Exercício 1:

Solução do exercício 1:

Exercício 2: Calcule a integral dada ao longo do caminho indicado:Solução do exercício 2:

(a) onde C é , ,

(b) onde C é , ,

Exercício 3: onde C é o caminho poligonal formado pelos segmentos de reta para e de para .Solução do exercício 3: Temos que

onde e são os segmentos de reta

e respectivamente. Calculando as integrais:

e ainda,

Na segunda integral usamos o fato de que tem período . Portanto,

Exercício 4: onde C é o caminho poligonal formado pelo arco circular ao longo de de para e o segmento de reta de para . Solução do exercício 4: Temos que

Ao longo caminho

A integral é:

Ao longo do caminho

A integral é:

Portanto,

Exercício 5: onde C é o quadrado com vétices , , e . Solução do exercício 5: Temos que

A estratégia é calcuar as integrais separadamente.Ao longo co caminho

calculamos a integral

Ao longo co caminho

calculamos a integral

Ao longo co caminho

obtemos a integral

Finalmente, ao longo do caminho

calculamos a nossa última integral

Portanto,

OBSERVAÇÃO: Todas estas contas são evitadas ao usarmos o teorema de Couchy-Goursat, uma vez que o retângulo e uma curva simpres fechada e a função a ser integrada é analítica em todos os pontos do seu interior, ou seja, a integral é zero.

Exercício 6: Calcular onde C é:Solução do exercício 6: (a) A reta a partir de para Integramos de forma direta onde usamos o teorema fundamental das integrais de linha, ou seja,

(b) O caminho fechado . Uma vez que o contorno é fechado temos que . Logo, usando o teorema fundamental das integrais de linha, obtemos

Exercício 7: Calcular as integrais ao longo do caminho indicado C:Solução do exercício 7:

(I) onde C é:

Temos que

Observe que usamos o teorema de Cauchy-Goursat na primeira integral.

(II) onde C é: a) , b) e c) .

a) .Usando as frações parciais temos que

Portanto,

b) . Vamos escrever

onde e são os círculos e respectivamente. Daí,

c) . Uma vez que

é analítica em todos os pontos interiores de temos pelo teorema de Cauchy-Goursat que

(III) onde C é o círculo unitário , Escrevemos

Na primeira integral temos que

pelo teorema de Cauchy-Goursat, o que não se aplica na segunda integral pois não é analítica em .Assim, calculando a segunda integral obtemos

Portanto,

(IV) onde C é o triângulo com vértices , e . Escrevemos

Aplicando o teorema de Cauchy-Goursat na primeira integral, obtemos

A outra integral não é analítica em e devemos calcular seu valor.Subdividindo o caminha e escrevendo,

onde é , é e é , obtemos

Exercício 8: Calcular as integrais ao longo do caminho indicado C:Solução do exercicio 8:

(I) onde C é: com . A integral dada independe do caminho. Assim,

(II) onde C é: a) com Como antes, podemos escolher o caminho mais conveniente para calcular a itegral. Daí,

Exercício 9: Calcular as integrais e escrever a resposta na forma :Solução do exercício 9:

a) . A técnica de integração por partes produz:

Assim,

b) . Como no ítem anterior, usamos integração por partes para obtermos

Daí,

c) . Usando a integração por partes, obtemos

d) .A integração por partes, produz

Daí,