7/18/2019 Ficha 14

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12º Ano 2003/041

Escola Secundária D. Inês de Castro - AlcobaçaMatemática 12º Ano - 2003/2004

Ficha de Trabalho 6: Triângulo de Pascal 

Triângulo de Pascal

Comecemos por dispor os valores de  pnC    em triângulo, da seguinte forma:

00C   

01C    1

1C   

02C    1

2C    2

2C   

03C    1

3C    2

3C    3

3C   

04C    1

4C    2

4C    3

4C    4

4C   

05C    1

5C    2

5C    3

5C    4

5C    5

5C   

..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

Calculemos os respectivos valores:

1

1 1 

1 2 1 

1 3 3 1 

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

.... .... .... .... .... .... ....

Observemos que: 

•  Cada linha começa e acaba em 1. 

•  Em cada linha, elementos igualmente afastados dos extremos são iguais.  

•  A partir da 2ª linha, cada elemento (com excepção dos extremos da linha) é igual à somados dois elementos imediatamente cima dele.

Por exemplo:   

24

23

13

C 

C C    +     

35

34

24

C 

C C    +  

•  A soma de todos os elementos da nésima linha do triângulo de Pascal é 2n.

Formalizando, tem-se:

Propriedade 1 : 00 1   IN nC C  n

nn∈∀==  

Propriedade2 : nk com IN k nC C  k n

n

k 

n≤∈∀=

− 0,  

Soma: 20

Soma: 21

Soma: 22

Soma: 23

Soma: 24

Soma: 25

Linha 0

Linha 1

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 5 

7/18/2019 Ficha 14

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12º Ano 2003/042

Propriedade3 : nk encom IN k nC C C  k n

k n

k n

≤≥∈∀+=  −

−

− 2,1

11  

Propriedade4 : 01210 2...   IN nC C C C C   n

nn

nnnnn

∈∀=+++++−

 

DemonstraçõesPropriedade1 :

( )1

!1!

!0!0!

0   =×

=−×

=n

nnnC n  

( )1

1!!

!0!!

!!! =

×=

×=

−=

nn

nn

nnnnC n

n  

Esta propriedade estabelece que: dado um conjunto com n  elementos, existe apenas um seusubconjunto com zero elementos (o conjunto vazio) e apenas um seu subconjunto com n 

elementos (o próprio conjunto).

Propriedade2 :

( ) !!

!

k k n

nC k 

n

×−=  

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!

!

!!

!

!!

!

k nk 

n

k nk nn

n

k nk nn

nC  k n

n

−×=

−×+−=

−×−−=

− 

Esta propriedade estabelece que: dado um conjunto com n elementos, existem tantossubconjuntos com k elementos, como com n - k elementos.

Propriedade3 :

( )( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

  ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )   k 

n

k 

n

k 

n

C k nk 

n

k nk 

nn

k nk 

k nk n

nevidênciaem pondok nk 

nk nnk k nk 

cmmk k n

n

k k n

n

k k n

n

k k n

nC C 

=−×

=−×

−×=

−×

−+×−=

−−×

−×−+−×=

−

×−−

−+

−×−

−=

×−−

−+

−×−−−

−=+

  −

−

−

!!

!

!!

!1

!!

!1

)!1(!!

!1!1)()(

)..(!!1

!1

!1!

!1

!!1

!1

!1!11

!11

1

1

 

Propriedade4 : Para esta propriedade vamos considerar um exemplo:

Consideremos o conjunto, { }d cba E  ,,,=  

Subconjuntos de E:

{ }

1

  { } { } { } { }   

4

,,,   d cba   { } { } { } { } { } { }           

6

,;,;,;,;,;,   d cd bcbd acaba   { } { } { } { }           

4

,,;,,;,,;,,   d cbd cad bacba   { }

1

,,,   d cba  

Subconjunto vazio: 104

=C   

Nº de subconjuntos com 1 elemento: 4!1

14

14

== A

C   

Nº de subconjuntos com 2 elementos: 6!2

24

24

== A

C   

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12º Ano 2003/043

Nº de subconjuntos com 3 elementos: 4!3

34

34

== A

C   

Nº de subconjuntos com 4 elementos: 1!4

44

44

== A

C   

Donde se conclui: 44

43

42

41

40

4 2=++++   C C C C C   

EXERCÍCIOS

1.  A soma de todos os elementos de uma linha do triângulo de Pascal é 32. Escreve essalinha.

2.  Se o terceiro elemento de uma linha do triângulo de Pascal é 120, qual é o penúltimoelemento dessa mesma linha?

3.  O produto dos dois primeiros elementos de uma linha do triângulo de Pascal é igual a 32.Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?

4.  1011997

1001997

C C    +   é igual a:

(A)  1011998

C    (B) 1001996

C    (C) 2011997

C    (D) 2011998

C   

5.  O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19 600.A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876.Qual é o terceiro número da linha seguinte?

(A) 2 634 (B) 2 193 (C) 1 581  (D) 1 275

6.  Considere duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem algunselementos:

....... 36 a 126 .............. 120 b ......

Indique o valor de b.

(A) 164 (B) 198 (C) 210  (D) 234

7. a b c d e f g   representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos oselementos estão substituídos por letras.Qual das seguintes igualdades é verdadeira?

(A) 36C c=   (B) 3

7C c=   (C) 2

6C c=   (D) 2

7C c=  

8. O penúltimo número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 10.Qual é o terceiro número dessa linha?

7/18/2019 Ficha 14

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12º Ano 2003/044

(A) 11  (B) 19  (C) 45  (D) 144

9. Os quatro primeiros números de certa linha do Triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165;então os três últimos números da linha seguinte são

(A) 36, 24 e 12  (B) 66, 12 e 1(C) 220, 66 e 12 (D) 24, 12 e 1 

10. Uma certa linha do triângulo de Pascal tem quinze elementos.Qual é o sexto elemento dessa linha?

(A) 514

C    (B) 515

C    (C) 614

C    (D) 615

C   

11. No Triângulo de Pascal, existe uma linha com onze elementos.Seja a  o maior número dessa linha.Qual é o valor de a  ?

(A) 510

C    (B) 610

C    (C) 511

C    (D) 611

C   

12. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 21.Qual é a soma dos três primeiros elementos dessa linha?

(A) 121  (B) 151  (C) 181  (D) 211 

13. Considera a linha do triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35.Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha.Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais?

(A) 2

35

1

C   (B)

236

18

C   (C)

235

19

C   (D) 

236

35

C  

SOLUÇÕES

1. 1 5 10 10 5 1; 2. 16; 3. 528; 4.A; 5.D; 6.C; 7.C; 8.C; 9.B; 10.A; 11.A; 12.D; 13.B