Expressemos E x em serie de Fourier

E x (t)=∫−∞

∞

f ( ν ) e2πiνt dν

onde as amplitudes f ( ν ) são determinadas por

f ( ν )=∫0

T

Ex (t)e−2πiνt dt

Ex (t) sendo zero fora do intervalo t=0 à t=T .

Segundo, as leis da electrodinâmica a densidade de energia da radiação total é dado por

u= 18 π

(E2+H 2 )= 14 π

E2= 34 πEx2

Como,

E x2=

∫0

T

Ex2dt

T= 1T∫0

T

Exdt∫−∞

∞

f (ν ) e2 πiνt dν

Se mudarmos a ordem de integração obtemos

E x2= 1T∫−∞

∞

f ( ν )dν∫0

T

Ex e2πiνt dt

Como Ex (t) é real o conjugado satisfaz a equação

f ¿ (ν )=f (−ν )=∫−∞

∞

Ex (t)e2πiνt dt

Então temos

E x2= 1T∫−∞

∞

f ( ν ) f ¿ ( ν )d ν= 2T∫0

∞

|f (ν )|2dν

Então a densidade total de energia é

u=∫0

∞

uν dν=32πT

∫0

∞

|f ( ν )|2dν

e para distribuição sobre o espectro

uν=32 πT

|f ( ν )|2

Passemos a equação do oscilador. Se um ressonador de massa m está sujeito a um campo eléctrico E x, na direcção x, a equação do movimento é

m x+ax=e E x ( t )

onde temos as seguintes relações.

m (2π ν 0)2=a ; ν0=

12 π √ am

A solução para a parte homogénea é

xh(t)=x0 sin(2π ν0 t+ϕ) ,

onde x0 e ϕ são constantes arbitrarias . A expressão

x p (t )= e2π ν0

∫0

t

Ex ( t ' ) sin2 π ν0(t−t ' )dt '

é a solução da parte não homogénea ou particular e satisfaz as condições iniciais x (0)=0 e x (0)=0,já que quando t=0 os limites de integração são todos iguais a zero. Por outro lado a formula de Leibniz é

ddt

∫a(t )

b(t )

f (t , t' )dt '=f (t , b(t)) db(t )dt

−f (t , a ( t ) ) da (t )dt

+∫a (t )

b (t )df (t , t' )dt

dt '

usando a essa formula obtemos

x= e2π ν0m

[Ex (t' ) sin 2π ν0 (t−t ' )d t ' ]t=t '+ em∫0

t

Ex ( t ' ) cos2π ν0(t−t ')dt '

O primeiro termo se anula e , vemos que x (0)=0. Se derivarmos x obtemos

x= e2π ν0m

[Ex sin 2π ν0 (t−t ' )d t ' ]t=t '+2π ν0 e

m∫0

t

Exsin 2π ν0(t−t ' )dt '

O trabalho que campo faz sobre o oscilador por unidade de tempo é

δW= eT∫0

T

x ( t )Ex ( t )dt

Por outro lado P=F x. Como F=m x+ax temos

P= (m x+ax ) x=(m x x+ax x )=12ddt

(m x2+a x2)

Para parte homogénea temos

xh (t )=x0 sin (2π ν0t+ϕ )→m (2π ν0 )2 x2=m (x02π ν0 )2sin (2π ν0t+ϕ )

xh=x02π ν0 cos (2 π ν0 t+ϕ )→mx2=m (x02π ν0 )2 cos2 (2 π ν0 t+ϕ)

ou seja

P=12ddt [m (x02 π ν0 )2 ]=0

logo a parte homogénea não faz trabalho. Então ficamos com

δW= eT∫0

T [Ex (t ) em∫0

t

Ex (t ' ) cos2π ν0(t−t ')dt ' ]dtque é o mesmo que

δW= e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt∫0

t

Ex (t ' )cos2 π ν0(t−t ')dt '

Como integral é simétrico em relação à t e à t ' se mudarmos a ordem de integração podemos escrever

δW= e2

mT∫0

T

Ex (t ' )dt∫t

T

Ex ( t )cos2 π ν0(t−t ' )dt

Os limites de integração foram mudados porque o domínios de integração em relação à t ' é a região limitada pelas rectas t '=t , t'=T , t=0 e t=T .

Se simplesmente trocarmos as letras obtemos

δW= e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt∫t

T

Ex (t ' )cos2 π ν0(t−t ' )dt

Comparando com a expressão já obtida

δW= e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt∫0

t

Ex ( t ' )cos2 π ν0(t−t ')dt '

Vemos que ∫0

t

Ex (t ' ) cos2 π ν0(t−t ')dt '=∫0

t

Ex ( t ' ) cos2π ν0(t−t ')dt '

e logo podemos escrever

12e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt [∫0

t

Ex ( t' )cos2π ν0(t−t ')dt+∫t

T

Ex (t ' )cos2 π ν0(t−t ')dt ]ou seja

δW=12e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt∫0

T

Ex (t' )cos2 π ν0(t−t ')dt

Como cos2 π ν0 (t−t ' )=12e2 π i ν0 (t−t

')+ 12e−2πi ν0(t−t

') ficamos com

δW= 14e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt∫0

T

Ex (t' ) {e2πi ν0 (t−t')+e−2πi ν0(t−t')}dt

ou ainda

δW= 14e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt∫0

T

Ex (t' )e2πi ν0(t−t')+ 14e2

mT∫0

T

Ex ( t )dt∫0

T

Ex (t' )e−2πi ν0(t−t')

que nos da

δW= 14e2

mT∫0

T

Ex (t ) e2πi ν0 tdt∫0

T

Ex (t ' )e−2πi ν0 t'

+ 14e2

mT∫0

T

Ex (t ' ) e2πi ν0 t' dt∫0

T

Ex ( t ) e2πi ν0 t

Usando uν=32 πT

|f ( ν )|2

δW= π3e2

muν