1

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

LICENCIATURA EM ENGENHARIA E ARQUITECTURA

NAVAL

HIDRODINÂMICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

J.A.C. Falcão de Campos 2006-2007

2

Capítulo 2 Aplicação da Análise Dimensional a Problemas de Hidrodinâmica. Ensaios com Modelos Reduzidos

1. Ondas de pequena amplitude propagam-se em água pouco profunda 1<<λh com uma celeridade pV (velocidade da fase) independente do seu comprimento de onda.

Aplique a análise dimensional para mostrar que, nessas circunstâncias, 21)(ghVp ∝ e

que o período 21)( −∝ ghT λ . Determine qualitativamente a variação do comprimento de onda que ocorre quando ondas de um certo período constante se aproximam de uma praia de profundidade decrescente. Resolução: A variável cujo efeito se pretende caracterizar é a profundidade h . Tomando como variável dependente a celeridade pV e atendendo a que esta é independente do comprimento de onda, tem-se ),,,( ρghAfV p = Seleccionando como variáveis primárias h , g e ρ obtêm-se os grupos adimensionais

2/11 )( −= ghVpπ e hA /2 =π e a análise dimensional permite estabelecer que

)()( 2/1 h

Afgh

Vp =

Para ondas de pequena amplitude, 1/ <<hA , tem-se

.)0()( 2/1 constf

gh

Vp =≅ ,

de onde se deduz que 2/1)(ghVp ∝ A variação do período pode obter-se da relação TV p /λ= , o que permite obter 2/1)( −∝ ghT λ

3

Se o período for constante e a profundidade diminuir, a relação anterior mostra que o comprimento de onda se reduz de acordo com 2/1h∝λ .

4

2. Determine os valores máximos da densidade e do peso de um corpo esférico com 0,5 m de diâmetro admissíveis para que a sua velocidade final descendente não exceda 0,3 m/s quando largado em água salgada à temperatura de 5° C. Se a densidade do corpo for conhecida com um erro relativo de ±1%, com que erro poderá ser conhecida a velocidade final descendente? Resolução: Um corpo em queda num fluido atinge a velocidade final constante quando as forças que actuam sobre o corpo se encontram em equilíbrio. Em rigor, esta velocidade terminal só se atinge assimptoticamente para um tempo infinito. No entanto, ao fim de um intervalo de tempo finito podemos considerar que a velocidade é praticamente igual à velocidade final. Assim, a esfera atinge a velocidade final quando PDI =+ , em que I é a força de impulsão, D a resistência viscosa e P o peso. A força de impulsão é igual ao peso do volume de líquido deslocado V gVI ρ= , (1) em que ρ é a massa específica do líquido e g a aceleração da gravidade. O peso do corpo é gVP cρ= , (2) em que cρ é a massa específica do corpo. Se designarmos por d o diâmetro do corpo, o volume deslocado é

361 dV π= . (3)

A resistência viscosa em escoamento estacionário será

SUCD D2

21 ρ= , (4)

em que DC é o coeficiente de resistência, U a velocidade e 4/2dS π= a área frontal da esfera.

5

Substituindo (2), (3) e (4) em (1) obtém-se

gd

UCDc

2

431+=

ρρ

. (5)

Para a determinação do valor máximo de massa específica do corpo com a equação (5) é necessário determinar o coeficiente de resistência da esfera. O coeficiente de resistência depende apenas do número de Reynolds )(RCC DD = (6) estando esta curva disponível através dos resultados experimentais da Fig. 2.5. A viscosidade cinemática da água salgada à temperatura de 5º C é

1261056,1 −−×= smυ (Tabela A.2). O número de Reynolds será

1

56 2 1

0,3 0,5 0,962 101,56 10

Ud ms mRm sυ

−

− −

×= = = ×

×

e o coeficiente de resistência correspondente na Fig. 2.5 é 5,0=DC Substituindo smU / 3,0= , 2/ 8,9 smg = e smd / 5,0= em (5) obtém-se

0069,15,08,9

)3,0(5,0431

2=

×××+=

ρρc

Dado que para a água salgada a 5º C 3/ 6,1027 mKg=ρ , tem-se 3/ 7,1034 mKgc =ρ . O peso será NNgVP c 6,663 6/5,08,97,1034 3 =×××== πρ . Resolvendo a equação (5) em ordem à velocidade vem

134

−=ρρc

DCgdU

6

Utilizemos a fórmula de propagação de erros relativos para determinar o erro relativo de U , sabendo que dc =ρρ / tem um erro relativo de %1± . Assim, o erro relativo da velocidade será

)(12

1)()1(21)1(

21)1()( 1 de

dddEddedeUe−

=−=−=−= −

Calculando com

007,16,1027/7,1034/ === ρρcd vem 72,001,0)007,0/007,1(5,0)( =××=Ue , ou seja 72%.

.

7

3. A resistência de um submarino de investigação oceanográfica de 9 m de comprimento vai ser determinada a partir de ensaios num túnel aerodinâmico com um modelo de 1,5 m de comprimento e área molhada 1,2 m2. A força de resistência medida com o modelo no túnel aerodinâmico à velocidade de 30 m/s é de 7,9 N, sendo a temperatura do ar de 25 °C. Para o submarino protótipo imerso a grande profundidade em água salgada a 15 °C, determine: a) a velocidade do submarino para a qual se pode determinar a sua resistência com a maior exactidão. b) a melhor estimativa possível da sua resistência se a sua velocidade for de 2 m/s. Indique se esta estimativa poderá ser melhorada aumentando ou diminuindo no ensaio a temperatura do ar no túnel. Resolução: As massas específicas e as viscosidades cinemáticas dos fluidos do protótipo e do modelo são dadas na tabela seguinte para as respectivas temperaturas:

Temperatura (º C) )/( 3mKgρ )/( 2 smυ Ar 25 1,184 51055,1 −×

Água salgada 15 1025,9 61019,1 −× a) A resistência do submarino será prevista com a maior precisão para a velocidade à

qual se obtém semelhança dinâmica entre os dois escoamentos, ou seja, para a velocidade à qual ocorre a igualdade dos números de Reynolds no modelo e no protótipo:

m

mm

s

ss lUlUυυ

= .

Resolvendo em ordem a sU e substituindo valores tem-se

11125

126384,030

1055,11019,1

95,1 −−

−−

−−=×⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×

××⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= msms

smsm

mmU

ll

U mm

s

s

ms υ

υ.

b) À velocidade de sm / 2 do submarino não se verificam condições de semelhança

dinâmica entre o modelo e o protótipo. Com efeito, o número de Reynolds do modelo é

6125

11090,2

1055,15,130

×=×

×==

−−

−

smmmslU

Rm

mmm υ

8

e o número de Reynolds do submarino é

7126

11051,1

1019,192

×=×

×==

−−

−

smmmslU

Rs

sss υ

.

Podemos proceder à extrapolação da resistência recorrendo à fórmula da I.T.T.C. Decompomos a resistência nas componentes de atrito e de pressão. Assim, temos para o submarino PSFSD CRCRC

S+= )()( ,

e para o modelo PmFmD CRCRC

m+= )()( .

Subtraindo as duas equações anteriores, podemos escrever )()()()( SFmFmDSD RCRCRCRC

mS+−=

A fórmula da I.T.T.C.

C RRF ( )

,(log )

=−

0 075210

2

fornece para o submarino e para o modelo, com os respectivos valores do número de Reynolds,

003766,0)2(log

075,0)( 210

=−

=m

mFR

RC , 002796,0)2(log

075,0)( 210

=−

=S

SFR

RC .

O coeficiente de resistência total no caso do modelo calcula-se a partir do ensaio

01236,02,1)30(184,1

21

9,7

21 22132

=×××

==−− mmsKgm

N

SU

DCmm

Dmρ

.

Assim, tem-se 01139,0002796,0003766,001236,0 =+−=

SDC

9

Para o cálculo da resistência do submarino precisamos da área molhada do submarino. Esta pode obter-se da relação entre as áreas do protótipo e do modelo, válida para corpos geometricamente semelhantes,

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

m

S

m

Sll

SS

,

isto é

222

2,432,15,1

9 mmm

mSll

S mm

SS =×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

A resistência será

NmmsKgmSUCD SSSDS S6,10092,43)2(9,1025

2101139,0

21 22132 =××××== −−ρ .

A previsão da resistência seria melhorada aumentando o número de Reynolds do teste no túnel aerodinâmico. Este aumento podia ser obtido diminuindo a viscosidade do ar, o que se consegue reduzindo a temperatura do ar no túnel.

10

4. Pretende-se determinar a resistência de um navio de 200 m de comprimento à velocidade de 20 nós em água salgada a 15 °C, recorrendo a um ensaio de resistência num canal de ensaios de reboque de um modelo reduzido do navio com 2 m de comprimento. A temperatura da água doce do canal é de 15 °C. A superfície molhada do navio é de 6000 m2 e o seu deslocamento é de 190 MN. Nestas condições determine: a) o peso do modelo. b) a área molhada do modelo. c) a velocidade de reboque que deve ser utilizada no ensaio de resistência. d) uma estimativa da resistência do navio utilizando a linha da ITTC, sabendo que a força de resistência medida no modelo foi de 1,6 N. e) a velocidade do modelo à qual se verificaria a igualdade do número de Reynolds entre o modelo e o navio. Resolução: a) O peso do modelo é igual ao deslocamento do modelo, isto é mmm gVP ρ= , em que mρ é a massa específica da água doce, g a aceleração da gravidade e mV o volume de água deslocado do modelo. Tem-se

3)(s

m

S

m

SS

mm

S

mll

gVgV

PP

ρρ

ρρ

==

de onde se pode escrever

NNgVll

P SSS

m

S

mm 0,18510190)

1001(

9,10251,999)( 633 =××== ρ

ρρ

b) A partir das condições de semelhança geométrica entre o navio e o modelo, tem-se

que a relação entre as áreas molhadas do modelo e do navio deve ser igual ao quadrado da relação entre os comprimentos:

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

S

m

S

mll

SS

.

Logo

11

2222

6,06000100

1 mmSll

S SS

mm =×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

c) O ensaio de resistência é realizado ao mesmo número de Froude do navio:

S

S

m

mSm gl

Ugl

UFF =⇔= .

Logo

smsmUll

U SS

mm / 03,1/ 515,020

1001

=××== .

d) A força de resistência medida no modelo é NDm 6,1= . O coeficiente de resistência

adimensional do modelo baseado na área molhada é

005032,0 6,003,1 1,99921

6,121 222232 =

×××==

−− msmKgmN

SU

DC

mmm

mDm ρ

O coeficiente de resistência total decompõe-se no coeficiente de resistência de atrito, que é só função do número de Reynolds, e no coeficiente de resistência residual, que é apenas função do número de Froude. Para o modelo )()( mRmFD FCRCC

m+=

e para o navio )()( SRSFD FCRCC

S+=

Como os números de Froude são idênticos no navio e no modelo, )()( SRmRSm FCFCFF =⇒= . Logo, )()( SFmFDD RCRCCC

mS+−= .

Os coeficientes de resistência de atrito para o modelo e para o navio determinam-se a partir da fórmula da I.T.T.C., uma vez calculados os respectivos números de Reynolds. Para o modelo

12

6126

110807,1

1014,1 2 03,1

×=×

×==

−−

−

smmmslU

Rm

mmm υ

e

00414,0)2(log

075,0)( 210

=−

=m

mFR

RC

Para o navio

9126

110731,1

1019,1 200 3,10

×=×

×==

−−

−

smmmslU

RS

SSS υ

e

00143,0)2(log

075,0)( 210

=−

=S

SFR

RC

Assim, o coeficiente de resistência do navio será 00232,000143,000414,000503,0 =+−=

SDC . A resistência do navio será

NmsmKgmSUCD SSSDS S 10575,7 60003,10 9,1025

2100232,0

21 5222232 ×=××××== −−ρ

e) Á igualdade dos números de Reynolds implica

S

SS

m

mmSm

lUlURR

υυ=⇒=

donde

smsmUll

U SS

m

m

Sm / 7,986/ 3,10)

1019,11014,1()

2200())(( 6

6=×

×

××==

−

−

υυ

.

13

5. Um aerobarco com um peso de 10 000 N é sustentado por duas asas ("hydrofoils") idênticas com secções com a forma de perfis NACA 63-412 operando a um ângulo de ataque de 3 °. Sabendo que a corda das secções é constante e igual a 0,5 m, e utilizando os coeficientes de sustentação da figura 2.16, calcule a envergadura das asas necessária para sustentar o navio à velocidade de 20 nós. Resolução: A velocidade do navio é de 20 0,515 =10,3 /U m s= × . Da Fig. 2.16 obtém-se o coeficiente de sustentação 60,0=LC de um perfil NACA 63-412 ao ângulo de ataque

º3=α . Por definição do coeficiente de sustentação

lU

LCL2

21 ρ

′= ,

em que L′ é a sustentação por unidade de envergadura, tem-se

mNmsmKgmlUCL L / 16326 5,03,10 9,10252160,0

21 22232 =××××==′ −−ρ

A sustentação total será bLL ′= , em que b é a envergadura da asa. A sustentação requerida para cada “hydrofoil” é de

NNL 5000 2/10000 == , logo, a envergadura

mNm

NLLb 312,0

16326 5000

1 ==′

=−

.

14

6. Considere uma hidro-asa ("hydrofoil") que se desloca na horizontal em água salgada à profundidade de 1 m em relação à superfície livre. a) Se o número de cavitação crítico para o início de cavitação for de σ=0,1, determine a velocidade mínima a que ocorre cavitação. b) Para um modelo à escala de 1/10 da hidro-asa operando com o mesmo número de Froude, calcule a pressão ambiente à superfície livre num canal de reboque em "vácuo" (canal fechado em que se reduziu a pressão ambiente do ar acima da superfície livre com bombas de vácuo) necessária para se obter o mesmo número de cavitação do protótipo. Admita numa gama de temperaturas de 0 a 30 °C a temperatura menos favorável possível para o protótipo e a mais favorável possível para o modelo no canal de reboque em "vácuo". Resolução: a) O número de cavitação de início de cavitação é 1,0=iσ . A gama de temperatura no protótipo é de 0º C a 30º C. A situação mais desfavorável no protótipo corresponde à situação em que a cavitação se inicia a uma velocidade da asa mais baixa. Seja iU a velocidade da asa para a qual se inicia a cavitação. Tem-se

2

21

i

vi

U

pp

ρσ

−= ∞

Resolvendo em ordem a iU tem-se

i

vi

ppU

ρσ)(2 −

= ∞

O valor mais baixo da velocidade iU ocorre para o valor máximo de vp , isto é, à temperatura de 30º C. A esta temperatura a pressão do vapor é Pa 4230=vp e a massa

específica é 3/ 7,1021 mKg=ρ . A pressão do escoamento de aproximação é ghpp atm ρ+=∞ , em que h é a imersão. Com mh 1= e Papatm

51001,1 ×= tem-se PammsKgmPap 5235 10111,1181,97,10211001,1 ×=××+×= −−

∞ . Logo

15

smUi / 72,451,07,1021

)423010111,1(2 5=

×−××

=

b) A temperatura mais favorável para o modelo será a que corresponde a uma pressão de

vapor maior, ou seja, 30º C, pois essa situação corresponde a uma maior pressão ambiente ∞p , requerida no ensaio para se atingir o número de cavitação de início de cavitação no protótipo. Assim, para a água doce 3/ 6,995 mKgm =ρ e Pa 4230=vp .

O ensaio deverá ser realizado com o mesmo número de Froude: Sm FF = . Esta condição determina a velocidade no modelo

smsmUll

U SS

mm / 46,14/ 72,45

101

=×== .

O ensaio é realizado com o mesmo número de cavitação de início de cavitação que o protótipo: 1,0== iSim σσ . Esta condição determina

PasmKgmPaUppmmm immv 6,146381,046,14 6,995

21 4230

21 22232 =×××+=+= −−

∞ σρ

A pressão à superfície livre obtém-se de mma ghpp

mρ−= ∞

Por condições de semelhança geométrica tem-se

S

m

S

m

ll

hh

=

Logo mmhm 1,0 110/1 =×= e tem-se PaPaPapa

410366,1 1,081,96,995 6,14638 ×=××−= .

16

7. Um modelo de um veleiro é rebocado a uma velocidade U, fazendo o seu eixo de simetria longitudinal um pequeno ângulo de ataque α com a velocidade de reboque U. Durante o reboque as componentes de resistência (na direcção da velocidade do reboque U) e lateral (na direcção perpendicular a U) da força exercida sobre o casco são medidas separadamente. a) Se o casco do veleiro for considerado como uma hidro-asa ("hydrofoil") vertical na presença da superfície livre, escreva as leis de semelhança (relações entre os parâmetros adimensionais) apropriadas para cada componente da força. Distinga os parâmetros adimensionais que deveriam ser respeitados em princípio e aqueles mais importantes que deverão sê-lo num ensaio com um modelo reduzido. b) Os resultados do ensaio de reboque em água doce (15 °C) de um modelo de 2 m de comprimento e área molhada 1,5 m2 à velocidade de 1,4 m/s foram de 10 N para a componente de resistência e de 28 N para a componente lateral. Quais a velocidade e as estimativas das componentes da força correspondentes para um veleiro de 10 m de comprimento em água salgada (15 °C)? Resolução:

a) Para o veleiro com uma dada forma podemos dizer que a sua sustentação e resistência dependem da velocidade U , do comprimento l , do ângulo de ataque α , da massa

α

U δ

Uv

LD

17

específica ρ , da viscosidade υ e da aceleração da gravidade g . Estas dependências exprimem-se na forma ),,,,,( glUfL υρα= , ),,,,,( glUfD υρα= . Aplicando a análise dimensional obtemos a relação entre números adimensionais

),,(21 2 FRf

SULCL αρ

=≡ , ),,(21 2 FRf

SUDCD αρ

=≡ .

Em que UlRυ

= é o número de Reynolds e UFgl

= o número de Froude.

Os parâmetros adimensionais que deverão ser respeitados em princípio no ensaio do modelo são o ângulo de ataque, o número de Reynolds R e o número de Froude. Isto é, o ensaio de reboque deveria ser feito com m sα α= , m sR R= e m sF F= , em que o índice m diz respeito ao modelo e o índice s ao veleiro. Dada a impossibilidade prática de igualar simultaneamente os números de Reynolds e os números de Froude entre o veleiro e o seu modelo, apenas se respeitará a igualdade do ângulo de ataque e do número de Froude. b) Calculemos os coeficientes de sustentação e resistência do modelo no ensaio de reboque. Com a massa volúmica da água doce a 15º de 3999,1 kg/mmρ = , a área molhada

21,5 mmS = e à velocidade do modelo 1,4 m/smU = , vem

2 3 2 2 2 2

28 N 0,01911 2 999,1 kg/m 1, 4 m /s ×1,5m1 2m

mL

m m m

LCU Sρ

= = =× ×

e

2 3 2 2 2 2

10 N 0,00681 2 999,1 kg/m 1, 4 m /s ×1,5m1 2m

mD

m m m

DCU Sρ

= = =× ×

O ensaio à escala do modelo corresponde à velocidade do veleiro que respeita a igualdade do número de Froude, isto é, m sF F= . Igualando os números de Froude para o veleiro e o seu modelo, obtemos a velocidade do veleiro:

10 1, 4 m/s=3,130 m/s2

ss m

m

lU Ul

= = ×

Para a extrapolação da sustentação do veleiro admitimos que o número de Reynolds não influencia a força de sustentação. Como m sα α= e m sF F= , tem-se

s mL LC C= . Nesse caso a sustentação de veleiro será

18

2 3 2 2 2 21 2 0,0191 1 2 1025,9 kg/m 3,130 m /s ×37,5 m 3599 NsS L s s sL C U Sρ= = × × × =

Uma vez que a área do veleiro é

2 2 2 210( ) ( ) 1,5 m =37,5 m2

ss m

m

lS Sl

= = ×

E a massa específica da água salgada a 15º C 31025,9 kg/msρ = . Para a extrapolação da resistência, consideraremos o efeito da variação do número de Reynolds. Com efeito, o número de Reynolds do modelo é

-1

66 2 -1

1,4 ms 2 m 2,46 101,14 10 m s

m mm

m

U lRυ −

×= = = ×

×

e o número de Reynolds do veleiro é

-1

76 2 -1

3,130 ms 10 m 2,63 101,19 10 m s

s ss

s

U lRυ −

×= = = ×

×.

Podemos proceder à extrapolação da resistência recorrendo à fórmula da I.T.T.C. Decompomos a resistência nas componentes de atrito e residual. Assim, temos para o veleiro ( ) ( ) ( , )

SD S F S R S SC R C R C Fα= + , e para o modelo ( ) ( ) ( , )

mD m F m R m mC R C R C Fα= + . Subtraindo as duas equações anteriores, podemos escrever )()()()( SFmFmDSD RCRCRCRC

mS+−=

A fórmula da I.T.T.C.

C RRF ( )

,(log )

=−

0 075210

2

fornece para o veleiro e para o modelo, com os respectivos valores do número de Reynolds,

19

210

0,075( ) 0,003890(log 2)F m

m

C RR

= =−

, 210

0,075( ) 0,002553(log 2)F S

S

C RR

= =−

.

Assim, tem-se 0,0068 0,003890 0,002553 0,005463

SDC = − + = A resistência será

2 -3 -1 2 21 10,005463 1025,9 Kgm (3,130 ms ) 37,5 m 1023,3 N2 2SS D S S SD C U Sρ= = × × × × =

20

8. Num escoamento de uma corrente à velocidade de 10 nós observou-se uma vibração em ressonância de um cabo cilíndrico de secção circular colocado com o seu eixo perpendicular à direcção da velocidade da corrente. O diâmetro do cabo é de 2 cm. Determine a frequência natural do cabo. A velocidades mais elevadas a amplitude das vibrações tenderá a diminuir ou a aumentar? Justifique. Resolução: A observação da vibração em ressonância indica que a frequência de libertação de vórtices é igual à frequência natural do cabo. Nas condições do escoamento determinemos a frequência de libertação de vórtices. Sabemos que o número adimensional de Strouhal é apenas função do número de Reynolds para um corpo com uma dada forma.

)(RSUflS =≡

em que

υUlR =

é o número de Reynolds. Para cilindros com secção circular verifica-se

DC

S 23,0=

em que DC é o coeficiente de resistência do cilindro e que é função do número de Reynolds. Este tem o valor

5126

11003,1

1002,015,5

×=×

==−−

−

smm ms UdR

υ

O coeficiente de resistência a este número de Reynolds retira-se da Fig. 2.10, obtendo-se 0,1≅DC . Logo 23,0=S .

21

A frequência calcula-se a partir do número de Strouhal

Hzsm

msdUSf 2,59 2,59

02,0 15,523,0 1

1==×== −

−

Se a velocidade da corrente aumentar a frequência de libertação de vórtices aumenta, tornando-se superior à frequência natural do cabo e a amplitude das vibrações tenderá a diminuir. Neste raciocínio admitiu-se que o número de Strouhal se manteve constante, isto é, que no aumento de número de Reynolds que se obtém quando se aumenta a velocidade, o coeficiente de resistência não se alterou.

22

9. Um corpo esférico com um volume de 0,5 m3 e densidade igual a metade da densidade da água salgada encontra-se imerso e ancorado ao fundo do oceano através de um cabo de 1000 m de comprimento. a) Desprezando todas as forças hidrodinâmicas mas incluindo a força de impulsão no corpo, determine a força de tensão que se exerce no cabo e o período natural de oscilação do sistema cabo e corpo, que funciona como um pêndulo invertido. b) Determine qualitativamente a forma como a força de inércia resultante da massa adicionada influencia o período natural do sistema. c) Determine o deslocamento na horizontal do corpo e o ângulo do cabo com a vertical se o corpo estiver sujeito a um escoamento estacionário de corrente com a velocidade de 0,5 nós. Resolução: a) Na situação de equilíbrio hidrostático o corpo encontra-se sujeito às forças de

impulsão I , do peso P e da tensão no cabo T . Necessariamente estas encontram-se em equilíbrio:

IPT =+

A impulsão é

gVI ρ= em que ρ é a massa específica do fluido, g a aceleração da gravidade e V o volume de fluido deslocado pelo corpo. O peso é dado por

gVP bρ= em que bρ é a massa específica do material do corpo. A força de tensão no cabo será assim

)1(ρρ

ρρρ bb gVgVgVPIT −=−=−=

Substituindo valores, com 5,0=ρρb vem

N m ms kgm T 3-2-3 310511,2)5,01(5,081,91025 ×=−××= .

A equação do movimento do pêndulo invertido, desprezando todas as forças hidrodinâmicas será

23

θθ sin)(2

2PI

dtdml −−= ,

em que m é a massa do corpo e l o comprimento do cabo. Admitindo pequenas oscilações, θθ ≅sin , vem

02

2=

−+ θθ

mlPI

dtd .

A solução da equação

0202

2=+ θωθ

dtd

é da forma

t00 cosωθθ = em que 00 2 Tπω = é a frequência natural, 0T o período natural e 0θ a amplitude das oscilações. No caso do pêndulo invertido que estamos a considerar tem-se

lg

VlgV

mlPI

b

b

b

b)/(

)/1()/1(0 ρρ

ρρρ

ρρρω

−=

−=

−=

Substituindo valores, obtém-se

1- ss 099,010005,0

)5,01(8,9 10 =

×−×

= −ω .

O período natural será

ssT 4,63099,022

00 ===

πωπ .

b) Se considerarmos o efeito de massa adicionada teremos

lV

mg

lmVgV

lmmPI

bb

b

b

)(

)/1()(

)/1()( 111111

0

ρρρ

ρρρ

ρρρω

+

−=

+−

=+−

=

24

Verifica-se que o efeito de massa adicionada ( 011 >m ) aumenta o denominador da equação anterior reduzindo a frequência natural das oscilações e aumentando o período natural das oscilações.

Se admitirmos para a esfera Vm ρ21

11 = vem

11

0 07,01000)5,05,0(

)5,01(8,9

)21(

)/1( −− =×+−×

=+

−= s s

l

gb

b

ρρ

ρρω .

E para o período natural

ssT 8,89070,022

00 ===

πωπ .

c) Para o corpo sujeito à acção da corrente de velocidade U , o desvio angular

estacionário θ é dado pela equação de equilíbrio de forças

DPI =− θtan)( em que D é a força de resistência do corpo. A força de resistência calcula-se a partir do coeficiente de resistência da esfera através de

)(21 22 rUCD D πρ=

em que r é o raio da esfera. Calculando o raio da esfera a partir do volume dado, tem-se

343πVr =

e substituindo valores vem

m m r 492,05,0433 ==π

.

O coeficiente de resistência DC é função do número de Reynolds ν

UdR = , em que d é

o diâmetro do corpo e ν a viscosidade cinemática do fluido. Calculando o número de Reynolds, tem-se

25

5126

11042,2

1005,1984,0258,0

×=×

×=

−−

−

smmmsR

Da Fig.2.5 obtemos 5,0=DC e a resistência será

N msm kgm D 3- 97,12492,0258,01025215,0 22222 =×××××= − π .

O desvio angular será

PID−

=θtan

Calculando

N N gVPI b 3,2511)5,01(5,081,91025)1( =−×××=−=−ρρ

ρ ,

e

310164,53,2511

97,12tan −×==θ

ou º296,0=θ . O deslocamento horizontal é

m m lx 165,5)º296,0sin(1000sin =×== θ .

26

10. Uma bóia cilíndrica com 2 m de altura flutuando livremente em ondas contém um acelerómetro que permite determinar o movimento de arfagem (movimento linear vertical) em relação a um referencial de inércia. Com base no gráfico da figura 2.32, determine a gama de comprimentos da onda incidente para a qual esta bóia pode medir a altura da onda com uma precisão de 20%. Admita que a amplitude da arfagem da bóia pode ser medida com uma precisão de 0,5 mm. Resolução: Seja maxy a amplitude do movimento de arfagem da boia. Vamos admitir que esta amplitude (calculada, por exemplo, a partir das medições de um acelerómetro por integração) pode ser obtida com uma precisão de 0,5 mm. Tem-se

Ay

f max0 = ,

em que )(00 lff λ

= , para este caso de acordo com a Fig. 2.32. A amplitude será

0

maxf

yA = .

Vamos admitir que 0f é conhecido com exactidão. Assim tem-se

max0

1 yf

A ∆=∆

e

Ay

fAA max

0

1 ∆=

∆ .

Para que 20.0<∆ AA ter-se-á que ter

Amm

Ay

lf 5,2

20,01)( max

0 =∆

>λ ,

o que depende de A . Assim podemos construir a tabela a partir da Fig. 2.32

27

A (mm) 0f lλ λ (m)

1 2 5 10

100

2,5 1,25 0,5

0,25 0,025

5,5< lλ <8 4,8< lλ <12

4< lλ 3,5< lλ 2,5< lλ

11<λ <16 9,6<λ <24

8<λ 7<λ 5<λ

28

Capítulo 3: Escoamento de um Fluido Viscoso. Teoria da Camada Limite. 1. Verifique se o escoamento de Couette entre duas placas planas paralelas à distância h com o perfil de velocidades dado por:

u dpdx

y y h Uh

y y h= − + < <1

20

µ( ) , ,

em que U é a velocidade da placa hy = , dxdp é o gradiente longitudinal de pressão, µ a viscosidade do fluido e y a distância normal às placas, é ou não uma solução exacta das equações de camada limite com as respectivas condições de fronteira. Resolução: As equações de camada limite escrevem-se

0=∂∂

+∂∂

yv

xu , (3.12)

2

2

1u u dp uu vx y dx y

νρ

∂ ∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂. (3.13)

As condições de fronteira são as seguintes: 0== vu para 0=y , (3.14) )(xUu → para ∞→y , (3.15) Verifiquemos se a solução de Couette satisfaz estas equações:

a) A equação da continuidade é identicamente satisfeita já que ( )u u y= e 0v = .

Assim 0ux∂

=∂

e 0vy∂

=∂

.

b) Na eq. (3.13) da quantidade de movimento segundo x os termos convectivos são identicamente nulos. Calculemos o termo difusivo. Tem-se

1 (2 )2

u dp Uy hy dx hµ∂

= − +∂

e 2

2

1u dpy dxµ∂

=∂

. Substituindo na eq. (3.13) com µνρ

= ,

verificamos que a equação é satisfeita. A solução verifica 0u v= = em 0=y , o que satisfaz a eq. (3.14). Com y h= tem-se u U= , o que satisfaz a eq. (3.15) se entendemos que y h= corresponde à espessura da camada limite.

29

2. Considere o escoamento bidimensional laminar sobre uma placa plana 0=y , com gradiente de pressão nulo ( 0=dxdp ), e um perfil de velocidades dado por:

0),1( 00 <=−= Vv eUu Cy , em que 0U , 0V e C são constantes, sendo 0V negativa, e y é a distância normal à placa. a) Mostre que, para determinados valores da constante C , este escoamento é uma solução exacta das equações de camada limite. b) Quais são as condições de fronteira apropriadas a este escoamento? c) Que tipo de escoamento real poderá ser aproximadamente descrito por aquele escoamento? Resolução: a) As equações de camada limite escrevem-se

0=∂∂

+∂∂

yv

xu , (3.12)

2

2

1u u dp uu vx y dx y

νρ

∂ ∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂. (3.13)

Calculemos os termos das equações para a solução apresentada:

1. Equação da continuidade (3.12): A equação da continuidade é identicamente satisfeita já que ( )u u y= e 0v V= que é

constante. Assim 0ux∂

=∂

e 0vy∂

=∂

.

2. Equação da quantidade de movimento segundo x (3.13):

0Cyu U Ce

y∂

= −∂

e 2

202

Cyu U C ey∂

= −∂

. Substituindo em (3.13), e tendo em atenção que o

gradiente longitudinal de pressão é nulo, 0=dxdp , tem-se

20 0 0( ) ( )cy cyV U Ce U C eν− = − .

Resolvendo em ordem à constante C , vem

0 0VCν

= < .

b)As condições de fronteira apropriadas a este escoamento são:

0u = e 0v V= em 0=y ,

30

e

0u U→ para y →∞ .

c) Esta solução representa o escoamento sobre uma placa infinita com sucção uniforme aplicada sobre a placa.

31

3. Uma placa plana fina com 1=l m e largura =b 3 m está alinhada com um escoamento com velocidade =U 2 m/s. Determine a força de resistência de cada face da placa e as espessuras da camada limiteδ , de deslocamento *δ e de quantidade de movimento θ nos seguintes casos: a) Ar com =ρ 1,23 Kg/m3, ν =1,46 × 10-5 m2/s. b) Água com ρ =1000 Kg/m3, ν =1,02 × 10-6 m2/s. Resolução: As expressões para a resistência da placa, espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento que se obtêm da solução de Blasius para uma camada limite laminar sobre uma placa plana são dadas por: 21328,1 −= RCF , (3.54)

2121* 72,1)(72,1 −== xxRUxνδ . (3.43)

2121 664,0)(664,0 −== xxRUxνθ . (3.44)

Em que xUxRν

= é o número de Reynolds baseado na distância ao bordo de ataque da

placa e UlRν

= o número de Reynolds baseado no comprimento da placa. Na

extremidade da placa x l= , tem-se xR R= e, necessariamente, 1

* 21,72lRδ−

= e 120,664lRθ

−= .

Podemos construir uma tabela para os casos da água e do ar: Fuido 610R −× lδ δ (m) * 310lδ × *δ (m) 310lθ × θ (m) 310FC × D

(N) a) Ar 13,7 0,0132 0,0132 4,67 0,00467 1,79 0,00179 3,59 0,027b) Água 1,96 0,0035 0,0035 1,23 0,00123 0,474 0,00474 0,949 5,69

32

4. Considere um perfil parabólico para a camada limite laminar sobre uma placa plana dado por: uU

y y= −2 2

δ δ( ) ,

em que u é a velocidade paralela à placa, U é a velocidade do escoamento exterior, y a distância normal à placa e δ a espessura da camada limite. a) Calcule a espessura de deslocamento */δδ , a espessura de quantidade de movimento

θδ / e o factor de forma H . b) Aplique a equação integral de von Kármán para determinar a variação da espessura da camada limite x/δ . Calcule as variações de x/*δ , x/θ e do coeficiente de tensão de corte na parede )2/1/( 2UC wf ρτ= ao longo da placa. ( wτ é a tensão de corte na parede e ρ a massa específica do fluido). Resolução: a) As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento definem-se como

∫∞

−=0

* )1( dyUuδ . (3.41)

∫∞

−=0

)1( dyUu

Uuθ . (3.42)

O factor de forma do perfil de velocidades define-se como

θδ *

=H . (3.45)

Na definição de um perfil de velocidades aproximado de forma polinomial o intervalo que define a espessura da camada limite é 0 y δ≤ ≤ , em que δ é a espessura da camada limite. Assim as fórmulas (3.41) e (3.42) são substituídas por

*

0

(1 )u dyU

δ

δ = −∫ .

0

(1 )u u dyU U

δ

θ = −∫ .

33

Substituindo a equação do perfil de velocidades uU

y y= −2 2

δ δ( ) , nas equações anteriores,

tem-se

* 2

0

1 2 ( )y y dyδ

δδ δ

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

e

2 2

0

2 ( ) 1 2 ( )y y y y dyδ

θδ δ δ δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ .

Para facilitar a escrita dos integrais é conveniente introduzir a mudança de variável

* yyδ

= . Assim, vem

11*

* * 2 * * * 2 * 3

00

1 11 2 ( ) ( ) ( )3 3

y y dy y y yδδ

⎡ ⎤⎡ ⎤= − + = − + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

e

1 1* * 2 * * 2 * * * 2 * 3 * 4 *

0 0

1* 2 * 3 * 4 * 5

0

2 ( ) 1 2 ( ) 2 5( ) 4( ) ( )

5 1 5 1 2( ) ( ) ( ) ( ) (1 1 )3 5 3 5 15

y y y y dy y y y y dy

y y y y

θδ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + = − + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤− + − = − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫.

O factor de forma será

* 1/ 3 5 2,5

2 /15 2H δ

θ= = = = .

b) A equação integral de von Kármán escreve-se

2

)2( fCdxdUH

Udxd

=++θθ . (3.69)

No caso de uma placa plana com gradiente de pressão nulo

0dUdx

= .

E tem-se

2

fCddxθ= .

34

Calculemos para o perfil aproximado de velocidades a tensão de corte na parede. Vem

0( )w yuy

τ µ =∂

=∂

.

Substituindo o perfil de velocidades, tem-se

00

( ) 2 2( ) 2w yy

u U y Uy

τ µ µ µδ δ δ=

=

∂ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦.

O coeficiente de tensão de corte na parede é

221 UC w

fρ

τ= , (3.49)

E o termo na equação integral de von Kármán será

2

22

f wCU Uτ νρ δ

≡ = .

Substituindo a equação anterior e a relação da espessura da quantidade de movimento

215

θ δ= obtida na alínea a) na equação integral de von Kármán vem

2 215

ddx Uδ ν

δ= .

Esta equação diferencial ordinária para ( )xδ pode ser integrada em x a partir do bordo de ataque da placa 0x = com a condição inicial ( 0) 0xδ = = . Assim, separando variáveis, tem-se

0 0

15x

d dxU

δ νδ δ =∫ ∫ .

Ou

21 152

xUνδ = .

Resolvendo em ordem a δ , obtém-se

35

30 xUνδ = .

Dividindo por x a equação anterior vem a espessura da camada limite adimensionalizada pela distância ao bordo de ataque da placa:

1/ 25, 48 5, 48 xRx Uxδ ν −= = .

Em que xUxRν

= é o número de Reynolds baseado na distância x .

As variações de x/*δ , x/θ e do coeficiente de tensão de corte na parede )2/1/( 2UC wf ρτ= ao longo da placa podem ser facilmente obtidas:

Dado que * 13

δ δ= , vem

*

1/ 2 1/ 25, 48 1,833 x xR R

xδ − −= = .

E 215

θ δ= vem

1/ 2 1/ 22 5,58 0,7315 x xR R

xθ − −= × = .

O coeficiente de tensão de corte na parede será

1/ 212 2 0,73 0,732f x

dC Rdx Uxθ ν −= = × × = .

36

4a. Para o escoamento em torno de um cilindro de raio R como o que se encontra ilustrado na Figura junto, a solução teórica de fluido perfeito é dada por

0( ) 2 sin( )xU x UR

= , em que 0U é a velocidade do escoamento de aproximação e x a

distância medida a partir do ponto de estagnação. Utilizando o método de Thwaites determine a localização do ponto de separação laminar

sepxR

e compare com a solução numérica de Terrill (1960) 1,823sepxR

= (104,5º).

Resolução A solução do método de Thwaites é dada por

∫+=x

x

dxUU

0

56

20

2 45,0 νθθ . (3.78)

Em que θ é a espessura da quantidade de movimento, ν a viscosidade cinemática e 0θ o valor inicial da espessura de quantidade de movimento que no caso de um ponto de estagnação é dado por

( )

20

0

0,075

xdU dx

νθ=

= , (3.77)

Substituindo a distribuição de velocidade sobre o cilindro na eq. (3.78), tem-se

2 52 5 50 066 6

00

0, 45 2 sin ( / )2 sin ( / )

x

U x R dxU x R

νθ θ= + ∫ .

É conveniente introduzir a variável xR

γ = que corresponde ao ângulo em radianos

medido a partir do ponto de estagnação. Assim, tem-se

22 50 6

0 0

0, 45 sin2 sin

R dU

γνθ θ γ γγ

= + ∫ .

O integral pode calcular-se (a partir de uma tabela de integrais) na forma

5

00

5 5 1sin cos cos3 cos58 48 80

5 5 1cos cos3 cos5 0,533338 48 80

dγγ

γ γ γ γ γ

γ γ γ

⎡ ⎤= − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

− + − +

∫.

37

Logo

220 6

0

0, 45 5 5 1( cos cos3 cos5 0,53333)2 sin 8 48 80

RU

νθ θ γ γ γγ

= + − + − + .

O parâmetro do gradiente de pressão no método de Thwaites define-se como

dxdU

νθλ

2= (3.70)

Ou, em termos da variável γ

2 2

02 cosdU UR d Rθ θλ γν γ ν

= =

Substituindo a expressão de 2θ na equação anterior, vem

2

06

0, 45cos 5 5 1( cos cos3 cos5 0,53333)sin 8 48 80

dUdx

θ γλ γ γ γν γ

= + − + − + .

Como de (3.77) se tem

2

0

0

0,075x

dUdx

θν =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.77)

Obtém-se

2 2

0 0

0

0

0,075cosx

x

dUdU dU dx

dUdx dxdx

θ θ γν ν =

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

, (3.77)

Logo

6

0, 45cos 5 5 10,075cos ( cos cos3 cos5 0,53333)sin 8 48 80

γλ γ γ γ γγ

= + − + − + .

A separação ocorre quando 0,09λ = − . Calculando para diferentes valores de γ , podemos construir uma tabela

38

γ (º) 85 90 95 100 102 103 λ 0,0244 0 -0,0314 -0,0733 -0,0941 -0,1057 O valor interpolado entre 101º e 102º será de 101,8º, que se compara razoavelmente com o valor de Terrill de 104,5º.

39

5. Considere uma camada limite turbulenta sobre uma placa plana com gradiente de pressão nulo. a) Mostre que a distribuição de velocidade dada por:

,)(1nyu

Cuu

ντ

τ=

em que C é uma constante, τu é a velocidade de atrito, y a distância à parede e ν a viscosidade cinemática, conduz a uma representação do tipo potência

,)(1ny

Uu

δ=

para o perfil de velocidades na camada limite de espessuraδ . b) Utilizando a distribuição de velocidades de tipo potência, determine a espessura de deslocamento δδ /* , a espessura de quantidade de movimento δθ / e o factor de forma H . c) Com 7,8=C e 7=n , aplique a equação

,)(1nyu

Cuu

ντ

τ=

e a equação integral de von Kármán para deduzir uma equação para o crescimento da espessura da camada limite turbulenta sobre uma placa plana. d) Com os resultados da alíneas b) e c), determine as variações de x/*δ , x/θ e do coeficiente de tensão de corte na parede )2/1/( 2UC wf ρτ= ao longo da placa. Resolução

a) Se admitirmos que a distribuição de velocidade

1

( )nu yu Cu

τ

τ ν=

É válida até à espessura da camada limite, tem-se u U= para y δ= , donde

1

( )nuU Cu

τ

τ

δν

= .

Das duas equações anteriores obtém-se

1

/ ( )nu u U yU u uτ τ δ

= = .

40

b) As espessuras de deslocamento e quantidade de movimento são dadas por

*

0

(1 )u dyU

δ

δ = −∫ .

0

(1 )u u dyU U

δ

θ = −∫ .

Substituindo o perfil de tipo potência nas fórmulas anteriores e mudando a variável de

integração para * yyδ

= , tem-se

11 1 1* 1* * * *

0 0

1 1 11 ( ) ( ) 1 1(1/ ) 1 11n ny dy y y

n nn

δδ

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +∫ .

e

1 11 1 1 2* * * * * *

0 0

1 11 21 1* *

0 0

( ) 1 ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( )(1/ ) 1 (2 / ) 1 1 2 (1 )(2 )

n n n n

n n

y y dy y y dy

n n ny yn n n n n n

θδ

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫.

O factor de forma será

* 21H

nδθ

= = + .

c) A tensão de corte na parede é

2

w uττ ρ= . Resolvendo

1

( )nuU Cu

τ

τ

δν

= .

em ordem a uτ , com 8,7C = e 7n = , vem

1877

1 ( )8,7

u Uτδν

−= .

41

E

7 1 12 2 24 4 41( ) ( ) 0,0227 ( )

8,7U Uu U Uτδ δν ν

− −= = .

A tensão de corte na parede será

12 2 40,0227 ( )w

Uu Uτδτ ρ ρν

−= = .

E o coeficiente de tensão de corte na parede

14

2 0,0454( )(1/ 2)

wf

UCU

τ δρ ν

−= = .

A equação integral de von Kármán, escreve-se para gradiente de pressão nulo

0dU dx = :

2fCd

dxθ= .

Substituindo 7 72θ δ= e a expressão para fC , tem-se

147 0,0227( )

72d Udxδ δ

ν−

= .

Separando as variáveis

1 14 40, 2335( )Ud dxδ δ

ν−

= .

Integrando entre a condição inicial 0δ δ= em 0x x= e uma estação genérica x onde a espessura é δ , tem-se

0 0

1 14 40, 2335 ( )

x

x

Ud dxδ

δ

δ δν

−=∫ ∫ .

ou

5 154 440 00, 2919( ) ( )U x xδ δ

ν−

= + − .

42

No caso de uma camada limite turbulenta a partir do bordo de ataque da placa em que 0 0δ = e 0 0x = , vem

150,3734( )Ux xδ

ν−

= .

ou

150,3734 xR

xδ −= .

com xUxRν

= .

d) Dado que para 7n = se tem

* 18

δδ

= e 772

θδ= .

Tem-se no caso da camada limite turbulenta a partir do bordo de ataque

* 150,0467 xR

xδ −=

e

150,0363 xR

xθ −=

O coeficiente de tensão de corte na parede será

150,0581f xC R −= .

43

6. Determine a espessura da camada limite e a tensão de corte na parede numa secção à distância x do bordo de ataque de uma placa plana a um número de Reynolds

6Re / 10x Ux ν= = nos seguintes casos: a) Camada limite laminar (perfil de Blasius). b) Camada limite turbulenta (perfil de potência 1/7). Utilize os resultados das alíneas a) e b) para esboçar os correspondentes perfis de velocidade )(/ yfUu = em que y é a distância à parede na direcção normal. Resolução

a) para uma camada limite laminar

*

1 21,72 xRxδ −= .

1 20,664f xC R −= . Para 6Re / 10x Ux ν= = , vem

*

1 2 6 1 2 31,72 1,72 (10 ) 1,72 10xRxδ − − −= = × = × .

6 1 2 30,664 (10 ) 0,664 10fC − −= × = × .

b) para uma camada limite turbulenta

*

1 50,0467 xRxδ −= .

1 50,058f xC R −= . Para 6Re / 10x Ux ν= = , vem

*

6 1 5 30,0467 (10 ) 2,95 10xδ − −= × = × .

6 1 5 30,058 (10 ) 3,66 10fC − −= × = × . Para esboçar os perfis de velocidade fazemos uma estimativa da espessura da camada limite num e noutro casos

c) para uma camada limite laminar

44

1 24,9 xRxδ −= .

Para 6Re / 10x Ux ν= = , vem

6 1 2 34,9 (10 ) 4,9 10xδ − −= × = × .

d) para uma camada limite turbulenta

1 50,373 xRxδ −= .

Para 6Re / 10x Ux ν= = , vem

6 1 5 20,373 (10 ) 2,35 10xδ − −= × = × .

Perfis de velocidade

-5

0

5

10

15

20

25

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u/U

y (m

m)

LaminarTurbulento

45

7. Para um modelo de navio com 2 m de comprimento à velocidade de 1 m/s, faça uma estimativa da espessura de deslocamento da camada limite à ré do navio, usando os resultados de Blasius para uma camada limite laminar e os resultados do perfil de tipo potência 1/7 para uma camada limite turbulenta. Compare o resultado de l/δ que se obtém para o modelo com o resultado correspondente que se obtém para um navio de 200 m de comprimento à velocidade de 10 m/s. 8. Atendendo às diferenças entre a água salgada e a água doce à mesma temperatura, como variam a espessura da camada limite e a tensão de corte na parede num navio quando este passa de água salgada para a água doce mantendo a mesma velocidade? 9. Um aparelho de medição de velocidade utilizado frequentemente em embarcações pequenas consiste num molinete constituído por uma roda com pás montadas na sua periferia. O eixo da roda encontra-se montado à face do casco do navio, sendo o raio do molinete (distância entre o eixo e o "centro" das pás) de 1 cm. As pás giram em torno do eixo por efeito de arrastamento em resposta à velocidade local do fluido em relação ao casco. Se um destes molinetes for montado à distância de 3 m da proa do navio, estime a linearidade deste dispositivo para medir a velocidade do navio entre 1 e 10 m/s. 10. Comente a validade da seguinte afirmação: O depósito de cracas ("Barnacles") e outros crescimentos marinhos na superfície do casco de um navio não é importante porque a dimensão destes organismos é desprezável em comparação com a dimensão do navio. Recorrendo às figuras 2.11 e 3.12 do livro "Marine Hydrodynamics" de J. N. Newman faça uma estimativa do efeito do depósito de cracas, com uma dimensão característica de 1 mm, na resistência do protótipo do navio "Lucy Ashton" à velocidade de 15 nós. Qual a redução da velocidade do navio admitindo a mesma resistência total para as condições lisa e rugosa?