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FGE0270 – Eletricidade e Magnetismo I

Lista de exercícios 5 – 2009

1. Quando a velocidade de um elétron é v = (2,0x106m/s)i + (3,0x10

6m/s)j , ele sofre ação de

um campo magnético B = (0,030T) i – (0,150T) j .(a) Qual é a força que atua no elétron ? (b)

Repita o cálculo para um próton com a mesma velocidade.

F = 6.24x10-14

N k (elétron) F = -6.24x10-14

N k (próton)

2. Os elétrons do feixe de um tubo de televisão têm energia cinética de 12 keV. O tubo está

orientado de maneira tal que os elétrons movem-se horizontalmente do sul ao norte

magnético. A componente vertical do campo magnético da Terra aponta para baixo e vale 55

µT. (a)Em que direção o feixe será desviado? (b) Qual é a aceleração dos elétrons devido ao

campo magnético? (c) Qual é o desvio do feixe quando se movimenta 20cm através do tubo ?

a) O feixe será desviado na direção O (oeste). b) A aceleração é m

vBea

||= sendo a

velocidade m

Ev c2

= c) O desvio para o lado oeste, depois de se movimentar uma distância L

= 0.2 m para o sul (norte magnético) é mv

BLeD

2

|| 2

= . Observação 1 kEV = 103 eV e 1 eV =

1.6x10-19

J.

3. Um fio horizontal de uma linha de transmissão transporta uma corrente de 5000 A de sul a

norte. O campo magnético terrestre na região é de 60 µT , aponta para o norte e está inclinado

para baixo formando um ângulo de 70º com a horizontal. Qual é a força magnética que atua

sobre 100 m de condutor?

A força aponta para o Oeste e tem módulo )70( 0ILBsenF = = 28,2 N

4. Uma espira de uma única volta transporta uma corrente elétrica de 4 A . Ela tem a forma de

um triângulo retângulo de lados a=50, b=120 e c=130 cm e está imersa numa região de

campo magnético uniforme de 75 mT paralelo ao seu lado maior. (a) Determine a força

magnética em cada um dos lados da espira. (b) Mostre que a força total na espira é nula.

a) e b) A força no lado c é nula, e nos lados a e b temos forças em sentidos opostos e de igual

módulo )38.67(IaBsenFa = e )62.22(IbBsenFb = Fa = Fb = 0.1384 N.

5. Uma corrente de 2,0 A percorre a bobina retangular de 50 espiras da Figura 1 com 4,0 e 8,0

cm de lados. Se o ângulo θ = 37°, escreva uma expressão para : (a) o vetor unitário n

2

perpendicular ao plano da bobina e (b) o momento de dipolo magnético µ da bobina. Na

presença do campo magnético uniforme B =1,5mT j calcule; (c) a força que atua em cada

lado, (d) a força resultante e (d) o torque que atua na bobina.

Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4

6. a) Um condutor reto e fino transportando uma corrente elétrica i divide-se em dois arcos

semicirculares idênticos de raio R, como na Figura 2. Qual é o campo magnético B no centro?

b) Repita o problema acima com um único arco, como na Figura 3.

a) o campo no centro é nulo, porque os campos produzidos por ambos semicírculos são de

módulos iguais e sentidos contrários; b) o campo produzido por um semicírculo pode ser

calculado pela lei de Biot-Savart 3

0

4 r

rldIBd

rrr ×

=π

µ, a direção de dB (

2

0

4 R

dlIdB

π

µ= ) no ponto

C da Fig. 3 é perpendicular ao papel e para dentro, e integrando obtemos R

IB

4

0µ= .

7. Calcule o campo magnético B no ponto C da Figura 4, centro comum dos dois arcos de

círculo MN e PQ de ângulos iguais θ e raios R1 e R2 , do circuito MNQP, em que flui a

corrente i.

Neste caso temos (são duas aplicações do exercício anterior)

−=

21

0 11

4 RR

IB

π

θµ

perpendicular ao papel e para dentro.

8. Cinco longos fios paralelos ao eixo x, situados no plano xy, transportam cada um uma

corrente de 3 A no sentido do vetor unitário i, como na Figura 5. Qual é a força total por

unidade de comprimento em cada um dos fios? A distância entre fios sucessivos é d = 8 cm.

A força, por unidade de comprimento em cada fio é 12

25

2

2

051

d

I

L

F

L

F

π

µ== ,

6

5

2

2

042

d

I

L

F

L

F

π

µ== e

F3 = 0.

3

9. O longo fio reto da Figura 6 transporta uma corrente de 10 A e a espira retangular uma

corrente de 20 A. Calcule a força total que atua na espira. Considere a = 1cm, b = 6 cm e L =

15 cm.

A força resultante é para cima (na figura 6) e de módulo 22

210 2

2 ba

baLIIF

+

+=

π

µ

10. Todos os fios longos e paralelos da Figura 7 são perpendiculares à página e transportam

correntes elétricas de 1 A entrando ou saindo. A figura também mostra alguns caminhos

fechados de integração. Calcule a circuitação do campo total B para cada um deles.

Correntes positivas para dentro da página, porque o sentido de circulação das curvas é

horário. Então: iCC 01µ−= , iCC 02

2µ= , iCC 02

3µ= , 0

4=CC

Fig.5 Fig.6 Fig.7

11. Um longo cilindro condutor oco de raios interno b e externo a transporta uma corrente I

uniformemente distribuída, saindo da página, como mostra a Figura 8. Encontre a

dependência do campo magnético B com distância radial r para br ≤ , arb << e ar ≥ .

B = 0 para br ≤ ; φπ

µ ˆ2 22

22

0

−

−=

ba

br

r

IB para arb << ; φ

π

µ ˆ2

0

r

IB = para ar ≥ .

12. Um cabo coaxial, visto em corte na Figura 9, é formado por dois condutores cilíndricos

transportando correntes I em sentidos opostos, sendo que no condutor interior a corrente está

saindo da página. Encontre a dependência do campo magnético B com distância radial r

para cr ≤ , brc << , arb <≤ e ar ≥ .

φπ

µ ˆ2 2

0

c

IrB = para cr ≤ , φ

π

µ ˆ2

0

r

IB = para brc << , φ

π

µ ˆ2 22

22

0

−

−=

ba

ra

r

IB para arb <≤ , e B

= 0 para ar ≥ .

4

Fig.8 Fig.9

13. Uma espira plana com 8,00 cm2 de área consistindo de uma única volta de fio é perpendicular

a um campo magnético que aumenta uniformemente em módulo de 0,50 T para 2,50 T em

1,00 s. Qual é a corrente induzida na espira se ela tiver uma resistência de 2,00 Ω?

Iind = 8x10-4

A

14. Uma espira retangular de largura w = 10,0 cm e comprimento L = 100 cm e um fio longo e

reto repousam sobre uma mesa como mostra a Figura 10. A distância entre o fio e o lado mais

próximo da espira é h = 1,00 cm. Pelo fio passa uma corrente que varia no tempo na forma

I(t) = bt, onde b = 10,0 A/s. (a) Determine o fluxo do campo magnético do fio através da

espira. (b) Determine a fem induzida na espira. Qual é o sentido da corrente induzida?

a) )ln()(2

0

hwh

B LtI +=Θπ

µ; b) )ln(

2

0

hwh

ind bL +−=π

µε , o sentido da corrente será antihorário.

Fig.10 Fig.11 Fig.12

15. Considere novamente a Figura 10 e repita o problema anterior mas supondo agora que no fio

passa uma corrente alternada na forma ) ( )( 0 tsenItI ω= , com I0 = 50,0 A e ω = 200π rad/s.

Determine a fem induzida no enrolamento pelo campo magnético do fio.

a) )ln()(2

0

hwh

B LtI +=Θπ

µ; b) )cos()ln(

20

0 tLIh

whind ωω

π

µε +−= , agora a corrente é alternada.

16. A bobina toroidal esquematizada na Figura 11 é constituída de N espiras muito próximas

entre si. Considerando que o raio da seção circular r é muito menor que o raio do círculo

central R, o módulo do campo magnético pode ser considerado uniforme ao longo da seção

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circular. Usando esta aproximação, mostre que a auto-indutância é R

ANL

2

2

0

π

µ≈ , onde

2 rA π= é a área da seção circular.

17. A bobina toroidal de seção retangular esquematizada na Figura 12 é constituída de N espiras

muito próximas entre si. Mostre que a sua auto-indutância é )/ln(2

2

0 abhN

Lπ

µ= .

18. As hélices de um helicóptero têm lâminas de 3,00 m de comprimento e giram a 120 rpm. A

componente vertical do campo magnético terrestre no local é de 50 µT. Qual é a fem induzida

entre a ponta de uma lâmina e o centro da hélice?

19. Considere a montagem esboçada na Figura 13. Suponha R = 6,00 Ω, l = 1,20 m e que na

região há um campo magnético uniforme e constante de 2,50 T apontando para dentro da

página. a) Com que velocidade a barra deve ser deslocada para produzir uma corrente de

0,500 A no resistor? b) Qual é a potência dissipada no resistor? c) Determine a força que deve

ser aplicada à barra para mantê-la se movendo com esta velocidade constante. d) Compare a

potência mecânica fornecida ao sistema com o resultado do ítem (b).

20. Um transformador é usado para transferir potência entre circuitos elétricos isolados entre si.

A Figura 14 esquematiza um transformador particular que consiste de uma bobina com 15

voltas de raio R = 10,0 cm em torno de um solenóide com 2,00 cm de raio e 1000 espiras/m.

(a) Qual é a indutância mútua entre os dois enrolamentos? (b) A corrente alternada pelo

solenóide varia no tempo como ) ( )( 0 tsenItI ω= , com I0 = 5,00 A e ω = 120π rad/s.

Encontre a fem induzida na bobina como função do tempo, ε(t).

Fig.13 Fig.14