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Edni de Castro Paranhos Coordenador dos Cursos de Administração 1

EXERCÍCIOS 2006

APOSTILA MATEMÁTICA

Professor: LUIZ ANTÔNIO


Coordenador dos Cursos de Administração 2

Edni de Castro Paranhos

>>>>>>>>>> PROGRESSÃO ARITMÉTICA – P. A. <<<<<<<<<<

Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que

engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término de 15ª semana de

tratamento?

a) 22,50 kg b) 15 kg c) 10,7 kg d) 10,55 kg e) 10,46 kg Solução: Resolvendo aritmeticamente, temos: 150 g × 15 = 2250 g = 2,25 kg

8,3 kg + 2,25 kg = 10,55 kg ⇒ alternativa d.

Problemas desse tipo onde há um valor inicial: 8,3 kg que chamaremos de primeiro termo (a1), um aumento constante: 150 g chamado de razão (r) e um número de acréscimo: 16 – 1, número de termos menos um (n – 1) são resolvidos com maior abrangência, usando a expressão do termo genérico da progressão aritmética: an = a1 + (n – 1) . r , onde an neste caso é a 16

a16 = 8300 + (16 – 1) × 150 = 10550 g = 10,55 kg

Definição: P. A. é uma seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante (chamada razão). EXERCÍCIOS 1. Numa P. A. a1 = 7, r = 3, calcule o vigésimo termo. 2. Quantos termos possui a P. A. (6, 9, 12, 15, ..., 231)? 3. Numa P. A. dados a15 = 35 e a6 = 15, calcule a1, r e a36. 4. Numa P. A. é dado a6 = 11 e a11 = 31. Pede-se a40.



>>>>>>>>>>PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – P. G. <<<<<<<<<< Uma dívida de R$ 2000,00 é aumentada mensalmente de 10%. Qual será o valor da dívida depois de 5 meses?

Valor inicial: 2000

Solução:

Depois de:

1 mês: 2000 + 10% de 2000 = 2000 1 + 10 = 2000 .(1,1) = 2200,00 100 2 meses: 2200 + 10% de 2200 = 2200 1 + 10 = 2200 . (1,1) = 2420,00 100 3 meses: 2420 + 10% de 2420 = 2420 1 + 10 = 2420 . (1,1) = 2662,00 100 4 meses: 2662 + 10% de 2662 = 2662 1 + 10 = 2662 . (1,1) = 2928,20 100 5 meses: 2928,20 + 10% de 2928,20 = 2928,20 . (1,1) = 3221,02 Resposta: o valor da dívida será de R$ 3221,02.



Perceba que a dívida de um determinado mês é igual à dívida do mês anterior multiplicado por 1,1 (chamada de razão da seqüência e indicada por q). Generalizando para uma seqüência com n termos, temos: a1 = a1

a2 = a3 = a2 . q = a1 . q . q = a4 = a3 . q = a1 . q2 . q = a1 . q3

an = a1 . q (n – 1) → Fórmula do termo geral de uma P. G. Voltando ao problema proposto acima, temos:

a1 = 2000 e a6 =? (Depois de 5 meses estamos no 6º mês, por isso devemos calcular a6). a6 = 2000 . (1,1)5 ⇒ a6 = 3221,02. Definição: P.G. é uma seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão). EXERCÍCIOS 5. Sabendo que x, x + 9, x + 45 estão em P.G. determinar o valor de x. 6. Qual é o 5º termo da P.G. (243, 81, 27, ...)? 7. Determine a razão q numa P.G. de seis termos onde o último termo vale 972 e o primeiro 4. 8. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (5, 10, 20, ...).




>>>>>>>>>>PORCENTAGEM <<<<<<<<<<

A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razão centesimais:

30 , 4 , 135 e 27,9100 100 100 100

Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais:

30 = 30% 4 = 4% 135 = 135% 27,9 = 27,9% 100 100 100 100

Tais razões estão expressas em taxas percentuais.

Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto

passaria a custar?

Solução: Temos: 1º) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 × 32 = 6,40;

2º) o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.

EXERCÍCIOS 9. O preço de venda de uma TV é de R$ 380,00. Uma loja em promoção de Natal oferece desconto de 20% para pagamento à vista. Qual será, então, o preço da TV à vista?



10. Nas eleições municipais de 1996 em São Paulo, devido às fortes chuvas, 4% dos eleitores foram impedidos de chegar a tempo aos locais de votação. Se havia 6 milhões de eleitores inscritos, quantos eleitores efetivamente votaram?

11. Um hipermercado oferece a seus clientes duas formas de pagamento: à vista, com 5% de desconto sobre o preço marcado, ou no cartão de crédito, com um acréscimo de 10% sobre o preço marcado.

a) Qual é o preço marcado de um produto que, à vista, custa R$ 30,40? b) Quanto custará, à vista, um produto que, no cartão, sai por R$ 55,00?

12. A prefeitura de uma cidade deseja asfaltar todas as suas vias. Atualmente, a taxa percentual de vias asfaltadas é de 84%. Quando forem asfaltadas mais 30 vias, essa taxa se elevará a 90%. Quantas vias ainda precisarão ser asfaltadas para que o objetivo seja atingido?

>>>>>>>>>> ANÁLISE COMBINATÓRIA <<<<<<<<<<

a) Princípio Fundamental da Contagem Se um acontecimento A pode ocorrer da a modos diferentes, um acontecimento B de b modos diferentes e um acontecimento C e de c modos diferentes, então, o número de modos diferentes de ocorrer o acontecimento A, seguido de B, seguido de C é: a . b . c. Exemplo: 1. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de quatro algarismos podemos escrever?

6 . 6 . 6 . 6 = 1296

Resposta: 1296 números



EXERCÍCIOS

13. Uma pessoa possui 5 camisas, 3 calças e 2 pares de sapatos. Usando apenas essas peças, de quantas maneiras diferentes essa pessoa pode se vestir?

14. Com os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de dois algarismos podemos escrever?

15. Usando somente os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, quantos números:

a) de três algarismos podemos formar? b) de três algarismos distintos podemos formar?

b) Arranjo Simples

Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de p elementos distintos qualquer grupo formado por p dos n elementos (p ≤ n), de modo que um grupo difere do outro pela natureza dos elementos ou pela ordem dos elementos.

Indicamos o número total de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p distintos, pelo símbolo:

A n,p , onde: n → número total de elementos

p → número de elementos de cada grupo.

Para determinarmos o número total de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p distintos, pelo símbolo:

A n, p = n ! (n – p) !



Exemplo: Num concurso de beleza em que participam 8 candidatas, de quantas maneiras diferentes pode ser formado o grupo das 2 primeiras colocadas? Observe que neste problema temos: n = 8 e p = 2 Assim, A 8, 2 = 8 ! = 8 . 7 . 6 ! = 8 . 7 = 56. (8 – 2) ! 6 ! Logo, podemos ter 56 modos diferentes de formar o grupo das duas primeiras colocadas.

c) Permutação Simples

Dado o conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação simples de n elementos distintos qualquer grupo formado pelos n elementos.

Indicamos o número total de permutação simples de n elementos distintos pelo símbolo:

P n , onde n → número total de elementos.

Para determinarmos o número total de permutação simples de n elementos distintos sem escreve-los, usamos a expressão:

P n = n !

Exemplo:

Quantos são os anagramas da palavra LUSA?

P 4 = 4 ! ⇒ P 4 = 4 . 3 . 2 . 1 ⇒ P 4 = 24

Logo, o número de anagramas é 24.

d) Combinação Simples

Dado um conjunto com n elementos, chama-se combinação simples de p elementos (p≤ n) qualquer subconjunto formado por p dos n elementos.

Indicamos o número total de combinação simples de n elementos tomados p a p distintos pelo símbolo:



C n, p , onde: n → número total de elementos

p → número de elemento de cada grupo.

Para determinarmos o número total de combinações simples de n elementos distintos tomados p a p distintos sem escreve-los, usamos a expressão:

C n, p = n ! O

p ! (n- p) !

Exemplo:

Com um grupo de 10 pessoas, quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas?

Observe que: n = 10 e p = 4, assim:

C n, p = 10 ! = 10 ! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 ! = 10 . 9 . 8 . 7 = 210

4 ! (10 – 4) ! 4 ! 6! 4 ! 6! 4 . 3 . 2 . 1

Logo, podemos formar 210 comissões.

EXERCÍCIOS

16. Determine o valor de x:

A x, 2 = 90

17. De quantos modos podem ser escolhidos o presidente, o vice-presidente e o tesoureiro de uma firma entre os seus 10 sócios?




18. Quantos são os anagramas da palavra REAL?

19. Com relação à palavra BONITA: quantos anagramas existem?

20. Determine o valor de x:

C x, 2 = 28

21. Em uma sala de aula com 20alunos, quantas comissões de 3 alunos podemos formar?

>>>>>>>>>> CONJUNTOS <<<<<<<<<<

Exercício Resolvido

Numa pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de um determinado produto, das três marcas apresentadas tivemos os resultados indicados na tabela abaixo:

Produto – Marca N° de Consumidores

A 120

B 100

C 80

A e B 50

B e C 30

A e C 25

A, B e C 8




Observe que nesta pesquisa todas as pessoas consumiram pelo menos três produtos. Então, pergunta-se:

a) Quantas consumiram apenas o produto B? b) Quantas consumiram somente um dos três produtos? c) Quantas consumiram mais de um produto?

Colocamos inicialmente n (A ∩ B ∩ C) = 8.

Em seguida n (A ∩B) = 50, n (A ∩ C) = 25 e n (B ∩ C) = 30, subtraindo 8 de cada um.

Finalmente, completamos A, B e C levando-se em conta os elementos já colocados.

a) 28 pessoas b) 53 + 28 + 33 = 114 pessoas c) 42 + 8 + 22 + 17 = 89 pessoas




EXERCÍCIO

22. Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B e C. todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir

Produto N° de Consumidores

A 25

B 36

C 20

A e B 6

B e C 4

A e C 5

A, B e C 0

Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um destes dois produtos.

Com base nestes dados, calcule o número total de pessoas consultadas?



>>>>>>>>>> CONJUNTOS NUMÉRICOS <<<<<<<<<<

= {0, 1, 2, 3, ...} → números naturais.

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} → números inteiros.

= a / a ∈ e b ∈ * → números racionais (podem ser escritos na forma de fração)

b

→ números irracionais. Ex.: ,, , π, etc. ( = - ) 2 7

= ∪ → números reais.

⊂ ⊂ ⊂

⊂



EXERCÍCIO 23. Das afirmações a seguir, quatro são falsas. Quais são? a) –2 ∈ b) 0 ∈

c) 1 ∉

3

d) 3 ∈ 7

e) ∈ f) – 3 ∉

g) ∈

h) ∈ 4

i) ∈ 7

j) ⊃

k) ⊂

l) ⊃ 0,2

m) 0,333... ∈

n) – 0,5 ∈ 25

o) ∈ 2

>>>>>>>>>> PRODUTO CARTESIANO <<<<<<<<<<

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}, vamos construir um novo conjunto a partir de A e B, formado por todos os pares ordenados, onde o primeiro elemento de cada par pertença ao conjunto A e o segundo elemento pertença ao B. Esse novo conjunto chama-se produto cartesiano de A e B. Indica-se: A x B, (lê-se: A cartesiano B.)

A x B = {(1, 2), (1,4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} Representamos esse produto em diagrama:

• 2

• 4

1 •

2 •

3 •



EXERCÍCIOS 24. Dados: A x B = {(1, 5), (1, 6), (1, 7)} e C x D = {(1, 1), (1, 4), (3, 1), (3, 4)}, determine os conjuntos:

a) A b) B c) C d) D

>>>>>>>>>> RELAÇÃO <<<<<<<<<<

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}. Temos A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}. Vamos considerar alguns subconjuntos de A x B: a) R1 = {(1, 2), (1, 4)} b) R2 = { (2, 4)} c) R3 = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)}

1 •

2 •

3 •

• 2

• 4

1 •

2 •

3 •

• 2

• 4

1 •

2 •

3 •

• 2

• 4

Esses subconjuntos de A x B são todos relações. OBS: A relação de A em B é um subconjunto de A x B.



EXERCÍCIO 25. Dado o produto cartesiano A x B abaixo, assinale quais das relações dadas são relações de A em B: A x B = {(1, 3), (1, 4}), (1, 5), (2, 3), ( 2, 4), (2, 5)}

a) R = {(1, 3), (2, 5)} b) R = {(1, 3), (4, 1), (1, 5)} c) R = {(2, 3), (2, 4), (1, 3)} d) R = {(1, 3), (2, 3), (5, 2)}

>>>>>>>>>> FUNÇÃO <<<<<<<<<<

Seja o produto cartesiano: A x B Em diagrama: E a relação de A em B: R = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)}

1 •

2 •

3 •

• 1

• 2 • 5

• 4

Im (Conjunto Imagem)

A (Domínio) B (contra- domínio)

Notamos nessa relação que para todo elemento de A há um único correspondente em B. Então, dizemos que essa relação é uma função de A em B. Indicação: f: A → B. (Lê-se: função de A em B.) O conjunto A é chamado de domínio da função (conjunto de partida) e o conjunto B é chamado de contra-domínio da função (conjunto de chegada). EXERCÍCIO 26. Identifique apenas os diagramas que representam uma função e, nesse caso, assinale o conjunto imagem:



a) b) c) d)

e)

f) g) h) i)

• •

• • •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

• •

•

•

• •

• •

• •

• •

• •

j)



>>>>>>>>>> FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM <<<<<<<<<<

É toda função que pode ser colocada na forma f: → definida por f(x) = ax + b ou y = ax + b, sendo a ≅ 0 e {a e b} ∈ . O gráfico da função do 1º grau é uma reta. O número real “a” é chamado de coeficiente angular da reta, ou seja, é o valor da tangente do ângulo que a reta da função forma no sentido horário {sentido dos ponteiros de um relógio} com o eixo x {abscissa}. O número real “b” é chamado de coeficiente linear da reta, ou seja, é a interseção do gráfico da função com o eixo y {ordenada}. Exemplo: F(x) = 3x + 6 Cálculo para x = 0 Cálculo para y = 0 y = 3x + 6 y = 3x + 6 y = 3. 0 + 6 0 = 3x + 6 y = 6 3x = -6 x = -6 / 3 = -2 y

x y Ponto 0 6 D -2 0 E

-2 0 x

D6

E



>>>>>>>>>> FUNÇÃO IDENTIDADE <<<<<<<<<<

consideremos uma função f de em tal que, para todo x ∈ , tenhamos f(x) = x; esta função será chamada função identidade. Observemos algumas determinações de imagens na função identidade:

Exemplo: X = 0 ⇒ f (0) = 0 ⇒ y = 0; logo, (0; 0) é um ponto do gráfico dessa função. X = 1 ⇒ f (1) = 1 ⇒ y = 1; logo, (1; 1) é um ponto do gráfico dessa função. y

x 0

45º



>>>>>>>>>> FUNÇÃO CONSTANTE <<<<<<<<<<

Vamos iniciar agora o estudo de algumas importantes funções de variável real.

Consideremos então uma função f de em tal que, para todo x ∈ , tenhamos f (x) = c, onde c ∈ ; esta função será chamada de função constante. O gráfico da função constante é uma reta paralela ou coincidente com o eixo dos x; podemos ter três casos:

a) C > 0 b) C = 0 c) C < 0 y y y c x x x 0 0 0 c Observações:

Na função constante, f ( ) = {c}; o conjunto-imagem é unitário. A função constante não é sobrejetora, não é injetora e não é bijetora; e, em

conseqüência disto, ela não admite inversa.



>>>>>>>>>> FUNÇÃO LINEAR <<<<<<<<<<

Consideremos uma função f de em tal que, para todo x ∈ , tenhamos f(x) = ax, onde a ∈ *; esta função será chamada de função linear. Observemos que, se fizermos x = 0, teremos f(0) = a . 0, ou seja, f(0) = 0 e, portanto, y = 0; logo, o gráfico dessa função também passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0; 0). Exemplo: Se fizermos x = 1, teremos f(1) = a . 1, ou seja, f (1) = a e, portanto, y = a; logo, o gráfico dessa função passa pelo ponto (1; a).

y a x - 1



>>>>>>>>>> FUNÇÃO QUADRÁTICA OU DO 2º GRAU <<<<<<<<<<

Consideremos uma função f de em tal que, para todo x ∈ , tenhamos f(x) = ax2 + bx + c, onde a ∈ * e b, c ∈ ; esta função será chamada de função quadrática. Pode-se mostrar que o gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y e com vértice no ponto V de coordenadas

– b ; - Δ .

2a 4a

>>>>>>>>>> FUNÇÃO EXPONENCIAL <<<<<<<<<<

Consideremos uma função f de em tal que, para todo x ∈ , tenhamos f(x) = ax, onde a ∈ , a > 0 e a ≅ 1; esta função será chamada função exponencial de base a. Exemplo: Na função exponencial f(x) = 3x, teremos a = 3; vejamos algumas imagens dadas por esta função: f(0) = 30 = 1, f(1) = 1 = 3, f (2) = 32 = 9, f(3) = 33 = 27,

f 1 = 31/2 = , f 2 = 32/5 = = , f (-1) = 3-1 = 1, f (-4) = 3-4 = 1 = 1 . 2 5 3 34 81




EXERCÍCIO 27. Examinando o gráfico da função abaixo, classifique cada afirmativa em verdadeira ou falsa.

1) Se f(x) > 0 então x > 2 ( )

2) f(x) > 0 somente se x >2 ( )

3) f(x) < 0 somente se x < 0 ( )

4) Se f(x) = 0, então x = 1 ( )

5) Se f(x) = 1, então x = 0 ( )

6)f(x) = 0, somente se x = 2 ( )

28. Os vértices de um triângulo são representados pelas coordenadas A(3, 2), B(2, -3) e C(4, -3). O lado AB está contido em quais quadrantes?

a) 1º e 4º c) 1º, 2º e 3º b) 1º e 2º d) 2º, 3º e 4º

29. O gráfico de uma função f do 1º grau intercepta os eixos coordenados nos pontos P(4, 0) e Q (0, 3).

a) 1/4 b) 1/3 c) – 4 d) – 3/2 e) 12



24Coordenador dos Cursos de Administração

30. O gráfico abaixo é determinado pela função:

a) f(x) = 4x + 2 b) f(x) = x + 2 c) f(x) = x – 4

d) f(x) = 2x + 4 e) f(x) = x2

31. Os valores de m para os quais a equação 3x2 – mx + 4 = 0 tem duas raízes reais iguais são: 32. Com relação ao gráfico da função f(x) = 2 (x – 1)2 – 4 são feitas as seguintes afirmações:

I. é uma parábola com concavidade voltada para cima; II. é uma parábola cujo vértice é o ponto (-2; 4); III. o ponto de intersecção com o eixo y é (0; 2 –2).

Nessas condições:

a) Somente a afirmação I é verdadeira. b) Somente a afirmação III é verdadeira. c) As afirmações I, II e III são verdadeiras. d) As afirmações I e II são verdadeiras. e) As afirmações II e III são verdadeiras.

33. Uma bola é largada do alto de um edifício em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = - 25t2 + 625. após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

a) 2,5 b) 5 c) 7

d) 10 e) 25

34. O valor de x que soluciona a equação = 64 é:



a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) nenhuma das respostas anteriores.


Edni de Castro Paranhos Coordenador dos Cursos de Administração

26

>>>>>>>>>> LIMITE <<<<<<<<<<

Dizemos que o limite de uma função f(x), definida em um intervalo ao qual o ponto a pertence, é b se, para todo ε > 0 existir em correspondência algum δ > 0, tal que para todo x, x ≅ a, temos: 0 < | x - a| < δ ⇒ | f(x) – b | < ε lim f(x) = b x → a EXERCÍCIO 35. Calcule o limite:

lim x2 + 4 + 2x – 3 x → 2 x – 1 x2 + 1

>>>>>>>>>> DERIVADAS <<<<<<<<<<

Seja uma função real y = f(x), se existe, finito, o limite de f(x) – f(x0) quando x tende a x0, ele é chamado derivada de f no ponto x = x0. Indicamos a derivada por f ’ (x0) (lê-se: f linha de x0). Assim, definimos: F ’ (x0) = lim f (x) – f (x0) = lim Δ y x→ x0 x – x0 Δx→0 Δ x EXERCÍCIO 36. Calcule f ’ (x) para a função, usando diretamente a definição: f(x) = x2 + 4x

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