Ficha de Avaliação Formativa

Matemática 8º Ano – Isometrias

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Esta ficha de avaliação formativa está dividida em 4 partes (parte I – um pequeno resumo dos conteúdos;

parte II – exercícios e problemas de dificuldade 1 [fácil]; parte III – exercícios e problemas de dificuldade 2

[médio] e parte IV – exercícios e problemas de dificuldade 3 [difícil])

Parte I – Síntese

Isometria (no plano ou no espaço) é uma transformação geométrica que transforma uma figura

noutra geometricamente igual, isto é, que preserva os comprimentos dos segmentos de reta e as

amplitudes dos ângulos.

Existem apenas quatro tipos de Isometrias no plano:

Reflexão;

Rotação;

Translação;

Reflexão deslizante

Dada uma reta , chama-se reflexão sobre à transformação geométrica que

deixa invariantes os pontos de e que a cada ponto faz corresponder , tal

que a reta é a mediatriz do segmento . A reta designa-se de eixo de

reflexão.

Para definir uma rotação ( ) é necessário considerar um ponto O, em torno do qual se vai

processar a rotação (O é o centro da rotação) e definir a amplitude do ângulo e a sua orientação.

Ao ângulo orientado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (sentido anti-horário) diz-se que

é positivo, enquanto ao ângulo orientado no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário) diz-se

que é negativo.

Uma translação ⃗⃗ é uma transformação geométrica (isometria)

associada a um vetor ⃗⃗ . A translação ⃗⃗ transforma qualquer ponto do

plano num ponto , tal que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ .

+ -

Vetor é um segmento de reta orientado, isto é, uma entidade matemática que fica caracterizada por

uma direção, um sentido e um comprimento.

Dois segmentos de reta orientados com a mesma direção, sentido e comprimento

representam o mesmo vetor.

Dois vetores com a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos dizem-se

vetores simétricos (os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ são simétricos, bem como os vetores ⃗⃗ e ⃗⃗ )

A soma de dois vetores com direções distintas pode ser efetuada pela regra do triângulo ou

regra do paralelogramo:

Regra do Paralelogramo Regra do Triângulo

Uma reflexão deslizante é uma transformação composta por uma

reflexão sobre uma reta e uma translação que desloca os pontos

segundo a mesma direção da reta .

Podemos dividir as isometrias do plano em dois tipos:

isometrias positivas (ou diretas) que são aquelas que mantêm o sentido dos ângulos

orientados;

isometrias negativas (ou inversas) que são aquelas que não mantêm o sentido dos

ângulos orientados.

Parte II – Exercícios e Problemas de dificuldade 1

1. Observa a figura ao lado, onde todos os triângulos pequenos são

isósceles e congruentes.

1.1. Utilizando letras da figura, indica:

a) duas retas com a mesma direção.

b) duas retas com direções diferentes.

c) dois segmentos de reta orientados com a mesma direção e

sentidos contrários.

d) dois segmentos de reta com direções diferentes, mas com

o mesmo comprimento.

e) dois segmentos de reta orientados que representem o vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗.

f) dois vetores com direções diferentes, mas com o mesmo comprimento.

g) dois vetores com a mesma direção e sentidos contrários.

h) dois vetores com a mesma direção, o mesmo sentido e comprimentos diferentes.

1.2. Justifica que:

a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , mas ⃗⃗⃗⃗ ⃗

1.3. Identifica uma transformação geométrica que permite obter:

a) O triângulo a partir do triângulo .

b) O triângulo a partir do triângulo .

c) O triângulo a partir do triângulo .

d) O triângulo a partir do triângulo , por uma composição de isometrias.

1.4. Completa utilizando as letras da figura:

a) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

b) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

d) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

e) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

f) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

g) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

h) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗

i) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ (Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)

2. Indica um polígono que tenha apenas três eixos de simetria e um polígono que tenha apenas dois

eixos de simetria. Ilustra cada resposta com uma figura, onde assinales os eixos de simetria. (Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)

3. Indica, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:

3.1. Uma redução é uma isometria.

3.2. Uma semelhança pode ser uma ampliação, uma redução ou uma isometria.

3.3. Uma isometria é uma semelhança de razão 1.

3.4. As isometrias mantêm o comprimento dos segmentos e as amplitudes dos ângulos.

3.5. Uma ampliação não mantém o comprimento dos segmentos, mas mantém as amplitudes dos

ângulos. (Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)

4. Completa as figuras seguintes de acordo com as isometrias correspondentes:

4.1. Reflexão de eixo :

a) b)

4.2. Rotação de centro O e amplitude:

a) b)

5. Determina, em cada caso, o vetor soma dos dois vetores representados:

a)

b)

c)

(Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)

6. A Inês, depois de visitar um castelo, imaginou o seguinte friso.

Assinala com X a afirmação verdadeira:

O friso tem simetrias de translação.

O friso tem simetria de reflexão de eixo horizontal.

O friso tem simetrias de rotação (meia-volta).

O friso tem simetrias de reflexão deslizante.

(Retirado da Prova de Aferição de Matemática do 1º Ciclo - 2012)

Parte III – Exercícios e Problemas de dificuldade 2

7. Completa as figuras seguintes de acordo com as isometrias correspondentes:

7.1. Reflexão de eixo :

a) b)

7.2. Reflexão de eixos :

a) b)

8. é um paralelogramo dividido em nove paralelogramos congruentes.

8.1. Completa:

a) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

b) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

c) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

d) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

e) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

f) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

g) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗

h) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

i) ⃗⃗⃗⃗ ⃗( )

j) ( )

k) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

8.2. Desenha a imagem:

a) do triângulo 1 pela translação associada ao vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗;

b) do paralelogramos 2 pela rotação de centro e amplitude ;

c) do paralelogramos 2 pela translação associada ao vetor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.

8.3. Quantos eixos de simetria tem o paralelogramo [ADGJ]? (Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)

9. A figura seguinte representa um desenho de M. C.

Escher, um artista holandês que ligou a Arte à

Matemática.

9.1. Sendo o peixe A, o peixe original, identifica um

peixe que seja imagem de A:

a) por uma translação e indica o vetor associado;

b) por uma reflexão e indica o seu eixo;

c) por uma rotação;

d) por uma composição de duas translações e indica o vetor associado.

9.2. Identifica uma translação que aplique a figura nela própria. (Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)

10. De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas

seguintes, assinala a que não completa corretamente a afirmação que

se segue.

O quadrado [OHDE] é a imagem do quadrado [OFBG], através da

transformação geométrica definida por uma:

rotação de centro no ponto O e amplitude 180º.

rotação de centro no ponto O e amplitude –180º.

simetria axial de eixo AC.

simetria axial de eixo DB. (Retirado do Exame de Matemática do 3º Ciclo -2ª Fase - 2009)

11. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a

localização dos lavabos.

As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo.

Em cada uma delas, está desenhada uma reta r.

Em qual delas a reta r é um eixo de simetria?

(Retirado do Exame de Matemática do 3º Ciclo -1ª Fase - 2006)

Parte IV – Exercícios e Problemas de dificuldade 3

12. O polígono é um hexágono regular dividido em seis

triângulos equiláteros congruentes.

12.1. O que significa o hexágono ser regular?

12.2. Qual é a amplitude do ângulo ?

12.3. Indica:

a) a imagem de na rotação de centro e amplitude e a imagem de na rotação de

centro e amplitude .

b) a imagem de pela rotação de centro e amplitude .

c) a imagem do hexágono pela rotação de centro e amplitude .

Indica a amplitude do menor ângulo positivo de rotação que deixa o hexágono invariante.

d) a imagem do ponto na isometria ( ) ( )

Identifica outra isometria que te permita obter a mesma imagem final, a partir do ponto

.

12.4. Identifica uma isometria que transforme:

a) em ;

b) em ;

c) em . (Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)

13. A figura é um motivo retirado de um azulejo de uma parede do

palácio do Alhambra.

13.1. Desenha a imagem de associada à rotação do plano de centro

em e amplitude .

(Retirado das Brochuras de Geometria do NPMEB 3º ciclo)

14. Desenha o eixo de reflexão que permite transformar um dos polígonos no outro.

(Retirado das Brochuras de Geometria do NPMEB 3º ciclo)

15. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos.

Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos.

Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma

rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90º (sentido contrário ao dos ponteiros do

relógio)?

(Retirado do Exame de Matemática do 3º Ciclo -2ª Fase - 2006)

16. Em todas as alíneas, a figura B foi obtida da figura A por uma isometria. Identifica cada uma

das isometrias usadas.

a) b)

c) d)

(Retirado das Brochuras de Geometria do NPMEB 3º ciclo)

17. Com o que foste aprendendo sobre isometrias, analisa cuidadosamente cada uma das

transformações anteriores e preenche o quadro que se segue, indicando as afirmações

verdadeiras e as falsas:

Verdadeiro Falso

Numa reflexão a imagem de um segmento de reta é sempre um

segmento de reta paralelo ao primeiro.

Numa reflexão a imagem de um segmento de reta é sempre um

segmento de reta de igual comprimento (congruente).

Numa reflexão a distância de um ponto ao eixo de reflexão é igual à

distância da sua imagem ao mesmo eixo.

Numa reflexão a imagem de um ângulo é sempre um ângulo de

igual amplitude.

Numa reflexão o sentido dos ângulos é preservado.

Toda a reflexão é uma semelhança.

Numa rotação a imagem de um segmento de reta é sempre um

segmento de reta paralelo ao primeiro.

Numa rotação a imagem de um segmento de reta é sempre um

segmento de reta de igual comprimento (congruente).

Numa rotação a distância de um ponto ao centro da rotação é igual

à distância da sua imagem ao mesmo centro.

Numa rotação a imagem de um ângulo é sempre um ângulo de igual

amplitude.

Numa rotação o sentido dos ângulos é preservado.

Toda a rotação é uma semelhança.

Numa translação a imagem de um segmento de reta é sempre um

segmento de reta paralelo ao primeiro.

Numa translação a imagem de um segmento de reta é sempre um

segmento de reta de igual comprimento (congruente).

Numa translação a distância de qualquer ponto à sua imagem é

sempre igual ao comprimento do vetor associado à translação.

Numa translação a imagem de um ângulo é sempre um ângulo de

igual amplitude.

Numa translação o sentido dos ângulos é preservado.

Toda a translação é uma semelhança. (Retirado das Brochuras de Geometria do NPMEB 3º ciclo)

18. Completa as palavras cruzadas e descobre a palavra

surpresa:

1. Figura que é transformada nela própria por meio de

uma translação;

2. Transformação geométrica associada a um vetor;

3. Transformação geométrica associada a um ponto

fixo e a uma amplitude de um ângulo;

4. Uma das características que fica invariante numa

isometria;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5. Transformação que não mantém a orientação dos ângulos;

6. Uma das características de um vetor;

7. O que se diz de dois segmentos de reta que têm o mesmo comprimento;

8. O nome que se dá à figura que se obtém por meio de uma transformação geométrica a

partir de outra;

9. Figura que se repete de forma regular e preenche completamente o plano.

(Retirado do Caderno de atividades “Matemática em Ação 8” da Lisboa Editores)