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UNIDAD 5: FUNCIONES ELEMENTALES I.4º ESO (MATEMÁTICAS B).

1

UNIDAD 5: FUNCIONES ELEMENTALES I.

Ejercicio nº 1.- Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:

x 4 3 1 1 3 5

y

a Indica el dominio de la función

b

¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son?

c

Indica los intervalos donde la función crece, decrece o esconstante.

Ejercicio nº 2.- Considera la siguiente gráfica correspondiente a una función:

a ¿Cuál es su dominio de definición?

b

¿Tiene máximo y m ínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son?

c ¿En qué intervalos crece y en cuáles decrece?

Ejercicio nº 3.- Observa la gráfica de la función y responde:


b ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?

c

Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Ejercicio nº 4.- Observa la gráfica de la función y responde:


b ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?

c

¿Para qué valores de x es creciente y para cuáles esdecreciente? ¿Y constante?

Ejercicio nº 5.- Dada la siguiente func ión mediante su representación gráfica,responde a las preguntas:

a

¿Cuál es su dominio de definición?

b

¿Es continua? Si no lo es, indica dónde es discontinua.

c

¿Cuáles son sus máximos y mínimos relativos?

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2

Ejercicio nº 6.- Una función, f , cumple las siguientes condic iones:

a

El dominio de definición son todos los valores de x

3.

b

Es continua en su dominio.

c Crece en el intervalo 2, 3 .

d Pasa por los puntos 0, 0 , 2, 3 y 3, 4 .

e

Es constante para todos los valores de x

2.

Ejercicio nº 7.- Representa gráficamente una función, f , que cumpla las siguientes condi ciones: a) Está definida en todo .

b) Es continua.

c) Corta al eje Y en 0, 6 , pero no corta al eje X.

d) Crece en

3, 0

y 3,

. Decrece en

,

3

y 0, 3

.

e

Su mínimo es 3, 1

, y pasa por el punto

3, 2

.

Ejercicio nº 8.- Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condi ciones:

a Dom f 5, 6

b Crece en los intervalos (5, 3) y 0, 6 ; decrece en el intervalo 3, 0 .

c


d

Corta al eje X en los puntos

5, 0

,

1, 0

y 4, 0

.

e Tiene un mínimo en 0, 2 y máximos en 3, 3 y 6, 3 .

Ejercicio nº 9.- Haz la gráfica de una función que cumpla:

a) Dominio de definición: 1 b) Corta al eje X en x

2, x

0 y x

4.

c) Crece en

,

1

y 0, 2

; y decrece en

1, 0

y 2,

d) Tiene un máximo relativo en 2, 3 .

Ejercicio nº 10.- La gráfica de una función t iene las siguientes características:

a

Dominio de definición:

0,

).

b

Crece en 0, 3

y 5,

; decrece en 3, 5

.

c El único punto de corte con los ejes es el 0, 0 .

d Tiene un máximo relativo en 3, 5 y un mínimo relativo en 5, 1 .

e

No hay ninguna discontinuidad.Representa dicha func ión.

Ejercicio nº 11.- Eduardo se va de vacaciones a una localidad si tuada a 400 km de su casa; para ellodecide hacer el recorrido en coche. La primera parada, de 30 minutos, la hace al cabo de hora ymedia para desayunar, habiendo realizado la mitad del recorrido. Continúa su v iaje sin problemasdurante 1 hora, pero a 100 km del final sufre una parada de 15 minutos. En total tarda 4 horas enllegar a su destino. Representa la gráfica tiempo-distancia recorrida.

Ejercicio nº 12.- Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado:

A las 0 horas, la temperatura de una casa es de 15 C y, por la acción de un aparato que controla la

temperatura, permanece así hasta las 8 de la mañana. En ese momento se enciende la calefacción yla temperatura de la casa va creciendo hasta que, a las 14:00 h, alcanza la temperatura máxima de 25

C. Paulatinamente, la temperatura disminuye hasta el momento en que se apaga la calefacción a

las 10 de la noche volviendo a coincidi r con la que había hasta las 8:00 horas.

Ejercicio nº 13.- Construye una gráfica que describa la siguiente situación: Rosa tardó, esta mañana, 20 minutos en llegar desde su casa al supermercado situado a 2 km de sucasa; después de 40 minutos comprando, regresó en taxi a su casa tardando 10 minutos en llegar.Tras permanecer 50 minutos en su casa, cogíó el coche para ir a una cafetería situada a 6 km, para locual tardó un cuarto de hora. Al cabo de hora y cuarto, volvió a coger el coche y regresó a su casa,tardando en esta ocasión media hora debido al tráfico.

Ejercicio nº 14.- Desde su casa hasta la parada del autobús, María tarda 5 minutos la parada está a

200 m de su casa ; espera durante 10 minutos, y al ver que el autobús tarda más de lo normal, decideir andando a su lugar de trabajo, situado a 1 km de su casa. Al cuarto de hora de estar andando y a

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3

300 m de su trabajo, se da cuenta de que el teléfono móvil se le ha olvidado en casa y regresa abuscarlo, tardando 10 minutos en llegar . Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa.

Ejercicio nº 15.- Construye una gráfica que corresponda a los ing resos anuales que obtienen unosgrandes almacenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde

marzo hasta junio los ing resos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En ju lio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en agosto. A parti r deentonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir, en diciembre, con los ingresosrealizados al comienzo del año.

Ejercicio nº 16.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

2a 2

5y x

3b

2y

5c

3y x

Ejercicio nº 17.- Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: 3

25

xy

Ejercicio nº 18.- Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de

coordenadas de la recta 5x 6y 2 0. Represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 19.- Dadas las sigu ientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas:

5a

2

xy

1b

2y

c 2 5 3x y

d 2 3 0y x

Ejercicio nº 20.- Representa las rectas siguientes:

a 3,5 1y x 5

b4

y 7

c2

y x

¿Qué relación hay entre las rectas a

y c

?

Ejercicio nº 21.- Observando las gráficas, indica cuál es la ordenada en el origen de las siguientesrectas y halla la ecuación de cada una de ellas:

Ejercicio nº 22.-

,

3Indica cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, 1) y 0 .2

A B

Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el or igen de coordenadas.

Ejercicio nº 23.- La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulorectángulo que se vé en la figura. Halla la expresión analítica de dicha función .

Ejercicio nº 24.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(5, 1). ¿Cuál es laordenada en el origen?

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4

Ejercicio nº 25.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 2) y es paralela a la recta 7x 2y 1 0.

Ejercicio nº 26.- Representa la siguiente función e indica su dominio:

1si 3

2

1 si 1 2

2 7 si 2 6

xx

y x

x x

Ejercicio nº 27.- Representa gráficamente la siguiente función :

2 si 1

2 4 si 1 1

6 si 1

x

y x x

x

Ejercicio nº 28.- Representa la función cuya expresión analítica es:

3 si 12

5 1 si 1 2

2 1 si 2

x

y x x

x x

Ejercicio nº 29.- Representa la siguiente función:

3 si 0

3 si 0 4

6 si 4

x x

y x

x x


2 si 1

1 si 1 2

0 si 2

x

y x x

x

Ejercicio nº 31.- Halla la expresión analítica de la función cuya gráfica es la sigu iente:

Ejercicio nº 32.- Halla la expresión analítica de la función representada:

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5

Ejercicio nº 33.- Observa la gráfica de la función f , completa la siguiente tabla de valores y halla suexpresión analítica:

x 35

2 1 0 1 3

y

Ejercicio nº 34.-Halla la expresión analítica de la función cuya gráfica es la sigu iente:

Ejercicio nº 35.-Halla la expresión analítica de la función representada:

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EJERCICIOS RESUELTOS.

Ejercicio nº 1.- Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:

x 4 3 1 1 3 5

y

a

Indica el dominio de la función

b

¿Tiene máximo y m ínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son?

c Indica los intervalos donde la función crece, decrece o esconstante.

Solución: Completamos la tabla:

x 4 3 1 1 3 5

y 8 5 2 2 0 0

a Dominio de definición: 4, 5

b Sí tiene máximo y mínimo:

El máximo está en el punto 4, 8.

El mínimo está en el punto 2, 4.

c Es creciente en el intervalo 2, 4.

Es decreciente en los intervalos 4, 2, 1, 2 y 4, 5.

Es constante en el intervalo 2, 1.

Ejercicio nº 2.-Considera la siguiente gráfica correspondiente a una func ión:


b ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son?

c

¿En qué intervalos crece y en cuáles decrece?Solución:

a Dominio de definición: 5,

b Sí tiene mínimo, pero no tiene máximo.

Tiene dos mínimos en los puntos 5, 0 y 0, 0.

c Es creciente en los intervalos 5, 3 y 0, .

Es decreciente en el intervalo 3, 0.

Ejercicio nº 3.-Observa la gráfica de la función y responde:


b

¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?

c

Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Solución:

3a) La función está definida para todo valor de .

2x

b Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y 0, 3

3 1 1 3 Con el eje , 0 , , 0 , , 0 y , 0 .

2 2 2 2X

c Intervalos de crecimiento: , 1 y 0, 1

3

Intervalos de decrecimiento: 1, 0 y 1,2

Ejercicio nº 4.-Observa la gráfica de la función yresponde:


b

¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?

c

¿Para qué valores de x es creciente y para cuáleses decreciente? ¿Y constante?

Solución:

a El dominio de definición es toda la rectareal.

b Los puntos de corte con los ejes son:

Con el eje Y 0, 3

Con el eje X 3, 0, 2, 0 y 4, 0

c La función es creciente en los intervalos

, 2 y 3, ; decreciente en elintervalo

0, 3, y constante en 2, 0.

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Ejercicio nº 5.- Dada la siguiente función mediante su representación gráfica, responde: a

¿Cuál es su dominio de definición?

b

¿Es continua? Si no lo es, indica dónde es discontinua.

c ¿Cuáles son sus máximos y mínimos relativos?Solución:

a El dominio de la función es el conjunto de todos los valores reales salvo x 3.

b No es continua en x 3 y x 1.

c Tiene un máximo relativo en el punto 0, 4.3

Tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa , y su valor es 2.2

Ejercicio nº 6.- Una función, f , cumple las siguientescondiciones:

a

El dominio de definición son todos los valores de x 3.

b


c

Crece en el intervalo

2, 3

.

d Pasa por los puntos 0, 0 , 2, 3 y 3, 4 .

e Es constante para todos los valores de x 2.

Solución:

Ejercicio nº 7.- Representa gráficamente una función, f , que cumpla las siguientes condi ciones:

a) Está definida en todo .

b) Es continua.

c) Corta al eje Y en 0, 6

, pero no corta al eje X.

d) Crece en 3, 0 y 3, .

Decrece en

,

3

y 0, 3

.

e

Su mínimo es 3, 1

, y pasa por el punto

3, 2

.

Solución:

Ejercicio nº 8.- Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condi ciones:

a

Dom f

5, 6

b Crece en los intervalos (5, 3) y 0, 6 ; decrece en el

intervalo 3, 0 .

c


d

Corta al eje X en los puntos

5, 0

,

1, 0

y 4, 0

.

e Tiene un mínimo en 0, 2 y máximos en 3, 3 y 6, 3 .

Solución:

Ejercicio nº 9.- Haz la gráfica de una función quecumpla:

a) Dominio de definición: 1

b) Corta al eje X en x 2, x 0 y x 4.

c) Crece en , 1 y 0, 2 ; y decrece en 1, 0 y

2,

d) Tiene un máximo relativo en 2, 3

.

Solución:

Ejercicio nº 10.- La gráfica de una función tiene las siguientes características:

a Dominio de definición: 0, ).

b

Crece en 0, 3

y 5,

; decrece en 3, 5

.

c

El único punto de corte con los ejes es el 0, 0

.

d Tiene un máximo relativo en 3, 5 y un mínimo relativo en 5, 1 .e No hay ninguna discontinuidad.Representa dicha func ión.

Solución:

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Ejercicio nº 11.- Eduardo se va de vacaciones a unalocalidad si tuada a 400 km de su casa; para ellodecide hacer el recorrido en coche. La primeraparada, de 30 minutos, la hace al cabo de hora ymedia para desayunar, habiendo realizado la mitaddel recorrido. Continúa su viaje sin problemasdurante 1 hora, pero a 100 km del final sufre unaparada de 15 minutos. En total tarda 4 horas en llegara su destino. Representa la gráfica tiempo-distanciarecorrida.

Solución:

Ejercicio nº 12.- Construye una gráfica quese ajuste al siguiente enunciado: A las 0 horas, la temperatu ra de una casa

es de 15 C y, por la acción de un aparatoque cont rola la temperatura, permanece asíhasta las 8 de la mañana. En ese momentose enciende la calefacción y la temperaturade la casa va creciendo hasta que, a las

14:00 h, alcanza la temperatura máxima de

25 C. Paulatinamente, la temperaturadisminuye hasta el momento en que se

apaga la calefacción a las 10 de la noche volviendo a coinc idir con la que habíahasta las 8:00 horas.

Solución:

Ejercicio nº 13.- Construye una gráfica que describa lasiguiente situación: Rosa tardó, esta mañana, 20 minutos en l legar desdesu casa al supermercado situado a 2 km de su casa;después de 40 minutos comprando, regresó en taxi asu casa tardando 10 minutos en llegar. Traspermanecer 50 minutos en su casa, cogíó el cochepara ir a una cafetería situada a 6 km, para lo cualtardó un cuarto de hora. Al cabo de hora y cuarto,volvió a coger el coche y regresó a su casa, tardandoen esta ocasión media hora debido al tráfico.

Solución:

Ejercicio nº 14.- Desde su casa hasta la parada del

autobús, María tarda 5 minutos la parada está a 200

m de su casa ; espera durante 10 minutos, y al verque el autobús tarda más de lo normal, decide irandando a su lugar de trabajo, situado a 1 km de sucasa. Al cuarto de hora de estar andando y a 300 m

de su trabajo, se da cuenta de que el teléfono móvi lse le ha olvidado en casa y regresa a buscarlo,tardando 10 minutos en llegar . Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa.

Solución:

Ejercicio nº 15.- Construye una gráfica quecorresponda a los ingresos anuales que obtienenunos grandes almacenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del año, aumentanpaulatinamente debido a las ofertas; desde marzohasta junio los ingresos van disminuyendoalcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En ju lio y agosto vuelven a crecer los ingresos,

alcanzando el máximo del año en agosto. A partir deentonces se produce un decrecimiento que llega acoincidir, en diciembre, con los ingresos realizadosal comienzo del año.

Solución: Esta es una posible gráfica quedescribe la situación anterior:

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Ejercicio nº 16.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

2a 2

5y x

3b

2y

5c

3y x

Solución:

a Hacemos una tabla de valores:

x 0 5

y 2 0

3 3b) Es una recta paralela al eje que pasa por 0, .

2 2y X

5

c) Pasa por el 0, 0 .3

y x

Basta dar otro punto para representarla:

Si x 3 y 5

Ejercicio nº 17.- Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: 3

25

xy

Solución:

1Observando que la pendiente de la recta es , lo más adecuado es tomar la escala en

25m

el eje X de 25 en 25.Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la escala más adecuada en el eje Y:

x 75 25 0 25 75

y 0 2 3 4 6

En el eje Y, tomamos la escala de 1 en 1.

Ejercicio nº 18.- Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de

coordenadas de la recta 5x 6y 2 0. Represéntala gráficamente.Solución:

Para calcular la pendiente, despejamos la y:

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10

5 2 5 15 6 2 0 6 5 2

6 6 6 3x y y x y x y x

5

La pendiente es .6

m

1

La ordenada en el origen es .3

n

Puntos de corte con los ejes:1

Eje 0,3

Y

X y

x y x x

Eje 02

5 6 2 0 5 2 05

2Luego , 0 es el punto de corte con el eje .

5X

Ejercicio nº 19.- Dadas las siguientes rectas, identifi ca cuáles son paralelas y represéntalas:

5a

2

xy

1b

2y

c 2 5 3x y

d 2 3 0y x

Solución: Calculamos la pendiente de cada una de ellas:

5 1 5 1

2 2 2 2a

x

y y x m

10

2 by m

3 2 2

2 5 3 5 3 25 5 5

cx y y x y x m

1 3 1

2 3 0 2 32 2 2

dy x y x y x m

Son paralelas la a y la d por tener la misma pendiente.Representamos ambas haciendo una tabla de valores:

5

a2

xy

x 11

y 3 2

y x 1 3

d2 2

x 3 1

y 0 1

Ejercicio nº 20.- Representa las rectas siguientes:

a 3,5 1y x 5

b 4y

7

c 2y x

¿Qué relación hay entre las rectas a y c ?Solución:

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11

a Hacemos una tabla de valores:

x 0 2

y 16

X

5b Es una recta paralela al eje que pasa por 0, .

4

7c

2y x

x 0 2

y 0 7

a y c son rectas paralelas, puesto que tienen la misma pendiente, m 3,5.

Ejercicio nº 21.- Observando las gráficas, indica cuál es la ordenadaen el origen de las sigu ientes rectas y halla la ecuación de cada una

de ellas: Solución:

Para calcular la ordenada en el origen, basta con observar el punto de

corte de cada una de las rectas con el eje Y: r 1 n1 1 r 2

n2 2 r 3 n3 1

Calculamos la pendiente de cada una de ellas:

r 1 m1 0

2 2

3 3

0 2 2 pasa por 0, 2 y 2, 0 1

2 0 2

3 0 1 1 2 pasa por 0, 1 y , 0

3 32 302 2

r m

r m

La ecuación de cada recta será:

r 1 y 1 r 2 y x – 23

21

3r y x

Ejercicio nº 22.-

,

3Indica cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, 1) y 0 .

2 A B

Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el origen de coordenadas.Solución:

1 2 Pendiente:

3 3

2

m

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12

Observamos que los puntos que nos dan son los puntos de corte con los ejes; concretamente, de A(0,

1) se obtiene que n 1.

2 Así, la ecuación de la recta es: 1

3y x

2

La recta paralela a la anterior que pasa por (0, 0) será:3

y x

Ejercicio nº 23.-La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulorectángulo que se vé en la figura. Halla la expresión analítica de dicha función .

Solución:

Como corta al eje Y en (0, 3), entonces, n 3.

3Pendiente:

4m

La ecuación de la recta es:

33

4y x

Ejercicio nº 24.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(5, 1). ¿Cuál es laordenada en el origen? Solución:

1 3 4Empezamos hallando su pendiente: 1

5 1 4m

Ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y cuya pendiente es m 1 y 3 + x 1

y x 4

La ordenada en el origen es n 4.

Ejercicio nº 25.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos

A(1, 3) y B(5, 2) y es paralela a la recta 7x 2y 1 0.Solución:

Empezamos calculando el punto medio del segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 2):

1 5 3 2 5 52 Punto medio: 2,2 2 2 2

x y P

La recta tiene la misma pendiente que 7x - 2y + 1 0 por ser paralelas:

7 1 72 7 1

2 2 2y x y x m

Ecuación de la recta pedida:

5 7

2 Ecuación en la forma punto-pendiente2 2

y x

Podemos simplificarla:

7 14 5 7 9

2 2 2 2 2y x y x

Ejercicio nº 26.- Representa la siguiente función e indica su dominio:

1si 3

2

1 si 1 2

2 7 si 2 6

xx

y x

x x

Solución:

Obtenemos una tabla de valores para el primer trozo de la función, que es la recta

1 para valores de 3 :

2

xy x

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13

x 3 5

y 2 3

El segundo trozo es la recta y 1 (función constante) en 1 x 2.

El último trozo es la recta y 2x + 7 si 2 < x < 6:

x 3 4 5

y 1 1 3

Dominio de definición: , 3 U 1, 6

Ejercicio nº 27.- Representa gráficamente la siguiente función :

2 si 1

2 4 si 1 1

6 si 1

x

y x x

x

Solución:

Obtenemos una tabla de valores para la

recta y 2x + 4 definida para 1 < x 1:

x 0 1

y 4 6

Los otros dos tramos son funciones constantes: y 2

definida para x 1; y 6 definida para x > 1.


3si 1

2

5 1 si 1 2

2 1 si 2

x

y x x

x x

Solución:

3 La recta para 1 es una función constante.

2y x

Representamos y 5x - 1 definida para 1 x 2:

x 1 2

y 4 9

Análogamente, representamos y 2x + 1 para x > 2:

x 3 4

y 7 9

Ejercicio nº 29.- Representa la siguiente función:

3 si 0

3 si 0 4

6 si 4

x x

y xx x

Solución:

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14

Obtenemos una tabla de valores para el primer trozo de la

función, que es la recta y x + 3 definida para x < 0:

x 1 3

y 2 0

El segundo trozo es la función constante y 3 definida en

0 x 4.

Sobre los mismos ejes, representamos el último trozo, la recta

y x - 6 definida para x 4:

x 4 6

y 2 0


2 si 1

1 si 1 2

0 si 2

x

y x x

x

Solución: El primer tramo de función es la función

constante y 2; igualmente, el último trozo

es y 0.

La recta y x + 1 está definida en

1 x 2:

x 1 0 1

y 0 1 2

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

Ejercicio nº 31.- Halla la expresión analítica de la función cuya gráfica es la sigu iente:

Solución:

Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas que formanla función:

Para x < 3, la recta es y = 2.

Para 3 x 5, la recta pasa por (3, 2) y (5, 1):

3 3 3 15 3 13

1 5 12 2 2 2 2 2

m y x y x y x

Para x > 5, la recta es y 1.

Así pues, la expresiónanalítica de esa función es:

2 si 3

3 13si 3 5

2 2

1 si 5

x

y x x

x

Ejercicio nº 2.- Halla la expresión analítica de la función representada:

Solución:

De cada tramo de la recta, buscamos la ecuación:

Para x < 0, la recta pasa por

(1, 0) y (3, 2):

21 1

2

m y x

Si 0 x 2, la recta pasa por (0, 1) y (2, 2):

3 3 31 1

2 2 2m y x y x

Para x > 2, la recta es y 2.

La expresión analítica de la función es:

1 si 0

31 si 0 2

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8/17/2019 ficha 3.pdf

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