Exemplo: Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? 1º) Taxa efetiva é aquela efetivamente remunera uma operação financeira. Ela é expressa da seguinte forma, 10% ao ano , 15% ao semestre, 12,5% ao mês. 2º) Taxa nominal é aquela dada , anunciada, geralmente expressa, 10% ao ano com capitalização mensal ou capitalizada mensalmente. Se esse capital é capitalizado mensalmente, ele será remunerado os 30 dias do mês. Portanto, se tivermos uma taxa de 10% ao ano com capitalização mensal, para determinar a efetiva deve se observar primeiramente a capitalização. Observa que temos dois tempos expressos na taxa, ANO e MÊS ( 10% ao ano com capitalização mensal). A taxa efetiva ao mês basta dividir (10% ao ano / 12 meses = 0,83333...% ao mês) , pois o ano tem 12 meses. Se for uma taxa de 12% ao semestre com capitalização mensal ( Semestre e Mês ; 1 semestre=6 meses) , a efetiva mensal será de (12% / 6 meses =  2% ao mês) . Ok, e se quisermos a taxa efetiva anual dessa taxa nominal de 12% as capitalizada mensalmente.  Ai deve-se aproveitar a taxa mensal e transforma-la ao ano pela equivalencia de juros compostos. 

Retomando o primeiro exemplo onde a taxa nominal é de 40% ao quadrimestre capitalizada bimestralmente. Quer saber a efetiva ao semestre. Primeiro: QUADRIMESTRE e BIMESTRE, 1 quadrimestre = 2 bimestres , logo 40% / 2 = 20% ao bimestre.  Agora transforma-se 20% ao bimestre para ao semestre pela equivalencia de juros compostos.

É isso ai, treinem bastante.a) Efetiva anual de uma taxa nominal de 34% ao bimestre com capitalização diáriab) Efetiva mensal de uma taxa nominal de 10% ao semestre com capitalização bimestral.c) Efetiva semestral de uma taxa nominal de 5% ao trimestre com capitalização diária

Taxas NominaisVocê vai ao banco investir R$ 100.000,00 em uma aplicação financeira e o gerente lhe informa que para a aplicação escolhida a taxa de juros anual é de 24% a.a., com capitalização composta mensal.Então você terá uma aplicação no regime de capitalização composta, sendo que o acréscimo dos juros ao montante será realizado mensalmente.Note que o período de formação e acréscimo dos juros ao capital difere do período de tempo da taxa. Temos uma taxa anual, mas os juros são calculados e acrescidos mês a mês. Nestas condições a taxa de juros é denominadataxa nominal.Tópico relacionadoExercícios resolvidos - Juros Compostos e Prestações

Sendo a taxa nominal de 24% a.a. e visto que a capitalização é mensal, qual será a taxa de juros ao mês?Como 1 ano tem 12 meses a taxa será de:

A taxa mensal referente a uma taxa nominal de 24% a.a. é de 2% a.m..Estas duas taxas são ditas taxas proporcionais, pois utilizando meses como a unidade de tempo, temos a seguinte proporção:

24% está para 12 meses, assim como 2% está 1 mês.A taxa de 2% a.m. além de ser proporcional à taxa de 24% a.a., é denominada taxa efetiva mensal.

Taxas EfetivasSegundo o dicionário efetiva significa real, verdadeira, que produz efeito. Isto quer dizer que para efeitos de cálculo utilizamos a taxa efetiva, a taxa nominal não é utilizada para estes fins.Para continuarmos este estudo, agora que sabemos que a taxa efetiva de juros é 2% a.m. e que o capital é deR$ 100.000,00, vamos calcular qual será o novo capital após um ano de aplicação.Vamos utilizar a seguinte fórmula para o cálculo do montante composto:

As variáveis conhecidas são as seguintes:

Substituindo tais variáveis por seus respectivos valores temos:

Como o capital é de R$ 100.000,00, os juros serão de R$ 26.824,18:

Então a taxa efetiva anual será de 26,82418% a.a.

Taxas EquivalentesA taxa efetiva mensal de 2% a.m. é equivalente à taxa efetiva anual de 26,82418% a.a., isto porque produzem um montante igual, quando aplicadas a um mesmo capital, em um período de tempo de mesma duração.Para verificarmos a equivalência vamos calcular Mm e Ma, referentes ao montante obtido a partir das taxas efetivas mensal e anual, respectivamente, pelo período de um ano:

Observe que calculamos a taxa efetiva anual de 26,82418% a.a. com 5 casas decimais, apenas para que pudéssemos comparar a equivalência das taxas, na prática podemos utilizar uma ou duas casas decimais como26,82% a.a., por exemplo, neste caso o montante será ligeiramente menor (R$ 126.820,00).Acima verificamos que os montantes Mm e Ma, calculados através da

fórmula  , são iguais. Utilizando o índice m e a para identificar também as outras variáveis referentes ao cálculo dos montantes Mm e Ma, respectivamente, generalizando podemos concluir que:

Veja que nesta fórmula obtemos a taxa efetiva mensal a partir da taxa efetiva anual:

Nesta outra fórmula obtemos a taxa efetiva anual a partir da taxa efetiva mensal:

Como podemos notar, ambas as fórmulas diferem entre si apenas nos índices das variáveis, então retirando o índice das variáveis referentes à taxa que queremos obter e atribuindo o índice 0 às variáveis referentes à taxa que possuímos, chegamos à seguinte fórmula:

Ou, se preferirmos eliminar o radical trabalhando apenas com uma potência, temos esta fórmula:

Exemplos de Cálculo para a Obtenção de Taxas Efetivas Equivalentes

A taxa efetiva de 21% a.a. equivale a qual taxa efetiva mensal?

Um capital qualquer capitalizado em 21% após 1 ano da aplicação, deve produzir o mesmo montante que o mesmo capital sendo capitalizado mensalmente a uma taxa i por 12 meses.Os dados que possuímos são os seguintes:

Substituindo tais valores na fórmula iremos obter a taxa efetiva ao mês:

Portanto, a taxa efetiva mensal é de aproximadamente 0,016 a.m. ou 1,6% a.m.:

A taxa efetiva de 21% a.a. equivale a uma taxa efetiva mensal de 1,6% a.m.

 A taxa efetiva de 1,8% a.b. equivale a qual taxa efetiva semestral?

Uma certa quantia capitalizada bimestralmente em 1,8% durante 3 bimestres de aplicação, deve produzir o mesmo montante se for capitalizada após 1 semestre a uma taxa i.Então temos os seguintes dados para utilizar com a fórmula:

Os aplicando na fórmula temos:

Temos então uma taxa efetiva semestral de aproximadamente 0,055 a.s. ou 5,5% a.s.:

A taxa efetiva de 1,8% a.b. equivale a uma taxa efetiva semestral de 5,5% a.s.

 

Taxas ProporcionaisVimos acima que as taxas de 24% a.a. e de 2% a.m. são taxas proporcionais, pois utilizando meses como a unidade de tempo, temos a seguinte proporção:

É importante observar que no regime de capitalização composta taxas proporcionais não são equivalentes. Como vimos, uma taxa efetiva de 2% a.m. equivale a 26,82418% a.a. e não a 24% a.a.Note porém, que no regime de capitalização simples taxas proporcionais são equivalentes, neste regime elas produzem o mesmo montante quando aplicadas a um mesmo capital e período.

A taxa de 24% a.a. equivale à taxa de 2% a.m. em uma aplicação a juros simples?

Certamente que sim, por exemplo, vamos verificar o rendimento de uma aplicação de R$ 8.000,00 por 6 meses.Para isto utilizaremos esta fórmula:

À taxa de 24% a.a. temos:

Como a taxa de juros está em anos e o período de aplicação em meses, foi preciso convertê-lo de 6 meses para0,5 anos, a fim de que a unidade de tempo sendo a mesma, possamos realizar os cálculos:

À taxa de 2% a.m. temos:

Portanto:

A aplicação de R$ 8.000,00 por 6 meses em qualquer uma das taxas proporcionais, rende juros de R$ 960,00 no regime de capitalização simples, portanto ambas as aplicações produzem o mesmo montante de R$ 8.960,00durante um mesmo período de aplicação e por isto as taxas proporcionais são taxas equivalentes neste regime.

Sim, a taxa de 24% a.a. equivale à taxa de 2% a.m. no regime de capitalzação

simples.

Taxa nominal e Taxa Efetiva

por Danilo Dias Vilela » Qui Out 15, 2009 12:11

Minha dúvida é sobre se há uma outra forma de resolver o seguinte exercício:

1) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma

taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O valor de i é de

aproximadamente:

a) 18

b) 19

c) 20

d) 21

e) 22

Minha resolução foi a seguinte: eu peguei o valor do meio e achei a taxa efetiva

anual de aproximadamente 41, 85%. Sendo assim não corresponde à taxa efetiva

anual de 50%. Assim fiz: peguei o valor de 20% dividi por 3 (1 semestre tem 3

bimestres) e achei uma taxa de 6,666%; depois achei a taxa correspondente anual

de 41, 85%. Para eu ter 50% eu teria que aumentar o numerador para 21% e assim

aumentar a minha taxa bimestral para 7%. O resultado final que encontrei foi de

uma taxa anual efetiva de 50.07% ou seja 50%. O gabarito consta como letra d. Se

alguém tiver um jeito sem precisar analisar as aternativas por favor me passem.

Obrigado.

Re: Taxa nominal e Taxa Efetiva

por marcelo ebm » Ter Nov 24, 2009 22:11

Primeiro para você entender a diferença das taxas observe o exemplo:

Digamos que eu lhe dê um cartão de crédito e a taxa de juros do cartão seja 3% ao

mês. Qual é a taxa anual que realmente está sendo cobrada de você?? 36%?? Bem,

não é. Ela é realmente 42.57%. 

Taxa Nominal significa "no nome somente". Esta é chamada algumas vezes de taxa

entre aspas. 

Taxa Periódica A quantia de juros que é cobrada de você a cada período, como todo

mês. 

Taxa Anual Efetiva A taxa que realmente é cobrada de você com base anual.

Lembre-se que você está pagando juros sobre juros. 

No exemplo acima

A Taxa Nominal é 36% (Taxa Nominal = Taxa Efetiva x Número de Períodos, então

Tn =3 x12), mas lembre-se deve observar o período de capitalização pedido. 

A Taxa Periódica é 3% (foi cobrado 3% de juros sobre o seu saldo a cada mês) 

A Taxa Anual Efetiva é 42.57% 

No seu exemplo:

A Taxa Efetiva Anual é 50%

A Taxa Períodica será de 6,991319% (referente a texa efetiva Bimestral, e sempre

em 6 casas decimais para maior aproximação)

A Taxa Nominal Semestral 20,973958% (A Taxa Nominal será a Taxa Efetiva vezes

o número de periodos)

Vamos lá.

Ele quer a taxa nominal referente a capitalização bimestral, (lembre-se que tem que

observar o período de capitalização pedido).

Vamos Achar a taxa efetiva bimestral

ib = (1 + i) elevado a 2/12 - 1 onde 2/12 é a razão procurada, pois você procura

uma taxa bimestral 12 meses, e você tem a taxa anual 12 meses.

ib = (1,50) elevado a 0,166667 - 1 

ib = 6,991319% ao bimestre 

Agora é só aplicar:

Taxa Nominal = Taxa Efetiva x Nº. de Períodos

Taxa Nominal = 6,991319 x 3 ( 3 bimestres = 6 meses)

Taxa Nominal = 20,973958% (Pediu-se a taxa aproximada, e a mais aproximada é a

letra d - 21

1-A diferença entre os descontos comerciais de dois títulos é R$ 26,00. Sabe-se que as taxas e os prazos dados são : 2,5 % aa durante 8 meses e 4,5% aa durante 3 meses respectivamente. Calcular o valor nominal dos títulos.

2-Um titulo de valor nominal R$ 25.000,00 foi resgatado 15 dias antes de sua data de vencimento à taxa de 7,5% a mês sob o critério de desconto racional ( POR DENTRO).a) Qual foi o desconto por dentro concedido?b) Por quanto foi negociado o titulo?c) Se o desconto fosse comercial quais as taxas anuais, mensais correspondente o valor?

3-Uma pessoa pretende saldar uma divida cujo montante é R$ 6.462,50, 2 meses antes do seu vencimento. Sabe-se que esta aplicação se deu a uma taxa de 30% aa.a) Ache a taxa equivalente mensalb) Calcular a taxa equivalente para o período de antecipação.

4-Um investido aplicou a quantia de R$ 75.000,00 a uma taxa de 7% ao bimestrea) Calcular a taxa equivalente mensal.b) Quanto o investidor deverá receber de juros se ele aplicou esse capital por 5 meses a taxa equivalente mensal encontrada?

5-Ache o valor do montante referente a uma aplicação a partir de um principal de R$ 3.000,00 a 12% ao semestre no regime de capitalização semestral composta, durante o período de 4 anos e 3 meses.

6-Encontrar a taxa anual efetiva dado a taxa nominal de 24% aa para uma capitalização quadrimestral. Calcular o montante recebido por um investidor que colocou R$ 2.400,00 com a taxa efetiva encontrada para um tempo de capitalização de 2 anos.

Cansado de Pagar Juros? Entenda os Cálculos de Juros

 

Quem nunca ouviu falar do tal dos Juros? Ou das taxas de juros fixadas pelo Copom (Banco Central do Brasil), taxas selic e etc?

Primeiramente, passamos o que é juros:  Juros é um atributo de uma aplicação financeira, ou seja, referimos a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pede emprestado), pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

Existem dois tipos de juros:

Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicaçãoJuros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital.

Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro.

A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtem um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.

A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t

Onde:

j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo.

Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Antes de iniciarmos a resolução deste problema, devemos descobrir, o que é o que, ou seja, quais dados fazem parte das contas.

Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 mesesTaxa (i): 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)

Fazendo o cálculo, teremos:

J = c . i. t  → J = 2.000 x 3 x 0,03 → R$ 180,00

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, o valor dos juros será de R$ 60,00 por mês e esse valor será somado mês a mês, nunca mudará.

                                                                    tA fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)

Onde:

M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.

Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma taxa de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:

Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) = 3 mesesTaxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)

Fazendo os cálculos, teremos:

M = 2.000 . ( 1 + 0,03)³  → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 185,45 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, no primeiro mês ela pagará R$ 60,00, no segundo mês ela pagará R$ 61,80 e no terceiro mês ela pagará R$ 63,65.

Normalmente quando fazemos uma compra nas "Casas Bahia", por exemplo, os Juros cobrados são os Juros Compostos, praticamente todas lojas comerciais adotam os Juros sobre Juros (Juros Compostos).

Como Calcular JurosCalculando juros simples e juros compostos

Calcular juros nem sempre é tarefa fácil. Existem diferentes

tipos de juros e cálculos e formulas especíicas para cada um

deles. Neste estudo você irá aprender como calcular juros e

entender a diferença entre juros simples e juros compostos.

Juros Simples

Juro é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro,

expressa como porcentagem da soma emprestada.

Noção Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em "A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano, durante 3 anos, rendeu R$

600,00 de juros simples".

O raciocínio é:

Se o capital 100 produz 10 em um ano, ent~ao o capital 2.000 produzirá 600 em 3 anos.

Temos os seguintes dados:

O Capital é 99K C = 2:000

A Taxa é 99K i = 10(em % ao ano)

O tempo é 99K t = 5(em anos)

Os juros são 99K J = 600

Observações:

Denominamos juros simples aqueles que não são somados ao capital, durante o tempo

em que foi empregado.

Se a taxa "i" for referida ao ano, m^es, dia etc, o tempo "t" também deveria ser tomado

correspondentemente em anos, meses, dias, etc.

Para efeito de cálculo o ano é considerado de 12 meses de 30 dias cada.

Técnica Operatória

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade são de Regra de três composta, que

obedecem ao seguinte esquema;

Grandezas

100...   i...  l

C...     j.... t

Interpretação

Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital "c"produzira "j" em "t" anos.

Quando resolvemos isolando "j", temos:

J =  C.i.t

     -----

       100

Exemplos de cálculo de juros

1. Quanto renderia um capital de R$ 5.000,00 empregando a taxa de 5% a:a, em regime

de juros simples, durante 3 anos?

Temos:

C = 5000;

I = 5;

T = 3;

Substituindo os respectivos valores na formula, temos:

J = 5000.5.3 = 750

    --------

      100

Assim, teria um rendimento de R$ 750,00.

2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 à taxa de 36% a:a, durante 6 meses.

Observe que a taxa está expressa em anos, enquanto o tempo em meses. Como devemos

trabalhar com as duas grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o tempo

como sendo 6/12 anos.

Assim:

Portanto, os juros são de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias,

a uma taxa de 1% a:m. Como não há concordância entre a taxa e o tempo, devemos fazer

algumas modificações para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes

transformações.

2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou então: 75/360 anos. Ainda; a taxa 1% ao

mês, corresponde a 1% vezes

12 meses, o que dá 12% a.a.

Logo, os juros produzidos são de R$ 625,00

Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S

obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por

período) durante n períodos.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção

da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano.

Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para

obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Tempo Data Valor Principal Juros Montante

0 01/01/94 100,00 0 100,00

1 01/02/94 100,00 50,00 150,00

2 01/03/94 150,00 75,00 225,00

3 01/04/94 225,00 112,50 337,50

4 01/05/94 337,50 168,75 506,20

5 01/06/94 506,25 253,13 759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que

correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com

P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde

Sn Soma ou montante

P Valor Principal aplicado inicialmente

i taxa unitária

n número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem

ser compatíveis ouhomogêneos com respeito à unidade de tempo.

Montante composto

A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período

e do número de períodos n, é dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário

para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade,

para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano

Exercícios de Juros

Resolva os exercícios abaixo:

01. (Cespe/UnB - Chesf/2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21

meses soma R$ 7050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13

meses, reduz-se a R$ 5350,00. O valor desse capital é:

    Solução:

    a) 7050 = C (1+21.i)

    b) 5350 = C (1+13.i)

    multiplicando (b) por 21/13 temos

    b’)112350/13 = 21.C/13 - 21.C.i

    Somando b’ com a:

    204000 = 21.C+13.C → 34C = 204000 →

    C = 6000, alternativa D.

02. (Cespe/UnB - Chesf/2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a

condição de investirtodo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As

ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia

que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um

ano, é:

    Solução:

    Cx + Cy = 6000

    com ix = 0.07 a.a e iy = 0.09 a.a.

    Jx + Jy = 500

    Cx* 0.07 * 1 + Cy * 0,09 * 1 = 500

    como Cy = 6000 - Cx

    Cx* 0.07 + (6000 - Cx) * 0,09 = 500

    Cx* 0.07 + 540 - 0.09 * Cx= 500

    Cx = 2000, alternativa C.

03. (Cespe/UnB - Chesf/2002) No sistema de juros compostos com capitalização

anual, um capital de R$ 20.000,00, para gerar em dois anos um montante de R$

23.328,00, deve ser aplicada a uma taxa:

    Solução:

    t = 1; C = 20000; n = 2; M = 23328

    23328 = 20000*(1+i)²

    1.1664 = (1+i)²

    i = 0.08

    taxa é de 8% a.a.

04. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Se um capital aplicado a juros simples

durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$

3250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2600,00.

    Solução:

    n = 6; i=0,05; M=3250;

    3250 = C*(1+0,05*6)

    C=2500

    Verdadeiro, C é menor que R$ 2600.

05. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Suponha que uma pessoa aplique R$ 2000,00

por dois meses, a juros compostos com uma determinada taxa mensal, e obtenha

um rendimento igual a R$ 420,00, proveniente dos juros. Se essa pessoa aplicar o

mesmo valor por dois messes a juros simples com a mesma taxa anterior, ela terá,

no final desse período, um montante de R$ 2.400,00.

    Solução:

    Aparentemente se quer saber qual foi a taxa de juros mensal aplicada, i.

    Na primeira aplicação podemos dizer que

    420 = 2000 [(1+i)² - 1]

    e na segunda aplicação temos

    2400 = 2000 (1+2.i)

    como descobrir i na segunda equação é mais fácil:

    1 + i.2 = 1.2 → i . 2 = 1.2 → i = 0.1

    E de fato, substituindo o valor de i na primeira equação, chegamos em uma verdade.

    420 = 2000 [(1+0.1)² - 1] → 420 = 2000 * 0.21 → 420 = 420

06. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Considereque um capital de R$ 4000,00 ficou

aplicado por 2 meses à taxa de juros compostos de 10% a.m. Se o montante obtido

foi corrigido pela inflação do período obtendo-se um total de R$ 5082,00, então a

inflação do período foi superior a 7%.

    Solução:

    C=4000; n=; i=0,1 a.m.

    M = 4000.(1+0.1)²

    M = 4000*1,21

    M = 4840

    A correção da inflação, que eu chamei de f, é no regime de juros compostos:

    5082 = 4840 * (1+f)²

    (1+f)² = 1.05

    f=0,0247

    A inflação foi de 2,47% ao mês.

07. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Considere o capital de R$ 5.000,00 é aplicado

à taxa de juros compostos de 6% a.m. e sejam M1, M2, …, Mn os montantes gerados

por esse capital após o 1º mês, 2º mês, respectivamente. Então os montantes M1,

M2, …, Mn, formam uma progressão geométrica de razão igual a 1,06.

    Solução:

    M1 = 5000 * (i+0.06)¹

    e

    M2 = 5000 * (i+0.06)² → M2 = 5000 * (1.06)*(1.06)

    M2 = M1*(1+0.06)

    da mesma maneira M3:

    M3 = 5000 * (1.06)³ → M3 = 5000 * (1.06)² * (1.06)

    M3 = M2*(1.06)

    Logo podemos definir M como uma progressão geométrica onde:

    a1 = 5300; q = 1.06

    an = an-1*1.06; para n > 1

08. (Cespe/Unb - Docas/PA) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,0. Parte

desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% a.m.

O restante, Mário, aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de

juros simples de 5% a.m. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$

4500 de juros das duas aplicações, julgue os seguintes itens:

a) A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4000,00.

b) Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros

obtidos pela aplicação no banco BD.

c) Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco DB foi superior a R$

8000,00.

    Solução:

    CBD + CBM = 10000

    iBD = 0.03 a.m; iBM = 0.05 a.m; n=12 meses

    JBD + JBM = 4500

    Como M = C * (1+i*n) → M-C = C * (1+i*n)-C → J = C * (1+i*n)-C → J = C * (i*n) então

    JBD = CBD * (iBD*n)

    JBD = CBD * (0.03*12)

    JBD = CBD * 0.36

    Da mesma forma para o banco BM:

    JBM = CBM * 0.6

    somando as duas equações temos que:

    JBD + JBM = CBD * (0.36) + CBM * (0.6)

    mas JBD + JBM = 4500 então:

    4500 = CBD * 0.36 + CBM * 0.6

    mas CBD = 10000 - CBM então:

    4500 = (10000 - CBM) * 0.36 + CBM * 0.6

    4500 = 3600 - CBM * 0.36 + CBM * 0.6

    4500 - 3600 = CBM * 0.24

    CBM = 3750

    logo a alternativa a) é falsa.

    Para achar os juros:

    JBM = CBM * 0.6

    JBM = 3750 * 0.6

    JBM = 2.250

    e como JBD + JBM = 4500 então

    JBD = 4500 - 2250

    JBD = 2250

    logo a alternativa b) é falsa.

    Quanto ao montante da aplicação no banco BD:

    CBD + CBM = 10000

    CBD = 10000 - 3750

    CBD = 6250

    MBD = CBD + JBD

    MBD = 6250 + 2250

    MBD = 8500

    portanto a alternativa c) é verdadeira.

09. (Cespe/Unb - Docas/PA) Julgue os itens que se seguem:

a) Considere a seguinte situação hipotética “Carlos aplicou R$ 5.000,00 em uma instituição

financeira à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados mensalmente” Nessa

situaçã, ao final de 2 meses, sessa aplicação renderá para Carlos um montante superior a

R% 5.300,00.

b) A taxa semestral de juros compostos equivalente à taxa de 21% a.a. é inferior a 11%.

    Solução:

    Na alternativa a:

    C=5.000,00; i = 2% a.m; t = mensal;

    M = 5000 * (1.02)²

    M = 5202

    Alternativa a) é falsa.

    Na alternativa b:

    1.21 = (1+i)²

    i = 0.1 = 10% ao semestre.

    Alternativa b) é verdadeira.

10. (Cespe/Unb - TRT 6º Região ) José dispõe de R$ 10,000, para aplicar durante três

meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de

investimento:

    * I - 2% de juros simples ao mês

    * II - 1% de juros compostos ao mês

    * III - resgate de R$ 10.300,00, no final de um período de três meses.

Com relação à situação hipotética apresentada acima e considerando que, uma vez

aplicado o dinheiro, não seja feita retirada alguma antes de três meses, julgue os itens

seguintes:

    * a) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, R$10.200,00.

    * b) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$10.350,00.

    * c) Se João optar pela proposta II, ele ter, no final do 2º mês, mais de R$10.200,00.

    * d) Se João optar pela proposta III, ele terá aplicado seu dinheiro a uma taxa de juros

igual a 3% ao trimestre.

    * e) Para João, a proposta financeiramente menos favorável é a III.

    Solução:

    C = 10000; n =3

    iI = 0,02

    Na proposta I, no final do primeiro mês:

    MI = 10000 * (1+0,02*1)

    MI = 10.200

    Na proposta I, no final do segundo mês:

    MI = 10000 * (1+0,02*2)

    MI = 10.400

    Logo a alternativa a) é b) são verdadeiras.

    Na proposta II, no final do segundo mês:

    iII = 0,01

    MII = 10.000 * (1+0,01)²

    MII = 10201

    Então a alternativa c) também é verdadeira.

    Na proposta III:

    10300 = 10000*(1+i)

    (1+i) = 10300/10000

    (1+i) = 1,03

    i=0,03

    Como i foi 3% ao semestre, então a alternativa d) também é verdadeira.

    Olhando para todas as opções de investimento temos

        * MI = 10.600

        * MII = 10.303,01

        * MIII = 10.300

    Então a alternativa e) também é verdadeira.