Exercícios Resolvidos - PEsquisa operacional

Slide 1

EAD 350 Pesquisa OperacionalExerccios Resolvidos

Prof. Hiroo Takaoka

[email protected]

FEA/USP

Exerccio 1

Funo Objetiva

Max L = 6x1 + 4x2

Restries

x1 + < 50 (1) Produto A

x2 < 100 (2) Produto B

10x1 + 5x2 < 900 (3) Mo de obra

8x1 + 6x2 > 300 (4) Nat Financeira

Pede-se:

Resolver graficamente

Determinar os limites de variao dos coeficientes da funo objetiva

Calcular o preo sombra de cada uma das restries

Conjunto de solues viveis: Polgono ABCDEF

Exerccio 1 - Soluo Grfica

50

100

150

200

50

100

150

200

C

D

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(3)

(4)

Max L = 6x1 + 4x2

x1 < 50 (1)

x2 < 100 (2)

10x1 + 5x2 < 900 (3)

8x1 + 6x2 > 300 (4)

225

0

37,5

F

300

0

50

E

620

80

50

D

640

100

40

C

400

100

0

B

200

50

0

A

L

x2

x1

Pto


50

100

150

200

50

100

150

200

C

D

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(3)

(4)

640 = 6x1 + 4x2

120 = 6x1 + 4x2

Max L = 6x1 + 4x2

x1 < 50 (1)

x2 < 100 (2)

10x1 + 5x2 < 900 (3)

8x1 + 6x2 > 300 (4)

Conjunto de solues viveis: Polgono ABCDEF

225

0

37,5

F

300

0

50

E

620

80

50

D

640

100

40

C

400

100

0

B

200

50

0

A

L

x2

x1

Pto

Ponto timo

Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade

50

100

150

200

50

100

150

200

C

D

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(3)

(4)

6x1 + 4x2 = 640

p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2

Girar at ser paralela reta (3)

10x1 + 5x2 = 900

Ponto D vai ser o novo timo

9x1 + 4x2 = L

10x1 + 5x2 < 900


50

100

150

200

50

100

150

200

C

D

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(4)

6x1 + 4x2 = 640

p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2

10x1 + 5x2 < 900

Coeficientes da funo objetiva quando tornar paralela reta 10x1 + 5x2 = 900

(3)


10x1 + 5x2 = 900


Duas retas so paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular

p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2

10x1 + 5x2 = 900


50

100

150

200

50

100

150

200

C

D

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(3)

(4)

6x1 + 4x2 = 640

p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2

0x1 +1x2 < 100


x2 = 100


50

100

150

200

50

100

150

200

C

D

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(3)

(4)

6x1 + 4x2 = 640

p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2

0x1 +1x2 < 100

Coeficientes da funo objetiva quando tornar paralela reta x2 = 100


x2 = 100


Duas retas so paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular

p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2

x2 = 100


Sintetizando os limites da anlise de sensibilidade.

A soluo permanece inalterada enquanto:

Em outras palavras, o valor de p1 pode ser aumentado at 2 (8 6) e reduzido at 6 (6 - 0).

Em outras palavras, o valor de p2 valor pode ser aumentado at ( 4) e reduzido at 1 (4 - 3).

L = 6x1 + 4x2

11

Exerccio 1 Preo Sombra

50

100

150

200

50

100

150

200

C

D

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(3)

(4)

H

Restrio 3 Mo de obra

10x1 + 5x2 = 500

10x1 + 5x2 = 900

10x1 + 5x2 = 1000

A restrio (3) pode ser deslocada at os pontos

B(0; 100) e H(50,100).

500 < Mo de obra < 1000

x2 < 80

10x1 + 5x2 = 901

C


Sensibilidade da Restrio Mo de obra

Em vez de 900 horas, se tivermos 901 horas de mo de obra, o que ir acontecer com o valor da funo objetiva?

O novo valor ser no ponto C, que a interseo das retas:

Resolvendo o sistema, temos x1 = 40,1 e x2 = 100. O novo valor da funo objetiva (L) ser:

Assim, o aumento no valor da funo objetiva ser de:

Este valor 0,6 denominado preo sombra da restrio mo de obra.

O preo sombra indica a variao no valor da funo objetiva quando aumentarmos uma unidade o valor da restrio.


Sensibilidade da Restrio Mo de obra

Note-se que a reta da restrio mo de obra pode ser deslocada entre os pontos B e H.

A coordenada do ponto B x1 = 0 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrio mo de obra ser: 10x1 + 5x2 = 500.

A coordenada do ponto H x1 = 50 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrio mo de obra ser: 10x1 + 5x2 = 1000.

Assim, a restrio mo de obra pode variar no intervalo:

500 < mo de obra < 1000

Em outras palavras, seu valor pode ser:

aumentado at 100 (1000 900) e

reduzido at 400 (900-500).


50

100

150

200

50

100

150

200

C

D(50; 80)

A

F

E

B

x1

x2

0

(1)

(2)

(3)

(4)

C

Restrio 2 Produto B

G(0; 180)

x2 = 100

x2 = 101

10x1 + 5x2 < 900

x2 = 180

x2 = 80

A restrio (2) pode ser deslocada at os pontos

D(50; 80) e G(0,180).

80 < Prod B < 180

Exerccio 1 - Solver

Anlise de Sensibilidade

Exerccio 2

Max R = 5x1 + 2x2

Sujeito a

x1 < 3 (a)

x2 < 4 (b)

x1 + 2x2 < 9 (c)

x1, x2 > 0

Pede-se:

Resolver graficamente

Determinar os limites de variao dos coeficientes da funo objetiva

Calcular o preo sombra de cada uma das restries

Dado o problema:

Funo Objetiva


1

4

A

B

C

D

E

2

3

5

1

3

4

5

2

0 = 5x1 + 2x2

x1 < 3 (a)

x2 < 4 (b)

x1 + 2x2 < 9 (c)

15

0

3

E

21

3

3

D

13

4

1

C

8

4

0

B

0

0

0

A

R

x2

x1

Pto

21 = 5x1 + 2x2

F

9

G


1

4

A

B

C

D

E

2

3

5

1

3

4

5

2

R= 5x1 + 2x2

F

9

G

x1 < 3 (a)

x2 < 4 (b)

x1 + 2x2 < 9 (c)

Coeficientes da funo objetiva

Girar at ser paralela reta

x1 + 2x2 = 9


1

4

A

B

C

D

E

2

3

5

1

3

4

5

2

R = 5x1 + 2x2

F

9

G

x1 < 3 (a)

x2 < 4 (b)

x1 + 2x2 < 9 (c)

Coeficientes da funo objetiva

Girar at ser paralela reta

x1 = 3


Sintetizando os limites da anlise de sensibilidade.

A soluo permanece inalterada enquanto:

Em outras palavras, o valor de p1 pode ser aumentado at ( 5) e reduzido at 4 (5 - 1).

Em outras palavras, o valor de p2 valor pode ser aumentado at 8 (10 2) e reduzido at 2 (2 - 0).

21


1

4

A

B

C

D

E

2

3

5

1

3

4

5

2

R = 5x1 + 2x2

F

9

G

Restrio (c)

x1 < 3 (a)

x2 < 4 (b)

x1 + 2x2 < 9 (c)

A restrio (c) pode ser deslocada at os pontos

E(3; 0) e G(3; 4).

3 < restrio c < 11

Preo Sombra


1

4

A

B

C

D

E

2

3

5

1

3

4

5

2

R = 5x1 + 2x2

F

9

G

Restrio (a)

x1 < 3 (a)

x2 < 4 (b)

x1 + 2x2 < 9 (c)

A restrio (a) pode ser deslocada at os pontos

C(1; 4) e F(9; 0).

1 < restrio a < 9

Preo Sombra

Exerccio 2 - Solver

Anlise de Sensibilidade

Uma companhia produz trs tipos de fertilizantes (A, B e C), a partir da mistura de ingredientes a base de nitrato, fosfato e potssio e de um componente inerte, conforme mostra o Quadro 1, que apresenta tambm os preos de venda dos fertilizantes. Dados sobre disponibilidade e custos dos ingredientes so apresentados no Quadro 2. O custo de mistura, empacotamento e promoo de vendas estimado em R$300,00 por tonelada para quaisquer produtos. A companhia possui contrato de longo prazo para fornecimento mensal de 6.500 t de fertilizante A. Elabore o modelo de programao linear para a programao da produo para o prximo ms, com o objetivo de maximizar o lucro.
Tipo de FertilizanteNitrato(%)Fosfato(%)Potssio(%)Componente inerte (%)Preo de mercado (R$/t)A510580800B5101075960C101010701.100
Quadro 1 - Proporo em peso dos ingredientes
IngredientesDisponibilidade (t)Custo (R$/t)Nitrato1.2003.000Fosfato2.0001.000Potssio1.4001.800Componente inerte200
Quadro 2

Exerccio 3

Variveis de deciso

x1: quantidade de fertilizante A produzida por tonelada ao ms

x2: quantidade de fertilizante B produzida por tonelada ao ms

x3: quantidade de fertilizante C produzida por tonelada ao ms

Funo Objetiva

Max Lucro = 0,00x1 + 80,00x2 + 80,00x3

Sujeito a

0,05x1 + 0,05x2 + 0,10x3 < 1.200Nitrato

0,10x1 + 0,10x2 + 0,10x3 < 2.000Fosfato

0,05x1 + 0,10x2 + 0,10x3 < 1.400Potssio

x1 > 6.500 Produo mnima do Fertilizante A

x1, x2, x3 > 0

Exerccio 3 - Soluo

Observaes:

Clculo do lucro do fertilizante A:

Lucro A = Preo A - Custo dos ingredientes A Custo de mistura A

Lucro A = 800,00 (0,05 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,05 x 1.800 + 0,80 x 200) 300,00

Lucro A = 800,00 500,00 300,00 = 0,00

Clculo do lucro do fertilizante B:

Lucro B = Preo B - Custo dos ingredientes B Custo de mistura B

Lucro B = 960,00 (0,05 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,10 x 1.800 + 0,75 x 200) 300,00

Lucro B = 960,00 580,00 300,00 = 80,00

Clculo do lucro do fertilizante C:

Lucro C = Preo C - Custo dos ingredientes c Custo de mistura C

Lucro C = 1100,00 (0,10 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,10 x 1.800 + 0,70 x 200) 300,00

Lucro C = 1100,00 720,00 300,00 = 80,00

Exerccio 3 - Soluo

TipoOperao 1Operao 2Operao 3Operao 4COMUM15 min25 min45 min105 minBOTA15 min30 min60 min120 minAERBICA15 min40 min80 min180 minTempo disponvel para operao250horas/semana600horas/semana1.060 horas/semana2.400 horas/semana
Obs.: Supor ano com 50 semanas

Formule o modelo de programao linear para a programao da produo para o ano com o objetivo de maximizar o lucro.

Exerccio 4

O fabricante de tnis Mayk produz trs modelos: COMUM, BOTA e AERBICA. Uma anlise do mercado revelou a seguinte demanda anual para os trs modelos:

COMUM vendas entre 35.000 e 40.000 unidades e o preo sugerido pelo fabricante para a venda de R$103,50, o que corresponde a um lucro de 20% para o vendedor sobre o preo de fbrica que pagou.

BOTA vendas entre 15.000 e 20.000 unidades e o preo sugerido pelo fabricante para a venda de R$146,00, o que corresponde a um lucro de 18% para o vendedor sobre o preo de fbrica que pagou.

AERBICA vendas entre 3.000 e 5.000 unidades e o preo sugerido pelo fabricante para a venda de R$180,00, o que corresponde a um lucro de 15% para o vendedor sobre o preo de fbrica que pagou.

Os custos totais por unidade produzida de COMUM, BOTA e AERBICA so respectivamente R$50,00, R$80,00 e R$95,00.

A produo de tnis envolve quatro operaes que necessitam dos tempos em minutos abaixo discriminados para serem executados:

Variveis de deciso

x1: quantidade de produo do modelo COMUM em unidades ao ano

x2: quantidade de produo do modelo BOTA em unidades ao ano

x3: quantidade de produo do modelo AERBICA em unidades ao ano

Funo Objetiva

Max Lucro = 36,25x1 + 43,73x2 + 61,52x3

Sujeito a

x1 < 40.000Demanda mxima COMUM

x1 > 35.000Demanda mnima COMUM

x2 < 20.000Demanda mxima BOTA

x2 > 15.000Demanda mnima BOTA

x3 < 5.000Demanda mxima AERBICA

x3 > 3.000Demanda mnima AERBICA

0,250x1 + 0,250x2 + 0,250x3 < 12.500Operao 1

0,417x1 + 0,500x2 + 0,667x3 < 30.000Operao 2

0,750x1 + 1,000x2 + 1,333x3 < 53.000Operao 3

1,750x1 + 2,000x2 + 3,000x3 < 120.000Operao 4

Exerccio 4 - Soluo

Observaes:

Clculo do lucro do fabricante do tnis COMUM

Lucro tnis COMUM = Preo de venda do fabricante Custo de fabricao

Lucro tnis COMUM = 103,50 / 1,2 50,00 = 86,25 50,00 = 36,25

Clculo do lucro do fabricante do tnis BOTA

Lucro tnis BOTA = Preo de venda do fabricante Custo de fabricao

Lucro tnis BOTA = 146,00 / 1,18 80,00 = 123,73 80,00 = 43,73

Clculo do lucro do fabricante do tnis AERBICA

Lucro tnis AERBICA = Preo de venda do fabricante Custo de fabricao

Lucro tnis AERBICA = 180,00 / 1,15 95,00 = 156,52 95,00 = 61,52

Exemplo de transformao de tempos em horas

15 min = 15 / 60 = 0,25 h

Clculo do tempo disponvel para operao 1 durante 50 semanas

250 h/sem x 50sem= 12.500 h

Exerccio 4 - Soluo

Uma fbrica constituda por quatro centros de processamento S1, S2, S3 e S4 e produz trs produtos finais F1, F2 e F3, cada um deles tendo apenas um processo de fabricao. O centro S1 recebe a matria-prima, podendo processar, no mximo, K1 unidades a um custo unitrio C1. Na sada do centro S1, possvel enviar o resultado do primeiro processamento, tanto para os centros S2 como S3. Os centros S2 e S3 tm custo unitrio de processamento C2 e C3 e capacidades mximas K2 e K3, respectivamente. A sada do centro S2 pode constituir o produto final F1 ou servir de entrada para o centro S4. A sada S3 tem que obrigatoriamente, passar por S4. O centro S4 pode processar qualquer uma, ou ambas as entradas, com uma capacidade total de K4 unidades e um custo unitrio de processamento, para qualquer entrada, de C4. As sadas de S4 resultaro nos produtos finais F2 e F3. Os preos unitrios de venda so P1, P2 e P3.

Utilizando como variveis de deciso, o quanto fabricar de cada produto, formule o problema de maximizao do lucro como programao linear.

P1=8, P2=12, P3=14

C1=4, C2=2, C3=1, C4=3

K1=90, K2=50, K3=30, K4=70

Exerccio 5

31

S1

S2

S3

S4

Matria prima

K1 = 90, C1 = 4

K3 = 30, C3 = 1

K2 = 50, C2 = 2

K4 = 70, C4 = 3

F1

P1 = 8

F2

P2 = 12

F3

P3= 14

P1=8, P2=12, P3=14

C1=4, C2=2, C3=1, C4=3

K1=90, K2=50, K3=30, K4=70

X1, X2

X3

X3

X1

X2

X3

X2

Exerccio 5 - Soluo

32

Exerccio 5 - Soluo

Funo objetiva

Max Lucro = 8x1 + 12x2 + 14x3 (4x1 + 2x1) - (4x2 + 2x2 + 3x2) - (4x3 + 1x3 + 3x3)

= 2x1+ 3x2 + 6x3

Sujeito a

x1 + x2 + x3 < 90Centro de processamento S1

x1 + x2 < 50Centro de processamento S2

x3 < 30Centro de processamento S3

x2 + x3 < 70Centro de processamento S4

x1, x2, x3 > 0

Variveis de deciso

x1 quantidade do produto F1



P1=8, P2=12, P3=14 (preo)

C1=4, C2=2, C3=1, C4=3 (custo)

K1=90, K2=50, K3=30, K4=70 (capacidade)

Receita

Custo F1

Custo F2

Custo F3

33

3

5

10

6

8

5

10

4

2

2

1

1

=

=

=

=

p

p

p

p

obra

de

mo

restrio

da

x

de

e

Coeficient

obra

de

mo

restrio

da

x

de

e

Coeficient

objetiva

funo

da

x

de

e

Coeficient

objetiva

funo

da

x

de

e

Coeficient

-

-

-

-

=

2

1

2

1

3

5

10

6

8

5

10

4

2

2

1

1

=

=

=

=

p

p

p

p

=

=

=

=

2

2

1

1

1

0

6

0

1

0

4

p

p

p

p

produtoB

restrio

da

x

de

e

Coeficient

produtoB

restrio

da

x

de

e

Coeficient

objetiva

funo

da

x

de

e

Coeficient

objetiva

funo

da

x

de

e

Coeficient

2

1

2

1

=

=

=

=

=

2

2

1

1

1

0

6

0

1

0

4

p

p

p

p

8

0

1

p

2

3

p

0,6

sombra

Preo

6

,

0

640

6

,

640

'

6

,

640

)

100

(

4

)

1

,

40

(

6

'

1

,

40

901

5

10

100

1

2

1

2

=

\

=

-

=

-

=

D

=

+

=

=

=

+

=

L

L

L

L

x

x

x

x

901

5

10

100

2

1

2

=

+

=

x

x

x

6

,

640

)

100

(

4

)

1

,

40

(

6

'

=

+

=

L

6

,

0

640

6

,

640

'

=

-

=

-

=

D

L

L

L

1

sombra

Preo

1

640

641

'

641

)

101

(

4

)

5

,

39

(

6

'

5

,

39

900

5

10

101

1

2

1

2

=

\

=

-

=

-

=

D

=

+

=

=

=

+

=

L

L

L

L

x

x

x

x

Clulas ajustveis

Valor

Reduzido

Objetivo

Permissvel

Permissvel

Clula

Nome

Final

Custo

Coeficiente

Acrscimo

Decrscimo

$B$3

Varivel decisria X1

40

0

6

2

6

$C$3

Varivel decisria X2

100

0

4

1E+30

1

Restries

Valor

Sombra

Restrio

Permissvel

Permissvel

Clula

Nome

Final

Preo

Lateral R.H.

Acrscimo

Decrscimo

$D$6

Produo A LE

40

0

50

1E+30

10

$D$7

Produo B LE

100

1

100

80

20

$D$8

Mo de Obra LE

900

0,6

900

100

400

$D$9

Nat Financeira LE

920

0

300

620

1E+30

10

2

1

5

1

2

1

2

2

2

1

1

=

=

=

=

p

p

p

p

0

0

1

5

0

1

2

2

2

1

1

=

=

=

=

p

p

p

p

1

1

p

10

0

2

p

1

21

22

'

22

)

5

,

3

(

2

)

3

(

5

'

5

,

3

;

3

3

10

2

2

1

1

2

1

=

-

=

-

=

D

=

+

=

=

=

=

=

+

R

R

R

R

x

x

x

x

x

4

21

25

'

25

)

5

,

2

(

2

)

4

(

5

'

5

,

2

;

4

4

9

2

2

1

1

2

1

=

-

=

-

=

D

=

+

=

=

=

=

=

+

R

R

R

R

x

x

x

x

x

Exercícios Resolvidos - PEsquisa operacional

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Transcript of Exercícios Resolvidos - PEsquisa operacional