ESTUDOS DOS TRIÂNGULOS 7ª Série / Ensino Fundamental Professor Luciano Vieira.
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ESTUDOS DOS TRIÂNGULOS
7ª Série / Ensino Fundamental Professor Luciano Vieira
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DEFINIÇÃO:
“Triângulo é o polígono de três lados”
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ELEMENTOS:
Num triângulo ABC, temos :
A , B e C são os vértices do triângulo
AB , BC e AC são os lados do triângulos, esses lados podem ser denominados pela letra minúscula correspondente a seu ângulo oposto.
A
B C
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ELEMENTOS:
Assim o lado BC poderá ser denominado como a, o lado AC poderá ser denominado como b e o lado AB poderá ser denominado como c
BAC , ACB e CBA são os ângulos internos do triângulo
AB + BC + AC = a + b + c é o perímetro do triânguloA
B Ca
bc
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Observe o que acontece com o quadrado.
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
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Ele pode “cair” para o lado, sem comprometer a integridade de seus lados. Cada vez mais, o quadrado perde área, e muda seus ângulos, mas nunca tem seus lados alterados. Isto é exemplo de uma figura não rígida.
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Dizemos uma figura é rígida, se não podemos construir com os mesmos segmentos de seus lados, outra figura distinta. No caso do triângulo isto é verdade. Dado um triângulo qualquer, não é possível alterar sua forma sem quebrar seus lados ou seus vértices.
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A rigidez é uma importante propriedade, e é por isso que o triângulo aparece com muita freqüência no construção civil: em telhados ,torres, etc.
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Condição de Existência
Escrevemos esta condição de existência, de um triângulo ABC qualquer, como:
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Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados
Exemplo
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Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois. Assim:
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Para verificar a citada propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas 7 cm, 4 cm e 2 cm .
impossível, não? Logo não existe o triângulo cujos lados, medem 7cm, 4cm e 2cm.
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EXERCÍCIOS
1) Existe ou não um triângulo com lados medindo:
a) 10 cm , 8cm e 7cm?b) 8cm, 4cm e 3 cm ?c) 2cm, 4 cm e 6 cm?d) 3 cm, 4 cm e 5 cm?e) 3 cm, 5 cm e 6 cm?f) 4 cm, 10 cm e 5cm?
2) Dois Lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 15 cm. Qual poderá ser a medida do terceiro lado?
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Soma dos ângulos internos é igual a 180°
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Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90°, isto é um é complemento do outro:.
Ângulos suplementares são dois ângulos que somados são iguais a 180°, um suplemento do outro.
Consideramos ângulos opostos pelo vértice, aqueles que possuem um lado como sendo semi-retas opostas aos lados dos outros.Se dois ângulos são opostos pelo vértice, eles são congruentes:
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1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?
2) Copie e complete o quadro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo.
3) Determine x em cada um dos triângulos
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3) Determine x em cada um dos triângulos
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Medianas
baricentro
Mediana é uma reta que vai de um vértice do triângulo até o ponto médio do lado oposto. Um triângulo tem então 3 medianas:
O ponto onde se encontram as medianas se chama BARICENTRO. Este ponto é o centro de massa do triângulo, o que significa que podemos equilibrá-lo apoiando apenas este ponto.
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Outra propriedade do baricentro é que ele divide
cada mediana numa proporção de
por , do vértice ao lado.
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BissetrizesUma bissetriz é um segmento que parte de um vértice, dividindo o ângulo deste ao meio até o lado oposto. Um triângulo tem 3 bissetrizes:
O ponto onde encontram as bissetrizes é chamado de INCENTRO. Leva este nome por ser também o centro do círculo inscrito no triângulo. Podemos facilmente perceber pelo desenho.
incentro
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ortocentro
O ponto onde se encontram as alturas chama-se ORTOCENTRO. O ortocentro nem sempre está dentro do triângulo. Num triângulo com ângulo maior que 90° o ortocentro e duas alturas se encontram fora da figura.
Altura é um segmento que parte de um vértice a um lado, fazendo um ângulo de 90° com lado em questão. A altura é importante, por que é distância de um vértice a um lado, e é usada no cálculo de áreas. Um triângulo tem 3 alturas:
Alturas
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Para traçar as alturas de um triângulo obtusângulo como o abaixo, basta estender os lados conectados ao vértice do ângulo obtuso.
Para achar o ortocentro, basta estender as alturas até que se encontrem.
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ÁreaA área do triângulo é bem conhecida. É a metade da
área do paralelogramo. Com b como a base e h como a altura em relação a esta base, temos:
Isso acontece porque todo triângulo é metade de um paralelogramo, como mostraremos:
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Duas figuras são congruentes, se e somente se uma figura têm as mesmas medidas que a outra. Em outras palavras, são ambas idênticas. Ilustramos com gêmeos uni vitelinos:
Podemos dizer que ambos os gêmeos são congruentes até um certo ponto.
Congruência
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Na matemática, dois polígonos são congruentes se ambos têm exatamente a mesma forma. Num triângulo, como só há 3 ângulos e 3 lados, podemos restringir os casos de semelhança como de acordo com as medidas iguais encontradas:
1) Ângulo Lado Ângulo (ALA)
2) Lado Ângulo Lado (LAL)
3) Lado Lado Lado (LLL)
Escrevemos congruência de dois triângulos e ,
usando o símbolo: .
Congruência de Triângulos
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Dados dois ângulos e um segmento, só podemos obter um triângulo, portanto se dois triângulos satisfazem esse caso, eles são iguais.
ALA
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LAL
Determinando o triângulo:
Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente congruentes são congruentes.
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LLL
A rigidez do triângulo vem exatamente deste caso. Não se pode deformar um triângulo sem mudar o tamanho de seus lados.
Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes.
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Nos triângulos abaixo, informe o caso de congruência:
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