superfícies, às

vezes sobram e outras faltam partes do metro quadrado, estimule-os a

encontrarem uma maneira de resolução desse problema.

Se o professor achar necessário poderá acrescentar mais superfícies

nesta lista, explorando outros ambientes da escola.

4.2.1 Como podemos calcular essa área, sem recobrir o piso e sem contar

os quadrados?

4.2.2 Como podemos calcular a área do quadro de giz, sem recobrir o

mesmo e sem contar os quadrados?

4.2.3 Exposição e discussão com o grande grupo com relação à fórmula

encontrada para o cálculo dessas áreas.

5- Propor que cada grupo utilizando o quadrado confeccionado

anteriormente, subdividi-lo em quadrados de 1 dm de lado.

5.1 Após a subdivisão questionar?

- A área ficou menor ou igual ao quadrado inicial?

- Quantas quadrados de 1 dm de lado cabem no quadrado de 1m de lado?

- E se subdividisse novamente em partes menores, a área continuaria igual

ou ficaria menor em relação ao quadrado inicial?

- Quantos quadradinhos de 1 cm de lado cabem no quadrado de 1 dm de

lado? E no quadrado de 1 m de lado?

5.1.1 Expor ao grande grupo as conclusões encontradas.

Este é o momento em que o professor pode aproveitar os resultados

encontrados dos submúltiplos dm² e cm² e por analogia, sistematizar o mm²

e os múltiplos do m². A atividade realizada através desse experimento

auxilia na compreensão da relação centesimal existente entre as unidades

de medidas de superfície facilitando o entendimento das transformações de

uma unidade para outra. Se o professor julgar necessário, pode propor

outras atividades que envolvam transformações de medidas, mas é

aconselhável que não se dê ênfase as unidades pouco usuais como o dam²

e hm².

6- Com os alunos em grupo, utilizando o quadrado confeccionado, propor

que decomponham o mesmo em três triângulos retângulos isósceles, sendo um

deles equivalente a metade da área do quadrado e cada um dos os outros dois

com área equivalente a ¼ da área do quadrado.

Os grupos deverão chegar a uma dessas representações:

6.1 A seguir propor que componham com as três partes do quadrado: um

triângulo retângulo isósceles, um retângulo, um trapézio, um paralelogramo, e um

losango. Orientar que registrem cada representação encontrada para posterior

apresentação.

6.2 Ao terminarem a atividade, eleja uma forma geométrica para cada

grupo deixar representada no centro da sala para que todos grupos possam

visualizar. Solicitar que se organizem em círculo, com as formas geométricas ao

centro, questionar:

- Qual é a área de cada uma dessas formas geométricas?

- Como é possível representar geometricamente a superfície de 1m²,

utilizando outras formas geométricas que não seja o quadrado ?

O objetivo desta atividade é que os alunos percebam que o m² pode

ser representado com diferentes formas geométricas, e que o quadrado, por

ser um polígono regular, é a forma ideal para uma representação

padronizada.

7- Vimos que a superfície de uma figura mostra o quanto ela ocupa de

lugar no plano, e que pode ser medida comparando com uma unidade de área

pré-estabelecida, contando quantas unidades de área recobrem a figura.

Descobrimos que para calcular a área de superfícies que possuem formas

quadradas ou retangulares, é muito fácil, basta multiplicarmos uma dimensão pela

outra. De que forma podemos calcular a área de outras superfícies? Será que a

mesma regra valida para o quadrado e o retângulo dá conta de calcular a área de

outras superfícies? A partir da fórmula do retângulo vamos deduzir a área do

triângulo, do paralelogramo, do losango e do trapézio.

7.1 Para deduzir as fórmulas de áreas desses polígonos você deverá usar

sempre o mesmo procedimento: desenhar o polígono no papel quadriculado com

as medidas indicadas e recortá-lo de maneira que se possa compor um retângulo,

e assim, através da fórmula da área do retângulo deduzir a fórmula dos demais

polígonos indicados.

7.1.1 Para realizar esta atividade você precisará usar papel quadriculado

para desenhar os polígonos, tesoura, cola e seguir as orientações;

a) Desenhe um triângulo de base = 6u e altura = 4u. Trace uma reta

paralela à base na metade da sua altura. No ponto médio dessa paralela trace

uma perpendicular dividindo em dois triângulos retângulos menores, o triângulo

formado com esta reta. Recorte os dois triângulos menores e cole-os no trapézio

de modo que formem um retângulo.

Dessa forma podemos concluir que a área do triângulo é dada pela

fórmula: A = b . h

2

A = 6u . 4u

2 A = 12 u²

b) Desenhe um paralelogramo de base = 6u e altura = 3u. Encontre uma

maneira recortá-lo de modo que se possa compor um retângulo.

Sabemos que : A ret = b ret . h ret

Neste caso temos: b ret = b tri e h ret = h tri2

então: A ret = b tri . h tri

2

Dessa forma podemos concluir que a área do paralelogramo é dada pela fórmula:

A = b.h

A = 6u.3u A = 18 u²

c) Desenhe um losango com diagonal maior = 6u e diagonal menor = 4u.

Encontre uma maneira recortá-lo de modo que se possa compor um retângulo.

Dessa forma podemos concluir que a área do losango é dada pela fórmula:

A = D . d

2

A = 6u . 4u

2 A = 12 u²

d) Desenhe um trapézio com base maior igual = 6u, base menor = 2u e

altura = 4u. Para facilitar a dedução, use o mesmo procedimento da dedução da

fórmula do triângulo. Inicia-se traçando uma reta paralela às bases na metade da

altura do trapézio.

Sabemos que : A ret = b ret .h ret

b ret = b par e h ret = h par

então:

Aret = b par . h par

Sabemos que : A ret = b ret . h ret

b ret = D los e h ret = d los

2

então: A ret = D los . d los

2

Dessa forma podemos concluir que a área do trapézio é dada pela fórmula:

A = ( )B + b .h

2 Substituindo temos: A =

(6u + 2u) . 4u2

A = 16 u²

7.2 Cada grupo irá apresentar as fórmulas encontradas relatando e

demonstrando os procedimentos. O professor fará os registros no quadro para

comparar, analisar e validar os resultados encontrados. Juntamente com o

professor será elaborado um relatório final relacionando cada figura geométrica à

sua fórmula de área e cada aluno registrará em seu caderno.

Nesse relatório, o professor poderá acrescentar a fórmula de área do

círculo.

UNIDADE PEDAGÓGICA – 3ª PARTE

Objetivos:

- Possibilitar a elaboração de diversos conceitos, procedimentos e fatos

geométricos como: escala, semelhança, relações de proporcionalidade e medidas

através do estudo da planta baixa.

Sabemos que :

A ret = b ret . h ret e neste caso temos:

b ret = B trap + b trap e h ret = h trap

2

então: A ret = (B trap + b trap) . h trap

2

- Aplicar os conceitos de escala e medidas na elaboração da planta baixa

do prédio escolar do Colégio Estadual Léo Flach.

Atividades:

1- Vimos que a construção de uma obra passa por várias etapas,

envolvendo muitos profissionais da construção civil e que no desempenho de

suas funções utilizam vários conceitos matemáticos. A presença da matemática

em uma obra é muito evidente, começando pelo desenho do projeto. Para o

pedreiro iniciar uma obra ele precisa representar na realidade o que está indicado

no projeto. Mas ele observa a seguinte situação; uma casa é tridimensional e a

planta baixa está representada no papel que possui só duas dimensões, como

interpretar as medidas desse projeto que é chamado de planta baixa? Vamos

pesquisar como ele consegue ler e entender as informações da planta baixa.

1.1 Solicitar aos alunos uma atividade extra classe em que eles deverão

coletar algumas informações e materiais para exploração em sala de aula como:

- pesquisar sobre planta baixa;

- entrevistar um engenheiro ou um arquiteto sobre as funções da profissão

e quais conceitos matemáticos ele utiliza no exercício da mesma;

- procurar em jornais, revistas, ou panfletos de construtoras a

representação de uma planta baixa e, se possível, juntamente com o desenho de

sua planta alta e fazer o recorte delas.

É importante que esta pesquisa de campo seja dada com pelo menos

uma semana de antecedência para que os alunos tenham um tempo

razoável de se organizarem para coleta dos dados. As questões da

entrevista devem ser elaboradas anteriormente e revisadas pelo professor.

Se não for possível realizar a entrevista e a pesquisa de campo o

professor poderá optar por outros meios de coleta dos dados como:

O vídeo: Arquiteto e Engenheiro Civil, vídeo da série "Qual é a sua

profissão" em que profissionais atuantes falam de suas profissões e de

como a Matemática é utilizada nessas profissões. Disponível em:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=23014

O recorte de vídeo: “A Matemática em toda parte” - parte 1, disponível em:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12539. Esse vídeo está

dividido em 3 partes e tem a duração total de 25 minutos, mas é

aconselhável que se deixe rodar apenas os primeiros 5 minutos, pois é

nesse de tempo que é apresentada as informações sobre planta baixa.

No laboratório de informática: pesquisa na internet nos endereços

sugeridos:

http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/Escalas/mat_escalas.swf,

www.matematicamuitofacil.com/escala.html,

www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoGerson.pdf .

1.2- Utilizar as informações solicitadas e responder:

- O que é uma planta baixa?

- Para que serve uma planta baixa?

- Como o engenheiro e/ou arquiteto planejam e desenham uma planta

baixa?

- O que eles consideram para definir as medidas de cada ambiente?

- Qual a escala utilizada no desenho da planta baixa que vocês

escolheram?

- Para que serve a escala? Exemplifique a sua resposta utilizando duas

dimensões do desenho.

- Cite outras situações em que o conceito de escala é utilizado.

1.3 Cada grupo irá expor para os demais as conclusões encontradas.

2- Utilizando uma fita métrica, medir as dimensões necessárias para

desenhar a planta baixa da sala de aula, utilizando as escalas:

a) 1:50

b) 1:100

2.1 Expor e comparar com os demais grupos os desenhos obtidos.

3 – Cada grupo irá fazer o esboço da planta baixa de um bloco da estrutura

do colégio que será assim definido:

Grupo 1- Bloco 1 – Onde fica a administração,o pedagógico, a biblioteca e

os laboratórios do colégio.

Grupo 2 – Bloco 2 – 1º piso – Salas de aula.

Grupo 3 – Bloco 3 – 2º piso – Salas de aula.

Grupo 4 – Bloco 4 - Cozinha e refeitório.

Grupo 5 – Bloco 5 – Ginásio de esportes.

Nesse primeiro momento, não será utilizado medidas, como este é um

espaço de utilização diária é natural que eles já tenham um mapa mental

construído desses ambientes. Esta atividade tem por objetivo testar a

capacidade de observação e de memória dos alunos através da

representação geométrica de imagens mentais construídas.

3.1 Apresentar os trabalhos para os demais grupos para análise, discussão

e validação dos resultados.

3.2 Com o esboço realizado e um instrumento de medidas de comprimento

em mãos (trena ou fita métrica), cada grupo irá se deslocar até os ambientes já

estipulados onde deverão fazer as medições necessárias com devidos registros

para posterior elaboração da planta baixa dos mesmos. Lembrar que as medidas

das portas e janelas também serão consideradas.

Essa atividade exigirá disciplina dos alunos e organização do

professor no sentido de não atrapalhar as demais atividades em andamento

na escola. Se necessário, pedir apoio pedagógico no acompanhamento dos

alunos. Deve-se orientar os grupos 2 e 3 que não é preciso medir as demais

salas de aula, pois são todas de medidas iguais, portanto deverão realizar

as medidas dos ambientes que não seja as outras salas de aula.

3.3 De volta à sala de aula com esboço e as medidas realizadas, é hora de

verificar se as mesmas conferem ou se aproximam das que estão no projeto

elaborado pelo engenheiro. Caso não estejam, retornar as medições ou

simplesmente repassar a medida correta, isso ficará a critério do professor.

Feito os acertos de medidas, discutir qual a escala que será adotada por todos os

grupos de forma que essa planta baixa possa ser aproveitada numa atividade

posterior; a confecção de uma maquete. Após discussão com a turma e alguns

cálculos deve-se chegar a um consenso considerando um tamanho que seja

conveniente para a construção da maquete. Aconselha-se usar papel milimetrado

para ter mais precisão das medidas.

3.4 Cada grupo vai elaborar a planta baixa do bloco estabelecido no inicio

da atividade utilizando a escala escolhida.

3.5 Comparar a planta elaborada pelos alunos com a planta real, se a

escala utilizada for a mesma do projeto, para validar os resultados obtidos. Caso

contrário o professor auxiliará na avaliação dos resultados.

UNIDADE PEDAGÓGICA – 4ª PARTE

Objetivos:

- Perceber nas imagens do dia a dia a presença do triângulo retângulo e a

importância de sua aplicabilidade nas estruturas que exigem rigidez.

- Conhecer, construir, compreender e aplicar o Teorema de Pitágoras em

situações diversas;

- Compreender a importância das relações trigonométricas para aplicações

do cotidiano e de algumas profissões.

Atividades:

1- Quando olhamos para uma obra podemos verificar em suas estruturas

figuras geométricas bem conhecidas. Você já observou que, em algumas

estruturas se utilizam somente as formas triangulares? Que estruturas são essas

e qual é o motivo que determina essa escolha nas construções? Vamos reunir

algumas provas que comprovam a presença dos triângulos nessas estruturas.

1.1 Solicitar aos alunos que tragam fotos e recortes de figuras, com

imagens da natureza, de objetos, de construções e outras, onde se pode observar

a presença do triângulo nas mais variadas situações.

Por ser uma atividade extraclasse é importante que se dê um tempo

razoável para que os grupos se organizem para a coleta das informações

solicitadas.

1.2 Com os alunos organizados em grupos, utilizando tesoura, cola,

canetão, cartolina ou papel pardo, pedir que selecionem, recortem e colem as

figuras na cartolina, localizando e destacando a imagem do triângulo, indicando

com uma seta o nome da estrutura onde ele se localiza. Exemplo:

1.3 Apresentar os trabalhos para os demais grupos e expor no painel da

sala. O professor fará a mediação, fazendo interferências e apontamentos

que julgar necessários durante as apresentações.

2- Percebemos através da atividade anterior que o triângulo é uma figura

de presença obrigatória em certas estruturas de edificações, como por exemplo, o

telhado. Não importa o tipo de telhado, mas obrigatoriamente ele está lá fazendo

parte da estrutura. Vejam:

Pretende-se projetar as imagens elaboradas pela autora, utilizando-se

um notebook com data show no programa sketchUp. O sketchUp é um

software para criação de modelos em 3D no computador. Este programa é

muito interessante para apresentações em 3D, pois ele possui ferramentas

que permitem rotacionar as imagens em todos os ângulos de visualização.

Figura 7: telhado de uma água Figura 8: telhado de duas águas

Fonte: autora Fonte: autora

Figura 9: telhado de 4 águas Figura 10: telhado de múltiplas águas

Fonte: autora Fonte: autora

- Mas qual seria o motivo da escolha do triângulo como elemento

fundamental da estrutura dos telhados? O que é que o triângulo tem, que os

outros polígonos não tem? Vamos investigar?

2.1 Distribuir uns vinte palitos de picolés e percevejos na mesma

quantidade, para os alunos construírem polígonos variados: triângulos,

quadriláteros, pentágonos e hexágonos. Depois pedir que brinquem com eles

manipulando, deformando os polígonos. Após brincarem um pouco com essas

formas pedir para fazerem um relatório das propriedades dos polígonos que

conseguiram observar.

Incentivar que meçam os lados e os ângulos, que observem o

comportamento dos ângulos e dos lados em cada movimento e se existe

uma relação entre eles. Eles deverão observar que: como todos os palitos

tem o mesmo comprimento cada polígono construído será equilátero, isto é,

todos os lados são iguais. Mas com exceção do triângulo, a igualdade dos

lados não acarreta a igualdade dos ângulos. O objetivo é que o aluno

perceba que o triângulo é a única figura que não se deforma, sendo a rigidez

a propriedade que o diferencia das demais figuras.

2.2 Apresentar o relatório ao grande grupo e com a mediação do professor

organizar um relatório final das propriedades dos polígonos.

3- Através da atividade anterior podemos observar que o triângulo é o

polígono com o menor número de lados, aparentemente é uma figura muito

simples, mas por traz dessa simplicidade se esconde uma das propriedades mais

importantes da geometria. Triângulos são polígonos rígidos. A propriedade de não

deformação o que faz com que sejam utilizados em diversas construções,

principalmente em estruturas de sustentação. Sempre que se precisa de uma

estrutura rígida se utiliza o triângulo. A rigidez explica a tesoura dos telhados e

também a travessa usada nos portões.

Figura 11: portão Figura 12: estrutura de telhado

Fonte: autora Fonte: autora

3.1 Falando em telhado, enfrentamos um problema sério em nosso prédio

escolar, em dias de chuva há infiltração de água pelo telhado e acaba gotejando

em algumas salas de aula e em alguns pontos do corredor de acesso a essas

salas, o que causa transtornos em alguns momentos, pois é preciso remanejar os

alunos de lugares e o piso molhado torna-se escorregadio, tornando-se um risco

de acidente de queda para todos que convivem neste espaço. Como poderíamos

ajudar a direção e a comunidade escolar a resolver este problema? Será que os

conceitos matemáticos nos dariam suporte para essa investigação? Antes de

investigarmos as possíveis causas e as possíveis soluções para este caso, vamos

até o laboratório de informática para pesquisar na internet e refletir um pouco

mais sobre:

- a função do telhado;

- tipos de telhas ou outras coberturas mais usadas em telhados;

- inclinação recomendada pelos fabricantes de coberturas de telhado.

Nesta atividade, orientar os alunos a colocar as especificações das

telhas organizadas numa tabela como no exemplo:

Tipo de

telha

Material Quantidade

por m²

Peso por

peça

Inclinação

mínima

Cor da telha

Francesa Cerâmica 17 telhas/m² 2,4 Kg 36% natural

Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAqDoAB/basico-sobre-telhados

Quanto às fontes de pesquisa, ficará a critério do professor se, vai

direcionar as fontes ou deixará que os alunos façam as escolhas dos sites

através do google. Para alunos não acostumados a usar a internet como

fonte de pesquisa, é prudente buscar, analisar e sugerir alguns sites para

que não ocorra dispersão e perda de tempo na procura.

3.2 Em sala de aula, cada grupo irá expor aos demais colegas e com a

mediação do professor comparar, analisar e validar os resultados da pesquisa.

4- Agora que já temos algumas informações técnicas sobre os telhados,

vamos buscar na matemática mais subsídios para iniciar a nossa investigação.

4.1 Colocar na TV multimídia para os alunos assistirem os vídeos:

- Mão na Forma: O Barato do Pitágoras, disponível no endereço:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=9621.

Este vídeo inicia-se com uma cena onde a professora coloca o Teorema no

quadro de forma tradicional e os alunos se mostram desinteressados ao que está

sendo exposto. A seguir vem a apresentadora Norma e mostra de forma dinâmica

e interessante a importância dos triângulos nas aplicações práticas do dia-a-dia,

em especial o triângulo retângulo e sua relação com o teorema de Pitágoras.

- Teorema de Pitágoras, disponível no endereço:

http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w, é um vídeo que apresenta uma

música sobre o Teorema de Pitágoras com ilustrações de imagens que

demonstram seu o enunciado.

4.2 Com as informações que a Norma repassou através do vídeo, de uma

maneira bem simples e descontraída sobre o triângulo, suas classificações e sua

aplicação prática, responder:

a) O que significa a palavra triângulo? E a palavra equilátero?

b) Como são classificados os triângulos de acordo com a medida dos seus

lados?

c) O que é um triângulo retângulo? Represente-o geometricamente

denominando cada um de seus lados.

d) Qual é a relação mais famosa da matemática, existente, entre as

medidas dos lados de qualquer triângulo retângulo? Quem era e como se

chamava o famoso homem que descobriu essa relação? Por que essa relação é

tão importante na matemática e continua sendo usada até os dias de hoje?

e) Através de uma representação geométrica e algébrica, demonstrar o

Teorema de Pitágoras e fazer um relato das conclusões. Utilizando papel

quadriculado, lápis, régua, tesoura e cola, desenhar:

um triângulo retângulo de lados AB = 4 cm, AC = 3 cm e BC = 5 cm;

um quadrado com 4cm de lado;

um quadrado de 3cm de lado;

um quadrado de 5 cm de lado.

- Recortar os quadrados e colar encaixando os lados dos quadrados sobre

os lados dos triângulos.

4.3 Cada grupo irá relatar suas conclusões para validação das mesmas.

A partir das conclusões dos alunos pode-se formalizar o Teorema.

- A partir dessa demonstração podemos enunciar o teorema de Pitágoras:

5 – Colocar as seguintes situações para os alunos resolverem:

5.1 Um carpinteiro precisa encontrar a medida certa do caibro que ele

precisa serrar para fazer a estrutura do telhado.

Nessas condições, confirma-se a relação:

A área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois menores lados.

Representando algebricamente, temos:

(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²

5² = 3² + 4

25 = 9 + 16

25 = 25

Em todo e qualquer triângulo

retângulo, o quadrado da medida da

hipotenusa é igual a soma dos

quadrados das medidas dos catetos.

(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²

a² = b² + c²

Como podemos ajudá-lo?

Nesse caso a resposta 20 não serve para o carpinteiro, pois para serrar,

precisa saber quantos metros tem a viga. Por isso é preciso extrair a raiz

quadrada, usando uma calculadora ou fazendo tentativas.

- Na calculadora: 20 = 4,4721359 → como ainda não é uma medida

exata é preciso arredondar, neste caso utilizando-se duas casas decimais, esse

valor vai para 4,5.

- Por tentativas:

4,2² = 17,64 → 4,3² = 18,49 → 4,4² = 19,36 e 4,5² = 20,25 . Então a

20 está entre 4,4 e 4,5.

Esta atividade tem por objetivo, aproveitar o momento para abordar

cálculo com radicais, já que é um conteúdo que faz parte do currículo do 9º

ano.

5.2 – Como vimos na pesquisa anterior que a inclinação do telhado

depende do tipo de cobertura que será utilizada. Isso significa que é importante

saber interpretar essa linguagem de porcentagem para a construção da armação

Figura 14

Fonte: autora

- Podemos ajudá-lo, usando o Teorema

de Pitágoras: a² = b² + c²

a² = 4² + 2²

a² = 20

a = 20 ou

a = 5².2 → a = 52

Fonte: http://ts4.mm.bing.net/th?id=H.4742082808053867&pid=15.1&H=160&W=152

do telhado. Mas como o carpinteiro faz isso? Entrevistar um carpinteiro colocando

um exemplo prático.

Se não for possível a realização da entrevista o professor poderá utilizar o

vídeo: Mãos à obra – programa 17 – cobertura, disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=z0vg9NAw1Rk.

5.3 Os grupos deverão apresentar o resultado da entrevista, demonstrando

a explicação do carpinteiro. Para melhor entendimento desse procedimento

professor poderá complementar e propor outras situações como:

- Os carpinteiros usam a seguinte linguagem: num telhado com inclinação

de 30%, a cada 1m avançado na horizontal, sobe-se na vertical 30% de 1m, isto

é, 0,30 m ou 30 cm. Representando geometricamente:

- Supondo que a inclinação do telhado é de 35 %, sobe-se quanto na

vertical, se avançar:

a) 2 m na horizontal?

b) 3,5 m na horizontal?

- Supondo-se que avançando 2 m na horizontal, sobe-se 0,8 m na vertical,

qual é a inclinação do telhado nesse caso?

6 – Vamos voltar ao caso anterior onde a inclinação do telhado é de 30% e

quiséssemos encontrar o grau dessa inclinação, que procedimento podemos

utilizar?

- Nesse caso precisamos aprender outro conceito matemático chamado

trigonometria. Podemos perceber que tem alguma coisa a ver com o triângulo

retângulo, então vamos pesquisar sobre essa tal de trigonometria e suas relações

com o triângulo retângulo?

6.1 Levar os alunos ao laboratório de informática para pesquisarem sobre a

história da trigonometria onde, em grupos de 4 ou 5 alunos, deverão elaborar um

resumo contendo: origem, personagens importantes e suas contribuições, sua

utilidade ou aplicações no passado e no presente, por que usar a trigonometria,

instrumentos antigos e atuais utilizados para medir distâncias inacessíveis, as

razões ou relações trigonométricas e outros pontos que o professor considerar

importantes.

Quanto às fontes de pesquisa, no intuito de agilizar o trabalho e obter

um melhor rendimento, pode-se sugerir alguns sites pré- selecionados pelo

professor como: http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/,

http://www.feis.unesp.br/unidade/extensao/teia_saber/Teia2003/Trabalhos/matem

atica/Marli%20Solera/Anexo%2001%20-%20Historia%20da%20Trigonometria.pdf

Se o professor preferir, essa pesquisa poderá ser realizada na

biblioteca desde que tenha o material pré-selecionado e disponível. Poderá

ser proposta também como atividade extraclasse. Como incentivo e

motivação, dependendo do nível da turma, pode-se sugerir que elaborem

slides inserindo imagens e figuras para apresentação do trabalho.

6.1 Cada grupo fará apresentação do seu trabalho para os demais grupos,

e o professor deverá fazer as intervenções e apontamentos que julgar necessário

para avaliar e validar os trabalhos.

7- Para entender como se aplica as relações trigonométricas, vamos fazer

algumas investigações a partir da seguinte experiência:

7.1 Utilizar papel milimetrado, compasso, esquadro ou transferidor, uma

calculadora para facilitar os cálculos e seguir as orientações.

a) Desenhar um triângulo retângulo ABC, reto em Â, onde um dos ângulos

agudos deverá ser igual a 30º e destaque cada um dos seus lados com cores

diferentes, por exemplo: hipotenusa (vermelho), cateto oposto (azul) e cateto

adjacente (verde). Traçar algumas retas paralelas a um de seus lados como no

exemplo:

b) Observar que vários triângulos retângulos semelhantes foram formados.

Como eles estão sobrepostos, separar cada um deles e medir os seus lados.

c) Calcular as razões AB

AC, ou seja,

adjacente cateto

opostocateto de todos os triângulos

semelhantes formados com as paralelas.

d) Calcular também as razões BC

AC, ou seja,

hipotenusa

opostocateto de cada um

deles.

e) Finalmente calcular as razões BC

AB, ou seja,

hipotenusa

adjacentecateto de cada um

dos triângulos.

f) O que essas relações tem em comum?

7.2 Repetir a atividade anterior com um dos ângulos agudos medindo 20º,

40º, 60º e escrever as conclusões a respeito dos resultados obtidos.

7.3 Cada grupo irá socializar as conclusões a respeito dos resultados

obtidos e o professor deve aproveitar o momento para formalizar os conceitos:

seno, cosseno e tangente.

- Observamos que, a partir de um certo ângulo agudo é possível construir

muitos triângulos retângulos semelhantes que mesmo eles tendo lados com

medidas diferentes, as razões se mantém constantes. As possíveis diferenças

encontradas devem-se as imprecisões nas medições. Essas razões são tão

importantes que os matemáticos atribuíram nomes especiais que são: seno,

cosseno e tangente onde se estabelece as seguintes relações trigonométricas:

Seno α = hipotenusa da medida

agudo ângulo ao oposto cateto do medida

Cosseno α = hipotenusa da medida

agudo ângulo ao adjacente cateto do medida

Tangente α =

agudo ângulo ao adjacente cateto do medida

agudo ângulo ao oposto cateto do medida

Como os valores do seno, cosseno e tangente são determinados para cada

ângulo, os valores são apresentados em uma tabela, chamada de tabela

trigonométrica. Esses valores também podem ser obtidos com o auxílio de uma

calculadora científica.

- Agora que vocês conhecem as relações trigonométricas vamos voltar para

o caso anterior onde a inclinação do telhado era de 30% e encontrar o grau dessa

inclinação.

8 – A figura a seguir representa uma estrutura de construção chamada

tesoura de telhado. Utilizando os conceitos de trigonometria que vocês

aprenderam: calcular o grau de inclinação desse telhado.

8.1 Socializar a resposta obtida com os demais grupos para validação da

mesma.

9- Colocar para os alunos assistirem o vídeo: Aplicações da

Trigonometria, disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Ab--O_bsjdE.

Este vídeo tem a duração de 8:18 minutos, onde dois professores de matemática

calculam a altura do Arco de Nossa Senhora de Fátima (Arco do Triunfo) em

Sobral no Ceará, usando um teodolito de confecção artesanal e os conceitos de

trigonometria no triângulo retângulo.

9.1 Propor o seguinte desafio: cada grupo irá confeccionar um teodolito

artesanal com os mesmos materiais utilizados pelos professores do vídeo, usando

tg α = adjacentecateto

oposto cateto

tg α = m 1

m 0,30 → tg α = 0,30

Consultando na tabela temos que

0,30 é o valor da tangente de 17°.

Então o grau de inclinação desse

telhado é de 17°.

a mesma técnica, escolher algo como (o prédio escolar, um poste, um mastro,

uma árvore, etc.) e calcular a sua altura. Fazer a demonstração através da

descrição da situação problema escolhida pelo grupo, desenhando o objeto e o

triângulo retângulo formado e os cálculos utilizados.

9.2 Cada grupo irá apresentar a sua atividade aos demais e juntamente

com o professor será discutida, avaliada e validada.

UNIDADE PEDAGÓGICA - 5ª PARTE

Objetivos:

- Aplicar os diferentes conceitos matemáticos estudados na resolução de

situações problemas que envolvem a reforma da escola.

- Coletar, organizar e interpretar informações, através de pesquisas em

lojas de materiais de construção, para analisá-las e avaliá-las criticamente.

- Propiciar aos alunos vivenciarem situações que os levem a estabelecer

relações entre conteúdos aprendidos na escola com a sua aplicabilidade no

cotidiano;

- Representar o espaço escolar através da construção de uma maquete.

Atividades:

1- Agora que já conhecemos muitos conceitos e relações matemáticas,

vamos utilizá-las para resolver problemas relacionados a algumas reformas

necessárias no nosso prédio escolar como: pintura interna das salas de aula;

reforma do piso das salas de aula; reforma do telhado e também para a

construção da maquete. Vamos contribuir fazendo o orçamento dos materiais que

serão usados nessas reformas?

1.1 Solicitar aos alunos, que em grupos façam uma lista de materiais que

serão utilizados na reforma (pinceis, tintas, azulejos, telhas e outros), a fim de

levantar o orçamento através de uma pesquisa de preços no comércio. Nessa

lista já deve estar definido que tipos de tintas, de azulejos e de telhas que serão

utilizados na reforma. Pedir auxílio a um mestre de obras, um pintor ou outro

profissional do ramo para o levantamento desses materiais.

A pesquisa de preços desses materiais deve ser feita como uma atividade

extraclasse, orientando que cada grupo realize em uma loja diferente já definida

anteriormente, ampliando-se as possibilidades para comparação de valores que

influenciam na decisão da escolha de qual empresa comercial oferece o menor

preço para o mesmo produto. Um levantamento de preços bem feito muitas vezes é

sinônimo de economia. Orientá-los a registrar o maior número de dados

possíveis sobre cada produto: tipo, tamanho, preço a prazo e à vista, formas

de pagamento etc. Sugerir que essas informações sejam organizadas em

uma tabela para que posteriormente possam manusear com mais facilidade

esses dados.

1.2 Em sala de aula, cada grupo irá expor aos demais colegas os

resultados da pesquisa e com a mediação do professor comparar, analisar e

avaliando preço e qualidade entrar em consenso para escolher os materiais que

serão orçados.

2- Utilizando a planta baixa do Bloco 2 – salas de aula, assim, como as

informações resultantes da pesquisa de preços, ambas elaboradas anteriormente,

com o auxílio de uma calculadora, calcular:

- a área das paredes e do teto a ser pintada de cada sala de aula;

- a área de cada porta e de cada janela a ser pintada;

- a área total a ser pintada das paredes, das portas e das janelas.

- a quantidade de tinta necessária para fazer a pintura das: paredes, portas, e janelas.

- valor da mão de obra; (realizar pesquisa)

- valor da pintura.

2.1 Calcular a quantidade de azulejos necessários para revestir o piso de

cada sala de aula e quanto custará.

2.2 Calcular quanto custará se trocar os pisos de todas as salas de aula.

2.3 Analisar e fazer um relatório das possíveis causas do problema do

telhado, observando se a inclinação do telhado é adequada para o tipo de telhas

utilizadas na cobertura.

2.4 Supondo-se que será necessário trocar todo o telhado do bloco das

salas de aula e das passarelas de acesso de um bloco a outro, qual seria o custo

desta reforma, considerando material e mão de obra?

2.5 Levar os alunos ao laboratório de informática para elaborarem uma a

planilha no Calc, demonstrando os custos parciais e totais das reformas de:

pintura, piso e telhado do prédio escolar.

2.6 Cada grupo irá expor aos demais, os resultados obtidos e com a

mediação do professor comparar, analisar, avaliar e validar os mesmos.

3- Após os alunos assistirem o vídeo disponível em:

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&

co_obra=20850 propor aos grupos, a construção da maquete do colégio utilizando

a planta baixa elaborada anteriormente. Para a realização desta atividade, faz-se

necessário escolher o tipo de material para a confecção da mesma que poderá

ser de papelão, isopor prensado, plástico, madeira ou outros, onde será discutido

e escolhido em comum acordo entre alunos e professor. Cada grupo irá construir

a maquete de um dos blocos já definidos no momento da elaboração da planta

baixa em uma das atividades anteriores.

3.1 Organizar um painel constando as principais atividades desenvolvidas pelos

alunos durante a implementação deste projeto.

3.2 Exposição da maquete e do painel com as atividades desenvolvidas neste

projeto para a comunidade escolar.

Referências:

BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino.

São Paulo: Contexto, 2000

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000. –

(Coleção matemática hoje é assim).

GIOVANNI, José Ruy; Parente, Eduardo. Aprendendo matemática. São Paulo FTD,

2002. – (Coleção aprendendo matemática, novo).

GIOVANNI JUNIOR, José Rui; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática.

São Paulo: FTD, 2009. - (Coleção a conquista da matemática).

GRASSESCHI, Maria Cecília C; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA, Aparecida Borges.

PROMAT: projeto oficina de matemática. São Paulo: FTD, 1999. – (Coleção

PROMAT).

IMENES, Luiz Márcio; Lellis Marcelo. Matemática / Imenes & Lellis. São Paulo:

Scipione,1997.

PARANÁ, SEED. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação

Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba, 2008

Sites:

http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-2/introducao-ao-estudo-medidas

superficie-674332.shtml?page=all, acesso em 20/10/2012

http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/ativ25.h

m, acesso 20/10/2012

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAqDoAB/basico-sobre-telhados, acesso

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http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/, acesso em 18/11/2012.

http://www.feis.unesp.br/unidade/extensao/teia_saber/Teia2003/Trabalhos/matem

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acesso em 18/11/2012.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/mylinks/viewcat.php?cid=4&min

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http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/Escalas/mat_escalas.swf, acesso

em 20/10/2012.

www.matematicamuitofacil.com/escala.html, acesso em 20/10/2012.

www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoGerson.pdf, acesso em

20/10/2012.

Vídeos:

Matemática na construção [Matemática em toda parte], disponível

em:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12539, acesso em

17/10/2012.

Unidade de Medidas, disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=ApesKqnUMks acesso em 20/10/2012.

Geometria - medindo a terra, disponível em:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22553

,acesso em 24/10/2012.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=23014

acesso em 27/10/2012.

Arquiteto e Engenheiro Civil, vídeo da série "Qual é a sua profissão". Disponível

em:http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=23

014 acesso, acesso em 03/11/2012.

Mão na Forma: O Barato do Pitágoras, disponível no endereço:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=9621.

Acesso em 04/11/2012.

Teorema de Pitágoras, disponível no endereço:

http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w, acesso 04/11/2012.

Mãos à obra – programa 17 – cobertura, disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=z0vg9NAw1Rk. Acesso em 14/11/2012.

Aplicações da Trigonometria, disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Ab-

-O_bsjdE. Acesso em 18/11/2012.

Semelhança. (Matemática na vida - razão e proporção), disponível em:

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&

co_obra=20850, acesso em 24/11/2012.