Ex
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Expressemos E x em serie de Fourier
E x (t)=∫−∞
∞
f ( ν ) e2πiνt dν
onde as amplitudes f ( ν ) são determinadas por
f ( ν )=∫0
T
Ex (t)e−2πiνt dt
Ex (t) sendo zero fora do intervalo t=0 à t=T .
Segundo, as leis da electrodinâmica a densidade de energia da radiação total é dado por
u= 18 π
(E2+H 2 )= 14 π
E2= 34 πEx2
Como,
E x2=
∫0
T
Ex2dt
T= 1T∫0
T
Exdt∫−∞
∞
f (ν ) e2 πiνt dν
Se mudarmos a ordem de integração obtemos
E x2= 1T∫−∞
∞
f ( ν )dν∫0
T
Ex e2πiνt dt
Como Ex (t) é real o conjugado satisfaz a equação
f ¿ (ν )=f (−ν )=∫−∞
∞
Ex (t)e2πiνt dt
Então temos
E x2= 1T∫−∞
∞
f ( ν ) f ¿ ( ν )d ν= 2T∫0
∞
|f (ν )|2dν
Então a densidade total de energia é
u=∫0
∞
uν dν=32πT
∫0
∞
|f ( ν )|2dν
e para distribuição sobre o espectro
uν=32 πT
|f ( ν )|2
Passemos a equação do oscilador. Se um ressonador de massa m está sujeito a um campo eléctrico E x, na direcção x, a equação do movimento é
m x+ax=e E x ( t )
onde temos as seguintes relações.
m (2π ν 0)2=a ; ν0=
12 π √ am
A solução para a parte homogénea é
xh(t)=x0 sin(2π ν0 t+ϕ) ,
onde x0 e ϕ são constantes arbitrarias . A expressão
x p (t )= e2π ν0
∫0
t
Ex ( t ' ) sin2 π ν0(t−t ' )dt '
é a solução da parte não homogénea ou particular e satisfaz as condições iniciais x (0)=0 e x (0)=0,já que quando t=0 os limites de integração são todos iguais a zero. Por outro lado a formula de Leibniz é
ddt
∫a(t )
b(t )
f (t , t' )dt '=f (t , b(t)) db(t )dt
−f (t , a ( t ) ) da (t )dt
+∫a (t )
b (t )df (t , t' )dt
dt '
usando a essa formula obtemos
x= e2π ν0m
[Ex (t' ) sin 2π ν0 (t−t ' )d t ' ]t=t '+ em∫0
t
Ex ( t ' ) cos2π ν0(t−t ')dt '
O primeiro termo se anula e , vemos que x (0)=0. Se derivarmos x obtemos
x= e2π ν0m
[Ex sin 2π ν0 (t−t ' )d t ' ]t=t '+2π ν0 e
m∫0
t
Exsin 2π ν0(t−t ' )dt '
O trabalho que campo faz sobre o oscilador por unidade de tempo é
δW= eT∫0
T
x ( t )Ex ( t )dt
Por outro lado P=F x. Como F=m x+ax temos
P= (m x+ax ) x=(m x x+ax x )=12ddt
(m x2+a x2)
Para parte homogénea temos
xh (t )=x0 sin (2π ν0t+ϕ )→m (2π ν0 )2 x2=m (x02π ν0 )2sin (2π ν0t+ϕ )
xh=x02π ν0 cos (2 π ν0 t+ϕ )→mx2=m (x02π ν0 )2 cos2 (2 π ν0 t+ϕ)
ou seja
P=12ddt [m (x02 π ν0 )2 ]=0
logo a parte homogénea não faz trabalho. Então ficamos com
δW= eT∫0
T [Ex (t ) em∫0
t
Ex (t ' ) cos2π ν0(t−t ')dt ' ]dtque é o mesmo que
δW= e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt∫0
t
Ex (t ' )cos2 π ν0(t−t ')dt '
Como integral é simétrico em relação à t e à t ' se mudarmos a ordem de integração podemos escrever
δW= e2
mT∫0
T
Ex (t ' )dt∫t
T
Ex ( t )cos2 π ν0(t−t ' )dt
Os limites de integração foram mudados porque o domínios de integração em relação à t ' é a região limitada pelas rectas t '=t , t'=T , t=0 e t=T .
Se simplesmente trocarmos as letras obtemos
δW= e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt∫t
T
Ex (t ' )cos2 π ν0(t−t ' )dt
Comparando com a expressão já obtida
δW= e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt∫0
t
Ex ( t ' )cos2 π ν0(t−t ')dt '
Vemos que ∫0
t
Ex (t ' ) cos2 π ν0(t−t ')dt '=∫0
t
Ex ( t ' ) cos2π ν0(t−t ')dt '
e logo podemos escrever
12e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt [∫0
t
Ex ( t' )cos2π ν0(t−t ')dt+∫t
T
Ex (t ' )cos2 π ν0(t−t ')dt ]ou seja
δW=12e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt∫0
T
Ex (t' )cos2 π ν0(t−t ')dt
Como cos2 π ν0 (t−t ' )=12e2 π i ν0 (t−t
')+ 12e−2πi ν0(t−t
') ficamos com
δW= 14e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt∫0
T
Ex (t' ) {e2πi ν0 (t−t')+e−2πi ν0(t−t')}dt
ou ainda
δW= 14e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt∫0
T
Ex (t' )e2πi ν0(t−t')+ 14e2
mT∫0
T
Ex ( t )dt∫0
T
Ex (t' )e−2πi ν0(t−t')
que nos da
δW= 14e2
mT∫0
T
Ex (t ) e2πi ν0 tdt∫0
T
Ex (t ' )e−2πi ν0 t'
+ 14e2
mT∫0
T
Ex (t ' ) e2πi ν0 t' dt∫0
T
Ex ( t ) e2πi ν0 t
Usando uν=32 πT
|f ( ν )|2
δW= π3e2
muν