INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO

Disciplina: Física I

Operação com vectores

Ficha 01

1. Dois vectores , cujos os modulos são de 6 e 9 unidades de comprimento, formam um

ângulo de a) 60⁰, b) 90⁰, c) 150⁰ e d) 180⁰. Determine o módulo da soma desses

vectores e a direcção do vector soma com relação ao vector menor.

2. Dois vectores formam um ângulo de 110⁰. Um dos vectores é de 20 unidades de

comprimento e faz um ângulo de 40⁰ com o vector resultante da soma dos dois.

Determine o módulo do segundo vector e do vector soma.

3. Dois vectores cujos módulos são de 10 e 8 unidades de comprimento, formam um ângulo

de a) 60⁰, b) 90⁰ e c) 120⁰. Determine o módulo da diferença e o ângulo que esta faz com

o vector maior.

4. Determine as componentes ortogonais de um vector de 15 unidades de comprimento que

forma um ângulo, com o eixo dos X, positivo, de a) 50⁰, b) 130⁰ e c) 230⁰.

5. Dois vectores são dados por �⃗� = 𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗� e �⃗⃗� = 2𝑖 + 𝑗 − 2�⃗⃗�. Determine: �⃗� + �⃗⃗�, �⃗� −

�⃗⃗�, 3�⃗� − 2�⃗⃗�, �⃗� ∙ �⃗⃗� e o ângulo formado pelos vectores �⃗� e �⃗⃗�.

6. Considerando o problema anterior desenhe um sistema dextrogiro (direito) de

coordenadas cartesianas ortogonais XYZ todos os vectores obtidos.

7. As coordenada de três pontos são dadas por 𝐴(−2; 2; 3), 𝐵(1; 0; −3) e 𝐶(1; 3; −1).

Considere um vector 𝐶𝐴 = �⃗� e um outro �⃗⃗�𝐴 = �⃗⃗�, determine:

a) Os módulos de �⃗� 𝑒 �⃗⃗�;

b) �⃗� ∙ �⃗⃗�;

c) O ângulo entre �⃗� 𝑒 �⃗⃗�.

8. Dado o vector �⃗� = 4𝑖 + 4𝑗 + 2�⃗⃗� e sabendo que o módulo do vector �⃗⃗� é 3, 𝑏𝑥 < 0, 𝑏𝑧 < 0

e �⃗⃗� ⊥ �⃗�. Determine o vector �⃗⃗�.

9. Considere os vectores �⃗� = 4.2𝑖 − 1.5𝑗 , �⃗⃗� = −1.6𝑖 + 2.9𝑗 e 𝑐 = −3.7𝑗. Determine:

a) A soma (considere 𝑟) dos três vectores.

b) O módulo do vector soma;

c) A direção do vector soma;

d) Desenhe num sistema dextrogiro, o vector obtido.

10. Determine o valor de 𝑑, tal que �⃗� = 2 − 𝑑𝑗 + +�⃗⃗� e �⃗⃗� = 4𝑖 − 2𝑗 − 2�⃗⃗�, de modo que

�⃗� ⊥ �⃗⃗�.

11. Se 𝑎⃗⃗⃗ ⃗ = 3𝑖 − 4𝑗 e 𝑏⃗⃗ ⃗ = −2𝑖 + �⃗⃗�, o que será 𝑐 = �⃗� × �⃗⃗�?

12. Um vector �⃗� de 10 unidades de comprimento e outro vector �⃗⃗� de comprimento 6.0

unidades diferem em direcção por 60⁰.Encontre :

a) O producto escalar dos dois vectores;

b) O módulo do producto vectorial �⃗� × �⃗⃗�.

13. Se �⃗� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 �⃗⃗� , �⃗⃗� = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧 �⃗⃗� e 𝑐 = 𝑐𝑥𝑖 + 𝑐𝑦𝑗 + 𝑐𝑧�⃗⃗�.

a) Mostrar �⃗� ∙ (𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ × 𝑐) =

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧

𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧

b) Provar que �⃗� × (𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗ × 𝑐)=�⃗⃗� ∙ (�⃗� ∙ 𝑐) − 𝑐 ∙ (�⃗� ∙ �⃗⃗�)

14. Três vectores são dados por �⃗� = 2𝑖 − 𝑑𝑗 + �⃗⃗�; �⃗⃗� = 𝑖 − 𝑗 − �⃗⃗� e 𝑐 = 𝑖 + 𝑗 − 2�⃗⃗�.

Determine:

a) �⃗� ∙ (�⃗⃗� × 𝑐);

b) �⃗� ∙ (�⃗⃗� − 𝑐);

c) �⃗� × (�⃗⃗� − 𝑐).