ExercíciosAnálise de algoritmos &

OrdenaçãoEduardo Laber

Cap 2- Tardos

Exercício 3

f2 < f3 < f6 < f1 <f4 <f5

Cap 2- Tardos

Exercício 4

g3 < g4 < g1 < g5 < g2 < g7 < g6

Cap 2- Tardos

Exercício 5a) Verdadeiro, assumindo g(n)>=1. log f(n) <= log (c.g(n)) <= log c + log g(n) <= d log g(n) para d > log c

a) Falso. f(n)=4n2 e g(n)=n2

b) Verdadeiro. f(n)2 <= c2 g(n) 2 < d.g(n) 2 para d>c.

Cap 2- Tardos

Exercício 6a) O(n3)b) Para mostrar (n3), considere i variando de 1

a n/4 e j variando de n/4 a nc) For i=1,2,...,n do

B[i,i]A[i]

For i=1,2,...,n For j=i+1,i+2,...,n

B[i,j] B[i,j-1]+A[j]O(n2)

Cap 2- Tardos

Exercício 8

• Enquanto o primeiro vazo não quebra, jogar de alturas n0.5, 2n0.5,…, n0.5 n0.5

• Se ele quebrar ao jogar de altura i.n0.5

– Jogar de alturas (i-1)n0.5 , (i-1)n0.5 +1 , (i-1)n0.5 +2, … até ele quebrar

• Total de passo <= 2n0.5

Exercícios Extras

• Escreva o pseudo-código da operacão de remover o elemento A[i] de um heap armazenado em um vetor A[1..n]

Exercício

• Projete um algoritmo para fazer um merge de k listas ordenadas que execute em O(n log k), aonde n é o total de elementos nas k listas

Solução

• Seja L(1),...,L(k) as k listas• Remova o primeiro elemento de cada lista

e construa um heap com eles: O(k)• Para i=1,...,n

– Remova o menor elemento do heap e insira na lista ordenada. Assuma que este elemento veio da lista j; O(log k)

– Remova o primeiro elemento da lista L(j) e insira no heap. O(log k)

Exercício

• Mostre como ordenar n inteiros no intervalo [1,n2] em tempo linear O(n)

Solução

• Solução– Crie vetores B e C com n posições, indexadas de 0 a

n-1. Cada posição pode armazenar uma lista de inteiros

– Percorra o vetor A inserindo A[i] na lista B[i mod n]. – Para i variando de 0 a n-1

• Para cada elemento x da lista B[i] faça

Insira x no final da lista C[ x div n]

Para i variando de 0 até n-1• Para cada elemento x da lista C[i] faça

Imprima [x]

Exercício

• A) Mostre que para fazer o merge de duas listas com n elementos é necesário realizar pelo menos 2n-1 comparações no pior caso.

• B) Mostre que para fazer o merge de duas listas, uma com n elementos e outra com m elementos, é necesário realizar pelo menos comparações no pior caso.

n

nm

Solução

• Considere as duas listas A= a(1)< ... < a(n) e B=b(1) < ... < b(n) de n elementos

• Seja X a ordem a(1)<b(1)<a(2)<b(2) <...<a(n)<b(n)

• Seja Y(j), j=1,...,n, a ordem idêntica a ordem X, exceto pelo fato que a(j) > b(j)

• Seja Z(j), j=2,..,n, a ordem idêntica a ordem X, exceto pelo fato que a(j) < b(j-1)

Solução

• Se o algoritmo não comparar a(j) com b(j) ele não tem como diferenciar X de Y(j)

• Se o algoritmo não comparar a(j) com b(j-1) ele não tem como diferenciar X de Z(j)

• Logo são necessárias 2n-1 comparações

Exercício

• Perdido em uma terra muito distante, você se encontra em frente a um muro de comprimento infinito para os dois lados (esquerda e direita). Em meio a uma escuridão total, você carrega um lampião que lhe possibilita ver apenas a porção do muro que se encontra exatamente à sua frente (o campo de visão que o lampião lhe proporciona equivale exatamente ao tamanho de um passo seu). Existe uma porta no muro que você deseja atravessar. Supondo que a mesma esteja a n passos de sua posição inicial (não se sabe se à direita ou à esquerda), elabore um algoritmo para caminhar ao longo do muro que encontre a porta em O(n) passos. Considere que n é um valor desconhecido (informação pertencente à instância). Considere que a ação composta por dar um passo e verificar a posição do muro correspondente custa O(1).

Solução

p=0Enquanto não encontrar o muro

Ande até a posição 2p. Se encontrar o muro no caminho pareAnde até a posição -2p. Se encontrar o muro parep++

Fim Enquanto

Assuma que a porta esta na posição + n. Seja p* tal que 2p*-1<n<=2p*

O algoritmo anda no máximo 3 2p*+1 +4 .2p*+1 para encontrar o muro. Esse valor é menor que 14 n.

Exercício

Analise a complexidade do algoritmo abaixo

Leia(n);

x 0

Para i 1 até n faça

Para j i+1 até n faça

Para k 1 até j-i faça

x x + 1

Exercício

• Projete o algoritmo mais eficiente que você conseguir para encontrar a mediana de um vetor de n elementos. Análise sua complexidade.

Solução

• Ordene os elementos e retorne o elemento n/2 da lista ordenada– Complexidade: O(n log n)

• Mais adiante no curso mostraremos um algoritmo O(n)

Exercício

Dizemos que um vetor P[1..m] ocorre em um vetor T[1..n] se  P[1..m]  =  T[s+1..s+m]  para algum s. O valor de um tal s é um deslocamento válido.

Projete um algoritmo para encontrar todos os deslocamentos válidos de um vetor e analise sua complexidade.

Exercício

Seja A[1..n] um vetor que pode conter números positivos e negativos.

Projete um algoritmo com complexidade O(n3) determinar os índices i e j, com i<=j, tal que A[i] + ...+A[j] é máximo. Tente reduzir a complexidade para O(n2), depois para O(n log n) e então para O(n)

Exercício

Resolvas as equações abaixo encontrando uma função f(n) tal que T(n) = (f(n))

a) T(n)=2.T(n/2) + n2 para n>1; T(1)=1

b) T(n) = 2.T(n/2) + n, para n>1; T(1)=1

c) T(n)=T(n/2) + 1, para n>1; T(1)=1

d) T(n)=T(n/2) + n, para n>1; T(1)=1

Exercício

Seja uma matriz quadrada A com n2 números inteiros que satisfaz as segintes propriedades

(i) A[i,j] <= A[i+1,j] para 1<=i<=n-1 e 1<=j<=n(ii) A[i,j]<=A[i,j+1], para 1<=i<=n e 1<=j<=n-1

a) Dado um elemento x, descreva um procedimento eficiente para determinar se x pertence a A ou não. Analise a complexidade do algoritmo proposto.

b) Mostre que este problema é (n)

Solução

a) Considere o procedimento abaixo Seja y o elemento do canto superior direito da

matriz. Compara y e x• Se x>y, descarte a primeira linha e aplique o

procedimento recursivamente para matriz restante.

• Se x<y, descarte a última coluna e aplique o procedimento recursivamente para matriz restante.

• Se x=y devolva a posição de y

Solução

Análise

• A cada passo o número de linhas ou de colunas da matriz diminui de 1, portanto o algoritmo executa no máximo 2n passos.

Solução

Lower Bound• Considere a seguinte entrada matriz:

A[i,j] =0 se i+j<n+1,A[i,j] =n+1 se i+j>n+1A[i,j] é um inteiro entre 1 e n se i+j=n+1

• Se x é um número entre 1 e n que não pertence a A, qualquer algoritmo tem que examinar todas as entradas A[i,j], com i+j=n+1 para concluir que x não esta em A. Logo, o problema é (n)

Exercício

Seja A={a(1) < .... < a(n)} uma lista de números reais. A proximidade entre a(i) e a(j) é definida como |a(i)-a(j)|.

a) Dados os inteiros j e k, encontre os k elementos de A mais próximos de A[j] em O(k).

Exercício

Seja A[1..n] um vetor com n números positivos e seja S[i]=A[1]+...+A[i].

• Encontre o índice i que minimiza

Minimiza | S[i] – (A[i+1] + ... +A[n]) |

Exercício

Mostre que

)( 1

1

kn

i

k ni

Solução

)( 22

2/

)(

11

1

2/

1

1

kk

kkn

ni

k

kkn

i

k

nnn

ni

nOnni