1) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º.

2) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. (sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 2,1445)

3) Quando o ângulo de elevação do sol é de 60º, a sombra de uma árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, considerando √3 = 1,7.

4) Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32º = 05299, cos 32′ = 0,8480 e tg 32º = 0,6249)

a) 28,41m b) 29,87m c) 31,24 m d) 34,65 m

5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de:

a)2 km b)3 km c)4 km d)5 km

Gabarito: 

1) 3√3 e 3 

6) 6 km          2) 38,6m 

7) 34,6m        3) 25,Sm 

8 ) 20º            4) 31,24m 

9) 10√3           5) 4 km 

1O) 113,6m

6) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta?

7) Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m, avista-se um navio sob um ângulo de depressão de 30º. A que distância, aproximadamente, o navio se acha do farol? (Use √3 = 1,73)

8 ) Num exercício de tiro, o alvo está a 30 m de altura e, na horizontal, a 82 m de distância do atirador. Qual deve ser o ângulo (aproximadamente) de lançamento do projétil? (sen 20º = 0,3420, cos 20º = 0,9397 e tg 20º = 0,3640)

9) Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.

10) Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sem 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42)

Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa

m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

 

Relações métricas

 Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:

- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

b² = a.n                                    c² = a.m

 - O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.

b.c = a.h 

- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

h² = m.n 

- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.

Exemplo:

Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10

 b.c =  a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8

 c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6

 b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4

 Determine os valores literais indicados nas figuras:

a)      

b)

c)

d)

Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.

Determine x nas figuras.

 

a)

O triângulo ABC é eqüilátero.b)

O triângulo ABC é eqüilátero.

c)

Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

Razões trigonométricas

 

Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

senÊ = e/a                          senÔ = o/a

 

- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

  cosÊ = o/a                         cosÔ = e/a

 

- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

   tgÊ = e/o                           tgÔ = o/e

 

Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e  tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º

 

Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6                                   senÊ = 4/5 = 0,8

cosÔ = 4/5 = 0,8                                   cosÊ = 3/5 = 0,6

tgÔ = 3/4 = 0,75                                   tgÊ = 4/3 = 1,333....

 

Ângulos notáveis

 

Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:

Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.

 

No triângulo ABD, temos:

Observação: sen45° = cos45°

 

 

Resumindo temos a tabela:

Exercícios resolvidos:

 

1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5

Solução:

2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.

Solução:

3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule:

a) A medida do lado do triângulo

b) A área do triângulo

4) Calcule x indicado na figura

Solução:

Solução:

6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?

Solução:

7) Na figura indicada calcule AB.

Solução:

8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?

A2 = A1 + A3

100 = 36 + A2

A2 = 100 – 36 = 64cm²

9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.

10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.

11) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.

 

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

EQUAÇÃO DO 1° GRAU

INEQUAÇÃO DO 1° GRAU

PRODUTOS NOTÁVEIS

EQUAÇÃO DO 2° GRAU

LOGARITMOS

PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

NÚMEROS COMPLEXOS

FUNÇÃO DO 2º GRAU

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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud

 

Campos do Jordão - SP