Estudo de Sistemas Dinâmicos - USP

Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos 1

01 Introduo ao Estudo de Sistemas Dinmicos

O estudo de sistemas dinmicos envolve a modelagem matemtica, a anlise e a simulao de sistemas fsicos de interesse da engenharia, tais como os sistemas mecnicos, eltricos, hidrulicos, pneumticos e trmicos. Tambm so de particular importncia os sistemas hbridos, resultantes da combinao de dois ou mais dos sistemas citados. Devemos, entretanto, ressaltar que a teoria dos sistemas dinmicos pode ser aplicada a outros tipos de sistemas, tais como sistemas biolgicos, econmicos, etc.

Iniciaremos nosso estudo com o conceito de sistema, diferenciando imediatamente um

sistema dinmico de um sistema esttico. Aps apresentarmos os vrios sistemas dinmicos fsicos usados em engenharia, conceituaremos excitao e resposta de um sistema e, em seguida, i os atravs de um exemplo o procedimento para a modelagem e a anlise de um sistema d Em seguida, depois de abordarmos rapidamente a representao da dinmica de um sistema por diagramas de blocos, faremos uma classificao didtica dos sistemas dinmicos de acordo com vrios critrios. Tal classificao til por estar muito vinculada matematicamente com a modelagem. Por fim, examinaremos alguns tipos de resposta (comportamento) que um sistema dinmico pode apresentar. 1 O QUE UM SISTEMA?

Conjunto de componentes interconectados, que apresentam certas relaes de causa e efeito e que atuam como um todo, com um determinado objetivo.

Sistema

importante diferenciar um sistema esttico de um sistema dinmico. O sistema

esttico aquele em que as propriedades descritivas do sistema no variam com o tempo, podendo variar espacialmente. J no sistema dinmico tais propriedades variam no tempo, podendo tambm variar espacialmente. Exemplo de sistema esttico: viga carregada estaticamente, isto , com cargas constantes, pois os deslocamentos de seus pontos variam espacialmente mas no com o tempo. Exemplo de sistema dinmico: a mesma viga carregada dinamicamente, ou seja, com cargas que mudam com o tempo, pois os deslocamentos de seus pontos variam tambm com o tempo. Neste curso estudaremos apenas os sistemas dinmicos. Os sistemas dinm emos ter sistemas econmicos, sistemas bio icos, sistemas de trnsito, etc. Neste te istemas que mais interessam engenharia:

icos no so necessariamente de natureza fsica. Podlgicos, sistemas de informao, sistemas ecolg

xto, porm, sero tratados exclusivamente os slustrareminmico.


sistemas mecnicos sistemas eltricos sistemas hidrulicos sistemas trmicos sistemas pneumticos sistemas hbridos

Vamos tecer algumas consideraes sobre esses tipos de sistemas. sistemas mecnicos

So sistemas que possuem massas e/ou inrcias, as quais armazenam energia cintica e potencial gravitacional, assim como elementos armazenadores de energia potencial elstica (molas) e dissipadores de energia mecnica (amortecedores). Normalmente, suas entradas so foras, torques ou deslocamentos. Tambm podem ser colocados em movimento atravs da imposio de condies iniciais, tais como deslocamentos iniciais e/ou velocidades iniciais.

Um automvel um exemplo bastante familiar de um sistema mecnico. Ele apresenta

uma resposta dinmica durante aceleraes, frenagem, deslocamentos em curvas, passagens sobre irregularidades do terreno, etc. Uma aeronave em vo tambm constitui um exemplo de sistema mecnico: ela tem uma resposta dinmica s mudanas de velocidade, altitude e manobras. Estruturas de edifcios podem apresentar uma resposta dinmica a carregamentos externos, tais como vento, tremores de terra, etc.

sistemas eltricos

Normalmente so constitudos por circuitos eltricos que possuem componentes passivos, tais como resistores (dissipadores de energia eltrica), capacitores e indutores (armazenadores de energia eltrica), os quais so excitados por geradores de voltagem ou corrente. J os circuitos eletrnicos envolvem tambm o emprego de transistores e amplificadores. Devido disponibilidade e ao controle que temos sobre a energia eltrica, os sistemas eltricos so os que mais esto presentes na nossa vida diria: circuitos eltricos domsticos, motores eltricos, receptores de TV, rdios, aparelhos de som, computadores, etc. sistemas fluidos

Classificam-se em dois grandes grupos, conforme a natureza do fluido utilizado: sistemas hidrulicos, quando o fluido de trabalho um lquido, tal como gua ou leo, e sistemas pneumticos, quando o fluido de trabalho um gs, tal como ar, nitrognio, etc. So constitudos por orifcios, restries, vlvulas de controle (dissipadores de energia), reservatrios (armazenadores de energia), tubulaes (indutores) e atuadores excitados por geradores de presso ou escoamento de um fluido. O sistema de abastecimento de gua de um edifcio um exemplo de um sistema fluido (mais especificamente, um sistema hidrulico do tipo sistema de nvel de lquido), no qual o nvel da gua do reservatrio tem uma resposta dinmica em funo da quantidade de gua que bombeada para o reservatrio e da quantidade de gua que consumida no prdio. O escoamento de ar atravs de uma cavidade em um tubo causar uma resposta dinmica (um tom acstico). O sistema de freio hidrulico de um automvel, o sistema de distribuio de ar condicionado de um escritrio, o escoamento da mistura ar-combustvel do sistema de alimentao de um motor de combusto interna, etc., constituem exemplos de sistemas fluidos.


sistemas trmicos

Possuem componentes que oferecem resistncia trmica transferncia de calor (por conduo, conveco e radiao) e componentes que apresentam a propriedade de capacitncia trmica (armazenamento de energia trmica) quando excitados por uma diferena de temperatura ou um fl mento de uma casa tem uma resposta dinmica, conforme a lcanar a temperatura desejada. sistemas hbridos

So sistemas maioria dos sistemascombinao, podemos

o sistemas elet

energia eltricExemplos: alto

o sistemas fluid

pneumtica emExemplos: maavio,cilindro p

o sistemas termenergia mecnExemplos: mot

o sistemas elet

trmica. Exemplos: aqu

2 EXCITAO E

Quando solicitchamado de resposta.

3 ANLISE DIN

A Anlise Din

de um sistema. Ela se

uxo de calor. Um sistema de aquecitemperatura ambiente aumente at a

que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas citados anteriormente. A dinmicos aplicados em engenharia so sistemas hbridos. Conforme a ter, dentre outros:

romecnicos: empregam componentes eletromagnticos que convertem a em mecnica. -falante, atuador solenide, motor eltrico, etc.

omecnicos: empregam componentes que convertem energia hidrulica ou energia mecnica. caco hidrulico, servo-hidrulico usado para controle do vo de um neumtico, etc.

omecnicos: empregam componentes que convertem energia trmica em ica. or de combusto interna, motor a jato, turbina a vapor, etc.

rotrmicos: empregam componentes que convertem energia eltrica em

ecedor eltrico domstico, aquecedor eltrico de gua, etc.

RESPOSTA

ado por uma dada excitao, o sistema exibe um certo comportamento, Outros termos muito empregados:

sistema = processo = planta excitao = entrada = input resposta = sada = output

MICA

mica o estudo da relao de causa e efeito entre excitao e resposta processa nas seguinte etapas:


Representar o sistema real na forma de diagrama (modelo fsico) e definir os parmetros do sistema e as variveis envolvidas. Estabelecer

hipteses simplificadoras

1

Escrever as equaes para cada componente do sistema, a partir de equaes constitutivas adequadas

A partir de Leis Fsicas, de acordo com a natureza do sistema, obter o modelo matemtico do mesmo

4

3

2

Resolver o modelo matemtico (as equaes do sistema) e comparar o resultado terico obtido com resultados experimentais.

Se a discrepncia for pequena, pode-se aceitar o modelo; caso contrrio, modificar o modelo e refazer a anlise

Inicialmente (etapa 1), devemos identificar o sistema a ser modelado e analisado. Como

exemplo ilustrativo, vamos considerar um sistema mecnico real constando de um pndulo simples, no qual temos uma massa m, suposta concentrada em um ponto, ligada estrutura fixa por um fio inextensvel de comprimento L. Consideremos que, ao serem impostos um deslocamento angular inicial e uma velocidade inicial ao sistema (condies iniciais), o mesmo oscilar dentro de um plano vertical, sendo o seu movimento descrito, a qualquer instante, por uma coordenada angular (t). Tambm vamos desprezar as perdas por atrito na articulao e considerar a inexistncia de resistncia aerodinmica. A fig. 1 ilustra o que foi dito.

Fig. 1 - Pndulo simples

Na etapa 1, portanto, foram definidos os parmetros do sistema (m e L) e a varivel (t).

Tambm foram adotadas hipteses simplificadoras (massa m concentrada em um ponto, comprimento do fio L constante, oscilao dentro de um plano vertical, desprezadas as perdas por atrito na articulao e atrito com o ar). A adoo de hipteses simplificadoras imperativa na anlise dinmica, pois facilita o lado matemtico. Entretanto, devemos ter muito cuidado ao


estabelecer tais hipteses, pois deve haver um compromisso entre simplicidade e preciso: o modelo deve ser o mais simples possvel mas deve reter as caractersticas essenciais do sistema real. Normalmente, quando fazemos a verificao do modelo e constatamos que existe uma discrepncia muito grande entre os resultados tericos e experimentais, a causa do problema reside na adoo de simplificaes inadequadas.

A seguir (etapas 2 e 3), devemos escrever as equaes para os componentes do sistema e

para o sistema como um todo. Para os componentes devemos usar equaes constitutivas. Uma equao constitutiva uma relao de causa e efeito, muitas vezes estabelecida experimentalmente, entre duas ou mais variveis descritivas. Exemplos: Lei de Ohm (e = Ri), Lei de Hooke ( = E), Lei dos Gases Perfeitos (p = RT), etc. Aplicando leis fsicas adequadas, como as Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., chegamos normalmente a equaes diferenciais que relacionam matematicamente as variveis do modelo com as propriedades do modelo e com o tempo.

No nosso exemplo, usamos a 2a Lei de Newton para o movimento de rotao em torno do

centro de oscilao (tambm conhecida como Equao dos Momentos ou Equao de Euler). Fazendo isso, conforme estudaremos mais tarde, encontramos para modelo matemtico a equao diferencial no linear

(1) 0senLg.. =+

onde g a acelerao da gravidade e onde foi adotada a notao 22...

dtd ,

dtd == , etc.

O modelo matemtico assim obtido deve ser agora resolvido (etapa 4), para que

obtenhamos o comportamento (a resposta) do sistema. Tal soluo pode ser feita analiticamente ou numericamente. Se o modelo matemtico for relativamente simples, como no caso de uma equao diferencial ordinria linear (EDOL), devemos preferir uma soluo analtica, a qual exata. Entretanto, se o modelo for mais complicado, como no caso de uma equao diferencial no-linear, podemos apelar para uma soluo numrica, a qual aproximada. Felizmente, hoje em dia dispomos de muitos programas de computador que permitem essa ltima soluo, como o MatLab, o Simulink e o VisSim. Tais softwares permitem, tambm, simular o comportamento atravs de grficos nos quais podemos visualizar, por exemplo, o deslocamento e a velocidade em funo do tempo. Uma outra opo da qual podemos dispor a chamada linearizao do sistema em torno de um ponto de operao. No nosso exemplo podemos observar que, para pequenas oscilaes em torno da posio vertical = 0 (o ponto de operao), o ngulo em radianos tem aproximadamente o mesmo valor que sen . O leitor pode verificar isso em sua calculadora para o intervalo (-/6 < < /6). Ento, considerando sen nesse intervalo, podemos rescrever a eq. (1) como

(2) 0Lg.. =+

que uma EDOL de 2a ordem com coeficientes constantes e homognea, a qual de fcil soluo analtica:

(3) tLg

sen

Lg

tLg

cos)t( 0.

0+=


onde 0 e so as condies iniciais do problema, ou seja, o deslocamento inicial e a velocidade inicial que so as causas do movimento pendular.

0.

Uma vez obtido o comportamento do sistema, atravs da soluo do modelo matemtico,

devemos compar-lo com o comportamento obtido experimentalmente. Se tal comparao for satisfatria, podemos aceitar o modelo. Caso contrrio, devemos refinar o modelo e repetir o procedime delo satisfatrio. 4 PROJE Prapresenteestgios dpodendo h

5 REPRE

O

conforme

Cocontrole),

Em

fig. 4:

nto, at encontrarmos um moTO

ojeto a criao de um sistema que, ao ser solicitado por excitaes conhecidas, respostas especificadas (desejadas). O Projeto envolve praticamente todas os a Anlise, a qual, agora, dever ser repetida vrias vezes. O projeto no nico, aver vrios projetos apresentando desempenho satisfatrio.

SENTAO POR DIAGRAMA DE BLOCOS

diagrama de blocos a representao grfica da relao entre entrada e sada, ilustra a fig. 2:

Fig. 2 - Diagrama de Blocos

mo exemplo ilustrativo, consideremos o vo vertical de um foguete balstico (sem fig. 3:

sistema: o prprio foguete Excitaes: fora gravitacional (peso) Fg e resistncia aerodinmica Fd resposta: podemos considerar a altitude h(t), ou a velocidade v(t), ou ambas

Fig. 3 - Vo Vertical de um Foguete Balstico

termos de diagrama de blocos, podemos representar o sistema acima pelo diagrama da


Fig. 4 - Diagrama de Blocos 6 CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DINMICOS Apresentamos, a seguir, uma classificao dos sistemas dinmicos de acordo com vrios critrios. Apesar de didtica, ela importante porque revela uma ligao matemtica com a modelagem. 6.1 SISTEMAS COM PARMETROS CONCENTRADOS E COM PARMETROS DISTRIBUDOS

No desenvolvimento do modelo matemtico necessrio identificar os componentes do sistema e determinar as suas caractersticas individuais. Tais caractersticas so governadas por leis fsicas (Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., conforme a natureza do sistema) e so descritas em termos dos chamados parmetros (ou propriedades) do sistema. Os sistemas podem ser divididos em duas grandes classes, conforme a natureza de seus parmetros: aqueles cujos parmetros no dependem das coordenadas espaciais, chamados sistemas com parmetros concentrados, e aqueles cujos parmetros dependem das coordenadas espaciais, denominados sistemas com parmetros distribudos. No primeiro caso, a excitao e a resposta dependem apenas do tempo, logo so descritos por equaes diferenciais ordinrias; j no caso de parmetros distribudos, a excitao e a resposta dependem do tempo e das coordenadas espaciais, logo so descritos por equaes diferenciais parciais (mais de uma varivel independente). Como exemplo do primeiro caso, citamos um conjunto de discos montados em um eixo cuja massa pequena em comparao com as massas dos discos, logo podemos concentrar nos discos as massas dos eixos. J uma laje constitui um exemplo de segundo caso, pois vemos nitidamente que o parmetro massa est distribudo ao longo das coordenadas espaciais.

Neste curso sero estudados exclusivamente os sistemas com parmetros concentrados.

6.2 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO E INVARIANTES NO TEMPO

No modelo matemtico, i.., nas equaes diferenciais, os parmetros do sistema aparecem sob forma de coeficientes. Se os coeficientes so constantes, dizemos que o sistema invariante no tempo; se no, o sistema considerado variante no tempo. O pndulo simples analisado anteriormente constitui um exemplo de sistema invariante no tempo. J um foguete na sua fase propulsada um sistema variante no tempo, pois o mesmo perde massa durante a queima de combustvel.

Neste curso sero estudados apenas os sistemas invariantes no tempo.

6.3 SISTEMAS LINEARES E NO LINEARES


Uma propriedade do sistema que tem profundas implicaes na anlise a linearidade. Consideremos a fig. 5, na qual est expressa a relao entre a entrada r(t) e a sada c(t) sob forma de diagrama de blocos:

Fig. 5 Entrada e Sada de um Sistema

Consideremos, tambm, dois pares de entrada e sada, r1(t), c1(t) e r2(t), c2(t), conforme fig. 6 (a) e (b). Ento, para o mesmo sistema, seja a entrada r3(t), fig. 6 (c), uma combinao linear de r1(t) e r2(t):

(4) r3(t) = 1r1(t) + 2r2(t) onde 1 e 2 so constantes.

Fig. 6 Sistema Linear

Se a sada c3(t) representa uma combinao linear de mesma forma, i.., se

(5) c3(t) = 1c1(t) + 2c2(t) ento dizemos que o sistema um sistema linear. Caso contrrio, i.., se (6) c3(t) # 1c1(t) + 2c2(t) ento dizemos que se trata de um sistema no-linear. Em outras palavras, para um sistema linear, respostas a diferentes excitaes podem ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente, o que constitui o Princpio da Superposio, que o princpio fundamental da Teoria dos Sistemas Lineares.

A grande vantagem de trabalhar com sistemas lineares que o modelo matemtico dos mesmos descrito por um sistema de Equaes Diferenciais Lineares, que so de fcil soluo analtica. J o modelo de sistemas no lineares descrito por Equaes Diferenciais No Lineares, as quais so de difcil soluo analtica (ou mesmo impossvel). Nesse caso, temos duas opes: ou impomos certas hipteses simplificadoras (se forem exeqveis) que conduzam linearizao do sistema, ou apelamos para mtodos numricos aproximados, como os mtodos de Euler, Runge-Kutta, etc., os quais, felizmente, j esto implantados em muitos softwares de simulao, tais como MatLab, VisSim, etc.


Conforme veremos mais tarde, um sistema linear com parmetros concentrados com uma s entrada e uma s sada (sistemas SISO = Single Input Single Output) tem por modelo matemtico uma s Equao Diferencial Ordinria Linear (EDOL) do tipo

(7) r(t)ac(t)da...dada 1 =++++ c(t)dtdt

c(t)dtc(t)

n-n1-n

1-n

1n

n

0 onde c(t) a sada, r(t) a entrada e os coeficiente ai so os parmetros do sistema. A equao acima r presenta uma relao entre entrada e sada para o sistema. Notemos que a entrada r(t) aparecno mem Podemo (8) e reesc (9) que pod

operadparmeentretpara um (10) onde orecebeblocos

possam 6.4 SI inserid

e

e no membro direito da EDOL, enquanto que a sada c(t) e suas derivadas esto presentes bro esquerdo, assim como as propriedades do sistema.

s, neste ponto, definir um operador diferencial linear D(t) como

11 adta...

dta

dt D(t) ++++ n-n-n

1-n

1n

n

0ddda =

rever a EDOL do sistema como

D(t)c(t) = r(t) e ser assim representada em diagrama de blocos:

Fig. 7 Operador Diferencial Linear

A eq. (9) indica que a excitao r(t) pode ser obtida operando sobre a resposta c(t) o

or D(t), onde D(t) difere de sistema para sistema, j que os coeficientes ai so os tros do sistema, os quais traduzem as caractersticas dinmicas do sistema. Na anlise,

anto, temos interesse em determinar a resposta a uma dada excitao, isto , achar c(t) a determinada r(t). Isso pode ser expresso matematicamente por

c(t) = D-1(t) r(t)

operador D-1(t) pode ser interpretado como o inverso do operador D(t). O operador D-1(t) o nome de operador integral linear. A eq. (10) pode ser representada pelo diagrama de da fig. 8:

Fig. 8 Operador Integral Linear

No nosso curso trataremos apenas dos sistemas lineares e dos sistemas no lineares que ser linearizados em torno de um ponto de operao.

STEMAS ATIVOS E SISTEMAS PASSIVOS

Um sistema fsico com fonte interna de energia, como um circuito hidrulico no qual est o uma bomba, chamado sistema ativo. Caso contrrio, ele ser um sistema passivo. Como


exemplo de sistema passivo, podemos citar um circuito eltrico RLC sobre o qual no est atuando nenhuma fonte de tenso ou de corrente. No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas. 6.5 SISTEMA Se umtambm contconstitudo podiscreta no te(outra seqnser constitu No nos 7 RESPOST

Para oexcitao ou resolver a eqinvariantes norepresentam o

A solusoluo partic

A solu

sistema entraexistirem conEngenharia,

Por ou

excitao extsoluo partic

No caspara combinar

A natu

do sistema diresposta trans

S CONTNUOS E SISTEMAS DISCRETOS sistema submetido a uma entrada contnua no tempo, r(t), apresentar uma sada nua, c(t), ele chamado de sistema contnuo e o seu modelo matemtico ser r equaes diferenciais. Por outro lado, se um sistema submetido a uma entrada mpo, {rk} (uma seqncia de nmeros), apresentar uma sada tambm discreta, {ck} cia de nmeros), ele chamado de sistema discreto e o seu modelo matemtico do por equaes a diferenas finitas.

so curso trataremos os dois tipos de sistemas.

A DO SISTEMA

bter a resposta do sistema, ou seja, o seu comportamento quando submetido a uma a condies iniciais (tais como deslocamento inicial e/ou velocidade inicial), basta uao diferencial do modelo matemtico. Para o caso de sistemas lineares tempo, a equao diferencial linear com coeficientes constantes, os quais s parmetros do sistema.

o de uma equao diferencial consiste de duas partes: a soluo homognea e a ular.

o homognea corresponde ao caso em que a excitao externa nula, podendo o r em movimento somente quando lhe forem impostas condies iniciais. Se no dies iniciais e nem excitaes externas, o sistema permanece em repouso. Em costume chamar a soluo homognea de resposta livre ou resposta natural.

tro lado, a soluo particular a parte da resposta devida inteiramente erna, considerando as condies iniciais nulas. Em Engenharia, costume chamar a ular de resposta forada.

o de sistemas lineares, podemos invocar o Princpio da Superposio dos Efeitos a resposta livre com a resposta forada, obtendo a resposta total:

Resposta Total = Resposta Livre + Resposta Forada

reza da resposta depende da excitao utilizada, assim como das caractersticas nmico. A esse respeito, conveniente distinguir entre resposta permanente e iente.


A resposta permanente aquela em que o sistema atinge um certo estado de equilbrio, tal como uma resposta constante ou uma resposta peridica que se repete indefinidamente. Matematicamente, a parte da resposta total que permanece quando se faz o tempo tender ao infinito.

J a resposta transiente depende fortemente do tempo: matematicamente, a parte da resposta total que desaparece quando se faz o tempo tender ao infinito.

No que diz respeito ao tipo de excitao, podemos dizer que a resposta permanente

ocorre no caso de excitao harmnica ou peridica, enquanto que a resposta transiente ocorre no caso de outras excitaes que no as mencionadas.

A natureza da excitao afeta tambm a escolha do mtodo a ser utilizado na determinao da resposta. No caso de excitao harmnica ou peridica, vantajoso estudar a resposta permanente no domnio da freqncia, a qual conhecida como resposta em freqncia. J para os demais tipos de excitao, mais conveniente estudar a resposta transiente no domnio do tempo. No nosso curso faremos ambos os estudos. EXERCCIOS 1. Dadas as equaes diferenciais abaixo, classific-las, seguindo o exemplo do item a):

a) : EDOL de 1t5x. = a ordem, coeficientes constantes, no homognea

b) :_________________________________________ t5sen2x9x3x... =++

c) :_____________________________________________ 0x9x3x... =++

d) :_________________________________________ 0x9x)1t3(x... =++

e) :_______________________________________ )t(u3x9x)1t3(x... =++

f) 22

2

2

t)t,x(y

x)t,x(y

9 =

:________________________________________

2. Um sistema de nvel de lquido, tal como a caixa dgua de uma residncia, modelado

matematicamente pela equao diferencial de 1a ordem )t(qA1h

RAg

i

. =+h , onde A a rea da seo reta do reservatrio (constante), R a resistncia hidrulica do sistema (constante), g a acelerao da gravidade (constante), qi(t) a vazo volumtrica de gua que entra no reservatrio (excitao ou entrada do sistema) e h(t) a altura instantnea de lquido dentro do reservatrio, em relao ao fundo do mesmos. Admitindo que o reservatrio inicialmente estava vazio e que a vazo qi = Q constante, use seus conhecimentos de Clculo para resolver a equao diferencial e assim encontrar a resposta no tempo h(t), ou seja, como varia a altura do nvel de atua com o tempo. Esboce um grfico da resposta h(t).

Resp.: )e1(g

QRA)t(t

RAg=h


3. Usando seus conhecimentos de Clculo, demonstre que a eq. (3) a soluo da eq. (2), ambas do texto.

4. Suponha que a resposta de um sistema mecnico seja dada por

x(t) = e-t 2e-3t + sen2t Achar a resposta transiente e a resposta permanente.

Soluo

A resposta transiente dada por e-t 2e-3t, pois vemos claramente que ela tende a desaparecer medida que o tempo cresce. J a resposta permanente dada por sen2t, a qual no tende a desaparecer medida que o tempo cresce. 5. Com relao ao Exerccio 2, identificar a resposta permanente. 6. A resposta total de um sistema mecnico de segunda ordem submetido a um deslocamento

inicial x0 e a uma velocidade inicial dada pela equao 0.x

++= tsenxxtcosxe)t(x dd

0.

0nd0

tn , onde n, d e so constantes do sistema, a

serem definidas mais tarde. Pedem-se:

(a) a resposta acima livre ou forada? Por qu? (b) Identificar a resposta transiente e a resposta permanente.

Representao de Modelos de Sistemas Dinmicos: Espao de Estados 1

1 INTRODUO

Conforme j foi mencionado, o modelo matemtico de um sistema dinmico obtido apartir da aplicao de Leis Fsicas e de Equaes Constitutivas dos elementos que compem osistema, o que conduz, normalmente, a um sistema de equaes diferenciais e/ou equaesalgbricas. Tal sistema de equaes, usualmente, representado de trs maneiras:

(1) Representao no Espao de Estados(2) Representao por Equao I/O (Input/Output = Entrada/Sada)(3) Representao por Matriz de Transferncia

Na aula de hoje veremos o primeiro tipo de representao.

2 REPRESENTAO NO ESPAO DE ESTADOS

um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de Variveis de Estado.Nesta representao, um modelo matemtico descrito por uma equao diferencial de ordem n substitudo por um sistema de n equaes diferenciais, todas de 1a ordem. Se o modelomatemtico for descrito por m equaes diferenciais de ordem n, ento ele ser substitudopor um sistema de m x n equaes diferenciais de 1a ordem. A representao no espao deestados particularmente til na anlise e no projeto de sistemas de controle. Ela possui asseguintes caractersticas:

Q Usa o domnio do tempoQ Quaisquer condies iniciaisQ Aplicabilidade mais ampla: sistema

sistema

sistema Output) e

Q Interpretao fsica mais abstrat

02Representao De

Modelos de Sistemas Dinmicos:

- Espao de Estadoss lineares eno-lineares

s invariantes no tempo evariantes notempo

s SISO (Single Input, Single

MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)

a


A seguir, apresentaremos os fundamentos do mtodo a partir de exemplos simples.

Exemplo 1: Representao de um sistema mecnico de 2a ordem com um grau de liberdade,sendo a entrada u(t), que a fora externa aplicada sobre a massa m, e a sada y(t), que odeslocamento medido a partir da posio de equilbrio esttico.

Modelo matemtico: dado pela EDOL )t(ukyycym... =++

Duas questes aparecem:

Q1 Quantas variveis de estado so necessrias?

A quantidade de variveis de estado igual quantidade de condies iniciais. Como osistema de 2a ordem, ele possui duas condies iniciais, logo necessita de duas variveis deestado para descrever completamente a dinmica do sistema.

Q2 Quais so as variveis de estado do problema?

So as correspondentes s condies iniciais do problema. No caso, as variveis deestado so ento, o deslocamento y(t) e a velocidade )t(y

. .

Obs.: importante no confundir varivel de estado (ente matemtico) com varivel fsica. Porexemplo, consideremos um sistema dinmico descrito pelo sistema de equaes diferenciaisabaixo, onde x1, x2 e suas derivadas so variveis fsicas:

0xx2x

0xxxx

212.

211.

1..

=+=++

Nesse caso, existem 3 variveis de estado: duas para a coordenada x1 e uma para acoordenada x2:

x1 = x1 x2 = x2

deslocamento (fsico) deslocamento (fsico)varivel de estado varivel de estado (matemtica) (matemtica)

x3 = 1.x

velocidade (fsica)varivel de estado

(matemtica)

Voltemos ao exemplo 1. As variveis de estado sero x1 e x2:

x1 = y

x2 = .y

Derivando, obtemos:


um1)ycky(

m1x

yx.

2.

.1

.

+==

Vemos que a primeira equao no depende da dinmica do sistema, enquanto que asegunda depende. Em termos de variveis de estado:

um1x

mcx

mkx

xx

212.

21.

+==

que so s equaes de estado. Sob forma matricial:

A equa

equa

onde

Exemp

Pedem-(a) var(b) sup

da

(c) rep a um10

xx

mc

mk

10

xx

2

1

2.

1.

+

=

o de sada, y = x1, pode ser escrita

[ ] [ ]

==2

1xx

01yy

Essas duas ltimas equaes matriciais so, respectivamente, a equao de estado e ao de sada. Em forma padro:

DuCxyBuAxx

.

+=+=

[ ]u(t) xx x

x

1.

1.

.

2

1 =

=

= uxx

[ ] [ ]0 01 m10

mc

mk

10==

=

= DCBA

lo 2: Representao de um sistema de 2a ordem com dois graus de liberdade.Seja o sistema mecnico da fig. 1.

Fig. 1 Sistema mecnico com 2 GDLse:iveis de estado e equao de estado;ondo que as entradas do sistema sejam f1(t) e f2(t) e que a sada seja x1, obter a equaosada.

etir o item (b), porm agora as sadas so x1 e 1.x .


Soluo

Modelo matemtico: dado pelo sistema de EDOL's

)t(fxkxkxcxcxm

)t(fxkx)kk(xcx)cc(xm

222122.

21.

22..

2

1221212.

21.

211..

1

=++=++++

(a) Como cada equao diferencial de 2a ordem, existem quatro condies iniciais e, portanto,quatro variveis de estado:

2.

41.

32211 xx x x x x xx ====

Derivando e usando as equaes diferenciais do modelo matemtico, obtemos, apsmanipulaes algbricas:

)t(fm1x

mcx

mcx

mkx

mkx

)t(fm1x

mcx

mccx

mkx

mkkx

xx

xx

22

42

23

2

22

2

21

2

24

.

11

41

23

1

212

1

21

1

213

.42

.31

.

++=

+++++===

Notemos que as duas primeiras equaes no dependem da dinmica do sistema,enquanto que a duas ltimas dependem. Em forma matricial:

1x22

1

2x42

1

1x44

3

2

1

4x42

2

2

2

2

2

2

21

2

1

21

1

2

1

21

1x44.

3.

2.

1.

)t(f)t(f

m10

0m1

0000

xxxx

mc

mc

mk

mk

mc

mcc

mk

mkk

10000100

xxxx

+

++=

ou seja, BuAxx. +=

onde os vetores e matrizes podem ser facilmente identificados.

(b) Considerando x1 como sada, i.., y = x1, a equao de sada

[ ] [ ] [ ]1x22

12x1

1x44

3

2

1

4x11x1 )t(f)t(f

00

xxxx

0001y

+

=

ou seja, y = Cx + Du



(d) Considerando como sadas x1 e 1.x :

1x22

1

2x2

1x44

3

2

1

4x21x23

1

)t(f)t(f

0000

xxxx

01000001

xx

+

=

=y


FORMALIZAO DO MTODO

Definies:

Estado de um sistema dinmico: menor conjunto de variveis (denominadas variveis deestado) independentes tal que o conhecimento dessas variveis no instante t = t0, juntamentecom o conhecimento da entrada para t t0, determina completamente o comportamento dosistema para t t0. Portanto, o estado para t t0 no depende do estado e da entrada para t x1:

Fig. 2

Fig. 3

Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Translacionais pela Mecnica Newtoniana 3

Aplicando a 2a Lei de Newton ao ponto 1:0xc)xx(k

0xmF

1.

12

1..

11x

===

pois m1 = 0.

Aplicando a 2a Lei de Newton ao ponto 2:0)xx(k)t(f

0xmF

12

2..

22x

=== pois m2 = 0.

Logo, o modelo matemtico fica composto pelo conjunto de EDOLs

(5) 0kxkxxc 211. =+

(6) )t(fkxkx 21 =+Matricialmente:

(7)

=

+

)t(f

0xx

kkkk

xx

000c

2

1

2.

1.

Exemplo 3: sistema massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade

Vamos considerar, agora, o sistema mecnico massa-mola-amortecedor (ou sistema m-k-c) da fig.4(a), o qual constitui o sistema com um grau de liberdade mais simples:

O diagrama de corpo livre correspondente est mostrado na fig. 4(b). Chamando y(t) odeslocamento vertical da massa m a partir da posio em que a mola no est deformada, ouseja, antes da montagem da massa m no sistema, temos, a partir da aplicao da 2a Lei deNewton:

)t(ymmg)t(f)t(f)t(fF..

kcy ==Levando em conta as eqs. (1), (2) e (3), chegamos a

(8) )t(fmg)t(ky)t(yc)t(ym... =+++

Essa equao pode ser simplificada eliminando o efeito do peso mg. Para isso, vamos medir odeslocamento a partir da posio de equilbrio esttico, x(t), obtida a partir da posioanterior, y(t), porm deixando que a mola sofra uma deflexo esttica est, conforme mostra afig. 5:

Fig. 4


Fig. 5

Tendo em vista que a deflexo da mola equilibra o peso:

(9) mg = kest

Por outro lado, conforme mostra a fig. 5, podemos fazer a transformao de coordenadas

(10) y)t) = x(t) - est

Levando as eqs. (9) e (10) na eq. (8), chegamos EDOL de 2a ordem (da o nome sistema mecnicode 2a ordem) que constitui o modelo matemtico do sistema da fig. 4(a):

(11) )t(f)t(kx)t(xc)t(xm... =++

Assim, se adotarmos a coordenada x(t) a partir da posio de equilbrio esttico, podemos omitiro peso mg, o que vantajoso, pois podemos usar a eq. (11) como modelo matemtico para sistemasmecnicos de 2a ordem que transladem tanto na vertical como na horizontal.

Exemplo 4: suspenso de um veculo

Podemos construir o modelo translacional bastante simplificado da suspenso independente de umcarro considerando apenas o movimento de uma roda do veculo, conforme ilustra a fig. 6:

A rigidez do pneu modelada pela mola k1. As massas do pneu, roda, eixo e demais peas nosuspensas, so modeladas pela massa m1. O coeficiente de amortecimento do amortecedor viscosoe a rigidez da mola da suspenso so modelados, respectivamente, por c e k2. J a massa suspensadistribuda quele de suspenso modelada pela massa m2. Foram adotadas as coordenadas y1 ey2, medidas a partir da posio de equilbrio esttico do sistema, para descreverem osmovimentos das massas m1 e m2, respectivamente. A coordenada y0 servir para descrever omovimento do solo, devido s irregularidades do terreno.

Fig. 6


O diagrama de corpo livre do sistema mostrado na fig. 7, onde foi considerado que y2 > y1 > y0.

Aplicando a 2a Lei de Newton massa 1:

1112122011

111y

ym)yy(c)yy(k)yy(k

ymF

=++=

Aplicando a 2a Lei de Newton massa 2:

1.

2.

122

2..

22y

)yy(c)yy(k

ymF

=

Logo, o modelo matemtico fica composto pelo conjunto de EDOLs

(12) 1221212.

1.

1..

1 kyky)kk(ycycym =+++(13) 0ykykycycym 22122

.1

.2

..2 =++

Matricialmente:

(14)

++

+

yy

kkkkk

y

ycccc

y

ym00m

2

1

22

221

2.

1.

2..

1..

2

1

Na eq. (14) podemos identificar os seguintes vetores e matrizes:

=

++

+

kyy

kkkkk

y

ycccc

y

ym00m

12

1

22

221

2.

1.

2..

1..

2

1

As matrizes so todas 2 x 2 (no de graus de liberdade = 2) e os vetores

Fig. 7

Vetor d

Matriz rigidez

Vetor velocidade

Matriz amortecimento

Vetor acelerao

Matriz massa (ou inrcia)......2..

2 ym=

0y

=

0y

k 11

0y1

so todos 2 x 1.

Vetor excitao (entrada)

eslocamento (sada)


EXERCCIOS

1 Deduzir o modelo matemtico para o sistema massa-amortecedor da figura.

Resp.: )t(f)t(xc)t(xm... =+

2 Representar o modelo matemtico do sistema do exerccio anterior no Espao de Estados.

3 Representar o modelo matemtico do sistema do exerccio anterior na forma de Funode Transferncia.

Resp.: csms

1)s(G 2 +=

4 Considere o exemplo 4 do texto. Considerando y0(t) como entrada e y2(t) como sada,representar o modelo matemtico do sistema no Espao de Estados.

Resp.: Equao de Estado: )t(y

00

mk0

xxxx

mc

mk

mc

mk

1000mc

mk

mc

mkk

0010

xxxx

01

1

4

3

2

1

22

2

22

2

11

2

11

21

4.

3.

2.

1.

+

=

onde as variveis de estado foram definidas como

2.

4

23

1.

2

11

yx

yxyx

yx

====

5 Considere o exemplo 4 do texto. Considerando y0(t) como entrada e y2(t) como sada,representar o modelo matemtico por Funo de Transferncia.


6 Representar o modelo matemtico do sistema da figura pela funo de transferncia

)s(Y)s(Z)s(G = .

Dados numricos: m = 2 kg k1 = K2 = 8 N/m c1 = c2 = 16 N.s/m

Resp.: 2s12s5,8s

s4)s(Y)s(Z)s(G 23 +++==


1 INTRODUO

Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemtico de sistemas mecnicosrotacionais, a partir da aplicao da 2a Lei de Newton para o movimento de rotao, tambmconhecida como Equao de Euler. Inicialmente, apresentaremos as equaes constitutivas decada um dos elementos que compem o sistema mecnico rotacional e, aps, mostraremos comotais equaes so inseridas na EDOL que descreve o modelo matemtico do sistema.

2 RELAES ENTRE EXCITAO E RESPOSTA PARA OS ELEMENTOS DO SISTEMA MECNICO. EQUAES CONSTITUTIVAS

Conforme j vimos, as equaes constitutivas entre excitao e resposta para os vrioselementos (considerados lineares) de um sistema mecnico so dadas por

(1) ..

JT =

(2) )(CT 1.

2.

C =

(3) TK = K(2 - 1)

A eq. (1) nada mais do que a 2a Lei de Newton para o movimento de rotao, onde T, que aresultante de todos os torques externos aplicadas ao corpo rgido de momento de inrcia J, proporcional acelerao angular absoluta do corpo. A constante de proporcionalidade omomento de inrcia J.

A eq. (2) diz respeito ao torque que atua sobre um amortecedor viscoso, a qual proporcional velocidade angular relativa entre as extremidades do amortecedor. A constante deproporcionalidade o coeficiente de amortecimento viscoso C.

J a eq. (3) mostra a proporcionalidade entre a fora da mola de toro e o deslocamento angularrelativo das extremidades da mola. A constante de proporcionalidade a rigidez K.

Observemos que a acelerao angular absoluta, ao passo que o deslocamento angular e avelocidade angular so relativos.

6 Modelagem Matemtica de SistemasMecnicos Rotacionais pela Mecnica

Newtoniana


3 MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOS ROTACIONAIS

Para a modelagem de sistemas rotacionais, empregamos as equaes constitutivas (1), (2) e (3) emconjunto com a 2a Lei de Newton para o movimento de rotao, tambm conhecida como Equapde Euler:

(4)..

00 JT =

onde o membro esquerdo representa a resultante dos torques externos que atuam sobre a massa,J0 o momento de inrcia da massa em relao ao eixo de rotao e a coordenada angularadotada.

Vamos ilustrar a tcnica da modelagem atravs de exemplos.

Exemplo 1: sistema motor-propulsor (fig. 1)

Na fig. 1, o momento de inrcia das peas rotativas do motor representado por Je e o momentode inrcia do propulsor por Jp. O torque de acionamento do motor dado por T(t).Consideraremos que o eixo tem massa desprezvel em comparao com as massas do motor e dopropulsor, sendo ele representado por uma rigidez torcional K. Vamos admitir, tambm, aexistncia de um torque de resistncia aerodinmica, proporcional ao quadrado da velocidade derotao do propulsor.

Para o desenvolvimento do modelo matemtico, vamos escrever as equaes do movimento apartir do diagrama de corpo livre da fig. 2, considerando 2 > 1:

Coordenada 1: 1..

e12..

00 J)K(T(t) JT =+=Coordenada 2: 2

..p

22

.12

..00 JC)K(- JT ==

(5) T(t)K-KJ 211..

e =+(6) 0KK-CJ 21

22

.2

..p =++

Como vemos, o modelo matemtico composto de duas equaes diferenciais: uma linear e outrano linear.

Fig. 1

Fig. 2


Exemplo 2: sistema engrenado (fig. 3)

A fig. 3 mostra um sistema com duas engrenagens, estando a maior delas (N1 dentes e raioprimitivo r1) conectada a um eixo cuja outra extremidade est fixada a uma estrutura. Sobre aengrenagem menor (N2 dentes e raio primitivo r2) atua um torque T(t) = sen t.

Para o desenvolvimento do modelo matemtico, vamos antes transferir a inrcia da engrenagemmenor para o eixo da engrenagem maior:

(7) 2

2

121

2

1.2

.

21eq NN

JJJJJ

+=

+=

O torque T(t), por sua vez, tambm pode ser transferido para o eixo da engrenagem maior, tendoem vista que (ver fig. 4)

(8) T sent = r2F

(9) Teq(t) = r1Flogo

(10) tsenTrr

)t(T2

1eq =

Podemos, ento, escrever as equaes domovimento a partir do diagrama de corpo livre dafig. 5:

1..

eq1eq..

00 JK-T JT ==

Levando em conta as eqs. (7) e (10): 1..

2

2

1211

2

1..00 N

NJJK-tTsen

rr

JT

+==

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5


Ordenando e tendo em conta que , 2

1

2

1NN

rr

= , chegamos finalmente a

(11) tTsenNN

KNN

JJ 2

111

..2

2

121 =+

+

Exemplo 3: sistema rotacional com dois GDL (fig. 6)

Vamos representar no Espao de Estados o sistema rotacional da fig. 6, considerando e . comovariveis de estado e como sadas os deslocamentos angulares e A.

Consideremos os diagramas de corpo livre da fig. 7:

Modelo matemtico:

Mola K2: 0K)(K JT A1A2..

00 == Disco J:

...A2

..00 JC)(K - )t(T JT ==

Ordenando:

(12) 0)KK(K A212 =+ += 212

A KKK

(13) )t(TKK CJ A22... =++

Fig. 6

Fig. 7


Equao de Estado:

Variveis de estado: .2

1

x

x

==

Derivando:

]KxKCx)t(T[

J1]KKC)t(T[

J1x

xx

A2122A22...

2.

2.

1.

+=+====

Levando em conta a eq. (12) e ordenando:)]t(TCxx

KKKK

[J1x

xx

2121

212

.21

.

++==

Na forma matricial:

(14) [ ])t(TJ10

xx

JC

)KK(JKK

10

xx

2

1

21

212

.1

.

+

+

=

Equao de Sada:A2

1yy

==

Considerando as variveis de estado e a eq. (12):

121

2

21

22

11

xKK

KKK

Ky

xy

+=+==

Na forma matricial:

(15) [ ])t(T00

xx

0KK

K01

yy

2

1

21

22

1

+

+

=

EXERCCIOS

1 Deduzir o modelo matemtico para o pndulo simples da figura. a equao diferenciallinear ou no-linear?

Soluo

Seja a coordenada generalizada. Decompondo o peso em suas componentes radial e transversalao fio, podemos aplicar a Equao de Euler em relao ao ponto O. Evidentemente, somente acomponente transversal faz momento:

..0 JT =


..2mLL)senmg( =0)t(senmg)t(mL

.. =+

Vemos que o modelo matemtico uma EDO no-linear.

2 Considerando no pndulo do exerccio 2 que, para pequenas oscilaes, sen emradianos (verifique na sua calculadora), linearize o modelo matemtico do pndulo,transformando-o em uma EDOL.

Resp.: 0)t(mg)t(mL.. =+

3 Considerando, no exemplo 2 do texto, T(t) como entrada e 1(t) como sada, achar afuno de transferncia do sistema.

4 Deduzir o modelo matemtico para o pndulocomposto da figura. Linearizar o modelo.

5 Considere o exemplo 3 do texto. Ache a funo de transferncia sendo T(t) a entrada e a sada.


6 A figura mostra o motor de um barco (torque Te(t) e momento de inrcia Je) acionando opropulsor a hlice (momento de inrcia Jp), atravs de acoplamentos (momentos de inrciaJc1 e Jc2) e eixos flexveis (rigidezes K1 e K2). Desenvolver um modelo matemtico para osistema, incluindo o torque resistente Tw que a gua oferece ao movimento.

Resp.:

7 O sistema da figura consiste de um momento de inrcia J1, correspondente ao rotor deuma turbina, o qual est acoplado ao momento de inrcia J2 do propulsor. Potncia transmitida atravs de um acoplamento fluido com coeficiente de atrito viscoso C e umeixo com rigidez K. Um torque de acionamento T(t) exercido sobre J1 e um torque decarga TL exercido sobre J2. Sendo a entrada o torque T(t) e a sada a velocidade

angular 2. , representar o modelo matemtico

(a) no espao de estados;(b) na forma de equao I/O(c) na forma de funo de transferncia

Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos Hbridos pela Mecnica Newtoniana 1

1 INTRODUO

Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemtico de sistemas mecnicos hbridos(ou seja, aqueles cujas massas executam movimentos de translao e rotao), a partir daaplicao da 2a Lei de Newton e da Equao de Euler. Nosso estudo ficar restrito ao movimentode corpos rgidos no plano, tambm conhecido simplesmente por movimento plano. Felizmente, agrande maioria dos mecanismos existentes nos sistemas reais se enquadra nesse tipo demovimento.

Inicialmente, apresentaremos um resumo das equaes do movimento plano de um corpo rgido e,aps, mostraremos a obteno do modelo matemtico atravs de exemplos ilustrativos.

2 EQUAES DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RGIDO

As equaes bsicas da Mecnica Newtoniana para o movimento plano de um corpo rgido so:

2.1 Translao:

2a Lei de Newton:

(1) CM..

mRF =

onde F a resultante de todas as foras externas que atuam sobre o corpo de massa m e CM..R a

acelerao do centro de massa CM.

2.2 Rotao plana:

Aqui devemos distinguir 3 situaes:

(a) Rotao em torno de um eixo passando pelo centro de massa CM:

(2) ..

CMMC JT =

onde TCM a resultante de todos os torques externos que atuam no corpo, em torno de um eixoperpendicular ao plano do movimento e que passa pelo centro de massa do corpo, JCM o momento

de inrcia do corpo rgido em relao a esse mesmo eixo e .. a acelerao angular do corpo.

7 Modelagem Matemtica de SistemasMecnicos Hbridos pela Mecnica

Newtoniana


(b) Rotao em torno de um eixo passando por um ponto fixo O que no seja o centro demassa CM:

(3) ..

OO JT =

onde TO a resultante de todos os torques externos que atuam no corpo, em torno de um eixoperpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto fixo O, JO o momento de inrcia do

corpo rgido em relao a esse mesmo eixo e .. a acelerao angular do corpo.

(c) Rotao em torno de um eixo passando por um ponto S que no coincide com o centro demassa CM e que sofre translao:

(4) S..

S/CMSS xmJ RrT..+=

onde TS a resultante de todos os torques externos que atuam no corpo, em torno de um eixoperpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto que translada, S, JS o momento de

inrcia do corpo rgido em relao a esse mesmo eixo e .. a acelerao angular do corpo. Alm

disso, rCM/S o vetor posio do centro de massa CM em relao ao ponto S e S..R a acelerao

absoluta do ponto S.

Obs.:

1. na eq. (4) so consideradas as componentes paralelas ao eixo coordenado z, perpendicular aoplano do movimento de rotao xy;

2. as eqs. (2), (3) e (4) tambm so conhecidas como Equaes de Euler;

3. As rotaes relatadas em (a) e (b) j foram estudadas em apostila anterior, vamos nosconcentrar, pois, no caso (c), em ocorrem rotao e translao do centro de rotao.

3 MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOS HBRIDOS

Ser estudada atravs de exemplos ilustrativos.

Exemplo 1: sistema mola-disco

O disco da fig. 1 rola sem deslizar sobre o plano horizontal. Achar o seu modelo matemticousando a coordenada .

Soluo:

Fig. 1


Neste caso, S o centro instantneo de rotao, conforme ilustra o diagrama de corpo livre dafig. 2, no qual kx a fora da mola e f a fora resistente ao rolamento.

Aplicando a eq. (4): S..

S/CMSS xmJ RrT..+=

Usando o Teorema de Steiner, achamos o momento de inrcia JS:

222S mr23mrmr

21J =+=

Por outro lado, o momento TS, provocado apenas pela fora da mola, dado por

TS = - kxr = - kr2

onde foi usada a equao de restrio x = r que liga as coordenadas x e .

Alm disso, o produto vetorial S..

S/CM xRr nulo, pois ambos os vetores so colineares, comsentido de S para C (notemos que o ponto S tem velocidade nula porm possui acelerao radial

2.S

..rR = no nula, dirigida para o centro de massa; assim, o que torna nulo o termo S

..

S/CM xRr adefinio de produto vetorial).

Finalmente, levando essas informaes na eq. (4), chegamos ao modelo matemtico

0m3k2..

=+

Exemplo 2 Sistema carro-pndulo simples

A fig. 3 mostra um carro de massa M que desliza sobre uma superfcie horizontal sem atrito. Eleest ligado parede por uma mola k e um amortecedor viscoso c e submetido a um foramentof(t). O centro de massa do carro serve como eixo de rotao de um pndulo simples de massapunctual m e comprimento L. Deduzir o modelo matemtico para pequenas oscilaes .

Fig. 2


Soluo:

Temos a um sistema multicorpo (duas massas) com dois graus de liberdade: x para descrever atranslao do carro de massa M e para descrever a rotao do pndulo de massa m. A fig. 4mostra o diagrama de corpo livre no qual esto mostradas apenas as foras que produzemtranslao na direo x e o peso mg que produz momento em relao ao ponto S.

Como podemos ver, o ponto S um centro de rotao que translada no espao. Portanto, para omovimento de rotao do pndulo, aplicamos a eq. (4):

(4) S..

S/CMSS xmJ RrT..+=

onde....

S..

S/CM xcosmL)2sen(xmLxm ==Rr

JS = mL2 (momento de inrcia de massa punctual)

TS = - mgsenL

Levando tudo na eq. (4) e ordenando, chegamos a

(a) 0senmgLxcosmLmL....

2=++

J para o movimento de translao da massa M aplicamos a 2a Lei de Newton:

CM..

MRF =

logo, na direo x temos (levando em conta que so 2 massas a considerar):

(b) CM.....xmxMxckx)t(f +=

Fig. 3

Fig. 4


Tendo em vista que

+=

+=

+=

senLcosLxx

cosLxx

senLxx

2.....CM

..

..CM

.CM

podemos levar essas informaes na eq. (b) e obter, aps ordenao:

(c) )t(fkxsenmLxccosmLx)mM(2......

=++++

Para pequenas oscilaes , podemos considerar

cos 1 sen 0 0.

e substituir nas eqs. (a) e (c) para obter o modelo matemtico linearizado

)t(fkxxcmLx)mM(.....

=++++

0mgLmLxmL..2..

=++Sob forma matricial:

=

+

+

+0

)t(fxmgL0

0kx000cx

mLmLmLmM

.

.

..

..

2

Exemplo 3 Sistema carro-pndulo invertido

A fig. 5 mostra um carro de massa M que rola sem deslizar sob a ao da fora f(t). Ele estligado estrutura fixa pelo amortecedor c. Um pndulo invertido de massa concentrada mc ehaste homognea de massa m gira em torno de um piv fixado ao carro. Deduzir o modelomatemtico para pequenas oscilaes .

Soluo

Temos novamente um sistema com duas massas e dois graus de liberdade: x para descrever atranslao do carro de massa M e para descrever a rotao do pndulo invertido. A fig. 6mostra o diagrama de corpo livre para o pndulo invertido no qual esto mostradas apenas asforas que produzem momento em relao ao ponto S.

Fig. 5


Como podemos ver, o ponto S um centro de rotao que translada no espao. Portanto, para omovimento de rotao do pndulo invertido, aplicamos a eq. (4), porm levando em conta queagora temos duas massas m e mc:

(4) S..

S/CMSS xmJ RrT..+=

onde..

c..

c..

c..

S..

S/CM xcosL)m2m(x)cosLmcos

2Lm(x)

2sen(Lmx)

2sen(

2Lmxm +=+=+=Rr

2c

22cS L)3

mm(mL31LmJ +=+=

+=+= sengL)2mm(sen

2LmgsengLmT ccS

Levando tudo na eq. (4) e ordenando, chegamos a

(a) 0sengL)2mm(L)

3mm(xcosL)

2mm( c

..2c

..c =++++

J para o movimento de translao da massa M aplicamos a 2a Lei de Newton:

CM..

MRF =

logo, na direo x temos (levando em conta que so 3 massas a considerar):

(b) cm..

cCM.....

xmxmxMxc)t(f ++=

Da fig. 5 obtemos

+=

+=

+=

sen2Lcos

2Lxx

cos2Lxx

sen2Lxx

2.....CM

..

..CM

.

CM

e

+=

+=

+=

senLcosLxx

cosLxx

senLxx

2.....cm

..

..cm

.cm

Fig. 6


Levando tudo na eq. (b):

)senLcosLx(m)sen2Lcos

2Lx(mxMxc)t(f

2.....c

2........++++=

Ordenando:

(c) )t(fxcsenL)m2m(cosL)m

2m(x)mmM(

.2.c

..c

..c =++++++

Para pequenas oscilaes , podemos considerar

cos 1 sen 0 0.

e substituir nas eqs. (a) e (c) para obter o modelo matemtico linearizado

)t(fxcL)m2m(x)mmM(

...c

..c =+++++

0gL)2mm(L)

3mm(xL)

2mm( c

..2c

..c =++++

Sob forma matricial:

(d)

=

++

+

+

+

+++0

)t(fxgL

2mm0

00x000cx

L3mmL

2mm

L2mmmmM

c.

.

..

..

2cc

cc

EXERCCIOS

1. Dado o pndulo com massa distribuda da figura, pedem-se:

(a) Modelo matemtico;(b) Linearizar o modelo matemtico,

estabelecendo a condio delinearizao.

Resp.: (a) 0senl2g3..

=+

(b) 0l2g3..

=+ para < 1 rad


2. Idem Exerccio 1, porm agoraexiste uma massa concentrada Mna extremidade da haste e umamortecedor viscoso torcional Cna articulao O.

Resp.: (a) 0senl)M

3m(

g)M2m(

l)M3m(

C .

2

..=

+

++

+

+

(b) 0l)M

3m(

g)M2m(

l)M3m(

C .

2

..=

+

++

+

+ para < 1 rad

3 Considere o sistema carro - pndulo invertido do Exemplo 3 do texto, cujo modelomatemtico dado pela equao

=

++

+

+

+

+++0

)t(fxgL

2mm0

00x000cx

L3mmL

2mm

L2mmmmM

c.

.

..

..

2cc

cc

Sendo f(t) a entrada e x(t) e (t) as sadas, achar as funes de transfernciacorrespondentes.

1Modelagem Matemtica de Sistemas Mecnicos

Hbridos pela Mecnica Lagrangiana

Obteno do modelo matemtico de sistemas mecnicos hbridos (sistemas cujas massas executam movimentos de

translao e rotao), a partir da aplicao das Equaes de Lagrange

Estudo ficar restrito ao movimento de corpos rgidos no plano, tambm conhecido

simplesmente por movimento plano

Introduo

2EQUAES DE LAGRANGE

Seja um sistema mecnico com n GDL, cujas coordenadas generalizadas so q1, q2, ... , qn

Energia potencial do sistema em um dado instante:

Energia cintica do sistema em um dado instante:

)q,...,q,q(VV n21=

Lagrangiano do sistema: VTL =

)q,...,q,q,q,...,q,q(TT n.

2.

1.

n21=

Equaes de Lagrange: n , ... 2, 1, i ,QqL

q

Ldtd

ii

i. ==

Qi = foras no-conservativas

Exemplo 1: Sistema mola-disco

O disco rola sem deslizar sobre o plano horizontal. Achar o modelo matemtico usando a coordenada .

n , ... 2, 1, i ,QqL

q

Ldtd

ii

i. ==

2kx21V =

2.22.2.2.

mr21

21xm

21J

21xm

21T +=+=

322.2

2.kx

21mr

21

21xm

21VTL +==

n , ... 2, 1, i ,QqL

q

Ldtd

ii

i. ==

= rx .. rx =

222.2

2.2 kr21mr

21

21mr

21L +=

== 1q 1i 0LLdtd

. =

..2.2.2.2. mr2

3mr23

dtdmr

21mr

dtdL

dtd =

=

+=

=

2krL

0krmr23 2..2

=+ 0m3k2..

=+

Exemplo 2: Sistema carro-pndulo simples

Deduzir o modelo matemtico para pequenas oscilaes

+= cosmgLmgLkx21V 2

2.2..2.Lsenm

21cosLxm

21xM

21T

+

++=

+

+

++== cosmgLmgLkx21Lsenm

21cosLxm

21xM

21VTL 2

2.2..2.

n , ... 2, 1, i ,QqL

q

Ldtd

ii

i. ==

4xq 1i 1 == .. xc)t(fxL

x

Ldtd

=

== 2q 2i 0LLdtd

. =

2..........

. mLsencosmLxmxMcosLxmxMdtd

x

Ldtd ++=

++=

kxxL

=

( ) ..2...222..... mLxmLsencosmLxmdtdLsenmLsencosLcosLxmdtdLdtd += ++=

+

+=

== mgLmgLsenL

( ) )t(fkxxcmLxmM ..... =++++0mgLmLxmL

..2..=++

=

+

+

+0

)t(fxmgL0

0kx000cx

mLmLmLmM

.

.

..

..

2

Forma matricial:

Exemplo 3: Sistema carro-pndulo invertido

Deduzir o modelo matemtico para pequenas oscilaes

5n , ... 2, 1, i ,QqL

q

Ldtd

ii

i. ==

gLmcosgLm2Lmgcos

2LmgV cc +=

2.22.2..2.

c

2..c

2.mL

121

21sen

2Lm

21cos

2Lxm

21Lsenm

21cosLxm

21xM

21T +

+

++

+

++=

gLmcosgLm2Lmgcos

2LmgmL

121

21

sen2Lm

21cos

2Lxm

21Lsenm

21cosLxm

21xM

21VTL

cc

2.2

2.2..2.c

2..c

2.

+++

+

+

++

+

++==

xq 1i 1 == .. xc)t(fx

L

x

Ldtd

=

== 2q 2i 0LLdtd

. =

++

++=

....c

.

. cos2LxmcosLxmxM

dtd

x

Ldtd

++

+++

+=

.2....c

..c. mL12

1sen2Lsen

2Lcos

2Lcos

2LxmLsenLsenmcosLcosLxm

dtdL

dtd

( ) ( )

++

+

+

++

+

+=

gLsenmsen2Lmgcos

2Lsen

2Lm

sen2Lcos

2LxmcosLLsenmsenLcosLxmL

c..

.....c

...c

0xL=

( ) ..c..c. L)m2

m(xmmMx

Ldtd ++++=

..2c

..c

.2c

.c. Lm3

mxLm2mLm

3mxLm

2m

dtdL

dtd

++

+=

++

+=

2.....2.c

..c

..c

..

. Lsen2mcosL

2mxmLsenmcosLmxmxM

x

Ldtd +++++=

11 00

( ) ( ) ++++++=

.2.222..222c

.c. mL12

1sencosL4mxcosL

2msencosLmxcosLm

dtdL

dtd 1 11 1

+= gLm

2mL

c

0 0 0

0

6( ) )t(fxcL)m2m(xmmM

...c

..c =+++++

Forma matricial:

=

++

+

+

+

+++0

)t(fxgLm

2m0

00x000cx

Lm3mLm

2m

L2mmmmM

c.

.

..

..

2cc

cc

0gLm2mLm

3mxLm

2m

c..2

c..

c =

+

++

+

Modelagem Matemtica de Sistemas Eltricos. Analogias Eletromecnicas1

1 INTRODUO

Os sistemas eltricos so componentes essenciais de muitos sistemas dinmicos complexos. Por exemplo,um controlador de um driver de disco de um computador ou o controlador da velocidade de um automvelnecessitam de certos circuitos eltricos para funcionar. Usaremos os termos sistemas eltricos ecircuitos eltricos como sinnimos. Tendo em vista que existe no currculo uma disciplina de CircuitosEltricos, onde o estudo feito com muito mais profundidade, aqui faremos apenas uma abordagem queseja suficiente para a compreenso das analogias que existem entre certos sistemas dinmicos (analogiaseletromecnicas, eletro-hidrulicas, eletro-pneumticas, eletrotrmicas, etc.), assim como dos sistemaseletromecnicos a serem estudados posteriormente.

2 ELEMENTOS ELTRICOS PASSIVOS

Para modelar um sistema eltrico precisamos conhecer os seus componentes eltricos passivos.

As relaes elementares de voltagens so:

Resistor (Lei de Ohm)

(1) eA eB = R iR

Indutor

(2)

Capacitor

(3)

onde R, L e C so a resistncia, a

08 Modelagem Matemtica deSistemas Eltricos.

Analogias Eletromecnicas

di L e -e LBA =

-eAdt

dtiC1 e

t

0CB = indutncia e a capacitncia, respectivamente.


As relaes elementares de correntes so:

Resistor (Lei de Ohm)

(4)

Indutor

(5)

Capacitor

(6)

3 MODELAGEM DE CIRCUITOS ELTRICOS. LEIS DE KIRCHHOFF

A modelagem matemtica de um sistema eltrico simples feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Leidos Ns e/ou a Lei das Malhas.

Modelagem Matemtica pelo Mtodo dos Ns

Aplica-se a Lei dos Ns a cada n do circuito eltrico:

Exemplo 1

No circuito da fig. 1, o interruptor S fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemtico, sendo E aentrada e as tenses eA e eB as sadas.Considerar: 2R1 = R2 = R3

R3C = 1 E = 12 v

Re -e i BAR =

dt)ee(L1 i B

t

0AL =

dt)ee(dC i BAL

=

A soma das correntes que entram em um n de um circuito eltrico igual soma das correntes que saem do mesmo n

Fig. 1


Soluo

Referncia para voltagem: no n D eD = 0

Lei dos Ns aplicada ao n A:(a) i1 = i2 + i3

Usando as equaes das correntes:

Levando essas trs ltimas equaes na eq. (a):

(b)

Por outro lado, temos no ponto B:

logo(c)

Substituindo os dados do enunciado na eq. (b), chegamos a

(d) 4eA eB = 24

Analogamente, levando na eq. (c):(e)

Eliminando eA nas eqs. (d) e (e), chega

(f)

Assim, o modelo matemtico compos

Modelagem Matemtica pelo Mtodo d

Aplica-se a Lei dos Malhas a cada ma

1

A1 R

eE i =2

A

2

DA2 R

eR

ee i ==

3

BA3 R

ee i =

3

BA

2

A

1

AR

eeRe

ReE +=

dtde

Cdt

)ee(dC i BDB3 =

=

dtde

CRee B3BA =

BA.B eee =

A soma das quedas de voltagsoma das voltagenm

to

a

lh

esos EDOL de primeira ordem

pela EDOL (f) e pela equao algbrica (d).

s Malhas

a do circuito eltrico:

6e75,0e B.B =+

m em uma malha de um circuito eltrico igual que so introduzidas na mesma malha


Exemplo 2

No circuito RL srie da fig. 2 o interruptor S fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemtico,sendo E a entrada e i(t) a sada.

Fig. 2

Soluo

Lei das Malhas: eL + eR = E

Usando as equaes das voltagens, chegamos a

(a)

Vemos que se trata de uma EDOL de primeira ordem bastante simples.

4 ANALOGIAS ELETROMECNICAS

At agora, estudamos os sistemas mecnicomatemticas. Vamos, a seguir, estabelecer cque permite definir o que chamamos analogia

Dois sistemas fsicos so anlogos (duais) seja, pelo mesmo conjunto de equaes difere

Os sistemas anlogos caracterizam-se posubmetidos a excitaes do mesmo tipo. Essanlise e projeto, trabalhar experimentalmenmecnico que est sendo projetado, antes dmais caro). O dimensionamento do circuito Dimensional e Semelhana.

O conceito de sistemas anlogos bemeletrotrmica, eletropneumtica, etc.

No que diz respeito analogia eletromecnicLei de Kirchhoff dos ns, e a analogia fora-v

ERidtdiL =+s e os sistemas eltricos, apresentando suas modelagensertas caractersticas comuns aos dois tipos de sistemas, oeletromecnica.

quando so descritos pelo mesmo modelo matemtico, ounciais ou pela mesma funo de transferncia.

r apresentarem a mesma forma de resposta quandoe fato de extrema importncia, pois permite, nas fases dete com o circuito eltrico (mais barato) anlogo do sistemaa implementao do prottipo do sistema mecnico (muitoeltrico anlogo feito com base na Teoria da Anlise

mais amplo: podemos ter analogias eletro-hidrulica,

a, temos dois tipos: a analogia fora-corrente, com base naoltagem, amparada na Lei de Kirchhoff das malhas.


5 ANALOGIA FORA-VOLTAGEM

Vamos considerar o sistema mecnico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistema eltricoresistor-indutor-capacitor srie, mostrados na fig. 3:

Sistema mecnico Circuito eltrico

Fig. 3

Os modelos matemticos dos dois sistemas, conforme j vimos, so:

Sistema Mecnico Sistema Eltrico

(a) Sistema translacional:

)t(fkxxcxm... =++

(b) Sistema rotacional:

)t(TKCJ... =++

)t(eidtC1Ri

dtdiL

t

0=++

ou, como dtdqi = q

tdqd

dtdi ..

2

2==

=t0 qidtento )t(eq

C1qRqL

... =++

Examinando os modelos matemticos dos sistemas mecnico e eltrico, verificamos que os mesmos socompostos pelas mesmas equaes diferenciais, a menos dos smbolos utilizados. Pela posio que ocupamnas equaes, podemos facilmente estabelecer as quantidades anlogas dos dois sistemas:



Fora f (ou Torque T)Massa m (ou Inrcia J)

Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)Rigidez k (ou K)

Deslocamento x (ou )Velocidade ,. ou x Acelerao

,... ou x

Voltagem eIndutncia LResistncia R

Inverso da Capacitncia 1/CCarga eltrica q

Corrente eltrica iVariao di/dt

6 ANALOGIA FORA-CORRENTE

Vamos considerar, agora, o mesmo sistema mecnico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistemaeltrico resistor-indutor-capacitor paralelo, mostrados na fig. 4:

Sistema mecnico Circuito eltrico

Fig. 4

Semelhantemente ao caso anterior, podemos ter os dois modelos matemticos:



(a) Sistema translacional:

)t(fkxxcxm... =++

(b) Sistema rotacional:

)t(TKCJ... =++

iC + iR + iL = i

iedtL1

Re

dtdeC

t

0=++

ou, como dtde = onde = fluxo magntico

= ..dtde e =t0edt

ento )t(iL1

R1C

... =++

Analogamente, podemos facilmente estabelecer as quantidades anlogas dos dois sistemas:


Fora f (ou Torque T)Massa m (ou Inrcia J)

Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)Rigidez k (ou K)

Deslocamento x (ou )Velocidade ,. ou x Acelerao

,... ou x

Corrente eltrica iCapacitncia C

Inverso da Resistncia 1/RInverso da Indutncia 1/L

Fluxo magntico Voltagem e

Variao de/dt

Portanto, podemos concluir que:

sistemas anlogos mesma equao diferencialmesma funo de transferncia

7 OBTENO DO CIRCUITO ELTRICO ANLOGO POR INSPEO

Comparando as figuras anteriores, podemos observar que:

(1) Analogia fora-voltagem: k e c em paralelo anlogos C e R em sriek e c em srie anlogos C e R em paralelo

(2) Analogia fora-corrente: k e c em paralelo anlogos 1/L e 1/R em paralelok e c em srie anlogos 1/L e 1/R em srie


Os fatos acima permitem construir o circuito eltrico anlogo a um dado sistema mecnico simplesmentepor inspeo.

Assim, na figura do sistema mecnico colocamos um ponto (P, Q, S, etc.) em cada um dos seguintes locais:massas, pontos de aplicao de foras e pontos de ligao entre elementos flexveis (molas eamortecedores). A quantidade de pontos assim definidos nos informa a quantidade de GDL do sistemamecnico.

Para a construo do circuito eltrico levamos em conta que a quantidade de GDL do sistema mecnico igual quantidade de malhas do circuito eltrico e que cada ponto do sistema mecnico (P, Q, S, etc.)corresponde a uma malha do circuito eltrico.

Com essas informaes, podemos construir o circuito eltrico anlogo, conforme ilustram os exemplos dasfigs. 5 e 6:

Exemplo 3 (fig. 5):

Exemplo 4 (fig. 6):

Fig. 5

Fig. 6


8 OBTENO DO CIRCUITO ELTRICO ANLOGO A PARTIR DASEQUAES DIFERENCIAIS

Mostraremos a seguir, atravs de um exemplo, uma maneira mais rigorosa de obter o circuito eltricoanlogo a um dado sistema mecnico, a partir do modelo matemtico desse ltimo.

Exemplo 5

Usando a analogia fora-voltagem, obter o circuito eltrico anlogo do sistema mecnico da fig. 7.

Soluo

Inicialmente, vamos achar o modelo matemtico do sistema mecnico. Para isso, construmos o diagramade corpo livre (fig. 8) e aplicamos a Segunda Lei de Newton:

Fig. 8

massa m1:

massa m2:

Ordenando:

1..

11.

1111.

2.

2122 xmxcxk)xx(c)xx(k =+

2..

21.

2.

2122 xm)xx(c)xx(k =

0)xx(k)xx(cxm

0)xx(k)xx(cxkxcxm

1221.

2.

22..

2

2122.

1.

2111.

11..

1

=++=++++

Fig. 7


Usando a analogia fora-voltagem, obtemos as equaes do circuito eltrico anlogo:

Vemos, nas equaes acima, que o termo de acoplamento, i1 - i2, est presente nas duas equaes. Logo,ele deve pertencer simultaneamente s duas malhas do circuito eltrico, ou seja, deve estar presente noramo comum a ambas as malhas. Assim, podemos construir o circuito eltrico anlogo:

Comparando as figs. 7 e 9, podemos comprovar que a cada grau de liberdade no sistema mecnicocorresponde uma malha no circuito eltrico.

Fig. 9


EXERCCIOS

1 Representar o modelo matemtico do Exemplo 1 do texto pelas funes de transferncia

)s(E)s(E

)s(G e )s(E)s(E)s(G B2

A1 ==

2 Dado o circuito RLC srie da figura, determinar:(a) modelo matemtico;(b) freqncia natural;(c) fator de amortecimento;(d) funo de transferncia EC(s)/E(s), onde eC(t) a sada (tenso no capacitor) e(t) a entrada.

Resp.: (a) dtde

L1i

LC1

dtdi

LR

dtid2

2=++ (b)

(c) LCR

21 2= (d)

)LC1s

LRLC(s

1)s(E)s(E

2C

++=

3 Dado o circuito da figura, deduzir o modelo matemtico e obter as funes de transfernciaI1(s)/E(s) e I2(s)/E(s).

Resp.: Modelo matemtico: 0dt)ii(

C1iR

dtdiL

Edt)ii(C1iR

12222

2111

=++

=+

LC1

n =


4 Obter o circuito eltrico anlogo do sistemamecnico da figura, usando a analogiafora-voltagem e as equaes diferenciaisdo sistema mecnico (a serem deduzidas previamente).

5 Resolver o Exerccio 4 por inspeo. Deu o mesmo resultado?

6 Obter o circuito eltrico anlogo do sistemamecnico da figura, usando a analogiafora-voltagem e as equaes diferenciaisdo sistema mecnico (a serem deduzidas previamente).

7 Resolver o Exerccio 6 por inspeo. Deu o mesmo resultado?

Modelagem Matemtica de Sistemas Eletromecnicos1

1 INTRODUO

Veremos, a seguir, a modelagem matemtica de sistemas eletromecnicos, ou seja, sistemas que tratamda converso de energia eletromagntica em energia mecnica com o objetivo de acionar um sistemamecnico, como os j estudados at aqui.

Na modelagem matemtica de sistemas eletromecnicos temos necessidade de:

(1) aplicar as Leis de Newton e as relaes constitutivas dos elementos mecnicos, para desenvolver asEDOLs que descrevem o movimento do subsistema mecnico;

(2) aplicar as Leis de Kirchhoff e as relaes constitutivas dos elementos eltricos, para desenvolver asEDOLs que descrevem o comportamento do subsistema eltrico;

(3) aplicar as Leis da Induo Magntica, para modelar a interao entre os subsistemas mecnico eeltrico.

Aps a apresentao das Leis da Induo Magntica (as Leis de Newton e de Kirchhoff j foramestudadas), desenvolveremos, a ttulo de ilustrao, o modelo matemtico de um sistema eletromecnico.

2 LEIS DA INDUO MAGNTICA

Consideremos, inicialmente, um campo magntico B, tal como o que existe entre os plos de um impermanente construdo com material ferromagntico.

Primeira Lei da Induo Magntica

Se uma partcula com carga eltrica q estiver em movimento, com velocidade V, no interior de umcampo magntico de intensidade B, sobre ela o campo gerar uma fora F, dada por

(1) F = qV x B

A unidade SI de B [N/mA

Observemos que a fora F velocidade V, de acordocom a eq. (1). Portanto, ela n

9 Modelagem Matemtica deSistemas Eletromecnicos]. Define-se 1 gauss (G) = 10-4 N/mA.

no executa trabalho mecnico, pois ela normal

o altera a energia cintica da partcula.


Consideremos, agora, um elemento de fio condutor de comprimento dl, posicionado dentro de um campomagntico B, atravs do qual circula uma corrente I, conforme fig. 1.

Fig. 1

Sobre esse elemento agir uma fora elementar dF, a qual pode ser obtida a partir da eq. (1):

dF = dq V x B Bl xdtdIdt=

(2) dF = I dl x B

Para um comprimento finito de fio, a fora resultante ser obtida integrando a eq. (2):

(3) F = Bl xIdA eq. (3) a base para dispositivos atuadores, tais como motores, motivo pelo qual ela conhecida comoLei do Motor (acompanhar pela fig. 2):

Fig. 2

O mdulo da fora, em N, vale

(4) F = B I l sen onde B = campo magntico

I = corrente eltrica que circula no condutorl = comprimento do condutor imerso no campo magntico = ngulo entre o condutor e o campo magntico

A passagem de uma corrente eltrica em um condutor situado em um campo magntico provoca oaparecimento de uma fora eletromagntica que atua sobre o condutor, cuja direo e sentido so dados

pela produto vetorial da eq. (3).


O valor mximo de F obtido quando sen = 1 = 900, motivo pelo qual sempre se coloca o condutorperpendicular ao campo magntico.

Segunda Lei da Induo Magntica

a chamada Lei da Induo Eletromagntica de Faraday:

Se um fio condutor estiver em movimento dentro de um campo magntico, ento um gradiente depotencial (voltagem) gerado ao longo do fio.

Fig. 3

Para um condutor elementar de comprimento dl, movendo-se com velocidade V dentro de um campomagntico B, a diferena de potencial elementar dada por

(5) de = V x B dl

A voltagem induzida aumenta na direo de V x B. Para um comprimento finito de fio, a voltagem induzida obtida integrando a eq. (5):(6) lBV d xe =A eq. (6) forma a base para dispositivos que geram energia eltrica a partir de energia mecnica, taiscomo turbinas a vapor e geradores em geral, motivo pelo qual ela constitui a chamada Lei do Gerador:

O valor da voltagem, em volts, dado por

(7) e = B l V

onde B = intensidade do campo magnticol = comprimento do condutor imerso no campo magnticoV = velocidade do condutor perpendicularmente ao campo

Se um condutor de comprimento l move-se com velocidade V em um campo magntico de intensidade B eperpendicularmente a ele, ento gerada uma voltagem e no condutor.


Na discusso anterior foram apresentados os dois efeitos eletromagnticos de maior interesse para amodelagem de um sistema eletromecnico. Se considerarmos simultaneamente a ocorrncia desses doisefeitos, podemos ver claramente que as partes eltrica e mecnica iro interagir. Assim, supondo que umfio condutor seja fixado a um corpo que se move dentro de um campo magntico, a fora eletromagnticagerada far com que o corpo seja acelerado. Por outro lado, medida que o corpo se movimenta, a suavelocidade far com que seja gerada uma voltagem (denominada fora contra-eletromotriz), a qualafetar a corrente eltrica no condutor, e essa ltima, por sua vez, afetar a fora exercida sobre oobjeto e assim por diante. Portanto, durante o funcionamento de um sistema eletromecnico, aplicam-se ambas as leis, a do motor e a do gerador.

3 MODELAGEM MATEMTICA DE UM SERVOMOTOR DE CORRENTE CONTNUA

O controle dos servomotores CC pode ser feito atravs da:

corrente de campo, if (no caso de o campo magntico ser gerado por um eletroim);

corrente da armadura, ia (mais comum).

Consideremos um servomotor CC controlado pela armadura, conforme fig. 4, onde a corrente de campodo eletroim, if, constante:

Fig. 4Fig. 4

Na fig. 4 identificamos:

Ra = resistncia da armadura []La = indutncia da armadura [H]ia = corrente na armadura [A]if = corrente de campo [A]ea = voltagem na armadura [V]eb = fora contra-eletromotriz [V] = deslocamento angular do eixo do motor [rad]T = torque desenvolvido pelo motor [Nm]J = momento de inrcia do motor e da carga, referidos ao eixo do motor [kg m2]C = coeficiente de amortecimento viscoso do motor e carga, referidos ao eixo do motor [Nms/rad]

Obs.: o eixo ser suposto rgido, ou seja, no ser levada em conta a sua elasticidade.

Para a modelagem matemtica, necessrio aplicar as leis fsicas dos vrios componentes.


Parte eltrica:

Fluxo magntico, : proporcional corrente de campo

(8) = kf if

onde kf uma constante de proporcionalidade.

Torque desenvolvido pelo motor, T: proporcional ao produto da corrente da armadura pelo fluxomagntico

T = k1 ia

ou T = k1 ia kf if

Como k1, kf e if so constantes: k1 kf if = k (constante do motor, fornecida pelo fabricante). Logo:

(9) T = k ia

Fora contra-eletromotriz eb: quando a armadura est girando, est presente tambm a lei do gerador,fazendo com que surja uma voltagem proporcional velocidade angular

(10) dtd

kbeb=

onde kb a constante do gerador.

Lei de Kirchhoff das malhas para o circuito eltrico da armadura:

(11) aebeaiaRdtadi

aL =++

Parte mecnica:

2a Lei de Newton:

(12)Levando em conta a eq. (9):

(13) iakdtdC

dtdJ 2

2=+

Funo de transferncia do servomotor CC:

Considerando todas as condies iniciais nulas, podemos obter as transformadas de Laplace das eqs. (10),(11) e (13):

TdtdC2dt

dJ

2dtdJ

dtdCT2dt

dJText

2

22

=+

==


(14)

(15)

(16)

Substituindo a eq. (14) na eq. (15):

RasLa

)s(skb)s(Ea)s(Ia

)s(Ea)s(skb)s(IaRa)s(IasLa

+=

=++

Levando Ia (s) na eq. 6), aps manipulaes algbricas, ficamos com:

Considerando ea(t) co

(17)

Vemos (eq. (17)) que um sistema de 2a orseja muito pequena ntransferncia simplif

(18)

Por outro lado, chama

podemos, finalmente

(19)

)s(Iak)s( Cs)s(s2J

)s(Ea)s(Eb)s(IaRa)s(IasLa

)s( sbk)s(bE

=+

=++

=(1 )s(EaRasLak)s()

RasLa

skbkCss2(J +=+++

mo entrada e (t) como sada, podemos achar a funo de transferncia:

]kbkCRas)JRabLa(s2JLas[

k=)s(Ea

)s(++++

se trata de um sistema de 3a ordem. Entretanto, podemos baixar a sua ordem paradem, levando em considerao que muito comum que a indutncia da armadura Laa presena dos demais parmetros, podendo ser desprezada. Nesse caso, a funo deica para:

ndo

motor do tempo de constante =Tm=kbkCRaJRa

motor do ganho=km=kbkCRak

+

+

, rescrever a eq. (18) como

)1smT(s

km=)s(Ea

)s(+

)

JRakbkCRas(s

JRak

=)s(Ea

)s(

)kbkCRaJsRa(s

k=)s(Ea

)s(

++

++


EXERCCIOS

1 Achar a funo de transferncia 2(s)/Ea(s) do servomotor CC da figura, cuja indutncia daarmadura desprezvel (no mostrada). Desprezar a elasticidade dos eixos e os amortecimentos.

Resp.:

sKKsJJR

Knn

)s(E)s(

)s(G

b2

21

21a

2

1

a

2

+

+

==

2 dado o servomotor CC da figuratransferncia 2(s)/Ea(s). DesprezDados numricos:

Ra = 0,2 Kb = 5,5 x 10-2 V.s/radK = 8,1365 x 10-5 N.m/AJmotor = 1,356 x 10-5 kg.m2

JL = 5,9664 x 10-3 kg.m2

CL = 5,424 x 10-2 N.m.s/radN1/N2 = 0,1n

n2

, cuja indutncia da armadura desprezvel. Achar a funo dear a elasticidade dos eixos.

Modelagem Matemtica de Sistemas Hidrulicos 1

Modelagem Matemtica de Sistemas Hidrulicos

10 1 INTRODUO Os fluidos, estejam na forma lquida ou gasosa, constituem os meios mais versteis para a transmisso de sinais e de potncia, sendo largamente empregados na indstria, principalmente em processos qumicos, sistemas automticos de controle, atuadores, automao de mquinas, etc. Os sistemas fluidos so normalmente interconectados a sistemas mecnicos atravs de bombas, compressores, vlvulas e cilindros. Uma turbina acionada por gua e usada para movimentar um gerador eltrico um exemplo em que interagem elementos hidrulicos, mecnicos e eltricos. Basicamente, lquidos e gases podem ser diferenciados por suas compressibilidades: um lquido considerado praticamente incompressvel, ao passo que um gs deforma-se facilmente com a mudana de presso. Alm disso, um lquido pode apresentar uma superfcie livre, enquanto que um gs expande-se de modo a ocupar totalmente o seu reservatrio. Vamos utilizar o termo sistema hidrulico para descrever sistemas que usam um lquido como fluido de trabalho e sistema pneumtico para sistemas que utilizam um gs como fl

Estudo de Sistemas Dinâmicos - USP

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