Departamento de Matematica Aplicada

IMECC { UNICAMP

Exame de Admiss~ao 2012

Programa de Pos{Graduac~ao em Matematica Aplicada

Codigo de Identicac~ao:

Quest~oes Pontos

Quest~ao 1

Quest~ao 2

Quest~ao 3

Quest~ao 4

Quest~ao 5

Quest~ao 6

Quest~ao 7

Quest~ao 8

Quest~ao 9

Quest~ao 10

T o t a l

Inicialmente, faca uma leitura com muita atenc~ao do enunciado de todas as quest~oes. Apresente

a resoluc~ao de somente oito quest~oes, dentre as cinco quest~oes de Algebra Linear e as cinco

quest~oes de Calculo Diferencial e Integral. Todas as quest~oes te^m a mesma pontuac~ao. A prova

tem durac~ao de quatro horas. Justique todos os argumentos. Respostas sem justicativas n~ao

ser~ao consideradas.

Boa Prova !

Algebra Linear

Quest~ao 1. (20 Pontos)Considere que a matriz A dada por:

A =

244 1 01 9 10 1 1

35e a matriz de um produto interno h ; i no espaco vetorial real IR3 com relac~ao a base ordenada

= fw1 = (1; 1; 1) ; w2 = (0; 1;1) ; w3 = (2; 1; 1) g :

(a) Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaco S, gerado pelo elemento

v = (5; 6; 2), com relac~ao ao produto interno denido pela matriz A.

(b) Determine a matriz que representa o produto interno usual de IR3 com relac~ao a base

ordenada .

Quest~ao 2. (20 Pontos)Considere V um espaco vetorial real de dimens~ao nita munido do produto interno h ; i , = f v1 ; ; vn g uma base para V e T um operador linear sobre V .

(a) Mostre que a matriz A = [aij] onde

aij = h vi ; vj i para i ; j = 1; 2; ; n ;

e uma matriz positiva{denida.

(b) Dados n numeros reais arbitrarios c1 ; ; cn, prove que existe um unico elemento v 2 Vde modo que

h v ; v1 i = c1 ; ; h v ; vn i = cn :

(c) Mostre que dim( Im(T ) ) = 1 se, e somente se, existem elementos u; w 2 V tais queT (v) = h v ; u iw para todo v 2 V , com u ; w 6= 0V .

Quest~ao 3. (20 Pontos)Considere o espaco vetorial complexo C2 munido do produto interno usual h ; i , e o operadorlinear T : C2 ! C2 denido da seguinte forma: T (z; w) = (z + iw ; iz + w).(a) Mostre que conjunto = f (i ; 1) ; (1 ; i) g e uma base ordenada para C2.(b) Determine a matriz do operador linear T com relac~ao a base ordenada , isto e, determine

a matriz [T ]

.

(c) Verique se T e um operador linear diagonalizavel. Em caso armativo, determine uma

base ordenada para C2 de modo que [T ] seja uma matriz diagonal.

Quest~ao 4. (20 Pontos)

(a) Considere o espaco vetorial real IR3 munido de um produto interno e U IR3 umsubespaco n~ao nulo. Mostre que n~ao existe um operador linear T sobre IR3 de modo que

T (U) = U? e T (U?) = U :

(b) Considere o espaco vetorial real IR3 munido do produto interno usual h ; i e U osubespaco de IR3 denido da seguinte forma:

U = f (x; y; z) 2 IR3 = x + y z = 0 g :

Determine de forma explcita a express~ao de um operador linear T sobre IR3, diferente do

operador identidade, de modo que

T (U) = U e T (U?) = U? :

Quest~ao 5. (20 Pontos)Sejam V um espaco vetorial real munido do produto interno h ; i , S um subespaco dedimens~ao nita de V e P o operador de projec~ao ortogonal sobre S.

(a) Mostre que V = Im(P )Ker(P ), onde Ker(P ) e o nucleo do operador P .(b) Considere que V tem dimens~ao nita, mostre que P e um operador diagonalizavel.

Calculo Diferencial e Integral

Quest~ao 6. (20 Pontos)Considere a equac~ao diferencial ordinaria de segunda ordem

y00(x) + ay0(x) + by(x) = 0 ; x 2 (0 ; 1) :

com as condic~oes de fronteira

y(0) = 0 e y(1) = 0 :

Determina a relac~ao entre os para^metros a e b de modo que o problema de valor de contorno

acima tenha soluc~ao n~ao trivial.

Quest~ao 7. (20 Pontos)Considere a equac~ao diferencial parcial

@2u

@x2 1

c2@2u

@t2= 0 ;

denominada equac~ao da onda, onde c e uma constante positiva, x 2 IR e t > 0.(a) Mostre que a equac~ao acima se transforma na equac~ao diferencial parcial

@2u

@@= 0 ;

pela mudanca de coordenadas

= x + ct e = x ct :

(b) Mostre que u(x; t) = f(x + ct) + f(x ct) e soluc~ao da equac~ao da onda para qualquerfunc~ao real f duas vezes continuamente diferenciavel.

Quest~ao 8. (20 Pontos)Considere o espaco vetorial real IR4 munido do produto interno usual h ; i e com a normaEuclidiana k k2 proveniente desse produto interno. Determine a soluc~ao do sistema linear(

x + y + 2z + t = 152x 2y + z + t = 11

que esta mais proxima do ponto 0IR4 = (0; 0; 0; 0).

Quest~ao 9. (20 Pontos)Considere a forma diferencial

2xydx + ( x2 y2 )dy ;e a curva simples fechada denida pela equac~ao

4x2 + y2 = 4 ;

com a orientac~ao no sentido anti{horario.

(a) Determine a equac~ao vetorial da curva , isto e, determine uma func~ao vetorial

~(t) = x(t)~ + y(t)~ ;

especicando o intervalo do para^metro t, e faca um esboco da curva orientada .

(b) A forma diferencial e exata em alguma regi~ao simplesmente conexa? Em caso armativo,

determine um campo escalar F de modo que

dF =@F

@xdx +

@F

@ydy = 2xydx + (x2 y2 )dy :

(c) Determine o valor da integral de linha da forma diferencial ao longo da curva orientada .

Quest~ao 10. (20 Pontos)Considere a integral impropria

I =

Z 10

Z 10

1

1 xy dxdy = limt!1Z t0

Z t0

1

1 xy dxdy :

(a) Expandindo o integrando como uma serie geometrica de raz~ao r = xy, mostre que

I =1X

n=1

1

n2:

(b) Utilizando a serie geometrica obtida no item (a), mostre que I < 2.

Sugest~ao: Tome uma Soma de Riemann Inferior conveniente.