ITA/ IME/ AFAPROF. LUZIANDERSON RAMOS

ELETROMAGNETISMO – AULA 01

1. (Ita 2013) Um próton em repouso é abandonado do eletrodo positivo de um capacitor de placas paralelas submetidas a uma diferença de potencial e

espaçadas entre si de conforme a figura. A seguir, ele passa através de um pequeno orifício no segundo eletrodo para uma região de campo magnético uniforme de módulo Faça um gráfico da energia cinética do próton em função do comprimento de sua trajetória até o instante em que a sua velocidade torna-se paralela às placas do capacitor. Apresente detalhadamente seus cálculos.

2. (Ime 2013)

A figura acima apresenta uma partícula com velocidade v, carga q e massa m penetrando perpendicularmente em um ambiente submetido a um campo magnético B. Um anteparo está a uma distância d do centro do arco de raio r correspondente à trajetória da partícula. O tempo, em segundos, necessário para que a partícula venha a se chocar com o anteparo é:Dados: v = 10 m/s; B = 0,5 T;

a) 40

b) 20

c) 10

d) 5

e) 2,5

3. (Ita 2011) Prótons (carga e e massa mp), deuterons (carga e e massa md = 2mp) e partículas alfas (carga 2e e massa ma = 4mp) entram em um campo magnético uniforme perpendicular a suas velocidades, onde se movimentam em órbitas circulares de períodos Tp, Td e Ta, respectivamente. Pode-se afirmar que as razões dos períodos Td/Tp e Ta/Tp são, respectivamente, a) 1 e 1. b) 1 e .

c) e 2.

d) 2 e . e) 2 e 2. 4. (Ita 2010) Um elétron e acelerado do repouso através de uma diferença de potencial V e entra numa região na qual atua um campo magnético, onde ele inicia um movimento ciclotrônico, movendo-se num circulo de raio RE com período TE. Se um próton fosse acelerado do repouso através de uma diferença de potencial de mesma magnitude e entrasse na mesma região em que atua o campo magnético, poderíamos afirmar sobre seu raio RP e período TP que

a) RP = RE e TP = TE. b) RP > RE e TP > TE. c) RP > RE e TP = TE. d) RP < RE e TP = TE. e) RP = RE e TP < TE. 5. (Ita 2010) Um disco, com o eixo de rotação inclinado de um ângulo α em relação à vertical, gira com velocidade angular ω constante. O disco encontra-se imerso numa região do espaço onde existe um campo magnético uniforme e constante, orientado paralelamente ao eixo de rotação do disco. Uma partícula de massa m e carga q > 0 encontra-se no plano do disco, em repouso em relação a este, e situada a uma distância R do centro, conforme a figura.

Sendo ì o coeficiente de atrito da partícula com o disco e g a aceleração da gravidade, determine até que valor de ù o disco pode girar de modo que a partícula permaneça em repouso.

6. (Ime 2010) A figura ilustra um plano inclinado com ângulo cuja superfície apresenta atrito. Um bloco de massa m = 1 kg, carregado eletricamente

com a carga negativa , apresenta

velocidade inicial e realiza um movimento retilíneo sobre o eixo x (paralelo ao plano horizontal) a partir do instante t = 0. Além disso, este bloco se encontra submetido à força constante F = 4,5 N na direção x e a um campo magnético B = 100 T normal à superfície (direção z). Considerando que o gráfico ilustra o trabalho da força resultante R que age sobre o bloco em função da distância percorrida, determine:a) o tempo gasto e a velocidade do bloco após percorrer 60 m;b) os gráficos das componentes da força de atrito (direções x e y) em função do tempo até o bloco percorrer 60 m.

Dado: aceleração da gravidade:

7. (Ime 2010)

Uma partícula eletrizada penetra perpendicularmente em um local imerso em um campo magnético de intensidade B. Este campo é dividido em duas regiões, onde os seus sentidos são opostos, conforme é apresentado na figura. Para que a partícula deixe o local com um ângulo de 30o, é correto afirmar que a eletrização da partícula e a intensidade do campo magnético que possui o sentido saindo do plano do papel devem ser, respectivamente:Dados:- R: raio da trajetória da partícula na região onde existe um campo magnético.

- = 3

a) positiva e de valor .

b) positiva e de valor .

c) negativa e de valor .

d) positiva e de valor .

e) negativa e de valor .

8. (Ita 2007) A figura mostra uma partícula de massa m e carga q > 0, numa região com campo magnético B constante e uniforme, orientado positivamente no eixo x. A partícula é então lançada com velocidade inicial

no plano xy, formando o ângulo è indicado, e passa pelo ponto P, no eixo x, a uma distância d do ponto de lançamento.

Assinale a alternativa correta.

a) O produto d q B deve ser múltiplo de 2ð m v cos è. b) A energia cinética da partícula é aumentada ao atingir o ponto P. c) Para è = 0, a partícula desloca-se com movimento uniformemente acelerado. d) A partícula passa pelo eixo x a cada intervalo de tempo igual a m/qB. e) O campo magnético não produz aceleração na partícula. 9. (Ita 2007) A figura mostra uma região de superfície quadrada de lado L na qual atuam campos magnéticos B1 e B2 orientados em sentidos opostos e de mesma magnitude B. Uma partícula de massa m e carga q > 0 é lançada do ponto R com velocidade perpendicular às linhas dos campos magnéticos. Após um certo tempo de lançamento, a partícula atinge o ponto S e a ela é acrescentada uma outra partícula em repouso, de massa m e carga -q (choque perfeitamente inelástico). Determine o tempo total em que a partícula de carga q > 0 abandona a superfície quadrada.

10. (Unicamp 2006) A utilização de campos elétrico e magnético cruzados é importante para viabilizar o uso

da técnica híbrida de tomografia de ressonância magnética e de raios X. A figura a seguir mostra parte de um tubo de raios X, onde um elétron, movendo-se com velocidade v = 5,0 × 105 m/s ao longo da direção x, penetra na região entre as placas onde há um campo magnético uniforme, B, dirigido perpendicularmente para dentro do plano do papel. A massa do elétron é me = 9 × 10-31 kg e a sua carga elétrica é q = - 1,6 × 10-19 C. O módulo da força magnética que age sobre o elétron é dado por F = qvB senè, onde è é o ângulo entre a velocidade e o campo magnético.

a) Sendo o módulo do campo magnético B = 0,010T, qual é o módulo do campo elétrico que deve ser aplicado na região entre as placas para que o elétron se mantenha em movimento retilíneo uniforme?

b) Numa outra situação, na ausência de campo elétrico, qual é o máximo valor de B para que o elétron ainda atinja o alvo? O comprimento das placas é de 10 cm.

11. (Ita 2006) Uma partícula de massa m carregada com carga q > 0 encontra-se inicialmente em repouso imersa num campo gravitacional e num campo magnético B0 com sentido negativo em relação ao eixo Oz, conforme indicado na figura. Sabemos que a velocidade e a aceleração da partícula na direção Oy são funções harmônicas simples. Disso resulta uma trajetória cicloidal num plano perpendicular à B0. Determine o deslocamento máximo (L) da partícula.

12. (Ita 2000) A figura mostra duas regiões nas quais atuam campos magnéticos orientados em sentidos opostos e de magnitudes B1 e B2, respectivamente. Um próton de carga q e massa m é lançado do ponto A com uma velocidade perpendicular às linhas de campo magnético. Após um certo tempo t, o próton

passa por um ponto B com a mesma velocidade inicial (em módulo, direção e sentido). Qual é o menor

valor desse tempo?

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

13. (Ita 1999) Uma partícula de carga q e massa m é lançada numa região com campo elétrico e campo

magnético , uniformes e paralelos entre si. Observa-se, para um determinado instante, que a partícula está com a velocidade 0 formando um ângulo á com o

campo magnético . Sobre o movimento dessa partícula, pode-se concluir que a partir deste instante:

a) a partícula descreverá um movimento giratório de raio mV0/q.F. b) o ângulo entre a velocidade e o campo variará com o passar do tempo até atingir o valor de 90°, mantendo-se constante daí em diante. c) a energia cinética da partícula será uma função sempre crescente com o tempo e independente do valor de F. d) a velocidade da partícula tenderá a ficar paralela

ao campo , se a carga for positiva, e antiparalela a

, se a carga for negativa. e) a partícula tenderá a atingir um movimento puramente circular com raio crescente com o tempo. 14. (Unicamp 1996) Espectrômetros de massa são aparelhos utilizados para determinar a quantidade relativa de isótopos dos elementos químicos. A figura (a) a seguir mostra o esquema de um desses espectrômetros. Inicialmente os íons são acelerados na região 1 pela tensão V. Na região 2, existe um campo magnético B constante, que obriga os íons a seguirem uma trajetória circular. Se a órbita descrita pelo íon tiver raio R, eles atingem a fenda F e são detectados. Responda aos itens (a) e (b) literalmente e ao item (c) numericamente.a) Qual a expressão para a velocidade do íon ao entrar na região 2 em função de sua massa, sua carga e de tensão V?b) Qual a expressão da massa do íon detectado em função da tensão V, da carga q, do campo magnético B e do raio R?

c) Em um dado espectrômetro de massa com V = 10.000 V e R = 10 cm, uma amostra de um elemento com carga iônica +e produziu o espectro da figura (b) a seguir. Determine as massas correspondentes a cada um dos picos em unidades de massa atômica (uma) e identifique qual é o elemento químico e quais são os isótopos que aparecem no gráfico. Adote e = 1,6 ×10-19 C e 1 uma = 1,6 × 10-27 kg.

15. (Unicamp 1995) Um elétron é acelerado, a partir do repouso, ao longo de 8,8 mm, por um campo elétrico constante e uniforme de módulo E = 1,0 × 105

V/m. Sabendo-se que a razão carga/massa do elétron vale e/m = 1,76 × 1011 C/kg, calcule:

a) a aceleração do elétron.

b) a velocidade final do elétron.

Ao abandonar o campo elétrico, o elétron penetra perpendicularmente a um campo magnético constante e uniforme de módulo B = 1,0 × 10-2 T.

c) Qual o raio da órbita descrita pelo elétron?

16. (Ita 1995) Uma partícula com carga q e massa M move-se ao longo de uma reta com velocidade v constante numa região onde estão presentes um campo elétrico de 500 V/m e um campo de indução magnética de 0,10 T. Sabe-se que ambos os campos e a direção de movimento da partícula são mutuamente perpendiculares. A velocidade da partícula é:

a) 500 m/s b) constante para quaisquer valores dos campos

elétrico e magnético c) (M/q) 5,0 x 103 m/s d) 5,0 x 10 m/s e) Faltam dados para o cálculo 17. (Unicamp 1993) Um campo magnético uniforme, B = 5,0 . 10-4 T, está aplicado no sentido do eixo y. Um elétron é lançado através do campo, no sentido positivo do eixo z, com uma velocidade de 2,0 . 105

m/s. Carga do elétron = - 1,6 . 10-19 C.

a) Qual é o módulo, a direção e o sentido da força magnética sobre o elétron no instante inicial?

b) Que trajetória é descrita pelo elétron?

c) Qual é o trabalho realizado pela força magnética?

Gabarito:

Resposta da questão 1: 1ª análise: movimento do próton dentro do capacitor:

De acordo com o teorema da energia cinética:

Considerando que , e , podemos escrever que:

, onde

para um comprimento da trajetória .

2ª análise: movimento do próton dentro do campo magnético:

De acordo com as informações do enunciado, podemos concluir que o próton entra na região que contém o campo magnético B perpendicularmente ao campo, ou seja, o próton irá descrever um movimento circular uniforme (M.C.U.) de raio r dentro do campo, devido à atuação da força magnética F. Como o movimento do próton é uniforme, este não varia a intensidade de sua velocidade, consequentemente, irá manter sua energia cinética constante e igual a

.

Cálculo do comprimento da trajetória (d') dentro do campo magnéticoAté o vetor velocidade do próton ficar paralelo às placas do capacitor, o próton percorre um quarto da circunferência

de seu M.C.U., ou seja:

Da força magnética temos:

Do M.C.U. temos:

Como a força magnética é a responsável pelo M.C.U., podemos escrever que:

Retornando em :

Como

Comprimento total da trajetória D:

Gráfico da energia cinética do próton (Ec) em função do comprimento de sua trajetória (X) até o instante em que a sua velocidade torna-se paralela às placas do capacitor:

Resposta da questão 2: [D]

Dados:

Analisando a figura:

Em radianos:

A força magnética age como resultante centrípeta.

Dividindo (I) por (II), encontramos o tempo para a partícula percorrer o arco :

Resposta da questão 3: [E]

Dados: mp; qp = e; qd = e; md = 2 mp; qa = 2 e; ma = 4 mp.

Para uma partícula de massa m e carga de módulo q lançada perpendicularmente às linhas de indução de um campo

magnético uniforme, , com velocidade , a força magnética, , age como resultante centrípeta, , provocando

movimento circular uniforme de raio r. Então:

(I).

Da expressão da velocidade para o movimento uniforme:

(II).

Substituindo (I) em (II), vem:

Assim, substituindo os dados de cada partícula nessa expressão do período, temos:

Então, as razões pedidas valem:

Resposta da questão 4: [B]

Sabemos que a carga do elétron e a carga do próton têm mesmo módulo. Assim: |q| = e.

Aplicando o teorema da energia cinética no campo elétrico:

. (equação 1)

No campo magnético, a força magnética age como resultante centrípeta.

. (equação 2)

Substituindo (1) em (2), vem:

. Introduzindo no radical, temos:

R = .

Como se sabe, a massa do próton e maior que a massa do elétron. Então: Rp > RE.

Calculemos o período (T), lembrando que ele é igual ao tempo gasto em uma volta. Então:

T = .

Novamente, a massa do próton é maior que a do elétron. Portanto: TP > TE.

Resposta da questão 5:

Na figura acima:

Px: componente do peso na direção do plano inclinado.

Px = P sen = m g sen . (I)

Fm: força magnética sobre a partícula.

Fm = q v B sen 90° Fm = q v B q R B. (II)

N: componente normal ao plano inclinado.

N = P cos = m g cos . (III)

FA: Componente de atrito no ponto A. Na iminência de escorregar:

FA = N FA = m g cos . (IV)

Analisando os pontos da trajetória, conclui-se que a força de atrito atinge intensidade máxima no ponto A, o ponto mais baixo.

Nesse ponto, a resultante centrípeta é:

Rc = FA – Px – Fm Rc – FA + Px + Fm = 0

Substituindo as expressões (I), (II), (III) e (IV) para o caso de iminência de escorregamento, quando a velocidade angular () atinge valor máximo, temos:

m 2R – m g cos + m g sen + q R B = 0 m R 2 + q B R + m g (sen – cos ) = 0. Resolvendo a equação do 2º grau para a variável , vem:

.

Como o valor de deve ser positivo, vem:

.

Resposta da questão 6: Dados: m = 1 kg; B = 100 T; Fx = 4,5 N; v0 = 2 m/s; g = 10 m/s2; ; .

a) Aplicando a regra da mão direita nº 2 (regra do “tapa”), conclui-se que a força magnética sobre o bloco tem a direção do eixo y. Portanto, no eixo x, agem apenas a força dada e a força de atrito.Do gráfico dado, calculamos a intensidade da resultante (R), que tem o sentido do eixo x, pois o movimento é retilíneo.

Calculando a aceleração escalar:

Como a resultante é constante, o movimento é uniformemente variado. Então:

Calculando a velocidade:

b) Calculando o valor algébrico da componente de atrito na direção do eixo x (fx):

Para calcular o valor algébrico da componente de atrito no eixo y (fy), calculemos, primeiramente, a intensidade da força magnética (Fm):

Para obter o sentido dessa força temos que fazer duas hipóteses sobre o sentido do campo magnético, pois o enunciado fornece apenas a direção, que é a mesma do eixo z.

1ª) O sentido do campo magnético é o mesmo do eixo z:Pela regra da mão direita, a força magnética está no sentido positivo do eixo y, como indicado na figura.

Equacionando (algebricamente) o eixo y:

2ª) O sentido do campo magnético é oposto ao do eixo z:Pela regra da mão direita, a força magnética está no sentido negativo do eixo y. Então, a nova equação dos valores algébricos é:

Matematicamente, tudo bem. Porém, vejamos o valor do coeficiente de atrito para essa segunda hipótese: A força de atrito resultante terá intensidade:

Mas:

Esse valor não é encontrado em nenhuma tabela disponível para coeficiente de atrito. Vamos, então, considerar apenas os resultados da 1ª hipótese.

Resposta da questão 7: [C]

A figura abaixo mostra a trajetória, os ângulos e as distâncias pertinentes à solução da questão.

Pela regra da mão direita concluímos que a partícula tem carga negativa.

Observando a figura concluímos que

Porém,

Pela força centrípeta podemos escrever que:

Como o módulo da velocidade não é alterada, tem-se:

Resposta da questão 8: [A]

Resposta da questão 9: ∆t(total) = [(πm)/qB] + L/v.

Resposta da questão 10: a) E = 5,0 . 103 V/m

b) B (máx) ≈ 2,8 . 105T

Resposta da questão 11:

L =

Resposta da questão 12: [A]

Resposta da questão 13: [D]

Resposta da questão 14:

a) V =

b) m = R2 B2 q/2 V

c) 1o Pico: M1 = 1,6 . 1027 kg

íon H+ = 1 u.m.a.

2o Pico: m2 = 3,2 . 1027 kg

íon He+ = 2 u.m.a.

Resposta da questão 15: Dados:

V0 = 0 (partindo do repouso)

∆S = 8.8 mm

E = 105 V/m

e/m = 1,76.1011 C/kg

a) F = m.a q.E = m.a e.E = m.a a = e.E/m = (e/m).E = 1,76.1011.105 = 1,76.1016 m/s2

b) Por Torricelli: v2 = v02 + 2.a.∆S v2 = 0 + 2. 1,76.1016.8,8.103 = 3,098.1014 v =

v = 1,76.107 m/s

c) Fcentrípeta = Fmagnética m.v2/R = e.v.B m.v/R = e.B R = m.v/(e.B) = (m/e).(v/B)

R = = (5,68.1012).(1,76.109) = 0,01 m = 1,0.102 m = 1 cm

Resposta da questão 16: [D]

Resposta da questão 17: a) No sentido do eixo x, com intensidade de 1,6.1017N

b) circular

c) zero