FCM 208 Física (Arquitetura)

Elasticidade

Prof. Dr. José Pedro Donoso

Universidade de São Paulo

Instituto de Física de São Carlos - IFSC

Agradescimentos

O docente da disciplina gostaria de expressar o seu

agradecimento as editoras LTC (Livros Tecnicos e Científicos) e

Cengage Learning pelo acesso às figuras dos livros textos:

” Fisica ” de Tipler & Mosca e “ Fundamentos de Física ” de

Halliday, Resnick e Walker (LTC) e “ Principios de Física ” de

Serway & Jewett (Cengage Learning).

Considere uma barra sólida de comprimento L sujeita a uma força de tração F. Define-se a deformação (strain ou deformation) como a variação relativa do comprimento da barra:

Deformação = ∆L/L

Define-se a tensão (stress) como a força de tração aplicada ao corpo por unidadede área:

Tensão de tração = F/A [unidade: N/m2]

O coeficiente de elasticidade ou modulo de Young (Y) é a razão entre:

Elasticidade

LLA

F

deformação

tensãoY

∆==

Y (em N/m2): 200×109 (aço), 20-30×109 (concreto), 13×109 (madeira), 16×109 (osso) Tensão de ruptura (em N/m2): 300-500×106 (aço), 2×106 (concreto), 180×106 (osso)

Barra maciça sujeita a forças de tração F nas duas extremidades

Até o ponto A, a deformação é proporcional à tensão. Além do limite elástico, correspondente ao ponto B, a barra não retorna a seu comprimento inicial umavez removida a tensão. No ponto C, a barra sofre ruptura

Gráfico tensão vs deformação

P. Tipler, G. MoscaFísica, Volume 1

P. Tipler: Física, Volume 1 (editora LTC)

Um cabo de 1.5 m de comprimento tem área da seção reta de 2.4 mm2. O cabo

está pendurado na vertical e sofre alongamento de 0.32 mm quando

sustenta um corpo de 10 kg preso na sua ponta inferior. Calcular:

(a) a tensão

(b) a deformação

(c) o módulo de Young do material do cabo

Respostas: (a) 4.08 × 107 N/m2, (b) 2.13 × 10-4, (c) 191 × 109 N/m2

Coleção Como Funciona (Editora Abril Cultural, 1984)

Um cabo de aço de 2.5 cm2 de área suporta um elevador de 1 tonelada. O limite elástico (ultimate

strength) do aço é de 300 × 106 N/m2. Se a tensão no cabo não deve exceder 20% do limiteelástico, encontre a máxima aceleração do elevador quando este se movimenta para acima. Resposta: a = 5.2 m/s2 ou 0.53g

Elevador

Quando alguém pisa na tábua, ela se encurva. A parte superior da tábua ficasubmetida a compressão e a parte inferior fica submetida a tração oudilatação. A combinação destas duasforças sustenta o peso da tábua e quem está sobre ela.

Alguns materiais, como o aço , suportam melhor a tração do que a compressão. Por isso que ele é usado em pontes pênseis e em outras aplicações nas quais a resistência a tração é importante. Materiais como o concreto resistem melhor àcompressão do que a tração e são empregados em edifícios e represas. As vigasde concreto usadas em pontes freqüentemente são encurvadas para cima antes de serem instaladas (concreto protendido) para evitar que a viga seja submetida a tração (a viga encurvasse para baixo) quando a carga é aplicada.

Tração e Compressão

J. Trefil & R.M. Hazen, Física Viva (Editora LTC, 2006)

O concreto é muito quebradizo quando colocado em camadas finas. As lajes de

concreto tendem a vergar e quebrar nas áreas sem suporte (a). Essas lajes podem ser

reforçadas com barras de ferro (b). Como o concreto é mais resistente a compressão

do que a tração, as colunas de concreto podem suportar grandes cargas mais as vigas

podem vergar. O uso do concreto protendido cria uma tensão permanente nas

barras de ferro e uma tensão de compressão no concreto, que pode suportar cargas

maiores.

Serway e Jewett, Physics for Scientists and Engineers (Cengage Learning, 2010)

Uma viga suportada em suas extremidades está submetida a

uma tensão de compressão e a uma tensão de dilatação.

Figura do meio : para minimizar a tensão, a viga deve ser

projetada de modo que sua seção reta seja grande nas partes

superior e inferior. Como não existe tensão ao longo da linha

central da viga, essa parte pode ter uma seção reta pequena

(diminuindo o peso). O resultado é a forma indicada na figura.

Figura direita : Um tubo oco é resistente ao encurvamento em

todas as direçòes.

Esquerda : a Torre CN em Toronto de 553 m. A seção reta em

forma de Y dá uma enorme rigidez contra a torção e contra o

encurvamento para a estrutura de 1.3×108 kg

Em uma ponte pênsil , os cabos estão sob tensão

de dilatação e as torres estão sob tensão de

compressão. As estruturas sob tensão são mais

eficientes para sustentar cargas leves ou

moderadas em grandes distâncias: a ponte

Humber (Inglaterra) sustenta o trafego de

caminhões através de um vão central de 1410 m.

Uma ponte em forma de abóbada está

submetida a uma compressão. As estruturas sob

compressão são muito eficientes para sustentar

cargas grandes em distâncias pequenas. A ponte

Sydney Harbour (Australia) de 500 m de vão,

sustenta uma rodovia e uma ferrovia com 4 linhas

Sears & Zemansky, Física 1 (Editora Pearson, SP, 2003)

As cordas do violino são afinadas ajustando-

se a tensão delas com as cravelhas até o

valor da freqüência desejada. As cordas são

confeccionadas em aço (módulo de Young Y =

200 GPa; tensão de ruptura (F/A) = 520 MPa).

Corda Mí:

diâmetro ≈ 0.2 mm (A = πr2 ∼ 3×10-8 m2)

tração aplicada F ≈ 63 N

Deformação tolerada pela corda: (∆L/L) ∼ 1%.

YA

F

L

L =∆ Ou seja, a corda Mi estoura se a deformação relativa for maior que 1%.

Elasticidade das cordas do violino

Corda Lá (quebrada) Ampliações: 60× e 200×

A deformação tolerada pela corda de aço é 1%. Como o comprimento da

corda do violino, desde a cravelha até o microafinador, é de ∼34 cm,

basta uma volta na cravelha para consumir esse 1% de tolerância.

Ao apertar-se um pouco mais a cravelha, a corda rompe-se.

Resnick – Halliday – Krane, Física

Um túnel de 150 m de comprimento, 7.2 m de altura e 6 m de largura será

construído a 60 m de profundidade. O teto do túnel será totalmente sustentado por

colunas de aço de 1000 cm2 de área. A densidade do material do solo é 2.83

g/cm3. (a) Calcule o peso que as colunas terão que agüentar. (b) Quantas colunas

são necessárias para ter um fator de segurança 2 contra ruptura?

Considere a carga de ruptura do aço 400 M N/m2.

Resposta: (a) 1.5 × 109 N; (b) 75

Túnel a 60 m de profundidade

Coleção Como Funciona (Editora Abril Cultural, 1984)