Exercícios sobre Indução e Recorrências MA12.pdf

Exerccios sobre Induo

1. Demonstre, por induo, a validez das seguintes frmulas:

Suponhamos que seja vlida para algum .

Provaremos que tambm ser vlida.

Logo vlida para todo .



Resolvendo a equao do 2 grau temos:

Substituindo na igualdade encontrada, tem-se:





2. Demonstre, por induo, a validez das seguintes frmulas:



Dividindo o polinmio pelo polinmio temos:

Desta forma temos na igualdade anterior:





Desta forma temos na igualdade anterior:




Fatorando a expresso temos:

Substituindo na igualdade anterior tem-se:





Substituindo na igualdade anterior tem-se:




Resolvendo a equao do 2 grau temos:

Substituindo na igualdade encontrada, tem-se:


3. Mostre, por induo, a validez das seguintes frmulas:







4. Sejam e nmeros reais distintos. Mostre que para todo vale a igualdade:




5. Se , mostre que, para todo , vale a igualdade:

Neste exerccio usaremos o fato de que



Agora iremos desenvolver o segundo membro da igualdade:


6. Para todo , mostre que nos inteiros:

a) divide

Suponhamos para algum , saibamos que .

Logo existe um nmero inteiro tal que .

Provaremos que existe um inteiro tal que .

Logo divide para todo .

b) divide





c) divide





7. Mostre que:

a)

Suponhamos que seja verdadeira para algum .


Como ento . Logo temos:

Logo para todo .

b)




Logo para todo .

c)




Logo para todo .

8. Mostre que a sequncia de Fibonacci satisfaz as seguintes identidades:



Logo para todo .



Logo para todo .



Logo para todo .



Logo para todo .

9. Prove que



Logo para todo .

Exercios sobre Recorrncia

1. Para a sequncia definida por , determine .

2. Seja o nmero mximo de regies em que retas podem dividir o plano. Caracterize recursivamente.

O nmero mximo de regies determinado quando, para cada , a reta intersecta as retas j existentes. Neste

caso, a nova reta subdivide regies, criando assim novas regies. Logo o nmero mximo de regies

determinado por retas satisfaz

3. Prove que uma recorrncia de primeira ordem, , com uma condio inicial , tem sempre uma e s

uma soluo.

i) para , temos:

Suponhamos que esteja bem definida.

ii) Como o valor para tambm est bem definido.

Logo pelo P.I.F. o valor de est bem definido para todo natural .

4. Prove que uma recorrncia de segunda ordem , com condies iniciais e , tem

sempre uma soluo nica.

Para , tem-se : ;

Para , tem-se : .

Suponhamos que e estejam bem definidas.

Ento como o valor de tambm est bem definido.

Logo pelo P.I.F. o valor de est bem definido para todo natural .

5. Se e , determine .

6. Se e , determine .

7. Seja o nmero mximo de regies em que crculos podem dividir o plano. Caracterize recursivamente.

O crculo subdividido em no mximo arcos pelos j existentes. Cada um destes arcos subdivide uma regio

existente, determinando assim novas regies. Logo temos:

8. Determine o nmero mximo de regies em que retas podem dividir o plano.

Somando membro a membro as equaes temos:

9. Quantas so as sequncias de termos, todos pertencentes a , que possuem um nmero mpar de termos iguais a

?

1 elemento igual a 1 1 elemento igual a 0

10. Quantas so as sequncias de termos, todos pertencentes a , que possuem um nmero mpar de termos iguais

a ?

1 elemento igual a 1 1 elemento igual a 2 1 elemento igual a 0


11. Determine o nmero mximo de regies em que crculos podem dividir o plano.


12. Resolva as equaes a seguir:

13. Resolva a equao

para , temos:

para , temos:

Somando e temos:

Logo temos:

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