Questão 1: Use a definição de derivada via limite para calcular a derivada f'(x), para:

a) 5

3

2

1)( xxf b) 735)( 2 xxxf c) 34)( xxf

d) x

xxf

2

1)( e) 3

2

)( xxf f) xxf 3cos)(

g) xx

xxf

3

1)(

2

h) xxxf 3)( i) xxxf 3)(

Questão 2: Calcule a derivada primeira de cada uma das funções abaixo simplificando o resultado

o máximo possível.

a) xx

xx

ee

eey

b) 12

8 xy c)

2

1

x

xy

d) xy 2cosln e) xxy lnln f) 16

44

2

x

x

e

ey

g) xy lnlog h) 2.34 xy i)

xtgxy

1.3 2

j) 2cosln xy

Questão 3: Calcule as seguintes derivadas usando a regra da cadeia:

a) )1(5 2 xsendx

d b) )493ln( 2 xx

dx

d c) )( xtg

dx

d

d) )3( xtgdx

d e) 49 2 x

dx

d f) )4( 2

3 xedx

d

g)

3

13

42

x

x

dx

d h) )9sec( 2x

dx

d i) ))4(cos( xsen

dx

d

j) )cos(2 x

dx

d

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I – A DERIVADA

Questão 4: Para cada uma das equações, encontre dy/dx por derivação implícita:

a) 735 22 yxyx b) 2

1

y

xsen c)

3

1)()cos( yxsenyx

d) 5)( 22

yxxe e) 932

22

yx

yx f) 833 yx

g) 1794 22 yx h) 4)(( yxtgy i) 2

122

22

yx

yx

j) 4

1cos senyx ee

Questão 5: Use diferenciação Logarítmica para achar dy/dx onde:

a) 7623 2 xxy

b) 35416 xxy

Questão 6: Considerando que y é uma função implícita de x. Encontre a derivada segunda da

função abaixo:

33

13

1 yx

Questão 7: Dada a equação 133 yx e admitindo que esta equação defina uma função f tal que

y = f(x), prove que yx

y' '

25

.

Questão 8: O raio r de um cone circular reto está aumentando à taxa de 2 cm/min. A altura h do

cone está relacionada ao raio pela equação rh 3 . Determine a taxa de variação do volume do

cone no instante em que cmr 6 . 3

2hrVcone

.

Questão 9: Um controlador de tráfego aéreo descobre que dois aviões estão na mesma altitude e se

dirigem para o mesmo ponto, seguindo trajetórias retilíneas mutuamente perpendiculares. Um dos

aviões se encontra a 240 km do ponto e viaja a uma velocidade de 720 km/h. O outro avião está a

320 km do ponto, viajando com uma velocidade de 960 km/h. A que taxa a distância entre os

aviões está diminuindo?

Questão 10: Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de comprimento, o 9 ft de profundidade no

lado mais fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a

piscina está sendo cheia a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está

subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft?

Questão 11: Um cabo de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro é submergido em água do

mar. Em virtude da corrosão, a área da superfície do cabo decresce à razão de 4.500 anocm /2 .

Ignorando a corrosão nas extremidades do cabo, ache a taxa à qual o diâmetro está diminuindo.

Questão 12: Uma aeronave está voando horizontalmente a uma altura constante de 4000 pés

acima de um ponto de observação fixo. Num certo instante, o ângulo de elevação é de 30º e está

descendo, enquanto que a velocidade da aeronave é 300 pés/h.

a) Com que velocidade estará decrescendo naquele instante?

b) Com que rapidez estará variando a distância entre a aeronave e o ponto de observação naquele

instante?

Figure 1: Piscina

Questão 13: Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000

cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O

tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa

de 20cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para

dentro.

Questão 14: Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade

constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista.

Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?

Questão 15: Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y=1-x2 tal que o triângulo ABC formado

pelo eixo-x e as tangentes em P e Q seja eqüilátero.

Questão 16: Um homem começa a andar para o norte a 4 ft/s de um ponto P. 5 minutos mais tarde

uma mulher inicia sua caminhada para o sul a uma velocidade de 5 ft/s partindo de um ponto

localizado 500 ft a leste de P. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos

após a mulher ter iniciado a caminhada?

Questão 17: Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior

volume possível de tal cilindro. (Mesmo problema quando é um cone de altura h e raio r que

circunscreve o cilindro.

Questão 18: Um barco deixa as docas às 14:00 h e navega para o sul a uma velocidade de 20km/h.

Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15km/h e atinge a mesma doca as

15:00 h. A que horas estiveram os dois barcos mais próximos.

Questão 19: Em uma colméia, cada célula é um prisma regular hexagonal, aberto em uma

extremidade com um ângulo triedral na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas constroem

seus favos de modo a minimizar a área da superfície para um dado volume fixo, usando desde

modo a menor quantidade possível de cera. O exame dos favos tem mostrado que a medida do

ângulo do ápice é impressionantemente consistente. Usando geometria pode-se provar que a área

da superfície é dada por

Onde s, é o comprimento dos lados do hexágono e h a altura.

a) Calcule .

b) Determine o ângulo que as abelhas preferem.

c) Determine a área superfície mínima escolhida.

Questão 20: Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola

y=x2. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 m norte da origem na direção leste. Há

uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no

qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.

Figure 2: Carro na estrada

Questão 21: Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas

será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte

de modo a minimizar a área total das figuras?

Questão 22: Um observatório será construído na forma de um cilindro circular reto com uma

abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro

que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório

supondo que o volume é fixo?