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Parcelas Subdivididas
EXPERIMENTOS EMPARCELAS SUBDIVIDIDAS
Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha
Universidade Estadual de LondrinaDepartamento de Estatıstica
29 de julho de 2017
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Parcelas Subdivididas
IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Introducao
Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididasnao se refere a um tipo de delineamento e sim ao esquema doexperimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos saoorganizados.
Nos experimentos em parcelas subdivididas, em geral, estuda-sesimultaneamente dois tipos de fatores os quais sao geralmentedenominados de fatores primarios e fatores secundarios.
Em um experimento em parcelas subdivididas, as unidades ex-perimentais sao agrupadas em parcelas as quais devem conterum numero de unidades experimentais (subparcelas) igual aonumero de nıveis do fator secundario.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Introducao
Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididasnao se refere a um tipo de delineamento e sim ao esquema doexperimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos saoorganizados.
Nos experimentos em parcelas subdivididas, em geral, estuda-sesimultaneamente dois tipos de fatores os quais sao geralmentedenominados de fatores primarios e fatores secundarios.
Em um experimento em parcelas subdivididas, as unidades ex-perimentais sao agrupadas em parcelas as quais devem conterum numero de unidades experimentais (subparcelas) igual aonumero de nıveis do fator secundario.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Na instalacao os nıveis do fator primario (A) sao distribuıdos asparcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC,DBC, DQL.
Posteriormente os nıveis do fator secundario (B) sao distribuıdosao acaso as subparcerlas de cada parcela.
Tal disposicao permite obter uma estimativa geral de maiorprecisao para os efeitos dos tratamentos do segundo fator.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Na instalacao os nıveis do fator primario (A) sao distribuıdos asparcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC,DBC, DQL.
Posteriormente os nıveis do fator secundario (B) sao distribuıdosao acaso as subparcerlas de cada parcela.
Tal disposicao permite obter uma estimativa geral de maiorprecisao para os efeitos dos tratamentos do segundo fator.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Na instalacao os nıveis do fator primario (A) sao distribuıdos asparcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC,DBC, DQL.
Posteriormente os nıveis do fator secundario (B) sao distribuıdosao acaso as subparcerlas de cada parcela.
Tal disposicao permite obter uma estimativa geral de maiorprecisao para os efeitos dos tratamentos do segundo fator.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Nos experimentos em parcelas subdivididas tem-se dois resıduosdistintos: um correspondente as parcelas e outro as subparcelasdentro das parcelas.
Em casos mais complexos, as subparcelas podem, tambem, serrepartidas em subsubparcelas. Tem-se, neste caso, tres resıduosdistintos:
Resıduo (a), referente as parcelas;
Resıduo (b), a subparcelas e
Resıduo (c), correspondendo as subsubparcelas.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Vantagens
a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;
b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.
c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.
d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Vantagens
a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;
b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.
c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.
d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.
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Vantagens
a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;
b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.
c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.
d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.
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Vantagens
a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;
b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.
c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.
d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.
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Desvantagens
a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;
b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;
c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;
d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.
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Desvantagens
a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;
b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;
c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;
d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Desvantagens
a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;
b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;
c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;
d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Desvantagens
a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;
b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;
c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;
d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.
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Modelo estatıstico
O modelo linear para o experimento em parcelas subdivididas no delineamentoem blocos ao acaso e dado por:
yijk = µ+ τi + γk + (τγ)ik + βj + (τβ)ij + (τβγ)ijk ,
i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , r
(1)
em que:
yijk e o valor observado no i-esimo tratamento, k-esimo bloco e j-esimasubparcela;
µ e uma constante;
τi e o efeito do i-esimo fator A;
γk e o efeito do k-esimo bloco;
(τγ)ik e o resıduo (a) da parcela;
βj e o efeito do j-esimo fator B;
(τβ)ij e a interacao entre o i-esimo fator A e o j-esimo fator B;
(τβγ)ijk e o resıduo (b) da subparcela;
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
No experimento em parcelas subdivididas com 2 fatores, deseja-se testara significancia de ambos os fatores. Ha interesse em testar hipoteses sobrea igualdade dos efeitos do fator primario, isto e:
H0 : τ1 = τ2 = . . . τa = 0
H1 : Pelo menos um τi 6= 0
e a igualdade nos efeitos do fator secundario, ou seja:
H0 : β1 = β2 = . . . βb = 0
H1 : Pelo menos um βj 6= 0
e, ainda, se ha interacao entre os fatores:
H0 : (τβ)ij = 0 para todo i , j
H1 : Pelo menos um (τβ)ij 6= 0
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
A decomposicao do numero de graus de liberdade de um experimento em par-cela subdividida com a tratamentos primarios, b tratamentos secundarios e rrepeticoes.
Tabela 1: Parcela subdividida no delineamento inteiramente casualizado
CV GL
Tratamento A a− 1
Resıduo(a) a(r − 1)
Parcelas ar − 1
Tratamento B b − 1
A× B (a− 1)(b − 1)
Resıduo(b) a(b − 1)(r − 1)
Total abr − 1
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Tabela 2: Parcela subdividida no delineamento em blocos casualizados.
CV GL
Blocos r − 1
Tratamento A a− 1
Resıduo(a) (a− 1)(r − 1)
Parcelas ar − 1
Tratamento B b − 1
A× B (a− 1)(b − 1)
Resıduo(b) a(r − 1)(b − 1)
Total abr − 1
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Tabela 3: Parcela subdividida no delineamento em quadrado latino.
CV GL
Linhas a− 1
Colunas a− 1
Tratamento A a− 1
Resıduo(a) (a− 1)(a− 2)
Parcelas a2 − 1
Tratamento B b − 1
A× B (a− 1)(b − 1)
Resıduo(b) a(a− 1)(c − 1)
Total a2b − 1
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Analise de Variancia
Tabela 4: Quadro da Analise de Variancia em um delineamento emblocos.
C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcalc
Blocos r − 1 SQBlocosSQBlocos
r−1QMBlocosQMRes(a)
A a − 1 SQASQAa−1
QMAQMRes(a)
Resıduo(a) (a − 1)(r − 1) SQRes(a)
SQRes(a)(a−1)(r−1)
(Parcelas) (ar − 1) (SQParcelas )
B b − 1 SQBSQBb−1
QMBQMRes(b)
A× B (a − 1)(b − 1) SQAxBSQAxB
(a−1)(b−1)
QMAxBQMRes(b)
Resıduo(b) a(r − 1)(b − 1) SQRes(b)
SQRes(b)a(r−1)(b−1)
Total abr − 1 SQTotal
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IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Em que as somas de quadrados sao dadas por:
SQTotal =a∑
i=1
b∑j=1
r∑k=1
y 2ijk − C C =
(∑ai=1
∑bj=1
∑rk=1 yijk
)2
abr
SQA =1
r × b
a∑i=1
T 2
A − C
SQBlocos =1
a× b
r∑k=1
T 2Bloco − C
SQParcelas =1
b
a∑i=1
r∑k=1
T 2Parcela − C
SQRes(a) = SQParcelas − SQA − SQBlocos
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SQB =1
a× r
b∑j=1
T 2B − C
SQA,B =1
r
a∑i=1
b∑j=1
T 2Ai ,Bj− C
SQAxB = SQA,B − SQA − SQB
SQRes(b) = SQTotal − SQParcelas − SQA − SQAxB
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Exemplo 1
Suponha o caso de um experimento com tres racoes (A,B, e C ), em seis
blocos casualizados, cada parcela constituıda por dois animais. Em uma
determinada fase do ensaio, os bovinos, dentro de cada parcela, passaram
a receber, por sorteio, um dos tipos de suplementos minerais (M ou P).
Os ganhos de pesos individuais, ao final do experimento, sao apresentados
na tabela abaixo.
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Exemplo 1
Tabela 5: Ganhos de pesos, em quilos, ao final do experimento.Tipos de Racao
Blocos A B C TotaisM P M P M P
I 107 89 116 101 90 96 599II 117 101 136 110 112 89 665III 122 98 130 104 99 92 645IV 111 101 122 91 105 78 608V 90 95 117 100 110 90 602VI 116 90 114 94 114 93 621
Totais 663 574 735 600 630 538 3.740
A um nıvel de significancia de 5%, faca a analise de variancia e con-siderando um experimento em parcela subdividida no delineamentoem blocos ao acaso, em que o tipo de suplemento mineral esta nasubparcela.
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Tabela 6: Tabela auxiliar para calculo das somas de quadrados dasparcelas.
Blocos (2)Tipos de Racao
TotaisA B C
I 196 217 186 599
II 218 246 201 665
III 220 234 191 645
IV 212 213 183 608
V 185 217 200 602
VI 206 208 207 621
Totais 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740
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Para o calculo das somas de quadrados das Parcelas, tem-se:
C =
(∑ai=1
∑bj=1
∑ck=1 yijk
)2
N
=(107 + 117 + · · · + 90 + 93)2
3 × 2 × 6= 388.544,4
SQTotal =a∑
i=1
b∑j=1
c∑k=1
y 2ijk − C
= (1072 + 1172 + · · · + 902 + 932) − 388.544, 4 = 6.061,556
SQRac =1
b × c
a∑i=1
y 2i·· − C
=1
2 × 6× (1.2372 + 1.3352 + 1.1682) − 388.544, 4 = 1.173,722
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SQBlocos =1
a× c
b∑j=1
y 2·j· − C
=1
2 × 3× (5992 + · · · + 6212) − 388.544, 4 = 582,2222
SQParcelas =1
c
a∑i=1
b∑j=1
y 2ij· − C
=1
2× (1962 + · · · + 2002 + 2072) − 388.544, 4 = 2.377,556
SQRes(a) = SQParcelas − SQTrat − SQBlocos
= 2.377, 556 − 1.173, 722 − 582, 2222 = 621,6111
Para o calculo das demais somas de quadrados, utiliza-se a seguinte tabela
auxiliar.
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Tabela 7: Tabela auxiliar para calculo das somas de quadrados dasSubparcelas.
Suplementos (6)Tipos de Racao
TotaisA B C
M 663 735 630 2.028
P 574 600 538 1.712
Totais 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740
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SQSup =1
a× b
c∑k=1
y2··k − C
=1
3 × 6× (2.0282 + 1.7122) − 388.544, 4 = 2.773,778
SQRac,Sup =1
a× c
b∑j=1
c∑k=1
y2i·· − C
=1
3 × 2(6632 + 5742 + · · · + 6302 + 5382) − 388.544, 4
= 4.057.889
SQInter = SQRac, Sup − SQRac − SQSup
= 4.057, 889 − 1.173, 722 − 2.773, 778
= 110,3889
SQRes(b) = SQTotal − SQParcelas − SQSup − SQInter
= 6.061, 556 − 2.377, 556 − 2.773, 778 − 110, 3889
= 799,8333
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Tabela 8: Quadro da analise de variancia do experimento em parcelassubdivididas no delineamento em blocos ao acaso.
Causa da Variacao S.Q. g.l. Q.M. Fcalc Pr(> F )
Blocos 582, 22 5 116, 44
Racao 1.173, 72 2 586, 86 9, 441 0, 004976∗∗
Resıduo(a) 621, 61 10 62, 16
(Parcelas) 2.377, 556 17
Suplementos 2.773, 78 1 2.773, 78 52, 0192 3, 011 × 10(−6)∗∗∗
Racao × Suplementos 110, 39 2 55, 19 1, 0351 0, 3792
Resıduo(b) 799, 83 15 53, 32
Total 6.061, 556 35
Os efeitos das Racoes e dos Blocos sao testados usando o Resıduo(a).
Os efeitos dos Suplementos e da Interacao sao testados usando o Resıduo(b).
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Verifica-se da Tabela 8 que a interacao entre os tipos de Racao eSuplementos nao foi significativa, havendo efeito dos fatores prin-cipais: Racao e Suplemento.
Logo, aplica-se o teste de Tukey para verificar quais os tipos de Racaoque diferem entre si.
No caso de racao, temos o QMRes utilizado sera o Residuo(a) daTabela 8.
∆ = q
√QMRes(a)
r
= 3, 876777×√
62, 16111
12∆ = 8,8 kg
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Construindo-se a tabela das medias ordenadas em ordem decrescente, tem-se:
Medias (kg)
Racao B 111,25 a
Racao A 103,0833 ab
Racao C 97,3333 b
em que letras iguais indicam medias semelhantes.
No caso dos suplementos, basta observar que a media de ganho de peso dosanimais que foram alimentados com o suprimento M foi de
yM = 112, 7 kg
e com o suprimento F foi de
yF = 95, 1 kg
mostrando que o suprimento M foi mais eficiente no ganho de peso.
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Interacao Significativa
Quando a hipotese H0 para a interacao entre os fatores e re-jeitada, entao dizemos que a interacao e significativa.
Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de formadependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nıvel dooutro fator.
Assim, nao e recomendado realizar o teste F para cada fatorisoladamente tal como foi apresentado para o caso da interacaonao significativa.
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O procedimento recomendado e realizar o desdobramento doefeito da interacao.
Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova analisede variancia em que os nıveis de um fator sao comparados den-tro de cada nıvel do outro fator.
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Desdobramento A/B
Tabela 9: Analise de variancia para o desdobramento do fator A dentrode cada nıvel de B.
C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal
B b − 1 SQB QMB =SQBb−1
Fcalc =QMB
QMRes(b)
A|B1 a − 1 SQA|B1QMA|B1
=SQA|B1a−1
Fcal =QMA|B1
QMResComb
A|B2 a − 1 SQA|B2QMA|B2
=SQA|B2a−1
Fcal =QMA|B2
QMResComb
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A|Bj a − 1 SQA|Bj QMA|Bj =SQA|Bja−1
Fcal =QMA|Bj
QMResComb
ResComb n∗ SQResComb QMResComb =SQResComb
n∗ -
Total SQTotal abn − 1 - -
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Parcelas Subdivididas
IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo
Para comparar os nıveis de um fator principal em cada nıveldo fator secundario, e necessario fazer uma combinacao dasduas estimativas obtidas para o erro experimental bem comodo numero de graus de liberdade associado as mesmas.
Esta combinacao e denominada de resıduo combinado (ResComb).
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A estimativa do quadrado medio deste resıduo combinado eobtida por
QMResComb =QMRes(a) + (b − 1)QMRes(b)
b
O numero de graus de liberdade associado a esta estimativa eobtido pela formula dos graus de liberdade de Satterhwaitte(n∗) dada por
n∗ =
[QMRes(a) + (b − 1)QMRes(b)
]2[QMRes(a)]
2
GLRes(a)+
[(b−1)QMRes(b)]2
GLRes(b)
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Parcelas Subdivididas
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Desdobramento B/A
Tabela 10: Analise de variancia para o desdobramento do fator B dentrode cada nıvel de A.
C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal
A a − 1 SQA QMA =SQAa−1
Fcalc =QMA
QMRes(a)
B|A1 b − 1 SQB|A1QMB|A1
=SQB|A1b−1
Fcal =QMB|A1QMRes(b)
B|A2 b − 1 SQB|A2QMB|A2
=SQB|A2b−1
Fcal =QMB|A2QMRes(b)
.
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B|Aj b − 1 SQB|Aj QMB|Aj =SQB|Ajb−1
Fcal =QMB|AjQMRes(b)
Res(b) ab(n − 1) SQRes(b) QMRes(b) =SQRes(b)ab(n−1)
-
Total SQTotal abn − 1 - -
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Exemplo 2
Considere o exemplo apresentado por Pimentel Gomes (1990), queconsiste de um experimento com 8 tratamentos (7 adubos verdese milho) em blocos ao acaso, com 4 repeticoes, realizado em doisanos consecutivos nas mesmas parcelas. Os dados sao apresentadosna proxima Tabela.
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Exemplo 2
Tabela 11: Producao de adubos verdes e milho (kg de materia secaverde por parcela).
TratamentosBloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4
Totais1o ano 2o ano 1o ano 2o ano 1o ano 2o ano 1o ano 2o ano
Mucuna preta 86,8 90,2 76,8 94,0 88,6 86,4 81,6 82,2 686,6Feijao de porco 44,0 83,8 56,6 72,2 52,4 88,6 52,2 83,2 533,0Crot. juncea 102,4 120,2 90,8 104,6 92,0 112,0 84,8 113,6 820,4Guandu 68,4 91,0 55,2 78,8 49,0 83,4 61,2 91,2 578,2Teph. Candida 34,0 57,2 32,4 54,0 24,4 50,8 30,0 46,2 329,0Soja 33,0 33,6 34,8 33,2 32,0 33,4 33,6 42,6 276,2Crot. grantiana 25,8 77,0 21,6 62,4 19,2 63,6 21,0 63,4 354,0Milho 138,8 110,2 106,4 80,0 108,0 92,0 81,8 90,6 807,8Totais 533,2 663,2 474,6 579,2 465,6 610,2 446,2 613,0 4.385,2
Pode-se proceder a analise considerando um experimento em parcela sub-
dividida no delineamento em blocos ao acaso, em que o tempo e a sub-
parcela.
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Tabela 12: Totais de cada parcela
Tratamentos 1o bloco 2o bloco 3o bloco 4o bloco Totais
Mucuna preta 177,0 170,8 175,0 163,8 686,6Feijao de porco 127,8 128,8 141,0 135,4 533,0Crot. juncea 222,6 195,4 204,0 198,4 820,4Guandu 159,4 134,0 132,4 152,4 578,2Teph. Candida 91,2 86,4 75,2 76,2 329,0Soja 66,6 68,0 65,4 76,2 276,2Crot. grantiana 102,8 84,0 82,8 84,4 354,0Milho 249,0 186,4 200,0 172,4 807,8
Totais 1196,4 1053,8 1075,8 1059,2 4385,2
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Tabela 13: Totais anuais
Tratamentos 1o ano 2o ano Totais
Mucuna preta 333,8 352,8 686,6Feijao de porco 205,2 327,8 533,0Crot. juncea 370,0 450,4 820,4Guandu 233,8 344,4 578,2Teph. Candida 120,8 208,2 329,0Soja 133,4 142,8 276,2Crot. grantiana 87,6 266,4 354,0Milho 435,0 372,8 807,8
Totais 1919,6 2465,6 4385,2
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