Exploração do Método de Thompson na aplicação em problemas com várias escalas de comprimento
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Cláudio Nassif da Cruz
Exploração do Método de Thompson na aplicação em problemas com várias
escalas de comprimento
Departamento de Física Instituto de Ciências Exatas – ICEX – Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte 2002
Cláudio Nassif da Cruz
Exploração do Método de Thompson na aplicação em problemas com várias
escalas de comprimento
Tese apresentada ao Departamento de Física do Instituto de Ciências Exatas – ICEX – Universidade Federal de Minas Gerais. Orientador: P. R. Silva
Belo Horizonte 2002
1
Agradecimentos
Aos meus queridos pais por todo apoio e carinho que me deram ao longo dessa jornada;
Ao grande amigo Carlos Magno, quem sempre me incentivou buscar por um ideal nobre, porém sem transgredir o sistema estabelecido;
Ao meu queido amigo Ralf Rubow, da Alemanha, que esteve sempre ao meu lado nos momentos de conquista e publicações durante a minha pesquisa, incentivando-me ainda mais na conquista de novos patamares;
A Regina Athayde e Públio Athayde que trabalharam com muito afinco na digitação e organização das figuras desse trabalho, sabendo sempre compreender e atender as minhas sugestões, e, inclusive ter paciência comigo nos meus momentos de inquietude e ansiedade.
Ao meu orientador Paulo Roberto por todo apoio e intensa participação nessa longa jornada de debate e pesquisa.
Ao Prof. J. A. Helayell pelo apoio científico e importantes sugestões dadas para fortalecer meus argumentos.
Ao CNPq pelo suporte financeiro.
A Deus.
2
Sumário
Introdução Geral ..................................................................................................................................... 7
Capítulo 1 ................................................................................................................................................ 13
1 Estudo comparado do Grupo de Renormalização de Wilson com o método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas
magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising – 4 . ............... 13
1.1 O Grupo de Renormalização de Wilson aplicado em fenômenos críticos:
modelos tipo Ising – 4Φ . ...................................................................................................... 15
1.2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising. ................................... 29
1.3 Comparação dos resultados obtidos pelo G.R e pelo M.T. ............................................ 34
1.4 Apêndice ................................................................................................................................. 38
1.5 Conclusões ............................................................................................................................. 42
Capítulo 2 ................................................................................................................................................ 45
2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson (M.T) aplicado ao modelo N-vetorial, ao modelo de Ising com campo aleatório e ao modelo N-vetorial com campo aleatório. ......................................................................................... 45
2.1 Uma revisão do M.T aplicado ao modelo N-vetorial ........................................................ 48
2.2 Uma revisão do M.T aplicado ao Modelo de Ising com campo aleatório (RFIM). ....... 56
2.3 O M.T aplicado ao modelo N-vetorial com campo aleatório ........................................... 59
2.4 Conclusões ............................................................................................................................. 73
3 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão dos tipos A + A 0, A + B 0, com e sem difusão anômala, e às
reações químicas do tipo l l . ......................................................... 76
3.1 Uma revisão do estudo das reações do tipo 0AA (com difusão browniana). ... 78
3.2 Reações do tipo A + B 0 com concentrações iniciais iguais (com difusão browniana). ............................................................................................................................. 82
3.3 Tratamento unificado das reações do tipo A + A 0 e A + B 0. ............................. 85
3.4 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão do tipo A + B 0, com concentrações iniciais diferentes para as duas espécies. ........... 87
3.5 Estudo das reações químicas do tipo A B 0 e A A 0, nas condições de difusão modificada pela aplicação do M.T. ....................................................................... 93
3.6 O Método de Thompson aplicado às reações controladas por difusão do tipo
browniana e não-browniana KAKA ......................................................... 105
3.7 Conclusões ........................................................................................................................... 118
Capitulo 4 .............................................................................................................................................. 121
3
4 O Método de Thompson aplicado ao estudo de crescimento de polímeros. .... 121
4.1 Flexibilidade de uma cadeia. ............................................................................................. 123
4.2 Elaboração de uma ação que forneça as características do processo de crescimento de uma cadeia de polímero. ........................................................................ 128
4.3 O M.T aplicado na ação obtida para crescimento de cadeias de polímeros. ............ 144
4.4 Obtenção do expoente de Fisher . ............................................................................ 151
4.5 Obtenção do expoente de crescimento ( g ) ................................................................... 154
4.6 Apêndice ............................................................................................................................... 159
4.7 Conclusões ........................................................................................................................... 163
Capitulo 5 .............................................................................................................................................. 165
5 O método de Thompson aplicado à teoria de campo escalar 4g. . ................ 165
5.1 O método de Thompson aplicado à teoria g4. ............................................................. 166
5.2 Conclusões. ......................................................................................................................... 175
5.3 Apêndice ............................................................................................................................... 176
Capitulo 6 .............................................................................................................................................. 180
6 O Método de Thompson aplicado à Eletrodinâmica Quântica – 4QED ........... 180
6.1 A Lagrangeana da QED tratada pelo Método de Thompson. ...................................... 181
6.2 Algumas elaborações a mais para o Método de Thompson aplicado à 4QED . ..... 185
6.3 Conclusões ........................................................................................................................... 193
6.4 Apêndice: Obtenção da massa e da carga do elétron numa 2a aproximação ou para energias mais altas – Uma extensão do Método de Thompson. ........................ 195
Conclusões Finais .............................................................................................................................. 202
7 Referências Bibliográficas ............................................................................................. 208
5
Resumo
Nesse trabalho, empregamos o método das escalas e dimensões de Thompson para estudar diversos sistemas físicos que apresentam várias escalas de comprimento e com dimensionalidade d, incluindo flutuações nas várias escalas de comprimento, dadas abaixo de uma certa dimensão crítica superior cd , que é a
dimensão acima da qual o sistema entra em regime de campo médio. Portanto, o Método de Thompson (M.T) é uma forma alternativa simples ao Grupo de Renormalização (G.R).
Primeiramente, estudamos o modelo de Ising 4 através da Hamiltoniana de Landau-Ginsburg-Wilson (LGW), na qual aplica-se o método para extrair principalmente o expoente crítico do comprimento de correlação d , com dependência da dimensionalidade do modelo, dado nas vizinhanças do ponto crítico cT de transição de 2ª ordem. Em seguida, estudamos o modelo N-vetorial, o modelo
de Ising num campo aleatório e o modelo N-vetorial num campo aleatório, extraindo basicamente, de forma analítica os expoentes críticos d,N e d,N para tais modelos, sendo o expoente crítico para o calor específico.
Na terceira etapa, usamos o referido método para estudar as diversas classes de reações químicas limitadas por difusão do tipo 0BA ,0AA em condições estequiométrica e não-estequiométrica (concentrações iniciais diferentes) com difusão browniana e não-browniana, incluindo também as reações de coalescência do tipo kllAkA , com e sem difusão anômala. Estas reações são estudadas no regime estacionário com uma fonte homogênea externa de partículas numa taxa h de tal forma que sejamos capazes de extrair os expoentes críticos
` e para a concentração h e o tempo de relaxação h no limite crítico 0h
(taxa de “campo” externo nula). Observamos que a taxa de reação k e a
concentração para qualquer classe de reação sempre exibem um comportamento
logarítmico na escala de comprimento l para a dimensão crítica superior do modelo
cdd .
Exploramos o método para estudar o crescimento de uma cadeia de polímero, obtendo basicamente os expoentes dg de crescimento da cadeia, d de decaimento de probabilidade da cadeia capturar monômeros em tempos longos e
dF , que é o chamado expoente de Flory. Algumas importantes relações de escalas são obtidas entre tais expoentes. Depois, vamos além para explorar o método na
teoria de campo escalar 4g em 4d e na Eletrodinâmica Quântica em 4QEDd4 , obtendo principalmente o comportamento logarítmico dos acoplamentos em tais teorias aargc e g em função das escalas de energia-comprimento. Assim, somos
capazes de extrair as funções- do G.R para essas teorias, fazendo algumas aproximações que serão justificadas.
6
Abstract
In this work, we apply Thompson’s Method (T.M) of scales and dimension to study several physical systems which have many scales of length, by including fluctuations in them, given below a certain upper critical dimension cd , which is the
dimension above which the system goes into a mean field regime. Therefore T.M is a simple alternative form to the Renormalization Group (R.G) approach.
Firstly, we study the Ising 4 model by using the Landau-Ginsburg-Wilson (L.G.W) Hamiltonian, where the method is applied in order to extract the critical exponent for correlation length d , having a dependence with the dimensionality of
the model. is given in the neighborhood of the critical point cT for second order
phase transition. After we study N-vectorial model, the Random field Ising model (RFIM) and the N-vectorial model with Random field. So we basically obtain the exponents d,N and d,N for such models. These exponents are given in an analytical form, being the critical exponent obtained for specific heat.
On the third Chapter we use such method to study the many classes of diffusion limited chemical reactions of kind 0BA ,0AA in sthequimetric conditions and with different initial concentrations, having brownian and non-brownian condition diffusion, by also including the coalescence reactions of type kllAkA , with enhanced diffusion condition. These reactions are also studied on stationary regime in the presence of a homogeneous external source of particles, in such a way that we are
able to extract the critical exponents and ` for the concentration h and for the
relaxation time h , given in the critical limit of rate field zero0h . We also observe
that the mean reaction rate k and the concentration for all classes of reactions always exhibit a logharithmic behavior on scale of length for upper critical dimension ( cd ) of the model.
We also explore the method to study the growth of a polymer chain, obtaining the exponents dg for the growth of the chain, d for the probability decaying of
absorbing monomers by the chain for long-time, and dF , that is called Flory-exponent. Some important scaling relations are obtained among such exponents. After
we go further to explore the method by studying the scalar field theory 4g in 4-d,
and the Quantum Electrodynamic in 4-d 4QED . We just obtain the logarithmic corrections on scale of energy-length for the couplings g and (charge) in such
theories. So we are able to pick up the R.G -functions of these theories, by making some approximations which will be justified.
7
Introdução Geral
O tema da presente tese se refere ao estudo de sistemas físicos onde as
flutuações estão presentes em uma larga faixa de comprimentos de onda (várias
escalas de tamanho ou energia). Em geral consideramos esses sistemas imersos num
espaço de dimensão (d). Alguns desses sistemas possuem criticalidade, que se dá
através de um ponto crítico, com transição de fase em 2ª ordem. No ponto crítico, o
sistema torna-se invariante nas escalas, ou seja, torna-se auto-similar. Qualquer
escala de tamanho fica igualmente importante. Como exemplo, podemos citar o caso
de sistemas ferromagnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising
(Modelo Landau-Ginsburg).
Esse tema apresenta várias questões recorrentes. Tais questões fundamentais
dizem respeito ao comportamento desses sistemas na dimensão crítica superior,
acima da qual o sistema entra num regime de campo médio, e abaixo da qual surgem
flutuações nas várias escalas de comprimento, i. é, um regime fora do campo médio,
em que predominam as flutuações. Também estuda-se o comportamento de alguns
sistemas no ponto crítico da transição de fase de 2ª ordem, de onde se obtém
expoentes críticos, como por exemplo, os expoentes críticos do comprimento de
correlação v e da magnetização ( ) no modelo de Landau-Ginsburg-Wilson (L.G.W)
para sistemas ferromagnéticos.
Um dos focos de nossa tese pretende examinar a seguinte questão:
Desenvolver uma maneira simples e heurística para lidar com problemas de diferentes
classes de universalidade, incluindo ao mesmo tempo as dimensões, as escalas de
comprimento e energia, e os pontos críticos, caso haja. Enfim, procuraremos
8
desenvolver também uma maneira unificada para lidar com sistemas de diversas
classes de universalidade.
Consideramos relevante desenvolver a questão acima proposta por várias
razões: Em primeiro lugar, esse tratamento heurístico seria capaz de reduzir de
maneira significativa o labor de cálculo, de tal forma que seria capaz de extrair de
maneira simples a informação que diz respeito ao comportamento das “constantes” de
acoplamento nas escalas e nas dimensões para a hamiltoniana do sistema
considerado. No entanto, em alguns casos, precisamos construir uma hamiltoniana
para o modelo, e depois fazer um tratamento heurístico, ou seja, um tratamento
baseado numa análise dimensional nas escalas de comprimento (ou energia).
Uma das vantagens da presente pesquisa é que ela nos remete a um certo
nível de versatilidade ao tratar vários modelos diferentes dentro de um mesmo
enfoque. Tal versatilidade nos possibilita obter de uma forma unificada o
comportamento universal logarítmico para constantes de acoplamento na dimensão
crítica superior cd de vários sistemas.
Por exemplo, no caso da Eletrodinâmica quântica (QED) e da teoria de campo
escalar 4 , as formas usuais de se tratar estes problema podem envolver várias
técnicas de regularização para renormalização das teorias. No entanto, com a nossa
pesquisa de exploração do Método de Thompson, tentaremos mostrar algumas
possibilidades que poderiam reduzir significativamente esforços na obtenção de
alguns desses resultados. Um deles, por exemplo, seria o caso do cálculo da
“constante” de acoplamento para a QED4.
Outro resultado de nosso trabalho será a obtenção de expoentes críticos para
os modelos N -vetorial e N -vetorial com campo aleatório, já incluindo o RFIM
9
(Modelo de Ising com campo aleatório), tendo em vista as dificuldades de tratar tais
problemas à luz de métodos numéricos e de simulação computacional (Simulação
Monte Carlo).
Nossa pesquisa se presta também à abordagem de problemas com níveis de
relevância específicos. Entre eles, citamos a questão do expoente de crescimento g
para cadeias de polímeros, obtido de maneira analítica, sendo função da
dimensionalidade do sistema no qual a cadeia de polímero está embebida dgg .
Tal expoente crítico é dado nos instantes iniciais de crescimento da cadeia polimérica.
Em suma, o nosso objetivo será aplicar de maneira inovadora o Método de
Thompson nos vários sistemas. O M.T. representa uma forma alternativa simples ao
Método do Grupo de Renormalização de K.G. Wilson. Ambos os métodos podem ser
usados para tratar sistemas com várias dimensionalidades e escalas de comprimento
(ou energia).
Para tanto, construímos alguns passos que permitiriam o desenvolvimento da
pesquisa. Começamos em 1º lugar com o estudo do Grupo de Renormalização (G.R)
aplicado ao modelo L.G.W. Em seguida, aplicamos o Método de Thompson (M.T) no
referido modelo. Assim, poderemos fazer um estudo comparativo dos resultados
obtidos por ambos os métodos.
A tese está dividida em 6 capítulos, a saber:
No 1º capítulo, usamos o G.R e o M.T para estudar o modelo L.G.W. tendo em
vista estabelecer critérios de comparação entre eles. Como o G.R será usado numa 1ª
aproximação de regime ligeiramente fora do campo médio 1d4 , onde há
poucas flutuações, então, observamos por comparação, que o M.T é
10
essencialmente não-perturbativo, valendo em princípio para qualquer 4d'' ,
de tal forma que a 1ª aproximação do G.R (ordem em expansão perturbativa)
fica incorporada pelo M.T, sendo naturalmente recuperada quando fazemos
4d para os resultados obtidos pelo M.T.
No 2º capítulo, examinamos o modelo N -vetorial e o modelo N -vetorial na
presença de campo aleatório, com base no M.T, tendo em vista a obtenção dos
expoentes críticos do comprimento de correlação v e do calor específico , em
função da dimensionalidade do sistema d e do grau de liberdade N do parâmetro
de ordem. Como o parâmetro de ordem é representado pelo spin médio por
partícula iS , o grau de liberdade N associado ao spin no modelo N -vetorial
representa uma dimensionalidade intrínseca para o spin nesse modelo. Assim sendo,
se, por exemplo, 1N , o spin fica reduzido a uma única dimensão, podendo assumir
apenas dois. Neste caso, temos o modelo de Ising. Quando 2N , o spin (direção de
spin) se orienta num espaço D2 (Ex: modelo xy). Para 3N , o spin está no
espaço D3 , que é chamado modelo de Heisenberg (Ex. magnetos isotrópicos).
Logo, em geral, temos N componentes de spin para o modelo N -vetorial. No limite em
que N , temos o chamado modelo esférico.
No 3º capítulo, estudamos os modelos de reações químicas limitadas por
difusão do tipo 0 AA e 0 BA , com e sem difusão anômala, e também as
reações de coalescência do tipo lAKA , com difusão browniana e não-browniana.
Em algumas reações, tratamos o caso de regime estacionário na presença de uma
fonte homogênea externa h de partículas. Neste caso, obtemos expoentes críticos e
relações de escala entre tais expoentes, que são os expoentes para a concentração
11
h em regime estacionário e ' para o tempo de relação h ; ambos obtidos no limite
crítico em que 0h , isto é, taxa de campo externo nula.
O capítulo 4 é um dos principais da tese. Nele é proposto uma nova forma de
se tratar o problema do crescimento de uma macromolécula de polímero, mediante a
elaboração de uma ação (“energia livre”), na qual se aplicam as prescrições de
Thompson. Com isso, seremos capazes de extrair informações de uma cadeia linear
de polímero, como por exemplo, o expoente g(d) de crescimento inicial da cadeia,
obtido de forma analítica em função da dimensionalidade (d) do espaço no qual a
cadeia está embebida; o expoente de Fisher d , que fornece o grau de decaimento
da probabilidade de crescimento da cadeia, obtido em tempos longos quando a cadeia
polimérica alcança um tamanho limite máximo. Tal tamanho é dado pelo chamado raio
de Flory FR , sendo FFR N , onde N é o número de monômeros na cadeia e F
é o chamado expoente de Flory, que também vamos obter dF pela aplicação do
M.T na ação construída para o modelo.
Tendo em vista investigar o alcance de aplicabilidade do M.T, o 5º capítulo se
destina ao estudo da teoria de campo escalar do tipo 4g em 4-dimensões, na
obtenção do acoplamento g do modelo. A importância desse capítulo prende-se
ao fato de que o método (M.T) pode ser estendido à aplicação em alguns tópicos de
teorias de campos. Então, embora o nosso objetivo seja a obtenção da função 4 do
grupo de renormalização para essa teoria, que já é bem conhecida pelos métodos
usuais, a novidade reside na maneira como tratamos o problema, através de
argumentos dimensionais que fundamentam uma das prescrições do presente método
(M.T).
12
Por fim, o último capítulo contempla a aplicação do M.T à Eletrodinâmica
Quântica em 4-dimensões 4QED , através da obtenção da função do grupo de
renormalização para essa teoria, dada numa 1ª aproximação. Este capítulo traz
também um apêndice, onde se considera um aprimoramento para o método proposto
por Thompson com o objetivo de obter o comportamento da constante de acoplamento
(estrutura fina) e m (massa do elétron) em escalas de energias mais altas.
Esse tratamento representa uma 2ª aproximação para o método.
Ao findar essa introdução, alguns comentários tornam-se pertinentes. Sabe-se
que alguns resultados obtidos, tais como a função da 4QED e da teoria 4g já
estão consagrados na literatura existente. No entanto, a obtenção desses resultados
através do M.T. talvez se justifique tendo em vista a exploração do alcance do método.
13
Capítulo 1
1 Estudo comparado do Grupo de Renormalização de Wilson com o método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising – 4 .
Introdução
Na Física, existe um vasto espectro de problemas onde flutuações ocorrem em
todas as escalas de comprimento, desde os comprimentos de onda ao nível
microscópico (altas energias) até grandes comprimentos (energias muito baixas). Os
fenômenos críticos e a física de partículas elementares estão incluídos nesta classe de
problemas.
A maneira mais conhecida de lidar com esses problemas, envolvendo várias
escalas de comprimento é o chamado método do Grupo de Renormalização (G.R.),
que, quando aplicado para tratar o comportamento crítico de um sistema com
transição de fase de 2ª ordem, mostra-se capaz de obter os expoentes críticos desse
sistema [1-7].
Uma forma alternativa de lidar com problemas de várias escalas de
comprimento foi proposta por C.J. Thompson [8], que usou um método heurístico (das
dimensões) com o objetivo de obter o expoente crítico do comprimento de correlação
(), que controla o comportamento de um sistema nas vizinhanças de seu ponto
crítico.
Thompson [8] partiu da chamada hamiltoniana ou energia livre de Landau –
Ginsburg – Wilson, que trata de sistemas com magnetização M numa dada
temperatura T, sendo que daí ele obteve uma relação para o expoente em função da
dimensionalidade d do problema. Assim, Thompson [8] obteve:
d 2
4 d 1
d e
para d 4
( )
1para d 4, (regime de campo médio),
2
(1.1)
14
onde d representa a dimensionalidade do sistema.
O valor 2
1 para 4d (regime de campo médio) está em concordância
com os argumentos do G.R.
Se expandirmos d para 4d em potências de d-4ε , obtemos
2 21 ε 1d
2 122 1
6
.... ....
. Observa-se que tal expansão
para 4d do resultado de Thompson 8 concorda com o obtido pelo G.R. [1,7]
em ordem O . O termo de ordem 22 O , no entanto, não apresenta
concordância com os cálculos mais refinados do 9RG . Portanto, apesar de não
haver concordância exata em todas as ordens para 4d do Método de
Thompson TM em relação ao G.R., veremos nesse capítulo que a vantagem do
resultado obtido por Thompson está na forma analítica que é obtida para 4d d ,
de onde obtemos que 1d . Este resultado é exato para 1d . O M.T também
fornece o resultado exato 12 d .
Nosso propósito é fazer um estudo comparado entre o RG e o TM quando
aplicados aos fenômenos críticos (transição de 2a ordem), em modelos do tipo
4gsinI (Hamiltoniana ou energia livre de Landau – Ginsburg – Wilson =
WGL . O objetivo desse estudo inclui em principio a obtenção dos expoentes
críticos do sistema , , e também a obtenção de equações diferenciais que regem o
comportamento dos parâmetros L e Lu da hamiltoniana WGL , obtidos numa
dada aproximação para a escala L (L grande) e o parâmetro de expansão d4 .
Assim, tais equações diferenciais obtidas pelo G.R. [1] serão depois obtidas pelo M.T.
[8], de forma que podemos comparar melhor os dois métodos aplicados a esses tipos
de problemas. Assim, fundamentamos pelo RG as prescrições heurísticas do M.T.
Em suma, devemos traçar basicamente um paralelo entre o G.R. [1] e o M.T. [8],
aplicados a tais sistemas cooperativos. Inicialmente, vamos começar com o G.R na
seção que se segue.
15
1.1 O Grupo de Renormalização de Wilson aplicado em fenômenos críticos: modelos tipo Ising – 4Φ .
O Grupo de Renormalização de Wilson (G.R) é um método poderoso, capaz de
lidar com problemas envolvendo várias escalas de comprimento. A estratégia deste
método consiste em tratar um problema em passos; éi , um passo para cada escala
de comprimento. No caso de fenômenos críticos, o problema tecnicamente está em
todas as escalas de tamanho no sistema. Portanto, o método G.R. permite fazer
integrações em seqüências de flutuações, começando com flutuações numa escala
atômica, e com isto, caminhando para escalas sucessivamente maiores, até que as
flutuações em todas as escalas tenham sido tomadas na média para cada uma destas
separadamente.
A fim de ilustrarmos as idéias do RG , o caso básico de fenômeno crítico
será discutido em mais detalhes. Então, primeiramente, a teoria de campo médio de
Landau [10,11] será brevemente descrita e importantes questões ficarão definidas. O
G.R, portanto será apresentado como aperfeiçoamento para a teoria de Landau [1,2].
O ponto de Curie [10] de um material ferromagnético é usado como um
exemplo específico de um ponto crítico para estabelecer uma transição de fase em 2a
ordem, sendo a magnetização M o parâmetro de ordem do sistema. Assim, quando
estamos abaixo da temperatura de Curie cTT , um ferromagneto ideal exibe
magnetização espontânea OM na ausência de um campo externo. Acima da
temperatura de Curie cc TTT não há magnetização espontânea OM . A figura
(1) mostra um gráfico típico da magnetização espontânea versus temperatura (T).
Justamente abaixo de CT , a magnetização comporta-se como TTM C ~ ,onde
é o expoente crítico da magnetização. Para 4d (campo médio, onde vale a teoria
de Landau), temos 2
1 . Para 3d , obtém-se 13,12
3
1 . Para 2d , temos
8
1 (solução exata do modelo de Ising 2-d) [14].
16
T
M
Tc
Figura 1: Gráfico da Magnetização versus Temperatura para um magneto.
Ao nível microscópico, o magnetismo é causado no nível atômico por elétrons
com momentos magnéticos desemparelhados. Para CTT , o material é
ferromagnético, isto é, apresenta um par de elétrons vizinhos com momentos
alinhados (energia de ligação mais baixa). Para CTT , os elétrons desemparelhados
começam a ter momentos magnéticos anti-alinhados, ou seja, o material torna-se
paramagnético. Na verdade, é o aumento da agitação térmica que vai destruindo tal
alinhamento [10] (energia mais alta).
Quando a temperatura é reduzida para bem perto da temperatura crítica de
Curie CC TT T , o alinhamento de um dado momento magnético (spin) provoca
um alinhamento preferencial (idêntico) para uma distância considerável, chamada de
comprimento de correlação. Justamente em CC TTT , o comprimento de correlação
torna-se infinito, e todo o sistema passa a ter preferência por um dado alinhamento.
Este torna-se invariante por escala em CTT , ou auto-similar nas escalas de
comprimento [10].
Ligeiramente acima de CT , o comprimento de correlação comporta-se como
CTT~ , sendo o chamado expoente crítico do comprimento de correlação.
Temos que 2
1 em regime de campo médio de Landau 4d . Obteve-se
que 6,0 para 3d [15]. Para 2d , obtém-se 1 [14].
17
A proposta de Landau 11,10 foi que, se somente configurações com uma
dada densidade de magnetização M fossem consideradas, então teríamos uma
energia livre que é analítica em M. Logo, para M pequeno, a forma da energia livre até
a quarta ordem em M é dada da seguinte maneira, com base na condição de
analiticidade:
42 uMMVF , (1.2).
onde V é o volume do magneto, e e u são constantes que dependem
apenas da temperatura.
Na ausência de um campo magnético externo, a energia livre F em (1.2) não
pode depender do sinal de M, portanto somente potências pares de M ocorrem.
Na teoria de Landau, temos 0 na temperatura crítica, e u deve ser sempre
positivo Ou . Na fase magnetizada cTT , o mínimo de F ocorre para OM ,
pois devemos ter a seguinte solução para o mínimo de F.
OVuMMM
F
342 (1.3).
De (1.3) obtemos:
u2M
, (1.4).
sendo CTT , quando T está próximo de CC TTT . u e são
funções analíticas de T . Embora 0 CT , considera-se que 0
CTdT
d.
Quando se considera uma magnetização com variação espacial suave
xMM na energia livre de Landau, esta por sua vez toma a forma da energia
livre de Landau – Ginsburg 17,16 , a saber:
xMxBxuMxMxMxdF 4223 , (1.5)
18
onde xB é um campo magnético externo.
Na verdade, o termo gradiente em (1.5) é o termo predominante numa
expansão envolvendo arbitrariamente várias potências de gradiente e também várias
potências de M. [10]. Assim, para campos xM , variando lentamente em x, podemos
desprezar as altas potências de M , pois este já é pequeno. Normalmente o termo
"xM" 2 apresenta um coeficiente constante. Aqui, vamos fazê-lo igual a 1.
De (1.5), obtém-se o expoente crítico para o comprimento de correlação
perto de CT . Para tal propósito, vamos considerar xB uma função localizada em
x = 0. O termo u em (1.5) 4uM , neste caso, pode ser desprezado, e a magnetização
que minimiza a energia livre para CTT na presença do campo externo será:
x32 BxMxM , (1.6).
De onde vem:
BxM e x Xxp. / R
(1.7)
sendo 2
1
CTT1
. (1.8).
Logo 2
1 . Este é um expoente no regime de campo médio, o que está em
desacordo com os resultados experimentais para 3d (tri dimensional), gerando
uma quebra de validade da teoria de Landau nesta dimensionalidade. Isto requer uma
nova teoria para corrigí-la em 4d . Aí entra o RG de Wilson, pois abaixo de 4 –
dimensões, as flutuações em todas as escalas L até o comprimento de correlação
são importantes [7]; sendo a L , onde ‘a’ representa o parâmetro de rede. Assim,
“d = 4” representa uma linha divisória no modelo de 4Ising , abaixo da qual
flutuações são relevantes na obtenção dos expoentes críticos, e acima da qual
recaímos no campo médio clássico da teoria de Landau [10]. O chamado critério de
Ginsburg [18] também prevê que '4' d é a linha divisória desse modelo.
19
A teoria de Landau só é válida no regime 4d (campo médio). Na teoria de
Landau, e u em (1.5) deveriam ser independentes da escala L, sendo dependentes
apenas da temperatura. O método RG. também se aplica justamente onde a teoria de
Landau falha, isto é, para 4d . Como flutuações nas escalas de L são relevantes
neste regime 4d , então considera-se e u dependentes de L [2]. Então vem:
TL, e T,Luu [2]. Assim, no caso de L , a relação (1.8) fica corrigida
da seguinte forma:
2
1
C2
1
2
1TT r
T,
1
, (1.9)
sendo ,fr , o que pode ser obtido pelo G.R para todas as ordens em
d4 . Em [2], K.G. Wilson obtém r em O . Ele obtém que 21
C6 TT
.
Se 4d ou 4d , então 016
, recaindo na teoria de campo médio de
Landau.
A magnetização espontânea fica dada da seguinte forma:
21
T,u/T,M . (1.10).
Dado T, e ,u para L , e dado também TL, e ,Lu , para
L ; digamos que 1L , onde teríamos T,1 e T,1u ; então podemos conectar
T,1 com T, e T,1u com T,u , que é feito através do método G.R. Este
busca derivar as equações diferenciais para dLd / e dL/du , que será o nosso
propósito. Para isto, vamos considerar uma pequena variação em L, isto é, 1L de
forma a relacionar L com LL e Lu com LLu , tal que estas
pequenas variações nos permitam a obtenção das equações diferenciais para dLd /
e dL/du , onde algumas aproximações serão feitas [1].
Dado que os parâmetros e u dependem de L, logo a energia livre F seria
denotada por LF . Assim teríamos:
20
xMLuxLxMxdFdL
dL
422 M , (1.11)
na ausência de um campo externo. A integral (1.11) é dada num volume d –
dimensional, de forma que d passa a ser uma variável livre. LF em (1.11) passa a ser
chamada energia livre de Landau – Ginsburg – Wilson (L.G.W).
A fim de estudar os efeitos de flutuações, somente uma única escala de
comprimento de onda L será considerada aqui, sendo L . Quaisquer flutuações
com comprimento de onda L serão sempre desprezadas. Então, devemos fixar L
nestas condições e pensarmos em flutuações nesta escala. Este é o passo
fundamental no método G.R [1].
Para podermos pensar em flutuações na escala L, e como também queremos
obter as equações diferenciais para dLd / e dL/du , então devemos considerar
somente flutuações com comprimentos de onda variando num intervalo infinitesimal L
para LL .
Como estamos querendo fazer médias sobre esses comprimentos de onda
(flutuações), indo de L até LL , devemos iniciar com o fator de Boltzmann
xMFL-exp. , onde os comprimentos de onda entre L e L L ainda estão
presentes em xM . Portanto, devemos pensar em fazer médias sobre flutuações em
xM com comprimentos de onda entre L e LL . Assim sendo, o resultado das
médias sobre estas flutuações em xM será uma energia livre LLF para uma dada
função de magnetização denotada por xM H , isto é, xMxMF HHLL . é uma
função de magnetização que se caracteriza pelo fato de apresentar flutuações
somente em comprimentos de onda )L L( ; portanto, no regime de comprimentos
xM ,L L H varia mais lentamente do que xM . Em virtude disso, fazemos
uma simplificação, dizendo que xM fica praticamente constante neste regime
HH MxM:1 .
Com isso, observamos que há uma diferença 0 xMxM H . Na verdade,
tal diferença deveria ser expandida num conjunto de funções de pacote de onda
xn associado às flutuações. Cada pacote apresenta momentum somente no
21
intervalo L1 até LL
1 , mas que é localizado em x o tanto quanto possível. Pelo
princípio da Incerteza, desde que cada função xn deva preencher um volume no
espaço de fase, o volume para cada xn é L/LV 1d . (1.12).
Logo existem V /V funções de onda xn . Portanto, vamos escrever:
n
nnH x mxMxM , (1.13).
tal que as integrações a serem tomadas são integrações sobre os coeficientes
nm .
Vamos então tratar xM H como se fosse uma constante sobre o volume
ocupado por xn . Em outras palavras, dizemos que os longos comprimentos de
onda em xM H são colocados para perto de L.
O cálculo a ser feito é computar a seguinte integral sobre todos os coeficientes
m da expansão:
, e L L
-F
mMF HLHM dme (1.14)
sendo xMmM H para um “n”fixo.
Com base em (1.11), vamos escrever xmxMF HL através da seguinte
integral:
mMF HL
422 mMLumMLmMxd HHHd . (1.15).
Abrindo as chaves no integrando de (1.15), vem:
H222
Hd
HL Mm2mMxdmMF
4HHL
22L
2HL M LumM2mM
22
332223
3
4
2
4
1
4 HHH MmLuMmLumMLu
40
H4Mm
4
4Lu (1.16).
Como queremos apenas pequenas flutuações, então vamos desprezar termos
em 3 e 4 em (1.16). Dado que os termos lineares em apresentam integrais
nulas (no volume), logo escrevemos:
4H
2HL
2H
dHL MLuMMxdmMF
22
H222
L22d Mm
2
4Lummx d . (1.17).
Ou também podemos escrever:
HLHL MFmMF
22
H222
L22d Mm
2
4Lummx d . (1.18).
Introduzindo a condição de normalização em (1.18), isto é,
dL
d2 "1xd x" e dL 2
d2 "L
1xdx" finalmente obtemos:
22
H2
2HLHL mMLu6mL
1LMFmMF . (1.19).
Substituindo o integrando (expoente LF da exponencial) da integral (1.14) pelo
seu valor dado em (1.19), vem:
22
26
1
mMu
LMFMF HLLHLHLL edmee
. (1.20).
23
Devemos lembrar que a integral que aparece em (1.20) é uma integral
gaussiana da forma " a
e dx"2ax-
, onde temos mx e
2
H2M L u6
L
1LLaa .
Assim, substituindo esta informação em (1.20) e resolvendo a integral
gaussiana em (1.20), obtemos:
2
1
2H2
MFMF MLu6L
1Le e HLHLL
(1.21).
Aplicando o logaritmo ln em ambos os membros de (1.21), vem:
2H2HLHLL ML u6L
L
1ln
2
1MFMF , (1.22).
onde a constante “ ln ” já está absorvida no “ln” de (1.22).
Por outro lado, observamos que também podemos escrever:
HLHLHLL MFMFMF , (1.23).
ou então:
HLHLHLL MFMFMF . (1.24).
Comparando (1.23) ou (1.24) com (1.22), obtemos que
2
26
1ln
2
1HLLHL Mu
LMF . (1.25).
Ainda, por outro lado, escrevemos:
VMuuMF HLLLHLLLL 42 . (1.26).
“ V ” representa um pequeno incremento de volume (devido a L ), que é
ocupado por uma certa função (de flutuação) xn . Assim sendo, a razão "/" VV
24
nos dá o número de funções xn (pacote de largura finita) que preenche o volume
total V . Obviamente, com base em (1.26), se fizermos 0L , então vem que
0F .
Comparando (1.26) com (1.25), vem:
VMuuM 4HLLL
2HLLL
2
H2MLu6L
L
1ln
2
1 (1.27).
Agora, vamos escrever o ‘ln’ em (1.27) da seguinte maneira, colocando 2L
1 em
evidência no seu argumento:
2
H2MLu6L
L
1ln
2
1
22
H2
2LMLu6LL1
L
1ln
2
1
22H
21 LMLu6LL1ln2
1Lln . (1.28).
Expandimos o ‘ln’ em (1.28) e mantemos somente os termos da ordem 2HM e
4HM . Já devemos ter em mente que La , sendo ‘ a ’ o tamanho do sítio na
escala atômica, e o comprimento de correlação. Se fizermos 1a (1: unidade
mínima de escala), então L1 . Expandindo o ‘ln’, vem:
22H
2 LMLu6LL1ln2
1
222
H222
H2 LMLu6LL
4
1LMLu6LL
2
1
25
44
H222
H422
* LMLu9LMLu3LL4
1LL
2
1
42HLMLuL3 , (1.29).
sendo 422*
LL4
1LL
2
1 termos independentes de HM .
Quanto aos termos independentes de HM , podemos desprezá-los aqui,pois só
estamos interessados nos termos de dependência com 2HM e 4
HM , com o objetivo de
compará-los diretamente com os termos de LF em (1.27). Assim, finalmente teremos:
VMuuM 4HLLL
2HLLL
42H
44H
222H LMLuL3LMLu9LMLu3 . (1.30).
Sabe-se que o volume do espaço de posição para cada pacote xn é
1L/LV 1d . Daí escrevemos:
1 1 dLLV . (1.31).
Como (1.31) é a unidade, vamos multiplicá-la pelo 2º. membro de (1.30) e
reagrupar os termos em 2HM e 4
HM obtendo:
4HLLL
2HLLL MuuM
4H
d32L
2H
d3LL
d1L MLu9MLu3Lu3L . (1.32).
Comparando os termos em 2HM e 4
HM do 1o membro de (1.32) com os do 2o
membro, vem:
;LLu3Lu3 d3LL
d1LLLL
(1.32-a).
LLuuu dLLLL
329 . (1.32-b).
26
De (1.32-a) e (1.32-b), extraímos as seguintes equações diferenciais:
d4LL
d2L
L Lu3Lu3dL
dL
; (1.32-c).
dL
L LudL
duL 429 . (1.32-d).
A solução Lu pode ser obtida pela integração de (1.32-d). Daí obtemos
4dL9
d4Lu
. (1.33).
Introduzindo (1.33) em (1.32-c), obtemos a seguinte equação diferencial
somente para L , desacoplando-se de L u :
3
3
4
3
4
L
d
L
d
dL
dL
L (1.34).
Fazendo a aproximação L (muito grande) em (1.34), e depois integrando
a equação, obtemos a seguinte solução:
3
4d
LTCL
, (1.35).
onde TC é um coeficiente que depende apenas da temperatura, sendo
definido da seguinte maneira:
CTTTC .
Tendo por base os mesmos procedimentos do G.R usados na energia livre
L.G.W da classe do modelo Ising – 4 , então, agora, vamos aplicá-los a uma ação
L.G.W estendida (generalizada), dada da seguinte maneira a seguir:
, 422
,2 xdxMuxMxMxMF d
L LLL d
(1.36).
27
onde representa uma ‘mímica’ para o gradiente . Assim, temos que
2
seria um gradiente modificado (gradiente fracional). Sua existência
2 modificaria a forma do decaimento da função de correlação de dois spins
fixados espacialmente na rede; ou em outras palavras, modificaria a forma da variação
espacial da função de magnetização xM na rede. Obviamente, se 2 ,
recaímos no gradiente usual da ação L.G.W.
Logo, dado que xmxMxM H , nas mesmas condições anteriores;
assim sendo, substituindo esta informação na ação LF acima, abrindo os parênteses
e selecionando apenas pequenas flutuações em ao desprezarmos 3 , etc…,
então chegamos na seguinte aproximação:
dL
dHLHL xdmMFmMF
22/2,
dd L
d
L HLd xdmMuxdLm 22222 6 , (1.37)
onde xMM,x HH e xMFMF HLHL ,, =
dL HLHLH
d MuMMxd 4222
.
Vamos introduzir as mesmas condições de normalização já usadas
anteriormente, com exceção do termo em ‘ 2
’, de onde obtemos a seguinte condição
de normalização:
L1xd2
L
d 2
d. Assim, basta fazermos 2 , recaindo na condição
anterior 2L~ .
Fazendo isso, vamos escrever:
222
,, 61
mMumL
MFmMF HLLHLHL (1.38).
Daí, podemos escrever:
28
exp x MF exp MF H,LH,LL
2 2HL
1x dm 6u M m
L_ Lexp - ,
(1.39),
onde consideramos HM praticamente constante no volume dL considerado.
Resolvendo a integral gaussiana acima e aplicando o logaritmo n em ambos
os lados da equação, vem:
2HLH,LH,LL MLu6
L
1n
2
1MFMF (1.40).
Expandindo ‘ n 2xxx1 2 ’ no ‘ n ’ acima, depois de colocarmos L1
em evidência no seu argumento, e desconsiderando os termos independentes de HM
que surgem, chegamos em
,LH,LH,LL FMFMF
42222 933 HLHLLL MLuMLuLu ; (1.41).
Por outro lado, devemos ter
VMuuMF HLLLHLLLL 42
, , (1.42)
onde V representa uma pequena variação de volume, relacionado à variação
L .
Já sabemos que 1LLV 1d . Assim, multiplicando (1.41) por esta relação
ou a unidade, e comparando (1.42) com (1.41) através dos termos em 4H
2H M e M
separadamente, então finalmente obteremos as seguintes equações diferenciais,
depois de alguns passos algébricos:
i)
L d 2 d
L L L
dL 3u L 3 u L
dL
, (1.43).
29
ii)
d
LL Lu
dL
duL 229 . (1.44).
A solução Lu para a equação (1.44) será
2
9
2 d
L Ld
u (1.45).
Daí obtemos cd (dimensão crítica superior) 2 . Se 42 cd ,
recaindo no caso anterior (L.G.W).
Introduzindo a solução para Lu na equação (1.43), obtemos a seguinte
equação diferencial para L na forma desacoplada:
1L
L L3
d2
L3
d2
dL
d
(1.46).
Fazendo L muito grande (regime assintótico) na equação (1.46) acima,
obtemos a seguinte solução neste regime:
3
2d
CLL
, (1.47)
onde cCC , sendo a temperatura. C é uma função da
temperatura somente, pois é apenas uma constante que surge na integração em L da
equação diferencial L no regime assintótico.
1.2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson aplicado a sistemas magnéticos da classe de universalidade dos modelos de Ising.
Num artigo de 1976, Thompson [8] aplicou seu método ao modelo de Landau –
Ginsburg – Wilson (Energia livre L.G.W) com o objetivo de obter o expoente crítico do
comprimento de correlação do sistema magnético (magnetização M) nas
30
vizinhanças de sua temperatura crítica (Tc). Assim, ele partiu da seguinte energia livre
L.G.W:
dL
422d MLuMLrMxdF , (1.48)
onde M = M(x). Comparando (1.48) com (1.11) da secção anterior, observamos
que LrLL .
O parâmetro é dado por cc / .
Na representação de Landau, a magnetização de equilíbrio satisfaz:
,00
,022
c
cL
Toupara
TouparaMM
(1.49)
onde ML2 = r (L) / u (L). O comprimento de correlação é dado da seguinte
forma:
= [ r () ] -1/2 L -1/2 L(T – Tc) -1/2, sendo L = [r () ]- ½ , que é
interpretado como um tipo de comprimento de coerência resultante de flutuações nas
vizinhanças de Tc, o que vai depender da dimensionalidade d do sistema que estamos
considerando. Esta relação acima é a mesma relação (1.49) do GR, obtida na secção
anterior.
Então, vamos mostrar que, se não há flutuações em d 4 (campo médio), ML2
e L ficam constantes, e assim obtemos que
,TTCTTC C cte
ctete 2
12
1 onde = ½ (expoente crítico do
comprimento de correlação no regime de campo médio). Neste regime também
obtemos:
,TTCMTTCMCM,CM 21
cte
cte2te2
Lte2
que é o expoente crítico da magnetização em regime clássico ou campo médio
(sem flutuações).
31
Em geral, devemos escrever:
2/1L , (1.50)
onde (d), que vamos obter pela aplicação do Método de Thompson (M.T)
na ação em (1.48). Já sabemos que ( 4d ,) = ½ no regime de campo médio, onde
‘ 4dc ’ representa a dimensão crítica superior do problema, acima da qual temos um
regime de campo médio.
O Método de Thompson fundamenta-se em 3 prescrições heurísticas, a seguir:
a) O módulo da integral de cada termo da ação tomado separadamente,
considerando a integral num dado volume de coerência Ld em d – dimensões, deve
ser da ordem da unidade, onde L representa a escala de comprimento considerada na
integração. Na verdade, esta prescrição nos permite fazer uma análise dimensional de
escala (L) em d – dimensões para certas grandezas na ação considerada, tomando-as
em valores médios dentro de um dado volume de coerência ou característico dL . O
volume da coerência é tal que ddd La , sendo “a” o parâmetro de rede (a=1) e o
comprimento de correlação.
b) Para valores de 4d , (no caso Ising – 4), devemos ter u (L) e r (L) 1
(constante) ou independente de L, o que corresponde ao regime de campo médio.
c) A flutuação da energia livre deve ser da ordem de dL ; isto é,
d2d
L r L[ ] . Assim, teremos 1~f dL .
Vamos aplicar a prescrição (a) em cada termo da ação:
1o termo:
1~~ 222 MLxdM dd
Ld
dLM 22 ~ (1.51)
2o termo:
32
1~2 dL
d xdMLr
.1~)( 2 dLMLr (1.52)
Substituindo (1.51) em (1.52), obtemos:
r (L) L2 ~1. (1.53)
Pensando que L = para o caso do comprimento de correlação perto do ponto
crítico, então vem:
~ 21
21
Lr (1.54)
Este resultado (1.54) foi obtido anteriormente na secção (1.1), mas agora,
fomos capazes de obtê-lo a partir do M.T, que é uma forma alternativa ao GR.
3° termo: dL
d xdMLu 1~)( 4 (1.55)
Daí, obtemos: 1~4 dLMLu .
Agora, vamos pensar que: .~ 24224 dLMM Substituindo esta última
informação em (1.55), vem: u (L) L4 – d ~1; ou melhor,
41
4~
4
dpara
dparaLLu
d
(1.56)
Em (1.56), introduzimos a 2ª prescrição de Thompson, de forma que, para
4d , temos u (L) Lo = 1.
Aplicando a 3a prescrição de Thompson, já sabemos que
f L-d = [r (L)] d/2, (1.57)
onde f é a flutuação da energia livre F.
Assim, se escrevemos: ,fLu
LrF (1.58)
33
teremos xdmLrmLrmf d
Ld 422 , onde m representa uma
flutuação na magnetização, sendo que vamos definir .2
22
LM
Mm
Já sabemos que .
2
Lu
LrM L
Substituindo (1.57) em (1.58) e sabendo que 1~F , escrevemos:
.1~2
d
LrLu
LrF (1.59)
Substituindo (1.56) em (1.59), finalmente obtemos:
41
4~
2/42
dpara
dparaLLr
dd
(1.60)
Fazendo L = (perto do ponto crítico) em (1.60), e sabendo que
2/12/1 r , então, finalmente podemos obter.
4dpara
2
1
4dpara1d4
2d
(1.61)
Para 1d , que é o expoente crítico para o modelo de Ising 1- D.
Para 12d , para o modelo de Ising 2-D [14].
Para 8
53d , para o modelo de Ising 3-D.
Obtivemos 3d8
5 pelo M.T. Não se obteve ainda exato para o caso 3-
D. Logo, por comparação, observa-se que ‘ 85
3 ’ obtido pelo M.T não está longe
daqueles obtidos na literatura [15], onde técnicas numéricas (Simulação Monte Carlo)
são utilizadas.
34
1.3 Comparação dos resultados obtidos pelo G.R e pelo M.T.
Na seção 1.1 desse capítulo, obtivemos duas equações diferenciais de G.R
para os parâmetros Lu e L da energia livre L.G.W, tendo por base a
aproximação para regime assintótico (L grande). São elas:
,Lu9
dL
LduL d42
L (1.62).
0L3
d4
dL
LdL
, (1.63)
estando em regime assintótico L . No caso mais geral 2 , tínhamos
basicamente as mesmas equações diferenciais, porém, obtínhamos 2dc . Assim,
se 2 , recaíamos em (1.62) e (1.63) acima. Portanto, para o estudo comparado
entre o G.R e o M.T, as equações (1.62) e (1.63) já nos fornecem uma boa base para
comparação dos resultados.
De (1.62), obtivemos a seguinte solução:
4d
L L9
d4u
. (1.64)
De (1.63), vem
3/4dLTCL , (1.65)
onde cTTTC .
Na seção 1.2, aplicamos o M.T na ação L.G.W, e daí obtemos o
comportamento de LLu e . Tínhamos obtido primeiramente que
4~ dLLu . (1.66)
De fato, quando comparamos (1.66) obtido pelo M.T com (1.64) obtido pelo
G.R, observamos que (1.66) é uma relação de escalonamento contida em (1.64); ou
seja, é o comportamento de escalonamento para o parâmetro u(L) dado em regime
35
assintótico. Daí concluímos que o M.T permite apenas obter o escalonamento de
certos parâmetros, enquanto que o G.R, além disto, nos fornece também a amplitude
associada ao parâmetro, que, no caso (1.64), é dada por
9
d4A d
.
Assim, (1.66) é consistente com (1.64), sendo oriundo do seguinte
escalonamento: 1C~LLu ted4 . Agora, podemos facilmente verificar que tal
escalonamento vem diretamente da ação LFW.G.L . Para isso, vamos fazer
1~LLLuLLuLLu dd22ddd4d4 . Sendo d2
L
2 L~M , já obtido do para o
1º. termo da ação LF , então vem:
1~422 xdMLuLMud
L
d
LL d . Esta é exatamente a 1ª prescrição de
Thompson aplicada ao 3º. termo da ação L.G.W para a obtenção de Lu , dado em
(1.66). De fato, esta é uma forma alternativa simples de obtenção de escalonamento,
diretamente a partir da ação (energia livre). O M.T [8] é portanto um método heurístico,
capaz de extrair os relações de escalonamento para os parâmetros obtidos via G.R
[1,2,4].
Em segundo lugar, obtemos via M.T o parâmetro Lr .
2/42~ ddLLr (1.67)
Podemos observar que o escalonamento (1.67) dado por Thompson satisfaz a
seguinte equação diferencial:
12d/4d2 L .L2d
4d2
dL
Ldr
,
ou
2d/4d2L2d
4d2
dL
LdrL
, (1.68)
ou ainda
36
0Lr
2d
d42
dL
LdrL
. (1.69)
A equação diferencial (1.69) acima é obtida pelo M.T. Então, podemos
compará-la com a equação (1.63) obtida pelo G.R. Quando fazemos isto, observamos
de imediato que a relação “ LrLrTCT,L ” é satisfeita, pois temos
‘ TL, ’, enquanto que ‘r = r(L)’. A equação (1.69) recai praticamente na equação
(1.63) do G.R quando pensamos em d perto de 4d4 . Fazendo esta aproximação,
podemos dizer que o coeficiente '2/42' dd , que aparece em (1.69), fica da
seguinte forma:
4p./d ,
3
4
6
42
2
42
dd
d
d.
De fato, a equação (1.63) obtida pelo G.R contém apenas os efeitos de ordem
d4 quando pensamos na expansão perturbativa em para o G.R. Em
outras palavras, a equação (1.63) do G.R só é válida nas vizinhanças inferiores da
dimensão crítica superior 4dc do sistema. Isso ocorreu, pois, quando aplicamos o
G.R na ação L.G.W, tínhamos desprezado termos de 3O , ,...m,m O 44334 ,
etc…, simplificando o problema.
Com tudo isso, podemos concluir que (1.69) obtida pelo M.T, embora seja
válida apenas em regime assintótico, já contenha em princípio a informação para
qualquer 4d , não se restringindo somente nas vizinhanças de '4d' . Apesar de
ser provavelmente um resultado não exato para qualquer d considerado, pelo menos é
fechado em d, i é, não-perturbativo. Isso, no fundo, já se deve ao fato do resultado
(1.67) incluir em princípio qualquer valor de 4d . Em suma, o M.T fica indiferente
(insensível) ao tratamento perturbativo usado normalmente na aplicação do G.R.
Pelo M.T (seção 1.2), o expoente crítico do comprimento de correlação é
dado da seguinte maneira:
4d ;1d4
2dd
. (1.70)
37
Vamos expandir d do M.T (rel. 1.70) em ordens de d4 , e depois
comparamos o resultado obtido com a expansão para do G.R. Expandindo (1.70)
vem:
...27//9/31 6/12
1
3/1
6/1
2
1 32
...
541861
2
1 32
. (1.71)
Logo, escrevemos:
...6
12
1 2
O , (1.72)
onde introduzimos 4d em (1.70) para obtermos (1.72).
Observamos que, se 0 em (1.72), recaímos em 2/1 , que é o caso
clássico de expoente de campo médio na teoria de Landau.
Vamos escrever (1.72) enfatizando apenas a 1ª. ordem de O . Então,
escrevemos:
1
32
6/12
1
, (1.73)
sendo .1 Este resultado bate exatamente com o obtido pelo G.R na 1ª.
ordem em da expansão perturbativa [2] para o expoente [2].
Assim, conclui-se que obtido pelo M.T (eqs. 1.71, 1.72 e 1.73), reproduz
exatamente a 1ª. ordem em dada pelo G.R [2] quando 1.70 eq. é expandido em
d4 . Em suma, o expoente obtido pelo M.T bate exatamente com o do G.R [2]
na 1ª ordem de O da expansão. Isto já não ocorre com 2 O , etc...; no entanto,
numa situação global (efeito total ou não perturbativo), o expoente d do M.T
garante bons resultados para d longe de 4.
38
1.4 Apêndice
Tendo em vista que o M.T. é uma forma alternativa simples para o G.R, vamos
primeiramente procurar justificar a 1ª prescrição de escala de Thompson com base em
alguns argumentos básicos do próprio G.R. Assim, vamos apresentar aqui as
transformações básicas do G.R [10].
Começamos apresentando a hamiltoniana de Landau-Ginsburg na forma
generalizada. Pode-se considerar esta hamiltoniana, sendo obtida de um modelo de
spin, porém numa forma contínua, i. é, o spin é substituído por uma variável contínua
de spin x , que, basicamente, estaria representando uma magnetização (parâmetro
de ordem no caso de haver transição de 2ª ordem para a hamiltoniana particularizada,
definida nas seções anteriores). Assim, vamos escrever a seguinte hamiltoniana
generalizada:
8
86
6422d u
!8
1u
!6
1u
!4
1r
!2
1c
2
1xdH
...
!4
1 22 , (1.74)
onde, se fizermos 0......86 uu , sendo c e 0 , 0 ur uma
constante, recaímos na forma particularizada da hamiltoniana, que normalmente
usamos para estudar a transição em 2ª ordem, fazendo r positivo ou negativo, porém
0u (positivo).
Na hamiltoniana (1.74), temos o chamado espaço de parâmetros, que é o
espaço desses vários coeficientes ou constantes de acoplamento, ou seja,
,...,,,,, 86 uuurcu . (1.75)
´ x ´ é uma função da variável contínua de rede (x).
Assim sendo, é conveniente introduzir a transformada de Fourier k~
para
x , dada por
39
xeL
xdxe
L
ak xiK
D
dxiK
xD
D.
2/
.
2/
~
, (1.76)
onde L é o tamanho do sistema.
As duas primeiras operações na transformação do grupo de renormalização
(RGT) são uma integração sobre os vetores de onda ks/ , seguida por uma
dilatação da unidade de comprimento por um fator s, isto é,
;s/x`xx
skkk ` . (1.77)
A terceira operação do RGT consiste numa “renormalização” da variável de
campo x , ou seja,
,`` xsxsxxi d ,
ou no espaço k, teremos:
kskskkii DdD~
2/~
2/~~
s `` (1.78)
A transformação (1.78) (ii) no espaço k pode ser obtida da seguinte maneira,
sendo s/L`L :
.
'``
```
~2/
~2/
.2/
2/
``.2/
~
kskss
xseL
xds
xeL
xdk
DdD
xiKD
DD
xiKd
D
O 1º termo da hamiltoniana (1.74) contém o gradiente do campo e um
coeficiente 2/c . Nota-se que o parâmetro c é irrelevante [10], pois o ponto fixo para
“ 0c ” é trivial; ou seja, este caso corresponde ao limite T , estando todos os
sítios (spins) desacoplados na rede. Portanto, podemos fixar seu valor em 1c , e isto
é o que vamos fazer. Assim sendo, vamos mais adiante na obtenção do 1º termo
(gradiente) da hamiltoniana quando submetido a uma transformação de escala do G.R
40
(RGT). Sabendo que xssxx d x`` ,/` e também que s` , onde
k k` ` e , então vamos escrever que
2222 ``` dDDD sxdxd
2222 xdsxd DdDD
022 dD , ou então, 12/ Dd (1.79)
Logo, se esta condição (1.79) é satisfeita, então obtemos uma invariância tal
que 2D2D xd```xd , sendo d a dimensão do campo pela análise
dimensional, que é a condição (1.79). Essa idéia de invariância pode ser estendida
para o espaço k e também para toda a hamiltoniana, ou todos os termos da
hamiltoniana.
Assim, obtemos a invariância, tal que H`H . De outra maneira, podemos dizer
que a condição (1.79) para o campo , que é a chamada dimensão canônica ou
normal do campo, nos leva a uma invariância de escala da hamiltoniana. Isto significa
que a condição (1.79) vem do fato de considerarmos que a hamiltoniana tenha
dimensão zero, pois não depende da escala (invariância de escala), i. é, temos
0H , sendo 1`HH (constante). Assim sendo, para tal invariância ser
obedecida, então a troca ou variação na escala de comprimento ` deve ser
compensada pela troca na normalização do campo ` . Agora, já começamos a
perceber que a 1ª prescrição do grupo de renormalização de Thompson (M.T) está
fundamentada numa análise dimensional de escala, que tem origem na condição de
invariância de escala que impomos para cada termo da hamiltoniana, fazendo cada
termo constante ou da ordem da unidade (1). Como, por exemplo, para o 1º
termo da hamiltoniana, tínhamos:
d
xd d
1~2. (1.80)
De (1.80), obtemos a seguinte análise dimensional de escala: 1~d22 .
Sendo 222 , então finalmente obtemos:
41
d 222 ~ ,
ou
d1
2
d
~ , (1.81)
sendo 1~ , e 12
dd
. Esta é exatamente a mesma condição (1.79)
obtida da condição de invariância por transformações de G.R.
Em suma, a invariância de escala corresponde ao comportamento governado
puramente por análise dimensional, e que dá o fundamento para a 1ª prescrição do
M.T. De fato, isto é o que o modelo gaussiano [10] dá em c , que é o ponto fixo
não trivial (ponto crítico de transição) no modelo L.G.W, já descrito nas seções
anteriores. Logo, devemos concluir que a condição de invariância na 1ª prescrição do
M.T é feita com propósito de estudar o sistema nas vizinhanças de seu ponto crítico,
onde há invariância de escala (o sistema possui auto-similaridade nas escalas); e
portanto, daí obter os expoentes críticos do sistema, que são obtidos somente nas
vizinhanças do ponto crítico.
No entanto, embora a 1ª prescrição do M.T se fundamente numa análise
dimensional obtida da condição de invariância, tal prescrição ainda vai mais além, no
sentido de que ela já inclui naturalmente um argumento heurístico adicional, que, de
um ponto de vista estatístico, é dado quando fazemos a substituição da integral pelos
valores médios de cada elemento do integrando num certo volume d , que é o próprio
volume de integração na 1ª prescrição de escala do M.T. Assim, por exemplo,
teremos:
d
xd d
1~2
dd 2222 ~1~ . (1.82)
Comparando (1.82) com (1.81), observamos que (1.81) corresponde a uma
análise dimensional pura, onde obtemos d222 ; enquanto que (1.82)
representa uma análise dimensional + uma dada média estatística do campo
42
quadrático na escala , com volume d , tal que tenhamos d222
.
Logo, concluímos que a 1ª prescrição de Thompson introduz também o
comportamento dimensional para certas médias estatísticas na escala de
integração. De fato, o comportamento obtido para tais médias estatísticas de campo já
obedece à invariância de escala da hamiltoniana perto de c , justamente pelo fato
de fazermos a integral de cada termo na ordem da unidade (constante).
Finalmente, já tendo em vista que 0H (invariância de escala), então,
aplicando essa condição de invariância nos outros termos da hamiltoniana
generalizada (1.74), podemos determinar as dimensões normais das constantes de
acoplamento no espaço de parâmetros ...etc,,u,ur 6, . Assim, obtemos:
; 4u , 2 Dr
etc... ; 2 , 26u6 DD (1.83)
ou então, também podemos escrever:
; u , 4422 DDr
DDDD 2226626 , u
, (1.84)
etc...
1.5 Conclusões
Nesse 1º capítulo, estudamos sistemas ferromagnéticos da classe de modelos
do tipo Ising 4 , através da hamiltoniana de Landau-Ginsburg-Wilson (L.G.W.), que
é normalmente usada para tratar tais sistemas. Primeiramente, tratamos o modelo
L.G.W. pela ótica do Grupo de Renormalização (G.R), visando obter as equações
diferenciais do G.R para os acoplamentos Lu e LR da teoria, dados numa 1ª
aproximação O e em regime assintótico L . Assim obtivemos:
43
i) 2 d 4 dd L
L 3u L L 3 L u L LdL
R
R ;
ii) 2 4 ddu L
L 9u L LdL
.
Observamos que o método G.R representa uma correção na teoria de Landau,
sendo dada em regime não-clássico 4d , isto é, fora do regime de campo médio,
de tal maneira que os parâmetros ueR passam a ser funções da escala L, sendo
La (comprimento de correlação). “a” é a unidade de rede.
Em 2º lugar, tratamos o referido modelo pelo Método das dimensões e escalas
de Thompson, que representa uma alternativa simples ao G.R, permitindo também
obter os parâmetros de acoplamento Lu e LR em regime assintótico. Assim,
obtivemos 4dL~Lr e ,4dL~Lu 2d/4d24d . Com isso, extraímos do
modelo o expoente crítico do comprimento de correlação d em função da
dimensionalidade do sistema, isto é,
,4d ,
2
1
;4d ,1d4
2d
d
onde cTT~ .
Tendo estudado o modelo L.G.W sob a ótica de ambos os métodos (G.R e
M.T), fizemos um estudo comparado dos dois, procurando fundamentar as prescrições
do M.T com base em argumentos de transformação de escalas do G.R. Por exemplo,
verificamos que o parâmetro 4dL~Lu obtido pelo M.T reproduz o comportamento
de escalonamento (‘scaling’) daquele obtido pelo G.R numa 1ª aproximação como
solução da equação diferencial do G.R para Lu . Por outro lado, o parâmetro Lr
obtido pelo M.T vale, em princípio para qualquer 4d , recaindo naquele obtido pelo
G.R na 1ª aproximação quando fazemos 4d . Logo, tínhamos concluído que o M.T é
essencialmente não-perturbativo, embora não seja exato para todo 4d ; enquanto
que o G.R, sendo tratado perturbativamente, ordem por ordem de d4 , dá
resultado exato para cada ordem na expansão em , incluindo cada vez mais as
44
flutuações de ordens mais elevadas. No caso do expoente obtido pelo M.T, quando
foi expandido em potencias de e comparado com a expansão perturbativa do G.R,
obtivemos exata concordância com o G.R apenas para a 1ª ordem em O ,
embora os expoentes 12d e 1d dados pelo M.T longe do campo
médio coincidam com os resultados exatos do modelo de Ising D2 e D1
respectivamente; o que, do ponto de vista da expansão no G.R, iria requerer
elevadas potências de para serem obtidos com maior precisão. Daí uma das
vantagens do M.T, o que nos motiva ir adiante para o 2º capítulo, onde vamos
generalizar o modelo L.G.W de forma a incluir outros graus de liberdade para o
parâmetro de ordem. Trata-se do modelo N -vetorial e deste na presença de um
campo aleatório. O modelo de Ising num campo aleatório (RFIM), que é um caso
especial, também será explorado com certos detalhes no próximo capítulo.
45
Capítulo 2
2 O Método do Grupo de Renormalização de Thompson (M.T) aplicado ao modelo N-vetorial, ao modelo de Ising com campo aleatório e ao modelo N-vetorial com campo aleatório.
Introdução
Com base na hipótese de universalidade, o comportamento crítico de um
sistema cooperativo, que sofre uma transição de fase de 2ª ordem é governado por
amplitudes e expoentes críticos que dependem somente de poucos parâmetros
básicos do modelo, como por exemplo, a dimensão espacial (d) da rede cristalina e a
simetria do parâmetro de ordem (N). O modelo N-vetorial, como o próprio nome já
sugere, é caracterizado pelo grau de liberdade do parâmetro de ordem.
Também já é bem sabido que na vizinhança do ponto crítico, o comprimento de
correlação experimenta um grande crescimento. Logo, as divergências das várias
quantidades termodinâmicas no ponto crítico, tais como a suscetibilidade e o calor
específico na transição de fase para-ferromagnética são ocasionadas pela divergência
do comprimento de correlação [20 – 22].
Já sabemos que o comprimento de correlação é dado como ~ , onde
cc T/TT . “ ” mede o desvio de temperatura do ponto crítico cT , sendo o
expoente crítico do comprimento de correlação.
Para o modelo N-vetorial, por exemplo, temos N,d , sendo d a dimensão
espacial da rede e N o número de componentes do parâmetro de ordem, que está
relacionado a sua simetria.
Assim, na 1ª seção, vamos obter os expoentes críticos do comprimento de
correlação N,dv e do calor específico N,d para o modelo N-vetorial, com
base em duas aproximações, sendo a 2ª aproximação aquela que fornece resultados
de e mais próximos da realidade, válidos para todos os valores de N1N .
46
Na 2ª seção, vamos aplicar o M.T ao Modelo de Ising com campo aleatório
(RFIM). O campo aleatório cria uma desordem no sistema, assumindo valores
flutuantes, de tal forma que podemos considerar uma média nula para tal distribuição.
Por exemplo, poderíamos pensar numa distribuição de probabilidade de campo
aleatório hP gaussiana, com média nula (centrada no zero: 0h 0 ). No nosso caso,
qualquer outra distribuição de campo seria válida, desde que tenha média nula
0xh , não sendo necessariamente gaussiana. Nessa seção, vamos obter uma
nova dimensão crítica superior ( 6du ) e inferior ( 2dL ) do modelo, o que é devido
à presença do campo aleatório na rede. Assim, também, devemos obter um expoente
crítico d para o RFIM, de onde poderemos extrair os referidos de ud e Ld .
Na 3ª seção, vamos generalizar o modelo com campo aleatório, de maneira a
introduzir os N graus de liberdade para o parâmetro de ordem iM do sistema.
Portanto, vamos tratar o modelo N-vetorial 1N na presença de um campo
aleatório, explorando o M.T nesse caso mais geral. Esta exploração se fundamentará
em duas aproximações heurísticas, conforme o que será feito também na 1ª seção
para o modelo N-vetorial puro (sem campo aleatório). Na 1ª aproximação, iremos obter
os expoentes críticos N,d e N,d (calor específico), considerando um único
intervalo para N1N .
Assim, como tais expoentes não dão resultados exatos para valores
intermediários de N, iremos para uma 2ª aproximação em que faremos a seguinte
partição para os valores de 2N)A:N (modelo contínuo); 2N1)B (inclui o
RFIM para 1N ). No 1º caso 2N , vamos obter os expoentes N,d e N,d ,
sendo este último obtido a partir da relação de hiperescala modificada
d 2 , com 2 . Iremos observar que, no caso em que N , vamos
recuperar os expoentes críticos da 1ª aproximação, válida quando N é grande.
No 2º caso 2N1 , vamos também extrair os expoentes d N, e
N,d . Nesse caso, faremos duas considerações para a obtenção dos expoentes. A
1ª delas se baseia na conjectura de que o valor de d`d para a redução efetiva
na dimensionalidade continua sendo 2 , da mesma forma que no 1º caso 2N .
47
Assim, obteremos os expoentes e . No caso especial em que 1N (RFIM),
extraímos d,1N e depois comparamos este resultado com aquele já obtido na 2ª
seção. A 2ª consideração a ser feita vai se fundamentar nas boas aproximações
numéricas para no RFIM, com base na literatura, incluindo as mais recentes, onde
se obtém 2/dd . Logo, seremos capazes de extrair o expoente com maior
exatidão, obtendo d,1N , que reproduz bem aquele 3d para o RFIM real
d3 , obtido por métodos numéricos e computacionais (Monte Carlo). A vantagem do
nosso resultado está no fato de ser obtido de forma analítica, de forma a prever os
valores dos expoentes não-clássicos para qualquer dimensionalidade 6dd u ,
sendo ud a dimensão crítica superior do modelo quando se introduz campo aleatório.
Quanto ao expoente , vamos obtê-lo a partir de uma relação de hiperescala
modificada para 2
d ; no entanto, vamos verificar que o nosso resultado não é bom,
o que já era de ser esperado, pois já se sabe que, na presença de campo aleatório, as
relações de hiperescala modificadas são violadas; e além disso, os vários resultados
para 3d no RFIM, dados por vários outros métodos são discrepantes entre si. A
pesquisa ainda está em aberto nesse ponto.
Em geral, os expoentes críticos obtidos do modelo N-vetorial 1N , como por
exemplo, o expoente , podem ser obtidos através da expansão do G.R [6], onde
d4 [6]. Tal expansão na 1ª ordem em (linear em ) é boa somente perto de
4d . No entanto, quando afastamos muito de 4d , devemos considerar potências
das séries em , de ordens mais altas, a fim de obter resultados mais satisfatórios.
Tais procedimentos acarretam um grande aumento no número de cálculos a serem
feitos [20-22]. Mas, por outro lado, temos o M.T [8], que é um método heurístico, e já
foi bem sucedido para a derivação de uma expressão do expoente crítico do
comprimento de correlação do modelo de Ising 1N , válida para todas as
dimensões d ([8], veja 2ª. seção do 1º. Capítulo).
Aqui, nesse capítulo, o nosso objetivo primeiramente é estender o M.T para ser
aplicado no caso geral do modelo N-vetorial 1N , sendo 1N o caso do modelo
48
de Ising [8] com apenas 1 grau de liberdade N 1 para o parâmetro de ordem
z
1S
2
, dado com dois valores possíveis de spin sobre um eixo escolhido (eixo z).
2.1 Uma revisão do M.T aplicado ao modelo N-vetorial
Vamos introduzir aqui a hamiltoniana L.G.W ou energia livre LF para o modelo
N-vetorial clássico. A presente seção é uma revisão do trabalho de P.R. Silva [23], que
partiu da seguinte energia livre:
d
22 2 2 d
L i i iLi i i
F M r L M u L M d x
. (2.1)
xMi representa a “i-ésima” componente do campo vetorial N-dimensional, e
a integração em (2.1) é feita sobre um dado volume d-dimensional. Os coeficientes
Lu e Lr já são bem conhecidos do modelo de Ising (N=1) (Capítulo 1). Como foi
apontado por Thompson [8], o parâmetro L forma a base de seu argumento
dimensional, e pode ser entendido como um comprimento de onda de corte
considerado na integração (uma espécie de corte no infra-vermelho).
No caso 1N [8], introduzimos no 1º capítulo (2ª. seção) as três hipóteses
básicas adotadas por Thompson [8]. Agora, a fim de generalizar o M.T para o modelo
N-vetorial, fazemos a seguinte consideração: usamos o procedimento de Thompson
para avaliar a contribuição separada de cada uma das N componentes do parâmetro
de ordem. O jeito agora é obter uma forma correta de distribuir e dispor os vários
modos em N, a fim de obter o resultado final. Para isso, vamos fazer duas
aproximações a seguir.
2.1.1 A primeira aproximação
Alguns resultados básicos do trabalho de Thompson (caso 1N ) [8] que
estamos considerando são:
1~fLu
LrF , (2.2)
49
2d
Lrf dL , (2.3)
,~21
21
r (2.4)
4dL~Lu . (2.5)
Nossa primeira providência a fim de obter o expoente crítico N,d consiste
em ampliar as equações (2.2) e (2.5) através das seguintes conjecturas: Uma análise
de LF em (2.1) mostra que o segundo termo na integral (2.1) é da ordem de N,
enquanto que o terceiro termo é da ordem de 2N . Isso nos leva a propor a seguinte
modificação em (2.2):
1~fLu
LrF
N
[23] (2.6)
Consideramos, também aqui, que Lu é essencialmente uma contribuição p/.
a entropia na energia livre [24]. Pensando em termos de probabilidades
independentes, escrevemos a modificação de (2.5) da seguinte maneira ampliada:
N4dL~Lu . [23] (2.7)
Introduzindo (2.3) em (2.6), obtemos:
dN2/2Lu~Lr (2.8)
Usando (2.7) e (2.8) em (2.4), finalmente obtemos:
dN2N4d2
dN2N,d
. (2.9)
Se 1N (Ising), recaímos em 4d 1N,d , obtido por Thompson [8].
Tomando o limite de (2.9) quando N , temos
2d
1
, (2.10)
50
que concorda com o resultado exato para o modelo esférico [25]. Logo, (2.10) nos
revela a dimensão crítica inferior 2d L do modelo esférico N . No caso
1N , (2.9) reproduz o resultado de Thompson [8], que fornece 1d L (dimensão
crítica inferior) para o modelo de Ising.
A dimensão crítica inferior é aquela abaixo da qual o sistema não apresenta
transição de fase. Ela vale ‘1’ para o modelo de Ising ( 1N ), e vale ‘2’ para o modelo
esférico N . Já, a dimensão crítica superior ud é aquela acima da qual o
sistema entra em regime de campo médio, que vale ‘4’ tanto para o modelo de Ising
quanto para o modelo N-vetorial com 1N .
O conhecimento do expoente crítico do comprimento de correlação (eq. 2.9)
como uma função explícita dos parâmetros d e N, permite-nos imediatamente
determinar o expoente crítico do calor específico . Primeiramente, escrevemos a
seguinte relação de hiperescala:
d 2 . (2.11)
Introduzindo (2.9) em (2.11), obtemos
NdN
Ndd
2 12
2 4
. (2.12)
Os zeros do denominador de (2.9) são valores que anulam este denominador,
permitindo a obtenção da dimensão crítica inferior Ld em função de N. Então, para
obtermos tal função (valores), devemos fazer
0 dN2N 4d2 . (2.13)
De (2.13), obtemos
1N
N2Ndd L
. (2.14)
Se 1N , de (2.14) obtemos 1dd L (modelo de Ising).
Se N , de (2.14) vem 2dd L (modelo esférico).
51
Podemos usar (2.9) para construir um diagrama no plano (d, N), separando
várias regiões de acordo com a seguinte classificação: região sem transição de fase
Ndd L , região de expoentes críticos clássicos, e a região onde os expoentes
críticos são não-clássicos. Esse diagrama está ilustrado na Figura 2. Os zeros do
denominador de (2.9), dados em (2.14) nos fornecem dimensões críticas inferiores que
variam entre zero (para 0N ) e dois quando N . A dimensão crítica superior
permanece igual a quatro ud 4 , (veja 2.7).
0
1
2
3
4
5
-2 0 2 4 6 8 10 12
N
d
expoentes críticos clássicos
sem transição de fase
a < 0
a > 0
Figura 2: Diagrama (d,N) para a 1a aproximação no modelo N-vetorial.
Um diagrama similar ao da Figura 2 foi proposto por Pfeuty e Toulouse [20],
porém dentro de um contexto mais qualitativo. A figura 2 foi extraída da ref. [23].
Também podemos usar o diagrama da Figura 2 com o propósito de delimitar as
porções do plano (d, N), onde o calor específico apresenta uma divergência 0 , e
onde ele apresenta um comportamento tipo “cúspide” 0 . Uma inspeção em
(2.12) mostra que o calor específico irá divergir 0 na região do plano (d, N)
indicado pela relação N2d , sendo N2d a reta sobre a qual temos 0 .
Na verdade, o gráfico para Nd L (eq. 2.14), obtido na Figura 2 mostra que
temos 2d L somente quando N ; no entanto, sabe-se que, na verdade
obtemos 2d L para qualquer 2N , ou o que se denomina de modelo contínuo.
52
Com isto, conclui-se que a Figura 2 corresponde apenas a uma 1a aproximação para a
solução do problema, embora predizemos com exatidão 2d e N L .
Portanto, alguns melhoramentos serão feitos a seguir, o que chamaremos de 2ª
aproximação.
2.1.2 A segunda aproximação
O fato de que o nosso primeiro cálculo (aproximação) funcionou bem para
determinar o expoente crítico N,d no limite de N grande, nos encoraja a prosseguir
com os cálculos a fim de se obter resultados mais consistentes para qualquer N.
Então, vamos escrever novas formas modificadas de (2.2) e (2.5). Teremos
1~fLu
LrF
p
(2.15)
e
q4dL~Lu (2.16)
Nas relações (2.15) e (2.16) acima, p e q são funções de N a serem
determinadas. Usando procedimentos similares aos usados na 1ª aproximação,
obtemos
dp2q4d
dp2
2
1
, (2.17)
sendo Nqq e Npp . No caso particular em que NNq Np , então
(2.17) recai em (2.9).
As considerações que vamos usar como forma de determinar as funções
Nq e Np são as seguintes:
Primeiramente, impomos que (2.17) preencha as condições que levam às
dimensões críticas inferiores corretas. Assim, consideramos que 2d L para 2N e
1d L para 2N1 .
53
Em segundo lugar, lançamos mão de um resultado que foi inferido dos cálculos
de séries [26], a saber quando impomos o seguinte vínculo para (2.17):
7N
4NN,3d
(2.18)
No entanto, parece que (2.18) foi obtido sem levar em conta valores negativos
do parâmetro N.
Usando as considerações (2.17) e (2.18), somos capazes de encontrar as
funções Nq e Np . Mas para realizarmos isto, vamos fazer uma partição do
parâmetro N em dois intervalos diferentes: a) 2N ; b) 2N1 .
a) Primeiro intervalo: N 2
Neste intervalo do parâmetro N, a dimensão crítica inferior é 2d L . Fazendo
o denominador de (2.17) igual a zero para 2d , e ao mesmo tempo usando a
relação de vínculo dada em (2.18), obtemos
6
5NNpp e
6
1NNqq
(2.19)
Introduzindo NpNq e de (2.19) em (2.17), finalmente obtemos:
2d 7N
d35NN,d
, (2.20)
para 2N . Tomando o limite de (2.20) quando N , recuperamos também
o resultado exato do modelo esférico dado em (2.10). Além disto, se fizermos 3d
em (2.20), recuperamos N,3 dado em (2.18), o que já era de ser esperado. De
(2.20), temos 2dc para qualquer 2N , que é o caso mais realístico obtido nessa
2ª aproximação.
b) Segundo intervalo: 1≤N<2.
Se consideramos que a dimensão crítica inferior neste intervalo do parâmetro N
é 1d L ; então fazendo o denominador de (2.17) ser igual a zero para 1d e ao
mesmo tempo, usando a relação de vínculo dada em (2.18), obtemos:
54
N5 2
1N 7N pp e
N5
1N 2Nqq
; (2.21)
1d 7N2
dN51N7N,d
, (2.22)
para 2N1 . De (2.22), observamos que 1d L . Naturalmente, fazendo
1N em (2.22), recuperamos o resultado de Thompson [8] para o modelo de Ising.
O expoente do calor específico pode agora ser obtido na segunda
aproximação.
No primeiro intervalo 2N , para obtermos , basta introduzirmos (2.20) na
relação de hiperescala (2.11), e daí obtemos:
2 7
73 4,
dN
NddNd , (2.23)
para 2N .
No segundo intervalo 2N1 , para obtermos , introduzimos (2.22) na
relação (2.11), e daí obtemos:
1 72
7 54,
dN
NdNdNd , (2.24)
para 2N1 .
Agora, seria interessante construir um diagrama análogo ao da Figura 2,
levando em conta a 2ª aproximação. Veja figura seguinte:
55
0
1
2
3
4
5
-2 0 2 4 6 8 10 12
N
dexpoentes críticos clássicos
sem transição de fase
< 0 > 0
Figura 3: Diagrama (d,N) para a 2a aproximação no modelo N-vetorial.
É o diagrama para a segunda aproximação extraído da ref. [23]. As dimensões
críticas inferiores são dadas por: 2dL para 2N ; 1d L , para 2N1 . Estas
linhas separam a região inferior (região sem transição de fase ou com 0Tc ) da
região intermediária (região de expoentes críticos não-clássicos). A curva 4d para
qualquer N delimita a região superior onde os expoentes críticos tornam-se clássicos.
Também mostramos na Figura 3 as regiões onde o calor específico apresenta uma
divergência 0 ou um comportamento tipo “cúspide” 0 . Nesse diagrama, o
ponto 2d ,1N pertence a curva superior dada por N5 / 7NdNd ,
com 2N1 . A outra curva mais acima será 3
7NNdd
, com 2N . O ponto
3d ,2N é o início (inferior) dessa curva.
Se N5/7Nd , então 0 .Se N5/7Nd , então 0 , e se
N5/7Nd , então 0 . Isto é válido para o intervalo 2N1 .
Se 3
7Nd
, então 0 . Se
3
7Nd
, então 0 , e se
3
7Nd
,
então 0 . Isto é válido para o intervalo 5N2 . Para 0,5N para 4d ,
sendo 0 para 4d .
56
"4d" u é a dimensão crítica superior. O ponto N onde a reta '4d'
intercepta 3/7Nd é o ponto 5N (veja Figura 3).
2.2 Uma revisão do M.T aplicado ao Modelo de Ising com campo aleatório (RFIM).
Um modelo relacionado ao modelo de Ising e que apresenta um
comportamento crítico mais rico em detalhes é o modelo de Ising num campo aleatório
(RFIM) [27, 28]. Os expoentes críticos de equilíbrio no RFIM foram objetos de vários
cálculos teóricos. Podemos citar o trabalho de Bray e Moore [29], onde se estima o
expoente crítico do comprimento de correlação 1 para três dimensões ( 3d ) no
modelo RFIM, usando uma teoria de scaling. Ogielski e Huse [30] mediram
3,03,1 , através de simulação de Monte Carlo para o caso 3d no modelo
RFIM. Aharony, Imry [31] e Silva [32] obtiveram 4/53d pela aplicação do M.T
ao RFIM. Por outro lado, medidas feitas num sistema descrito pelo RFIM 3d nos
fornece aproximadamente igual a 1 [33]. A presente seção faz uma revisão da
referência [32].
Vamos começar essa seção com a hamiltoniana L.G.W (energia livre) para o
RFIM. Assim, escrevemos:
dL
422dL xMxhxMLuxMLrxMxdF , (2.25)
onde xM (função magnetização) é o parâmetro de ordem; xh é uma
função (em x) de campo aleatório (veja[32]), sendo a integração feita sobre o volume
de escala d-dimensional dL . Os coeficientes Lr e Lu devem ser finitos e
positivos na temperatura crítica cT , sendo cc T/TT .
No caso 0xh (modelo de Ising puro), Thompson [8] fez uma prescrição
básica de ‘scaling’ (escalonamento) na qual todos os três primeiros termos em (2.25),
para um volume dL , são separadamente da ordem da unidade.
Também tínhamos do trabalho de Thompson que
57
1~Lu
Lr.fF , (2.26)
onde relembramos aqui que f é interpretada como a parte para flutuação da
densidade de energia livre. Thompson também avaliou f como
2/ddL Lr~f . (2.27)
Inserindo (2.27) em (2.26) vem
2d/2Lu~Lr . (2.28)
Levando em conta que ~r 2/1L
2/1, então o expoente pode
ser obtido daí e de (2.28).
2.2.1 Derivação do expoente pelo M.T segundo Aharony-Imry e Ma (AIM)
Aplicando a 1ª prescrição de Thompson [8] ao 1º termo de (2.25), obtemos
d22 L~M . (2.29)
Agora, a fim de obter o expoente crítico para o RFIM, seguindo o
procedimento AIM [31], precisamos avaliar a forma explícita de Lu primeiramente.
Como foi sugerido por AIM, para um volume dL , o novo quarto termo em (2.25)
é da ordem de ML 2/d2/1 [31]. Também, por outro lado, já que da teoria de
perturbação, a variável u substitui u em todo lugar [31], então é razoável substituir a
prescrição de Thompson no que diz respeito ao terceiro termo em (2.25) pela
prescrição de que somente seu produto com o quadrado do último termo de energia
livre é da ordem da unidade. Tal produto nos lembra uma convolução. Fazendo isto,
temos:
dL
d22/d2/14 1~xdML.MLu . (2.30)
Também, podemos pensar em (2.30) escrito da seguinte forma:
58
1~xdhMuM2d24 , (2.31)
sendo 22 hh .
De (2.31), vem:
1~LMMu d224 . (2.32)
Fazendo 1 por conveniência, e substituindo (2.29) em (2.32), dado que
224 MM , então vem:
1~LLu d6 . (2.33)
Como, pela 2ª prescrição de Thompson, temos ~Lu constante para 6d
neste caso (RFIM), então escrevemos:
6d 1
,6d L~Lu
6d
(2.34)
onde LuLu eff do RFIM, sendo 6du (dimensão crítica superior).
Colocando (2.34) (para 6d ) em (2.28), e usando o fato de que
2/12/1r , então obtemos :
2d4
2d
, (2.35)
para 6d . Para 6d (campo médio), recuperamos os esperados expoentes
críticos clássicos para o RFIM 2/1 .
Uma inspeção em (2.35) revela que em 2d , que representa a
dimensão crítica inferior Ld do RFIM. Também, obtemos de (2.35) que
4/53d . Abaixo da dimensão crítica inferior, o sistema não apresenta transição
de fase. Esta vale 2d2 L para o RFIM [32] e 1d para o modelo de Ising [8].
59
2.3 O M.T aplicado ao modelo N-vetorial com campo aleatório
Para obtermos a energia livre LF para o modelo N-vetorial com campo
aleatório, devemos partir da energia livre do Modelo de Ising num campo aleatório
(seção 2.2), estendendo-a de forma a considerar os N-graus de liberdade do
parâmetro de ordem M. Assim, vamos escrever a seguinte energia livre:
dLi i
2
i
2i
2i
2iL ML uM LrMF
xdxM xh d
iii
, (2.36)
sendo xMM ii . Quando fazemos 0xh e 1N , recaímos no modelo de
Ising puro (L.G.W) [8]. Assim, a energia livre acima é a mais geral: h ,N ,LL FF .
A presente seção já é novidade, sendo uma extensão dos trabalhos anteriores
[23], [32].
De forma análoga ao modelo N-vetorial na seção 2.1, usaremos duas
aproximações. Na primeira aproximação, tínhamos as seguintes considerações dadas
a seguir:
2.3.1 1ª aproximação
A primeira modificação em Thompson [8] é a seguinte:
1~fLu
LrF
eff
N
. (2.37)
Agora, com esse modelo N-vetorial na presença de um campo aleatório, então
vamos partir do coeficiente Lu eff já obtido na seção anterior, i é, 6deff L~Lu , para
6d . Este resultado já inclui a modulação gerada pela presença do campo aleatório.
Portanto, quando estendemos esse resultado para o caso N-vetorial numa 1ª
60
aproximação, ou considerando N-probabilidades independentes, então escrevemos a
seguinte modificação para effu :
N6deff L~Lu . (2.38)
Por outro lado, já é sabido que
2/ddL Lrf , (2.39)
2/12/1 r . (2.40)
Introduzindo (2.39) em (2.37), obtemos
dN2/2eff Lu~Lr
. (2.41)
Introduzindo (2.38) em (2.41), vem:
dN2/6dN2L~Lr , (2.42)
para 6d .
Para L , escrevemos
dN2/6dN2~r (2.43)
Introduzindo (2.43) em (2.40), finalmente obtemos
dN2N6d2
dN2
. (2.44)
Observamos que para 1N , recaímos em d obtido para o RFIM (eq. 2.11
da seção 2.2).
Agora, é importante observarmos que quando fazemos N em (2.44)
(modelo esférico), obtemos
4d
1
, (2.45)
61
sendo '4dd' L a dimensão crítica inferior para o modelo esférico com campo
aleatório. Esse resultado (2.45) está em exata concordância com d , obtido para o
modelo esférico num campo aleatório [35]. No caso do modelo esférico sem campo
aleatório, tínhamos 2/1 d , sendo 2d L (seção 2.1). Assim, naturalmente
concluímos que a presença de um campo aleatório contribui para o aumento da
dimensão crítica inferior. Isto ocorre pelo menos no caso esférico N .
Na verdade, sabe-se que a relação de hiperescala deve ser modificada no caso
de campo aleatório, de forma a se considerar uma dimensionalidade efetiva "Od"
(redução de dimensionalidade) [36], que possibilita calcular o expoente do calor
específico. Logo, teríamos a relação de hiperescala modificada "2" Od
[29].
Em sistemas desordenados, a aleatoriedade associada com a desordem
usualmente suplanta as flutuações térmicas [37, 38], e portanto surge uma
dimensionalidade efetiva reduzida [35]. Obviamente, quando não há campo aleatório,
temos 0O , recaindo na relação de hiperescala usual (modelo N-vetorial sem campo
aleatório).
Vamos obter com base nessa 1ª aproximação.Para isso, vamos substituir
(em (2.44)) na relação de hiperescala modificada, de forma que obtemos a seguinte
expressão para O ,N ,d , deixando inicialmente uma dependência explícita em O :
N4dN12
ON4N8N2dOd4
. (2.46)
Podemos obter O em (2.46), partindo de uma condição de contorno que deve
ser obedecida para . A condição básica é que 0O ,N ,6d (caso clássico,
sendo a dimensão crítica superior 6du ). Então, quando 6d , o numerador de
(2.46) deve se anular; isto é, teríamos a seguinte condição:
0ON4N8N262O . (2.47)
De (2.47) obtemos que 2O . Assim sendo, introduzindo 2O em (2.46),
obtemos na 1ª aproximação considerada, isto é,
62
N4d N1 2
N2d d6
. (2.48)
Em princípio, encontramos 2O (a partir de (2.46) e (2.47)), com base na 1ª
aproximação, para todo 1N .
No entanto, sabe-se que 1O nas proximidades da dimensão crítica inferior
para 1N (no RFIM). Mais adiante faremos tal correção ou melhoramento. Quando
2N (modelo contínuo) com campo aleatório, aí sabe-se que 2O [35], o que pôde
ser obtido da 1ª aproximação em (2.46) e (2.47). Na verdade, a 1ª aproximação é boa
somente para N grande; por isto, entraremos com o refinamento de uma 2ª
aproximação mais adiante. De qualquer modo, já que 48.2.eq e 44.2.eq são
válidas para N grande, mesmo assim tal particularidade nos permitiu obter a dimensão
crítica inferior 4d L e a redução de dimensionalidade 2O para a relação de
hiperescala modificada. Na verdade, quando levarmos em consideração a 2ª
aproximação (para qualquer N), veremos que "4d" L [35, 39] e "2O" são apenas
válidos no modelo N-vetorial com campo aleatório para todo 2N .Já, no RFIM
1N , 2d e 2O L ,o que será estudado adiante.
Nessa 1ª aproximação, obtemos de (2.44) ou (2.48) a seguinte dimensão
crítica inferior, sobre a qual e divergem:
1N
N4dL
(2.49)
Com base em (2.49), temos 4d L se e somente se N ; logo temos que
4d 4d LL para N , o que não condiz totalmente com o resultado correto
2N , 4d L [35, 39]. Por isto é que enfatizamos a necessidade de uma 2ª
aproximação.
De (2.48), observamos que, se N2d , então 0 .Logo, se N2d , temos
0 ; se N2d , então vem 0 .
De forma similar ao que foi feito na 1ª aproximação para o modelo N-vetorial,
podemos usar agora os resultados (2.48) e (2.49) para construir um diagrama no plano
63
N ,d , separando regiões de acordo com a seguinte classificação: região sem
transição de fase 1N/N4d , região com expoentes críticos clássicos 6d , e a
mais interessante, que é a região onde os expoentes críticos são não-clássicos, i é,
6d1N/N4 . Com base em (2.48), delimitamos duas porções do plano N ,d
onde o calor específico apresenta divergência 0 , e onde ele apresenta um
comportamento tipo- “cúspide” 0 conforme a figura 4.
expoentes críticos clássicos
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8 10N
d
sem transição de fase
>0
<0
Figura 4: Diagrama (d,N) para a 1a aproximação do modelo N-vetorial.
2.3.2 2ª aproximação
Nesta 2ª aproximação, vamos prosseguir com os cálculos a fim de se obter
resultados mais consistentes para qualquer 1N . Assim, vamos escrever as novas
formas modificadas de (2.37) e (2.38), usando os mesmos procedimentos da seção
2.1 (subseção 2.1.2); isto é, temos
1~fLu
LrF
p
(2.50)
e
q6dL~Lu . (2.51)
64
Nas relações (2.50) e (2.51) acima, p e q são funções de N a serem
determinadas. Então, procedendo de forma similar à primeira aproximação, obtemos:
dp2q6d
dp2
2
1
. (2.52)
Tendo por base (2.52), iremos estudar dois casos: A) 2N , B) 2N1 .
A): Do modelo N-vetorial, foi obtido que 7N/4NN ,3d [26].
Como agora temos a presença de um campo aleatório externo a esse sistema, então
surge uma redução de dimensionalidade 2O [35]. Em virtude disto, vamos pensar
numa dimensionalidade efetiva 5deff na qual o antigo expoente N ,3d
mantenha sua forma, porém dado na dimensão 523deff , tal que reduzida de
2O recaia no caso tridimensional 3d para o modelo N-vetorial sem campo
aleatório. Assim, vamos escrever:
2N ,
7N
4NN ,5d
. (2.53).
A relação (2.53) acima é um vínculo introduzido para na presença de campo
aleatório. A segunda condição que vamos impor em (2.52) é que para 4d tenhamos
, o que significa que "4d" L comporta como a dimensão crítica inferior. Para
isto, basta fazermos o denominador de (2.52) ser nulo em 4d . Assim, obtemos o
segundo vínculo:
04p2q 64 (2.54)
De (2.54), vem a seguinte relação:
2pq (2.55)
Comparando (2.53) com (2.52) em 5d , escrevemos
7N
4N
5p2q65
5p2
2
1N,5d
(2.56)
Usando (2.55) em (2.56), finalmente obtemos
65
6
11NNpp
,
6
1NNqq
. (2.57)
Finalmente, substituindo Nq e Np em (2.52), obtemos N ,d , que é
2N ,
7N4d
11Nd3N ,d
(2.58)
De (2.58), vem que 4d L (dimensão crítica inferior), sendo N ,4d ; e
6du (dimensão crítica superior), pois 2/1N ,6d (expoente clássico).
Agora, com base na relação de hiperescala modificada, podemos obter a
partir de .
2 2d , (2.59)
sendo 2O .
Substituindo (2.58) em (2.59), obtemos .
74
78313 6 ,
Nd
ddNdNd , (2.60)
sendo 2N .
Até agora, obtivemos os expoentes e no caso do modelo N-vetorial com
campo aleatório, na condição em que 2N (modelo contínuo); portanto (2.58) e
(2.60) não valem para o RFIM ( 1N , com campo aleatório).
B): No caso do RFIM, a dimensão crítica inferior será 2d L ; enquanto a
dimensão crítica superior aumenta de 4du (I.M) para 6du (RFIM), havendo um
incremento 2d para a dimensão crítica superior, devido ao campo aleatório.
Assim, em virtude deste incremento, vamos fazer uma primeira conjectura de que
2dO para o RFIM. No caso anterior do modelo N-vetorial com campo aleatório
66
(caso 2N ), tínhamos a redução de dimensionalidade 2O [35], sendo
246d .
Considerando também 2O para o intervalo 2N1 , então devemos
também utilizar a mesma condição (2.53) para N ,5 , i. é,
2N1 ,
7N
4NN ,5d
. (2.61)
A diferença aqui está no fato de que consideramos 2d L ; portanto o
denominador de (2.52) irá se anular somente para 2d neste caso, ou seja
02p2q62 . (2.62)
De (2.62), obtemos a seguinte relação:
1q2p (2.63)
Fazendo 5d em (2.52), podemos comparar (2.52) com (2.61). Assim,
escrevemos:
7N
4N
5p2q65
5p2
2
1N ,5d
. (2.64)
Usando (2.63) em (2.64), finalmente obtemos
N2
1N
2
3Nqq
,
N2
1N4Npp
; 2N1 . (2.65)
Introduzindo (2.65) em (2.52), obtemos
7N 2-d
182N d8N ,d
; 2N1 (2.66)
67
De fato, observamos em (2.66) que 2d L , sendo ‘ 6du ’ a dimensão crítica
superior já esperada, pois 2/1N ,6d . Para o caso do RFIM, temos exatamente
1N ; logo, fazendo 1N em (2.66), vem:
2d8
10dd ,1N
. (2.67)
Agora, podemos obter , usando a relação de hiperescala modificada
2 2d , com 2O . Assim, introduzindo (2.66) nesta relação de
hiperescala modificada, obtemos
7N 2
2-N 128 ,
2
d
ddNd . (2.68)
Para 1N , obtemos
28
128d 1,N
2
d
dd . (2.69)
Para 6d , temos 0 (expoente crítico clássico). Fazendo 2d em (2.69),
obtemos 0/0 , que é uma indeterminação. Para levantar tal indeterminação,
fazemos 2lim d pela aplicação da regra do teorema de L’hôpital. Assim vem
2
1
8
28.lim.lim 22
ddd .
De (2.69), observa-se que, para 62 d , temos 0 .
No caso em que 2N (modelo contínuo), tínhamos obtido Nd ,
(relação 2.60). Daí podemos obter os valores de N e d que anulam o expoente .
Então, fazendo o numerador de (2.60) igual a zero, obtemos 6 e 3/13 dNd .
Estas duas retas interceptam no ponto 5N . Veja figura abaixo para os casos
2N e 2 N1 , no plano N ,d :
68
0
2
4
6
8
-2 0 2 4 6 8
N
d
Região de expoentes críticos clássicos
Região sem transição de fase
< 0 > 0
> 0
Semtransição
1 5
5
Figura 5: Diagrama para a 2a aproximação fraca 2Np/1 2 do modelo N-
vetorial no campo aleatório.
A figura 5 representa o diagrama para a 2a aproximação. As dimensões críticas
inferiores são dadas por 4d L para 2N ; 2d L para 2N1 .
Estas linhas separam a região inferior (região sem transição de fase ou com
0Tc ) da região intermediária (região de expoentes críticos não-clássicos). A curva
6d para qualquer N delimita a região superior onde os expoentes críticos tornam-se
clássicos. Nessa figura, também mostramos as regiões onde o calor específico
apresenta divergências 0 ou um comportamento tipo “cúspide” 0 . Nesse
diagrama, observamos que, no intervalo 2N1 , temos que 0 para 6d2 ;
0 para 6d (regime de campo médio).
No intervalo 5N2 , obtemos 0 na região 6d3/13N . Para
3/13Nd4 vem que 0 . Para 6d ; 3/13Nd , então 0 .
Para o intervalo 5N , obtemos que 0 para 6d4 ; 6d0
(campo médio). Logo, não há valor positivo para neste intervalo. Em suma,
observamos que para o intervalo 2N1 , podemos ter somente 0 .
Para o intervalo 5N2 , já podemos ter 0 , 0 e também 0 .
Finalmente, para 5N , só podemos ter 0 .
69
Acabamos de obter o comportamento dos expoentes críticos e para
campo aleatório no caso 2N1 , tendo conjecturado que 2O , mantendo-se
constante para qualquer N 1 . No entanto, apesar de 2O funcionar para o caso
contínuo 2N , os melhores resultados de Monte Carlo para o caso Ising real d3
com campo aleatório (RFIM) 41,40 mostraram uma dimensão reduzida
O3`d ,sendo 41 ,40 10 44,1`d , o que já nos leva a concluir que 2O . Assim,
tendo em vista os resultados mais apurados obtidos para O no RFIM, vamos melhorar
ainda mais os nossos resultados para o caso 2N1 .
Alguns trabalhos recentes sobre RFIM fazem conjecturas de que O seria
função da dimensionalidade do sistema, isto é, 42 ,40 dOO . Assim, supõe-se que
42 ,402/dO ; pois, para 3d , teríamos 5,1O . Este valor está bem próximo
daqueles obtidos pelas várias simulações Monte Carlo 44 ,43 ,41 . Também, um
trabalho ainda mais recente, usando o G.R de Migdal-Kadanoff e a expansão
2d [45] obtém-se que 496,1dyd`d para 3d , sendo y obtido por
expansão y .
No modelo N vetorial puro (sem campo aleatório) tínhamos que
N3,d =7N
4N
26 . Quando pensamos em campo aleatório, consideramos que o
expoente mantém essa mesma forma somente para O3d , ou seja,
N,O3d 7N
4N
. Sendo 42 ,40 2/dd OO para o RFIM, vamos pensar
que este valor também seja válido no intervalo 2N1 . Portanto, obtemos a
seguinte condição:
N,
2
d3d
7N
4N
, 2N1 (2.70)
Devemos observar que somente quando 4d , a condição (2.70) recai em
(2.61), i. é, N5,d . Assim, vamos observar que a condição (2.70) torna-se mais
correta que (2.61) para o caso real do RFIM 4440d3 . Daí a necessidade de
70
introduzir tal correção para O como uma função da dimensionadidade, no intervalo
2N1 .
Fazendo 2/d3d em (2.52) e comparando com (2.70), obtemos a
seguinte identidade:
2
1N,
2
d3d
2/d3p2q62/d3
2/d3p2
7N
4N
. (2.71)
Por outro lado, ‘ 2d ’ anula o denominador de (2.52), já que esta é a
dimensão crítica inferior desse sistema. Assim vem:
02p2q62 (2.72)
De (2.72), obtemos a seguinte relação:
1q2p . (2.73)
Substituindo (2.73) em (2.71), obtemos:
d ,N qq
4N2d27N8
2d1N
; (2.74)
e substituindo este resultado acima para d ,Nq em (2.73), vem
4N 2d 27N 8
7N 85N2 2d 2d ,N pp
. (2.75)
Devemos observar que as relações em (2.65) para N p e N q são
restauradas somente quando fazemos 4d em (2.74) e (2.75). Assim, teremos:
N22
1N3N q)4 ,N( qq e ,
N2
1N4N p4 ,N pp
.
Isto ocorre, pois quando fazemos 4d , temos 22/4O , recaindo no caso
anterior (primeira conjectura para O 2 , no intervalo 2N1 ). Finalmente,
71
introduzindo (2.74) e (2.75) em (2.52) e efetuando os cálculos, obtemos d N, ,
dado da seguinte forma:
2d 7N820d8d4N21N 6d 2d
2d 7N410d4Nd4 2dd N,
,
para 2N1 . (2.76).
Observamos em (2.76) que 2/16d N, , que é o expoente crítico
clássico, sendo “ 6d ” a dimensão crítica superior. Para 2d , vem
2d N, , sendo “ 2d ” a dimensão crítica inferior. Assim, verificamos que
(2.76) obedece às condições básicas já estabelecidas (condições de contorno). Vamos
agora obter d 1,N para o caso RFIM. Então, fazendo 1N em (2.76),
obteremos a seguinte expressão para o expoente :
2d51d 36
6d 2d12
1d 1,N (2.77)
Para o caso RFIM real d3 , obtemos de (2.77) que
125,124/273d 1,N . Este resultado merece um comentário: Obtivemos
primeiramente na seção 2.2 , equação (2.35), uma relação para , sendo
25,14/53d . Depois, na seção (2.3), da equação (2.67) para d 1,N , no
caso 2N1 com 2O , vem que 625,18/133d . Por último, obtivemos
125,13d para 40 5,12/3O . Assim, concluímos que, dessas três
estimativas para do RFIM-3d, somente a última está em boa concordância com as
estimativas de simulação Monte Carlo 41 ,33 ,30 ,29 . Também, devemos observar
que o valor obtido ‘1,125’ no caso 3d é exatamente a média entre 1 [29] e
1,25 da relação (2.35) na seção 2-2, estando mais próximo da unidade, em
concordância com tais resultados de simulação. Tal concordância se deve ao fato de
que consideramos em 3d , 5,1O ; ao passo que para“ 2O ”, temos 1 625 ,
(eq. 2.67), que é um resultado discrepante em relação aos obtidos por simulação
Monte Carlo.
72
Dado que 2/dO , e dada a relação de hiperescala modificada na forma
2Od [40], então, neste caso, obteríamos a seguinte relação de hiperescala
modificada:
22
d. (2.78)
Com base na relação de hiperescala modificada (2.78), vamos estimar do
RFIM para 3d . De (2.77), obtivemos 125,13,1 dN . Assim, substituindo
este valor em (2.78), no caso 3d, obtemos o seguinte valor para
: 3125,048/153 d . A primeira observação importante a fazer aqui é notar
que certas estimativas já feitas para 3d no RFIM [42], usando distribuições
gaussianas e bimodais de campo aleatório [42], levam a diferentes valores de ,
sendo 2,05,0 para o caso gaussiano [42] e 3,00,1 para o caso bimodal
[42]. Estas estimativas feitas para [42] são bem discrepantes da estimativa de
obtida por intermédio da relação de hiperescala modificada (2.78), i.é =+0,3125,
sendo positivo (comportamento divergente). De fato, já é bem sabido que as
estimativas feitas para [42] violam a relação de hiperescala modificada, sendo que
na verdade se obtém <0 (comportamento tipo-cúspide) [42, 46, 47, 48]. Mas,
inicialmente se obteve um valor nulo para o expoente 0 [49].
Outras estimativas mais recentes dos expoentes críticos no RFIM têm
mostrado alguns resultados conflitantes com aqueles já obtidos em [42]. Por exemplo,
vamos citar um estudo recente do G.R de Migdal-Kadanoff [46] [50], onde foi
encontrado 25,2 ; 37,1 e 02,0 . No entanto, observamos que este valor
de é negativo e grande em módulo quando comparado com as estimativas para
em [42] [51]. Este valor de , grande em módulo, causa na verdade sérias
dificuldades no que diz respeito à relação de Rushbrooke, i. é, 22 [52], e
também em relação aos resultados mais rigorosos dados pela desigualdade de
Rushbrooke, i. é, 22 [52].
Concluímos, portanto, que esses conflitos de resultados, incluindo as várias
relações de escala para os expoentes ainda permanecem em aberto para serem
solucionados no futuro.
73
O modelo RFIM é essencialmente teórico, no entanto, vamos apenas lembrar
que existe uma situação experimental que represente efetivamente o RFIM, i. é, uma
situação de onde podemos obter os mesmos expoentes. Trata-se na verdade do
sistema antiferromagnético diluído num campo externo (DAFF), que tem demonstrado
ser da mesma classe de universalidade do RFIM [53, 54, 55].
2.4 Conclusões
Nesse capítulo, fizemos uma revisão do Método de Thompson (M.T) no estudo
do modelo N-vetorial, do modelo de Ising com campo aleatório (RFIM) e, finalmente,
exploramos o caso mais geral do modelo N-vetorial na presença de campo aleatório.
No 1º modelo (seção 2.1: modelo N-vetorial), obtivemos os expoentes críticos
N d, e d,N , dados da seguinte forma:
1ª aproximação:
N1
2N dd N
2 d 4 N 2N d
4 d d 2Nd N
2 1 N d 2N
,
, .
;
2ª aproximação:
A) :2N
.2d7N
7Nd3d4N,d
;2d7N
d35NN,d
B) :2N1
7N 1 5 N dd N
2 N 7 d 1
4 d 5 N d N 7d N
2 N 7 d 1
, ;
,
.
onde 2dL e 4d u .
74
No 2º modelo (seção 2.2: RFIM) derivamos o expoente pelo M.T segundo
Aharony-Imry e Ma(AIM), e obtivemos que 2d4
2d
, sendo 2166d u e
22d L . `d´ u é a dimensão crítica superior acima da qual temos o regime
de campo médio; `d´ L é a dimensão crítica inferior, abaixo da qual o sistema não
apresenta transição de fase de 2ª ordem.
Na 3ª seção (modelo N-vetorial com campo aleatório), extraímos os expoentes
d,Nv e d,N com base em duas aproximações heurísticas, a saber:
1ª aproximação:
N1
2N dd N
2 d 6 N 2N d
6 d d 2Nd N
2 N 1 d 4N
, ;
, .
2ª aproximação:
1ª hipótese: 2
- A) :2N
.7N4d
78d31d3N6dN,d
;7Nd4
11Nd3N,d
com 6d u e 4d L .
- B) 2
2N1
:
2
8 d N 2 18d N
d 2 N 7
d 8d 12 N 2d N
d 2 N 7
, ;
, .
com 6d u e 2dL .
75
2ª hipótese (2
d , dado apenas para o intervalo 2N1 , incluindo o RFIM
para 1N ). Obtivemos que:
,
d51d36
6d2d12
1d,1N
com
;2d7N820d8d4N21N6d2d
2d7N10d4Nd42dN,d
2
sendo o caso 125,13d,1N : Expoente para o RFIM real d3 .
Temos 6du e 2dL para o RFIM.
No caso do expoente N,d , verificamos que o nosso resultado é discrepante
com os da literatura. Além do mais, os próprios resultados da literatura pesquisada são
discrepantes entre si. De fato, trata-se de uma pesquisa em aberto, onde se procura
por novos métodos mais poderosos de investigação.
O próximo capítulo se destina à exploração do M.T no estudo das várias
classes de reações químicas limitadas por difusão.
76
Capitulo 3
3 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão dos tipos A + A 0, A + B 0, com e sem difusão anômala, e às reações químicas do tipo l l .
Introdução
Nesse capítulo, primeiramente iremos usar o método do grupo de
renormalização de Thompson para estudar as reações químicas limitadas por difusão
do tipo A + A 0 (de mesma espécie A), obtendo a dimensão crítica superior 2cd
para esse sistema; o decaimento da taxa de concentração média no regime de
campo médio 2d e fora deste 2d , e a taxa de reação nesses dois regimes.
Em seguida, iremos usar o método para estudar a reação do tipo A + B 0, com
espécies diferentes, apresentando portanto o efeito de segregação 4cd . Já, na
terceira seção, iremos propor um tratamento unificado para esses dois tipos de
reação, através da elaboração de uma ação geral capaz de encampar os dois casos
num mesmo formalismo que, quando tratado sob a ótica do Método de Thompson, nos
leva a um comportamento logarítmico universal para o decaimento da concentração e
taxa de reação, em qualquer dimensão crítica superior cd , independente da reação
considerada.
Na quarta seção, usaremos o Método de Thompson para tratar as reações
limitadas por difusão do tipo A + B 0, com concentrações iniciais diferentes para as
duas espécies, considerando que a concentração inicial da espécie A seja muito
menor que a concentração inicial da espécie B, i. é, )0()0( BA . Para 2d ,
obtemos um decaimento exponencial modificado da espécie A. Para 2d , obtemos
um decaimento exponencial simples da espécie A.
A quinta seção será destinada ao estudo de ambas as reações A + B 0 e A
+ A 0 sob a condição de difusão anômala. Consideraremos uma ação geral de
forma a englobar os dois tipos de reações, já incluindo o mecanismo de difusão não-
browniana 2 para o caso de superdifusão; como por exemplo, o chamado efeito
77
“Lévy-mixing”. Assim, mostraremos que para 23 , o efeito de segregação já
desaparece em 3d na reação A + B 0, havendo a chamada quebra de
segregação. No caso da reação A + A 0, o mecanismo de superdifusão leva ao
decrescimento da dimensão crítica superior do sistema. Também iremos mostrar que,
na dimensão crítica superior, mesmo nos casos de difusão anômala, ainda vamos
obter correções logarítmicas para as taxas de reação e o decaimento de concentração
dos reagentes.
Finalmente, na sexta secção, iremos estudar as reações de coalescência do
tipo 2k 0kA , sendo que iremos tratar o caso de difusão browniana )2(
como também o caso de difusão anômala 2 . Em seguida, prosseguiremos
estudando também o caso da presença de uma fonte externa homogênea (h) de
partículas ‘A’ na situação de regime estacionário. Então, seremos capazes de obter o
expoente crítico que caracteriza o decaimento da concentração nesse regime no
limite em que fazemos 0h , e o expoente crítico ` para o tempo de relaxação; ou
seja, 1
h h~ e h h `~ , sendo este último expoente também avaliado no limite
crítico em que 0h . Também deveremos obter relações de escala entre os índices
críticos ` e , mostrando suas universalidades, no sentido de não dependerem do
fator , que dá a condição de difusão.
Reações limitadas por difusão
A pesquisa dos fenômenos de reações controladas por difusão é antiga;
entretanto, ela é ainda de muito interesse [56-63]. As reações controladas por difusão
foram primeiramente estudadas por Smoluchowskii [56]. Um rápido progresso na
compreensão dos vários processos de reações controladas por difusão tem sido
obtido nas últimas três décadas; por exemplo, podemos citar a reação OBA
em condições estequiométricas (concentrações iniciais iguais) e aleatória, que tem
sido estudada em detalhe [59; 60, 64-71]. De interesse particular, temos o fenômeno
de segregação Ovchinnikov – Zeldovich (OZ) [59], que se caracteriza pela presença
de partículas diferentes A e B, não podendo A reagir com A e nem B com B. A
segregação [59], também foi estudada analiticamente e numericamente por Toussaint
e Wilczek(T.W) [59]. Basicamente, as reações limitadas por difusão são caracterizadas
por um processo difusivo de partículas numa rede d-dimensional, sendo que essas
partículas interagem no momento em que se encontram durante a caminhada aleatória
78
gerando um certo produto. O fenômeno da segregação tem origem no fato de que as
partículas de mesma espécie não podem reagir entre si.
Os fenômenos de difusão, incluindo as reações de aniquilação controladas por
difusão vêm sendo de fato explorados de várias maneiras, com base, por exemplo, em
teoria quântica de campos [72], e no próprio grupo de renormalização. Usa-se também
de técnicas numéricas e soluções analíticas exatas [73-84].
Nesse capítulo, vamos explorar alguns tipos de reações limitadas por difusão,
com base no método do Grupo de Renormalização de Thompson [M.T], que é uma
forma alternativa simples para o G.R.
3.1 Uma revisão do estudo das reações do tipo 0AA (com difusão browniana).
Consideremos um sistema onde ocorra a difusão de partículas da mesma
espécie A, com a possibilidade destas interagirem (reagirem) entre si quando se
encontram, gerando um produto inerte que se deposita, isto é, não mais reage.
Formalmente, temos que ‘ 2d ’ é a dimensão crítica superior para tais
reações bimoleculares [85-88].
Nessa seção, vamos tratar o caso de difusão browniana nas reações
OAA (produto inerte); no entanto, podemos citar alguns casos mais específicos
dessa reações; como, por exemplo, o estudo da reação OAA no estado
estacionário sob a influência de correlações na fonte [89]. Alguns métodos teóricos
têm considerado correlações na fonte de partículas externas [90]. Li e Kopelman [91]
estudaram esse problema em 1-D para comprimentos de correlação arbitrários,
usando simulações computacionais. Outros trabalhos consideraram também a
correlação de fonte para as reações OAA e AAA [92, 93-97], que
pertencem a uma mesma classe de universalidade.
Aqui, no nosso caso, queremos estudar a reação OAA com base no
modelo que foi proposto por Krug [98]. Krug propôs um modelo para uma versão
contínua de uma aniquilação limitada por difusão (DLA) com uma fonte pontual [98],
cuja equação de movimento fica da seguinte forma:
79
,, 22
rD
t
tr (3.1)
onde é a concentração dos reagentes A; D é uma constante de difusão; K
representa a taxa de reação; logo o termo 'K' 2 representa um termo de interação.
‘ (r)’ [98] representa uma fonte localizada na origem (r = 0) do sistema em
difusão.
A equação de movimento (3.1) gera a seguinte ação A:
,
2
1
3
1
2
1 232
dL
d
tDrdA
(3.2)
Fazendo A = 0 para t fixo; obtemos a eq. Euler–Lagrange, de onde extraímos
a eq. de movimento dada em (3.1). Também podemos escrever:
L = .
2
1
3
1
2
1 232
trD
Aplicando a 1ª prescrição de Thompson na ação A, obtemos o seguinte para o
1º termo:
dL 22 ~ (3.3)
Para o 2o termo, fazendo = 1, obtemos:
dL~ . (3.4)
Para o 3 o termo, fazendo 23 ,devido ao caráter bilinear da interação
2AA , e dado as relações (3.3) e (3.4), obtemos:
1
2
d
2
LL~K
. (3.5)
80
No 4 o termo, pensando que 0 exp. (– t), então obtemos que
22
2
1
t. Assim, aplicando a 1ª prescrição de Thompson no 4 o termo, vem:
.1~2 dL (3.6)
Substituindo (3.3) em (3.6), obtemos:
,~L~ 21 (3.7)
onde representa um tempo médio característico para que A viaje até encontrar com
outro A no caminho aleatório, durante o processo de difusão.
Substituindo (3.7) em (3.5), também podemos obter K da seguinte forma:
12
d
~K
(3.8)
O comportamento difusivo ‘ 2/1~ L ’ que obtemos aqui é do tipo browniano.
Logo, substituindo este resultado em (3.4), obtemos:
.~ 2d (3.9)
O resultado (3.5) ou (3.8) reproduz o resultado obtido por L. Peliti [84], que
usou renormalização em cada termo de uma série perturbativa (loop) associada às
interações de A com A no processo de difusão. Também, devemos observar que a
dimensão crítica superior (dc) desse problema é dc = 2. Logo, para d > 2, devemos
considerar 1K , de forma que K não seja infinito no limite .2d para L
Assim, vamos escrever:
21
2~12 2
dpara
dparaLK
d
L (3.10)
Agora, vamos estudar mais detalhadamente esse problema no caso em que
estamos exatamente sobre a dimensão crítica superior (dc = 2), de forma a obter um
81
ajuste mais preciso para o comportamento de K (taxa de reação) e
(concentração).
Veremos que K e exibem uma dependência logarítmica na escala L.
Para 2d , temos que 223 L (veja (3.3) e (3.4)).
Devemos lembrar que a 1ª. prescrição de Thompson aplicada ao 3º termo da
ação nos leva a
dL
d rd .1~3
1 3 (3.11)
Agora, considerando 2d e fazendo 23 r dentro da integral (3.11) como
variável em r,então vem:
L
1
12 ,Lln~1~rdrr3
1 (3.12)
onde 1 é um comprimento de corte inferior.
Baseando-se na 1ª prescrição de Thompson e considerando a igualdade entre
os 1°e 3° termos da ação em (3.2), porém, assumindo que podemos substituir a
igualdade entre as integrais pela igualdade entre os integrandos, depois de trocar
pelo , obtemos daí a seguinte equação diferencial:
03
1
2
1 32
rD (3.13)
Podemos resolver (3.13) sobre a dimensão 2d , fazendo a integração entre 1
e L e usando (3.12). Obtemos daí o comportamento de na dimensão crítica
superior, a saber:
.2,
ln~
ln~
2dpara
L
L
(3.14)
82
Todos esses resultados da aplicação do M.T ao modelo de reação OAA
foram obtidos por Silva [99].
3.2 Reações do tipo A + B 0 com concentrações iniciais iguais (com difusão browniana).
Nessa seção, vamos abordar as reações limitadas por difusão entre duas
espécies diferentes (A e B) sob condições estequiométricas. Nessa situação, surge o
fenômeno de segregação quando 4d (fora do campo médio). A segregação foi
muito estudada em diversas condições [100, 101]. Mais recentemente, estudou-se o
comportamento de campo médio cdd no caso de estado estacionário [102], e
depois essas idéias foram refinadas através do G.R, motivadas por argumentos de
‘scaling’ [103]. As reações em sistemas com condições de homogeneidade inicial
também têm sido estudadas [104,105].
O modelo que vamos usar para a reação OAA é aquele em que as
partículas realizam continuamente caminhos aleatórios (‘random walks’) numa rede
hipercúbica. Consideramos em geral as constantes de difusão BA D e D para as
partículas A e B respectivamente. Se A e B se encontram, então elas se aniquilam
com alguma taxa de reação característica K.
Para o caso da aniquilação entre as duas espécies A e B, numa 1ª instância,
deveríamos considerar duas equações diferenciais de movimento para descrever
BA B e A separadamente com constantes de difusão BA D e D respectivamente.
No entanto, como as concentrações iniciais são iguais, então as duas equações
podem ser expressas em apenas uma, sendo . BA Assim, se as
concentrações de partida são iguais, e considerando que elas se difundem da mesma
maneira DDD BA , elas então permanecerão iguais no tempo.
Para este caso, temos a seguinte equação de movimento:
22,
hDt
tr (3.15)
A novidade apresentada pela equação (3.15) quando comparada com (3.15) na
1ª seção para o caso da reação OAA , introduzida por Krug [98] é a presença
83
da taxa de fonte efetiva ‘ h ’, que aparece aqui com o objetivo de incorporar
efetivamente os efeitos de segregação na equação de movimento. Como já sabemos,
a taxa efetiva 'hh também decai, devido ao decaimento de . Isto vem do fato
de não ser possível a aniquilação entre mesmas espécies [(A com A) ou (B com B)],
reduzindo a taxa de reação efetiva e o decaimento da concentração no tempo, quando
são comparados com o caso OAA , onde não há segregação.
Vamos escrever a ação para a equação (3.15):
d
22 3 d
L
1 1 1A D h K d r
2 3 2 t,
(3.16)
onde fazemos 0A (condição de ação mínima) para obtermos (3.15) a partir de
(3.16).
Usando procedimentos análogos aos que já foram feitos no caso anterior pela
aplicação das duas primeiras prescrições de Thompson, obtemos:
1o. termo da ação: .~ 22 dL (3.17)
2o. termo da ação: ,~ 42 2dd
LL (3.18)
onde fizemos 1h (constante).
3o. termo da ação: 2/dd223 L.L~ , de onde obtemos
.~~
14122 42
ddd
LLK (3.19)
Devemos observar que a dimensão crítica superior (dc) é dc = 4 neste caso. Na
verdade, isto se deve ao fato de haver segregação no caso OBA , o que nos
leva ao aumento da dimensão crítica de ‘2’, no caso ( OAA ), para ‘4’ no
caso( OBA ).
84
4o. termo da ação: ~~L
12 (tempo médio característico). Esse é o
comportamento de difusão browniana. (3.20)
Agora, considerando que estamos na dimensão crítica superior 4d neste
caso, vamos fazer as mesmas considerações adicionais usadas no caso anterior
OAA , para a obtenção das correções logarítmicas na concentração e na
taxa K . Assim, no terceiro termo, fazendo 4d ,vem:
.~ 43 L (3.21)
Trocando L pela variável r associada, em (3.21), e introduzindo dentro da
integral do 3°. termo, obtemos em 4d que
dL
13L
1
443 .Lln~1~drrr3
1~rd
3
1 (3.22)
Considerando a igualdade entre o 1° e 3° termo da ação, como já foi feito
anteriormente, recaímos na equação diferencial (3.13) da seção anterior, e daí
encontramos novamente o comportamento de , ajustado logaritmicamente em
4d , isto é
.4dpara,
ln~
L
Lln~
2
(3.23)
É interessante observarmos que o mesmo comportamento de (3.22) e (3.23) foi
obtido em (3.12) e (3.14) para o caso de OAA na seção anterior. Isto nos leva a
concluir naturalmente que, embora as reações OAA 2dc e OBA
4dc sejam de classes de universalidade diferentes; quando estamos na dimensão
crítica superior, o comportamento de e K torna-se invariante; isto é, o
comportamento logarítmico é mantido na dimensão crítica cd do sistema.
85
3.3 Tratamento unificado das reações do tipo A + A 0 e A + B 0.
O sucesso do Método de Thompson no tratamento dessas reações, obtendo o
mesmo comportamento em cima da dimensão crítica (dc), nos encoraja a estender a
ação A de forma a incluir as duas classes de reações num mesmo esquema (ação),
pela aplicação do Método de Thompson (M.T). Assim sendo, vamos escrever a
seguinte ação estendida:
dL
d
tKhDrdA ,
2
1
3
1
2
1 232
(3.24)
onde 0 .
De forma análoga ao que já foi feito anteriormente, podemos aplicar o M.T na
ação dada acima, e daí obtemos:
1~
d
L (3.25)
e
12 22~
d
LK (3.26)
A relação (3.26) nos mostra que, para a ação geral dada em (3.24), a dimensão
crítica é dada por
22dc (3.27)
Assim, podemos escrever (3.26) da seguinte maneira alternativa:
1/1/2 ~~ dcddcdLK
(3.28)
Devemos observar que, se fizermos 0 , teremos 2dc , o que caracteriza
o comportamento de campo médio na reação do tipo OAA [99].
Se fizermos 1 , obtemos 4dc , o que representa a dimensão crítica
superior para a reação do tipo OBA .
86
É muito interessante verificar que a ação dada em (3.24) é capaz de reproduzir
os resultados do trabalho de Lindemberg [106] no caso de geometrias euclidianas.
No trabalho de Lindemberg [106], também se considera geometrias fractais, de
onde se obtém a taxa de decaimento da concentração no tempo. Obtém-se que:
,~ t [106]
onde
f
ss
d
dd
21
2
[106]. (3.29)
Respectivamente, ‘df’ e ‘ds’ representam as dimensões fractal e espectral do
problema em questão, sendo que a própria escolha de nos leva à descrição de um
tipo específico de reação. Como exemplo, se consideramos geometrias euclidianas,
teremos ddd sf . Assim sendo, se 1 , temos o caso OBA ; se 0 ,
obtemos o caso OAA .
De (3.25), também podemos escrever:
cddd
L
~~ 222. (3.30)
Comparando o expoente de (3.30) com o expoente em (3.29), no caso de
geometrias euclidianas ddd fs , obtemos:
2
(3.31)
Quando 00 ; quando 11 , tendo respectivamente o caso
OAA 0 e o caso OBA 1 .
Finalmente, quando tratamos o modelo descrito pela ação (3.24) na dimensão
crítica dada por 2 2dc , obtemos novamente correções logarítmicas para o
comportamento de campo médio. Fazendo este tratamento, obtemos:
.22,
ln~
ln~
2
cdparaL
L (3.32)
87
Então, concluímos que o comportamento logarítmico na dimensão crítica é
mantido para o caso geral ( 2 2dc ).
Em suma, vamos escrever o comportamento da concentração média
:
.22 ;
,22 ; /
,22
1
; 22/
dt
ddttn
dt
c
d
(3.33)
Para 0 em (3.33), temos o caso OAA 2dc [99, 85].
Para 1 em (3.33), obtemos o comportamento assintótico em OBA
4dc , que está em concordância com os resultados rigorosos de Bramson e
Lebowitz [107] para a reação OBA [108] com concentrações iniciais iguais.
Todo esse tratamento unificado das reações OAA e OBA pela
aplicação do M.T foi trabalho de Nassif e Silva [109].
3.4 O Método de Thompson aplicado às reações químicas limitadas por difusão do tipo A + B 0, com concentrações iniciais diferentes para as duas espécies.
Nessa seção, propomos uma ação efetiva para descrever a reação química
limitada por difusão do tipo A + B 0 (produto inerte), com concentrações iniciais
diferentes para as duas espécies, sendo .oo BA PP Essa ação será tratada
através do Método de Thompson (M.T), de onde será obtida uma taxa de reação
efetiva .effK Este raciocínio será usado para tratar a equação diferencial de movimento
para a concentração tP A , quando consideramos o comportamento de tempo longo.
88
3.4.1 Dinâmica das reações A + B 0 com concentrações iniciais diferentes.
Dado que tBA PtP e dão as concentrações das espécies A e B no tempo,
então, em regime de campo médio, consideramos as seguintes equações diferenciais
para as duas espécies:
;BAAA K
dt
dPP
P (3.34)
.ABBB K
dt
dPP
P (3.35)
Vamos Fazer as seguintes considerações: , e BBAA KKKK PP onde
pensamos que ,BA KK de tal forma que poderíamos pensar na seguinte
proporcionalidade: BBAA K e K PP , pois já consideramos apriori que BA PP .
Assim, introduzindo tais considerações em (3.34) e (3.35), teremos respectivamente
as seguintes equações:
;
tttKtdtd
BAAA PPP
P (3.36)
e
tttKtd
tdABB
B PPPP
. (3.37)
Multiplicando (3.36) por tBP e (3.37) por tAP , e depois somando as duas
equações, obtemos:
.d
d
t 2ttKdt
tt
dt
tBA
AB
BA PP-2
PP
PP (3.38)
Também, podemos escrever (3.38) na seguinte forma compacta:
,2 2BABA K
dtd
PPPP (3.39)
89
onde . e t tBBAA PPPP
Fazendo , ttt BA PP ou simplesmente BAPP , e também KK 2' ,
sendo uma taxa de reação efetiva, escrevemos (3.39) da seguinte forma:
.' 2
Ktd
d (3.40)
A equação (3.40) representa uma equação de movimento para a concentração
efetiva das duas espécies no caso de ‘campo médio’. Assim, se quisermos estender
(3.40) para uma ação equivalente, onde aparece explicitamente variações espaciais
em , e também uma fonte na origem do tipo , r então vamos escrever a
seguinte ação efetiva:
dL
deff rd
tKrDA ,
2
1'
3
1
2
1 232 (3.41)
onde .t,r sendo , e K2'K BA PP ‘D’ é uma constante de difusão efetiva.
É muito importante observar que a ação efetiva (3.41) é similar àquela ação
considerada no caso de reação mais simples do tipo 0 AA , quando tratada pelo
método das dimensões de Thompson [8], e Silva [99] que se baseou no trabalho de
Krug [98].
Sabemos que Krug [98] propôs um modelo para uma versão contínua de uma
aniquilação limitada por difusão (DLA) com uma fonte pontual, cuja equação de
movimento é a mesma daquela tratada por Silva no caso da reação 0 AA [99], e
que é similar à equação de movimento efetiva obtida de (3.41), fazendo a ação mínima
0A eff ; isto é, temos
2'2
t
, KrD
tr
, (3.42)
onde já sabemos que K2KK e effBAeff PP .
90
Como já introduzimos a ação efetiva (3.41); então, quando aplicamos nela o
M.T, de maneira análoga ao que foi feito nas seções anteriores, obtemos a seguinte
taxa efetiva média :'K
,~2''1
21
22
dd
LL LKKK (3.43)
onde, agora vamos pensar na função 12~'
d
ttK como função da variável t, mantendo
a mesma forma de (3.43).
Agora, substituindo a forma livre tK ' na própria equação diferencial para
'' tAP , então vem a seguinte equação:
,1
tKdt
tdBABAeff
A PtPt-PPP 2
d
(3.44)
sendo 12'
d
eff ttKtK .
Já que consideramos ,tt BA PP então podemos fazer a seguinte
aproximação: .oBB PP Esta aproximação pode ser feita, pois como a concentração
da espécie B é muito maior, então, no decorrer do tempo, esta pode ser considerada
praticamente constante quando comparada com ,AP que é muito menor. Assim, em
virtude disso, vamos pensar que 0t BB PP (constante), que é uma boa
aproximação para esse caso de forte desigualdade BA PP , que foi estudada por
Bramson e Lebowitz [107]. Portanto, como temos 0t BB PP , agora fica fácil
compreender porque a ação efetiva (3.41) e a equação de movimento (3.42) são
efetivamente as mesmas obtidas da reação 0 AA [99]. Na verdade, tal
similaridade ocorre porque a espécie A está sempre reagindo com a espécie B, já que
a espécie B está sempre disponível na rede devido a sua alta concentração. Logo, a
probabilidade de A ir ao encontro de B permanece sempre grande durante o tempo, e
conseqüentemente a reação ocorre como se fosse efetivamente a reação 0 AA ,
não havendo segregação.
91
Tendo em vista que ,oBP sendo praticamente constante, então,
introduzindo esta informação em (3.44), obtemos a seguinte aproximação esperada
para o caso :BA PP
. 1
2 ttdt
tdA
d
A PP
(3.45)
Assim, de (3.45) vem a seguinte solução:
.td
2 exp0 t 2
d
AA
PP (3.46)
De (3.46), obtemos basicamente três casos, dependendo da dimensionalidade
do problema em questão.
1o caso: d=1 ,t exp 0 t 1AA PP (3.47)
onde .21
2o caso:d=2 ,t exp 0 t 2AA PP (3.48)
onde .2
3o caso: 3d (dentro do regime de campo médio)
,3 exp 0 tdt AA PP (3.49)
onde, em geral, observamos que .d/2d Também devemos observar que, aqui,
usamos a 2ª prescrição de Thompson para o comportamento de campo médio, isto é,
teCK ' (para todo) d>2, a fim de evitar as divergências na taxa de reação efetiva K’
para tempos grandes e para d>2.
Os resultados (3.47) e (3.49) reproduzem bem os resultados de Maury
Bramson e J. L. Lebowitz [107], com exceção ainda do resultado (3.48) para d=2, onde
devemos esperar um comportamento logarítmico para tAP ,no argumento da função
92
exponencial; porém, quando refinamos os cálculos pelo M.T em 2dd c ,
recuperamos o comportamento logarítmico. Isto será feito a seguir:
Já sabemos que obtemos 23 ~ LL
para d=2. Assim, expressando este
resultado na variável r, já sabemos que .~ 23 r A integral para o terceiro termo da
ação (3.41), considerando d=2, será:
L
1
2
L
23 ,1~rdrr'K3
1~rd'K
3
12
(3.50)
onde .~2 rdrrd
De (3.50), obtemos:
,ln~ln~'' 11 LKK L (3.51)
sendo .' effKK Aqui, também introduzimos um comprimento de corte 1 inferior para a
integral em (3.50).
Colocando (3.51) na variável livre t, vem .ln~ 1tKeff Retornando com este
resultado ajustado para dc=2 na equação diferencial para tAP , no lugar de
12
d
eff t~K
; então, fazendo esta substituição, escrevemos a seguinte equação para a
dimensão crítica:
,ln 1 ttdt
tdA
A PP (3.52)
para d=2.
Como estamos pensando no comportamento de tAP para t grande, então
podemos pensar que a função 'ln' t neste limite é praticamente constante. Assim
sendo, obtemos a seguinte solução para (3.52):
93
,tln
t exp 0 t AA
PP (3.53)
para d=2 e t grande.
Comparando (3.53) com (3.48), observamos que estas diferem entre si pela
função 'ln' t no argumento da função exponencial em (3.53), o que corresponde ao
ajuste logarítmico, dado exatamente sobre a dimensão crítica. Assim, a solução (3.53)
é mais apropriada para descrever a variação tamporal da concentração de A em
d=dc=2. A solução (3.53) reproduz o resultado rigoroso de Lebowitz [107] para d=2.
Todos esses resultados, obtidos para tAP em 3d e 2,1d , no caso
tt BA PP , fazem parte de uma publicação recente (veja Nassif e Silva [110]).
3.5 Estudo das reações químicas do tipo A B 0 e A A 0, nas condições de difusão modificada pela aplicação do M.T.
Sabe-se que o estudo dos fenômenos de difusão é antigo. A difusão sob
condições normais (movimento browniano) se baseia em movimentos aleatórios de
partículas (random walks). Após uma exaustiva investigação desses movimentos,
Robert Brown publicou um trabalho em 1828. Mesmo assim, o movimento browniano
não era bem compreendido, pois, naquela época ainda não se tinha demonstrado a
existência dos átomos. A explicação veio através de Albert Einstein em 1905 [111],
porém Einstein não se referiu a esse movimento como sendo o movimento browniano,
porque ele não tinha ainda tomado conhecimento dos trabalhos de Brown.
Desde 1905, o movimento browniano tem-se tornado o exemplo canônico de
um processo aleatório [112]. Matematicamente, esse processo é regido pela equação
da difusão, dada da seguinte forma:
2
2
x
t,xPD
t
t,xP
, (3.54)
sendo t,xP a probabilidade de um caminhante aleatório browniano estar na posição
x, no tempo t, dado que ele partiu da origem 0x , no tempo 0t .
A solução de (3.54) é gaussiana, isto é,
94
DtxeDt
txP 4/2
4
1,
. (3.55)
De (3.55), vem que o desvio médio quadrático 2x é dado da seguinte forma:
Dt2tx 2 , (3.56)
onde D é a constante de difusão, que tem a unidade de ‘ tx /2 ’.
Estudos recentes têm sido feitos para os vários casos de difusão modificada
(não-browniana) [113], incluindo movimentos que estariam “acima” [113], “abaixo”
[113] e além [113, 114] do movimento browniano. Basicamente, tais efeitos de difusão
modificada se fundamentam no seguinte escalonamento (‘scaling’) para desvio médio
quadrático:
ttx ~2 , (3.57)
onde representa um expoente que descreve a anomalia do caráter difusivo,
gerando o comportamento não browniano [115]. Para 1 , recuperamos a condição
de movimento browniano, dado em (3.56). No caso 1 , temos a condição de
subdifusão [115], [113], que está “abaixo” do movimento browniano. Quando 1 ,
temos a condição de superdifusão [115], que nos leva a uma difusão mais rápida que
a difusão browniana. No caso especial em que 2 , obtemos um caso especial de
superdifusão, denominada de difusão balística [115], que está bem além do
movimento browniano. Ainda, além do movimento browniano, temos os casos em que
2 , o que vem sendo investigado recentemente [114]. Trata-se da dinâmica não-
linear dos movimentos da classe Lévy-Walk [116], tendo em vista o aparecimento de
fractalidade nessa dinâmica [117]. Um caso muito especial de Lévy-Walks é a
turbulência (difusão turbulenta) [114,118,119], onde 3 . Este resultado já foi obtido
em 1926 por L.F.Richardson, que publicou sua descoberta de que a média do
quadrado da separação r entre duas partículas num fluido turbulento cresce com 3t ,
isto é, .t~r 32
95
3.5.1 O estudo da anomalia de difusão nas reações do tipo 0BA , levando à quebra de segregação.
Nessa seção, vamos usar o método de Thompson (M.T) como uma forma de
estudar o fenômeno da quebra de segregação na reação de aniquilação de duas
espécies 0BA com concentrações iniciais iguais.
Na seção 3.2, propomos uma ação para estudar a reação de aniquilação de
duas espécies 0BA [109] sob a condição de difusão browniana; isto é
t~r 2 , ou então, 2/1t~r , com 1 ou =2.
Neste caso, temos a condição normal de segregação tal que se obtém a
dimensão crítica 4dc [109]. A ação da seção 3.2 foi dada da seguinte forma:
t2
1K
3
1hD
2
1rdA
232d
Ld
. (3.58)
De (3.58), fazendo 0A , tínhamos obtido a seguinte equação de
movimento, que é a equação de difusão browniana com aniquilação das duas
espécies A e B:
22 KhDt
t,r
. (3.59)
Como já é bem sabido, a segregação normalmente aparece na reação
0BA devido à impossibilidade de aniquilação entre mesmas espécies A(ou B).
No entanto, um recente trabalho de Zumofen, Klafter e Shlesinger [120] mostrou a
possibilidade da quebra de segregação na reação 0BA , devido ao chamado
efeito Lévy-mixing, que pertence à classe dos Lévy-Walks.
Numa condição de difusão modificada para o caso da reação 0BA , é
possível suprimir a segregação em dimensões 4d [120]. Tal redução de segregação
leva a uma aceleração no processo de reação, e tal efeito tem sido de maior interesse
prático [121]. Portanto, se misturamos continuamente as partículas A e B, facilitamos a
reação entre elas; assim, a possibilidade de uma partícula A encontrar a B é
aumentada, permitindo uma reação mais eficiente entre elas. Isso leva, naturalmente,
a uma maior homogeneidade espacial da densidade das partículas durante todo o
96
tempo de mistura. Agora, se olharmos para a ação (3.58), observamos que, devido ao
termo de gradiente “ ” na ação, estamos levando em conta flutuações espaciais na
densidade de partículas. No entanto, a quebra da segregação pode ser conseguida,
aumentando a homogeneidade espacial da densidade de partículas [120], o que nos
leva a uma redução das flutuações. Primeiramente, do ponto de vista matemático, este
raciocínio nos leva a pensar a respeito de algum tipo de “gradiente modificado”(um tipo
de gradiente ou derivada fracional [115]) para a nossa ação, mimicada por alguma
coisa como “ ”, com 1 , para garantir o aumento da homogeneidade espacial da
densidade de partículas, através da redução ou supressão das flutuações desta
densidade.
De fato, a supressão de flutuações nos leva a uma redução da dimensão crítica
superior (campo médio) do modelo, sendo 4dc no caso da reação ‘ 0BA ’
modificada pelo “mixing”(mistura).
Na seção 3.2, tínhamos mostrado que o termo “ h ” na ação (3.58) contém
uma importante informação da segregação, pelo fato de que ele contém o valor médio
da concentração , que, por sua vez, decai no tempo, indo a zero para tempos
longos; ou em outras palavras, dizemos que ele corresponde a um termo de ação
efetiva para segregação [109]. Portanto, quando reduzimos as flutuações espaciais
na ação, e com isso, aceleramos o processo de reação, conseqüentemente
também deveríamos modificar a maneira como decai no tempo. Isto é porque as
flutuações suprimidas no processo de difusão por mistura (‘mixing’) nos levam
diretamente a algum tipo de erosão de segregação.
Já que a erosão de segregação implica em considerar alguma modificação do
valor médio no 2º termo da ação (3.58), poderíamos pensar que tal supressão de
flutuação de segregação está diretamente ligada ou refletida nas flutuações espaciais
dadas pelo gradiente fracional (modificado) . Assim, está linha de raciocínio nos
permite considerar que o tempo de decaimento modificado de deva estar em ‘pé-
de-igualdade’ com as flutuações espaciais modificadas de . Logo, isso nos leva
97
a introduzir o seguinte termo modificado para levar em conta uma certa quebra de
segregação: h , sendo 1 . Para 1 , recuperamos o caso de 4dc [109].
Finalmente, com base nas considerações acima para o caso de difusão
modificada para a reação 0BA , podemos escrever a seguinte ação:
,
2
1
3
1
2
1 232
t
KhDxdAdL
d , (3.60)
com 1 .
No trabalho de Zumofen, Klafter e Shlesinger [120], um (expoente) foi usado
por eles a fim de caracterizar o comportamento difusivo anômalo, de tal forma que,
quando se considerou 2 , a difusão modificada desaparecia, recaindo na condição
browniana. No entanto, quando 2 pela mistura (Lévy-mixing), eles [120]
mostraram que a condição de difusão modificada emergia, e assim, obtiveram a
quebra de segregação para a reação 0BA em dimensões menores que 4.
Considerando-se o fato de que [120] e introduzido aqui na ação (3.60) são
expoentes que introduzem efeitos de difusão anômala para a reação, então é
importante observar que podemos relacionar com dado em (3.60). Quando 2 ,
obtemos 1 da condição de movimento browniano. Logo, para 2 , deveríamos
ter <1 para condição não-browniana (uma condição de superdifusão devido ao
“mixing”). Portanto, para sermos consistentes com a descrição dada em [120], vamos
fazer a seguinte identificação de expoente na ação (3.60): 2
.
Então, usando o parâmetro , a ação (3.60) pode ser escrita alternativamente
como:
t2
1K
3
1hD
2
1rdA
232/22/d
Ld
. (3.61)
Se 2 , recuperamos novamente a ação (3.58). Pela imposição de que
0A em (3.61), obtemos a seguinte equação diferencial para difusão modificada:
98
22/KhD
t
t,r
. (3.62)
Se 2 , recuperamos a equação diferencial (3.59). A equação diferencial
fracional acima nos sugere uma propriedade de não-localidade devido à derivada
fracional que causa a anomalia na difusão [115,122].
Vamos agora aplicar as prescrições do M.T na ação (3.61). Usando a 1ª
prescrição do M.T, que é um argumento de escala, no 1º termo de (3.61), temos:
1~~D2
1rd 2d22/
L
d
d
. (3.63)
De (3.63), obtemos que o valor médio quadrático de 2 se comporta como
d ~2 (3.64)
Do 4° termo de (3.61), temos:
1~~
t2
1rd d2
L
2d
d
, (3.65)
onde consideramos que t-exp t o . Introduzindo (3.64) em (3.65), obtemos:
~1
,
ou /1~ . (3.66)
Observamos que (3.66) dá o caráter não-browniano dessas reações limitadas
por difusão [115,123]. Na verdade, quando consideramos 2 em (3.66), obtemos as
condições de movimento além do movimento browniano [124,125,126], que
correspondem às condições de superdifusão.
Em casos gerais de processos de difusão (veja ref. [115]), temos o seguinte
desvio médio quadrático dado por ttx ~2 . A condição de Lévy-mixing que
consideramos aqui leva a uma difusão mais rápida que a difusão browniana. Então,
99
vamos fixar nossa atenção na condição de superdifusão, isto é, 1 [114]ou 2
[120]. Assim, podemos relacionar os expoentes , [120] e [115], que caracterizam
basicamente a anomalia difusiva; logo obtemos: 1
2 . Para
121 , temos o caso do movimento browniano. Se 2 e ,1 , o
que implica em 1 , temos a condição de superdifusão, que é dada aqui pelo Lévy-
mixing.
Aplicando a 1ª prescrição do M.T no 2° termo de (3.61), obtemos:
1~~
12/2/ dd hhrdd
(3.67)
Fazendo 1h , obtemos de (3.67) o seguinte comportamento de
escalonamento para o valor médio :
1
2/d
~
. (3.68)
Usando (3.66) em (3.68), obtemos:
12//12//~~ dd
. (3.69)
Colocando 2 em (3.69), recaímos nos resultados rigorosos de Bramson e
Lebowitz [107] para as reações 0BA com segregação completa, como também,
recaímos nos resultados obtidos de um tratamento dessas reações pelo M.T [109].
Vamos agora aplicar a 1ª prescrição do M.T no 3° termo de (3.61). Assim:
1~K~K3
1rd d33d
d
. (3.70)
Vamos fazer a seguinte hipótese plausível:
23 ~ . (3.71)
100
O desacoplamento (3.71) acima já foi justificado nas seções precedentes, e ao
mesmo tempo foi utilizado com sucesso em trabalhos anteriores [99,109], onde se
reproduziu exatamente os resultados de Peliti [85] para a reação 0AA e os de
Bramson e Lebowitz [107] para a reação 0BA com total segregação.
Usando (3.64),(3.68) e (3.71) em (3.70), obtemos:
112
/112
/12
/
~~~
ddd
K , (3.72)
sendo, ~ .
A equação (3.72) nos fornece
1
2
cd como a dimensão crítica
superior para o modelo. Para o caso 2 , obtemos 4dc , onde temos a condição
de difusão browniana para a reação 0BA . É possível extrair de (3.72) alguns
casos particulares, onde temos quebras de segregação. Vamos considerar
basicamente dois casos de 2 :
a) 1 : um caso de forte mistura que leva à difusão balística, que é um caso
especial de superdifusão com 2 [115]. Para 1 , obtemos 5,12/3dc , que
corresponde a um tipo de dimensão crítica superior fractal para este caso. Aqui, nós
temos uma forte quebra de segregação, de tal forma que para 2d o sistema já
possui comportamento de campo médio.
b) Um outro caso, que é conhecido, havendo forte quebra de segregação
ocorre quando 25,1 , sendo 2dc . Logo, em 3d , obtemos a quebra de
segregação, já que, nesta dimensão, temos justamente um regime de campo médio
devido ao Lévy-mixing ou estado de mistura constante das espécies reagentes.
Zumofen, Klafter e Shlesinger [120] estudaram as reações 0BA com Lévy-
mixing, no caso em que 25,1 . Eles também observaram a quebra de segregação
em 3d , o que está em concordância com os resultados que acabamos de obter de
(3.72) para o caso 25,1 .
Zumofen, Klafter e Shlesinger [120] obtiveram as curvas do comportamento
das funções de correlação entre partículas de mesma espécie t,rCA AA e entre
101
partículas A e t,rCB AB para o caso 3-D, levando em consideração a difusão por
caminhos aleatórios i. é, com segregação; e também o caso de difusão modificada
pelo ‘mixing’, com quebra de segregação para 25,1 ,em 3d . Tudo isso foi obtido
para um dado tempo t fixo. Veja figura abaixo, onde se pode comparar o caso “ 2 ”
com “ 25,1 ” em 3-dimensões:
0
1
2
0 0,5 1 1,5 2
d = 3
t = 103, 3 x 103 , 104
γ = 1.25
NN-RW
~
C AA
~
C AB
1
/ tr
Figura 6: Funções de correlação t,rC~
AA e t,rC~
AB em 3d dimensões.
As curvas da figura 6 com valores visivelmente maiores e menores que 1 são
os resultados de Random Walks – R.W 2 . As curvas centradas ao redor do valor
1 são os resultados de Lévy-Walk para 25,1 (figura 6 extraída da ref. [120]).
De (3.72), podemos ver que K diverge quando , para
1
2d .
Então, a fim de satisfazer a 2ª prescrição do M.T, adotamos 1K para
102
1
2d . Logo, a descrição de campo médio desse modelo é correta para
1
2d .
Na dimensão crítica superior,
1
2dd c ,vamos fazer algumas
considerações adicionais a fim de obter as correções logarítmicas para a taxa de
reação K e a concentração . Temos para
1
2dd c (veja (3.64), (3.68) e
(3.71)), a seguinte relação
1
223 ~~ . (3.73)
Se usamos a 1ª prescrição de Thompson para o 3º termo de (3.61), num certo
contexto modificado, isto é, fazendo dentro da integral do 3º termo a seguinte
substituição:
1
23 r~ , (3.74)
então podemos escrever:
1~nK~drrKr
3
1~K
3
1rd
112
12
13d
d
, (3.75)
onde é medido em unidades de espaçamento de rede, sendo 1 o corte inferior, e
.drrdrrrdrd11
21ddd cc
De (3.75) obtemos que
103
1n~K . (3.76)
Tendo por base as considerações de escalonamento dadas pela 1ª prescrição
de Thompson aplicada em (3.61), onde o gradiente modificado escalona
como 2/2/ ~ , então vamos definir que du
d
dr
d
2/
2/r
, onde 2/ru .
Naturalmente que, para 2 acima, recaímos na derivada usual, onde drdu . No
entanto, dado que 2/ru , vem que drr~du 12/ . Assim sendo, vamos considerar
a seguinte equação diferencial:
03
1
2
1 3
2
12/
Kdrr
dD . (3.77)
A equação (3.77) pode ser obtida, considerando-se a igualdade dos 1º e 3º
termos de (3.61) (dada pela 1ª prescrição do M.T), onde supomos que podemos
substituir a igualdade entre integrais pela igualdade entre integrandos, depois de
substituir K por .K
Podemos resolver (3.77) na dimensão crítica superior
1
2dd c ,
usando (3.76) em (3.77). Assim, fazendo a integração de (3.77) neste caso, obtemos:
n~
n~
, para cdd . (3.78)
Como podemos observar em (3.76) e (3.78), justamente na dimensão crítica
superior, obtemos a correção logarítmica para a descrição de campo médio. Este
mesmo comportamento foi obtido anteriormente (veja ref. [109]) para a reação
0BA , no caso de difusão browniana.
104
3.5.2 Tratamento unificado das reações 0AA e 0BA com condições de difusão modificada.
O relativo sucesso do M.T no tratamento das reações 0AA e 0BA
[109], e também nas seções 3.1, 3.2 e 3.3 nos encoraja a buscar por uma ação efetiva
estendida, capaz de englobar as duas reações mencionadas, também já incluindo as
condições de difusão modificadas. Portanto, vamos escrever a seguinte ação
estendida efetiva:
t2
1K
3
1hD
2
1rdA
232/22/d
, d, (3.79)
onde 10 e 2 . Se fizermos 2 em (3.79), recaímos na ação A da seção
3.3, que engloba as reações 1 0BA e 0 0AA na condição
browniana.
De forma análoga ao que já foi feio nas seções anteriores, aplicando o M.T em
(3.79), obtemos os seguintes escalonamentos:
12
/d
,~
, (3.80)
e
1
12
d
,~~K
1
12
d
(3.81)
O escalonamento (3.81) implica que, para o modelo estendido e, ainda com
condições de difusão modificada, definido em (3.79), a dimensão crítica superior é
dada por:
12
,dc , (3.82)
com 10 e 2 . Logo, alternativamente, vamos escrever:
105
1/1/
,~~
cc ddddK
, (3.83)
sendo ~ , e cd dado em (3.82).
Como temos em (3.79) a possibilidade de considerar 2 , então, também
somos capazes de englobar as reações 1 0BA e 0 0AA , já
incluindo a possibilidade de quebra de segregação no caso 0BA reação 1 ,
e uma possibilidade de ‘mixing’ no caso 0AA reação 0 .
Finalmente, é importante ressaltar que, na dimensão crítica do modelo
generalizado descrito pela ação (3.79), temos novamente correções logarítmicas para
o comportamento de campo médio nessa dimensão crítica. Esse resultado pode ser
obtido da maneira análoga já obtida anteriormente. Fazendo isso, obtemos:
n~
n~
,
, (3.84)
para
1
2dd c .
De fato, as correções logarítmicas obtidas na dimensão crítica superior de todos
esses modelos (seções 3.1, 3.2, 3.3 e a presente seção) são resultados universais.
3.6 O Método de Thompson aplicado às reações controladas por difusão do tipo browniana e não-browniana
KAKA
As reações controladas por difusão do tipo AKA , com K , e que
naturalmente incluem o caso de reações 00KA dentro da mesma classe de
universalidade são conhecidas por apresentar forte dependência nas flutuações no
regime abaixo de uma dada dimensão crítica cd . Tais reações se baseiam na
interação de K partículas da espécie A, que, ao interagirem, coalescem num número
de partículas, onde naturalmente K .
106
Primeiramente, nessa seção, vamos aplicar o M.T, que é uma forma alternativa
simples ao G.R, numa ação efetiva que nos permita descrever o comportamento
dessa classe de reações com difusão browniana, obtendo o comportamento
assintótico da densidade , em cdd , e inclusive em cdd . As leis de escala que
vamos obter aqui estão em concordância com os cálculos do G.R num trabalho de Lee
[128], e também com um trabalho mais recente de Oliveira [129]. Aqui, também,
vamos citar o trabalho de Ohtsuki [130], que aplicou o G.R a esses
sistemas AkA . Paralelamente, vamos mencionar outros trabalhos mais recentes
que tratam da cinética, dinâmica crítica e processos de difusão [131,132]. Citamos
também um recente trabalho de Oliveira [133].
3.6.1 As reações AKA (com difusão browniana)
Vamos aplicar o M.T para estudar a reação controlada por difusão do tipo
K0AKA ; mas antes disto, devemos considerar os casos particulares de
reações dos tipos AAA e 0AA , em que 1 e 0 e ,2K
respectivamente. Estas reações foram tratadas por Peliti [85], e também por Silva [99]
pela aplicação do M.T. Silva [99] considerou a seguinte equação diferencial para as
reações do tipo A ou0AA , com 2K :
22 rhDt
t,r
, (3.85)
onde é a concentração da espécie A; D é a constante de difusão; rh é uma fonte
introduzida por Krug [98], e é a taxa de reação. A equação diferencial (3.85) já foi
introduzida na seção 3.1 desse capítulo.
A fim de tratar o fenômeno descrito por (3.85), usando o M.T, Silva [98] definiu
a seguinte ação:
rd
t2
1
3
1rhD
2
1A d
232
d
. (3.86)
107
A equação (3.85) pode ser obtida diretamente de (3.86), impondo a condição
de ação mínima 0A .
No trabalho de Lee [128], a reação controlada por difusão do tipo 0KA foi
considerada no regime de campo médio, i. é, para dimensões suficientemente altas, a
saber:
K t
t
, (3.87)
com taxa de reação constante . Isto implica que acima da dimensão crítica
superior, a densidade irá decair assintoticamente com 1k/1t~ . Para cdd , o
comportamento da densidade é conjecturado, tendo por base argumentos de escala
[134] e argumentos rigorosos [135]. Resultados exatos são dados para 1d [136-
139]. Para cdd , esperamos correções logarítmicas para o campo médio.
Agora, se consideramos uma equação diferencial para a reação 0KA ,
incluindo flutuações espaciais de densidade e uma fonte do tipo rh [98], então
podemos escrever a seguinte equação:
k2 rhDt
t,r
. (3.88)
Naturalmente, colocando 2k em (3.88), recuperamos a equação para o
caso A ou0AA [85,98,99].
A fim de tratar o fenômeno da reação 0KA , ou AKA , descrita pela
equação (3.88), usando o M.T, vamos definir a ação:
rdt2
1
1k
1rhD
2
1A d
21k2
K d
. (3.89)
A equação (3.88) pode ser obtida de (3.89), fazendo a condição 0A k .
Usando a 1ª prescrição do M.T [8], que é um argumento de escala, no 1º termo
de (3.89), obtemos:
108
1~~D2
1rd 22d2d
d
, (3.90)
sendo que o valor médio quadrático de 2 comporta-se como
d22 ~ (3.91)
Para o 4º termo em (3.89), temos
1~~
t2
1rd d2
2d
d
, (3.92)
onde consideramos que
tt exp . (3.93)
Introduzindo (3.91) em (3.92), obtemos:
21~
. (3.94)
Observamos que (3.94) caracteriza a difusão browniana, onde representa
um tempo de vida médio que uma partícula leva para atingir a outra e se aniquilarem.
Aplicando a 1ª prescrição do M.T no 2º termo de (3.89), obtemos:
1~h~hrd ddd
. (3.95)
Supondo 1~h , temos para o valor médio de o comportamento
d~. (3.96)
Usando (3.94) em (3.96), obtemos:
2/2/2 ~~ dd . (3.97)
109
Esse resultado (Eq. 3.97) coincide com aquele que foi obtido por Silva [99], que
é o tempo de decaimento da concentração para a reação 2k 0AA através
do M.T. Assim, esse resultado de escala nos leva a concluir que o comportamento
para tempos longos da concentração é independente de k, o que foi mostrado por
Lee[128].
Agora, finalmente, vamos usar a 1ª prescrição do M.T no 3º termo de (3.89), a
saber:
1~~
1k
1rd d1k1kd
d
. (3.89)
Prosseguindo, vamos fazer uma hipótese plausível:
1k21k ~ . (3.99)
Este tipo de desacoplamento poderia ser justificado, como já foi feito em
trabalhos anteriores [99,109,110], levando-se em conta que o termo de reação que
aparece na equação (3.88) é basicamente de uma forma bilinear (uma correlação de
dois pontos), embora tenhamos aqui interações de k partículas 2k . Na verdade,
apesar de haver k partículas para reagirem, consideramos que tal reação ocorre passo
a passo, segundo uma forma bilinear de interação (aos pares), tal que haja a
necessidade de se obter um tipo de desacoplamento que preserve a forma de uma
densidade média quadrática para 2 como já considerado anteriormente [99, 109,
110]. Em particular, quando fazemos 2k para o desacoplamento acima (eq. 3.99),
naturalmente recuperamos aquele já usado num trabalho anterior [99] para a reação
0AA , a saber: .~ 23 [99].
Usando (3.91), (3.96) e (3.99) em (3.98), obtemos:
12
1221 ~~
kd
kd . (3.100)
Considerando (3.94) em (3.100), também podemos escrever:
110
1
2
1
~
kd
. (3.101)
A equação (3.100) ou (3.101) fornece 1k
2dc
, sendo a dimensão crítica
superior para o modelo, em concordância com os resultados dos trabalhos de Lee
[128] e Oliveira [129]. Se 2k , temos 2dc para o caso das reações
A ou0AA [99].
Podemos ver de (3.100) que diverge quando , para )1k/(2d .
Então, a fim de satisfazer a 2ª prescrição do M.T, adotamos 1 para
)1k/(2d . Logo, a descrição de campo médio desse modelo é apropriada
para )1k/(2d .
Agora, estando na dimensão critica superior desse modelo 1k/2d ,
vamos fazer algumas considerações adicionais a fim de obter as correções
logarítmicas para a taxa de reação e a concentração . Temos para
1k/2d (veja (3.91), (3.96) e (3.99)) o seguinte resultado:
1/2121 ~~ kkK , (3.102)
para 1k
2dd c
.
Se usamos a 1ª prescrição de Thompson para o 3º termo de (3.89) num certo
contexto modificado, i. é, tendo feito dentro da integral a seguinte substituição:
1
2
1 ~
kk r , (3.103)
111
logo podemos escrever
1
d
2lk 1 k 1 2 k 1d
l 1
1 1d r r r dr
k 1 k 1/~ ~
1~n~ , (3.104)
onde é medido em unidades de espaçamento de rede, sendo 1 o comprimento de
corte inferior.
De (3.104), obtemos que
1~ n, (3.105)
para 1/2 kdd c .
Nesse ponto, vamos considerar a seguinte equação diferencial:
01k
1
rD
2
1 1k2
. (3.106)
Esta equação (3.106) pode ser obtida, considerando a igualdade do 1º e 3º
termos de (3.89) (dado pela 1ª prescrição do M.T), onde supomos que podemos
substituir a igualdade entre integrais pela igualdade entre integrandos, após substituir
por .
Podemos resolver (3.106) na dimensão crítica superior 1/2 kdc ,
realizando a integração entre 1 e , e usando (3.105). Assim, obtemos:
1k/11k/1
2
ln~
ln~
, (3.107)
para 1/2 kdd c , e para grande.
112
Como podemos ver em (3.105) e (3.107), justamente na dimensão crítica
superior, e no limite de comprimentos de onda longos, obtivemos correções
logarítmicas para a descrição de campo médio desses sistemas [128, 129].
3.6.2 As reações lAKA (com difusão não browniana)
Tendo por base a idéia de gradiente modificado 2
, já utilizado para o caso
da difusão anômala, e também a idéia da coalescência de k-partículas, expressa no
termo ‘ kεΓ ’ da equação de movimento (3.88); então, vamos construir a seguinte ação
para representar as reações do tipo lAKA , incluindo difusão modificada:
d
2
l
21k
2d
,k t2
1
1k
1hD
2
1rdA (3.108)
Para 2 (difusão browniana), recaímos na ação (3.89).
Impondo que 0A ,k para t constante, em (3.108), obtemos a seguinte
equação diferencial de difusão modificada (fracional) para a reação de coalescência:
krhDt
t,r
(3.109)
Usando a 1a prescrição de Thompson em cada termo da ação (3.108), obtemos
as seguintes relações de escala:
Primeiro termo:
.~2 dL (3.110)
Segundo termo:
//~~ ddd LL
. (3.111)
Terceiro termo:
11
1 ~~
kd
kdL, (3.112)
113
onde temos que L~ e 1k21k ~ .
Quarto termo:
L~1
. (3.113)
De (3.112), obtemos imediatamente a dimensão crítica do modelo, a saber:
c
2d k
k 1 k 1,
, (3.114)
sendo
2
.
Fazendo 2 ou 1 em (3.114), recaímos em cd obtida por Lee [128].
De (3.114), podemos extrair alguns resultados interessantes para dimensões
críticas desse modelo, como por exemplo:
Para
.4d:)subdifusão(2
1
;1d:)balística
difusãoerdifusão(sup2
;2d
)brownianadifusão(1
)partículas (duas 2ki
c
c
c
(3.115)
2d:2
1
;5,0d:2
;1d:1
)partículas (três 3kii
c
c
c
(3.116)
Finalmente, para a dimensão crítica 1k/dc , obtemos novamente
1~ Ln, (3.117)
114
onde consideramos 1k/1k r~ (terceiro termo em (3.108)).
De maneira análoga ao que já foi feito anteriormente, quando se considera a
igualdade do primeiro e terceiro termos de (3.108), onde substituímos a igualdade
entre integrais pela igualdade entre integrandos, e tendo em vista que
du
d
dr
dr
2/
2/ , sendo 2/ru , por definição, então consideramos a
seguinte equação diferencial:
01k
1
rd
dD
2
1 1k2/
. (3.118)
Podemos resolver (3.118) na dimensão crítica superior 1k/d , usando
(3.117) em (3.118). Logo, fazendo a integração de (3.118) no limite de comprimento de
onda longo tetanconsLn , obtemos:
1 k 1 1 k 1 1 k 1
2k
n L n L n
L L
/ / /
/,~
, (3.119)
para 1/ kd .
Os resultados de Lee [127] e Oliveira [129] são obtidos de (3.119) no caso
especial em que 2 ou 1 .
3.6.3 Fonte homogênea externa: Expoentes críticos no regime estacionário
Finalmente, propomos estudar o modelo de reação de coalescência AkA
com condição de difusão modificada, sendo esse sistema (rede) agora submetido a
uma fonte homogênea externa tech de partículas A. Logo, sugerimos que o limite
de taxa de campo externo nula 0h possa ser considerada como um ponto crítico
[140], e conseqüentemente, perto desse ponto 0h , somos capazes de extrair os
seguintes expoentes críticos: /1~ hh , que é um expoente crítico estático para a
115
concentração em regime estacionário; '~' hh , que é um expoente crítico
dinâmico para o tempo de relaxação h , obtido no limite 0h ; e finalmente o
expoente t~ , que representa o expoente para o decaimento da concentração
no limite de taxa de campo zero 0h [140].
A equação de campo médio para tais reações, considerando uma fonte
h homogênea externa de partículas, é dada da seguinte forma:
kht
. (3.120)
Já sabemos que, no regime de campo médio, temos tetancons~ . No
entanto, vamos pensar numa taxa de reação efetiva eff que dependa da
dimensionalidade d da rede, dei eff ,. , e portanto, vamos introduzir esta
informação na equação (3.120), obtendo
keffh
t
. (3.121)
No regime estacionário
0t
, obtemos de (3.121)
0k
effh . (3.122)
Agora, usando o resultado (2.112) dessa seção, que dá a taxa de reação
efetiva d , e considerando (3.111) dL /1~ para dentro de (3.112), então
escrevemos
kd
eff
1
, (3.123)
onde é uma constante de proporcionalidade.
116
Finalmente introduzindo (3.123) em (3.121), e também considerando a
condição de regime estacionário dada em (3.122), obtemos.
/1~ h
h d
d
, (3.124)
de onde extraímos
d
d
. (3.125)
Por outro lado, no caso da difusão modificada, obtemos que dL /~~ ,
sendo dL /1~ (relação (3.111)).
Logo, daí também podemos escrever:
/~ d , (3.126)
onde
d representa o expoente do decaimento da concentração.
Introduzindo (3.126) acima em (3.123) e em (3.122), finalmente obtemos
'
/
~
hh
d
h
, (3.127)
de onde extraímos
d
' . (3.128)
Portanto, podemos concluir que os expoentes críticos em (3.125) e ' em
(3.128) realmente ainda satisfazem as relações de escala dadas abaixo:
11
'
d
d
d; (3.129)
117
d
d
d
d
1
.'
1. (3.130)
No caso especial de 2 (difusão browniana), naturalmente recuperamos os
resultados para ,' e obtidos por Rácz [140].
No regime de campo médio, temos 1/ kdd c (relação 3.114). Agora,
podemos obter os expoentes ', cc e c , dados no regime de campo médio ou acima
da dimensão crítica. Logo, a fim de obtê-los, devemos introduzir (3.114) em (3.125) e
(3.128), e também na relação /cc d , obtendo
k
d
d
c
cc
; (3.131)
k
k
dcc
1'
; (3.132)
1
1
k
dcc
. (3.133)
Notamos que, se fizermos 2k (reação )(0 AAA ) em (3.131), (3.132) e
(3.133), naturalmente recuperamos os conhecidos expoentes de campo médio
2
1',2 e 1 [140].
Podemos ainda observar que os expoentes críticos (3.131, 3.132, 3.133)
obtidos no regime de campo médio são independentes de , e dependem somente de
k . Podemos explicar tais resultados devido ao fato de que, no regime de campo
médio, as flutuações devido ao fenômeno da difusão não são relevantes para o
problema, de tal forma que o caráter da difusão não realiza papel de importância
para a obtenção do comportamento dos expoentes críticos nesse caso.
118
Somente o número de partículas k que coalescem (reagem) torna-se relevante
nesse regime clássico.
O artigo referente à presente seção está publicado na MPLB (2002) [141].
3.7 Conclusões
Nesse capítulo, propomos um conjunto de ações efetivas para descrever o
comportamento das várias classes de reações químicas limitadas por difusão;
incluindo partículas de mesma espécies ou espécies diferentes, com e sem difusão
browniana (difusão anômala), e também o problema de coalescência de várias
partículas da mesma espécie A . Algumas dessas reações foram estudadas sob a
ótica da existência de regime estacionário na presença de uma fonte homogênea h
externa de partículas A , obtendo-se portanto alguns expoentes críticos em tais
sistemas, e também algumas importantes relações de escala entre estes expoentes.
Na 1ª seção, abordamos as reações do tipo )(0 AAA , obtendo
comportamento logarítmico na escala para o decaimento da concentração e taxa de
reação na dimensão crítica do regime de campo médio 2cd .
Na 2ª seção, estudamos as reações 0 BA com segregação 4cd ,
obtendo também o mesmo comportamento logarítmico para a concentração e taxa de
reação, porém dado na dimensão crítica 4cd , devido à presença de segregação.
Em virtude da presença do comportamento logarítmico na dimensão crítica
superior cd , fomos levados, na 3ª seção, a propor um tratamento unificado para as
reações 0 AA e 0 BA , através de uma ação efetiva que incorpora estas
duas classes de reações dentro de um mesmo formalismo.
Na quarta seção, elaboramos uma ação efetiva para descrever as reações
limitadas por difusão de duas espécies com concentrações iniciais diferentes
119
0P«0P BA . Para 2d , obtivemos o decaimento exponencial modificado da
espécie A , na forma
2/2
exp0 dAA t
dPtP
, com te
B cP . No entanto, com
alguns ajustes, melhoramos o nosso resultado para 2cd em tempos longos,
obtendo o seguinte comportamento logaritmico dentro da função exponencial:
tnPtP AA
texp0
.
Na 5ª seção, estudamos as reações do tipo 0 BA , incluindo casos de
difusão modificada do tipo Lévy-mixing, o que levou à quebra de segregação de tal
forma que 4cd para 2 (superdifusão obtida pelo ´Lévy-mixing`). Mesmo assim,
continuamos a obter o comportamento logarítmico para a taxa de reação
1Ln~K e o decaimento da concentração
L
Ln~ na dimensão crítica
superior considerada. Esse mesmo comportamento foi obtido para o caso 0 AA
com difusão modificada, o que nos motivou a fazer um tratamento unificado dessas
duas reações sob a condição de difusão modificada 2 .
Na 6ª seção, aplicamos o método de Thompson para estudar as reações de
coalescência do tipo kAkA na condição de difusão browniana e não-
browniana 2 . Ainda na dimensão critica 1/ kdc obtivemos o
comportamento logarítmico esperado para o decaimento da concentração e a taxa de
reação. No caso da existência de regime estacionário, na presença de uma fonte
homogênea externa de partículas de espécie A , calculamos os expoentes críticos
para a taxa de concentração
d
d e para o tempo de relaxação
d
' , dados no limite 0h , e também o expoente para o decaimento da
120
concentração d / . Assim, finalmente verificamos que tais expoentes
satisfazem as seguintes relações de escala: 11
'
,
'1
.
O próximo capítulo será dedicado à aplicação do M.T ao estudo do crescimento
de uma cadeia polimérica.
121
Capitulo 4
4 O Método de Thompson aplicado ao estudo de crescimento de polímeros.
Introdução
Uma cadeia linear de polímero é aquela na qual existe uma seqüência de uma
mesma estrutura química básica que se repete N vezes através de ligações para
formar uma macroestrutura ou macromolécula. Cada estrutura básica é denominada
de monômero, sendo que o processo que permite a ligação entre monômeros é
chamado de polimerização. O exemplo mais simples de polímero linear é o polietileno,
a saber:
,CHCHCHou CH 222N2 onde a estrutura básica “ 2CH ”
representa um monômero dessa macromolécula de polietileno.
Também podemos citar o poliestireno, o polioxietileno, dentre outros polímeros.
O número N de unidades repetidas numa cadeia é freqüentemente chamado
de grau de polimerização, podendo se tornar extremamente grande. Por exemplo, é
possível atingir 510N com o poliestireno. A fabricação de tais cadeias longas sem
erros numa seqüência de 510 operações representa um avanço significativo na
Química.
Nesse capítulo, o nosso objetivo é usar o método das escalas e dimensões de
Thompson (M.T) para estudar o processo de crescimento de uma cadeia de polímero,
atingindo um certo número N de monômeros depois de um longo tempo.
Assim, para representar esse crescimento, vamos propor um modelo baseado
em reações químicas; no entanto, devemos produzir o efeito de um crescimento
encadeado de partículas ´A`, formando uma cadeia extensa ´B`, que continua
capturando ´A`, através de uma reação do tipo BBA , até que ´B`(cadeia) perde
sua capacidade de se ligar com ´A` e atinge um tamanho limite. Tendo atingido um
122
tamanho máximo, denominado Raio de Flory FR , o nosso primeiro propósito será a
obtenção do chamado “ expoente de Flory” Fv , tal que dvF
FNR ~ , sendo o expoente
de Flory dado em função da dimensionalidade d na qual a cadeia de polímero está
embebida. Depois, vamos obter o expoente de Fisher d , que caracteriza o grau de
decaimento da probabilidade de crescimento da cadeia no regime de tempo longo
xP exp~ . Por último, devemos obter de forma analítica o expoente de
crescimento dg , que fornece o grau de crescimento da probabilidade da cadeia
inicial capturar monômeros gxP ~ . Assim, iremos encontrar uma relação entre e
g , relacionando o final com o início do crescimento do polímero.
A 1ª seção desse capítulo será destinada ao estudo da flexibilidade de uma
cadeia de polímero, segundo a qual, a cadeia em crescimento fica caracterizada de
acordo com a escala L e o número de monômeros obtidos num dado momento, de
tal maneira que, no regime de tempo longo ( , xt ou L ), a cadeia
apresenta alta flexibilidade, ao contrário do micro-regime 0t quando a cadeia inicial
se comporta de forma rígida ou com baixa flexibilidade.
Na 2ª seção, vamos elaborar uma ação que represente o crescimento de uma
cadeia de partículas A (monômero), sendo que esse crescimento obedece à restrição
de que a partícula A não pode ocupar aquele sítio já ocupado durante o crescimetno
da cadeia (SAW= ´Self avoiding walking`). Para isto, vamos nos basear nas reações
químicas limitadas por difusão do tipo 0 BA , onde a segregação impõe uma
restrição interativa entre partículas. Assim, vamos pensar que o SAW apresenta uma
certa relação com o fenômeno da segregação quando passamos para uma escala de
comprimento recíproco PL no crescimento da cadeia, tal que tenhamos 1~ LLP .
Uma das motivações para estabelecermos tal relação reside no fato de que, tanto a
segregação ( 0 BA ) quanto a restrição do SAW BBA para a cadeia de
polímero apresentam o mesmo comportamento crítico para regime de campo médio,
que é, 4cd , sendo ´ cd ` a dimensão crítica superior de campo médio.
A 3ª seção se destina à aplicação do M.T na ação elaborada para o
crescimento da cadeia, tendo por objetivo extrair o expoente de Flory dvF . Também
123
iremos extrair um novo expoente dv , que é um análogo ao expoente crítico do
comprimento de correlação do modelo L.G.W, dado no inicio do crescimento do
polímero 0t quando o comprimento de correlação na escala recíproca P .
Vamos relacionar Fv (tempo longo) com v para tempo curto.
Na quarta seção, vamos obter o referido expoente de Fisher d , dado em
regime de tempos longos. Já, na 5ª seção, vamos estimar o expoente dg nos
instantes iniciais do crescimento, o que é uma novidade, pois representa uma função
analítica com a dimensionalidade d do sistema. Ainda nessa seção, vamos relacionar
g com , mediante uma função g de escala para expoentes, que permite ligar o
comportamento de micro-regime 0t com o de marcro-regime t . Portanto,
até onde observamos, trata-se de um resultado novo.
Na sexta seção, temos o apêndice do capítulo, onde faremos considerações
adicionais para o estudo da cadeia de polímero, de forma a mostrar a consistência
interna das nossas proposições.
4.1 Flexibilidade de uma cadeia.
Com base em de-Gennes [142], podemos estudar uma cadeia polimérica,
levando em conta as várias escalas de medida (tamanho), com as quais “enxergamos”
o crescimento da cadeia. Assim, seria importante analisar a chamada flexibilidade da
cadeia [142, 143], sob o ponto de vista do parâmetro de persistência de uma cadeia
[142]. Esse parâmetro de persistência é definido da seguinte forma:
T exp
P , (4.1)
sendo P o comprimento de persistência da cadeia; é o tamanho típico de um
monômero (da ordem de alguns angstrons); T é a temperatura do sistema
(monômeros em solução), no qual se forma a cadeia do polímero. representa a
diferença de energia de ativação entre dois mínimos de configuração “trans-gauche”
[142, 143, 144, 146], sendo 0 . Cada configuração no polímero é caracterizada
por um certo ângulo de torção (rotação) para um dado número de monômeros
124
(parcela da cadeia) que gira de tal ângulo em relação a um certo plano sobre o qual a
cadeia apresenta configuração trans, isto é, 0 .
A figura abaixo ilustra as possíveis configurações numa cadeia de polímero, em
função do ângulo o :
0
Cn-1
Cn-2
Cn-3
Cn
o
= 0 trans = 120º gauche (g+) = -120º gauche (g-)
Figura 7: Configurações passíveis numa cadeia de polímero, extraída da referência [138], p. 22.
Quando 0o , temos um mínimo de energia associado à configuração trans;
quando o
o 120 , temos um outro mínimo para a configuração gauche g ;
enquanto que para o
o 120 , temos o mínimo da configuração gauche g . Tais
mínimos se repetem de maneira periódica para 2n com 0 , e para n ,
com 0 , sendo n,3,2,1,0n . A figura abaixo nos mostra o gráfico da energia e
das configurações com dependência do ângulo o .
125
-180 -120 -60 0 60 120 180Angulo
Ene
gia
E
gauche
trans
gauche
Figura 8: Configurações de energia numa cadeia de polímero, em função do ângulo o .
Extraída da referência [138], p. 22.
A figura 8 ilustra a diferença de energia de ativação entre as configurações
“trans-gauche”. Essa diferença de energia aparece na equação (4.1), definindo o
comprimento de persistência p da cadeia; pois, por exemplo, se aumentasse,
então o sistema (cadeia) tornar-se-ia mais rígido ou persistente numa dada
configuração (trans), aumentando o comprimento de persistência para essa
configuração considerada. Na verdade, p depende da razão T/ , que gera uma
competição entre e a temperatura (T). Acontece que, sendo fixo, então o
aumento da agitação térmica (temperatura) contribui para reduzir o comprimento de
persistência entre duas configurações, aumentando a flexibilidade da cadeia; ou seja,
a cadeia e suas configurações giram (mudam) mais rapidamente. Assim, em virtude
disso, podemos pensar que o comprimento de persistência p representaria uma
espécie de passo de hélice de uma helicoidal (polímero). O aumento da temperatura
reduz o tamanho de p , enquanto que a diminuição da temperatura dilata o passo p .
De acordo com todo esse raciocínio, podemos definir um parâmetro que mede
o controle da flexibilidade global de uma cadeia, a saber:
TN
LP exp1
, (4.2)
126
sendo 1 0lNL
onde L é o comprimento total da cadeia; N é o número de
monômeros na cadeia; é uma grandeza adimensional, associada à flexibilidade.
Assim, baseando-se em (4.2), devemos observar que o comportamento flexível (alta
flexibilidade da cadeia) ocorre somente para pequeno.
Estamos interessados apenas na dependência do parâmetro de flexibilidade
com a escala LL , de tal maneira que, tendo por base a definição em (4.2),
vamos fixar a temperatura T constante, e também fixamos . Assim, teremos a
função CCT te )(constante /exp ; portanto vem que L , ou então,
Lff pp , sendo ‘ pf ’ a função que dá a flexibilidade global da cadeia de
tamanho L [142]. Logo, vamos escrever:
LN
C
L
CLf p
p
)( , (4.3)
sendo Cp .
Se 1 pfLC ; logo a cadeia apresenta grande flexibilidade na
escala L observada.
Agora, com base em (4.3), se quisermos obter um parâmetro de flexibilidade
variável pf para qualquer escala rolante em r , tal que Lr , de tal maneira que não
tomemos necessariamente a cadeia como um todo L, então vamos apenas definir um
parâmetro rf p , sendo função de uma variável livre r , dada ao longo de todo o arco
da cadeia Lr 0 , a saber:
rN
C
r
C
rrf p
p , (4.4)
sendo rN o número de monômeros associado a uma certa escala r escolhida na
cadeia NrN , na qual o grau de rigidez da cadeia assume outros valores, de
forma a se tornar cada vez mais rígida no limite de r pequeno, isto é, numa
microescala. Já, no caso de Lr (toda a cadeia), então vem que NLN ,
127
recaindo na relação (4.3), que dá a flexibilidade global da cadeia, isto é, a flexibilidade
numa macroescala, onde Lf p é pequeno.
Sendo 1/ NL , então, na verdade, estamos considerando aqui que
a , sendo que passa a ser um comprimento mínimo da cadeia, na ordem do
tamanho da unidade básica ‘a’, que é o tamanho do monômero. Logo, vamos escrever
(4.4) da seguinte forma:
rrN
C
r
Carf p
p
, (4.5)
sendo 1/ NLa .
Podemos introduzir uma função rarG / , sendo rG uma função de
correlação entre o 1º monômero (inicio da cadeia) e um outro qualquer localizado a
uma distância r ao longo do arco da cadeia. Assim sendo, vamos escrever (4.5) da
seguinte maneira:
rCGrf p , (4.6)
Com base em (4.6), podemos perceber que a função rf p , que mede o grau
de rigidez da cadeia numa certa escala r , está diretamente relacionada com a função
de correlação rG definida; portanto, quanto maior a correlação entre dois pontos ao
longo da cadeia, maior também será o grau de rigidez pf dada nessa escala r ao
longo do arco da cadeia. Em suma, dizemos que rf p é uma função de persistência,
sendo diretamente proporcional à função de correlação rG definida.
Analisando (4.5), concluímos que rf p é uma grandeza adimensional. O
nosso objetivo aqui é obter um comprimento (alcance) de correlação que esteja
diretamente relacionado com a função de persistência rf p . Como rf p é
adimensional, podemos definir um comprimento rp da seguinte forma:
r
a
r
Carafr p
pp
2
, (4.7)
128
sendo ‘ a ’ o tamanho da unidade básica (monômero), que tem um valor extremamente
pequeno. rp tem dimensão de comprimento e representa um alcance de
correlação (comprimento de rigidez) obtido a partir de uma escala r considerada para
medir a distância entre os dois monômeros ao longo do arco da cadeia, estando o 1º
monômero sempre na origem (semente) da cadeia. Quando r é pequeno, p
apresenta longo alcance (alta rigidez). Quando r é grande (macroescala), p
apresenta curto alcance, possibilitando uma alta flexibilidade ou baixa rigidez da
cadeia nessa escala. Assim, em virtude disso, vamos definir um volume dp em d-
dimensões, representando um dado volume de coerência na escala r para o nosso
problema. Logo, vamos escrever:
d
dp
d
d
dddpcoer r
a
r
aCrrV
2
. . (4.8)
No regime macro, temos 0coerV (cadeia flexível), enquanto que no regime
micro, temos coerV (cadeia altamente rígida). O regime macro se dá para tempos
longos (final do crescimento da cadeia), enquanto que o regime micro se dá para
tempos curtos (início do crescimento da cadeia), em que p .
4.2 Elaboração de uma ação que forneça as características do processo de crescimento de uma cadeia de polímero.
A elaboração de uma ação para crescimento de polímero requer alguns pré-
requisitos básicos mais algumas considerações adicionais, que serão fundamentadas
em argumentos heurísticos, tendo por base o princípio da física estatística de
polímeros e suas características básicas, já definidas na seção anterior.
Um pré-requisito fundamental na construção de uma ação para caracterizar o
polímero seria partir da equação para a reação química limitada por difusão do tipo
0 BA (com segregação), em que cd (dimensão crítica) 4 , o que será
argumentado de forma heurística.
Primeiramente, vamos apenas relembrar a equação de movimento para o caso
da reação química do tipo 0 BA , com segregação 4cd (veja seção 3.2):
129
.kht
2
L
2
(4.9)
Vamos estudar a equação (4.9) no caso estacionário 0t / e
unidimensional x . Assim, escrevemos a seguinte equação:
.0xkhdx
xd 2
L2
2
(4.10)
Devemos lembrar que o valor médio L
caracteriza efetivamente a
segregação [109], pois, no regime assintótico L , vem que 0L , levando
ao aumento da dimensão crítica para 4d [109].
Em regime assintótico (para tempo longo) de difusão, L , a equação
(4.10) pode ser aproximada por:
022
2
xkdx
xd . (4.11)
A função de concentração distribuída espacialmente em xx , sendo
solução de (4.11), fica dada da seguinte maneira:
2
6
kxx , (4.12)
sendo x um certo campo escalar. Para x , temos 0 x , desaparecendo
no infinito de maneira assintótica.
Ao analisarmos a solução (4.12), primeiramente observamos que neste
resultado já está implícito o fato de que a reação só ocorre quando há contato entre as
partículas. Então, podemos deduzir disso que, na interação apenas pela proximidade
das partículas, surge uma correlação (interação) praticamente infinita, e que pode ser
sempre relacionada a um comprimento p , de uma forma análoga ao que já foi
definido na seção anterior para polímeros. No entanto, pensemos que no caso das
reações, a questão essencial é que rp é sempre divergente (infinito), pois a reação
só ocorre para 0r (distância “nula” entre duas partículas), tendo em vista que
130
1 rrp . Com isso, podemos notar, com base em teoria de campo, que o campo
de distribuição x , que decai com uma certa potência da distância, comporta-se
como um campo não massivo (ausência de decaimento exponencial). No nosso caso,
vamos relacionar a massa de campo (m) com rp , sendo r a distância entre as
duas partículas interagentes; isto é, vamos escrever:
22-p
22p
2 rrrArmrm . (4.13)
Conforme a definição (4.13) para a massa, no caso das reações químicas, só
vai existir reação (interação) para 0r (contato), sendo p ; e portanto vem
0 mA (um análogo de campo sem massa).
Procuraremos agora introduzir a idéia de um campo de massa variável (rolante)
m r m r 0 r 0 para , dado numa nova equação de movimento, onde não
tenhamos mais simplesmente interações k por contato 0m , como é o caso da
equação particular (4.11). Tal consideração implicaria numa nova interpretação física a
ser discutida mais adiante.
De um ponto de vista semi-qualitativo, poderíamos pensar que a presença
dessa variável ‘ rrm p22 ’ no sistema introduziria a seguinte modificação para o
campo de distribuição x , a saber:
Axx ex
ex
x p 2
/
2
11 , (4.14)
sendo -1p mA . Logo, quando fazemos 0 Am (campo sem massa), temos
p . Como já sabemos que 1p
r , então 0r quando p , significando
simplesmente uma interação de contato, que é o caso mais simples para reações
químicas, pois a função (4.14) no limite p recai na solução (4.12).
Quando 0m , sendo variável 22 rrm , temos que 0 p para r
grande, ou que a massa m . Assim, neste limite de massa grande ( 0 p ), o
131
campo de distribuição cairia muito rapidamente a zero, levando à predominância do
termo ou função de decaimento exponencial em (4.14), isto é,
mxAxx eeex p / . (4.15)
Sendo um novo campo de distribuição em (4.14) e (4.15), então agora
vamos chamá-lo de , já que não se trata mais de uma concentração num processo
difusivo. Por outro lado, vamos considerar que o campo seja distribuído numa linha
que liga as duas partículas em interação; portanto, temos r , sendo r uma
certa distância na linha medida entre as duas partículas consideradas. Com isso,
vamos definir da forma:
mrr er
er
r p 2
/
2
11 . (4.16)
Queremos enfatizar aqui que a linha sobre a qual r é medido não precisa ser
necessariamente uma linha reta. Então, em virtude disso, podemos pensar que r seja
o tamanho de um certo arco de cadeia que liga duas partículas (Ex: dois monômeros)
correlacionadas, estando uma delas na origem do sistema 0r . Assim, se
pensamos que rCa / 2p , conforme já foi definido para polímeros na seção anterior;
logo (4.16) ficaria escrito da seguinte forma:
22 /2
1 Carer
r . (4.17)
Na verdade, poderíamos interpretar (4.16) ou (4.17) como um campo de
correlação dado num ponto r da cadeia em relação a sua origem 0r , onde se
encontra o monômero semente (inicial). Quando aCr , a cadeia torna-se flexível
nessa escala, pois o campo de correlação r cai exponencialmente a zero. Quando
aCr , temos escalas r nas quais a cadeia torna-se mais rígida, sendo
2r 1 r/ (decaimento algébrico).
O fator p/re ou
22 Ca/re introduz massa no campo r , de tal forma que este
passa a ter um alcance finito em r , justificando o fato de que a cadeia em crescimento
132
terá um limite máximo de comprimento de arco Lrmáx . Daí a necessidade do fator
de decaimento exponencial, que estaria associado a um termo de massa do tipo
“
2
22 1
rp
rrArrm
” para ser introduzido na equação diferencial
(4.11), fazendo e rx . Logo, vamos pensar na seguinte equação diferencial:
022
2
2
rBrrAdr
rd, (4.18)
sendo kB (taxa de “reação” ou interação); 42
2222
aC
rrrmrA p
(parâmetro de massa variável (rolante) na escala r , que é a distância ao longo do
arco da cadeia, separando o 1º monômero de um n-ésimo monômero escolhido na
outra ponta da cadeia em crescimento.
Também, vamos escrever (4.18), explicitando 2rm , a saber:
0242
2
2
2
rBraC
r
dr
rd. (4.19)
No limite em que r é pequeno, o que corresponde a tempos pequenos ou
início do crescimento da cadeia de partículas interligadas (monômeros), o termo de
massa desaparece, enquanto o termo local de contato ou reação 2B predomina.
Assim, vem:
022
2
rBdr
rd, (4.20)
cuja solução já é conhecida das reações químicas, i. é,
2
6
Brr . (4.21)
No limite para r grande (tempos longos) ou final de crescimento da cadeia, o
parâmetro de massa ‘ 4222 / aCrm ’ torna-se muito grande, predominando sobre o
parâmetro de interação B , ou seja, BrA para r (grande). Daí concluímos
133
que ocorre a predominância de um parâmetro não-local rm , pois não se trata mais
de uma interação por contato. Logo, percebemos que é a não-localidade do termo de
massa (parâmetro rmrA ) que fornece a condição necessária para o
crescimento de uma certa cadeia extensa. No final do crescimento da cadeia ( r
grande), a equação (4.19) aproxima-se para:
042
2
2
2
raC
r
dr
rd, (4.22)
cuja solução é da seguinte forma:
rrCar peer // 22 , (4.23)
sendo r
Carp
2
.
De fato, verificamos que a equação (4.19) contém as duas soluções (4.21) e
(4.23) no limite de r pequeno e grande respectivamente. Como o nosso objetivo será
o estudo da cadeia apenas em condições iniciais e finais, então, as aproximações que
fizemos em (4.19) já são suficientes para aquilo que propomos, que é a obtenção dos
expoentes de crescimento g [142] para o início da cadeia, e de Fisher [142]
para o decaimento de probabilidade em tempos grandes (parte final da cadeia),
incluindo também a obtenção do expoente de Flory F [142].
Sabemos que o termo de massa fornece a condição necessária para
crescimento, devido ao seu aspecto não-local das interações. Assim, quando
pensamos numa ação para esse termo de massa, obtemos o seguinte termo de ação:
rr
rrmrrAFp
m2
22222 1
2
1
2
1
2
1
. (4.24)
Agora, o nosso objetivo será expressar (4.24) numa outra forma equivalente,
que nos será mais útil quando pensamos na cadeia de polímero. Para isso, é
importante sabermos que o tamanho de uma cadeia de polímero é normalmente dado
134
por uma distância FR medida sobre um certo eixo no espaço euclidiano em d-
dimensões, de onde se obtém um hipercubo de volume dFR que contenha a própria
cadeia. FR é uma distância denominada raio de Flory [142], usado para medir o
tamanho máximo alcançado por uma cadeia de polímero em crescimento. Veja figura
abaixo (em 3D):
y z
x
R CR
RF
Br
A
Figura 9: Esboço de uma cadeia de polímero embebida num volume 3-D.
Na Figura 9, observamos o seguinte:
LAB
(arco
AB ou tamanho total da cadeia ao longo deste arco);
rAC
(arco
AC ou tamanho parcial variável da cadeia).Temos que
Lr 0 . Quando o ponto BC , então Lr , quando AC , então 0r (aqui,
consideramos 0a ; i. é, o tamanho de cada monômero fica desprezível na prática);
FRAB (distância AB ao longo do eixo x, que é o raio de Flory [142];
135
RAC (distância AC ao longo de x, que é um tamanho ou segmento
parcial variável). Temos que FRR0 . Se FRRBC ; se
0RAC . Observamos também o segmento RCB ; assim podemos
escrever: CBABAC , ou então, RRR F , sendo R um tamanho variável
subtraído da cadeia total FR para obtermos R , que é apenas um pedaço
(segmento) variável da cadeia em crescimento. Em outras palavras, dizemos que R é
o tamanho em x que falta para a cadeia se tornar completa.
Vamos tomar o volume dR como sendo o volume de um hipercubo
d-dimensional que contenha uma parcela da cadeia em crescimento. Assim, vamos
escrever que dF
d RRR . Na figura 9, temos 3d , sendo 33 RRR F ,
onde ‘ 33 ACR ’ é o volume de um cubo variável, contendo uma parcela da
cadeia em crescimento. No início do crescimento da cadeia (t muito pequeno), temos
0 dR , o que implica em FRR ; ou seja, o raio subtraído da cadeia total é o
próprio raio de Flory. No final do crescimento da cadeia (tempos longos), temos
dF
d RR (volume de Flory), o que implica em 0R ; isto é, o raio subtraído da
cadeia total é praticamente nulo, tendo a cadeia alcançado o seu tamanho máximo.
Como o parâmetro ‘ dF RR ’ define também o crescimento da cadeia na
variável R ao longo do eixo cartesiano, então também podemos usá-lo como uma
outra forma de expressarmos o parâmetro de massa 2p ; isto é, vamos escrever
ddF
p
RRR 2
1
. (4.25)
136
Embora p seja uma função de r (ao longo do arco da cadeia) conforme já foi
definido, p está indiretamente associado a R ou R , já que r e R estão
relacionados de certa forma entre si. Isto acontece pois, quando 0R , o volume
que envolve a cadeia também tende a ser nulo, e conseqüentemente o comprimento
de arco r da cadeia tende a ser nulo. À medida que a cadeia vai crescendo, tanto r
quanto R crescem. No limite em que FRR (tempos longos) er L , o
comprimento de correlação ao longo da cadeia torna-se muito pequeno 0p , e
portanto a cadeia torna-se flexível (regime macro).
Vamos lembrar que no modelo L.G.W [8], tínhamos a seguinte relação entre o
comprimento de correlação e o parâmetro de “massa” variável, que era o
sintonizador da transição de fase em 2ª ordem no sistema, a saber:
cTT 2
1, (4.26)
sendo T a temperatura da rede de spins.
Na verdade, queremos estabelecer uma certa analogia entre (4.25) e (4.26).
Devemos lembrar que (4.26) foi obtido pela aplicação do M.T no 2º termo (termo de
massa = xM 2Lr 2
1 ) na hamiltoniana L.G.W [8], de onde se estabelece a transição
de fase (ponto crítico) do sistema. No ponto crítico cTT , tínhamos 0 ,
o que nos leva a um campo sem massa devido ao alcance infinito das correlações.
Nesse modelo de Landau, tínhamos duas fases:
i) cTT (fase desmagnetizada ou com parâmetro de ordem 0M );
ii) cTT (fase magnetizada ou com parâmetro de ordem não-nulo M .
Tanto a fase magnetizada (ii) quanto a não-magnetizada (i) apresentam alcance finito
de correlação, i. é, , sendo om ou 0 (campo com massa).
Já, em (4.25), poderíamos pensar analogamente num “ponto crítico” (momento
crítico ou instante inicial de crescimento), onde FRR , sendo pdR 0 .
Com base nessa analogia, percebemos que o parâmetro de massa para crescimento
137
dR , ou o volume do hipercubo para a cadeia em crescimento seria o próprio
“parâmetro de sintonia” ‘ ’ para (4.25) (polímero), o que vamos chamar de
dp R . Logo, vamos escrever:
pp
2
1. (4.27)
Também, de uma forma análoga ao modelo L.G.W, onde podemos estar num
regime fora do regime de campo médio, introduzimos um coeficiente variável (função)
pr na proporcionalidade (4.27), isto é,
ppp
r
~1
2, (4.28)
sendo tep Cr (constante) no regime de campo médio cdd .
Finalmente, de (4.28) e (4.24), podemos escrever o termo de massa para
crescimento (não-local) na ação, da seguinte forma:
rLrF ppm2
2
1 , (4.29)
sendo dFpp RRL p e ,
e
.Lr~m pp2
Alternativamente à equação (4.18) ou (4.19), vamos escrever a seguinte
equação:
022
2
rLurLrdr
rdppp , (4.30)
sendo pLuB . Em regime de campo médio, tep CLu e te
p CLr ; portanto,
como a equação (4.30) já inclui de forma explícita coeficientes que dependem de pL ,
138
ela naturalmente apresenta possibilidade de incluir regime fora do campo médio,
abaixo de uma dimensão crítica superior cd .
Algumas analogias entre polímeros e fenômenos críticos (modelo L.G.W) já
foram considerada na literatura. Primeiramente, vamos citar o trabalho de Raposo,
Oliveira, Nemirovsky e Coutinho-Filho [147], onde se estabelece a seguinte analogia:
c1 T-T pN [147], (4.31)
sendo pN o número de monômeros na cadeia em crescimento.
Nesse caso, quando críticopontoTT c 0 , então pN (regime
macro), em analogia com polímeros. Logo, concluímos que, no trabalho [147], o
número de monômeros, que é proporcional ao tamanho da cadeia, faz o papel de um
“comprimento de correlação ” para polímeros. Assim sendo, nesse caso [147], o
“ponto crítico” na cadeia de polímero seria o momento em que a cadeia se completa,
alcançando o seu tamanho máximo macro regimegrande . Logo, teríamos
FR (raio de Flory) nas proximidades de tal “ponto crítico” 0 , que ocorreria
para tempos longos, com base nessa analogia [147].
No nosso caso, conforme já definido em (4.27), a analogia já é outra, porém é
complementar ao trabalho [147]; isto é, temos um análogo de “ponto crítico”
0 p , que ocorreria para p ou 0pN , já que 11 pp Nr ; o que
significa tempos muito curtos ou início de crescimento da cadeia, quando ainda temos
poucos monômeros (N pequeno).
A vantagem dessa construção (relação 4.27) reside no fato de que podemos
estudar o sistema em duas “fases estruturais”. Podemos pensar numa “fase”
puramente desordenada (difusiva) de monômeros, antes do momento inicial que
ordena o crescimento da cadeia; depois a “fase” ordenada de crescimento, que se
inicia no “ponto crítico” ou momento crítico p , quando um dado monômero
semente torna-se o foco ou o ponto de partida para o crescimento.
Tendo estabelecido essa analogia parcial dos polímeros com os fenômenos
críticos, precisamos agora completar o quadro definindo um análogo do parâmetro de
139
ordem para polímeros, que seja compatível ou caracterize as duas “fases estruturais”
que procuramos introduzir na física de crescimento de polímeros. De imediato,
concluímos que o parâmetro de ordem procurado está diretamente relacionado com
um certo número rN p de monômeros ligados em cadeia. Assim sendo, faremos a
seguinte definição:
rN p
adesordenadouocrescimentsemfase
ocrescimentdefasetrn p
"" 0t0r 0
"" 00 (4.32)
É importante lembrar que, no modelo L.G.W, o parâmetro de ordem xM
aparece explicitamente na hamiltoniana L.G.W [8], atuando também como o próprio
campo escalar na hamiltoniana; ou seja, o campo de distribuição xM
(magnetização) é o próprio parâmetro de ordem do modelo. No entanto, o campo de
distribuição r que aparece na equação (4.18) ou (4.19) ou (4.30) ainda não
contém nenhuma informação explícita do “parâmetro de ordem” para polímeros, que
foi definido em (4.32); pois r é apenas interpretado como um certo campo de
correlação ao longo do arco da cadeia.
Portanto, o nosso próximo passo será a elaboração de um novo campo rp
que também inclua a informação essencial do “parâmetro de ordem” definido em
(4.32), preservando as informações já obtidas para o do campo r .Para fazermos
isso, devemos procurar por uma certa implementação na equação (4.18), de tal forma
que sua nova solução pp nr, passe a carregar a informação do “parâmetro de
ordem” pn , que é o parâmetro que mede diretamente o crescimento da cadeia.
Então, se estamos em regime macro Nnp , e queremos incluir a presença
do parâmetro N no termo não-local ‘ 2A ’ da equação (4.22), vamos pensar na
seguinte transformação por translação em , dada para o termo de massa, tal que
tenhamos P N na equação
, sendo rNpp , . Assim sendo, a
equação (4.22) fica modificada para:
0,,
22
2
NrNAdr
rNdp
p, (4.33)
140
sendo 24222 /1/ paCrA .
A solução de (4.33) será da forma
prp eNrN /1, , (4.34)
para regime de tempos longos, quando a cadeia está quase completa, i. é, Lr .
Então, quando fizermos pLr em (4.34), encontramos que NLNp , , que
é o número total de monômeros na cadeia, representando o máximo valor do
“parâmetro de ordem” no crescimento.
Finalmente, vamos escrever uma equação diferencial, de forma a incluir
também o termo de interação ou “reação”.Assim, temos a equação geral abaixo:
0,,,
222
2
rnBnrnAdr
rndppppp
pp, (4.35)
ou simplesmente, escrevemos:
0nABAdr
dp
22pp
22
p2
(4.36)
sendo Nnp 0 .
Como o nosso objetivo se restringe apenas à aplicação do M.T numa ação que
descreva o crescimento de polímeros a partir da equação (4.36), então não
precisamos obter uma solução rnp exata para (4.36). Aqui, vamos enfatizar que
devemos apenas nos restringir em obter para dois casos limites:
a): início do crescimento da cadeia 0pn ;
b): regime próximo ao final do crescimento do polímero Nnp .
Nosso próximo passo será a busca de um novo termo que seja equivalente ao
termo de crescimento 'nA' p2 na equação (4.36), e que seja dependente de p .
Assim sendo, a equação (4.36) apresentaria a seguinte forma equivalente:
141
0222
2
ppppp HFBA
dr
d (4.37)
onde p2
pp nAHF , sendo H uma constante. ppF é uma certa função de p .
Para obtermos ppF que esteja em pé-de-igualdade com pn , representando
também o crescimento da cadeia, então, vamos retornar ao início dessa seção
(equação 4.10), onde encontramos o termo ‘L
h ’ na equação de movimento para
reações 0 BA em regime estacionário.
Acontece que, quando aplicamos o M.T nesse termo da ação, para reações
0 BA [109], tínhamos obtido que 2/~ d
LL [109], significando que, para
tempos muito longos Lt , , a concentração média 0L
. Em virtude
disto, o nosso interesse era estudar a equação (4.10) para reações em regime
assintótico L , o que nos levou à equação (4.11). A partir daí, procuramos, de
uma maneira heurística, ampliar a solução de (4.11), de forma a incorporar outros
ingredientes, até chegar numa equação diferencial que expresse pelo menos em parte
o crescimento de uma cadeia de polímero, apresentando não-localidade nas
interações, e inclusive o parâmetro Nnp em regime assintótico na cadeia
recíproco espaço num 0Lou L p . Assim, devemos perceber que o regime
assintótico para polímeros é dado numa escala recíproca 1p L~L , comportando-se
de maneira inversa ao regime assintótico para reações; i. é, NrNnpp ,
(grande) para t , enquanto que 0 x para tempos longos t nas
reações. Em vista disto, o mesmo comportamento inverso deve ocorrer para o termo
de segregação ‘L
h ’, quando o valor médio passa a ser obtido numa escala
inversa (recíproca) 1~ LLp . Fazendo tal inversão de escala, vamos escrever as
seguintes transformações:
1p L~LL ;
p ;
142
p1 LpLpL
,
sendo 2/2/1~1
dd
Lp LL
; ou então, escrevemos 2/~ dpLp L
p
.
Com isso, teremos a seguinte transformação para uma espécie de espaço
recíproco: pLp
para
Lhh . Em regime assintótico (tempos longos), ‘
Lh ’
desaparece, enquanto que ‘pLph ’ torna-se muito grande. Embora ‘
pLph ’
mantenha a mesma forma do termo de segregação ‘L
h ’ [109] para reações do tipo
0 BA [109], pLph , por estar num espaço recíproco, representaria um
crescimento, dado através do encadeamento de pn monômeros com o passar do
tempo.
O crescimento de polímero não se estabelece por um ‘Random Walk’ (RW) de
N passos. Na verdade, trata-se de um crescimento através de uma caminhada com
memória, isto é, um ‘Self avoiding Walking’ (SAW) [147, 148, 149, 150]. No SAW, a
partícula não pode mais visitar aquele sítio anterior que ela já visitou; por isto, ela
apresenta memória, gerando vínculo para seu movimento, e portanto um volume
excluído [151].
Os polímeros pertencem à classe de universalidade dos ‘SAWs’ 4cd [152];
e isso sugeriu o uso de métodos de renormalização e de teoria de campos para
estudar o problema do volume excluído [152]. Um polímero em crescimento é
caracterizado pelo SAW, pois, cada sítio já sendo ocupado, não poderá ser ocupado
novamente pela partícula, restringindo seu movimento. Em outras palavras, quando
um dado monômero (A) entra na cadeia (B), ele passa a ocupar um espaço, onde não
se permite mais a entrada de outro monômero. Isto significa que o monômero A só
entra ou se liga na ponta final da cadeia B. É como se fosse uma “reação” do tipo
BBA , sendo B sempre uma cadeia linear resultante de pn monômeros A, isto é,
AnB p .
É importante notar que essa interação (ligação) de A (monômero) + B (cadeia)
B (cadeia), embora seja não-local, pelo fato de B apresentar extensão (cadeia,
143
corda), se comporta de maneira similar à segregação na reação 0 BA , no
sentido de que A só interage com B, não podendo haver interação de A com A e nem
se quer de B com B. De fato, no caso BBA , o monômero livre no espaço (A) só
pode ser capturado pela cadeia (B) em formação, não sendo possível a interação de
dois monômeros livres (A com A) e nem se quer da cadeia (B) com ela mesma (B com
B). Agora, começamos a perceber que a impossibilidade de haver a interação B com B
significa a impossibilidade da cadeia (ponta da cadeia) “morder” a si mesma. Logo, do
ponto de vista da caminhada, tal impossibilidade (restrição) cria uma memória no
processo de crescimento, portanto corresponde ao SAW.
Concluímos que, enquanto o termo ‘L
h ’ introduz segregação [109] para
caracterizar a reação 0 BA , com dimensão crítica superior 4cd , o termo
‘pLph ’, embora esteja associado a um certo crescimento no espaço recíproco,
introduz também restrições um tanto similares à segregação, mas que, estando na
escala recíproca 1~ LLp , se transforma numa reação de crescimento do tipo
BBA (cadeia), regido agora por uma nova restrição do tipo SAW. E de fato,
sabe-se que o SAW apresenta 4cd [147], [153], pois, para altas dimensionalidades
4d , os RWs e os SAWs tornam-se indistinguíveis [147], já que a memória no
SAW vai enfraquecendo com aumento da dimensionalidade (regime tipo campo médio
para 4d ). O mesmo acontece para 0 BA quando 4d , pois o aumento da
dimensionalidade enfraquece (quebra) a segregação. Logo, concluímos que a
restrição do SAW 4dc ocorre numa escala recíproca ao da restrição para a
segregação 4dc .
O fato de que o SAW apresente 4cd permite que tomemos emprestado das
reações 0 BA o termo da forma ‘L
h ’ ( 4cd ) [109], porém representado num
espaço recíproco(pLph ), tal que caracterize o crescimento da cadeia BBA .
Como ‘pLp ’ caracteriza o crescimento da cadeia, ele está diretamente
ligado ao “parâmetro de ordem” pn de crescimento. Assim, vamos pensar que
144
ppLppPara
p2 HFhnA , sendo Hh (constante) e
pLpppF , que
é a função de crescimento (SAW) procurada para a equação (4.37). Logo, finalmente,
fazendo esta substituição em (4.37), obtemos a seguinte equação equivalente para o
crescimento da cadeia:
0222
2
pLpppp hBA
dr
d. (4.38)
Sabemos que pp LrA 2 e pLuB , sendo ppL ; logo, escrevemos
que
022
2
pLppppppp hLuLr
dr
d . (4.39)
Finalmente, a integral de ação obtida para a equação (4.39) no volume
recíproco é a seguinte:
dpL pLpp
3pp
2ppp
2ppp
dLp hLu
3
1Lr
2
1
2
1rdF , (4.40)
onde r/CarrL;RR 2pp
dFp , sendo p
dp
dp VL (volume de
coerência para o nosso modelo), e ppd dVrd .
4.3 O M.T aplicado na ação obtida para crescimento de cadeias de polímeros.
Nessa seção, vamos aplicar o M.T na ação que elaboramos na seção anterior
para descrever o crescimento de polímeros. Assim, vamos reescrever a ação da
seguinte forma:
pV
pLpp3pp
2ppp
2ppp hLu
3
1Lr
2
1
2
1dVF , (4.41)
145
sendo dFP
dPp RR;LV , que é o parâmetro de sintonia do modelo. FR é o raio
de Flory [142], e R é o raio variável (rolante) subtraído do raio de Flory.
Aplicando a 1ª prescrição do M.T em cada termo de F , vem:
1º termo: dpL
p2
pp .1~dV (4.42)
Sabendo que 22p
1
L2
Lp
2p L~L
, então, como a nossa análise
dimensional é dada na escala recíproca pL , de (4.42), obtemos que
dpLp
dpLpp LLL
pp
2222 ~1~ . (4.43)
2º termo: dpL
p2ppp 1~dVLr . (4.44)
De (4.44), vem:
1~2 dpLppp LLr
p
. (4.45)
Introduzindo (4.43) em (4.45), obtemos:
1~2ppp LLr ,
ou
1~r 2ppp . (4.46)
De (4.46), vem: 222 ~ mAr ppp , que é exatamente o coeficiente do
termo de massa (não-local), que aparece na equação (4.38) ou (4.39). Também,
podemos escrever que 2/1p
2/1pp r~ .
3º termo: dpL
p3pp 1~dVLu . (4.47)
146
De (4.47), vem:
1~3 dpLpp LLu
p
. (4.48)
Em analogia com as reações químicas, vamos escrever: ppp 23 .
Este desacoplamento já foi justificado [109] pelo fato das interações (entre A e B)
serem da forma bilinear.
Com base no desacoplamento já justificado [109], vamos escrever (4.48) da
seguinte forma:
1~2 dpLpLpp LLu
pp
. (4.49)
De (4.43), já sabemos que dpLp L
p
22 ~ ; mas ainda não sabemos pLp ,
que pode ser obtido quando aplicamos a 1ª prescrição do M.T no 4º termo da ação
(4.41).
4º termo:
dp
pL
ppLp 1~dVh . (4.50)
Fazendo 1h por conveniência, de (4.50), obtemos
2/2~1~ d
pLpdpLp LL
pp
. (4.51)
Introduzindo (4.43) e (4.51) em (4.49), vem:
2/422/ ~1~ dppp
dpp LLuLLLu . (4.52)
Considerando a 2ª prescrição de Thompson (condição para campo médio) em
(4.52), devemos ter teC~Lu p para 4d , sendo 4dc nesse modelo. Assim, com
base na 2ª prescrição do M.T, vamos escrever:
4d 1
4d L~Lu
2/4dp
p . (4.53)
147
De (4.46), obtemos 2/1p
2/1pp r~ . Então, se definimos 2/1
pFp r ,
podemos escrever 2/1pFpp ~ . Na verdade, iremos mostrar que Fp apresenta
dependência com a dimensionalidade (d) do sistema. A presença de flutuações (SAW)
existirá somente em regime fora do campo médio 4d ; sendo que, no caso do
regime clássico de campo médio 4d , teremos teC~Fp , de tal forma que
2/1p teC~ para 4d , ou seja, esse é o caso de uma cadeia ideal 4d [142].
Sabe-se que esse regime clássico é descrito pela distribuição gaussiana
[142,147], pois o regime clássico é gaussiano. Do ponto de vista do G.R, dizemos que
tal regime é regido pelo ponto fixo gaussiano [147], pois pertence à classe de
universalidade dos modelos gaussianos [147] 2/1 .
4.3.1 Flutuação f na ação para polímeros.
Sabemos do capítulo 1 (seção 1.2), onde tratamos de fenômenos críticos
(modelo L.G.W) pela aplicação do M.T [8], que a 3ª prescrição do M.T dizia que
1~f dL , sendo f uma flutuação na densidade de energia livre, enquanto L estaria
associado ao alcance das flutuações, que está relacionado com o comprimento de
correlação e com a dimensionalidade (d) do sistema.
Aqui, no caso de polímeros, embora a situação física seja outra, o
escalonamento para a 3ª prescrição do M.T mantém a mesma forma; isto é, vamos
escrever que
2/dp
dFp
dFp r~~fou ,1~f
. (4.54)
‘ f ’ representa a flutuação da ação F, elaborada para o crescimento de uma
cadeia linear de polímero. Assim, ‘ f ’ representa flutuações na energia livre durante o
crescimento da cadeia. Fp vai depender diretamente de p e da dimensionalidade (d)
do sistema, no qual a cadeia está embebida.
Para podermos interpretar (4.54), vamos fazer as seguintes considerações:
148
Se 0fFpp ; ou seja, não há custo em energia para
aumentar o alcance p e Fp , pois p praticamente já diverge, significando que as
interações são fortes (início do crescimento da cadeia); e portanto qualquer monômero
no espaço circundante, num raio infinito p em relação à origem ou semente,
tem grande probabilidade de ser capturado ou se ligar ao monômero inicial (semente).
Como tal probabilidade é grande, temos um curto período de rápido crescimento da
cadeia, pois com o passar do tempo, essa probabilidade vai caindo.
Se f00 Fpp . Devido às intensas flutuações na densidade
de energia livre (ação), o alcance das correlações vai a zero (regime de alta
flexibilidade da cadeia), significando fracas interações entre o monômero semente e os
últimos que entram na cadeia (final do crescimento da cadeia). Portanto, também
podemos dizer que, somente monômeros no espaço circundante numa distância
praticamente nula 0p a partir da ponta final (B) da cadeia teriam probabilidade
grande de serem capturados; ou em outras palavras, a probabilidade de um
monômero mais distante ser capturado pela ponta final (B) da cadeia fica praticamente
nula quando 0p (regime macro). Por isso, a cadeia tende a parar de crescer,
alcançando um tamanho limite.
De forma análoga ao que foi feito no modelo L.G.W [8], consideramos aqui a
seguinte relação:
1~fLu
LrF
p
p . (4.55)
A relação (4.55) é válida desde que tenhamos
Vp
pLpp2ppppppppppp hLr
3
1Lr
2
1
2
1dVf (4.56)
149
Assim, para que (4.56) satisfaça (4.55), devemos ter p
p
pp Lu
Lr ,onde
definimos
p
p
p
pFp u
r
Lu
Lr
. Logo, podemos escrever que FPpp / , que é o
análogo para o caso ‘ 222 / LMMm ’ do modelo L.G.W [8], onde m representa uma
flutuação na densidade de magnetização, conforme a definição de Thompson [8].
Portanto, p representaria uma flutuação do campo p , que é responsável pela
flutuação na ação ( f ), tal que pff . Substituindo (4.54) em (4.55) e dado (4.53),
obtemos:
.4d 1
;4d L~Lr2d
4d
pp (4.57).
Sendo ppL , então, finalmente,substituindo (4.57) em (4.46), obtemos
1~.~r 2p
2d/4dpp
2ppp ,
de onde tiramos que
d3/2dpp ~ . (4.58)
Dado que dFp RR , então, substituindo em (4.58), vem que
3/2dFp RR~ . (4.59)
Já sabemos que pp ~ , e que, ao ser comparado com (4.58) fornece
dd 3/2 , sendo um análogo para o expoente crítico do comprimento de
correlação. Isso acontece para o regime micro ou início do crescimento da cadeia,
150
quando FRR (“ponto crítico”), e conseqüentemente p , com expoente
d
dd
3
2 . Se 2/14 d , que é o expoente clássico já esperado.
De (4.59), podemos obter um outro expoente, dado no regime macro da cadeia
ou final do crescimento do polímero. Trata-se portanto do expoente F ou expoente
de Flory [142], [147]. Mas, antes disso, vamos lembrar que p1
p1
p nrnr ,
sendo pn (“parâmetro de ordem”) o número de monômeros para um dado arco r da
cadeia. Quando NnLrr p.max , que é o número total de monômeros na
cadeia em regime macro. Assim, podemos escrever (4.59) da seguinte maneira:
3/2dF
1pp RR~n~ , (4.60)
ou então,
3/2~ dFp RRn . (4.60a)
No regime macro, temos que 0R e Nn p .Assim, aplicando esta condição
limite em (4.60a), finalmente obtemos:
2/3~ dF NR . (4.61)
Sendo FNRF~ [142], então obtemos 2/3 dF , que é exatamente o
expoente de Flory [147] [142].
Para 4d , devemos obter 2/1F (campo médio, cadeia ideal). Logo,
vamos escrever que;
.4 ,2/1
;41 ,2/3
d
ddF (4.62)
Analisando (4.62), observamos que, para 1d , o SAW é rígido (memória
infinita), sendo que 1F . Obviamente, observamos que F decresce enquanto a
dimensionalidade (d) do sistema cresce, já que o vínculo (memória) do SAW torna-se
151
menos relevante. Então, é de se esperar que, em altas dimensionalidades ( 4d ), o
SAW e o RW não podem ser distinguidos.
Os resultados que obtivemos em (4.62) são exatos para 2,1d e para 4d .
No entanto, para 6,03 Fd , temos um resultado muito próximo aos melhores
resultados do G.R em 3d [147] [154], e aos resultados provenientes de outras
técnicas [154], inclusive técnicas numéricas [155,156].
A maior novidade obtida até agora com a aplicação do M.T em polímeros foi a
obtenção de um expoente “crítico” de comprimento de correlação , dado em regime
micro (início do crescimento da cadeia). E o mais interessante ainda é que podemos
relacionar (regime micro) com F (regime macro ou final do crescimento da
cadeia). Assim, com base em (4.58) e (4.61), obtemos a seguinte relação entre
expoentes:
1 dvF , (4.63)
onde ddv 3/2 .
4.4 Obtenção do expoente de Fisher .
Antes de procurarmos obter o expoente de Fisher , vamos definir seu
significado com base na literatura [142]. Para isso, devemos ter em mente a função de
distribuição de probabilidade xP [142] ou tP [142] para o crescimento da cadeia
de polímero, sendo tx , que é o tempo medido durante o crescimento da cadeia, tal
que pnt .
O comportamento típico da probabilidade xP é mostrado na figura 10:
152
P(x)
gx
exp x
x0
Figura 10: Gráfico da probabilidade de crescimento xP com o tempo x~t numa
cadeia de polímero. Extraída da referência [142], p. 40.
Observamos na figura acima que, para tempos grandes, a probabilidade
xxP exp~ . Este decaimento exponencial vem do fato de que a cadeia começa
a perder a capacidade de atrair monômeros da solução, pois 0p nesse regime. O
expoente de Fisher nos dá exatamente a maneira (a rapidez) com que a função
exponencial para a probabilidade cai para tempos longos. Já, o expoente g para
tempos curtos, que é o chamado expoente de crescimento da probabilidade de
absorver monômeros, será obtido na próxima seção.
Para tempos longos, tínhamos obtido uma aproximação dada pela equação
diferencial (4.22), cuja solução era um campo de correlação p/re~r . Então,
podemos pensar que essa função de decaimento exponencial mede também a
probabilidade da cadeia absorver monômeros para x . Logo, podemos escrever
que
px rxxP /exp~explim , (4.64)
sendo tx . Na verdade, x representa uma grandeza adimensional, que é definida
da seguinte forma:
153
FR
rx
' , onde 'r representa uma distância ou módulo de um vetor posição
''' rrr , que dá a posição de um ésimon p monômero na cadeia em relação a
sua origem. Portanto, 'r não é medido ao longo do arco r da cadeia rr ' , embora
r e 'r estejam relacionados. FR pode ser entendido como uma raiz de um desvio
médio quadrático, i. é, FF tNrRF ~~'
2/12 , obtido para tempos longos [142].
Tendo em vista que FRrx /' , vamos escrever que
pF
r
R
'r
ee
, (4.65)
onde consideramos a equivalência entre essas duas funções para tempos muito
longos. Acontece que, para tempos muitos longos, sendo a cadeia muito grande,
porém finita; então devemos considerar um valor mínimo muito pequeno (não-nulo)
para .minPp quando t . Logo, sabendo que 1ppn , então, teremos
1.max ~ PmiP Nn no limite t . Com isso, vamos reescrever (4.65) da seguinte
maneira:
0e~ee minPF /rNrR
'r
, (4.66)
onde nos fornece o grau de rapidez do decaimento da probabilidade da cadeia
capturar monômeros em tempos longos. A relação (4.66) será o nosso ponto de
partida para estimarmos o expoente ; no entanto, ela é ainda insuficiente para tal
estimativa. Portanto, precisamos de mais uma informação, que será obtida a partir de
FR , sendo FvF NR ~ . Assim, multiplicando ambos os membros deste escalonamento
por minP , obtemos o seguinte:
1vv1vminPFminP
FFF NNN~N~R . (4.67)
De (4.67), obtemos que
154
Fv1
1
FminP R
1~N
. (4.68)
Introduzindo (4.68) em (4.66), obtemos:
1F1
F P F
r 1
R Rmin
'exp. exp.
(4.69)
A identidade (4.69) implica nas duas igualdades seguintes:
F
F
F
11 1
P
1i
1
rii r Nr Nr /
min
) :
) : ' ~ ~ ,
(4.70)
sendo 81
r'r .
Em (4.70), a 1ª relação (i) fornece exatamente o expoente de Fisher [142].
Então, sabendo que 2/3 dvF , e substituindo Fv em (i), obtemos
4d1 ,
1d
2dd
. (4.71)
Em (4.70), a 2ª relação (ii) fornece basicamente uma mudança na escala de
medida r para 'r e vice-versa, onde temos: 1
r'r~x~t . Então, também podemos
escrever que 2d/1dr'r .
4.5 Obtenção do expoente de crescimento ( g )
O expoente de crescimento g fornece o aumento da taxa de probabilidade da
cadeia capturar monômeros com o passar do tempo; isto é, gxxP ~ . No entanto, é
importante ressaltar que esta taxa de crescimento ( g ) é obtida somente nos instantes
iniciais do crescimento da cadeia (regime micro); ou então, nas proximidades do
“ponto crítico” de transição estrutural p , de acordo com aquela analogia
estabelecida com o modelo L.G.W.
155
Sabemos que o campo de correlação r , dado no início do crescimento da
cadeia é da forma 2~ rr . Como este campo apresenta uma derivada negativa
32~ r
dr
d, enquanto que, por outro lado, a probabilidade de crescimento é
sempre uma função crescente (derivada positiva), então, podemos notar que deve
haver uma relação entre r e um certo campo de distribuição de probabilidade rP
crescente, que será definida da seguinte maneira:
''
1 ~~ gg
rrdr
drP
, (4.72)
sendo 'g um certo expoente de ajuste que fornece a taxa de crescimento para rP .
Em princípio, gg ' , embora seja correto afirmar que 'g e g [142] estejam
relacionados entre si de alguma maneira.
Paralelamente ao que foi definido em (4.72), vamos trazer outras informações
implícitas no modelo, no que diz respeito à probabilidade de crescimento P . Já é bem
sabido que o volume de correlação dp é divergente no início de crescimento do
polímero. À medida que a cadeia cresce, dp diminui, indo a zero para tempos longos.
Cada posição r ao longo do arco da cadeia está associada a um volume dp , num
análogo de espaço recíproco, que apresenta a mesma dimensionalidade (d) do
espaço real no qual a cadeia está embebida. Então, quando 0 tdp , qualquer
monômero dentro de um raio de alcance infinito tem toda chance de ser capturado
pela origem da cadeia (semente). Assim vamos pensar na probabilidade de
crescimento P como uma certa função de dp a ser estimada, i. é,
pdp VPPP (4.73).
Para estimarmos dpP , precisamos ainda de novas informações para
compararmos com (4.73) e daí obtermos a função P .
156
Sabemos que, para tempo muito curto, temos 2AB , prevalecendo o
coeficiente pp uLuB na equação diferencial. pu representa a taxa de
reação (interação) dada pelo acoplamento (ligação) de cada monômero na cadeia em
crescimento BBA . Assim sendo, vamos pensar que a taxa de interação pu
forneça uma taxa de probabilidade de crescimento da cadeia por dimensão do espaço;
isto é, vamos escrever o seguinte:
2/42/4 ~~ dp
dppF nuP ,
ou melhor,
. 4 teC1
;4 , ~
2/4
médiocampod
duP
dp
pF
(4.74)
Para d-dimensões, devemos aumentar os graus de liberdade para o
crescimento da cadeia, de tal forma que precisamos definir uma probabilidade P dada
da seguinte maneira:
4 teC1
;4 , ~
2/4
médiocampod
duPP
ddpd
pd
F
(4.75)
Agora, observamos que a probabilidade P dada em (4.75) é de fato uma
função de pdp V , sendo d
pPP , o que está em acordo com a função dpP
dada em (4.73). Em outras palavras, dizemos que (4.75) é consistente com (4.73);
portanto, vamos pensar que (4.75) seja a função esperada para descrever P em
(4.73), sendo 2/4~
ddp
dpP .
Tendo em vista que 1~ pp n , então vamos escrever que:
2/4~ ddpnP (4.76)
157
Por outro lado, já sabemos de (4.58) que ddpppn 3/21 ~~ , de onde tiramos
que:
ddppn 3/2~ . (4.77)
substituindo (4.77) em (4.76), obtemos
6
42
~dd
pP
. (4.78)
Finalmente, sabendo que 'rtVRRx dFp , sendo
2d/1d/1 rr'r (rel. (ii) em 4.70); então, introduzindo esta transformação em
(4.78), obtemos que:
6
41
~dd
rrPP
. (4.79)
É importante observarmos que a função (4.79) tem a mesma forma da função
(4.72) para a distribuição de probabilidade rP , desde que tenhamos
6
14´
ddg . Logo, obtivemos um certo expoente de crescimento `g , tal que
`~ grP . No entanto, em princípio, queremos obter o expoente g [142], tal que
gg txP ~~ [142].
Na verdade, como o expoente g é obtido num tempo extremamente pequeno
0ou ,0 xt , então `g também é obtido quando 0r . Logo, em virtude desse
limite (instantes iniciais do crescimento da cadeia), podemos dizer de maneira
aproximada que 0 rx ; e conseqüentemente, se tivermos que `gg rx quando
0t , concluímos que `gg . Assim, podemos escrever:
6
14
dddgg . (4.80)
158
Aqui, em (4.80), a novidade é que obtivemos uma função analítica para g , isto
é, uma função da dimensionalidade dg sendo 41 d .
A função dg para o expoente de crescimento está ilustrada na figura abaixo:
g
1/3
g máx gmáx =8
3 para d=2,5 (dimensão
Fractal).
1 2 2,5 3 4 d
3/8
Figura 11: Função g(d) para o expoente de crescimento de uma cadeia de polímero.
Observa-se que, quando ;0g1d 1 0g4d 4 (regime clássico ou
campo médio). Quando 3/13 3 gd , que concorda com a literatura [142].
Para 3/1g2d 2 . Com isso, observamos que o gráfico da figura 11
revela uma simetria; ou seja, os valores de g para o intervalo 5,2d1 repetem no
intervalo `4d5,2´ , de mesmo tamanho 5,1d . Portanto, existe um valor
máximo para maxgg , que é 83
max g dado em 5,2d (dimensão fractal), que é o
ponto de máximo no gráfico da figura 11. É importante salientar que este resultado
encontrado para [eq. (4.80)] não é exato, e pode ser que a simetria encontrada seja
devido a uma deficiência do método.
Finalmente, tendo em vista que obtivemos 1d
2dd
(expoente de Fisher
para tempos longos) e 6
1dd4dg
(expoente de crescimento para tempo
159
curto), dados de maneira analítica, em função da dimensionalidade (d) do sistema;
então, também podemos encontrar uma importante relação de escala entre os dois
expoentes g e , relacionando diretamente o comportamento de regime micro (início
do crescimento g ) com o macro regime da cadeia (final do crescimento ). Para
isso, primeiramente, vamos obter d a partir de (4.71), a saber:
1
2dd
. (4.81)
Introduzindo (4.81) em (4.80) e efetuando os cálculos, vamos obter g , isto é,
21
2
2
3gg
, (4.82)
ou então,
0231g2 2 (4.83)
A relação (4.82) ou (4.83) representa uma novidade, pois estabelece de forma
original a relação entre o comportamento inicial e final da cadeia de polímero e foi
obtida pelo professor Valery Kokshenev.
4.6 Apêndice
A 3a prescrição de Thompson estabelece que ,1~pdFf sendo
.4d C1r
te
2d2
d4
p2
1
pFp
4.d (4.84)
Pela relação (4.84), observamos que pF mede flutuações para p , sendo
que, para 4d ou dimensão crítica superior de campo médio, teFp C é . Isto significa
a ausência de flutuações no crescimento da cadeia (g=0 em d=4). Então, podemos
pensar que o crescimento de uma cadeia (g0) se deve, no fundo, à presença de
160
flutuações, quando F não é constante; isto é, ,4)2(2
)4(
dd
d
pFp ou então,
.)2(2
)4(
d
d
pFp LL
Pela relação (4.51) tínhamos:
.~ou ~ 22d
pp
d
pLppp
L
Dado que ,~ 3
)2(
d
d
pp
então vem:
p
d
p Lppp
~~6
)2(
. (4.85)
Assim, pensamos que
?~~ 22 d
Fp
d
FpLp LpF
(4.86)
Substituindo (4.84) em (4.86), obtemos:
.~~~12
)4()2(4
)4(
12
)4( dd
dd
pFpFp
d
pppLp
(4.87)
Em suma temos:
a)
.4
;4~6
)2(
d
d
p
pp
d
p
b)
FP
4 d
6P
P0 teC d 4
d 4;~ .
Facilmente podemos relacionar (a) com (b): ,)2(2
)4(
d
d
F pp
pp
sendo
161
)2(2
)4(00)2(2
)4(
d
dppFp
d
d
(expoente que transforma as escalas de
correlação p para as escalas pF ). Então, escrevemos .0
ppFp
Dividindo (b) por (a) vem:
FP
P
d4P
P1
P P d 4
d 4;~ ,
(4.88)
onde dFp RR .
Quando t , (4.88) fica da seguinte forma:
401
41
~
2
4
2
dN
d
Nd
p
p F
p
F
(4.89)
Neste caso, como N é grande para t grande, então vem:
,0ou
p
Fp
pFpp
p
pp
o que significa que as flutuações durante o crescimento tornam-se insignificantes para
t grande (macro-regime). De fato, como a probabilidade está associada às flutuações,
então no regime de t grande, o crescimento ou probabilidade de crescimento tende a
se anular, pois 0pFp
pp .
Quando t é bem curto, vem: ,pp
Fp
predominando as flutuações,
pois FP . A existência de tais flutuações é responsável pelo crescimento rápido
da cadeia; portanto vem g~ rP para t muito pequeno.
162
Sabemos que 1. t para B~ d dpuP Agora, vamos mostrar que
podemos definir P da seguinte forma alternativa:
,~][~2
d
FpdF
Fp
p V
NNP
FpNP (4.90)
sendo dFpFp
V ~ está associado às flutuações no volume de coerência dp sendo
2d2
d4d
pd
pdFp
FpN está associado às flutuações no número de monômeros para
um certo volume de coerência. )( FpNP é uma densidade flutuante, que é devido às
flutuações fora do regime de campo médio ),4( cdd i é, .)(Fp
V
NN Fp
Fp
P
Sabemos que:
d
d
pFppdFp
dFpp NN
d
Fp
6
)4(2
~~~~6
)4(
. (4.91)
Assim, temos:
.~6
)4)(1(
)(
d
dd
F pd
FpFpdFp
Fp
pN NN
P (4.92)
Substituindo (4.92) e (4.91) em (4.90) vem:
.~6
)2( )4(
dd
Fp pd
NFpNP P (4.93)
Sendo ,~ 11Frrtp
e substituindo em (4.93), obtemos:
6
)1)(4(~ 6
)1)(4()2(
)1(
6
)2)(4(
ddgrrP
ddd
ddd
. (4.94)
Assim, fica fácil verificar que .~ dNFp
dp Fp
NuP P
Também, podemos escrever que
163
d4
p
)2d(2
)2d(2
)d4(
p
)2d(2p
d2
p
d/2
p
d/2
pd
NFp
pp
FpFpFpFpFp
][~PN~P
P
onde
,41
;4~~
2
)4(4
d
dnP
dd
p
d
pp (4.95)
para tempos muito curtos no crescimento da cadeia. Observamos que (4.95) é uma
outra forma alternativa de escrever a probabilidade de crescimento (P). Então, em
suma temos d
pd
NFpd
pp
FpPNuP
4~
.
4.7 Conclusões
A aplicação do M.T na ação elaborada para crescimento de polímero permitiu a
obtenção do expoente de Flory F , sendo 4d2d
3F
e 4d
2
1F (regime
de campo médio ou cadeia ideal). Obtivemos também
4d,d3
2d
e
4d,2
1 que é um análogo do expoente crítico do comprimento de correlação,
obtido quando P P P~ , nos instantes iniciais do crescimento da cadeia. Com
isso, estabelecemos a seguinte relação: 1F d .
Em segundo lugar, obtivemos o expoente de Fisher para tempos longos
1d
2d
1
1
FF
, e finalmente fomos capazes de obter de forma analítica o
expoente de crescimento 6
1dd4dg
. Assim sendo, relacionamos g com ,
através da função 21
2
2
3g
, que é um resultado novo. Em suma, como já
introduzimos um novo expoente do comprimento de correlação P para tempo
muito curto, ficamos basicamente com 2 pares de expoentes; isto é, o 1o par de
expoentes e g para instantes iniciais do crescimento, e o 2o par de expoentes F e
164
para os instantes finais do crescimento da cadeia. Logo, vamos fazer a seguinte
tabela resumida:
0t t
a)
d3
2d c) 2d
3F
b)
6
1dd4g
d)
1d
2d
Concluímos finalmente que, tendo formado um quadro completo de 4
expoentes (a, b, c e d da tabela), podemos obter relações das mais diversas entre
eles: a com c, a com b, a com d; b com c; b com d; c com d. Então, temos
basicamente 6 diferentes relações de escala entre os 4 expoentes na tabela, a saber:
1) a com c: 1
F
3 1d
2
; 2) a com b: 213
1213g
,
3) a com d:
1
2; 4) b com c:
2F
FF
2
1213g
;
5) b com d: 21
2
2
3g
; 6) d com c: FF1 .
De onde temos em comum que:
F
F23
1
2
13
2d
.
O próximo capítulo será dedicado à aplicação do M.T na teoria de campo
escalar 4g .
165
Capitulo 5
5 O método de Thompson aplicado à teoria de campo escalar 4g. .
Introdução
No presente capítulo, vamos usar o Método de Thompson (M.T) para estudar a
teoria de campo escalar 4g , tendo por objetivo obter o comportamento do
acoplamento g dessa teoria com a escala de energia ou comprimento 1~ .
O objetivo é encontrar uma função g que é solução de uma equação diferencial,
denominada equação diferencial do grupo de renormalização (G.R).
Podemos fazer uma analogia entre a teoria escalar - 4g e a mecânica
clássica de um oscilador anarmônico unidimensional, cuja Lagrangeana é a seguinte:
422
x kx2
1
dt
dxm
2
1L
,
sendo 2 41v x kx x
2 a energia potencial desse sistema. Assim, tendo por base
a Lagrangeana t,dt/dx,xL vamos pensar basicamente nas seguintes
transformações:
a)
x,xt,x,x,xtx 321para : campo escalar no espaço 4-D de
Minkovsky;
b) 3
32
21
1u
upara2dt/d , onde o índice “0” está
associado à componente temporal. Introduzindo as transformações “a” e “b” na
Lagrangeana mencionada, vem:
422u
u gm2
1
2
1L ,
onde também pensamos em 2para mk , gpara (acoplamento), fazendo 1m
para o termo cinético do oscilador. Assim sendo, a nova Lagrangeana obtida é de
166
natureza relativística uuu x,,Lt,x,,LL
, cuja equação de movimento
é da forma:
0g4m 32u
u .
Devemos observar que, quando fazemos 0g , a equação de movimento
acima recupera a equação de onda de uma partícula relativística livre, que é chamada
equação de Klein-Gordon: u 2u m 0 .
Na 1ª seção desse capítulo, aplicaremos o M.T (a 1ª prescrição das escalas e
dimensões de Thompson) na Lagrangeana- 4g com o propósito de extrair o
comportamento logarítmico do acoplamento g com a escala de energia. Além disso,
seremos capazes de obter a função 4 da equação diferencial do G.R para essa
teoria, dentro de uma certa aproximação, que, na linguagem de teoria de campo,
equivale à correção em 1´loop` na constante de acoplamento; ou seja, trata-se de uma
aproximação que é boa em regime de energias mais baixas.
As últimas seções serão destinadas a um apêndice e às conclusões, servindo
de motivação para o capítulo seguinte.
5.1 O método de Thompson aplicado à teoria g4.
Consideremos a Lagrangeana da teoria – 4 , dada da seguinte forma já
mencionada:
L(4)= 2
1
2
1 422 gm , (5.1)
sendo .0m2
Vamos tratar os termos da Lagrangeana acima com base numa análise
dimensional de escalas, o que fundamenta a 1ª prescrição do método de Thompson.
Assim, a 1ª prescrição heurística de Thompson será aplicada a cada termo de (5.1)
separadamente. Já sabemos que esta prescrição estabelece que: “Quando
consideramos a integral de (5.1) num volume de coerência ou característico dl em
d-dimensões, o módulo de cada termo integrado separadamente é da ordem da
167
unidade”. Aqui, vamos lembrar que tal prescrição de análise dimensional canônica fica
bem estabelecida nas vizinhanças de um dado ponto fixo da teoria [10], onde exista
uma invariância por transformação de escala. Nesse caso, temos um ponto fixo de
estabilidade infravermelha 0g [10] para energias muito baixas l .
Quando consideramos a integral de cada termo em (5.1) sendo da ordem da
unidade, estamos realmente fazendo uma certa análise dimensional de escalas em
cada termo da lagrangeana. Além disto, estaremos também considerando algumas
médias nas escalas, obtidas separadamente de cada termo integrado na lagrangeana.
Vamos estudar a lagrangeana 4 para o caso particular em 4-d, já que este
corresponde à dimensionalidade do espaço-tempo na teoria da Relatividade. Também,
já é sabido que a teoria 4 é renormalizável justamente em 4d. Então, fazendo d=4
e aplicando a 1a prescrição de Thompson ao 1º termo de (5.1), obtemos:
4
.1~2
1 4
l xxd
(5.2)
Para o 2o termo de (5.1), escrevemos a seguinte integral:
4
,1~2
1 422
l x xdm (5.3)
onde supomos um ‘shift’ m para a massa do elétron. Podemos pensar que m
provém de uma certa interação, já que existe um acoplamento não nulo 0g . Logo,
se tomássemos g=0, então teríamos m=0. Assim, quando 0 l , teríamos
m 0, o que é de se esperar naturalmente para o regime de grandes comprimentos
de onda (limite do infravermelho).
Aplicando o método de Thompson ao 3o termo de (5.1), vem:
4
,1~44
l x xdg (5.4)
onde ,~~ 11 l sendo a escala de energia e o momento.
168
Agora, vamos considerar que a integral (5.2) seja feita num volume de uma
hiperesfera 4-d com raio l ao invés de um simples hipercubo 4-d com volume 4l .
Logo, podemos escrever a integral (5.2) da seguinte maneira:
4
,1~2
14V r
dV (5.5)
onde temos 2
42
4
lV
, sendo drrdV 32
4 2 , com r variável. 4V é o volume
hiperesférico 4-d. Para um caso geral n-d, temos n
lSV
n
nn , onde
2
n
2S
2/n
n [157].
Vamos introduzir um refinamento para a 1ª prescrição de Thompson, no
sentido de que poderemos encontrar uma maneira de estimar exatamente os valores
daquelas integrais, que são da ordem da unidade.
Quando pensamos a respeito da integral (5.2), observamos que seu integrando
não está numa forma quadrática do tipo 22
, o que é devido à
derivada primeira que aparece entre os dois campos ‘ s ’ no integrando de (5.2),
ou seja, .
O último termo da lagrangeana (5.1) não está numa forma quadrática, estando
numa forma quártica do tipo 4g . Somente o segundo termo de (5.1) apresenta forma
quadrática em , isto é, ‘ 22
2
1m ’.
Como todas as integrais são da ordem da unidade, então, iremos escolher a
forma quadrática para ser o nosso ponto de referência, tendo exatamente o valor
unitário 1 . Assim, teremos a 1a prescrição do método de Thompson, estendida ou
aplicada numa forma em que possamos estimar exatamente o valor de cada integral,
sendo múltiplo da referência unitária estabelecida para a forma quadrática 2 [2o
termo de (1)]. Então, em geral, consideramos a seguinte forma quadrática para ser a
unidade:
169
4 4
2 ,1 V r dVa (5.6)
onde a é uma constante, podendo ser também um dado operador â, que vamos
considerar mais adiante.
A integral em (5.3) obedece à forma (5.6) acima; logo (5.3) também é uma
integral unitária com base no sistema de referência considerado. Conseqüentemente,
os valores para as integrais de escala (5.2) e (5.4) devem ser múltiplos da referência
unitária, dada pela integral (5.6); isto é, (5.2)e (5.4) devem ter valores constantes não
unitários, a serem estimados.
Como (5.3) e (5.6) possuem exatamente a mesma forma, então quando
comparamos as duas integrais, observamos imediatamente que m2
2
1a .
Sabemos que a integral (5.4) não obedece à forma (5.6), já que (5.4) está na
forma -‘ 4 ’. Por isso, devemos fazer uma estimativa para o valor de (5.4), usando
(5.6) como referência unitária. Esta estimativa será feita mais adiante. Antes disso,
procuramos estimar exatamente a integral (5.2) ou (5.5).
Em (5.2), vamos tomar o valor médio na escala l
2 ou .2l Para fazer
isto, devemos considerar drrdV 324 2 e inserir este diferencial de volume em (5.2).
Assim, depois de estimarmos o valor constante para a integral (5.2) (vide apêndice),
escrevemos (5.2) da seguinte forma:
l
rrr drr0
322
2
32 . (5.7)
De (5.7), colocando o valor médio l][ 2 para fora da integral, e aplicando as
duas derivadas r (de escala r ) sobre 3r no integrando, obtemos:
l
l rdr0
22
163
4. (5.8)
Finalmente, de (5.8), obtemos:
170
22
22
4
1
lll . (5.9)
A constante 124
que aparece em (5.9) vem da simetria esférica
considerada para o espaço 4-d.
Com o objetivo de aplicar a prescrição de Thompson ao segundo termo de
(5.1), obtivemos a integral (5.3). No entanto, usando a 1a prescrição de Thompson na
forma refinada, consideramos a forma quadrática 2 em (5.6), sendo exatamente a
unidade, onde tínhamos 2
2
1a m . Logo, escrevemos:
,12
14
22
4
dVm rrV (5.10)
sendo .2 324 drrdV
De (5.10), obtemos:
122
1 32
0
22 drrml
ll . (5.11)
Inserindo (5.9) em (5.11), e resolvendo esta integral, finalmente obtemos:
1222 4,16 lmoulmm lll. (5.12)
Aplicando a 1ª prescrição de Thompson ao último termo de (5.1), tínhamos
obtido que 4
.1~44
l x xdg Agora, o nosso interesse é estimar um valor para esta
integral, mas antes disto, vamos considerar esta integral no volume de uma
hiperesfera 4-d. Então, teremos:
4
,1~44
V r dVg (5.13)
onde drrdV 324 2 e l
lV
2
42
4
é o raio dessa hiperesfera.
171
A fim de estimar a integral (5.13), que apresenta 4 no seu integrando, vamos
nos lembrar que a forma quadrática dada em (5.6) tem um valor unitário:
4
.1 a 42
V r dV Então, baseando-se nesta integral com integrando na forma
quadrática, podemos tentar estimar o valor da integral (5.13). Para fazermos isto,
vamos introduzir a seguinte razão R de integrais:
R =
0
22
0
4
2
1dxxm
dxxg, (5.14)
onde x aqui representa a solução de uma equação diferencial (equação de
movimento) obtida de (5.1) para o caso unidimensional (variável x), já que estamos
supondo um espaço isotrópico, onde temos as mesmas propriedades em qualquer
direção. Assim, por razões de simplicidade, escolhemos x para ser a solução
(uma solução tipo ‘soliton’) de uma equação diferencial obtida de (5.1) num caso
estacionário (tempo fixo), considerando somente a direção x, isto é,
,04" 32 xgxmx sendo ,"
2
2
dx
xdx
onde temos a solução
g
mx
2 sech (mx).
Devemos enfatizar que, na relação (5.14), usamos a função x (campo
x escalar, sendo a solução da equação diferencial) ao invés da quantidade
dimensional de escala para r2 obtida em (5.9).
Assim, se quisermos calcular a integral no denominador de (5.14), devemos
considerar esta integral entre os limites 0 e . Então, escrevemos:
.g
m
4
1mxdmxhsec
g2
m
2
m 3
0
22
(5.15)
Aqui em (5.15) observamos que a integral
0
2 ,1sec duuh onde fizemos
u=mx.
172
Inserindo a solução para x em R (5.14), obtemos:
R =
0
4
0
2
0
4
.secsec
secduuh
duuh
duuh (5.16)
Podemos verificar que a integral
0 0
2 ,sec1
2sec uduh
q
quduh qq para q>2 [160]. Portanto, daí obtemos a
seguinte razão qR :
R(q)=
.1
2
sec
sec
0
2
0
q
q
uduh
uduh
q
q
(5.17)
Para o caso da teoria - 4 , temos 4q . Logo, a razão R dada em (5.16) pode
ser obtida imediatamente de (5.17) quando fazemos 4q , isto é,
R R (4) =
0 0
24 .3
2sec
3
2sec uduhuduh (5.18)
Agora, estamos aptos para estimar a integral dada por (5.13), considerando
(5.18). Assim, vem:
4V 44r
4
3
2RdVg . (5.19)
Na verdade, deveríamos considerar uma igualdade entre as seguintes razões
de integrais abaixo, a fim de estimar melhor a integral dada por (5.13), com base num
exame mais detalhado. Então, consideramos a seguinte igualdade:
,3
2R
uduhsec
uduhsec
dVm2
1
dVg4
0
2
0
4
V 4r22
V 4r4
4
4
(5.20)
onde a integral no denominador do primeiro membro de (5.20) acima foi considerada
unitária, devido à sua forma quadrática, como já foi frisado anteriormente. Portanto,
173
(5.20) e (5.19) e (5.18) se equivalem, já que os denominadores em (5.20) são
unitários.
Com relação ao 3o termo de (5.1), somos então levados à integral dada por
(5.19). Uma 1ª tentativa para avaliar (5.19) seria escrevê-la como um produto de
médias, isto é, um produto das quantidades dimensionais lg , l
4 e .4 lV
Considerando que 4224 ~ lll
e ,~ 44 lV l obtemos de (5.19) que
1~44llg l , o que implica em lg constante, ou seja, uma quantidade que não
apresenta dependência na escala de comprimento l (ou energia ):
~~ 0lgg ll constante.
Devemos considerar que ‘ 4d ’corresponde a um “tipo de dimensão crítica
superior” para a teoria - 4 . Em outras palavras, dizemos que, abaixo de ‘ 4d ’,
flutuações são muito importantes para o problema, e acima de ‘ 4d ’ 4d , uma
descrição de “campo médio” seria boa para o problema. Assim, conclui-se que
exatamente ‘ 4d ’ representa uma dimensão de linha de borda para a teoria - 4 , e
portanto devemos apurar melhor os nossos cálculos a fim de observar a dependência
do acoplamento lg na escala de comprimento l ou de energia .~ 1l Sabemos que
uma situação similar a esta ocorre quando se aplica o método heurístico de Thompson
à QED4 (próximo capítulo) [158], e também quando se trata das reações químicas
limitadas por difusão. (Ver capítulo 3).
Como uma forma de apurar melhor o cálculo de (5.19), vamos tomar a
quantidade 224rr dentro da integral, mantendo a mesma forma que aquela
dada em (5.9), porém, agora com uma dependência na variável r de escala. Assim
sendo, tomando 2
22
224
4
1
rrr
dentro da integral (5.19), escrevemos a
seguinte integral:
l r drrr
g3
2
4
12 3
2
22
2
, (5.21)
174
onde .2 324 drrdV
De (5.21), vem:
l ll lgdrr
g 1ln16
31
16
322
, (5.22)
sendo a notação .ll gg
Quando avaliamos (5.22), tomamos 1 como um ‘cutoff’ inferior na escala l .
Portanto, (5.22) apresenta uma dependência logarítmica na escala de comprimento l
(ou de energia 1 l ).
Por uma questão de simplicidade na notação, vamos fazer lggg ll ,
que representa essencialmente o acoplamento obtido na escala l ou . Assim,
colocando 1 l em (5.22), obtemos:
1
2ln
16
3 g . (5.23)
Diferenciando ambos os lados de (5.23) com respeito à variável , obtemos:
2
216
3g
d
dg
. (5.24)
A equação diferencial (5.24) concorda com aquela que é obtida pelo
procedimento do G.R quando a teoria - 4 é tratada pelo método de perturbação ao
nível de “1 loop”. Devemos observar que obtemos o coeficiente função 224 g
16
3
[159] [161] [162] [163]; no entanto, a novidade aqui é que conseguimos obter este
resultado através de argumentos heurísticos de escalas e dimensões (M.T) [8].
Fazendo a integração de (5.24), considerando os limites e para as
escalas de energia e seus respectivos acoplamentos g( ) e g( ), teremos:
175
002
0
ln16
31
g
gg . (5.25)
Observamos que (5.25) pode ser encontrado na referência [159], usando o
procedimento usual da teoria da perturbação com a técnica de regularização
dimensional para a teoria - 4 .
A relação (5.25) nos fornece a chamada singularidade de Landau, que
corresponde a um valor finito da escala de energia ( L ), onde Lg , sendo
01
2
0 3
16.exp gL . (5.26)
Somos levados a pensar que, nas escalas de energias mais altas, a equação
(5.24) e sua solução (5.25) devem ser modificadas a fim de se deslocar a
singularidade de Landau para uma escala de energia maior que L . No esquema
usual dos cálculos perturbativos, isso é feito, considerando-se a teoria além do nível
de 1 loop [161] [162]. Assim, estaríamos pensando num limite onde a teoria
perturbativa começa a perder a sua validade (acoplamento forte). Um artigo recente de
I.M. Suslov [163] trata de uma teoria -n qualquer no esquema de expansão não-
perturbativa para todas as ordens em g (g grande), e depois aplica esta idéia na
obtenção da função (g) da teoria – 4 para o caso de g grande (acoplamento forte),
considerando todas as ordens.
5.2 Conclusões.
Nesse capítulo, o método de Thompson, que poderia ser considerado uma
maneira alternativa simples ao G.R, foi aplicado para estudar a teoria de campo
escalar 4 .
Aplicamos a 1ª prescrição das dimensões de Thompson para cada termo da
Lagrangeana- 4g , mantendo a ordem da unidade para cada termo integrado
separadamente num volume de escala em 4-D. Além do mais, fomos capazes de
estimar o valor exato de cada integral, usando argumentos adicionais fundamentados
no próprio modelo estudado. Logo, obtivemos finalmente o comportamento do
176
acoplamento g em 4-D, representado pela função 4 do grupo de renormalização,
isto é, 224 g
16
3
d
dg
. A função 4 foi obtida numa 1ª aproximação pela
aplicação direta do método, o que representa a correção de 1 loop para o acoplamento
g dada pelo método perturbativo em teoria de campo; ou seja, uma aproximação para
g muito pequeno (escalas de energias mais baixas).
Tendo em vista o relativo sucesso do M.T no tratamento de teoria de campo
escalar, então, no próximo capítulo, estaremos motivados a explorar o M.T no estudo
da 4QED ou Eletrodinâmica Quântica em 4-D, onde há campo fermiônico e sua
interação com o campo eletromagnético através do acoplamento , que
corresponde à carga do elétron 2e , variando com a escala de energia.
5.3 Apêndice
Sabemos que a integral (5.2) na seção 5.1 não está numa forma quadrática
2 , devido à derivada primeira ][ que aparece entre os campos .][
s .
Logo, uma primeira forma quadrática mais simples a ser considerada aqui seria
alguma coisa do tipo 2 . Uma segunda forma quadrática já seria 2 .
Obviamente, a diferença entre a primeira e a segunda forma quadrática reside no fato
de que a 1a forma apresenta derivada primeira , enquanto que a 2a, apresenta
derivada segunda . Aqui, estamos interessados na segunda forma quadrática,
pois a integral (5.2) apresenta duas derivadas em seu integrando, embora não esteja
na forma quadrática adequada.
A presença de duas derivadas no 1o termo de (1) caracteriza o comportamento
bosônico na análise dimensional, que é caso de spin 0. Já, no caso do 1o termo da
lagrangeana da QED4 (que será tratada posteriormente) teremos apenas uma única
derivada , o que caracteriza o comportamento fermiônico na análise
dimensional, que é o caso de spin 2
1 (fermions).
Temos a 2a forma quadrática, que pode ser escrita da seguinte maneira:
177
,222
(A. 5.1)
onde
2 . Acabamos de expressar a 2a forma quadrática, de forma a ter
separadamente quatro termos. Logo, vamos fazer uma estimativa para cada termo
separadamente; mas antes disto, devemos pensar no caso mais simples da 1a forma
quadrática, que podemos escrever da seguinte maneira:
.2 (A. 5.2)
Notamos que temos separadamente dois termos idênticos acima. De fato, a 1ª
forma quadrática é mais simples que a segunda (com 4 termos). Conseqüentemente,
já que queremos a forma quadrática 2 para apresentar uma integral unitária; logo,
tomamos a mais simples 21 formaa para ter valor unitário numa análise
dimensional de escala dada pela prescrição de Thompson. Então, primeiramente,
devemos escrever a integral para a 1ª forma quadrática:
4
,142
V rdV (A. 5.3)
sendo que a representação r
2 em (A. 5.3) significa uma análise dimensional na
variável de escala r para ‘ 2 ’. Tal representação é integrada no volume esférico
4D de escala 4V considerado, com raio l . '2' 324 drrdV é a diferencial deste
volume 4-D.
Podemos extrair de (A. 5.3) o valor médio de 2 na escala l ; isto é,
32 ~ ll
. Este resultado representa um comportamento de escala que é similar ao
que seria obtido em QED4 para a amplitude , de onde vem que
3123 2~ lll
para o 1o termo (termo cinético) da lagrangeana da 4QED .
[158]. Portanto, a presença de apenas uma derivada primeira no integrando, como no
caso de (A. 5.3) e no caso da 4QED [158, 159], leva ao mesmo comportamento de
escala 3l , tanto para 2 em (A. 5.3) quanto para l em [159]. Assim,
percebemos que a 1a forma quadrática em (A. 5.3) e em [159] são dimensionalmente
equivalentes na escala l .
178
Da integral (A. 5.3), dado que ,22 então obtemos a seguinte
integral:
4
.2
1 4 V r dV (A. 5.4)
A integral (A. 5.4) será útil para a obtenção da integral para a 2a forma
quadrática associada ao 1o termo da lagrangeana em (5.1). Aqui, temos a derivada
segunda ,2
que caracteriza o comportamento dimensional de escala da
teoria de campo escalar (campos bosônicos). Então, dado que
,22 222 e colocando este resultado numa representação
dimensional na variável de escala r, escrevemos a seguinte integral:
4 4 4
,22 42
4422
V V V rrrdVdVdV (A. 5.5)
onde .2 324 drrdV
A fim de estimar a soma das integrais em (A. 5.5), devemos observar que
temos justamente a derivada primeira de dentro do integrando da 1a integral, no
segundo membro de (A. 5.5). Isto significa que, quando consideramos o
comportamento dimensional de escala de certas quantidades tais como ‘ r
’,
e ‘ r
’, estando todas elas apenas com derivadas primeiras, então podemos
notar que estas quantidades ficam em ‘pé-de-igualdade’ com relação à representação
dimensional na escala. Portanto, concluímos que uma estimativa para a 1a integral no
segundo membro de (A. 5.5) leva ao mesmo valor dado em (A. 5.4). Logo, vamos
escrever que:
4
.2
14V r
dV (A. 5.6)
Seguindo o raciocínio acima, podemos observar que a 2ª integral no 2º
membro de (A. 5.5) apresenta em seu integrando a derivada segunda 2 aplicada
em somente um dos campos s , isto é, .2 Logo, quando pensamos em termos
179
de representação dimensional na escala, estimamos que, desde que a derivada
seja aplicada duas vezes num mesmo campo , ou seja 2 então, um
termo como este apresenta valor ‘2
2
1
’ da escala unitária de referência. Assim,
escrevemos a seguinte integral:
4 4
14
2
V rdV . (A. 5.7)
Finalmente, introduzindo (A. 5.7) e (A. 5.6) em (A. 5.5), podemos estimar (A.
5.5). Logo, teremos:
4 2
3
2
12
2
12
2
422
V rdV . (A. 5.8)
Vemos que o valor de (A. 5.8) é 3/2 da referência unitária na escala, dada por
(A. 5.3). A integral (A. 5.8) corresponde ao que designamos por 1ª. prescrição de
Thompson numa forma refinada, com o objetivo de estimar a integral (A. 5.5) da seção
(5.1), quando ela é colocada numa forma quadrática do tipo 22 . Isso é feito
justamente com o objetivo de obter o comportamento dimensional na escala para 2 ,
isto é, .2
l
Curiosamente, podemos observar que, com base em (A. 5.4) e (A. 5.7), vamos
fazer a seguinte estimativa geral por indução:
4Vn4r
n
2
1dV . (A. 5.9)
Para n=1,2, recuperamos (A. 5.4) e (A. 5.7) respectivamente. Para n=0 em (A.
5.9), recuperamos imediatamente a integral na forma quadrática 2 , que é a
unidade, i.é,
4 4V VO4r
24r
O 12
1dVdV (integral na forma quadrática, dada
em (A. 5.6) na seção 5.1).
180
Capitulo 6
6 O Método de Thompson aplicado à Eletrodinâmica Quântica – 4QED
Introdução
A eletrodinâmica Quântica (QED) é a teoria que estuda a interação do elétron
relativístico com o campo eletromagnético. Essa teoria tem por base a teoria de Dirac,
que trata da equação da onda para um férmion relativístico livre. A solução da
equação de Dirac é dada pelos chamados campos espinoriais, que contêm
informações `a respeito da função de onda da partícula, acrescida do seu aspecto
espinorial, que é basicamente o spin
2
1, descrito pelas matrizes de Pauli. Além do
mais, a solução dessa equação de onda contém informações da anti-partícula do
elétron, prevendo a existência do pósitron como sendo um “elétron“ com carga
positiva.
Quando estendemos a teoria de Dirac de forma a incluir o campo
eletromagnético livre e inclusive a interação do elétron com este campo através de um
acoplamento c
e2
(estrutura fina), então estamos diante da QED, que será o foco
do nosso estudo no presente capítulo.
Na primeira seção, vamos introduzir a Lagrangeana física da QED e tratá-la
pelo método das dimensões e escalas de Thompson, que se fundamenta numa
análise dimensional.
Na segunda seção, faremos algumas considerações adicionais para o
problema, de maneira que vamos pensar no caso da QED4 (em 4-dimensões). Assim,
181
seremos capazes de obter o comportamento do acoplamento dessa teoria 4-D, sendo
uma função logarítmica na escala de energia medida. Logo, vamos obter numa 1ª
aproximação a equação diferencial para o acoplamento da teoria, que é chamada
de equação diferencial do Grupo de Renormalização (G.R) ou função Beta 4 da
teoria. Também, vamos obter o comportamento da massa do elétron na escala de
energia m numa 1ª aproximação.
A terceira seção se destina às conclusões. A quarta seção é o apêndice do
capítulo, onde vamos obter a carga e a massa do elétron numa 2ª aproximação para
energias mais altas, através de uma extensão do Método de Thompson.
6.1 A Lagrangeana da QED tratada pelo Método de Thompson.
O ponto de partida é escrever a lagrangeana física da QED, a saber:
£= ,AieFF4
1mi
(6.1)
onde 0F A A , e ,
e 2e (constante de acoplamento).
Em (6.1) representa os campos de férmions; e e m são respectivamente a
carga e a massa de repouso do elétron; A é o quadrivetor potencial eletromagnético
e são as matrizes de Dirac.
Nesse modelo, não há o fenômeno de criticalidade (transição), pois o ponto fixo
do GR da teoria ocorre somente para 0 ou , sendo 0 um ponto fixo
trivial. Logo, estamos preocupados em aplicar apenas a 1ª prescrição heurística de
Thompson, que estabelece a seguinte condição de escala: “Quando consideramos a
integral da lagrangeana em (6.1) num volume de coerência 4l em 4 – dimensões, o
módulo de cada termo integrado separadamente é da ordem da unidade”.
182
De fato, quando consideramos a integral de cada termo da lagrangeana da
ordem da unidade, estamos na verdade fazendo uma certa análise dimensional de
escala em cada termo de (6.1). Assim sendo, vamos obter alguns valores médios na
escala l para certas grandezas extraídas de cada termo de (6.1) integrado no volume
4l , que representa um volume de escala característico (de coerência) com o qual
investigamos os termos de (6.1).
A idéia básica da análise puramente dimensional na escala l é bem comum e
já foi aplicada por Ryder [159] para avaliar, por exemplo, a dimensão de £ na Q E D
para d-dimensões, onde se obtém facilmente que ddl l£ em d – dimensões,
sendo l a escala de comprimento e a escala de momento. Também se obtém a
dimensão do campo quadrático 2 ; que é 1d2 , que dá 332 l para
4d (1o termo da lagrangeana em (6.1)).
De uma forma semelhante, usando a análise dimensional no 3º termo em (6.1),
obtemos 22 dA , sendo 222 lA no caso 4d .
Portanto, devemos fundamentar a 1ª prescrição de Thompson numa análise
dimensional na escala mais algumas condições heurísticas adicionais, o que nos
permite obter valores médios na escala l relacionados às dimensões dos campos
2A , , e também da massa e da carga (acoplamento ).
Considerando as formas quadráticas do tipo , FF em cada termo da
lagrangeana a ser integrado, tomamos o módulo da integral para cada termo de £
exatamente igual a unidade. Assim, fazendo isto para o primeiro termo de £ em (6.1),
vem:
144
xdil xx . (6.2)
Observamos que a dimensão ,l 1
ll
pois, estamos considerando
apenas uma análise dimensional de escala para os operadores, de forma que
podemos desprezar tanto a ordem dos operadores quanto o aspecto espinorial dos
mesmos nessa análise dimensional de escalas.
183
Do ponto de vista da análise dimensional, sabemos que a derivada primeira
1
ll reflete uma característica dos férmions [159]. Por outro lado, quando
estamos lidando com teorias de campos escalares (Ex.: teoria 4 ), a derivada
segunda caracteriza o comportamento bosônico numa análise dimensional de escala;
isto é, 2l
2 l .
É interessante notar que a integral em (6.2) leva a uma certa análise
dimensional de escala para a quantidade dentro da integral. Quando esta
quantidade é tomada para fora da integral como um valor médio na escala l (volume
de coerência 4l ), então, de (6.2) obtemos: 3 lll~ , sendo um
comprimento de onda.
Aplicando a 1ª prescrição de Thompson ao 2º termo de (6.1), deveríamos
considerar a integral dada por 14
4 l x xdm . No entanto, uma análise mais
cuidadosa revela que esse procedimento não funciona muito bem; pois, devido ao
acoplamento entre os campos e A , que gera a interação, teríamos um
incremento de massa (m) a ser considerado na relação acima ao invés de m, já que
m iria para zero quando 0 oul , de forma a satisfazer uma condição de
escalonamento. Então, após essas considerações, podemos escrever:
14
4 l xx xdm . (6.3)
De (6.3), obtemos:
14 lmll (6.4)
ou 1. 4 lm ll . (6.5)
Como já sabemos, temos ~ 3l . Substituindo este resultado em (6.5),
obtemos:
1~ lm l . (6.6)
184
O resultado (6.6) é consistente com a condição de escalonamento (‘scaling’),
onde fizemos
.0 lm l
Aplicando a 1ª prescrição de Thompson ao 3º termo de (6.1), vamos pensar em
termos do comportamento de análise dimensional na escala para a densidade de
energia do campo eletromagnético; isto é, vamos escrever:
.18
14
422 l xx xdBE
(6.7)
A integral (6.7) implica que .~][][ 42 lBE ll Sabemos que B = xA; então
quando fazemos uma análise dimensional para A, obtemos:
,~ 224222 llllBA ll (6.8)
onde temos .~ 1 ll
Com relação ao último termo da Lagrangeana (6.1), é melhor considerar um
termo que é quadrático no potencial eletromagnético A . Esta escolha fica justificada
primeiramente pelo fato de que estamos levando em conta que a densidade de
energia do campo eletromagnético vai com [B2], que se comporta como [A2]l-2 em
termos de análise dimensional na escala. Também, paralelamente a esta
argumentação, devemos enfatizar que o nosso interesse central aqui consiste na
obtenção da constante de acoplamento 2e ao invés da carga elétrica pura e. Além
do mais, sendo o campo A flutuante na presença da carga, através de emissão e
absorção de fótons virtuais, então, espera-se que a média eA seja nula. Por isto,
devemos considerar um segundo momento para o campo A , de maneira que
tomemos a média quadrática 0Al
2 , sendo 2e . Portanto, devemos pensar
numa contribuição efetiva para a ação, mediante um produto de integrais, que vai
corresponder a uma média para o quadrado do último termo de (6.1) num espaço de
8-dimensões. Então, baseando-se nessas considerações, escrevemos:
185
8
2 4 4
l x xi e A e A d x d x 1
' ' ' ' ' '
, (6.9)
onde o índice ’ é um índice mudo. Logo, podemos escrever (6.9) na seguinte forma
compacta, representando um 2º momento para a ação de interação:
1xdAei8l
822
x22 , (6.10)
onde e 2 = .
6.2 Algumas elaborações a mais para o Método de Thompson aplicado à 4QED .
Agora, vamos considerar a integral (6.2) avaliada num volume de uma hiper-
esfera D4 , uma vez que estamos interessados num espaço-tempo isotrópico
D4 , sendo a escala de comprimento l o raio desta hiper-esfera.
O volume de uma n – D hiper-esfera é dado por n
lSV
n
nn [157], onde temos
2
22nn
n
S
[157].
Em D4 , obtemos 2
lV
42
4
, sendo drrdV 32
4 2 , onde r é a variável
radial de escala. Estas considerações nos permitem escrever a integral (6.2) da
seguinte forma:
l l
lrr drrdrr0 0
2232 162 . (6.11)
De (6.11) obtemos que
,2
132l
ll (6.12)
186
onde "2" 32l representa a magnitude da “superfície” dessa 4-D hiper-esfera, que
apresenta 3-dimensões.
A grandeza l representaria a dimensão de uma amplitude quadrática
média de campo para férmions, onde a média é tomada numa escala de comprimento
l , sendo .1 l Logo, esta amplitude tem a dimensão de 3 (o cubo da energia).
A constante “ 22 ” que aparece em (6.12) é uma conseqüência da simetria
esférica que consideramos para o problema.
Agora, vamos avaliar o termo de massa dado pela integral (6.3) no volume de
uma hiperesfera 4-D de raio l .
Assim, obtemos:
.120
32 l
rr drrm (6.13)
A integral (6.13) nos leva a
.12
42
l
mll
(6.14)
Introduzindo (6.12) em (6.14), obtemos:
14 lmm ll. (6.15)
Considerando o terceiro termo da lagrangeana (6.1), e tomando a integral (6.7)
no volume de uma hiper-esfera 4-D de raio l drrdV 324 2 , onde os campos
quadráticos possuem o mesmo comportamento na escala, isto é, ,~ 422 lBE ll
então escrevemos:
l l
rr drrBdrrE0 0
3232 .122
(6.16)
A integral (6.16) nos leva a
187
.~8
44
22 ll
BE ll (6.17)
Usando a definição B = x A, e dado a relação (6.17), somos levados a
considerar a seguinte relação de escala para :2lA
,8
2
222
lAlB ll
(6.18)
onde usamos que 2l
2 l .
É interessante notar que a relação (6.18) é compatível com o comportamento
de escala para um potencial gerado por uma carga pontual estática; isto é, temos
r
1~ , o que nos leva naturalmente a
2l2
l
l~ , onde 4A e ,AA . Assim,
tais considerações permitem escrever (6.18) numa forma mais geral e compacta:
2
2 8
lA
l . (6.19)
Quanto ao 4º termo de £ em (6.1), as considerações anteriores nos levam à
integral dada por (6.10). Agora, o nosso objetivo é de avaliar a integral (6.10) dada no
volume de uma hiper-esfera D8 . Dado que temos o volume
dr3
rdVxd
24
lV
74
88
84
8
,
então escrevemos (6.10) da seguinte forma:
8
,13
7224
V rrr drrA
(6.20)
onde 2e .
188
Uma primeira tentativa a fim de avaliar (6.20) seria escrevê-la como um produto
de médias, isto é, um produto das médias . e , , 822
VA Sabendo
que ,~ ,~ , ~ 88
2262lVlAl lll
obtemos que ,1~][ 826 llll o que
implica que l é uma constante, ou seja, é uma quantidade que não tem
dependência na escala de comprimento l (ou energia ): l~ ~ constante.
No entanto, devemos pensar que d = 4 deve corresponder a um certo tipo de
dimensão crítica superior para a 4QED . Em outras palavras, de forma similar ao que é
feito em Mecânica Estatística, pensamos que, abaixo de d = 4, flutuações são
importantes para o problema, sendo que acima de d = 4, uma descrição de campo
médio seria boa para tratar o problema. Portanto, d = 4 representaria exatamente uma
dimensão de “linha de borda” (“border-line”) para 4QED , que corresponde à dimensão
do espaço-tempo na teoria da Relatividade.
Assim sendo, como queremos melhorar nossa aproximação com o objetivo de
poder “ver” a dependência do acoplamento l na escala de comprimento l ou de
energia 1 l , então vamos tomar as quantidades r e r
A2 como variáveis
dentro da integral (6.20); ou seja, vamos tomar (6.12) e (6.19) com dependência na
variável de escala r, dentro da integral (6.20). Com isto obtemos:
ldrr
rr,1
8
2
1
37
2
2
32
4
(6.21)
onde 2
232
8
2
1
rAe
r rr .
De (6.21), vem:
l
ll lr
dr1
.1ln3
2
3
2
(6.22)
Para avaliar (6.22), tomamos 1 como um “cutoff” inferior na escala l . Assim,
(6.22) nos leva a uma dependência logarítmica para o acoplamento na escala de
comprimento l .
189
Por uma questão de simplicidade de notação, escrevemos que
.lll Além disto, introduzindo 1 l em (6.22), obtemos:
1ln3
2 (6.23)
Diferenciando ambos os lados de (6.23) com respeito à variável , vem:
.3
2 2
d
d (6.24)
A equação (6.24) coincide com aquela que é obtida pelo procedimento G.R,
quando a QED4 é tratada perturbativamente ao nível de 1 loop. Então, observamos
que obtivemos o coeficiente ,3
2 2
que pode ser encontrado em [165] e [161] e
também [162, 166-170]. A vantagem aqui é que obtivemos esse resultado através de
argumentos heurísticos, fundamentados numa análise dimensional de escalas.
Fazendo a integração de (6.24) pela consideração dos limites e 0 para as
escalas de energia e seus respectivos acoplamentos e 0 obtemos:
00
0
ln3
21
. (6.25)
Observamos que (6.25) [171] nos leva à chamada singularidade de Landau,
que é um valor finito na escala de energia L , tal que L , onde
.2
3.exp 1
0
LL (6.26)
Como já é bem sabido, a singularidade de Landau é um efeito não físico e nos
revela o fato de que a solução para a “constante” de acoplamento dada por
(6.25) não é apropriada quando a escala de energia se aproxima de L . Então,
concluímos que, para energias mais altas, a equação (6.24) e sua solução (6.25)
devem ser modificadas a fim de ficarem “livres” da singularidade de Landau no regime
de energias mais altas. O regime de energias mais altas será estudado no apêndice
190
desse capítulo, fundamentando-se numa extensão (aprimoramento) para o Método de
Thompson (M.T).
Agora, quando olhamos para (6.25), observamos que, quando 0 l ,
então 0 . Mas este resultado é de interesse puramente acadêmico (ponto fixo
trivial). De fato, ainda no regime de baixas energias, o desvio do comportamento
clássico para começa quando 0m , onde 0m é a massa de repouso do
elétron. É como se a carga estivesse sendo colocada num meio dielétrico que polariza
na presença da carga, “blindando-a”. Em outras palavras, dizemos que os efeitos de
polarização do vácuo tornam-se evidentes quando 10c0 mll onde c é o
comprimento de Compton.
Portanto, de um ponto de vista experimental, devemos olhar para (6.25) no
regime de baixas energias com 00 m , sendo 00 ~ m ; isto é, consideramos o
parâmetro de escala de energia fixada na massa de repouso do elétron 0m ,
sendo a escala de referência mais baixa em energia. Assim temos que
137/1m~ 00 . Logo, para energias intermediárias, expandimos (6.25) numa
1ª aproximação, e obtemos
000 ln
3
21
. (6.27)
De (6.27) [172], observamos que, quando 00 m , então vem que
0
1
137 .
6.2.1 Obtenção da massa m
Uma maneira de avaliar m seria comparar (6.3) e (6.9), considerando o
shift 2e ou em (6.9), pois, devemos pensar que deve ser diretamente
proporcional ao shift de massa; isto é, m tal que, em energias muito mais
baixas, teríamos o limite em que 0m . Assim, escrevemos:
,1'```'4 44
44
'
2'
224
V xV xxV x xdxdAeixdm (6.28)
191
onde consideramos o shift 00 e mmm , sendo e mm ,
com 137/10 .
Comparando os integrandos de (6.28), extraímos que:
4
4222
V xx xdAeim , (6.29)
desde que o índice linha (‘) em (6.28) seja mudo.
Colocando
4 2 3 2 3 24 xx r
2 2
r
d x dV 2 r dr 1 2 r A
A 8 r
, / e
/
em (6.29), obtemos:
.18
2ll
drr
m
(6.30)
Agora, vamos usar a seguinte notação: , ll que representa o
desvio (incremento) médio de carga na escala ,~ 1l ou seja, um desvio médio na
escala l .
Tomando a integração indicada em (6.30) entre os limites
m10~l e 0l 14c000
, que é equivalente ao regime de polarização
de vácuo, então vem:
,818
0000
ml
m
(6.31)
ou
,8
00
m
m
(6.32)
onde 1c
100 ~lm . De fato, temos a proporcionalidade 'm' obtida de (6.31),
o que nos leva à seguinte relação:
192
.8
00
0 mmm
(6.33)
Finalmente, substituindo () obtido de (6.27) em (6.33), obtemos:
.ln3
161
0020
mm (6.34)
É interessante também notarmos que a correção quântica para a massa do
elétron poderia ser obtida de uma forma que é consistente com (6.34), usando o
seguinte raciocínio:
Vamos considerar a energia armazenada no campo elétrico, a saber
3
,32
Vel dVEU onde a integral é tomada num volume 3D. Agora, vamos escrever o
campo elétrico E com seu valor clássico 0E mais uma correção E devido às
flutuações quânticas. Consideramos que estas flutuações quânticas afetam somente a
energia elu através da contribuição quadrática em E, uma vez que o termo linear em
E apresenta média nula num tempo suficientemente longo. Assim, temos
,220
2 EEE onde as barras significam médias sobre um tempo suficientemente
longo na escala de flutuações. Portanto, como estamos interessados principalmente
nos processos quânticos que se dão pela absorção e emissão de fótons virtuais,
podemos escrever:
,21
2EErms (6.35)
onde o índice “rms” significa a raiz do valor médio quadrático (‘root mean squared’).
É natural supor que Erms será diferente de zero somente na presença do
campo fermiônico, e este raciocínio nos leva a propor a seguinte relação:
,222rmsrmsE (6.36)
onde consideramos 32r
2rms r2
1
. Isto quer dizer que 2
rms corresponde a
uma amplitude de campo médio na variável de escala r. é uma constante de ajuste.
193
Introduzindo a relação de escala para r em (6.36), obtemos a seguinte
proporcionalidade:
,1
23
rErms (6.37)
que deve ser comparada com a lei do inverso do quadrado de Gauss da contribuição
clássica. Neste ponto, gostaríamos de noticiar que a dependência das flutuações
quânticas do campo elétrico na escala de comprimento, como foi obtida em (6.37),
também foi proposta por V. Weisskopf [173] há algum tempo.
Agora, vamos fazer a integração de E2rms num volume 3D. Tomando como
limites de integração as variáveis cc e rr (comprimento de Compton),
obtemos:
.42
2
32
22
022 drr
rcmmccm
c
r
(6.38)
A razão de considerar c como um corte para comprimento de onda longo é
que as flutuações quânticas não contribuem muito para a massa eletromagnética do
elétron acima deste valor.
A relação (6.38) implica que
,ln20
2
r
Ccmmc c (6.39)
onde C é uma constante.
É importante enfatizar que (6.39) é consistente com o resultado obtido em
(6.34) e reproduz aquele obtido por Weisskopf [173], se fixamos .2
30
20
cmC
6.3 Conclusões
Nesse capítulo, vimos que o método de Thompson, que é alternativo ao grupo
de renormalização (G.R), foi aplicado ao estudo da QED. Assim, tratamos cada termo
194
da lagrangeana da QED em pé-de-igualdade com base numa análise dimensional nas
escalas de comprimento ou energia-momento. Fomos capazes de extrair o
comportamento do acoplamento , mediante a equação diferencial 2
3
2
d
d
,
sendo 2
4 3
2
. Em escalas de energias mais baixas, obtivemos
0
0 ln3
21 , e
0
02o ln3
161mm . Para o regime de
energias mais altas, numa 2ª aproximação (veja-se apêndice), obtivemos que
0
200 ln
3
21ln e
0
20
100 ln
3
21ln
81mmm .
Se analisarmos o comportamento dimensional na escala para certas
quantidades, tais como a amplitude de campo para férmions )]([ l , a dimensão do
quadrado do vetor quadripotencial luA ][ 2 , o incremento de massa lm][ e o desvio de
carga l][ , sendo todas estas quantidades avaliadas na escala de comprimento l ,
então devemos observar que é possível organizar estes objetos dentro de uma
estrutura hierárquica. Desta forma, pensamos que a amplitude de campo para
férmions 132 )2(][ ll
vai como uma “superfície” 3-D de uma hiperesfera 4-D
de raio l , estando esta “superfície” imersa num espaço-tempo 4-D.
O próximo objeto nessa hierarquia corresponde à dimensão do quadrado do
vetor quadripotencial. Ela é dada por ,8][122
lA lu exibindo a lei do inverso do
quadrado da escala l . Isto representa uma estrutura bidimensional (2-D) também
imersa num espaço-tempo 4-D. Logo, poderíamos observar que, para este objeto, o
grau de liberdade na escala ( l ) foi reduzido de uma unidade. Assim, continuando a
redução de uma unidade no grau de liberdade, vem que o incremento de massa
‘ 14][ lm l ’ pode ser entendido como uma estrutura linear (1-D) imersa outra vez
num espaço-tempo (4-D).
Finalmente, o excesso de carga (acoplamento) l][ comporta-se como uma
estrutura sem dimensão, ou seja, de ordem zero ou independente da escala ).( 0l
195
Logo, ela pode ser pensada como uma estrutura O-D imersa num espaço-tempo 4-D.
Em suma, então temos a amplitude de campo para férmions “espalhada” num espaço
3-D (volume), o quadrado do potencial vetor numa superfície 2-D, a massa numa linha
(1-D) e a carga num ponto (0-D), de tal forma que procuramos relacionar estes objetos
da 4QED a uma ordenação hierárquica na topologia de um espaço-tempo 4-D.
No entanto, quando aperfeiçoamos os nossos cálculos, a carga (acoplamento)
passa a exibir uma dependência logarítmica na escala de comprimento )(l . Este
resultado poderia ser considerado como um certo regime intermediário entre um ponto
teconsl tan~0 e uma linha 1l . Isto pode ser interpretado como a carga adquirindo
uma característica fractal nessa estrutura topológica do espaço-tempo, que é devido à
influência das flutuações quânticas introduzidas pela polarização de vácuo, de tal
forma que obtemos 1ln~ ll . Essas flutuações quânticas também modulam o
comportamento do excesso de massa.
O caráter fractal de uma trajetória quântica foi considerado por Notalle [177] no
estudo da QED. Ele mostrou que, devido à polarização do vácuo, os diagramas de
auto-energia em QED nos conduzem a certas características fractais [174].
6.4 Apêndice: Obtenção da massa e da carga do elétron numa 2a aproximação ou para energias mais altas – Uma extensão do Método de Thompson.
6.4.1 Obtenção de numa 2ª aproximação.
Quando introduzimos uma carga (qo) num determinado meio dielétrico, surge
uma polarização neste meio, induzida pela carga qo. Assim sendo, sabemos que,
devido a essa polarização, medimos uma carga efetiva q menor que qo, isto é, q< qo.
No caso da polarização ser intensa, teríamos que q < < qo.
Usamos desse exemplo clássico da polarização, pois podemos estabelecer um
análogo com o caso da polarização quântica do vácuo, quando procuramos medir a
carga do elétron no vácuo quântico para altas escalas de energia, ou quando cl ,
de forma que, neste caso, a polarização do vácuo torna-se muito intensa (mais de 1
loop na teoria perturbativa usada em QED). Então, de acordo com a QED, temos uma
carga nua para o elétron Be (não renormalizada) e uma carga física, medida na escala
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de energia ;1 l isto é, ee ; ou melhor, 2e (acoplamento
renormalizado).
Assim, com base na analogia com o fato de que a carga medida ( ) é
decorrente do efeito de blindagem gerada pela polarização de vácuo, então, vamos
pensar que há uma carga interna a esta polarização (blindagem), e vamos defini-la
como ,2220 eee I sendo 2e a carga medida.
A carga interna à blindagem (eI) é na verdade uma carga finita, cujo valor
sempre interpola a carga medida e a carga nua B , sendo esta última infinita;
portanto, vamos escrever que B . Logo, para altas energias, devido à intensa
polarização de vácuo, vem que; BI sendo que, para energias bem mais
baixas,temos BI quando a polarização diminui.
Em virtude da introdução do conceito de ‘carga interna’ à blindagem, então,
de um ponto de vista mais qualitativo, podemos definir uma lagrangeana interna (£I),
cujos parâmetros IIII A e ,m, interpolam os parâmetros da lagrangeana física £
e da lagrangeana nua £B. Embora a lagrangeana £ I não seja operacional como £, já
que não podemos ter acesso direto aos parâmetros internos dela, a sua introdução
tem por objetivo tentar estabelecer que, no regime de energias muito mais altas, os
seus parâmetros crescem drasticamente em relação aos parâmetros medidos
( ,, II etc); sendo que, no regime de energias mais baixas, o que equivale
ao regime de 1 loop pelo método perturbativo, temos que os parâmetros internos são
aproximadamente os mesmos medidos, quando etc. ,II . Logo, vamos
definir £I:
£ I = .4
1I
III
IIIIIII AieFFmi
(6.40)
Os parâmetros internos de £I, embora finitos, crescem com o crescimento da
escala de energia 1 l . Quando fica muito grande ),( cl os valores dos
parâmetros internos de £I se distanciam ainda mais dos parâmetros (externos) de £
medido. Assim, com isso, vamos pensar em termos de certas funções na escala de
energia , mapeando as quantidades ou parâmetros de £ para £I. Então, vamos