Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de ... · Numa primeira fase...

Mestrado Integrado em Engenharia Química

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento

com separação laminar

Tese de Mestrado

de

Maria Alexandra Cabral da Silva Azevedo

Desenvolvida no âmbito da disciplina de Dissertação

realizada na

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Orientadores na FEUP: Prof. Fernando Tavares de Pinho

Prof. Paulo Martins Coelho

Prof. Manuel Moreira Alves

Departamento de Engenharia Química

Fevereiro de 2011

“Quem tem um porquê,

enfrenta qualquer como.”

Viktor Frankl

Agradecimentos

Depois de ter chegado ao final da minha tese senti que deveria expressar os meus sinceros

agradecimentos a algumas pessoas que, com o seu saber, me permitiram elaborar este trabalho.

Assim, ao Professor Fernando Pinho pela sua orientação e total disponibilidade. Ao Professor Paulo

Coelho pela sua colaboração na realização do trabalho experimental. Ao Professor Manuel Alves pela sua

colaboração no projecto.

Também queria agradecer ao Dr. Adélio Cavadas, pela disponibilidade e apoio demonstrada ao longo de

todo trabalho.

Resumo

Este trabalho está inserido num projecto de investigação que visa o estudo experimental e numérico de

uma nova técnica para melhorar o tratamento de águas residuais por radiação ultravioleta, através da

supressão de ejecção de vórtices na esteira de von Kármán. A técnica consiste na colocação de um

cilindro de controlo (fio) na esteira a jusante da lâmpada de ultravioleta.

Numa primeira fase realizaram-se ensaios experimentais preliminares de visualização do escoamento,

através da técnica de injecção de um traçador, colocando o cilindro de controlo em diferentes posições

radiais e angulares relativamente ao cilindro principal, que representa a lâmpada de ultravioleta. Os

resultados mostram que a colocação do cilindro de controlo a 80º relativamente ao ponto de estagnação

frontal permitia uma redução da frequência de ejecção de vórtices. Contudo, este estudo experimental

ainda não está concluído e é necessário estudar outras posições na esteira.

Iniciou-se o estudo numérico por uma série de exercícios de validação, para o escoamento laminar

estacionário e transiente em torno de um cilindro de modo a averiguar o impacto sobre os resultados do

refinamento da malha e dos métodos de discretização utilizados. Ainda na fase de validação efectuou-se

um estudo numérico do escoamento em torno de um cilindro principal, em regime laminar, na presença

de um cilindro de controlo colocado na esteira do primeiro cilindro. Verificou-se que a supressão de

vórtices ocorre quando se utiliza uma razão entre o diâmetro dos cilindros de controlo e principal, D2/D1,

igual a 1/10 e quando o cilindro de controlo está colocado a uma distância de 2D1 na direcção horizontal e

D1 na direcção vertical, para um número de Reynolds de 60 e 100. Todos estes casos compararam bem

com os resultados da literatura que serviram de referência. Como o escoamento real nos sistemas de

desinfecção ocorrem a números de Reynolds da ordem de 104, os estudos seguintes foram efectuados no

regime de escoamento turbulento. Aqui, pretendeu-se avaliar a capacidade preditiva de diversos modelos

de turbulência de duas equações para as equações governativas de Reynolds, nomeadamente modelos k-ε

e modelos k-ω, disponíveis no software comercial Fluent v6.3. Sendo a principal característica deste tipo

de escoamentos, a formação e/ou desprendimento de vórtices, que levam a flutuações significativas do

campo de pressões, surge a necessidade de verificar se os modelos de turbulência conseguem reproduzir

correctamente a frequência e a magnitude dessas flutuações. Começou-se por estudar o desempenho dos

modelos de turbulência nos escoamentos de Poiseuille entre placas planas no qual se verificaram boas

previsões desde que os modelos sejam correctamente aplicados (por exemplo, o primeiro nó tinha que

estar situado na zona inercial quando usando o modelo k-ε). Seguidamente estudou-se o escoamento em

torno de um cilindro de secção quadrada onde a separação do escoamento ocorre em posições fixas e os

resultados estão em concordância com a literatura.

Finalmente simularam-se os escoamentos em torno de cilindros de secção circular para números de

Reynolds de 104, 2.74 x 104 e 106 que permitiram concluir que os modelos k-ε são os que apresentam

maior fragilidade quando sujeitos a elevados gradientes de pressão adversos. Os resultados obtidos

através do k-ω padrão e k-ω SST, que são modelos modificados que permitem o cálculo na região

viscosa, são os que melhor se aproximam da literatura.

Abstract

This work is part of a research project aimed at experimentally and numerically investigating the possible

benefits of a new technique for the treatment of wastewater by ultraviolet radiation, through the

suppression of wake vortex formation. The technique consists of placing a small control cylinder (wire) at

the wake behind the ultraviolet lamp.

The work started with some preliminary flow visualizations of the flow around a cylinder in the presence

of a control cylinder using dye injection. The control cylinder was placed at various radial and azimuthal

positions around the main cylinder, which represents the ultraviolet lamp. The results showed that placing

the control cylinder at 80° from the frontal stagnation point, reduced the vortex shedding frequency.

However, these experiments need to be completed including the situation where the control cylinder is

placed downstream of the main cylinder.

The numerical study began with a series of validation tests for steady and unsteady laminar flow around a

circular cylinder to assess the effects of mesh refinement and discretization methods used. The validation

included the laminar flow around a cylinder in the presence of a second control cylinder, placed in the

wake of the main cylinder. The vortex was suppressed when the ratio between the diameters of the

control and main cylinders, D2/D1, was 1/10 and the control cylinder was placed at a distance of 2D1 and

D1 in the horizontal and vertical directions, respectively, for a Reynolds number of 60 and 100. All cases

compared well with the benchmark results from the literature.

As the actual flow in disinfection systems occurs at Reynolds numbers of about 10000, the subsequent

numerical studies were carried out in turbulent flow. At this stage of the project and in this thesis the aim

was to evaluate the ability of several 2 equations RANS turbulence models available in the used

commercial code, Fluent v6.3, namely several k-ε and k-ω closures. As the main feature of these flows is

the appearance of vortex shedding in the cylinder wake, leading to significant fluctuations of the pressure

field, it is necessary to check whether the turbulence models can correctly reproduce the frequency and

magnitude of these fluctuations. Initially, the performance of the turbulence models was assessed in fully-

developed channel flow, where predictions were good provided the models where correctly applied (for

instance, for the k-ε model the first node should be located in the region of validity of the log-law). Then,

the turbulent flow around a square cylinder was investigated. Here, the point of flow separation is fixed

and the results were in good agreement with the literature.

Finally, the flows around a single cylinder were carried out at Reynolds numbers of 104, 2.74 x 104 and

106 and the results showed that the k-ε models were less robust in these flows with large adverse pressure

gradients and that the standard k-ω and k-ω SST models, which are modified models to allow for

calculations within the viscous region are in fairly good agreement with the literature.

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento com separação laminar

i

Índice

Índice .............................................................................................................................................................. i

Capítulo 1 Introdução ................................................................................................................................... 1

1.1 Enquadramento e apresentação do Projecto .................................................................................... 1

1.2 Organização da tese ........................................................................................................................... 2

Capítulo 2 Escoamento em torno de corpos imersos: Fundamentos teóricos ............................................ 4

2.1 Conceitos Fundamentais .................................................................................................................... 4

2.2 Conceitos de força de arrasto e força de sustentação ....................................................................... 5

2.3 Conceito de camada limite e separação do escoamento................................................................... 7

2.3.1 Placa Plana ................................................................................................................................... 7

2.3.2 Cilindro ........................................................................................................................................ 8

2.4 Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices ................................................................ 12

2.5 Estado da Arte .................................................................................................................................. 14

2.6 Conclusão ......................................................................................................................................... 18

Capítulo 3 Ensaios Experimentais............................................................................................................... 19

3.1 Instalação ......................................................................................................................................... 19

3.2 Resultados ........................................................................................................................................ 21

3.3 Conclusão ......................................................................................................................................... 24

Capítulo 4 Equações Fundamentais ........................................................................................................... 25

4.1 Equações Governativas .................................................................................................................... 26

4.1.1 Conservação da Massa – equação da continuidade ................................................................. 26

4.1.2 Equação de quantidade de Movimento .................................................................................... 26

4.2 Equações de Reynolds ...................................................................................................................... 27

4.3 Variáveis características de turbulência ........................................................................................... 28

4.4 Modelos de Turbulência ................................................................................................................... 30

4.4.1 Modelos lineares de viscosidade turbulenta de duas equações ............................................... 32

4.4.1.1 Modelo k-ε padrão ................................................................................................................. 32

4.5 Influência da parede no escoamento turbulento ............................................................................ 33

4.6 Método Numérico para Resolução das Equações Governativas ..................................................... 35

4.7 Conclusão ......................................................................................................................................... 36

Capítulo 5 Metodologia Numérica e Validação .......................................................................................... 37

5.1 Geração da malha ............................................................................................................................. 37

5.2 Método Numérico ............................................................................................................................ 38


ii

5.3 Critério de Convergência .................................................................................................................. 40

5.4 Validação .......................................................................................................................................... 40

5.4.1 Escoamento laminar estacionário em torno de um cilindro ..................................................... 40

5.4.2 Escoamento laminar transiente em torno de um cilindro ........................................................ 43

5.4.3 Escoamento laminar transiente em torno de dois cilindros ..................................................... 45

5.4.4 Escoamento em regime turbulento entre duas placas ............................................................. 48

5.4.5 Escoamento turbulento transiente em torno de um paralelepípedo quadrangular ................ 51

5.5 Conclusão ......................................................................................................................................... 53

Capítulo 6 Resultados Numéricos .............................................................................................................. 54

6.1 Escoamento turbulento em torno de um cilindro ........................................................................... 54

6.1.1 Resultados para Re=2.74 x 104 .................................................................................................. 54

6.1.2 Resultados para Re=104 ............................................................................................................. 58

6.1.3 Resultados para Re=106 ............................................................................................................. 59

6.1.4 Comparação de resultados ........................................................................................................ 62

6.2 Conclusão ......................................................................................................................................... 63

Capítulo 7 Conclusão .................................................................................................................................. 64

7.1 Conclusão ......................................................................................................................................... 64

7.2 Sugestão para Trabalho Futuro ........................................................................................................ 65

Bibliografia.................................................................................................................................................. 66

Anexos ........................................................................................................................................................ 68

Anexo A - Esquema do posicionamento do cilindro de principal e do cilindro de controlo na instalação

experimental. ......................................................................................................................................... 68

Anexo B - Resultados experimentais ...................................................................................................... 69

Anexo C - Equação de Navier-Stokes expandida .................................................................................... 70

Anexo D - Modelos de Turbulência ........................................................................................................ 71


iii

Índice de Figuras Figura 1 - Força de pressão e viscosidade a actuar num corpo bi-dimensional e a resultante da força de sustentação e arrasto (adaptado de Çengel e Simbala, 2006). .................................................................... 5

Figura 2 – Conceito de camada limite (adaptado de Munson et al, 2004). ................................................. 7

Figura 3 – Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo, laminar; (b) escoamento com Re alto (adaptado de White et al., 1986). ......................................... 8

Figura 4 - Escoamento em redor de um cilindro estacionário: a)caso ideal, b) caso real com separação do escoamento (adaptado de Munson et al., 2004). ........................................................................................ 9

Figura 5 - Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds (a) baixo, (b) moderado e (c) alto, (adaptado de Munson et al., 2004) ....................................................... 9

Figura 6 - Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição de pressões na superfície (adaptado de Munson et al., 2004). ............................................. 10

Figura 7 – Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a formar-se na esteira; b) antes do desprendimento do vortice B, o vórtice C está a formar-se na esteira (de, Sumer, 1997). ....................................................... 13

Figura 8 – Curva do número de Strouhal em função do número de Reynolds para a faixa de: 47< Re < 2x105 (adaptado de Fey et. al., 1998). ........................................................................................................ 13

Figura 9 – Esquema do canal de água: localização da montagem experimental, posicionamento do cilindro principal do cilindro de controlo e da agulha de injecção. ........................................................... 20

Figura 10 – Instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente ao cilindro principal e da agulha de injecção. .............................................................................................................. 21

Figura 11 – Visualizações efectuadas com o cilindro de controlo na posição 1 e a 60⁰ e 120⁰ relativamente à horizontal. ........................................................................................................................ 22

Figura 12 – Número de Strouhal do desprendimento dos vórtices para as posições 1, 1 vedada, 2 e 3 em função do ângulo relativamente à horizontal. ........................................................................................... 23

Figura 13 - Variação do número de Strouhal em função da posição angular do cilindro de controlo. ..... 24

Figura 14 – Evolução temporal de uma variável em regime turbulento: a decomposição de Reynolds. .. 27

Figura 15 - Perfil transversal da velocidade média local em regime turbulento: comparação do perfil de velocidades descrito pela lei da parede e pela lei logarítmica com os resultados experimentais, para o escoamento num tubo (adaptado de Çengle e Cimbala, 2006). ................................................................ 34

Figura 16 – Métodos de cálculo efectuados junto a paredes pelo FLUENT: a) aproximação por funções de parede (“Wall Function approach”) e b) por modelação junto da parede (“near-wall Model Approach”). .................................................................................................................................................................... 35

Figura 17 - Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro. .................................. 38

Figura 18 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto e no comprimento de separação. .................................................................................................................................................. 42

Figura 19 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto para Re=40. .......................... 43

Figura 20 – Influência do tempo de integração temporal e do refinamento da malha no número de Strouhal e no coeficiente de arrasto nas simulações efectuadas a Re=80. ............................................... 44

Figura 21 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno do cilindro principal e do cilindro de controlo. ..................................................................................................................................................... 46


iv

Figura 22 - Representação gráfica do coeficiente de sustentação em função do tempo para a simulação de D1/D2=1/7. ............................................................................................................................................. 46

Figura 23 – Campo de velocidade axial para o escoamento em torno de um cilindro de principal e um cilindro de controlo: a) supressão do desprendimento de vórtices a Re=60, b) desprendimento de vórtices a Re=200. ...................................................................................................................................... 47

Figura 24 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em regime turbulento para placas planas. ...... 48

Figura 25 - Influência da distância normalizada da primeira célula à parede para simulações entre placas paralelas. .................................................................................................................................................... 49

Figura 26 - Influência do refinamento da malha na simulação entre placas planas. ................................. 50

Figura 27 - Influência dos modelos de turbulência na simulação entre placas planas. ............................. 50

Figura 28 - Domínio de cálculo utilizado na simulação em torno de um paralelepípedo quadrangular..... 51

Figura 29 - Linhas de corrente instantâneas na simulação do escoamento turbulento em torno de um paralelepípedo quadrangular para Re=2x104. ............................................................................................. 52

Figura 30 - Dominio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro em regime turbulento. .................................................................................................................................................................... 54

Figura 31 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a malha M2 para Re=104. ................................................................................................. 60

Figura 32 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a malha M3, Re=104. ........................................................................................................ 60

Figura 33 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a malha M3 para Re=106. ................................................................................................. 61

Figura 34 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds, as linhas represntam resultados experimentais e os pontos resultados numéricos (adaptado de SUMER, 1997). .................... 62

Figura 35 - Variação do número de Strouhal em função do número de Reynolds, as linhas represntam resultados experimentais e os pontos resultados numéricos (adaptado de SUMER, 1997). .................... 63

Índice de tabelas Tabela 1 – Regimes de escoamento em redor de um cilindro liso em função do número de Reynolds (adaptado de Sumer, 1997). ....................................................................................................................... 11

Tabela 2 - Coeficientes �� ∗ e � para os vários intervalos de Reynolds. �� ∗é o erro estimado da recta de aproximação linear (Fey et al., 1998). ................................................................................................... 14

Tabela 3 – Características das malhas utilizadas nas simulações a Re=40. ................................................ 41

Tabela 4 - Comparação dos resultados obtidos com os valores da literatura, Re=40 e erro relativo calculado com base no valor extrapolado. ................................................................................................. 41

Tabela 5 - Resultados da simulação a Re 40 utilizando 3 malhas com diferentes refinamentos e resíduos de 1E-4 a 1E-9. .............................................................................................................................................. 42

Tabela 6 - Características da malha utilizada na simulação para Re=80. ................................................... 43

Tabela 7 -Influência tempo de integração e do refinamento da malha na direcção radial no número de Strouhal e no coeficiente de arrasto e erro relativo calculado com base no valor extrapolado. .............. 44

Tabela 8 - Características da malha utilizada na simulação com 2 cilindros. ............................................. 45


v

Tabela 9 - Resultados das simulações efectuadas para cilindro com uma razão entre diâmetros de D1/D2=1/7. .................................................................................................................................................. 46

Tabela 10 - Resultados da Simulação para D1/D2=1/10. ............................................................................ 47

Tabela 11 - Características das malhas utilizadas na simulação entre duas placas paralelas. ................... 49

Tabela 12 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um paralelepípedo quadrangular a Re= 2x104. .......................................................................................................................... 51

Tabela 13 - Resultados da simulação em torno de um paralelepípedo quadrangular, em regime turbulento Re 2x104. .................................................................................................................................. 52

Tabela 14 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um cilindro de secção circular. .................................................................................................................................................................... 55

Tabela 15 - Resultados das simulações em que de estudou a influência da distância entre a parede do cilindro e a primeira célula da malha. ........................................................................................................ 56

Tabela 16 - Estudo da influência no refinamento da malha nas simulações em torno de um cilindro para regime turbulento e erro relativo calculado com base no valor extrapolado. .......................................... 57

Tabela 17 - Estudo da influência do tempo de integração temporal nas simulações em torno de um cilindro para regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula. ...................... 57

Tabela 18 - Estudo da influência dos modelos de turbulência nas simulações em torno de um cilindro

para regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula e ∆t/t=1/1 000. ........... 58

Tabela 19 - Resultados das simulações para Re=104 e comparação com os resultados da literatura. ...... 59

Tabela 20 - Resultados das simulações para Re=106 e comparação com os resultados da literatura. ...... 61


vi

Notação e Glossário

Símbolos latinos

A área do cilindro frontal ao escoamento m2

AP área planiforme m2

CD coeficiente de arrasto

CD’ amplitude do coeficiente de arrasto

CD, fricção coeficiente de arrasto de fricção

CD, pressão coeficiente de arrasto de pressão

CL coeficiente de sustentação

CL’ amplitude do coeficiente de sustentação

Cp coeficiente de pressão

�, � �,Cµ parâmetros do modelo de turbulência

�� , �� , �� parâmetros do modelo de turbulência

Г� , Г� difusibilidade efectiva de � e ω respectivamente

D, D1 diâmetro do cilindro m

D2 diâmetro do cilindro de controlo m

ƒ frequência de ejecção de vórtices s-1

ƒa factor de fricção

FD força de arrasto N

FL força de sustentação N

g aceleração gravítica m/s2

��, ��, �� produção da viscosidade turbulenta

�� produção da taxa de dissipação especifica

� intensidade da turbulência %

� energia cinética turbulenta m2/s2

L comprimento do cilindro m

�ƒ comprimento característico da zona de formação m

�� comprimento característico de difusão m

Nr número de nodos radiais

Nθ número de nodos na direcção tangencial

P pressão do fluido Pa

P∞ pressão medida sobre a superfície do corpo Pa

� raio do cilindro m


vii

Re número de Reynolds

� termo fonte das equações na forma discreta

St número de Strouhal

U , ! velocidade média m/s

!′ flutuação da velocidade m/s

!" velocidade em coordenadas de parede

!# velocidade de fricção m/s

!, �, $ componentes cartesianas da velocidade m/s

!%&!'&(((((( tensor da tensão de Reynolds

w frequência angular rad/s

Y + distância normal em coordenadas de parede

) termo de destruição da viscosidade turbulenta

)* contribuição da flutuação da dilatação na turbulência

)�, )+ dissipação turbulenta de � e ω respectivamente

,, -, . coordenadas cartesianas

Letras gregas

ε taxa de dissipação turbulenta m2/s3

µ viscosidade dinâmica kg/(m.s)

ν viscosidade cinemática m2/s

ντ viscosidade cinemática turbulenta m2/s

θ ângulo de separação da camada limite do cilindro º

/0 comprimento da onda m

ρ massa volúmica kg/m3

δ tensor unitário

τ tensão de corte N/m2

ω taxa de dissipação específica s-1

∇! gradiente do vector velocidade s-1

∆nc/D distância do centro da primeira célula à parede, normalizada pelo diâmetro do cilindro

∆3 �⁄ variação média da dimensão radial das células normalizada pelo raio do cilindro

∆t tempo de integração temporal s

∆t/t tempo de integração temporal normalizada pelo tempo de um ciclo

∆θ variação angular de cada célula relativamente ao centro do cilindro º


viii

Abreviaturas

CFD Dinâmica de fluidos computacional (Computacional Fluid Dynamics)

DNS Simulação numérica directa (Direct Numerical Simulation)

DSN Modelo de tensões diferenciais

LES Simulação das grandes escalas (Large Eddy Simulation)

QUICK Esquema das diferenças a montante de 3ª ordem (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics)

MDF Método das diferenças finitas

MEF Método dos elementos finitos

MVF Método dos volumes finitos

MLSFD Método de diferenças finitas com base em minimos quadrados (Least Square-based Finite Difference Method

MUSCL Esquema monótono centrado a montante para leis de conservação (Monotone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws)

PISO Método de pressão implícita com separação de operador (Pressure-Implicit with Splitting of Operators)

RANS Equações de Navier-Stokes com média de Reynolds (Reynolds Averaged Navier-Stokes Equation)

r.m.s desvio padrão (root mean square)

RSM Modelo de tensões de Reynolds (Reynolds Stress Model)

SIMPLE Método Semi-Implícito para equações ligadas (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations)

UDS Esquema de diferenças de montante de 1ª ordem (Upwind Differencing Scheme)


1

Capítulo 1

Introdução

1.1 Enquadramento e apresentação do Projecto

Numa Estação de Tratamento de Águas Residuais (ETAR) as águas residuais passam por vários

processos de tratamento com o objectivo de diminuir a quantidade da matéria poluente antes de serem

encaminhadas para o mar ou rio. A água residual que chega à ETAR passa por um tratamento preliminar

que consiste na separação dos sólidos mais grosseiros. Aqui a água residual passa primeiro através de

grades, que retêm os materiais sólidos de grandes dimensões. No tratamento primário, as substâncias

sólidas em suspensão vão depositar-se no fundo dos decantadores. Neste tratamento é feita também uma

operação de desengorduramento que consiste em remover as gorduras e óleos presentes na água residual.

A água resultante destes processos passa depois por um tanque de arejamento que combina a agitação

com a injecção de ar. No tratamento secundário a água passa por um tanque com microorganismos as

quais vão eliminar a matéria orgânica dissolvida e em suspensão. A eficiência de um tratamento

secundário pode chegar a 95%. No entanto, para a remoção de organismos patogênicos ou, em casos

especiais, a remoção de determinados nutrientes, como o azoto e o fósforo, que podem potenciar,

isoladamente e/ou em conjunto, a eutrofização das águas receptoras efectua-se um terceiro tratamento que

consiste numa desinfecção. No tratamento terciário a água passa por um tanque onde é desinfectada com

cloro ou ozono ou através de radiação ultravioleta (UV). As estações de tratamento de águas residuais

presentemente implementadas na cidade do Porto (Sobreiras e Freixo) efectuam a desinfecção por

radiação ultravioleta. Neste processo a água a tratar circula através de um banco de lâmpadas de radiação

ultravioleta sendo submetida à acção da radiação ultravioleta.

É comum o uso de radiação ultravioleta na desinfecção de água em modernas ETAR, mas pouco se

conhece da eficiência desses sistemas, especialmente no que diz respeito aos efeitos da ejecção de

vórtices sobre o tempo de exposição dos elementos de fluido e a consequente dose de radiação. As fontes

de UV são frequentemente cilindros de secção circular colocados perpendicularmente ao escoamento e

pensa-se que os microorganismos contidos no interior de vórtices ficam expostos a quantidades de

radiação muito diferente dos que não são capturados nestas estruturas, afectando a eficiência global do

sistema.


2

Este trabalho está inserido num projecto que visa estudar experimental e numérico de uma nova técnica

para melhorar o tratamento de águas residuais por radiação ultravioleta através da supressão de ejecção de

vórtices que constitui a esteira de von Kármán. Esta tese cobre as primeiras fases deste projecto a três

anos.

Assim, desenvolveu-se uma instalação constituída por um cilindro de 40 mm de diâmetro, apetrechado de

um segundo cilindro de controlo de 3 mm ou 4 mm de diâmetro o qual pode ser colocado em várias

posições radiais ou angulares e que permite estudar algumas configurações onde ocorre essa supressão/

atenuação de ejecção de vórtices. Nesta situação efectuaram-se visualizações do escoamento em torno dos

cilindros, tendo-se variado a posição radial do cilindro de controlo de 20º a 120º, a partir do ponto de

estagnação frontal e de 3 mm, 6 mm e 9 mm na posição vertical, para averiguar o impacto sobre a ejecção

de vórtices, sobretudo em termos de frequência de ejecção. De notar que este conjunto de ensaios

experimentais não foi conduzido exaustivamente sendo ainda necessário efectuar medições nas posições

posteriores ao cilindro e usando uma nova técnica mais precisa.

De modo a estudar a eficiência da desinfecção por radiação é necessária uma correcta previsão numérica

do escoamento turbulento a um número de Reynolds (Re) que se situam entre 10 000 e 20 000. Contudo,

a previsão das características hidrodinâmicas de um escoamento em regime turbulento baseia-se no uso

de modelos de turbulência e estes nem sempre apresentam bons desempenhos, isto é, nem sempre estes

prevêem correctamente as características hidrodinâmicas do escoamento. Assim, efectuou-se um estudo

numérico comparativo das capacidades preditivas dos modelos de turbulência implementados no código

Fluent, na perspectiva da previsão do escoamento em torno de um cilindro. O recurso a este código

comercial deriva de facto deste possuir a capacidade de realizar estudos de exposição à radiação,

característica essencial para alcançar os objectivos do projecto.

Este trabalho insere-se pois no projecto de investigação e contribuindo para a concretização de duas das

fases iniciais do trabalho, não sendo por isso ainda conclusivo em termos do projecto. No essencial este

trabalho contribui para a montagem e testes preliminares da instalação experimental, preparando as fases

seguintes do trabalho experimental, e na vertente numérica ele averigua da capacidade preditiva dos

vários modelos de turbulência disponíveis no código comercial em relação ao escoamento turbulento em

torno de um cilindro de forma a ajudar à escolha do modelo que será posteriormente utilizado para os

cálculos mais complexos. Como parte inicial deste estudo do escoamento em torno de um cilindro no

regime turbulento decorreu um trabalho de simulação numérico de previsão de escoamentos laminar e em

torno de um cilindro para vários números de Reynolds, que visa averiguar o impacto sobre os resultados

do tipo de malha, do seu refinamento e dos métodos numéricos de discretização utilizados.

1.2 Organização da tese

Após esta introdução, é feita no capítulo 2, uma breve revisão do conhecimento actual relativo ao

escoamento em torno de cilindros, com o intuito de procurar fundamentar o trabalho aqui realizado,

seguindo-se no capítulo 3 a descrição da instalação experimental e os resultados dos testes preliminares já


3

realizados. O capítulo 4 apresenta as equações fundamentais para a solução numérica deste escoamento,

incluindo o conjunto de modelos de turbulência disponível no código de mecânica de fluidos

computacional Fluent. O capítulo 5, apresenta alguns aspectos que relacionam a simulação numérica e as

opções tomadas aquando da utilização do código Fluent e do gerador de malhas Gambit, e procede-se ao

cálculo numérico de um conjunto de casos para averiguar aspectos como a convergência iterativa,

incertezas dos resultados e sua dependência do grau de refinamento da malha. Estes cálculos em regime

laminar e turbulento referem-se a casos bem documentados na literatura que servem assim como base de

comparação para um exercício de validação. No capítulo 6, apresentam-se e discutem-se então os

resultados do estudo numérico do escoamento turbulento em tono de um cilindro. A tese termina no

capítulo 7, onde se apresentam as principais conclusões do trabalho e se fazem várias sugestões relevantes

para a continuação do projecto de investigação, quer na vertente experimental quer numérica.


4

Capítulo 2

Escoamento em torno de corpos imersos:

Fundamentos teóricos

2.1 Conceitos Fundamentais

Escoamentos em torno de corpos ocorrem frequentemente na prática, e são responsáveis por inúmeros

fenómenos físicos tais como a força de arrasto que actua nos automóveis, a força de sustentação

desenvolvida pelas asas dos aviões ou a energia gerada pela passagem do vento nas turbinas eólicas, entre

outros.

Portanto, desenvolver uma boa compreensão do escoamento externo é importante na construção de

muitos sistemas de engenharia tais como em projecto de aeronaves, edifícios, barcos e todo o tipo de

turbinas. Estas noções são convenientemente analisadas fixando o sistema de referência no corpo e estes

escoamentos são designados por escoamentos exteriores em torno de corpos. O escoamento pode ser

classificado como estacionário ou transiente, dependendo esta classificação em parte do referencial

seleccionado. Para uma aeronave, por exemplo, o escoamento é sempre transiente em relação à referência

solo, perspectiva Eulariana, mas é estacionário quando a referência se desloca juntamente com o avião,

perspectiva Lagrangiana. O campo de escoamento e a geometria para muitos problemas de escoamentos

exteriores são demasiadamente complexos para serem resolvidos analiticamente, e é necessário recorrer a

correlações baseadas em resultados experimentais ou proceder a simulações numéricas do escoamento, o

que nalguns casos pode ainda necessitar do recurso a modelos como acontece quando o escoamento

decorre no regime turbulento.

A velocidade do fluido que se aproxima do corpo é chamada de velocidade de corrente livre e designa-se

por 5∞. A gama de velocidade varia de zero na superfície (condição de não deslizamento) até ao valor da

corrente livre distante da superfície e o índice ∞ serve para relembrar que este valor é obtido a uma

distância onde a presença do corpo não é sentida.

A geometria do corpo tem influência no escoamento em torno do corpo e no campo de velocidade. Diz-se

que o escoamento em torno de um corpo é bi-dimensional quando um corpo é suficientemente longo na

direcção neutra e é de secção constante nessa direcção sendo ainda o escoamento perpendicular ao corpo.


5

A idealização das duas dimensões é apropriada quando o corpo é suficientemente longo, os efeitos nos

topos são insignificantes e o escoamento não perturbado é uniforme. O escoamento sobre corpos que não

podem ser modelados como bi-dimensionais, como por exemplo um carro, são designados por tri-

dimensionais.

2.2 Conceitos de força de arrasto e força de sustentação

É uma experiência comum que um corpo ofereça alguma resistência quando é forçado a mover-se através

de um fluido. O fluido exerce forças e momentos no corpo em várias direcções. A força que o fluido em

escoamento exerce num corpo na direcção do escoamento é designada por força de arrasto, FD. Na

ausência de escoamento, hidrostática, um fluido só exerce forças normais de pressão na superfície do

corpo imersa no fluido. Um fluido em movimento, contudo, exerce também forças tangenciais de corte na

superfície do corpo devido à condição de não deslizamento causada pelos efeitos viscosos, bem como

forças normais associadas à tensão viscosa, mas que são significativamente inferiores às forças de

pressão. Nos corpos bidimensionais todas as forças, em geral têm componentes na direcção tangencial e

normal ao escoamento, e assim a força de arrasto é uma combinação dos efeitos da pressão e das tensões

de corte na direcção do escoamento. A componente da pressão e da tensão de corte na direcção normal ao

escoamento tendem a mover o corpo nessa direcção, e esta resultante é designada por força de

sustentação, FL. A representação gráfica destas forças está ilustrada na figura 1.

Para um escoamento tri-dimensional, existe também uma componente lateral da força na terceira direcção

(que aqui vamos considerar ser a direcção z) que tende a movimentar o corpo nessa direcção. As forças

do fluido também podem gerar momentos e causar a rotação do corpo. O momento sobre a direcção do

escoamento é designado por momento de rolamento, o movimento na direcção de sustentação é designado

por momento de rotação lateral e o momento da força lateral é designado por momento de inclinação. A

força de arrasto (FD) e de sustentação total (FL) que actuam num corpo podem ser determinadas a partir

das distribuições de pressão (P) e tensão de corte (τw) usando as equações:

67 = 9 :67 = 9 ;−= >?@A + C�@DEAF:GHH (2.1)

Figura 1 - Força de pressão e viscosidade a actuar num corpo bi-dimensional e a resultante da força de

sustentação e arrasto (adaptado de Çengel e Simbala, 2006).


6

6I = 9 :6I = − 9 ;= @DE A + C� >?@AF:GHH (2.2)

O ângulo θ é o ângulo da normal do elemento de área dA relativamente à direcção do escoamento. A força

de arrasto e a força de sustentação dependem da massa volúmica do fluido, ρ, da velocidade da corrente

livre a montante, do tamanho, forma e orientação do corpo. Uma vez que não é prático apresentar estas

forças para uma variedade de situações utilizam-se números adimensionais que representam as forças de

arrasto e de sustentação do corpo. Estes números são o coeficiente de arrasto ;�7) e o coeficiente de

sustentação (�IF que estão definidos por:

�7 = JKLMNOMP (2.3)

�I = JQLMNOMP , (2.4)

onde A é a área frontal (área projectada na direcção normal do escoamento). No caso do cilindro de

diâmetro D e comprimento L a área frontal é definida por A=LD. Os coeficientes de arrasto e de

sustentação são também função do número de Reynolds e da rugosidade relativa da superfície.

Como mencionado atrás, a força de arrasto resulta das forças exercidas pelo fluido num corpo na direcção

do escoamento devido ao efeito combinado da tensão na parede e da força de pressão. Por vezes é mais

esclarecedor separar os dois efeitos e estudá-los em separado. A parte do arrasto que é devido à tensão de

corte na parede é designada por coeficiente de arrasto de fricção, �7,RSTUçãX, e a parte que é devida à

pressão é designada por coeficiente de arrasto de pressão �7,YSZ[[ãX, (também designada por arrasto de

forma devido à sua forte dependência da geometria do corpo). Estes coeficientes estão definidos por:

�7,RSTUçãX = JK,\]^_çãLMNOMP (2.5)

�7,YSZ[[ãX = JK,a]bccãLMNOMP . (2.6)

O coeficiente total de arrasto é determinado pela adição dos termos anteriores:

�7 = �7,RSTUçãX + �7,YSZ[[ãX (2.7)

O coeficiente de arrasto de fricção é a componente da força de corte na parede na direcção do

escoamento, e assim é dependente da orientação do corpo e também da magnitude da tensão de corte na

parede, τw. O coeficiente de arrasto de pressão é proporcional à área frontal e às diferenças de pressão que

actuam na parte frontal e posterior do corpo. O coeficiente de arrasto de pressão torna-se mais

significativo quando a velocidade do fluido é demasiado alta para que o fluido seja capaz de seguir a

curvatura do corpo, e nesse caso o escoamento separa-se do corpo criando uma zona de baixas pressões

na região posterior do corpo. O coeficiente de arrasto de pressão é neste caso devido a elevadas diferenças

de pressão entre a parte frontal e posterior do corpo.


2.3 Conceito de camada limit

Num fluido em escoamento em torno de u

de fluido adjacente ao objecto. Sobre a s

nula, a chamada condição de não deslizamento. Ao longo da direcção normal à superfície, a tensão de

corte diminui e a velocidade tende para a velocidade do fluido antes de ser perturbado pela presença do

objecto. Estabelece-se assim um perfil de velocidade

perfil se desenvolve dá-se o nome de

velocidade e a espessura desta camada limite vão depender de vários factores, sendo os mais importantes

a geometria, a orientação do objec

2.3.1 Placa Plana

Considere-se um fluido em escoamento não

se ilustra na Figura 2. No seu trajecto, o flui

colocada paralelamente à direcção do escoa

força de corte tangencial sobre o element

exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais próximo, retardando

vez, este elemento vai retardar outro elemento

dos elementos de fluido propaga

distância da placa, δ, na direcção normal, a acção das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir

dessa distância, a velocidade do fluido volta a ser

presença da placa chama-se camada limite de quantidade de movim

transição entre a zona de fluido retardado e a zona onde a velocidade do fluido deverá ser naturalmente,

igual à do escoamento ou seja, 5efectuada ao longo da coordenada

superiores a um dado limite, designado por

uniforme ao longo daquela coordenada (

Figura 2 – Conceito de camada limite

Em 1904, Prandtl salientou pela primeira vez que a espessura da camada limite era função da razão entre

as forças de inércia e as forças viscosas qu


7

Conceito de camada limite e separação do escoamento

em torno de um objecto sólido desenvolvem-se tensões de corte na camada

adjacente ao objecto. Sobre a superfície, a tensão de corte é máxima, e a velocidade do fluido é

de não deslizamento. Ao longo da direcção normal à superfície, a tensão de


se assim um perfil de velocidades na camada adjacente ao objecto. À zona onde este

se o nome de camada limite de quantidade de movimento


a geometria, a orientação do objecto e o número de Reynolds.

um fluido em escoamento não confinado, com um perfil de velocidade uniform

o seu trajecto, o fluido vai encontrar uma placa plana de comprimento infinito

direcção do escoamento. Quando o fluido encontra a placa, esta exerce uma

sobre o elemento de fluido. Este elemento de fluido não desliza, pára, e passa a

exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais próximo, retardando

vez, este elemento vai retardar outro elemento de fluido adjacente e assim sucessivamente

dos elementos de fluido propaga-se, com uma intensidade cada vez mais atenuada, até que a alguma

, na direcção normal, a acção das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir

dessa distância, a velocidade do fluido volta a ser 5∞. A toda a zona em que o fluido é retardado pela

camada limite de quantidade de movimento. A figura 2 representa a


5∞. Para um dado valor de , e 0, a transição entre

o da coordenada y, através de um perfil de velocidade 0 g !;-Fa um dado limite, designado por δ, o perfil de velocidade encontra-se já ajustado e passa a ser

uniforme ao longo daquela coordenada (! 8 5∞).

Conceito de camada limite (adaptado de Munson et al, 2004).


as forças de inércia e as forças viscosas que actuam no fluido, isto é do número de Reynolds,

�Dh 8 RXSçi[ TjZSUTiT[RXSçi[ T[UX[i[ 8 Nk∞h

µ

Linha de Corrente

Camada Limite


e e separação do escoamento

tensões de corte na camada

máxima, e a velocidade do fluido é

de não deslizamento. Ao longo da direcção normal à superfície, a tensão de


objecto. À zona onde este

camada limite de quantidade de movimento. O perfil de


confinado, com um perfil de velocidade uniforme 5∞, como

placa plana de comprimento infinito

do encontra a placa, esta exerce uma

não desliza, pára, e passa a

exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais próximo, retardando-o. Por sua

e assim sucessivamente. Este retardar

atenuada, até que a alguma

, na direcção normal, a acção das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir

. A toda a zona em que o fluido é retardado pela

A figura 2 representa a


, a transição entre estas duas zonas é

F g 5∞. Para valores de y

se já ajustado e passa a ser


mero de Reynolds,

(2.8)

Superfície de controlo


onde ρ é a massa volúmica e µ a viscosidade do fluido.

de placa plana x é o comprimento da placa

livre do escoamento. O número

viscosos. Assim, a um valor muito baixo de

comparativamente com a intensidade das forças de inércia, isto é, maior será a espessura da camada

limite, tal como se pode visualizar na figura 3.

Situação bem diferente é a que conduz a um elevado valor de

e o efeito viscoso apenas se faz sentir na vizinhança imediata da superfície sólida, numa extensão tanto

menor quanto maior o valor de Re

lugar geométrico dos pontos onde a velocidade

Figura 3 – Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo,

laminar; (b) escoamento com Re alto (a

2.3.2 Cilindro

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana,

um comportamento diferente. No caso do cilindro verifica

ordem de 5 o escoamento separa

o objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando

e formando uma bolha de recirculação

mais elevados forma-se uma esteira


8

a viscosidade do fluido. , e 5∞ são o comprimento característico

é o comprimento da placa e no caso do cilindro é o diametro) e a velocidade

de Reynolds, Re, traduz a importância relativa

. Assim, a um valor muito baixo de Re corresponde um predomínio


de visualizar na figura 3.

Situação bem diferente é a que conduz a um elevado valor de Re, as forças de inércia são preponderantes


Re. Por convenção definiu-se a espessura da camada limite como sendo o

ico dos pontos onde a velocidade u paralela à placa atinge 99% da velocidade externa U.

Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo,

laminar; (b) escoamento com Re alto (adaptado de White et al., 1986).

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana,

. No caso do cilindro verifica-se que a partir de um número de Reynolds da

separa-se do objecto, isto é as linhas de corrente do escoamento não contornam

o objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando

bolha de recirculação a jusante do corpo para 5 m �D m 40, e para

se uma esteira. A formação desta esteira caracteriza-se por um défice de quantidade


o comprimento característico (no caso

e a velocidade da corrente

relativa dos efeitos de inércia e

sponde um predomínio das forças viscosas


forças de inércia são preponderantes


se a espessura da camada limite como sendo o

paralela à placa atinge 99% da velocidade externa U.

Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo,

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana, exibe

a partir de um número de Reynolds da

do objecto, isto é as linhas de corrente do escoamento não contornam

o objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando-se da superfície

, e para números de Reynolds

se por um défice de quantidade


9

de movimento e pela presença de pressões relativamente baixas que geram uma força paralela ao eixo x,

que se opõe ao movimento do fluido, conhecida por arrasto de pressão. A figura 4-a) ilustra as linhas de

corrente para o caso ideal onde as tensões de corte são inexistentes e os campos de pressão e de

velocidade são ambos simétricos, não ocorrendo portanto a separação. A figura 4-b) ilustra as linhas de

corrente para o caso real de escoamento em redor do cilindro onde ocorre a separação do escoamento.

Figura 4 - Escoamento em redor de um cilindro estacionário: a)caso ideal, b) caso real com separação do

escoamento (adaptado de Munson et al., 2004).

Diversos factores podem modificar as características da esteira a jusante de cilindros circulares, dentre os

quais se destaca o número de Reynolds. A baixos números de Reynolds (Re < 1), as forças viscosas

predominam sobre as forças de inércia em todo o domínio do escoamento.

Figura 5 - Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds (a)

baixo, (b) moderado e (c) alto, (adaptado de Munson et al., 2004)


As linhas de corrente contornam suavemente o corpo sólido, sem descolamento da camada limite,

apresentando-se simétricas quer na parte frontal quer

representada na Figura 5-a). Este comportamento é similar ao descrito para o caso do escoamento ideal

excepto que não existe simetria posterior

aumento do número de Reynolds a zona onde as forças viscosas são importantes tor

forças de inércia ganham importância. À medida que

aumento dos gradientes de velocidade, quer porque as velocidades do escoamento poderão ser mais

elevadas, mas sobretudo porque a dimensão tran

aumentando em consequência as tensões de corte viscosas junto ao cilindro.

que as linhas de corrente já não conseguem contornar o corpo

gradiente adverso de pressão e nessa altura dá

cilindro, situação que está representada na Figura 5

escoamento, a região dominada pelas forças viscosas dimi

formando uma camada limite inercial

do cilindro, caso representado na figura 5

que podem desprender-se periodicamente de ambos os lados do cilindro, originan

von Kármán.

A formação e a extinção dos vórtices

laminar, de transição ou turbulento. Com

padrões de escoamento na esteira de um

Tabela 1.

Figura 6 - Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição

de pressões na superfície (adaptado de Munson et al., 2004)


10


se simétricas quer na parte frontal quer na parte posterior do cilindro, situação que está

a). Este comportamento é similar ao descrito para o caso do escoamento ideal

excepto que não existe simetria posterior devido ao crescimento do Cl ao longo do cilindro

aumento do número de Reynolds a zona onde as forças viscosas são importantes tor

forças de inércia ganham importância. À medida que o tamanho da zona viscosa se reduz dá


mas sobretudo porque a dimensão transversal da zona viscosa diminui de espessura,

aumentando em consequência as tensões de corte viscosas junto ao cilindro. O atrito

que as linhas de corrente já não conseguem contornar o corpo, pois não possuem energia para resistir ao

e nessa altura dá-se a separação do escoamento,

cilindro, situação que está representada na Figura 5-b). Aumentando ainda mais o número de Reynolds do

escoamento, a região dominada pelas forças viscosas diminui ainda mais de espessura tornando

inercial e surgem instabilidades na região da esteira que se estende a jusante

do cilindro, caso representado na figura 5-c). Neste regime, formam-se grandes estruturas turbilhonares

se periodicamente de ambos os lados do cilindro, originan

extinção dos vórtices na esteira são afectados pelo regime de esc

ou turbulento. Com base no número de Reynolds, Sumer

padrões de escoamento na esteira de um cilindro em escoamento estacionário, conforme

e um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição

de pressões na superfície (adaptado de Munson et al., 2004).

Esteira

larga

Esteira

estreita

Separação Separação

Laminar

Turbulento

Teoria

Inviscida



do cilindro, situação que está

a). Este comportamento é similar ao descrito para o caso do escoamento ideal

ao longo do cilindro. Com o

aumento do número de Reynolds a zona onde as forças viscosas são importantes torna-se pequena e as

zona viscosa se reduz dá-se um


sversal da zona viscosa diminui de espessura,

O atrito do escoamento é tal

, pois não possuem energia para resistir ao

se a separação do escoamento, na parte posterior do

b). Aumentando ainda mais o número de Reynolds do

nui ainda mais de espessura tornando-se fina

instabilidades na região da esteira que se estende a jusante

se grandes estruturas turbilhonares

se periodicamente de ambos os lados do cilindro, originando a chamada esteira de

regime de escoamento, que pode ser

Sumer (1997) identifica nove

stacionário, conforme se observa na

e um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição


11

A teoria da camada limite pode prever a existência do ponto de separação, mas não pode avaliar com

precisão a distribuição de pressões (em geral baixas) na região de escoamento separado pois aí a teoria da

camada limite não é valida. A figura 6 ilustra o efeito significativo do escoamento separado sobre a

distribuição de pressões.

Tabela 1 – Regimes de escoamento em redor de um cilindro liso em função do número de Reynolds (adaptado

de Sumer, 1997).

Vórtices

laminares

Transição para

turbulência na esteira

Esteira completamente turbulenta

A: Separação da camada limite laminar

Sub Crítico

A: Separação da camada limite laminar

B: Separação da camada limite turbulenta:

nas camada limite laminar Crítico

Super Critico

Transição superior

Transcritico C: Camada limite completamente

turbulenta nos dois lados

C: Camada limite completamente

turbulenta num lado

B: Separação da camada limite turbulenta:

Camada limite parcialmente laminar e

parcialmente turbulenta

Um par fixo de vórtices simétricos

Sem separação. Fluxo definido


12

A curva teórica para fluidos invíscidos está marcada a tracejado, na figura 6-c. A figura representa a

variação do coeficiente de pressão CP que se descreve como:

�o 8 opoqLMNkqM (2.9)

onde = e 5 são a pressão e a velocidade da corrente livre, respectivamente. As distribuições reais de

pressão da camada limite laminar e turbulenta são naturalmente diferentes das previstas pela teoria

inviscida, esta situação está ilustrada na figura 6-c. O escoamento laminar é muito vulnerável ao gradiente

adverso de pressão na traseira do cilindro e a separação ocorre em θ ≅82º. A esteira larga e a pressão

muito baixa na região de separação laminar causa um coeficiente de arrasto da ordem de CD=1.2. A

camada limite turbulenta na figura 6 – b) é mais resistente devido à energização da camada limite

provocada pela turbulência, que transporta energia de fora para dentro da camada limite e assim esta

resiste um pouco mais ao gradiente de pressão adverso, e a separação é retardada até θ ≅120º,

ocasionando uma esteira mais estreita, uma pressão a jusante maior e um coeficiente arrasto 75% menor,

CD=0.3. Isto explica a queda brusca do coeficiente de arrasto na transição de regime de escoamento.

Os fenómenos de deslocamento, formação da estrada de vórtices, estão normalmente associados à

existência de viscosidade e ao aparecimento de um gradiente positivo de pressões junto à parede do

obstáculo (gradiente de pressão adverso), correspondente ao escoamento exterior à camada limite. Ora,

quanto maior for a curvatura das paredes, maior será o gradiente de pressões e portanto mais intensos

todos estes fenómenos.

2.4 Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices

A característica mais importante do escoamento em torno de cilindros é o fenómeno de desprendimento

de vórtice que ocorre para Reynolds superiores a 40-47. A camada limite laminar separa-se da superfície

do cilindro devido ao gradiente de pressão adverso imposto pela divergente geometria do escoamento a

jusante do cilindro e pela consequente perda de quantidade de movimento.

Gerrard (1966), analisou os mecanismos físicos envolvidos no fenómeno de formação de vórtices no

escoamento ao redor de um cilindro. Devido à instabilidade, um vórtice (vórtice A, figura 7-a)) torna-se

maior do que o outro vórtice B e é suficientemente forte para atrair o vórtice oposto, menor (vórtice B,

figura 7-a)), cuja vorticidade tem direcção inversa à do maior, ou seja, se um tem vorticidade no sentido

horário o outro terá no sentido anti-horário. A aproximação do vórtice B, com vorticidade oposta, vai

cortar o fornecimento da vorticidade do vórtice A. Nesse momento o vórtice A desprende-se da camada

limite e é libertado na corrente. Imediatamente inicia-se a formação de um terceiro vórtice, vórtice C, com

as mesmas características do primeiro, enquanto o vórtice B cresce. Daí, da mesma maneira que o

primeiro foi libertado, vórtice A, o segundo também será, vórtice B. O vórtice B irá atrair o vórtice C,

forçando a sua própria separação. Este processo continua sempre que um vórtice for libertado de maneira

alternada entre os lados do cilindro. A esteira de vórtices forma-se assim apenas quando as duas camadas


de corte interagem entre si. A frequência de desprendimento de vórtices

com o número de Strouhal. O número de Strouhal

onde D é a dimensão característica

Figura 7 – Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do

desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a for

o vórtice C está a formar-se na esteira (de, Sumer, 1997).

O número de Strouhal é função

documentada por Fey (1998). Baseando

descreve a dependência entre o número de Strouhal e o número de Reynolds

�/√�D. Esta correlação, com coeficientes diferentes,

Re = 47 até Re u 2 w 10y tal como se pode visualizar no

Figura 8 – Curva do número de Strouh

(adaptado de Fey et. al., 1998).


13

A frequência de desprendimento de vórtices, f, está directamente relacionad

com o número de Strouhal. O número de Strouhal �� é um número adimensional, definido por:

�� 8 R 7k

é a dimensão característica e 5 é a velocidade da corrente livre.

Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do

desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a formar-se na esteira; b) antes do desprendimento do vortice B,

se na esteira (de, Sumer, 1997).

é função do número de Reynolds, e essa dependência foi estudada e está

1998). Baseando-se em dados experimentais desenvolveu

descreve a dependência entre o número de Strouhal e o número de Reynolds,

, com coeficientes diferentes, aplica-se desde o início da formação dos vórtices a

tal como se pode visualizar no Figura 8.

Curva do número de Strouhal em função do número de Reynolds para a faixa de: 47<


stá directamente relacionada

é um número adimensional, definido por:

(2.10)

Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do

ira; b) antes do desprendimento do vortice B,

essa dependência foi estudada e está

dados experimentais desenvolveu-se uma nova lei que

descrita por �� 8 �� Bse desde o início da formação dos vórtices a

al em função do número de Reynolds para a faixa de: 47< Re < 2x105


14

Os coeficientes �� e � foram obtidos por ajuste para várias gamas de número de Reynolds e estão

apresentados na tabela 2.

Tabela 2 - Coeficientes z{� e | para os vários intervalos de Reynolds. }z{�é o erro estimado da recta de

aproximação linear (Fey et al., 1998).

Gama de Re z{� | }z{� 47 < Re < 180 0.2684 -1.0356 0.0010

180 < Re < 230 0.2437 -0.8607 0.0015

230 < Re <2 40 0.4291 -3.6735 0.0015

240 < Re < 360 Depende das condições nos topos do cilindro

360 < Re < 1300 0.2257 -0.4402 0.0015

1300 < Re < 5000 0.2040 0.3364 0.0015

5000< Re < ~ w �� 0.1776 2.2023 0.003

2.5 Estado da Arte

O escoamento externo em torno de corpos representa uma importante área da dinâmica de fluidos com

um elevado número de aplicações em muitas áreas da engenharia. Os resultados obtidos têm dado grandes

contribuições para compreender muitas situações do quotidiano. O pioneiro nestes estudos foi von

Kármán e de seguida surgiram inúmeros trabalhos sobre este tema, quer ao nível experimental, quer

numérico em geometrias genéricas como, o cilindro e a esfera.

No presente trabalho, estuda-se o escoamento em torno de um cilindro infinito não rugoso. Em

escoamento laminar têm-se feito muitos estudos que permitiram um bom entendimento dos fenómenos

físicos do escoamento. Park et al. (1998) efectuaram simulações para número de Reynolds inferiores a

160 utilizando um método de elevada resolução e uma malha de 641 × 241 células. Os seus resultados

apresentaram boa concordância com os resultados experimentais e numéricos de outros autores,

relativamente às seguintes variáveis: número de Strouhal, coeficiente de arrasto e de sustentação, ângulo e

o comprimento de separação.

Os melhoramentos na capacidade computacional levaram, nos últimos anos, a estudos para elevados

números de Reynolds que têm permitido compreender os fenómenos relacionados com a turbulência

nomeadamente o aparecimento de instabilidades que acabam por originar os chamados vórtices na

camada de corte e até mesmo o fenómeno de desprendimento de vórtices. O estudo de escoamentos

turbulentos pode ser feito por diferentes abordagens, sendo as principais, a Simulação Numérica Directa

(DNS), a Simulação de Grandes Escalas (LES) e a resolução das equações de Reynolds Averaged Navier-

Stokes (RANS). Alguns são descritos de seguida.

Celik e Shaffer (1995) utilizaram o modelo k-ε padrão e efectuaram simulações 2D para estudar

escoamentos na gama (10� < �D < 10�) numa malha de 100 × 150 células. Para o escoamento

subcrítico, �D = 10y, verificou-se uma boa concordância com resultados experimentais antes da


15

separação laminar e na previsão do ponto de separação, a 80º. Após o ponto de separação, o modelo não

foi capaz de prever a formação/desprendimento de vórtices. No escoamento em regime supercrítico,

�D 8 3.6 × 10�, verificou-se que a distribuição de pressões e o ponto de separação, a 118º, estavam em

concordância com as medições experimentais. No entanto a tensão de corte na parede estava sobre-

estimada, com valores excessivamente elevados, que ocorrera devido à existência de vórtices turbulentos

na camada limite. Concluiu-se que os resultados eram influenciados pela distribuição da malha na camada

limite.

Kravchenko e Moin (1999), efectuaram estudos numéricos no regime sub-crítico, para �D = 3900

utilizando a técnica LES e o modelo Smag dinâmico que é usado para considerar as escalas de turbulência

tridimensionais que não são resolvidas pela malha. Na proximidade do cilindro e na região da esteira

verificou-se que os resultados estavam em concordância com os resultados computacionais e

experimentais. Neste estudo mostrou-se que os efeitos da terceira dimensão são importantes na previsão

do escoamento. Concluiu-se que uma resolução inadequada da malha pode causar uma antecipação da

separação da camada limite, o que leva à imprecisão do cálculo dos parâmetros do escoamento, como o

coeficiente de arrasto e de sustentação.

Catalano et al. (2003) avaliaram a viabilidade e a concordância do método LES acoplado a um modelo de

parede para escoamentos turbulentos no regime super-crítico (5 × 10y < �D < 10�) no qual a camada

limite se torna turbulenta antes da separação. Os resultados foram comparados com os obtidos através dos

modelos RANS, k-ε padrão, e com resultados experimentais. Verificou-se que os resultados prevêem

correctamente o atraso na separação da camada limite, a redução do coeficiente de arrasto e a distribuição

média de pressões para �D = 5 × 10y e �D = 10�. Os autores encontraram também pouca sensibilidade

em captar a variação do coeficiente de arrasto com o número Reynolds em especial para números de

Reynolds mais elevados (�D = 2 × 10�), uma vez que os resultados obtidos não seguiam os resultados de

Achenbach (1968) que previam um aumento do coeficiente de arrasto com o aumento do número de

Reynolds, o que segundo o autor, se pode dever ao facto da malha ser grosseira, particularmente antes da

separação.

Dong e Karniadakis (2005) apresentam os resultados de simulações 3D efectuadas pelo método de

simulação numérica directa (DNS) acompanhado pelo algoritmo tipo multinível paralelo com um

elemento espectral que diminui os custos computacionais, para um número de Reynolds de 104. A

principal vantagem deste algoritmo paralelo é a redução de muitos processos que estão envolvidos em

cada comunicação com um nível único. O coeficiente de arrasto, o coeficiente de pressão e o número de

Strouhal obtidos para as simulações, apresentam boa concordância com os resultados experimentais. Este

facto indicou que estes parâmetros não são sensíveis à resolução da malha. Por outro lado o coeficiente de

sustentação, calculado demonstrou ser muito sensível.

Younis e Przulj (2005), refere-se à previsão de um escoamento com fluxo cruzado sobre cilindros lisos a

um elevado número de Reynolds (2 × 10� < �D < 3.5 × 10�F, considerando os cilindros circulares e

também os de secção quadrada, em 2D. O autor salientou a dificuldade de previsão deste tipo de

escoamento, devido à esteira de vórtices de Von Kármán que se forma e que provoca flutuações


16

significativas nas pressões à superfície. Neste trabalho, o autor argumenta que a organização de

flutuações no campo médio do escoamento introduz um fluxo de energia para os movimentos turbulentos

aleatórios com uma frequência que corresponde exactamente à frequência de desprendimento e que torna

necessário ter em conta no fecho da turbulência aquando da modificação resultante do processo de

transferência espectral. Por isso mesmo, e para eliminar essas flutuações, o autor, propôs um modelo

RNG modificado, alterando os coeficientes de turbulência. Devido a essas alterações, as incertezas nas

previsões devido a erros de discretização numérica são sistematicamente minimizados. Os resultados para

o cilindro de secção quadrada estão de acordo com os dados experimentais e com os resultados de outros

autores efectuados pelo método LES e pelo DSM (Modelo de Tensões Diferencial). No caso do cilindro

de secção circular comparam-se os resultados obtidos com o modelo RNG e com o modelo RNG

modificado, que se apresentam coerentes entre si, nomeadamente na frequência de ejecção de vórtices, no

coeficiente de arrasto e de sustentação e no ângulo de separação. Verificou-se, no caso do cilindro que a

captação do desprendimento dos vórtices é muito sensível à localização das células na proximidade da

parede e à posição de separação não se nos afigura correcta pois está localizada para ângulos superiores

aos que são característicos do regime de separação laminar, pelo menos para os números de Reynolds no

limite inferior da gama de estudo.

Reichel e Strohmeier (2008) demonstraram que os modelos de turbulência baseados nas equações de

RANS (modelo k-ω padrão e k-ω SST) não prevêem correctamente o escoamento, quando existem

regiões parcialmente ou totalmente laminares, como no caso da camada limite que se forma a partir do

ponto de estagnação frontal, para simulações efectuadas em 2D. Verificou-se que o coeficiente de arrasto

e de sustentação apresentavam valores superiores ao previsto experimentalmente para a gama de

Reynolds de transição. Para tornar estes modelos mais eficientes, é necessário que a modelação tenha em

conta o processo de transição das regiões laminar para turbulento ou utilizar modelos de ordem superior.

Um campo bastante explorado e também de suma importância nesta área, é o estudo da possibilidade de

controlar a formação e desprendimento de vórtices. O controlo dos vórtices leva à redução das forças não

estacionárias que actuam no corpo e podem reduzir significativamente as suas vibrações. O controlo do

escoamento é acompanhado pelo controlo da separação da camada limite e/ou da estrutura da camada de

corte na esteira. Zdravkovich (1981) apresentou, de um modo geral, os vários meios de supressão de

vórtices, que podem ser classificados em duas categorias: métodos passivos e métodos activos de

controlo. Os métodos activos aplicam forças rotacionais oscilatórias e electromagnéticas. Os métodos

passivos consistem na aplicação de modificações na superfície dos corpos, tais como alteração na

rugosidade, aplicação de um arame helicoidal e aplicação de um pequeno cilindro de controlo secundário,

sendo este o método que se pretende estudar neste trabalho.

Mittal e Raghuvanshi (2001) demonstram, numericamente, que o desprendimento de vórtices podia ser

alterado ou até mesmo suprimido, no regime de escoamento laminar (�D 8 60, 70, 80, 100F, pela

colocação de um segundo cilindro, cujo diâmetro (D2) era de 1/7 o diâmetro do cilindro principal (D1), na

esteira do cilindro principal. O vórtice foi suprimido para �D = 60 quando a distância entre o centro dos

dois cilindros era de P=2D1 na direcção do escoamento e T=D1 na direcção perpendicular ao escoamento,


17

relativamente ao diâmetro do cilindro principal. Quando a distância entre o centro dos dois cilindros era

de P=2D1 na direcção paralela ao escoamento e T=0.8D1 na direcção perpendicular, o vórtice foi

suprimido para Re=80. Nos casos onde o vórtice é suprimido, observa-se que o cilindro de controlo

proporciona um gradiente de pressões favorável na região da esteira, deste modo estabiliza a tensão de

corte localmente.

Dalton e Xu (2001) apresentam resultados experimentais e numéricos, utilizando o modelo LES em 3D,

da supressão ou redução de vórtices pela colocação de um cilindro de controlo na camada de corte do

cilindro principal, cujo diâmetro era de 1/10 do diâmetro do cilindro principal, para Re=100, 1000 e 3000.

Neste trabalho, os cilindros têm uma distância entre os seus centros de R/D1=1.2, 1.3, 1.4e 1.6,

relativamente ao diâmetro do cilindro principal (D1), e fez-se mudar o ângulo de ataque de 15º, 20º, 25º,

30º. No caso de Re=100, a supressão de vórtices ocorreu para um ângulo de ataque de 25º e 30º e para

uma distância entre os centros de R/D1=1.4 provocando uma diminuição de 33 % no valor do coeficiente

de arrasto. No caso de Re=1 000, a supressão ocorreu para um ângulo de 25º e para uma distância entre

os centros dos cilindros de R/D1=1.2. No caso de Re=3 000 a supressão dos vórtices ocorreu para 20º e

para uma distância entre os centros dos cilindros de R/D1=1.2, com uma diminuição do coeficiente de

arrasto de 25%. Neste trabalho demonstrou-se que a supressão de vórtices pela colocação de um cilindro

de controlo, era muito sensível ao ângulo de ataque e ao espaço entre os dois cilindros.

Dipankar et al. (2006), comprovaram numericamente o trabalho desenvolvido por Stroykowski e

Sreenivasan (1990) resolvendo as equações de Navier-Stokes utilizando funções corrente de vorticidade.

Estudaram-se duas situações, no caso A, a razão entre os diâmetros era de 1/7 e a distância entre eles era

de P=1.75D1e T=D1 para Re =150. No caso B, a razão entre os diâmetros era de 1/10 e a distância entre

eles era de P=1.2D1e T=0.95D1 para Re = 63 e 79. Os resultados obtidos estavam de acordo com os

resultados experimentais. Neste trabalho conclui-se que a presença do cilindro de controlo deflectia e

alongava a esteira e, portanto, o escoamento tornava-se instável a uma distância superior do cilindro,

causando o enfraquecimento dos vórtices.

Yildirim et al. (2009), investigaram numericamente o efeito da colocação de um cilindro de controlo

muito fino, nas propriedades da esteira do cilindro principal para Re = 100. A razão entre o diâmetro do

cilindro principal e do cilindro de controlo é de 1/50 e como tal não ocorre formação de vórtices no

cilindro de controlo. No entanto a vorticidade introduzida, pelo cilindro de controlo na proximidade da

camada de corte superior do cilindro principal, afecta a dinâmica de flutuação de vórtices na região da sua

formação no cilindro principal. Verificou-se que o efeito da posição horizontal em que se coloca o

cilindro de controlo, tem um menor efeito na frequência dos vórtices quando comparado com o efeito da

posição vertical. A posição óptima do cilindro de controlo para controlar a esteira encontra-se dentro da

fronteira de uma região elíptica fechada que se estende na região do escoamento e se restringe a uma

pequena área para razões entre diâmetros elevadas e para um determinado número de Reynolds. A

máxima redução das flutuações ocorre quando o cilindro de controlo está posicionado a T/D1=0.875 na

direcção vertical e a P/D1=0.75 na direcção horizontal. Outro dos efeitos detectado, está relacionado com


18

a cinética dos vórtices que leva à modificação do arranjo destes e à diferença na força entre os vórtices na

parte superior e inferior que provoca a deflexão descendente da esteira.

Dessa forma, têm-se vindo a mostrar que para uma determinada faixa de frequência e amplitude de

oscilação do escoamento, é possível garantir um certo controlo sobre os mecanismos de instabilidade que

induzem a ocorrência do fenómeno de geração e desprendimento de vórtices. Assim, este trabalho

procura examinar estes efeitos para Re=104, valor bastante superior ao encontrado na literatura, e

encontrar a relação entre a posição do cilindro de controlo e a frequência de desprendimento, analisando

as variações nos coeficientes de arrasto e sustentação para os diferentes testes realizados.

2.6 Conclusão

Neste capítulo apresentaram-se os conceitos fundamentais de escoamentos externos em torno de corpos,

nomeadamente o conceito de força de arrasto, força de sustentação, coeficiente de arrasto, de sustentação

e de pressão.

Explicou-se detalhadamente o conceito de camada limite para o caso da placa plana e do cilindro.

Apresentaram-se os regimes de escoamento para o caso do escoamento em redor de um cilindro em

função do número de Reynolds e explicou-se o mecanismo de formação e desprendimento de vórtices.

Da revisão bibliográfica efectuada, é de notar que já se fizeram grandes avanços no estudo do

escoamento turbulento, utilizando como método de cálculo o DNS, LES e os modelos RANS, casos este

que vão servir como referência para o estudo do escoamento turbulento em torno de um cilindro. Os

estudos apresentados na literatura relativos ao controlo da formação de vórtices para escoamentos em

torno de cilindros contemplam escoamento para números de Reynolds até 3 000. Este trabalho visa o

estudo do efeito de um cilindro de controlo para Re=104, regime próximo do usado na desinfecção das

águas residuais por lâmpadas de luz ultravioleta. Note-se que este regime de escoamento é o mais difícil

de prever. Um vez que existem regiões do domínio onde o escoamento é laminar e outros onde é

turbulento, pelo que os modelos têm de ser algo sofisticados para serem capazes de lidar com esta

dualidade.


19

Capítulo 3 Ensaios

Experimentais

Neste capítulo apresentam-se os resultados experimentais do estudo preliminar relativo ao controlo das

instabilidades que induzem a ocorrência do fenómeno de geração e desprendimento de vórtices realizados

para Re=104. Os ensaios foram realizados no canal aberto instalado no Laboratório de Hidráulica e no

qual foi colocada a montagem experimental constituída por um cilindro principal de 40 mm de diâmetro e

cilindros de controlo de 3 mm e 4 mm de diâmetro. O cilindro de controlo foi colocado em 3 posições

radiais que correspondentes a 3 mm, 6 mm e 9 mm relativamente ao cilindro principal. Foi

simultaneamente movimentado angularmente entre 0º a 180º relativamente à horizontal para cada uma

das posições radiais e a partir do ponto de estagnação frontal.

Os resultados apresentados são parcialmente quantitativos, uma vez o canal só esteve disponível durante

um mês para a realização de todo o trabalho experimental e a técnica usada, visualização com traçador

não permite quantificar bem a intensidade dos vórtices.

3.1 Instalação

O presente trabalho, foi realizado no Laboratório de Hidráulica da FEUP no canal de água que funciona

em circuito fechado. O canal de água utilizado possui 17 metros de comprimento, e uma secção

transversal de 0.404 m de largura por 0.06 m de altura. Possui duas secções de teste, de 3 m de

comprimento cada, com paredes em vidro. O sistema completo de recirculação possui dois reservatórios

subterrâneos, quatro bombas com 150 L/s de capacidade de bombeamento, e um reservatório superior de

estabilização do escoamento. O medidor de caudal magnético MAG-XE, com precisão nominal de 0.5%

está colocado na tubagem de alimentação do canal e permite o controlo do valor instantâneo do caudal.

As condições experimentais adoptadas foram um caudal de 32.22 L/s e uma altura de água de 0.327m. A

velocidade da corrente livre no interior do canal é calculada pela seguinte expressão

� 8 �� (3. 1)

na qual Q é o caudal e A é a área transversal do canal secção de testes, imediatamente a montante da

posição em que o cilindro se encontra instalado.


20

A montagem experimental é constituída por um cilindro principal de 40 mm de diâmetro e um cilindro de

controlo sendo o cilindro principal suportado em 2 placas planas de acrílico de 11 mm de espessura, que

encostam às paredes do canal. A montagem foi instalada a 6 metros da entrada do canal visto que, em

trabalhos realizados anteriormente neste canal se verificou que nesta localização as velocidades se

mantinham constantes, apresentando um desvio padrão de 0.0011. O cilindro de controlo é colocado entre

duas placas de topo circulares, de pequena dimensão, que vão permitir que a camada limite seja de

pequena espessura quanto atinge o cilindro. Na figura seguinte pode visualizar-se uma representação

esquemática do canal de água utilizado.

Para os ensaios de visualização utilizou-se a técnica de visualização por injecção de traçadores líquidos.

Os vórtices, tornam-se visíveis, com grande nitidez e clareza, com o emprego de um traçador injectado na

corrente livre a montante do cilindro.

A injecção de traçadores líquidos tem sido utilizada no estudo de diversos tipos de escoamento, devido

sobretudo, à facilidade de implementação e ao baixo custo operacional que caracteriza esta técnica. O

processo de injecção é efectuado com o auxílio de uma agulha posicionada no interior do escoamento. A

injecção de traçador deve ocorrer de forma a introduzir a menor perturbação possível no escoamento.

Assim, a velocidade e a pressão de injecção devem ser controladas e mantidas em valores próximos

àqueles encontrados no escoamento, a fim de que o filamento de tinta se mantenha nítido e estável.

No presente trabalho, utilizou-se como traçador uma solução aquosa de permanganato de potássio. O

dispositivo de injecção, é constituído por um reservatório ligado por intermédio de uma mangueira

flexível a uma agulha dobrada em forma de cotovelo. Uma válvula, operada manualmente, faz o controlo

do caudal de traçador, gerado por gravidade, para o interior do escoamento principal. A agulha de

injecção é introduzida no interior da secção de testes a montante da instalação.

O cilindro de controlo pode ser colocado em 30 posições na radial, as quais estão espaçadas em intervalos

de 3 mm entre cada uma. O cilindro de controlo pode ser movimentado angularmente entre 0º a 180º

�

6 m

17 m

Agulha de injecção

de Traçadores

Cilindro Principal

Cilindro de Controlo

Placas Planas Placa de topo

Figura 9 – Esquema do canal de água: localização da montagem experimental, posicionamento do cilindro

principal do cilindro de controlo e da agulha de injecção.


21

relativamente à horizontal, medido a partir do ponto de estagnação frontal. Utilizaram-se dois cilindros de

controlo com 3 mm e 4 mm de diâmetro. No anexo A, figura A.1 está representada uma placa de topo e o

esquema do posicionamento do cilindro de controlo.

Utilizou-se uma câmara de vídeo (Canon Legria FS306), colocada perpendicularmente ao canal de água

com o auxílio de um tripé, para registar o comportamento do escoamento em torno do cilindro principal

para cada uma das posições do cilindro de controlo em estudo. Do lado oposto à câmara de vídeo

instalou-se um projector de luz para melhorar a luminosidade e aumentar o contraste de cor do traçador.

As visualizações registadas com a câmara de vídeo foram posteriormente processadas num programa de

edição de imagem, o Roxio Creator Pro 2010, que permite a visualização lenta das imagens e apresenta o

tempo no decorrer das imagens, o que permite determinar a frequência de ejecção dos vórtices em torno

do cilindro principal.

3.2 Resultados

Os ensaios de visualização do escoamento mediante a injecção de tinta foram realizados utilizando um

cilindro de controlo de 3 mm e um de 4 mm para as 3 posições mais próximas do cilindro principal, na

direcção radial. Efectuaram-se também visualizações na posição 1 mas neste caso, vedando o espaço

entre o cilindro principal e o cilindro de controlo. Estes ensaios foram efectuados variando, para cada

posição radial, a posição angular de modo a que o cilindro de controlo fizesse um ângulo de 20º, 40º, 60º,

80º, 90º, 100º e 120º relativamente à horizontal, medido a partir do ponto de estagnação frontal.

Da análise visual dos ensaios realizados verificou-se que o comportamento do escoamento, para o caso do

cilindro de controlo de 3 mm e de 4 mm, não diferia. Verificou-se que no caso da posição 1, 2 e 3 o

corante passa predominantemente entre os dois cilindros, enquanto que no caso em que o espaço entre os

cilindros está vedado o corante é forçado a passar por cima do cilindro de controlo.

Agulha de

injecção de

traçadores

Cilindro

Principal

� Cilindro

Controlo

Figura 10 – Instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente ao cilindro principal

e da agulha de injecção.


22

Na figura 11 podem visualizar-se imagens do escoamento para o caso do cilindro de controlo colocado na

posição 1 a 60º e 120º relativamente à horizontal utilizando um cilindro de controlo de 4 mm.

a) Posição 1 - 60⁰ b) Posição 1 - 120⁰

De modo a compreender o efeito do cilindro de controlo nas diferentes posições, determinou-se a

frequência de ejecção de vórtices e comparou-se o resultado obtido com o caso em que não estava

presente o cilindro de controlo. A frequência foi calculada pela visualização das imagens utilizando o

programa de edição de imagens que permite visualizar frame a frame o desprendimento do vórtice do

cilindro principal. Efectuou-se a contagem do número de vórtices para um período de 30 segundos, em

três amostras diferentes. Os resultados experimentais estão apresentados na forma adimensional e o

desvio padrão obtido para os ensaios é inferior a 1.5 × 10p�, tal como se pode visualizar na Tabela B.1,

do anexo B. Na figura 12 está uma representação gráfica da variação do número de Strouhal em função

do ângulo que o cilindro de controlo faz com a horizontal, medido a partir do ponto de estagnação frontal.

Nestes gráficos faz-se a comparação entre os resultados dos ensaios efectuados com o cilindro de controlo

de 3 mm com o de 4 mm. Da análise dos gráficos verifica-se que os resultados obtidos com o cilindro de

controlo de 3 mm e com o de 4 mm são similares. De um modo geral, ocorre uma diminuição do número

de Strouhal, relativamente ao obtido para o cilindro sem a presença do cilindro de controlo, quando o

cilindro de controlo está posicionado a montante do cilindro principal sendo o valor mais baixo obtido a

80º relativamente à horizontal. Verifica-se também que nos ensaios realizados com o cilindro de controlo

na posição 1 vedada, o número de Strouhal mínimo é atingido para um ângulo menor, de 60º. Quando o

cilindro de controlo está posicionado a jusante do cilindro principal o número de Strouhal aumenta para o

valor do número de Strouhal obtido na ausência do cilindro de controlo.

Na figura 13 pode visualizar-se a variação do número de Strouhal em função da posição do cilindro de

controlo. Verifica-se que o número de Strouhal é menor quando o cilindro de controlo está mais próximo

do cilindro principal, atingindo o valor mais baixo quando está na posição 1 vedada e a 60º relativamente

há horizontal. Este comportamento é verificado simultaneamente para o caso do cilindro de controlo de

3mm e de 4 mm.

Figura 11 – Visualizações efectuadas com o cilindro de controlo na posição 1 e a 60⁰ e 120⁰ relativamente à

horizontal.


23

Figura 12 – Número de Strouhal do desprendimento dos vórtices para as posições 1, 1 vedada, 2 e 3 em função do ângulo relativamente à horizontal.

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição angular do cilindro de Controlo, graus

Posição 1 vedado, 3 mm

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição do Cilindro de Controlo, graus

Posição 1, 3 mm

Cil. Controlo 4 mm

Cil. Controlo 3 mm

Sem Cil.Controlo

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição angular do cilindro de controlo, graus

Posição 2, 6 mm

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição angular do cilindro de controlo, graus

Posição 3, 9 mm


24

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

Str

ouha

l

Posição angular do Cilindro de Controlo, graus

Cilindro de Controlo de 4 mm

Posição1 vedado - 3 mm

Posição 1 - 3 mm

Posição 2 - 6 mm

Posição 3 - 9 mm

Sem Cilindro de Control

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

Str

ouha

l

Posição angular do cilindro de Controlo, graus

Cilindro de Controlo de 3 mm

Figura 13 - Variação do número de Strouhal em função da posição angular do cilindro de controlo.

3.3 Conclusão

Dos resultados experimentais pode concluir-se que a presença do cilindro de controlo faz diminuir a

frequência de ejecção de vórtices sempre que o cilindro esteja posicionado a montante do cilindro

principal, fazendo um ângulo com a horizontal de 60º e 90º. À medida que o cilindro de controlo se afasta

do cilindro principal, na direcção radial, menor é o efeito sentido na ejecção de vórtices e a sua frequência

aproxima-se da frequência obtida sem a presença do cilindro de controlo.

Uma vez que ainda não se conseguiu suprimir a formação e desprendimento de vórtices na esteira é

necessário dar continuidade ao trabalho experimental para testar outras posições que possam ser mais

favoráveis ao controlo dos vórtices, nomeadamente o posicionamento do cilindro de controlo a jusante do

cilindro principal onde os estudos da literatura sugerem efeitos mais intensos, e utilizar técnicas que

permitam quantificar a intensidade dos vórtices. Para esse efeito está em preparação uma nova série de

medições que utilizará um sistema de anemometria Laser-Doppler e, numa outra fase, a velocimetria por

imagem de partículas.


25

Capítulo 4

Equações Fundamentais

Para descrever o comportamento de um fluido sob condições específicas é necessário o conhecimento, em

todo o domínio visado, da distribuição de um certo número de variáveis dependentes. Tipicamente, as

incógnitas envolvidas neste processo são cinco: três componentes do vector velocidade e duas

termodinâmicas (pressão e temperatura, por exemplo). Para este fim dispõe-se de três equações

governativas, uma das quais é vectorial e se desdobra em três componentes, logo num total de cinco

equações.

- Lei da conservação da massa (equação de continuidade);

- Lei da quantidade de movimento (segunda lei de Newton);

- Lei de conservação de energia (primeira lei da termodinâmica).

A formulação matemática do problema considera-se completa se no seu conjunto, envolver tantas

equações quantas as incógnitas a determinar e se, para a integração de cada equação diferencial, for

possível especificar um conjunto de condições fronteira em número igual à ordem da equação.

O fenómeno da turbulência é um estado de permanente instabilidade, em que o fluido apresenta um

comportamento irregular de natureza aparentemente aleatória. Tais estruturas, que designamos por

turbilhões, envolvem uma gama vasta de escalas de comprimento e frequência.

A caracterização do escoamento turbulento implica a resolução de problemas tridimensionais e

dependentes do tempo o que exige o recurso a capacidades computacionais que, na maioria dos casos,

excedem as actualmente disponíveis. Em alternativa, é usual o recurso à via estatística, com a formulação

de médias para um conjunto de quantidades relevantes na caracterização do escoamento turbulento.

Poderá entender-se assim, como “escoamento médio” aquele onde os fenómenos de pequena escala não

são directamente representados, mas cuja influência sobre os fenómenos de maiores escalas é tomada em

consideração. As equações de Reynolds recorrem ao conceito de média temporal, a que se sobrepõe uma

flutuação para obter o campo instantâneo.

Neste sentido, as componentes médias da velocidade satisfazem as equações do movimento para regime

turbulento, desde que às tensões laminares sejam acrescentadas as “tensões” adicionais, conhecidas por

tensões de Reynolds. Com a introdução das tensões de Reynolds, o número de incógnitas presentes na


26

modelação teórica de um escoamento, em regime turbulento, excede o das equações disponíveis. O

problema de fecho matemático é resolvido por recurso aos modelos de turbulência, cuja função consiste

em completar o sistema de equações em falta. De origem frequentemente empírica e, portanto de valor e

generalidade necessariamente questionáveis, modelos desse tipo poderão revelar-se, ainda assim

indispensáveis ao fecho matemático do problema.

Neste capítulo apresentam-se as equações necessárias para a formulação matemática do escoamento em

estudo. Apresentam-se os modelos de turbulência para as equações governativas do tipo equações médias

de Reynolds com base nas equações de Navier-Stokes (RANS), que vão ser alvo de estudo no presente

trabalho: k-ε padrao, k-ε RNG, k-ε Realizável, k-ω padrão e k-ω SST.

4.1 Equações Governativas

4.1.1 Conservação da Massa – equação da continuidade

A equação da continuidade é a forma matemática da conservação da massa, aplicada a um volume

infinitesimal de fluido num escoamento, sendo descrita pela equação

�N�� B �

�h� ;� 5TF = 0 (4.1)

em que ρ é a massa volúmica e Ui a velocidade. A eq. 4.1 é a forma compressível da equação da

conservação da massa e é válida em qualquer ponto no domínio do escoamento. No caso em estudo, que

trata de um fluido incompressível, a massa volúmica não é uma função do tempo ou do espaço, assim

sendo, �� ⁄ ≅ 0 na eq. 4.1. Assim, expandindo e usando um sistema de coordenadas cartesianas, a eq.

4.1 assume a forma,

��h + �

�� + ��0 = 0 (4.2)

4.1.2 Equação de quantidade de Movimento

A segunda lei de Newton, escrita para um elemento de fluido (na forma diferencial), relaciona o conjunto

de forças externas com as grandezas de massa e de aceleração do seu movimento �( = ��(/��. Ao

substituir o tensor das tensões viscosas pela relação constitutiva entre a tensão e a taxa de deformação

para fluidos Newtonianos e isotrópicos (propriedades físicas independentes da direcção considerada)

obtém-se, a equação de Navier-Stokes para um fluido de viscosidade µ:

�� ;�5TF + �

�h� ��5T5�� = − �o�h� + µ

�Mk��h��h� (4.3)

A eq. 4.3 expandida utilizando um sistema de coordenadas cartesianas está representada no anexo C. Esta

equação é válida em qualquer escoamento de fluido Newtoniano e traduz um balanço entre o produto da

massa pela correspondente aceleração (ou seja a taxa de variação da quantidade de movimento), por um


27

lado e o conjunto das forças (gravíticas, de pressão e de atrito viscoso) a que a mesma se encontra sujeita,

por outro.

4.2 Equações de Reynolds

A natureza aleatória da turbulência torna a sua descrição rigorosa (no tempo e no espaço) praticamente

inviável excepto em casos muito simples em que as equações anteriores são tratadas. Porém dado o

interesse prático, e apesar de todas as limitações, têm surgido tentativas de descrição teórica e

experimental do fenómeno de turbulência. Na figura 14 encontra-se representada a evolução temporal da

componente da velocidade u, num ponto fixo do espaço, para um caso típico de regime turbulento com

condições limite estacionárias. Vemos que a velocidade oscila em cada instante, em torno de um valor

médio !( que não depende do tempo. As flutuações, u`, correspondem à existência de turbilhões no seio

do escoamento, a que se encontram associadas frequências de oscilação e dimensões próprias.

Figura 14 – Evolução temporal de uma variável em regime turbulento: a decomposição de Reynolds.

Nestas condições, e apesar de permanecerem válidas em regime turbulento, as equações de Navier-Stokes

são de integração directa praticamente inviável. Como alternativa de abordagem teórica, Reynolds

sugeriu a seguinte decomposição, aplicável a cada variável dependente do problema: Valor instantâneo=

Valor médio + flutuação, ou seja para uma quantidade física �,

∅ 8 ∅� B ∅` onde ∅ ≡ !, �, $, ¤, ¥ (4.4)

e em que,

∅� = lim∆�→ �∆� 9 ∅ :��"∆�

� (4.5)

designando ∆� um tempo muito inferior ao tempo característico das flutuações. Esta decomposição é

aplicada às equações de conservação de massa e de quantidade de movimento dando origem às equações

de Reynolds ou equações RANS. Estas equações (eq. 4.6 e, 4.7) são análogas às correspondentes

equações de Navier-Stokes, à excepção dos termos que representam a acção que as flutuações turbulentas

exercem no escoamento médio e fazem, no seu conjunto, intervir no problema seis incógnitas adicionais


28

(embora o tensor das tensões de Reynolds tenha nove componentes, a simetria do tensor implica que só

haja realmente seis componentes desconhecidas). As equações de Reynolds escritas em coordenadas

cartesianas são as seguintes:

Conservação de massa �

�h� ;�5TF 8 0 (4.6)

Quantidade de movimento �� ;�5TF + �

�h� ��5T5�� = − �o�h� + µ

�Mk��h��h� ;−�!ª′!«′((((((F (4.7)

O lado esquerdo da eq. 4.7 representa a variação da quantidade de movimento média do fluido, que é

devido à acção de várias forças a saber, à variação da pressão, à variação de tensões viscosas e ainda às

variações de tensão aparente ;−�!ª′!ª′((((((F devido ao campo de velocidade flutuante, geralmente referidas

como as tensões de Reynolds. Uma vez que o número de incógnitas ultrapassa o de equações para as

determinar, recorre-se a expressões com forte carga empírica, destinadas a relacionar as novas incógnitas,

designadas por “tensões” de Reynolds, com variáveis do escoamento médio. Tais relações são conhecidas

por modelos de turbulência.

Existem hoje em dia muitos modelos de turbulência, incluindo algébricos, de uma equação, duas

equações e o modelo de tensões de Reynolds de segunda ordem.

4.3 Variáveis características de turbulência

A introdução de equações de transporte adicionais (duas no caso dos modelos de duas equações) que

devem ser resolvidas utilizando os modelos de turbulência faz com que seja necessário especificar

condições fronteira adicionais para as propriedades turbulentas na entrada e na saída. Por exemplo, para o

modelo k-ε é necessário especificar a energia cinética turbulenta, k, e a taxa de dissipação turbulenta, ε, e

para o modelo k-ω é necessário especificar para além de k a taxa de dissipação específica, ω. Contudo

estes valores nem sempre são conhecidos e neste caso a solução mais útil é a especificação da intensidade

de turbulência ou o comprimento escalar de turbulência. De seguida apresentamos alguns conceitos úteis

sobre turbulência e que adicionalmente são usados para especificar condições de fronteira.

Intensidade da turbulência

A intensidade da turbulência, I, é definida como a razão do desvio quadrático médio da flutuação da

velocidade, !′, com a velocidade média do escoamento, !(.

� = �`M(((((�� (4.8)


29

Normalmente, é considerado um valor de 1% ou menos para valores da intensidade da turbulência baixos

e nos casos de intensidade de turbulência elevada, valores superiores a 10%. Neste trabalho, foram usados

valores para a intensidade da turbulência de 4%.

Comprimento característico de turbulência

O comprimento característico de turbulência, l, é uma quantidade física que descreve o tamanho dos

grandes vórtices que contêm energia em escoamento turbulento. Uma vez que o comprimento turbulento

é uma quantidade que se pode relacionar com o tamanho físico do problema, é fácil estimar um valor

razoável para a escala de comprimento da turbulência. O comprimento característico da turbulência

normalmente não deve ser maior que a dimensão geométrica do problema, pois isso significaria que os

vórtices turbulentos seriam maiores que o domínio do escoamento. No modelo k-ε o comprimento

turbulento escalar é calculado por:

� 8 �® �¯ M°± (4.9)

onde �® é uma constante do modelo que, no caso do modelo k-ε padrão é de 0.09. A relação entre as

grandezas l, u´e ε resulta de argumentos invísidos sobre transferência de energia cinética da turbulência

na cascata de turbulência:

² u kM� u kM

³ k° u k¯³ u �¯ M°

³ (4.10)

² 8 �¯ M°³ → � = �¯ M°

± (4.11)

É comum definir a escala de comprimento turbulento como uma determinada percentagem de uma

dimensão típica do problema. No caso do escoamento dentro de um tubo, o comprimento de escala é

estimado através do diâmetro hidráulico, dh (se o tubo for circular, o diâmetro hidráulico é igual ao

diâmetro do tubo: l= 0.07 dh. Quando o escoamento é delimitado por paredes com camadas limite

turbulenta, a escala de comprimento da turbulência pode ser estimada (aproximadamente) da espessura da

camada limite de entrada. Define-se l como sendo metade da espessura da camada limite na entrada.

Energia cinética turbulenta

A relação entre a energia cinética turbulenta, k, e a intensidade da turbulência, I, partindo de I, como,

!′ = ´13 �!,′ 2 + !-′ 2 + !.′ 2� = ´2

3 � (4.12)

então fica, em ordem a k

� = � ;5 × �F (4.13)


30

Taxa de dissipação turbulenta

Sabendo o valor da energia cinética turbulenta k, e o valor da viscosidade cinemática turbulenta �µ , calcula-se a taxa de dissipação turbulenta, ¶

¶ = �µ� �µ · (4.14)

onde �µ é uma constante empírica especificada no modelo de turbulência, que torna o valor de

aproximadamente 0.09.

Taxa de dissipação específica

Sabendo o valor da energia cinética turbulenta, k e da taxa de dissipação turbulenta, ¶ e também sendo

conhecido o valor da constante empírica �µ , pode-se determinar a taxa de dissipação específica � pela

relação:

� = ¶ �µ�° (4.15)

Viscosidade cinemática turbulenta

A viscosidade cinemática turbulenta não é uma constante e para aplicar os modelos de turbulência é

necessário conhecer como varia �µ através de todo o domínio de escoamento. Uma forma de contornar

essa dificuldade passa por exprimir �µ com base nas variáveis características de turbulência, por

exemplo: a energia cinética turbulenta, k, a taxa de dissipação turbulenta, ε. Um exemplo desta aplicação

é o modelo k-ε. Assim, partindo do valor da intensidade da turbulência e relacionando-o com a

viscosidade cinemática, � e o número de Reynolds, temos o valor da viscosidade cinemática turbulenta.

Sabendo que a viscosidade turbulenta

µ� = ��µ�M� (4.16)

e que

µ� = ��¥ (4.17)

Chega-se à equação da viscosidade cinemática turbulenta

�µ = 0,22 � � �D � �° (4.18)

4.4 Modelos de Turbulência

A solução exacta de escoamentos turbulentos pode ser feita com base nas equações apresentadas na

secção 4.1, através dos chamados métodos de simulação directa (DNS). A simulação numérica directa é

uma simulação de dinâmica de fluidos computacional na qual as equações de Navier-Stokes são


31

resolvidas numericamente, sem qualquer modelo de turbulência, isso significa que toda a gama de escalas

temporais e espaciais da turbulência devem ser resolvidas. O custo computacional de DNS é muito

elevado, mesmo quando os escoamentos são de baixo número de Reynolds.

No entanto, a vastíssima gama de escalas espaciais e temporais, impede a aplicação dos métodos directos

à maior parte dos casos. Actualmente, o cálculo numérico dos escoamentos turbulentos é em geral, feito

recorrendo a modelos de turbulência, os quais se baseiam no tratamento estatístico dos campos de

variáveis, como o métodos LES e RANS.

A simulação LES é uma técnica que tem como condição fundamental, que os grandes vórtices são

dependentes da geometria, enquanto os vórtices de escala menor são universais, isto é, as grandes escalas

dos vórtices turbulentos são resolvidos, enquanto os vórtices turbulentos dissipativos de pequena escala

são modelados. O LES não necessita de recursos computacionais tão grandes como o DNS porque é

eliminada a necessidade de resolver os vórtices menores do campo de escoamento, mas pode apesar de

tudo exigir recursos significativos, dependendo da percentagem de energia cinética da turbulência que é

resolvida.

Na modelação RANS não se pretende à partida resolver todas as escalas de turbulência, sendo que

normalmente todas as escalas são modeladas como uma única que é representativa da turbulência. Nestes

modelos de turbulência, o objectivo é calcular as tensões de Reynolds, havendo que distinguir três

grandes famílias de modelos: modelos lineares de viscosidade turbulenta, modelos não-lineares de

viscosidade turbulenta e modelos de tensões de Reynolds (RSM).

Os modelos lineares são modelos de turbulência, em que as tensões de Reynolds, obtidas a partir da

média de Reynolds das equações de Navier-Stokes, são modeladas por uma relação constitutiva linear,

relação essa entre !ª&!«&(((((( e tensores cinemáticos do escoamento médio, como o tensor identidade ST� = �

¹�k��h� + �k�

�h� º isto é, por analogia com o transporte molecular, o que introduz o conceito de

viscosidade turbulenta. Esta relação linear é conhecida por hipótese de Boussinesq. Existem subcategorias

dos modelos lineares de viscosidade turbulenta, dependendo do número de equações de transporte que

têm de ser resolvidas para determinar o coeficiente de viscosidade turbulento: modelos algébricos,

modelos de uma equação e modelos de duas equações.

Os modelos não-lineares, são os modelos de turbulência para as equações RANS em que o coeficiente de

viscosidade turbulenta é utilizado para relacionar o campo de turbulência média com o campo de

velocidade média, no entanto, numa relação não-linear.

O RSM é um modelo de turbulência mais elaborado, o qual não utiliza a abordagem de viscosidade

turbulenta e as tensões de Reynolds são directamente calculadas.

Hoje em dia, os modelos de turbulência RANS mais aplicados são os modelos lineares de viscosidade

turbulenta de duas equações. Nestes modelos, resolvem-se as equações de transporte da quantidade de

movimento, da energia cinética de turbulência e da dissipação de energia cinética de turbulência (modelo

k-ε) ou da dissipação específica (modelo k-ω). Na secção seguinte apresenta-se de forma pormenorizada o

modelo k-ε padrão, estando os restantes descritos no anexo B.


32

4.4.1 Modelos lineares de viscosidade turbulenta de duas equações

Nestes modelos as tensões de Reynolds são então dadas pela equação:

»−�!ª′!«′((((((¼ 8 2½�Sª« − 23 ��ª« (4.19)

onde �T� é o tensor identidade e �T� é o delta de Kronecker. Os vários modelos de duas equações têm

como objectivo determinar esta viscosidade turbulenta (μ¿F e diferem precisamente na forma de o obter.

4.4.1.1 Modelo k-ε padrão

O modelo k-ε padrão (ou em inglês designado por standard) é um dos modelos de turbulência mais

comuns. É um modelo de duas equações, ou seja, para determinar a viscosidade turbulenta que permite

determinar as tensões de Reynolds, é necessário resolver duas equações de transporte adicionais para

representar as propriedades turbulentas do escoamento e com isso determinam a viscosidade turbulenta.

Isto permite que num modelo de duas equações a viscosidade turbulenta seja afectada por efeitos como

convecção, difusão de energia turbulenta e sua dissipação. A primeira variável transportada é a energia

cinética turbulenta (determina a energia da turbulência) e a segunda variável neste caso, é a dissipação

turbulenta (determina a escala da turbulência). Há duas formulações principais no modelo k-ε ,

normalmente chamado de modelo k-ε padrão. O ímpeto original para o modelo k-ε padrão, foi o de

encontrar uma alternativa para a prescrição algébrica da escala de comprimento turbulenta de

escoamentos, de moderada a alta complexidade. O modelo k-ε padrão insere-se nesta classe de modelo

de turbulência, possuindo robustez, economia e razoável precisão para uma ampla gama de escoamentos

turbulentos. A viscosidade turbulenta neste modelo é dada por:

µ� = ��Á �M� (4.20)

As equações de transporte de onde é obtida a energia cinética turbulenta, k, e a taxa de dissipação, ε, são:

�� ;��F + �

�h� ;��5TF = ��h� Â»µ + ÁÃ

ÄÅ¼ ��h�Æ + �� − �¶ − )Ç + �� (4.21)

e

�� ;�¶F + �

�h� ;�¶5TF = ��h� Â»µ + ÁÃ

ÄÈ¼ ��h�Æ + ��

� ;��F − �� M� + �� (4.22)

onde a produção de k:

�� = − �!ª′!«′(((((( �k��h� (4.23)

�� = µ�� (4.24)

onde S é o módulo do tensor de deformação médio, definido por:

� ≡ 2�T��T� (4.25)

Os vários parâmetros do modelo tomam os seguintes valores: �� = 1.44 , �� = 1.92 , �Á =0.09 , �� = 1.0 , �� = 1.3.


33

4.5 Influência da parede no escoamento turbulento

O escoamento turbulento é fortemente afectado pela presença de paredes. Muito perto da parede as forças

viscosas reduzem as flutuações na velocidade tangencial, enquanto que as forças de inércia reduzem as

flutuações normais. Na direcção perpendicular à parede, no entanto a turbulência aumenta rapidamente

pela produção de energia cinética turbulenta devido a elevados gradientes na velocidade média. Por este

factor, a simulação perto da parede tem impacto significativo na fiabilidade das soluções numéricas, na

medida em que as paredes são a principal fonte de vorticidade e turbulência. Afinal, é na região da parede

que os campos das variáveis estão sujeitos a grandes gradientes e momentos e outros transportes escalares

ocorrem mais vigorosamente. Portanto representações exactas dos fluxos físicos na região da parede

determinam previsões bem sucedidas de escoamentos turbulentos. O modelo k-ε é válido principalmente

para escoamentos turbulentos na parte central, ou seja o escoamento um pouco longe das paredes. O

modelo k-ω foi concebido para ser aplicado em toda a camada limite, desde que a resolução da malha

perto da parede seja suficiente.

O escoamento turbulento sobre uma placa plana pode ser dividido em quatro regiões, caracterizadas pela

distância da parede. A camada mais interna onde os efeitos viscosos são dominantes é chamada de

subcamada viscosa (viscous ou wall sublayer). O perfil de velocidades nesta camada é quase linear. A

seguir à subcamada viscosa encontra-se a camada tampão (buffer layer), na qual os efeitos turbulentos se

tornam significativos, mas o escoamento é ainda dominado pelos efeitos viscosos. Acima desta camada

está a camada de transição (overlap ou transition layer), também denominada por subcamada inercial

(inertial sublayer), na qual os efeitos turbulentos dominam, a proximidade à parede é igualmente

importante. Acima desta está a camada externa (outer ou turbulent layer) na parte restante do escoamento

na qual os efeitos turbulentos dominam sobre os efeitos de difusão molecular (efeitos viscosos) e a

distância à parede torna-se irrelevante. O perfil de velocidades, na figura 15, ilustra essas regiões numa

camada limite em coordenas de parede ( u+ versus y+) e escala semi-logarítmica.

Para cada uma das zonas identificadas existem leis, de tipo semi empírico, que representam o escoamento

médio com grande simplicidade e grau de precisão muito satisfatório. Estas leis, designadas por leis de

parede, foram propostas com base em técnicas simples como a análise adimensional e ajustadas de modo

a respeitar todo o conjunto de medições experimentais e modelos de turbulência semi-empíricos. Destas

leis destacam-se três: lei do efeito da parede, a lei logarítmica e a lei de potência.

Na subcamada viscosa a equação de ajuste é denominada Lei da parede e é aplicada para distâncias à

parede de 0 ≤ -!# É⁄ ≤ 5, sendo uτ a velocidade de fricção, y a distância à parede e ν a viscosidade

cinemática do fluido. Um vez que nas camadas limite é conveniente trabalhar com distância e velocidades

adimensionais, que são definidas por: -" = ��ÊË e !" = �

�Ê . Assim, a lei da parede na subcamada

viscosa torna-se simplesmente:

�

�Ê = ��ÊÌ ↔ !" = -" (4.26)


34

A lei logarítmica representa satisfatoriamente os dados experimentais para toda a região de escoamento,

excepto para as regiões muito perto da parede e próximas do centro do tubo, como mostra a figura 15, e

isto é visto como um perfil de velocidades universal para o escoamento turbulento em tubos e sobre

superfícies. De notar na figura o perfil de velocidades da lei logarítmica com precisão para -" e 30 mas

não é preciso na camada tampão ( bufer layer), ou seja, na região 5 < -" < 30.

Na zona da “overlap layer” verifica-se que os valores experimentais da velocidade seguem uma linha

recta quando colocados num gráfico em coordenadas logarítmicas relativamente à distância à parede. A

análise dimensional mostrou que a velocidade nesta zona é proporcional ao logaritmo da distância e é

expressa pela Lei Logarítmica:

��Ê = 2.5 �E ��Ê

Ì + 5.5 ↔ !" = 2.5 �E-" + 5.5 (4.27)

De notar, que a subcamada viscosa aparece muito espessa e isso acontece porque se utiliza uma escala

logarítmica para a distância da parede. Esta abordagem decorre do facto de junto à parede haver alguma

universalidade da lei de parede. Claro está que há situações onde a lei logarítmica não é totalmente valida,

mas esta metodologia elimina a necessidade de uma malha muito refinada junto à parede.

Figura 15 - Perfil transversal da velocidade média local em regime turbulento: comparação do perfil de

velocidades descrito pela lei da parede e pela lei logarítmica com os resultados experimentais, para o

escoamento num tubo (adaptado de Çengle e Cimbala, 2006).

Na zona de turbulência existem vários perfis de velocidade empíricos, de entre os quais se destaca a Lei

da potência que foi ajustada para escoamento dentro de tubos e que permite substituir as duas equações

anteriores por uma única equação, o que tem vantagens em determinados estudos de natureza analítica.

Em simulação numérica existem duas abordagens para efectuar os cálculos na região perto da parede. Na

abordagem, denominada de aproximação por função de parede (Wall Function Approach) as regiões

afectadas pela viscosidade interna (subcamada viscosa e camada tampão) não são calculadas, em vez


35

disso, são usadas fórmulas chamadas "funções de parede'', para ligar a região viscosa à região turbulenta.

O uso de funções de parede elimina a necessidade de modificar os modelos de turbulência para dar conta

da presença da parede como é o caso dos modelos k-ε.

Para um cálculo mais rigoroso, a abordagem consiste em utilizar modelos de turbulência modificados

para permitir que a região afectada pela viscosidade possa ser resolvida com uma malha desde a parede e

que inclua a subcamada viscosa. Esta abordagem denomina-se por modelação junto da parede (Near-

wall modeling) como é o caso dos modelos k-ω. Estas duas abordagens estão representadas

esquematicamente na figura 16.

Figura 16 – Métodos de cálculo efectuados junto a paredes pelo FLUENT: a) aproximação por funções de parede

(“Wall Function approach”) e b) por modelação junto da parede (“near-wall Model Approach”).

Na maioria dos escoamentos de elevado número de Reynolds, a abordagem da aproximação por função

de parede economiza recursos computacionais, pois na região viscosa afectada pela proximidade da

parede, nas quais a solução muda mais rapidamente, não precisam de ser resolvidas. Esta abordagem é

popular porque é económica, robusta e razoavelmente precisa, no entanto, é inadequada em situações em

que os efeitos de baixo número de Reynolds, são difundidos no domínio do escoamento em questão, e as

hipóteses subjacentes às funções da parede deixam de ser válidas. Estas situações requerem modelos que

sejam válidos na região afectada pela viscosidade e, portanto, integráveis em todo o caminho até a parede.

O programa Fluent possui ambos, abordagem à função de parede e modelos que efectuam os cálculos

junto da parede.

4.6 Método Numérico para Resolução das Equações Governativas

Existem vários métodos numéricos de resolução das equações governativas, como o método das

diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) e o método dos volumes finitos (MVF).

O método dos volumes finitos, é o método utilizado pelo programa Fluent e é uma técnica frequentemente

utilizada em Mecânica dos Fluidos Computacional.

O método dos volumes finitos divide o domínio num número de volumes de controlo (células) onde a

variável de interesse está localizado no centróide do volume de controlo. De seguida integra a forma

diferencial das equações governativas ao longo de cada volume de controlo invocando para o efeito o

Teorema de Gauss. Na equação resultante, as derivadas e os fluxos são determinados segundo formas de

a) b)


36

interpolação assumidas, vindo a resultar uma equação que envolve as variáveis nos centróides das células.

Essa equação é chamada de equação de discretização, desta forma, a equação de discretização expressa a

lei governativa para a variável dentro do volume de controlo.

Não é objectivo deste capítulo analisar em detalhe o método numérico de cálculo, no entanto voltar-se-á a

falar dos métodos numéricos utilizados no programa Fluent na secção 5.2.

4.7 Conclusão

Neste capítulo apresentam-se as equações necessárias para a formulação matemática do escoamento em

regime turbulento quando este é resolvido pelas equações médias de Reynolds (RANS). Apresentam-se as

equações da continuidade, da conservação da quantidade de movimento e os modelos de turbulência que

permitem o fecho matemático dos problemas de turbulência. Os modelos de turbulência apresentados e

que vão ser alvo de estudo são os de duas equações: k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε Realizável, k-ω padrão e k-

ω SST.

Para completar a caracterização do fenómeno da turbulência é ainda necessário o conhecimento de outras

variáveis nomeadamente: energia cinética turbulenta, intensidade de turbulência, viscosidade cinemática

turbulenta, que são também explicadas detalhadamente.

Para finalizar, explica-se a influência das paredes no escoamento turbulento e os métodos que permitem

minimizar esses efeitos (aproximação por função de parede e modelação junto da parede).


37

Capítulo 5 Metodologia Numérica

e Validação

Dada a complexidade do escoamento em regime turbulento e a necessidade de se prever adequadamente o

escoamento transiente em torno do cilindro no regime turbulento iniciou-se este trabalho pela realização

de um conjunto de simulações do escoamento em regime estacionário e transiente que permitem definir

aspectos relacionados com a malha e com os métodos de descretização das equações. Existem na

literatura resultados numéricos bem como resultados experimentais para estas condições, e que permitem

avaliar o desempenho do método de cálculo. Neste capítulo apresentam-se simulações efectuadas em

malhas de diferentes refinamentos, para os seguintes casos:

- Escoamento laminar (estacionário) em torno de um cilindro, para Re=40

- Escoamento laminar (transiente) em torno de um cilindro, para Re=80

- Escoamento laminar (transiente) em torno de dois cilindros circulares, para Re=40, 60,100, 200.

- Escoamento em regime turbulento (transiente) entre duas placas, para Re =104

- Escoamento em regime turbulento (transiente) em torno de um cilindro de secção quadrada, para Re =

2x104

5.1 Geração da malha

Domínio de cálculo

O primeiro passo para uma solução em CFD é a geração de uma malha que define as células nas quais as

variáveis são calculadas por todo o domínio de cálculo. A malha foi gerada através do software GAMBIT

versão 2.3. O domínio de cálculo, ilustrado na figura 17, está estruturado por dois blocos. A entrada e

saída do domínio tem uma largura 20 diâmetros do cilindro. A secção de entrada está a 10 diâmetros do

centro do cilindro e a secção de saída a 40 diâmetros.

Na definição do domínio de cálculo um dos factores mais importantes é a estrutura da malha. Utilizando

malhas estruturadas são geradas menos células do que com uma malha não estruturada e se as células

estiverem bem orientadas com as linhas de corrente expectáveis, minimizam-se os erros. Nas camadas

limite, onde as variáveis de escoamento mudam rapidamente na direcção normal à parede, as malhas


38

estruturadas permitem uma resolução mais refinada que as malhas não estruturadas para o mesmo número

de células. Outros factores que afectam a qualidade da malha, são as variações bruscas no tamanho da

célula que podem levar a dificuldades de convergência ou numéricas. Utilizou-se uma malha estruturada,

formada por células planas com quatro arestas (2D) que são quadriláteros.

Figura 17 - Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro.

Condições de Fronteira

O tipo de escoamento que vai ser modelado é determinado pelas condições de fronteira impostas. Existem

várias opções de fronteiras de entrada do fluido no domínio de cálculo e de saída do domínio. As

condições de fronteiras estão classificadas como condições de velocidade ou de pressão. Para a fronteira

de entrada utilizou-se a condição de velocidade, na qual se definiu a velocidade média aplicada ao longo

de toda a fronteira de entrada. Na fronteira de saída utilizou-se a condição de “outflow” o que faz com que

não estejam especificadas, à priori, as condições de saída (pressão ou velocidade) e essa informação é

extrapolada do interior. No cilindro aplicou-se a condição de fronteira de parede dita “wall” a qual

estabelece que todas as componentes de velocidade numa superfície são nulas relativamente à superfície

(no caso em teste a superfície não está em movimento). Na face superior e inferior aplicou-se uma

condição de fronteira de simetria que força as variáveis do escoamento a serem imagens espelhadas em

relação ao plano de simetria.

Propriedades do Fluido

As propriedades da água aplicadas estão definidas na base de dados do programa Fluent para uma

temperatura de 298K (massa volúmica 998.2 kg/m3e viscosidade 0.001003 kg/ms).

5.2 Método Numérico

O programa Fluent resolve as equações governativas do capítulo anterior, que foram transformadas em

equações algébricas pelo método dos volumes finitos e para resolver numericamente este sistema de

equações o método de resolução (“solver”) pode ser de dois tipos: resolução baseada na pressão

(“pressure-based”) e resolução baseada na massa volúmica (“density-based”).

10 D

30 D

20

D

20 D

Simetria

Sa

ída

En

tra

da

Parede


39

Os dois métodos empregam processos similares de discretização (volumes-finitos) mas a abordagem

utilizada para linearizar e resolver as equações de discretização é diferente. Em ambos os métodos o

campo de velocidades é obtido das equações de quantidade de movimento. No método “density-based”, a

equação de continuidade é utilizada para obter o campo de massa volumica enquanto que o campo de

pressões é determinado pela equação de estado termodinamica. Estes são métodos adequados para tratar

escoamentos de fluidos compressíveis. Por outro lado, no método “pressure-based” o campo de pressões é

extraído resolvendo a pressão ou uma equação de correcção da pressão obtidas por manipulação da

equação da continuidade. Estes métodos são adequados para tratar escoamentos de fluidos

incompressíveis.

Neste trabalho utilizou-se o método “pressure-based” o qual emprega um algoritmo que pertence à classe

geral dos métodos de projecção. No método de projecção, a restrição da conservação de massa

(continuidade) do campo de velocidade é calculada resolvendo a equação de pressão. A equação de

pressão deriva das equações da continuidade e da quantidade de movimento de tal modo que o campo de

velocidade, relacionado pela pressão, satisfaz a continuidade. Uma vez que as equações governativas são

não-lineares e acopladas, o processo de solução envolve iterações em que todo o conjunto de equações é

resolvido repetidamente e sequencialmente até que a solução convirja de forma a contemplar as não

linearidades e minimizando os resíduos das equações.

As equações governativas do escoamento são discretizadas, tanto no espaço como no tempo, para o caso

de escoamento em regime transiente. O programa Fluent dispõe de diversos esquemas de discretização.

Na discretização espacial utilizou-se o esquema QUICK (Quadratic Upwind Differencing Scheme) de

modo a reduzir ao máximo a difusão numérica. Este é um esquema de terceira ordem no espaço.

A discretização temporal envolve a integração de todos os termos das equações diferenciais durante um

intervalo de tempo. Utilizou-se um método de integração temporal implícito de segunda ordem que

apresenta a vantagem de ser estável em relação a cada intervalo de tempo.

Os métodos SIMPLE e PISO utilizaram-se como métodos de acoplamento da velocidade e da pressão de

forma a evitar o aparecimento de oscilações nos perfis calculados. O algoritmo SIMPLE é utilizado para

cálculos em estado estacionário e o PISO para cálculos em estado transiente e também para cálculos de

escoamentos estacionários e transientes com malhas muito distorcidas. Os dois algoritmos são baseados

na avaliação de soluções iniciais e de seguida fazem a sua correcção. No método SIMPLE faz-se uma

correcção em cada iteração, enquanto no PISO são efectuadas mais do que uma, mas normalmente nunca

mais de quatro. O esquema de acoplamento de velocidade e pressão PISO, que faz parte da família de

algoritmos SIMPLE, baseia-se no grau mais elevado da relação aproximada entre as correcções de

pressão e velocidade. Uma das limitações do SIMPLE é que novas velocidades e fluxos correspondentes

não satisfazem a quantidade de movimento após a equação de correcção de pressão estar resolvida. Como

resultado, o cálculo deve ser repetido até que o equilíbrio simultâneo da massa e da quantidade de

movimento esteja assegurado o que exige um maior número de iterações. Para melhorar a eficiência deste

cálculo, o algoritmo PISO realiza duas correcções adicionais: correcção na vizinhança e correcção de


40

assimetria. Tendo em conta as características de cada um dos métodos, utilizou-se o método PISO para as

simulações em estado estacionário, transiente e turbulento.

5.3 Critério de Convergência

Durante o processo de simulação é possível monitorizar a convergência do cálculo através da verificação

dos resíduos. No final de cada iteração, a soma dos resíduos das variáveis conservativas é calculada e

armazenada, e assim é gravado um histórico de convergência. O resíduo diminui para um valor muito

pequeno e a partir daí pára de mudar. Trabalhando em dupla precisão os resíduos podem baixar até cerca

de 10p�. O indicador de convergência mais apropriado para a maioria dos problemas é o resíduo escalar.

Definiu-se que os resíduos escalares das equações da quantidade de movimento e da continuidade deveria

descer pelo menos até 10-6 para considerarmos o cálculo convergido, após alguns testes descritos na

secção seguinte.

5.4 Validação

Para validar as ferramentas de cálculo numérico de escoamentos CFD efectuaram-se testes em geometrias

e condições de referência. O estudo recaiu sobre o escoamento 2D em torno de um cilindro para regime

laminar e transiente e no estudo do escoamento entre duas placas e em torno de um paralelepípedo

quadrangular para o regime turbulento.

5.4.1 Escoamento laminar estacionário em torno de um cilindro

O primeiro caso em estudo é o do escoamento laminar em torno de um cilindro, para Re=40. Nestas

condições a esteira é formada por uma região estacionária de dois vórtices simétricos localizados atrás do

cilindro. Pretende-se aqui averiguar o coeficiente de arrasto médio (CD médio), e o comprimento de

separação normalizado pelo diâmetro do cilindro (Lsep/D), comparando estes valores com os da literatura,

artigo de Ding (2004). Foram feitas sete malhas, M1 a M6, utilizando o domínio definido na figura 17. As

características das malhas utilizadas estão apresentadas na tabela 3 sendo ∆θº a variação angular de cada

célula relativamente ao centro do cilindro, ∆3 �⁄ a variação média da dimensão radial das células

normalizada pelo raio do cilindro. O refinamento foi efectuado em todas as direcções.

Os resultados apresentam-se expostos na tabela seguinte, sendo os valores dos autores referidos retirados

do artigo de Ding (2004). Os resultados de Ding (2004) foram efectuados em 2D utilizando um método

de aproximação híbrido, que combina o esquema convencional de diferenças finitas com um método de

malha livre de diferenças finitas de base quadrada (MLSFD). O domínio de cálculo é idêntico ao utilizado

neste trabalho.


41

Tabela 3 – Características das malhas utilizadas nas simulações a Re=40.

Nθ - Número de nodos na direcção angular; Nr – Número de nodos na direcção radial

Tabela 4 - Comparação dos resultados obtidos com os valores da literatura, Re=40 e erro relativo calculado com

base no valor extrapolado.

Malha CD médio Erro relativo,%

CD médio L sep/D

Erro relativo,% L sep

M1 1.682 4.44 2.433 8.81 M2 1.615 0.27 2.319 3.71 M3 1.614 0.21 2.284 2.15 M4 1.612 0.13 2.277 1.82 M5 1.611 0.05 2.239 0.15 M6 1.610 0.01 2.238 0.09

Valor extrapolado 1.609 ---- 2.236 ----

Dennis (1970)1 1.522 ---- 2.350 ----

Takami (1969) 1 1.536 ---- 2.320 ----

Tuann (1978) 1 1.675 ---- 2.100 ----

Fornberg(1980)1 1.498 ---- 2.240 ----

Ding (2004) 1.713 ---- 2.200 ---- 1 Os resultados de Dennis (1970), Takami (1969), Tuann (1978), Fornberg (1980) estão citados no artigo de Ding (2004).

Pode perceber-se que o coeficiente de arrasto diminui à medida que se utiliza uma malha mais refinada.

Os resultados obtidos para a malha 2, a 6 apresentam valores de CD médio que diferem do valor extrapolado

menos de 1%, parecendo ser estas as malhas recomendadas para os estudos seguintes. O comprimento de

separação calculado nas malhas M1 e M2 difere significativamente das restantes. Os resultados das

simulações efectuadas com as malhas M3 a M6 aproximam-se dos resultados obtidos por Forberg (1980)

e Ding (2004). Na figura 18 está uma representação gráfica em coordenadas logarítimicas do coeficiente

de arrasto e do comprimento de separação normalizado pelo diâmetro (Lsep/D) em função do tamanho das

células na direcção radial, ∆r, normalizado pelo raio do cilindro, R. Verifica-se que os resultados não

diferem significativamente, pelo que não será necessário utilizar malhas muito refinadas, sendo a malha

M3 satisfatória. Os valores de CD médio obtidos estão de acordo com os valores citados na literatura (Ding,

2004).

Malha N.º total de células Nθθθθ �θº Nr ∆ÎÏ

M1 9 600 160 2.25 50 0.69

M2 38 400 320 1.12 100 0.34

M3 153 600 640 0.75 200 0.17

M4 345 600 960 0.56 300 0.11

M5 614 400 1280 0.38 400 0.09

M6 960 000 1600 0.28 500 0.07

Ding (2004) 5 716 - 10 148 ----- ----- ----- ----


42

Figura 18 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto e no comprimento de separação.

Procedeu-se à realização de um teste para avaliar a influência do valor dos resíduos, escolhido no critério

de convergência, nos resultados finais do coeficiente de arrasto médio.

Tabela 5 - Resultados da simulação a Re 40 utilizando 3 malhas com diferentes refinamentos e resíduos de 1E-4

a

1E-9

.

Resíduo N.º total de células Nθθθθ �θº Nr

∆ÎÏ CD médio

10-4

24 000 160 2.25 120 0.29 1.6067

72 000 480 0.75 120 0.29 1.6104

288 000 960 0.37 240 0.14 1.616

10-6

24 000 160 2.25 120 0.29 1.6170

72 000 480 0.75 120 0.29 1.6103

288 000 960 0.37 240 0.14 1.6139

10-7

24 000 160 2.25 120 0.29 1.6171

72 000 480 0.75 120 0.29 1.6149

288 000 960 0.37 240 0.14 1.6143

10-9

24 000 160 2.25 120 0.29 1.6171

72 000 480 0.75 120 0.29 1.6149

288 000 960 0.37 240 0.14 1.6139


Para este teste utilizaram-se malhas com diferentes refinamentos junto ao cilindro, na zona radial e para

resíduos de10-4, 10-6, e 10-7 e 10-9. Na tabela 5, estão registadas as características das malhas e os

resultados obtidos. Da análise da figura 19 verifica-se que o valor do CD médio para resíduos inferiores a 10-

6 começa a estabilizar. Mas como o tempo de cálculo aumenta com a redução do resíduo e tendo em conta

o compromisso entre tempo de cálculo e a incerteza do cálculo, optou-se por utilizar como critério de

convergência um resíduo de 10-6.

1.00

10.00

0.010.101.00

CD

mé

dio

∆r/R

Influência da malha no CD médio

1

10

0.010.101.00

L se

p/

D

∆r/R

Influência da malha no Lsep/D


43

Figura 19 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto para Re=40.

5.4.2 Escoamento laminar transiente em torno de um cilindro

O segundo caso de validação e verificação em estudo é o do escoamento laminar transiente em torno de

um cilindro, para Re=80 de modo a estudar o comportamento cíclico de criação e desprendimento de

vórtices a jusante do cilindro. Comparativamente com o caso anterior neste regime a zona da recirculação

fortalece e amplifica. As oscilações da esteira são periódicas e formam-se vórtices paralelamente ao eixo

central do cilindro.

Pretende-se neste caso averiguar o efeito do passo de integração temporal no coeficiente de arrasto e no

número de Strouhal. Utilizaram-se duas malhas, M1 e M2 com o mesmo domínio da figura 17, sendo a

malha M2 mais refinada na zona radial.

Tabela 6 - Características da malha utilizada na simulação para Re=80.

Malha N.º total de células Nθθθθ �θº Nr

∆ÎÏ

M1 72 000 480 0.75 120 0.29

M2 110 400 480 0.75 200 0.17

Mittal (2001) 4 060 ----- ---- ---- ----


As simulações foram efectuadas para um resíduo de 10-6 e utilizando 20 iterações por passo no tempo.

Para obter uma estimativa do tempo de integração utilizou-se uma expressão que relaciona o número de

Strouhal com o número de Reynolds, �� = ;0.2684 – 1.0356F / ;�DÑ.yF, disponível em Fey (1998).

Com base nesse valor calculou-se a frequência do processo cíclico de desprendimento dos vórtices é

Ò = �� 5/� ou seja cada ciclo completo tem a duração � = 1/Ò. Para que seja possível prever com

precisão o processo transiente é necessário que o tempo de integração temporal (passo no tempo), ∆t, seja

no mínimo 1/30 relativamente ao tempo total de cada ciclo. Após a simulação calculou-se a frequência de

1.55

1.60

1.65

1.0E-081.0E-071.0E-061.0E-051.0E-04

CD

mé

dio

Resíduo

Influência do resíduo no CD médio

M1 - 24000 células

M2 - 72000 células

M3 - 288000 células


44

desprendimento dos vórtices através da flutuação do coeficiente de sustentação (CL) e utilizaram-se as

transformadas de Fourier (FFT) para extrair as frequências principais. Na tabela 7 estão os resultados das

simulações efectuadas para diferentes malhas e diversos tempos de integração.

Tabela 7 -Influência tempo de integração e do refinamento da malha na direcção radial no número de Strouhal e

no coeficiente de arrasto e erro relativo calculado com base no valor extrapolado.

Malha ∆∆∆∆t/t St Erro relativo,%

St CD médio

Erro relativo,% CD médio

M1

1/30 0.139 10.69 1.363 4.09

1/50 0.150 4.16 1.397 1.64

1/60 0.153 1.76 1.407 0.97

1/80 0.156 0.10 1.417 0.29

1/90 0.156 0.15 1.421 0.07

Valor extrapolado 0.156 1.420

M2

1/30 0.135 13.78 1.325 7.31

1/50 0.144 8.21 1.360 4.84

1/60 0.146 6.88 1.373 3.95

1/80 0.154 1.55 1.399 2.10

1/90 0.156 0.29 1.419 0.73

Valor extrapolado ----- 0.157 ----- 1.429 -----

Fey´s (1998) ----- 0.152 ----- ----- -----

Mittal (2001) ----- 0.158 ----- 1.48< CD <1.49 -----

Figura 20 – Influência do tempo de integração temporal e do refinamento da malha no número de Strouhal e no

coeficiente de arrasto nas simulações efectuadas a Re=80.

Verifica-se que o St se aproxima dos valores de Une Fey´s (1998), à medida que diminui o passo de

integração temporal. O coeficiente de arrasto, de um modo geral é ligeiramente inferior ao valor da

literatura no qual o CD médio varia entre: 1.48 < CD médio < 1.49 (Mittal, 2001). O refinamento da malha na

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

1/30 1/50 1/60 1/80 1/90

St

∆t/t

M1 - 72000 células


Fey,1990

Mital, 2001

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

1/30 1/50 1/60 1/80 1/90

CD

mé

dio

∆t/t

M1 - 72000 células



45

zona radial faz com que o St e o CD médio sejam inferiores relativamente aos obtidos para a malha menos

refinada na zona radial. No entanto à medida que diminui o tempo de integração temporal os resultados

tendem para um mesmo valor, sendo satisfatório a utilização de um tempo de integração de 1/80 vezes o

tempo de um ciclo.

5.4.3 Escoamento laminar transiente em torno de dois cilindros

O terceiro caso tem por finalidade o estudo do controlo das características dinâmicas do escoamento em

torno de um cilindro por recurso a um segundo cilindro (cilindro de controlo), de menores dimensões, e

colocado na região de corte ou esteira do primeiro cilindro. O domínio de cálculo está ilustrado na figura

21, e está de acordo com o definido por Mittal (2001). Definiu-se D1 como sendo o diâmetro do cilindro

principal e D2 o diâmetro do cilindro de controlo. A zona de entrada está a 8 D1 relativamente ao cilindro

principal e a região de saída a 22.5 D1. A parte superior e inferior são consideradas como zonas de

simetria. A localização do cilindro de controlo corresponde a P=2 D1 e T=D1.

As simulações foram efectuadas para Re = 60 e 80 e para uma razão entre diâmetros D1/D2=1/7 (razão

entre o diâmetro do cilindro principal, D1, e o diâmetro do cilindro de controlo, D2) de modo a comparar

os resultados com os de Mittal (2001). Posteriormente efectuaram-se simulações para as dimensões dos

cilindros que são alvo de estudo do presente trabalho. A razão entre diâmetros é de D1/D2=1/10 sendo de

40 mm o diâmetro do cilindro principal e de 4 mm o diâmetro do cilindro de controlo.

Na tabela 8 estão descritas as características da malha utilizada. As simulações foram efectuadas

considerando um resíduo de 10-6, 20 integrações por passo no tempo e um tempo de integração de 1/80

tempo de um ciclo.

Tabela 8 - Características da malha utilizada na simulação com 2 cilindros.

Malha

N.º total de células

Nθθθθ Cprincipal

�θº Cprincipal

Nr Cprincipal

∆ÎÏ

Cprincipal

Nθθθθ Ccontrolo

Nr Ccontrolo

M1 480 036 400 0.90 45 0.38 128 15

Mittal (2001)

9 816 ---- ---- ---- ---- ---- ----


Na tabela 9 estão representados os resultados para a simulação D1/D2 =1/7, sendo D1 de 35 mm e D2 de 5

mm. Os valores obtidos estão de acordo com os valores de Mittal (2001). Nessa simulação a Re=60 foi

detectada oscilação do CL, que se mantêm constante a partir de 3 500 segundos, tendo-se calculado uma

frequência de ejecção de vórtices de 0.0065 s-1, tal como se pode verificar na figura 22. No trabalho de

Mittal (2001) a oscilação do CL desaparece ao fim de um tempo de integração de 300 s tendo sido a

duração total da simulação de 480. Tal facto pode explicar-se pelo uso, neste trabalho, de uma malha mais

refinada. De salientar que no artigo o coeficiente de arrasto do cilindro de controlo foi calculado

utilizando a área do cilindro principal.


46

Tabela 9 - Resultados das simulações efectuadas para cilindro com uma razão entre diâmetros de D1/D2=1/7.

Malha Re St Cil.principal CD médio

Cil. principal

CD médio

Cil. controlo

CD médio

Cil. controlo

(calculado utilizando a área do cilindro principal)

M1

60

0.1327 1.396 3.048 0.435

Fey´s (1998) 0.1347 ----- ----- -----

S. Mittal (2001) ----- 1.542 ----- 0.426

M1

80

0.1499 1.323 2.796 0.399

Fey´s (1998) 0.1528 ----- ----- -----

S. Mittal (2001) 0.1580 1.44 < CD médio < 1.42 ----- 0.38 < CD < 0.43

Na figura 22 está representado o coeficiente de sustentação obtido para a simulação efectuada a Re 60.

-0.35

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500

CL

t, s

Re=60

Ciindrol principal

Cilindro de controlo

16 D1

22.5 D1 8 D1

8 D1

P = 2 D1

T = D1

Figura 22 - Representação gráfica do coeficiente de sustentação em função do tempo para a simulação de

D1/D2=1/7.

Figura 21 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno do cilindro principal e do cilindro de controlo.


47

Re=200

Re=60

Posteriormente efectuaram-se simulações para as dimensões dos cilindros que são alvo de estudo do

presente trabalho. A razão entre diâmetros é de D1/D2=1/10 sendo de 40 mm o diâmetro do cilindro

principal e de 4 mm o diâmetro do cilindro de controlo. As simulações foram efectuadas considerando um

resíduo de 10-6, 20 integrações por time step e um tempo de integração de 1/80 tempo de um ciclo. Na

tabela 10 estão representados os resultados das simulações efectuadas para Re = 60,100, 200.

Tabela 10 - Resultados da Simulação para D1/D2=1/10.

Demonstrou-se, numericamente, que o desprendimento de vórtices podia ser alterado ou até mesmo

suprimido, para uma gama de números de Reynolds de 60 a 100, pela colocação de um segundo cilindro,

cujo diâmetro era de 1/10 o diâmetro do cilindro principal, na esteira do cilindro principal.

Verifica-se que só a partir de Re=200 a esteira é composta por vórtices de sinais oposto que se

desprendem alternadamente do lado superior e inferior do cilindro, tal como se pode visualizar na figura

seguinte.

Malha Re St

(Fey´s, 1998) St

Cil. principal CD médio

Cil. principal CD médio

Cil. controlo

CD médio

Cil. controlo (calculado utilizando a área

do cilindro principal)

M1

60 0.135 ------- 1.413 3.221 0.460

100 0.165 ------- 1.544 2.671 0.382

200 0.183 0.0024 1.416 2.101 0.300

Figura 23 – Campo de velocidade axial para o escoamento em torno de um cilindro de principal e um cilindro de

controlo: a) supressão do desprendimento de vórtices a Re=60, b) desprendimento de vórtices a Re=200.


48

5.4.4 Escoamento em regime turbulento entre duas placas

O quarto caso tem por finalidade estudar a influência da distância da parede à primeira célula da malha,

do refinamento da malha, do passo no tempo e dos modelos de turbulência (k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε

Realizável, k-ω padrão e k-ω SST) no escoamento em regime turbulento para placa plana para Re=104. O

domínio de cálculo utilizado está ilustrado na figura 24 sendo a altura entre placas, 2h, de 0.05 m e o

comprimento de 2 m.

Influência do y+ (distancia à parede da primeira célula)

O campo de velocidade médio em escoamento turbulento é afectado pela condição de não deslizamento

que tem de ser satisfeita na parede. De modo a estudar a influência das restrições dos modelos de

turbulência ao efectuar os cálculos na região viscosa perto da parede efectuaram-se simulações nas quais

se variou a distância entre a parede e a primeira célula da malha. Através da equação de Prandtl para

placas não rugosas estimou-se o factor de atrito.

�RÓ = 2 × �?Ô��D Ò � − 0.8 (5.1)

O factor de atrito Òi = Õ#ÖN�M permitiu estimar a tensão de corte (τw) e posteriormente a velocidade de

fricção !# = ´#ÖN que é utilizada no cálculo da distância da parede à primeira célula (y). A distância à

parede normalizada está definida -" = � �ÊÌ , a velocidade por !" = �

�Ê e a energia cinética por �" = ��ÊM

, sendo ν a viscosidade cinemática. As simulações foram efectuadas para as seguintes distâncias

normalizadas: y+ = 5, 10, 30, 50 e 100. Considerou-se 4% a intensidade de turbulência e um resíduo de

10E-6 e utilizou-se o modelo de turbulência k-ε padrão e a função de aproximação da parede reforçada

que permite cálculos na subcamada viscosa. Na figura 25 estão representados os resultados do perfil de

velocidades e da variação da energia cinética, k+.

Verificou-se que apesar de se utilizar uma função de aproximação à parede esta não se mostrou capaz de

efectuar correctamente o cálculo quando a primeira célula está colocada para um y+<10 uma vez que o

perfil de velocidades se afasta do previsto pela lei logarítmica. Relativamente à energia cinética verifica-

2h

2 m

Figura 24 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em regime turbulento para placas planas.


49

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000 10000

u+

y+

y+=5 y+=10 y+=30

y+=50 y+=100 Lei da Parede

Lei Logaritmica Mansour, et al., 1988

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

1 10 100 1000 10000k

+

y+

se que os valores se aproximam dos estipulados por Mansour (1988) quando o ponto inicial da malha se

localiza a y+=5 e 10 mas quando y+=30 e 50 a energia cinética detectada é inferior.

Figura 25 - Influência da distância normalizada da primeira célula à parede para simulações entre placas

paralelas.

À medida que a distância á parede aumenta os pontos deslocam-se para a direita relativamente aos

resultados de Mansour (1988), isto é a mesma energia cinética é detectada a uma distância superior da

parede. Uma vez que a distância à parede teve influência nos resultados, definiu-se que nas simulações

seguintes se iria utilizar malhas com y+=30.

Influência do refinamento da malha

De modo a avaliar a influência do refinamento da malha criaram-se três malhas, cuja distância

normalizada da parede à primeira célula era de y+=30, com as características apontadas na tabela 11:

Tabela 11 - Características das malhas utilizadas na simulação entre duas placas paralelas.

Malha Nº nodos na vertical Nº nodos na horizontal

M1 20 2200

M2 40 4800

M3 80 9600

Para as simulações considerou-se 4% a intensidade de turbulência e um resíduo de 10E-6, utilizou-se o

modelo de turbulência k-ε padrão e a função de aproximação da parede reforçada. Na figura seguinte

estão representados os resultados os perfil de velocidades e a energia cinética. Verifica-se, pela análise da

figura 26, que o perfil de velocidades da malha M3,a mais refinada, é o que melhor se ajusta à lei


50

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000 10000

u+

y+

k-ε Padrão k-ε RNG k-ε Realizablek-ω Padrão k-ω SST Lei da ParedeLei Logaritmica Mansour,et al., 1988

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000 10000

u+

y+

Malha M1 Malha M2 Malha M3

Lei da Parede Lei Logaritmica Mansour,et al., 1988

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

1 10 100 1000 10000

k+

y+

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

1 10 100 1000 10000

k+

y+

logarítmica. A energia cinética apresenta o mesmo comportamento para as três malhas, com excepção do

segundo ponto da malha M1 no qual a energia cinética é superior.

Figura 26 - Influência do refinamento da malha na simulação entre placas planas.

Modelos de Turbulência

Pretende-se também comparar os resultados dos modelos de turbulência disponibilizados pelo programa

Fluent: k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε Realizável, k-w padrão e k-w SST. Considerou-se 4% a intensidade de

turbulência e um resíduo de 10-6 e utilizou-se a função de aproximação da parede reforçada. Na figura 27

estão representados os resultados do perfil de velocidade e de energia cinética.

Figura 27 - Influência dos modelos de turbulência na simulação entre placas planas.

k-ε Realizável


51

Da análise da figura 27 verifica-se que o modelo k-ω padrão e k-ω SST são os que seguem melhor Lei

logarítmica. Relativamente à energia cinética os modelos apresentam o mesmo comportamento.

5.4.5 Escoamento turbulento transiente em torno de um paralelepípedo

quadrangular

O quinto caso tem por finalidade estudar o escoamento em torno de um paralelepípedo quadrangular em

regime turbulento, para �D 8 2 × 10�. Este escoamento tem a vantagem em relação ao escoamento em

torno de um cilindro de apresentar arestas vivas onde vai ocorrer a separação do escoamento, o que em

larga medida vai determinar as restantes caracteristicas do escoamento. Já no escoamento em torno de um

cilindro não há uma característica geométrica que fixe o ponto de separação e os resultados podem por

isso ser mais varáveis pois a separação depende do regime de escoamento na camada limite.

Pretende-se no caso, calcular o coeficiente de arrasto médio, o número de Strouhal, a amplitude do

coeficiente de arrasto CD’ e a amplitude do coeficiente de sustentação CL’ de modo a comparar todos os

valores obtidos com os do artigo de Younis (2006). Na figura seguinte está representado o domínio de

cálculo utilizado.

Foi feita uma malha, M1, de acordo com os parâmetros definidos na figura 28 para um paralelepípedo

quadrangular com uma altura H de 0.05 m. Neste caso, partiu-se de uma malha muito semelhante à malha

D1 desenvolvida por Younis e Przulj (2006), cujas características estão expostas na tabela 12.

Tabela 12 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um paralelepípedo quadrangular a

Re= 2xxxx104.

Malha N.º total de células Nº nodos no cilindro ∆nc / H

M1 16 504 96 0.014

D1 Younis e Przulj (2006)

16 958 96 0.014

Figura 28 - Domínio de cálculo utilizado na simulação em torno de um paralelepípedo quadrangular.


52

As linhas da malha estão concentradas perto da parede do cilindro, com 24 células em contacto com cada

lado. A distância, desde o centro da célula à parede, ∆nc, normalizada pela altura do cilindro, H, é de

ΔE> /Ø = 0.014 . As linhas da malha estão a expandir-se para fora do cilindro com uma razão de

expansão de 7.5% em cada direcção. As simulações foram efectuadas utilizando uma intensidade de

turbulência de 1% e um tempo de integração ∆� = 9.5 × 10p� @.

De seguida, foram calculados o número de Strouhal (St), o coeficiente de arrasto médio (CD médio), a

amplitude do coeficiente de arrasto (CD´) e a amplitude do coeficiente de sustentação o (CL´) de modo a

poder-se comparar com os valores da literatura.

Tabela 13 - Resultados da simulação em torno de um paralelepípedo quadrangular, em regime turbulento Re

2xxxx104.

Modelo St CD médio CD´ CL´

K-ε RNG 0.147 2.190 0.112 1.424

k-ε RNG, Younis e Przulj (2006) 0.139 2.064 0.092 1.369

Modelo Modificado, Younis e Przulj (2006)

0.141 2.199 0.186 1.386

Após análise da tabela 13 verifica-se que os resultados obtidos para o escoamento turbulento em torno de

um paralelepípedo quadrangular para Re=2x104, estão em concordância com os resultados atingidos por

Yonis e Przulj (2006) para o modelo k-ε RNG e com o modelo modificado de Younis e Przulj (2006).

Contudo há diferenças ao nível da intensidade das flutuações, com as previsões dos modelos originais e

terem menores amplitudes. Pode concluir-se que o modelo de turbulência do programa Fluent é adequado

para este estudo se o objectivo for essencialmente a determinação das quantidades médias, mas também

não é claro que a intensidade das flutuações previstas por Yonis e Przulj serão as correctas. Para uma

melhor compreensão do escoamento turbulento para Re=2x104 em torno de um paralelepípedo

quadrangular, estão expostas na figura seguinte as linhas de corrente.

Figura 29 - Linhas de corrente instantâneas na simulação do escoamento turbulento em torno de um

paralelepípedo quadrangular para Re=2xxxx104.


53

5.5 Conclusão

Após a análise dos resultados pode afirmar-se que é necessário utilizar uma malha refinada tanto em torno

do cilindro com na zona radial e um resíduo de pelo menos 10-6 para obter resultados do coeficiente de

arrasto e do comprimento de separação com um erro relativo inferior a 1%.

Verificou-se também que é necessário um tempo de integração que seja 1/80 o tempo de um ciclo para

que se consigam valores concordantes com os da literatura para o número de Strouhal e para o coeficiente

de sustentação.

Em relação aos testes efectuados para a supressão de vórtices verificou-se que é necessário utilizar uma

razão entre os diâmetros dos cilindros de D1/D2=1/10 e que o cilindro de controlo esteja afastado do

cilindro principal, na direcção horizontal 2D1 e na direcção vertical D1, para Re=60 e 100.

Da análise dos resultados em regime turbulento entre duas placas planas verificou-se que o perfil de

velocidades segue a lei logarítmica quando a primeira célula está colocada para um y+=30. A energia

cinética é influência pela colocação do primeiro ponto da malha, sendo que para y+=30 e 50 a energia

cinética detectada é inferior à estimada por Mansour (1988). Para y+ superiores a 50 detectou-se o mesmo

valor de energia cinética mas a uma distância maior da parede relativamente aos resultados de Mansour

(1988). O refinamento da malha influenciou o perfil de velocidades, sendo a mais refinada a que melhor

se ajusta à lei Logarítmica. Relativamente aos modelos de turbulência verifica-se que o modelo k-ω

padrão e k-ω SST são os que seguem melhor Lei Logarítmica. A energia cinética apresentou o mesmo

comportamento para as três malhas e para os modelos de turbulência testados.

Os resultados da simulação efectuada para paralelepípedo quadrangular estão em concordância com os

resultados da literatura.


54

Capítulo 6 Resultados

Numéricos

Neste capítulo apresentam-se os resultados das simulações de escoamento turbulento e transiente em

torno de um cilindro nas quais se pretende estudar a influência da distância da primeira célula à parede

(y+), o efeito do refinamento da malha e só depois se estuda o comportamento comparativo dos modelos

de turbulência disponíveis no programa Fluent. Efectuaram-se os seguintes estudos:

- Escoamento em regime turbulento em torno de um cilindro, para Re = 2.74 x 104, 104 e 106

6.1 Escoamento turbulento em torno de um cilindro

6.1.1 Resultados para Re=2.74 x x x x 104 Esta secção tem por objectivo estudar a influência da distância da parede à primeira célula da malha, do

refinamento da malha, do passo no tempo e dos modelos de turbulência (k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε

Realizável, k-ω padrão e k-ω SST) no escoamento em torno de um cilindro para Re = 2.74 x 104.

Pretende-se calcular o coeficiente de arrasto, o coeficiente de sustentação, o número de Strouhal, as

amplitudes das oscilações dos coeficientes de arrasto e sustentação, CD’ e CL’ respectivamente e o ângulo

de separação de modo a comparar esses valores com os apresentados em Younis e Przulj (2006). O

domínio de cálculo utilizado está ilustrado na figura seguinte:

Lado Inferior

Lado Superior

Sa

ída

En

tra

da

25D

7.5 D

3D

20 D

Figura 30 - Dominio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro em regime turbulento.


55

O cilindro tem um diâmetro de 40 mm. A zona de entrada está a 7.5 vezes o diâmetro do cilindro e a

região de saída a 20 vezes o diâmetro do cilindro. A largura do domínio de cálculo é de 25 vezes o

diâmetro do cilindro. De modo a facilitar a geração da malha, criou-se um quadrado com 3 vezes o

diâmetro do cilindro à volta do cilindro. O quadrado está dividido em 4 partes como se pode ver na figura

32. A parte superior e inferior são consideradas como zonas de simetria. Na tabela 14 apresentam-se as

características das malhas, sendo ∆θº a variação angular de cada célula relativamente ao centro do

cilindro, ∆r �⁄ a variação média da dimensão radial das células normalizadas pelo raio do cilindro e a

∆nc/D a distância do centro da primeira célula à parede, normalizada pelo diâmetro do cilindro.

Tabela 14 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um cilindro de secção circular.

Malha N.º total células Nθθθθ �θº Nr ∆ÎÏ ∆nc / D

M1 4 400 40 9.0 10 3.44 3x10-3

M2 16 800 80 4.5 20 1.72 3x10-3

M3 67 020 160 2.3 40 0.86 3 x10-3

Younis e Przulj (2006)

14 000 160 2.25

----- -----

5.75 x10-3


As simulações foram efectuadas para um resíduo de 10-6, utilizando 20 iterações por cada tempo de

integração e o modelo de turbulência k-ε RNG. Considerou-se 4% a intensidade de turbulência e um

resíduo de 10-6 e utilizou-se a função de aproximação da parede reforçada. Para obter uma estimativa do

tempo de integração utilizou-se uma expressão que relaciona o número de Strouhal com o número de

Reynolds, �� = 0.1776 + 2.2023 / ;�DÑ.yF, disponível no artigo de Fey (1998). Com base nesse valor

calculou-se a frequência do processo cíclico de desprendimento dos vórtices Ò = �� 5/� ou seja cada

ciclo completo tem a duração � = 1/Ò. Para que seja possível prever o processo turbulento utilizou-se um

tempo de integração temporal (passo no tempo) de 1/100 relativamente ao tempo total de cada ciclo. Após

a simulação calculou-se a frequência de desprendimento dos vórtices através das flutuações do coeficiente

de sustentação (CL).

Influência de y+ (distancia normalizada da parede à primeira célula)

De modo a estudar a influência das restrições dos modelos de turbulência nos cálculos na região viscosa

perto da parede utilizou-se a malha M2 na qual se variou a distância entre a parede e a primeira célula da

malha. Essa distância foi calculada pela fórmula seguinte utilizando um factor de refinamento de 1,

sugerida em Fluent (2007):

ÚÛ{ÜÎÚ �ª ÞéÛÜÛÚ = àÚÞ{áÎ ÎâàãäÚ|âä{á å æç × è�.�~�×é�.êë��.�ìì ×��.êë� × í�.êë�î (6.1)


56

De modo a poder comparar as características das malhas, calculou-se a distância do centro das células à

parede, normalizada pelo diâmetro do cilindro, ∆nc/D. Na tabela15, estão expostos os resultados do

número de Strouhal, coeficiente de arrasto médio, a amplitude do coeficiente de arrasto, a amplitude do

coeficiente de sustentação, e o ângulo de separação.

Tabela 15 - Resultados das simulações em que de estudou a influência da distância entre a parede do cilindro e a

primeira célula da malha.

Simulação y+ �nc/D St CD médio C L θθθθsº

S1 5 2x10-3 0.230 0.566 0.290 103.5

S2 10 3x10-3 0.228 0.740 0.470 108

S3 20 7x10-3 0.282 0.390 0.105 130

S4 30 1x10-3 ---- 0.323 ---- 135


Modelo modificado 5.75x10-3 0.290 1.171 1.016 126.7

k-ε RNG 5.75x10-3 0.297 0.967 0.926 125.1

Da análise da tabela 15 verifica-se que as simulações são muito sensíveis à localização da primeira célula

da malha. A utilização de uma malha cuja primeira célula tenha uma distância à parede do cilindro de 30

não permite detectar a formação de vórtices. Nas outras simulações verifica-se que o coeficiente de

arrasto é muito inferior aos obtidos por de Younis e Przulj (2006). Em relação ao ângulo de separação

verifica-se que mas malhas em que a primeira célula está mais próxima do cilindro, y+=5 e y+=10, o

ângulo de separação é inferior ao obtido por Younis e Przulj (2006) e nos restantes casos é superior,

y+=20 e y+=30.O número de Strouhal é similar em todos os casos apresentados. De salientar que para

Re=2.74 x 104 estamos ainda nas condições em que a esteira é turbulenta e a separação do escoamento dá-

se numa camada limite laminar. Ora, nestes casos a separação ocorre para ângulos bem inferiores aos

valores calculados por Younis e Przulj (2006) que são típicos de uma separação turbulenta. Em

conclusão, as simulações de Younis e Przulj (2006) não são necessariamente de referência, como se

constatará na próxima secção onde os cálculos a Re=104 são também na mesma gama de condições.

Influência do refinamento da malha

Para estudar a dependência da malha nos resultados utilizaram-se as malhas M1, M2 e M3 as quais têm

diferentes graus de refinamento, de acordo com especificado na tabela 14, mantendo-se a distância

normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, y+, de 10.Utilizou-se um tempo de integração

temporal de 1/100 relativamente ao tempo total de cada ciclo (t). Na tabela 16 estão expostos os

resultados obtidos. Verifica-se que a utilização da malha menos refinada M1 não permite a captação dos

vórtices. As malhas M2 e M3 apresentam resultados semelhantes entre si mas o coeficiente de arrasto e o

ângulo de separação é novamente significativamente inferior aos obtidos por Younis e Przulj (2006).


57

Tabela 16 - Estudo da influência no refinamento da malha nas simulações em torno de um cilindro para regime

turbulento e erro relativo calculado com base no valor extrapolado.

Malha St

Erro relativo,

% St

CD médio

Erro relativo,

% CD médio

C´L

Erro relativo,

% C´L

θθθθsº

Erro relativo,

%

θθθθsº

M1 --- --- 0.573 9.0 --- --- 108 14.6

M2 0.228 15.4 0.740 17.5 0.269 39.4 108 14.6

M3 0.259 3.8 0.673 6.8 0.212 9.8 99 5.0

Valor extrapolado 0.269 ---- 0.630 ---- 0.193 ---- 94 ----


Modelo modificado

0.290 ----- 1.171 ---- 1.016 ---- 127 ----

k-ε RNG 0.297 ---- 0.967 ---- 0.926 ---- 125 ----

Influência do tempo de integração temporal

De modo a estudar a influência do tempo de integração temporal fizeram-se simulações para passos no

tempo de 1/100, 1/1 000 e 1/3 000 relativamente ao período de um ciclo completo (t). Utilizou-se uma

malha com 80 células em torno do cilindro e 16 800 células totais e com uma distância normalizada entre

a parede e a primeira célula da malha, y+, de 10. Na tabela 17 estão expostos os resultados obtidos.

Tabela 17 - Estudo da influência do tempo de integração temporal nas simulações em torno de um cilindro para

regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula.

Simulação ∆∆∆∆t/t St CD médio C L θθθθsº

S1 1/100 0.228 0.740 0.469 99

S2 1/1000 0.227 0.724 0.453 108

S3 1/3000 0.227 0.724 0.441 103


Modelo modificado

1/600 0.290 1.171 1.016 126.7

k-ε RNG 1/600 0.297 0.967 0.926 125.1

Verifica-se que o tempo de integração temporal não afectou os resultados das simulações quando

∆t/t<1/100.

Modelos de Turbulência

Pretende-se também comparar os resultados obtidos através dos vários modelos de turbulência

disponibilizados pelo FLUENT: k-ε Padrão, k-ε RNG, k-ε Realizável, k-ω Padrão, k-ω SST.

Utilizou-se uma malha M2, com 80 células em torno do cilindro e 16 800 células totais, e com uma

distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, y+ = 10. As simulações efectuaram-se


58

para um tempo de integração temporal de 1/1000. Da análise da tabela 18 verifica-se que os resultados

obtidos utilizando os modelos k-ω-padrão e o k-ω SST são os que mais se aproximam dos resultados de

Younis e Przulj (2006), mas como referido anteriormente há discrepâncias que não podem ser totalmente

atribuídas aos modelos de turbulência do Fluent, já que estamos no regime de separação com camada

limite laminar onde se espera que o ângulo de separação θs esteja mais próximo dos nossos valores do que

dos de Younis e Przulj (2006) mais típicos de uma separação numa camada limite turbulenta.

Tabela 18 - Estudo da influência dos modelos de turbulência nas simulações em torno de um cilindro para

regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula e ∆∆∆∆t/t=1/1 000.

Simulação Modelo de turbulência St CD médio C D C L θθθθsº

S1 k-ε padrão 0.199 0.795 0.003 0.279 103.5

S2 k-ε RNG 0.228 0.740 0.007 0.469 108.0

S3 k-ε Realizável 0.225 0.687 0.005 0.353 99.0

S4 k-ω padrão 0.185 1.026 0.0004 0.344 103.5

S4 k-ω SST 0.230 1.053 0.044 0.274 112.5


Modelo modificado 0.290 1.171 0.134 1.016 126.7

k-ε RNG 0.297 0.967 0.094 0.926 125.1

6.1.2 Resultados para Re=104

No estudo anterior analisou-se a influência da distância da parede à primeira célula da malha, do

refinamento da malha, do passo no tempo e dos modelos de turbulência para Re=2.74x104 e verificou-se

que os modelos de turbulência eram o parâmetro de maior influencia nos resultados. Além disso havia

discrepâncias em relação à literatura que devem ser esclarecidas. Para um número de Re=104 a literatura é

mais abundante e esta secção trata precisamente destas comparações. Assim, prende-se agora analisar o

comportamento dos modelos de turbulência para Re = 104, utilizando a malha M2 e M3, com uma

distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, de y+ = 10. Na tabela 19 estão expostos

os resultados obtidos e os resultados da literatura, obtido pelo método DNS em 3D e experimentais. Os

resultados de Dong (2005) estão apresentados para duas malhas que apenas diferem no número de

células, A3 é constituída por 6 272 elementos triangulares e B3 por 9 272.

Da análise dos resultados verifica-se que o coeficiente de arrasto obtido pelos modelos k-ε é inferior ao

apresentados na literatura enquanto que o os modelos k-ω apresentam um valor ligeiramente superior. O

número de Strouhal e o ângulo de separação estão em concordância com os restantes casos apresentados.

Nas figuras 31 e 32 está representada a variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro

obtida pela simulação efectuada com a malha M2 e com a malha M3 para os diferentes modelos de

turbulência. Nestas figuras estão também representados os resultados da literatura, os resultados

experimentais de Norberg (1992) e os numéricos de Dong (2005) obtidos utilizando malhas de diferentes

refinamentos. Da análise da variação do coeficiente de pressão na superfície superior do cilindro verifica-


59

se que é necessário utilizar uma malha mais refinada para que resultados dos modelos de turbulência

sejam mais concordantes, tal como foi verificado por Dong (2005). Deste conjunto de figuras e tabelas

para Re=104, também no regime de separação com camada limite laminar e esteira turbulenta e sem

comparação com os correspondentes dados para Re=2.74x104 conclui-se que para Re=104 a comparação

com a literatura é francamente melhor e positiva sendo que a literatura neste caso diz respeito a resultados

experimentais e de DNS, enquanto que para Re=2.74x104 a literatura reporta dados obtidos com modelos

de turbulência. Parece assim demonstrar-se o que vínhamos dizendo, nomeadamente que os valores de

Younis e Przulj (2006) não parecem correctos porque não estão consistentes com o regime de escoamento

a que corresponde esse número de Reynolds e sendo mais típico de uma situação com esteira turbulenta e

separação da camada limite também no regime turbulento.

Tabela 19 - Resultados das simulações para Re=104 e comparação com os resultados da literatura.

Malha Modelo de turbulência St CD médio C L θθθθsº

k-ε padrão 0.195 0.812 0.255 94.50

k-ε RNG 0.213 0.735 0.281 94.50

M2 k-ε Realizável 0.216 0.724 0.287 90.00

k-ω padrão 0.171 1.469 0.492 94.50

k-ω SST 0.218 1.560 1.176 103.50

k-ε padrão 0.204 0.816 0.143 94.50

k-ε RNG 0.227 0.700 0.149 92.30

M3 k-ε Realizável 0.215 0.697 0.287 94.50

k-ω padrão 0.175 1.398 0.496 92.30

k-ω SST 0.242 1.526 1.108 90.00

Dong (2005) DNS; 3D; malha A3 0.205 1.128 ---- 105

Dong (2005) DNS; 3D; malha B3 0.203 1.143 ---- 91.4

Wieselsberger (1921) Experimental ---- 1.143 ---- ----

Bishop and Hassan (1964) Experimental 0.201 ---- ---- ----

Gopalkrishanan (1993) Experimental 0.193 1.186 ---- ----

Norberg (2003) Experimental 0.202 ---- ---- ----

6.1.3 Resultados para Re=106

Pretende-se agora analisar o comportamento dos modelos de turbulência para um número de Reynolds

francamente superior aos estudados anteriormente e onde a separação da camada limite é turbulenta. O

caso testado corresponde a Re=106 e idealmente o Reynolds deveria ser superior pois como se constata

da tabela 1 ainda há camada limite laminar significativamente extensa. Neste teste utilizou-se a malha

mais refinada, M3, com uma distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, y+ = 10.


60

Na tabela 20 estão expostos os resultados obtidos e os resultados da literatura: os resultados experimentais

de Shih (1993) e Zdravkovich, (1997) e os numéricos de Pietro (2003) obtidos utilizando uma malha 3D.

Figura 31 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a

malha M2 para Re=104.


malha M3, Re=104.

A figura 33 ilustra a variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para os diferentes

modelos de turbulência. Da análise da tabela 20 verifica-se em primeiro lugar que os modelos RANS

agora já prevêem a separação tardia como é típico da separação turbulenta, e em contraste com os casos

anteriores. Por outro lado há algumas discrepâncias com a literatura sobretudo de natureza numérica,

-3

-2

-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Cp

θ, graus

k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST

Norberg (1992), Re=8000

Dong (2005) - malha B3

Dong(2005) - malha A3

-3

-2

-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Cp

θ, graus

k-ε padrão

k-ε RNG

k-εRealizable

k-ω padrão

k-ω SST

Norberg (1992), Re=8000

Dong (2005) - malha B3

Dong(2005) - malha A3

k-ε Realizável

k-ε Realizável


61

nomeadamente na determinação do coeficiente de arrasto. O ângulo de separação experimental é o mais

próximo do que foi calculado por nós. Já nos cálculos numéricos todos recorrem a modelos de turbulência

variados e embora bastante consistentes no valor do ângulo de separação, apresentam discrepâncias

também em relação ao experimental. Relativamente ao coeficiente de pressão verifica-se que todos os

modelos foram capazes de o prever correctamente à excepção do modelo k-ω padrão.

Tabela 20 - Resultados das simulações para Re=106 e comparação com os resultados da literatura.

Malha Modelo de turbulência St CD médio C L θθθθsº

k-ε padrão 0.216 0.568 0.001 137.3

k-ε RNG 0.377 0.281 0.052 135

M3 k-ε Realizável 0.360 0.249 0.022 135

k-ω padrão 0.200 0.761 0.010 123.8

k-ω SST 0.390 0.188 0.001 135

Pietro (2003) LES, 3D 0.350 0.310 ---- 131

RANS, 3D --- 0.390 ---- 118

URANS, 3D 0.310 0.400 ---- 117


Modelo modificado 0.266 0.792 0.776 115.9

k-ε RNG 0.270 0.650 0.687 119.6

Shih (1993)1 Experimental 0.220 0.240 ---- ----

Zdravkovich, (1997)1 Experimental 0.18-0.5 0.17-0.4 ---- 127 1 Os resultados de Shih (2003) e Zdravkovich, (1997) estão citados no artigo de Pietro (2003).


malha M3 para Re=106.

-3

-2

-1

0

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Cp

θ, graus

k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST

Pietro (2003) - LES

Pietro (2003) - URANS

Pietro (2003) - RANS

Falchsbart (in Zdravkovich

1997) - experimental

k-ω Realizável


62

6.1.4 Comparação de resultados

Para finalizar esta secção pretende-se comparar os valores do coeficiente de arrasto e do número de

Strouhal, obtidos para os modelos de turbulência, com os valores da literatura para a gama de Reynolds

em estudo. Na figura 34 apresenta-se a variação do coeficiente de arrasto em função do número de

Reynolds e na figura 35 a variação do número e Strouhal em função do número de Reynolds. Os

resultados teóricos foram retirados de Sumer (1997) e Reichel (2008). Os resultados de Tritton (1959,

Wieselsberger (1979), williamson (1989) e Roshko (1961) são reseultados experimentais e estão

representados por linhas. Os resultados de Keller e Takami (1966), Braza, e tal. (1990 e 1992) são

resultados numéricos obtidos por DNS em 2D e estão representados por pontos. Os resultados de Reichel

(2008) utilizam um modelo k-ω ao qual se acrescentou uma função de transição de regime laminar para

turbulento.

Figura 34 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds, as linhas represntam

resultados experimentais e os pontos resultados numéricos (adaptado de SUMER, 1997).

Da análise do gráfico da variação do coeficiente de arrasto e do número de Strouhal em função do número

de Reynolds, verifica-se que os modelos de turbulência acompanham os resultados da literatura. Os

resultados para Re=106 são os que apresentam diferenças mais significativas entre os modelos. No caso de

Re=106 verifica-se que os modelos k-ε padrão e k-ω padrão apresentam resultados semelhantes entre si, e

que o mesmo acontece para os restantes modelos. Mais se verifica, que os modelos k-ε RNG, k-ε

realizável e k-ω SST são os que mais se aproximam dos resultados de Reichel (2008) que utiliza um

modelo k-ω ao qual se acrescentou um modelo de transição de regime laminar para turbulento.

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+01 1.E+03 1.E+05 1.E+07

CD

Re

Oseen - Lamb relation

Tritton (1959)

wieselsberger (1979)

keller & Takami (1966)

Braza et al (1990)

Reichel (2008)

k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST

k-ω Realizável


63

Figura 35 - Variação do número de Strouhal em função do número de Reynolds, as linhas represntam resultados

experimentais e os pontos resultados numéricos (adaptado de SUMER, 1997).

6.2 Conclusão

Após a análise dos resultados pode afirmar-se que é necessário utilizar uma malha bastante refinada e

com uma distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, y+ = 10 para se detectar a

formação de vórtices e para que os resultados sejam concordantes. O tempo de integração temporal não

influenciou os resultados, sendo apenas necessário um tempo de integração de 1/100 vezes o tempo de um

ciclo. Da análise comparativa dos modelos de turbulência verificou-se que o uso dos modelos em

situações onde o escoamento está sujeito a elevados gradientes de pressões, como no caso presente do

escoamento em torno de um cilindro, e a qualidade das previsões fica comprometida. Os modelos k-ε são

os que apresentam maior fragilidade, pelo facto de ser necessário recorrer a funções de parede para que

seja possível o cálculo na região viscosa. Os resultados obtidos através do k-ω padrão e k-ω SST, que são

modelos modificados que permitem cálculo na região viscosa, são os que melhor se aproximam do valor

da literatura.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

St

Re

Williamson (1989)

Roshko (1961)

Braza et al (1990)

Braza et al (1992)

Reichel (2008)

k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST

k-ε Realizável


64

Capítulo 7

Conclusão

Este capítulo encerra a tese, onde serão apresentadas as principais conclusões deste trabalho exposto nos

capítulos anteriores e algumas sugestões para trabalho futuro.

7.1 Conclusão

Esta tese apresenta os resultados de um conjunto de ensaios experimentais e estudos numéricos

efectuados para estudar o controlo da ejecção de vórtices sobre um cilindro por recurso a um segundo

cilindro de controlo. No caso dos estudos numéricos estes reportam a comparação para escoamento

laminar e turbulento, em regime estacionário e transiente usando o código comercial Fluent.

Através dos resultados experimentais conclui-se que é necessário a colocação do cilindro de controlo

entre 60 a 90º relativamente à horizontal e medido a partir do ponto de estagnação frontal, para que ocorra

a maior redução na frequência de ejecção de vórtices. Não foi possível a total supressão dos vórtices para

as posições testadas, no entanto estes teste são preparativos dado que o canal de água apenas esteve

disponível durante um mês para a realização de todo o trabalho experimental.

O estudo numérico iniciou-se por uma série de trabalhos “preliminares’’ de validação, em escoamento em

torno de um cilindro em regime estacionário e transiente. Deste estudo conclui-se que é necessário utilizar

uma malha refinada em torno do cilindro e um resíduo igual ou inferior a 10-6 para obter resultados do

coeficiente de arrasto e do comprimento de separação com um erro relativo inferior a 1%. Verificou-se

também que é necessário um tempo de integração de 1/80 vezes o tempo de um ciclo para que se

consigam valores concordantes com os da literatura para o número de Strouhal e para o coeficiente de

sustentação.

Posteriormente efectuou-se um estudo numérico prévio da colocação de um cilindro de controlo na esteira

do cilindro principal. Verificou-se que a supressão de vórtices ocorre quando se utiliza uma razão entre os

diâmetros dos cilindros de D1/D2=1/10 e quando o cilindro de controlo está colocado a jusante do cilindro

a uma distância de 2D1 na direcção horizontal e D1 na direcção vertical, para Re=60 e 100.

O estudo em regime turbulento pretendeu avaliar a capacidade preditiva de diversos modelos de

turbulência do tipo RANS: modelos k-ε e modelos k-ω, disponíveis no software Fluent v6.3. Em relação à

simulação do escoamento turbulento entre placas planas verificou-se que o perfil de velocidades segue a

lei logarítmica quando a primeira célula está colocada para um y+=30. O refinamento da malha

influenciou o perfil de velocidades, sendo a mais refinada a que melhor se ajusta à lei Logarítmica.

Relativamente aos modelos de turbulência verifica-se que o modelo k-ω padrão e k-ω SST são os que


65

seguem melhor a Lei Logarítmica. A energia cinética é influênciada pela colocação do primeiro ponto da

malha mas apresentou o mesmo comportamento para as malhas nas quais se variou o refinamento e para

os modelos de turbulência testados.

Os resultados da simulação efectuada em torno de um paralelepípedo quadrangular estão em

concordância com os resultados da literatura. Este escoamento tem a vantagem em relação ao escoamento

em torno de um cilindro de secção circular de apresentar arestas vivas onde ocorrer a separação do

escoamento, o que em larga medida vai determinar as restantes caracteristicas do escoamento.

Os resultados das simulações em torno de um cilindro para Re= 104, 2.74x104 e 106 permitiram concluir

que os modelos k-ε são os que apresentam maior fragilidade quando sujeitos a elevados gradientes de

pressão, pelo facto de ser necessário recorrer a funções de parede para que seja possível o cálculo na

região viscosa. Os resultados obtidos através do k-ω padrão e k-ω SST, que são modelos modificados que

permitem cálculo na região viscosa, são os que melhor se aproximam do valor da literatura.

Tendo em considerando o objectivo do projecto e que os escoamentos em tanques de tratamento de água

com radiação UV ocorrem para números de Reynolds da ordem de 104, o modelo de turbulência mais

adequado a esta situação é o modelo k-ω SST.

7.2 Sugestão para Trabalho Futuro

Esta tese insere-se num trabalho de investigação que irá ter continuidade ao longo deste ano. Uma vez

que ainda não se conseguiu suprimir a formação e desprendimento de vórtices na esteira é necessário dar

continuidade ao trabalho experimental para testar outras posições de colocação do cilindro de controlo

que possam ser mais favoráveis ao controlo dos vórtices, nomeadamente o posicionamento a jusante do

cilindro principal na zona da esteira. De modo a quantificar a frequência das flutuações ir-se-á utilizar a

anemometria lase dopler (LDA) e numa fase posterior utilizar-se-á a velocimetria por imagem de

partículas (PIV).

Relativamente ao estudo numérico iniciar-se-ão as simulações em regime turbulento em torno do cilindro

principal com o cilindro de controlo para comparação com os resultados experimentais. Posteriormente

serão efectuadas simulações com radiação para um só cilindro em regime laminar e turbulento e

posteriormente colocando o cilindro de controlo numa região em que atenue/elimine a ejecção de

vórtices.

Numa fase final efectuar-se-ão simulações para um banco de tubos sem e com cilindro de controlo

aplicando a radiação UV para avaliar a eficiência do tratamento.


66

Bibliografia Catalano, P., Wang, M., Iaccarino, G. e Moin, P., “Numerical simulation of the flow around a circular

cylinder at high Reynolds numbers”, International Journal of Heat and Fluid Flow, vol. 24, 2003, 463–

469.

Celik, I. e Shaffer, F. D., “Long time-averaged solutions of turbulent flow past a circular cylinder”,

Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, vol. 56, 1995, 185–212,.

Çengle, Y. A. e Cimbala, J.M., “Fluid Mechanics - Fundamentals and Applications”, McGraw-Hill, 1ª

Edição, 2006.

Dalton, C. e Xu Y., “The Suppression of lift on a circular cylinder due to vortex shedding at moderate

Reynolds numbers”, Journal of fluid and Structures, vol. 15, 2001, 617-628,.

Ding, H., Shu, C., Yeo K. S. e Xu, D. “Simulation of incompressible viscous flows past a circular

cylinder by hybrid FD scheme and meshless least square-based finite difference method”, Comput.

Methods Appl. Mech. Engrg. vol. 193, 2004, 727-744.

Dipankar, A., Sengupta, T. K. e Talla, S. B., “Suppression of vortex shedding behind a circular cylinder

by another controlo cylinder at low Reynolds numbers”, J. Fluid Mech, vol. 5, 2006, 1-20.

Dong, S. e Karniadakis, G.E., “DNS of flow past a stationary and oscillating cylinder at Re=10 000”,

Journal of Fluids and Structures, vol. 20, 519-531, 2005.

Ferziger, J. H. e Peric, M., “Computacional Methods for Fluid Dynamics”, Springer – Verlag Berlin

Heidelberg, 3rd Edition, 2002.

Fey, U. Köning M. e Eckelmann H., “A new Strouhal-Reynolds Number relationship for the circular

Cylinder in the range 47<Re< 2E5”, Phisics Fluids, vol. 10, 1998, 1547-1549.

FLUENT, “User’s Guide 6.1”, Fluent Inc., 2003.

FLUENT, “Flow Lab 1.2 - Flow Over a Cylinder”, April 16, 2007.

Fornberg, B. “A numerical study of steady viscous flow past a circular cylinder”; J. Fluid Mech, vol. 98,

part 4, 1980, 819-855.


67

Kravchenko, A. e Moin, P., “Numerical studies of flow over a circular cylinder at Re=3900”, Physics of

Fluids, vol. 12, 1999, 403-317.

Munson, Bruce R. et al., “Fundamentals of Fluid Mechanics”, John Wiley & Sons, Inc, 4ª edition, 2000.

Mansour, N. N., Kim, J. e Moin, P., “ Reynolds Stress and Dissipation Rate budgets in a turbulent

Channel flow”, J. Fluid Mech., vol. 194, 1988, 15-44.

Mittal, S. e Raghuvanshi, A.,“Control of vortex shedding behind circular cylinder for flows at low

Reynolds numbers”, International Journal for Numerical Methods in Fluids 35, 421-447, 2001.

Oliveira, L. A. e Lopes,A. G., “Mecânica dos Fluidos”, ETEP, 3ª edição, 2010.

Park, J., Kwon, K. e Choi, H., “Numerical Solutions of Flow Past a Circular Cylinder at Reynolds

Number up to 160”, KSME International Journal, vol. 12, Nº 6, 1998, 1200-12505.

Pope, S. B., “Turbulent Flows”, Cambridge University Press, 1st edition, 2000.

Reichel, C. e Strohmeier, K., “Application of Models for Laminar Turbulent Transition to Flow Around

Circular Cylinder”, Journal of Pressure Vessel Technology, vol. 130, August 2008.

Sumer, B. M. e Fredsoe J. “Hydrodynamics Around Cylindrical Structures”, Advanced Series on Ocean

Engineering, volume 12, 1997.

Versteeg, H. K. e Malalasekera, W., “An introduction to Computacional Fluid Dynamics. The Finite

Volume Method”, Pearson – Prentice Hall, 2nd Edition, 2007.

Wilcox, D. C., “Turbulence Modeling for CFD”, La Cañada, California: DCW Industries, cop. 1998.

Williamson, "Vortex Dynamics in the cylinder wake", Annu. Rev. Fluid Mech., 1996, 28:477-539.

White, F.M., “Fluid Mechanics”, Mc.Graw-Hill, 2ª edição, 1986.

Yildirim, I., Rindt, C. C. e Steenhoven, A. A., “Vortex dynamics in a wire-disturbed cylinder wake”,

Physics of Fluids, vol. 22, 2010.

Younis, B. A. e Przulj, V. P., “Computation of turbulent vortex shedding”, Comput Mech, 2006, 37:

408–425.


68

Anexos Anexo A - Esquema do posicionamento do cilindro de principal e do cilindro de controlo na instalação experimental.

Figura A.1 - Esquema da instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente ao

cilindro principal.


69

Anexo B - Resultados experimentais

Tabela B.1 Resultados experimentais do número de Strouhal em função da posição ocupada pelo cilindro de

controlo.

Cilindro Controlo

Posição angular

Nº de Strouhal

Posição 1 - vedado Posição 1 Posição 2 Posição 3

3 mm

20 0.243 0.228 0.231 0.250

40 0.258 0.237 0.236 0.226

60 0.187 0.246 0.233 0.221

80 0.187 0.216 0.195 0.212

90 0.192 0.206 0.211 0.219

100 0.194 0.221 0.220 0.217

120 0.233 0.231 0.231 0.215

4 mm

20 0.254 0.261 0.231 0.245

40 0.260 0.255 0.240 0.224

60 0.179 0.220 0.257 0.222

80 0.181 0.194 0.202 0.197

90 0.180 0.192 0.211 0.195

100 0.184 0.213 0.220 0.212

120 0.214 0.241 0.236 0.214

Sem Cilindro de Controlo 0.233


70

Anexo C - Equação de Navier-Stokes expandida

A equação de Navier-Stokes para um fluido de viscosidade µ está definada por:

�� ;�5TF B �

�h� ��5T5�� 8 − �o�h� B µ

�Mk��h��h� (c.1)

Expandindo a eq. 4.3 assume a forma,

Componente x:

ρ »�� B ! ��

�h B � �� B $ ��

�0¼ = − �o�h + ρÔð + μ »ñM�

ñhM + ñM�ñòM + ñM�

ñ0M¼ (c.2)

Componente y:

ρ »� �� + ! �

�h + � � �� + $ �

�0¼ = − �o�� + ρÔò + μ »ñM

ñhM + ñM ñòM + ñM

ñ0M¼ (c.3)

Componente z:

ρ »�� + ! ��

�h + � �� + $ ��

�0 ¼ = − �o�0 + ρÔó + μ »ñM�

ñhM + ñM�ñòM + ñM�

ñ0M ¼ (c.4)


71

Anexo D - Modelos de Turbulência

Modelo k-ε ε ε ε RNG (renormalizado)

As alterações efectuadas no modelo k-ε padrão com o objectivo de melhorar os pontos fracos deste

modelo, deu origem ao modelo k-ε RNG. O modelo k-ε RNG foi desenvolvido utilizando uma técnica

estatística rigorosa, o método de renormalização, que como o nome indica, renormaliza as equações de

Navier-Stokes, para explicar os efeitos da menor escala do movimento. A abordagem RNG, que

é uma técnica matemática que pode ser usada para gerar um modelo de turbulência semelhante

ao k-ε padrão, resulta de uma forma modificada da equação ε, que tenta explicar as diferentes escalas de

movimento através de alterações ao termo de produção. Logo, em teoria o modelo k-ε RNG é mais

preciso e confiável, para uma classe mais ampla de escoamentos comparativamente ao modelo k-ε

padrão. Como veremos mais adiante, o modelo k-ε RNG apresenta também deficiências apesar de ser

teoricamente mais avançado. O modelo k-ε RNG é muito semelhante ao nível de forma das equações de

transporte do modelo k-ε padrão. As equações de transporte estão escritas de seguida (Fluent, 2003):

�� ;��F B �

�h� ;��!TF 8 ��h� ô»µ B ÁÃ

ÄÅ ¼ ��h�õ + �� − �¶ (d.1)

e

�� ;�¶F + �

�h� ;�¶!TF = ��h� ô»µ + ÁÃ

ÄÈ ¼ ��h�õ + ��

� �� − ��∗� �M� (d.2)

onde,

��∗ = �� + ö÷ø¯;�pø øù⁄ F�"úø¯ (d.3)

e

û = �� ¶⁄ (d.4)

� ≡ 2�T��T� (d.5)

onde a viscosidade turbulenta é calculada de maneira idêntica à do modelo k-ε padrão. Os vários

parâmetros do modelo tomam os seguintes valores:

�� = 1.42 , �� = 1.68 , �Á = 0.0845 , �� = 0.7194 , �� = 0.7194 , ûÑ = 4.38

A diferença principal entre o k-ε padrão e o k-ε RNG reside no termo adicional na equação de ε, que é

dado por

�� = ö÷Nø¯;�pø øù⁄ F�"úø¯

�M� (d.6)

onde, ü = 0.012 (Fluent, 2003).


72

Modelo k-ε Realizável

O modelo k-ε Realizável foi desenvolvido recentemente e difere do k-ε padrão em dois aspectos:

possui novas formulas para a para a viscosidade turbulenta e a nova equação de transporte para a taxa de

dissipação, ε, foi derivada de uma equação exacta de transporte da media quadrada das flutuações de

vorticidade. O termo realizável significa que o modelo satisfaz certas restrições matemáticas nas tensões

de Reynolds, de acordo com a física do escoamento turbulência. Este modelo combina a relação de

Boussinesq e a viscosidade turbulenta para obter a tensão de Reynolds num escoamento incompressível.

Tanto o modelo k-ε Realizável como o RNG demonstraram melhorias substanciais relativamente ao

modelo k-ε padrão em especial em escoamento que incluem curvaturas, vórtices e rotação. Este modelo

ainda é relativamente novo, não está claro exactamente os casos em que o modelo k-ε Realizável supera o

modelo k-ε RNG. Os estudos iniciais mostraram que este modelo tem melhor desempenho relativamente

às versões do modelo k-ε para validações de diversos escoamentos.

As equações de transporte estão escritas de seguida(Fluent, 2003):

�� ;��F B �

�h� ;��!TF 8 ��h� ô»µ B ÁÃ

ÄÅ ¼ ��h�õ + �� + � − �¶ − -Ç + �� (d.7)

e

�� ;��F + �

�h� ;��!TF = ��h� ô»µ + ÁÃ

ÄÅ ¼ ��h�õ + �� − �� M

�"√Ë� + � �� + �� (d.8)

onde,

�� = ��, å0.43, øø"yî , (d.9)

û = � �� , (d.10)

� = 2�T,��T,� (d.11)

A viscosidade turbulenta calcula-se por:

µ� = ��Á �M�

(d.12)

A diferença entre o modelo k-ε Realizável e o modelo k-ε RNG é o facto do termo �® não ser constante

como nos modelos anteriores e ser calculado por:

�® = �Hù"HýÅþ∗

È (d.13)

e

5∗ = ´�T��T� + Ω�T�Ω�T� (d.14)

Ω�T� = ΩT� − 2¶T�� (d.15)


73

ΩT� 8 Ω�T� − ¶T�� (d.16)

onde Ω�T�é da taxa de rotação media do tensor vista num referencial de rotação com uma

velocidade angular ��. As constantes do modelo são dadas por:

GÑ 8 4.04 , G[ = √6 cos� (d.17)

onde

� = �� cosp��√6�� (d.18)

$ = ��Å�Å��¯

(d.19)

�� = �T��T� (d.20)

�T� = � ¹�!«

�,ª + �!ª�,«º (d.21)

As constantes do modelo são as seguintes (Fluent, 2003):

�� = 1.44 , � = 1.9 , �� = 1.0 D �� = 1.2

Modelo k-ω padrão

O modelo k-ω padrão implementado no código comercial FLUENT, baseia-se no modelo k-ω do Wilcox

(1998), que agrega modificações para efeitos de baixo número de Reynolds, compressão e fluxos de

difusão. O modelo de Wilcox antevê escoamentos com taxas de difusão livre que estão em concordância

com as medições para esteiras distantes, camadas planas, redondas e jactos radiais, portanto, aplicável a

escoamentos delimitados por paredes e escoamentos livre. A viscosidade turbulenta neste modelo é dada

por:

µ� = �∗ N�+ (d.22)

sendo o coeficiente �∗ dado pela expressão

�∗ = � ∗ »ù∗ "ZÃ Å⁄�"ZÃ Å⁄ ¼ (d.23)

onde, �D� = N�Á+, �� = 6, �Ñ∗ = ú�

� , e üT = 0.072

A energia cinética turbulenta, k e a taxa de dissipação específica, ω são obtidas através das seguintes

equações de transporte:

�� ;��F + �

�h� ;��!TF = ��h� ¹Г� ��

�h�º + �� + )� + �� (d.24)

e


74

�� ;��F B �

�h� ;��!TF 8 ��h� ¹Г+ �+

�h�º B �+ − )+ B �+ (d.25)

onde, �� representa a geração de energia cinética turbulenta, �+ representa a geração de � , Г� e Г+

representam a difusividade efectiva de k e �, respectivamente. )� e )+ representam a dissipação de k e �

devido à turbulência, sendo �� e �+ termos definidos pelo utilizador. As difusividades efectivas são

dadas por (Fluent, 2003)

Г� 8 µ + ÁÃÄÅ (d.26)

Г+ = µ + ÁÃÄ� , (d.27)

onde �� e �+ são números de Prandtl turbulentos para k e �, respectivamente. A produção de k e ω são

�� = µ�� (d.28)

�+ = �+� �� (d.29)

sendo o coeficiente � dado pela expressão seguinte, onde �+ = 2.95

� = q∗ »ù"ZÃ �⁄

�"ZÃ �⁄ ¼, (d.30)

Os vários parâmetros do modelo tomam os seguintes valores (Fluent, 2003):

� ∗ = 1, � = 0.52, �Ñ = 1 9° , ü ∗ = 0.09, üT = 0.072, � ú�Õ

�� = 6, �+ = 2.95, �� = 2, �+ = 2

Modelo k-ω SST

O modelo k-ω SST foi desenvolvido por Menter para efectivamente misturar a formulação robusta e

precisa do modelo de k-ω na região próxima da parede com a independência de fluxo livre do modelo k-ε

na região mais distante. Para alcançar este objectivo, o modelo k-ε foi primeiro convertido na formulação

do k-ω e depois combinado com o modelo k-ω . O modelo k-ω SST é semelhante ao modelo k-ω padrão,

mas inclui as seguintes especificações:

- o modelo k-ω padrão e o modelo k-ε transformado são ambos multiplicados por uma função de

combinação e ambos os modelos são somados. A função de combinação foi concebida para ser um na

região próxima da parede, que activa o modelo padrão de k-w, e zero distante da superfície, o que activa o

modelo k-ε transformado.

- modelo SST incorpora um termo de difusão transversal amortecida na equação de ω;


75

- definição da viscosidade turbulenta é modificada para ter em conta o transporte da tensão de corte turbulenta na parede;

Estas especificações tornam o modelo k-ω SST mais preciso para uma classe mais ampla de escoamentos

que o modelo k-ω padrão. Outras modificações incluem a adição de um termo de difusão cruzada na

equação ω e uma função de mistura para garantir que as equações do modelo se comportam

adequadamente em ambas as zonas da parede. A difusividade efectiva é dada por (Fluent, 2003)

Г� 8 µ + µÃÄÅ (d.31)

Г+ = µ + µÃÄ� , (d.32)

onde �� e �+ são números de Prandtl turbulentos para k e �, respectivamente. A viscosidade turbulenta

µ� neste modelo é dada por

µ� = N�+ �

�ðå L�∗;��MÓLÖî , (d.33)

onde S é a magnitude taxa de deformação e,

�� = ��L�Å,L";�p�LF/ÄÅ,M

(d.34)

�+ = ��L��,L";�p�LF/Ä�,M

. (d.35)

O coeficiente �∗ dado pela expressão d.23, e as funções de combinação F1 e F2 são dadas por:

6� = tanh ;Φ��) (d.36)

Φ� = min Âmax » √�Ñ.Ñ� ωò , yÑÑµ

ρòMω¼ , �ρ�σω,M�ωçòMÆ (d.37)

�+" = ��, Â2� �Ä�,M

�+

��h�

�+�h� , 10p�ÑÆ (d.38)

6 = tanh ;ΦF (d.39)

Φ = max Â2 √�Ñ.Ñ� ωò , yÑÑµ

ρòMωÆ (d.40)

onde y é a distância à superfície e �+" é a parte positiva do termo de difusão cruzada. A energia cinética

turbulenta, k e a taxa de dissipação específica, ω são obtidas através das seguintes equações de transporte


76

�� ;��F B �

�h� ;��!TF 8 ��h� ¹Г� ��

�h�º B �� − )� B �� (d.41)

e

�� ;��F B �

�h� ;��!TF 8 ��h� ¹Г+ �+

�h�º B �+ − )+ B �+ B �+ (d.42)

onde �� representa a geração de energia cinética turbulenta, �+ representa a geração de �. )� e )+

representam a dissipação de k e � devido à turbulência, �+ representa o termo da difusão cruzada, sendo

�� e �+ termos definidos pelo utilizador. O termo �� que representa a produção é definido da mesma

forma que no modelo k-ω padrão, e está definido pela equação 4.41. O termo de produção de ω é

definido por:

�+ = �+ËÃ �� , (d.43)

sendo o coeficiente � dado pela seguinte expressão, onde �+ = 2.95:

� = ∞

∗ »ù"ZÃ �⁄�"ZÃ �⁄ ¼ (d.44)

A diferença entre este modelo e o k-ω padrão reside também na forma de determinar o �∞. No modelo k-ω padrão este termo é uma constante, mas neste modelo é definido por

�∞ = 6��∞,� + ;1 − 6�F�∞, (d.45)

onde

�∞,� = ú�,Lú∞∗ − �M

Ä�,Lú∞∗ (d.46)

�∞, = ú�,Mú∞∗ − �M

Ä�,Mú∞∗ (d.47)

Os parâmetros do modelo tomam os seguintes valores (Fluent, 2003):

� = 0.41, ��,� = 1.176, +,� = 2, ��, = 1.0, �+, = 1.168

�� = 0.31, üT,� = 0.075, üT, = 0.0828 Todas as constantes adicionais têm o mesmo valor das constantes do modelo k-ω padrão.

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de ... · Numa primeira fase...

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