Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matematica

Curso de Pos-graduacao em Matematica

Dissertacao de Mestrado

Expoentes de Lyapunov nao nulose Hiperbolicidade Uniforme

Luciana Silva Salgado

Salvador-BahiaMarco de 2008

Salgado, Luciana Silva.Expoentes de Lyapunov nao nulos e Hiperbolici-dade Uniforme / Luciana Silva Salgado - Salvador: IM-UFBA, 2008. viii, 37p.Orientador: Augusto Armando de Castro Junior.Dissertacao de Mestrado - IM-UFBA. Programade Pos-Graduacao em Matematica, 2008.Bibliografia: p.27.Palavras-chave: 1. Sistemas Dinamicos; 2. Ex-poentes de Lyapunov; 3. Hiperbolicidade.

ii

Dissertacao sob orientacao do Prof. Dr.Augusto Armando de Castro Junior quesera apresentada ao colegiado do curso dePos-Graduacao em Matematica da Universi-dade Federal da Bahia, como requisito par-cial para obtencao do Tıtulo de Mestre emMatematica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior (Orientador)

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro

Prof. Dr. Vitor Domingos Martins de Araujo

iii

Expoentes de Lyapunov nao nulos eHiperbolicidade Uniforme

Luciana Silva Salgado

Agradecimentos

Ao meu amigo e orientador de mestrado Armando Castro por sua sensi-bilidade, atencao, amizade e por me mostrar uma paixao pela matematicaque entao desconhecia, voce e um grande exemplo para mim.

Aos caros professores do Instituto de Matematica da UFBA que sempreme incentivaram a continuar, todos voces sao pessoas fantasticas. Em par-ticular, Vilton Pinheiro por me mostrar a beleza matematica da Analise pelaprimeira vez e Enaldo Vergasta por seu carinho com todos, sua paciencia edisposicao em ajudar sempre.

A todos funcionarios do Instituto de Matematica da UFBA que desdeminha graduacao fazem parte dessa historia. Em particular, D. Zeze e Tania.

Professor Vıtor Araujo, por sua presenca nesta banca e por aceitar sermeu orientador de doutorado.

Aos meus colegas e amigos que sempre caminham comigo, longe ou perto,a me apoiar.

D. Neuza, minha mae, por estar presente na vida de seus filhos.

Augusto Salgado, meu pai, de quem herdei o gosto pelo estudo.

Meu querido Moara por ser voce comigo, quem me acalma e acende achama, forca minha, te adoro.

Icaro Sol, meu filho amado, sua compreensao e apoio com os sonhos desua mae sao indiscutıveis. Obrigada por sua confianca. Seu amor me fazuma pessoa melhor.

v

A Deus, por tanto amor.

vi

Resumo

Provamos que se f e um difeomorfismo local C1 tal que os expoentes deLyapunov de toda medida de probalbilidade f -invariante sao positivos, entaof e uniformemente expansora. Apresentamos tambem uma versao deste re-sultado para difeomorfismo com um conjunto nao-uniformemente hiperbolico.Por fim, fizemos uma exposicao parcial sobre como os resultados de Cao ede Araujo-Alves-Saussol foram utilizados em Castro-Pinheiro-Oliveira paraobter um criterio de hiperbolicidade partindo de condicoes sobre os pontosperiodicos de sistemas conjugados a hiperbolicos.

vii

Abstract

We prove that if a C1 local diffeomorphism f is such that the Lyapunovexponents of every f -invariant probability measure are positive, then f isuniformly expanding. We also present a version of this result for diffeomor-phism with a non-uniformly hyperbolic set. Finally, we present an overviewof how the results in Cao and Araujo-Alves-Saussol were used by Castro-Oliveira-Pinheiro to get a criterion of hyperbolicity from conditions aboutperiodic points of the conjugated hyperbolic systems.

viii

1 Introducao

A nocao de sistema dinamico uniformemente hiperbolico foi propostapor Smale, e desde entao, muitos dos resultados obtidos em Sistemas Dinamicosdescrevem caracterısticas de hiperbolicidade tanto sob o aspecto topologicoquanto o da teoria da medida.

Em particular, o estudo das taxas de expansao nao-uniforme e condicoessobre um dado conjunto de pontos e suas relacoes com o comportamentouniformemente expansor e enfatizado em varios artigos recentes.

Desde Oseledets [14], sabe-se que se µ e medida invariante para umaaplicacao f de classe C1, entao o numero

λ(x, v) = limn→+∞

1

nlog ‖Dfn(x).v‖ (1)

e definido num conjunto de probabilidade total e e chamado de expoente deLyapunov em x na direcao de v.

No nosso estudo, provamos que se f e um difeomorfismo local C1 talque os expoentes de Lyapunov de toda medida de probabilidade f -invariantesao positivos, entao f e uniformemente expansora. E tambem uma versaodeste resultado para difeomorfismo com um conjunto nao-uniformementehiperbolico.

Abaixo, apresentamos uma descricao sucinta dos artigos usados na dis-sertacao.

Araujo, Alves e Saussol [3], provaram que se f e um difeomorfismo localC1 nao-uniformemente expansor (NUE) sobre um conjunto de probabilidadetotal, entao f e uniformemente expansor, usando o conceito de NUE e o teo-rema de Birkhoff para tal fim.

No artigo que e a principal referencia de nosso trabalho, Cao [1] apresen-tou uma versao deste resultado, na qual a hipotese de expansao nao-uniformee substituıda por expoentes de Lyapunov positivos em todas as direcoes e oTeorema Ergodico Subaditivo (Kingman) para obter sua tese, a qual e amesma de [3]. As diferencas entre as provas vistas em [1] e [3] sao abordadas

1

na secao 5.

A ultima secao da dissertacao faz uma exposicao parcial sobre como [1]e [3] foram utilizados por Castro, Pinheiro e Oliveira [4], usando o ferra-mental de tempos hiperbolicos e o Lema de Pliss, para obter um criterio dehiperbolicidade partindo de condicoes sobre os pontos periodicos de sistemasconjugados a hiperbolicos.

2

2 Enunciado dos principais resultados

Definicao 2.1. Seja f : M → M um difeomorfismo local C1 de uma

variedade M dotada da metrica Riemanniana que induz uma norma ‖.‖ no

espaco tangente e uma forma de volume dita Medida de Lebesgue.A aplicacao

f e dita uniformemente expansora se existem contantes c > 0 e σ > 1 tais que:

‖Dfnx (v)‖≥ c.σn‖v‖,∀x ∈ M, v ∈ TxM, n ≥ 1.

Proposicao 2.2. Seja f : M → M um difeomorfismo local C1 definido em

uma variedade riemanniana compacta.

Se

lim infn→+∞

1

nlog(‖(Dfn(x))−1‖) < 0 (2)

sobre um conjunto de probabilidade total, entao f e uniformemente expan-

sora.

Definicao 2.3. Para cada x ∈ M e v ∈ TxM , o numero

λ(x, v) = limk→+∞

1

klog ‖Dfk

x (v)‖

e dito expoente de Lyapunov, sempre que tal limite existir.

Teorema 2.4. Seja f : M → M um difeomorfismo local C1 numa variedade

riemanniana compacta. Se os expoentes de Lyapunov para toda medida de

probabilidade f -invariante sao positivos, entao f e uniformemente expansora.

Tambem temos uma versao destes resultados para f : M → M umdifeomorfismo local C1 tendo conjuntos invariantes com alguma estruturanao-uniformemente hiperbolica.

Lembramos aqui que se M uma variedade diferenciavel de dimensao n eTxM o espaco tangente a M no ponto x, o conjunto

TM = {(x, v), x ∈ M e v ∈ TxM}e uma variedade diferenciavel de dimensao 2n e e chamado de Espaco FibradoTangente a M .

3

Definicao 2.5. Seja Λ ⊂ M um conjunto invariante de f com uma de-

composicao contınua Df -invariante do fibrado tangente sobre Λ, TΛM =

Ecs ⊕ Ecu. Λ e dito conjunto hiperbolico se f tem as direcoes de expansao

uniforme em Ecu e de contracao uniforme em Ecs, ou seja, existem constantes

c > 0 e σ > 1 tais que

‖Dfnx (vu)‖≥ c.σn‖vu‖ e ‖Dfn

x (vs)‖≤ c.σ−n‖vs‖∀x ∈ Λ, vs ∈ Ecs, vu ∈ Ecu, n ≥ 1.

Teorema 2.6. Seja f : M → M um difeomorfismo C1 e Λ um conjunto pos-

itivamente invariante para o qual o espaco tangente tem uma decomposicao

contınua Df -invariante TΛM = Ecs ⊕ Ecu.Se f tem todos os expoentes de

Lyapunov na direcao Ecu positivos e todos os negativos na direcao Ecs, sobre

um conjunto de probabilidade total, entao Λ e um conjunto hiperbolico.

4

3 Lemas Preliminares

Nesta secao provamos alguns lemas que serao usados na demonstracao daproposicao 2.2.

Definicao 3.1. (Convergencia fraca-*)

Seja X um espaco normado e X′:= {l : X →R, l e linear e contınua}

o seu espaco dual. Dizemos que uma sequencia (ln)+∞n=1 converge fraca-* se

existe l ∈ X′tal que

limn→+∞

|ln(x)− l(x)| = 0, ∀x ∈ X.

Sejam M um espaco metrico compacto e f : M → M uma aplicacaocontınua.

Lema 3.2. Seja Mf o espaco das medidas f -invariantes, φ uma funcao

contınua sobre M. Se∫

φdµ < λ, ∀µ ∈ Mf , entao para todo x ∈ M , ∃ n(x)

tal que

1

n(x)

n(x)−1∑i=0

φ(f ix) < λ.

Prova:

Demonstrando por absurdo, suponhamos que ∃ x ∈ M tal que

1

n

n−1∑i=0

φ(f ix) ≥ λ, ∀ n.

Definimos uma sequencia de medidas de probabilidade

µn =1

n

n−1∑i=0

δf ix(·), n ≥ 1

onde cada δf ix e uma medida de Dirac suportada em f ix.

Seja µ um ponto de acumulacao fraco desta sequencia, quando n → +∞.

Tome uma subsequencia µnkque convirja para µ.

5

Observe que µ e f -invariante, isto e, µ(f−1(A)) = µ(A): De fato, veja

que δx(f−i(A)) = δf ix(A).

Seja δf i(x)(A) = 1 ⇒ f i(x) ∈ A ⇒ x ∈ f−i(A) ⇒ δx(f−i(A)) = 1.

Por outro lado, suponha que f i(x) /∈ A ⇒ δf i(x)(A) = 0 ⇒ x /∈ f−i(A) ⇒δx(f

−i(A)) = 0.

Logo,

µ = limnk→+∞

µnk= lim

nk→∞1

nk

nk−1∑i=0

δf i(x)(·) =

= limnk→∞

1

nk

nk−1∑i=0

δx(f−i(·)).

Assim,

µnk(f−1(·)) =

1

nk

nk−1∑i=0

δ(f−i(f−1(·))) =

=1

nk

nk−1∑i=0

δ(f−i(·))︸ ︷︷ ︸

µnk

+1

nk

δ(f−nk(·))− 1

nk

δ(·) −→︸︷︷︸fraca−∗

µ.

Como φ e uma funcao contınua, temos

∫φdµ = lim

k→+∞

∫φdµnk

= limk→+∞

1

nk

nk−1∑i=o

φ(f ix) ≥ λ.

o que contradiz a hipotese de∫

φdµ < λ, provando o lema.♦

6

Lema 3.3. Seja Mf o espaco das probabilidades f-invariantes, seja φ uma

funcao contınua sobre M. Se∫

φdµ < λ, ∀ µ ∈ Mf , entao ∃ N tal que

∀n ≥ N temos

1

n

n−1∑i=0

φ(f ix) < λ, ∀x ∈ M.

Prova:

Pelo Lema 3.2, para cada x ∈ M, ∃ n(x) ∈ N e c(x) < λ,tais que

1

n(x)

n(x)−1∑i=0

φ(f ix) < c(x).

Assim , por continuidade, para cada x ∈ M , ha uma vizinhanca Vx de x tal

que para todo y ∈ Vx, temos

1

n(x)

n(x)−1∑i=0

φ(f iy) < c(x).

M e compacto,logo existe cobertura finita V (x1), ..., V (xp) de M por vizin-

hancas deste tipo. Seja N = max{n(x1), ..., n(xp)} e c = max{c(x1), ..., c(xp)}.Daı, temos c < λ. Tome

α = maxx∈M‖φ(x)‖ = ‖φ‖.

Defina, a seguinte sequencia de aplicacoes:

N1(x) = min{n(xi); x ∈ Vxi, i = 1, ..., p}

e

Nk : M → N, k ≥ 0,

da seguinte forma

N0(x) = 0, Nk+1(x) = Nk(x) + N1(fNk(x)(x)), para x ∈ M .

Logo, para todo x ∈ M e n ∈ N, existe k tal que Nk ≤ n ≤ Nk+1.

7

Daı,

n−1∑i=0

φ(f ix) =l−1∑

k=0

Nk+1∑j=Nk

φ(f i(x))+n∑

j=Nk+1

φ(f j(x)) ≤ cNl + αN ≤ cn + (|c|+ α)N .

Ja que, temos

para c ≥ 0 : cNk + αN ≤ cn + αN ≤ cn + (|c|+ α)N ;

e para c < 0 : cNk+αN = cn−c(n−Nk)+αN ≤ cn+|c|N+αN ≤ cn+(|c|+α)N .

Portanto, se tomarmos N = (2(|c|+ α)N)/(λ− c), temos

1

n

n−1∑i=0

φ(f ix) < λ, ∀x ∈ M, n ≥ N.♦

8

4 Prova da Proposicao 2.2

Definicao 4.1. Uma aplicacao A : N×M → Gl(k,R) e um cociclo subaditivo

mensuravel sobre f se verifica as seguintes propriedades:

(i) A(n+m,x) ≤ A(n, fm(x))+A(m,x) , para quaisquer n,m ∈ N e x ∈ X.

(ii) A(n, .) : M → Gl(k,R) e uma funcao mensuravel para cada n ∈ N.

(iii) A(0, x) = Id, ∀x ∈ X.

Enunciaremos, agora, o teorema ergodico subaditivo de Kingman que serausado na proxima demonstracao.

Teorema 4.2. (Teorema Ergodico Subaditivo de Kingman)

Seja A : N×M → R um cociclo subaditivo sobre f tal que max{0,A(1, ·)} =:

A+(1, ·) ∈ L1(M,µ). Entao, para µ-quase todo ponto x ∈ M existe o limite

A∗ = limn→+∞

A(n, x)

n.

Alem disso, a funcao A∗ esta em L1(M,µ), e f -invariante e satisfaz

∫

M

A∗dµ = limn→+∞

1

n

∫

M

A(n, x)dµ(x).

Definicao 4.3. Um conjunto boreliano A e dito de probabilidade total em

M se, µ(A) = 1, para toda medida de probabilidade f -invariante em M .

Definicao 4.4. Uma medida de probabilidade f -invariante µ e dita ergodica

se para qualquer conjunto f -invariante A ∈ A (ou seja, f−1(A) = A) temos

µ(A) ∈ {0, 1}.

9

Definicao 4.5. Dados µ ∈ M(M), F = {φ1, ..., φn} um conjunto finito de

funcoes contınuas φj : M → R e ε > 0 arbitrario, definimos

V (µ, F, ε) := {η ∈M(M); |∫

φjdη −∫

φjdµ |< ε,∀φj ∈ F}.

A topologia contendo,para cada medida µ, a colecao de todos os conjuntos

V (µ, F, ε) como base de vizinhanca em µ, com F e ε variaveis, e chamada

Topologia fraca-* em M(M). Esta topologia corresponde a nocao de con-

vergencia vista em 3.1

Observacao 4.6. Na proxima demonstracao usaremos o fato de Mf ser

compacto, isto e devido aos teoremas de Riesz-Markov e Banach-Alaoglu e e

comentado no apendice.

Vamos, enfim, aDemonstracao da Proposicao 2.2:

Seja Mf um espaco das medidas f -invariantes, munido da topologiafraca-*.

Defina φn(x) = log ‖(Dfnx )−1‖, n ∈ N.

Como f e um difeomorfismo local C1 sobre M temos que a aplicacaoφn(x) e uma funcao contınua sobre M .

Afirmacao 1. φn(x) = log ‖(Dfnx )−1‖ e um cociclo subaditivo.

Prova:

Como φn e contınua, e mensuravel. Ademais,

φm+n(x) = log ‖(Dfm+nx )−1‖ = log ‖(Dfm(Dfn))−1‖ =

= log ‖(Dfm(fn(x)) ·Dfn(x))−1‖ ≤ log(‖(Dfm(fn(x)))−1‖ · ‖(Dfn(x))−1‖) =

= log ‖(Dfm(fn))−1‖+ log ‖(Dfn(x))−1‖ = φm(fn(x)) + φn(x).

Isto prova a afirmacao 1.

10

Daı, pelo teorema ergodico subaditivo (teorema 4.2), temos que o limite

limn→+∞

1

nφn(x) =: φ(x)

existe para µ− qtp x e toda medida µ f -invariante.Alem disso, φ e f -invariante e integravel.

Afirmacao 2. φn

ne dominada.

Prova:

De fato,

‖(Dfn)−1‖ = ‖[Πn−1j=0 (Df(f j(x)))]−1‖ ≤ Πn−1

j=0‖(Df(f j(x)))−1‖.

Como f e difeomorfismo local (Df)−1 e uniformemente limitada superi-

ormente, digamos por uma constante S > 0. Assim,

‖(Dfn)−1‖ ≤ Sn ⇒ 1

nlog ‖(Dfn)−1‖ ≤ 1

nlog ‖(Df)−1‖ ≤ log S.

Por outro lado, Df−1 tambem e limitada inferiormente ja que

‖(Dfn(x)−1)‖−1 = inf‖v‖=1

‖(Dfn) · v‖ = inf‖v‖=1

‖[(Πn−1j=0 Df(f j(x))) · v]‖ ≤

≤ inf‖v‖=1

{Πn−1j=0‖(Df(f j(x)))‖ · ‖v‖} ≤ ‖Df‖n ⇒

‖Df‖−n ≤ ‖(Dfn)−1(x)‖ ⇒ − log ‖Df‖ ≤ log ‖(Dfn(x))−1‖n

.

Portanto, tomando r = max{log ‖Df‖, log S} temos ‖φn

n‖ ≤ r,∀n.

Provando assim a afirmacao 2.

Portanto, pelo Teorema da Convergencia Dominada de Lebesgue, temos

limn→+∞

∫φn

ndµ =

∫φdµ, para toda medida invariante µ.

11

Por hipotese,

lim infn→+∞

1

nlog ‖(Dfn

x )−1‖ < 0

num conjunto de medida de probabilidade total. Isto implica que φ < 0,para µ− qtp x para qualquer medida invariante µ.

Assim,∫

φdµ < 0,∀µ ∈Mf .

Agora provemos que ∃ L ∈ N e λ < 0 tais que

1

L

∫φLdµ < λ, ∀µ ∈Mf :

Ora, para uma dada medida µ ∈Mf , pelo teorema 4.2, temos

limn→+∞

∫φn

ndµ =

∫φdµ.

Ja que∫

φdµ < 0, ∃ nµ ∈ N tal que∫

φn

ndµ < 1

2

∫φdµ, ∀n ≥ nµ.

Note que fixada µ, a aplicacao x 7−→ φnµ

nµe contınua.

Para provarmos a uniformidade usaremos argumento padrao de compaci-dade da esfera unitaria na topologia fraca-* e a consequente compacidade dosubconjunto Mf das probabilidades f -invariantes.

(O argumento aqui usado e similar ao do Lema 3.3, so que refere-se acompacidade de Mf no lugar da de M)

Assim, tomando εµ = 14‖ ∫

φdµ‖, temos que o conjunto

Vµ = {µ′; ‖∫

φnµ

nµ

dµ−∫

φnµ

nµ

dµ′‖ < εµ}

e aberto na topologia fraca-*, vizinhanca de µ.

Veja que

∫φnµ

nµ

dµ′ =∫

φnµ

nµ

dµ′ −∫

φnµ

nµ

dµ +

∫φnµ

nµ

dµ ≤

≤ 1

2

∫φdµ + εµ =

1

4

∫φdµ, ∀µ′ ∈ Vµ.

12

Daı, ∪Vµ e uma cobertura de Mf e ja que este e compacto (teoremas 7.1e 7.2), podemos achar uma subcobertura finita, digamos V µ1, ..., V µl.

Se denotarmos nj = nµje λ = max{−εµj

, j = 1, ..., l}, entao, λ < 0 e∀ν ∈Mf , existe uma vizinhanca

(V µj) 3 ν, para algum j, tal que vale1

nj

∫φnj

dν < λ.

Observe que

‖Dfnjk(x)‖ ≤ ‖Πk−1t=0 [Dfnjt(fnj)]‖ ≤

≤ Πk−1t=0 ‖[Dfnj(fnjt)]‖ ⇒ log ‖Dfnjk(x)‖ ≤ log Πk−1

t=0 ‖[Dfnj(fnjt)]‖ ⇒

⇒ φnjk ≤k−1∑t=0

φnj(f tnj(x)),

para algum k ∈ N e j = {1, ..., l} fixado.

Dada ν ∈ Vµj, ja que ν e f -invariante,

1

knj

∫φnj

(fknj(x))dν ≤ 1

k

k−1∑t=0

1

nj

∫φnj(f

tnj(x))dν =

=1

k

k−1∑t=0

1

nj

∫φnj(x)dν < λ ⇒

∫φknj

knj

< λ.

Assim, se fizermos L = mmc{nl}, entao 1L

∫φLdµ < λ.

Ja que ( 1L)φL e funcao contınua sobre M, pelo Lema 3.3, ∃N ∈ N tal que

1

n

n−1∑i=0

1

LφL(f i(x)) < λ, ∀n ≥ N , ∀x ∈ M. (3)

(Isto e quase o que precisamos: Se L = 1, entao 1nφn(x) ≤ ∑n−1

i=1 φ(f i(x)) <

λ ⇒ φn(x) < λn, ∀n ∈ N que e o resultado desejado)

(Aqui ainda nao vale a subaditividade de φL em relacao a f , mas sim emrelacao a fL. Trocar f por fL neste momento nao garante que todas as µfL-invariantes tem sua integral menor que λ)

13

Queremos uma expressao em que apareca os intermediarios e nao apenasos multiplos de L, portanto usando a subaditividade, temos para todo k ∈ N

φkL(x) ≤k−1∑i=0

φL(f iL(x)),

e entao, para algum 0 ≤ j < L,

φkL(x) ≤ φj(x) +k−2∑i=0

φL(f iL+j(x)) + φL−j(f(k−1)L+j(x)).

(Basta fazer fkL = fL−j ◦ f (k−1)L ◦ f j e aplicar a regra da cadeia e asubaditividade em φkL)

Somando em j = 0, ..., L− 1 e dividindo por L, temos

φkL(x) ≤ 1

L

L−1∑j=0

[φj(x) +k−2∑i=0

φL(fLi+j(x) + φL−j(f(k−1)L+j(x)))] =

=1

L

L−1∑j=0

[φj + φL−j(f(k−1)L(f j(x)))] +

1

L

k−2∑i=0

L−1∑j=0

φL(fLi+j(x)).

Seja c1 > 1 uma cota para

‖φL−j‖ = supx∈M

‖φL−j(x)‖,∀0 ≤ j ≤ L, digamos,c1 = maxi=1,...,L

maxx∈M

φi(x).

Daı,

φkL ≤L−1∑j=0

k−2∑i=0

φL

L(f iL+j(x))+2c1 ≤

L(k−1)−1∑t=0

φL

L(f t(x))+2c1 <︸︷︷︸

(3)

L(k−1)λ+2c1,

se L(k − 1)− 1 > N .

Logo, temos φkL(x) ≤ L(k − 1)λ + 2c1,∀ k tal que L(k − 1) ≥ N .

Assim, para algum n ≥ N + 2L, podemos decompor n = kL + j, onde0 ≤ j < L. Entao,(k − 1)L = n− (L + j) > N.

14

Novamente, usando a subaditividade, obtemos

φn(x) ≤ φkL(x) + φj(fkL(x)) ≤ L(k − 1)λ + 2c1 + c1.

Logo, φn(x) ≤ L(k − 1)λ + 3c1.

Como (k − 1)L < n, obtemos

1

nφn(x) ≤ L(k − 1)

nλ +

3

nc1 =

=[(L(k − 1)) + L + j

n+

L− j

n

]λ +

3c1

n≤ λ

2⇒

⇒ φn ≤ nλ

2,∀n > N,

ondeL(k − 1)

n−→ 1 e N > Ntal que

3c1

n<

∣∣∣λ8

∣∣∣, L

n<

1

8.

Assim, se tomarmos

k = max{N + 2L,6c1

(−λ)}, obtemos

1

nφn(x) ≤ λ

2,∀x ∈ M,n ≥ k.

Seja c−1 = max{‖(Dfx)−1‖, . . . , ‖(Dfk−1

x )−1‖, 1}.Daı,

‖(Dfx)−1‖ ≤ c−1e

λn2 ,∀n ≥ 1.

Ademais, ∃c > 0 e λ < 0 tais que

‖Dfnx (v)‖ ≥ ce−

λn2 ‖v‖, ∀x ∈ M, v ∈ TxM, n ≥ 1.♦

Escolio 1. Seja φn um cociclo subaditivo contınuo em uma variedade M

compacta tal que

lim infn→+∞

1

nφn < 0,∀ n.

Entao,∃ λ < 0 e N0 > 0 tais que φn < nλ, ∀ n > N0.

15

5 Provas dos Teoremas

Apresentamos agora o enunciado do importante

Teorema 5.1. (Teorema de Oseledets - versao nao invertıvel)

Seja A : N ×M → Gl(n,R) um cociclo sobre uma transformacao men-

suravel f : M → M com log+‖A(1, ·)‖, onde log+ = max{0, log}, integravel

em relacao a uma medida f -invariante µ em M . Para µ − qtp x ∈ M ex-

iste um inteiro positivo t(x) ≤ n, numeros λ1(x) < . . . < λt(x)(x) e espacos

lineares {0} = F0(x) ⊂ F1(x) ⊂ . . . ⊂ Ft(x)(x) = Rn tais que:

1) Se F ⊂ Fi(x) e um subespaco linear com F ∩ Fi−1(x) = 0 entao

limn→+∞

1

nlog inf ‖A(n, x)v‖ = lim

n→+∞log sup ‖A(n, x)v‖ = λi(x),

onde o ınfimo e o supremo sao tomados sobre todos os vetores v ∈ F

tais que ‖v‖ = 1;

2)

limn→+∞

1

nlog | det A(n, x)| =

t(x)∑i=1

(dimFi(x) + dimFi−1(x))λi(x).

Este teorema e de suma importancia na teoria de sistemas dinamicos esera usado de maneira bem direta juntamente a proposicao 2.2 na demons-tracao do proximo teorema.

16

Prova do Teorema 2.4

Pelo Teorema 5.1 , existe um conjunto B ⊂ M tal que µ(B) = 1, ∀µ ∈Mf , com as propriedades:(1)Existe uma funcao mensuravel s : B → Z∗ com s ◦ f = s.(2)Se x ∈ B, existem numeros reais λ1(x) < ... < λs(x)(x).(3)Se x ∈ B, existem subespacos lineares 0 = F0(x) ⊂ ... ⊂ Fs(x)(x) = TxM .(4)Se x ∈ B e 0 < i ≤ s(x), entao

limn→∞

1

nlog ‖Dfn

x (v)‖ = λi(x),∀v ∈ Fi(x)\Fi−1(x).

Por hipotese, se x ∈ B, entao λi(x) > 0, para i = 1, ..., s(x).Daı, para todo x ∈ B, ∃N(x) tal que

‖Dfnx (v)‖ ≥ e(nλ1(x))/2‖v‖,

para n ≥ N(x) e v ∈ TxM .

Assim,‖(Dfn

x )−1‖ < e(−nλ1(x))/2,

para n ≥ N(x) e

lim infn→∞

1

nlog ‖(Dfn

x )−1‖ ≤ −λ1(x)

2< 0.

Portanto, pela Proposicao 2.2, f e uniformemente expansora.♦

Vejamos a diferenca entre esta demonstracao e a apresentada em [3].

Definicao 5.2. Um difeomorfismo local C1 f : M → M e uma aplicacao

nao-uniformemente expansora (NUE) em x ∈ M se

lim infn→+∞

1

n

n−1∑j=0

log ‖(Dffjx)−1‖ < 0.

Em [3], os autores investigaram se uma condicao NUE pode ainda implicarcomportamento de expansao uniforme forte.

17

Na hipotese dos lemas em [3] temos NUE num conjunto de probabili-dade total enquanto em [1] o autor percebeu que podia usar

∫φdµ < λ.

Mesmo de maneira implıcita, Araujo-Alves-Saussol passaram por esta inte-gral, chegando a ela pela condicao de NUE, que e mais forte que a de todosos expoentes de Lyapunov positivos.

Observe que esses lemas levam a tese do teorema principal em ambos osartigos. Entretanto, no caso de [3] os lemas sao utilizados diretamente paraobter o teorema e em [1] o autor ainda teve de passar pela proposicao 2.2.

O que Cao fez a mais foi supor que os expoentes de Lyapunov sao todospositivos, chegando a hipotese 1

L

∫φLdµ < λ, pela aplicacao do teorema

ergodico de Kingman, depois ajustou as contas para poder aplicar os lemase chegar ao resultado desejado.

Abaixo o enunciado do teorema apresentado no artigo [3]:

Teorema 5.3. Seja f : M → M um difeomorfismo local C1 definido numa

variedade Riemanniana compacta. Se f e nao-uniformemente expansora sobre

um conjunto de probabilidade total, entao f e uniformemente expansora.

Os lemas usados na demonstracao deste teorema foram os seguintes:

Lema 5.4. Se

lim infn→∞

1

n

n−1∑j=0

φ(f j(x)) < 0

vale num conjunto de probabilidade total, entao e valido para todo x ∈ X.

Lema 5.5. Existe c0 > 0 tal que∑mN−1

j=0 φ(f jx) ≤ − c2m + c0, ∀x ∈ X e

m ≥ 1.

Prova do Teorema 2.6Devido a continuidade dos fibrados, basta tomar

φn(x) = log ‖Df−n|Ecux‖

ouφn(x) = log ‖Dfn|Ecs

x‖,

e aplicar o escolio 1, obtendo a prova do mesmo modo que no teorema 2.4.

18

6 Um criterio de hiperbolicidade para sistemas

conjugados a expansores

Neste capıtulo apresentamos como a Proposicao 2.2 pode ser aplicada aoutros resultados.

Seja g : M → M um difeomorfismo local C2, M variedade riemanniana.

Definicao 6.1. Seja z ∈ M um ponto regular. Dizemos que k ∈ N e um

tempo ξ-hiperbolico para z se, para i = 1, ..., k, temos

Πij=1‖[Dg|(gk−j(z))]

−1‖ ≤ ξi.

O seguinte lema sera muito util no que segue:

Lema 6.2. (Lema de Pliss)

Dados λ > 0, ε > 0 e H > 0, existem N0 = N0(λ, ε, H) e δ = δ(λ, ε, H) >

0 tais que, se a1, a2, . . . , an sao numeros reais, satisfazendo

N∑n=1

an ≤ Nλ,

N ≥ N0, |an| ≤ H para n = 1, . . . , N , entao existe l ≥ Nδ, 1 ≤ n1 ≤. . . ≤ nl ≤ N tal que

n∑i=nj+1

ai ≤ (n− nj)(λ + ε),

para todo j = 1, . . . , l e nj < n ≤ N .

19

Uma propriedade interessante de tempos hiperbolicos para difeomorfis-mos locais e que, sob condicoes de proximidade entre segmentos de orbitas,um tempo ξ−hiperbolico para um ponto x ∈ M sera tambem tempo

√ξ-

hiperbolico para os pontos de uma vizinhanca de x:

Lema 6.3. (Versao simplificada da Proposicao 2.23 em [5])

Seja g : M → M um difeomorfismo local numa variedade riemanni-

ana compacta M . Suponha que k seja um tempo ξ−hiperbolico para x ∈M .Entao, existe δ > 0 tal que, para todo y ∈ M cujo k-segmento de orbita

dista a menos de δ do de x, temos k como tempo√

ξ−hiperbolico para y.

Prova:

De fato, seja δ > 0 tal que

‖[Dg(y)]−1‖ ≤ 1√ξ· ‖[Dg(z)]−1‖, ∀y, z ∈ M, tais que d(y, z) < δ.

Considere agora xj = gj(x) e yj = gj(y) com d(xj, yj) < δ,e j = 0, . . . , k.

Daı, para l < k, temos

Πlj=1‖[Dg(yk−j)]

−1‖ ≤ Πlj=1

1√ξ‖[Dg(xk−j)]

−1‖ ≤( 1√

ξ

)l

· (ς)l = (√

ς)l,

implicando que k e tempo ξ-hiperbolico para y.♦Seja g : M → M um difeomorfismo local C2 topologicamente conjugado

a um endomorfismo C1 expansor.

Definicao 6.4. (Aplicacao Nao-Uniformemente Expansora sobre um con-

junto)

Dizemos que um difeomorfismo local f e NUE sobre um conjunto X, se

existe η < 0 tal que

lim infn→∞

1

n

n−1∑j=0

log ‖[Df(f j(x))]−1‖ ≤ η < 0, ∀x ∈ X.

20

Lema 6.5. Suponha que g e topologicamente conjugada a uma aplicacao

expansora f. Seja x um ponto regular recorrente de g. Se Per(g) e NUE,

entao todos os expoentes de Lyapunov de x sao positivos.

Prova:

Seja δ > 0 tal que dada qualquer bola B(z, δ) os ramos inversos corre-

spondentes de g sao difeomorfismos bem definidos. Se ξ = eη, η < 0 como na

definicao de NUE, ξ < ξ′ < 1 fixado e seja ε > 0 tal que (√

ξ′)−1 − ε > 1.

Desde que x seja um ponto regular ∃ n0 ∈ N tal que

(ξ1 − ε)n.‖v1‖ < ‖Dgn(x).v1‖ < (ξ1 + ε)n.‖v1‖, ∀v1 ∈ E1;∀n ≥ n0.

Onde os E1 e o autoespaco de Lyapunov associado a log(ξ1) o menor

expoente de Lyapunov.

Agora,pelo lema 6.2, existe n1 > n0 tal que para qualquer ponto y e n > n1

onde

Πnj=0‖[Dg(gj(y))]−1‖−1 ≥ ξ−n,

temos, entao que y tem pelo menos n0 tempos hiperbolicos menores que n.

Fixemos 0 < δ′ ≤ δ tal que

‖[Dg−1(y)]‖ ≤ 1√ξ′‖Dg−1(z)‖, ∀z, y; d(z, y) < δ′,

onde g−1 designa qualquer ramo inverso de g.

Escolhemos 0 < δ′′ < δ′ tal que se g−n e uma composicao arbitraria de n

ramos inversos de g, entao diam(g−n(B(z, δ′′))) < δ′,∀z ∈ M, ∀n ∈ N. Isto

ocorre pois e valido para o sistema expansor f que e conjugado a g.

Como x e um ponto recorrente, escolhemos n2 ≥ n1 um tempo de retorno

tal que uma vizinhanca Vx ⊂ B(x, δ′′) de x e dada por gn2 sobre B(x, δ′′).

Portanto, escrevendo G := (gn2|Vx)−1, G : B(x, δ′′) → Vx ⊂ B(x, δ′′) tem

um ponto fixo p ∈ Vx, que e periodico de perıodo n2 por g.

21

Por hipotese, p e um ponto periodico hiperbolico para o qual temos

Πn2−1j=0 ‖[Dg(gj(p))]−1‖−1 ≥ ‖ξ−n2‖ ⇒ ‖DG(p)‖ ≤ ‖ξn2‖.

Por nossa escolha de n1 e pela equacao acima, existe um tempo ξ′-hiperbolico

n0 < n′ < n2 para p. Devido ao lema 6.3, n′ e tambem√

ξ′-hiperbolico para

x. Em particular, isto implica que

‖Dgn′(x).v‖ ≥√

ξ′−n′‖v‖,∀v ∈ TpM.

Portanto, ξ1 ≥√

ξ′−1 − ε > 1.

Isto significa que o menor dos expoentes de Lyapunov de x e maior que

0, e portanto todos os outros o sao.♦

Definicao 6.6. (Sombreamento por Pontos Periodicos)

Seja f : M → M uma aplicacao e Λ ⊂ M um conjunto compacto f -

invariante.Dizemos que (f, Λ) tem a propriedade de sombreamento por pon-

tos periodicos se dados ε > 0, α > 0 tais que para todo segmento de orbita

{x, . . . , fn(x)} ⊂ Λ com d(fn(x), x) < α, existe um ponto periodico p ∈ M

com perıodo n tal que d(f j(p), f j(x)) < ε,∀0 ≤ j ≤ n.

Neste caso, dizemos que a orbita de p ε-sombreia o segmento de orbita

{x, . . . , fn(x)}.

Se Λ ⊂ M e um conjunto compacto, hiperbolico, invariante por umdifeomorfismo f , entao a teoria classica de sistemas hiperbolicos implica que(f, Λ) tem a propriedade de sombreamento por pontos periodicos. O mesmotambem e valido para qualquer sistema que e topologicamente conjugado af .

22

Teorema 6.7. Seja g : M → M um difeomorfismo local C2 sobre uma

variedade compacta M . Suponha que existe um conjunto compacto invari-

ante Λ ⊂ M tal que (g, Λ) tem a propriedade de sombreamento por pontos

periodicos.Se g e NUE sobre o conjunto de pontos periodicos Per(g), entao g

e uma aplicacao expansora sobre Λ.

Notamos que o conjunto de pontos recorrentes regulares de Oseledets e umconjunto de probabilidade total, devido ao Teorema de Oseledets (teorema5.1) e ao Teorema de Recorrencia de Poincare (teorema 7.3). Isto significaque este conjunto tem medida igual a 1 para qualquer medida g-invariante, e olema 6.3 implica que todos os expoentes de Lyapunov sao positivos. Portanto,nosso teorema 6.7 e obtido pela aplicacao do lema 6.3 para a proposicao 2.2.♦

Como finalizacao, faremos um breve comentario sobre o resultado analogoao que provamos aqui, mas no contexto de difeomorfismos, feito tambem em[4].

Definicao 6.8. (Conjunto Nao-uniformemente Hiperbolico - NUH)

Seja g : M → M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M.

Dizemos que um conjunto invariante S ⊂ M e um conjunto Nao Uniforme-

mente Hiperbolico (NUH) se

(1) ∃TSM = Ecs ⊕ Ecu decomposicao Dg-invariante;

(2) Existem η > 0 e uma metrica Riemanniana adaptada para a qual qual-

quer ponto p ∈ S satisfaz

lim infn→∞

1

n

n−1∑j=0

log ‖Dg(gj(p))|Ecs(gj(p))‖ ≤ η,

lim infn→∞

1

n

n−1∑j=0

log ‖[Dg(gj(p))|Ecu(gj(p))]−1‖ ≤ η.

23

Definicao 6.9. (Decomposicao Dominada)

Seja f : M → M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M e

seja X ⊂ M um subconjunto invariante (isto e, f(X) = X). Diz-se que uma

decomposicao TxM = E ⊕ E e dominada se e somente se

(i) A decomposicao e Df -invariante, ou seja, Df(E(x)) = E(f(x)) e Df(E(x)) =

E(f(x));

(ii) ∃0 < λ < 1 e algum l ∈ N tais que, ∀x ∈ X

supv∈E,‖v‖=1

{‖Df l(x) · v‖} · ( infv∈E,‖v‖=1

{‖Df l(x) · v‖})−1 ≤ λ.

Os autores usaram estas definicoes para mostrar que se g e topologi-camente conjugada a uma aplicacao hiperbolica f , entao os expoentes deLyapunov de todo ponto recorrente regular de g sao nao-nulos no seguintelema:

Lema 6.10. Suponha que g e topologicamente conjugado a uma aplicacao

hiperbolica f. Seja x um ponto recorrente regular de g. Suponha que Per(g) e

NUH e que a decomposicao TPer(g)M = Ecs⊕Ecu e decomposicao dominada.

Entao, os expoentes de Lyapunov de x sao nao nulos.

e o aplicaram para demonstrar o teorema abaixo:

Teorema 6.11. Seja f : M → M um difeomorfismo C1 sobre uma variedade

Riemanniana compacta, com um conjunto positivamente invariante Λ para o

qual o fibrado tangente tem uma decomposicao contınua TΛM = Ecs⊕Ecu. Se

f tem expoentes de Lyapunov positivos na direcao Ecu e negativos na direcao

Ecs sobre um conjunto de probabilidade total, entao f |Λ e uniformemente

hiperbolica.

24

7 Apendice

Teorema 7.1. (Banach-Alaoglu)

Seja X um espaco normado.Entao, a bola fechada unitaria do dual X∗

de X e compacta na topologia fraca-*.

Teorema 7.2. (Riesz-Markov)

Seja M um espaco metrico compacto e C0(M) o espaco das funcoes

contınuas de M em R. Entao, o dual de C0(M) e o espaco das medidas

borelianas finitas com sinal sobre M .

Teorema 7.3. (Recorrencia de Poincare - Versao Probabilıstica)

Seja f : X → X, X um espaco de probabilidade. Entao, µ − qtp x ∈ X

e recorrente.

7.1 Compacidade do espaco Mf

Pelo teorema de Banach-Alaoglu, a bola fechada unitaria B∗[0, 1] doespaco dual de um espaco normado e compacta na topologia fraca-*. Ora, oteorema de Riesz-Markov da-nos que o espaco M(M) das medidas de prob-abilidade finitas com sinal de um dado espaco M e isomorfo (C0(M))∗.

Veja que Mf na prova da proposicao 2.2 e um subconjunto fechado deB∗M [0, 1]:

Com efeito, seja µn ∈Mf uma sequencia convergindo na topologia fraca-* para uma certa medida µ. Para vermos que µ ∈ Mf , basta mostrarmosque para toda φ contınua fixada vale

∫

M

φ ◦ fdµ =

∫

M

φdµ.

25

De fato, temos∫

Mφ ◦ fdµn −→︸︷︷︸

fraca−∗

∫M

φ ◦ fdµ e∫

Mφdµn −→︸︷︷︸

fraca−∗

∫M

φdµ.

Como o limite e unico e∫

Mφ ◦ fdµn =︸︷︷︸

µn∈Mf

∫M

φdµn ⇒∫

Mφ ◦ fdµ =

∫M

φdµ

e ja que φ ∈ C0(M) e qualquer, obtemos µ f -invariante.

26

Referencias

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[2] Alves J.F., Bonatti C., Viana M., SRB measures for partially hyper-bolic systems with mostly expanding central direction, Invent Math 140(2000), 351-398. MR 2001j:37063b.

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[4] Castro A., Oliveira K., Pinheiro V., 2006, Shadowing by non-uniformlyhyperbolic periodic points and uniform hyperbolic, Nonlinearity 20 75-85.

[5] Castro A., 2004 Fast mixing for attractors with mostly contracting cen-tral direction, Ergod. Theory Dyn. Syst. 24 17-44.

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[8] Mane R., Hyperbolicity, sinks and measure in one-dimensional dynam-ics, Comm. in Math. Phys. 100 (1985) 495-524. Erratum, Comm. inMath. Phys. 112 (1987) 721-724. MR 87f:58131; MR 88i:58139. 2001.

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[11] Ruelle D., 1989, the thermodynamical formalism for expanding maps,Comm. Math. Phys. 125 239-62.

[12] Shub M., Global Stability of Dynamical Systems, Springer-Verlag, NewYork (1987). MR 87m:58086

27

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[14] Oseledets V, 1968, a multiplicative ergodic theorem: Lyapunov charac-teristic numbers for dynamical systems, Trans. Moscow Math Soc. 19197-231.

28

Index

Abstract, viiiAgradecimentos, vApendice, 25

Enunciado dos principais resulta-dos, 3

Introducao, 1

Lemas preliminares, 5

Prova da Proposicao 2.2, 9Provas dos Teoremas 2.4 e 2.6, 16

Resumo, vii

Um criterio de hiperbolicidade parasistemas conjugados a ex-pansores, 19

29