Aula17F- Reviso Introduo aos Determinantes Vamos lembrar os clculos de determinante de ordem 2 e 3 -bc add cb a =- ( ) ( ) ( )( ) 16 4 12 4 2 0 1 1 00 3 2 2 1 2 0 0 0 4 3 14 0 21 3 00 2 1= + = + + =Para determinantes de ordem superior podemos usar Laplace, Chi, podemos escalon-lo, entre outros modos. 7. (VUNESP) Dadas as matrizes ((

=4 23 1Ae ((

=1 32 1B , o determinante da matrizB A: a) 1b) 6c) 10d) 12 e) 14 Lembrar que( ) B A AB det det det =Temos que ( ) ( ) ( ) 14 6 1 6 41 32 1det4 23 1det det = =||.|

\|||.|

\|= ABAlternativa e 11. (MACK) Se A uma matriz quadrada de terceira ordem com determinante igual a 2, ento a expresso ( )( ) | |( )1det3 detAA At vale: a) 72b) 54c) 108d) 432e) 216 ( )AAA AA Antdet1detdet detdet det1= -= -= -o o , sendo n a ordem da matriz Como a matriz tem ordem 3 temos que ( )( ) | |( )( )331det 3det1det det 3det3 detAAA AAA At==, sendo2 det = A vem que ( ) ( ) 216 2 3 det 33 3= = AAlternativa e 12. (MACK) Se xxxD1 1 11 1 11 1 11 1 1 1 = , ento o nmero de solues reais da equao03= D x: a) 0 b) 1c) 2 d) 3 e) 4 ( )311 0 0 02 1 0 02 2 1 01 1 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 13 13 14 1+ =+++ ==+++xxxxxxxDl ll ll l, logo( ) 1 0 1 1 03 3 3= + = + = = x x x x x D x , portanto no h razes reais.Alternativa a 08. Calcular os determinantes: c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )080 270 12 3 2 4 3 4 2 5 3 5 4 55 4 3 25 4 3 25 4 3 21 1 1 15 5 5 14 4 4 13 3 3 12 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 26 6 6 64 4 4 42 2 2 26 4 26 4 26 4 26 4 2== = = Tarefa: Na pgina 290 os exerccios 8 itens b e c, 9 e 10. Professor relembre os alunos que na matriz de Vandermonde as colunas esto em progresso geomtrica de primeiro termo igual a 1 e que devemos calcular seu determinante usando os elementos da segunda linha que so as razes das progresses. Aula 18F- Binmio de Newton Veja: ( ) 10= +b a( ) b a b a + = +1 ( )2 2 22 b ab a b a + + = +( )3 2 2 3 33 3 b ab b a a b a + + + = +( ) ?4= +b aOs coeficientes formam o Tringulo de Pascal 1 3 3 11 2 11 11 que pode ser reescrito como ||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\| ||.|

\|33231303221202110100 Note ainda que os expoentes de a decrescem de n a 0 enquanto os expoentes de b crescem de 0 a n, logo: ( )4 32 2 3 4 4 0 3 12 2 1 3 0 4 446 44434241404b abb a b a a b a b ab a b a b a b a++ + + =||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|= + Assim: ( )=||.|

\|= +nii i n nb ainb a0 Binmio de Newton Note ainda que i varia de 0 at n, logo a expanso possui1 + ntermos Exerccio 02. pg 233 Represente o desenvolvimento de( )8b a +ma forma de somatrio. ( )=||.|

\|= +808 88ii ib aib a Extra Represente o desenvolvimento de( )203 2 y x ma forma de somatrio. ( ) ( ) ( )=||.|

\|= 20020 203 2203 2ii iy xiy xExerccio 03. pg 233 Quantos termos tem o desenvolvimento de( )100b a + ? Sendo100 = na expanso possui101 1 100 = + termos Exerccio 05. pg 233 Calcule o valor de =||.|

\|100103 210kk kk. Pelo Binmio de Newton ( )10 10100105 3 2 3 210= + =||.|

\|=kk kk Exerccio 08. pg 233 Calcule =||.|

\|5035kkk ( ) 1024 1 3 1 35355 55050= + =||.|

\|=||.|

\|= = kkkkkk k Em casa TeoriaEscritos Testes Fundamentais4 a 7 50,52 e 53 Complementares5 Aula 19F- Termos do Binmio Como( )=||.|

\|= +nii i n nb ainb a0, os termos da expanso so: n na b anT =||.|

\|= 0 010 1 121b anTn||.|

\|= n n n nnb b annT =||.|

\|=+1 Podemos afirmar que um termo genrico dado por:

i i nib ainT+||.|

\|=1

Termo Geral do Binmio de Newton Note que a expanso acima foi feita segundo potncias decrescentes de a. Exerccio 13. pgina235 Calcular o termo em 3xdo desenvolvimento de 621|.|

\|+xxO termo geral de 621|.|

\|+xx( )iiixxiT |.|

\|||.|

\|=+1 6 621 ixi3 126||.|

\|= . Logo3 3 3 12 = = i i , assim o termo 3 3 3 124 1 32036x x T T =||.|

\|= = + Exerccio Escrito 03. pgina 269 (COVEST- PE) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 53212 |.|

\|xx O termo geral de 53212 |.|

\|xx( )iiixxiT |.|

\| ||.|

\|=+ 3521125 ( )i i ixi5 10 51 25 ||.|

\|= . Logo2 0 5 10 = = i i , assim o termo ( ) 80 1 2252 5 10 2 2 53 1 2= ||.|

\|= = +x T TExerccio 11. pgina 235 Calcular o termo mdio do desenvolvimento de( )63 2y x +Como h7 1 6 = +termos, o termo central 421 7=+, logo o termo dado por( ) ( )9 6333 621 3 42036y x y x T T = ||.|

\|= =+ Relembre o aluno que no termo independente a potncia de x zero Comente com o aluno que se a quantidade de termos na expanso for par haver dois termos centrais D nfase ao fato de que mais fcil trabalharmos com1 + iT Em casa TeoriaEscritos Testes Fundamentais9,10,121,2,449 e 51 Complementares14 a 166 e 7 Aula 20F- Soma dos Coeficientes Coeficientes Binomiais Os coeficientes binomiais da expanso de( )nb a +so||.|

\|||.|

\|||.|

\|nn n n, ,1,0 . Pelo Teorema das Linhas do Tringulo de Pascal, temos: nnn n n2 ...1 0=||.|

\|+ +||.|

\|+||.|

\| Coeficientes Numricos Basta substituirmos cada uma das variveis que aparecem no binmio por 1. Exerccio 19.pgina 237 Calcule a soma dos coeficientes (binomiais) do desenvolvimento de.17235||.|

\|+ y xComo17 = na soma dos coeficientes binomiais 172 Exerccio 20.pgina 237 Sabendo que a soma dos coeficientes de( )mb a + 2048, determine m. A soma dos coeficientes de( )mb a +( )m m2 1 1 = + , logo11 2 2 2048 211= = = mm m. Exerccio 21. pgina 237 Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de: a)( )201 x A soma ( ) 0 0 1 120 20= = b)( )53 2 b a +A soma ( )5 55 1 3 1 2 = + c)( )63 5 y x A soma ( ) 64 2 1 3 1 56 6= = Exerccio 22. pgina 237 Considere a expanso do binmio( )83 2 y x . Determine: a)o termo de maior coeficiente binomial. Como h9 1 8 = +termos na expanso, o de maior coeficiente binomial o central, ou seja, o termo. 521 9=+ b)o termo cujo coeficiente binomial tem maior mdulo Um termo geral de( )83 2 y x dado por ( ) ( )p ppy xpT 3 2881 ||.|

\|=+, logo o mdulo do coeficiente de 1 + pT dado por p pp3 288 ||.|

\|. Considere o termo ( ) 1 1 + =p pT T , o mdulo de seu coeficiente dado por( ) 1 9 1 1 83 2183 218 ||.|

\|= ||.|

\|p p p pp p. Chame a ateno dos alunos para o fato da soma dos coeficientes binomiais na maioria das vezes no ser igual soma dos coeficientes binomiais Comentar que quando no se faz distino nos referimos aos coeficientes numricos Como o coeficiente mximo vem que 111> >++ppp pT de e coeficientT de e coeficientT de e coeficient T de e coeficient > ||.|

\| ||.|

\| 13 283 21881 9p pp ppp( ) ( )( )( ) > +1 3 2! 8 !! 8! 9 ! 1! 81 8 9 p p p pp pp p 4 , 55273 27 2 1 3 291= > > > p p ppp Logo 9 8 7 6T T T T > > >e de maneira anloga 6 2 1T T T < < , logo o termo cujo coeficiente tem maior mdulo o( ) ( )5 3 5 5 86108864 3 258y x y x T = ||.|

\|= Em casa TeoriaEscritosTestesFundamentais854 Complementares23955 O professor deve resolver com o maior cuidado este exerccio. Convm relembrar Fatorial e Propriedades de potncias ao fazer as passagens. Aula 21F- Alguns exerccios sobre equaes Equao do 1 grau da forma0 = +b axParaR b a e ,temos as seguintes situaes: Se0 = aabx = , assim )` =abVSe0 = ae0 0 0 = = x b , assimR V =Se0 = ae0 0 0 = = x b , assimC = VExemplo: Discutir e resolver( ) 2 42+ = a x a , sendoR aee R U = . ( ) ( )( ) 2 2 2 2 42+ = + + = a x a a a x aComo( )( ) 2 2 0 2 2 = = = + a e a a a , temos: Se 212 2= = =ax a e a , logo )`=21aVSe = 2 a 0 0 = x , logoR V =Se0 0 2 = = x a , logoC = V Equao do 2 grau da forma02= + + c bx ax , com0 = a . ParaR c e b a e ,e sendoac b 42 = Atemos as seguintes situaes: 0 > Ah duas razes reais e distintas )`A A + =ababV2;2 0 = Ah uma raiz real dupla ou duas razes reais e iguais )` =abV2 0 < Ano h raiz realeC = V Exerccio 01. pgina 239Determine k de modo que a equao ( ) ( ) 0 2 1 2 1 22= + + + k x k x kadmita duas razes reais e distintas. Para 210 1 2 = = + k ka equao admite duas razes reais e distintas para > A 0( ) | | ( ) ( ) ( ) 0 8 1 2 1 2 0 2 1 2 4 1 22> + + > + + k k k k k k( )( )61210 1 6 1 2 < < > + + k k k . Relembrar a resoluo de inequaes Lembre os alunos que discutir e resolver uma equao determinar os valores dos parmetros para os quais a equao pode ou no admitir soluo e resolv-la escrever o seu conjunto verdade em cada caso. Exerccio 02.pgina 239 Determine r de modo que a equao ( ) ( ) 0 2 2 12= + + + + r rx x rno admita razes reais. Se1 0 1 = = + r ra equao equivalente a210 1 2 = = + x x . Assim para1 = ra equao admite raiz real. Se1 = ra equao no admite raiz real para0 < A( ) ( )( )320 2 3 0 2 1 4 22 > < < + + r r r r r . Logo 32132 > = >rrr. Em casa TeoriaEscritosTestes Fundamentais31156 Complementares Comentar que devemos ver o que acontece no caso da equao ser de primeiro grau sempre. Aula 22F- Relaes entre coeficientes e razes numa equao do 2 grau Sendo 1xe 2xas razes de02= + + c bx ax , com0 = atemos: abx x S = + =2 1 Soma das razes acx x P = =2 1Produto das razes Exerccio teste 57. pgina 272 (MACK) A equao( ) ( ) 0 2 3 22= + + m mx x m ,R mepossui uma raiz positiva e outra negativa. Ento o menor valor inteiro que m pode assumir : a) -3b) -2c) -1d) 1e)2 Como h duas razes de sinais contrrios, temos que para 2 0 2 = = m m , vem que0220 0 no garante que0 > Ae por isso deve-se colocar na resoluo tal condio. A equao admite duas razes reais distintas de mesmo sinal se, e somente se, ( ) ( )20 16 80220 2 2 40022 + +>+> + >> Abb bbb bP ( )4 220 42 = < + b e bbb Em casa TeoriaEscritosTestes Fundamentais11 e 1212 a 1469 e 70 Complementares15 Aula 24F- Posio de um nmero em relao s eventuais razes de ax2 + bx + c = 0, com Considere o quadro de sinal abaixo de de razes e Note que se ento a e tem sinais contrrios, logo Exerccio 15.pgina 246 Determinar m de modo que o nmero 2 esteja compreendido entre as razes da equao . Sendo , para que vem que Considere a seguinte situao agora Temos que. Note agora que e tem mesmo sinal, logo compararemos com , assim ou Exerccio 17. Pgina 246 Determinar m real para que a equao admita razes reais e tais que. Sendo, temos que , se e somente se:mama ca mama ca

Diga ao aluno que garante que a equao possui razes reais e distintas, que posiciona em um dos lados do quadro de sinal e que a comparao com nos indica o lado correto do quadro que queremos . Em casa TeoriaEscritosTestes Fundamentais13, 14, 16, 18 e 19 23 a 2572, 73 e 74 Complementares2675