FICHA PARA CATÁLOGO · Ficha de identificação da Produção Didática ... Avaliação ......
Transcript of FICHA PARA CATÁLOGO · Ficha de identificação da Produção Didática ... Avaliação ......
FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título:Resolução de Problemas
Autor João Primo Gasparim
Escola de Atuação Colégio Estadual Parque Itaipu Ensino fundamental e Médio
Município da escola Maringá
Núcleo Regional de Educação Maringá-Pr
Orientador Osvaldo Germano do Rocio
Instituição de Ensino Superior UEM- Universidade Estadual de Maringá
Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Público Alvo
Alunos
Localização
Colégio Estadual Parque Itaipu Ensino Fundamental e Médio
Rua Travessa Piapara nº 150-Parque Itaipu, -Maringá-Pr
Apresentação:
Para construir esta proposta de investigação, de acordo com estudos realizados nos primeiros períodos desse programa de ensino, foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer da implementação no ano de 2011. Em todas elas, procurou-se partir sempre da resolução de problemas, considerando que, a mesma permite, a todo instante, que o professor desafie seus alunos a pensarem matematicamente, resgatando o prazer pela matemática. O Objetivo da elaboração dessa proposta é fazer com que os alunos passem a gostar de Matemática, relacionando-o com sua prática de vida. Como são sugeridas sempre que as tarefas sejam feitas em grupos, procurando dessa forma que os alunos tenham oportunidades de trocar ideias e reflexões acerca dos conteúdos trabalhados, e possam construir seus conhecimentos, de forma expressiva.
Palavras-chave Problema; Plano; Estratégia; Resolução.
2
Sumário
1. Ficha de identificação da Produção Didática – Pedagógica -------------------- 03
2. Introdução------------------------------------------------------------------------------------ 04
3. Roteiro para resolver problemas ------------------------------------------------------- 05
3.1. Entender o Problema ------------------------------------------------------------------- 05
3.2. Construindo uma estratégia ---------------------------------------------------------- 06
3.3. Executar a estratégia ------------------------------------------------------------------- 06
3.4. Revisão ------------------------------------------------------------------------------------ 06
3.5. Rol de problemas e seus encaminhamentos e soluções --------------------- 07
4. Problemas Convencionais e não Convencionais ----------------------------------17
4.1. Problemas Fechados ------------------------------------------------------------------ 17
4.2. Problemas Abertos --------------------------------------------------------------------- 17
4.3. Problemas sem solução -------------------------------------------------------------- 19
4.4. Problemas de Lógica ------------------------------------------------------------------ 19
4.5. Problemas de Tentativas e Erro ---------------------------------------------------- 20
5. Figuras e Ilustrações --------------------------------------------------------------------- 24
5.1. Objetivos ---------------------------------------------------------------------------------- 24
5.2 Conteúdos abordados ------------------------------------------------------------------ 24
5.3 Metodologia --------------------------------------------------------------------------------24
5.4. Materiais ----------------------------------------------------------------------------------- 24
5.5. Desenvolvimento da aula ------------------------------------------------------------- 24
5.6. Procedimentos no decorrer da aula ------------------------------------------------ 25
5.7. Atividades sugeridas ------------------------------------------------------------------- 26
5.8. Considerações sobre as atividades ------------------------------------------------ 28
5.9. Avaliação ---------------------------------------------------------------------------------- 28
6. Problemas Propostos ---------------------------- ---------------------------------------- 29
7. Considerações Finais --- ------------------------------------------------------------------32
8. Referências Bibliográficas --------------------------------------------------------------- 33
3
1. IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA PROFESSOR PDE
1. Nome do Professor PDE: João Primo Gasparim
2. Disciplina/Área: Matemática
3. IES: UEM – Universidade Estadual de Maringá
4. Orientador: Professor Dr. Osvaldo Germano do Rocio
5. Caracterização do objeto de estudo: Construir estratégias para resolver
problemas de matemática de tal modo que possa contribuir nas 5ª séries do
ensino fundamental.
6. Titulo da Produção Didático-Pedagógica: Resolução de problemas: Uma
fórmula didática para trabalhar a matemática no ensino fundamental.
7. Justificativa da Produção: Para construir uma proposta de intervenção, de
acordo com estudos realizados nos primeiros períodos desse programa de
ensino, foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer
da implementação no ano de 2011. Em todas elas, procurou-se partir
sempre da Resolução de Problemas, considerando que, a mesma permite,
a todo instante, que o professor desafie seus alunos a pensarem
matematicamente, resgatando o prazer pela matemática.
8. Objetivo da Produção: O objetivo da elaboração dessa proposta é fazer com
que os alunos passem a gostar de Matemática, relacionando-o com sua
prática de vida. Como são sugeridas sempre que as tarefas sejam feitas em
grupos, procurando dessa forma que os alunos tenham oportunidades de
trocar idéias e reflexões acerca dos conteúdos trabalhados, e possam
construir seus conhecimentos, de forma expressiva.
9. Produção didático-pedagógica: Atividades que exigem a compreensão do
método da Resolução de Problemas.
10. Público-alvo: Alunos da 5ª série do ensino Fundamental.
4
2. INTRODUÇÃO
O presente material é composto por atividades direcionadas para a 5ª
série do Ensino Fundamental.
Para a construção dessas atividades, buscou-se sempre que possível
a Metodologia de Resolução de Problemas, considerando que a mesma
permite, que o professor desafie o aluno a pensar e refletir a matemática. O
professor nesta proposta deve ser um organizador da aprendizagem dos
alunos, ficando mais como observadores e intervindo sempre que julgar
necessário. Relacionar também essa disciplina com seu dia a dia e trabalhar
as atividades em grupos quando possíveis, procurando com que os alunos
tenham oportunidades de trocar idéias e reflexões a cerca dos conteúdos
trabalhados.
A Resolução de Problemas é um tema com características particulares
em relação a outros temas, exigindo ainda mais a compreensão e análise das
situações propostas. Muitas vezes, os alunos apresentam dificuldades de
seguir seqüências lógicas de raciocínio e de construir estratégias e habilidades
para elaboração desses, além destes problemas, os alunos não possuem
hábitos de contextualização. Esta proposta tem como objetivo a intenção de
motivar o estudo da matemática e de desenvolver o raciocínio lógico dos
alunos, proporcionarem suporte necessário para que estes pensem
matematicamente. Pretende-se com este trabalho que os alunos desenvolvam
habilidades para notar diferenças, capacidades para cálculos, para análise e
destreza para trocar de estratégia se estas não forem adequadas. Este material
será construído e fundamentado diante de uma proposta no qual será
elaborado uma lista de Problemas convencionais e não convencionais
problemas abertos, problemas fechados, problemas de lógica, problemas de
tentativas de erro e problemas sem solução, permitindo trabalhar sempre todas
as operações compatíveis com a série envolvida.
Segundo Polya, um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de
problemas, propõe quatro fases de trabalho para resolução de problemas: Para
este autor as fases que são:
• Compreender o problema;
5
• Estabelecer um plano;
• Executar o plano;
• Fazer um retrospecto da resolução encontrada.
3. ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMAS 3.1. Entender o problema
• Qual a incógnita?
• Quais são os dados?
• Quais são as condições?
• É possível satisfazer as condições?
• Elas são suficientes para determinar à incógnita?
• Ou são insuficientes?
• São redundantes?
• Ou contraditórias?
• Fazer uma ou mais figuras.
• Introduzir nela notações adequadas e por último separe as condições em
partes.
PROBLEMA
3
EXECUTAR O PLANO
1 COMPREENDER O PROBLEMA
2 ESTABELECER
UM PLANO
4
RETROSPECTO
6
3.2. Construir uma estratégia de resolução
• Fazer uma ligação entre os dados e a incógnita;
• Pensar em um problema auxiliar;
• Encontrar um problema semelhante;
• Conhecer teoremas ou fórmulas que possam ajudar;
• De acordo com a incógnita encontrar um problema familiar e que tenha uma
incógnita semelhante;
• Verificar se o aluno consegue enunciar o problema de outra maneira;
• Escolher um problema não muito difícil e nem muito fácil, natural e
interessante para o aluno.
3.3. Executar a estratégia Esta é a etapa mais fácil do processo de resolução do problema. Contudo,
a maioria dos iniciantes tende a pular para essa etapa precocemente e acabam
se dando mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se
perdendo na execução.
Ao executar a estratégia, verificar cada passo e se o aluno consegue
mostrar que cada um dos passos está correto.
3.4. REVISÃO
Fazer um retrospecto da resolução completa, isto é, verificar se a solução
encontrada satisfaz as condições do problema.
• Examinar a solução encontrada;
• Verificar o resultado e o argumento;
• Verificar se o aluno obteve a solução utilizando-se de outra seqüência de
raciocínio;
• Qual a essência do problema e do método de resolução empregado?
Verificar se o aluno consegue usar resultado ou o método em algum outro
problema.
7
• Até os melhores alunos fecham os livros e passam para outros
problemas ou outros assuntos ao chegar à solução e escrita da demonstração,
perdendo assim uma fase importante e instrutiva do trabalho da resolução. Ao
fazer um retrospecto da resolução completa, reconsiderando o resultado final e
o caminho que levou até este, os alunos poderão ampliar seu conhecimento e
aperfeiçoar sua capacidade de resolver problemas.
3.5. Seguindo a proposta do pesquisador George polya, na qual está
fundamentada essa pesquisa, segue abaixo alguns problemas que faz os
alunos pensar produtivamente, desenvolver o raciocínio lógico, tornando a
matemática mais interessante e desafiadora, levando-os a passar pelas quatro
fases já mencionadas no diagrama acima. 3.5.1. Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de
meninos, mas na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as
suas figurinhas. Por causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais.
Quantos meninos receberam figurinhas?
Para resolução deste problema, o professor usa inicialmente como
estratégia metodológica a seguinte pergunta:
• Qual é a incógnita?
Deve-se pedir aos alunos nesse momento que leiam atentamente o
problema para que em seguida descubram o que se pretende, ou seja, a
quantidade de meninos que receberam figurinhas.
• Qual o plano ou a estratégia executar?
Nesse caso o professor deverá intervir e orientar os alunos para quais
ferramentas ou conteúdos condiz ao problema que possam conseguir a
solução do mesmo. Como já foi mencionada incógnita é bem provável que
alguns alunos traduzam o enunciado para linguagem matemática apropriada
propondo o equacionamento.
240/x + 8 = 240/x-5
• Como executar o plano estabelecido?
A partir daqui basta resolver a equação seguindo os passos:
8
Encontrar o mmc (x, x-5) e efetuar as operações de modo a chegar à
equação propriamente dita:
X² - 5x – 150 = 0 após estes passos, o aluno poderá utilizar alguns
procedimentos padronizados para a resolução, como por exemplo, a aplicação
da fórmula de Bhaskara, nesse caso a solução é x= 15, ou seja, o número de
meninos que receberam figurinhas foram 15.
-A solução encontrada satisfaz o problema?
• Verificando a solução encontrada.
A verificação desse problema é feita da seguinte maneira, basta
substituir o valor de x na equação e verificar se a igualdade é verdadeira.
X² - 5x – 150 = 0 → 15² - 5.15 – 150 = 0 → 225 – 75 – 150 = 0 → 0=0
3.5.2. Um hospital serve almoço para 144 pacientes diariamente. Sabendo que
1 litro de suco de laranja dá para quatro copos e durante o almoço cada
paciente recebe um copo de suco de laranja. Quantos litros de suco de laranja
serão necessários para 15 dias?
• Compreendendo o problema
O professor deve fazer algumas perguntas à classe para que os alunos
possam compreender o problema.
Sugestões de perguntas:
O que o problema está perguntando?
Quantos litros por semana, por dia ou por mês?
A quantos pacientes o hospital serve almoço todo dia?
Todos os 144 pacientes tomam suco?
Isso faz diferença em nosso problema?
Por quê?
O problema está pedindo o número de copos ou o número de litros?
• Estabelecendo um plano
9
Nesta etapa, o professor deve fazer com que os alunos proponham
estratégias para solucionar o problema. Para ajudá-los, pode formular
perguntas como:
-Alguém já resolveu algum problema semelhante a este?
-Como foi resolvido?
Caso a classe não reaja, uma boa estratégia para o professor é dar um
problema semelhante mais simples. Como por exemplo:
Cada um dos 36 alunos de uma classe receberá 1 copo de suco,
sabendo que em cada litro cabem 4 copos, quantos litros serão necessários?
Neste caso mais simples, com números pequenos, os alunos podem
descobrir como resolver o problema até mesmo agindo concretamente:
36 COPOS
.. ...
1 LITRO 1 LITRO 1 LITRO 1 LITRO
9 LITROS
Este procedimento fará com que descubra qual é a operação a ser
efetuada para resolver este problema simples. Em seguida basta usar a
mesma estratégia para resolver o problema original.
• Executando o plano
Os planos traçados anteriores são agora executados pelos alunos. Se
um determinado plano não funcionar, procuremos outro. Lembrando sempre
que os planos não são infalíveis.
A ênfase que deve ser dada aqui é a habilidade do aluno em executar o
plano traçado, e não só cálculo. Há uma tendência muito forte (que devemos
evitar) de reduzir todo o processo de resolução de problemas aos simples
cálculos que levam as respostas corretas.
Plano A – soma de 4 em 4 até chegar a 144
Números de quatros necessários:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 = 36
Portanto são necessários 36 litros.
Plano B – Subtração de 4 em 4 até chegar a 0
O 4 cabe 36 vezes em 144. Portanto, são necessários 36 Litros.
10
Querendo aproveitar a idéia do plano B e simplificar os cálculos, podemos
efetuar a divisão por estimativa. 144: 4 = 36
São necessários 36litros.
O professor pode, agora, discutir com a classe qual é a execução mais
compreensível, qual é a mais curta.
• Fazendo o retrospecto ou verificação
Esta etapa é muito importante para completar o processo de resolução de
problema. Os alunos devem dizer por que a resposta encontrada está correta
e, em seguida, fazer um retrospecto de toda a resolução. É muito importante
justificar o que e como se fez.
• Verificação
Um litro corresponde a 4 copos de suco
Trinta e seis litros corresponderão a 36. 4 = 144 copos.
Logo, a resposta está correta.
Resposta: São necessários 36litros de suco por dia.
Antes de encerrar este problema, o professor pode explorá-lo um pouco
mais. Pode perguntar, por exemplo:
-Se cada litro de suco custa R$ 2, 20, qual será o gasto diário total com
suco?
-Se déssemos uma nota de R$ 100,00 para pagar esse gasto diário total,
quanto receberíamos de troco?
3.5.3. Na semana da matemática foram feitas fichas para um jogo lúdico.
Em cada folha de cartolina cabem 8 fichas. No jogo serão necessárias 60
fichas. Quantas folhas de cartolinas precisarão ser compradas para fazer este
jogo?
• Compreendendo o problema
-Dados:
Precisamos de 60 fichas e cabem 8 em cada folha de cartolina.
-Objetivo:
Determinar o número de folhas de cartolina necessárias.
11
-Figura:
• Estabelecendo um plano
Dividir 60 por 8 para saber quantos grupos de oito cabem em 60. Verificar o
que significa o resto.
• Executar o Plano
60 ∟8
56 7→ número de folhas de cartolina necessárias
4→ fichas extras necessárias
São necessárias 7 folhas de cartolina mais 4 fichas.
Para obter mais 4 fichas precisamos comprar mais 1 folha de cartolina,
portanto 7+1=8.
• Fazendo o retrospecto ou verificação
-Seriam suficientes 7 folhas de cartolina? Não, pois 7.8 = 56. -São suficientes 8 folhas de cartolina? Sim, pois 8.8 = 64, e precisamos de
60 fichas. -A execução foi correta? Sim, pois (7.8) + 4 = 60. -Há outra maneira de se verificar a resposta? Sim: 8.8 = 64 e 64 – 4 = 60. Resposta: Precisamos comprar 8 folhas de cartolina para construir esse
jogo.
3.5.4. O pai de Marcos comprou uma tela de 40 metros de comprimento para
cercar um terreno retangular que pretende fazer plantação de tomates. Marcos
decidiu ajudar seu pai para obter a maior área possível com esta tela. Quais
devem ser as dimensões do terreno?
Esse problema exige do aluno domínio básico de geometria.
O professor pode iniciar pedindo para os alunos ler com atenção o
problema.
Em seguida fazer algumas perguntas:
12
-O que é dimensão?
-Fazer um desenho;
-O que é área;
-O que é perímetro;
-Quais são os dados do problema;
-Pedir para alguns alunos colocar no quadro seu desenho e as dimensões
usadas.
• Estratégias
-Montar uma tabela com os dados encontrados.
Comprimento largura Perímetro Área
15 5 40 75
13 7 40 91
16 4 40 64
10 10 40 100
. : : :
E assim sucessivamente para outros resultados.
• Fazendo a verificação
Segundo dados da tabela a maior área foi à quadrada 10x10=100 m²
No final o professor ainda pode pedir para os alunos resolver esse mesmo
problema com perímetros iguais a 20m, 30m ou 50 m, para certificar-se um
pouco mais da sua afirmação.
3.5.5. No aniversário de Marcos foi tirada uma foto de algumas crianças
brincando com cachorros. Na foto há 7 cabeças e 22 pernas. Quantas crianças
estão na foto?
• Compreendendo o problema
Como estratégia de resolução desse problema o professor pode iniciar
questionando os alunos sobre os possíveis caminhos que serão usados para
encontrar a solução. Para isso deve levar em consideração os dados que o
problema oferece e o que ele pretende.
• Plano de ação
13
Dados do problema:
-7 cabeças;
-22 pernas;
-Cada criança tem 2 pernas;
-Cada cachorro tem 4 pernas
• Executando o plano
Solução: Vamos supor que tanto as crianças como os cachorros tivessem 4 pernas.
Como temos 7 cabeças então:
7.4 = 28 pernas
O problema diz que temos 22 pernas. Então, as 6 pernas e mais (28-
22=6) apareceram porque supusemos as crianças com 4 pernas também. Ao
aumentarmos 2 pernas em cada criança (4-2=2), o número total ficou
aumentado de 6 . Logo, o número de crianças é 3 (6:2=3) e, como são 7
cabeças, temos 4 cachorros (7-3=4).
• Verificação
3 crianças: 3.2 = 6 pernas
4 cachorros: 4.4 = 16 pernas
6 + 16 = 22 pernas
3 + 4 = 7 cabeças
• Resposta: na foto estão 3 crianças e 4 cachorros.
3.5.6. Esta atividade permite que sejam produzidos significados para
afirmações feitas em relação a um recipiente para guardar pirulitos, podendo
ser possível justificar cada afirmação.
Temos dois recipientes iguais para pirulitos, P1 e P2. Os dois possuem
uma quantidade indefinida de Pirulitos X e Y, respectivamente. Sabemos que
para completar P1 faltam 6 pirulitos e, para completar P2, faltam 10 pirulitos.
14
P1
x
A partir dessa situação os alunos deverão ser estimulados, depois de
alguns exemplos do professor, a fazer afirmações a respeito do assunto e
justifica-las.
Combinar o uso da letra P para Pirulitos.
Exemplos: a) Afirmação: P1 = P2
Justificativa: Os dois recipientes comportam a mesma quantidade de
pirulitos (são iguais).
b) Afirmação: X + 6p = Y + 10p
Justificativa: Se acrescentarmos 6 pirulitos em P1 ele ficará completo e
se acrescentarmos 10 pirulitos em P2, também ficara completo, e P1=P2
c) Afirmação: X = Y + 4p
Justificativa: Se acrescentar 4 pirulitos em P2, faltarão 6 pirulitos para
completa-lo, que é o mesmo que falta em P1.
d) Afirmação: X + 2p = Y + 6p
Justificativa: Acrescentando 2 pirulitos a X faltarão 4 pirulitos para
completar P1 e 6 pirulitos a Y, também faltarão 4 pirulitos para completar P2.
e) Afirmação: X – 2p = Y + 2p
Justificativa: Se retirarmos 2 pirulitos de X, faltarão 8 pirulitos para
completar P1, e se acrescentarmos 2 pirulitos a Y, também faltarão 8 pirulitos
para completar P2.
f) Afirmação: Y = X – 4p
Justificativa: se retirarmos 4 pirulitos de X, em P1 faltarão 10 pirulitos
para completa-lo como em P2.
g) Afirmação: X – Y = 4b
Como justificar essa afirmação?
P2
y
15
Apesar dessa afirmação parecer muito natural para o professor, pode
não ser para o aluno. Como tirar de X uma quantidade Y que não se conhece?
É possível fazer isso na prática? Uma situação como essa deve ser
considerada com muito cuidado e promover um longo diálogo com os alunos.
Podemos aproveitar para comentar que a diferença nem sempre está
associada à subtração; não iremos retirar uma quantidade diretamente da
outra. Podemos retirar um pirulito de cada recipiente e repetir a operação até
que P2 ficar vazio. O que sobrar no recipiente P1 (4p) é a diferença entre eles.
Muitos outros contextos podem servir para este tipo de atividade, no
entanto o principal é que as frases (expressões) a serem transformadas devem
ter significado, devem ser objetos para os alunos; em geral há mais de um
modo de produzir significados para novas frases e diferentes modos de
produzir justificativas, que as situações ou exemplos como este serve para que
os alunos se concentrem no método e não em resultados.
3.5.7. Este problema tão importante quanto o resultado, ou mais, é como se
chega a ele. Cada resposta deverá ser justificada.
Construa e desenhe uma seqüência de triângulos eqüiláteros (triângulos
de lados de mesma medida) de modo que o primeiro tenha uma unidade de
medida de lado, o segundo duas unidades de medida, o terceiro três e assim
por diante...
a) Complete a tabela que relacione o lado do triângulo com o número de
unidades de medidas necessário para construí-lo.
Número de unidades de medidas
do lado do ▲
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 27
Total de unidades de medidas do
▲
b) Responda: Quantas unidades de medidas são necessárias para
construir um triângulo de 10 unidades de medidas de lado? E de 19 unidades
de medidas de lado? E de 50?
c) E de um número infinito de unidades de medidas?
16
d) Se forem gastos 300 unidades de medidas quantas tem em cada lado do
triângulo?
e) É possível construir um triângulo eqüilátero com 304 unidades de
medidas? E com 305? E com 306? Diga o porquê em cada caso.
3.5.8. Uma lanchonete possui mesas quadradas iguais de quatro lugares.
Entretanto se juntarmos duas mesas teremos lugar para seis pessoas (perdem-
se dois lugares).
Responda:
a) Se juntarmos três mesas (linearmente) teremos quantos lugares?
b) Complete a tabela que relaciona número de mesas juntadas
linearmente e número de lugares disponíveis.
Nº de mesas juntadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Nº de lugares disponíveis 4 6
c) Se juntarmos 50 mesas, quantos lugares disponíveis teríamos?
d) Se juntarmos n (nº. qualquer de) mesas como representaríamos o
número de lugares disponíveis?
e) Se todos os lugares estiverem ocupados è possível que estejam
sentados 63 pessoas nas mesas justapostas? Justifique.
17
4. Problemas convencionais e Problemas não convencionais ou Problemas
fechados e Problemas abertos e seus respectivos comentários.
4.1 . Problemas fechados – classificam-se em exercícios de reconhecimento,
exercício algorítmico e problemas de aplicação. Assim, como ponto de partida, pode dizer que o exercício algorítmico são
os problemas que podem ser resolvidos passo-a-passo tecnicamente, ou seja,
algorítmico numérico. Os exercícios de reconhecimentos são todos os
problemas que exigem que o aluno reconheça ou recorde um conceito, uma
definição, um teorema, uma linguagem matemática ou um cálculo. E os
problemas de aplicação são aqueles que envolvem algoritmos aplicativos, ou
seja, o problema é apresentado simbolicamente e o aluno deverá manipular os
símbolos mediante algoritmos diversos.
Exemplo: Marcos tem 20 anos. Daqui a 25 anos, ele terá a idade que sua mãe
tem hoje. Quantos anos têm a mãe de marcos?
Nessa situação, basta fazer uma adição com os números do problema,
ou seja, ela tem 45 anos.
Podemos observar que esse tipo de problema aplica-se o mero conceito de
adição.
4.2 . Problemas abertos - por serem mais familiares, permitem que os alunos
tenham condições de resolvê-los. E, sobretudo, por possuírem enunciados
curtos, os problemas abertos podem permitir ao aluno gravar as primeiras
idéias em um novo estudo. Isso pode dar impressão de que o problema é de
fácil solução, fazendo com que o aluno viva a necessidade da busca dessa
solução. Um problema aberto também possui uma ou mais soluções. Ele pode
ser trabalhado em grupo, evitando eventuais desistências, diminuindo o medo
de não conseguir a resolução, possibilitando a troca de idéias o surgimento de
conflitos entre alunos. Esses conflitos ocorrem entre dois ou mais indivíduos
quando confrontam suas diferentes opiniões. O problema aberto tem como
objetivo permitir que o aluno desenvolva um processo de resolução de
18
problemas com a capacidade de tentar, supor, testar e provar o que foi
proposto. Exemplo 1: Na festa de aniversário de Marcos foram contados trinta e dois pés
e dois rabos. Quem poderia ter participado da festa de Marcos?
Neste caso é necessário disponibilizar vários conhecimentos para a
resolução desse problema, se havia dois rabos, suponha que havia dois
animais, que poderia ser cachorros ou gatos que tem quatro pés e o restante
poderia pertencer a pessoas convidadas incluídas o próprio Marcos. Mas se os
rabos fossem de pássaros? Esse é um tipo de problema que apresenta várias
soluções.
Exemplo 2: Disponha os números de 1 a 9, sem repetição, em cada
quadradinho, de modo que nenhum número fique vizinho de seu antecessor e
de seu sucessor.
Esse problema também apresenta mais que uma solução, uma vez que
não foi exigida a obrigatoriedade da posição dos números, somente se exigiu
que não ficassem juntos os antecessores e sucessores.
EXEMPLO 3: Marcos, Maria e Carlos moram na mesma estrada. Marcos mora
a 23 quilômetros de Maria. Carlos mora a sete quilômetros de Maria. Observe a
ilustração e responda a que distância Marcos mora de Carlos.
19
Casa de Marcos casa de Maria
.----------23 quilômetros. ------------
Qualquer aluno da turma poderia dar como resposta a esse problema 16
ou 30 quilômetros, inclusivamente. É possível que esse aluno tenha uma idéia
da relação das três casas na estrada, más pode ter decidido supondo a
operação como adição ou subtração.
4.3. Problemas sem solução: Esse tipo de problema apresenta nos alunos a
sensação de dúvida, incerteza e frustração.
Exemplo 1: Maria tem 30 anos a mais que José. No mês de maio ela foi
passar o dia das mães com sua família em São Paulo, a que horas Maria
chegou a seu destino? Alunos que rotineiramente resolvem problemas
convencionais, logo irão fazer aquela crucial pergunta: que conta devo fazer?
Não é possível saber a que horas Maria chegou a seu destino só com os
dados apresentados no problema.
4.4. Problemas de lógica: A lógica se dedica ao estudo dos conceitos,
determinando se a argumentação utilizada para chegar a certa conclusão é
válida ou não. Precisa de raciocínio dedutivo, habilidade, capacidade para criar
hipóteses e analisar os dados do problema.
Exemplo: Uma determinada rede de medicamentos usa barras curtas e barras longas para representar o código de um determinado remédio. A barra curta corresponde ao zero (0) e a longa ao um (1).
Obs.: A primeira e última barra não fazem parte do código.
Esse problema exige do aluno o raciocínio lógico. Ele deverá ficar atento, por exemplo, nas barras curtas e longas e seus respectivos valores.
20
A tabela de conversão do código é mostrada abaixo:
11000 = 0 00011 = 1
01010 = 2 00101 = 3
00110 = 4 01100 = 5
10100 = 6 00001 = 7
10001 = 8 10010 = 9
a) Escreva o código 458021736 no formato de código de barras.
Resposta – Primeiramente, escrevemos o código na forma de 0’s e 1’s:
00110-01100-10001-11000-01010-00011-00001-00101-10100
4 5 8 0 2 1 7 3 6
Podemos, agora, escrever o código de barras desse medicamento.
I’’II’’II’’I’’’III’’’’I’I’’’’II’’’’I’’I’II’I’’I
b) Identifique o medicamento que representa o código de barras abaixo:
I’’II’I’’’II’’I’’’’’I’I’I’’’’IIII’’’I’’I’I
Resposta - Primeiramente, escrevemos o código de barras na forma de 0’s e e1’s:
00110 10001 10010 00001 01010 00011 11000 10010
4 8 9 7 2 1 0 9
Podemos, agora, escrever o código 48972109.
4.5. Problemas de tentativa e Erro: Os passos são:
1) Escolher uma operação plausível;
2) Executar a operação com os dados;
3) Verificar se a meta foi alcançada.
Se a resposta ao item três não for positiva, deve-se repetir o processo até que atinja a meta ou evidencie o erro do problema.
21
O problema
Num criadouro de coelhos e Marrecos, uma pessoa contou 18 cabeças, a outra, 50 pernas. Quantos são os coelhos?
Poderíamos resolver este problema por meio da equação matemática.
C+M = 18
4C+2M = 50
Resolvendo:
C = 18-M
4 (18-M)+2M = 50
72-4M+2M = 50 -2M = -22 M = 11 C = 7
Porém, não podemos resolver por meio da equação, pois os alunos são de 5ª série do ensino fundamental.
Como resolvê-lo sem uso da equação matemática?
Aí é que entra o Método de Tentativa e Erro.
Comecemos pelos extremos:
COELHOS MARRECOS Pernas
18 00 72 (mais)
00 18 36 (menos)
Método Aleatório das Tentativas
COELHOS MARRECOS Pernas
03 15 42
10 08 56
16 02 68
12 06 60
05 13 46
22
02 16 70
07 11 50
Não é eficiente, porque demanda muito tempo.
Método Sistemático das Tentativas
COELHOS MARRECOS Pernas
0 18 36
1 17 38
2 16 40
3 15 42
4 14 44
5 13 46
6 12 48
7 11 50
Poderá gerar muitas respostas, mas dará certo.
Método Orientado das Tentativas
COELHOS MARRECOS Pernas Tentativa seguinte
6 12 48 ACRESCENTE COELHOS
8 10 52 REDUZA COELHOS
7 11 50 RESOLVIDO
23
ATIVIDADES PARA A
5ª SÉRIE DO
ENSINO
FUNDAMENTAL
24
5. FIGURAS . Objetivos
• Investigar, sondar, elaborar problemas com estratégias e executá-los,
analisando as soluções encontradas.
• Resolver esses problemas trabalhando sempre todas as operações
compatíveis com a série envolvida.
• Desenvolver a autoestima e a capacidade investigativa, aumentar a
autonomia e confiança nos alunos.
. Conteúdos abordados
• Problemas convencionais e não convencionais
• Problemas abertos e problemas fechados,
• Problemas de lógica;
• Problemas de tentativas de erro
• Problemas sem solução.
. Metodologia Analisar a situação proposta, elaborando a seqüência de raciocínio
para chegar a uma conclusão, contribuindo assim na prática educativa do
ensino da matemática.
. Materiais
• Figuras e ilustrações que permite o aluno construir situações problemas
a partir do contexto social, cultural, econômico e político em que os alunos
estão inseridos e, realizar cálculos matemáticos em seguida.
Desenvolvimento da aula Propor aos alunos que construa problemas a partir da observação
das figuras e das ilustrações.
25
Foto: http://www.google.com.br/imgres
5.6 Procedimentos no decorrer da aula É de extrema importância que cada aluno tenha a liberdade para formular
seus problemas. Assim não será necessário direcionar a atividade para uma
operação específica.
Em seguida sugerir a elaboração de algumas atividades que podem ser
feitas a partir das situações problemas formuladas pelos alunos:
• Trocar os problemas entre os alunos da turma para que um resolva o
problema do outro;
• Sortear alguns dos problemas, registrando no quadro e propor para que
todos os alunos resolvam;
• A escolha pelo professor de um problema que esteja incompleto ou mal
formulado, para trabalhar seu texto, reelaborando em conjunto com todos
os alunos da sala, tomando cuidado para não colocar o aluno que formulou
aquele problema em situação de constrangimento.
• É importante que cada problema, ao ser disponibilizado para os outros,
contenha o nome do aluno que redigiu.
26
5.7 Atividades sugeridas: 1. Observe o cardápio abaixo e formule problemas relacionados com ele:
CARDÁPIO Cachorro quente ------------------------------------------------------------------------------- 3,00 reais
Sanduíche com presunto -------------------------------------------------------------------- 2,50 reais
Sanduíche com queijo ------------------------------------------------------------------------2,80 reais
Sanduíche com legumes ---------------------------------------------------------------------2,70 reais
Pêra ------------------------------------------------------------------------------------------------0,80 reais
Laranja ------------------------------------------------------------------------------------------- 0,50 reais
Leite com café ---------------------------------------------------------------------------------- 0,70 reais
Leite com chocolate -------------------------------------------------------------------------- 1,20 reais
2. Elabore problemas a partir das operações abaixo:
a) Divisão e adição;
b) Subtração e multiplicação;
c) Adição e subtração;
d) Potenciação.
3. Observe o texto e a tabela abaixo formule situações problemas relacionando
os dados:
EVOLUÇÃO DA OCUPAÇÃO URBANA DO ESPAÇO MARINGAENSE
No início da colonização de Maringá houve um processo de crescimento vertiginoso motivado pela implantação de cultura cafeeira. Nas décadas seguintes o aumento do número de habitantes foi menor.
De acordo com o censo do IBGE, desde 1960 ocorre crescimento negativo para a população rural. Esse fenômeno é justificado pela erradicação dos cafezais e pela implantação da mecanização agrícola que expulsou o homem do campo.
27
EVOLUÇÃO DA OCUPAÇÃO MARINGAENSE DE ACORDO COM O CENSO DEMOGRÁFICO
Ano População Rural População Urbana Total
1950 31.318 7.270 38.558 1960 56.539 47.592 104.131 1970 21.279 100.100 121.374 1980 7.550 160.689 168.239 1990 6.198 233.937 240.135 2000 4.673 283.792 288.465
Fonte: IBGE
4. Observe a ilustração. Um problema relacionado com ela já está formulado.
Resolva-o e em seguida formule mais um.
Cento e vinte alunos devem ser colocados em filas, oito em cada uma.
Quantas filas haverá?
28
1. Observe a foto abaixo de um barco mercado flutuante, formule situações
problemas relacionado com ela:
5.8 Considerações sobre as atividades. Os problemas criados pelos alunos frequentemente serão de interesse
dos outros alunos e os processos envolvidos na concepção e na resolução
desses problemas podem melhorar seus desempenhos em outros problemas.
A intensidade da orientação deve variar de acordo com a experiência dos
alunos. Fazer com que os alunos compartilhem de problemas escritos por
colegas deveria fazer parte do plano de ensino da escola.
Algumas atividades proporcionam uma mudança no ritmo e na rotina da aula.
As situações problemas construídos por alunos frequentemente incluem
dados desconhecidos e, no conjunto, podem envolver mais de uma operação
ou processo. Desse modo, eles precisam ser lidos e resolvidos por todos, se
possível.
5.9 Avaliação A avaliação deve ser realizada no decorrer das aulas, verificando a
resolução dos algoritmos, as habilidades de redigir situações problemas e
interpreta-los.
29
No processo avaliativo, é necessário que o professor faça uso da
observação sistemática para diagnosticar as dificuldades dos alunos e criar
oportunidades diversificadas para que possam expressar seu conhecimento.
Tais oportunidades devem incluir manifestação escritas, orais e de
demonstração, inclusive por meio de ferramentas e equipamentos tais como:
materiais manipuláveis computadores e calculadoras. Alguns critérios devem orientar as atividades avaliativas. Essas práticas
devem possibilitar ao professor verificar se o aluno:
• Verificar se o aluno compreende, por meio da leitura, o problema
matemático;
• Elaborar um plano que possibilite a solução do problema;
• Encontrar meios diversos para a resolução do problema matemático;
• Realizar o retrospecto da solução do problema.
Dessa forma, no processo de aprendizagem, o aluno deve ser estimulado
a:
• Partir de situações-problemas interna ou externas à matemática;
• Pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução dos
problemas;
• Perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;
• Argumentar a favor ou contra os resultados.
6. Problemas propostos 1. Complete as seis casas da tabela, colocando um algarismo em cada uma,
de modo que os três números de dois algarismos formados na vertical e os
dois números de três algarismos formados na horizontal sejam quadrados
perfeitos. Quais são esses números? Quantas soluções existem?
30
2. Um matemático italiano nasceu em 1714 e morreu com 87 anos. Em que
ano ele morreu?
3. No ponto de ônibus ao lado da casa de Marcos, existem duas linhas de
ônibus que ele pode usar para ir à academia: uma passa de 15 em 15 minutos
e a outra de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram juntos às 7 h 30 min, a
que horas passarão juntos novamente?
4. Marcos comprou pão de queijo para o café da manhã de domingo porque iria
receber parentes em sua casa e deparou-se com a seguinte questão:
• Cada 100 gramas de pão de queijo custam R$ 3,20 e correspondem a 10
pães de queijo; cada pessoa come em média cinco pães de queijo.
Chegaram 16 pessoas na casa de Marcos que mora com mais cinco
pessoas. A pesagem máxima da balança da padaria é de 100 gramas.
a) Quanto Marcos gastará?
b) Se cada pessoa comer cinco pães de queijo, sobrará algum pão de
queijo?
c) Quantas gramas de pão de queijo ele deve comprar para que cada
pessoa coma pelo menos cinco pães?
5. Marcos subtraiu 325 de um número. A diferença deu 437. Qual era esse
número?
6. Num estacionamento há 14 veículos, entre motos e carros. Se o total de
rodas é 44 quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?
7. Com R$ 3,00 Marcos comprou seis sacos de pipoca. Quanto saco de pipoca
pode comprar com R$ 4,00?
8. Uma porção com três balas de limão custa 10 centavos. Cada bala de
hortelã custa cinco centavos. Marcos comprou 20 balas. Quantas balas de
cada sabor podem ter comprado?
31
9. Na construção de um obelisco, ele estava com 2 metros de altura na
segunda feira. Na terça-feira, a altura do obelisco dobrou e ele está com 4
metros. A cada dia, o obelisco está com o dobro da altura do dia anterior. Qual
será sua altura no sábado?
10. Marcos e João estão brincando com um jogo. Ao fim de cada partida, o
perdedor dá ao vencedor um real. Depois de algum tempo, Marcos havia
ganhado três partidas e João estava com três reais a mais do que no inicio.
Quantas partidas já haviam jogado?
11. Mostre as maneiras de colocar nove balas em cinco copos, de tal forma
que cada copo tenha um número diferente de balas.
12. Na noite passada assistia a um jogo de futebol e percebi algumas crianças
e cachorros brincando na grama ao lado do campo. Ouvi um barulho e saí para
ver, quando as crianças e os cachorros passaram correndo por mim. Decidi
contá-los de uma forma diferente. Contei as pernas e descobri que havia 22 e 7
cabeças. Agora o que quero saber: quantas crianças e quantos cachorros
passaram por mim?
13. Mostre as formas de colocar 15 moedas de um real em quatro montes, de
tal forma que cada monte tenha um número diferente de notas.
14. Na seqüência abaixo descubra qual a próxima linha.
1
1 1
2 1
1 2 1 1
3 1 1 2
1 3 2 1 1 2
. . . . . .
15. Marcos tem 20 anos. Daqui a 25 anos, ele terá a idade que sua mãe tem
hoje. Quantos anos têm a mãe de marcos.
32
16. Numa empresa, a metade dos funcionários são homens. A terça parte dos
homens veste roupa branca e são 6. Qual é o total de funcionários desta
empresa?
17. As cores do semáforo da frente da casa de Marcos mudam a cada 20
segundos. Se Marcos tem nove anos, quantas vezes mudaram as cores do
semáforo desde o seu nascimento?
18. Numa pequena cidade do interior, 1/4 dos jovens joga somente vôlei, 1/3
joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum deles.
• Quantos jovens têm a cidade?
• Quantos jovens jogam somente futebol?
• Quantos jovens jogam futebol?
• Quantos jovens praticam um dos 2 esportes?
7. Considerações finais A metodologia da resolução de Problemas apresentada tem como objetivo
motivar o estudo da matemática, desenvolver o raciocínio lógico no aluno
potencializando suas aptidões e aprendizagem, desenvolver hábitos de
estabelecer relações entre conhecimentos científicos elaborados e situações
do cotidiano, proporcionar suportes necessários para que esses alunos
pensem matematicamente situações problemas na sua vida real.
Para alcançar esses objetivos é necessária a elaboração de problemas
que venham de encontro com o interesse e expectativa dos alunos, de forma
que possam prender suas atenções com o assunto trabalhado e dessa forma
alcançar o alvo que é o de investigar, sondar, elaborar estratégias e executa-
las, bem como de analisar as soluções encontradas.
Pretende-se que no final desse trabalho, esses alunos tenham
desenvolvido determinadas características como habilidades para cálculos,
notar diferenças e conformidades, e de analisar. Assim sentem mais
encantados e atraídos pela matemática e começa a ver esta disciplina de uma
forma mais agradável e prazerosa.
33
8. Referencias Bibliográficas
• DANTE. Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática.
São Paulo: Editora Ática, 2005.
• Krulik, Stephen A resolução de problemas na Matemática Escolar. São Paulo:
Atual Editora, 1980.
• PARANÁ. Secretaria de estado de Educação. Diretrizes Curriculares da
Educação Básica do Paraná - Matemática. Curitiba: SEED/DEPG, 2008.
• POLYA, G A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
• STEWART, Ian. Mania de Matemática. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor,
2005.