Exercícios PARTE A Física III Campo Magnético e Fontes de...

Exercícios – PARTE A – Física III – Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Campo Magnético e Fontes de Campo Magnético – Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

Campo Magnético

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO

1. Pode uma partícula carregada se mover em um

campo magnético sem sol'rer a ação de nenhuma

força? Se pode, como? Senão, por que?

2. Em qualquer ponto do espaço, o campo

elétrico E por definição possui a mesma direção e o

mesmo sentido da força elétrica que atua sobre uma

carga positiva situada nesse ponto. Porque não

definimos o campo magnético B de modo análogo

como possuindo a mesma direçao e o mesmo sentido

da força magnética que atua sobre uma carga positiva

que se move?

3. Quando um feixe de elétrons se desloca em

linha rela em um tubo de raios catódicos, é possível

afirmar que não existe nenhum campo magnético

presente? Por que?

4. A força magnética sobre uma partícula

carregada em movimento é sempre perpendicular ao

campo magnético R. Será que a trajetória da partícula é

sempre perpendicular às linhas de campo magnético?

Explique sua resposta.

5. Uma partícula carregada entra cm uma

região cúbica onde existe um campo magnético

uniforme. Fora dessa região, não há nenhum campo

magnético. E possível que a partícula fique confinada

no interior da região cúbica? Por que?

6. Se a força magnética não realiza nenhum

trabalho sobre uma partícula carregada, como ela pode

produzir algum efeito sobre o movimento da partícula?

Existem outros exemplos de forças que não realizam

trabalho mas que produzem um efeito significativo

sobre o movimento da partícula?

7. Uma bússola em Nova York aponta cm

uma direção de 15° a oeste do norte verdadeiro: na

Califórnia, situada aproximadamente no mesmo

meridiano, porém do lado oeste dos Estados Unidos, a

agulha da bússola aponta cm uma direção de 15° a

leste do norte verdadeiro. A declinação magnética

também varia com o tempo. Forneça algumas

explicações possíveis para a declinação magnética.

8. Um feixe de elélrons cm um osciloscópio

(tubo de raios catódicos) pode ser usado como uma

bússola? Como? Que vantagens e desvantagens essa

eventual possibilidade ofereceria em relação a uma

bússola convencional?

9. Como uma espira de corrente poderia ser

usada como bússola? Essa bússola conseguiria

distinguir a diferença entre o norte e o sul? Por que?

10. Como você poderia determinar a direçao

de uni campo magnético fazendo apenas observações

qualitativas da força magnética sobre um fio retilíneo

que conduz uma corrente?

11. Um campo magnético exerce forças sobre

os elétrons no interior dos átomos? Por quê? Que

efeitos observáveis essas interações poderiam produzir

no comportamento dos átomos?

12. Uma espira de fio frouxa e capaz, de se

mover transporta uma corrente I. A espira é colocada

sobre uma mesa horizonlal em um campo magnético B

perpendicular ao plano da mesa. Isso faz com que a

espira se dilate adquirindo uma forma circular

enquanto permanece sobre a mesa. Faça um diagrama

mostrando todas as orientações possíveis do campo

magnético B e da corrente I que possibilitam esse

evento. Explique seu raciocínio.

13. A Equação para a força sobre um fio que

conduz uma corrente, F i l B

foi deduzida

usando-se a hipótese de que a área da seção rela do fio

permanece constante ao longo de seu comprimento.

Essa equação continuaria válida se a área da seção reta

variasse ao longo do fio? Por quê?

14. Um aluno afirma que, se um raio atingisse

o metal do poste que sustenta uma bandeira, a força

exercida sobre o poste pelo campo magnético da Terra

seria suficientemente grande para entortar o poste. As

correntes típicas de um raio são da ordem de

104 a 10

5A. A opinião do estudante pode ser

justificada? Expliqueseu raciocínio.

15. Uma aluna tenta fazer uma bússola

elelromagnética, suspendendo uma bobina ou espira

com uma linha (mantendo o plano da espira na

vertical) e fazendo uma corrente passar na espira. Ela

esperava que a bobina se alinhasse,

perpendicularmente, ao componente horizontal do

campo da Terra; em vêz, disso, a bobina passou a

descrever um movimento que parecia ser um

movimento simples, oscilando para frente e para trás

em torno da direção esperada. O que aconteceu? O

movimento era um verdadeiro movimento harmónico

simples?

16. Como uma bússola poderia ser usada para

a determinação quantitativa do módulo e da direção do

campo magnético em um dado ponto?



2

17. Um alto-falante comum, como o descrito

na Figura não deve ser colocado perto de um monitor

de computador nem próximo da tela da TV. Por quê?

18. Um imã permanente pode ser usado para

atrair agulhas, tachas ou clipes de papel, embora esses

ohjelos não sejam imantados. Como isso ocorre?

19. Se uma fem é produzida em um motor,

seria possível usar de algum modo o motor como

gerador ou fonte, retirando potência dele em vêz de

fornecer potência para ele? Como isso poderia

ocorrer?

20. Quando a polaridade de uma voltagem

aplicada a um motor de é invertida, o sentido do

movimento não se inverte. Por que não? Como o

sentido do movimento poderia ser invertido?

21. Em uma experiência do efeito Hall, existe

a possibilidade de nenhuma diferença de potencial

transversal ser estabelecida? Em que circunstâncias

isso poderia ocorrer?

22. As voltagens no eleito Hall são muito

maiores no caso de maus condutores (tal como o

germânio) do que no caso de bons condutores (tal

como o cobre), considerando dimensóes iguais e

correntes iguais. Por quê?

23. Seria possível construir um acelerador no

qual as forças sobre as partículas, destinadas a

aumentar a velocidade e a produzir mudanças na

direçao da velocidade, fossem todas magnéticas? Por

quê?

24. Uma força magnética que atua sobre uma

partícula carregada nunca pode reali/ar trabalho, pois a

cada instante a torça é perpendicular ã velocidade. O

torque exercido por um campo magnético pode realizar

trabalho sobre uma corrente quando a espira gira.

Explique como essa aparente contradição pode ser

conciliada.

EXERCÍCIOS

SEÇÃO 28.3 CAMPO MAGNÉTICO

28.1 Uma partícula com carga igual a:

-1.24.l0-8

C se move com velocidade

instantânea:

4 4ˆ ˆ4.19 10 3.85 10 ms

v i j

Qual é a força exercida sobre essa partícula

por um campo magnético:

(a) ˆ1.4B i T

?

(b) ˆ1.4B k T

?

2. Uma partícula com massa igual a 0.l95 g

possui carga -2.50.10-8

C e se desloca com velocidade

inicial horiontal do sul para o norte com módulo igual

a 4,00.104 m/s. Determine o módulo, a direção e o

sentido do campo magnético mínimo capaz de manter

a partícula se movendo na mesma direção e no mesmo

sentido da velocidade inicial no campo magnético da

Terra.

3. Uma partícula que inicialmente esta se

deslocando de norte para sul em um campo magnético

vertical orientado de cima para baixo sofre um desvio

para o leste. Qual é o sinal da carga da partícula?

Explique sua resposta usando um diagrama.

4. Uma partícula com massa igual a l.81.10-3

'

kg e carga 1.22.10-8

C em um dado instante possui uma

velocidade 4 ˆ3.00 10 m

sv j

. Qual é o módulo, a

direçao e o sentido da aceleração da partícula

produzida por um campo magnético uniforme

ˆˆ1.63 0.98B i k T

?

FIGURA 1 Exercício 5.

5. Cada um dos pontos assinalados por letras

nos vértices de um cubo na Figura 5 representa uma

carga positiva q que se move com velocidade de

módulo v na direçao indicada. A região na figura esta

em um campo magnético B

paralelo ao eixo Ox no

sentido da esquerda para a direita. Copie a Figura,

determine o módulo, a direção e o sentido da força

que alua sobre cada carga e mostre as forças em seu

diagrama.

6. Um elétron se move com velocidade igual a

2.50.106 m/s em uma região onde existe um campo

magnético com nina direção especificada e com

módulo igual a 7,40.10-2

T.



3

(a) Qual deve ser o maior e o menor módulo

da aceleração de um elétron provocada por esse

campo magnético?

(b) Se a aceleração real do elétron for igual a

um quarto do maior módulo encontrado no item (a),

qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o

campo magnético?

7. Um elétron sofre a ação de uma força

magnética de módulo igual a 4,60.10-15

N quando

se move com um ângulo de 60,00 em relação a um

campo magnético com módulo igual a 3.50.10-3

T.

Calcule a velocidade do elétron.

SEÇAO 28.4

LINHAS DE CAMPO

MAGNÉTICO E FLUXO MAGNÉTICO

8. O fluxo magnético através de uma face de

um cubo é igual a +0.120 Wb.

(a) Qual deve ser o fluxo magnético total

através das outras cinco faces do cubo?

(b) Por que não é necessário saber as

dimensões do cubo para responder o item (a)?

(c) Suponha que o fluxo magnético seja

produzido por um ima permanente, tal como aquele

indicado na Figura. Usando um desenho, mostre

onde o cubo do item (b) deve estar localizado em

relação ao imã.

9. Uma área circular com raio igual a 6.50 cm

está sobre o plano xy. Qual é o módulo do fluxo

magnético através do circulo produzido por um

campo magnético uniforme B = 0,230 T:

(a) no sentido +z?

(b) formando um ângulo de 53,10 com rotação

a partir do sentido +z?

(c) no sentido +y?

10. O campo magnético B

em uma certa

região é de 0.128 T e seu sentido é o do eixo +Oz na

Figura.

(a) Qual é o fluxo magnético através da

superfície abcd indicada na figura?

(b) Qual é o fluxo magnético através da

superfície befc?

(c) Qual é o fluxo magnético através da

superfície aefd

(d) Qual é o fluxo magnético através das cinco

superfícies externas do volume sombreado?

FIGURA 28.38 - Exercícios 10 e l l.

11. Uma aluna de física alega que lê/ um

arranjo de ímãs de modo que o campo magnético no

interior do volume sombreado na Figura é

2 ˆ( )B y j

onde = 0,300 T e

= 2,00 T/m.

(a) Determine o fluxo resultante de B

através

das cinco superfícies que englobam o volume

sombreado na Figura.

(b) A afirmação da aluna é plausível? Por

quê?

SEÇÃO 28.5 MOVIMENTO E

PARTÍCULAS CARREGADAS EM UM CAMPO

MAGNÉTICO

12. Uma partícula com carga 6.40.10-19

C se

desloca ao longo de uma órbita circular com raio

igual a 4.68 mm em virtude da força oriunda de um

campo magnético de módulo 1.65 T, cuja direção é

perpendicular ao plano da órbita,

(a) Qual é o módulo do momento linear da

partícula?

(b) Qual e o módulo do momento angular da

partícula?

13. Um elétron no ponto A da Figura possui

velocidade igual a l.41.106 m/s. Determine:

(a) o módulo, a direção e o sentido do campo

magnético que obriga o elétron a descrever uma

órbita semicircular de A até B

(b) o tempo necessário para que o elétron se

desloque de A até K.

FIGURA 3 - Exercícios 13 e 14.



4

14. Repita o Exercício 13 para o caso no qual

a partícula é um próton em vêz de um elétron.

15. Um déuteron (o núcleo de um isótopo de

hidrogênio) possui massa igual a 3.34.10-27

kg e

carga +e. O dêuteeron descreve uma trajetória

circular com raio igual a 6.96 mm em um campo

magnético com módulo 2.50 T.

(a) Calcule a velocidade do déuteron.

(b) Determine o tempo necessário para ele

fazer meia revolução,

(c) Por meio de qual diferença de potencial o

déuteron deve ser acelerado para que ele adquira

essa velocidade?

16. Suponha que os elétrons no magnetron do

Exemplo 2.3 (Seção 28.5) se movam a 2.80.106 m/s

no plano perpendicular ao campo magnético. Quais

são os raios das órbitas percorridas?

17. Um físico deseja produzir ondas

eletromagnéticas com freqüência igual a 3,0 THz (l

THz - l terahertz = 1012

Hz) usando um magnetron

(veja o Exemplo 28.3 na Seção 28.5).

(a) Qual é o campo magnético necessário?Compare

o resultado com o campo magnético constante mais

forte produzido em um laboratório terrestre, que e

aproximadamente igual a 45 T.

(b) Haveria alguma vantagem no uso de prótons em

vêz de elélrons no magnetron? Por quê?

18. Na situação indicada na Figura, a partícula

carregada e um próton q = l.60.10-19

C, m = 1.67.10-

27kg) e o campo magnético uniforme B

está

orientado no sentido +x. A velocidade do próton é v e

sua velocidade 0v

, para t = 0 possui componente z

igual a 0. Qual deve ser o ângulo de 0v

com o plano

xy para que o passo da hélice seja igual a seu raio?

19. Um próton (q = 1.6.10-19

C, m = - 1.67.10-27

kg)

se desloca em um campo magnético uniforme

ˆ(0.5 )B T i

. Para t = 0, o próton possui

componentes da velocidade vx = l.50.105m/s, vy = 0 e

vz = 2.00.105 m/s. Além do campo magnético, existe

um campo elétrieo no sentido +x dado por

4 ˆ(2 10 )V

E im

,

(a) Descreva a trajetória do próton. O campo

eletrico altera o raio da hélice? Explique.

(b) Para t = T/2 , onde T é o período do movimento

circular do próton, qual é o componente x do

deslocamento do próton a partir de sua posição inicial

t = 0?

20. Um íon de 7Li com uma única carga (um

isótopo de lítio) possui massa igual a 1.16.10-26

kg.

Ele é acelerado por uma diferença de potencial igual a

220 V e a seguir entra em um campo magnético de

módulo igual a 0.723 T perpendicular à trajetória do

íon. Qual é o raio da trajelória do íon no campo

magnético?

21. Um elétron do feixe de um cinescópio de TV é

acelerado por uma diferença de potencial igual a 2.00

kV. A seguir, ele passa em uma região onde existe um

campo magnético transversal descrevendo um círculo

com raio igual a 0.180 m. Qual é o módulo do campo?

SEÇAO 28.6 - APLICAÇÕES DO

MOVIMENTO DE PARTÍCULAS

CARREGADAS

22. Calcule a velocidade de um feixe de elétrons

que sofre simultaneamente, a açao de um campo

elétrico de 1.56.104 V/m e de um campo magnético

igual a 4.62.10-3

T. com ambos os campos ortogonais

ao feixe e perpendiculares entre si e sabendo que o

feixe não sofre nenhum desvio,

(a) Faça um diagrama para mostrar as orientações

relativas dos vetores v, E e B.

(b) Quando o campo eletrico é removido, qual é o

raio da órbita do elétron? Qual é o período dessa

órbita?

23. Determinação da massa de um isótopo. O

campo elétrico entre as placas do seletor de

velocidades em um espectrômetro de massa

Bainbridge é igual a 1,12.105 V/m e o campo

magnético em ambas as regiões é igual a 0.540 T. Um

feixe de íons de selênio com uma única carga se move

em uma trajetória circular com raio igual a 31.0 cm na

região do campo magnético. Determine a massa do íon

de selênio e o número de massa desse isótopo do

selênio. (O número de massa é igual à massa do

isótopo em unidades de massa atómica, arredondando

para o inteiro mais próximo. Uma unidade de massa

atômica = l u = 1.66.1027

kg.)

24. No espectrômetro de massa Bainbridge, o

módulo do campo magnético no selelor de velocidade

é igual a 0.650 T e um íon com velocidade igual a

l.82.106 m/s não sofre nenhum desvio,

(a) Qual é o módulo do campo elétrico do

seletor de velocidades?

(h) Sabendo que a distância entre as placas é

igual a 5.20 mm, qual é a diferença de potencial entre

as placas P e P’ ?



5

SEÇÃO 28.7 FORÇA MAGNÉTICA

SOBRE UM CONDUTOR TRANSPORTANDO

UMA CORRENTE

25. Uma barra horizontal de massa m e

comprimento L está alinhada na direçao norte -sul. A

barra conduz uma corrente I no sentido do sul para o

norte. Se um campo magnético uniforme B

é aplicado

ao longo do comprimento inteiro da barra, a força

magnética sobre a barra faz com que ela fique

levitando no ar.

(a) Calcule o valor mínimo do campo B

necessário.

(b) Determine a direção e o sentido do vetor B

cujo módulo você calculou no item (a).

26. Um fio relilíneo vertical conduz uma corrente

de l .20 A de cima para baixo em uma região entre os

pólos de um grande eletroíma supercondutor, onde o

módulo do campo magnético é dado por

0.588( )B T

e possui direção horizontal.

Determine o módulo, a direção e o sentido da força

magnética que atua sobre uma seção de l.00 cm do Fio

que está nesse campo magnético uniforme, sabendo

que o sentido do campo magnético é orientado

(a) de oeste para leste;

(b) do norte para o sul;

(c) formando um angulo de 30.00 no sentido da

rotação do oeste para o sul.

27. Uma barra horizontal com 0.200 m de

comprimento é montada sobre uma balança e conduz

uma corrente. No local da barra existe um campo

magnético uniforme horizonlal com módulo igual a

0,067 T e direção perpendicular à barra. A força

magnética sobre a barra medida pela balança é igual a

0,13 N. Qual é o valor da corrente ?

28. Um eletroíma produz um campo magnético

igual a 0,550 T em uma região cilíndrica entre seus

pólos com raio igual a 2,50 cm. Um fio retilíneo passa

no centro dessa região conduzindo uma corrente igual

a 10.8 A e possui uma direção perpendicular ao eixo

do cilindro e ao campo magnético. Qual é o módulo da

força que atua sobre o fio?

29 Um fio conduz uma corrente igual a 3.50 A no

sentido negativo do eixo Ox. Calcule a força (expressa

com base nos vetores unitários) sobre uma seção de

1.00 cm do fio exercida pêlos seguintes campos

magnéticos:

(a) ˆ(0.56 )B T i

;

(b) ˆˆ(0.33 ) (0.28 )B T i T k

(c) ˆ(0.31 )B T i

(d) ˆˆ(0.33 ) (0.28 )B T i T k

(e) ˆˆ(0.74 ) (0.36 )B T j T k

SEÇAO 28.8 FORÇA E TORQUE SOBRE

UMA ESPIRA DE CORRENTE

30. Uma espira retangular de 5.0 cm por 8.0 cm

possui plano paralelo a um campo magnético de 0.19

T. A espira conduz uma corrente igual a 6.2 A.

(a) Qual é o torque que atua sobre a espira?

(b) Qual é o módulo do momento magnético da

espira?

(c) Qual é o Torque máximo que pode ser obtido

sobre um fio com o mesmo comprimento total da

espira e conduzindo a mesma corrente nesse campo

magnético?

31. Uma bobina circular com 8.6 cm de diâmetro

possui 15 espiras e conduz uma corrente igual a 2.7 A.

A bobina esta em uma região onde o campo magnético

é 0,56 T.

(a) Para qual orientação da bobina o Iorque atinge

seu valor máximo e qual é esse Torque máximo?

(b) Para qual orientação da bobina o módulo do

Torque é igual a 71% do valor encontrado no item (a)?

32. Uma bobina circular de área A possui N espiras

e pode girar em torno de um diâmetro que coincide

com o eixo Ox. Uma corrente I está circulando na

bobina. Existe um campo magnético B

no sentido

positivo do eixo Oy. Determine o módulo, a direçao e

o sentido do Torque

e o valor de energia potencial

U, quando a bobina estiver orientada nas posições

indicadas de (a) até (d).

FIGURA 4 – Exercício 32.

33. Uma bobina com momenio magnético 1,45 A

.m está orientada, inicialmente, com seu momento

magnético antiparalelo a um campo magnético com

módulo igual a 0.835 T. Qual é a variação da energia

potencial da bobina quando ela gira de 1800 de modo

que seu momento magnético fique paralelo ao campo?



6

SEÇÃO 28.9 MOTOR DE CORRENTE

CONTÍNUA

34. Um motor de possui um rotor ligado em série

com uma resistência de 3.2 . Quando ele gira com

sua carga tolal em uma linha de 120 V, a fem do motor

é igual a 105 V.

(a) Qual é a corrente que o motor recebe da linha?

(b) Qual é a potência fornecida ao motor?

(c) Qual é a potência mecânica desenvolvida pelo

motor?

35. Na Figura 5, vemos um rotor de no qual um

motor com resistência Rr = 5.9 está ligado em

paralelo formando um shunt com as bobinas de campo

com resistência Rf = 106 . Quando uma diferença de

potencial igual a 120 V é aplicada nas escovas e o

motor está reali/ando trabalho e girando com

velocidade máxima, a corrente fornecida ao motor e

igual a 4.82 A.

(a) Qual é a corrente que passa nas bobinas de campo?

(b) Qual é a potência mecânica desenvolvida pelo

motor?


36. A Figura 5 mostra uma fonte de alimentação de

120 V ligada a um motor dc com shunt no qual o rotor

está ligado cm paralelo com as bobinas de campo. A

resistência das bobinas de campo é Rf = 21 . A

resistência do roTor é Rr = 5.9 . Quando o motor

está funcionando, o rotor desenvolve uma tem fem .

O motor consome uma corrente igual a 4.82 A da

Fonte. As perdas por atrito correspondem a 45,0 W.

Calcule:

(a) a corrente que passa nas bobinas de

campo;

(b) a corrente no rotor;

(c) a fem ;

(d) a taxa de produção de energia térmica no

rotor;

(e) a potência fornecida ao motor;

(f) a eficiência do motor.

SEÇÃO 28.10 O EFEITO HALL

37. A Figura 6 indica uma placa de praia com

dimensões y1 = 0,23 mm e z1 = l l.8 mm que conduz

uma corrente igual a 120 A no sentido +x. A placa

está em um campo magnético uniforme na direção y.

cujo modulo e igual a 0,95 T. Aplique o modelo

simplificado do efeito Hall apresentado. Sabendo que

existem 5.85.1028

elétrons livres por metro cúbico,

determine:

(a) o modulo da velocidade de arraste dos

elétrons na direção do eixo Ox;

(b) o módulo, a direção e o sentido do campo

elétrico no eixo Oz produzido pelo efeito Hall;

(c) a fem Hall.


38. A Figura 6 representa a placa de um metal

desconhecido com as mesmas dimensões da placa de

prata do Exercício 37. Quando o campo magnético é

de 2.29 T e a corrente é igual a 78.0 A, a fem Hall é

de 13 l V. Usando o modelo simplificado do eleito

Hall , calcule a densidade dos elétrons livres do metal

desconhecido.



7

PROBLEMAS

39. Quando uma partícula com carga q > 0 se

move com velocidade 1v

, formando um ângulo de

450com o eixo Ox no plano xy. Um campo magnético

uniforme exerce uma força 1F

, ao longo do eixo -Oz;

(Figura 7). Quando a mesma partícula se move com

velocidade 2v

, com o mesmo módulo de 1v

, porém ao

longo do eixo +0z, uma força 2F

, com módulo 2F , é

exercida sobre ela ao longo do eixo +0x.

(a) Qual é o módulo, a direção e o sentido do

campo magnético?

(b) Qual é o módulo de1F

em termos de 2F ?

FIGURA 7 – Problema 39.

40. A força sobre uma partícula carregada que

se move em um campo magnético pode ser calculada

como a soma velorial das forças devidas a cada

componente do campo magnético. Como exemplo,

uma partícula com carga q está se movendo com

velocidade v no sentido -y. Ela se move em um campo

magnético ˆˆ ˆx y zB B i B j B k

(a) Quais são os componentes da força

exercida pelo campo magnético sobre a partícula?

(b) Se q > 0. quais devem ser os sinais dos

componentes de B

para que os componentes de F

sejam todos não-negativos?

(c) Se q < 0 e Bx = By = Bz > 0, determine a

direção e o sentido de F

em termos de |q|, v e Bx.

41. Campo E

E ortogonal ao campo B

. Uma partícula com velocidade inicial

3

0ˆ(5.85 10 )m

sv j

entra em uma região onde

existem um campo elétrico uniforme e um campo

magnético uniforme. O campo magnético na região é

dado por ˆ1.35B T k

. Determine o modulo, a

direção e o sentido do campo elétrico, sabendo que a

partícula atravessa a região sem sofrer nenhum desvio,

considerando uma partícula com carga igual a:

(a) +0.640 nC; (b) -0.320 nC. Despreze o peso da

partícula.

42. No canhão de elétrons de um cinescópio

de TV, os elétrons (carga –e e massa me) saem

acelerados por uma voltagem V. Depois de abandonar

o canhão de elétrons, o feixe de elétrons percorre uma

distância D no sentido da tela: nessa região, existe um

campo magnético de módulo B e não há nenhum

campo elétrico.

(a) Mostre que o desvio aproximado do feixe

produzido pelo campo magnético é dado por: 2

2 2 e

B D ed

m V

(b) Calcule o valor dessa expressão para V =

750 V, D = 50 cm e B = 5.0.10-5

T (valor comparável

com o campo magnético da Terra). Esse desvio é

significativo?

43. Os pólos magnéticos de um pequeno

ciclotron produzem um campo magnético de módulo

igual a 0.85 T. Os pólos possuem um raio de 0.40 m.

que é o raio máximo que as órbitas das partículas

podem atingir,

(a) Qual é o valor máximo da energia

adquirida por um prólon (qp = l.60.10-19

C, mp = 1.67.

10-27

kg) acelerado por esse ciclotron? Forneça a

resposta em joules e em elétron-volts.

(b) Qual é o tempo de revolução para um

próton girando com esse raio máximo?

(c) Qual deve ser o módulo de um campo

magnético necessário para acelerar um próton ate ele

atingir uma energia máxima igual ao dobro da

calculada no item (a)?

(d) Considerando B = 0.85 T, qual é a energia

máxima atingida por uma partícula alfa (q=3.2.10-19

C;

m = 6.65.10-27

kg) acelerada nesse ciclotron? Como se

compara o resultado obtido com a energia máxima do

próton?

44. Uma partícula com carga q > 0 se move

com velocidade v' no sentido +Oz; através de uma

região onde existe um campo magnético B

. A força

magnética sobre a partícula é dada por

0ˆ ˆ(3 4 )F F i j

, onde F0 é uma constante

positiva,

(a) Determine os componentes Bx, By e Bz ou

pelo menos a maior quantidade dos três componentes

que for possível encontrar com base nas informações

fornecidas.



8

(b) Se além das informaçóes dadas soubermos

que o campo magnético possui modulo igual a 6F0/qv,

determine tudo o que você puder sobre os

componentes de B

restantes.

45. Um elétron e um núcleo de Li (um isótopo

do lítio que possui três prótons e quatro nêutron.s) se

deslocam em um campo magnético em órbitas

circulares com a mesma velocidade tangencial. Calcule

a razão entre o número de revoluções por segundo do

elétron e o número de revoluções feitas pelo núcleo de

Li. A massa do núcleo Li é de 1.16.10-21

kg.

46. Um ciclotron deve acelerar prólons até

uma energia de 5.4 MeV. O eletroímã supercondutor

do ciclotron produz um campo magnético igual a 3,5 T

com direção perpendicular à órbita do próton.

(a) Quando o próton adquire uma energia

cinética igual a 2.7 MeV, qual é o raio da órbita e qual

é sua velocidade angular?

(b) Repita o item (a) para quando o próton

atingir sua energia cinética final de 5,4 MeV.

47. Uma partícula com carga q negativa e

massa m = 2.58.10-15

kg se move através de uma

região com um campo magnético uniforme

ˆ(0.120 )B T k

. Em um certo instante, a

velocidade da partícula é dada por 6 ˆˆ ˆ(1.05 10 )( 3 4 12 )v m s i j k

e a força

F

sobre a partícula possui módulo igual a 1.25 N.

(a) Determine a carga q.

(b) Calcule a aceleração A

da partícula,

(c) Explique por que a trajetória da partícula é

uma hélice e calcule o raio de curvatura R do

componente circular da trajetória helicoidal,

(d) Determine a freqüência ciclotrônica da

partícula,

(e) Embora um movimento helicoidal não seja

periódico, no sentido exato da palavra, as coordenadas

x e y variam de modo periódico. Se as coordenadas da

partícula para t = 0 forem (x, y, z) = (R, 0, 0), quais

serão as coordenadas para o instante t = 2T, onde T é o

período do movimento no plano xy?

48. Um elétron se move em uma órbita

circular de raio r = 4.00 cm no espaço entre dois

cilindros concêntricos. O cilindro interno é um fio

positivamente carregado com raio A = 1.00 mm e o

cilindro externo é um cilindro negativamente

carregado com raio b = 5,00 cm. A diferença de

potencial entre o cilindro interno e o cilindro externo é

dada por Vab = 120 V, e o fio está em um potencial

mais elevado. Note que a figura não loi desenhada em

escala.) O campo elétrico E

na região entre os

cilindros é orientado radialmente para fora e seu

módulo é dado:

ln

abVE

br

a

(a) Determine a velocidade necessária para o

elétron manter sua órbita circular. Despreze o campo

gravitacional e o campo magnético da Terra,

(b) Agora inclua o eleito do campo magnético

da Terra. Supondo que os eixos de simetria dos

cilindros estão posicionados paralelamente ao campo

magnético da Terra, qual deve ser a velocidade do

elétron para que ele mantenha a mesma órbita circular?

Suponha que o campo magnético da Terra possua

módulo igual a l,30.10-4

T e que ele esteja saindo

ortogonalmente do plano da página, como na Figura.

(c) Refaça os cálculos do item (b) para o caso

no qual o campo magnético possua um sentido

contrário ao da parle (b).

FIGURA 8 - Problema 48.

49. Suponha que o campo elétrico entre as

placas P e P´ na Figura seja igual a 1.88.104 V/m e que

o campo magnético em ambas regiões seja igual a

0.701 T. Se a fonte contém os três isótopos do

criptônio (82

Kr, 84

Kr e 86

Kr) e os íons possuem uma

carga única, determine a distancia entre as linhas

formadas pêlos três isótopos sobre a placa lotográlica.

Suponha que as massas atómicas dos isótopos (em

unidades de massa atômica) sejam dadas pêlos

respectivos números atómicos, 82, 84 e 86. (Uma

unidade de massa atómica = l u = 1.66.10-27

kg.)

50. A força sobre uma partícula carregada que

se desloca em um campo magnético pode ser calculada

como a soma vetorial das forças produzidas pêlos

componentes separados da velocidade da partícula.

Uma partícula com carga q = 9.45.10-8

C se move em



9

uma região onde existe um campo magnético uniforme

igual a 0,450 T no sentido do eixo +Ox. Em um dado

instante, a velocidade da partícula possui componentes

vx = -1.68.104 m/s, vy = -3.11.10

4 m/s e vz = 5.85.10

4

m/s. Quais são os componentes da loiça nesse instante?

51. O cubo indicado na Figura 9, com aresta

de 75.0 cm, está em um campo magnético uniforme de

0.860 T paralelo ao eixo Ox. O fio abcdef conduz uma

corrente de 6.58 A, no sentido indicado,

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido

da força que atua sobre cada um dos segmentos ab,.bc,

, cd, de e ef.

(b) Calcule o módulo, a direção e o sentido da

força resultante que atua sobre o fio.


52. Propulsão eletromagnética em uni

trilho. Uma barra condutora de comprimento L e

massa m desliza sobre trilhos horizontais conectados a

uma fonte de voltagem. A fonte de voltagem mantém

uma corrente constante I nos trilhos e na barra e um

campo magnético vertical uniforme B

preenche o

espaço entre os trilhos.


da força resultanie sobre a barra. Despreze o atrito, a

resistência do ar e a resistência elétrica.

(b) Se a barra possui massa m, calcule a

distância d que ela deve percorrer ao longo dos trilhos,

partindo do repouso, ate atingir uma velocidade v.

(c) Existem teorias sobre a possibilidade de

que a propulsão baseada nesse princípio possa ser

usada para acelerar cargas e coloca-las em órbita ao

redor da Terra e até mesmo fazer o objelo sair da

atraçâo terrestre. Calcule a distância que a barra deve

percorrer para atingir a velocidade de escape da Terra

(l l .2 km/s). Considere B = 0.50 T. I = 2.0.103A, m =

25 kg e L = 50 cm.


53. Um fio retilínco condutor de massa M e

comprimento L é colocado sobre um plano inclinado

sem atrito formando um ângulo θ com a horizontal

(Figura 11). Existe um campo magnético vertical

uniforme B

ao longo de todos os pontos (produzido

por um conjunto de eletroímâs não indicados na

figura). Para impedir que o fio escorregue para baixo

do plano, uma fonte de tensão é aplicada nas

extremidades do lio. Quando uma corrente com um

valor preciso circula no fio, ele permanece em repouso.

Determine o módulo e o sentido da corrente que

circula para fazer o fio ficar em repouso. Copie a

figura e desenhe o sentido da corrente no seu desenho.

Além disso, faça um diagrama de corpo livre

mostrando todas as forças que atuam sobre o fio.

54. A figura 11 mostra um fio de arame fino e

flexível suspenso em um ponto P em uma região onde

existe um campo magnético horizontal uniforme de

módulo B entrando perpendicularmente no plano da

figura. Um peso está preso na extremidade inferior do

fio, ocasionando uma tensão T uniforme através do fio,

(o peso do fio é desprezível). Quando uma corrente I

flui de cima para baixo através do fio, ele se encurva

formando um arco circular de raio R.

(a) Considerando as forças que atuam sobre

um pequeno segmento de lio que subtende um ângulo

, mostre que o raio de curvatura do fio é dado por:

TR

I B

Quando é pequeno, sen tan , onde

é dado em radianos.

(b) Agora o fio é removido. Uma partícula

com carga negativa –q e massa m é lançada do mesmo

ponto P no qual o fio eslava preso e na mesma direção

inicial em que o lio ficara suspenso a partir do ponto P.

Mostre que a partícula seguira uma trajetória igual à do

arco de círculo descrito pelo fio se a velocidade da

partícula for dada por v = qT/mI. (Por essa razão, fios

com pesos são usados nos projetos de sistemas de

eletroímâs empregados para desviar feixes de

partículas carregadas. O encurvamento do fio que

conduz a corrente indica como as trajetórias das

partículas deverão se encurvar.)



10


55. Dois íons positivos que possuem a mesma

carga q, porém massas diferentes m1 e m2 são

acelerados horizontalmente a partir do repouso por

uma diferença de potencial V. A seguir, eles entram em

uma região onde existe um campo magnético uniforme

B

perpendicular ao plano da trajetória.

(a) Mostre que. se o feixe entrar no campo

magnético ao longo do eixo Ox, o valor da coordenada

y de cada íon em qualquer tempo será

aproximadamente dado por: 1 2

2

8

qy B x

m V

desde que y permaneça muito menor do que x.

(b) É possível usar esse arranjo para a

separação de isótopos? Por que?

56. Um fio de comprimento igual a 25.0 cm

está apoiado no longo do eixo Oz, e conduz uma

corrente de 9,00 A no sentido +z. O campo magnético

é uniforme e possui componentes Bx = -0.242 T, By = -

0.985 T e Bz = -0.336 T.

(a) Calcule os componentes da força

magnética sobre o fio. (Como no Problema 40, a força

magnética resultante é a soma vetorial das forças

produzidas, individualmente, pêlos componentes de B.

(b) Qual é o módulo da força magnética

resultante que atua sobre o fio?

57. A espira retangular indicada na Figura 12

possui massa igual a 0,15 g por centímetro de

comprimento e está articulada em tomo do lado ab por

meio de um eixo sem atrito. A corrente que circula no

11o é igual a 8,2 A no sentido indicado. Determine o

módulo, a direçâo e o sentido do campo magnético

paralelo ao eixo Oy que produzirá unia oscilação para

cima na espira até que seu plano forme um ângulo de

30,00 com plano yz.


58. A espira retangular indicada na Figura 13

possui articulação em torno do eixo Oy e conduz uma

corrente igual a 15.0 A no sentido indicado,

(a) Se a espira esui em um campo magnético

uniforme com módulo de 0.4S T no sentido +Ox,

calcule o módulo, a direção e o sentido do Torque

necessário para sustentar a espira na posição indicada,

(b) Repila o item (a) para o caso no qual o

campo aponta no sentido –z.

(c) Para cada um dos campos magnéticos

mencionados, qual seria o Torque necessário se a

espira estivesse articulada em um eixo de rotação que

passasse em seu centro, paralelamente ao eixo Oy?


59. Um solenóide com N espiras, cada uma

delas com uma seção reta com área A, e conectado a

uma lente de tem que mantém uma corrente constante I

no fio. O solenóide e a seguir é libertado, podendo

girar livremente em torno de um eixo perpendicular ao

plano da Figura 14. O momento de inércia do

solenóide é Is. Determine o período das oscilações do



11

solenóide. Suponha que o angulo seja muito menor

do que o indicado na Figura. (Dica: Veja a seção 13.7.)

60. Um fio fino de material isolante possui

comprimento L. O fio é enrolado formando uma espira

circular e uma carga q positiva e distribuída

uniformemente ao longo da circunferência da espira. A

seguir, fazemos a espira girar com velocidade angular

em torno de um eixo perpendicular ao plano da

espira e passando através do seu centro. Se a espira

esta em uma região onde existe um campo magnético

uniforme B

paralelo ao plano da espira, calcule o

módulo do Torque magnético sobre a espira.

61. Uma bobina de alto-falante. Na seção

28.8 mostramos que era igual a zero a força resultante

sobre uma espira de corrente em um campo magnético

uniforme. A força magnética sobre uma bobina

destinada a produzir o som de um alto-falante não é

igual a zero porque o campo magnético da bobina não

é uniforme. Uma bobina de som de um alto-falante

possui 50 espiras com diâmetro de 1.56 cm e a corrente

que flui no lio é igual a 0.950 A. Suponha que o campo

magnético em cada ponto da espira possua um módulo

constante de 0.220 T e esteja dirigido formando um

angulo de 60.00 com a normal externa do plano da

bobina (Figura 14). Suponha que o eixo da bobina seja

o eixo 0y. A corrente que flui na bobina possui o

sentido indicado (sentido anti-horário observado de um

ponto acima da bobina sobre o eixo 0y). Calcule o

módulo, a direção e o sentido da força magnética

resultante sobre a bobina.


62. Diversas forças F

são aplicadas sobre

um corpo rígido. Em relação a uma origem O, a força

1F

e aplicada em um ponto localizado pelo vetor 1r

, a

força 2F

, em 2r

, e assim por diante.O ponto P e

localizado pelo velor pr

. Quando o campo está em

equilíbrio de translação, sabemos que

1

0N

i

i

F

:

prove que a soma dos torques em relação ao ponto P e

igual a soma dos torques em relação ao ponto O. (Isso

justifica uma afirmação feita na Seção 28.8: Como a

força magnética resultante sobre uma espira de

corrente e nula em um campo magnético unitário, o

Torque magnético possui sempre o mesmo módulo, a

mesma direção e o mesmo sentido para qualquer

escolha de eixo.)

63. Força sobre uma espira de corrente em

um campo magnético não uniforme. Mostramos na

Seção 28.8 que é nula a força resultante sobre uma

espira de corrente em um campo magnético uniforme.

Porém, o que ocorre quando B

não é uniforme? A

Figura 15 mostra uma espira quadrada que está contida

no plano xy. A espira possui vértices nos pontos (0, 0),

(0, L), (L, 0) e (L, L) e conduz uma corrente I no

sentido horário. O campo magnético não possui

componente x, mas possui componentes em ambas

direções y e z:

0 0 ˆˆB z B yB j k

L L

, onde B0 é uma constante positiva,

(a) Faça um desenho das linhas do campo

magnético no plano yz,

(b) Calcule o modulo, a direção e o sentido da

força magnética exercida sobre cada um dos lados da

espira por integração.

(c) Determine o modulo, a direção e o sentido

da força magnética resultante sobre a espira.

FIGURA 15 - Problemas 63 e 64.

64. Torque sobre uma espira de corrente

em um campo magnético não uniforme. Na Seção

28.8, a expressão do Torque sobre uma espira de

corrente foi deduzida supondo que o campo magnético

B

fosse uniforme. Porém, o que ocorre quando B

não

é uniforme? A Figura 15 mostra uma espira quadrada

que está contida no plano xy. A espira possui vértices

nos pontos (0, 0), (0, L), (L, 0) e (L, L) e conduz uma e



12

conduz uma corrente I no sentido horário. O campo

magnético não possui componente x, mas possui

componentes em ambas direções y e z:

0 0 ˆˆB z B yB j k

L L

, onde B0 é uma constante positiva,

(a) Faça um desenho das linhas do campo

magnético no plano yz,

(b) Calcule o modulo, a direção e o sentido da

força magnética exercida sobre cada um dos lados da

espira por integração.

(c) Determine o modulo, a direção e o sentido

da força magnética resultante sobre a espira.

(d) Repita o item (c) para o caso no qual a

espira pode girar livremente em torno do eixo Oy.

(e) A Equação:

B

fornece uma descrição apropriada para o

Torque sobre a espira? Por quê?

65. Um fio de arame isolado com massa

5.40.10-5

kg é encurvado formando um U invertido de

tal modo que a parte horizontal possui comprimento l

= 15.0 cm. As extremidades encurvadas do fio são

parcialmente imersas em dois recipientes cheios de

mercúrio, e cada extremidade liça 2.5 cm abaixo da

superfície do mercúrio. A estrutura inteira esta em uma

região onde existe um campo magnético unilorme de

0,00650 T direcionado para o interior da pagina

(Figura 16). As extremidades dos tios são conectadas

com o mercúrio. Os dois recipientes de mercúrio são

conectados com uma bateria de l.50 V e uma chave S.

Quando a chave S está fechada, o fio salta 35.0 cm

para o ar a partir de sua posição inicial.

(a) Determine a velocidade v do fio quando

ele deixa o mercúrio.

(b) Supondo que a corrente I, que passa no fio

permaneça constante desde o momento em que a chave

foi fechada até o instante em que o fio sai do mercúrio,

determine o valor de I.

(c) Desprezando as resistências dos fios do

circuito e a resistência do mercúrio, determine a

resistência do fio de arame.

Figura 16 - Problema 65.

66. Modelo de Quark para o nêutron. O

nêutron é uma partícula com carga elétrica igual a

zero. Contudo, ele possui um momento magnético

diferente de zero, cujo componente z é igual a:

9.66.10-27

A.m2. Esse momento pode ser

explicado pela estrutura interna do nêutron. Diversas

evidencias indicam que o nêutron é composto de três

partículas fundamentais chamadas de quarks: um

quark “up” (u) com carga +2e/3 e dois quarks "down"

(d ) cada um com uma carga -e/3. A combinação

dessas três cargas produz uma carga total +2e/3 -e/3 –

e/3 = 0. Caso os quarks estejam em movimento, eles

produzem um movimento magnético diferente de zero.

Com um modelo muito simples suponha que o quark

(u) se mova em uma órbita circular em sentido anti-

horario e que os dois quarks (d) se movam no sentido

horário. Todos os quarks se movendo com o mesmo

módulo da velocidade v ao longo das circunferências

de mesmo raio r (Figura 17).

(a) Obtenha a corrente elétrica produzida pela

circulação do quark (u)

(b) Determine o módulo do momento

magnético oriundo da circulação do quark (u),

(c) Determine o módulo do momento

magnético do sistema constituído pêlos três quarks.

(Tome cuidado e use os sentidos correios para os

momentos magnéticos.)

(d) Com que velocidade v os quarks devem se

mover para reproduzir o valor do momento magnético

do néutron? Use o valor r = 1.20.10-15

m. (o raio do

nêutron) para o raio das órbitas.




13

67. Uma espira circular de área A está contida

no plano xy. Vista ao longo do eixo Oz; olhando para a

origem no sentido –z uma corrente I circula no sentido

horário em torno da espira. O torque produ/ido por um

campo magnético externo B

é dado por:

ˆ ˆ4 3D i j

, onde D é uma constante positiva, e para essa

orientação da espira a energia potencial magnética :

U B

é negativa. O módulo do campo magnético é

13 DB

I A

(a) Determine o vetor momento magnético da

espira,

(b) Determine os componentes Bx, By e Bz do

vetor B

.

68. Derivação da Equação para uma espira

circular. Uma espira de fio em forma de anel está

sobre o plano xy com o centro na origem. No anel,

circula uma corrente I no sentido contrário ao dos

ponteiros do relógio (Figura 18). Um campo magnético

uniforme B

está sobre o eixo +Ox, sendo dado por:

ˆxB B i

(Esse resultado poderá ser facilmente estendido para

um campo B

com direção arbitrária.)

(a) Na Figura 18, mostre que o elemento de

linha é dado por:

ˆ ˆ( cos )dl R d sen i j

calcule dF I dl B

.

(b) Integre dF

ao longo da espira para

mostrar que a força resultante é igual a zero.

(c) Do item (a) calcule d r dF

, onde

ˆ ˆ(cos )r R i sen j

é o velor que liga o

centro da espira ao elemento dl

. (Observe que dl

é

perpendicular a r

.

(d) Integre d

ao longo da espira para

encontrar o torque total que atua sobre a espira. Mostre

que o resultado pode ser escrito na forma:

B

, onde I A .

Nota:

2 1 1cos 2

2 4xdx x sen x

2 1 12

2 4sen xdx x sen x

21cos

2senx xdx sen x


69. Uso da lei de Gauss do magnetismo. Em

uma certa região do espaço, o campo magnético B

não

é uniforme. O campo magnético possui um

componente z e outro componente que aponta para fora

ou para dentro do eixo Oz. O componente z é dado por

( )zB z z ,onde é uma constante positiva. O

componente radial Br depende somente de r, a

distância radial até o eixo Oz.

(a) Use a lei de Gauss para o magnetismo,

dada pela Equação:

0A

B dA

, para determinar o componente Br, em função

de r. (Dica:Experimente uma superfície gaussiana

cilíndrica de raio r concêntrica com o eixo Oz, com

uma extremidade em , z = 0 e a outra no ponto z = L),

(b) Faça um desenho mostrando as linhas do

campo magnético.

70. Uma espira circular com área igual a 4,45

cm2 conduz uma corrente de 12.5 A. A espira pode

girar livremente em torno de um diâmetro. A espira,

inicialmente em repouso, está imersa em um campo

magnético dado por: 2 ˆˆ ˆ(1.15 10 ) (12 3 4 )B T i j k

A espira está posicionada inicialmente de tal

modo que o momento magnético é dado por:

ˆ ˆ( 0.800 0.600 )i i j

onde é o módulo (positivo) do momento magnético.

A espira é libertada e gira de um ângulo de 90,00,

posição na qual seu momento magnético é dado por:

ˆf k



14

(a) Determine a diminuição da energia

potencial.

(b) Se o momento de inércia da espira em

relação a um diâmetro é igual a 8.50.10-7

kg.m2,

determine a velocidade angular da espira no instante

em que ela passa pela segunda posição.

PROBLEMAS DESAFIADORES

71. Uma partícula com carga igual a 2.15 C e

massa de 3.20.10-11

kg está, inicialmente, se

deslocando no sentido +y com velocidade igual a v0 =

1.45.105 m/s. Ela a seguir entra em uma região onde

existe um campo magnético uniforme que entra

perpendicularmente no plano da página, como indicado

na Figura 19. O módulo do campo é igual a 0.420 T. A

região se estende até uma distância igual a 25.0 cm ao

longo da direção inicial do deslocamento; a 75,0 cm do

ponto onde ela entrou no campo existe uma parede. O

comprimento da região onde não existe campo e,

portanto, igual a 50.0 cm. Quando a partícula

carregada entra no campo magnético, ela segue uma

trajetória curva com raio de curvatura R. Ela, a seguir,

deixa o campo magnético depois de um tempo t1 ,

tendo sido desviada de uma distância Δx1 . A partícula

então se desloca na região sem campo e atinge a

parede depois de ser desviada de uma distância total

Δx.

(a) Determine o raio R da parte curva da trajelória.

(b) Determine t1 o tempo durante o qual a

partícula permanece no campo magnético,

(c) Determine Δx1, o desvio horizontal no ponto

onde a partícula sai do campo,

(d) Determine Δx o desvio horizontal total.

Figura 19 - Problema Desafiador 71.

72. A bomba eletromagnética. As forças

magnéticas que atuam sobre fluidos condutores

fornecem um modo conveniente para bombear esses

fluidos. Por exemplo, esse método pode ser usado para

bombear o sangue sem prejudicar células que poderiam

ser danificadas por uma bomba mecânica. Um tubo

horizonlal com seção rela retangular (largura w e altura

h) é colocado ortogonalmente a um campo magnético

B de tal modo que um comprimento l está imerso no

campo (Figura 20). O tubo é preenchido com um

Unido condutor e uma densidade de corrente J é

mantida na terceira direção mutuamente perpendicular.

(a) Mostre que a diferença de pressão entre

um ponto do líquido sobre o plano vertical que passa

em A b

e um ponto do líquido sobre outro plano

vertical que passa em cd, para impedir o escoamento

do fluido, é dada por: p J l B

(b) Qual é a densidade de corrente necessária

para fornecer uma diferença de pressão igual a l.00 atm

entre esses dois pontos sabendo que B = 2.20 T e l =

35.0 mm?


73. Uma trajetória cicloidal. Uma partícula

de massa m e carga positiva q parte do repouso na

origem na Figura 21. Existe um campo elétrico

uniforme E

no sentido +y e um campo magnético

uniforme B

saindo da pagina. Demonstra-se em livros

mais avançados que a trajelória descrita é uma

ciclóide. cujo raio de curvatura nos pontos do topo da

curva é igual ao dobro da coordenada y desses pontos,

(a) Explique a razão desse tipo de trajetória e

o motivo da repetição do movimento,

(b) Prove que a velocidade em qualquer ponto

é dada por:

2 q E yv

m

(Dica: Use a conservação da energia.)

(c) Aplicando a segunda Lei de Newton no

ponto do topo da trajetória e levando em conta a

informação de que nesse ponto o raio de curvatura é



15

igual a 2y, prove que a velocidade nesse ponto é igual

a

2 Ev

B

FIGURA 21 - Problema Desafiador 73.



16

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO

1. Um tópico de interesse nas pesquisas de física é

a busca de um pólo magnético isolado, chamado de

monopólo magnético. Se tal entidade fosse descoberta,

como poderia ser reconhecida? Quais seriam suas

propriedades?

2. Um feixe de partículas carregadas emitidas pelo

Sol durante períodos de atividades solar criam uma

perturbação no campo magnético da Terra. Como isso

ocorre?

3. No texto, discutimos o campo magnético

produzido por um fio retilineo infinito conduaindo uma

corrente. Como saber se um dado fio possui

comprimento sufieienie para que possa ser considerado

infinito?

4. Dois condutores paralelos que transportam

correntes com o mesmo sentido se atraem mutuamente.

Caso eles possam se aproximar um do outro, as forças

de atraçâo realizam trahalho. De onde provem a

energia? No Capítulo 28, afirmamos que forças

magnéticas sobre cargas que se movem não realizam

trabalho: isso contraria essa afirmação? Explique.

5. Os pares de fios que transportam correntes para

dentro ou para fora de equipamentos eletrônicos com

lentes de tensão algumas vêzes são torcidos um com o

outro para ajudar a reduzir o efeito do campo

magnético. Por que?

6. Suponha que você possua três fios paralelos

longos, dispostos de modo que cada seção reta ocupe

os vértices de um triângulo equilátero. É possível

distribuir as corrente de modo que os três fios se

atraiam mutuamente? Eles podem se repelir

mutuamente? Explique.

7. Ao deduzir a força que alua sobre um dos Fios

longos que conduzem correntes na Seção 29.5, por que

usamos o campo magnético produzido por apenas um

dos fios? Ou seja, por que não usamos o campo

magnético total produ/ido por ambos os fios?

8. Considerando o campo magnético de uma espira

circular, você acha que o campo e mais elevado no

centro ou em algum ponto lora do centro, porém

situado no plano que contém a espira? Explique.

9. Duas espiras circulares coplanares concêntricas,

com diâmetros diferentes, conduzem correntes no

mesmo sentido. Descreva a natureza das forças sobre a

espira interna e sobre a espira externa.

10. Produzimos uma corrente através das

espiras helicoidais de uma mola. As espiras se

aproximam como se a mola fosse comprimida, por

que?

11. Quais são as vantagens e desvantagens

relativas da lei de Biot e Savart e da lei de Ampere

para os cálculos práticos de campo magnético?

12. As linhas de campo magnético nunca

possuem um início nem um ponto final. Use essa

observação para explicar por que é razoável aceitar que

o campo magnético de um toróide fica confinado em

seu interior, enquanto o campo magnético de um

solenóide retilíneo deve possuir algum campo

magnético em seu interior.

13. Por que a permeabilidade magnética de

um material paramagnético deve diminuir quando sua

temperatura aumenta?

14. Quando um ímã fica suspenso sobre um

recipiente com ar líquido, algumas gotas são atraídas

sobre seus pólos. As gotas contem somente oxigénio

líquido: embora o nitrogênio seja o principal

constituinte do ar ele não é atraído para os pólos do

ímã. Explique o que isso pode informar sobre as

suscetibilidades magnéticas do oxigênio e do

nitrogênio e por que um dos pólos de um ima na

temperatura ambiente não atrai moléculas do gás

oxigênio.

15. Que características da estrutura atômica

são relevantes para determinar se um elemento é

diamagnético ou paramagnético? Explique.

16. A suscelibilidade magnética de um

material paramagnético depende fortemente da

temperatura, porém a de um material diamagnético

quase não depende da temperatura. Qual é a causa

dessa diferença? Explique.

17. Um cilindro de ferro é colocado de modo

que possa girar livremente em torno do próprio eixo.

Inicialmente o cilindro está em repouso: a seguir um

campo magnético é aplicado ao cilindro, de modo

que ele adquire uma magnetização paralela a seu

eixo. Se o sentido do campo magnético externo for

invertido, o sentido da magnetização também se

invertera, e o cilindro começara a girar em torno de

seu eixo. (Esse fenômeno denomina-se efeito Einstein

de Haas). Explique por que o cilindro começa a girar.



17

18. Na Seção 28.8 afirmamos que não existe

nenhuma força resultante aplicada a uma espira de

corrente imersa em um campo magnético uniforme.

somente o torque é dilerente de zero. Contudo, para

um material magnético, as espiras de correntes

atômicas certamente sofrem a ação de uma força

resultante em tais campos magnéticos. Como você

resolve essa discrepância?

19. É possível a existência simultânea de uma

corrente de condução e de uma corrente de

deslocamento no interior de um condutor? Explique.

EXERCÍCIOS

SEÇÃO 29.2 CAMPO MAGNÉTICO DE

UMA CARGA EM MOVIMENTO

1. Uma carga puntifonne de +6.00 C se move

com velocidade constante igual a 8.00.106 m/s ao

longo do eixo +0y de um sistema de referencia. No

momento em que ela esta na origem do sistema de

referência, qual é o campo magnético B

que ela

produz nos seguintes pontos:

(a) x = 0.500 m, y = 0; z = 0;

(b) x = 0, y = -0,500 m, z = 0;

(c) x = 0, y = 0, z =+0,500 m;

(d) x = 0, y = -0.500 , z = +0.500 .

2. Duas cargas puntilormes positivas q =

+8.00 nC e q’ = +3.00 nC se movem em relação a um

observador situado no ponto P. como indica a Figura 1.

A distância d é igual a 0.120m. Quando as cargas

estão nos pontos indicados na figura, qual é o módulo,

a dircçâo e o sentido do campo magnético resultante

que elas produzem no ponto P? Considere v = 4.50.106

m/s e v' = 9.00.106 m/s.

Figura 1 - Exercícios 2 e 4.

3. Duas cargas puntilormes q = +4.00 C e q’

= -1.50 µC se movem em um sistema de referência,

como indicado na Figura 2. Quando as cargas estão

nos pontos mostrados na figura, qual é o módulo, a

direção e o sentido do campo magnético resultante que

elas produzem na origem? Considere v = 2.00.106 m/s

e v' = 8.00.106 m/s.

Figura 2 – Exercício 3 e Problema 40.

4. A Figura 2 mostra duas cargas puntitormes

q e q’ que se movem cm relação a um observador

situado no ponto P. Suponha que a carga inferior seja

negativa, com q = -q’.

(a) Calcule o módulo, a direção e o sentido do

campo magnético resultante que elas produzem no

ponto P quando (i) v' = v/2; (ii) v’ = v; (iii) v' = 2v.

(b) Determine a direção e o sentido da força

magnética que a carga q exerce sobre q’ e a direção e o

sentido da força magnética que q’ exerce sobre q.

(c) Para v = v ' = 3.00.105 m/s, qual é a razão

entre o módulo da força magnética entre as cargas e o

módulo da força de Coulomb que existem entre as

cargas?

SEÇÃO 29.3 CAMPO MAGNÉTICO OE

UM ELEMENTO DE CORRENTE

5. (a) Na parte (b) do Exemplo 29.2 (Seção 29.3),

qual é o vetor unitário r (expresso em termos de i e

de j ) que aponta de dl

para P2?

(b) Calcule o módulo, a direção e o sentido de

ˆdl r

?

(c) Use o resultado da parte (b) para encontrar o

módulo, a direção e o sentido do campo magnético

produzido em P, por um segmento do fio de l ,0 cm.

6. Um rio retilíneo longo, transportando uma

corrente de 200 A, atravessa uma caixa cúbica de



18

madeira, entrando e saindo através de furos situados

nos centros de duas faces opostas (Figura 3). A aresta

da caixa é igual a 20,0 cm. Considere um comprimento

dl do fio igual a 0.100 cm no centro da caixa. Calcule o

módulo ilR do campo magnético produzido por esse

elemento nos pontos a, b, c e d indicados na Figura 3.

Os pontos a, c e d estão nos centros das faces do

cubo; o ponto b está no meio de uma das arestas; e o

ponto e esta sobre um vértice. Copie a figura e mostre

as direções e os módulos relativos de cada vetor campo

magnético. (Nota: Suponha que dl seja pequeno em

comparação com as distâncias entre o elemento de

corrente e o ponto onde o campo magnético é

calculado.)

Figura 3 - Exercício 6.

7. Um fio relilíneo longo está sobre o eixo O;

e transporta uma corrente de 4,00 A no sentido +z.

Determine o módulo, a direção e o sentido do campo

magnético produzido por um segmento do fio de 0.500

mm ccntralizado na origem nos seguintes pontos:

(a) x = 2.00 m, y = 0 ; z = 0:

(b) x = 0, y = -2.00 m, z = 0;

(c) x = 2.00 m, y = 2.00 m, z = 0;

(d) x = 0, y = 0, z = 2.00 m.

SEÇAO 29.4 CAMPO MAGNÉTICO DE

UM CONDUTOR RETILÍNEO

TRANSPORTANDO UMA CORRRENTE

8. Na Figura 4, qual é o módulo, a direção e o

sentido do campo magnético resultante produzido

pêlos fios nos seguintes pontos situados sobre o eixo

Ox:

(a) x = d//2 ?

(b) x = -d/2 ?


9. Dois fios retilíneos longos, um situado

acima do outro. estão em uma direção paralela ao eixo

0x e a distância entre eles é igual a 2a. Considere um

eixo +Oy situado no plano dos Fios e orientado do fio

inferior para o fio superior. Cada fio conduz uma

corrente I no sentido +0x. Determine o módulo, a

direção e o sentido do campo magnético resultante

produzido pêlos fios nos seguintes pontos sobre o

plano dos Fios:

(a) na metade da distância entre os fios;

(b) a uma distância a acima do fio superior;

(c) a uma distância a abaixo do fio inferior.

10. Um fio retilíneo longo está situado sobre o

eixo 0y e conduz uma corrente I = 8.00 A no sentido -

Oy (Figura 5). Além do campo magnético produzido

pelo fio, existe um campo magnético uniforme 0B

com

módulo igual a 1.50.10-5

T apontando no sentido +Ox.

Calcule o módulo, a direção e o sentido do campo

magnético total nos seguintes pontos sobre o plano xz:

(a) x = 0, z = l.00 m;

(b) x = 1.00, z = 0 m;

(c) x = 0, z = -0.25 m;



19

Figura 5 - Exercício10.

11. Forneça os detalhes da dedução da

equação:

0

2 2

2

4

I aB

x x a

partindo da equação que a precede.

0

2

ˆ

4

I dl rB

r

12. Deseja-se produzir um campo magnético

com módulo igual a 5.50.10-4

T em um ponto situado a

uma distância de 0.040 m de um fio longo retilíneo.

(a) Qual é a corrente necessária para produzir

esse campo?

(b) Usando a corrente encontrada no item (a),

qual é o módulo do campo magnético a uma distância

de 0.080 m e a uma distância de 0.160 m do fio?

13. Efeito de uma linha de transmissão. Dois excursionistas estão fazendo a leitura de uma

bússola situada embaixo de um fio de uma linha de

transmissão que está a uma altura de 5.50 m acima do

solo e conduz uma corrente igual a 800 A em uma

direção horizontal apontando do norte para o sul.

(a) Calcule o módulo, a direção e o sentido do

campo magnético em um ponto do solo dirctamente

sob o condutor,

(b) Um dos excursionistas sugere que se faça

a leitura da bússola a uma distância de 50 m desse

ponto para evitar que a leitura seja atolada pela

corrente do Fio. Sabendo que o módulo do campo

magnético da Terra é da ordem de 0.5.10-4

T, essa

corrente causa algum problema real na leitura?

SEÇAO 29.5 FORÇA ENTRE

CONDUTORES PARALELOS

14. Três fios paralelos conduzem correntes de

módulo igual a I com os sentidos indicados na Figura

6. Sabendo que a distância entre dois fios adjacentes é

igual a d. calcule o módulo, a direção e o sentido da

força magnética resultante por unidade de

comprimento sobre cada fio.


15. Um fio horizontal longo AB encontra-se

apoiado sobre uma mesa e conduz uma corrente I. Um

fio horizontal longo CD está verticalmente sobre o fio

AB e pode deslizar para cima ou para baixo ao longo

de duas guias metálicas verticais C e D. (Figura 7). O

fio CD está conectado por meio de contactos

deleslizantes a um outro fio que também conduz uma

corrente I, porém de sentido contrário à corrente do fio

AB. A massa por unidade de comprimento do fio CD é

igual a . Na posição de equilíbrio, qual e a altura h do

fio CD, supondo que a força magnética sobre o fio CD

seja inteiramente produzida pela corrente do lio AB ?


16. A distância entre dois fios longos

paralelos e igual a 0.400 m (Figura 8). As correntes I1,

e I2, possuem os sentidos indicados,

(a) Calcule o módulo da força total que cada

fio exerce sobre l.20 m de comprimento do outro. A

força e de atração ou de repulsão?

(b) As correntes dobram, de modo que I1,

torna-se igual a 10.0 A e I2, torna-se igual a 4.0 A. Qual

é agora o módulo da força total que cada fio exerce

sobre 1.20 m de comprimento do outro ?



20


17. A distância entre dois fios longos

paralelos e de 2.50 cm. A força por unidade de

comprimento que cada fio exerce sobre o outro c igual

a 4,00.10-5

N/m e os fios se repelem mutuamente. A

corrente em um dos fios é de 0.600 A.

(a) Qual é a corrente no segundo fio?

(b) As correntes possuem o mesmo sentido ou

têm sentidos contrários?

SEÇÃO 29.6 CAMPO MAGNÉTICO OE

UMA ESPIRA DE CORRENTE

18. Determine o módulo, a direção e o sentido do

campo magnético resultante produzido no ponto P pela

corrente que passa na seção semicircular do fio

indicado na Figura 8.

Figura 8 – Exercício 18.

19. Calcule o módulo do campo magnético

resultante produzido no ponto P da Figura 9 em função

de R, I1 e I2.

O que sua expressão fornece quando I1 = I2 ?

Figura 9 – Exercício 19.

20. Uma bobina circular com 600 espiras

enroladas de modo compacto possui diâmetro igual a

4.00 em e conduz uma corrente de 0.500 A. Qual é o

módulo do campo magnético

(a) no centro da bobina?

(b) em um ponto sobre o eixo da bobina

afastado 8.00 cm de seu centro?

21. Uma bobina circular com espiras

enroladas de modo compacto possui diâmetro igual a

6.00 cm e conduz uma corrente de 2.50 A. Quantas

espiras ela deve ler para que o módulo do campo

magnético seja de 6.39.10-4

T em um ponto sobre o

eixo da bobina afastado 6.00 cm de seu centro?

SEÇÃ0 29.7 - LEI DE AMPÉRE

22. No interior de uma curva fechada existem

diversos condutores. A integral de linha:

C

B dl

em torno da curva C é igual a 3.83.10-4

T. m.

(a) Qual é a corrente total que passa nos

condutores?

(b) Se você fizesse a integral percorrendo a

curva em sentido contrário, qual seria o valor da

integral? Explique.

23. A Figura 10 mostra a seção reta de

diversos condutores que conduzem correntes que

atravessam o plano da figura. Os sentidos das correntes

são indicados na figura e os módulos são I1 = 4,0 A, I2

= 6.0 A e I3 = 2,0 A. Quatro trajetórias indicadas pelas

letras de a até d são mostradas na figura.

Qual é o valor da integral de linha:

C

B dl

para cada trajetória?

Para cada integral, escolha um percurso no sentido

anti-horârio. Explique suas respostas.




21

SEÇÃO 29.8 APLICAÇÕES OA LEI OE

AMPERE

24. Cabo coaxial. Um condutor sólido com raio a é

suportado por discos isolamos no centro de um tubo

condutor com raio interno b e raio externo c (Figura

11). O condutor central e o tubo transportam correntes

com o mesmo módulo I, porém com sentidos

contrários. As correntes são distribuídas

uniformemente ao longo da seção reta de cada

condutor. Deduza uma expressão para o módulo do

campo magnético

(a) nos pontos no exterior do condutor sólido

central, porém no interior do tubo (a < r < b ).

(b) nos pontos no exterior do tubo (r > c).

Figura 10 - Exercício 24 e 25. Problema 58.

25. Repita o Exercício 24 para o caso no qual

a corrente no condutor sólido central é I1 a corrente no

tubo é I2, e as correntes possuem o mesmo sentido em

vêz de sentidos contrários.

26. Um solenóide longo de comprimento 15,0

cm e raio 2.50 cm possui 600 espiras enroladas de

modo compacto. A corrente que passa nas espiras e

igual a 8.00 A. Determine o campo magnético em um

ponto situado nas proximidades do centro do

solenóide.

27. Um solenóide e projelado para produzir

um campo magnético igual a 0.0270 T em seu centro.

Ele possui raio de l.40 cm, comprimento 40.0 em e o

fio conduz uma corrente máxima de l 2.0 A.

(a) Qual e o número mínimo de espiras que o

solenóide deve possuir?

(b) Qual é o comprimento total do fio

necessário?

28. Um solenóide toroidal (Figura 11) possui

raio interno r1 = 15.0 em e raio externo r2 = 18.O cm.

O solenóide possui 250 espiras e conduz uma corrente

de 8.50 A. Qual e o módulo do campo magnético em

um ponto cuja distância ao centro do toróide seja

(a) 12.0 cm ? (b)16.0 cm ? (c)20.0 cm ?


29. Um anel de madeira com diâmetro médio

igual a 14.0 cm é enrolado de modo compacto com

600 espiras formando um enrolamento toroidal.

Determine o campo magnético em um ponto situado

no centro da seção reta das espiras quando a corrente

que passa no enrolamento é de 0.650 A.

SEÇÃO 29.9 MATERIAIS

MAGNÉTICOS

30. Um solenóide toroidal com 400 espiras

possui um raio médio igual a 6.0 cm e conduz uma

corrente de 0.25 A. A permeabilidade relativa do

núcleo é igual a 80.

(a) Qual é o campo magnético no núcleo?

(b) Que parte do campo magnético resultante

é produzido pelas correntes atómicas ?

31. Um solenóide toroidal com 500 espiras é

constituído por um enrolamento sobre um anel cujo

raio médio é igual a 2.90 cm. Calcule qual deve ser a

corrente no enrolamento necessária para produzir um

campo magnético de 0.350 T no anel

(a) supondo que o anel seja de ferro recozido

(Km = 1400);

(b) supondo que o anel seja de aço com silício

(Km = 5200).

32. A corrente que passa nos enrolamentos de

um solenóide toroidal é de 2.400 A. Existem 500

espiras e seu raio médio é igual a 25.00 cm. O toróide

está preenchido com um material magnético. Verifica-

se que o campo magnético no interior das espiras é

igual a l .940 T. Calcule

(a) a permeabilidade relativa:

(b) a suscetihilidade magnética do material

que preenche o toróide.

33. Um solenóide longo com 60 espiras por

centímetro conduz uma corrente igual a 0.15 A. O fio

das espiras é enrolado em torno de um núcleo de aço

com silício (Km = 5200). (O fio do solenóide é



22

envolvido por uma camada de isolante de modo que

não flua nenhuma corrente para o núcleo.)

(a) Para um dado ponto no interior do núcleo,

determine o módulo

(i) do campo magnético0B

produzido pela

corrente que passa no solenóide,

(ii) da magnetização M

e

(iii) do campo magnético resultante B

.

(b) Faça um esboço mostrando o solenóide e o

núcleo e indique as direções e os sentidos dos vetores

0B

, M

e B

no interior do núcleo do solenóide.

34. Mostre que as unidades A.m2 e J/T para o

magneton de Bohr são equivalentes.

34. Mostre que as unidades A.m2 e J/T para o

magneton de Bohr são equivalentes.

35. Lei de Curie. Na tabela abaixo

mostramos resultados de medidas experimentais da

suscetibilidade magnética de uma liga de alúmen de

ferro e amônio. Faça um gráfico de 1/B contra

temperatura em Kelvin. O material obedece à lei de

Curie ? Caso a resposta seja afirmativa, qual é o valor

da constante de Cuirie?

T(0C) m

-258.15 129.10-4

-173 19.4.10-4

-73 9.7.10-4

27 6.5.10-4

SEÇÃO 29.10 CORRENTE OE

DESLOCAMENTO

36. Corrente de deslocamento em um

dielétrico. Suponha que as placas paralelas na Figura

12 possuem uma área de 3.00 cm2 e que uma camada

dielétrica de 2.50 mm de espessura preenche

completamente o volume entre as placas. O material

dielétrico possui constante dielétrica igual a 4.70.

(Despreze os efeitos de borda.) Fm um certo instante a

diferença de potencial entre as placas é igual a l 20 V e

a corrente de condução I, é igual a 6.00 mA. Para esse

instante, qual é

(a) a carga q de cada placa ?

(b) a taxa de variação da carga de cada placa ?

(c) a corrente de deslocamento no dielétrico?

37. Um capacilor de placas paralelas com ar

entre as placas está sendo carregado como indica a

Figura 12. As placas circulares possuem raio de 4.00

mm e em dado instante a corrente de condução nos fios

e igual a 0.280 A.

(a) Qual é a densidade da corrente de

deslocamento jD no espaço entre as placas preenchido

pelo ar ?

(b) Com que taxa o campo elétrico entre as

placas está variando ?

(c) Qual é o campo magnético induzido entre

as placas a uma distância de 2,00 cm do eixo ?

(d) E a uma distância de 1.00 cm do eixo ?

38. Um fio de cobre retilíneo longo com seção

rela circular de área igual a 2. l mm2 conduz, uma

corrente de 16 A. A resistividadc do material do fio é

igual a 2.0.108

.m.

(a) Qual é o campo elétrico uniforme no

material ?

(b) Quando a corrente varia com uma taxa de

4000 A/s. com que taxa varia o campo elétrico no

material ?

(c) Qual é a densidade da corrente de

deslocamento no material do item (b)? (Dica: Como

K para o cobre é muito próximo de l, considere:

= 0 ).

(d) Quando a corrente varia como indicado na

parte (b), qual é o módulo do campo magnético a 6.0

cm do centro do fio ? Note que tanto a corrente de

deslocamento quanto a corrente de condução devem

ser incluídas no cálculo de K. A contribuição da

corrente de deslocamento é significativa?

39. Na Figura 12, cada placa possui área igual

a 5.00 cm2 e a distância entre as placas é de 2.00 mm.

As placas estão no vácuo. A corrente IC, que carrega o

capacitor possui um valor iC, constante igual a l.80

mA. Para t = 0 a carga nas placas do capacitor é igual

a zero.

(a) Calcule a carga em cada placa, o campo

elétrico entre as placas e a diferença de potencial entre

elas quando t = 0.500 s.

(b) Calcule a taxa de variação dE/dt do campo

elétrico entre as placas. O valor de dE/dt varia com o

tempo?

(c) Calcule a densidade da corrente de

deslocamento jD, no espaço entre as placas e, a partir

desse resultado, determine a corrente total de

deslocamento iD. Como se comparam os valores de iC

e de iD ?



23


PROBLEMAS

40. Duas cargas puntiformes q = +8.00 C e

q’ = -5.00 C se movem em relação a um sistema de

referência como indicado na Figura 13 com

velocidades v = 9.00.104 m/s e v' = 6.50.10

4m/s.

Quando as cargas puntiformes estão nos locais

indicados na figura, qual é a força magnética (módulo,

direção e sentido) que a carga q’ exerce sobre q ?

Figura 13- Problema 40.

41. Um fio retilíneo longo transporta uma

corrente de 2.50 A. Um elétron se desloca nas

vizinhanças do fio. No instante em que o elétron está a

uma distância do fio igual a 4,50 cm e se desloca

paralelamente ao fio em sentido contrário ao da

corrente com velocidade igual a 6.00.104 m/s, qual é o

módulo, a direção e o sentido da força magnética que o

campo magnético da corrente exerce sobre o elétron?

42. Uma carga puntilorme negativa q = -7.20

mC se move em relação a um sistema de referência.

Quando a carga puntiforme está na origem, o

campo magnético que ela produz no ponto x = 25.0 cm,

y = 0, z = 0 é dado por ˆ(6.00 )B T j

e sua

velocidade é igual a 800 m/s.

(a) Quais são os componentes x, y e z da

velocidade 0v

da carga?

(b) Para esse mesmo instante, qual e o campo

magnético produzido pela carga no ponto x = 0 cm, y =

25cm, z = 0 ?

43. Um projetista de eletroímã neófito diz

para você que ele é capaz de projetar um eletroímã que

produz um campo magnético B

no vácuo que aponta

sempre no sentido do eixo Ox em todos os pontos da

região e que o módulo desse campo cresce com o

aumento da distância x. Ou seja0

ˆxB B i

a

onde B0

e a sãoconstantes com unidades de teslas e de metros,



24

respectivamente. Aplique a lei de Gauss para o campo

magnético para provar que esse projeto é impossível.

(Dica: Use uma superfície gaussiana em forma de

caixa retangular com arestas paralelas aos eixos x, y e

z)

44. Três fios longos paralelos estão

localizados como indicado na Figura 14. O fio 2 está

na origem, ofio l corta o eixo Oy no ponto y = 3.00 cm

e o fio 3 corta o eixo Ox no ponto x = 4.00 cm.

As correntes são I1 = l.00 A, I2 = 2.00 A e I3 = 4.00 A.

(a) Copie a Figura 14 e mostre a direção e o

sentido do campo magnético dos fios 2 e 3 no plano xy

no local onde se encontra o fio l.

(b) Determine os componentes x e y do campo

magnético resultante no local onde se encontra o fio l

produzido pelas correntes nos fios 2 e 3.

(c) Calcule o módulo, a direção e o sentido da

força magnética resultante exercida sobre uma seção

de l .00 cm do fio l produzida pêlos outros dois fios.

Figura 14 – Problema 44.

45. Dois fios longos paralelos estão separados

por uma distância de 1.00 m (Figura 15). O fio

superior conduz uma corrente I1 de 6.00 A entrando no

plano da página,

(a) Qual deve ser o sentido e o módulo da

corrente I2, para que o campo magnético no ponto P

seja igual a zero?

(b) Qual deve ser então o módulo, a direção e

o sentido do campo resultante no ponto Q? (c) Qual deve ser o módulo, a direção e o

sentido do campo resultante no ponto S ?

Figura 15 – Problema 45.

46. A Figura 16 representa o plano xy que

corta perpendicularmente dois fios longos paralelos

que conduzem uma corrente I de mesmo módulo,

porém de sentidos contrários.

(a) Copie o diagrama e desenhe vetores para

mostrar o campo B

de cada fio e o campo resultante

B

no ponto P.

(b) Deduza uma expressão para o módulo de

B

em qualquer ponto do eixo 0x em termos da

coordenada x do ponto. Qual é a direção e o sentido de

B

?

(c) Faça um gráfico do módulo de B

em

função de x.

(d) Para qual valor de x o módulo de B

atinge

seu valor máximo ?

Figura 16 – Problemas 46, 47 e 48.



25

47. Repita o Problema 46 considerando agora

na Figura 16 as duas correntes no mesmo sentido

entrando no plano da página.

48. Tome como referência a situação descrita

no Problema 46. Considere um terceiro fio longo

paralelo aos outros dois primeiros passando pelo ponto

P (Figura 16) e suponha que cada fio conduza uma

corrente de 6,00 A. Considere a = 40.0 cm e x = 60.0

cm. Determine o módulo, a direção e o sentido da

força por unidade de comprimento exercida sobre o

terceirofio supondo que a corrente que ele conduz

possui sentido

(a) entrando no plano da página;

(b) saindo do plano da página.

49. Dois tios longos paralelos estão suspensos

por meio de cordas de 4.00 cm de comprimento presas

a um eixo comum (Figura 17). Os fios possuem massa

por unidade de comprimento igual a 0.0125 kg/m e

conduzem correntes de mesmo módulo, porém de

sentidos contrários. Qual é a corrente em cada fio,

sabendo que as cordas de sustentação formam um

ângulo de 6.00° com a vertical?


50. O fio retilíneo longo AB indicado na

Figura 18 conduz uma corrente de 14.0 A. A espira

retangular cuja aresta mais longa é paralela ao fio

conduz uma corrente de 5.0 A. Determine o módulo, a

direção e o sentido da força magnética resultante

produzida pelo campo do fio e exercida sobre a espira.

51. Uma espira circular de raio a possui N

espiras c conduz uma corrente I. Uma segunda espira

circular de raio b possui N' espiras e conduz uma

corrente I’ e seu centro está localizado sobre o eixo da

primeira espira a uma distância x do centro da primeira

espira. A segunda espira é inclinada de modo que seu

eixo forme um ângulo θ com o eixo da primeira. A

distância x é maior do que a e do que a'.

(a) Determine o torque que a primeira espira

exerce sobre a segunda,

(b) Calcule a energia potencial para a segunda

espira em virtude dessa interação.

(c) Qual é a simplificação que obtemos

considerando x muito maior do que a? E para x muito

menor do que a ?


29.52 Os fios que formam as

semicircunferências indicadas na Figura 19 possuem

raios a e b. Determine o módulo, a direção e o sentido

do campo magnético resultante produzido pelas

correntes dos fios no ponto P.


53. Bobinas de Helmholtz. A Figura 20

mostra a seção reta de duas bobinas circulares com raio

a, cada uma delas com N espiras que conduzem uma

corrente I no mesmo sentido. A distância entre as

bobinas é igual ao raio a das bobinas. As bobinas dessa

configuração denominam-se bobinas de Helmholiz e

produzem um campo magnético bastante uniforme na

região entre elas.



26

(a) Deduza uma expressão para o módulo do

campo magnético B

em um ponto situado a uma

distância x à direita do ponto P, que está no centro de

simetria das bobinas,

(b) Faça um gráfico de B

contra x desde x =

0 até x = a/2. Compare o gráfico obtido com o campo

magnético produzido apenas pela bobina da direita,

(c) Usando a expressão obtida no item (a)

obtenha o módulo do campo magnético no ponto P

(d) Calcule o valor do módulo do campo

magnético no ponto P considerando N = 300 espiras, I

= 6.00 A e a = 8,00 cm.

(e) Calcule dB/dx e d2B/dx

2 no ponto P(x = 0).

Discuta como seus resultados podem mostrar

que o campo é bem uniforme nas vizinhanças do ponto

P.


54. Determine o módulo, a direção c o sentido

do campo magnético produzido no ponto P da Figura

19 pela corrente que circula na espira retangular. (O

ponto P esta no centro do retângulo.)

(Dicaí: O espaço vazio no lado esquerdo

onde os fios entram no retângulo e saem dele é tão

pequeno que o lado esquerdo do retângulo pode ser

considerado um fio contínuo de comprimento igual a

b.)


55. O fio na Figura 22 conduz, uma corrente I

no sentido indicado. O fio é constituído por uma seção

retilínea longa, uma seção correspondente a um quarto

de circunferência e outra seção retilínea longa. Calcule

o módulo, a direção e o sentido do campo magnético

resultante no centro de curvatura da seção

correspondente a um quarto de circunferência (ponto

P).


56. O fio indicado na Figura 23 possui

comprimento infinito e conduz, uma corrente I.


magnético resultante produzido pelo fiono ponto P.


57. Um fio retilínco longo com seção reta

circular de raio R conduz uma corrente I. Suponha que

a densidade de corrente não seja constante ao longo da

seção reta do fio, porém varie de acordo com a relação

J = r, onde é uma constante,

(a) Sabendo que a integral de J ao longo da

seção reta do fio fornece a corrente total I determine a

constante em termos de I e de R

(b) Use a lei de Ampere para determinar o

campo magnético B(r) para:

(i) r R,

(ii) r R. Forneça suas respostas em função

de I.

58. (a) Para o cabo coaxial do Exercício 24,

deduza uma expressão para o módulo do campo



27

magnético para os pontos do interior do condutor

central (r < a). Compare seu resultado para r = a com

o resultado obtido no item (a) do Exercício 24 no

mesmo ponto,

(b) Para esse cabo coaxial, deduza uma

expressão para o campo nos pontos do interior do tubo

(b < r < c). Compare seu resultado para r = b com o

resultado obtido no item (a) do Exercício 24 no mesmo

ponto. Compare seu resultado para r = c com o

resultado obtido no item (b) do Exercício 24 no mesmo

ponto.

59. O campo elétrico de um fio retilíneo

infinito com cargas positivas é direcionado radialmente

para fora do fio e pode ser calculado a partir da lei de

Gauss para o campo elétrico (veja o Exemplo 23.6 na

Seção 23.5). Aplique a lei de Gauss para o magnetismo

para mostrar que o campo magnético de um condutor

retilíneo infinito que condu/. uma corrente não pode

possuir um componente radial.

60. Um condutor possui forma de um cilindro

oco, sendo a o raio interno e b o raio externo. Ele

conduz uma corrente I uniformemente distribuída ao

longo da sua seção reta. Deduza expressões para o

módulo do campo magnético nas seguintes regiões:

(a) r < a: (b) a < r < b; (c) r > b.

61. Um cilindro comprido, com seu eixo

orientado ao longo do eixo Oz possui uma densidade

de corrente J

. A densidade de corrente, embora seja

simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é

constante e varia de acordo com a relação

2

0

2

2 ˆ1 para ,

0 para ,

I rk r a

a aJ

r a

Onde a é o raio do cilindro, r é a distância

radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e

I0 é uma constante dada em ampéres.

(a) Mostre que I0 é a corrente total que passa

através da seção reta do fio.

(b) Usando a Lei de Ampére, deduza uma

expressão para o módulo do campo magnético B

na

região r a .

(c) Obtenha uma expressão para a corrente I

contida em uma seção reta circular de raio r a e

centralizada sobre o eixo do cilindro.

(d) Aplicando a Lei de Ampére, deduza uma


na

região r a. Como se comparam os resultados de (b) e

(d) para r = a ?

62. Um cilindro comprido, com seu eixo

orientado ao longo do eixo Oz possui uma densidade

de corrente J

. A densidade de corrente, embora seja

simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é

constante, porém varia de acordo com a relação:

ˆ para ,

0 para ,

r ab

e k r aJ r

r a

onde a é o raio de cilindro e r é a distância radial entre

o ponto considerado e o eixo do cilindro, b é uma

constante igual a 600 A.m-1

, e é uma constante igual

a 2.50 cm.

(a) Seja I0 a corrente total que passa através

da seção reta do fio. Obtenha uma expressão para a

corrente I0, em termos de b, e a. Faça os cálculos

para obter o valor numérico de I0.

(b) Usando a lei de Ampére, deduza uma

expressão para o módulo do campo magnético

magnético B

na região r a .

Expresse o resultado em função de I0 em vez

de b.

(c) Obtenha uma expressão para a corrente I0

contida em uma seção reta circular de raio r a e

centralizada sobre o eixo do cilindro.

(d) Aplicando a lei de Ampére, deduza uma


na

região r a. Como se comparam os resultados dos

itens (b) e (d) para r = a ?

63. Integre B dado pela Equação: 2

0

3

2 2 22 ( )

I aB

x a

desde - até + .

Ou seja. faça a integral:

xB dx

Explique o significado físico de seu

resultado.

64. Em uma região do espaço onde não ha

nenhuma corrente de condução e nenhuma corrente de

deslocamento, é impossível existir um campo

magnético que caia repentinamente para zero. Para

provar essa afirmação, use o método da contradição.

Suponha que esse caso seja possível: a seguir, mostre

que essa hipótese contradiz alguma lei da física.

(a) Na metade inferior de uma folha de papel,

desenhe linhas paralelas igualmente espaçadas para

representar um campo magnético uniforme orientado

da esquerda para a direita. Use linhas tracejadas para



28

desenhar um retângulo abcda com o lado horizontal ab

dentro do campo magnético e com o lado horizontal cd

na parle superior da folha onde B = 0.

(b) Mostre que a integração ao longo desse

retângulo entra em contradição com a lei de Ampére.

65. Um plano infinito conduzindo uma

corrente. Condutores retilíneos longos, com seçóes

relas quadradas, cada um deles conduzindo uma

corrente I são colocados um ao lado do outro formando

uma placa fina que se estende até o infinito (Figura

24). Os condutores se distribuem sobre o plano xy

paralelamente ao eixo Oy e conduzem uma corrente no

sentido +Oy. Existem n condutores por unidade

comprimento ao longo do eixo Ox.


do campo magnético a uma distância a abaixo do plano

da corrente.

(b) Encontre o módulo, a direção e o sentido

do campo magnético a uma distância a acima do plano

da corrente.


66. Condutores retilíneos longos, com seções

retas quadradas, cada um deles condu/.indo uma

corrente I são colocados um ao lado do outro formando

uma placa fina que se estende até o infinito, sendo o

sentido da corrente para fora do plano da pagina

(Figura 25). Um segundo plano infinito é colocado

sobre o primeiro, sendo o sentido da corrente para

dentro do plano da página. Cada plano possui n

condutores por unidade de comprimento. (Use como

referencia o Problema 65.)

Calcule o módulo, a direção e o sentido do

campo magnético resultante:

(a) no ponto P acima do plano superior;

(b) no ponto K entre os dois planos;

(c) no ponto S abaixo do plano interior.

67. Um pedaço de ferro possui magnetização

M = 6.50.104 A/m. Calcule o momento de dipolo

magnético médio por átomo no interior do pedaço de

ferro. Expresse sua resposta em A.m2 e em magnetons

de Bohr. A densidade do ferro é 7.8g/cm3

e a massa

atômica do ferro em grama por mól é 55.8 uma. O

símbolo químico do ferro é Fe.

Figura 25 - Problema66.

68. (a) Discutimos como um dipolo

magnético, tal como uma espira de corrente ou um

objeto magnetizado, pode ser atraído ou repelido por

um imã. Use esse raciocínio para explicar por que

qualquer um dos pólos de um imã atrai tanto materiais

paramagnéticos quanto materiais ferromagnéticos

(inicialmente não magnetizados), porém repele

materiais diamagnéticos.

(b) A força que um imã exerce sobre um

objeto é diretamente proporcional ao momento

magnético do objeto. Um dado imã é suficientemente

forte para atrair um cubo de ferro recozido (K= 1400)

com aresta de 2,00 cm mantendo o ferro grudado em

um dos seus pólos; ou seja, o imã exerce sobre o cubo

de ferro uma força de baixo para cima igual ao peso do

cubo. Se, em vêz disso, você tentasse sustentar um

cubo de alumínio com aresta de 2,00 cm, qual seria a

força de baixo para cima exercida pelo imã sobre o

cubo? Como essa força se compara com o peso do

cubo? O cubo de alumínio ficaria grudado no imã ?

(Dica: Você precisa usar informaçóes das tabelas 14.1

e 29. l.)

(c) Se você tentar sustentar um cubo de prata

com aresta de 2.00 cm. qual será o módulo, a direção e

o sentido da força magnética exercida pelo imã sobre o

cubo? Como essa torça se compara com o peso do

cubo? O efeito dessa força magnética poderia ser

notado?

69. Um capacitor possui duas placas paralelas

de área A separadas por uma distância d. O espaço

entre as placas está preenchido por um material que

possui constante dielétrica K. O material não é um

isolante perfeito, porém possui uma resistividade . O

capacitor está inicialmente carregado com uma carga

de módulo igual a Q0 sobre cada placa; a seguir, ele

começa a se descarregar gradualmente por condução

através do dielétrico.



29

(a) Calcule a densidade de corrente de

condução jC, através do dielétrico.

(b) Mostre que a cada instante a densidade de

corrente de deslocamento possui o mesmo módulo,

porém sentido contrário ao da densidade de corrente de

condução, de modo que a densidade de corrente

resultante é sempre igual a zero.

70. Um fio de silício puro (resislividade =

2300 m) está conduzindo uma corrente. O campo

elétrico varia senoidalmente com o tempo de acordo

com a equação:

0 ( )E E sen t

, onde E0 = 0.450 V/m, 2 f e f é a

frequência f = 120 Hz.

(a) Calcule o módulo da densidade de

corrente de condução máxima no fio.

(b) Supondo = 0, determine densidade de

corrente de deslocamento máxima no fio c compare o

resultado com a resposta do item (a),

(c) Para qual freqüência f a densidade de

corrente de deslocamento máxima torna-se igual à

densidade decorrente de condução máxima, se = 0 ,

(o que não é verdade) ?

(d) Para a freqüência calculada no item (c),

qual é a fase relativa da corrente de condução e da

corrente de deslocamento ?

PROBLEMAS DESAFIADORES

71. Dois longos fios retilíneos condutores com

massa específica linear estão suspensos por meio de

cordas de modo que eles ficam dispostos paralelamente

sobre um plano horizontal e a distância entre eles é

igual a d. As extremidades da direita dos fios são

conectadas entre si por meio de um fio frouxo de

resistência desprezível. Um capacitor carregado

(capacitância C) é ligado ao sistema; a placa positiva

do capacitor (carga inicial +Q0) está conectada com a

extremidade da esquerda de um dos fios e a placa

negativa do capacitor (carga inicial –Q0) está

conectada com a extremidade da esquerda do outro fio

(Figura 26). Ambas as conexões são feitas mediante

fios frouxos com resistências desprezíveis. Quando a

conexão é estabelecida, os fios são repelidos

lateralmente pela ação das forças magnéticas

repulsivas das correntes de sentidos contrários, e cada

fio adquire uma velocidade inicial ün. Suponha que o

tempo de descarga do capacitor seja desprezível em

relação ao tempo do deslocamento dos fios.

(a) Mostre que a velocidade inicial dos fios é

dada por: 2

0 00

4

Qv

R C d

onde R é a resistência total do circuito,

(b) Determine v0 numericamente sabendo que

o capacitor foi inicialmente carregado mediante a

conexão a uma fonte de 3.00 kV e considerando =

4.50.10-3

kg/m, d = 3.00 cm, C = 2.50 F e R =

0.0480

(c) Que altura h cada fio atingirá depois que a

conexão for estabelecida?

Figura 26 – Problema desafiador 71.

72. Uma correia larga e longa possui uma

carga positiva uniforme por unidade de área da sua

superfície. Rolos instalados nas suas extremidades

movem a correia com uma velocidade constante v.


magnético produzido pela correia que se move em um

ponto imediatamente acima da sua superfície.

(Dica: Para pontos afastados das extremidades

da correia, ela pode ser considerada um plano infinito

de corrente tal como no Problema 65.)

73. Um disco dielétrico carregado. Um

disco dielétrico fino com raio n possui uma carga total

+Q distribuída uniformemente sobre sua superfície.

Ele gira n vezes por segundo em torno de um eixo

perpendicular a sua superfície passando por seu centro.

Calcule o campo magnético no centro do disco.

(Dica: Divida o disco em anéis concêntricos

com largura infinitesimal.)



30


74. Um fio contido no plano yz forma uma

seinicircunferência de raio a com centro de curvatura

na origem (Figura 27). Sendo I a corrente que circula

no fio, calcule os componentes do campo magnético

produzido no ponto P situado sobre o eixo Ox e a uma

distância x para fora do centro. (Nota: Não se esqueça

de incluir a contribuição do fio relilineo na parte

interior da semicircunferência que vai da extremidade z

= -a até z = +a. Você pode usar o fato de que é igual a

zero o campo magnético produzido pelas correntes

antiparalelas nos trechos retilíneos para z > a, porém

você deve explicar esse fato.)

Exercícios PARTE A Física III Campo Magnético e Fontes de...

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