Exercicio 3

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mecanismo haste disco

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  • 1

    Considere o mecanismo apresentado na Figura a seguir composto pela barra OG e pelo

    disco S. Este brao gira em torno do eixo vertical com uma velocidade angular constante. O disco S solidrio ao brao e apia-se numa superfcie horizontal fixa no ponto de contato

    C e rola sem escorregar. Determine o que se pede abaixo.

    (a) Determine a acelerao angular do disco S;

    (b) Determine a velocidade do ponto A;

    (c) Determine a acelerao do ponto A

    G

    C

    A

    3 r

    r

    Disco S

    0

    Figura 1 Mecanismo de rotao composto pela barra OG e pelo disco S.

    Considere as mudanas no sistema de referncia, conforme as Figuras 2, 3 e 4 e as

    respectivas matrizes de transformao associadas a estas mudanas.

    S Disco

    OG Brao

    Fixo) (Sist. ),,(

    )1(

    ),,(

    )2(

    ),,(

    )3(

    ),,( zyxzyxzyxzyxSRQF

  • 2

    0

    G

    x

    x

    y

    y

    Figura 2 Mudana no sistema de referncia QF .

    Observao #1: Note que a rotao se d no sentido trigonomtrico (positivo), pois o

    eixo zz est saindo do plano do papel;

    Observao #2: O problema j estabelece uma velocidade angular constante na direo vertical. Portanto esta rotao deve obedecer seguinte relao =& .

    Matriz de transformao para QF :

    =

    1000cos0cos

    sensen

    T QF

    0

    G

    C

    A

    x

    z

    x

    z

    Figura 3 Mudana no sistema de referncia RQ .

  • 3

    Observao: Note que a rotao se d no sentido negativo (contrrio ao sentido

    trigonomtrico), pois o eixo yy est entrando no plano do papel.

    Matriz de transformao para RQ :

    importante observar que existe uma relao geomtrica entre e r , dada por

    rrtg

    3

    = . Portanto...

    = 435,183 rrtgarc

    . Para efeito de simplificao, ser

    utilizado durante o desenvolvimento da soluo. importante ter em mente que constante pois o disco nunca perde contato com a superfcie (ponto C). Assim sendo...

    =

    =

    cos0010

    0cos

    )(cos0)(010

    )(0)(cos

    sen

    sen

    sen

    senT RQ

    A

    S

    G

    y

    z

    z

    y

    C

    Figura 4 Mudana no sistema de referncia SR .

    Observao: Note que a rotao se d no sentido negativo (contrrio ao sentido

    trigonomtrico), pois o eixo xx est saindo do plano do papel.

  • 4

    Matriz de transformao para SR :

    =

    =

    cos0cos0

    001

    )(cos)(0)()(cos0

    001

    sensen

    sensenT SR

    Soluo analtica:

    Item (a): O melhor sistema para se obter a acelerao angular do disco

    ),,( zyxR . Portanto, deve-se determinar, pela ordem, SR e SR .

    A determinao da velocidade linear do ponto G ( Gv ) importante para determinao

    da velocidade de outros pontos do disco que sero calculadas a partir dela. Gv ser obtida a

    partir da velocidade linear do ponto 0 ( Ov ) embarcado em ),,( zyxR e representado em ),,( zyxR .

    GlRRG

    ROR

    RO

    RG

    R vrvv Re~ ++=

    =

    ==

    000

    000

    dtdr

    dtdv O

    FO

    F logo...

    =

    000

    OR v

    Conforme destacado anteriormente, no existe velocidade angular quando se passa do

    sistema ),,( zyxQ para o sistema ),,( zyxR , pois constante. Portanto...

    QQ

    QF

    RQQQ

    QR

    Q

    ==

    =

    +

    =+= 0

    0

    000

    00

  • 5

    Aplicando a matriz de transformao a RQ , obtm-se RR .

    =

    ==

    cos00

    0

    cos0010

    0cos sen

    sen

    senT R

    QQRR

    R

    De posse de RR e de acordo com o formulrio, obtm-se a matriz RR~ .

    =

    000cos

    0cos0~

    sensenR

    R

    Observando a Figura 3, obtm-se

    =

    00

    3 rrG

    RO

    Como o ponto G um ponto de ),,( zyxR ,

    =

    000

    Re GlRR v

    De posse de todos os termos, obtm-se GR v .

    =

    ==

    0cos3

    0

    00

    3

    000cos

    0cos0~

    r

    r

    sensenrv G

    ROR

    RG

    R

    Para determinao de S , utiliza-se a expresso para o clculo da velocidade do ponto de contato C a partir de Gv embarcado em ),,( zyxS e representado em ),,( zyxR .

    ClRSC

    RGS

    RG

    RC

    R vrvv Re~ ++=

  • 6

    Obedecendo condio de no deslizamento...

    =

    000

    CR v .

    Conforme calculado anteriormente...

    =

    0cos3

    0rvGR .

    Considere um vetor genrico

    =

    zSR

    ySR

    xSR

    SR

    que d origem uma matriz genrica

    =

    0

    0

    0~

    xSR

    ySR

    xSR

    zSR

    ySR

    zSR

    SR

    .

    Observao: Estes termos sero as incgnitas da equao.

    Observando a Figura 3, obtm-se

    =

    rrC

    RG 0

    0.

    Como o ponto C um ponto de ),,( zyxS ,

    =

    000

    Re ClRS v

    De posse de todos os termos, monta-se a equao para CR v .

    +

    +

    =

    ++=

    000

    00

    0

    0

    0

    0cos3

    0

    000

    ~Re

    rr

    vrvv

    xSR

    ySR

    xSR

    zSR

    ySR

    zSR

    ClRSC

    RGS

    RG

    RC

    R

  • 7

    Da primeira equao... ySRr =0 , portanto 0 =ySR .

    Da segunda equao... xSRrr += cos30 , portanto cos3=xSR .

    Note que a componente zSR indeterminada para este sistema. O que no quer dizer

    que ela seja nula. Para determinao dessa componente, faz-se novamente o clculo de Gv s

    que desta vez embarcado no sistema ),,( zyxS , porm representado em ),,( zyxR , conforme abaixo.

    GlRSG

    ROS

    RO

    RG

    R vrvv Re~ ++=

    Conforme calculado anteriormente...

    =

    0cos3

    0rvGR

    Conforme calculado anteriormente...

    =

    000

    OR v

    De posse dos resultados encontrados para xSR e ySR . Monta-se o vetor

    =

    zSR

    SR

    0

    cos3 que d origem matriz

    =

    0cos30cos30

    00~

    zS

    RzS

    R

    SR .

    Conforme calculado anteriormente...

    =

    00

    3 rrG

    RO .

    Como o ponto G um ponto de ),,( zyxS ,

    =

    000

    Re GlRS v

  • 8

    De posse de todos os termos, monta-se a equao para GR v .

    +

    +

    =

    ++=

    000

    00

    3

    0cos30cos30

    00

    000

    0cos3

    0

    ~Re

    rr

    vrvv

    zSR

    zSR

    GlRSG

    ROS

    RO

    RG

    R

    Da segunda equao... zS

    Rrr 3cos3 = , portanto cos=zSR . As demais equaes no fornecem informaes relevantes.

    Por fim, monta-se o vetor

    =

    cos0cos3

    SR .

    De posse de SR , determina-se a acelerao angular S do disco S.

    ( ) SRSRRRSRSR dtd & +== ~

    Analisando o resultado encontrado para SR , verifica-se que SR& nulo, pois a

    velocidade angular constante e tambm constante pois o disco nunca perde contato com a superfcie (ponto C). Assim sendo...

    =

    =

    =

    ===

    0coscos3

    0

    cos0cos3

    000cos

    0cos0

    ~

    222

    sen

    sensen

    dtd

    SR

    RR

    SR

    SR

  • 9

    Item (b): Para determinao de Av , ser utilizada a velocidade linear do ponto G

    ( Gv ), embarcado no sistema ),,( zyxS , porm representado em ),,( zyxR , conforme abaixo.

    AlRSA

    RGS

    RG

    RA

    R vrvv Re~ ++=

    Conforme calculado anteriormente...

    =

    0cos3

    0rvGR .

    A partir do vetor SR , de acordo com o formulrio, determina-se a matriz SR~ .

    =

    0cos30cos30cos0cos0

    ~

    S

    R

    Considera-se uma rotao do ponto A em torno do ponto G, conforme Figura 4. A formulao rigorosa no permite a integrao de velocidades angulares. Porm, como SR , que equivale a & , escrito no SR ),,( zyxR , na verdade s possui uma componente na direo x , o ngulo pode ser determinado integrando a componente

    xSRR no tempo.

    Portanto....

    SRRR

    RS

    R += RRSRSRR =

    Mas SR e RR j foram obtidos anteriormente. Portanto

    =

    ==

    00

    cos3

    cos0

    cos0cos3

    sensen

    RR

    SR

    SRR

  • 10

    Procedendo a integrao de xS

    RR no tempo, obtm-se

    ( ) 1cos3 Ctsen += ,

    tal que 1C uma constante de integrao associada s condies iniciais do problema. Para

    simplificar este estudo, o ngulo a ser considerado ser chamado de . Portanto...

    =

    cos

    0

    rsenrr A

    RG

    Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS ,

    =

    000

    Re AlRS v .

    De posse de todos os termos, obtm-se AR v .

    +

    =

    =

    +

    +

    =

    =++=

    senrrrsenr

    rsenrr

    vrvv AlRSA

    RGS

    RG

    RA

    R

    cos3coscos3cos3

    cos

    000

    cos

    0

    0cos30cos30cos0cos0

    0cos3

    0

    ~Re

    Item (c): Para determinao de Aa , ser utilizada a acelerao linear do ponto G

    ( Ga ), embarcado no sistema ),,( zyxS , porm representado em ),,( zyxR , conforme abaixo.

    AlRSAl

    RSS

    RA

    RGS

    RS

    RG

    RA

    R avraa ReRe~2~~

    2 ++

    ++=

  • 11

    Considerando a Figura 5 e lembrando que o ponto G descreve uma trajetria circular em

    torno do ponto 0 com raio cos3 r , para este movimento no plano (x, y), tem-se:

    0

    G

    x

    y

    v G

    a T = 0

    a N

    cos3 r

    Figura 5 Velocidade e acelerao do ponto G no sistema de referncia ),,( zyxQ :

    Observao: A ttulo de curiosidade, observe que Gv s possui componente na

    direo de y (tangente trajetria). Logo

    =

    0cos3

    0rvGQ . Alm disso yy ,

    portanto GR

    GQ vv = encontrado anteriormente.

    acelerao normal do ponto G: ( ) cos3cos3 222 rrraN === acelerao tangencial do ponto G: ( ) cos3cos3 rrraT === &&&

    Como constante, 0=& . Logo 0cos3 == raT &

    Portanto...

    =

    00

    cos3 2

    raG

    Q

  • 12

    Aplicando a matriz de transformao a GQ a , obtm-se G

    R a .

    =

    ==

    cos30

    cos3

    00

    cos3

    cos0010

    0cos

    2

    222

    senr

    rr

    sen

    senaTa G

    QQRG

    R

    A partir de SR , determina-se a matriz 2~SR .

    =

    =

    =

    2222

    22

    2222

    2222

    2222

    2222

    cos90cos30cos100cos30cos

    cos90cos30coscos90cos30cos

    ~ 2S

    R

    A partir do vetor SR calculado anteriormente, obtm-se a matriz SR~ .

    +

    =

    00coscos3000

    coscos300~

    222

    222

    sen

    sen

    SR

  • 13

    Efetuando o clculo parcial SR

    SR ~~ 2 +

    =

    =

    +

    +

    +

    =+

    222

    22

    22222

    222

    222

    2222

    22

    2222

    cos90cos0cos100

    coscos60cos

    00coscos3000

    coscos300

    cos90cos30cos100cos30cos

    ~~ 2

    sen

    sen

    sen

    sen

    SR

    SR

    Conforme calculado anteriormente...

    =

    cos

    0

    rsenrr A

    RG .

    Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS ,

    =

    000

    Re AlRS v e

    =

    000

    Re AlRS a .

    De posse de todos os termos, obtm-se AR a .

    =

    =

    +

    +

    =

    =

    ++=

    coscos9cos3cos10

    coscoscoscos6cos3

    cos

    0

    cos90cos0cos100

    coscos60cos

    cos30

    cos3

    ~~

    222

    22

    22222

    222

    22

    22222

    2

    22

    2

    rsenrsenr

    senrrr

    rsenr

    sen

    sen

    senr

    r

    raa ARGS

    RS

    RG

    RA

    R

  • 14

    Soluo Grfica

    Item (a):

    H duas velocidades angulares envolvidas no movimento do disco S. Estas velocidades

    angulares correspondem aos vetores Q e SR , conforme Figura 6. Observe que Q est na direo zz pois h uma rotao associada esta velocidade

    angular nesta direo. J SR , est posicionado num plano perpendicular ao disco S, passando pelo ponto G, ou seja, na direo negativa de x , de acordo com o sentido de rotao do disco.

    0

    G

    C

    A

    x

    z

    x

    z

    = QQ

    SRR

    Figura 6 Velocidades angulares QQ e SRR responsveis pelo movimento do disco S.

    Para determinao do vetor acelerao angular do disco S ( S ), necessrio obter o vetor velocidade angular do disco S ( S ). possvel obter S a partir de uma composio vetorial entre Q e SR .

    Para derminar S , conveniente que todos os vetores estejam no mesmo sistema de referncia. Par isso, adotou-se o SR ),,( zyxR . O vetor S ser obtido a partir da seguinte composio

    SRRR

    RQQ

    RS

    R ++=

  • 15

    Mas... 0=RRQ e RQ = , portanto...

    SRRR

    RS

    R +=

    Lembrando ainda que para efetuar a soma vetorial grfica, deve-se fazer coincidir as

    origens dos vetores RR e SRR e fazer a decomposio do vetor R nas direes x e

    z , conforme Figura 7.

    0 x

    z

    x

    z

    SRR

    = RQ cos=zRR

    senxRR =

    Figura 7 Organizao dos vetores para a soma vetorial.

    Desta forma, tem-se o vetor R escrito no SR ),,( zyxR .

    =

    cos0sen

    RR

    Para determinao de SR a partir de RR e SRR , necessrio introduzir o conceito

    terico de eixo de rotao. Pois o vetor SR est exatamente sobre eixo de rotao do

    sistema.

  • 16

    Para definir o eixo de rotao do sistema, necessrio identificar dois pontos de

    velocidade nula do sistema como um todo. Estes dois pontos definem uma reta denominada

    eixo de rotao. Para este caso, tem-se o ponto 0 (centro instantneo de rotao) e o ponto C

    (ponto de contato) como pontos de velocidade nula. Portanto, SR est sobre o eixo de

    rotao que est sobre a reta OC que coincide com o eixo xx , conforme Figura 8.

    0 x

    z

    x

    z

    SRR

    = RR

    = RR

    senxRR =

    SR

    cos=zRR

    Figura 8 Composio do vetor velocidade angular do disco S SR .

    Observe o tringulo retngulo formado pelos vetores SR , SRR e zRR . Utilizando

    o ngulo , possvel escrever a seguinte relao

    SRR

    sen =

    De onde se conclui que senSRR

    = . Portanto...

    =

    00

    sen

    SRR .

  • 17

    De posse dos vetores RR e SRR , possvel determinar SR , conforme Figura 9.

    0

    x

    z

    x

    z

    cos=zRR

    SR

    xRR

    SRR

    Figura 9 Detrminao de SR .

    Algebricamente, tem-se

    +=

    +

    =+=

    cos0

    00

    cos0

    sensensensen

    SRRR

    RS

    R

    Este resultado difere do resultado terico.

    =

    cos0cos3

    SR (Resultado Terico)

    Porm aps uma rpida manipulao dos termos trigonomtricos da componente x ,

    encontra-se o mesmo resultado.

    ( ) ( )

    cos3

    3

    costancoscos1 22 =====+

    rrsensen

    sensensen

  • 18

    Portanto...

    =

    cos0cos3

    SR

    De posse de SR , determina-se a acelerao angular S do disco S.

    ( ) SRSRRRSRSR dtd & +== ~

    Analisando o resultado encontrado para SR , verifica-se que SR& nulo, pois a

    velocidade angular constante e tambm constante pois o disco nunca perde contato com a superfcie (ponto C). Assim sendo...

    =

    =

    =

    ===

    0coscos3

    0

    cos0cos3

    000cos

    0cos0

    ~

    222

    sen

    sensen

    dtd

    SR

    RR

    SR

    SR

    interessante observar que quando se faz o produto vetorial de RR por SR ,

    natural que aparea uma componente negativa na direo y , pois ambos os vetores pertencem ao plano zx . A justificativa para ser negativa reside no fato de que para ir de

    RR a SR , pela regra da mo direita, tem-se um vetor saindo do plano do papel, enquanto o eixo y est entrando no plano do papel.

  • 19

    Item (b):

    Para determinao do vetor velocidade do ponto A, utiliza-se novamente o conceito de

    eixo de rotao. Decompe-se o vetor AO r em AAAOAO rrr += . Sendo que o ponto A a projeo do ponto A sobre o eixo de rotao. Portanto AERAA rr = .

    Assim sendo, pode-se determinar a velocidade do ponto A a partir do eixo de rotao,

    conforme a seguir.

    AlRSA

    RERS

    RER

    RA

    R vrvv Re~ ++=

    Note que o termo associado rotao no contempla AO r , pois SR e AO r so vetores colineares e portanto seu produto vetorial nulo.

    De acordo com a Figura 10, observa-se que o vetor AQER r ser dado por

    =

    cos200

    rr A

    QER

    0

    G

    C

    A

    x

    z

    x

    z cos2 rr AQER =

    SR

    A

    xAR

    ERr

    zAR

    ERr

    Figura 10 Determinao do vetor posio da projeo do ponto A sobre o eixo de rotao.

  • 20

    Porm, este vetor est escrito em ),,( zyxQ . necessrio decomp-lo nas direes x e z de ),,( zyxR .

    =

    ==

    2cos20

    cos2

    cos200

    cos0010

    0cos

    r

    senr

    rsen

    senrTr A

    QER

    QRA

    RER

    A partir do vetor SR , de acordo com o formulrio, determina-se a matriz SR~ .

    =

    0cos30cos30cos0cos0

    ~

    S

    R

    O eixo de rotao possui rotao no plano yx porm 0=ERR v .

    Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS , 0Re =AlRS v .

    A equao para AR v se resume a

    +=

    =

    ==

    0cos6cos2

    0

    cos20

    cos2

    0cos30cos30cos0cos0

    ~

    32

    2

    rsenr

    r

    senrrv A

    RERS

    RA

    R

    Novamente possvel fazer uma anlise acerca do resultado encontrado. Quando se faz

    o produto vetorial de SR por ARER r , natural que aparea uma componente positiva na

    direo y , pois ambos os vetores pertencem ao plano zx . A justificativa para ser positiva reside no fato de que para ir de S

    R a ARER r , pela regra da mo direita, tem-se um vetor entrando no plano do papel, ou seja, no sentido positivo do eixo y .

  • 21

    O resultado encontrado difere daquele encontrado na teoria. Neste ponto, importante

    observar que este estudo foi feito para este instante (quando o ponto A o ponto superior do

    disco S). O estudo na teoria foi feito para uma posio do ponto em qualquer instante.

    +

    =

    senrrrsenr

    v AR

    cos3coscos3cos3

    cos (Resultado terico)

    Para comparar os resultados, basta fazer 0= que fornece 0= sen e 1cos = . Portanto...

    =

    0cos6

    0 rv AR

    Ainda assim, difere do resultado encontrado na soluo grfica. Porm aps uma rpida

    manipulao dos termos trigonomtricos da componente y , encontra-se o mesmo resultado.

    rrsen

    3cos

    tan == cos3 rsenr = senr3cos =

    ( )( )[ ] ( ) cos6333cos2133cos2 cos3coscos2cos6cos2 2222232

    rsensenrsensenr

    senrrsenr

    =+=+==+=+

    Portanto...

    =

    0cos6

    0 rv AR .

  • 22

    Item (c):

    Para determinao da acelerao do ponto A ( AR a ), utiliza-se raciocnio anlogo

    quele empregado no clculo de AR v . Assim sendo, tem-se a seguinte relao

    AlRSAl

    RSS

    RA

    RERS

    RS

    RER

    RA

    R avraa ReRe~2~~

    2 ++

    ++=

    Se 0=ERR v , ento 0=ERR a

    Como o ponto A um ponto de ),,( zyxS , 0Re =AlRS v e 0Re =AlRS a .

    A equao para AR a se resume a

    =

    =

    =

    =

    =

    +=

    42222

    4232

    42222

    324232

    2222

    22

    22222

    cos18cos20

    cos12cos4

    cos18cos20

    cos2cos12cos2

    cos20

    cos2

    cos90cos0cos100

    coscos60cos

    ~~ 2

    rsenr

    rsenr

    rsenr

    senrrsenr

    r

    senr

    sen

    sen

    ra AR

    ERSR

    SR

    AR

    O resultado encontrado novamente difere daquele encontrado na teoria.

    =

    coscos9cos3cos10

    coscoscoscos6cos3

    222

    22

    22222

    rsenrsenr

    senrrra A

    R (Resultado terico)

  • 23

    Fazendo 0= sen e 1cos = , tem-se

    =

    222

    222

    cos9cos30

    coscos9

    rsenr

    senrra A

    R

    Ainda assim, difere do resultado encontrado na soluo grfica. Porm aps uma rpida

    manipulao dos termos trigonomtricos das componentes x e z , encontra-se o mesmo

    resultado.