ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAS · 1.2- Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.): é a toda...
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ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAS
Apresentação
Sejam bem vindos ao aprendizado das Equações Diferenciais. Elas fazem
parte da grade curricular dos cursos de Engenharia (Civil, Produção e Meio
Ambiente) e de Bacharelado em Ciências da Computação.
No decorrer de seu curso, você verá que vários modelos matemáticos se
basearão nas Equações Diferenciais, onde seu conteúdo objetiva auxiliar o
alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da compreensão de conceitos
básicos e da verificação formal da linguagem matemática visando disciplinas futuras
que utilizam cálculo.
Neste trabalho, você irá aprender na Unidade I: Equações
Diferenciais, Equações Diferencias Lineares, Soluções das Equações
Diferenciais, Solução Geral e Solução Particular, Problemas De Valor Inicial e
Problemas de Valores no Contorno. Na Unidade II: Classificação das Equações
Diferenciais de 1a Ordem, Forma Diferencial de uma Equação Diferencial de 1a Ordem,
Equações Separáveis, Equações Diferenciais de 1a Ordem Separáveis, Equações
Lineares de 1a Ordem - Fator Integrante, Equação Diferencial de Bernoulli. Na
Unidade III: Equações Homogêneas, Equações Exatas, Equações Diferenciais
de 1a Ordem Homogêneas, Equações Diferenciais de 1a Ordem Exatas,
Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de Segunda ordem com
Coeficientes Constantes.
É relevante observar que em cada unidade são sugeridos ao alunado,
exercícios de aprendizagem objetivando um conhecimento mais tranquilo.
Sabendo da importância que as Equações Diferenciais têm para os cursos
de exatas, espera-se que este trabalho seja um instrumento a mais para os
estudos que você está realizando no se curso universitário.
Anicio Bechara Arero.
Introdução
Ao iniciar o estudo sobre Equações Diferenciais, o estudante tem a
curiosidade de querer saber o significado dessas equações e qual a sua
aplicabilidade. Em relação a essas indagações podemos responder que, numa
equação algébrica habitual, sempre procuramos encontrar o valor de uma
incógnita que pode ser um número pertencente ao conjunto dos Números
Reais ou um número pertencente ao conjunto dos Números Complexos. Já, na
resolução de uma equação diferencial, apesar de querermos encontrar também
uma incógnita, observa-se que esse valor desconhecido não é um número,
mas sim uma função, logo, uma equação diferencial inclui uma função
desconhecida com as suas derivadas (de qualquer ordem). Sua importância
baseia-se na necessidade de formular, descrever e modelar certos problemas
físicos, construindo uma modelagem matemática do problema.
Para resolver equação diferencial, você terá que utilizar alguns
conhecimentos prévios de técnicas e métodos, como irá observar no decorrer
desse trabalho.
Devido à grande importância desse assunto na ciência e tecnologia atual
(suas soluções são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis,
aviões e circuitos elétricos), esse trabalho objetiva estudar os modelos dessas
equações de primeira ordem tanto na área de exatas, como em outras áreas,
como humanas, biológicas etc. Após essa iniciação vamos dá início aos
estudos dessas equações.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.0 – DEFINIÇÕES
1.1- Equação Diferencial: quando você se depara com uma equação que
envolve uma função desconhecida e suas derivadas, pode concluir que está
diante de uma equação diferencial.
Exemplos:
07)
53)
03cos.3)
42).()
24)
2
2
2
2
23
2
2
2
2
3
3
2
2
2
x
y
t
ye
xdx
dyy
dx
ydd
xydx
ydx
dx
ydc
dx
dy
dx
ydyLnb
xdx
dya
1.2- Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.): é a toda equação que apresenta
a função desconhecida (y) dependendo de apenas uma variável independente
(x). Se a função incógnita depender de duas ou mais variáveis independentes,
denominamos a mesma de Equação Diferencial Parcial (E.D.P.).
Observemos que os itens de a, b, c, d são EDO, pois a função
desconhecida y depende unicamente da variável x. Já, a equação do item e é
uma EDP, pois y depende de duas variáveis independentes x, t.
1.3- Ordem de uma EDO: é a ordem da mais alta derivada que nela
comparece.
Observe que a equação que aparece no item a é uma EDO de primeira
ordem, as equações dos itens b e d são de segunda ordem e a equação do
item c é de terceira ordem.
1.4- Grau de uma EDO: é a potência a que se acha elevada a derivada de
ordem mais alta onde, a função tem que ser polinomial.
Observe que a equação que aparece no item d é a uma EDO de terceiro
grau. Já, as equações dos itens a e c são EDO de primeiro grau.
Nota: nem toda EDO pode ser classificada conforme o grau. Observe que
o item b não possui grau, pois, a função não pode ser escrita na forma de
polinômio, em virtude do comparecimento do termo Ln(y).
2.0- EQUAÇÕES DIFENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES.
Introdução:
Dada a função f(x) = x + k (k = constante arbitrária). Sendo uma função do
10 grau, seu gráfico pode ser representado por uma reta para qualquer valor de
k, por exemplo. Se adicionarmos os valores 1, -2 e -4 a k, encontramos as
seguintes funções representas pelos gráficos:
y
y=x+1(k=1) y=x-2(k=-2) y=x-4(k=-4)
1
-1 0 1 2 3 4 5 x
-2
-4
Observe que todas as retas são paralelas para diferentes valores de k.
Calculando dxdy (eliminando a constante), encontramos 1dxdy . Isso
significa que a inclinação apresenta valor 1, que é denominado de coeficiente
angular da reta, significando que a reta forma um ângulo de 450 com o eixo-x
no sentido anti-horário, então, dizemos que 1dxdy representa a equação
diferencial de todas essas retas. Se integrarmos 1dxdy em relação a x, tem-
se a função primitiva f(x) = x + k (k = constante) que representa a solução da
equação diferencial. Como essa solução representa qualquer das retas acima,
dizemos que é uma solução geral. Uma solução particular necessita do valor
da constante, então, a função f(x) = x – 2 é uma solução particular, pois
intercepta o eixo-x em (2, 0), que gera a constate k = -2.
Exemplo:
Seja a família de curvas representada pela função y = p.e-x + q.e2x (p e q
constantes arbitrárias). Encontre a equação diferencial de segunda ordem de
toda a família de curvas y = p.e-x + q.e2x .
Solução:
Como, temos duas constantes arbitrárias, derivamos duas vezes a função y.
y = p.e-x + q.e2x.
y’ = -p.e-x + 2q.e2x
y” = p.e-x + 4q.e2x
Tira-se o valor de p.e-x da função y e substitui na 1a e 2a derivada.
y = p.e-x + q.e2x
p.e-x = y - q.e2x
y’ = -p.e-x + 2q.e2x y” = p.e-x + 4q.e2x
y’ = -(y - q.e2x) + 2q.e2x y” = y - q.e2x + 4q.e2x
y’ = -y + 3q.e2x y” = y + 3q.e2x
Isola-se 3q.e2x na 1a derivada e substitui na segunda.
y’ = -y + 3q.e2x 3q.e2x = y’ + y
y” = y + 3q.e2x.
y” = y + (y’ + y)
y” – y’ – 2y = 0 ou 022
2
ydx
dy
dx
yd
Essa equação
02
2
2
ydx
dy
dx
yd representa a equação diferencial de
segunda ordem de toda a família de curvas y = p.e-x + q.e2x.
Se integrarmos duas vezes em relação a x, terá a função primitiva que
representa a solução geral, e assim por diante. Logo, temos o seguinte
teorema:
Há n constantes arbitrárias na solução geral de uma equação diferencial
linear ordinária de n-ésima ordem.
Uma equação diferencial ordinária linear apresenta a seguinte forma:
)().(...).().().(012
2
21
1
1xfyp
dx
dyxp
dx
ydxp
dx
ydxp
dx
ydxp
n
n
nn
n
nn
n
n
Observe que todas as derivadas e y são elevadas a uma potência de expoente
unitário. As EDO que não se apresentam na forma acima são denominadas
EDO não-lineares.
Observe que:
1) A equação do item a ( 24 xdx
dy) é uma EDO de primeira ordem, com p1 =
1, p0 = 0 e g(x) = 4x – 2.
2) A equação do item c ( 03cos.32
2
3
3
xydx
ydx
dx
yd) é linear de terceira
ordem, com p3 = 3, p2 = cós x, p1 = 0, p0 = 5x e g(x) = 0.
3) As equações b
2
2
).(dx
ydyLn e d
x
dx
dyy
dx
yd53
23
2
2
são não-lineares.
Notação:
n
n
n
dx
ydy
dx
ydy
dx
dyy ,...,",´
2
2
Exercícios:
1) Em cada EDO abaixo, determine a ordem, o grau (quando possível), a
linearidade, a função incógnita e a variável independente:
a) 353
3
x
edx
dyx
dx
yd b) ttyt
dx
dyt
dx
ydt 3cos.
22
2
2
c) sds
dtst
ds
tdp 5
2
2
2 d) pbb
dp
db
dp
bd
3
74
4
4
5.5
e) y. 2
2
dy
xd= y2 +3 f) (y``)2`- 3yy` +xy = 0
Solução:
a) 353
3
x
edx
dyx
dx
yd
R) 1) 3a ordem
2) 1o grau
3) Linear: b3(x)=1, b2(x)=0,
b1(x)=-5x e b0(x)=0 e g(x)=ex-3
4) Incógnita y e variável Independente x
b) ttytdx
dyt
dx
ydt 3cos.
22
2
2
1) 2a ordem
2) não tem grau (não polinômio - termo y)
3) não-linear
4) Incógnita y e variável Independente x
c) sds
dtst
ds
tdp 5
2
2
2
R) 1) 2a ordem
2) 1o grau
3) não-linear(2 variáveis s,t)
4) Incógnita t e variável Independente s
d) pbbdp
db
dp
bd
3
74
4
4
5.5
1) 4a ordem
2) 4o grau
3) não-linear
4) Incógnita b e variável Independente p
e) y. 2
2
dy
xd= y2 +3
R) 1) 2a ordem
2) 1o grau
3)linear: : b2(y) = y, b1(y)=0, b0(y)=0 e g(y)=y2+3.
4) Incógnita x e variável Independente y
f) (y``)2`- 3yy` +xy = 0
1) 2a ordem
2) 2o grau
3) não-linear
4) Incógnita y e variável Independente x
2 – Encontre a equação diferencial associada a cada equação abaixo:
a) y = px + q R) y” = 0
b) y = p.sen(2x) + q.cos(2x)
c) pxy R) 2xy’ – y = 0
d) y = (p +qx).e2x R) y” + 4y’ + 4y = 0
Solução:
b) y = p.sen(2x) + q.cos(2x)
y’= 2pcos(2x) – 2qsen(2x)
y”= -4psen(2x) -4qcos(2x)
Tira-se o valor de sen(2x) em y e substitui nas derivadas.
0404"
4"
)2cos(4)2cos(44")2cos(4)2cos(
4"
)2cos(2)2cos(2'
2
2
ydx
ydouyy
yy
xqxqyyxqp
xqypy
p
xqyqxpy
Logo, 042
2
ydx
yd representa a equação diferencial de segunda ordem de toda
a família de curvas y = p.sen(2x) + q.cos(2x).
3.0- SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
- Conhecemos como solução de uma equação diferencial, no intervalo I, toda
função y(x) que, ao ser substituído na equação diferencial dada a transforma
em uma identidade.
Exemplos:
1) Verifique se y(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x) (k1 e k2 constante arbitrárias), é
solução da equação y” + 4y = 0.
- Observe que a equação é de segunda ordem, logo, diferenciamos duas vezes
y(x).
y(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x)
y’(x) =2 k1cos(2x) - 2 k2sen(2x)
y”(x) = -4k1sen(2x) - 4k2cos(2x)
Substituindo em y” + 4y = 0, temos:
y” + 4y = 0
y” + 4y = [-4k1sen(2x) - 4k2cos(2x)] + [4(k1sen(2x) + k2cos(2x)]
y” + 4y = -4k1sen(2x) - 4k2cos(2x) + 4(k1sen(2x) + k2cos(2x)
y” + 4y = [-4k1sen(2x) + 4k1sen(2x)] + [- 4k2cos(2x) + 4k2cos(2x)]
y” + 4y = 0
Portanto, y(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x) satisfaz a equação diferencial para
qualquer valor de x, por conseguinte, uma solução no intervalo (-, +).
2) Verifique se y = x2 -1 é uma solução de (y’)4 + y2 = -1.
- Observe que a equação diferencial (y’)4 + y2 = -1 apresenta a soma de
potências pares, logo, o resultado só pode ser um número positivo e não
negativo (-1), portanto, ela não apresenta solução.
Observamos que as equações diferenciais apresentam infinitas soluções (ex.
1) ou nenhuma solução (ex.2). Contudo, tem equação que apresenta apenas
uma solução, como por exemplo, (y’)4 + y2 = 0 cuja solução é nula (y = 0).
4.0- SOLUÇÃO GERAL E SOLUÇÃO PARTICULAR
- Solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as soluções
particulares dessa equação.
A solução geral da equação diferencial é representada por y(x) = k1sen(2x)
+ k2cos(2x) e, toda solução particular da referida equação tem esta forma
geral. Observe os exemplos de soluções particulares: a) y(x) = 5sen(2x) +
3cos(2x) (k1 = 5 e k2 = 3) b) y(x) = 2sen(2x) - 5cos(2x) (k1 = 2 e k2 = -5).
5,0- PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS E PROBLEMAS DE VALORES
NO CONTORNO
5.1- O problema de valor inicial consiste:
1) Uma equação diferencial.
2) As condições secundárias relativas a variável independente e suas
derivadas tem que visar valor igual.
5.2- O problema de valores no contorno consiste:
1) Uma equação diferencial.
2) As condições secundárias relativas a variável independente e suas
derivadas tem que visar valores diferentes.
5.3- Uma solução de um problema de valores iniciais ou de valores no contorno
é uma função f(x) que, simultaneamente, resolve a equação diferencial e
verifica todas as condições secundárias dadas.
Exemplos:
1) O problema y” + 2y’ = ex, onde y() = 1 e y’() = 2, é um problema de valor
inicial?
R) Sim, pois em ambos os casos x = .
2) O problema y” + 2y’ = ex, onde y(0) = 1 e y’(1) = 1, é um problema de valores
de contorno?
R) Sim, pois os valores de x são diferentes.
3) Verifique se alguma das funções abaixo é solução do problema de valor
inicial y”(x) + 4y(x) = 0, onde y(0) = 0 e y’(0) = 1.
a) y1(x) = sen(2x)
b) y2(x) = x
c) y3(x) = 1/2.sen(2x)
Solução:
a) y1(x) = sen(2x) é solução da equação diferencial, pois satisfaz a 1a condição
inicial: y1(x) = sen(2x) y(0) = 0. Observe:
00
0)2(4)2(4
0)(4)("
)2(4)(
)2cos(2)(
)2()(
"
1
'
1
1
xsenxsen
xyxy
xsenxy
xxy
xsenxy
.
Contudo, y1(x) = sen(2x) não satisfaz a 2a condição inicial, pois:
y1(x) = sen(2x)
y’1(x) = 2.cos(2x)
y’(0) = 2.cos0
y’(0) = 2
1 2
Logo, não é solução do problema de valor inicial.
b) y2(x) = x satisfaz ambas as condições: y(0) = 0 e y’(0) = 1, contudo, não
verifica a equação diferencial, logo, não é solução do problema de valor inicial.
Observe:
04
040
0)(4)("
0)(
1)(
)(
"
2
'
2
2
x
x
xyxy
xy
xy
xxy
c) y3(x) = 1/2.sen(2x) satisfaz ambas as condições: 0)0.2(.2
1)0(
3 seny e
1)0.2cos()0()2cos()('
3
'
3 yxxy . Verifica a equação diferencial, logo, é
solução do problema de valor inicial. Observe:
00
0)2(.21.4)2(2
0)(4)("
)2(2)(
)2cos()(
)2(.21)(
"
3
'
3
3
xsenxsen
xyxy
xsenxy
xxy
xsenxy
PROBLEMAS
01) Verifique se f(x) = 2e-x + xe-x é solução de f”(x) + 2f’(x) + f(x) = 0.
(Diferencia-se duas vezes a função f(x) e substituindo na equação diferencial,
verificando a identidade).
R) É solução.
02) Verifique se f(x) = 4 é solução de f(x)” + 2f’(x) + f(x) = x.
R) Não é solução.
03) f(x) = Ln(3x) é uma solução de xf”(x) +f’(x) = 0 em I = ]0, +)? R) Sim.
04) Verifique quais das funções abaixo são soluções das equações:
a) y(x) = -4 + e2x, y’ – 2y = 8 b) f(x) = (x2 – 3)2 , 3f’(x)- 2f(x) = 3x
c) f(p) = 3p + 6, f”(p) – pf’(p) + f(p) =6 d) y(x) = e2x , y” – 4y’ + y = -3.e2x
Resposta:
a) sim b) não c) sim d) sim
05) Determine uma solução do problema de valor inicial f’(x)’ + f(x) = 0, onde
f(3) = 2, sendo a solução geral da equação é f(x) = c1e-x, com c1 constante
arbitrária.
Resposta: f(x) = 2.e(3-x)
06) Encontre uma solução de valores de contorno y” + 4y = 0, onde y(/8) = 0 e
y’(/6) = 1, sabendo que a equação geral da equação diferencial é y(x) =
p.sen(2x) + q.cos(2x).
Resposta: 31
)2cos(
31
)2(
xxseny
07) Determine p e q de modo que y(x) = p.sen (2x) + q.cos(2x) +1 satisfaça as
condições y(/8) = 0 e y’(/8) = 2.
Resposta: 2
21
2
21
qep
08) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1.e2x + c2.e
x + 2senx satisfaça as
condições y(0) e y’(0) = 1.
Resposta: c1 = -2 e c2 = 3
09) Verifique se a função y = k1.cos(2x) + k2.sen(2x) é uma solução da equação
y” + 4y = 0, sendo k1 e k2 constantes.
Resposta: Sim
10) y = sen(3x) é solução da equação y’2 +3y2 = 1 ou da equação y’2 +9y2 = 9?
Resposta: da equação y’2 +9y2 = 9.
11) Encontre os valores de p, tais que y(x) = xp, é solução em todo real da
equação diferencial x2y” + 2xy’ – 6y = 0.
Resposta: 3 e -2
6.0- CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM
- Forma Normal (padrão) de uma Equação Diferencial de 1a Ordem:
),(' yxfdx
dyy
Ex: a) senxyyxfdx
dyy ),('
b) 43
23
),('yx
yxyxf
dx
dyy
c) A equação diferencial senxyeyexx
.'.2 não se encontra na forma normal,
contudo, podemos colocar nessa forma isolando y’ da seguinte maneira:
yesenxedx
dyy
eyesenxye
senxyeye
xx
xxx
xx
..'
.'.
.'.
2
2
- Forma Diferencial de uma Equação Diferencial de 1a Ordem:
0),(),( dyyxNdxyxM .
Transformando para forma normal de uma equação diferencial de 1a ordem,
temos:
),(
),(
),(),(
0),(),(
yxN
yxM
dx
dy
dxyxMdyyxN
dyyxNdxyxM
Ex.: Dada a função 2
),('y
yxyxfy
. Vamos decompô-la em um quociente de
duas outras funções, da seguinte maneira:
a) Se M(x,y) = x + y e N(x,y) = -y2, então, 22
)(),(
),(
y
yx
y
yx
yxN
yxM
b) 22
2
)2
(
2
),(
),(,,
2),(
2),(
y
yx
y
yx
yxN
yxMentão
yyxNe
yxyxMSe
Obs.: A função acima pode ser decomposta em mais de duas funções.
6.1- EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
- Denomina-se equação diferencial separável a equação diferencial que se
apresenta na forma diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM , onde M(x,y) = f(x)
(função somente da variável x) e N(x,y) = f(y) (função somente da variável y).
Ex.: a) senx dx + y2 dy = 0
- Observe que M(x,y) = f(x) = senx e N(x,y) = g(y) = y2.
c) xy2 dx – x2y2 dy = 0
- Note que na forma dada, essa equação é não separável, pois M(x,y) = f(x)
= xy2 não é função somente de x. Contudo, podemos transformá-la numa
equação separável do seguinte modo:
Divide-se toda a equação por x2y2, obtendo a equação 0 dyx
dx. Agora,
podemos dizer que M(x,y) = f(x) = 1/x e N(x,y) = g(y) = -1.
- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM SEPARÁVEIS
1- Solução Geral:
Seja a equação diferencial de primeira ordem, separável:
f(x)dx + g(y)dy = 0
ydesomentefunçãoyf
xdesomentefunçãoxf
)(
)(
Aplicando a integral, temos:
f(x)dx + g(y)dy = c (constante arbitrária)
2- Problema de Valor Inicial:
f(x)dx + g(y)dy, sendo y(x0) = y0
x
x
y
y
dyyfdxxf0 0
0)()(
Exemplo:
1) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem separáveis:
Nota: para obtermos a resolução da equação diferencial, devemos
resolver explicitamente a mesma, em relação a y. Contudo, tem problema
que não é possível resolver explicitamente, neste caso, deixa-se na forma
implícita.
a) xdx – y2dy = 0 b) y’ = y2x3
c) y’ = 5y d) exdx – ydy = 0, sendo y(0) = 1
e) 3
3
3
2
y
x
dx
dy f) 92
2 yx
dx
dy
Solução:
a) xdx – y2dy = 0 b) y’ = y2x3
3
2
3
2
2
3
23
32
2
2
3
)3(32
3
32
3
23
32
0
kx
y
ckcx
y
cx
y
cxy
cyx
dyyxdx
4
44
4
14
23
2332
4
)4(4
41
4
1
1
4
14
0
0
xky
ckxc
y
xc
y
cy
x
cyx
dyydxx
dyydxxxydx
dy
c) y’ = 5y d) exdx – ydy = 0, sendo y(0) = 1
1
x
cxc
cx
cx
eky
ekeey
eey
eycxy
cyx
cy
dydx
y
dydxy
dx
dy
5
5
5
5
.
)(.
.
5ln
ln5
5
055
012,12
121
)01(2
)2(22
2
)(
02
2
2
2
xx
x
x
x
x
eey
kke
xeykey
ckcey
cy
e
cdyydxe
Obs.: Resolvendo o item d utilizando integral definida.
01212122
1
21
2
1
21
2)(
2
2
2
1
2
00 1
xxxx
x
y
xxx y
x
eeyeycy
e
cy
ecy
ecdyydxe
.
,log,exp
,lg
363364
)12(12363364
)12(34
33
33
0333
3)
43
43
43
32
32
3
2
implicitaformana
permaneceolícitaforma
naficarpodenãoeebricamentA
kyyxx
ckkyyxx
mmccyy
xx
cdyydxx
dyydxxy
x
dx
dye
kxtgy
kccxtgy
cxtgy
cxy
arctg
cxy
arctg
xdxy
dy
yxdx
dyf
)3(3
)9(9)3(3
3)3(3
33)3
(
)3
(3
1
29
92)
2
2
2
2
2
2
2
2) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem separáveis:
a) x cosx dx + (1-6y5)dy = 0, sendo y() = 0.
R) xsenx + cosx + 1 = y6 - y .
Não é possível resolver na forma explicita, logo, deixamos na forma implícita.
b) 0 dyx
dx R) kc
x
ky ln,ln
c) 0y
dyxdx R) c
x
ekkey
,2
2
d) 0122
dyyydxx R) ckkyyxx 6,3262233
e) 0 ydyxdx R) ckxk 2,2
f) 0y
dy
x
dx R) c
ekkxy
,
g) y’ = x2y + y R) x
x
eky
3
3
.
h) 0)0(,.12
ysendoe
x
dx
dyx
y R) 2
1ln.2
1xy
i)
01
11'
2
3
xyx
yy R)
x
xky
2
32
3 1.1
j) y
xy
2'
2
R) kxx
y 43
23
l) 1)0(, yy
e
dx
dyx
R) 12 x
ey (condição inicial: y tem que ser +)
m) 222
yydx
dy R) )(1 cxtgy
* 1)1(11222222 yyyyy
9.0- EQUAÇÕES LINEARES DE 1a ORDEM
9.1- Definição:
- Denomina-se equação diferencial linear de 1ª ordem a toda equação
diferencial que pode ser escrita pela forma f(x, y) = y’ = -p(x).y + q(x) ou y’ +
p(x).y = q(x), onde p(x) e q(x) são funções de x.
Ex.: a) y´= (senx).y + ex
Observe que y’ – (senx).y = ex , logo, temos p(x) = -senx e q(x) = ex.
b) y´= 3
Nesse caso temos p(x) = 0 e q(x) = 3
9.1- Fator integrante.
Para resolver a equação y’ +p(x)y = q(x) que representa uma Equação
Diferencial Linear de 1a Ordem, temos que determinar um fator que
denominamos Fator Integrante(F.I.), que deve multiplicar toda a equação,
sendo representado pela função dxxp
eyxI)(
),(
.
Exemplo:
1) Determine um F.I. para y’ – 2y = 5.
Neste caso p(x) = -2, logo,
xdx
eeyxI2
2
),(
.
Escrevendo a equação na forma diferencial, temos:
..),(,
.5.
.5.2'.
52'
2
22
222
2
IFoéeyxILogo
eeyd
ExataEquaçãoeeyye
eyy
x
xx
xxx
x
9.2- Método de Resolução.
Ao multiplicar a equação y’ + p(x)y = q(x) pelo FI, o 1º membro da equação
resulta em uma derivada do produto
dx
FIyd .. Integrando esta nova equação,
encontramos a solução de y’ +p(x)y = q(x).
Exemplos:
1) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem lineares:
a) y’ – 2y = 5. b) y’ – 2ty = t
c) y’ + 4x-1y = x4 d) y’ + y = senx
Solução
a) y’ – 2y = 5.
Determina-se o F.I. para y’ – 2y = 5.
Neste caso p(x) = -2, logo,
xdx
eeyxI2
2
),(
.
Escrevendo a equação na forma diferencial, temos:
b) y’ – 2ty = t
Determina-se o F.I. para y’ – 2ty = t.
Neste caso p(t) = -2t, logo, 22
),(t
dtt
eeytI
.
Escrevendo a equação na forma diferencial, temos:
2
22
2
2
2
22
22
22
.2
1
2
12
2.
..
.int,
..
.
..2'.
2'
2
2
t
tt
t
t
t
tt
tt
ttt
t
ecy
e
c
e
ce
y
ce
ey
dtetdteyd
membrososambosegramosAgora
eteyd
produtododerivadaumatemosmembroprimeironoqueObserve
etetye
ettyy
12.
22
2
2
2
2.
2
.4.
.4.
.int,
.4.
.
.4.2'.
42'
2
22
2
2
2
22
2
2
22
22
222
2
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxx
x
cy
cecey
ceey
ce
ey
dxedxeyd
membrososambosegramosAgora
eeyd
produtododerivadaumatemosmembroprimeironoqueObserve
ExataEquaçãoeeyye
eyy
c) y’ + 4x-1y = x4
Neste caso p(x) = 4x-1 = 4/x, logo, 4.4
4
4
2),( xeeyxIxLnxLn
dxx
.
Escrevendo a equação na forma diferencial, temos:
4
5
4
5
9
4
84
84
834
4444
44
.9
9
9.
.
.int,
.
.
4'.
.4
.'.
4'
xcx
y
oux
cxy
cx
xy
dxxdxxyd
membrososambosegramosAgora
xxyd
produtododerivadaumatemosmembroprimeironoqueObserve
xyxyx
xxyx
xyx
xxyx
y
d) y’ + y = sen(2x)
Neste caso p(x) = 1, logo, xdx
eeyxI
),( .
Escrevendo a equação na forma diferencial, temos:
).1(.cos.
)().(')().()(').(
)(cos)('
)(')(cos.
intcos.
.2
1cos.
2
1
.cos.2
.cos..
.cos..
)1(cos.cos..
)cos.()cos.(.
)().(')().()(').(
cos)()('
)(')(..*
int.
..2
1cos.
2
1
)(.2
1cos.
2
1.
..
..
.int,
..
.
..'.
'
**
**
**
*
*
emdosubstituinsenxdxesenxexdxe
dxxgxfxgxfdxxgxf
senxxgxxg
exfexfdxe
parteporegraçãooutradxe
csenxexesenxdxe
senxexesenxdxe
senxexesenxdxesenxdxe
senxdxesenxexesenxdxe
dxexesenxdxe
dxxexesenxdxe
dxxgxfxgxfdxxgxf
xxgsenxxg
exfexfdxsenxe
parteporegraçãosenxdxe
finalresultadoecsenxxy
ecsenxexeey
senxdxeey
senxdxedxeyd
membrososambosegramosAgora
senxeeyd
produtododerivadaumatemosmembroprimeironoqueObserve
senxeyeye
esenxyy
xxx
xx
x
x
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xx
x
x
x
xxxx
xx
xx
xx
xxx
x
2) Resolva o problema de valor inicia y’ + y = senx, onde y() = 1.
Determina-se o F.I. para y’ + y = senx.
Neste caso p(x) = 1, logo, xdx
eeyxI
),( .
Escrevendo a equação na forma diferencial, temos:
2
3
2
)(cos
2/32
11
2
)(cos1
2
)(cos
2
)(cos.
..
..
..'.
'
senxxy
cc
csen
csenxx
y
csenxxe
ey
dxesenxeyd
esenxeyd
ExataEquaçãoesenxeyye
esenxyy
x
x
xx
xx
xxx
x
R) )cos(2
1xsenxe
x
Exercícios:
1- Resolva as equações diferenciais de 1a ordem lineares:
a) y’ – 5y = 0 R) xecy
5.
b) y’ – 7y = ex R) y = ce7x –ex/6
c) y’+6xy=0; y()=5 R) 223
5
x
ey
d) 4.210
2'
y
xy R) 5
210
4402
x
X
cxxy
e) y’ + 2xy =0 R) 2
.x
ecy
f) y’+3x2y=0 R) 3
.x
ecy
g) qqpdq
dp condição inicial p(0) =-4 R) p(q) = 2
2
.51x
e
h) 022
'4 x
ey
xy R) 5
9
2.
2
xecyx
i) y’ – 7y = 14x R) y = c.e7x – 2x – 2/7
j) )100)2((4210
2
sinicialcondiçãos
tdt
dsR) 5
102
1304442
t
t
tty
l) )0)1((2
yinicialcondiçãoxyxdx
dy R)
2
2 1
4
1
xxy
10.0- EQUAÇÃO DIREFENCIAL DE BERNOULLI
A equação diferencial de Bernoulli (Jacob Bernoulli) é uma equação diferencial
ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:
y’ +p(x)y = q(x)yn, com n real (n ≠ 0 e n ≠ 1)
Para resolver esse tipo de equação, devemos substituir z = y1-n. Com isso,
transformamos a equação dada em uma equação linear com solução.
Exemplo:
1) Resolva as equações de Bernoulli:
a) y’ + xy = xy2 b) 31
43' yxy
xy
c) 22' xyy
xy R) d) 4
3
1' yeyy
x
Solução:
a) y’ + xy = xy2 (p(x) = x, q(x) = x e n = 2.
Como n = 2, temos, 2
121 ''
11
z
zye
zy
yzyzyz
Substituindo em y’ + xy = xy2, temos:
xezedx
d
xexzeze
eeFI
solvendo
linearequaçãoxxzz
xxzz
zmmcz
xz
xz
z
xx
xxx
x
xdx
22
222
2
2
22
22
222
2
.
'
Re
)('
)1.('
)(1
.1
.'
1.
11
;,
1..
.
2
222
22
2
222
22
x
xxx
xx
ecz
y
éoriginalequaçãoaLogo
eczceze
xdxedxzedx
d
b) 31
43' yxy
xy
Como n = 1/3, temos, '.2
3'
2/12/33/23/11zzyezyyzyz
Substituindo em 21
43' yxy
xy , temos:
43/142/32/1
3
22'
3'.
2
3xz
xzouzxz
xzz
3
2
5
2
5
3/23/2
2
53
22222
23242
2
2
2ln2
2
9
2
9
2:,,
9
2
9
2.
3
2.
3
2.
3
22'
3
22'
Re
2
cxx
ycxx
ytemosyzComo
cxx
zcx
zxdxxzxxzxdx
d
xzxzxxxzx
xzx
xeeeFI
solvendo
xlxxdx
x
Exercício:
- Resolva as equações diferenciais de Bernouili:
a) 21' yy
xy R)
)(
1
Lnxcxy
b) 3' xyyxy R)
2
2
2
1
cxxy
c) 22cos
2xyx
x
y
dx
dy R)
)(
1
2csenxx
y
d) Lnxyxyxy22
' R) R)x
x
eLnc
y
1
11.0- EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
- Denomina-se equação diferencial homogênea a equação diferencial y’ = f(x,y)
quando acontece f(tx, ty) = f(x, y) (t ).
),(),()(
),(
),():.
yxftytxfy
yx
ty
yxt
ty
tytxtytxfqueObserve
y
yxyxfaEx
),(),(),(
)hom(),()
222
2
yxftytxfx
ty
tx
yt
tx
tytytxfqueObserve
ogêneaénãox
yyxfb
12.0- RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM
HOMOGÊNEAS
12.1- Primeiro Método de Resolução:
- Na equação diferencial homogênea ),( yxfdx
dy ,onde, ),(),( yxftytxf ,
façamos a substituição y = xv. A derivada correspondente é .dx
dvxv
dx
dy
Simplificando o resultado encontramos a equação diferencial com
variáveis x e y separáveis. A solução é obtida mediante volta à variável
original.
12.2- Método Alternativo de Resolução
- Escrevendo a equação diferencial como ),(
1
yxfdx
dy e fazendo a
substituição x = yu, a derivada correspondente é .dy
duyu
dy
dx
Simplificando o resultado encontramos a equação diferencial com
variáveis u e y separáveis. A solução é obtida mediante volta à variável
original.
Exemplo:
1) Resolva as equações diferenciais de 1a ordem homogêneas:
a) x
xyy
' (lembrando que
dx
dyy ' )
Fazendo y = xv e dx
dvxv
dx
dy na equação
x
xyy
' , obtemos:
separávelequaçãodvx
dx
dx
dvx
vvdx
dvx
x
xvxxv
dx
dvx
vx
xxv
dx
dvx
x
xxv
dx
dvxv
0
1
1
Resolvendo 0 dvx
dx, encontramos:
./ln/
:,
./ln/ln/ln/
ln/ln//ln/
kxxy
trmosxvyemdoSubstituin
kxvkxv
kccxvcvxcdvx
dx
3
442
')xy
xyyb
4
1
48
1
4) kcxxcyR
kyyxRyx
yxyc
22
22)
2')
xy
xyyd
22
')
2224ln) xxxyR
13.0- EQUAÇÕES EXATAS
- Uma equação diferencial na forma 0),(),( dyyxNdxyxM é exata se:
x
yxN
y
yxM
),(),(.
Exemplo:
a) 3x2ydx + (y + x3)dy = 0
- Sendo M(x,y) = 3x2y, N(x,y) = (y + x3), 223
),(3
),(x
x
yxNex
y
yxM
,
concluímos que a equação 3x2ydx + (y + x3)dy = 0 é exata.
b) xydx + y2dy = 0
- Não é exata, pois 0),(),(
x
yxNex
y
yxM.
14.0- RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM EXATAS
- Uma equação diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM é exata se existe uma
função tal que dyyxNdxyxMyxdg ),(),(),( .
Note que )tancos(.),(,log,0),( teccyxgoyxdg
É relevante salientar que se M(x,y) e N(x,y) são contínuas, então,
0),(),( dyyxNdxyxM é exata, se somente se x
yxN
y
yxM
),(),(.
Exemplo:
1) Verifique se as equações abaixo são de 1a ordem exatas. Caso afirmativo,
encontre as soluções:
a) 2xydx + (1 + x2)dy = 0
exataé
xx
yxNxyxN
xy
yxMxyyxM
2),(
1),(
2),(
2),(
2
Solução:
1) xyyxMx
g2),(
e 2) 2
1),( xyxNy
g
Integrando (1), temos:
)3()(),(
2
2yhyxyxg
xydxdxx
g
Observe que, ao integrarmos em relação a x, a constante (em relação a
x) de integração pode depender de y.
Agora, determinemos o valor h(y).
- Deriva-se )(),(2
yhyxyxg em relação a y, obtemos )('2
yhxy
g
.
- Leva-se )('2
yhxy
g
e 2
1),( xyxN , em (2), temos:
),(),(
yxNy
yxg
)('2
yhx = 21 x
h’(y) = 1
- Agora, integramos h’(y) = 1 em relação a y.
1)(
1)('
cyyh
dydyyh
- Levando1
)( cyyh em (3), temos:
)(),(2
yhyxyxg
licitaformanaexataEDdasoluçãox
cy
ou
implicitaformanaexataEDdasoluçãocyyx
cccccyyx
cyyxc
temoscyxgcomocyyxyxg
exp1
)(
:,),(,),(
2
2
2
2
211
2
1
2
1
2
b) (x+seny)dx + (xcosy-2y)dy = 0
exataé
yx
yxNyxN
yy
yxMyxM
cos),(
2y-xcosy),(
cos),(
seny+x),(
Logo, seny+x),(
x
gyxM .
Integrando, temos:
)(.2
1),(
seny+x
2yhsenyxxyxg
dxdxx
g
Agora, determinemos o valor h(y).
- Deriva-se )(.2
1),(
2yhsenyxxyxg em relação a y.
)('cos yhyxy
g
.
- Leva-se )('cos yhyxy
g
e yyxyxN 2cos),( , em
),(),(
yxNy
yxg
.
)('cos yhyx = yyx 2cos h’(y) = -2y
- Agora, integramos h’(y) em relação a y.
1
2
1
)(
2)('
cyyh
dyydyyh
- Levando1
2)( cyyh em )(.
2
1),(
2yhsenyxxyxg , encontramos:
)(2
1
:,),(2
1),(
122
22
1
22
ccccyxsenyx
temoscyxgcomocyxsenyxyxg
c) (xy + x2)dx - dy = 0 (NÃO É EXATA)
d) xy
xy
exy
eyy
.2
.2'
R) 2x + exy – y2 = c2 (c2 – c1)
e) 5)2(;1
2'
2
y
x
xy :
1
25)
2
xyR
f) (2xy + x)dx + (x2 + y)dy = 0 R: 2
222
2
1
2
1cyxyx
g) y.exy dx + x.exy dy = 0 R) exy = c2
15.0- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE
SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
15.1- Equação Característica:
Surge de uma equação diferencial do tipo y” + a1y’ + a0y = 0 (a1 e a0
constantes) quando substituímos y”, por 2, y’ por e y por 0 = 1, da
seguinte maneira:
2 + a1 + a0
0 = 0.
Como, a equação característica 2 + a1 + a0 = 0 é uma equação do
segundo grau, podemos fatorar do seguinte modo:
( - 1).( - 2) = 0.
Exemplo:
- Encontre as equações características das seguintes equações
diferenciais fatorando-as:
a) y” + 5y’ + 6y = 0 b) y” - 8y’ + 16y = 0
c) y” + 2y’ = 0 d) y” - 4y’ + 3y = 0
Solução:
a) y” + 5y’ + 6y = 0 2 + 5 + 6 = 0
Para fatorar, calculamos as raízes da equação do 20 grau utilizando a fórmula
de Bháskara, em seguida, substituímos na forma fatorada ( - 1).( - 2) = 0.
Nesse caso, temos duas raízes reais e desiguais 1 = -2 e 2 = -3.
Logo: ( + 3)( + 2) = 0
b) y” - 8y’ + 16y = 0 2 - 8 + 16 = 0
Nesse caso, as raízes são reais e iguais 1 = 4 e 2 = 4. Logo: ( - 4)( -4) = 0
ou ( -4)2 = 0.
c) y” + 2y’ = 0 2 + 2 = 0
Nesse caso, as raízes são reais e desiguais 1= 0 e 2= -2. Logo: .( + 2) = 0.
d) y” - 4y’ + 3y = 0 2 - 4 + 3 = 0
Nesse caso, as raízes são complexas 1=2+i e 2= 2-i. Logo: (-2-i)(-2+i) = 0
15-2- Solução de Equação Diferencial utilizando as raízes característica.
Para encontrar a solução da equação diferencial y” + a1y’ + a0y = 0 (tem que
ser linear) a partir das raízes da equação característica 2 + a1 + a00 = 0,
devemos observar três casos:
10- caso: quando as raízes da equação característica são reais e desiguais,
temos como solução geral xxececy 21 ..
21
.
Nota: quando as raízes são simétricas (1 = -2), a resolução da
equação xxececy 21 ..
21
pode ser escrita na seguinte forma
xsenkxky1211
.cosh. , onde k1 = c1 + c2 e k2 = c1 - c2.
20- caso: quando as raízes da equação característica são complexas, sendo
pares conjugados 1= a + bi e 2= a – bi, temos como solução geral complexa
xbiaxbiaececy
)~(
2
)(
1..
. Sendo equivalente a ).(.)cos(.21
bxsenecbxecyaxax
30- caso: quando as raízes da equação característica são reais e iguais (1 =
2), temos como solução geral xxxececy 11 ..
21
.
Exemplo:
1) Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de segunda
ordem com coeficientes constantes:
a) y”- y’ -2y = 0
Transformando numa equação característica, temos:
λ2 – λ – 2y = 0
01.21"
2'
, como as raízes são desiguais, temos:
xxececy
2
21..
b) y” – 2y’ = 0
Transformando numa equação característica, temos:
λ2 – 2λ = 0
02.0"
2'
, como as raízes são desiguais, temos:
x
x
eccy
xececy
2
21
2
2
0
1
.
..
c) y” – 2y’ + 3 = 0
Transformando numa equação característica, temos:
λ2 – 2λ + 3 = 0
0)].21()][.21([
.21"
.21'
ii
i
i
, como as raízes são complexas,
temos:
21,,..).21(
2
).21(
1
beacomoececy
xixi , temos
)..2(.).2cos(.21
xsenecxecyxx
BIBLIOGRAFIA
Bronson, Richard. Equações Diferenciais/ Richard Bronson; tradução
Alfredo Alves de Farias: revisão técnica Antonio Pertence Júnio, -- 2. Ed.
– Aão Paulo: Makron Books, 1994. 1. Equações Diferenciais I. Título.
(515.35).
Leighton, Walter. Equações diferenciais ordinárias/ Walter Leighton;
tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. 2a. ed. ver. e suplementada
pela 3a. ed. americana por Danilo Marcondes. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 1978. Tradução de: Ordinary differential
equations. 1. Equações diferenciais I. Título. (L539e)
GRENVILLE, W.A.B Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de
Janeiro: Atual, 1983. (517.D765e).