FELIPE COSTA TEIXEIRA -...

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

FELIPE COSTA TEIXEIRA

ANÁLISE NUMÉRICA DO FENÔMENO DE FLAMBAGEM EM BARRAS SOB COMPRESSÃO CENTRADA, FORMADAS POR MATERIAIS COMPOSTOS,

EM SEÇÕES TRANSVERSAIS TIPO “I” E TUBULAR CIRCULAR

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

LONDRINA 2019




Trabalho de Conclusão de Curso de graduação, apresentado à disciplina Trabalho de Conclusão de Curso 2, do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR, como requisito parcial para a obtenção do título de Bacharel. Orientador: Prof. Dr. Diego Amadeu Furtado Torres

Londrina 2019

TERMO DE APROVAÇÃO



por


Este Trabalho de Conclusão de Curso foi apresentado(a) em 12 de dezembro

de 2019 como requisito parcial para a obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Mecânica. O(a) candidato(a) foi arguido pela Banca Examinadora

composta pelos professores abaixo assinados. Após deliberação, a Banca

Examinadora considerou o trabalho aprovado.

__________________________________ (Prof. Dr. Diego Amadeu Furtado Torres)

Prof.(a) Orientador(a)

___________________________________ (Prof. Dr. João Luiz do Vale)

Membro titular

___________________________________ (Prof. Dr. Jederson da Silva)

Membro titular

- O Termo de Aprovação assinado encontra-se na Coordenação do Curso -

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Londrina

Diretoria do Campus Londrina Departamento de Engenharia Mecânica

Engenharia Mecânica

Dedico este trabalho primeiramente à Deus, por ser essencial em minha vida, autor do meu destino, meu guia, socorro presente na hora da angústia, ao meu

pai Isaltino, minha mãe Tania, e meu irmão Mateus.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente à Deus, por ter me proporcionado todas as condições para que pudesse concluir esta etapa da minha vida.

Agradeço aos meus pais Isaltino e Tânia, pela dedicação e pela dedicação de estar fazendo sempre o melhor possível para que eu tivesse uma boa formação, e meu irmão Mateus, pois eles estiveram presentes em toda esta jornada, tendo um papel principal de apoio e suporte.

Ao meu orientador Prof. Dr. Diego Amadeu Furtado Torres pela paciência e pelo empenho em querer transmitir o conhecimento para que este trabalho pudesse ser realizado.

Aos meus colegas Clayson Morikawa, João Sesti, Guilherme Morete, Willian Faria, Rafael Oliveira, e entre tantos outros, que estiveram junto comigo nesta batalha, e que também tiveram papel fundamental em minha formação.

À minha namorada Bruna Narumi Branco Miura, que deixei de estar presente em tantas ocasiões para me esforçar na faculdade, e que sempre foi compreensiva e me apoiou.

Enfim, a todos os que por algum motivo contribuíram para a realização desta pesquisa.

“Cada descoberta nova da ciência é uma porta nova pela qual encontro mais uma vez Deus, o autor dela”. (Albert Einstein)

RESUMO TEIXEIRA, Felipe Costa. Análise numérica do fenômeno de flambagem em barras sob compressão centrada, formadas por materiais compostos, em seções

transversais tipo “i” e tubular circular. 2019. 168 f. Trabalho de Conclusão de

Curso (Graduação) – Engenharia Mecânica. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Londrina, 2019. Devido à necessidade de se desenvolver materiais mais resistentes e mais leves surgiram os materiais compostos, que são aplicados em diversas áreas da engenharia como, por exemplo, aeronáutica, mecânica, naval, civil entre outras. O presente trabalho dedica-se à utilização do Método de Elementos Finitos, através do software ANSYS, objetivando a previsão do comportamento de elementos estruturais comprimidos em relação à flambagem, tanto local como global. São considerados materiais compostos ortotrópicos (plástico reforçado com fibra de vidro), e pretende-se avaliar a influência de parâmetros geométricos, da sequência de laminação, e da orientação de reforços, na obtenção de cargas críticas de flambagem. Estas cargas críticas são facilmente determinadas para perfis de material isotrópico, no entanto, para materiais compostos, as equações não são triviais, e necessitam ser modificadas, sendo frequentemente desenvolvidas através de correlações com dados experimentais. Neste trabalho, foram utilizados dois tipos de elementos nas modelagens numéricas: o SHELL 181, que utiliza formulação bidimensional, e o elemento SOLID 46, que utiliza formulação tridimensional. Esta comparação foi realizada com o propósito de se verificar os erros obtidos com diferentes estratégias de modelagem, considerando-se dados experimentais da literatura. Uma vez escolhida a estratégia de modelagem, observou-se que para modos de flambagem locais em vigas “I”, o melhor desempenho ocorre no caso de sequência de laminação [SF ROV CSM CSM ROV SF], sendo as lâminas SF orientadas a [45º / -45º] nas mesas e [ 90º / -90º ] na alma. Já para os modos de flambagem locais em tubos de seção circular, a melhor sequência de empilhamento também foi a [ SF ROV CSM CSM ROV SF], com o reforço SF a [90º / -90º]. Para modos globais, o único módulo elástico relevante na resposta da carga crítica é a constante elástica de membrana paralela ao comprimento da peça, visto que para todos os casos onde se manifestaram modos globais, a melhor angulação de reforço tipo SF foi a [0º / 0º]. Em se tratando de modos locais, os erros relativos apresentados entre o MEF e métodos analíticos e semi-analíticos foram relativamente baixos somente para algumas faixas estreitas de angulação do reforço tipo SF. Já para modos globais, os erros em geral são menores, indicando maior concordância entre as várias fontes de dados disponíveis e os resultados numéricos alcançados neste trabalho. Palavras-chave: Flambagem. Plástico Reforçado com Fibra de Vidro (PRFV). Viga I. Tubo de seção circular. Materiais Compostos.

ABSTRACT

TEIXEIRA, Felipe Costa. Numeric analysis of the buckling phenomenon in bars under centered compression, formed by composite materials, in transversal section “I” type and circular tubular. 2019. 168 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) – Engenharia Mecânica. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Londrina, 2019. Composite materials have emerged due to the need of developing stronger and lighter materials. They are applied in several engineering branches such as aeronautics, mechanics, naval, civil among others. The present work is dedicated to the use of the Finite Element Method, through the ANSYS software, aiming to predict the behavior of compressed structural elements in relation to buckling, both local and global. Orthotropic composite materials (glass fiber reinforced plastic) are considered, and it is intended to evaluate the influence of geometrical parameters, the lamination sequence, and the orientation of reinforcements, in obtaining critical buckling loads. These critical loads are easily determined for isotropic material profiles, however for composite materials the equations are not trivial and need to be modified and are often developed through correlations with experimental data. In this work, two types of elements were used in numerical modeling: SHELL 181, which uses two-dimensional formulation, and SOLID 46, which uses three-dimensional formulation. This comparison was performed with the purpose of verifying the errors obtained with different modeling strategies, considering experimental data from the literature. Once the modeling strategy was chosen, it was observed that for local buckling modes in “I” beams, the best performance occurs in the case of stacking sequence [SF ROV CSM CSM ROV SF], with SF layers oriented at [45º / -45º] on the tables and [90º / -90º] in the web. For local buckling modes in circular section tubes, the best stacking sequence was also [SF ROV CSM CSM ROV SF], with SF reinforcement at [90º / -90º]. For global modes, the only relevant elastic modulus in the critical load response is the membrane constant parallel to the profile length, since for all cases in wich global modes have manifested, the best SF-type reinforcement angle was [0º / 0º]. For local modes, the relative errors presented between the FEM results and analytical and semi-analytical methods were relatively low only for some narrow variation ranges of SF-angle reinforcement. For global modes, errors are generally smaller, indicating greater agreement between the several data sources available and the numerical results achieved in this work. Keywords: Buckling. Glass Fiber Reinforced Plastic (GFRP). I Beam. Tube of circular section. Composite Materials.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Percentual de materiais compósitos utilizados na fabricação de estruturas

de aeronaves, de acordo com o ano de lançamento. ................................................ 21

Figura 2 - Componentes em material composto em aviões-caça. ............................. 22

Figura 3 - Componentes em material composto em automóveis. ............................. 22

Figura 4 - Parâmetros geométricos da seção transversal de uma viga I. .................. 24

Figura 5 - Flambagem local em viga I obtida por modelagem numérica através do

software ANSYS® ...................................................................................................... 25

Figura 6 - Flambagem local em tubo de seção circular obtida por modelagem numérica

através do software ANSYS® .................................................................................... 25

Figura 7 - Flambagem global por flexão em torno do eixo de menor inércia em viga I.

.................................................................................................................................. 26

Figura 8 - Flambagem global em tubo de seção circular através do software ANSYS®.

.................................................................................................................................. 27

Figura 9 - Representação do diagrama da classificação dos materiais compostos. . 30

Figura 10 - Esquema de configuração interna de um elemento pultrudado. ............. 31

Figura 11 - Arquitetura de uma seção transversal de pultrudado. ............................. 31

Figura 12 - Vidro nas formas típicas de reforço: roving, tecidos bidirecionais e mantas

de fibras longas e curtas. .......................................................................................... 32

Figura 13 - Reforço do tipo SF. ................................................................................. 33

Figura 14 - Composto laminado com várias direções de reforços. ............................ 33

Figura 15 - Linha de produção de elementos pultrudados reforçados com fibras. Fonte:

Pultrusão do Brasil (2018). ........................................................................................ 34

Figura 16 - Estantes de roving e mantas. Fonte: Fiberprofil (2019). ......................... 35

Figura 17 - Chapa-guia e câmara de impregnação. .................................................. 35

Figura 18 - Representação de algumas configurações das fibras em um material de

reforço. ...................................................................................................................... 38

Figura 19 - Torre de linha de transmissão de energia, Califórnia, EUA. ................... 39

Figura 20 - Análise microscópica de seção transversal próxima à região de ruptura de

um corpo de prova submetido a um ensaio de tração. .............................................. 44

Figura 21: Sistema de eixos de ortotropia. ................................................................ 45

Figura 22 - Abordagens para determinar cargas críticas de flambagem local: a) placas

discretas com condições simplesmente suportadas; b) placas discretas com bordas

rotativamente restringidas; e c) seção completa. ...................................................... 62

Figura 23 - Comprimento de flambagem 𝐿𝑒𝑓𝑓. ......................................................... 66

Figura 24 - Efeitos das condições nas bordas na flambagem local causando força

excêntrica. ................................................................................................................. 69

Figura 25 - Representação do gráfico de Southwell. ................................................. 70

Figura 26 - Sistema força deslocamento de uma mola. ............................................ 81

Figura 27 - Curva característica de análise linear. .................................................... 82

Figura 28 - Curva característica de análise não linear. ............................................. 83

Figura 29 - Curvas de flambagem. ............................................................................ 85

Figura 30 - Contextualização da instabilidade de perfis. ........................................... 86

Figura 31 - Elemento Shell 181. ................................................................................ 87

Figura 32 - Elemento Solid 46. Fonte: ANSYS® Documentation 2019. ..................... 88

Figura 33 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [CSM

ROV SF SF ROV CSM] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. .............................. 98

Figura 34 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [ROV

CSM SF SF CSM ROV] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. .............................. 99

Figura 35 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [ROV

SF CSM CSM SF ROV] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. ............................ 100

Figura 36 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [CSM

SF ROV ROV SF CSM] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. ............................ 101

Figura 37 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [SF

CSM ROV ROV CSM SF] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. ......................... 102

Figura 38 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [SF

ROV CSM CSM ROV SF] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. ......................... 103

Figura 39 - Carga crítica de flambagem local de mesa e alma para sequência [SF ROV

CSM CSM ROV SF] (100x75x6,4) comprimento = 100 cm. .................................... 105


CSM CSM ROV SF] (100x50x6,4) comprimento = 100 cm. .................................... 106

Figura 41 - Carga crítica de flambagem global com flexão em torno do eixo de menor

inércia para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF] (100x50x6,4) comprimento =

100 cm. ................................................................................................................... 107

Figura 42 - Carga crítica de flambagem global com flexo-torção para sequência [SF

ROV CSM CSM ROV SF] (100x50x6,4) comprimento = 100 cm. ........................... 108


CSM CSM ROV SF] (100x100x6,4) comprimento = 150 cm. .................................. 109

Figura 44: Carga crítica de flambagem local de mesa e alma para sequência [SF ROV

CSM CSM ROV SF] (100x100x6,4) comprimento = 200 cm. .................................. 110

Figura 45: Carga crítica de flambagem global com flexão em torno do eixo de menor

inércia para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF] (100x100x6,4) comprimento =

200 cm. ................................................................................................................... 111

Figura 46 - Carga crítica de flambagem global com flexo-torção para sequência [SF

ROV CSM CSM ROV SF] (100x100x6,4) comprimento = 200 cm. ......................... 112

Figura 47 - Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando

a equação (6.7) para viga I com reforço [SF ROV CSM CSM ROV SF] e geometria

(100x100x6,4) comprimento = 100 cm. ................................................................... 114

Figura 48 - Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando



Figura 49: Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando



Figura 50: Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando


(100x100x6,4) 200cm. ............................................................................................. 116

Figura 51 - Coeficiente de flambagem 𝑘, vs 𝐿/𝑏𝑤, para seções I ........................... 117

Figura 52 - Erro relativo de carga crítica de flambagem global com flexão em torno do

eixo de menor inércia, para viga I com reforço [SF ROV CSM CSM ROV SF] e

geometria (100x100x6,4) comprimento = 200 cm. .................................................. 118

Figura 53 - Erro relativo de carga crítica de flambagem global com flexo-torção, para

viga I com reforço [SF ROV CSM CSM ROV SF] e geometria (100x100x6,4)

comprimento = 200cm. ............................................................................................ 118

Figura 54 - Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM ROV SF SF ROV

CSM] espessura = 2,4 mm. ..................................................................................... 120

Figura 55 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM ROV SF SF ROV

CSM] espessura = 2,4 mm. ..................................................................................... 121

Figura 56 - Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM SF ROV ROV SF

CSM] espessura = 2,4 mm. ..................................................................................... 122

Figura 57 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM SF ROV ROV SF

CSM] espessura = 2,4 mm. ..................................................................................... 123

Figura 58 - Carga crítica de flambagem local para sequência [ROV SF CSM CSM SF

ROV] espessura = 2,4 mm. .................................................................................... 124

Figura 59 - Carga crítica de flambagem global para sequência [ROV SF CSM CSM SF

ROV] espessura = 2,4 mm. ..................................................................................... 125

Figura 60 - Carga crítica de flambagem local para sequência [SF ROV CSM CSM ROV

SF] espessura = 2,4 mm. ........................................................................................ 126

Figura 61 - Carga crítica de flambagem global para sequência [SF ROV CSM CSM

ROV SF] espessura = 2,4 mm. ............................................................................... 127

Figura 62: Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM ROV SF SF ROV

CSM] espessura = 7,5 mm. ..................................................................................... 128

Figura 63 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM ROV SF SF ROV

CSM] espessura = 7,5 mm. ..................................................................................... 129

Figura 64 - Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM SF ROV ROV SF

CSM] espessura = 7,5 mm. ..................................................................................... 130

Figura 65 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM SF ROV ROV SF

CSM] espessura = 7,5 mm. ..................................................................................... 131

Figura 66 - Carga crítica de flambagem local para sequência [ROV SF CSM CSM SF

ROV] espessura = 7,5 mm. ..................................................................................... 132

Figura 67 - Carga crítica de flambagem global para sequência [ROV SF CSM CSM SF

ROV] espessura = 7,5 mm. ..................................................................................... 133

Figura 68: Carga crítica de flambagem local para sequência [SF ROV CSM CSM ROV

SF] espessura = 7,5 mm. ........................................................................................ 134

Figura 69 - Carga crítica de flambagem global para sequência [SF ROV CSM CSM

ROV SF] espessura = 7,5 mm. ............................................................................... 135

Figura 70 - Erro relativo carga crítica de flambagem local para espessura = 7,5 mm.

................................................................................................................................ 136

Figura 71 - Erro relativo carga crítica de flambagem global para espessura = 7,5 mm.

................................................................................................................................ 137

LISTA DE SIMBOLOS

Alfabeto Grego

ɛ1 Deformação normal no eixo longitudinal (Eixo 1)

ɛ2 Deformação normal no eixo transversal (Eixo 2)

ɛ3 Deformação normal no eixo ortogonal à 1 e 2

𝛾1 Deformação cisalhante no eixo longitudinal (Eixo 1)

𝛾2 Deformação cisalhante no eixo transversal (Eixo 2)

𝛾3 Deformação cisalhante no eixo ortogonal à 1 e 2

𝜎1 Tensão normal no eixo longitudinal (Eixo 1)

𝜎2 Tensão normal no eixo transversal (Eixo 2)

𝜎3 Tensão normal no eixo ortogonal à 1 e 2

𝜎𝑓 Tensão normal na mesa para viga simplesmente apoiada

𝜎𝑤 Tensão normal na alma para viga simplesmente apoiada

𝜎𝑐𝑟𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙,𝐼−𝑓𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒

Tensão crítica de flambagem local na mesa

𝜆𝑚 Metade do comprimento de onda

𝜆𝑛 Comprimento de onda circunferencial

𝑣12 Coeficiente de Poisson no plano dado pelas direções 1 e 2

𝜈𝐿𝑇,𝑓 Coeficiente de Poisson no plano longitudinal da mesa

𝜈𝐿𝑇,𝑤 Coeficiente de Poisson no plano longitudinal da alma

𝜈𝑇𝐿,𝑓 Coeficiente de Poisson no plano transversal da mesa

𝜈𝑇𝐿,𝑤 Coeficiente de Poisson no plano transversal da alma

𝜌 Densidade da fibra do continuous strand mat

𝜌𝑐 Massa específica de um material composto

𝜌𝑓 Massa específica de fibras de um material composto

𝜌𝑚 Massa específica de matriz de um material composto

Alfabeto Latino

𝑎 Metade do comprimento de onda

𝐴𝑖𝑗 Coeficientes da matriz de comportamento em membrana

𝐴𝑤𝑒𝑏 Área da alma

𝐴𝑧 Área da seção transversal

𝑏𝑓 Largura de mesa de viga de seção I

𝐵𝑖𝑗 Coeficientes da matriz de acoplamento membrana/flexão-torção

𝑏𝑤 Altura de alma de viga de seção I

𝐷𝑖𝑗 Coeficientes da matriz de comportamento em flexão

𝐸 Modulo de Elasticidade

𝐸1 Módulo de Elasticidade longitudinal do composto

𝐸2 Módulo de Elasticidade transversal do composto

𝐸𝐶𝑆𝑀 Módulo de Elasticidade do continuous strand mat

𝐸𝑓 Módulo de Elasticidade longitudinal das fibras

𝐸𝑓1 Módulo de Elasticidade longitudinal das fibras

𝐸𝑓2 Módulo de Elasticidade transversal das fibras

𝐸𝐿,𝑓 Módulo de Elasticidade longitudinal da flange

𝐸𝐿,𝑤 Módulo de Elasticidade longitudinal da alma

𝐸𝑚 Módulo de Elasticidade longitudinal da matriz

𝐸𝑇,𝑤 Módulo de Elasticidade transversal da alma

𝐹𝑐𝑟 Força crítica de flambagem

𝐹𝑐𝑟𝑤,𝑆𝑆 Força crítica de flambagem na alma para viga simplesmente

apoiada

𝐹𝑐𝑟𝑓,𝐹𝑆 Força crítica de flambagem na mesa para viga engastada em uma

extremidade e livre na outra

𝐺12 Módulo de Coulomb referente aos planos 1 e 2

𝐺𝐶𝑆𝑀 Módulo de Coulomb do continuous strand mat

𝐺𝑓 Módulo de Coulomb das fibras pela Regra das Misturas

𝐺𝑓12 Módulo de Coulomb das fibras pela Regra das Misturas Modificada

𝐺𝐿𝑇 Módulo de Cisalhamento da seção

𝐺𝐿𝑇,𝑓 Módulo de Coulomb no plano longitudinal da flange

𝐺𝐿𝑇,𝑤 Módulo de Coulomb no plano longitudinal da alma

𝐺𝑚 Módulo de Coulomb da matriz

𝐻𝑖𝑗 Coeficientes da matriz de rigidez de cisalhamento transversal

𝐿𝑒𝑓𝑓 Comprimento efetivo da seção

𝑚𝑐 Massa total do composto

𝑚𝑓 Massa total das fibras de um material composto

𝑀𝑓 Fração mássica de fibras

𝑚𝑚 Massa total da matriz de um material composto

𝑀𝑚 Fração mássica de matriz

𝑁𝑥 Forças normais por unidade de comprimento no eixo x

𝑁𝑦 Forças normais por unidade de comprimento no eixo y

𝑝 Função do coeficiente de restrição elástica

𝑃𝑐𝑟 Carga crítica de flambagem global

𝑃𝑒𝑢𝑙𝑒𝑟 Carga crítica de flambagem da equação de Euler

𝑃𝑢 Carga última suportada pela peça

𝑞 Função do coeficiente de restrição elástica

𝑄𝑥 Força cisalhante na direção x

𝑄𝑦 Força cisalhante na direção y

𝑡𝐶𝑆𝑀 Espessura do continuous strand mat

𝑡𝑓 Espessura da mesa de viga de seção I

𝑡𝑤 Espessura da alma de viga de seção I

𝑇𝑥𝑦 Forças cisalhante por unidade de comprimento no plano xy

𝑣𝑐 Volume total de um material composto

𝜈𝐶𝑆𝑀 Coeficiente de Poisson do continuous strand mat

𝑉𝐶𝑆𝑀 Fração volumétrica do continuous strand mat

𝑣𝑓 Volume total de fibras de um material composto

𝑉𝑓 Fração volumétrica de fibras de um material composto

𝑣𝑚 Volume total da matriz de um material composto

𝑣𝑣 Volume total de vazios de um material composto

𝑉𝑣 Fração volumétrica de vazios

𝑤 Peso por unidade de área

𝑊𝑐 Peso total do material composto

𝑊𝑓 Peso total das fibras de um material composto

𝛾𝑐 Peso específico do material composto

𝛾𝑓 Peso específico de fibras do material composto

𝛾𝑥𝑧 Deformação cisalhante no plano médio em relação aos eixos x e z

𝛾𝑦𝑧 Deformação cisalhante no plano médio em relação aos eixos y e z

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 20

1.1 Tipos de flambagem e suas características ............................................. 24

1.1.1 Flambagem Local ......................................................................................... 24

1.1.2 Flambagem Global ....................................................................................... 26

1.2 Objetivo Geral ............................................................................................. 27

1.2.1 Objetivo Específico ....................................................................................... 27

2 JUSTIFICATIVA ........................................................................................... 29

3 CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS COMPOSTOS ................................... 30

3.1 Perfil pultrudado de resina reforçada com fibras .................................... 31

3.1.1 Elementos Pultrudados ................................................................................. 31

3.2 O processo de pultrusão ........................................................................... 33

3.2.1 Comportamento estrutural das fibras de vidro .............................................. 36

3.2.2 Comportamento estrutural da matriz ............................................................ 36

3.2.3 Materiais de reforço ...................................................................................... 37

3.3 Reforço de fibra de vidro (RFV) ................................................................. 38

4 PROPRIEDADES FÍSICAS E MECÂNICAS DE UMA LÂMINA DE

MATERIAL COMPOSTO REFORÇADO COM FIBRAS .......................................... 41

4.1 Considerações Iniciais ............................................................................... 41

4.2 Determinação das Propriedades Mecânicas ............................................ 42

4.2.1 Fração volumétrica de fibras ........................................................................ 43

4.2.2 Propriedades mecânicas de uma lâmina com fibras unidirecionais ............. 45

4.2.3 Propriedades mecânicas de uma lâmina reforçada com continuous strand mat

48

4.2.4 Coeficiente de Poisson ................................................................................. 49

5 COMPORTAMENTO MECÂNICO DE COMPOSTOS LAMINADOS ........... 50

5.1 Equações constitutivas para uma lâmina de material composto........... 50

5.2 Teoria clássica de placas laminadas ........................................................ 53

5.3 Teoria de Primeira Ordem .......................................................................... 56

6 METODOLOGIA........................................................................................... 59

6.1 Método analítico para determinação da carga crítica de flambagem em

viga I 59

6.1.1 Flambagem Local ......................................................................................... 61

6.1.2 Flambagem global por flexão ....................................................................... 64

6.1.1 Flambagem global por flexo-torção .............................................................. 66

6.1.2 Investigações experimentais anteriores relatadas na literatura .................... 67

6.2 Método analítico para cálculo da carga crítica de flambagem em tubo de

seção circular .......................................................................................................... 73

7 PRINCÍPIO DA APROXIMAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS .................. 78

7.1 Análise linear de estabilidade ................................................................... 81

7.2 Análise não linear de estabilidade ............................................................ 82

7.3 Análise linear e não linear ......................................................................... 84

7.4 Elemento Shell 181 ..................................................................................... 87

7.5 Elemento Solid 46 ....................................................................................... 88

8 VALIDAÇÃO DOS MODELOS NUMÉRICOS .............................................. 89

8.1 Perfil I ........................................................................................................... 89

8.1.1 Verificação do modelo numérico de viga I .................................................... 90

8.2 Tubo de Seção Transversal Circular ......................................................... 91

8.2.1 Validação dos modelos numéricos para tubo de seção circular ................... 93

9 RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................. 95

9.1 Definição das propriedades mecânicas utilizadas .................................. 95

9.2 Resultados para viga I ................................................................................ 96

9.3 Resultados para viga tubo de seção circular ......................................... 119

10 CONCLUSÃO............................................................................................. 138

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 141

20

1 INTRODUÇÃO

O interesse em utilizar materiais compostos está ligado a dois fatores:

econômico e performance, visto que o material composto apresenta uma alta

resistência e baixo peso específico, e, consequentemente, economizando

combustível, como a indústria automobilística, aeronáutica e aeroespacial. A redução

da massa total do produto pode chegar a 30% ou mais (PEREIRA, J. C., 2006), em

função da aplicação do material composto.

A performance vem da fácil adequação dos materiais compostos a várias

aplicações. Em particular, os plásticos reforçados com fibras (PRF) são muito bem

aplicados para: ambientes quimicamente corrosivos, ambientes onde podem haver

abalos sísmicos, aplicações em baixas e altas temperaturas, devido a sua resistência

mecânica a baixas temperaturas, e o baixo coeficiente de expansão térmica a altas

temperaturas, além de ter características decorativas (MOSALLAM, 2002).

Os materiais compostos reforçados com fibras são materiais resultantes da

junção de uma matriz plástica com reforços de fibras. As fibras mais utilizadas na

indústria são as fibras de vidro, de carbono e de aramida (kevlar), além das menos

usuais, como é o caso da fibra de boro e alumínio oxidado (MALLICK apud

NAGAHAMA, 2003). O primeiro material composto reforçado com fibras que se tem

conhecimento, foi produzido à partir de uma matriz de argamassa com fibras naturais,

que é de grande interesse econômico para o Brasil.

Os compostos surgiram da necessidade de redução de peso, preservando a

resistência e robustez dos componentes estruturais (PEREIRA, J. C., 2006). Por isso

foram empregados primeiramente na área aeronáutica, o peso é um fator

importantíssimo no desempenho das aeronaves. A Figura 1 mostra a evolução da

utilização de materiais compostos na indústria aeronáutica comercial.

21

Figura 1 - Percentual de materiais compósitos utilizados na fabricação de estruturas de

aeronaves, de acordo com o ano de lançamento. Fonte: Ren et al., (2017).

Atualmente já está mais difundida a aplicação deste tipo de material em várias

partes das aeronaves em substituição aos materiais metálicos, como: fuselagem,

spoilers, portas de trem de aterrisagem, portas internas, etc (GAY, 2015; CAMPBELL,

2006; SHACKELFORD, 2008). Normalmente estes compostos são fabricados de uma

maneira diferente da abordada neste trabalho (processo de pultrusão), pois são

fabricados em uma placa de baixa densidade, contra-placadas (colada sob forte

pressão) por placas finas de alta resistência. Esta configuração geralmente é

denominada de sanduíche, porém não deixa de ser um composto, visto que combinam

diferentes materiais. A Figura 2 mostra partes de uma aeronave onde são utilizados

materiais compostos.

22

Figura 2 - Componentes em material composto em aviões-caça.

Fonte: Pereira (2005).

Outra aplicação bastante utilizada, porém bem mais recente, é dentro da

indústria automobilística. Inicialmente, eram produzidos somente para-choques e

tetos de automóveis. O material composto é utilizado para fabricação de capôs,

carters de óleo, colunas de direção, árvores de transmissão, molas laminadas,

painéis, etc. (PEREIRA, 2005, p. 6).

Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos

materiais compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças

com superfícies complexas (PEREIRA, 2005, p. 6). A Figura 3 aponta diversas partes

de um veículo onde são empregados materiais compostos.

Figura 3 - Componentes em material composto em automóveis. Fonte: Pereira (2005).

O material composto na indústria automobilística começou a ser empregado à

partir de uma atividade esportiva, a Fórmula 1, considerada um laboratório de

23

inovações tecnológicas para a indústria automobilística, onde o que se emprega

muitas vezes será utilizado futuramente em carros de passeio (PEREIRA, J. C., 2006).

Ademais, neste caso a relação peso/potência é fundamental para um bom

desempenho.

O composto também é muito empregado em variadas atividades esportivas,

onde a redução de peso resulta em melhor desempenho no quesito redução de tempo.

Exemplos disso são: barcos a vela, skis, bicicletas, etc.. Além disso se procura

também agilidade e precisão, como nas raquetes de tênis, tacos de golfe e pranchas

de surfe.

O fenômeno físico que será observado no presente trabalho será a flambagem,

que ocorre em peças esbeltas (peças onde a área de seção transversal é pequena

em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão

axial. A flambagem ocorre quando a peça sofre deslocamentos laterais devido à

compressão axial. Este fenômeno é considerado uma instabilidade elástica, assim, a

peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha experimentado algum

tipo de ruptura. A deflexão lateral ocorrerá geralmente em um plano perpendicular ao

eixo de menor inércia da seção transversal.

A carga crítica para a ocorrência da flambagem não depende do limite de

resistência à compressão do material, mas de seu módulo de elasticidade 𝐸 (BEER e

JOHNSTON, 1996). Para vigas de seção maciça, o único modo de flambagem que

ocorre é a chamada flambagem global, onde a instabilidade se dá ao longo de todo o

comprimento da peça. Já em vigas de seção aberta, como viga “I”, e viga de seção

fechada, como o tubo de seção circular, além da flambagem global, pode ocorrer

também o fenômeno de flambagem local, dependendo de alguns parâmetros

geométricos, como no caso de viga I, sua altura de alma "𝑏𝑤", sua largura de mesa

"𝑏𝑓", a altura total da seção “𝐻” e sua espessura de mesa e alma, "𝑡𝑓" e "𝑡𝑤",

respectivamente, como mostrado na Figura 4.

24

Figura 4 - Parâmetros geométricos da seção transversal de uma viga I.

Fonte: Adaptado de Ascione (2016).

1.1 Tipos de flambagem e suas características

1.1.1 Flambagem Local

Flambagem local pode ser definida pela mudança repentina na forma da

estrutura, com aparecimento de grandes deslocamentos transversais, por flexão, sem

necessariamente provocar a curvatura global do elemento estrutural (DE CASTRO E

SILVA, 2006). É conhecida também como “flambagem de parede fina”, ou seja, não

acontece em componentes estruturais com seção transversal de grande espessura.

Este tipo de instabilidade provoca um deslocamento transversal localizado em um

setor da peça, diferentemente da flambagem global, na qual a perda de retilinidade se

dá ao longo do comprimento da peça toda. Para viga I, existem dois tipos de

flambagem local: flambagem local de mesa e flambagem local de alma, sendo que

dependendo das propriedades geométricas, podem ocorrer simultaneamente ou

isoladamente. Já para o tubo, existe apenas um tipo de flambagem local, visto que

sua seção transversal possui um perímetro fechado e, por isso, exibindo menos

liberdade à deformação se comparado a uma seção transversal aberta como a seção

I, e é basicamente dependente da relação entre diâmetro e espessura da parede e

comprimento. A figuras 5 e 6 são, respectivamente, modo de flambagem local de mesa

e alma, e modo de flambagem local com deformações longitudinais.

25

Figura 5 - Flambagem local em viga I obtida por modelagem numérica através do software

ANSYS® Fonte: Autoria própria (2019).

Figura 6 - Flambagem local em tubo de seção circular obtida por modelagem numérica através

do software ANSYS® Fonte: Autoria própria (2019).

26

1.1.2 Flambagem Global

Flambagem global é o modo de flambagem mais comumente conhecido. Ela

se manifesta por todo o comprimento da peça, envolvendo a seção transversal como

um todo e, de modo geral, em barras de grande esbeltez e está relacionada às

propriedades geométricas da seção do perfil (momentos de inércia, constantes de

torção e de empenamento), à excentricidade da carga aplicada e às condições de

contorno da peça.

O modo global pode ocorrer basicamente de três formas. A primeira, bem

comum em pilares esbeltos, ocorre em torno do eixo de menor inércia à flexão da

seção transversal e denomina-se flambagem por flexão. A segunda forma de

ocorrência, a flambagem por torção, envolve a rotação da seção transversal em torno

de um eixo definido pelo centro de torção, ou centro de cisalhamento. A terceira e

mais complexa forma envolve a combinação de flexão e torção, mesmo em barras

sob compressão axial, denominada de flexo-torção de colunas.

As Figuras 7 e 8 são exemplos do modo de flambagem global em torno do eixo

de menor inércia.

Figura 7 - Flambagem global por flexão em torno do eixo de menor inércia em viga I.

Fonte: Autoria Própria (2019).

27

Figura 8 - Flambagem global em tubo de seção circular através do software ANSYS®.


1.2 Objetivo Geral

Este trabalho tem como objetivo realizar um estudo das características do

fenômeno de flambagem, em particular aquelas produzidas pelo processo de

pultrusão. A citar, especificamente, seções transversais tipo I e tubular com seção

circular, através de comparação da modelagem numérica via software ANSYS, com

dados analíticos e experimentais de trabalhos da literatura correlata.

1.2.1 Objetivo Específico

Os objetivos específicos deste trabalho são:

• Modelar elementos estruturais de seções transversais tipo I e tubulares

com seção circular, via software ANSYS, com elementos tipo Shell 181 (modelagem

bidimensional tipo casca ou placa) e Solid 46 (modelagem tridimensional, com

elementos sólidos) para realizar comparações com a literatura já documentada,

utilizando equações analíticas e métodos empíricos para o confrontamento de dados.

28

• Avaliar os modos de flambagem com a alteração da esbeltez de vigas I

e tubos de seção circular.

• Avaliar as diferentes orientações das fibras, a fim de se obter a

orientação que apresente melhor desempenho em relação à carga crítica de

flambagem.

• Avaliar diferentes arquiteturas das sequências de laminação, e

determinar qual delas apresenta um melhor desempenho em relação à carga crítica

de flambagem.

29

2 JUSTIFICATIVA

O trabalho foi motivado pela necessidade de se prever o comportamento

estrutural de elementos estruturais comprimidos, e em particular vigas feitas de

materiais ortotrópicos, onde sua análise é mais complexa do que em materiais

isotrópicos.

Os materiais têm comportamento anisotrópico quando as propriedades

mecânicas macroscópicas, como elasticidade, por exemplo, variam com a direção. No

entanto, pode ser quaisquer direções, não necessariamente direções perpendiculares

entre si. Quanto as direções particulares onde as propriedades são bem definidas são

perpendiculares entre si, dizemos que é um material ortotrópico. Um material

isotrópico contrasta por ter sempre as mesmas propriedades em todas as direções.

A necessidade de se prever via modelos numéricos o comportamento estrutural

vem da dificuldade em se fabricar protótipos para cada tipo de aplicação, acarretando

um dispêndio financeiro e um demasiado consumo de tempo. Com uma modelagem

numérica bem feita e capaz de minimamente representar alguma realidade observável

é possível prever diversos tipos de comportamentos em estruturas, apenas alterando

suas dimensões, como no caso de viga I, sua largura de mesa, altura de alma,

espessura, sua sequência de laminação. No caso do tubo, sua espessura, diâmetro

interno e externo do tubo, comprimento e sequência de laminação.

Em particular a necessidade de se prever a carga crítica flambagem, pois

muitas vezes é fator limitante para um projeto de peças em compressão,

principalmente em peças com maiores índices de esbeltez. Além disso, para a

flambagem local também há outros parâmetros geométricos muito importantes, além

do índice de esbeltez, como já dito anteriormente.

Para materiais ortotrópicos, uma peça de mesma geometria pode ter diferentes

cargas críticas de flambagem mesmo tendo as mesmas dimensões e peso, sendo

assim, o número de protótipos seria muito maior que qualquer situação envolvendo

material isotrópico.

30

3 CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS COMPOSTOS

Uma forma de classificar e estudar os materiais compostos é com base no

agrupamento das fibras, juntamente com a resina plástica e a geometria utilizada. Isso

pode ser explicado devido ao mecanismo de enrijecimento do composto

(fortalecimento) depender basicamente destes fatores (AGARWAL; BROUTMAN;

CHANDRASHEKHARA, 2006, p. 3).

Segundo Levy Neto e Pardini (2006, p. 3), pode-se ainda classificar os materiais

compostos como sintéticos e naturais. Os autores ainda constroem um diagrama

mostrando a classificação dos materiais compostos sintéticos e naturais, que pode ser

visto na Figura 9. Porém, neste trabalho o foco será em materiais compostos

sintéticos.

Figura 9 - Representação do diagrama da classificação dos materiais compostos.

Fonte: Adaptado de Levy Neto e Pardini (2006, P.4).

31

3.1 Perfil pultrudado de resina reforçada com fibras

3.1.1 Elementos Pultrudados

Os perfis pultrudados são na maioria das vezes a opção mais utilizada para a

fabricação de perfis estruturais, de seção transversal com perímetro aberto ou

fechado, devido à capacidade de produção em alta escala deste tipo de manufatura,

sendo que o perfil é fabricado de maneira contínua. Perfis pultrudados não são

necessariamente laminados, porém sua arquitetura interna permite que ele seja

tratado como tal (DAVALOS e QIAO, 1999).

Uma configuração típica de pultrudados envolve lâminas de CSM (continuous

strand mats), SF (sitched fabrics) e roving (Figura 10 e Figura 11).

Figura 10 - Esquema de configuração interna de um elemento pultrudado. Fonte: Adaptado de Creative Pultrusions (2004).

Figura 11 - Arquitetura de uma seção transversal de pultrudado.

Fonte: Torres (2005).

32

O roving é o reforço unidirecional em forma de fios ao longo do comprimento

da peça, perpendicular à secção transversal, considerado a forma mais simples de

reforço, sendo o principal responsável pela resistência á flexão e à tração, porém não

contribuindo com a resistência e a rigidez transversais.

Figura 12 - Vidro nas formas típicas de reforço: roving, tecidos bidirecionais e mantas de fibras

longas e curtas. Fonte: Owen Corning Corporation (2019).

Para se atenuar as características anisotrópicas de um composto unicamente

reforçado com roving, é comumente empregado o CSM. Ele é constituído por uma

manta de fibras dispostas aleatoriamente, melhorando as propriedades transversais

do estratificado, e também reduzindo a probabilidade de delaminação. Pode-se utilizar

variadas densidades de fibras para o CSM, e como ele é composto por fibras

aleatoriamente dispersas, a fração volumétrica de matriz fica limitada à um valor

específico, pois sua utilização dificulta o preenchimento de vazios com a resina.

Já o stitched fabrics (SF), mostrado na Figura 13, consiste em um número de

camadas unidirecionais, parecido com o roving, porém podendo variar a angulação

em relação ao sistema de eixos global, conforme Figura 14. São encontrados

comercialmente em duas, três ou quatro camadas.

33

Figura 13 - Reforço do tipo SF. Fonte: Direct Industry (2019).

Figura 14 - Composto laminado com várias direções de reforços.

Fonte: Adaptado de Fam (2010).

3.2 O processo de pultrusão

Pultrusão é um processo de fabricação contínua de perfis estruturais de PRF,

que utiliza uma resina como matriz e reforços na forma de fibras. Estas fibras são

embebidas pela resina, e puxadas por um molde de aço pré-aquecido, por um

dispositivo de tracionamento (Strongwell Corporation, 2019), como mostrado na

Figura 15.

34

Figura 15 - Linha de produção de elementos pultrudados reforçados com fibras. Fonte: Pultrusão do Brasil (2018).

O processo deve prever que para diferentes reforços, as prateleiras devem ser

adequadamente dispostas, para determinado tipo de material empregado, visto que

vários reforços genéricos serão adicionados diferentemente. Múltiplas camadas de

manta podem ser empregadas em diferentes sequências no estratificado, alternando

entre roving ou outro tipo de reforço (STRONGWELL CORPORATION, 2004). A

Figura 16 exemplifica uma estante de uma pultrusora, com as fibras preparadas para

serem embebidas na matriz.

35

Figura 16 - Estantes de roving e mantas.

Fonte: Fiberprofil (2019).

Os reforços são tracionados através de uma chapa-guia, que auxilia o

acabamento do produto final, e então conduzidos através de uma câmara de

impregnação de resina que contém o composto resinado, como mostra a Figura 17.

A solução de resina funciona como uma espécie de cola, conectando os reforços. A

solução da resina contém aditivos que funcionam como catalisadores e outros aditivos

químicos que melhoram a performance do composto (STRONGWELL

CORPORATION, 2004).

Figura 17 - Chapa-guia e câmara de impregnação.

Fonte: Fiberprofil (2019).

36

O material da superfície, denominado de “véu”, é adicionado após a etapa de

impregnação, devido ao fato da resistência à tração ser insuficiente para resistir ao

esforço gerado no banho em resina, além da tendência em absorver mais resina que

os reforços, prejudicando o processo. Geralmente o reforço passa pela câmara de

impregnação através de barras transversais, para melhor espalhamento e

impregnação da resina.

3.2.1 Comportamento estrutural das fibras de vidro

O vidro é um dos materiais mais empregados como fibras pelos seguintes

motivos:

- é facilmente obtido na forma de fios de alta resistência à partir do estado fundido;

- é obtido facilmente e permite diversas formas de fabricação, utilizando uma grande

variedade de técnicas industriais economicamente viáveis;

- como fibra é muito resistente, e quando embutido em uma matriz resinosa, produz

um composto de alta resistência;

- dependendo da combinação resina-fibra, possui uma inércia química que produz um

composto com alta resistência à corrosão.

As características das fibras são muito importantes, pois qualquer imperfeição

pode afetar o desempenho das fibras. Falhas geralmente ocorrem quando as fibras

se atritam com algum material mais duro. A fibra exposta ao ambiente também não é

uma prática aconselhável, pois ela se degrada muito rápido perante a umidade.

Comumente, para prevenir esses efeitos, as fibras são recobertas por um material que

as protege de ações externas indesejáveis, o que permite uma melhor adesão entre

matriz e fibra.

As fibras têm como vantagens a alta resistência e baixo custo, sendo leve, de

fácil transporte, e como desvantagens pode-se citar a baixa dureza, a baixa

resistência a altas temperaturas, e baixa resistência quando submetida à fadiga.

3.2.2 Comportamento estrutural da matriz

A matriz desempenha várias funções importantes para no material composto.

Primeiramente, a matriz funciona como elemento de união das fibras, e a carga

37

aplicada na peça é melhor distribuída por elas. Ademais, a matriz também tem como

função a proteção das fibras de ações exteriores do ambiente em que está inserida,

que diminuiriam a vida útil do composto, fazendo com que ele se rompesse em baixos

níveis de tensão. Por último, mantém as fibras separadas, e devido a sua plasticidade,

evita a propagação de fraturas do tipo frágil, que poderiam resultar em ruptura do

composto como um todo, catastroficamente. Basicamente a matriz funciona como

uma barreira de propagação de ruptura para as fibras, protegendo-as e fazendo com

que elas funcionem em condições adequadas àquelas para que foram projetadas

(ALMEIDA e SANDRA, 2004).

3.2.3 Materiais de reforço

Como já definido por Carneiro e Teixeira (2008, p. 55), os materiais de reforço

desempenham um papel fundamental na construção de um composto e nas suas

propriedades. Ainda segundo os autores, esse material de reforço (fibras ou

partículas) deve ser selecionado de modo que corresponda às necessidades de sua

aplicação, sejam elas de resistência mecânica, rigidez, durabilidade e etc..

Da Silva (2014, p. 14) define que um material de reforço pode ser classificado,

entre outros, como:

• Partículas aleatórias;

• Fibras descontínuas unidirecionais;

• Fibras descontínuas aleatórias;

• Fibras contínuas unidirecionais;

• Fibras contínuas “crossply” (bidirecionais) também chamadas de fibras

cruzadas;

• Fibras contínuas multidirecionais.

A Figura 18 representa alguns tipos de orientações dessas fibras.

38

Figura 18 - Representação de algumas configurações das fibras em um material de reforço.

Fonte: Adaptado de Kutz (2006).

Os materiais de reforço, neste caso fibras, mais utilizados na fabricação de

compostos segundo Agarwal, Broutman e Chandrashekhara (2006, p. 7), são as fibras

de carbono, fibras de vidro (tipo S e tipo E), fibras de aramida (Kevlar 49) e fibras de

boro. Dentre as fibras citadas, uma das mais importantes é a fibra de vidro do tipo E,

que devido ao seu baixo custo quando comparada as demais fibras, se torna a mais

utilizada. No entanto, eles ainda destacam as fibras de carbono, aramida e boro por

apresentarem maiores valores de rigidez.

3.3 Reforço de fibra de vidro (RFV)

Um dos compostos mais utilizados atualmente consiste em fibras de vidros

embebidas por uma matriz polimérica, o chamado PRFV (Plástico Reforçado com

Fibra de Vidro), onde a resistência se altera conforme o tipo, quantidade, orientação

e posição do reforço.

Os processos de fabricação de compostos são um pouco diferentes dos

processos convencionais de fabricação, como a extrusão ou laminação. Um exemplo

de manufatura bastante empregada para a obtenção de PRFV’s é a pultrusão, onde

as seções transversais dos perfis podem assumir as mais variadas formas, e são de

39

vasta aplicação em locais onde se necessita de materiais com grande resistência

química e leveza.

Um exemplo de estrutura feita de perfis pultrudados compostos são as torres

de transmissão de energia elétrica da costa da Califórnia (Figura 19). A estrutura

contendo 26,5m foi toda construída à partir de materiais pultrudados de PRFV

(WEAVER, 1999), com redução de dois terços do peso se comparado a uma versão

em aço, e de mais fácil e rápida fabricação, transporte e montagem.

Figura 19 - Torre de linha de transmissão de energia, Califórnia, EUA.

Fonte: Weaver (1999).

Como as aplicações destes materiais são muito complexas e razoavelmente

novas, muitos engenheiros não tem o conhecimento adequado para projetar

estruturas com esse tipo de material, exigindo uma abordagem completamente

diferente das usuais, adequadas para materiais isotrópicos. A pultrusão é um

processo de fabricação que pode empregar reforços na forma de fios contínuos, e

ainda em mantas ou reforços na forma de tramas, e que podem produzir reforços

diversos, originando produtos com anisotropia em suas propriedades mecânicas. Isto

pode dificultar em algumas complicações por ocasião da montagem. A perfuração

para parafusagem pode alterar a distribuição de tensão nas fibras. Até o momento não

existe possibilidade de soldagem nesse tipo de estrutura, e uma das técnicas

utilizadas para fixação são adesivos, que exigem especificações cuidadosas que não

são triviais para que a ligação seja eficiente e durável.

40

O perfil pultrudado é um dos mais utilizados pois permite uma produção em

larga escala, com boa repetibilidade de propriedades físicas e mecânicas, porém

necessitam inevitavelmente de um reforço de fibras alinhadas longitudinalmente, a

menos que sejam adicionadas tiras de tecido ou SF para melhorar as propriedades

mecânicas transversais. Como a pultrusão requer moldes e pré-formas muito caros,

para se tornar um processo vantajoso no quesito econômico, deve-se reutilizar esses

moldes.

41

4 PROPRIEDADES FÍSICAS E MECÂNICAS DE UMA LÂMINA DE MATERIAL

COMPOSTO REFORÇADO COM FIBRAS

4.1 Considerações Iniciais

Os compostos, em geral, são apresentados com uma configuração onde se

pode identificar várias camadas, cada qual contendo matriz e reforço de um tipo

particular. A este conjunto se dá o nome de estratificado, que pode ser formado com

camadas onde o reforço em cada uma delas tenha diferentes orientações. Em cada

camada, podemos determinar a orientação do reforço em um determinado eixo de

ortotropia, e que a superposição delas se dá de infinitas maneiras. A partir das

propriedades mecânicas de cada lâmina, medida em seu sistema de coordenadas

local, é possível estimar as propriedades mecânicas da mesma lâmina no sistema de

coordenadas global do laminado.

A previsão de comportamento e a determinação das propriedades mecânicas

dos materiais compostos é bem diferente de materiais convencionais como aço e

alumínio, devido à dependência de vários fatores, como a ortotropia, a direção dos

reforços, o tipo de matriz utilizada, a arquitetura do estratificado, etc. Tudo isso

aumenta o grau de complexidade, e uma previsão exata do comportamento para efeito

de projeto é muito difícil de se obter, havendo a necessidade de se recorrer à ensaios

experimentais para comprovação das previsões.

Para a estimação destas propriedades, podemos utilizar métodos aproximados

como a regra das misturas, que é uma simplificação adequada aos compostos

unidirecionais. Este método é utilizado pelo fato de que o reforço predominante em

materiais pultrudados é o reforço unidirecional. Podem ser citados também modelos

auto-consistentes, métodos variacionais, modelos estatísticos e os métodos semi-

empíricos (MAKKAPATI,1994).

No desenvolvimento dos métodos matemáticos, temos que definir algumas

suposições, a fim de ser possível a resolução de um problema para previsão de

comportamento estrutural. A matriz e as fibras são consideradas homogêneas, e

podem ser isotrópicas ou ortotrópicas. Geralmente, faz-se a suposição de que o

comportamento seja elástico linear. Outra consideração é que não podem haver

impurezas, e nem vazios, pois isso altera os cálculos dos módulos de elasticidade.

42

Supõe-se também uma perfeita aderência entre fibra e matriz, sendo as fibras

paralelas entre si e de comprimento infinito.

Embora a suposição de isotropia dos constituintes, isoladamente, seja

frequentemente adotada, isto nem sempre é verdade. Sendo assim, outras

propriedades devem ser incluídas, no caso da fibra ser considerada anisotrópica.

Inclusive as fibras mais utilizadas, como as fibras de vidro, carbono e aramida, podem

ser consideradas como ortotrópicas.

4.2 Determinação das Propriedades Mecânicas

Para esta seção, todos os equacionamentos podem ser obtidos à partir das

referências Berthelot (1996) e Mendonça (2005).

Para a determinação das propriedades físicas dos compostos, deve-se levar

em conta a densidade, o peso específico, as frações volumétricas de fibra, de matriz,

e de vazios, entre outras.

As propriedades mecânicas são obtidas a partir destes valores de cada

componente da mistura.

Considerando um composto de massa 𝑚𝑐, a massa total do composto será a

soma das massas de fibra e matriz, ou seja:

𝑚𝑐 = 𝑚𝑓 + 𝑚𝑚

(4.1)

Os índices 𝑐, 𝑓 e 𝑚 indicam respectivamente composto, fibra e matriz, sendo

que nesta equação, os vazios não são considerados pois têm massa nula.

O mesmo não ocorre com o volume total, onde o volume de vazios influencia

no volume final, e sendo assim, também influencia na massa específica do composto.

Incluindo o volume de vazios:

𝑣𝑐 = 𝑣𝑓 + 𝑣𝑚 + 𝑣𝑣 (4.2)

Sendo assim, e sabendo que a massa específica é a razão entre a massa e o

volume:

43

𝜌𝑐 =

𝑚𝑐

𝑣𝑐=𝑚𝑓 + 𝑚𝑚

𝑣𝑐=𝜌𝑓 . 𝑣𝑓 + 𝜌𝑚 . 𝑣𝑚

𝑣𝑐

(4.3)

ou ainda, desenvolvendo uma expressão, em termo de frações mássicas, onde 𝑀𝑓 e

𝑀𝑚 são, respectivamente, as frações (ou porcentagem) em massa de fibras e matriz.

𝑉𝑣 é a fração (ou porcentagem) volumétrica de vazios.

Logo, simplificando:

𝜌𝑐 (𝑀𝑓

𝜌𝑓+𝑀𝑚

𝜌𝑚) + 𝑉𝑣 =

𝜌𝑐𝜌𝑐= 1

(4.4)

e, portanto

𝑉𝑣 = 1 − 𝜌𝑐 . (𝑀𝑓

𝜌𝑓+𝑀𝑚

𝜌𝑚)

(4.5)

e, conforme a definição de fração volumétrica

𝑣𝑣 = 𝑉𝑣. 𝑣𝑐 (4.6)

Se agora considerarmos não a massa, mas o peso total do composto (𝑊𝑐),

teremos o peso específico que é dado pela expressão:

𝛾𝑐 =𝑊𝑐𝑣𝑐

(4.7)

4.2.1 Fração volumétrica de fibras

A fração volumétrica de fibras é a razão entre o volume de fibras e o volume

total do composto.

Os métodos de queima ASTM D 2584 (1990) e D297 (1975) podem ser

aplicados a compostos que têm fibras inorgânicas em uma matriz orgânica, como

vidro/epóxi. O material é seco em estufa e então pesado. Após este procedimento, ele

será aquecido até a matriz ser completamente queimada. O resíduo das cinzas é

então lavado, seco e pesado.

44

A relação de volume de fibras é obtida como:

𝑉𝑓 =

(𝑊𝑓𝛾𝑓)

(𝑊𝑐𝛾𝑐)

(4.8)

onde 𝑊𝑐 e 𝑊𝑓 são os pesos do composto e fibras, respectivamente.

A relação do volume de fibras pode também ser determinada através de

ensaios ópticos, como microscopia eletrônica, através de imagens de fotomicrografia

de seções transversais às fibras. Uma aproximação similar consiste em contar a

quantidade de fibras da seção transversal, de uma fração dentro da região analisada,

calcular a área total das seções das fibras e dividir pela área total considerada.

Figura 20 - Análise microscópica de seção transversal próxima à região de ruptura de um

corpo de prova submetido a um ensaio de tração. Fonte: Almeida (2004).

45

4.2.2 Propriedades mecânicas de uma lâmina com fibras unidirecionais

Para materiais compostos, deve-se adotar um sistema de eixos ortogonais, que

definem direções nas quais as propriedades mecânicas podem ser identificadas. Um

eixo designado 1 (ou l), é o eixo longitudinal das fibras. Outro eixo, designado 2 (ou t),

é o eixo transversal em relação as fibras longitudinais, e um terceiro eixo designado 3

(ou t’) é o eixo ortogonal aos dois anteriores, como mostra a Figura 21.

Figura 21: Sistema de eixos de ortotropia.

Fonte: Pereira (2005).

4.2.2.1 Módulo de Young Longitudinal – 𝐸1

O módulo de Young longitudinal é caracterizado por ser o módulo de

proporcionalidade entre tensão e deformação que se manifesta na direção longitudinal

às fibras.

Quando se tem algum carregamento na direção das fibras, os módulos 𝐸1 e o

Coeficiente de Poison 𝑣12 (referente ao plano dado pelas direções 1 e 2) são mais

influenciados pelas fibras.

Neste caso, os resultados experimentais são bem condizentes com os cálculos

obtidos à partir da regra das misturas, onde o módulo longitudinal 𝐸1 pode ser

determinado pela expressão:

𝐸1 = 𝑉𝑓. 𝐸𝑓 + 𝑉𝑚. 𝐸𝑚 (4.9)

46

onde 𝐸𝑚e 𝐸𝑓 são os módulos longitudinais da fibra e da matriz, respectivamente, e 𝑉𝑓

e 𝑉𝑚 as porcentagens volumétricas da fibra e da matriz, respectivamente. Neste

cálculo, é suposto que as fibras podem ser anisotrópicas, com propriedades diferentes

nas diferentes direções.

4.2.2.2 Módulo de Young transversal – 𝐸2

Utilizando a metologia da regra das misturas, o módulo de elasticidade

transversal é obtido pela seguinte expressão:

𝐸2 = (𝑉𝑚𝐸𝑚

+ 𝑉𝑓

𝐸𝑓)

−1

(4.10)

Porém, esta expressão não condiz tanto com a realidade no sentido de se

aproximar de valores experimentais obtidos se comparado à equação do Módulo de

Young longitudinal, e diversos autores sugerem outras metodologias para cálculo

desta propriedade.

4.2.2.3 Módulo de Coulomb – 𝐺12

A regra das misturas nos faz concluir que o módulo de cisalhamento é uma

característica basicamente dependente da matriz, assim como o módulo de Young

transversal, fornecendo a seguinte expressão:

𝐺12 = (𝑉𝑓

𝐺𝑓+ 𝑉𝑚𝐺𝑚)

−1

(4.11)

Esta é outra propriedade que não pode ser obtida com precisão pela regra das

misturas, necessitando de alguma abordagem mais aprofundada com o emprego de

outras hipóteses e considerações geométricas da meso-escala.

47

4.2.2.4 Coeficiente de Poisson – 𝑣12

Similarmente à determinação do módulo de elasticidade longitudinal, o

coeficiente de Poisson pode ser obtido pela expressão:

𝑣12 = 𝑣𝑓 . 𝑉𝑓 + 𝑣𝑚. 𝑉𝑚 (4.12)

Lembrando que, considerando a hipótese de isotropia dos constituintes, tem-

se as seguintes relações:

𝐺𝑓 = 𝐸𝑓

2. (1 + 𝑣𝑓) 𝑒 𝐺𝑚 =

𝐸𝑚2. (1 + 𝑣𝑚)

(4.13)

onde 𝐺𝑓 e 𝐺𝑚 são os Módulos de Coulomb das fibras e matriz, respectivamente.

4.2.2.5 Regra das misturas modificada

A regra das misturas pode ser modificada de forma a considerar que as fibras

sejam ortotrópicas. As análises para estes casos são análogas àquelas desenvolvidas

para fibras isotrópicas. Assim, chamando de 𝐸𝑓1 o Módulo de Young da fibra na

direção 1, 𝐸𝑓2 o Módulo de Young da fibra na direção 2, 𝐺𝑓12 o módulo de Coulomb

da fibra no plano 12 e 𝑣𝑓12 o coeficiente de Poisson referente ao plano 12 da fibra, as

novas expressões para a regra das misturas são as seguintes:

- Módulo de Young longitudinal

𝐸1 = 𝑉

𝑓1 . 𝐸𝑓 + 𝑉𝑚. 𝐸𝑚 (4.14)

- Módulo de Young transversal

𝐸2 = (𝑉𝑚𝐸𝑚

+𝑉𝑓

𝐸𝑓2)−1

(4.15)

48

- Módulo de Coulomb

𝐺12 = (𝑉𝑓

𝐺𝑓12+ 𝑉𝑚𝐺𝑚)−1

(4.16)

- Coeficiente de Poisson

𝑣12 = 𝑣

𝑓12 . 𝑉𝑓 + 𝑣𝑚. 𝑉𝑚 (4.17)

4.2.3 Propriedades mecânicas de uma lâmina reforçada com continuous strand mat

O continuous strand mat (CSM) é um reforço na forma de manta com fibras

dispersas, que podem ser longas ou curtas. Desde que esta manta tenha fibras

dispersas nas mais diversas direções no seu próprio plano, ela contribui para a

resistência e rigidez da lâmina composta também em todas as direções coplanares à

lâmina. Estas camadas se fazem necessárias no processo de pultrusão por

minimizarem a formação de fissuras e para melhorar as propriedades mecânicas do

perfil pultrudado nas direções transversais ao comprimento. As propriedades elásticas

de uma camada reforçada com CSM podem ser determinadas de acordo com as

relações propostas por Hull (MAKKAPATI, 1994)

4.2.3.1 Módulo de Elasticidade de CSM

O Módulo de Elasticidade pode ser determinado para uma camada reforçada

com mantas assumindo que ela seja isotrópica em seu plano:

𝐸𝐶𝑆𝑀 = 3

8𝐸1 +

5

8𝐸2

(4.18)

onde 𝐸1 e 𝐸2 são os módulos de elasticidade longitudinal nas direções 1 e 2 para um

composto reforçado unidirecionalmente com a mesma fração volumétrica de fibras do

CSM, que é determinada partindo do peso por unidade de área. A partir deste valor e

sabendo-se a espessura, pode-se determinar a fração volumétrica da manta, como a

seguir:

49

𝑉𝐶𝑆𝑀 = 𝑤

16.144. 𝜌. 𝑡𝐶𝑆𝑀 (4.19)

onde 𝑤 é o peso por unidade de área, 𝜌 é a densidade da fibra e 𝑡𝐶𝑆𝑀 é a espessura

da manta de CSM e as constantes 16 e 144 são utilizadas para converter as unidades

de oz/ft2 para lb/in2.

4.2.3.2 Módulo de Coulomb

Do mesmo modo que o Módulo de Elasticidade, o módulo de cisalhamento

pode ser obtido à partir da seguinte relação:

𝐺𝐶𝑆𝑀 = 1

8. 𝐸1 +

1

4. 𝐸2

(4.20)

para uma camada com reforço unidirecional com a mesma fração volumétrica de fibras

de CSM.

4.2.4 Coeficiente de Poisson

O coeficiente de Poisson no plano da camada (𝜈𝐶𝑆𝑀) pode ser obtido à partir

dos valores dos módulos de Coulomb e de Young, como a seguir:

𝜈𝐶𝑆𝑀 =𝐸𝐶𝑆𝑀2. 𝐺𝐶𝑆𝑀

− 1 (4.21)

50

5 COMPORTAMENTO MECÂNICO DE COMPOSTOS LAMINADOS

5.1 Equações constitutivas para uma lâmina de material composto

As referências clássicas para todos os equacionamentos dessa seção são:

Berthelot (1996) e Reddy (2004).

Para lâminas compostas tipicamente empregadas em placas e cascas

estratificadas, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, da própria lâmina, no

qual as propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 é colocado

paralelamente às fibras (no caso de reforço longitudinal), outro designado 2 é admitido

transversalmente às fibras, e o último, designado 3, ortogonalmente aos dois outros.

A lei de comportamento da lâmina composta que relaciona deformações e

tensões evidencia a matriz de flexibilidade do material, no sistema de eixos de

ortotropia próprio da lâmina, exibindo 9 constantes elásticas independentes, e pode

ser escrita da seguinte forma:

{

ɛ1ɛ2ɛ3𝛾23𝛾13𝛾12}

=

[ 1

𝐸1

−𝜈21𝐸2

−𝜈31𝐸3

0 0 0

−𝜈12𝐸1

1

𝐸2

−𝜈32𝐸3

0 0 0

−𝜈13𝐸1

−𝜈23𝐸2

1

𝐸30 0 0

0 0 01

𝐺230 0

0 0 0 01

𝐺130

0 0 0 0 01

𝐺12]

.

{

𝜎1𝜎2𝜎3𝜏23𝜏13𝜏12}

A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material,

inversa da matriz de flexibilidade:

{𝜎} = [𝐶]. {ɛ}

com [𝐶] = 𝐶𝑖𝑗, para 𝑖 e 𝑗 de 1 a 6, considerando a notação reduzida de Kelvin-Voigt,

onde os termos não nulos são:

51

𝐶11 = 1 + 𝜈23. 𝜈32𝐸2𝐸3𝛥

𝐶22 = 1 + 𝜈13. 𝜈31𝐸1𝐸3𝛥

𝐶33 = 1 + 𝜈12. 𝜈21𝐸1𝐸2𝛥

𝐶12 = 𝜈21 + 𝜈31. 𝜈23

𝐸2𝐸3𝛥

𝐶13 = 𝜈31 + 𝜈21. 𝜈32

𝐸2𝐸3𝛥 𝐶12 =

𝜈32 + 𝜈12. 𝜈31𝐸1𝐸3𝛥

𝐶44 = 𝐺23 𝐶55 = 𝐺31 𝐶66 = 𝐺12

𝛥 = 1 + 𝜈12𝜈21 − 𝜈23𝜈32 − 𝜈13𝜈31 − 2𝜈21𝜈31𝜈13

𝐸1𝐸2𝐸3

Considerando somente o estado plano de tensão (com 𝜎3 = 0, 𝜏32 = 0 e 𝜏31 =

0), a matriz de rigidez do material composto pode ser escrita como:

{

𝜎1𝜎2𝜏12} = [

𝑄11 𝑄12 0𝑄12 𝑄22 00 0 𝑄66

] . {

ɛ1ɛ2𝛾12}

onde

𝑄11 =𝐸1

1 − 𝜈12𝜈21 𝑄22 =

𝐸21 − 𝜈12𝜈21

𝑄12 =𝜈21𝐸1

1 − 𝜈12𝜈21 𝑄66 = 𝐺12

Como um laminado pode conter lâminas em diferentes orientações, faz-se

necessário definir a transformação de coordenadas oriunda de uma rotação do

sistema de ortotropia da lâmina em relação ao eixo perpendicular ao seu plano, e

então utilizar estas constantes em diferentes direções na coordenada global do

sistema, a fim de se encontrar as propriedades globais da peça.

A matriz que relaciona as tensões no eixo de ortotropia de uma lâmina

específica com as tensões no sistema de coordenadas globais (ou de referência) é

obtida fazendo o balanço de forças sobre um elemento diferencial de volume, e é

descrita da seguinte forma:

52

{

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧𝜏𝑦𝑧𝜏𝑥𝑧𝜏𝑥𝑦}

=

[ 𝑐2 𝑠2 0 0 0 2. 𝑠. 𝑐𝑠2 𝑐 0 0 0 −2. 𝑠. 𝑐0 0 0 0 0 00 0 0 𝑐 −𝑠 00 0 0 𝑠 𝑐 0

−𝑠. 𝑐 𝑠. 𝑐 0 0 0 𝑐2 − 𝑠2]

.

{

𝜎1𝜎2𝜎3𝜏23𝜏13𝜏12}

𝑜𝑢 {𝜎𝑥} = [𝑇] ∗ {𝜎1}

onde s e c são, respectivamente, o seno e cosseno do ângulo entre o eixo 1 do sistema

de eixos de ortotropia da lâmina com o eixo x do sistema de eixos de referência.

O vetor com as componentes de deformação também pode ser obtido à partir

da mesma matriz de transformação:

{ɛ𝑥} = [𝑇]. {ɛ1}

A lei de comportamento do composto, considerando comportamento elástico-

linear, no sistema de eixos de referência (x,y,z) pode ser expressa na seguinte forma:

{𝜎𝑥} = [𝑇]. {𝜎1} = [𝑇]. [𝐶1]. [𝑇]−1. {ɛ𝑥}

Sendo assim, a matriz de rigidez, ou matriz contitutiva dada no sistema de

referência (x,y,z) é:

[𝐶𝑥] = [𝑇]. [𝐶1]. [𝑇]−1

Frequentemente a lei de constituição do material composto pode ser obtida no

sistema de eixos de referência, considerando estado plano de tensões, na seguinte

forma:

{

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦

} = [

�̅�11 �̅�12 �̅�16�̅�21 �̅�22 �̅�26�̅�16 �̅�26 �̅�66

] . {

ɛ𝑥ɛ𝑦𝛾𝑥𝑦}

Com

�̅�11 = 𝑐4. 𝑄11 + 𝑠4. 𝑄22 + 2. 𝑐

2. 𝑠2. (𝑄12 + 2.𝑄66),

53

�̅�22 = 𝑠4. 𝑄11 + 𝑐4. 𝑄22 + 2. 𝑐

2. 𝑠2. (𝑄12 + 2.𝑄66),

�̅�66 = [𝑄11 + 𝑄22 − 2. (𝑄12 + 𝑄66)]. 𝑠2. 𝑐2 + 𝑄66. (𝑠

4 + 𝑐4),

�̅�12 = 𝑐2. 𝑠2. (𝑄11 + 𝑄22 − 4.𝑄66) + (𝑐4 + 𝑠4)𝑄12,

�̅�16 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2. 𝑄66). 𝑠. 𝑐3 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2.𝑄66). 𝑠

3. 𝑐,

�̅�26 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2.𝑄66). 𝑠3. 𝑐 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2.𝑄66). 𝑠. 𝑐

3,

A matriz de flexibilidade, que relaciona tensão/deformação no sistema de eixo

de referência (x,y,z) é:

{ɛ𝑥} = [𝑇]. {ɛ1} = [𝑇]. {𝑆1}. {𝜎1} = [𝑇]. [𝑆1]. [𝑇]−1. {𝜎𝑥}

logo

{𝑆𝑥} = [𝑇][𝑆1]. [𝑇]−1

Após a multiplicação das matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser obtida, e

desta matriz surgem termos de acoplamento, que relacionam tensões normais com

deformações normais, e termos de acoplamento que relacionam tensões cisalhantes

com deformações cisalhantes.

5.2 Teoria clássica de placas laminadas

A Teoria Clássica dos laminados reduz o problema ao estado plano de tensões,

considerando o cisalhamento transversal (perpendicular ao plano da placa) nulo, onde

as únicas tensões não nulas são 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜏𝑥𝑦 considerando um sistema de eixos global

para a placa.

Algumas hipóteses são estabelecidas a fim de se entender melhor a teoria de

estratificados:

- pode-se considerar desprezível o deslocamento coplanar no plano médio, pois

ele é muito pequeno quando comparado à espessura da placa;

- as seções planas inicialmente normais ao plano médio permanecem planas

e normais ao plano médio após a flexão;

54

- as tensões normais transversais (na direção da espessura) são pequenas

quando comparadas com as outras componentes, e por isso podem ser desprezadas;

Com estas condições, temos o chamado comportamento em membrana dos

materiais compostos. Então, considerando um laminado com espessura ℎ, com 𝑛

lâminas de espessura 𝑒𝑘 cada, as solicitações no plano do laminado são denominadas

como 𝑁𝑥 e 𝑁𝑦 (forças normais por unidade de comprimento) e 𝑇𝑥𝑦 e 𝑇𝑦𝑥 (forças

cortantes por unidade de comprimento)

As tensões 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧 são obtidas à partir do sistema de referência (𝑥, 𝑦, 𝑧),

que são relacionadas com as deformações da matriz de rigidez.

Considerando somente esforços de membrana, 𝑁𝑥, 𝑁𝑦 e 𝑇𝑥𝑦 são determinados

em função das constantes elásticas de cada lâmina.

Calculando os esforços através de uma equação matricial, temos:

{𝑁} = [𝐴]. {ɛ}

𝐴𝑖𝑗 para 𝑖 e 𝑗 de 1 a 6, com

𝐴𝑖𝑗 = ∑ �̅�𝑘𝑖𝑗. (𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1)

𝑛

𝑘=1

onde 𝑧𝑘 e 𝑧𝑘−1 são, respectivamente, as distâncias das faces superior e inferior da

camada k, considerando como referência o plano médio do estratificado.

Observações:

- As expressões citadas não dependem da ordem de empilhamento das lâminas.

- Os termos de acoplamento 𝐴16, 𝐴26, 𝐴61 e 𝐴62 se anulam quando o laminado é

simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na direção

+θ e –θ em relação ao eixo longitudinal) ou antissimétrico.

Logo, tendo os valores dos esforços, é possível calcular as tensões globais do

estratificado considerado como homogêneo.

𝜎𝑥 =𝑁𝑥ℎ, 𝜎𝑦 =

𝑁𝑦

ℎ 𝑒 𝜎𝑧 =

𝑁𝑧ℎ

A matriz de constantes elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado

pode ser obtida através da inversão da matriz de comportamento:

55

{

ɛ𝑥ɛ𝑦𝛾𝑥𝑦} =

[

1

𝐸𝑥

−𝜈𝑦𝑥

𝐸𝑦

𝜂𝑥𝑦

𝐺𝑥𝑦−𝜈𝑥𝑦

𝐸𝑥

1

𝐸𝑦

𝜇𝑥𝑦

𝐺𝑥𝑦𝜂𝑥𝐸𝑥

𝜇𝑦

𝐸𝑥

1

𝐺𝑥𝑦]

. {

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦

}

A partir destas constantes elásticas e conhecendo o carregamento aplicado do

laminado (𝑁𝑥, 𝑁𝑦 e 𝑁𝑥𝑦), é possivel determinar as deformações.

Para o estudo do comportamento em flexão de um material composto, também

considerando um laminado de espessura total ℎ, com 𝑛 número de lâminas de

espessura 𝑒𝑘 cada uma, temos as solicitações de momento por unidade de

comprimento, denotadas 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦 os momentos fletores, e 𝑀𝑥𝑦 e 𝑀𝑦𝑥 os momentos

torçores. Assim, temos a seguinte equação matricial:

{

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

} = [ 𝐷11 𝐷12 𝐷13𝐷21 𝐷22 𝐷26𝐷61 𝐷62 𝐷66

] . {

𝑘𝑥𝑘𝑦𝑘𝑥𝑦

}

com

𝐷𝑖𝑗 = ∑ �̅�𝑘𝑖𝑗 .(𝑧𝑘3 − 𝑧𝑘−1

3 )

3

𝑛

𝑘=1

Observações:

- as expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas;

- os coeficientes 𝐷16 e 𝐷26 são termos de acoplamento que torcem o laminado

quando aplicados somente momentos fletores e os coeficientes 𝐷61 e 𝐷62 são termos

de acoplamento que flexionam o laminado quando aplicados somente momentos

torçores.

De uma forma geral, quando o laminado não é simétrico, temos que o

comportamento global é dado pela seguinte expressão:

56

{

𝑁𝑥𝑁𝑦𝑇𝑥𝑦𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦}

=

[

[𝐴] [𝐵]

[𝐵] [𝐷]]

{

ɛ𝑥ɛ𝑦𝛾𝑥𝑦𝑘𝑦𝑘𝑥𝑘𝑥𝑦}

onde os coeficientes da matriz [𝐵] são:

𝐵𝑖𝑗 = ∑ �̅�𝑘𝑖𝑗.(𝑧𝑘2 − 𝑧𝑘−1

2 )

2

𝑛

𝑘=1

5.3 Teoria de Primeira Ordem

As simplificações da Teoria Clássica podem gerar erros significativos nos

cálculos de tensão, devido ao fato de que as placas estratificadas, em geral, são

sensíveis ao cisalhamento transversal.

Uma nova teoria proposta, considerando as deformações cisalhantes nos

cálculos, e sendo sua distribuição constante ao longo da espessura, é conhecida

como Teoria de Primeira Ordem.

Aplicando a Teoria de Primeira Ordem, a aplicação dos princípios de equilíbrio

ou variacionais, juntamente as relações tensão/deformação da Teoria da Elasticidade,

leva à seguinte relação constitutiva do material composto:

{

𝑁𝑥𝑁𝑦𝑇𝑥𝑦𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

𝑄𝑥𝑄𝑦 }

=

[ 𝐴11 𝐴12 𝐴16 𝐵11 𝐵16 𝐵16 0 0𝐴21 𝐴22 𝐴26 𝐵21 𝐵26 𝐵26 0 0𝐴61 𝐴62 𝐴66 𝐵61 𝐵62 𝐵66 0 0𝐵11 𝐵12 𝐵16 𝐷11 𝐷12 𝐷16 0 0𝐵21 𝐵22 𝐵26 𝐷21 𝐷22 𝐷26 0 0𝐵61 𝐵62 𝐵66 𝐷61 𝐷62 𝐷66 0 00 0 0 0 0 0 𝐻44 𝐻450 0 0 0 0 0 𝐻45 𝐻55]

.

{

ɛ𝑥ɛ𝑦𝛾𝑥𝑦𝑘𝑥𝑘𝑦𝑘𝑥𝑦𝛾𝑦𝑧𝛾𝑥𝑧}

sendo

𝐴𝑖𝑗 = coeficientes da matriz de comportamento em membrana;

𝐷𝑖𝑗 = coeficientes da matriz de comportamento em flexão;

57

𝐵𝑖𝑗 = coeficientes da matriz de acoplamento membrana/flexão-torção;

𝐻𝑖𝑗 = coeficientes da matriz de rigidez de cisalhamento transversal;

𝑄𝑥 = força cisalhante na direção x;

𝑄𝑦 = força cisalhante na direção y;

𝛾𝑦𝑧 = deformação cisalhante no plano médio em relação aos eixos y e z; e

𝛾𝑥𝑧 = deformação cisalhante no plano médio em relação aos eixos x e z.

onde os coeficientes 𝐻𝑖𝑗 podem ser determinados pelas expressões:

𝐻𝑖𝑗 = 𝑘𝑖𝑗∑�̅�𝑘𝑖𝑗. (𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1)

𝑛

𝑘=1

e 𝑘𝑖𝑗 os fatores de correção do cisalhamento transversal. Os coeficientes de rigidez

são dados pela expressão:

[𝑄]̅̅ ̅̅ = [𝑇]. [𝑄]. [𝑇−1]

𝑄 =

[ 𝑄11 𝑄12 0 0 0 𝑄16𝑄21 𝑄22 0 0 0 𝑄260 0 0 0 0 00 0 0 𝑄44 0 00 0 0 0 𝑄55 0𝑄61 𝑄62 0 0 0 𝑄66]

com

𝑄11 =𝐸1𝛥. (1 − 𝜈13

2.𝐸3𝐸2)

𝑄22 =𝐸2𝛥. (1 − 𝜈12

2.𝐸3𝐸1)

𝑄12 = 𝑄21 𝐸2𝛥. (𝜈12 − 𝜈13𝜈23.

𝐸3𝐸2)

𝑄16 = 𝑄61 𝐸3𝛥. (𝜈13 + 𝜈13𝜈23)

𝑄26 = 𝑄62 𝐸3𝛥. (𝜈23 − 𝜈13𝜈12.

𝐸2𝐸1)

𝑄66 = 𝐺12 𝑄44 = 𝐺23 𝑄55 = 𝐺13

58

onde

𝛥 = 1 − 𝜈122.𝐸2𝐸1− 𝜈23

2𝐸3𝐸2− 𝜈13

2𝐸3𝐸1− 2𝜈23. 𝜈12.

𝐸2𝐸1. 𝜈23.

𝐸3𝐸2

59

6 METODOLOGIA

Os elementos estruturais pultrudados possuem seções transversais que podem

possuir perímetro aberto ou fechado, geralmente com pequenas espessuras.

Portanto, o fenômeno de flambagem pode se manifestar de maneira global ou local.

Para cada tipo de seção, foram encontrados diferentes tipos de análise, sendo que a

mesma fórmula analítica para tubos nem sempre se aplicam para vigas I, e com isso,

cada seção terá uma análise particular.

Primeiramente a intenção do projeto é comparar o modelo numérico com

resultados experimentais de diferentes autores, a fim de avaliar se o modelo de

elementos finitos fornece valores próximos das previsões analíticas ou valores obtidos

por experimentos, ou seja, para se confirmar se foi utilizado elementos finitos

apropriados, se as condições de contorno e de deslocamentos e giros foram

apropriadas, se a força foi aplicada adequadamente, e se o processo de análise por

autovalores foi bem utilizado, e analisar se a porcentagem de erro é satisfatória para

se fazer análises posteriores com o modelo validado.

6.1 Método analítico para determinação da carga crítica de flambagem em

viga I

Uma alternativa de aproximação para análise de flambagem para seção

fechada foi introduzida por Bleich (1952), que propôs considerar os elementos das

seções, mesas e alma, cada qual como placas individuais com rotação restringida

pelas suas placas adjacentes. Para compressão unixial de placas infinitamente longas

feitas de material linear elástico isotrópico e considerando todas as possibilidades de

configuração de restrição rotacional para bordas longas, tem-se que a equação para

a força crítica de flambagem local pode ser apresentada da seguinte forma:

𝐹𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸

12(1 − 𝜈2)(𝑡

𝑏)2

(𝑝 + 2√𝑞) (6.1)

onde 𝐸 é módulo de elasticidade longitudinal; 𝜈 o coeficiente de Poisson; 𝑏 e 𝑡 são as

larguras e espessuras da placa, respectivamente; e 𝑝 e 𝑞 as funções do coeficiente

60

de restrição elástica. Bleich (1952) se referiu aos termos finais nos parênteses como

coeficientes de flambagem, 𝑘.

Esta aproximação foi adotada por outros autores, (Bank e Yin 1996; Qiao et al.

2001; Kollar 2002, 2003; Qiao e Zou 2003) para desenvolver propostas de equações

para flambagem local de seções fechadas feitas de material ortotrópico. Tentativas

para resolver os problemas de restrição rotacional para placas longas foram feitas por

Schulz (1963), seguido por Blank e Yin (1996) e Qiao et al. (2001), mas estas

tentativas envolviam análises numéricas e expressões explícitas que não foram

alcançadas.

Este tipo de análise também foi adotada por Lee (1978) para se obter o

coeficiente mínimo para peças comprimidas de lâminas ortotrópicas como uma função

da razão entre as larguras de mesa e alma. Por conta das equações explícitas não

serem desenvolvidas, os coeficientes têm de ser obtidos numericamente e são

apresentados em gráficos. Posteriormente, Lee (1978) extendeu este trabalho

considerando diferentes condições de contorno. Uma solução aproximada para

flambagem local foi obtida por Lee e Hewson (1978) e por Jeong e Yoon (1998).

Previsões precisas de modos de flambagem de seções de parede fina e suas

cargas críticas associadas foram obtidas usando aproximações baseadas no FSM

(finite-strip method) ou na generalized beam theory (GBT) (Turvey e Wittrick, 1973;

Silvestre e Camotim, 2003). Outra abordagem é adotada por Batista (2010), que

propôs equações para típicas seções fechadas de aços laminados a frio oriundas da

análise de regressão pelo FSM e GBT.

O primeiro conjunto de equações para seções transversais de perímetros

fechados para este problema foi obtido por Kollar (2002, 2003). A forma para estas

equações é similar à equação (6.1), porém inclui termos relacionados às propriedades

ortotrópicas. Kollar (2003) comparou os resultados das equações com modelagem

numérica por elementos finitos e experimentais disponíveis na literatura e concluiu

que, para seções-I, os autores chegaram a um resultado da flambagem da alma em,

no máximo, 6,5% acima do esperado, e a flambagem nas mesas 5,5% abaixo do

esperado. A precisão e a sensibilidade das equações de Kollar (2002, 2003) foram

investigadas por McCarthy e Bank (2010), que concluíram que elas se relacionam

melhor com resultados experimentais do que equações desenvolvidas mediante a

hipótese de junções mesas-alma simplesmente apoiadas.

61

Outra tentativa de previsão analítica assumindo a condição de simples apoio

na junção das mesas e alma bastante utilizada para se determinar a carga crítica de

flambagem local para seções I foi adotada pela ASCE Structural Plastics Design

Manual (Gray, 1984), o Eurocomp Design Code Handbook (Clarke, 1996), e o Italian

Guide for the Design and Construction of Structures Made of FRP Pultruded Elements

(National Research Council of Italy (CNR) 2008), embora o último também apresente

as equações de Kollar (2002, 2003) para se determinar a carga crítica de flambagem

local de seções I como alternativa. Neste caso, o problema é reduzido para uma

lâmina individual ortotrópica sujeita a uma compressão uniforme, onde a alma têm as

duas extremidades longitudinais simplesmente apoiadas, e cada metade da mesa tem

uma extremidade livre e a outra simplesmente apoiada.

Para o estudo de flambagem de elemento estrutural de seção “I” de PRFV

pultrudado vários parâmetros são considerados a seguir. Há três principais tipos de

modos de flambagem da seção.

1. Flambagem de flexão global;

2. Flambagem de torção global;

3. Flambagem local;

Como cada tipo de flambagem pode se manifestar com pequenas diferenças

de propriedades geométricas, é muito difícil prever exatamente qual tipo de

flambagem irá ocorrer, devendo ser calculada separadamente para se obter o menor

valor de carga crítica, e assim, analiticamente pode ser determinado o tipo de

flambagem. Com isso, cada modo de flambagem será explicado nas seções seguintes

separadamente, e suas equações foram determinadas pelos autores mencionados

anteriormente.

6.1.1 Flambagem Local

Perfis de PRFV convencionais são especificamente suscetíveis à flambagem

local quando sujeitos a cargas axiais. Isto se deve ao baixo módulo de cisalhamento

no plano transversal e à esbeltez (razão largura/espessura) de elementos de placas

que constituem a seção do perfil de paredes finas. Cada elemento da seção, mesas

ou alma, podem ser tratados como placas, cada qual com condições de contorno

apropriadas, como mostra a Figura 22.

62

Figura 22 - Abordagens para determinar cargas críticas de flambagem local: a) placas discretas com condições simplesmente suportadas; b) placas discretas com bordas

rotativamente restringidas; e c) seção completa. Fonte: Adaptado de Cardoso (2017).

Soluções para peças longas com condições de contorno considerando a alma

uma placa simplesmente apoiada nas duas extremidades, e a metade de cada flange

considerada fixada em uma borda e livre em outra, foram primeiramente obtidas por

Lekhnitskii (1968) e proporcionam resultados em termos de propriedades elásticas

para a mesa e alma, respectivamente, para 𝐹𝑐𝑟𝑤,𝑆𝑆 a força crítica na alma para placa

simplesmente suportada, e 𝐹𝑐𝑟𝑓,𝐹𝑆 a força crítica na mesa para placa com uma

extremidade livre e a outra extremidade simplesmente apoiada, como:

𝐹𝑐𝑟𝑤,𝑆𝑆 =𝜋2𝐸𝐿,𝑤

12(1 − 𝜈𝐿𝑇,𝑤𝜈𝑇𝐿,𝑤)(𝑡𝑤𝑏𝑤)2

[2√𝐸𝑇,𝑤𝐸𝐿,𝑤

+ 2𝜈𝐿𝑇𝐸𝑇,𝑤𝐸𝐿,𝑤

+ 4𝐺𝐿𝑇,𝑤𝐸𝐿,𝑤

(1 − 𝜈𝐿𝑇,𝑤𝜈𝑇𝐿,𝑤)]

(6.2)

𝐹𝑐𝑟𝑓,𝐹𝑆 = 4𝐺𝐿𝑇,𝑓 (

𝑡𝑓

𝑏𝑓)

2

=𝜋2𝐸𝐿,𝑓

12(1 − 𝜈𝐿𝑇,𝑓𝜈𝑇𝐿,𝑓)(𝑡𝑓

𝑏𝑓)

2

[48

𝜋2𝐺𝐿𝑇,𝑓

𝐸𝐿,𝑓(1 − 𝜈𝐿𝑇,𝑤𝜈𝑇𝐿,𝑤)]

(6.3)

63

no qual 𝑏𝑓 e 𝑏𝑤 são as larguras de mesa e alma, respectivamente; 𝑡𝑓 e 𝑡𝑤 a espessura

de mesa e alma, respectivamente. 𝐸𝐿 e 𝐸𝑇 o módulo de elasticidade longitudinal e

transversal, respectivamente; 𝐺𝐿𝑇 = módulo de cisalhamento no plano; 𝜈LT o

coeficiente de Poisson no plano longitudinal à peça; e 𝜈𝑇𝐿 o coeficiente de Poisson no

plano transversal à peça. Os subscritos 𝑤 e 𝑓 se referem à alma e mesa,

respectivamente. Como visto, as equações (6.2) e (6.3) também podem ser escritas

de forma similar à equação (6.1), com os termos finais em colchetes representando

os coeficientes de flambagem, 𝑘.

Cardoso (2014) deu prosseguimento ao estudo de Lekhnitskii (1968), e propôs

um outro cálculo para o coeficiente de flambagem 𝑘, considerando o perfil inteiro da

seção submetido à carga, e utilizando constantes elásticas homogeneizadas para toda

a seção, conforme mostrado na equação (6.4):

𝐹𝑐𝑟 = 𝑘𝜋2𝐸𝐿

12(1 − 𝜈𝐿𝑇𝜈𝑇𝐿)(𝑡𝑓

𝑏𝑓)

2

(6.4)

com

𝑘 = (𝑏𝑤𝐿)2

+1

𝛼

𝐸𝑇𝐸𝐿(𝐿

𝑏𝑤)2

+2

𝛼[𝜈𝐿𝑇

𝐸𝑇𝐸𝐿+ 2(1 +

𝑏𝑓

𝑏𝑤) (1 − 𝜈𝐿𝑇𝜈𝑇𝐿)

𝐺𝐿𝑇𝐸𝐿] (6.5)

e

𝛼 = 1 + (𝜋2

3)(

𝑏𝑓

𝑏𝑤)

3

(6.6)

Uma outra importante contribuição no estudo de carga crítica de flambagem

local de viga I para material ortotrópico foi desenvolvida por Davalos, et al. (1999), e

foi descrita no The Pultex® Pultrusion Design Manual, Volume 5, de 2016, onde ao

invés de ser calculada a carga crítica de flambagem, a equação fornece a resposta

em termos de tensão de flambagem, e é mostrada a seguir na equação (6.7):

𝜎𝑥𝑐𝑟 =

𝜋2

12(𝑡𝑓

𝑏)2

[√𝑞 (2√(𝐸𝑥)𝑓(𝐸𝑦)𝑓) + 𝑝 ((𝐸𝑦)𝑓(𝜈𝑥𝑦)𝑓 + 2(𝐺𝑥𝑦)𝑓)]

(6.7)

64

com os coeficientes 𝑝 e 𝑞 dependentes do coeficiente de restrição da junção das

placas ξ, definidas pelas equações

𝑝 = 0,3 + (0,004

ξ − 0,5)

𝑞 = 0,025 + (0,065

ξ + 0,4)

ξ =2𝑏𝑤(𝐸𝑦)𝑓

𝑏𝑓(𝐸𝑦)𝑤

𝑏 =𝑏𝑓

2

onde 𝜎𝑥𝑐𝑟 = Tensão crítica de flambagem (MPa)

𝑏 = Metade da largura da mesa (m)

𝑏𝑓 = Largura da mesa (m)

𝑏𝑤 = Altura da alma (m)

𝐸𝑥 = Módulo de elasticidade Longitudinal (MPa)

𝐸𝑦 = Módulo de elasticidade Transversal (MPa)

𝑓 = Flange ou mesa

𝐺𝑥𝑦 = Módulo de elasticidade transversal (MPa)

𝑝 = Constante definida pelo coeficiente de restrição (ξ)

𝑞 = Constante definida pelo coeficiente de restrição (ξ)

𝑡 = Espessura da mesa (m)

ξ = Coeficiente de restrição das placas comprimidas

𝑤 = Alma

6.1.2 Flambagem global por flexão em torno do eixo de menor inércia

O termo flambagem global é usado para descrever a mais comum instabilidade

física que pode ocorrer na compressão de membros carregados axialmente.

65

Flambagem global se refere à flambagem prevista pela equação de Euler. O instante

da carga crítica de flambagem global é caracterizada pelo deslocamento lateral de

toda a seção transversal ao longo de um plano perpendicular ao eixo de menor inércia

à flexão. Para elementos estruturais de PRFV, com índice de esbeltez suficiente para

haver modo de flambagem global, vários artigos mostraram através de trabalhos

experimentais e analíticos que a carga crítica de flambagem global pode ser prevista

com uma precisão aceitável (Zhan, 2017) utilizando a fórmula clássica de Euler, dada

pela equação (6.8).

𝑃𝑒𝑢𝑙𝑒𝑟 = 𝜋2𝐸𝐿𝐼𝑚𝑖𝑛/(𝑘𝐿𝑒𝑓𝑓)

2 (6.8)

onde 𝐸𝐿 = Módulo de elasticidade longitudinal (MPa)

𝐼𝑚𝑖𝑛 = Menor momento de inércia da seção transversal (m4)

𝐿𝑒𝑓𝑓 = Comprimento efetivo da peça (m)

𝑘 = Coeficiente de restrição das extremidades

Atualmente, a fórmula clássica de Euler é adotada pela EURO-COMP Design

Code Handbook, Bedford Reinforced Plastics Inc. e Creative Pultrusions Inc.

Como em ensaios de compressão as placas que comprimem os elementos não

tem liberdade de movimento, como rotação de uma rótula, e as duas extremidades

tem a mesma condição de contorno, podemos aproximar esta configuração como

engastada nos dois bordos, fazendo com que o comprimento efetivo recomendado

seja de 0,65 vezes o comprimento total da peça, como descrito no livro Estruturas de

Aço - Dimensionamento prático de Acordo com a NBR 8800:2008, 8ª Edição, de

Walter Pfeil (2009).

66

Figura 23 - Comprimento de flambagem 𝑳𝒆𝒇𝒇.

Fonte: Pfeil (2009).

6.1.1 Flambagem global por flexo-torção

Membros comprimidos de seção aberta podem flambar em um modo torsional

puro. Para seções duplamente simétricas, como as chapas de perfis I, tem como

vantagem ter seu centro de cisalhamento se dá coincidentemente com seu centroide,

fazendo com que a flambagem global por flexo-torção não ser relevante. Contudo,

para seções onde não há esta dupla simetria, o centro de cisalhamento não coincide

com o centroide, o que pode aumentar a suscetibilidade à torção, que para materiais

ortotrópicos foi obtida por Dhruv R. Patel et al. como:

𝜎𝑐𝑟𝑡𝑜𝑟 =

1

𝐼𝑝[𝜋2𝐸𝐿𝐶𝜔(𝑘𝜔𝐿)

2+ 𝐺𝐿𝑇𝐽]

(6.9)

onde 𝐴𝑧 = área da seção transversal

𝐼𝑝 = o segundo momento polar de área

𝐽 = a constante torsional

𝐶ω = a constante de deformação

𝑘ω = o coeficiente de restrição na extremidade para flambagem torsional

𝐿 = o comprimento efetivo do membro

67

𝐺𝐿𝑇 = é o módulo de cisalhamento no plano previamente definido para a peça

pultrudada.

A carga crítica de flambagem global por flexo-torção para membros

homogêneos é:

𝑃𝑐𝑟

𝑡𝑜𝑟 = 𝜎𝑐𝑟𝑡𝑜𝑟𝐴𝑧 (6.10)

6.1.2 Investigações experimentais anteriores relatadas na literatura

Uma revisão das mais relevantes investigações experimentais que abordam a

flambagem local de seções pultrudadas de PRFV foi apresentada por Mottram (2004),

que observou que um teste apropriado de flambagem local deve ser conduzido em

colunas tendo comprimentos mínimos de 4 metades de comprimentos de onda, por

causa da influência das condições de extremidade das peças, consequência da forma

de aplicação do carregamento, na flambagem local para colunas muito curtas para

que a influência das condições de contorno possa ser negligenciada.

De qualquer modo, isso pode resultar em comprimentos nos quais as peças

sejam também suscetíveis à flambagem global. Significativamente, as colunas

adotadas pela maioria dos trabalhos citados não podem ser consideradas para serem

corpo-de-prova de experimentos (Yoon 1993; Lane e Mottram 2002; Mottram et al.

2003), porque elas não são curtas o suficiente para atenuar a influência de deflexões

laterais totais (flambagem global).

Um dos primeiros trabalhos realizados que se tem conhecimento para colunas

de secção I (Tomblin e Barbero 1994), investiga o comportamento em flambagem local

de diferentes seções (𝑑 x 𝑏𝑓 x 𝑡 = 102 x 102 x 6,4 mm; 152 x 152 x 6,4 mm; 152 x 152

x 9,5 mm; 203 x 203 x 9,5 mm) sendo 𝑑 a altura total da seção, 𝑏𝑓 a largura das

mesas, e 𝑡 a espessura das placas, sob compressão, tendo comprimentos variando

de 2 a 4 vezes a metade de comprimento de onda do modo deformado previsto. Os

comprimentos adotados variaram de 26,7 a 54,6 cm para 102 x 102 x 6,4mm; de 38,1

para 76,2 cm para 152 x 152 x 6,4 mm; de 39,4 para 77,5 cm para 152 x 152 x 9,5

mm; e de 49,5 a 100,3 cm para 203 x 203 x 9,5 mm, respectivamente, para cada

tamanho de seção descrito.

68

Reconhecendo que o fato desse modo de flambagem ser desconhecido a priori,

as amostras de colunas foram instrumentadas com aparelho de medição (micrômetro)

a fim de capturar a deflexão em diferentes pontos ao longo de seu comprimento.

Os autores observaram que a deflexão lateral aumenta sob carga constante

após a flambagem ocorrer, e, portanto, afetando as cargas de flambagem descritas.

As cargas críticas experimentais, determinadas usando o gráfico de Southwell (1932),

foram comparadas com aquelas determinadas teoricamente por Kollar (2002, 2003) e

Qiao et al. (2003), e foi constatado um desvio máximo de 24,2% nas mesmas

condições de aplicação das equações propostas. Por conta das propriedades

elásticas serem estimadas por uma aproximação elástica através de micromecânica

(Barbero, 1991), ao invés de ser determinada experimentalmente, a correlação entre

experimentos e previsão analítica não foi conclusiva. As cargas críticas de flambagem

para colunas com índices de esbeltez baixos foram até 36% maiores do que colunas

com índices de esbeltez elevados.

Turvey e Zhang (2004, 2006) testaram seções “I” de 102 x 102 x 6,4 mm de

amostras de colunas tendo comprimentos variando de 200 a 800 mm

(aproximadamente 1 a 4 vezes a metade do comprimento de onda). As colunas foram

instrumentadas com medidores de tensão e deslocamento, transdutores e as cargas

críticas foram obtidas pelos gráficos de Southwell (1932). Os resultados foram

comparados com aqueles obtidos utilizando o MEF (Método dos Elementos Finitos)

baseado em propriedades materiais determinadas experimentalmente e assumindo

restrições das espessuras das paredes da peça em relação à rotação nas suas

bordas. Um desvio máximo de 10% foi observado entre resultados experimentais e

previsões via MEF. A carga crítica obtida para colunas curtas foi 32% maior do que as

longas nas previsões via MEF.

As diferenças entre as cargas críticas para colunas curtas e longas descrita por

Tomblin e Barbero (1994) e Turvey e Zhang (2004) são notáveis. Cargas críticas de

até 36% maiores foram obtidas via MEF para colunas curtas, e podem ser explicadas

pelo fato de que as placas comprimindo as seções não são simplesmente suportadas

nas suas bordas por que as linhas de ação das forças mudam conforme a placa

deforma lateralmente, causando uma excentricidade que afeta a flambagem do perfil

e pode aumentar significativamente a carga crítica de elementos estruturais curtos,

conforme a Figura 24.

69

Contudo, quanto mais curto o elemento estrutural, menos esses efeitos são

importantes.

Figura 24 - Efeitos das condições nas bordas na flambagem local causando força excêntrica.

Fonte: Adaptado de Cardoso (2014).

Tomblin, et al. (1994) estudaram a flambagem local da flange de colunas de

PRFV pultrudadas de paredes finas. Os procedimentos experimentais e dados usados

para obter a flambagem local foram apresentados. Para interpretar os dados de teste

de flambagem local, uma nova técnica utilizando o método de Southwell (1932) foi

desenvolvida, como mostra a Figura 25.

70

Figura 25 - Representação do gráfico de Southwell.

Fonte: Adaptado de Carvalhar (2001).

A demonstração da técnica para vários tipos de seção de colunas e condições

experimentais foram mostradas. As cargas foram aumentadas até a coluna estar

evidentemente flambada. Após as análises dos resultados, pode-se dizer que todos

os instrumentos de medição apresentaram pequenos deslocamentos da carga inicial

aplicada e então estabilizados na carga antes da flambagem da flange ocorrer. Em

alguns casos, uma flange flambou antes da outra, o que pode ser causado devido à

imperfeições existentes na flange.

Southwell (1932) propôs um método com o qual os dados obtidos em testes de

colunas com curvatura inicial poderiam ser analisados para determinar a carga crítica

de flambagem da coluna caso ela fosse perfeitamente reta. A capacidade é estimada

a partir da medida da deflexão lateral e da força axial aplicada. Este é essencialmente

útil em testes não destrutivos para demonstrar propriedades de resistência e rigidez

de um componente de uma estrutura real desde que a coluna seja solicitada com

carregamento dentro do limite elástico.

Para determinar a carga crítica basta obter o inverso da inclinação desta reta.

Se o valor aproximado da carga crítica é conhecido, o carregamento pode ser

encerrado antes de que seja atingido, prevenindo a ruptura do material. Esse

procedimento é conhecido como Diagrama de Southwell.

McCarthy, et al. (2010) tiveram como objetivo principal investigar a

sensibilidade do seu modelo de sua equação proposta para flambagem local na

flange, também para a determinação da precisão da equação, que inclui o efeito da

restrição rotacional na junção mesa-alma. A equação pode ser usada para

71

modelagem de perfil macroscopicamente não-homogêneo, por incorporar

propriedades ortotrópicas ou constantes homogeneizadas para laminados, a exemplo

daqueles da teoria clássica dos laminados. A equação obtida nos trabalhos

anteriormente citados não fornece um resultado preciso. McCarthy e Bank

examinaram a equação baseada na teoria de lâmina ortogonal para tensão de

flambagem local para uma placa. Também examinaram a equação para uma junção

de mesa-alma com restrição rotacional. A constante rotacional é maior em peças

submetidas predominantemente a esforço do tipo momento fletor, do que em colunas

com esforços predominantemente do tipo compressão, por causa da alma fazer um

melhor trabalho de restrição da flange contra a flambagem.

A fim de avaliar o erro das equações, as forças previstas para equações foram

comparadas com resultados experimentais. Isto está feito por um cálculo, definido

pela equação que é a razão da força experimental pela força prevista. Se o valor

calculado é 1, isso significa que a equação correlaciona perfeitamente com o

resultado. Se for maior que 1, significa que a equação é conservativa, e menor que 1,

não conservativa. No geral, quanto mais perto do valor 1, a equação apresenta uma

melhor relação com a realidade.

Cardoso, et al. (2015) forneceram uma equação com resultados bem próximos

de resultados experimentais, e simples para determinar a tensão crítica de flambagem

local de seções I pultrudadas de PRFV. Seções feitas de matrizes de vinyl ester e

polyester foram testadas. A expressão proposta é comparada com resultados

experimentais, bem como o resultado de análises numéricas utilizando finite strip-

method (FSM). Neste trabalho, o método do Quociente de Rayleigh foi utilizado para

determinar a carga crítica de flambagem local. A equação foi desenvolvida para uma

placa infinitamente longa que é capaz de acomodar o comprimento crítico de meia

onda. A equação proposta mostrou boa correlação com dados numéricos e

experimentais. As seções de vinyl ester (VE) exibiram propriedades elásticas um

pouco maiores que as de polyester (PE), porém não foi noticiada diferenças quando

foram observados testes de colunas curtas.

Brooks, et al. (1995) consideraram uma série de testes de flambagem em

elementos estruturais de seção I de PRFV pultrudado engastado. Comparações com

cargas críticas teóricas, determinadas por uma equação aproximada, e análise

numérica via elementos finitos através de análise linear por problemas de autovalores,

72

com os resultados dos testes foram apresentados. Os resultados revelaram que a

análise de flambagem linear não fornece uma estimativa precisa, para uso na

modelagem, da carga máxima na extremidade que um elemento engastado possa

suportar. As cargas críticas obtidas com análises por autovalores via elementos finitos

foram no geral menores que as cargas de testes experimentais observados no início

da flambagem lateral.

Isto ocorre quando se usa módulos de seção fechada na fórmula de carga

crítica clássica de Timoshenko, providenciando uma correlação de flambagem global

com os resultados de testes que são comparados com as melhores previsões de

análise de autovalores em elementos finitos. Brooks, et al. (1995) sugeriram que,

incorporando deformações iniciais como as deformações de pré-cargas de flambagem

em uma análise não-linear de elementos finitos pode levar a uma correlação mais

próxima com os resultados de testes.

Lane, et al (2002). apresentaram uma investigação experimental acerca do

comportamento de flambagem de elementos pultrudados de PRFV pultrudado. Modos

de flambagem local e global ocorrem simultaneamente em uma maneira violenta e

instável de flambagens combinadas é descrito. Seções “H” tem uma melhor proporção

de reforço de fibra unidirecional orientada ao longo do eixo longitudinal em

comparação com a maioria dos outros tipos de perfis PRFV. O valor da carga de

flambagem global aumenta conforme o comprimento da coluna diminui, o que permite

a flambagem local das mesas serem o modo de falha crítica para colunas abaixo de

certo comprimento. A restrição rotacional na interface mesa-alma é a principal causa

da modelagem precisa, e para estimativa de valores. Os efeitos não lineares são

altamente sensíveis à imperfeições. Os dois principais tipos de imperfeições

encontradas em flambagem de colunas são cargas excêntricas e imperfeições de

fabricação das colunas.

Barbero, et al. (1993) consideraram para colunas pultrudadas longas, que

flambagem global (Euler) é provável de acontecer antes de qualquer outra falha por

instabilidade e a equação de flambagem necessita incorporar a natureza anisotrópica

do material. Para colunas curtas, a flambagem local ocorre primeiro levando tanto à

grandes deflexões, que por sua vez acabam por desencadear a flambagem global, ou

consequentemente levando à falha material localizada graças a estas grandes

deflexões. Visto que o material composto acomoda grandes deformações até a sua

73

falha, o material composto permanece linearmente elástico para grandes deflexões e

deformações ao contrário de materiais convencionais.

6.2 Método analítico para cálculo da carga crítica de flambagem em tubo de

seção circular

Uma casca cilíndrica carregada em compressão pode falhar pela flambagem

global (Euler), pela flambagem local (flambagem relacionada à espessura da parede),

ou pela falha no material (escoamento, ruptura de fibra, micro fissura na matriz, etc).

Weaver (1999) produziou gráficos que identificam estes mecanismos de falhas como

função da configuração do laminado e espessuras da casca. O foco são as

espessuras da circunferência onde ocorrem a flambagem local em carregamentos que

independem do comprimento, tipicamente em razões de comprimento/raio inferiores

a 5.

Dois fenômenos que reduzem a carga crítica de flambagem são os efeitos

anisotrópicos de acoplamento entre tensão normal e deformação e a sensibilidade à

imperfeições. Tomando o primeiro efeito, os fenômenos de acoplamento são bem

conhecidos por terem efeitos prejudiciais à capacidade de suportar carga para várias

estruturas. Soluções analíticas para seções de perímetro fechado são geralmente

disponíveis apenas para configurações simétricas ou arranjos anisotrópicos no qual

os efeitos de acoplamento entre esforços de membrana e deformação de flexão são

eliminados ou reduzidos drásticamente. Vasiliev (1993) fornece uma equação para

determinação do esforço compressivo, na direção longitudinal, por unidade de

comprimento como:

𝑁 = [𝐷11𝜆𝑚2 + 2(𝐷12 + 2𝐷66)𝜆𝑛

2 + 𝐷22𝜆𝑛4

𝜆𝑚4]

+(𝐴11𝐴22 − 𝐴12

2 )𝜆𝑚2

𝑟2 [𝐴11𝜆𝑚4 + ((𝐴11𝐴22 − 𝐴12

2 )𝐴66

− 2𝐴12)𝜆𝑚2 𝜆𝑛2

+ 𝐴22𝜆𝑛4 ]

(6.11)

onde, 𝐷𝑖𝑗 e 𝐴𝑖𝑗 são constantes de rigidez homogeneizadas para o laminado. O autor

modelou o padrão de flambagem local como sendo séries de dobro do seno, onde 𝜆𝑚

74

é a metade do comprimento de onda e 𝜆𝑛 é o comprimento de onda circunferencial,

dados por:

𝜆𝑚 =𝑚𝜋

𝑙 e 𝜆𝑛 =

𝑛

𝑟

tipicamente, 𝑚 e 𝑛 são determinados por uma técnica exaustiva de busca. Esta carga

de flambagem da equação (6.11) é altamente dependente dos dois lados da

configuração e modo da viga. O valor superior da borda é para uma configuração

homogênea quase isotrópica. Na prática, os projetos frequentemente negligenciam os

efeitos do acoplamento flexão/torção enquanto os termos de rigidez à flexão 𝐷16 e 𝐷26

forem suficientemente pequenos. Utilizando exclusivamente sequências simétricas de

empilhamento de lâminas, muitas vezes impedem a presença de acoplamento de

deformação de membrana por alongamento.

Foi mostrado que a flambagem local é melhor resistida utilizando laminados

quasi-isotropic (laminados onde sua configuração produz valores nulos para

coeficientes da matriz 𝐴𝑖𝑗). Onoda (1985) constatou teoricamente que a carga máxima

de flambagem local para laminados simétricos pode ser alcançada usando uma

configuração quasi-isotropic consistindo de um número infinito de lâminas finas

infinitesimais criando um laminado homogêneo efetivamente. Essa configuração é

evidentemente impraticável. Após um estudo, tornou-se aparente que esses

laminados contendo um número finito de lâminas que satisfaz a melhor solução de

Onoda (1985) não são determinadas diretamente.

O número mínimo de lâminas de camadas (0, 90 e ± 45º) que satisfazem a

solução de Onoda é 48. Apenas com este número mínimo de lâminas é possível fazer

um laminado quasi-isotropic (no plano que é ao mesmo tempo homogêneo e

especialmente ortotrópico). Isso tem potenciais ramificações no que diz respeito ao

modelo. De fato, se uma casca cilíndrica é fabricada de materiais unidirecionais, a

espessura mínima para alcançar 48 lâminas é no momento 6mm, assumindo 8

lâminas por milímetro. Parece, então, que uma solução finita para a proposta de

Onoda (1985) resulta em uma estrutura de espessura considerável. Isso deixa claro

que o uso da configuração quasi-isotropic, na prática, corre o risco de incluir efeitos

de acoplamentos indesejáveis. É um equívoco comum supor que os efeitos de

acoplamento são eliminados em um laminado balanceado e simétrico. Contudo isso

75

não é necessariamente o caso. Claramente acoplamentos de torção/flexão podem

ocorrer e é devido ao posicionamento não coincidente de lâminas -45 e -45º.

Portanto, supostamente um laminado quasi-isotropic laminado consistindo de

proporcões iguais a 0, +45, -45 e 90º tem diferentes modulos de flexão nas principais

direções, ou acoplamentos flexão/torção, ou os dois. Isso é assim, a menos que um

mínimo de 48 lâminas e configurações especiais seja usado. Alternativamente, as

camadas de fibras anguladas no laminado pode ser posicionada antissimetricamente

sobre o plano médio para eliminar o acoplamento flexão/tensão, mas á custa de

introduzir acoplamentos flexão/torção através dos termos da matriz 𝐵16 e 𝐵26.

É bem conhecido que, em estruturas com larguras mínimas, os mecanismos

de falha interagem, e isso tem uma outra consequencia: eles podem ser altamente

sensíveis para defeitos. Como um exemplo, a carga axial de flambagem de tubos

cilíndricos de paredes finas são altamente sensíveis na espessura da parede: uma

imperfeição com uma amplitude de 20% da espessura da parede pode reduzir a carga

geral de flambagem em mais de 50%.

O primeiro experimento relatado de cascas compostas aparece realizado em

meados dos anos 1960, por Card e Petersen (1962). Eles reconheceram o efeito de

imperfeições na flambagem por compressão axial de fissuras em cascas cilíndricas.

A NASA subsequentemente modificou a expressão clássica de autovalor linear por

carga de flambagem utilizando uma base empírica de coeficiente baseado nesse

resultados. O coeficiente foi também relacionado com a razão raio/espessura da

parede, na rigidez do plano e termos de rigidez à flexão e foi definido para fornecer

um limite inferior aos resultados experimentais.

Os autores seguintes modelaram efeitos não-lineares em cascas cilíndricas

incluindo imperfeições na determinação da estabilidade pós flambagem. Tennyson e

Simitses modelaram um composto laminado de cascas cilíndricas com imperfeições

e mostraram efeitos catastróficos silimares. Tennyson et al. (1990) também

consideraram experimentalmente e analiticamente efeitos de arranjos e sensibilidade

à imperfeições de tubos compostos, e assim, forneceram uma visão física valiosa

sobre este fenômeno. Hansen e colegas de trabalho identificaram um laminado de 4

lâminas ótimo para resistir à flambagem local com (26,7, -36,8, 69,1, e -10,6º). Embora

não tenha sido discutido por eles, este laminado é apenas ótimo para 4 lâminas de

um sistema de material particular utilizado. Isto é interessante pelo fato de conter todas

76

as possibilidades de termos de acoplamentos, e como a consequência, provavelmente

tem um padrão incomum de flambagem, embora isto também não está apresentado.

Esta técnica de modelagem também questiona a validade desses resultados.

Assumindo implicitamente condições de contorno simétrica e assimétrica no

comprimento médio, assim como reduzir o tamanho do modelo para uma metade,

força efetivamente os modos de flambagem ao de um modelo ortotrópico, e

impossibilita tais efeitos anisotrópicos.

Após alguns anos, Pandey e Sherbourne (1995) tentaram expressar a

discrepância entre resultados experimentais e métodos teóricos usando uma

aproximação de dureza reduzida baseado no trabalho de cascas cilíndricas

isotrópicas de Croll, feito anteriormente. Enquanto providenciavam os conhecimentos

necessários sobre a resposta física, os autores concluíram que o método fornece um

indicador qualitativo de efeitos da configuração na sensibilidade à imperfeição. Em

particular, eles sugeriram que essa redução de sensibilidade à imperfeições pode ser

obtida utilizando configurações com uma alta dureza e baixo coeficiente de Poisson

no plano.

Estes últimos trabalhos compartilham um tema comum de introduzir

imperfeições dentro da geometria perfeita de casca, e por considerar um equilíbrio

estático linear, e então determinar a estabilidade dos modos de flambagem

posteriores. Essa pós flambagem sustenta uma carga muito menor que um limite de

carga inicial para um cilindro perfeito. Embora estas imperfeições providenciam o

mecanismo para pular para um estado de pós flambagem de um estado inicial estável.

Esta tem sido a longa explicação para a discrepância entre cargas de flambagem

experimental e analítica clássica.

Os modelos de código refletem um entendimento mais básico. De fato, a atual

European Space Agency (ESA) projetou um manual de composto, recomendando

usar a expressão simplificada através do qual um fator de ruptura empírico em

conjunto com a análise clássica de autovalores é utilizado. A NASA utiliza a mesma

aproximação. Embora reconhecendo que as respostas a estabilidade pós flambagem

são provavelmente mais indicada para o comportamento de uma casca cilíndrica real,

ela ainda não tem solução confiável para prever a resposta à cascas compostas de

formas fechadas. A esbeltez para fórmula clássica de auto valor com um fator de

77

ruptura é aquela que, mesmo reconhecendo a sensibilidade à imperfeição, preserva

a solução simplificada de formas fechadas.

Já Amir Fam et. al (2010) propõe um modelo simplificado para estabilizar a

interação das curvas para tubos longos compostos engastados. A capacidade de

carga puramente axial para tubos longos pode ser calculada utilizando a equação de

flambagem de Euler. A equação de flambagem de Euler é baseada em um material

linear elástico homogêneo, entretanto, ele pode ser aplicado para tubor compostos

com uma consideração especial de o módulo de elasticidade 𝐸 estar na direção

longitudinal. A tabela feita por Amir Fam et. al (2010) compara a capacidade de carga

axial obtida para os casos estudados utilizando o método de elementos finitos com

aqueles utilizando previamente a equação de Euler. A tabela mostra que, na maioria

dos casos, (onde o índice de esbeltez é de 114 ou maior), a carga crítica para tubos

compostos foram geralmente bem previstas pela equação de Euler, com uma

diferença média de 7,6%. Por outro lado, para tubos curtos, com índice de esbeltez

de 19, foi encontrado um erro significamente grande de mais de 80%. Isto é porque a

carga crítica de Euler, que é essencialmente baseada na flambagem global, vem a ser

infinitamente grande quando o comprimento efetivo de um tubo se aproxima de 0.

Tubos curtos falharam por flambagem local e compressão, à cargas muito menores

que aquelas previstas pela equação de Euler. Os modos globais de flambagem serão

calculado utilizando condições de contorno para comprimento efetivo da mesma forma

abordada para o caso da viga I, ou seja, um comprimento efetivo de 0,65 vezes o

comprimento da peça.

78

7 PRINCÍPIO DA APROXIMAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS

O Método dos Elementos Finitos (MEF) teve suas origens na análise estrutural.

Com o surgimento dos primeiros computadores digitais no início da década de 50, os

métodos matriciais para a análise estrutural tiveram um grande desenvolvimento. As

primeiras aplicações envolviam apenas estruturas reticuladas, mas a crescente

demanda por estruturas mais leves, conduziu ao desenvolvimento de métodos

numéricos que pudessem ser utilizados nas análises de problemas mais complexos.

Entre os primeiros trabalhos a tratarem deste tema, estão os autores Turner et al.

(1956), Argyris e Kelsey (1960), e Zienkiewicz e Taylor (2005). Na década de 70 o

MEF teve suas aplicações estendidas a problemas de mecânica dos fluidos e, desde

então, vem consolidando-se como um método mais geral de solução de equações

diferenciais parciais.

Esta abrangência, aliado ao sucesso do método, propiciou o estudo mais

profundo e extenso de seus fundamentos matemáticos. Da análise matemática do

método resultaram estimadores de erro e critérios de estabilidade numérica, que

garantem aos resultados mais confiabilidade. A evolução do método nas últimas 5

décadas foi muito significante, passando de problemas lineares para não lineares, de

análises de somente um fenômeno para análises multi-físicas, utilizando interfaces

gráficas muito mais intuitivas do que as primeiras interfaces computador-usuário. O

MEF continua sendo muito utilizado, e em constante evolução, visto a quantidade de

artigos científicos publicados em torno dele nas últimas décadas.

A geometria submetida aos carregamentos e restrições é subdividida em

pequenas partes, denominadas de elementos. A divisão da geometria em pequenos

elementos permite resolver um problema complexo, subdividindo-o em problemas

mais simples. A solução do problema como um todo se dá mediante a solução de

vários problemas simples simultaneamente. Isto resulta em sistemas de equações

algébricas, que por sua vez são apropriados para a utilização de computadores.

Para um modelo físico volumétrico, onde se tem infinitos pontos, e onde cada

ponto pode se ter um eixo de coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧, com deslocamentos na direção

destes eixos, o problema teria infinitas variáveis desconhecidas. O método propõe que

o número infinito de variáveis desconhecidas, sejam substituídas por um número

limitado de elementos de comportamento bem definido. Essas divisões podem

79

apresentar diferentes formas, tais como a triangular, quadrilateral, entre outras, em

função do tipo e da dimensão do problema. Como são elementos de dimensões finitas,

são chamados de “elementos finitos” – termo que nomeia o método.

Os elementos finitos são conectados entre si por pontos, os quais são

denominados de nós ou pontos nodais. Ao conjunto de todos esses itens – elementos

e nós – dá-se o nome de malha. Em função dessas subdivisões da geometria, as

equações matemáticas que regem os comportamentos físicos não serão resolvidas

de maneira exata, mas de forma aproximada por este método numérico. A precisão

do MEF depende da quantidade de nós e elementos, do tamanho e dos tipos de

elementos da malha. Ou seja, quanto menor for o tamanho e maior for o número deles

em uma determinada malha, maior a precisão nos resultados da análise (ESSS,

2019).

Apesar do MEF, geralmente, considerar os elementos individualmente como

contínuos, o método em sua essência consiste de um procedimento de discretização.

Isso porque exprime os deslocamentos em qualquer ponto do elemento contínuo, em

termos de um número finito de deslocamentos associados aos pontos nodais

multiplicados por funções de interpolação apropriadas. A partir destes deslocamentos,

por diferenciação das deformações e, no caso de comportamento linear, utilizando-se

a lei de Hooke (Timoshenko, 1970), em que a variação da tensão pelo deslocamento

é constante. Esta relação linear serve apenas quando estamos tratando de pequenos

deslocamentos. Quando os deslocamentos e deformações aumentam

significativamente, ou o comportamento do material apresenta fenômenos como

plasticidade e fissuração os efeitos não-lineares ganham importância.

A vantagem do método é que a equação de equilíbrio para o sistema como um

todo pode ser obtida pelo agrupamento das equações determinadas, individualmente,

para cada elemento finito utilizado na modelagem. A interpolação é, geralmente, feita

com funções de interpolação polinomiais de grau reduzido.

Uma outra vantagem do MEF é a facilidade com que a sua generalização pode

ser conseguida para a resolução de problemas bidimensionais e tridimensionais

constituídos por vários materiais diferentes e para domínios com contornos

irregulares.

Os passos essenciais de uma solução numérica pelo MEF são os seguintes:

1. Subdivisão do sistema global contínuo em elementos finitos;

80

2. Para cada elemento finito m calcular a matriz de rigidez [𝐾(𝑚)] e, para

problemas dinâmicos, matriz de massa [𝑀(𝑚)] e a matriz de

amortecimento [𝐶(𝑚)] relativamente a um referencial local conveniente;

3. No caso particular deste trabalho, é necessário obter a matriz geométrica

de cada elemento, para compor o problema de auto-pares;

4. Determinação do sistema global, composto por uma matriz de rigidez

global [𝐾] e, para problemas dinâmicos, da matriz de massa [𝑀] e da

matriz de amortecimento [𝐶] através da compatibilização das

contribuições elementares expressas relativamente a um mesmo

sistema de referência global;

5. Determinação do vetor das cargas aplicadas ao sistema global {𝑅};

6. Estabelecimento das equações de movimento para o sistema global

[M]{Ü} + [C]{�̇�} + [𝐾]{𝑈} = {𝑅}, onde {𝑈}, {�̇�} e {Ü} os vetores dos

deslocamentos, velocidades e acelerações nodais, respectivamente.

7. Cálculo das variáveis do problema em questão, tais como:

deslocamentos, deformações e tensões.

Através dos autovalores extraídos, se determina as cargas críticas de

flambagem, e então descrito para cada autovalor qual será seu modo de flambagem

correspondente. Neste estudo, utilizaremos apenas quatro primeiros autovalores, que

matematicamente já é um número razoável de soluções possíveis para se observar

em uma peça.

O MEF apresenta diversas formulações possíveis. Em problemas estáticos, por

exemplo, no caso da análise estrutural, é comum derivar-se a matriz de rigidez

utilizando-se a abordagem direta que consiste no relacionamento do vetor dos

deslocamentos nodais com o vetor das forças nodais. Tal abordagem apresenta

algumas dificuldades em problemas dinâmicos, tais como na análise de vibrações,

sendo mais adequado neste tipo de problema obter-se para cada elemento individual

a derivação das matrizes de elementos finitos de rigidez, de massa e do vetor das

forças não conservativas nodais a partir respectivamente da energia cinética, da

energia potencial e da expressão dos trabalhos virtuais.

As análises feitas pelo software ANSYS® são em relação as coordenadas

globais da peça. Porém, como as modelagens foram realizadas com materiais

ortotrópicos, uma importante definição da modelagem são sistemas de coordenadas

81

locais, de modo que o programa entenda exatamente a contribuição de cada lâmina

para as propriedades mecânicas nas coordenadas globais. Para materiais isotrópicos,

isto não é relevante, pois mesmo que as coordenadas locais não estejam modeladas

corretamente, o resultado da análise não seria alterado.

7.1 Análise linear de estabilidade

A relação entre as forças nodais e os deslocamentos nodais para cada

elemento define o conceito de rigidez, que pode ser comparado a uma mola, como

ilustra a Figura 26. A rigidez da mola nada mais é do que uma relação entre a força

aplicada e o deslocamento medido na extremidade da mola. A constante elástica da

mola pode ser considerada como um coeficiente de rigidez no MEF (ALVES FILHO,

2007).

Figura 26 - Sistema força deslocamento de uma mola.

Fonte: Adaptado de Rust (2015)

O equacionamento do MEF utiliza o princípio semelhante ao da mola, porém

utilizam-se diversos componentes de rigidez simultaneamente. Relacionando assim

todos os deslocamentos e forças aos diversos componentes de rigidez. Quando essas

relações são lineares e 25 os componentes de rigidez são constantes, temos a análise

mais simples, que caracteriza uma análise linear (ALVES FILHO, 2007).

A tarefa principal da análise estrutural é analisar os esforços internos da

estrutura e os deslocamentos internos, baseando-se no carregamento externo, nas

propriedades mecânicas e geometria da peça, para isso utilizam-se equações

algébricas na forma matricial da seguinte maneira:

82

[𝐾]. {𝑈} = {𝐹}

onde {𝐹} é uma matriz coluna com todas as forças nodais, [𝐾] é uma matriz quadrada

de rigidez da estrutura, contendo os coeficientes de rigidez de toda a estrutura, que

relacionam todos os deslocamentos nodais com as forças nodais e {𝑈} é uma matriz

coluna com todos os deslocamentos nodais. Este é o equacionamento linear para

cálculos estruturais, caracterizado pela matriz de rigidez constante e a curva ilustrada

na Figura 27 (ALVES FILHO, 2007).

Figura 27 - Curva característica de análise linear.

Fonte: Adaptado de ANSYS (2015)

A determinação da matriz de rigidez de elementos bi e tridimensionais é feita

através de técnicas matemáticas de interpolação e análises de força, energia de

deformação e transformação de energia, obtendo assim coeficientes de rigidez

aproximados. Cada elemento possui uma matriz de rigidez característica, que está

disponível na biblioteca de elementos dos programas de análise via MEF (ALVES

FILHO, 2007).

7.2 Análise não linear de estabilidade

A análise não linear ocorre em múltiplos passos, diferentemente da análise

linear que é realizada em apenas um passo de carregamento. A análise não linear

requer que as forças ou deslocamentos impostos sejam aplicados gradualmente em

múltiplas etapas. No caso da não linearidade geométrica, a matriz de rigidez [𝐾] é

83

atualizada à medida que a estrutura se deforma e consequentemente a equação de

equilíbrio do sistema é atualizada para a estrutura deformada a cada passo da análise,

equilibrando a estrutura em relação as forças externas e internas e as deformações

(ALVES FILHO, 2012).

A equação geral para a análise não linear é:

([𝐾] + [𝐾𝐺]). {𝑈} = {𝐹}

onde {𝐹} é uma matriz coluna contendo as forças nodais, [𝐾] é a matriz quadrada de

rigidez antes do incremento de deformação, [𝐾𝐺] é a matriz quadrada de correção da

rigidez para o incremento de força aplicado e {𝑈} é a matriz coluna referente ao

deslocamento. A cada novo incremento a matriz de rigidez é corrigida (ALVES FILHO,

2012). A Figura 28 representa uma curva característica de análise não linear.

Figura 28 - Curva característica de análise não linear.

Fonte: Adaptado de ANSYS (2015)

Em casos de instabilidade como a flambagem, o objetivo é encontrar a carga

que gera a instabilidade no sentido de modificações bruscas na configuração

geométrica da peça em nível de carregamento praticamente constante, e ainda

descrever o comportamento da estrutura logo após a instabilidade, o que não é

possível por meio da análise linear. No caso da flambagem, a estrutura tende a

apresentar aumento dos deslocamentos e redução da força suportada logo após a

flambagem (ALVES FILHO, 2012).

84

A condição física de equilíbrio entre as forças internas e externas dos

elementos deformados é a base dos métodos iterativos, que buscam traçar a trajetória

de equilíbrio do sistema. Em casos nos quais o fenômeno físico é caracterizado pela

instabilidade, são necessários técnicas alternativas que utilizam o conceito do método

de Newton-Raphson. Algumas destas técnicas são a de controle do deslocamento,

técnicas de controle de energia, do comprimento de arco constante e do controle de

deslocamento generalizado (ALVES FILHO, 2012).

7.3 Análise linear e não linear

A análise estática linear de flambagem via elementos finitos é feita através do

método de autopares, o qual prediz a carga crítica de flambagem de uma estrutura

elástica linear ideal, bem como, o modo de flambagem. Entretanto, imperfeições e não

linearidades impedem a maioria das estruturas reais de atingir a sua carga crítica de

flambagem, logo, esta análise normalmente produz resultados rápidos, mas não

conservadores. Além disso, apenas o comportamento pré-flambagem pode ser

analisado por esse método (ANSYS, 2015).

Problemas de autopares são caracterizados pela possibilidade de que haja

mais que uma única solução para o sistema. O objetivo da análise através do método

de autopares é calcular as inúmeras soluções possíveis para o sistema em questão.

Para o caso da flambagem o menor valor dentre estes encontrados é o desejado

(BATHE, 1982).

A análise de flambagem linear através do método de autopares é formulada da

seguinte maneira:

([𝐾] + 𝜆𝑖[𝑆]. {𝜓}𝑖) = {0}

tal que [𝐾] é a matriz rigidez, [𝑆] é a matriz de rigidez de tensão, 𝜆𝑖 𝑖-ésimo autovalor

e {𝜓}𝑖 o 𝑖-ésimo autovetor de deslocamento (ANSYS, 2015).

A equação é resolvida através de algoritmos e então o menor autovalor 𝜆

positivo (em um problema bem modelado, todos estes 𝜆𝑖 são positivos) é utilizado

para determinar a carga crítica de flambagem.:

85

𝑃𝑐𝑟 = 𝜆𝐹0

onde 𝐹0 são as cargas iniciais que foram utilizadas para gerar [𝑆] (ANSYS, 2015).

Uma abordagem mais precisa para prever a instabilidade é realizar uma análise

de flambagem não linear. Isso envolve uma análise estática estrutural considerando

os efeitos da deformação. Usando a técnica não linear, o modelo pode incluir

características como imperfeições iniciais, comportamento plástico e resposta de

grande deflexão. Além disso, usando o carregamento controlado por deflexão, pode-

se acompanhar o comportamento pós-flambagem da estrutura (ANSYS, 2015).

A Figura 29 apresenta um comparativo dos resultados dos dois modos de

análise, o gráfico (a) mostra a curva de uma análise não linear que possibilita o estudo

do comportamento pós-flambagem da estrutura. Já o gráfico (b) ilustra as cargas

críticas obtidas pelas duas análises (linear e não linear), caracterizando a análise não

linear pela obtenção de valores mais conservadores para a carga crítica de flambagem

(ANSYS, 2015).

Figura 29 - Curvas de flambagem.

Fonte: ANSYS (2015)

No contexto analisado, a instabilidade pode ocorrer por (i) bifurcação ou (ii)

ponto limite, sendo que a primeira contextualiza a instabilidade de barras esbeltas,

quando consideradas peças ideais (sem imperfeições geométricas e sem tensões

residuais) e de material infinitamente elástico.

A instabilidade bifurcacional pode ser dividida em (i) simétrica estável, (ii)

simétrica instável, (iii) assimétrica. A Figura 30 ilustra o contexto teórico no qual se

insere esse trabalho.

86

Figura 30 - Contextualização da instabilidade de perfis.

Fonte: Braga (2015).

Os métodos numéricos de análise linear de estabilidade são aqueles que

fornecem os carregamentos críticos elásticos de bifurcação (no caso deste trabalho,

o carregamento crítico de bifurcação será a flambagem). Formalmente, consistem na

resolução de um problema de autovalores e autovetores associados às matrizes de

rigidez elástica e geométrica da estrutura discretizada (qualquer que seja o método

de discretização empregado).

É possível estimar a carga crítica de flambagem elástica de dada estrutura pela

extração dos seus autovalores. A carga de flambagem é obtida como um multiplicador

da carga de perturbação, a qual é adicionada ao conjunto das cargas externas

aplicadas à estrutura no estado inicial da análise. Para assegurar que os autovalores

obtidos sejam razoáveis, a resposta da carga de perturbação deve ser elástica para

valores acima da carga de flambagem estimada. Nas próximas seções serão

apresentados os elementos utilizados para a obtenção destes autovalores.

87

7.4 Elemento Shell 181

O elemento Shell 181 é apropriado para analisar estruturas finas a

moderadamente grossas. É um elemento originalmente quadrangular de quatro nós

com seis graus de liberdade em cada nó: translações nas direções x, y e z, e rotações

sobre os eixos x, y e z, e sua modelagem não exige que a geometria tenha um volume

definido. Assim, a malha é construída sobre um modelo geométrico contendo somente

as superfícies médias. A espessura é contemplada somente nos elementos finitos. O

elemento pode ter dois nós superpostos, de modo a se tornar triangular, porém

resultando em um elemento que fornece uma aproximação excessivamente pobre. A

formulação do Shell 181 acomoda cinemática de grandes rotações e relações

constitutivas não-lineares. O Shell 181 considera efeitos seguidos de pressões

distribuídas (ANSYS, 2019).

Figura 31 - Elemento Shell 181.

Fonte: ANSYS® Documentation (2019).

O elemento Shell 181 pode ser usado para a modelagem de placas / cascas

laminadas ou sanduíche, empregando para isso propriedades elásticas

homogeneizadas ao longo da espessura obtidas por meio da Teoria de Primeira

Ordem, na qual o cisalhamento nos planos contendo a espessura é suposto

constante, ao longo da própria espessura. A precisão na modelagem de cascas

compostas é regida pela teoria de primeira ordem (geralmente referido como teoria

shell Mindlin-Reissner, Mindlin (1951)).

A formulação do elemento é baseada na definição logarítmica de deformações

e tensões verdadeiras, com base na configuração deformada.

88

7.5 Elemento Solid 46

Outra alternativa seria a utilização do elemento Solid 46 e o Solid 191. O Solid

46 é uma versão estratificada do elemento Solid 45 e, é claro, se destina à simulação

de materiais laminados. O elemento possui 8 nós, sendo 3 graus de liberdade por nó

(translações nos eixos x, y e z) e pode possuir até 250 camadas de material ortotrópico

de mesma espessura, sendo que este elemento necessita de modelo geométrico com

um volume definido. O elemento possui um sistema de coordenadas próprio, assim

como o Shell 181, onde o eixo z é perpendicular ao plano de referência (KREF), plano

este que pode coincidir com o pano médio ou estar nas superfícies inferior ou superior

do elemento.

A importância deste sistema de referência se revela na orientação das

camadas, pois o ângulo θ é medido a partir do eixo x do elemento. Assim como, no

caso do Shell181, é necessário especificar os módulos de elasticidade (𝐸𝑥, 𝐸𝑦, 𝐸𝑧), os

módulos de cisalhamento transversal (𝐺𝑥𝑦, 𝐺𝑦𝑧, 𝐺𝑥𝑧) e os coeficientes de Poisson (𝜈𝑥𝑦,

𝜈𝑦𝑧 e 𝜈𝑥𝑧), com base no sistema de coordenadas locais do elemento. O elemento ainda

pode assumir as formas prismática e piramidal.

Figura 32 - Elemento Solid 46.

Fonte: ANSYS® Documentation 2019.

89

8 VALIDAÇÃO DOS MODELOS NUMÉRICOS

Nesta primeira etapa de estudo, os resultados numéricos apresentados

somente se destinam à verificação da estratégia de modelagem, ou seja, se o código

implementado no software foi bem preparado, com condições de contorno e

propriedades mecânicas e geométricas adequadas, a fim de se chegar a um resultado

próximo de resultados experimentais, ou seja, resultados reais.

8.1 Perfil I

Elementos estruturais de perfil I de PRFV de 100 x 100 x 6,4 mm foram

consideradas, variando os comprimentos de 0,5 m à 6 m, que são fabricadas com

polyester (PE) pelo processo de pultrusão. Os resultados para valores de carga crítica

de flambagem para todos os perfis foram relatados por Patel et al. (2016), onde ele

confrontou sua modelagem numérica, com os dados experimentais e solução analítica

relatadas por Cardoso et al. (2014), onde houve uma boa correlação dos resultados,

sendo adequado utilizá-los para comparação. As fibras relatadas nos experimentos

de Cardoso (2014) foram produzidas com frações volumétricas de 60% de fibras E-

glass e 40% resina polyester no processo de pultrusão. As propriedades da lâmina da

seção relatadas por Cardoso (2014) são dadas a seguir:

Tabela 1 - Propriedades materiais da lâmina.

𝐸𝑥 1,14e10 Pa

𝐸𝑦 4,47e10 Pa

𝐸𝑧 1,14e10 Pa

𝜈𝑥𝑦 0,272

𝜈𝑦𝑧 0,272

𝜈𝑥𝑧 0,446

𝐺𝑥𝑦 4,20e9 Pa

𝐺𝑦𝑧 4,20e9 Pa

𝐺𝑥𝑧 4,20e9 Pa

Fonte: Cardoso et al. (2014).

90

Cada perfil foi modelado com condições de contorno da seguinte maneira: em

uma das extremidades (em 𝑥 = 0), foram restringidos os deslocamentos em todos os

eixos (𝑥, 𝑦 e 𝑧), e na outra extremidade (𝑥 = L), foram restringidos apenas

deslocamentos na direção y e z. Foi aplicada uma força axial compressiva em todos

os nós em x = L, e então obtidos os resultados da análise não linear de autovalores,

utilizando os dois elementos de modelagem.

A Tabela 2 mostra os valores calculados encontrados por Patel et al. (2016)

para as dimensões mencionadas acima, onde LB indica flambagem local (local

buckling) e GB indica flambagem global (global buckling):

Tabela 2 - Valores calculados para Viga I 100 x 100 x 6.4mm.

Comprimento (m) Modos de flambagem Carga calculada

(kN)

0,5 LB 311,08 1 LB 305,10

1,5 GB 202,92 2 GB 126,71

2,5 GB 75,48 3 GB 52,72

3,5 GB 38,86 4 GB 29,82

4,5 GB 23,53 5 GB 19,90

Fonte: Patel et. al (2016)

8.1.1 Verificação do modelo numérico de viga I

As modelagens foram preparadas considerando apenas uma lâmina de

material ortotrópico com as propriedades mecânicas indicadas na Tabela 1.

Com ela foi possível calcular o erro de cada modelo, e com isso saber qual se

comporta de uma forma mais condizente com a realidade. A Tabela 3 indica os erros

entre as modelagens numéricas utilizando o elemento Shell 181 e Solid 46, com a

solução analítica apresentada no trabalho de Patel (2016).

91

Tabela 3 - Erro comparativo de modelagens numéricas.

Comprimento (m)

Solução Shell 181 (kN)

Solução Solid 46 (kN)

Solução Analítica (kN)

% Erro Shell 181

%Erro Solid 46

0,5 303,9974 310,0670 311,0800 2,2767 0,3256

1 297,0348 298,7390 305,1000 2,6434 2,0848

1,5 205,5165 204,6950 202,9200 1,2795 0,8747

2 117,5408 117,7770 126,7100 7,2363 7,0499

2,5 75,8054 76,1770 75,4850 0,4245 0,9167

3 52,8629 53,2070 52,7210 0,2692 0,9218

3,5 38,9365 39,2280 38,8690 0,1735 0,9236

4 29,8601 30,1030 29,8200 0,1347 0,9490

4,5 23,6204 23,8240 23,5300 0,3844 1,2494

5 19,1487 19,3200 19,9000 3,7753 2,9145

Erro Médio 1,8597 1,8210

Fonte: Autoria própria (2019).

Utilizando o desvio padrão como método de cálculo de erro, com um erro de

1,8597% na modelagem com Shell 181 e de 1,8210% na modelagem com Solid 46,

concluímos que os modelos de elementos finitos foram preparados com

discretizações e condições de contorno apropriados para bem representar o

experimento reportado por Cardoso (2014).

8.2 Tubo de Seção Transversal Circular

Considerando o tubo de seção transversal circular, a modelagem via MEF foi

validada com uma série de experimentos conduzidos por Fam e Ibrahim (2000). Os

modelos avaliados consideraram uma estrutura de 8 lâminas de material ortotrópico,

feitos de fibras E-glass e resina poliéster.

A Tabela 4 mostra as propriedades mecânicas de uma lâmina única para ambos

os tubos denominados por Fam (2000) de 2A e 25A, onde ‘1’ e ‘2’ denotam direções

paralelas e normais às fibras em qualquer lâmina, respectivamente. A Tabela 5 mostra

a sequência de laminação e suas angulações, em ambos os tubos, e a espessura de

cada lâmina. Os tubos que utilizam propriedades materiais A25 são essencialmente

angulados (por exemplo ± 10º), enquanto que os tubos que utilizam as propriedades

materiais 2A, utilizam angulações em cruz, ou cross-ply (por exemplo 0º/90º).

92

Tabela 4 - Propriedades materiais básicas de uma única lâmina de PRFV.

Propriedades

Materiais 𝐸1 (GPa) 𝐸2 (GPa) 𝐺12 (GPA) 𝜈12

2A 38,0 7,8 3,5 0.28

A25 43,3 11,9 4,6 0.24

Fonte: Fam et al. (2010)

A Tabela 5 fornece um sumário dos parâmetros de investigação. Os principais

parâmetros serão a estrutura das lâminas, incluindo ambos os laminados arranjados

em cruz [0º/90º] (material 2A) e arranjos angulados [±θ] (material A25), razão

diâmetro/espessura (D/t), e razão comprimento/diâmetro (L/D) do tubo. Três

laminados em cruz foram considerados, com sequência de laminação de (3:1), (1:1),

e (1:3) nas direções [0º/90°]. O laminado (3:1) indica que 75% das fibras são

orientadas na direção longitudinal e 25% na direção circunferencial. Três laminados

angulados também foram considerados, nomeadamente [± 10º], [± 45º], e [± 75º],

onde o ângulo é medido em relação ao eixo longitudinal do tubo. O diâmetro do tubo

foi mantido constante a 300 mm. Duas espessuras de paredes foram consideradas,

nomeadamente 2,4 mm e 7,5 mm, fornecendo razões (D/t) de 125 e 40,

respectivamente. Três diferentes comprimentos de 1, 6, e 12 m são utilizados,

fornecendo uma razão (L/D) de 3, 20 e 40, respectivamente.

As propriedades materiais nos modelos estudados aqui foram assumidas

similares para aqueles das amostras 2A, e são exibidas na Tabela 4.

Tabela 5 - Resumo dos parâmetros numéricos dos estudos de caso de Fam.

Amostra Sequência de empilhamento

e angulações

Parâmetros Geométricos

D (mm) t (mm) L (m) D/t L/D

A31 (3:1) [90/0/0/0/0/0/0/90] 300 2,4 6 125 20

A11 (1:1) [90/0/90/0/0/90/0/90] 300 2,4 6 125 20

A13 (1:3) [90/90/90/0/0/90/90/90] 300 2,4 6 125 20

B31 (3:1) [90/0/0/0/0/0/0/90] 300 7,5 6 40 20

B11 (1:1) [90/0/90/0/0/90/0/90] 300 7,5 6 40 20

B13 (1:3) [90/90/90/0/0/90/90/90] 300 7,5 6 40 20

Continua

93

Amostra Sequência de empilhamento

e angulações

Parâmetros Geométricos

D (mm) t (mm) L (m) D (mm) L/D

D10 (± 10º) [10/-10/10/-10/-

10/10/-10/10]

300 2,4 6 125 20

D45 (± 45º) [45/-45/45/-45/-

45/45/-45/45]

300 2,4 6 125 20

D75 (± 75º) [75/-75/75/-75/-

75/75/-75/75]

300 2,4 6 125 20

E10 (± 10º) [10/-10/10/-10/-

10/10/-10/10]

300 7,5 6 40 20

E45 (± 45º) [45/-45/45/-45/-

45/45/-45/45]

300 7,5 6 40 20

E75 (± 75º) [75/-75/75/-75/-

75/75/-75/75]

300 7,5 6 40 20

I11 (1:1) [90/0/90/0/0/90/0/90] 300 2,4 12 125 40

J11 (1:1) [90/0/90/0/0/90/0/90] 300 7,5 12 40 40

Fonte: Fam et al. (2010)

8.2.1 Validação dos modelos numéricos para tubo de seção circular

Comparando as amostras da Tabela 5 e os resultados experimentais foram

retirados do artigo de Fam et. al. (2010) e comparados com os elementos Shell 181

conforme Tabela 6.

Tabela 6 - Carga crítica de flambagem de tubo de seção circular comparando valores experimentais com elemento tipo Shell 181.

Amostra Análise Experimental (kN) Shell 181 (kN) % Erro Shell

181

A31 52,2000 52,4380 0,4559

A11 39,3000 39,6040 0,7735

A13 26,4000 26,6030 0,7689

B31 162,8000 163,9380 0,6990

B11 123,0000 123,820 0,6666

B13 82,8000 83,1620 0,4371

D10 60,6000 61,2380 1,0528

D45 19,0000 19,0780 0,4105

D75 13,4000 13,4540 0,4029

E10 190,0000 191,4950 0,7868

E45 59,5000 59,6930 0,3243

Continua

94

Amostra Análise Experimental (kN) Shell 181 (kN) % Erro Shell

181

E75 42,0000 42,0710 0,1690

I11 9,8000 9,9730 1,7653

J11 31,0000 31,1800 0,5806 Erro

Médio 0,6638

Fonte: Autoria própria (2019).

Com um erro médio de 0,6638% para elemento tipo Shell 181, concluímos que

o modelo preparado conduz à estimativas bem próximas da realidade observável e,

sendo assim, podemos utilizá-los para análises futuras de flambagem. A modelagem

para o elemento Solid46 para tubo de seção circular não foi realizada, devido a uma

dificuldade para definição das coordenadas locais para as lâminas.

95

9 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Com as estratégias de modelagem numérica validadas, pode-se então analisar

as diversas cargas críticas de flambagem variando-se o índice de esbeltez, espessura,

sequência de laminação e orientação das lâminas. Os elementos estruturais (perfil “I”

e tubo de seção circular) serão tratados de maneira separada, devido às suas diversas

diferenças, principalmente as geométricas.

9.1 Definição das propriedades mecânicas utilizadas

Como exemplo, os valores de propriedades mecânicas dos constituintes do

material composto foram obtidos no sítio da Creative Pultrusions, através da

bibliografia The Pultex® Pultrusion Design Manual (2018), e são mostrados na Tabela

7.

Tabela 7 - Propriedades mecânicas de fibras e resinas.

Fibras

Tipo

Módulo de Elasticidade

(GPa)

Módulo de Cisalhamento

(GPa)

Tensão de Ruptura (GPa)

Elongação na ruptura (%)

Massa específica (kg/m³)

Vidro-E 72,4 30 3,4 4,8 2,60

Vidro S 86,9 - 4,6 5,4 2,49

Carbono 227,6 a 379,3 - 1,9 a 3,1 0,6 a 1,2 1,77

Aramida

(Kevlar®) 62,1 1,6 2,8 2,3 1,47

Resinas

Tipo

Módulo de Elasticidade

na flexão (GPa)

Módulo de Cisalhamento

(GPa)

Coeficiente de Poisson

Tensão de

Ruptura (MPa)

Tensão de Ruptura na

flexão (MPa)

Elongação na ruptura

(%)

Polyéster 3,0 1,07 0,4 77,2 122,8 4,5

Epoxy 3,2 1,4 - 75,9 115,2 6,3

Vinylester 3,7 1,32 0,4 81,4 137,9 5,0

Fonte: Adaptado de Creative Pultrusions (2018).

Então admitiu-se para as fibras de vidro e a resina polyester, para todas as

simulações, as seguintes propriedades mecânicas:

𝐸𝑓 = 72,4 GPa

96

𝐸𝑚 = 3,5 GPa

𝜈𝑓 = 0,25

𝜈𝑚 = 0,40

𝐺𝑓 = 30,0 GPa

𝐺𝑚 = 1,40GPa

Com estes dados, e utilizando as equações (4.9) a (4.12), as propriedades

mecânicas para uma camada de PRFV com reforço longitudinal, considerando 𝑉𝑓 =

39%, são:

𝐸1 = 30,37 GPa

𝐸2 = 5,566 GPa

𝜈12 = 0,3425

𝐺12 = 2,229 GPa

As propriedades mecânicas das lâminas de SF terão as mesmas propriedades

mecânicas das lâminas de roving, com a diferença de que o SF pode ser angulado,

conforme já citado anteriormente.

Por outro lado, para uma camada de CSM, considerando 𝑉𝑓 = 23,6%, obtém-

se:

𝐸𝐶𝑆𝑀 = 10,231 GPa

𝐺𝐶𝑆𝑀 = 3,598 GPa

𝜈𝐶𝑆𝑀 = 0,422

Estes valores de propriedades mecânicas serão utilizados para todos os

cálculos a seguir, tanto de previsões analíticas quanto para as modelagens por

elementos finitos.

9.2 Resultados para viga I

Para viga I, as primeiras análises foram feitas utilizando geometrias com seções

transversais iguais às relatadas anteriormente, ou seja, o perfil (100x100x6,4), cuja

razão de 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 1,0, e 100 cm de comprimento. Com 6 lâminas de reforço, sendo 2

lâminas de roving, 2 lâminas de CSM, e 2 lâminas de SF. Foram utilizadas todas as

97

combinações possíveis de sequência de laminação, dentre as sequências de

laminação simétricas. Os reforços de SF foram definidos de 0 a 90º, variando de 15º

em 15º, e com valores positivos e negativos, para zerar os coeficientes da matriz 𝐵𝑖𝑗,

pois esta é uma matriz de comportamento de membrana acoplado com flexão. Em

outras palavras, um esforço trativo poderia provocar mudança de curvatura. Sendo

assim, não é interessante fabricar um perfil com uma sequência de laminação tal que

uma simples variação de temperatura possa provocar curvatura. Posto isto, serão

utilizados reforços de SF seguindo a ordem de [0º / 0º], [15º / -15º], [30º / -30º], e assim

sucessivamente até chegar a 90 graus. Além disso, as sequências de empilhamento

podem ser diferentes nas mesas e nas almas, sendo que as lâminas podem ter

angulações diferentes nos dois setores do perfil.

Sendo assim, para cada sequência de laminação, foram feitas 49 simulações,

para atender a todas as angulações de mesa e alma, e um total de 6 sequências de

laminações, que são: [CSM ROV SF SF ROV CSM], [CSM SF ROV ROV SF CSM] ,

[ROV CSM SF SF CSM ROV], [ROV SF CSM CSM SF ROV], [SF CSM ROV ROV

CSM SF], e [SF ROV CSM CSM ROV SF]. A seguir os gráficos dos resultados de

carga crítica para viga I estão mostrados, dispostos em três eixos, onde um eixo

representa a angulação do SF nas mesas, um eixo perpendicular à esse representa a

angulação do SF na alma, e um eixo perpendicular aos outros dois representando a

carga crítica de flambagem para cada sequência, e seus valores são definidos na

legenda.

98

Figura 33 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [CSM ROV SF SF

ROV CSM] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).

A Figura 33 apresentou um valor máximo de carga crítica de flambagem local

de mesa e alma utilizando reforços de SF com angulação de [45° / -45°] nas mesas e

[0° / 0°] na alma, com um valor de carga crítica de 202176,4N, e menor valor utilizando

reforços de [60° / -60°] nas mesas e [0° / 0°] na alma, com um valor de carga crítica

de 171577,4N. Com o reforço SF próximo ao plano médio das “placas”, a contribuição

na carga crítica de flambagem não é tão significativa, sendo que o valor máximo se

deu com a angulação de SF a [0° / 0°] na alma, podendo ser substituído por um roving.

De qualquer modo, para a flambagem local de mesa, o melhor reforço foi de [45° / -

45°], pois a “placa” mesa engastada em um bordo e livre nos outros três, pode flambar

em relação aos dois eixos de seu plano, e o único reforço que pode realizar a tarefa

de aumentar a rigidez nestas duas direções é o SF a [45° / -45°]. Isto será mais visível

nos próximos gráficos, e será este resultado da angulação para as mesas que se

repetirá para todas as arquiteturas.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

0 / 015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)

Angulação do SF na alma

140000-160000 160000-180000 180000-200000 200000-220000 220000-240000 240000-260000

99

Figura 34 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [ROV CSM SF SF

CSM ROV] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).




reforços de [60° / -60°] nas mesas e [0° / 0°] na alma, com um valor de carga crítica

de 158918,6N. Novamente, como comentado na Figura 33, a variação da angulação

do reforço SF na alma não é tão significativa para os resultados.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

0 / 015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


140000-160000 160000-180000 180000-200000 200000-220000 220000-240000 240000-260000

100

Figura 35 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [ROV SF CSM

CSM SF ROV] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. Fonte: Autoria Própria (2019)



[90° / -90°] na alma, com um valor de carga crítica de 201633,9N, e menor valor

utilizando reforços de [0° / 0°] nas mesas e [30° / -30°] na alma, com um valor de carga

crítica de 154126,4N. Quando o SF se encontra pouco mais afastado do plano médio

da “placa” mesa, os valores começam a apresentar um “pico” para angulações de [45°

/ -45°], e assim sendo, um valor máximo de carga crítica de flambagem para esta

angulação. Também começa a haver uma tendência maior do aumento da carga

crítica em relação a alteração da angulação do reforço SF na alma, ficando evidente

o aumento da carga conforme a angulação do SF aumenta. Isto tem relação também

ao SF se encontrar mais afastado do centro de gravidade da “placa” alma, e se

tratando a alma como uma placa engastada em dois bordos, e sujeita a uma

compressão nestes bordos, ela tende a flambar em relação ao eixo de menor inércia

desta placa, e o reforço que aumenta a rigidez desta flambagem seria o SF a [90° / -

90°]

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

0 / 015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90 An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


140000-160000 160000-180000 180000-200000 200000-220000 220000-240000 240000-260000

101

Figura 36 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [CSM SF ROV

ROV SF CSM] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).




reforços de [90° / -90°] nas mesas e [60° / -60°] na alma, com um valor de carga crítica

de 177524,6N. Do mesmo modo da Figura 35, se fixarmos uma angulação do reforço

SF na alma, variando as angulações de SF na mesa, seria possível visualizar um

“pico” de carga crítica de flambagem em [45° / -45°] para todas as angulações de

reforços na alma. Ocorreu de não haver um valor máximo na alma para [90° / -90°],

porém estes valores foram bem próximos, mas evidencia que ainda a flambagem local

não está tão dependente das angulações de reforço SF na alma.

0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90 An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


140000-160000 160000-180000 180000-200000 200000-220000 220000-240000 240000-260000

102

Figura 37 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [SF CSM ROV

ROV CSM SF] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).




utilizando reforços de [0° / 0°] nas mesas e [90° / -90°] na alma, com um valor de carga

crítica de 151345,3N. Neste gráfico observa-se uma grande diferença de carga crítica

de flambagem para variações de angulação do reforço SF na “placa” mesa, sendo o

reforço que mais contribui com o aumento da carga. Como a flambagem local de mesa

pode ocorrer em duas direções da “placa”, o único reforço capaz de aumentar a rigidez

nestas duas direções seria o SF a [45º / -45°], e além disso, como nesta arquitetura

do estratificado o reforço SF se encontra mais próximo da extremidade do plano médio

da mesa, ele vai influenciar mais no resultado pelo fato de ser o reforço mais afastado

do centro de gravidade da “placa”, tendo seu momento de inércia maior em relação à

outras arquiteturas. Também é possível ver uma tendência ao aumento da carga

crítica de flambagem local conforme a angulação do reforço SF na alma aumenta.

Pelos mesmos motivos explicados na Figura 35, tendo maior influência neste caso

pois o reforço SF está mais afastado do plano médio da “placa” alma. A razão entre a

carga máxima e mínima desta arquitetura de estratificado para a faixa de valores onde

o reforço de SF na alma é [90° / -90°] foi de 1,5025 vezes.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

0 / 015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


140000-160000 160000-180000 180000-200000 200000-220000 220000-240000 240000-260000

103

Figura 38 - Carga Crítica de Flambagem local de mesa e alma para sequência [SF ROV CSM

CSM ROV SF] (100x100x6,4) comprimento = 100 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).




utilizando reforços de [90° / -90°] nas mesas e [0° / 0°] na alma, com um valor de carga

crítica de 142491N. Os mesmos comentários em relação à Figura 37 são válidos para

este caso, porém houve um aumento da carga crítica de flambagem para esta

arquitetura de estratificado, devido ao fato do roving estar mais afastado do plano

médio das “placas”, sendo que este tipo de reforço possui o módulo de elasticidade

maior que o reforço CSM, e então a rigidez à flambagem neste caso também

aumentará.

A sequência de laminação que apresentou um melhor desempenho em relação

à flambagem local de mesa e alma, foi a sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF],

com angulação de [45° / -45°] na mesa, e de [90° / -90°] na alma, com uma carga

crítica de flambagem de 252119,7 N (ponto 1 da Figura 38). Isto é esperado, pelo fato

de que as mesas e almas sendo tratadas como placas separadas (Figura 22), as

mesas são engastadas em uma borda e livre em outra, fazendo com que a aplicação

da força cause ondulações nas duas direções do plano em que elas se encontram,

tendo que se reforçar a estrutura nas duas direções. O reforço que consegue realizar

0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90 An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


140000-160000 160000-180000 180000-200000 200000-220000 220000-240000 240000-260000

Ponto 1

104

esta tarefa é o reforço à 45º. Já para a alma, como ela se comporta como uma placa

engastada em dois bordos opostos, e estando sujeita a uma rotação prescrita em um

destes bordos, por exemplo, sofrendo compressão axial nos bordos engastados,

ocorre flexão da placa em relação ao eixo de menor inércia, fazendo com que o reforço

que possa aumentar a resistência desta flambagem seja o reforço de 90º. E também,

como o reforço que melhora esta condição é o SF, ele estando mais afastado da

espessura da “placa alma”, aumenta sua contribuição na rigidez do setor como um

todo, como mostrado na matriz de rigidez a flexão 𝐷𝑖𝑗.

Foi definido na programação a extração dos primeiros quatro autovalores,

sendo que para esta geometria do elemento estrutural I, todos os auto-modos para

todas as angulações de lâmina com reforço SF forneceram o mesmo modo de

flambagem, a flambagem local de mesa e alma. Em nenhuma das simulações houve

a ocorrência de flambagem local apenas na mesa ou apenas na alma.

Para a ocorrência de outros modos de flambagem, para fins de comparação

com os métodos analíticos de cálculo de carga crítica, foram definidas diferentes

geometrias. Nas simulações anteriores, a razão da largura de mesa e largura de alma

(𝑏𝑓/𝑏𝑤) era de 1, e na tentativa de desacoplar as flambagens locais de mesa e alma,

foram utilizadas geometrias em que a razão 𝑏𝑓/𝑏𝑤 foi de 0,75 e 0,5. Como

anteriormente o melhor desempenho se deu com a sequência [SF ROV CSM CSM

ROV SF], as análises a seguir foram feitas com esta arquitetura. A seguir são

mostradas, da Figura 39 até a Figura 42, os resultados das simulações da viga I com

𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,5 e 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,75, e a leitura dos gráficos se dá da mesma maneira que os

gráficos anteriores.

105

Figura 39 - Carga crítica de flambagem local de mesa e alma para sequência [SF ROV CSM



de mesa e alma para a razão de 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,75 utilizando reforços de SF com angulação

de [30° / -30°] nas mesas e [90° / -90°] na alma, com um valor de carga crítica de

290994,9N, e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] nas mesas e [0° / 0°] na

alma, com um valor de carga crítica de 170596,5N.

A diferença relativa entre os valores máximos e mínimos de carga crítica de

flambagem local de mesa e alma para a faixa de valores onde a angulação do reforço

SF na alma é de [90° / -90°] foi de 1,3862 vezes.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -60

75 / -7590 / -90

100000

130000

160000

190000

220000

250000

280000

310000

0 / 015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


100000-130000 130000-160000 160000-190000 190000-220000

106




de mesa e alma para a razão de 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,5 utilizando reforços de SF com angulação

de [0° / 0°] nas mesas e [90° / -90°] na alma, com um valor de carga crítica de

211130,7N, e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] nas mesas e [0° / 0°] na

alma, com um valor de carga crítica de 135883N.

A diferença dos valores máximos e mínimos de carga crítica de flambagem

local de mesa e alma para a faixa onde o reforço SF é [90° / -90°] na alma foi de

1,4257 vezes.

Com a diminuição na largura das mesas, aumenta-se a dificuldade em se

curvar a placa em torno do eixo longitudinal, predominando a flexão em torno do eixo

transversal. Para se evitar este tipo de flexão, o reforço que aumenta a rigidez em

relação ao eixo transversal, é o reforço SF a [0° / 0°], ou seja, ele poderia ser

substituído por um reforço do tipo roving.

Há uma maior dependência da rigidez ao giro na conexão entre mesa e alma

quando 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,50. Se o SF está em [90º / -90º] na alma, maior a referida rigidez,

pois maior será a rigidez à flexão da “placa alma” em torno de um eixo axial (Figura

22).

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -4560 / -60

75 / -7590 / -90

100000

120000

140000

160000

180000

200000

220000

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


100000-120000 120000-140000 140000-160000 160000-180000 180000-200000 200000-220000

107

Figura 41 - Carga crítica de flambagem global com flexão em torno do eixo de menor inércia

para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF] (100x50x6,4) comprimento = 100 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).

A Figura 41 apresentou um valor máximo de carga crítica de flambagem global

com flexão em torno do eixo de menor inércia para a razão de 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,5 utilizando

reforços de SF com angulação de [0° / 0°] nas mesas e [90° / -90°] na alma, com um

valor de carga crítica de 115431N, e menor valor utilizando reforços de [60° / -60°] nas

mesas e [0° / 0°] na alma, com um valor de carga crítica de 78006,43N.

A Figura 41 indica que é somente a rigidez longitudinal das mesas que governa

o resultado, pois na alma o reforço de SF está muito próximo do eixo em torno do qual

ocorre a flexão, fazendo com que o resultado seja governado somente pelos reforços

nas mesas.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

70000

80000

90000

100000

110000

120000

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


70000-80000 80000-90000 90000-100000 100000-110000 110000-120000

108

Figura 42 - Carga crítica de flambagem global com flexo-torção para sequência [SF ROV CSM



com flexão-torção para a razão de 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,5 utilizando reforços de SF com

angulação de [0° / 0°] nas mesas e [15° / -15°] na alma, com um valor de carga crítica

de 182960,8N, e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] nas mesas e [90° / -

90°] na alma, com um valor de carga crítica de 131918,1N.

Para uma razão de 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,5, foi possível observar diferentes modos de

flambagem, como flambagem global em torno do eixo de menor inércia, e flambagem

global com flexo-torção, além da flambagem local de mesa e alma já mencionada

anteriormente. A relação 𝑏𝑓/𝑏𝑤 que apresentou maior valor de carga crítica de

flambagem local de mesa e alma foi a relação de 0,75, tendo uma carga superior tanto

da razão 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 0,5 quanto da razão 𝑏𝑓/𝑏𝑤 = 1,0, pois se manifestou em um autovalor

maior aos da razão 0,5 e 1,0. Não ocorreram modos de flambagem global com flexão

em torno do eixo de menor inércia e flambagem global com flexo-torção para a razão

de 0,75.

Também foram feitas simulações com comprimentos diferentes, aumentando

em 50 cm em cada análise, utilizando comprimentos de 150 cm e 200 cm para a

mesma geometria de seção transversal do início das análises (100x100x6,4) e com a

mesma sequência de laminação que apresentou o melhor desempenho nas cargas

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -4560 / -60

75 / -7590 / -90

100000

120000

140000

160000

180000

200000

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


100000-120000 120000-140000 140000-160000 160000-180000 180000-200000

109

críticas de flambagens locais, [SF ROV CSM CSM ROV SF], para se observar a

dependência da variação dos modos de flambagem em relação à variação do

comprimento da peça. Diferentemente dos elementos com menor comprimento, agora

a tendência é de ocorrer modos globais de flambagem. Como em alguns casos em

que o modo relatado na figura não ocorre dentre os 4 primeiros autovalores, não há

dados disponíveis para ser mostrado no gráfico, então os gráficos foram apresentados

com uma vista superior, onde as partes em branco dizem respeito à angulações de

SF para as quais não se dispõe de dados. As figuras Figura 43 e Figura 44 indicam

cargas críticas de flambagem local de mesa e alma para comprimento de 150 e 200

cm respectivamente, a Figura 45 indica flambagem global por flexão em torno do eixo

de menor inércia para comprimento de 200 cm, e a Figura 46 indica flambagem global

por flexo-torção para comprimento de 200 cm.




de mesa e alma para um comprimento de 150 cm utilizando reforços de SF com

angulação de [45° / -45°] nas mesas e [90° / -90°] na alma, com um valor de carga

crítica de 238273,1N, e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] nas mesas e [0°

/ 0°] na alma, com um valor de carga crítica de 163838,3 N. Os mesmos comentários

da Figura 38 para flambagem local de mesa e alma são válidos neste caso.

0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

100000

130000

160000

190000

220000

250000

An

gula

ção

do

SF

nas

mes

as

Car

ga C

ríti

ca d

e Fl

amb

agem

(N

)


100000-130000 130000-160000 160000-190000 190000-220000 220000-250000

110

Figura 44: Carga crítica de flambagem local de mesa e alma para sequência [SF ROV CSM CSM

ROV SF] (100x100x6,4) comprimento = 200 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).


de mesa e alma para um comprimento de 200 cm utilizando reforços de SF com

angulação de [45° / -45°] nas mesas e [15° / -15°] na alma, com um valor de carga

crítica de 259472,5 N, e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] nas mesas e

[0° / 0°] na alma, com um valor de carga crítica de 164342,5 N. Não foram obtidos

valores para carga crítica de flambagem local de mesa e alma neste caso para reforço

SF de [90° / -90°], não sendo possível comparar com os resultados obtidos para

comprimento de 200 cm.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -60

75 / -75

90 / -90

0 / 0 15 / -15 30 / - 30 45 / -45 60 / -60 75 / -75 90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

mes

a


250000-275000

225000-250000

200000-225000

175000-200000

150000-175000

125000-150000

100000-125000

Carga crítica de

flambagem (N)

111

Figura 45: Carga crítica de flambagem global com flexão em torno do eixo de menor inércia

para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF] (100x100x6,4) comprimento = 200 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).


com flexão em torno do eixo de menor inércia para um comprimento de 200 cm

utilizando reforços de SF com angulação de [15° / -15°] nas mesas e [45° / -45°] na

alma, com um valor de carga crítica de 181722,3 N, e menor valor utilizando reforços

de [60° / -60°] nas mesas e [90° / -90°] na alma, com um valor de carga crítica de

83498,53 N.

Novamente, o gráfico mostra que apenas a angulação dos reforços nas mesas

que governam o resultado, não tendo nenhuma dependência das angulações de

reforços na alma. Isto porque para flambagem global em torno do eixo de menor

inércia, os reforços na alma estão muito próximos do eixo, não influenciando no

resultado. Já para as mesas, elas estão bem mais afastadas do eixo de menor inércia,

governando os valores de cargas críticas.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -60

75 / -75

90 / -90

0 / 0 15 / -15 30 / - 30 45 / -45 60 / -60 75 / -75 90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

mes

a


180000-200000

160000-180000

140000-160000

120000-140000

100000-120000

80000-100000

Carga crítica de

Flambagem (N)

112

Figura 46 - Carga crítica de flambagem global com flexo-torção para sequência [SF ROV CSM



com flexo-torção para um comprimento de 200 cm utilizando reforços de SF com

angulação de [30° / -30°] nas mesas e [0° / 0°] na alma, com um valor de carga crítica

de 194577 N, e menor valor utilizando reforços de [60° / -60°] nas mesas e [90° / -90°]

na alma, com um valor de carga crítica de 129859,3 N.

Para o comprimento de 150 cm, não houve a ocorrência de modos de

flambagens diferentes de flambagem local de mesa e alma, ou seja, as flambagens

globais não ocorreram dentre os 4 modos extraídos. Já para o comprimento de 200

cm, se manifestaram os outros 2 modos de flambagem (flambagem global com flexão

em torno do eixo de menor inércia e flambagem global com flexo-torção). De modo a

comparar os resultados anteriores, foram utilizadas as equações analíticas (6.4) e

(6.7) para cálculo de carga crítica de flambagem local, (6.8) para carga crítica de

flambagem global com flexão em torno do eixo de menor inércia, e (6.9) para cálculo

da carga crítica de flambagem por flexo-torção, para se comparar os erros percentuais

relativos entre o método analítico e o MEF (método dos elementos finitos).

0 / 0

15 / -15

30 / -30

45 / -45

60 / -60

75 / -75

90 / -90

0 / 0 15 / -15 30 / - 30 45 / -45 60 / -60 75 / -75 90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

mes

a


180000-200000

160000-180000

140000-160000

120000-140000

100000-120000

Carga crítica de

Flambagem (N)

113

Para a utilização das equações analíticas, é necessário definir as propriedades

mecânicas homogeneizadas do laminado. Para isto, foi utilizado a Teoria Clássica dos

Laminados, utilizando as propriedades mecânicas de fibra e matriz relatadas na seção

9.1. Estes cálculos podem ser realizados manualmente, porém como são muitos

resultados a se comparar, foi necessário o uso de um software que pudesse calcular

estas propriedades rapidamente, de modo a facilitar os cálculos. O software escolhido

foi o Autodesk Helius Composite®, pois há uma versão disponível para estudantes

gratuitamente. O software fornece todas as propriedades necessárias, como o 𝐸𝐿, 𝐸𝑇,

𝜈𝐿𝑇, 𝜈𝑇𝐿, 𝐺𝐿𝑇, e então foi aplicado os valores obtidos nas equações, juntamente com

as propriedades geométricas da peça. Em equações em que as propriedades

mecânicas das mesas diferem das propriedades mecânicas da alma, como é o caso

da equação (6.7), é necessário obter as propriedades separadamente, e então aplicar

na equação.

Primeiramente, foi utilizada a peça com melhor desempenho para o

comprimento de 100 cm e geometria de (100x100x6,4), ou seja, com a sequência de

laminação [SF ROV CSM CSM ROV SF], para comparar o erro entre as equações

(6.4) e (6.7), e os resultados numéricos, e estão mostradas em uma superfície de erro,

nas figuras Figura 47 e Figura 48, que corresponde ao erro para cada simulação

numérica realizada, totalizando 49 valores para cada gráfico, conforme descrito

anteriormente.

114

Figura 47 - Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando a

equação (6.7) para viga I com reforço [SF ROV CSM CSM ROV SF] e geometria (100x100x6,4) comprimento = 100 cm.


Figura 48 - Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando a



0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 / 015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

alm

a

Erro

(%

)

Angulação do SF na mesa

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -6075 / -7590 / -90

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 / 015 / -15

30 / - 3045 / -45

60 / -6075 / -75

90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

alm

a

Erro

(%

)

Angulação do SF na mesa

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

115

Para a análise da carga crítica de flambagem local de alma e mesa, as

equações (6.4) e (6.7) tiveram uma correlação com os resultados numéricos

satisfatória, sendo que para a equação (6.4) houve um erro relativo médio de

21,9092% e desvio padrão de erro de 17,5197 %, e para a equação (6.7) houve um

erro médio de 26,6545%, com um desvio padrão de erro de 9,9820 %, fazendo com

que a equação proposta por Cardoso (2014) tenha uma melhor correlação com os

resultados numéricos do que a equação disponibilizada pelo The Pultex® Pultrusion

Design Manual, para a geometria (100x100x6,4) 100 cm.

A seguir, nas figuras 49 e 50 serão mostrados os erros para carga crítica de

flambagem local de mesa e alma para a mesma geometria de seção transversal e

mesmo reforço, com comprimento de 200 cm.

Figura 49: Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando a



0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -60

75 / -75

90 / -90

0 / 0 15 / -15 30 / - 30 45 / -45 60 / -60 75 / -75 90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

mes

a

Erro (%)


40-50

30-40

20-30

10-20

0-10

116

Figura 50: Erro relativo de carga crítica de flambagem local de mesa e alma, utilizando a

equação (6.4) para viga I com reforço [SF ROV CSM CSM ROV SF] e geometria (100x100x6,4) 200cm.


Para a equação (6.7), o desvio padrão do erro foi de 9,9482%, havendo uma

boa correlação com os resultados numéricos, com um desvio padrão até menor que

na viga de 100 cm de comprimento. Já a equação (6.4) apresentou um erro muito alto,

com um desvio padrão do erro de 47,8163%. Isto pode ser explicado pelo fato de no

trabalho de Cardoso (2013), em que ele fornece esta equação, os valores variam para

uma razão de 𝐿/𝑏𝑤 entre 0,5 e 2,5 aproximadamente, como mostra a Figura 51.

.

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -60

75 / -75

90 / -90

0 / 0 15 / -15 30 / - 30 45 / -45 60 / -60 75 / -75 90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

mes

a

Erro (%)


175-200

150-175

125-150

100-125

75-100

50-75

25-50

0-25

117

Figura 51 - Coeficiente de flambagem 𝒌, vs 𝑳/𝒃𝒘, para seções I

Fonte: Cardoso (2014).

Neste caso em estudo, a razão 𝐿/𝑏𝑤 para viga de 100 cm foi de 10, e para viga

de 200 cm, 20. Ou seja, está em uma área onde não foi testada esta equação analítica,

e não seria confiável utilizá-la para grandes comprimentos. Neste caso, a equação

disponibilizada por Cardoso (2014) não tem uma boa correlação.

A fim de avaliar os erros relativos entre os métodos analíticos e o MEF para

valores de carga crítica de flambagem global, tanto de flexão em torno do eixo de

menor inércia, quanto para flexo-torção, foram utilizadas as equações (6.8) e (6.9),

respectivamente, e estão descritas nas figuras 52 e 53.

118

Figura 52 - Erro relativo de carga crítica de flambagem global com flexão em torno do eixo de menor inércia, para viga I com reforço [SF ROV CSM CSM ROV SF] e geometria (100x100x6,4)

comprimento = 200 cm. Fonte: Autoria Própria (2019).

Figura 53 - Erro relativo de carga crítica de flambagem global com flexo-torção, para viga I com

reforço [SF ROV CSM CSM ROV SF] e geometria (100x100x6,4) comprimento = 200cm. Fonte: Autoria Própria (2019).

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -60

75 / -75

90 / -90

0 / 0 15 / -15 30 / - 30 45 / -45 60 / -60 75 / -75 90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

mes

a

Erro (%)


70-80

60-70

50-60

40-50

30-40

20-30

10-20

0-10

0 / 0

15 / -15

30 / - 30

45 / -45

60 / -60

75 / -75

90 / -90

0 / 0 15 / -15 30 / - 30 45 / -45 60 / -60 75 / -75 90 / -90

An

gula

ção

do

SF

na

mes

aErro (%)


25-30

20-25

15-20

10-15

5-10

0-5

119

Para a análise de carga crítica de flambagem global com flexão em torno do

eixo de menor inércia, a equação descrita por Euler (equação (6.8)) apresenta uma

boa correlação, apresentando um erro médio relativo de 25,5172%, com um desvio

padrão do erro de 11,4141%. Os valores que estão com erro de 0%, que seriam no

reforço de 0° / 0° na mesa, são valores onde não se manifestou a flambagem global

dentre os autovalores extraídos, portanto não foram comparados.

Para a análise da carga crítica de flambagem global por flexo-torção, a equação

(6.9) também apresentou uma boa correlação com os resultados numéricos,

apresentando um erro relativo médio de 11,4141%, com um desvio padrão do erro de

6,1113%, sendo que para erros de 0%, não houve presença deste modo de

flambagem nas simulações.

9.3 Resultados para viga tubo de seção circular

Para as análises de carga crítica de flambagem em tubos, serão utilizadas

geometrias com seção transversal circular com diâmetro de 300 mm, e espessura de

2,4 e 7,5 mm, variando o comprimento de modo a se ter 4 valores de índice de

esbeltez, de 10 até 40, variando-se de 10 em 10 este índice, com as mesmas

sequências e mesmas angulações de reforço SF utilizados na análise de viga I. Os

resultados foram separados em flambagem local e global, pois para este tipo de

geometria só ocorrem estes dois modos de flambagem. Serão apresentados

conjuntos de gráficos 3D, separando flambagem global e local, e separando as duas

espessuras. Os resultados para espessura de 2,4 mm serão apresentados nas figuras

Figura 54 a Figura 61, e serão discutidos posteriormente.

120

Figura 54 - Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM ROV SF SF ROV CSM]

espessura = 2,4 mm. Fonte: Autoria Própria (2019).


para todos os índices de esbeltez utilizando reforços de SF com angulação de [0° /

0°], e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] para índice de esbeltez igual a 10,

e [60° / -60°] para os demais índices.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

150000

170000

190000

210000

230000

250000

270000

290000

1020

3040

Ori

enta

ção

do

SF

Car

ga c

ríti

ca d

e fl

amb

agem

(N

)

Índice de Esbeltez (λ )

150000-170000 170000-190000 190000-210000 210000-230000

230000-250000 250000-270000 270000-290000

121

Figura 55 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM ROV SF SF ROV CSM]



para os índices de esbeltez iguais a 30 e 40, utilizando reforços de SF com angulação

de [0° / 0°], e para índice de esbeltez 20, o valor máximo foi obtido com reforços de

[30° / -30°], pois não manifestaram a flambagem em angulações menores, e menor

valor utilizando reforços de [90° / -90°] para índice de esbeltez de 20, e [60° / -60°]

para os demais índices. Não houve flambagem global retirado dos 4 autovalores para

índice de esbeltez igual a 10.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF

Índice de Esbeltez (λ)

300000-350000

250000-300000

200000-250000

150000-200000

100000-150000

50000-100000

122

Figura 56 - Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM SF ROV ROV SF CSM]



para os índices de esbeltez 10, 20 e 30, utilizando reforços de SF com angulação de

[90° / -90°], e para índice de esbeltez 40, o valor máximo foi obtido com reforços de

[0° / 0°], e menor valor utilizando reforços de [60° / -60°] para índice de esbeltez de

10, e [45° / -45°] para os demais índices.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF


300000-350000

250000-300000

200000-250000

150000-200000

100000-150000

50000-100000

123

Figura 57 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM SF ROV ROV SF CSM]



para os índices de esbeltez 30 e 40, utilizando reforços de SF com angulação de [0° /

0°], e para índice de esbeltez 20, o valor máximo foi obtido com reforços de [30° / -

30°], e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] para índice de esbeltez de 20, e

[60° / -60°] para os índice 30 e 40. Não houve manifestação de flambagem global para

índice de esbeltez 10.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF


300000-350000

250000-300000

200000-250000

150000-200000

100000-150000

50000-100000

124

Figura 58 - Carga crítica de flambagem local para sequência [ROV SF CSM CSM SF ROV]



para todos os índices de esbeltez, utilizando reforços de SF com angulação de [90° /

-90°], e menor valor utilizando reforços de [45° / -45°] para todos índices de esbeltez.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF

Carga crítica de flambagem (N)


300000-350000

250000-300000

200000-250000

150000-200000

100000-150000

50000-100000

125

Figura 59 - Carga crítica de flambagem global para sequência [ROV SF CSM CSM SF ROV]





75°], e menor valor utilizando reforços de [60° / -60°] para índice de esbeltez de 30 e

40, e [90° / -90°] para o índice de 20. Não houve manifestação de flambagem global

para índice de esbeltez 10.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



300000-350000

250000-300000

200000-250000

150000-200000

100000-150000

50000-100000

126

Figura 60 - Carga crítica de flambagem local para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF]



para os índices de esbeltez 10, 20 e 30, utilizando reforços de SF com angulação de

[90° / -90°], e para índice de esbeltez 40, o valor máximo foi obtido com reforços de

[60° / -60°], e menor valor utilizando reforços de [0° / 0°] para índice de esbeltez de

10, e [30° / -30°] para os índice 20, 30 e 40.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



300000-350000

250000-300000

200000-250000

150000-200000

100000-150000

50000-100000

127

Figura 61 - Carga crítica de flambagem global para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF]





60°], e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] para índice de esbeltez de 20, e



Para carga crítica de flambagem local no caso do tubo com 2,4 mm de

espessura, a sequência de laminação que forneceu um melhor desempenho para

índices de esbeltez 10, 20 e 30, foi a sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF], com

angulação do SF de [90º / -90º]. Não foi possível mensurar qual a melhor sequência

para o índice de esbeltez 40, pois para reforço SF nas angulações [75º / -75º] e [90º /

-90º] não houve manifestação de modo de flambagem local, pelo menos dentre os

primeiros quatro modos de flambagem extraídos, e também não seria possível definir

a melhor orientação da angulação de reforço SF. Já para carga crítica de flambagem

global, houveram duas sequências em que o valor de carga crítica foi o maior,

comparando índices de esbeltez de 30 e 40, sendo as sequências [CSM ROV SF SF

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



300000-350000

250000-300000

200000-250000

150000-200000

100000-150000

50000-100000

128

ROV CSM] e [CSM SF ROV ROV SF CSM], com orientação do SF de [0º / 0º]. Isto

ocorre pelo fato de o SF a 0º se comportar da mesma forma que o roving, fazendo

com que não haja diferença de rigidez mecânica entre estas duas arquiteturas. Para

índice de esbeltez de 10, não houve nenhuma manifestação de flambagem global para

nenhuma sequência. Os valores de 0 N, representados em branco nos gráficos,

indicam que não se manifestaram os modos de flambagem.

Agora serão apresentados os resultados para a geometria com 7,5 mm de

espessura, nas figuras Figura 62 a Figura 69.

Figura 62: Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM ROV SF SF ROV CSM]



para o índices de esbeltez 10, utilizando reforços de SF com angulação de [15° / -15°],

e para índice de esbeltez 20, o valor máximo foi obtido com reforços de [0° / 0°], e

menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] para índice de esbeltez de 10, e [75° / -

75°] para os índice 20. Não houve manifestação de flambagem local para índice de

esbeltez 30 e 40.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



2100000-2300000

1900000-2100000

1700000-1900000

1500000-1700000

1300000-1500000

129

Figura 63 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM ROV SF SF ROV CSM]



para o índices de esbeltez 10, 20 e 30 utilizando reforços de SF com angulação de [0°

/ 0°], e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] para índice de esbeltez de 20, e



[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



900000-1000000

700000-900000

500000-700000

300000-500000

100000-300000

130

Figura 64 - Carga crítica de flambagem local para sequência [CSM SF ROV ROV SF CSM] espessura = 7,5 mm.



para o índices de esbeltez 10 e 20, utilizando reforços de SF com angulação de [90° /

-90°], e menor valor utilizando reforços de [60° / -60°] para índice de esbeltez de 10,

e 20. Não houve manifestação de flambagem local para índice de esbeltez 30 e 40.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



2100000-2300000

1900000-2100000

1700000-1900000

1500000-1700000

1300000-1500000

131

Figura 65 - Carga crítica de flambagem global para sequência [CSM SF ROV ROV SF CSM]



para o índices de esbeltez 20, 30 e 40, utilizando reforços de SF com angulação de

[90° / -90°], e menor valor utilizando reforços de [90° / -90°] para índice de esbeltez de

20, e [60° / -60°] para os índices 30 e 40. Não houve manifestação de flambagem

global para índice de esbeltez 10.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



900000-1000000

700000-900000

500000-700000

300000-500000

100000-300000

132

Figura 66 - Carga crítica de flambagem local para sequência [ROV SF CSM CSM SF ROV]




-90°], e para índice de esbeltez 30, o valor máximo foi obtido com reforços de [0° / 0°],

e menor valor utilizando reforços de [60° / -60°] para índice de esbeltez de 10 e 20, e

[15° / -15°] para o índice 30. Não houve manifestação de flambagem local para índice

de esbeltez 40.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



2100000-2300000

1900000-2100000

1700000-1900000

1500000-1700000

1300000-1500000

133

Figura 67 - Carga crítica de flambagem global para sequência [ROV SF CSM CSM SF ROV]





[60° / -60°] para os índices 30 e 40. Não houve manifestação de flambagem global

para índice de esbeltez 10.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



900000-1000000

700000-900000

500000-700000

300000-500000

100000-300000

134

Figura 68: Carga crítica de flambagem local para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF]




-90°], e para índice de esbeltez 30, o valor máximo foi obtido com reforços de [0° / 0°],

e menor valor utilizando reforços de [0° / 0°] para índice de esbeltez de 10, e [15° / -

15°] para os índices 20 e 30. Não houve manifestação de flambagem local para índice

de esbeltez 40.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



2100000-2300000

1900000-2100000

1700000-1900000

1500000-1700000

1300000-1500000

135

Figura 69 - Carga crítica de flambagem global para sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF]





[60° / -60°] para os índices 30 e 40. Houve apenas uma única manifestação de

flambagem global para índice de esbeltez 10, utilizando reforço SF com angulação

[90° / -90°], sendo então o mesmo valor de máximo e mínimo.

No que diz respeito à flambagem local, a espessura de 7,5 mm apresentou uma

maior carga crítica de flambagem, para os índices de esbeltez 10 e 20, com a mesma

sequência e angulação das lâminas SF com 2,4 mm de espessura, com exceção das

situações nas quais não se manifestaram modos de flambagem local, e portanto não

permitindo a comparação dentre todas as angulações de SF consideradas. Isto mostra

que realmente o reforço SF localizado na parte externa do tubo, com angulação de

[90º / -90º], permite um melhor desempenho em termos de flambagem local em tubos

circulares. Para flambagem global, as sequências [SF ROV CSM CSM ROV SF] e

[ROV SF CSM CSM SF ROV] apresentaram os maiores valores de carga crítica, com

angulação do SF de [0º / 0º], para índices de esbeltez 20, 30 e 40. Para índice de

esbeltez 10 não houve manifestação de modo de flambagem global. Os valores para

as duas sequências foram os mesmos pelo mesmo fato explicado na geometria de

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF



2100000-2600000

1600000-2100000

1100000-1600000

600000-1100000

100000-600000

136

2,4 mm de espessura. Com isto pode-se afirmar que para modos de flambagem

global, o melhor reforço seria o CSM no meio da espessura do tubo, e a angulação de

SF em 0º, para se obter maiores valores de cargas críticas.

De posse destes resultados, apresentam-se na sequência as distribuições de

erro relativo entre o método numérico e o método analítico. Para isto, serão

comparados os resultados obtidos na sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF], com

geometria de 7,5 mm de espessura, e a equação utilizada para comparação de

flambagem global será a própria equação de Euler (6.4), e para comparação com o

modo de flambagem local, será utilizada a equação de Vasiliev (6.11), e estão

presentes nas figuras 70 e 71.

Figura 70 - Erro relativo carga crítica de flambagem local para espessura = 7,5 mm.


[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF

Erro (%)


40-50

30-40

20-30

10-20

0-10

137

Figura 71 - Erro relativo carga crítica de flambagem global para espessura = 7,5 mm.


Para carga crítica de flambagem local, a equação proposta por Vasiliev

apresenta uma correlação razoável, com um desvio padrão de 12,3654%. Os valores

resultantes desta equação são muito sensíveis quanto ao número de meias-ondas da

configuração deformada obtida na simulação, isto diminui muito a precisão desta

equação, sendo que dependendo da simulação, quando se varia algum parâmetro

que não influencie muito na carga crítica de flambagem, mas aparece uma meia onda

a mais na simulação, já é suficiente para apresentar um erro muito grande.

Já para os modos de flambagem global, a equação de Euler aponta uma ótima

correlação, melhor ainda do que na viga I, com um desvio padrão de 4,8320%,

fazendo com que para modos de flambagem global, a equação de Euler, proposta em

1744, continue sendo muito útil, mesmo para materiais ortotrópicos, pois para a

flambagem global a rigidez global é mais significativa. A ortotropia gerada pela

utilização de reforços na forma de fibras vai interferir significativamente somente na

"rigidez local". A rigidez global se traduz em termos do índice de esbeltez global.

[0°/-0°]

[15°/-15°]

[30°/-30°]

[45°/-45°]

[60°/-60°]

[75°/-75°]

[90°/-90°]

10 20 30 40

Ori

enta

ção

do

SF

Erro (%)


15-20

10-15

5-10

0-5

138

10 CONCLUSÃO

Através do estudo realizado, foi possível observar o comportamento de perfis

estruturais produzidos em material composto em compressão axial, estando portanto

sujeitos à flambagem, considerando elementos de seção tipo “I” e tubo de seção

circular, com uma seção transversal para viga I com dimensões (100x100x6,4mm), e

tubo de seção circular com 300 mm de diâmetro externo e espessuras de 2,4 e 7,5

mm, a fim de se analisar quais seriam os melhores reforços para estas aplicações, e

a influência de diversos aspectos geométricos que influenciam na carga crítica de

flambagem, como a razão entre largura de mesas e alma, aumento do índice de

esbeltez, aumento da espessura, etc. Para isto, foi utilizado o software comercial

ANSYS®, que aplica o MEF para cálculos, e foram utilizados elementos específicos

para utilização em materiais compostos, sendo eles o Shell 181 e Solid 46, para a

modelagem das geometrias.

Deste modo, foi feita uma grande revisão bibliográfica, utilizando diversas

equações e resultados experimentais, para assegurar que os modelos foram

preparados de forma a ter uma boa correlação com a realidade, com condições de

contorno, sequenciamento das lâminas, geometrias e propriedades materiais

adequadas, para poder utilizá-los nas diversas análises posteriores que foram

realizadas.

Os resultados para as estratégias de modelagem no software foram, em

princípio, comparados com resultados experimentais, e apresentaram uma boa

correlação, sendo confiável utilizá-los nas análises que foram feitas posteriormente,

tanto para viga I quanto para o tubo.

Após a verificação das estratégias de modelagem, foi executado um estudo de

desempenho para diferentes arquiteturas de laminação e angulações de reforço do

tipo SF. Para isso, foi fixado o número de lâminas em 6, simétricas, a fim de evitar

problemas de acoplamento membrana-flexão.

Para flambagem local de mesa e alma, a sequência de laminação que

apresentou maior carga crítica de flambagem, foi a sequência [SF ROV CSM CSM

ROV SF], com reforço de SF a [90º / -90º] na alma, e [45º / -45º] na mesa. Para

flambagem global com flexão em torno do eixo de menor inércia para esta sequência,

a angulação de reforço do tipo “SF” que conduz ao melhor desempenho foi a

139

angulação [15º / -15º] na alma, e [45º / -45º] na mesa. Nesta análise não se

manifestaram modos de flambagem global para SF a [0º / 0º] na mesa, pois

possivelmente, este modo é um modo além dos 4 primeiros que foram solicitados no

software, sendo que provavelmente seria a melhor angulação para este modo. Para

flambagem global por flexo-torção, a melhor angulação foi a de [0º / 0º] na alma, e

[30º / -30º] na mesa, sendo que também não se manifestaram modos de flambagem

global por flexo torção para [0º / 0º] na mesa. Então não seria possível afirmar com

certeza que esta seria a melhor angulação para este modo de flambagem.

Para tubos de seção circular, a melhor sequência para as duas espessuras

analisadas, em se tratando de carga crítica de flambagem local, foi também a de [SF

ROV CSM CSM ROV SF], para todos os índices de esbeltez onde se manifestou a

flambagem local, sendo a angulação das lâminas com reforço SF de [90º / -90º]. Já

para a flambagem global, houveram duas sequências em que apresentaram as

maiores cargas críticas, a sequência [SF ROV CSM CSM ROV SF] e [ROV SF CSM

CSM SF ROV], devido ao fato de se manifestarem quando o reforço de SF está com

angulação de 0º / -0º, se comportando igual a uma camada de roving, ou seja, poderia

ser substituído pelo roving, já que é um reforço mais barato, e diminuiria o custo de

fabricação da peça.

As equações utilizadas de modo a comparar os valores simulados foram

satisfatórias, porém com limitações. Para um comprimento maior, a equação (6.4)

desenvolvida por Cardoso (2013) não apresentou uma boa correlação. Para

comprimentos menores, o desvio padrão da distribuição de erros relativos foi baixo,

porém, como o erro relativo varia dependendo da variação da angulação do reforço,

a equação deixa a desejar no que tange a avaliação de qual seria o melhor reforço,

devendo ser utilizado realmente o MEF para garantir qual seria a melhor angulação.

Na análise da dependência da relação da largura de mesa e altura de alma

para viga I, a peça que apresentou maior carga crítica foi a com razão intermediária,

com razão 𝑏𝑓/𝑏𝑤 de 0,75. Este é um resultado bastante importante, pelo fato de que

em um projeto, isto diminuiria o peso da estrutura, ao invés de utilizar uma peça com

razão 1,0, além de diminuir o custo da peça.

Para estudos posteriores, pode-se utilizar diversas outras configurações de

empilhamento, com diversas angulações de reforços, e outros tipos de materiais

também, para poder comparar com o reforço de fibra de vidro, em questão de

140

resistência, peso e custo. Também poderia ser definido um modo de utilizar o

elemento Solid 46 para simulações com tubo circular, pois devido a geometria deste

elemento, ele apresenta muitas dificuldades na sua modelagem, principalmente em

posicionar as coordenadas locais de modo adequado, e por esses motivos, não foi

realizada simulações para tubo de seção circular utilizando este elemento.

141

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