UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL

ALEF MAIA DE MELO

VIBRAÇÃO DE UMA VIGA SUBMETIDA À FORÇA DE DESBALANCEAMENTO

BELÉM, 2016

ALEF MAIA DE MELO

VIBRAÇÃO DE UMA VIGA SUBMETIDA À FORÇA DE DESBALANCEAMENTO

Trabalho referente à Disciplina de Vibrações

Mecânicas da Faculdade de Engenharia Naval,

ministrada pelo Professor Dr. Newton Soeiro.

BELÉM, 2016

3

RESUMO

O experimento, a respeito de uma viga sendo forçada permanentemente

por meio de um motor, no qual rotacionava um disco desbalanceado, fez-se

importante para analisar a influência da excitação sobre os efeitos do sistema.

Analisaram-se, por via analítica e experimental, a influência da excitação sobre

a razão de amplitude, amplitude propriamente dita e ângulo de fase da resposta.

Determinaram-se também a frequência natural e o fator de amortecimento do

sistema. Muitos dos resultados são apresentados por meio de tabelas ou

gráficos.

Palavras – chaves: Ressonância. Amortecimento. Frequência.

Comportamento dinâmico.

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1) INTRODUÇÃO

Diz-se que um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração forçada sempre

que a energia externa é fornecida ao sistema durante vibração. A energia externa

pode ser fornecida por meio de uma força aplicada ou por excitação de

deslocamento imposta. A resposta de um sistema dinâmico a excitação não-

periódica aplicadas repetidamente é denominada resposta transitória (Rao,

2008).

Se a freqüência de excitação coincidir com a freqüência natural do sistema,

a resposta do sistema será muito grande. Essa condição, conhecida como

ressonância, deve ser evitada, para impedir falha do sistema. A vibração

produzida por uma máquina rotativa desbalanceada, as oscilações de uma

chaminé alta provocadas por emissão de vórtices (redemoinhos) sob ventos

constantes, e o movimento vertical de um automóvel sobre a superfície senoidal

de uma estrada são exemplos de vibração excitada harmonicamente. (Rao,

2008).

Este trabalho trata do relato de um experimento vibratório causado pelo

desbalanceamento de um disco que rotaciona com um furo – ausência de massa

– a certa distância de seu centro, denominada aqui por excentricidade. A partir

disso, a fundamentação teórica se faz útil para explicar todo o conhecimento

necessário para o completo entendimento do experimento.

Como principais objetivos do experimento, tem-se a geração de um gráfico,

para o modelo equivalente, relacionando a resposta com a frequência imposta

ao sistema e outro entre o ângulo de fase em função da mesma frequência,

contrastando estas informações com a resposta e ângulo de fase referente ao

modelo real.

2) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Determinação da constante de rigidez da viga bi apoiada. Demonstrar se há

neste trabalho o valor analítico da constante de rigidez de uma viga bi apoiada.

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Para tanto, a partir do conteúdo base fundamentado por Nash (1982), realizar-

se-á uma extensa análise matemática a respeito das deduções da equação da

tensão normal devido ao momento fletorM e da equação diferencial da linha

elástica da viga.

Considera-se a viga abaixo sendo solicitada por flexão pura através de dois

momentos. Para determinar a distribuição das tensões normais numa seção

transversal qualquer, admite-se que se corte a viga ao longo dessa seção

transversal. Portanto, os esforços em questão passam a ser externos

relativamente à parte externa que se conservou, embora sejam internos

relativamente ao corpo inicial.

A figura 1 abaixo ilustra o “corte” a certa distância da extremidade da

esquerda da viga, bem como a área da seção transversal localizada à esquerda

do “corte”.

Figura 1-Viga sendo fletida.

Evidentemente, atua-se um momento M na seção transversal

correspondente ao corte efetuado, para que a mesma esteja em equilíbrio. Este

momento representa o efeito da parte direita ao corte sobre a parte da esquerda.

Tal efeito é a soma dos momentos das forças atuantes na parte da viga, à direita

do corte efetuado, em relação ao centro da gravidade da seção transversal

considerada. Para determinar as tensões relacionadas ao momento M,

necessita-se de certas hipóteses.

Como hipóteses, supõe-se que a viga seja constituída de um número finito

de fibras paralelas entre si e dispostas longitudinalmente, sem que haja

dependência entre as mesmas. Então, cada fibra está submetida à força axial de

tração ou de compressão. Além do mais, considera-se que as seções

transversais permaneçam planas durante o carregamento e que o material

obedeça à Lei de Hook e ainda que os módulos de elasticidade do material, tanto

de compressão, quanto de tração, sejam iguais.

6

A figura 2 mostra a viga sendo carregada por momento externo, assim

como as seções transversais aa e bb. Antes do carregamento, as referidas

seções eram paralelas entre si, após o carregamento, portanto, elas giraram,

entretanto, ainda se encontram planas. Observa-se que as fibras superiores

diminuem de comprimento, são comprimidas, e as inferiores são tracionadas. A

linha cd representa a semi-reta conferida à linha neutra. Considera-se a fibra

distante y da linha neutra – yé paralelo à aa. Sendo ρ o raio de curvatura da viga

deformada, por semelhança de triângulos (cOde edf), onde O é o centro da

curvatura, determina-se a deformação correspondente à tal fibra em y.

Figura 2-Viga fletida.

Eq. 1:

𝜖 = 𝑒𝑓

𝑐𝑑=

𝑑𝑒

𝑐𝑂=

𝑦

𝜌

As deformações das fibras longitudinais são proporcionais à distância y

da linha neutra.

Valendo-se da Lei de Hook, onde E=σ/ϵ, tem-se que as tensões são

propocionais às distâncias y, ou seja:

Eq. 2:

𝜎 =𝐸

𝜌 . 𝑦

Portanto, tem-se a equação 3 relacionada à força axial atuante na fibra:

7

Eq. 3:

𝑑𝐹 =𝐸

𝜌 . 𝑦. 𝑑𝑆

Onde dS representa a área infinitesimal da seção transversal da viga.

Entretanto, a resultante de todas as forças atuantes em todas as fibras deve se

manter nula, já que se considera que apenas haja momento fletor como agente

externo sobre a seção, logo:

Eq. 4:

ʃ = 𝑑𝐹 = ʃ(𝑠)

𝐸

𝜌 . 𝑦. 𝑑𝑆 =

𝐸

𝜌 . ʃ(𝑠)𝑦. 𝑑𝑆

O momento da força dF, em relação à linha neutra, é:

Eq. 5:

𝑑𝑀 = 𝑦. 𝑑𝐹 = 𝑦. (𝐸

𝜌 . 𝑦. 𝑑𝑆)

A soma de todos os momentos relativa à seção transversal considerada

deve ser igual ao momento fletor que nela atua:

Eq. 6:

𝑀 = ʃ(𝑠)

𝐸

𝜌 . 𝑦². 𝑑𝑆

Mas, sabe-se que:

Eq. 7:

𝐽 = ʃ(𝑠)𝑦². 𝑑𝑆

Portanto:

Eq. 8:

𝑀 =𝐸. 𝐽

𝜌

Utilizando a Eq. 2, tem-se que:

8

Eq. 9:

𝜎 =𝑀

𝐽 . 𝑦

Chamando-se de c a distância da linha neutra à uma das extremidades

da seção transversal, tem-se a expressão da tensão máxima:

Eq. 10:

𝜎 =𝑀

𝐽 . 𝑦

Por sequência, Branco (1998) explica como obteve a equação diferencial

da linha elástica. Para isso, a figura 3 representa a forma da curva elástica, em

que o centro de curvatura de um ponto qualquer do eixo neutro é o ponto O.

Figura 3-Forma elástica submetida à flexão por um momento fletor M.

O raio de curvatura correspondente a esse ponto O será ρ e a relação

entre a curvatura e o momento fletor já foi mostrado na Eq. 8.

Para deduzir uma equação que dê a relação entre a curvatura e a forma

do eixo neutro, consideram-se dois pontos adjacentes, a e b, a uma distância ds.

Sendo dO o ângulo que a tangente no ponto a faz com o eixo xx, o ângulo entre

as normais à curva em a e b será dO. O centro da curvatura será definido pela

interseção dessas normais, onde se define o comprimento ρ do raio de curvatura.

Portanto, tem-se a E. 11.

9

Eq. 11:

𝑑𝑠=𝜌.𝑑𝑂

E

1

𝜌= −

𝑑𝑂

𝑑𝑠

Considerou-se o sinal negativo da equação acima porque o ângulo O

decresce à medida que o ponto a se desloca na curva de A para B. Portanto, a

um aumento positivo de ds corresponde a um negativo para dO. Na prática, os

deslocamentos permitidos são muito pequenos e por conseguinte as linhas

elásticas serão muito achatadas. Portanto, neste caso, pode escrever-se com

precisão suficiente.

Eq. 12:

ds = dx e O = tgO = 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Substituindo os valores da Eq. 12 na E1. 11, tem-se:

Eq. 13:

1

𝜌= −

𝑑²𝑦

𝑑𝑥²

Logo,

Eq.14:

−𝑑²𝑦

𝑑𝑥²=

𝑀

𝐸𝐽

Retomando ao conteúdo de Nash (1982), determinar-se-á a equação da

linha elástica de uma viga bi-apoiada, como mostra a figura 4.

10

Figura 4-Viga bi-apoiada carregada por uma força P.

Por simetria, as reações de apoio são iguais a P/2. O momento fletor, para

x compreendido entre zero e 0,5.l, é:

Eq. 15: para 0 <= x<= 0,5.l

M = 𝑃

2 . 𝑥

Então, para esse trecho de viga:

𝐸𝐽.𝑑²𝑦

𝑑𝑥²= 𝑀 =

𝑃

2. 𝑥

Integrando a E. 15, tem-se:

Eq. 16:

𝐸𝐽.𝑑²𝑦

𝑑𝑥²= (

𝑥²

2) + 𝑐1

Por simetria, a rotação O = dy/dx é nula para x = 0,5.l, logo:

Eq. 17:

𝑐1 = −𝑃

2. (

(𝑙2)

2

2)

Portanto,

𝐸𝐽.𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑃

4. 𝑥2 −

𝑃

16. 𝑙²

11

Integrando a Eq. 17, tem-se:

Eq. 18:

𝐸𝐽. 𝑦 =𝑃

4. (

𝑥

3)

3

−𝑃

16. 𝑙2. 𝑥

Evidentemente, a flecha máxima é dada quando x = l/2, portanto:

Eq. 19:

𝐸𝐽. 𝑦𝑚á𝑥. =𝑃. 𝑙³

48

Ou

3) RESULTADOS

No dado experimento foram dadas entradas de frequência, 9 no total, e para

cada valor, foram observadas uma amplitude e uma fase, conforme mostrado na

tabela seguinte.

Tabela1: Dados experimentais.

Medida Ângulo de fase (°) Amplitude

(mm)

Frequência

rpm Rad/s

1 145 1,24 825 86,39

2 170 1,49 950 99,48

3 180 1,8 1000 104,72

4 190 2,39 1025 107,33

5 270 6,74 1050 109,95

6 295 4,08 1075 112,57

7 310 2,66 1100 115,19

8 335 1,76 1150 120,42

9 345 1,55 1200 125,66

Como pode ser observado na tabela, a maior amplitude corresponde à

frequência de 1050 rpm (ou 109,95 rad/s) e à fase 90°, a qual já era conhecida.

12

Sabe-se que o maior valor da amplitude é atingido na ressonância, quando a

frequência de excitação é igual a frequência natural do sistema. Portanto, pode-

se concluir que a frequência natural deste sistema é 1050 rpm (ou 109,95 rad/s).

Para continuar os resultados do experimento, deve-se calcular a frequência

natural analítica ou teórica do sistema. Para isso, deve-se encontrar rigidez e

massa equivalentes. Rigidez equivalente 𝐾 = 48𝐸𝐼 𝐿 3 𝐼 = 𝑏ℎ 3 12 = 25,4 × 10−3

× (12,75 × 10−3 ) 3 12 = 4,387 × 10−9𝑚4. Sabendo que 𝐸 vale 210 𝐺𝑃𝑎, podemos

calcular 𝐾: 𝐾 = 48 × 210 × 109 × 4,387 × 10−9 0,8143, 𝐾 = 81,988 × 103 𝑁⁄𝑚.

Deve-se atentar para os detalhes das massas envolvidas, onde m corresponde

à massa da viga e M à soma das massas do motor e do disco, considerando-se

o furo 𝑚𝑒𝑞 = 17𝑚 35 + 𝑀. Então, para encontrar a massa m, basta multiplicar

seu volume total pela massa específica do material: 𝑚 = 𝑏 × ℎ × 𝑙 × 𝜌 = 0,0254 ×

0,01275 × 0,814 × 7800 = 2,056 𝐾𝑔 𝑀 = 3,226 + 0,4046 (𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜

𝑓𝑢𝑟𝑜) = 3,6306 𝐾𝑔. Logo, a massa equivalente será: 𝑚𝑒𝑞 = 17𝑚 35 + 𝑀 = 17 ×

2,056 35 + 3,6306 = 4,629 𝐾𝑔. Frequência natural analítica 𝜔𝑛 = √ 𝐾𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛

= √ 81,988 × 103 4,629 𝜔𝑛 = 133,08 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 𝑜𝑢 1270,92 𝑟𝑝𝑚. Com as frequências

naturais experimentais e analíticas em mãos, é possível calcular o erro

percentual relativo e relação de frequência (𝑟) e o fator amplificação (R) para

ambos os casos. Erro percentual da frequência natural relativo ao valor

experimental 𝐸𝑟𝑟𝑜𝜔𝑛% = |𝜔𝑛𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 – 𝜔𝑛𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜| 𝜔𝑛𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 × 100

= |109,95 – 133,08| 109,95 × 100 = 21,03% Gráfico das amplitudes teóricas e

experimentais em função da relação de frequência. As amplitudes experimentais

foram medidas no micrômero durante o experimento e as teóricas são

encontradas utilizando-se a força resultante do processo de desbalanceamento.

O desbalanceamento pode ser encontrado substituindo os valores da rotação,

da excentricidade e da massa excêntrica. Lembrando que: 𝑋 = 𝐹0 𝑘𝑒𝑞 ⁄ √(1−𝑟

2)2+(2𝜉𝑟)2 (𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒) (14) E 𝑟 = 𝜔 𝜔𝑛 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎).

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Tabela 2: Amplitude (X) x relação de frequência (r)

X

r Experimental Analítico

0,78571 1,24 1,50

0,90476 1,49 1,80

0,95238 1,8 2,18

0,97619 2,39 2,89

1 6,74 8,16

1,02381 4,08 4,94

1,04762 2,66 3,22

1,09524 1,76 2,13

1,14286 1,55 1,88

Fonte: Autor

Gráfico 1: Amplitude x relação de frequência

Gráfico dos fatores de ampliação e experimentais em função da relação

de frequência. O fator de amplificação, ainda não apresentado no relatório, é

uma relação entre a amplitude da vibração no regime permanente, 𝑋, e o

deslocamento 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 AMPLITUDE

14

(X) RELAÇÃO DE FREQUÊNCIA (R) Amplitude x Relação de frequência

Experimental Analítico devido à aplicação estática da amplitude dessa mesma

força, 𝐹0⁄𝐾𝑒𝑞, ou seja, o fator de amplificação é a relação entre o efeito dinâmico

da aplicação da força harmônica 𝐹(𝑡) e o efeito estático da aplicação da

amplitude dessa mesma força:

𝑅 =𝑋

𝐹𝑜

𝐾𝑒𝑞

=1

√(1 − 𝑟2)2 + (2𝜉𝑟)²

Para criar a tabela de dados, apenas esta fórmula será utilizada.

Diferentemente da amplitude, o fator de amplificação experimental não é colhido

no ato do experimento e deve ser calculado assim como o teórico.

Tabela 3: fator de ampliação (𝑅) x relação de frequência (𝑟)

R

r Experimental Analítico

0,78 1,99 2,4085

0,90 1,81 2,1906

0,95 1,97 2,3843

0,98 2,49 3,0136

1 6,69 8,0969

1,02 3,87 4,6839

1,05 -2,41 2,9168

1,01 1,45 1,7549

1,14 1,17 1,4161

Fonte:Autor

15

Gráfico 2: fator de ampliação de frequência

Fonte: Autor

Gráfico das fases em função da relação de frequência. As fases

experimentais foram medidas com o auxílio da lâmpada estroboscópica durante

o experimento.

Tabela 4: relação de frequência (r) x ângulo de fase (ϕ)

r Ângulo de

fase

0,78 145

0,90 170

0,95 180

0,98 190

1 270

1,02 295

1,05 310

1,01 335

1,14 345

Fonte: Autor

16

Gráfico 3: Ângulo de fase x relação de frequência

Fonte: Autor

4) CONCLUSÃO

O experimento foi de suma importância devido à total compreensão a respeito

do fenômeno da ressonância. Percebeu-se a imensa influência da frequência de

excitação sobre o comportamento da viga. Pode-se entender com melhor clareza

o comportamento de um sistema quando excitado por uma força permanente,

bem como entender maior clareza as notas de aula da disciplina vibrações

mecânicas. A respeito dos resultados, primeiramente, determinou-se o valor da

frequência natural do sistema e o comparou com seu resultado quando definido

pela fórmula analítica. Como resultado de comparação, houve um erro de pouco

mais de 29%. Outro valor possível de ser confirmado através dos resultados do

experimento foi o fator de amortecimento, o qual se apresentou bastante

desprezível, sendo quase nulo. Atribui-se o amortecimento devido à histerese

mecânica proveniente da movimentação dos planos cristalinos dos materiais

envolvidos. Como próximo passo, determinou-se, por via analítica e

experimental, a influência da razão de frequência sobre a razão de amplitudes.

O resultado foi apresentado por meio de um gráfico, o qual mostrou uma

17

semelhança entre métodos. 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310 330 350

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 ÂNGULO DE FASE

RELAÇÃO DE FREQUÊNCIA Ângulo de fase x Relação de frequência

Determinou-se em seguida, também por meio analítico e experimental, a

influência da razão de frequência sobre a amplitude dinâmica da viga. O

resultado também se baseou por um gráfico, entretanto, mostra-se certa

disparidade entre as formas de obtenção. A via analítica evidencia a elevada

amplitude da viga quando em ressonância. Já a via experimental de obtenção

dos resultados mostra os mesmos sem bastante significância naquela região.

Isso se deve ao fato de o sistema, quando em pouco tempo, consegue transmitir

a energia que se faria como preponderante para elevar o deslocamento aos

extremos, a ponto de estabelecer um colapso permanente na viga. Como último

resultado, comparou-se a influência da razão de frequência, por via analítica e

experimental, sobre o ângulo de fase de resposta do sistema. Os resultados se

estabeleceram com certa disparidade devido a imprecisões em coleta dos

dados, principalmente.

5) REFERÊNCIAS

RAO, S.S. Vibrações mecânicas – 4ª Edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall,

2008;

SOEIRO, N.S. Curso de Fundamentos de Vibrações e Balanceamento de

Rotores. Belém, 2008.

SOEIRO, N.S. Notas de Aula, Apostila de Vibrações Mecânicas. Pará:

Universidade Federal do Pará, 2013.

THOMSON, W. T. Teoria da vibração: com aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro:

Editora Interciência, 1978;