Exer c Numer Ppl
-
Upload
renan-l-ganassini -
Category
Documents
-
view
223 -
download
5
description
Transcript of Exer c Numer Ppl
Programação Linear
Exercícios Numéricos
Propostos Prof. Sérgio Mayerle
Exercício 1
Para o PPL abaixo: (a) resolva pelo algoritmo simplex primal; (b) formule o PPL dual e resolva
com o algoritmo simplex primal; (c) resolva utilizando o algoritmo simplex primal-dual; (d)
mostre, em cada solução obtida anteriormente, que as mesmas são equivalentes.
1 2 3 4
1 2 4
1 3 4
2 3
1 2 3
2
2 10
8
2 9
, , 0
Maximizar z x x x x
Sujeito a x x x
x x x
x x
x x x
= + + −
+ + ≤
− + + =
− + ≥
≥
Exercício 2
Para o PPL abaixo efetue a análise de pós-otimalidade: (a) sobre os coeficientes do vetor b;
(b) sobre os coeficientes do vetor c.
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
2 2
2 7
2 8
, , 0
Minimizar z x x x
Sujeito a x x x
x x
x x x
= + +
+ + ≤
− ≥
≥
Exercício 3
Para o PPL acima encontre a nova solução ótima, usando as técnicas de análise de pós-
otimalidade: (a) incluido a restrição 1 2 3
2 6x x x+ + ≥ ; (b) em seguida excluido a primeira
restrição; (c) em seguida excluindo a variável 2
x .
Exercício 4
Comente como se pode identificar a existência de solução ótima, solução ilimitada e de
inexistência de solução viável nos casos de se estar trabalhando com o algoritmo simplex
primal (método do M-grande e/ou método das duas fases) e no caso do algoritmo simplex
primal-dual.
Exercício 5
Comente sobre a prova da convergência do método simplex.
Exercício 6
Considere o problema e a solução abaixo:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4
10
2
, , , , 0
Maximizar z x x x x x
Sujeito a x x x x x
x x x x
x x x x x
= + + − +
+ + + + ≤
− − + ≥
≥
Solução: 1 3 2 4 5
28 2 8 0z x x x x x= = = = = =
Verifique se a solução dada é ótima. Em caso negativo, encontre-a.
Exercício 7
Dado o problema dual abaixo, e sua solução ótima, determine a partir deste problema dual,
a solução ótima do problema primal associado.
1 2
1 2
1
2
1 2
1 2
3 2
2 5
1
2
6
, 0
Minimizar z u u
Sujeito a u u
u
u
u u
u u
= +
+ ≤
≥
≥
− + ≤
≥
Solução ótima: 217 21 === uuz
Utilize a inversa abaixo, se for conveniente:
1
2 1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 2 1 0
1 1 0 1 0 1 1 1
B B−
= = − − − −
Exercício 8
Resolva o PPL abaixo, formule o seu dual e apresente a sua solução ótima para ambos.
1 2 3
1 2
1 3
2
1 2
10 8 12
2 3
1
3 6
, 0
Maximizar z u u u
Sujeito a u u
u u
u
u u
= + +
+ =
+ ≤
≤
≥
Exercício 9
Dado o problema a seguir pede-se: (a) resolva o problema; (b) qual a variação possível de 1b
e 2b para não haver troca de base? (c) qual a variação possível de 2c e 3c para não haver
troca de base?
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4
2 8
3 2
, , 0
Maximizar z x x x
Sujeito a x x x
x x x
x x x
= + −
+ + ≤
+ − ≥
≥
Exercício 10
Quais as condições que o vetor ),,( cba deve satisfazer, sabendo-se que )3,6,0(),,( 321 =xxx
é a solução ótima do PPL abaixo.
1 2 3
1 2 3
1 2
1 2
2 3 15
2 12
, 0
Maximizar z a x b x c x
Sujeito a x x x
x x
x x
= + +
+ + ≤
+ ≤
≥
Exercício 11
Resolva o problema dual do PPL abaixo, e apresente a solução ótima de ambos.
1 2
1
1 2
2
1 2
10 12
2 4
1
3 6
, 0
Maximizar z u u
Sujeito a u
u u
u
u u
= +
≤
+ ≤
≤
≥
Exercício 12
Sabendo que ( ) ( )1 2, 0,6x x = é solução ótima do PPL abaixo, determine a solução ótima do
PPL dual.
1 2
1 2
1 2
1 2
2 15
2 12
, 0
Maximizar z a x b x
Sujeito a x x
x x
x x
= +
+ ≤
+ ≤
≥
Exercício 13
Resolva com o uso do método que mais lhe convier:
1 2 3 4
1 2 4
1 3 4
2 3
1 2 3 4
2
2 10
8
2 9
, , , 0
Maximizar z x x x x
Sujeito a x x x
x x x
x x
x x x x
= + + −
+ + ≤
− + + =
− + ≥
≥
Exercício 14
Uma indústria fabrica dois produtos (P1 e P2), cujas quantidades produzidas são definidas
pelo seguinte modelo de programação linear:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
: 10 15
: 2 200
2 150:
: 80
, 0
Maximizar Lucro L P P
Sujeito a MDO P P
P PEnergia
Mercado P P
P P
= +
+ ≤
+ ≤
+ ≥
≥
O Departamento de Engenharia desta indústria desenvolveu o projeto de um produto P3
que necessita de 3 unidades de mão-de-obra (MDO) e 2 unidades de energia, por unidade
fabricada. Qual deve ser o lucro unitário deste produto, a fim de que seja interessante sua
produção?
Exercício 15
Apresenta-se, abaixo, um PPL dual, cuja solução ótima é ( ) ( )1 2, 1,0u u = . Sem resolver o PPL
primal, determine o valor ótimo das variáveis primais.
1 2
1
1 2
2
1 2
10 8
2 3
1
3 6
, 0
Maximizar z u u
Sujeito a u
u u
u
u u
= +
≤
+ ≤
≤
≥