23

Exercício 41: São dadas duas placas planas paralelas à distância de 1 mm. A placa

superior move-se com velocidade de 2 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se

o espaço entre a placas é preenchido com óleo de viscosidade igual a

8 * 10-3 Pa x s, qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?

Exercício 42: Uma câmara de pneu com volume interno igual a 0,09 m³, contém ar a

210C e 30 lbf/pol² (abs). Determine a massa específica e o peso do ar

contido na câmara. Dado: 1 psi = 1 lbf/pol² = 6894,757 Pa (transformação

obtida através do CONVERT

Exercício 43: Numa tubulação escoa hidrogênio (K =1,4 e Rhidrogênio=4122 m²/(s²K).

Sabendo-se que em uma seção (1) da tubulação se tem, p1 = 3 x 105 N/m²

(abs), temperatura de 300C e que ao longo da mesmo o escoamento é

considerado isotérmico (temperatura constante), pede-se especificar a

massa específica do gás na seção (2) onde se tem p2 = 1,5 x 105 N/m²

(abs).

Exercício 44: A distribuição de velocidade do escoamento de um fluido Newtoniano

(aquele que obedece a lei de Newton da viscosidade) num canal formado

por duas placas paralelas e largas é dada pela equação:

2m

h

y1

2

v3v onde vm é a velocidade média do escoamento. O

fluido apresenta viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa x s. Admitindo que

vm = 0,6 m/s e h = 5mm, determine a tensão de cisalhamento, tanto na

parede inferior do canal (y = -h), como no seu plano central (y = 0).

24

Exercício 45: Duas placas planas fixas paralelas de grandes dimensões estão separadas

por um líquido de viscosidade igual a 0,825 Pa x s. Entre elas existe uma

placa quadrada de lado igual a 200 mm, de espessura desprezível, que

desloca-se com uma velocidade de 3 m/s e que se situa a 15 mm da placa

superior e 6 mm da placa inferior, como mostrado a seguir. Admitindo

que o perfil de velocidade é linear em cada par de placas, determine a

força de resistência viscosa que surge na placa quadrada.

N1,232,0006,0

1

015,0

13825,0F

Lvv

AFFF

2

2

21contato21

T

21T

DIAGRAMAS DE VELOCIDADES

v

2

1

v

2

1

25

Exercício 46: Sabendo-se que a figura a seguir é a representação de uma parábola que

apresenta o vértice para y = 30 cm, pede-se:

a) A equação que representa a função v = f(v)

b) A equação que representa a função do gradiente de velocidade em

relação ao y

c) A tensão de cisalhamento para y = 0,1; 0,2 e 0,3 m

a) Determinação da função da velocidade:

Para y = 0, tem-se v = 0, portanto: c = 0

Para y = 0,3 m, tem-se v = 4m/s, portanto: 4 = 0,09a + 0,3b (1)

Para y = 0,3 m, tem-se o gradiente de velocidade nulo, ou seja: 0 = 0,6a + b,

portanto: b = -0,6a, que sendo considerada em (1) resulta: 4 = 0,09a –0,18a .

Portanto: a =-4/0,09 e b = 8/0,3

m em y e s

m em v com yy

0,09

4-v 2

3,0

8

b) Para a determinação do gradiente de velocidade simplesmente deriva-se a função

da v = f(y), portanto:

0,3

8y

0,09

8-

dy

dv

c) Para o cálculo da tensão de cisalhamento evoca-se a lei de Newton da viscosidade,

ou seja:

0 tem se m 0,3 y para

0,9

8 tem se m 0,2 y para

0,9

16 tem se m 0,1 y para

0,3

8 tem se 0 y para

0,3

8y

0,09

8-

dy

dv onde

dy

dv

26

Exercício 47: Determinar a viscosidade para que o sistema a seguir tenha uma

velocidade de deslocamento igual a 2 m/s constante.

Dados: G = 40 kgf; Gbloco = 20 kgf e área de contato entre bloco e fluido

lubrificante igual a 0,5 m².

Como a velocidade é constante deve-se impor que a resultante em cada corpo é igual a

zero.

Para impor a condição acima deve-se inicialmente estabelecer o sentido de movimento,

isto pelo fato da força de resistência viscosa (F) ser sempre contrária ao mesmo.

Para o exemplo o corpo G desce e o bloco sobe.

m²

skgf1060

102

230

kgf F F

FGT

kgf 40TG

3-3-

bloco

5,0

305,02040

º30sen

27

Exercício 48: Um anel de ferro de massa específica 7800 Kg/m³, escorrega dentro de um tubo,

guiado por uma barra cilíndrica ‘fixa’, como mostra a figura. O anel é lubrificado,

seja interna, seja externamente, por um fluido de peso específico 8000 N/m³ e

viscosidade cinemática 10-3 m²/s. Supondo diagrama de velocidades lineares, qual

a velocidade de descida constante do anel?

Dados: D1=10cm; D2= 11cm; D3= 20cm; D4= 21cm e L= 10cm

ASSISTA A SOLUÇÃO DESTE EXERCÍCIO NO YOUTUBE NO CANAL ALEMÃO

MECFLU RESOLVE: https://youtu.be/srKQsgk0c6U

28

1.12. Variação da viscosidade ()

A viscosidade tem comportamento diferente para os líquidos e gases, porém para

ambos praticamente variam só com a temperatura.

1.12.1. Para os líquidos a viscosidade é inversamente proporcional a

temperatura.

Para que possamos entender isto recordamos o escoamento de Couette, onde a camada

superior tenderá, no seu movimento, a arrastar a que com ela se encontra em contato

e lhe é imediatamente inferior. Esta, por sua vez, arrastará a sua inferior adjacente. Em

consequência, a camada de fluido adjacente à parte inferior tenderá a travar a sua

superior adjacente e assim sucessivamente. Esta descrição caracteriza o escoamento de

Couette e pode seu visualizado na página:

http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aula1_unidade1.htm.

Por outro lado, o descrito anterior também demonstra a existência do atrito interno, o

qual origina a viscosidade dos líquidos e estas estão diretamente relacionadas com a

atração entre as moléculas do mesmo e como esta atração diminuem com o aumento

da temperatura, já que as moléculas ficam mais afastadas, podemos afirmar que a

viscosidade dos líquidos diminui com o aumento da temperatura.

A equação 19, que é uma equação empírica, representa uma das possibilidades de

estudarmos a variação da viscosidade em função da temperatura:

200

0 T

Tc

T

Tbaln

equação 19

)C00(0 K 15 273, referência de absoluta atemperatur na eviscosidad

As constantes a, b e c são específicas de cada líquido.

Para a água, temos2: sPa10792,180,4b;94,1a 3 0 e 6,74c;

Outra forma de obter a viscosidade da água e observar a sua variação com a

temperatura é através dos nomogramas a seguir3:

2 Valores extraídos do livro: Mecânica dos Fluidos escrito por Frank M. White – 4a edição – página 17 –

com precisão de %1 3 Ábacos e tabelas extraídos do livro: Manual de medição de vazão, escrito por Gérard J. Delmée – páginas 311 a 315

29

As coordenadas dos líquidos são fornecidas por tabela, sendo que para a água,

temos: x = 10,2 e y = 13,0.

Nota: A viscosidade dos líquidos só sofre influência da pressão para valores muito

grandes, exemplo: atm1_águaatm10000_água 2

30

A tabela acima mostra alguns valores da propriedade d´água em função da temperatura.

1.12.2. Para os gases a viscosidade é diretamente proporcional a temperatura.

No caso dos gases a viscosidade é diretamente proporcional a energia cinética, portanto

com o aumento da temperatura ocorre um aumento da energia cinética e em

consequência da sua viscosidade.

Duas aproximações frequentes para especificação da viscosidade dos gases são obtidas

pela lei de potência e a lei de Sutherland, respectivamente representadas pelas

equações 20 e 214:

n

00 T

T

equação 20

4 Ambas extraídas do livro: Mecânica dos Fluidos escrito por Frank M. White – 4a edição – página 17

31

ST

STT

T0

23

0

0

equação 21

K. 110 = S e 0,7 = n :temos ar, o para K), 273,15 a e(geralment

absoluta atemperatur adeterminad uma a conhecida eviscosidad0

32

Simplificação pratica da lei de Newton da viscosidade é estabelecida quando v = f(y) é

linear, ou seja, para espessuras de fluido lubrificantes pequenas:

v

1 cP = 1 centipoise = 10-2 sPa10m

sN10

cm

sdina 3

2

3

2

1cSt = 1 centistoke = 10-2 cm²/s = 10-6 m²/s

H3086,02cos0069,02cos5928,2616,980g2

equação 5

Onde:

km em altitude H

graus em latitude

s

cmg

2

Síntese do que estudamos no

capítulo 1

33

Capítulo 2 – Hidrostática

2.1. Introdução

Hidrostática que também pode ser chamada de estática dos fluidos, portanto tudo o

que for estudado neste capítulo só valerá se o fluido estiver em repouso.

Além da restrição anterior, consideramos mais duas hipóteses: o fluido é considerado

contínuo, o que garante a existência de matéria por menor que seja a porção do mesmo,

portanto, com esta hipótese passamos a considerar o ponto fluido tendo uma dimensão

elementar (dA) e o fluido será considerado incompressível, sendo que esta hipótese

garante que a massa específica e o peso específico do mesmo são considerados

constantes.

2.2. Conceito de pressão

Evocando o que mencionamos sobre a tensão de pressão, consideramos a pressão média

representada pela equação 22;

Por outro lado, no intuito de ampliar o conceito anterior, consideramos uma superfície

de área A e nesta uma área elementar onde temos atuando uma força normal elementar

figura 4).

Figura 4

A

Fp equação 22

Onde normalFF

dApFdA

dFp N

N

34

Notas:

1. Podemos observar pela condição do fluido estar em repouso, que ao

considerarmos um ponto fluido, esta também estará em repouso e isto

demonstra que a pressão é uma grandeza escalar já que não depende da

direção (figura 5 e 6)

Figura 5 Figura 6

2. Se a pressão for constante, resulta: ApdApdApFN

3. Devemos sempre saber que pressão é diferente de força, mesmo porque

mesmas forças podem resultar em pressões diferentes (figura 7)

Figura 7

Em (a) temos uma pressão de 10 Pa e em (b) uma pressão de 20 Pa, portanto

uma mesma força de 100 N originando pressões diferentes e isto prova que

força é diferente de pressão.

35

2.3. Escala efetiva

É aquela que adota como zero a pressão atmosférica local, portanto nesta escala

podemos ter pressões negativas (menores que a pressão atmosférica), nulas (iguais a

pressão atmosférica) e positivas (maiores que a pressão atmosférica).

2.4. Pressão em um ponto fluido pertencente a um fluido continuo,

incompressível e em repouso.

Considerando um ponto fluido como sendo um dA (hipótese do continuo), podemos

afirmar que sobre ele existe um volume elementar dV, o qual pode ser determinado por:

dV = dA x h,

Existindo um volume dV existe também um peso elementar dG, que pode ser

determinado pelo peso específico (constante pela hipótese do fluido incompressível):

dG = x dV = x dA x h.

Dividindo os dois membros por dA não alteramos a igualdade e chegamos a equação 23

que define a pressão em um ponto fluido na escala efetiva:

hpdA

hdAp

dA

dG

equação 23

pressão de carga de denominadoh