Estudo das Características de Assimetria da Análise de Padrões Gradientes em Matrizes Elementares

Roberto Affonso da Costa Junior, Roberto Claudino da Silva

Departamento de Matemática e Computação / DMC, Instituto de Ciências Exatas / ICE, UNIFEI, 37500-000, Itajubá, MG E-mail: rcosta62br@unifei.edu.br, claudino@unifei.edu.br

Palavras-chave: Análise de Padrões Gradientes, triangulação de Delaunay e Fragmentação Espacial Assimétrica Resumo: Análise de Padrões Gradientes (Gradient Pattern Analysis - GPA) estuda estruturas espaço-temporais e formação de padrões, trabalhando diretamente no espaço de representação das flutuações. O GPA utiliza o cálculo gradiente para associar um vetor a cada elemento. O campo vetorial formado é tratado de forma assimétrica ou simétrica. O presente estudo será aplicado somente nos vetores não simétricos, construindo triângulos vetoriais através da técnica triangulação de Delaunay e com estes obter o primeiro momento do GPA que corresponde a Fragmentação Espacial Assimétrica. Neste trabalho estudam-se as características de assimetria das flutuações na Análise de Padrões Gradientes, utilizando matrizes elementares, isto é, de dimensão 3x3, onde cada elemento representa uma intensidade com valor de 1 a 9. Espera-se, com isto, reproduzir e caracterizar os padrões das estruturas espaço-temporais e seu comportamento.

1 Introdução

O GPA foi introduzido por Rosa em 1996 [4] como uma técnica que propõe analisar, com robustez e universalidade, estruturas espaço-temporais e formação de padrões, trabalhando diretamente no espaço de representação das flutuações. As estruturas são representadas por matrizes, geralmente de grandes dimensões com valores escalares em cada elemento.

O fenômeno da formação de estruturas espaço-temporais, em condições fora do equilíbrio, tem sido investigado em abordagens experimentais e teóricas, em pesquisas sobre dinâmica de fluidos, camadas granulares oscilatórias, óptica eletrônica, materiais porosos ativos, plasmas e lasers [6]. Ferramentas teóricas para análise de séries espaço-temporais baseadas em técnicas estatísticas foram propostas, desenvolvidas e aplicadas a problemas específicos de matemática, engenharia, física, química e biologia. Quase todos os métodos baseiam-se em medidas de correlação e dimensões de escala [1] e na teoria métrica dos funcionais de Minkowski [3].

A Análise de Padrões Gradientes é uma destas técnicas [5] e, é capaz de caracterizar, com alta precisão e através de medidas singulares, diferentes regimes complexos: relaxação espaço-temporal, turbulência localizada, intermitência e desordem de fase, além de outros.

Este trabalho dividiu-se em: contextualização da teoria do GPA (2), aplicação da triangulação de Delaunay (3) nas estruturas formadas após o cálculo do gradiente e utilização de matrizes elementares (4) para caracterização na Análise de Padrões Gradientes.

2 Análise de Padrões Gradientes

Dentro do formalismo GPA, Figura 1, um campo vetorial gradiente Gt = ∇[ε(x,y)]t, composto por V vetores r, onde cada vetor ri,j, localizado na posição (i,j) do campo gradiente, caracterizado por sua norma e fase (ri,j = (r,φ)), pode ser descrito pela composição de quatro momentos gradientes: o momento gradiente de primeira ordem, g1, uma medida global da distribuição de todos os vetores; o momento gradiente de segunda ordem, g2, uma medida de diversidade de norma; o momento gradiente de terceira ordem, g3, uma medida de diversidade de fase; e o momento gradiente de quarta ordem, g4, uma medida da norma e da fase dos vetores (extraída da matriz composta por todas as normas e fases locais) [2].

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Figura 1: Momentos dos Gradientes: (a) escalar, (b) gradiente de primeira ordem, (c) gradiente

de desordem e (d) medida global da norma e da fase.

3 Aplicação da Triangulação de Delaunay

O momento g1 é obtido conjugando a Triangulação de Delaunay no ponto escalar que representa cada vetor, obtendo-se uma medida precisa das assimetrias e expresso por:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒<<

−=⇒>≥

0 3 e

0

1

1

gLLIL

LIgLI

onde L é o número de vetores assimétricos e I o número de barras de correlação gerado por uma triangulação de Delaunay tomando o ponto final de cada vetor assimétrico como vértice.

Observa-se que na aplicação da técnica de triangulação de Delaunay a geometria elementar no plano é aquela que conecta três pontos. A Figura 2 representa a construção da triangulação de Delaunay para três vetores não colineares.

Figura 2: Triângulo formado pela triangulação de Delaunay conectando três vetores gradientes.

Para esse caso, considerando a quantidade de pontos L = 3 e a quantidade de linhas que

formam a triangulação de Delaunay I = 3 e substituindo na equação, o valor de g1 é:

0,003

331

==L

LI=g −−

Esse valor nos informa que a estrutura mínima da construção do momento g1 começa em zero e por definição considerando somente os casos onde I > L. Deduz-se que o número total de linhas formada pela triangulação de Delaunay expressa em função da quantidade total de pontos é dada por: I = 3L – 6. Substituindo esse valor na equação do momento g1 tem-se:

L=

LL=g 62L63L

1

−−−

No limite, considerando o valor máximo para o polígono com maior número de lados, o valor de g1 é expresso por:

26262L1 ≈−

−∞→∞→∞→ L

lim=L

lim=glimLLL

Comprova-se assim que o momento de Fragmentação Espacial Assimétrica tem seus valores dentro dos limites de 0 a 2.

4 Características Geométricas das Matrizes Elementares Considerando as matrizes elementares, de dimensão 3 x 3, com os 9 elementos representando as intensidades escalares variando de 1 a 9. Podem-se separar essas matrizes em simétricas e assimétricas:

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Simétricas: representam simetria vetorial total, ou seja, os vetores do seu campo gradiente serão removidos (L = 0), pois não é construída uma triangulação. Na Figura 3 temos exemplos de matrizes elementares deste tipo, onde são mostrados os respectivos campos gradientes, incluindo os respectivos valores de quantidade de vetores (V) e quantidade de pontos (L). Observa-se que para esses exemplos representam-se apenas os vetores relevantes no campo gradiente, por isso a quantidade V não é necessariamente igual ao número de elementos da matriz;

Figura 3: Campos gradientes de matrizes elementares 3 x 3 com simetria total vetorial (L=0)

Assimétricas: onde não ocorre simetria vetorial total, na Figura 4 temos exemplos de

matrizes elementares deste tipo, onde também são mostrados os respectivos campos gradientes, incluindo os respectivos valores para V e L. No exemplo (a) tem-se alta simetria vetorial e uma quebra de simetria localizada devido aos valores dos elementos e13 e e31. Na comparação combinatorial entre os vetores, a partir do vetor 1, o vetor 4 será removido junto com o vetor 6, devido à simetria vetorial existente entre eles. Já nos exemplos (b) e (c) nenhum par será removido. Entretanto convém notar que o parâmetro L na distinção entre os exemplos (b) e (c) não funciona, isto é, apesar de terem campos gradientes completamente diferentes, temos L = 9 nos dois casos.

Figura 4: Campos gradientes de matrizes onde não ocorre simetria vetorial total (L≠ 0)

Para este estudo, adotou-se a matriz elementar M que apresenta um campo gradiente

conforme apresentado na Figura 5-a:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

9 8 7 6 5 4 3 2 1

M

Após a triangulação de Delaunay vista na Figura 5-b, que tem L = 9 e I = 16, o valor do momento g1

a (o subitem “a” significa que é o momento de Fragmentação Espacial Assimétrica) é igual a 0,77778.

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Figura 5: (a) Campo gradiente e (b) Triangulação de Delaunay.

O padrão de variabilidade da serie de 9 medidas em L, pode ser chamada de monotonica

crescente. Variando essa situação, isto é, aplicando perturbações no valor central da série, montamos a seguinte Tabela 1:

Matrizes M Momento g1a

{1, 2, 3; 4, 1, 6; 7, 8, 9} 0,77778 {1, 2, 3; 4, 2, 6; 7, 8, 9} 0,77778 {1, 2, 3; 4, 3, 6; 7, 8, 9} 0,77778 {1, 2, 3; 4, 4, 6; 7, 8, 9} 0,77778 {1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9} 0,77778 {1, 2, 3; 4, 6, 6; 7, 8, 9} 1,22222 {1, 2, 3; 4, 7, 6; 7, 8, 9} 1,22222 {1, 2, 3; 4, 8, 6; 7, 8, 9} 1,22222 {1, 2, 3; 4, 9, 6; 7, 8, 9} 1,22222

Tabela 1: Variação na série no seu ponto central.

As perturbações ocorridas no ponto central alteram o campo gradiente, que por sua vez altera a triangulação de Delaunay. Esses padrões de variabilidade são estritamente monotonicos. Quando ocorrida na parte superior da série o valor do momento g1

a altera-se, quando ocorrida na parte inferior o seu valor é preservado.

5 Conclusões

O estudo mostra que as matrizes elementares representam de forma consistente as matrizes

espaço-tempo e as caracterizam. Determinou-se matematicamente que os valores do momento g1 estão entre 0 e 2 e que a matriz elementar M adotada apresenta padrões de variabilidade estritamente monotonicos. Outro resultado importante foi perceber que as propriedades do momento g1 interferem no regime assintótico, e podem gerar novos estudos deste tipo de comportamento e assim apresentar novas caracterizações.

Referências [1] A. L. Barabási. e H. E. Stanley, Fractals Concepts in Surface Growth, Cambridge

University Press, Cambridge, 1995. [2] R. A. Costa-Junior, R. R. Rosa, F. M. Ramos, Desenvolvimento e Aplicações de um

Ambiente Computacional para a Análise de Padrões-Gradientes,TESE DE DOUTORADO, INPE, 2004.

[3] M. Hütter, Heterogeneity of colloidal particle networks analyzed by means of Minkowski functionals. Physical Review E, v. 68, n. 031404, p. 1-10, Set. 2003.

[4] R. R. Rosa, H. S. Sawant, J. A. Valdivia and A. S. Sharma, Spatio-Temporal Dynamics of Fine Structures in a Coronal Active Region, Proc. 6th Brazilian Plasma Astrophysics Workshop, Ed. SBF/INPE, pp. 166-169, 1996.

[5] R. R. Rosa, A. S. Sharma e Valdivia J.A., Characterization of asymmetric fragmentation patterns in spatially extended systems, Int. J. of Modern Physics C, Word Scientific Publishing Company, 10 (1), 147-163, 1999.

[6] D. Walgraef, Spatio-Temporal Pattern Formation With Examples from Physics, Chemistry and Materials Science. New York: Springer-Verlag New York, inc. 1996.

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