EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat...

43
Parcelas Subdivididas EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estat´ ıstica 29 de julho de 2017 Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTAT ´ ISTICA EXPERIMENTAL

Transcript of EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat...

Page 1: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

EXPERIMENTOS EMPARCELAS SUBDIVIDIDAS

Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha

Universidade Estadual de LondrinaDepartamento de Estatıstica

29 de julho de 2017

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 2: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Introducao

Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididasnao se refere a um tipo de delineamento e sim ao esquema doexperimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos saoorganizados.

Nos experimentos em parcelas subdivididas, em geral, estuda-sesimultaneamente dois tipos de fatores os quais sao geralmentedenominados de fatores primarios e fatores secundarios.

Em um experimento em parcelas subdivididas, as unidades ex-perimentais sao agrupadas em parcelas as quais devem conterum numero de unidades experimentais (subparcelas) igual aonumero de nıveis do fator secundario.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 3: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Introducao

Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididasnao se refere a um tipo de delineamento e sim ao esquema doexperimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos saoorganizados.

Nos experimentos em parcelas subdivididas, em geral, estuda-sesimultaneamente dois tipos de fatores os quais sao geralmentedenominados de fatores primarios e fatores secundarios.

Em um experimento em parcelas subdivididas, as unidades ex-perimentais sao agrupadas em parcelas as quais devem conterum numero de unidades experimentais (subparcelas) igual aonumero de nıveis do fator secundario.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 4: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Na instalacao os nıveis do fator primario (A) sao distribuıdos asparcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC,DBC, DQL.

Posteriormente os nıveis do fator secundario (B) sao distribuıdosao acaso as subparcerlas de cada parcela.

Tal disposicao permite obter uma estimativa geral de maiorprecisao para os efeitos dos tratamentos do segundo fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 5: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Na instalacao os nıveis do fator primario (A) sao distribuıdos asparcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC,DBC, DQL.

Posteriormente os nıveis do fator secundario (B) sao distribuıdosao acaso as subparcerlas de cada parcela.

Tal disposicao permite obter uma estimativa geral de maiorprecisao para os efeitos dos tratamentos do segundo fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 6: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Na instalacao os nıveis do fator primario (A) sao distribuıdos asparcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC,DBC, DQL.

Posteriormente os nıveis do fator secundario (B) sao distribuıdosao acaso as subparcerlas de cada parcela.

Tal disposicao permite obter uma estimativa geral de maiorprecisao para os efeitos dos tratamentos do segundo fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 7: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Nos experimentos em parcelas subdivididas tem-se dois resıduosdistintos: um correspondente as parcelas e outro as subparcelasdentro das parcelas.

Em casos mais complexos, as subparcelas podem, tambem, serrepartidas em subsubparcelas. Tem-se, neste caso, tres resıduosdistintos:

Resıduo (a), referente as parcelas;

Resıduo (b), a subparcelas e

Resıduo (c), correspondendo as subsubparcelas.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 8: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Vantagens

a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;

b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.

c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.

d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 9: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Vantagens

a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;

b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.

c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.

d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 10: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Vantagens

a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;

b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.

c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.

d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 11: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Vantagens

a) Em comparacao com experimentos fatoriais, experimentos emparcelas subdivididas sao mais faceis de instalar;

b) Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator.

c) O esquema pode ser utilizado quando um fator adicional e incor-porado num experimento, para ampliar seu objetivo.

d) Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 12: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Desvantagens

a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;

b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;

c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;

d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 13: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Desvantagens

a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;

b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;

c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;

d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 14: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Desvantagens

a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;

b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;

c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;

d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 15: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Desvantagens

a) Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, maiseficientes que os em parcelas subdivididas;

b) Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F ecomparacoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, umpara comparacoes de parcelas e outro para subparcelas;

c) Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise;

d) Sempre que possıvel, e preferıvel utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 16: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Modelo estatıstico

O modelo linear para o experimento em parcelas subdivididas no delineamentoem blocos ao acaso e dado por:

yijk = µ+ τi + γk + (τγ)ik + βj + (τβ)ij + (τβγ)ijk ,

i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , r

(1)

em que:

yijk e o valor observado no i-esimo tratamento, k-esimo bloco e j-esimasubparcela;

µ e uma constante;

τi e o efeito do i-esimo fator A;

γk e o efeito do k-esimo bloco;

(τγ)ik e o resıduo (a) da parcela;

βj e o efeito do j-esimo fator B;

(τβ)ij e a interacao entre o i-esimo fator A e o j-esimo fator B;

(τβγ)ijk e o resıduo (b) da subparcela;

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 17: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

No experimento em parcelas subdivididas com 2 fatores, deseja-se testara significancia de ambos os fatores. Ha interesse em testar hipoteses sobrea igualdade dos efeitos do fator primario, isto e:

H0 : τ1 = τ2 = . . . τa = 0

H1 : Pelo menos um τi 6= 0

e a igualdade nos efeitos do fator secundario, ou seja:

H0 : β1 = β2 = . . . βb = 0

H1 : Pelo menos um βj 6= 0

e, ainda, se ha interacao entre os fatores:

H0 : (τβ)ij = 0 para todo i , j

H1 : Pelo menos um (τβ)ij 6= 0

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 18: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

A decomposicao do numero de graus de liberdade de um experimento em par-cela subdividida com a tratamentos primarios, b tratamentos secundarios e rrepeticoes.

Tabela 1: Parcela subdividida no delineamento inteiramente casualizado

CV GL

Tratamento A a− 1

Resıduo(a) a(r − 1)

Parcelas ar − 1

Tratamento B b − 1

A× B (a− 1)(b − 1)

Resıduo(b) a(b − 1)(r − 1)

Total abr − 1

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 19: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Tabela 2: Parcela subdividida no delineamento em blocos casualizados.

CV GL

Blocos r − 1

Tratamento A a− 1

Resıduo(a) (a− 1)(r − 1)

Parcelas ar − 1

Tratamento B b − 1

A× B (a− 1)(b − 1)

Resıduo(b) a(r − 1)(b − 1)

Total abr − 1

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 20: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Tabela 3: Parcela subdividida no delineamento em quadrado latino.

CV GL

Linhas a− 1

Colunas a− 1

Tratamento A a− 1

Resıduo(a) (a− 1)(a− 2)

Parcelas a2 − 1

Tratamento B b − 1

A× B (a− 1)(b − 1)

Resıduo(b) a(a− 1)(c − 1)

Total a2b − 1

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 21: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Analise de Variancia

Tabela 4: Quadro da Analise de Variancia em um delineamento emblocos.

C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcalc

Blocos r − 1 SQBlocosSQBlocos

r−1QMBlocosQMRes(a)

A a − 1 SQASQAa−1

QMAQMRes(a)

Resıduo(a) (a − 1)(r − 1) SQRes(a)

SQRes(a)(a−1)(r−1)

(Parcelas) (ar − 1) (SQParcelas )

B b − 1 SQBSQBb−1

QMBQMRes(b)

A× B (a − 1)(b − 1) SQAxBSQAxB

(a−1)(b−1)

QMAxBQMRes(b)

Resıduo(b) a(r − 1)(b − 1) SQRes(b)

SQRes(b)a(r−1)(b−1)

Total abr − 1 SQTotal

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 22: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Em que as somas de quadrados sao dadas por:

SQTotal =a∑

i=1

b∑j=1

r∑k=1

y 2ijk − C C =

(∑ai=1

∑bj=1

∑rk=1 yijk

)2

abr

SQA =1

r × b

a∑i=1

T 2

A − C

SQBlocos =1

a× b

r∑k=1

T 2Bloco − C

SQParcelas =1

b

a∑i=1

r∑k=1

T 2Parcela − C

SQRes(a) = SQParcelas − SQA − SQBlocos

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 23: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

SQB =1

a× r

b∑j=1

T 2B − C

SQA,B =1

r

a∑i=1

b∑j=1

T 2Ai ,Bj− C

SQAxB = SQA,B − SQA − SQB

SQRes(b) = SQTotal − SQParcelas − SQA − SQAxB

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 24: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Exemplo 1

Suponha o caso de um experimento com tres racoes (A,B, e C ), em seis

blocos casualizados, cada parcela constituıda por dois animais. Em uma

determinada fase do ensaio, os bovinos, dentro de cada parcela, passaram

a receber, por sorteio, um dos tipos de suplementos minerais (M ou P).

Os ganhos de pesos individuais, ao final do experimento, sao apresentados

na tabela abaixo.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 25: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Exemplo 1

Tabela 5: Ganhos de pesos, em quilos, ao final do experimento.Tipos de Racao

Blocos A B C TotaisM P M P M P

I 107 89 116 101 90 96 599II 117 101 136 110 112 89 665III 122 98 130 104 99 92 645IV 111 101 122 91 105 78 608V 90 95 117 100 110 90 602VI 116 90 114 94 114 93 621

Totais 663 574 735 600 630 538 3.740

A um nıvel de significancia de 5%, faca a analise de variancia e con-siderando um experimento em parcela subdividida no delineamentoem blocos ao acaso, em que o tipo de suplemento mineral esta nasubparcela.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 26: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Tabela 6: Tabela auxiliar para calculo das somas de quadrados dasparcelas.

Blocos (2)Tipos de Racao

TotaisA B C

I 196 217 186 599

II 218 246 201 665

III 220 234 191 645

IV 212 213 183 608

V 185 217 200 602

VI 206 208 207 621

Totais 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 27: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Para o calculo das somas de quadrados das Parcelas, tem-se:

C =

(∑ai=1

∑bj=1

∑ck=1 yijk

)2

N

=(107 + 117 + · · · + 90 + 93)2

3 × 2 × 6= 388.544,4

SQTotal =a∑

i=1

b∑j=1

c∑k=1

y 2ijk − C

= (1072 + 1172 + · · · + 902 + 932) − 388.544, 4 = 6.061,556

SQRac =1

b × c

a∑i=1

y 2i·· − C

=1

2 × 6× (1.2372 + 1.3352 + 1.1682) − 388.544, 4 = 1.173,722

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 28: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

SQBlocos =1

a× c

b∑j=1

y 2·j· − C

=1

2 × 3× (5992 + · · · + 6212) − 388.544, 4 = 582,2222

SQParcelas =1

c

a∑i=1

b∑j=1

y 2ij· − C

=1

2× (1962 + · · · + 2002 + 2072) − 388.544, 4 = 2.377,556

SQRes(a) = SQParcelas − SQTrat − SQBlocos

= 2.377, 556 − 1.173, 722 − 582, 2222 = 621,6111

Para o calculo das demais somas de quadrados, utiliza-se a seguinte tabela

auxiliar.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 29: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Tabela 7: Tabela auxiliar para calculo das somas de quadrados dasSubparcelas.

Suplementos (6)Tipos de Racao

TotaisA B C

M 663 735 630 2.028

P 574 600 538 1.712

Totais 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 30: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

SQSup =1

a× b

c∑k=1

y2··k − C

=1

3 × 6× (2.0282 + 1.7122) − 388.544, 4 = 2.773,778

SQRac,Sup =1

a× c

b∑j=1

c∑k=1

y2i·· − C

=1

3 × 2(6632 + 5742 + · · · + 6302 + 5382) − 388.544, 4

= 4.057.889

SQInter = SQRac, Sup − SQRac − SQSup

= 4.057, 889 − 1.173, 722 − 2.773, 778

= 110,3889

SQRes(b) = SQTotal − SQParcelas − SQSup − SQInter

= 6.061, 556 − 2.377, 556 − 2.773, 778 − 110, 3889

= 799,8333

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 31: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Tabela 8: Quadro da analise de variancia do experimento em parcelassubdivididas no delineamento em blocos ao acaso.

Causa da Variacao S.Q. g.l. Q.M. Fcalc Pr(> F )

Blocos 582, 22 5 116, 44

Racao 1.173, 72 2 586, 86 9, 441 0, 004976∗∗

Resıduo(a) 621, 61 10 62, 16

(Parcelas) 2.377, 556 17

Suplementos 2.773, 78 1 2.773, 78 52, 0192 3, 011 × 10(−6)∗∗∗

Racao × Suplementos 110, 39 2 55, 19 1, 0351 0, 3792

Resıduo(b) 799, 83 15 53, 32

Total 6.061, 556 35

Os efeitos das Racoes e dos Blocos sao testados usando o Resıduo(a).

Os efeitos dos Suplementos e da Interacao sao testados usando o Resıduo(b).

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 32: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Verifica-se da Tabela 8 que a interacao entre os tipos de Racao eSuplementos nao foi significativa, havendo efeito dos fatores prin-cipais: Racao e Suplemento.

Logo, aplica-se o teste de Tukey para verificar quais os tipos de Racaoque diferem entre si.

No caso de racao, temos o QMRes utilizado sera o Residuo(a) daTabela 8.

∆ = q

√QMRes(a)

r

= 3, 876777×√

62, 16111

12∆ = 8,8 kg

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 33: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Construindo-se a tabela das medias ordenadas em ordem decrescente, tem-se:

Medias (kg)

Racao B 111,25 a

Racao A 103,0833 ab

Racao C 97,3333 b

em que letras iguais indicam medias semelhantes.

No caso dos suplementos, basta observar que a media de ganho de peso dosanimais que foram alimentados com o suprimento M foi de

yM = 112, 7 kg

e com o suprimento F foi de

yF = 95, 1 kg

mostrando que o suprimento M foi mais eficiente no ganho de peso.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 34: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Interacao Significativa

Quando a hipotese H0 para a interacao entre os fatores e re-jeitada, entao dizemos que a interacao e significativa.

Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de formadependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nıvel dooutro fator.

Assim, nao e recomendado realizar o teste F para cada fatorisoladamente tal como foi apresentado para o caso da interacaonao significativa.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 35: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

O procedimento recomendado e realizar o desdobramento doefeito da interacao.

Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova analisede variancia em que os nıveis de um fator sao comparados den-tro de cada nıvel do outro fator.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 36: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Desdobramento A/B

Tabela 9: Analise de variancia para o desdobramento do fator A dentrode cada nıvel de B.

C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal

B b − 1 SQB QMB =SQBb−1

Fcalc =QMB

QMRes(b)

A|B1 a − 1 SQA|B1QMA|B1

=SQA|B1a−1

Fcal =QMA|B1

QMResComb

A|B2 a − 1 SQA|B2QMA|B2

=SQA|B2a−1

Fcal =QMA|B2

QMResComb

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A|Bj a − 1 SQA|Bj QMA|Bj =SQA|Bja−1

Fcal =QMA|Bj

QMResComb

ResComb n∗ SQResComb QMResComb =SQResComb

n∗ -

Total SQTotal abn − 1 - -

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 37: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Para comparar os nıveis de um fator principal em cada nıveldo fator secundario, e necessario fazer uma combinacao dasduas estimativas obtidas para o erro experimental bem comodo numero de graus de liberdade associado as mesmas.

Esta combinacao e denominada de resıduo combinado (ResComb).

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 38: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

A estimativa do quadrado medio deste resıduo combinado eobtida por

QMResComb =QMRes(a) + (b − 1)QMRes(b)

b

O numero de graus de liberdade associado a esta estimativa eobtido pela formula dos graus de liberdade de Satterhwaitte(n∗) dada por

n∗ =

[QMRes(a) + (b − 1)QMRes(b)

]2[QMRes(a)]

2

GLRes(a)+

[(b−1)QMRes(b)]2

GLRes(b)

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 39: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Desdobramento B/A

Tabela 10: Analise de variancia para o desdobramento do fator B dentrode cada nıvel de A.

C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal

A a − 1 SQA QMA =SQAa−1

Fcalc =QMA

QMRes(a)

B|A1 b − 1 SQB|A1QMB|A1

=SQB|A1b−1

Fcal =QMB|A1QMRes(b)

B|A2 b − 1 SQB|A2QMB|A2

=SQB|A2b−1

Fcal =QMB|A2QMRes(b)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B|Aj b − 1 SQB|Aj QMB|Aj =SQB|Ajb−1

Fcal =QMB|AjQMRes(b)

Res(b) ab(n − 1) SQRes(b) QMRes(b) =SQRes(b)ab(n−1)

-

Total SQTotal abn − 1 - -

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 40: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Exemplo 2

Considere o exemplo apresentado por Pimentel Gomes (1990), queconsiste de um experimento com 8 tratamentos (7 adubos verdese milho) em blocos ao acaso, com 4 repeticoes, realizado em doisanos consecutivos nas mesmas parcelas. Os dados sao apresentadosna proxima Tabela.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 41: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Exemplo 2

Tabela 11: Producao de adubos verdes e milho (kg de materia secaverde por parcela).

TratamentosBloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4

Totais1o ano 2o ano 1o ano 2o ano 1o ano 2o ano 1o ano 2o ano

Mucuna preta 86,8 90,2 76,8 94,0 88,6 86,4 81,6 82,2 686,6Feijao de porco 44,0 83,8 56,6 72,2 52,4 88,6 52,2 83,2 533,0Crot. juncea 102,4 120,2 90,8 104,6 92,0 112,0 84,8 113,6 820,4Guandu 68,4 91,0 55,2 78,8 49,0 83,4 61,2 91,2 578,2Teph. Candida 34,0 57,2 32,4 54,0 24,4 50,8 30,0 46,2 329,0Soja 33,0 33,6 34,8 33,2 32,0 33,4 33,6 42,6 276,2Crot. grantiana 25,8 77,0 21,6 62,4 19,2 63,6 21,0 63,4 354,0Milho 138,8 110,2 106,4 80,0 108,0 92,0 81,8 90,6 807,8Totais 533,2 663,2 474,6 579,2 465,6 610,2 446,2 613,0 4.385,2

Pode-se proceder a analise considerando um experimento em parcela sub-

dividida no delineamento em blocos ao acaso, em que o tempo e a sub-

parcela.

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 42: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Tabela 12: Totais de cada parcela

Tratamentos 1o bloco 2o bloco 3o bloco 4o bloco Totais

Mucuna preta 177,0 170,8 175,0 163,8 686,6Feijao de porco 127,8 128,8 141,0 135,4 533,0Crot. juncea 222,6 195,4 204,0 198,4 820,4Guandu 159,4 134,0 132,4 152,4 578,2Teph. Candida 91,2 86,4 75,2 76,2 329,0Soja 66,6 68,0 65,4 76,2 276,2Crot. grantiana 102,8 84,0 82,8 84,4 354,0Milho 249,0 186,4 200,0 172,4 807,8

Totais 1196,4 1053,8 1075,8 1059,2 4385,2

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

Page 43: EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS - uel.br§ão... · Vantagens e Desvantagens Modelo estat stico An alise de Vari^ancia Exemplo ... DBC, DQL. Posteriormente os n veis do fator

Parcelas Subdivididas

IntroducaoVantagens e DesvantagensModelo estatısticoAnalise de VarianciaExemplo

Tabela 13: Totais anuais

Tratamentos 1o ano 2o ano Totais

Mucuna preta 333,8 352,8 686,6Feijao de porco 205,2 327,8 533,0Crot. juncea 370,0 450,4 820,4Guandu 233,8 344,4 578,2Teph. Candida 120,8 208,2 329,0Soja 133,4 142,8 276,2Crot. grantiana 87,6 266,4 354,0Milho 435,0 372,8 807,8

Totais 1919,6 2465,6 4385,2

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL