Exercicio 2 Lajes vigas
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Exercício 2
Setembro 2009
DADOS GERAIS
Concreto fck = 25MPa = 2,5kN/cm2
fcd =2,5/1,4 = 1,785kN/cm2
Aço CA50 fyd=50/1,15= 43,478kN/cm2
Projeto de vigas
Identificar os dados iniciais. :
• classes do concreto e do aço e o cobrimento;• forma estrutural do tabuleiro, com as dimensões preliminares em planta;• distância até o andar superior;• reações de apoio das lajes;• cargas das paredes por metro quadrado;• dimensões das seções transversais das vigas, obtidas num pré-dimensionamento.
Em seguida, devem ser considerados: esquema estático, vãos e dimensões da seção transversal.
600
15 585 15
450
250
100
15
435
15
235
92.5
V1
V2
V3
V4
V5
P1 P2
P3 P4
L1
L2
L3
Sistema estrutural proposto
600
15 585 15
450
250
100
15
435
15
235
92.5
V1
V2
V3
V4
V5
P1 P2
P3 P4
L1
L2
L3
7,6 kN/m
13,5kN/m
4,78kN/m 4,78kN/m
8,25kN/m
6,25kN/m
9,38kN/m
Reações das lajes nas vigas
Pré-dimensionamento
• Largura das vigas bw = 15 cm
• Altura das vigas ( h = l/10)
• V1, V2 e V3 15/60
• V4 e V5 15/70
• Pilares adotado 20/50
• Cobrimento = 2.5cm
Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das vigas
• pp = bw . h. γc ( KN / m)
• bw - largura da viga
• h - altura da viga
• γc - peso específico do concreto
• γ c = 25,00 KN/m3
• Pp = 0,15 . 0,60 . 25 =2,25kN/m
• Pp = 0,15 . 0,70 . 25 = 2,625 kN/m
Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das paredes
• P = esp . hp . γbloco
• esp - espessura da parede acabada
• hp - altura da parede
• γbloco - peso específico do bloco
• Tijolos furados gbloco = 13.00 KN / m3
• Pp = 0,15 . 2,8 . 13 = 5,46 kN/m
• Pp = 0,15 . (2,8 -0,6) . 13 = 4,29 kN/m
Calculo do carregamento das vigas
• Viga V1 15/60
Pp = 2,25 kN/m
Ppar = 5,46kN/m
Reação da laje = 7,6kN/m
5,95P1 P2
• Viga V1 15/60
• q = 7,6+5,46+2,25 =15,31kN/m
5,95
15,31kN/m
P1P2
Ra=Rb= 46kN Mmax=67,75kNm
• Viga V2 15/60
• q = 13,5+9,38+5,46+2,25 =30,6 kN/m
6,00m
30,6kN/m
V4 V5
Ra = Rb 91,8kN Mmax = 137,7kNm
• Viga V3 15/60
• q = 6,25+8,25+5,46+2,25 =22,21 kN/m
5,95m
22,21kN/m
P3 P4
Ra=Rb = 66,07kN Mmax= 98,3kNm
• Viga V4 15/70
• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m
• q2 = 4,78+5,46+2,625 = 12,9 kN/m
6,65m
8,1kN/m
P3 P1
RaV2 =91,8kN
12,9kN/m
2,325m
Ra = 93,4kNRb=73,02kNMmax=196kNm
• Viga V5 15/70
• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m
• q2 = 5,46+4,78+2,625 = 12,9 kN/m
6,65m
8,1kN/m
P4 P2
RbV2 =91,8kN
12,9kN/m
2,325m
Ra = 93,4kN Rb =73,02 kN
Mmax = 196kNm
Dimensionamento a flexão simples
• µ= Md/0,85.fcd.bw.d2 < µ lim
• KY=1-(1-2µ)1/2 < KYlim
• Para o aço CA 50 µ lim = 0,376
• KYlim= 0,503
• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd• As = ρ.bw .d
Forma da viga biapoiada
V5 15/70
P3 P1
50 50615
Esforços e diagramas
• Viga V5 15/70• Mk = 196 kNm
• Vk eixo=93,4 kN
• Md =1,4 . 19600 = 27440 kNcm
• Vdeixo = 1,4. 93,4= 130,8kN
• Vdface=130,8 -1,4.8,1.0,50/2 = 128kN
Diagramas
93,4 kN74,6
17,23 73
196 kN.m
305,4
Dimensionamento V5 15/70momento maximo com armadura simples
• µ = Md/0,85.fcd.bw.d2
• µ =27440/0,85.1,78.15 .632 =0,3046 < µ lim
• KY=1-(1-2µ)1/2 =1-(1-2.0,3046)1/2 =0,3748 < KYlim
• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd =0,85.1,78.0,3748/43,48 = 0,0130>0,0015
• As = ρ.bw .d = 0,0130.15.63 = 12,32cm2
• Usar 4 ø 20mm ou 7 ø 16
• Adotado 7 ø 16 Asef =14cm2
Detalhamento transversal
• Calculo de eh
• Adotado ev=2cm• Aspele=010%AC,alma (por face)• Aspele=010%.15.70 =
1,05cm2/por face • Usar 2x 6 ø 5mm
15 2,5 2,5 0,5 0,5 3 1,62,1 2,0;1,6;1,9
2eh cm
15
70
Força cortante VRd2
• VRd2= 0,27αv fcd bw d
• αv =(1-fck/250) MPa = (1-25/250) = 0,9
• VRd2 =0,27.0,9.1,78.15.63 =408,75kN
• VSd,face = 128kN < VRd2 = 408,75kN →
• Bielas resistem!
Força cortante VSd,min relativa a armadura transversal mínima
• VSd,mín = Vsw,mín + Vc• VSd,mín = ρswmin 0,9.bw. d fywdVSd,mín = 0,001026. 0,9.15. 63.43,48 =37,9kN• (ρwmin dado na Tabela) fctd = fctkinf/γcFctkinf =0.7fctmFctm= 0,3fck2/3
Fctm=0,3.252/3=2,56 MPaFctkinf = 0,7. 2,56 = 1,8MPaFctd = 0,18 /1,4 = 0,128kN/cm2
Vc = 0,6 fctd bw d = 0,6 0,1282 15 63 = 72,7kN⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅• Resulta:• VSd,mín = 37,9+ 72,7 = 110,60 kN
• VSd,face = 128kN > V = 110,6 kN asw > asw⇒ min
Trecho com armadura transversal maior que a mínima (a)
• 128 - 8,7 a =110,6 • a = 2m
130,8KN 104,38
24,1 102,2
φ5 c/ 25φ5 c/ 18
2,325 4,325
Armadura transversal junto ao apoio
• Força cortante a d/2 da face do apoio:• VSd,d / 2 = VSd,face – q.d/2• VSd,d / 2 = 128 –1,4 . 8,1 .0,63/2 = 124,4 kN• Vsw= VSd,d/2 – Vc = 124,4 – 72,7 = 51,7kN• asw = Asw/s = Vsw/0,9. d. fywd • = 51,7 / 0,9 . 63 . 43,48• = 0,0210cm2/cm = 2,10cm2/m• Asw/s = 2 . 0,196/s = 2,10 (estribos de 2 ramos)• S=0,18m• Pode-se adotar:• φ5 c/ 18 (2,17 cm2/m)
Armadura transversal mínima
asw,mín = Asw,min/s = ρsw,min . bw = 0,001026 . 0,15 =
asw,min = 0,0001539m2/m = 1,54cm2/m• Utilizando-se estribos de dois ramos, tem-se:• asw,min = Aswmin/s = 2 . 0,196/s =1,54 = 0,25m• Pode-se adotar:• φ5 c/ 25 (1,60 cm2/m)• Diâmetro dos estribos• φt,mín = 5mm• φt,máx = 0,1 bw = 15mm⋅• Adotando φt = 5 mm, são satisfeitas as duas
condições.
Espaçamento máximo longitudinal dos estribos
Se VSd ≤ 0,67 VRd2, então smáx= 0,6 d ≤ 300 mm.
• Se VSd > 0,67 VRd2, então smáx= 0,3 d ≤ 200 mm.
• VSd face/VRd2 = 128/408,75 = 0,31
• VSd face = 0,36 VRd2 < 0,67 VRd2
• Portanto, smax= 0,6 d = 0,6.63 = 37cm ≤ 30 cm
Número de ramos dos estribos
Se VSd ≤ 0,20 VRd2, então st,máx = d ≤ 800 mm.Se VSd > 0,20 VRd2, então st, máx = 0,6d ≤ 350 mm.VSd,face = 0,31 V⋅ Rd2 > 0,20 V⋅ Rd2
Portanto, smax = 0,6.d = 0,6. 63 = 37cm < 35cmPara estribos de dois ramos:st = bw - 2 c- øt = 15 – 2. 2,5 - 0,5 = 9,5cm <st max = 35cm 2 ramos
Comprimento de ancoragem• Resistência de aderência• fbd = η 1 η ⋅ 2 η ⋅ 3 fctd⋅• η 1 = 2,25 (CA 50 barras nervuradas)• η 2 = 1,0(situação de boa aderência)• η 3 = 1,0(para 32mm)• fctd =0,128kN/cm2
• fbd = 2,25 .1 .1 . 0,128 =0,288kN/cm2
• Comprimento de ancoragem básico• lb = φ fyd /4 fbd• lb = 1,6 . 43,48 / 4 . 0,288 = 60cm
Ancoragem no apoio• Dimensão mínima do apoio
• lbmin ≥ 60mm = 6cm
• ≥(r +5,5 φ)
• = 4 φ + 5,5 φ = 9,5 .1,6
• =16cm
• l b,disp = t - c = 50 - 2,5 = 47,5cm ≥ 16cm ok
• Na direção perpendicular ao gancho deve-se ter cobrimento c ≥ 7cm.
Esforço a ancorar e armadura calculada para tensão fyd
Rs = (al/d).Vd,face
• al/d = Vd,face / 2( Vd,face - Vc)
• al/d= 128 / 2(128 - 72,7 ) = 1,15 > 0,5 OK!
• Rs = 1,15. 128 = 148 kN
• Ascal = Rs/fyd = 148/43,48 = 3,40cm2
Armadura necessária no apoio• Impondo lbnec=lbdisp e Asef=Asnec
• lbnec = α1 lb As,calc /As,ef ≥ lbmin
• 47,5 = 0,7 . 60. 3,40/Asnec
• Asnec= 3,01cm2
• Como Mapoio = 0 Asapoio ≥1/3 As vão = (1/3)12,32 = 4,11cm2
• É necessário prolongar duas barras até o apoio 3ø16mm
• Asapoio = 6,0cm2
Armadura necessária no apoio
• lbmin ≥ 0,3lb, 10ø e 100mm
• lbmin ≥ 0,3.60=18cm, 10.1,6 =16cm e 10cm
42,5cm
8.1,6=13cm
¶.8.1,6/4=10cm
Detalhe da armadura longitudinal
196 kN.m
3,5m
2,5m
1,5m
1,0m
0,45m
3ø16 - 760
2ø16 - 530
2ø16 - 680
2525
710
Decalagem da armadura longitudinal
• Como foi visto anteriormente, três barras devem ser prolongadas até os apoios.
• Portanto, deve ser calculado, somente, o comprimento das barras restantes
• Como As,ef = 14cm2 > As,calc = 12,32cm2 , o comprimento de ancoragem necessário é menor que lb, porém não pode ser menor que l b,mín , dado pelo maior dos valores:
• l b,mín ≥ 0,3lb = 0.3 .60 = 18 c m• ≥ 10ø =10 .1,6 = 16cm ≥ 100mm• lbnec = α1 lb Ascalc/As ef = 1. 60 . 12,32/14 = 55 cm >18cm
Decalagem da armadura longitudinal
• Deslocamento al
• Como al/d = 1,15
• al = 1,15 . 63 = 73 cm
• Comprimento da 4ª e 5ª barra
• L4e ≥ 150+al+10ø = 150 +73 +10.1,6 = 239
• ≥ 100+al+lbnec =100 + 73 + 55 = 228
• L4d ≥ 350+al+10ø = 350 +73 +10.1,6 = 439
• ≥ 250+al+lbnec =250 + 73 + 55 = 378
• L4= L4e+ L4d = 239 +439 = 678 = 680cm
Decalagem da armadura longitudinal
• Comprimento da 6ª e 7ª barra
• L6e ≥ 100+al+10ø = 100+73+10.1,6 = 189
• ≥ 0+al+lbnec =0 + 73+55 = 128
• L6d ≥ 250+al+10ø = 250+73+10.1,6 = 339
• ≥ 0+al+lbnec =0 + 73+55 = 128
• L6 = L6e+ L6d = 189+339 = 528 = 530cm
Distribuição transversalO espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais,
medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
• a) na direção horizontal (ah):• 20mm• diâmetro da barra, do feixe ou da luva;• 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado
graúdo
• na direção vertical (av):• 20 mm;• diâmetro da barra, do feixe ou da luva• 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado
graúdo.
N3- 2φ 16 - 680
N4 - 3φ 16 -760
N1 – 2x7 φ 5 - 710
710
25
2,5
70
5N4 c/16 18N4 c/25 5 N4 c/16
10
65
N5Φ 5 -160cm
V5 15/70
P3 P1
50 50615
N2- 2φ 16 - 530
13φ c/18 18 φ c/25est φ 5
Lista de barras
Numero Φ (mm) Quant. Comp. Unitário (m)
Comp. Total
(m)
N1 5 14 7,10 99,4
N2 16 2 5,30 10,6
N3 16 2 6,80 13,6
N4 16 3 7,60 22,8
N5 5 31 1,60 49,6