Estudo para Otimizar Erros no C alculo de Gradientes em ...
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Estudo para Otimizar Erros no C´ alculo de Gradientes em Malhas Triangulares do Tipo Voronoi Jo˜ ao F. V. de Vasconcellos, Jailson Fran¸ ca dos Santos , Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Polit´ ecnico, 28601-970, Nova Friburgo, RJ E-mail: jfl[email protected], [email protected], Palavras-chave: Malha N˜ao Estruturada, Diagrama de Voronoi, Estimativa de Gradientes. Resumo: Este trabalho apresenta um estudo te´orico e num´ erico sobre os erros que ocorrem no c´alculo do gradiente em uma malha triangular n˜ao estruturada do tipo Voronoi. A malha escolhida ´ e uma malha triangular formada pela divis˜ao de um quadrado em dois triˆangulos iguais. Este estudo foi conduzido para duas metodologias distintas para o c´alculo de gradientes: m´ etodo de Green-Gauss e m´ etodo do m´ ınimo res´ ıduoquadr´atico. 1 Introdu¸ c˜ ao O c´ alculo de gradientes em malhas n˜ ao estruturadas n˜ ao segue o mesmo caminho utilizado por metodologias que usam malhas estruturadas. Para estas malhas o gradiente ´ e calculado utilizando-se expans˜ oes em s´ erie de Taylor. Contudo, para malhas n˜ ao estruturadas este proce- dimento n˜ ao pode ser aplicado e n˜ ao h´ a nenhuma f´ ormula simples para se calcular gradientes. Existem na literatura alguns m´ etodos que podem ser utilizados para o c´ alculo de gradiente em malhas n˜ ao estruturadas. Neste trabalho trataremos de dois deles: M´ etodo de Green-Gauss, MGG e M´ etodo da M´ edia do Res´ ıduo Quadr´ atico, MMRQ. Figura 1: Representa¸c˜ ao da Malha Triangular do Tipo Voronoi. A malha empregada neste estudo ´ e uma malha do tipo de Voronoi, sendo assim observado na Figura 1, quando = 1 o ponto gerador P ir´ a se deslocar para o cento da diagonal que corta os triˆ angulos, e quando = -1 para o v´ ertice no ˆ angulo reto de ambos os triˆ angulos. Este tipo de malha possui uma caracter´ ıstica que a torna bastante adequada quando empregada na simula¸c˜ ao num´ erica de equa¸c˜ oes diferenciais: estas malhas s˜ ao localmente ortogonais. Observando-se a Figura 1 que podem-se verificar as propriedades mais relevantes deste tipo de malha: a fronteira que separa dois pontos geradores ´ e equidistante a estes pontos e ortogonal a linha que liga 425 ISSN 2317-3297
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Estudo para Otimizar Erros no Calculo de Gradientes emMalhas Triangulares do Tipo Voronoi
Joao F. V. de Vasconcellos, Jailson Franca dos Santos,Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politecnico,
28601-970, Nova Friburgo, RJ
E-mail: [email protected], [email protected],
Palavras-chave: Malha Nao Estruturada, Diagrama de Voronoi, Estimativa de Gradientes.
Resumo: Este trabalho apresenta um estudo teorico e numerico sobre os erros que ocorremno calculo do gradiente em uma malha triangular nao estruturada do tipo Voronoi. A malhaescolhida e uma malha triangular formada pela divisao de um quadrado em dois triangulos iguais.Este estudo foi conduzido para duas metodologias distintas para o calculo de gradientes: metodode Green-Gauss e metodo do mınimo resıduo quadratico.
1 Introducao
O calculo de gradientes em malhas nao estruturadas nao segue o mesmo caminho utilizadopor metodologias que usam malhas estruturadas. Para estas malhas o gradiente e calculadoutilizando-se expansoes em serie de Taylor. Contudo, para malhas nao estruturadas este proce-dimento nao pode ser aplicado e nao ha nenhuma formula simples para se calcular gradientes.Existem na literatura alguns metodos que podem ser utilizados para o calculo de gradiente emmalhas nao estruturadas. Neste trabalho trataremos de dois deles: Metodo de Green-Gauss,MGG e Metodo da Media do Resıduo Quadratico, MMRQ.
Figura 1: Representacao da Malha Triangular do Tipo Voronoi.
A malha empregada neste estudo e uma malha do tipo de Voronoi, sendo assim observado naFigura 1, quando ε = 1 o ponto gerador P ira se deslocar para o cento da diagonal que corta ostriangulos, e quando ε = −1 para o vertice no angulo reto de ambos os triangulos. Este tipo demalha possui uma caracterıstica que a torna bastante adequada quando empregada na simulacaonumerica de equacoes diferenciais: estas malhas sao localmente ortogonais. Observando-se aFigura 1 que podem-se verificar as propriedades mais relevantes deste tipo de malha: a fronteiraque separa dois pontos geradores e equidistante a estes pontos e ortogonal a linha que liga
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estes dois pontos geradores e qualquer ponto dentro de um volume esta mais proximo do pontogerador daquele volume do que do ponto gerador de qualquer outro volume.
Figura 2: Representacao do triangulo inferior e superior.
2 Analise teorica
A analise teorica foi feita da seguinte maneira: os valores de nos pontos apresentados na Figura2 foram descritos como expansoes em serie de Taylor. Sendo assim, para o triangulo superior, osvalores de φ nos pontos 1, 2, 3 e 5 foram descritos como expansoes em serie de Taylor em tornodo ponto centroide do triangulo superior. Para o triangulo inferior, os valores de φ nos pontos3, 4, 5 e 6 foram descritos como expansoes em serie de Taylor em torno do ponto centroide dotriangulo inferior. Estas expansoes foram substituıdas em cada uma das metodologias para ocalculo de gradiente e assim um erro associado a cada uma destas formulacoes pode ser calculado.
3 Analise Numerica
Foi calculado o gradiente da seguinte funcao na malha vista na Figura 1:
φ(x, y) = sen2(nπx
L
)+ sen2
(mπy
L
)(1)
De posse do gradiente numerico calculado para cada uma das metodologias analisadas nestetrabalho. Uma medida de erro baseada na seguinte formulacao por (Belward et ali, 2008):
Erro =
NV∑i
[(∇φExat)
2 − (∇φNum)2]
NV∑i
(∇φExat)2
(2)
4 Metodo de Green Gauss
Este metodo foi desenvolvido por Jameson e Marvilips em (1986) para determinar o calculo dogradiente. Nele se faz necessario conhecer todos os valores dos pontos φp em todas as fases dosvolumes do domınio desejado. Como em muitos casos na fronteira esse valor nao e conhecido,se faz necessario usar algum tipo de interpolacao, ver em Santos et ali (1996). Entao a equacaopara este metodo se faz
~∇φp =1
2∆Vp
N∑i
(φi + φp)~n∆Spi (3)
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Os resultados analıticos para Green Gauss para os volumes internos, sendo consideradoε = 0 (quando o ponto gerador e o centroide do triangulo coincidem). Substituindo na Eq.(3) asexpansoes em serie de Taylor para cada um dos pontos da Figura 2 teremos que para o trianguloinferior:
∆p
∆x=∂p
∂x+
[1
6
∂2p
∂x2+
1
9
∂2p
∂x∂y− 1
18
∂2p
∂y2
]h− 1
3
∂p
∂y+O(h) (4)
∆p
∆y=∂p
∂y+
[1
18
∂2p
∂x2− 1
9
∂2p
∂x∂y− 1
6
∂2p
∂y2
]h− 1
3
∂p
∂x+O(h) (5)
e para o triangulo superior:
∆p
∆x=∂p
∂x−[
1
6
∂2p
∂x2+
1
9
∂2p
∂x∂y− 1
18
∂2p
∂y2
]h− 1
3
∂p
∂y+O(h) (6)
∆p
∆y=∂p
∂y−[
1
18
∂2p
∂x2− 1
9
∂2p
∂x∂y− 1
6
∂2p
∂y2
]h− 1
3
∂p
∂x+O(h) (7)
Os resultados mostraram erros de primeira ordem, e se considerado nas Eq. (4) a (7) hno infinito ambas nao tendem a zero. Sendo os termos independentes de h quando ε 6= 0 asequacoes tomam as seguintes formas:
∆p
∆x=∂p
∂x−[ε− 1
3
]∂p
∂y+O(h) (8)
∆p
∆y=∂p
∂y−[ε− 1
3
]∂p
∂x+O(h) (9)
Foi observado que independente do valor de ε os resultados foram sempre de primeira ordem.Neste metodo e visto que mesmo quando h tende a zero em ambas as equacoes ainda haveraerros, mostrando assim inconsistencia neste tipo de malha. A Figura 3 mostra os graficos paraeste metodo onde podemos perceber que o mesmo nao apresenta bons resultados numerico.
Figura 3: Analise de Erro sob a Malha Triangular.
5 Metodo do Mınimo Resıduo Quadratico - MMRQ
Este metodo foi utilizado por Taniguchi (1991) para determinar o calculo do gradiente de umvetor baseado em um processo de minimizacao, para cada volume. O sistema de minimizacao egerado atraves dos somatorios dos resıduos quadrados, que e definido da seguinte forma:
Rk = L[∇P ]p.~nk −∆P
∆n
∣∣∣∣k
(10)
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Os resultados analıticos para MMRQ para os volumes internos, sendo considerado ε = 0(quando o ponto gerador e o centroide do triangulo coincidem). Substituindo nas Eqs. (11) e(12) as expansoes em serie de Taylor para cada um dos pontos da Figura 2 teremos que para otriangulo inferior:
∆p
∆x=∂p
∂x+
[ε+ 3
12
∂2p
∂x2+ε2 + ε+ 1
18
∂2p
∂x∂y+ε− 1
12
∂2p
∂y2
]h+O(h2) (11)
∆p
∆y=∂p
∂y−[ε− 1
12
∂2p
∂x2+ε2 + ε+ 1
18
∂2p
∂xεy+λ+ 3
12
∂2p
∂y2
]h+O(h2) (12)
e para o triangulo superior:
∆p
∆x=∂p
∂x−[ε+ 3
12
∂2p
∂x2+ε2 + ε+ 1
18
∂2p
∂x∂y+ε− 1
12
∂2p
∂y2
]h+O(h2) (13)
∆p
∆y=∂p
∂y+
[ε− 1
12
∂2p
∂x2+ε2 + ε+ 1
18
∂2p
∂x∂y+ε+ 3
12
∂2p
∂y2
]h+O(h2) (14)
Perceba que nas Eq. (11) a (14) se h tender a zero o erro dependente da malha tambemtendera a zero e ficara apenas o termo de ordem quadratica. Foram feitas varias simulacoes al-terando os parametros de entrada variando −1 ≤ ε ≤ 1 todos mostraram resultados semelhantesquando levando h ao infinito como se pode ver nas Eq. (15) e (16).
∆p
∆x=∂p
∂x+O(h2) (15)
∆p
∆y=∂p
∂y+O(h2) (16)
Na Figura 4 e apresentados os graficos do erro. Fazendo um comparativo entre os doismetodos e visıvel que este foi o que apresentou melhores resultados.
Figura 4: Analise de Erro sob a Malha Triangular.
Referencias
[1] Belward, J. A, Turner, I. W e Ilic, M, ”On derivative estimation and the solution of leastsquares problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, (2008) 511-523.
[2] Santos, L. A, Vasconcellos, J. F. V., Maliska, C. R. e Silva, A. F. C., 1996, Discussao deAproximacoes para o Gradiente de Pressao no Metodo de Volumes Finitos em Diagramade Voronoi, Publicado no COBEM 1999.
[3] Silva, D. P, ”Estimativas de Erros no Calculo de Gradientes em Malhas de Voronoi”, Dis-sertacao de Mestrado, IPRJ/UERJ, Nova Friburgo, 2012.
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