EXPERIÊNCIAS COM MALHAS PLANAS E

TRIDIMENSIONAIS

Roberto Alcarria do Nascimento UNESP – FAAC, Departamento de Artes e Representação gráfica

alcarria@faac.unesp.br

Maria Antonia Benutti UNESP – FAAC, Departamento de Artes e Representação gráfica

mariabenutti@faac.unesp.br

Aniceh Farah Neves

UNESP – FAAC, Departamento de Artes e Representação gráfica aniceh@faac.unesp.br

Resumo

A geometria é uma das maneiras de analisar as malhas e de traduzir as estruturas básicas da forma. Ela permite a racionalização de uma aparente desordem propiciando que forma e estrutura possam ser estudadas, modificadas e reproduzidas em variados contextos. Tendo como ponto de partida as estruturas geométricas presentes nas malhas planas, este artigo discute a exploração da forma no espaço bi e tridimensional enquanto atividade didática na formação de arquitetos, artistas e designers. Palavras-chave: malhas, módulos, exploração da forma.

Abstract

The geometry is a way of analyzing the tessellation and to understand the basic structures of the shape. The geometry rationalize that a seeming disorder enabling that form and structure can be studied, modified and reproduced in different contexts. Taking as its starting point the geometrical structures present in the tessellation, this article discusses the exploration of shape in space bi-dimensional and tri-dimensional as didactic activity in the training of architects, artists and designers. Keywords: tessellation, modules, form exploration.

1 Introdução

Revestimento, pavimentação, mosaico... Historicamente, o homem sempre teve a

tendência a dar um “acabamento” em superfícies por ele mesmo manufaturadas. Seja

decorrente da busca de conforto ou visando ornamentação, a criação de padrões para

este fim, quer em pisos, paredes, ou objetos, foi uma constante no decorrer dos

tempos. Presentes em antigas civilizações foram, e ainda são, motivo de análises em

busca dos princípios que orientam sua elaboração a fim de serem recriados e

aplicados nas mais diferentes situações do mundo atual.

A exploração significativa desse tipo de revestimento pelos mouros perdurou pelos

séculos permitindo que se tomasse conhecimento tornando-se objeto de estudos e

pesquisas ainda hoje. Escher, bebendo na fonte desse conhecimento, sem dúvida

constituiu-se um dos grandes intérpretes desse universo ao transportar de forma

extremamente criativa, as estruturas observadas nos mosaicos mouriscos, para um

campo que poderíamos definir “entre a arte e o design”. Ainda hoje os trabalhos de

Escher continuam a ser estudados e explorados, principalmente na educação, dadas

as transformações formais contidas no seu trabalho que dependem de uma estrutura

geométrica.

A geometria é uma das maneiras de traduzir as estruturas básicas da forma. Ela

permite a racionalização de uma aparente desordem propiciando que forma e

estrutura possam ser analisadas, estudadas, modificadas e reproduzidas em variados

contextos. Tendo como pressuposto básico a organização espacial, o foco deste

trabalho se volta para a exploração de nós e malhas no espaço bi e tridimensional.

1 Aspectos teóricos: malha, módulo, mosaico

Buscar os efeitos que as formas podem nos oferecer implica em estudo, análise,

planejamento. O uso de recursos gráficos auxiliares para esse estudo é de

fundamental importância, pois pode proporcionar equilíbrio, harmonia e,

principalmente, ritmo quando há necessidade da repetição, como geralmente acontece

nos revestimentos. Tais recursos se constituem em linhas auxiliares que norteiam o

trabalho do planejamento gráfico da forma e sua disposição no espaço. Wong aponta

para a importância desses recursos quando afirma que:

“A maioria dos desenhos tem uma estrutura. A estrutura serve para controlar o posicionamento das formas em um desenho. [...] A estrutura geralmente impõe ordem e predetermina relações internas de formas em um desenho. Podemos ter criado um desenho sem termos pensado conscientemente em estrutura, porém a estrutura está sempre presente quando há organização” (WONG, p. 59).

Ainda, segundo o mesmo autor, “A estrutura de repetição é a mais simples de

todas as estruturas. É particularmente útil na construção de padrões para recobrir toda

uma superfície” (WONG, p. 61). Das estruturas de repetição, as mais utilizadas são

aquelas formadas por linhas horizontais e verticais, a que esse autor denomina de

“grade básica”. Gomes e Medeiros (2005) vão denominar esse tipo de recurso gráfico

de “malha estrutural” (p. 3)

Quando Sá (1982), talvez um dos primeiros que, no Brasil, fez um estudo bastante

detalhado sobre esse assunto, ao discutir a formação de malhas planas ditas

“regulares” e “semi-regulares” serve-se dessa “malha estrutural” ou “grade básica”

como instrumento auxiliar, onde os “nós” daquelas estariam contidos nessa estrutura,

facilitando o seu traçado geométrico com o uso de régua e esquadro.

Ainda que essa “grade básica” também seja identificada como uma “malha”, em

geral o termo malha costuma ser aplicado quando se trata de configurações um pouco

mais elaboradas, não se restringindo somente a linhas horizontais e verticais.

Normalmente está mais ligado à noção de “pavimentação do plano” e, em termos

geométricos, associa-se à idéia da justaposição de polígonos. Nesse sentido, Barbosa

(1993) afirma que “um conjunto de polígonos é uma pavimentação do plano se, e só

se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamentos o plano.” (p. 3, destaque do

autor). A pavimentação do plano leva a idéia de mosaico que, segundo Coxeter,

(1963, apud PIERCE, 1990, p. 28, tradução nossa), “...é um conjunto infinito de

polígonos, encaixando-se para cobrir todo o plano apenas uma vez, de modo que

todos os lados de cada polígono também pertencem a um outro polígono”.

Os mosaicos, por sua vez, carregam em si a idéia de “padrão”, de “ritmo”. Ching

(1998, p. 220) diz que uma organização em malha consiste em “formas e espaços

cujas posições no espaço e relações entre si são reguladas por um padrão”. E Sá

utiliza o termo “malha repetitiva”, especificando que são “... as que seguem regras de

formação e que, por isso, têm um comportamento estrutural previsível e analisável”

(SÁ, 1982, p.12). Gomes & Machado (2006, p. 32) ponderam que “O ritmo é o

princípio que unifica um movimento formal, gerado pela repetição ou alter-nação

padronizada de elementos na mesma forma, ou em forma modificada com uma regra

constante”.

Se existe um padrão de repetição que regula a organização das formas no

espaço, pode-se admitir que existe um “módulo”, o qual seria a unidade básica que se

repete na formação da malha. Nesse sentido, Silva (1994) afirma que:

“As malhas são estruturas rítmicas que guardam no seu interior muitas formas e ritmos. Constituem-se de formas fechadas e formas abertas, ritmos que se desenvolvem finita e infinitamente. As formas

fechadas constituem unidades denominadas módulos. Módulo é unidade, não apenas de grandeza, mas tomado também como unidade visual. (SILVA, 1994, p. 72)

As malhas são de fundamental importância para estruturar, organizar formas,

consistindo-se num sistema que pode proporcionar equilíbrio, ritmo, harmonia e

beleza, não apenas nas produções de caráter gráfico, próprias da comunicação visual,

como também nos objetos em geral. Sendo assim, constituem-se num tópico que não

pode estar ausente no processo de formação daqueles que, profissionalmente, tem na

forma e sua organização no espaço, seu objeto primeiro de atuação.

É a partir do conceito que Barbosa (1993) e Pierce (1990) adotam para

“pavimentação do plano” ou “tesselation of the plane”, que aqui será utilizado o sentido

para malha. Dependendo dos tipos de polígonos empregados e da maneira como são

combinados entre si, temos diferentes resultados na configuração da malha.

Normalmente o estudo sistemático das malhas parte da combinação de polígonos

regulares.

O agrupamento de polígonos em torno de um único ponto sem que haja

sobreposição ou afastamento é comumente chamado de “nó” e é a unidade básica

que, repetida gera a malha. A soma dos ângulos internos dos polígonos componentes

do nó deve ser igual a 360º.

Sá (1982), Pierce (1990), Barbosa (1993) entre outros autores, apontam três

diferentes classes de malhas planas formadas exclusivamente por polígonos regulares

(Figura 1): as chamadas regulares – em que só figuram polígonos de um tipo (C); as

semi-regulares que misturam dois ou mais tipos de polígonos, mas apenas um tipo de

nó (D); e a semi-regulares que misturam mais de um tipo de nó na sua configuração

(E).

Figura 1: Nós e malhas planas. (Fonte: NASCIMENTO, GIUNTA, NEVES, 2005)

B A C

D E

Apenas os nós ilustrados na figura 1(A) formam malhas regulares. Entretanto,

triângulos eqüiláteros e quadrados também podem formar outras malhas em que não

acontece a sobreposição das figuras. É possível, utilizando-se das mesmas figuras,

compor uma malha tal que a figura base sofra uma pequena translação de modo que o

vértice de uma das figuras fique sobre o lado de outra. Neste caso, apesar de ser

formada por polígonos regulares do mesmo tipo, não é considerada malha regular

(Figura 2A). Barbosa (1993) vai fazer a distinção utilizando o conceito de “figura-

vértice”. “Ao polígono que possui por vértices os pontos médios dos lados que

concorrem num mesmo nó chamamos de figura-vértice” (p. 21 - destaque do autor).

E continua: “Um padrão de pavimentação é padrão regular se, e só se, as figuras

vértice do padrão são polígonos regulares” (p. 21).

Na figura 2A, o nó é formado apenas pelos dois quadrados que tem um vértice

comum, o que gera um triângulo isósceles como “figura vértice”. Na figura 2B, o nó é

formado por quatro quadrados que têm um vértice comum, o que gera um polígono

regular (um quadrado) como “figura vértice” e, consequentemente, a malha gerada a

partir desse nó é regular.

Figura 2: Figuras vértice gerando padrão de pavimentação não regular e regular

Outro conceito importante é o de “malhas duais”, geradas a partir de polígonos

cujos vértices são os centros dos polígonos que formam um nó. No caso das malhas

regulares, as suas duais também resultam regulares. Para a malha quadrada, a dual é

outra malha quadrada; para a malha formada por triângulos eqüiláteros, a dual é uma

malha hexagonal. E para a malha formada por hexágonos a dual é triangular. Os

casos mais interessantes das duais são as geradas a partir de malhas semi-regulares,

pois os polígonos resultantes são irregulares, o que resulta em malhas duais que

apresentam configurações bastante atraentes.

Figura 3: Malhas duais

P

P

A B

De forma semelhante ao que acontece no plano, em que se compõem malhas a

partir de polígonos regulares, também no espaço tridimensional é possível a geração

de malhas pelo agrupamento de poliedros platônicos e arquimedianos, de modo que

não haja espaços vazios entre as formas (SÁ, 1982; PIERCE, 1990). O interessante é

que, dada a regularidade desses agrupamentos, a projeção ortogonal dos mesmos

apresenta padrões similares aos das malhas planas. Além desse tipo de malha em 3D,

Sá (1982) também discute possibilidades de gerar malhas pelo agrupamento de

prismas (retos ou oblíquos) e pirâmides e que seriam formadas a partir de malhas

planas, cujos polígonos seriam as bases dos poliedros.

3 Explorando malhas em atividades didáticas

O caráter estético ou geométrico das malhas, quer no espaço bi ou tridimensional, já

geraram muitos estudos e, sem dúvida, são muito importantes no processo de

formação para arquitetos, artistas ou designers. O que segue são algumas dessas

experiências a partir de diferentes abordagens.

Uma delas nos remete à uma época em que a computação gráfica ainda

significava uma certa novidade para os professores de desenho e os recursos da

máquina não eram tão numerosos quanto hoje. Trata-se de um trabalho denominado

“A estratégia das malhas” em que Loureiro (1997) discute o uso do computador na

formação de nós a partir do agrupamento de polígonos regulares e geração de malhas

em função da repetição dos nós por simetria de translação, exclusivamente nos

sentidos horizontal e vertical. Para isso, estuda o delineamento de um módulo formado

pelo agrupamento de dois ou mais nós, de modo que seja possível a produção da

malha correspondente, deslocando-se o módulo naquelas duas direções (Figura 4).

De certo modo, o trabalho se apóia na chamada “malha estrutural”, mesmo ela não

estando visualmente presente, trabalhando num sentido próximo ao de Sá (1982)

quando aponta caminhos para um traçado prático das malhas com o uso de

esquadros, só que agora, utilizando o computador.

Figura 4: Geração de malhas em função da repetição dos nós por simetria de translação. (Fonte:Loureiro, 1997, p. 71)

Já Almeida, Carvalho, Freitas e Lopes (2009) em trabalho bem recente, exploram

as malhas regulares e irregulares num processo criativo. Da mesma forma que na

experiência anterior, em um dos exemplos apresentados, também trabalham

considerando a grade cartesiana ou “malha estrutural” que passa pelos vértices dos

polígonos que compõem a malha inicial. Assim, variando a distâncias entre essas

linhas que compõem a grade, é possível gerar malhas transformadas, obtendo

resultados bastante significativos (Figura 5).

Figura 5: Metamorfose da malha a partir da alteração da grade original (Fonte: ALMEIDA, CARVALHO, FREITAS E LOPES, 2009, p. 1681)

No espaço tridimensional, explorando as possibilidades de agrupamento de

poliedros regulares e semi-regulares descrito por Sá (1982), Costa et all (1999)

discutem sobre a organização de conjuntos arquitetônicos a partir dessas malhas

poliédricas e as simetrias dos poliedros (Figura 6). Os autores vão além das simples

formas externas dos espaços residenciais, discutindo a possibilidade de montagem

das mesmas por placas modulares até equipamentos mobiliários.

Figura 6: Conjunto arquitetônico em malha poliédrica (Fonte: Costa et all, 1999, p. 17)

Quando se discute as malhas no tridimensional o usual é a abordagem em função

dos poliedros regulares e semi-regulares. Entretanto, como afirmam Almeida et all

(2009, p. 1673),

...o estudo da divisão do plano por polígonos é de fundamental importância quando observamos as diferentes aplicações possíveis e percebemos que a geometria subjacente pode extrapolar as expectativas do estudo restrito a formação de uma malha poligonal plana.

Assim, a seguir são descritas algumas possibilidades a partir de experiências

realizadas nos cursos de arquitetura, design e artes da FAAC-Unesp de Bauru,

voltadas para uma outra abordagem onde se busca gerar formas tridimensionais,

tendo por base os nós e as malhas planas, e não aquelas formadas pelo agrupamento

de poliedros regulares ou semi-regulares. A preocupação nessas atividades não é a

geração de uma malha 3D fechada, sem que haja espaços vazios, mas a criação e

composição de formas tridimensionais (isoladas ou não), a partir de nós e malhas

planas.

Uma experiência possível é a associação dos conceitos teóricos sobre primas com

os nós e malhas planas. Escolhe-se um dentre os nós obtidos para a formação de

malhas semi-regulares, explorando-se tridimensionalmente através de formas

prismáticas cujas bases são os polígonos que compõem o nó. Variação na altura dos

prismas, bem como o uso de formas vazadas, são recursos que podem ser utilizados

e que ajudam no visual da composição tridimensional final (Figura 7).

Figura 7: Composição com malhas e prismas (Fabiana Pereira - Educação Artística)

Na figura 8, a atividade é semelhante, porém além de se trabalhar com a malha

dual, como uma estrutura auxiliar incorporada à malha original, há uma maior

exploração dos espaços vazados.

Figura 8: Exploração da malha semi-regular e sua dual. (Daniela R. de Lima - Design)

Outra possibilidade é a exploração de um módulo a partir da malha plana (regular

ou semi-regular), utilizando-se da estrutura geométrica que a própria malha pode

oferecer. Faz-se a extrusão do mesmo e depois busca-se composições espaciais em

função da repetição desse módulo, mas sem perder a malha original como referência

(ou seja, sem haver sobreposição de volumes). Na composição do módulo espacial

também é possível estabelecer alturas diferentes paras os poliedros que compõem o

mesmo, acrescentando maior plasticidade à composição (Figuras 9).

Figura 9: Composições tridimensionais a partir de módulos (Flávia M. Matsouca – Arquitetura e João Sene – Educação Artística)

As experiências acima descritas estão próximas do trabalho de Sá (1982) em que

ele denomina de “malha ortogonal”, isto é, aquelas geradas por prismas retos cuja

base inferior seria uma malha plana regular ou semi-regular.

Por outro lado, a experiência abaixo já tem uma relação mais próxima ao que o

mesmo autor denomina de “malhas de pirâmides”, as quais continuam tendo por base

uma malha plana.

Nesta atividade explora-se a malha semi-regular juntamente com sua dual e, a

forma tridimensional é gerada com a elevação das cotas, em diferentes alturas, dos

diversos pontos formados pela estrutura de base, podendo-se gerar pirâmides ou

primas (Figura 10). Embora a proposta esteja pautada no estudo das arestas ela

propicia uma análise muito interessante das faces originadas nesta maneira de

geração do tridimensional.

Figura 10: Exploração das malhas semi-regular e sua dual para geração de elementos tridimensionais (Letícia Thaís de Marchi Furuya, Larissa Ayumi Nakahata e Raquel Gamon

Sonobe – Arquitetura).

4 Considerações finais

As experiências apresentadas contribuem para ampliar o repertório teórico e formal

dos futuros profissionais dos diversos setores de atividades: arquitetura, design, artes

visuais. Estimulam o espírito de busca e o exercício da criatividade, habilidades

essenciais para aqueles que atuam no trato com a forma.

A pesquisa de novas configurações visando explorar o espaço tridimensional a

partir do bi lança o desafio de melhor compreendê-las geometricamente sob a forma

de projeções ortogonais e de maquetes.

As atividades realizadas não incorporaram, de forma sistemática, o uso da

computação gráfica. Mas quer ser uma experiência que propicie condições de associar

um trabalho que envolva os procedimentos informatizados sem perder os conceitos

mais significativos que o desenho tradicional sempre procurou oferecer.

Referências

ALMEIDA, I. A.C.; CARVALHO, G. L. de.; FREITAS E LOPES, A. V. de. Malhas: transformando para criar. In XIX Simpósio Nacional de Geometria Descritiva e Desenho Técnico – VIII International Conference on Graphics Engineering for Arts and Design. Anais... Bauru: UNESP, 2009. CD-ROM, p.1672-84.

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993

CHING, Francis D. K. Arquitetura, forma, espaço e ordem. São Paulo: Martins Fontes, 1998. p. 220.

COSTA, Mario Duarte da; CORREIA, Ana Magda Alencar; OLIVEIRA, Vilma Maria de. Vantagem da simetria ternária sobre a quaternária nas aplicações arquitetônicas das malhas poliédricas. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENGENHARIA GRÁFICA NAS ARTES E NO DESENHO, 2 e SIMPÓSIO NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA E DESENHO TÉCNICO, 13. Feira de Santana, 1998. Anais... Feria de Santana: UEFS, 1998, p. 406-16.

COSTA, Mario Duarte da; et all. Uso arquitetônico de malhas poliédricas não cúbicas. GRAF & TEC, n. 5. Florianópolis: UFSC, 1999, p. 11-25

GOMES, L. A. V. de N.; MACHADO, C. G. da S. Design: experimentos em desenho – técnicas de representação gráfica apoiadas por princípios e movimentos de simetria úteis à criatividade na prática do design. Porto Alegre: UniRitter, 2006.

GOMES, L. Vidal N.; MEDEIROS, Lígia M. Sampaio. Ordem e arranjo em Desenhos Industriais. In Anais virtual Graphica 2005. Recife: UFPE, 2005.

LOUREIRO, Maria Alzira. A estratégia das malhas. Educação Gráfica. v. 1, n 1. Bauru; UNESP, 1997, p. 63-77

NASCIMENTO, R. A. do; GIUNTA, M. A. B.; NEVES, A. F. Desenho geométrico sob o enfoque da geração e organização da forma. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENGENHARIA GRÁFICA NAS ARTES E NO DESENHO, 3 e SIMPÓSIO NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA E DESENHO TÉCNICO, 14. Ouro Preto, 2000. Anais... Ouro Preto: UFOP, 2000, CD-ROM.

NASCIMENTO, R. A. do; GIUNTA, M. A. B.; NEVES, A. F. Formas poliédricas como meio de inserção da computação gráfica na disciplina Geometria Descritiva. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENGENHARIA GRÁFICA NAS ARTES E NO DESENHO, 5 e SIMPÓSIO NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA E DESENHO TÉCNICO, 17. Recife, 2005. Anais... Recife: UFPE, 2007, CD-ROM.

PIERCE, Peter, Structure in nature is a strategy for design. Cambridge: The MIT Press, 1990.

SÁ, Ricardo. Edros. São Paulo: Editora Projeto, 1982

SILVA, B. F. C. Forma e estrutura – contribuição para o ensino do desenho na formação do arquiteto. 1994. 138 f. Dissertação (Mestrado em Arquitetura) – Faculdade de Arquitetura e Urbanismo, Universidade de São Paulo, São Paulo.

WONG, Wucius. Princípios de forma e desenho. São Paulo: Martins Fontes, 1998.