Fenómenos de Transferência I_Resumos
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Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)
Principles of Unit Operations (S. Foust)
Capítulo 9 - Transporte Molecular e Turbulento
NOTAS:
“Praticamente todas as operações unitárias envolvem transporte de massa, calor e de momento. (…) A
velocidade de transporte de massa é um importante factor na determinação do estado eficientemente, o
qual deve ser conhecido para determinar o número de estados necessários para um processo de separação
dado.”
“O Transporte Molecular depende do movimento individual de moléculas. O Transporte Turbulento resulta
do movimento de grupos moleculares. (…) transporte é um termo habitualmente que se refere a um
mecanismo fundamental que decorre numa fase única; o termo transferência refere-se a mudanças de
fase.”
“Transporte Molecular – Cada molécula de um determinado sistema tem uma certa quantidade de massa,
energia térmica e momento associado. (…) Os gases contêm relativamente poucas moléculas por unidade de
volume. Cada molécula tem poucas “vizinhas” com quem interagir, e as forças intermoleculares são fracas;
os líquidos, por outro lado, contêm uma concentração muito maior de moléculas por unidade de volume –
as forças intermoleculares são mais fortes. Consequentemente, o movimento molecular é muito mais
restrito nos líquidos.”
“Quando um sistema contém mais do que uma espécie química, transporte de massa pode ocorrer. Se a
concentração de uma espécie é maior numa região do sistema do que noutra região, o movimento
molecular converge para uma rede de transporte da espécie cuja concentração é maior numa região para
uma outra região onde a concentração em causa é menor (Difusão Molecular).”
“O transporte molecular de calor ocorre na passagem de uma região de temperatura mais alta para uma
região de temperatura mais baixa (Condução). (…) A energia (térmica) transmite-se por colisão de moléculas
em vibração em fases líquidas e em fases sólidas onde pouca ou nenhuma migração molecular ocorre. (…)
muitos líquidos e sólidos são excelentes condutores de calor, enquanto que os gases são maus condutores
de calor. Um condutor pobre é, geralmente, um bom isolante.”
“O Transporte de Momento ocorre em gases fluidos e em líquidos. (…) Por exemplo, um fluido num tubo
apresenta uma velocidade máxima no centro do tubo e uma velocidade nula nas extremidades do mesmo. O
momento é transportado de uma região de velocidade do fluido superior para outra com velocidade inferior
por intermédio de mecanismos de migração e de colisão. Num gás as forças intermoleculares são fracas e,
portanto, o transporte de momento pode ocorrer por migração e, subsequentemente, por colisão das
moléculas. Num líquido, as forças intermoleculares são fortes, logo é imperativo que se aplique uma força
substancial de modo a induzir a passagem do fluido. O que resulta é que a variação de transporte de
momento seja superior nos líquidos do que nos gases para o mesmo padrão de velocidade. O transporte
molecular de momento ocorrer em regime laminar.”
Existe, portanto, 3 tipos principais de transporte molecular: T. Massa. T. Calor e T. Momento
Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)
Equação Geral de Transporte Molecular
Para determinar tal modelo matemático é necessário um modelo físico postulado. Usemos, então, o modelo
simples do gás que foi proposto por J. C. Maxwell em 1860. O mesmo é baseado numa teoria cinética dos
gases extremamente simplificada.
1) O gás é constituído por moléculas que se representam por uma esfera de diâmetro σ.
2) Não ocorrem forças repulsivas ou atractivas entre as moléculas de gás.
3) O volume das moléculas é insignificante comparado com o volume entre as mesmas.
4) Todas as colisões entre as moléculas são perfeitamente elásticas.
5) Cada molécula move-se numa direcção completamente aleatória a uma velocidade de c.
6) Cada molécula move-se uma distância l entre colisões de outras moléculas.
7) O tempo requerido para uma molécula viajar a distância l à velocidade c designa-se por θ.
Θ =
8) O número de moléculas é grande o suficiente para estatisticamente promover valores médios
acerca das propriedades que podem ser usadas para descrever todas as moléculas.
Pelo facto das moléculas de moverem em todas as direcções possíveis, simplifica-se o cenário de
“distribuição espacial” em direcções paralelas aos eixos x, y e z. Como tal, 1/6 do número total de moléculas
desloca-se no sentido +x, 1/6 no sentido –x ….e por aí diante. (Ver figura abaixo).
“Moléculas individuais têm determinadas propriedades associadas. Estas propriedades são transferidas de
uma região de maior concentração para outra região de menor concentração (da propriedade). Exemplos de
tal propriedade de transferência incluem a energia térmica das moléculas, o momento das mesmas ou as
identidades químicas das moléculas numa mistura de dois componentes. Uma pequena porção de volume
de um gás modelo possui uma determinada concentração de uma das propriedades a transferir, sendo
designada pela letra Г.”
Г – Concentração de propriedade a transferir, em dimensões de quantidade de propriedade
transferida por unidade de volume de gás modelo.
Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)
Deste modo podemos definir o aumento da concentração de propriedade transferida numa distância x sob a
forma:
Gradiente
Transporte de Massa
“Se o gás modelo consistir em dois tipos diferentes de moléculas, pode ocorrer transporte de massa.
Considerando que um volume de uma determinada mistura gasosa possui 2 gases diferentes (a e b)
verificar-se-á transporte de massa se a concentração da fase gasosa não for uniforme.
Se a quantidade maior de gás a estiver presente num dado volume, as moléculas de a em questão
tenderão a migrar, num movimento molecular aleatório, para uma região vizinha de menor concentração de
a. Caso a diferença de concentração seja constante, um fluxo estacionário de gás a mover-se-á de uma
região de maior concentração para uma região de menor concentração.
À partida, o engenheiro está interessado, de facto, nas propriedades médias dos grupos de
moléculas, e é mais conveniente expressar-se a concentração em termos de moles/volume
Número de moles de a =
Para o Transporte de Massa…
ca (concentração de a) [SI=mol/m3]
Notação Geral para
o Gás Modelo
Notação Especifica (com dimensões)
Transporte de Massa Transporte de Energia Térmica
Transporte de Momento
Fluxo da propriedade a
transferir
Ψ
Na /A
(M/LyLzθ)
q/A
(H/LyLzθ)
τygc
(MLy /θ)/(LYLzθ)
Concentração da propriedade a
transferir
Г
ca
(M/LxLyLz) cp T
(H/LxLyLz) vρ
(MLY/θ)/(LxLyLz)
Proporcionalidade constante,
difusividade de transporte
δ= *l*c
D
(LX2θ)
α=k/ρcp
(Lx2θ)
ν=μ/ρ (Lx
2θ)
Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)
Assuma-se que a concentração varia linearmente do plano 1 para o plano 3. Dito de outro modo,
parte-se do princípio que o gradiente de concentração é constante, existindo um estado estacionário.
ψ=
Na = número de moles de a
A = Área de Transporte
= gradiente de concentração
= Fluxo de Massa do componente a
Uma vez que a expressão anterior é aplicada para o gás modelo, impera-se que se extenda a mesma
para gases, líquidos e sólidos reais. Como tal, a constante de proporcionalidade, , já não se aplica; neste
caso, usa-se o conceito de difusividade de massa, D, valor que se determina experimentalmente ou por
correlações empíricas. Assim, tem-se a denominada Lei de Fick:
É de apontar que em casos reais, como esta equação traduz, diz-se que o gás, liquido, ou sólido
difunde-se dum meio de maior concentração para um meio de menor concentração
NOTA: O mesmo se aplica para o componente b
Para gases ou líquidos reais (diluídos), os coeficientes de difusão são iguais! As velocidades de
difusão para os gases a e b estão interligados. A concentração total para uma mistura gasosa é dada por:
ct=ca+cb
Se a temperatura e pressão total forem constantes, o número total de moles por unidade de volume
é constante.
Logo, se existir um gradiente de concentração em a, também existe um gradiente de concentração
em b. Consequentemente, também se verifica um fluxo de massa para o componente b. Assim temos:
Na = -Nb
Aplicando a equação dos gases perfeitos, pa V = Na R T, podemos expressar a Lei de Fick em termos
de pressão parcial de a.
Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)
ca=
a b
As velocidades de transferência das duas espécies por transporte molecular são iguais em módulo e
simétricas entre si.
Transporte de Calor
Se as moléculas de um gás numa região possuírem maior energia térmica do que na região
vizinha, parte da energia térmica é transportada por movimento molecular aleatório de uma região de maior
energia térmica para uma região de menor energia térmica (também usualmente designada por calor).
Quanto maior a temperatura, maior a concentração de energia térmica. Por conseguinte, o calor
será transportado de uma região de maior temperatura para uma região de menor temperatura.
Г (concentração da propriedade a transportar) »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» ρ.cpT (J/m3)
É de apontar que a concentração de energia térmica no plano 1 pode ser diferente no plano 2 e, por
conseguinte, no plano 3.
(ρ.cpT)1 (ρ.cpT)2 (ρ.cpT)3
Por outras palavras, o comprimento l (analogia à “espessura de uma parede”), onde a
capacidade térmica é constante, assim como a velocidade e propagação pode variar. Por esse facto assuma-
se um “valor médio” para l e para c. Daí resulta…
Da mesma forma que se aplicou para o transporte de massa, para o caso de gases, líquidos e sólidos
reais, aqui também participa o conceito de difusividade – neste caso, o de difusividade térmica, α. Assim
tem-se…
Para a energia térmica …
Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)
No entanto, o mecanismo de transporte de calor difere do mecanismo de transporte de massa;
deste modo, α, geralmente, não apresenta os mesmos valores de em materiais reais. Daí recorrer-se à
noção de condutividade térmica, k ( α = ).
= Fluxo Térmico
= Gradiente Térmico
A condutividade térmica pode variar entre gases, líquidos e sólidos, na medida em que existe uma
grande diferença no mecanismo de transporte de calor nestas 3 fases físicas.
Transporte de Momento
“Se a velocidade do fluxo fosse constante em todas as divisórias (slabs), a concentração de momento
em cada divisória seria a mesma, e não ocorreria transporte de momento em rede de divisória para divisória.
No gás representado, as velocidades de fluxo nas divisórias diferem, como é indicado pelo comprimento
setas que representam o momento fluxo.
(…) No gás modelo, mc é uniforme através do elemento de volume, e o somatório dos mesmos
vectores é zero. Consequentemente, esse factor não contribui para o excesso de momento necessário ao
transporte de momento. Caso as velocidades de fluxo das divisórias não sejam iguais, um excesso de
momento pode existir numa divisória, comparando com outra.
(…) O gás modelo é considerado por fluir de maneira regular na direcção +y. Grupos de moléculas
fluem paralelamente com os planos xy e yz. Como tal, não existe movimento aleatório desde que se tenha
em conta um fluxo de um gás. De facto, as moléculas podem, individualmente, mover-se aleatoriamente.
Contudo, o “momento médio global” descreve uniformemente o sentido do fluxo. Este movimento
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macroscópico uniforme é designado de Fluxo Laminar; um fluxo macroscopicamente aleatório é referido
como Fluxo Turbulento.”
(para n moléculas)
=> Estado Estacionário (fluxo de momento constante); para o gás
modelo, a velocidade é constante!
Como, neste caso, tem-se…
A=
Contudo, o fluxo de momento não pode ser medido directamente, mas está relacionado com uma
força ou uma tensão de corte, actuando na fase do fluido.
v1>v2. Se as moléculas forem da divisória 1 para a divisória 2, assuma-se, em primeiro lugar, que as
mesmas têm de ser “desaceleradas” de modo que o momento seja distribuído para a divisória 2. A força em
questão actua no sentido de +y (Fy1) – força exercida na divisória 2 pela divisória 1. Reciprocamente, as
moléculas que efectuam o sentido div.2->div.1 são submetidas pela força –Fy2 de modo a serem aceleradas.
Fy1 = -Fy2 (Força de corte)
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τy (Tensão de Corte)
τy.gc = => Tensão de Corte entre as divisórias!
É de apontar que a tensão de corte que actua num plano é igual ao fluxo de momento em rede ao
longo do mesmo plano. Em consequência, a tensão de corte na direcção +y (τy.gc) pode ser substituída pelo
fluxo de momento na direcção +x. Assim…
Para gases e liquidos reais, constante de proporcionalidade, , presente no gás modelo, é
substituída pelo factor empiricamente ν (difusividade de momento).
τy.gc =
=
Para uma viscosidade absoluta, μ=νρ temos…
τy.gc = => Lei de Newton
Fluido Newtoniano => μ é constante independentemente da variação do gradiente de velocidade
Fluido Não-Newtoniano => μ varia ao mesmo tempo que o gradiente de velocidade também varia.
Transporte nos Líquidos
“A teoria cinética dos gases tem sido tão positivamente desenvolvida que a informação disponível
correspondente pode ser facilmente generalizada; além disso, as previsões acerca das propriedades a
transportar podem ser determinadas com rigorosa coerência. No entanto, a teoria cinética dos líquidos não
é tão bem organizada, de tal modo que nenhuma teoria foi singularmente aceite pela comunidade
científica”. Um factor claramente responsável por tal facto, é o perfil que, geralmente, caracteriza um líquido
– onde a estrutura molecular do líquido é complexa e as moléculas estão, de tal modo próximas entre si que
as forças intermoleculares são fortes e, portanto, não são desprezáveis.
“(…) Os líquidos são muito menos compressíveis que os gases (por não apresentarem tão grande
número de espaços vazios entre as moléculas) porém, uma pequena concentração de espaços vazios pode
ser suportada sob pressões elevadas.”
“ Uma molécula pode migrar para um buraco (espaço vazio), o que promove força suficiente para
ultrapassa a “resistência” das forças intermoleculares (atractivas). Por migração, a molécula cria um novo
Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)
buraco, que pode ser preenchido por outra molécula. Daí, a migração molecular é possível, mas a uma
velocidade muito menor do que nos gases, devido à enorme resistência da migração nos líquidos”
Líquidos migração restrita dificulta o transporte molecular de massa
Na medida em que uma molécula pode colidir com uma vizinha, a primeira pode transmitir energia
térmica sem sair da sua posição. Isto é, portanto, um mecanismo de transporte de calor. Para causar um
fluxo num liquido, uma força relativa forte tem que ser aplicada para se sobrepor às forças intermoleculares
fortes. Como resultado, o coeficiente de transporte de momento é mais alto nos líquidos do que nos gases.”
Fluidos Não-Newtonianos
“A viscosidade newtoniana é independente do gradiente de velocidade, dv/dx, assim como o tempo
de aplicação de corte. Se a viscosidade variar com o gradiente ou com o tempo de corte, o fluido é
denominado de fluido não-newtoniano.” Em geral os líquidos, gases e, em geral, misturas de baixo peso
molecular entram na gama dos fluidos newtonianos; já as misturas que apresentam um elevado peso
molecular traduzem os fluidos não-newtonianos.
“Os fluidos não-newtonianos combinam características dos sólidos e dos líquidos.”
Transporte
de Massa
de Calor
de Momento
é transportado… de região de maior concentração p/região de menor
concentração
é transportado… de região de maior temperatura p/ região de menor
temperatura
é transportado… de região de maior velocidade p/ região de menor
velocidade
Lei de Fick
Lei de Fourier
Lei de Newton
τy.gc =
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Unidades Típicas
Símbolo Definição Dimensões Unidades Britânicas
Métricas (cgs)
Sistema Internacional
Na Variação de transporte de
massa
M/θ lb mole / hr mol/s
q Variação de Transporte de
Calor
H/θ Btu/hr J/s
τy Tensão de Corte
F/LyLz lbf/ft2 N/m2
gc Constante Dimensional
MLj/θ2Fj 4.18x108 lb ft/hr2
lbf 1.0
A Área de transporte
LyLz ft2 kg m/Ns2
ca
Concentração M/LxLyLz
lb mole/ft3 m2
cp Capacidade Témica
H/MT Btu/lb ºF mol/m3
T Temperatura T ºF J/kg ºC
v Velocidade do fluido
Ly/θ ft/hr ºC ou K
k Condutividade Térmica
H/θLyLz(T/Lx) Btu/hr ft2 (ºF/hr) m/s
ρ Densidade M/ LxLyLz lb/ft3 J/s m2 (ºC/m)
μ Viscosidade MLx /LyLz θ lb/ft hr
δ Difusividade de transporte
generalizado
Lx2/ θ ft2/hr cm2/s m2/s
D
Difusividade de Massa
Lx2/ θ ft2/hr cm2/s m2/s
α Difusividade Térmica
Lx2/ θ ft2/hr cm2/s m2/s
ν Difusividade de Momento
Lx2/ θ ft2/hr cm2/s m2/s