UFOP - CETEC - UEMG

REDEMATREDE TEMTICA EM ENGENHARIA DE MATERIAIS

UFOP CETEC UEMG

"Estudo da Granulometria em Imagens via a Modelagem das Freqncias Espaciais "

Autora: Elisngela Ftima de Oliveira. Orientador: Luiz de Siqueira Martins Filho.

Co-orientador: Romuel F. Machado.

Fevereiro de 2007

UFOP - CETEC - UEMG

REDEMATREDE TEMTICA EM ENGENHARIA DE MATERIAIS

UFOP CETEC UEMG

Elisngela Ftima de Oliveira

" Estudo da Granulometria em Imagens via a Modelagem das Freqncias Espaciais "

Dissertao de Mestrado apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia de Materiais da REDEMAT, como parte integrante dos requisitos para a obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Materiais.

rea de concentrao: Anlise e Seleo de Materiais. Orientador: Prof. Luiz de Siqueira Martins Filho.

Ouro Preto, fevereiro de 2007

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minha famlia, meu namorado, e a todos que estiveram presentes

neste momento to importante da minha vida.

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Agradecimentos

A realizao deste trabalho no seria possvel sem as benos da Satssima Trindade, de Nossa Senhora e sem a ajuda de diversas pessoas s quais registro a minha homenagem:

Aos meus pais e amigos pelo incentivo em todos os momentos da minha vida.

Ao meu orientador Luiz Martins e ao co-orientador Romuel F. Machado, que me guiaram no decorrer do trabalho, ensinando a superar os obstculos e a manter meu ideal.

Ao "professor" Adilson Jorge pela inspirao e incentivo e a todos os demais colegas da Samarco Minerao SA.

A todos que contriburam com observaes, sugestes e correes no decorrer deste estudo.

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Sumrio

1. Introduo ............................................................................................................................1 1.1. Motivao...........................................................................................................................1

1.2. Objetivos e Metodologia....................................................................................................2 2. A imagem Digital ................................................................................................................4

2.1 Classificao da imagem digital ....................................................................................4 2.2 Processamento de imagens digitais................................................................................6 2.2.1 Histrico...................................................................................................................6 2.2.2 Etapas do processamento de imagens.......................................................................8 3. Proposta de anlise de imagens: wavelets.............................................................................17 3.1 Histrico.........................................................................................................................17 3.2 Conceito e propriedades da funo wavelet ..................................................................19 3.3 A escolha da Transformada............................................................................................21 3.4 Transformao de vetores entre os espaos tempo-freqncia.....................................23 3.4.1 Resoluo tempo-freqncia...................................................................................24 3.5 Transformada wavelet e suas aplicaes.......................................................................26 3.5.1 Tipos de transformada wavelet................................................................................28 3.6 Anlise e Sntese na multi-resoluo e o algoritmo piramidal......................................31 3.7 Banco de Filtros.............................................................................................................35 3.7.1 Caso unidimensional...............................................................................................35 3.7.2 Caso bidimensional.................................................................................................36 3.7.3 A reconstruo perfeita do sinal..............................................................................40 4 Transformada wavelet discreta em duas dimenses.............................................................41 4.1 Filtragem em sub-bandas...............................................................................................42 4.2 A energia da transformada wavelet................................................................................47 4.3 A escolha da funo wavelet..........................................................................................48 5 Metodologia experimental e hipteses..................................................................................51 5.1 Desenvolvimento experimental......................................................................................55 5.2 Estudo de Caso: Imagens reais de fragmentos de rochas...............................................61 6 Concluses.............................................................................................................................64 6.1 Sugestes para trabalhos futuros........................................................................................66 7. Referncias bibliogrficas.....................................................................................................67

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Anexos..................................................................................................................................71

Anexo A: Famlias de wavelets ...........................................................................................72 Anexo B: Exemplo de clculo da decomposio unidimensional........................................78 Anexo C: Exemplo de reconstruo perfeita do sinal..........................................................80 Anexo D: Procedimentos no ambiente Matlab para o clculo das transformadas wavelet e das energias associadas..............................................................................................83 Anexo E:Procedimentos no ambiente Matlab para o clculo das energias dos coeficientes wavelet......................................................................................................................................85

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Lista de Figuras

Figura 2.1: Representao do modelo de cores RGB em um slido tridimensional............. 06 Figura 2.2: Passos fundamentais para o processamento de imagens..................................... 08 Figura 2.3: Exemplo de histograma de uma imagem............................................................ 15 Figura 2.4: Exemplo de aplicao da tcnica de segmentao............................................. 16 Figura 3.5: Estratificao da imagem.................................................................................... 20 Figura 3.6: Localizao do sinal em tempo-freqncia........................................................ 21 Figura 3.7: Comportamento do sinal em tempo freqncia.................................................. 22 Figura 3.8: Transformao dos vetores entre os espaos tempo e freqncia...................... 23 Figura 3.9: Introduo da transformada tempo-freqncia................................................... 24 Figura 3.10: Cobertura do espao tempo-freqncia usando a transformada de Fourier com janelas............................................................................................................................

25 Figura 3.11: Banco de filtros com largura de banda constante em relao freqncia central..................................................................................................

26 Figura 3.12:Esquema de operaes de Sntese e Anlise...................................................... 34 Figura 3.13: Implementao da transformada wavelet baseada na filtragem do sinal.. 35 Figura 3.14: Diviso do espectro de um sinal em sub-bandas usando banco de filtros......... 36 Figura 3.15: Processo de decomposio do sinal...................................................... 37 Figura 3.16: Processo de reconstruo do sinal......................................................... 37 Figura 3.17: Obteno dos coeficientes aps a reconstruo do sinal......................... 38

Figura 3.18: Banco de sntese de 1 estgio.............................................................. 39

Figura 3.19: Banco de filtros de trs estgios............................................................ 39 Figura 3.20: Reconstruo perfeita do sinal.............................................................. 40 Figura 4.21: Visualizao da aplicao de filtros passa baixa na transformada wavelet....... 42 Figura 4.22: Representao dos coeficientes bidimensionais................................................ 43 Figura 4.23: Representao da parte suave e detalhes da imagem........................................ 43 Figura 4.24: Representao dos coeficientes bidimensionais em mosaicos.......................... 44 Figura 4.25: Tipos de decomposio bidimensional.............................................................. 46 Figura 4.26: Exemplo de distribuio de energia da transformada discreta wavelet de Daubechies 4, da imagem Lena.............................................................................................

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Figura 5.27: Imagens de esferas simuladas de diferentes dimetros..................................... 52 Figura 5.28: Diagrama de imagens obtidas aps a aplicao de filtros................................. 54

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Figura 5.29: Exemplo de imagens de esferas reais................................................................ 55 Figura 5.30: Exemplo de decomposio da imagem real no nvel 1..................................... 55 Figura 5.31: Exemplo de decomposio da imagem real no nvel 2..................................... 56 Figura 5.32: Grfico de correlao entre dimetro das esferas e energia dos detalhes horizontais e verticais.............................................................................................

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Figura 5.33: Grfico de correlao energia dos detalhes x dimetro das esferas simuladas................................................................................................................

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Figura 5.34: Variao dos dimetros simulados e estimados via o clculo da taxa de energia....................................................................................................................

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Figura 5.35: Grfico de correlao entre a energia dos detalhes e dimetro das esferas reais...........................................................................................................

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Figura 5.36: Exemplos de imagens de fragmentos de rochas............................................... 61 A.3: Wavelet de Haar... 73

A. A.4: Wavelet de Haar em vrios nveis de resoluo................................................ 73 A.5: Wavelet de Daubechies na escala 3................................................................. 74 A.6: Bases Coiflets 75 A.7: Wavelet de Meyer.. 76

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Resumo

Este trabalho examina a anlise de granulometria em objetos baseada na modelagem das freqncias espaciais via a utilizao das transformadas wavelets.

Em contraste com as tcnicas comumente empregadas para a realizao de estudos dessa natureza, em geral baseadas na aplicao da transformada de Fourier e nas tcnicas de segmentao, em especial, de deteco de bordas, o presente estudo cria um modelo entre o padro de freqncias espaciais e a granulometria. O intuito otimizar as tcnicas clssicas para determinao da variao da granulometria com a minimizao dos erros oriundos do processamento de imagens e obter uma melhor performance nos resultados.

A motivao desse estudo foi a percepo de que os mtodos at ento empregados so adequados para a medio de objetos de geometria bem definida, mas falham para a granulometria em funo diversos fatores, como rudos na imagem, influncia de colorao e de texturas. Alm disto, a segmentao consegue, sob certo aspecto, validar um nmero reduzido de objetos o que pode descaracterizar ou pelo menos diminuir a amostra, e como conseqncia gera a propagao de erros no modelo. Tais erros tendem a se tornarem mais significativos quando trata-se do estudo de materiais em pilhas ou sobre transportadores, situao em que h a influncia da sobreposio de objetos. O resultado ento a identificao de "partes" de objetos como se fossem inteiros, demandando operaes complicadas para validao e/ou correes nos resultados por algum tipo de inferncia estatstica.

Nesse contexto, o objetivo deste trabalho verificar a possibilidade de se mensurar a granulometria em imagens atravs da determinao dos padres de freqncias espaciais, como ferramenta auxiliar no controle de processo industrial para um monitoramento contnuo e digital. Isto ser avaliado adotando como parmetro estatstico a anlise de correlao entre um padro de freqncias espaciais e a granulometria conhecida.

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Abstract

This study examines the particle size analysis in objects based in the space frequencies modeling using the waveletscoefficients.

Contrasting with the techniques normally used for the realization of this kind of study, in general based in the application of Fouriers coefficients and segmentation techniques (in special the edge detection one), the present study creates a model between the space frequencies standard and the granulometry. The intention is to optimize the classic techniques for the determination of the granulometry variation with the reduction of errors derived from the images processing in order to obtain better results. The motivation of this study was the perception that the methods used until then are adjusted for the measurement of objects that have a well defined geometry, but fails for the particle size analysis due to diverse factors as image noise and influence of coloration and texture. Moreover, the segmentation validates only a reduced number of objects that can deprive the characteristics or at least reduce the sample, and as consequence there is an error propagation generation in the model. Such errors become more significant when the study is about materials in stacks or on transporters, situations where there are the influence of object overlapping. The result then is the identification of objects parts as if they were integer, demanding complicated operations for validation and/or corrections in the results through some type of statistics inference.

In this context, the purpose of this study is to verify if its possible to measure the granulometry in images thought the determination of space frequencies standard, as an auxiliary tool in the control of the industrial process for a continuous and digital monitoring. This will be evaluated adopting as statistical parameter the correlation analysis between the space frequencies standard and the known granulometry.

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Captulo 1: Introduo ao estudo proposto, motivao deste trabalho, apresentao de paradigmas e contribuio original do trabalho.

1. Introduo

As tcnicas de anlise de imagem so empregadas, desde meados da dcada de oitenta na minerao, em aplicaes de monitoramento das dimenses do minrio conduzido atravs das correias transportadoras e identificao de pedras preciosas, extrao de informaes referentes granulometria e inspeo das etapas de britagem, classificao e beneficiamento do material. Entretanto, os mtodos tradicionais para o estudo da granulometria baseiam-se no processamento de imagens por meio das tcnicas de segmentao, que consistem em um processo que particiona o domnio espacial de uma imagem em subconjuntos mutuamente exclusivos, denominados de regies, onde cada uma destas uniforme e homognea com respeito a algumas propriedades, como tom e textura, e cujos valores de propriedades diferem em alguns aspectos e significados das propriedades de cada regio em questo (Kubia,1999). sabido que o estudo da granulometria de materiais naturais ou processos de beneficiamento possui certas limitaes por se basearem na tcnica de segmentao de imagens. Esse fato o torna susceptvel falhas, tais como: a presena de rudos na imagem, influncia de colorao e texturas. Isto se torna mais relevante ao se considerar materiais em pilhas ou sobre transportadores, uma vez que nestes casos, existe a influncia da sobreposio de objetos e a segregao por tamanho, induzindo identificao de partes de objetos como o objeto completo.

1.1 Motivao para o estudo

O interesse na rea de anlise de sinais tem sido muito acentuado nas ltimas dcadas devido ao crescente aumento de aplicaes nas mais diversas reas do conhecimento humano, como medicina, engenharia e economia.

Em relao aplicao na indstria mineral, as aplicaes geralmente consistem no emprego da anlise imagem em tempo real para o controle do processo, com sistemas de medio e monitoramento on-line despertou minha ateno para o assunto.

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Alm da finalidade de inspeo, como por exemplo, o monitoramento das dimenses do minrio (na forma de fragmentos ou de pelotas) atravs de correias transportadoras, um sistema de controle atravs da viso automatizada tambm pode ser empregado para controlar os equipamentos britadores e as peneiras de classificao para adequar o minrio etapa seguinte do processo. E isto alia o controle de processo anlise de imagens.

Nesse contexto, o convvio na vida profissional com sistemas dessa natureza aliado ao potencial de aplicaes da viso computacional motivou o desenvolvimento do presente estudo.

1.2 Objetivos e Metodologia

Este estudo prope um mtodo de anlise de imagem para a granulometria que no se baseia na individualizao de objetos, mas sim, no tratamento das imagens atravs da transformao da informao contida nas mesmas. Portanto, gerada em pixels, para o domnio das freqncias espaciais.

O objetivo geral deste trabalho desenvolver o estudo da anlise de granulometria em imagens digitais atravs da determinao dos padres de freqncias espaciais. Para tal ser adotada a tcnica de anlise via wavelets. (Mallat,1999)

Em linhas gerais, o experimento realizado consistir nas seguintes etapas:

Implementao do algoritmo simulador;

Obteno de imagens de granulometria conhecida para simulao;

Quantificao com o uso das transformadas wavelet das freqncias espaciais presentes nas imagens;

Modelagem do sistema;

Realizao de testes estatsticos de correlao para verificar a resposta do modelo com o conjunto de imagens para a validao.

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Para tal, este trabalho est dividido nas seguintes partes:

Captulo 1: Introduo ao estudo proposto, motivao deste trabalho, colocao dos paradigmas e contribuio original do trabalho.

Captulo 2: Descrio do conceito de imagem digital e processamento de imagens. Fundamentao terica das tcnicas empregadas e fases do processamento.

Captulo 3: Apresentao e fundamentao terica sobre o estudo das wavelets. Mostra-se a necessidade e a atualidade de seu estudo e relatam-se diversas reas onde o conceito de wavelet se aplica. Apresentam-se vrias abordagens citadas na literatura relacionadas comparao de mtodos de quantificao da granulometria empregadas: tcnicas baseadas na segmentao de imagens (via a deteco de bordas) e na aplicao da Transformada de Fourier. Apresenta-se ainda, uma introduo sobre a transformada wavelet e relata-se um pouco sobre seu desenvolvimento histrico. Apresenta-se o conceito de Anlise Tempo Freqncia, anlise multi-resoluo e a forma como a transformada wavelet se relaciona com esse conceito. Alm disto, menciona-se tambm outras abordagens que relacionam a transformada wavelet com esquemas de filtragem.

Captulo 4: Demonstrao da aplicao da transformada wavelet em duas dimenses. Apresenta-se o referencial terico matemtico para as etapas da anlise da imagem, aps a aplicao dos bancos de filtros e os relaciona s sub-rotinas implementadas computacionalmente.

Captulo 5: Desenvolvimento de um modelo experimental que implementa a transformada wavelet para o estudo da anlise de granulometria em imagens digitais atravs da determinao dos padres de freqncias espaciais. Apresenta-se e discute-se os resultados obtidos.

Captulo 6: Concluses do estudo e sugestes de alternativas e possibilidades de trabalhos futuros.

Captulo 7: Anexos.

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Captulo 2: Descrio do conceito de imagem digital e processamento de imagens. Fundamentao terica das tcnicas empregadas e fases do processamento.

2. A imagem digital

Neste captulo ser apresentado conceito de imagem digital e processamento de imagens, bem como abordar as tcnicas empregadas e fases do processamento da imagem.

Conceito:

A imagem definida como o resultado de estmulos luminosos produzidos por um suporte bidimensional. Esta definio est inserida no contexto fsico do nosso universo. Entretanto, em se tratando do mundo digital, a imagem pode ser definida como um sinal bidimensional, que recebe a seguinte definio: Uma imagem digital uma imagem f(x,y) discretizada tanto em coordenadas espaciais quanto em brilho (Gonzalez,2000). Outra definio adotada nesse contexto define a imagem como uma projeo de uma cena em um plano. Em termos prticos, para ser manipulada por um computador a imagem precisa estar em uma forma numrica. Esta converso denominada digitalizao e o seu produto reconhecido como uma imagem digital. A imagem digital pode ser ento considerada como sendo uma matriz cujos ndices de linhas e de colunas identificam um ponto na imagem, e o correspondente valor do elemento da matriz digital recebe a denominao de elementos da imagem, elementos da figura, ou simplesmente, pixels. Parmetros como a resoluo e a qualidade de uma imagem digital so mensurados pela quantidade de pixels existentes na mesma. Quanto mais pixels contiver a imagem, melhor a sua resoluo e, por conseguinte, sua qualidade.

2.1. Classificao da imagem digital

Em termos de classificao, a imagem digital se subdivide em imagem monocromtica e imagens coloridas.

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Imagem Monocromtica

As imagens monocromticas so imagens digitais onde cada pixel possui representao em apenas um canal de cor, ou seja, refere-se funo bidimensional de intensidade de luz f(x,y), onde x e y expressam as coordenadas espaciais e o valor de f em qualquer ponto (x,y) proporcional ao brilho da imagem naquele ponto.

Neste sistema denominado Sistema de Tons de Cinza, torna-se necessrio conhecer trs valores para cada pixel: x, y e t, onde x e y correspondem coordenada espacial do pixel e t corresponde ao tom de cinza do pixel. Este elemento, por sua vez, compreende valores entre a faixa de 0 (preto) a 255 (branco). J o Sistema Binrio considerado uma simplificao do Sistema de Tons de Cinza, pois neste s existe a possibilidade de dois valores: 0 (zero) correspondendo ao preto e 1 (um) para o branco. Apesar de sua simplicidade, tal sistema destaca-se devido sua ampla aplicao nas propriedades dos pixels.

Imagem Colorida

Para as imagens coloridas, o modelo mais empregado baseia-se na representao dos pixels em trs canais de cores visveis (Red, Blue e Green), constituindo o modelo RGB (Gomes, 1994).

Criado com base na natureza do olho humano, em que todas as cores so vistas como uma combinao das chamadas cores primrias: Vermelho (Red), Verde (Green) e Azul (Blue). Este modelo se baseia em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional onde associa-se a cada eixo uma das trs cores primrias. Cada cor corresponde a um ponto nesse espao, sendo portanto representada por trs coordenadas: x, y e z que podem assumir cada uma valores inteiros entre 0 e 255. As cores primrias, vermelho, verde e azul so representadas pelo pontos (255,0,0), (0,255,0) e (0,0,255) respectivamente e as cores secundrias que se originam de combinaes de duas cores primrias, so representadas pelos pontos (255,255,0) (amarelo), (255,0,255) (magenta) e (0,255,255) (ciano).

A linha de cinza representada pelo segmento de reta que une a origem que representa o preto ao ponto (255,255,255) que representa o branco. Com isso, a representao para o modelo RGB est baseada em um slido tridimensional, em que cada cor est associada a um ponto em um sistema de coordenadas 3-D ortogonais.

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Figura 2.1: Representao do modelo de cores RGB em um slido tridimensional. Fonte: Adaptado de Gonzalez, 2000.

2.2. Processamento de imagens digitais

2.2.1. Histrico

A aplicao das tcnicas de processamento de imagens se deu no incio do sculo XX com o envio de imagens por meio de cabos submarinos entre Londres e Nova Iorque para a publicao em jornais. As imagens eram codificadas no transmissor e decodificadas no receptor. Entretanto, havia a necessidade do melhoramento da qualidade da imagem no receptor. Isto s foi possvel graas ao advento dos computadores de grande porte no perodo da corrida espacial com a necessidade da anlise e melhoria das imagens de televiso enviadas por sondas espaciais. Nesta poca, as tcnicas de processamento usadas serviram de base para o realce e a restaurao de imagens espaciais.

Pode-se atribuir o interesse em mtodos de processamento de imagens digitais como decorrncia de duas principais reas de aplicao: melhoria da informao visual para a interpretao humana e processamento de dados de cenas para percepo automtica atravs de mquinas. (Gonzalez, 2000)

(255,0,0) (255,255,0)

(0,255,0) (0,0,0)

(255,0,255)

(0,0,255)

(0,255,255)

(255,255,255)

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Atualmente, o processamento de imagens possui uma vasta gama de aplicaes nas mais diversas reas do conhecimento humano, como ferramenta de grande utilidade para a extrao, anlise e interpretao de informaes.

Na indstria, as tcnicas de processamento de imagens apresentam uma vasta aplicabilidade, constituindo solues disponveis no mercado, especificamente para cada segmento. Exemplos prticos disto so os sistemas de monitoramento da qualidade na indstria grfica, sistemas de inspeo automatizada na indstria txtil, sistemas de viso automatizada na indstria siderrgica e, principalmente, no setor automobilstico, minerao e robtica, dentre outras reas. Temos ainda aplicaes na rea de percepo automtica por mquinas, em que sobressaem as tcnicas de processamento automtico de impresses digitais, o reconhecimento automtico dos mais diversos caracteres, a viso computacional e o processamento automtico de imagens de satlites para reconhecimento de queimadas.

O processamento de imagens digitais baseia-se em informaes e no modo de processar do sistema visual humano e envolve uma srie de conceitos que abrangem as transformadas das imagens e as tcnicas de realce de imagem, tais como:

a utilizao de mscara e de filtragem, visando o processamento da imagem de modo que se obtenha um resultado mais apropriado para uma aplicao em comparao com a imagem original;

tcnicas de restaurao interativa e interpolao dos nveis de cinza para reconstruir ou recuperar imagens degradadas;

compresso de imagens, como compresso livre de erros e com perdas, cujo propsito reduzir a quantidade de dados necessria para representar uma imagem digital;

segmentao de imagens, como deteco de bordas, de pontos, de linhas e descontinuidade, cujo propsito a diviso da imagem em partes para a anlise;

reconhecimento e interpretao de imagens, com o uso de tcnicas de anlise baseadas em conhecimento e em redes neurais, permitindo-se detectar e reconhecer padres e caractersticas da imagem.

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De modo geral, a utilizao de uma imagem como fonte geradora de informaes envolve os seguintes tpicos apresentados na figura esquemtica abaixo:

Figura 2.2.: Passos fundamentais para o processamento de imagens. Fonte: Adaptado de Gonzalez, 2000.

2.2.2 Etapas do processamento de imagens:

Aquisio de Imagens:

Nesta etapa h a digitalizao da imagem a ser estudada. Procura-se determinar a imagem propriamente dita, para extrair as mdias e os desvios-padro para cada pixel que caracteriza a mesma.

Representao de Imagens Digitais:

O processo de formao de imagens em cmeras digitais, provm de uma srie de fenmenos foto-eltricos. Entretanto, aps o procedimento de digitalizao das imagens, ou seja, alguma informao perdida, uma vez que h uma amostragem espacial e de tonalizao.

A imagem ento representada por coordenadas espaciais, cada qual denominada de ponto ou pixel. Cada pixel, ainda pode ser representado com uma resoluo qualquer, como por exemplo, de 8 bits correspondendo a uma gama de 0 a

Pr- processamento

Aplicao da Transformada

Aquisio de imagens

Base de Conhecimento Reconhecimento

e Interpretao Resultado

Domnio do problema

Representao e descrio

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255;16 bits 0 a 65535. Para o caso de uma imagem colorida, cada pixel contm trs valores de tonalidade que combinados formam a colorao do mesmo.

Pr-processamento

O pr-processamento consiste de uma srie de tcnicas com o objetivo de melhorar o aspecto da imagem para o processamento posterior.

Nesta etapa devem ser corrigidas quaisquer distores ocasionadas durante a fase de captura da imagem como, por exemplo, distores geomtricas causadas pelas lentes ou pela cmera, variaes na iluminao entre outras interferncias, ou seja, nesta etapa que a imagem adequada ao algoritmo responsvel por realizar a extrao das informaes necessrias para a anlise em questo. O realce dos detalhes da imagem tambm deve ser abordado nesta fase, com o uso de tcnicas para a eliminao de partes indesejadas, ajustes de brilho, retirada de partes insignificantes, dentre outras, de modo a obter minuciosamente as caractersticas do que se deseja medir ou verificar. Geralmente, as tcnicas de pr-processamento so amplamente empregadas para a remoo de rudos por meio do uso de filtros.

Representao e descrio

Nesta etapa, procura-se extrair caractersticas que resultem em alguma informao quantitativa de interesse na imagem, necessria para a tomada de deciso. Pode-se realizar a discriminao entre classes e objetos, efetuar o reconhecimento de caracteres entre outras possibilidades.

Reconhecimento e interpretao

O reconhecimento atribui um rtulo a um objeto baseado na informao fornecida pelo seu descritor. J a interpretao envolve a atribuio de significado a um conjunto de objetos reconhecidos.

Segmentao

A segmentao o processo no qual a partir de uma imagem adquirida (digitalizada) e pr-processada gerado o conjunto de primitivas ou segmentos

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significativos que contm a informao. Em geral, as primitivas usadas so os contornos e regies. (Kubia, 1999).

O conceito de segmentao tambm pode ser entendido como a atividade que consiste em particionar a imagem em regies de pixels relevantes para uma dada aplicao em objetos e fundo. Embora a tcnica de segmentao represente uma das principais etapas na maioria das aplicaes, a mesma tambm representa um dos maiores desafios em processamento de imagens. A tcnica em si consiste na realizao de duas atividades bsicas: a identificao do objeto e o seu delineamento.

A identificao indica a localizao aproximada do objeto e o delineamento extrai sua extenso na imagem. Seres humanos executam a primeira tarefa com relativa facilidade, mas o computador capaz de executar a segunda com muito mais preciso que ns humanos. A dificuldade da mquina na identificao de objetos se deve a falta de descrio global dos objetos na forma de um modelo matemtico, j que as decises automticas usam normalmente propriedades locais extradas em torno dos pixels.

Na tentativa de minimizar esses efeitos emprega-se juntamente com a segmentao tcnicas capazes de extrair informao a partir de uma imagem, como a deteco de pontos, deteco de linhas, deteco de bordas, operadores gradiente, laplaciano, Transformada de Hough, Limiarizao Simples, Limiarizao Adaptativa, Crescimento de Regies e Watershed. Considerando-se o estudo proposto, sero apresentadas as tcnicas de Limiarizao simples, Deteco de Bordas e Limiarizao Adaptativa. Devido natureza deste trabalho, uma maior nfase ser dada na apresentao do mtodo tradicional de segmentao dos contornos pela deteco de bordas.

Por ser considerada a parte mais complexa de um sistema de processamento de imagens, existem vrias subdivises dos tipos de segmentao: segmentao por regio, segmentao por textura e a segmentao por contorno. A escolha da mais apropriada para cada situao depende da caracterstica do problema e dos objetivos especficos. Existem vrias tcnicas de segmentao de imagens, dentre as quais podemos citar as tcnicas por deteco de descontinuidades, por regio ou atravs de limiar (threshold). Ainda temos tcnicas mais avanadas como a utilizao de redes neurais artificiais.

As tcnicas por deteco de descontinuidades procuram na imagem regies em que houve uma abrupta mudana no nvel de cinza. O meio mais comum de verificar descontinuidades a utilizao da operao de filtragem.

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A filtragem uma transformao da imagem pixel a pixel, que no depende apenas do nvel de cinza de um determinado pixel, mas tambm do valor dos nveis de cinza dos pixels vizinhos na imagem original. A aplicao da mscara, que contm os pesos de contribuio de cada pixel, com centro na posio (x,y), sendo x o nmero de uma dada linha e y o nmero de uma dada coluna da imagem, consiste no clculo do valor do pixel na posio (x,y) que depende do valor do pixel na posio, dos pixels vizinhos e dos pesos da mscara, conforme a equao:

i

n

iiZR

=

=

1 (2.1)

onde R o novo valor do pixel, i o coeficiente da mscara, Zi o nvel de cinza da imagem original e n a quantidade de elementos da mscara. Ainda necessrio que o valor resultante seja maior que um determinado limiar para ser considerada uma descontinuidade. Quanto maior for o valor deste limiar, menor a quantidade de descontinuidades encontradas na imagem. Pequenas variaes de tons de cinza so comuns em imagens reais.

Segmentao por regies

Buscam identificar na imagem regies com uma diferena nos nveis de cinza maiores que um determinado limiar. Destaca-se o mtodo de crescimento de regies.

Crescimento de regies

Dentro do mtodo de crescimento de regio temos o crescimento segundo a varredura e o crescimento em todas as direes. No crescimento segundo a varredura, uma linha da imagem percorrida por vez. O teste de homogeneidade realizado entre o pixel que est sendo pesquisado e seus vizinhos j anteriormente rotulados. Caso nenhuma regio satisfaa a condio, uma nova regio criada. Caso um dos pixels vizinhos pertena a esta regio, ento os vizinhos deste pixel so pesquisados, at no haver mais possibilidade de crescimento. Este processo repetido at no haver mais pixels que no estejam rotulados.

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Segmentao por contornos

Um objeto pode ser entendido como uma regio pertencente a um contorno. Assim, para distingui-lo faz-se a deteco de bordas e constri-se um contorno a partir delas. Na prtica, o grande problema a presena de rudo na imagem e o fato de as fronteiras identificadas poderem ser fechadas ou no. Nesse sentido, uma borda pode ser entendida como um conjunto de pixels em torno de uma fronteira.

Deteco de Bordas

A viso computacional envolve a identificao e classificao de objetos em uma imagem. Desta forma a deteco de bordas uma ferramenta essencial no processo de anlise de imagens. Uma definio intuitiva do conceito de borda definida como: borda o contorno (uma linha fechada formada pelas bordas de um objeto) entre um objeto e o fundo indicando o limite entre objetos sobrepostos.

Uma definio mais terica define as bordas como picos da magnitude do gradiente, ou seja, so variaes abruptas que ocorrem ao longo de curvas baseadas nos valores do gradiente da imagem. Assim, as bordas so regies da imagem onde ocorre uma mudana de intensidade em um certo intervalo do espao, em uma certa direo. E, isto corresponde a regies de alta derivada espacial, que contm alta freqncia espacial. (Wangenheim, 2003)

Como as propriedades dos objetos, tais como as caractersticas geomtricas e fsicas, podem ser mensuradas a partir das tcnicas de anlise de imagem torna-se possvel detectar e extrair informaes dos objetos, muitas tcnicas de processamento de imagens so utilizadas, dentre elas a deteco de bordas.

A idia detectar as bordas atravs das variaes dos tons de cinza na imagem, de modo a diferenciar a imagem e criar contrastes. A sua caracterizao baseia-se quase sempre na utilizao de filtros derivativos, ou seja, mscaras convolucionadas com a imagem original. As tcnicas de deteco de bordas empregam a aplicao de um operador diferencial local. O gradiente G(x,y) e o Laplaciano L(x,y), operadores de primeira e segunda ordem podem ser utilizados para realar o contraste, bem como utilizar filtros para tal, como por exemplo os filtros passa-faixa.

O procedimento adotado para contornar esse fato empregar a tcnica de suavizao da imagem, antes de executar a deteco das bordas propriamente dita.

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Contudo, existem efeitos inoportunos ligados suavizao, ou seja, perda de informao e deslocamento de estruturas de feies relevantes na imagem. Alm disso, existem diferenas entre as propriedades dos operadores diferenciais comumente utilizados, ocasionando bordas diferentes. Logo, difcil formular um algoritmo de deteco de bordas que possua um bom desempenho em diferenciados contextos e capture os requisitos necessrios aos estgios subseqentes de processamento.

Entretanto, ao diferenciar a imagem todas as variaes dos nveis de cinza so detectadas e, por conseqncia, detecta-se tambm bordas denominadas esprias, que constitui uma forma indesejvel de variao.

Dependendo do fim a que se destina, a deteco de bordas pode ser implementada como um fim ou como um pr-processamento para passos subseqentes.

De qualquer forma, para que sejam obtidos os resultados desejados, necessrio que a estratgia de deteco de bordas seja eficiente e confivel. Conseqentemente, no tocante ao processamento de imagem digital, uma variedade de detectores de bordas tm sido desenvolvidos visando diferentes propsitos, com formulaes matemticas diferenciadas e com propriedades algortmicas distintas.

Operador Gradiente

O gradiente um operador til na segmentao de bordas, e por isso ser mostrado.

O gradiente de uma imagem f(x, y) na posio (x, y) dado pelo vetor:

(2.2)

Na deteco de bordas importante analisar o gradiente de forma separada em magnitude e ngulo, sendo:

(2.3)

, , podendo ser aproximado por yx GGf += . (2.4)

=

=

yfx

f

GGf

y

x

[ ]22 yx GGf +=

( )

=

x

y

GG

yx 1tan,

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A implementao do operador pode ser feita de forma digital de diferentes formas, sendo uma delas os operadores de Sobel, dados pelas mscaras:

(a) (b) Sendo a mscara a utilizada no cmputo de Gx e b no cmputo de Gy.

Mtodo de Canny:

O mtodo de Canny consiste em efetuar o processo de deteco de bordas a partir de critrios de quantificao de desempenho de operadores de bordas conhecidos como os critrios de deteco e de localizao. Em seguida, Canny aproxima o operador timo pela primeira derivada da funo Gaussiana. Aliado a esse operador props-se tambm a supresso de pixels que no forem mximos locais na direo transversal borda. A limiarizao adaptativa tambm empregada nesse mtodo como forma de eliminar a fragmentao dos contornos das bordas.

A desvantagem desse mtodo consiste em se obter bordas alm das estritamente necessrias para a extrao das caractersticas das regies que se queira analisar. Uma observao importante que para o processo de reconhecimento de objetos atravs da anlise das bordas, o principal objetivo no encontrar o maior nmero possvel de contornos, mas sim os melhores e que contenham a informao mais importante para o estudo.

Limiarizao Simples ou Thresholding

a tcnica mais simples de segmentao. Basicamente, escolhido em uma imagem em tons de cinza, um valor de tom de cinza que melhor caracterize a separao entre duas ou mais regies com tons de cinza distintos, separando os objetos de fundo. A partir da obtido um diagrama de tons da imagem, atravs do seu histograma. Baseado neste histograma deve ser realizada a escolha de um limiar como um valor da regio de vale no histograma. Este limiar nada mais que um valor que ajuste o modelo gerado pela imagem ao histograma da prpria imagem satisfatoriamente, ou seja, onde a probabilidade de se classificar erroneamente um

121000121

101202101

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pixel do objeto como fundo seja mnima, assim como a probabilidade de se classificar erroneamente um pixel do fundo como objeto tambm seja mnima.

notvel que, em geral, se o histograma apresenta os picos altos, estreitos, simtricos e separados por vales profundos, tem-se a escolha de um limiar plenamente satisfatrio para a imagem em questo.

Figura 2.3: Exemplo de histograma de uma imagem.

Assim, conhecido um limiar T, uma imagem g(x, y) pode ser formada a partir da seguinte regra:

>

=

TyxfTyxf

se

seyxg

,

,

01

, (3.5)

Sendo que, pixels rotulados como 1 correspondem ao(s) objeto(s), enquanto os com 0 correspondem ao fundo da imagem.

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A tcnica pode era subdividida em quatro fases, conforme ilustrao abaixo:

Fase 1: Captura da Imagem Fase 2: Separao imagem de fundo e objetos

Fase 3: Tratamento da imagem Fase 4: Extrao e dilatao dos objetos

Figura 2.4: Exemplo de aplicao da tcnica de segmentao Fonte: Paiva ,2004.

Limiarizao Adaptativa

Como o prprio nome sugere, o mtodo de limiarizao adaptativa possui o mesmo princpio da limiarizao mencionado anteriormente, porm o clculo do limiar no realizado de forma nica. Isto porque neste mtodo h uma diviso da imagem em mxn sub-imagens, e a partir destas sub-imagens tem-se o clculo de um limiar respectivo a cada uma delas. A idia bsica eliminar sub-imagens que possuam histogramas bimodais, ou seja, histogramas que apresentem dois picos.

Como a principal desvantagem do mtodo, pode-se mencionar a segmentao excessiva e conseqente perda de informaes.

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Captulo 3: O estudo das wavelets: conceitos, caracterizao e fundamentao terica.

3. Proposta de anlise de imagens: wavelets

Neste captulo ser introduzido o objeto de estudo: wavelets. O assunto ser abordado com a apresentao de um histrico, definies, caractersticas e propriedades da wavelet, principais tipos e, por fim, aplicaes at ento empregadas.

3.1. Histrico

A possibilidade de representar funes atravs de coeficientes relacionados a determinados sistemas de funes despertou profundo interesse para aplicaes nas mais variadas reas do conhecimento humano.

O passo fundamental para esta representao ocorreu em 1807 com a afirmao

de Fourier de que qualquer funo f(t) definida no intervalo [-pi,pi] poderia ser expressa atravs de uma srie trigonomtrica cuja base formada pelas funes cos(nt) e sen(nt). A partir deste conceito e empregando-se as noes de funo e sua convergncia, foi possvel constituir um conjunto gerador das funes definidas no intervalo [-pi,pi] o qual, a partir do produto interno de seus termos foi possvel constituir uma base ortogonal para tais funes, denominadas Transformadas de Fourier de f(t).

A evoluo seguinte se deu em 1873, quando Paul Du Bois-Reymont apresentou

uma funo contnua e peridica de perodo 2pi cuja srie de Fourier divergia em um determinado ponto. Entretanto, os coeficientes obtidos de acordo com a base em questo, apesar de representarem f(t) de acordo com diferentes nveis de freqncias, a dissociam de representao no prprio eixo do tempo.

Assim, nessa transformada, no era possvel a determinao temporal de um determinado evento incidente no sinal, assim como, a deteco de certas caractersticas transitrias j que a informao do tempo desorientada.

Tendo-se em vista as limitaes apresentadas pela anlise de Fourier, Du Bois-Reymont props a adoo das seguintes medidas:

modificao da definio de funo, com o objetivo de proporcionar a adequao de algumas delas s sries de Fourier;

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modificao da noo de convergncia de forma a restabelecer a igualdade entre a funo e a srie;

proposio de outros conjuntos de funes, que no cos(t) e sen(t), com os quais seja possvel gerar sries que convergem para a funo (Homsy, 2000).

Em 1909, Haar determinou um sistema ortonormal gerado atravs de rotaes e translaes de uma funo em relao ao produto interno e que convergia uniformemente para f(t). Tal sistema, denominado sistema de Haar, possua como vantagem a sua composio de funes de suporte compacto. Esta caracterstica conferiu ao sistema a capacidade de localizar sinais tanto no domnio da freqncia como o sistema trigonomtrico quanto no domnio do tempo.

Posteriormente, o foco da anlise em questo passou a abranger, alm da determinao de bases para o espao contnuo e descontnuo, metodologias de

obteno das mesmas a partir de funes ditas originais ( )t atravs de algum processo de associao, baseado na proposio de que os processos de associao em questo deveriam considerar no apenas compresses/dilataes de funes originais

( )t (correspondente ao caso em que j=1 e k=0 ) como ocorria no caso da anlise de Fourier, mas tambm translaes das mesmas.

A conseqncia disto a representao das funes a partir das originais

empregando-se dois ndices: kj , , onde j. + e k .(Homsy, 2000) Cabe destacar que, embora a primeira meno s wavelets seja datada de 1909

por A. Haar, apenas em 1985, h o emprego efetivo das wavelets em seu trabalho de processamento de imagens, de autoria de Stephane Mallat despertando o interesse de vrios outros pesquisadores, como Y. Meyer. Meyer baseou-se nos resultados de Mallat e construiu a primeira wavelet no-trivial (suave). (Lima, 2003)

Poucos anos mais tarde, Ingrid Daubechies usou os trabalhos de Mallat para construir um conjunto de bases ortonormais de wavelets suaves, com suportes compactos. Esta aplicao ocorre atravs da aplicao de translaes didicas e dilataes binrias aplicadas s funes indexadas por nmeros naturais, constituem bases ortogonais de suporte compacto para o L2 (R) no sentido da mdia quadrtica (Homsy, 2000). Devido sua extrema importncia, os trabalhos de Daubechies so considerados os alicerces das aplicaes atuais de wavelets.

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3.2. Conceito e propriedades da funo wavelet

As wavelets podem ser consideradas funes geradas a partir de translaes e

dilataes de uma nica funo ( )t , que permitem a representao, tanto no domnio das abscissas quanto no da freqncia dos elementos de determinados subespaos do conjunto das funes (F) em que a varivel independente t representa o tempo. (Homsy, 2000)

De fato, uma wavelet uma funo que possui certas propriedades especiais. Literalmente, o termo wavelets significa pequenas ondas que podem ser suaves ou no, simtricas ou no, e podem ter expresses matemticas simples ou no. As wavelets so funes definidas em um intervalo finito e de valor mdio nulo, o que as caracteriza como pequenas ondas.

Em geral, uma wavelet uma funo, no domnio do tempo, que apresenta as seguintes propriedades:

uma funo finita, admissvel, ou seja, que oscila no domnio do tempo para que tenha valor mdio nulo ((t) dt =0);

uma funo regular no sentido de que decai exponencialmente para ser um operador local no domnio do tempo e da freqncia. Assim, os coeficientes da transformada de wavelet diminuem rapidamente com a diminuio da escala. Este fato torna a wavelet uma tima ferramenta para a compresso de dados;

uma funo localizada no espao. As funes seno e cosseno empregadas na transformada rpida de Fourier no o so;

emprega dilataes (compresses) e translaes de uma funo wavelet me de modo a abranger todo o espao real.

Tal fato permite aproximar uma determinada funo como a sobreposio de funes wavelet base, obtidas por escalamentos (dilataes ou contraes) e translaes sucessivas.

Alm disso, o termo wavelet descreve uma funo localizada no espao, ou seja, uma funo que apresente suporte compacto, implicando no fato de sua energia se concentrar em uma pequena regio. Estas caractersticas resumem a capacidade de tal expanso em representar aspectos oscilatrios de curta durao presentes em um sinal. Este fato facilmente explicvel, uma vez que a transformada wavelet proporciona uma decomposio tempo-escala adequada para modelar e estudar o comportamento tempo-freqncia em sinais transitrios ou para detectar sinais impulsivos e

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descontinuidades. Tambm fato que a wavelet permite a deteco da imagem em diferentes nveis ou estratos. Isto permite se conhecer todos os detalhes da mesma e eliminar os coeficientes de aproximao a um nvel determinado.

Figura 3.5: Estratificao da Imagem Fonte: Selmaoui, 2004.

Os parmetros de escala associada anlise na wavelet so similares s escalas usadas em mapas, onde altas escalas correspondem a uma viso global da imagem (sem detalhes), e baixas escalas correspondem a uma viso mais detalhada. Como demonstram as figuras acima, a transformada wavelet atualmente mais poderosa que a transformada de Fourier, pois ela permite ajustar a resoluo e os nveis de escala de modo a obter uma melhor caracterizao da imagem.

Por tudo isso, as wavelets so consideradas como microscpicos matemticos, pois permitem a realizao de zoom de imagens em resolues mltiplas. (Selmaoui, 2004)

Na prtica, quando o sinal analisado em escalas maiores, ou seja, adota-se uma menor resoluo temporal, os detalhes no so considerados. Ao se realizar um zoom na imagem, a escala reduzida e obtm-se um ganho na resoluo temporal.

Alm disto, a localizao no tempo e a localizao em freqncia determinam uma janela tempo-freqncia que diminui automaticamente para detectar fenmenos de alta freqncia (j>0) e aumenta para capturar as freqncias baixas (j

21

procedimento permite obter janelas estreitas para freqncias altas e largas para o caso das freqncias baixas. A figura 3.6 ilustra essa propriedade.

Figura 3.6: Localizao do sinal em tempo-freqncia. Fonte: Souza, 2004.

3.3. A escolha da transformada: Transformada Wavelet

Uma wavelet uma funo (x) pertencente intercesso de dois espaos L1 (R) e L2 (R), tal que a famlia de funes seja preferencialmente uma base ortonormal de L2 (R). A vantagem de se utilizar uma base ortonormal que elas possibilitam a reconstruo perfeita do sinal a partir dos coeficientes da transformada. Matematicamente, uma wavelet possui a seguinte representao:

j,k (t) = 2-j/2 (2-j/2 t- k) (3.6)

onde: j e k so nmeros inteiros arbitrrios, considerando-se uma base ortonormal para L2 (R) e a funo j,k (t) obtida de (t) por uma dilatao binria 2j e uma translao k2-j A idia considerar dilataes (compresses) e translaes de uma funo, de modo a percorrer todo o conjunto dos nmeros reais (R).

Esta ferramenta matemtica muito eficaz quando se trata de sinais estacionrios e permite oferecer informaes sobre o espectro de freqncia de modo satisfatrio. Entretanto, a Transformada de Fourier uma transformada global, a qual trata o sinal como um todo. Por isso, essa transformada induz a uma baixa sensibilidade para a deteco de caractersticas transitrias, revelando-se um

22

instrumento inadequado para o estudo de sinais no-estacionrios como se apresentam a maioria dos sinais do mundo real. Para ilustrar melhor este fato, considere o exemplo abaixo em que so apresentados dois sinais com diferentes caractersticas tempo-freqncia.

Figura 3.7: Comportamento do sinal em tempo-freqncia Fonte: Pagamisse, 2003.

Na figura 3.7 (a) percebe-se um sinal com comportamento peridico, o qual pode ser perfeitamente analisado via a transformada de Fourier. J a figura 3.7 (b) apresenta um sinal com diferentes comportamentos em relao ao tempo, o que torna a anlise por Fourier inadequada. Diante de tal restrio, o uso da transformada wavelet se revela uma excelente ferramenta para o tratamento de sinais que variam no tempo, preservando assim o aspecto temporal do sinal e ao mesmo tempo, possuindo janelas variveis em tamanho.

Em termos de similaridades entre a anlise de Fourier e as wavelets, pode-se afirmar que a transformada rpida de Fourier (FFT) e a transformada discreta de wavelet (DWT) so ambas operaes lineares, as quais geram uma estrutura de dados que contm log n segmentos de vrios tamanhos, e que usualmente, os preenche e os transforma em um vetor de dados diferente de tamanho 2n. Alm disto, as propriedades matemticas envolvidas nas transformadas so tambm similares. A inversa da matriz da transformada tanto para o FFT, quanto para a DWT a transposta da original. Tal fato resulta na viso de ambas as transformadas como uma rotao no espao da funo para um diferente domnio, que no caso da FFT contm funes base senos e cossenos. Para a transformada de wavelet, o domnio contm infinitas funes base mais complexas chamadas wavelet-me, a partir das quais podem ser obtidas outras bases para a decomposio de funes no domnio da freqncia.

23

Quando foi provado que a aproximao de Fourier era menos sensvel a rudos, a ateno da pesquisa se voltou para a anlise baseada na escala e isto conduziu ao conceito de wavelet. (Souza, 2004)

3.4. Transformao de vetores entre os espaos tempo e freqncia

Considerando-se a significao do espectro e a propriedade de reversibilidade da srie de Fourier obtm-se as denominaes "domnio do tempo" e "domnio da freqncia". Tais denominaes caracterizam os domnios como representaes distintas do mesmo fenmeno em bases distintas do espao euclidiano. Pelo fato de ambos os espaos (vetoriais e unidimensionais) serem semelhantes, conclui-se que uma adio e uma multiplicao por nmeros reais podem ser definidas em c[a,b] e o espao vetorial constitudo pelos valores reais .

Deste modo, as bases do espao de funes, tempo e freqncia podem ser ilustrados como na figura abaixo:

Figura 3.8: Transformao de vetores entre os espaos tempo e freqncia. Fonte: Souza, 2004.

A idia bsica a implementao da Transformada de Fourier como operador responsvel por transportar uma srie de um espao a outro de forma reversvel.

Em termos comparativos, pode-se afirmar uma certa desvantagem no emprego da representao no domnio da freqncia: a base de funes de Fourier ortogonal base do tempo e isto acarreta na impossibilidade de se determinar a partir dos

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coeficientes calculados o momento em que as freqncias ocorrem no sinal, ou seja, determinar o intervalo dos componentes presentes no sinal.

Para suprir tal carncia, originou-se a transformada tempo-freqncia, responsvel pela transposio dos vetores do domnio do tempo para o domnio da freqncia, ortogonal a este empregando-se o domnio misto tempo-freqncia, de modo a obter informao em ambos os domnios, ou seja, tanto do tempo quanto da freqncia.

A figura 3.9 auxilia na compreenso da mudana de domnios:

Figura 3.9: Introduo da transformada tempo-freqncia Fonte: Souza, 2004.

Neste contexto, a soluo do problema resume-se em obter uma transformada adequada que relacione os vetores no domnio do tempo a vetores no domnio misto tempo-freqncia. Neste trabalho ser empregada a tcnica de anlise via a transformada wavelet para tal.

3.4.1. Resoluo tempo-freqncia

Para realizar a anlise de freqncia em uma imagem pela transformada de Fourier, emprega-se a transformada de Fourier com janela, STFT (Short-time Fourier Transform). Nesta transformada a dimenso da janela temporal fixa, e, portanto, a resoluo da anlise a mesma em todas as localizaes no plano tempo-freqncia.

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Assim, o banco de filtros possui largura de banda constante, conforme indicado na figura abaixo:

Figura 3.10: Cobertura do espao tempo-freqncia usando a transformada de Fourier com janelas.

A transformada wavelet semelhante transformada de Fourier localizada, entretanto introduzida a noo de escala em alternativa freqncia, preservando o aspecto temporal do sinal e utilizando janelas com dimenso varivel. Tais janelas proporcionam uma anlise multi-resoluo com janelas escalonadas (dilatadas e contradas). Disto resulta uma caracterstica relevante na anlise das wavelets: componentes de alta freqncia so analisadas em intervalos curtos de tempo, enquanto as componentes de baixa freqncia so analisadas sobre intervalos largos de tempo, e assim permite a anlise dos sinais com transitoriedades e singularidades (Morettin, 1999). A tcnica prev a especificao de diferentes funes de base atravs de uma funo base me e da aplicao de escalamentos e translaes s transformadas. Em baixas freqncias, o filtro de wavelet tem largura de banda pequena e uma longa janela temporal, o que implica em uma baixa resoluo no tempo e elevada resoluo na freqncia. Em alta freqncia, ou seja, com um baixo fator de escala, o filtro de wavelet tem uma largura de banda alta que ocasiona em uma janela temporal estreita, elevada resoluo no tempo e baixa resoluo na freqncia.

tempo

frequncia

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Portanto, conclui-se da resoluo tempo-freqncia que a resoluo temporal na anlise com wavelet aumenta com o aumento da freqncia do sinal, conforme ilustrado na figura 3.11.

Figura 3.11: Banco de filtros com largura de banda constante em relao freqncia central. Fonte: Leite, 2003.

3.5. Transformada wavelet e suas aplicaes

Segundo Paiva (in Castleman,1996), a transformada wavelet pode ser comparada representao bidimensional do espao tempo-freqncia: tempo (compasso sonoro) freqncia (som grave ou agudo). Nessa filosofia, cada nota corresponde a uma componente wavelet e sua durao codificada pelo tipo de nota. A atividade de execuo de uma msica equivale aplicao de uma transformada wavelet mesma. De modo semelhante, um msico ao executar uma melodia a partir de sua pauta, pode ser visto como um executor de uma transformada wavelet inversa, j que ele reconstri o sinal sonoro partindo-se de uma representao no domnio tempo-freqncia. Logo, a idia central da transformada wavelet a decomposio de uma funo em uma base geradora de uma sub-espao de funes, de modo que esta representao apresente propriedades bem determinadas, como por exemplo, localizao temporal das freqncias.

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Alm dessa propriedade, a caracterizao da transformada wavelet pode ser obtida pela observncia de suas principais caractersticas:

anlise multi-resoluo da imagem;

no correlao da imagem usando uma escala maior para eliminar o efeito de bloco que ocorre com dbitos binrios baixos (taxas de compresso elevadas);

possibilidade de obteno de uma compresso com perdas ou sem perdas de informao contida no sinal, com o uso do mesmo algoritmo;

explorao da redundncia espacial existente na imagem possuindo como caracterstica essencial compactao de grande parte da energia da imagem em um nmero reduzido de coeficientes;

decomposio da imagem em sub-bandas de freqncia onde cada banda pode ser quantificada de acordo com a sua importncia visual.

Geralmente, as propriedades da transformada wavelet possuem ampla aplicao na rea de processamento de sinais. Tcnicas modernas de radar e sonar de banda larga so exemplos prticos de utilizao para o tratamento de banda larga, onde requer-se uma fina cobertura dos valores de atraso de tempo e escalas, e a transformada wavelet empregada para implementar o processamento da correlao.

Outra rea onde a wavelet se destaca refere-se ao reconhecimento de padres, atravs da deteco de sinais transientes e abruptos, deteco de bordas, anlise em multi-resoluo, processamento de sinais acsticos e compresso de dados. Este ltimo destaca-se dentre os demais pelo alto potencial de aplicao das wavelets.

Na compresso, a transformada wavelet discreta pode ser interpretada essencialmente como um sistema de codificao sub-banda, atuando como compactador de voz ou de imagens. Outras aplicaes comuns de wavelets so a remoo de rudo de sinais, a suavizao de imagens e a anlise de fractais.

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3.5.1 Tipos de transformadas wavelet

Existem, basicamente, duas classificaes quanto ao tipo de transformada wavelet: a transformada discreta e a transformada contnua. Cada caso ser abordado individualmente.

Transformada wavelet contnua ou TWC

A transformada wavelet contnua ou TWC responsvel pelo mapeamento do sinal original unidimensional no domnio do tempo, para uma funo do espao bidimensional. Seu clculo se baseia na correlao entre os escalonamentos e translaes contnuos de uma funo sobre um sinal.

Para uma funo x(t), a transformada wavelet contnua o produto interno da funo x(t) pela funo j,k. Sua representao matemtica definida pela seguinte expresso:

(3.7)

Onde: j= dilatao ou fator de escala; k= fator de translao.

A anlise da wavelet contnua se fundamenta em uma funo denominada

wavelet-me, a qual representa as modificaes da funo (t) no decorrer da transformada. O termo me ento empregado para classificar todas as funes que possuem diferentes tamanhos empregadas no processo das transformadas e originadas de uma wavelet principal. Sendo assim, a wavelet-me considerada uma fonte geradora de funes. Como caracterstica fundamental destaca-se o fato de a wavelet-me possuir como parmetro a mdia zero e a parte central oscilante. Isto significa que a funo decai para zero em ambos os lados de sua trajetria. Outra caracterstica relevante est no fato de a wavelet-me se comportar como uma funo janela, em que o fator de escala e o tamanho da funo janela so variveis interdependentes. Isto associa s menores escalas com as menores janelas.

( ) dtjkt

txj

kjTWC

=

)()(1,

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Uma conseqncia imediata deste fato consiste na anlise dos componentes de bandas estreitas de freqncia de um sinal via um pequeno fator de escala, e componentes de bandas largas de freqncia com fatores de escala maiores, propiciando o estudo minucioso das caractersticas de um determinado sinal. Para tal, a interpretao correta dos coeficientes da wavelet essencial.

Discretizao da transformada

Esta atividade consiste em discretizar as variveis de domnio wavelet: s (escalamento) e (translao), substituindo-as pelas verses discretas j (escalamento) e k (translao) de tal forma que se obtenha:

(3.8)

O limite inferior na escala j pode tornar-se finito com a incluso da funo escala na base de decomposio wavelet (Burrus, Gopinath & Guo, 1997).

Esta funo responsvel pela formao de um subespao VJ em L2(R), que compreende todos os subespaos Wj para j

30

wavelet, divididos em coeficientes de aproximao a[k] e coeficientes de detalhes d[j,k]. (Bucher, 2001) Tal relao se expressa por:

(3.9) _Transformada wavelet discreta

Sabe-se que a wavelet contnua obtida por meio de infinitas translaes e escalonamentos (discretizao) de uma funo sobre um sinal. Na prtica a execuo dessas operaes gera redundncia e demanda tempo e recursos operacionais.

Para superar tais restries implementou-se as wavelets discretas como a verso digitalmente implementvel da transformada wavelet contnua, uma vez que as mesmas permitem realizar as operaes de escalonamentos e translaes em intervalos discretos. Sua definio expressa pela equao matemtica:

(3.10)

Onde: x(n): representa a funo correspondente ao sinal original;

: representa a wavelet-me. Os parmetros de escala e de translao so, respectivamente, i,j e possuem um parmetro inteiro m. Este parmetro m permite uma expanso da famlia obtida pela wavelet-me atravs da gerao das wavelets-filhas;

k: uma varivel inteira que se refere a um nmero particular de amostras de um determinado sinal de entrada. O parmetro de escala permite o aumento da escala geomtrica. Desse modo, a sada pode ser representada em um espao bidimensional de maneira semelhante da transformada discreta de Fourier Janelada, mas com bandas de freqncia de tempo regulares, que se apresentam estreitas para as componentes de alta freqncia e largas para as componentes de baixa freqncia.

Isto implica em que a dimenso da base do domnio transformado (o nmero de coeficientes) deve ser igual dimenso da base do domnio temporal (ou seja, o nmero de pontos do sinal). Tambm desejvel que a transformada tenha uma transformada rpida (FWT ou Fast Wavelet Transform).

[ ] [ ]

+=k j

kjkJ xkjdxkaxf )(,)()( ,,

)()(1),( 000

m

minjknx

iKmTwd =

31

Transformada rpida wavelet

A transformada wavelet rpida envolve dois pares de filtros ortogonais, de sorte que um par, (denominado LD e HD ) empregado na decomposio, e o outro par (LR e HR) empregado na reconstruo do sinal. Deste modo, assim como a transformada rpida de Fourier, a transformada rpida wavelet possui um ciclo bsico de operao que pode ser subdividido em blocos. Para explicar a implementao dos filtros, ser focado o bloco de decomposio e o de reconstruo do sinal.

A idia central da decomposio, como j dito anteriormente, a aplicao de filtros ortogonais responsvel pela gerao de novas sries de coeficientes. Estes por sua vez, permitem via a redundncia de coeficientes gerada, eliminar um de cada dois coeficientes calculados. A partir destes ltimos obtm-se os coeficientes de aproximao e os coeficientes de detalhe. Embora a srie dos coeficientes de aproximao e dos de detalhe possuam um tamanho correspondente metade dos termos de pontos do sinal original devido ao processo de decimao, o nmero de coeficientes da base se mantm inalterado aps a decomposio. Isto se deve ao fato de que somando-se os N/2 termos obtidos na aproximao com os respectivos N/2 termos oriundos dos detalhes chega-se ao tamanho original N. Estes blocos so adequadamente montados de modo a obter a transformada rpida.

3.6. Anlise e sntese na multi-resoluo e o algoritmo piramidal

A anlise multi-resoluo uma estratgia de processamento de sinais onde utilizado um conjunto de filtros especializados em extrair as informaes do sinal, como as freqncias presentes e a sua localizao no tempo de durao do sinal, em diferentes resolues. (Castaon, 2003)

O estudo da multi-resoluo baseou-se no prprio olho humano que detecta as imagens em diferentes resolues, onde as informaes sobre freqncias e a orientao dos tons de cinza presentes na imagem so interpretadas separadamente.

A conceituao matemtica da anlise de multi-resoluo (AMR) compreende o estudo de uma seqncia crescente de subespaos fechados {Vj, j Z}, que aproximam L2 (R) e que satisfazem as seguintes propriedades:

1). ...V2V1V0V-1V-2...

32

2) (R)2LVZj

j =

U

3) { }0=

IZj

jV

4) Invarincia em escala: ( ) 02 VxfVjf j 5) Invarincia em translaes: ( ) ZkVkxfVf ,00 6) Existncia de uma funo 0V tal que { }Zkk ;,0 uma base ortonormal

em 0V , onde obtm-se: ( ) ( )kxx jjkj = 22 2/, ; j,k R . Na anlise de multi-resoluo, denomina-se a funo escaladora a qual

origina a famlia ortogonal kj, , de modo a obter uma nova funo que recebe a denominao de wavelet pai e expressa pela seguinte equao:

( )ktjj = 22 2/kj, (3.11)

As propriedades (5) e (6) implicam que kj, , com j, k pertencente ao conjunto dos nmeros reais (Z), uma base ortonormal para Vj para todo j pertencente a Z. Diante dessas propriedades, a funo denominada funo de refinamento, funo de escalonamento (Daubechies, 1992) ou simplesmente, wavelet-pai.

O princpio bsico da anlise multi-resoluo que sempre que uma coleo de sub-espaos fechados satisfaz as propriedades da multi-resoluo, h uma base ortonormal de wavelets. Cabe lembrar o conceito de base ortonormal, que pode ser enunciado como: base ortonormal a base em que todos os vetores que definem os eixos tem tamanho 1 e, alm disso, so ortogonais entre si.

A idia central da anlise multi-resoluo dada uma funo f de L2 (R), obter aproximaes a f em diferentes nveis de resoluo. Cada subespao Vj, ser constitudo por funes aproximantes, sendo que a melhor aproximao obtida considerando-se a projeo ortogonal de f sobre cada Vj.

O fato que Vj Vj+1 significa que, ao passar de um nvel de resoluo j para o nvel de resoluo j+1, adicionamos detalhes imagem e, conseqentemente, aumentamos o nvel de informao contida na mesma. A cada passo, o coeficiente de aproximao (cA) recebe uma influncia menor das componentes de alta freqncia do sinal ou imagem. Enquanto isso, os coeficientes de detalhes (cD) consistem principalmente de altas freqncias ou rudos. Assim, h uma separao dos

33

componentes em relao freqncia e s partes indesejadas podem ser removidas pela modificao dos coeficientes wavelets, via a insero de zero nos coeficientes no desejados (limiarizao). O passo seguinte envolve a reconstruo da imagem pelo agrupamento das componentes decompostas usando os coeficientes wavelets. (Souza, 2004)

O raciocnio oposto tambm vlido, ou seja, ao se aproximar f a nveis de resoluo cada vez menores, perde-se informao. (Mallat, 1999)

Considerando-se a uma dada resoluo (j-1) um sinal, pode-se afirmar que as funes de escalonamento (x) formam uma base para um conjunto de sinais. Nesse contexto, o sinal acrescido dos detalhes combinam-se em uma multi-resoluo a um nvel de resoluo mais fino j. As mdias provm das funes de escalonamento e os detalhes so oriundos das wavelets, como segue abaixo:

(3.12)

O lado esquerdo da equao representa o sinal como uma combinao linear das funes de escalonamento e ao nvel j. No lado direito, tem-se a soma de combinaes lineares do sinal ao nvel (j-1) e das funes de escalonamento tambm ao nvel (j-1). O resultado dessa seqncia de operaes a multi-resoluo de um sinal.

A anlise clssica da multi-resoluo baseada no conhecimento de um conjunto de espaos funcionais nos quais as sucessivas aproximaes de uma dada funo convergem para aquela funo, e pode ser eficientemente computada. Dessa forma, todos os contedos das aproximaes e dos detalhes so obtidos por meio de um processo sucessivo de operaes de decimao, denominadas convolues.

Esse processo, como j dito anteriormente, compreende a decomposio do sinal em aproximao e detalhe atravs das sucessivas passagens do sinal pelos bancos de filtro (sub-amostragem): filtros passa-baixa correspondendo s aproximaes e filtros passa-alta correspondendo aos detalhes. A aproximao do sinal/imagem consiste em uma representao em baixa resoluo do sinal/imagem original. A principal caracterstica da aproximao o fato de a mesma conter as baixas freqncias do sinal original. J o detalhe corresponde diferena entre duas sucessivas representaes em baixa resoluo do sinal/imagem original e expressa a alta freqncia do mesmo sinal. Esta decomposio em aproximaes e detalhes da

( ) ( ) kjk

kjkjk

kjkjk

kj btata ,1,1,1,1,, +=

( )tkj ,1( )tkj ,

34

imagem, representa na teoria, a execuo das operaes de Anlise e Sntese,

implementadas nas bases (t) e wj,k (t) para decompor o sinal, decorrentes da aplicao dos bancos de filtro. O prximo captulo aborda detalhadamente a implementao dos filtros e suas respectivas funes.

Nesse sentido, a anlise multi-resoluo promove a diviso do sinal original em escalas de resoluo, ao invs de ser dividido em freqncias diferentes, como ocorre na anlise de Fourier. (Valins , 2005). Para tal, deve-se considerar que na transformada wavelet discreta cada sinal x(t) pertencente ao espao Vj, Vj = Vj-1 +Wj-1 pode ser expresso de duas formas, atravs das funes da base de cada um dos espaos . Logo:

(3.13)

(3.14)

A partir dos coeficientes gerados na primeira aproximao A0(k) pertencentes escala (j) so implementados os coeficientes A1(k) e D1(k) na escala (j-1) que representa a operao de anlise.

Alternativamente, tal processo pode se iniciar a partir dos coeficientes A1(k) e D1(k) na escala (j-1) e produzir os coeficientes A0(k) na escala (j). Tal operao denomina-se sntese.

Esquematicamente, as operaes de Anlise e de Sntese so definidas como segue:

Figura 3.12: Esquema das operaes de Anlise e Sntese.

)()()()(,11,11 tkcDtkcA kj

kkj

k +=

)()()(,0 tkcAtx kj

k=

35

3.8. Banco de filtros

3.8.1. Caso unidimensional

A transformada wavelet decompe o sinal em diferentes nveis empregando bases que so, geralmente, ortogonais. Como j dito anteriormente, essas funes so obtidas a partir das translaes e dilataes da wavelet me, localizada no domnio da freqncia e do tempo. Ao se efetuar este processo em passos discretos obtm-se a transformada wavelet correspondendo a uma implementao baseada na filtragem do sinal.

Assim, cada wavelet corresponde a filtros passa alta e passa baixa. Tais filtros so determinados respectivamente, pela funo escala e funo wavelet empregadas.

Esquematicamente, pode-se visualizar tal processo como segue:

Figura 3.13: Implementao da transformada wavelet baseada na filtragem do sinal.

O diagrama explicita o processo de obteno das aproximaes e dos detalhes obtidos atravs dos bancos de filtros passa-alta e passa-baixa que, por sua vez, promovem uma diviso do sinal amostrado em sub-bandas de freqncia analisadas individualmente.

Sinal

Filtro passa alta Filtro passa baixa

Coeficientes de aproximao

Coeficientes de detalhes

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A figura 3.14 ilustra o esquema de codificao em sub-bandas:

Figura 3.13: Diviso do espectro de um sinal em sub-bandas usando banco de filtros. Fonte: Leite, 2003.

Neste processo so empregadas as equaes obtidas pelos filtros passa-baixa, denominadas equaes de dilatao, responsveis pelas aproximaes da imagem original e as equaes de translao, oriundas dos filtros passa-alta e responsveis pela captura dos detalhes da imagem. Ainda em relao aos detalhes (Mallat, 1999) prope uma subdiviso em trs funes distintas obtidas conforme a utilizao dos filtros pelas linhas e colunas. Obtm-se ento: os detalhes na vertical correspondentes adoo de filtros passa-alta nas linhas e passa-baixa nas colunas; os detalhes na horizontal correspondem aos filtros passa-baixa nas linhas e passa-alta nas colunas e, por fim, os detalhes na diagonal resultantes do emprego de filtros passa-alta nas linhas e tambm nas colunas.

Todo este processo nada mais que o algoritmo piramidal empregado como meio de obteno de aproximaes e detalhes de um dado sinal. Comumente, emprega-se o fator de dilatao igual a dois, cuja denominao descrita como diagrama didico.

3.7.2. O esquema de anlise do banco de filtro:

O raciocnio apenas inverter a metodologia usada no esquema de decomposio tratada anteriormente. Trata-se agora de, a partir dos coeficientes A1(k) e D1(k) na escala(j-1), obter os coeficientes A0(k) na escala j.

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Assim, dada uma funo x(t), a qual representa um sinal bem definido, tem-se:

= (3.15)

Esquematicamente, os diagramas que envolvem as etapas de decomposio e reconstruo so definidos como:

Figura: 3.15: Processo de decomposio do sinal.

Figura 3.16: Processo de reconstruo do sinal.

)()()(,0 tkcAtx kj

k=

)()()()(,11,11 tkcDtkcA kj

kkj

k +=

)()( 11 tDtA +

38

Pelo diagrama, percebe-se que o processo de reconstruo ocorre no sentido inverso ao de decomposio.

Figura 3.17: Obteno dos coeficientes aps a reconstruo do sinal. Fonte: Phillips, 2003.

Considera-se o fato de que )(,

tnj uma base ortogonal ao sub-espao Vj. Logo:

(3.16)

Esta expresso pode ser melhor compreendida atravs dos conceitos de filtragem e de upsampling. A operao de upsampling consiste em aumentar o tamanho do sinal ou imagem com o emprego da interpolao, de modo a introduzir zeros entre

os valores do sinal discreto. Simbolicamente possui como representao: 2. Tal procedimento assemelha-se ao zoom digital na imagem. Em comparao operao de filtragem do sinal, tem comportamento oposto operao de decimao. Filtrar, como j dito anteriormente, consiste em reter parte dos componentes de um sinal. Sua

)2()()2()(

)(),()()(),()(

)(),()()()(cA

1101

,,11,,11

,,11,11

0

knhkcDknhkcA

ttkcDttkcA

ttkcDtk

(t)x(t),(n)cA

k

njkjk

njkjk

k knjkjkj

j,n

+=

+=

+=

=

39

simbologia 2 denota o bloco que realiza a remoo das amostras mpares. Logo, aps a aplicao das operaes de upsampling, o banco do primeiro estgio da sntese passa a ser implementado como:

Figura 3.18: Banco de Sntese de 1 estgio. Fonte: Phillips, 2003.

A rotina de implementao computacional para esse caso, se realiza atravs do comando idwt do toolbox do matlab. Sua sintaxe corresponde a:

x=idwt (cA,D,' famlia wavelet').

Para o caso de um banco de filtro de mltiplo estgio, tem-se uma estrutura prxima uma rvore, na qual a sada do banco de filtros de primeiro estgio se torna a entrada para o banco de filtros do estgio superior.

No exemplo abaixo apresentado um banco de filtros de trs estgios. Nessa situao, o banco de anlise de trs nveis produz sadas cD1(k), cD2(k), cD3(k) e cA3(k), correspondendo respectivamente aos coeficientes de detalhe no nvel 1, coeficientes de detalhe no nvel 2, coeficientes de detalhe no nvel 3 e a aproximao obtida tambm no nvel 3.

Figura 3.19: Banco de filtro de trs estgios. Fonte: Phillips, 2003.

40

3.7.3. A reconstruo perfeita do sinal

A etapa de reconstruo atua sobre os coeficientes calculados na decomposio. Durante este processo, a quantidade de amostras do sinal ou imagem reduzida atravs da aplicao da decimao fator 2 (Dyadic downsampling). Em um primeiro momento, insere um zero aps cada coeficiente de modo a permitir a restituio do tamanho original da srie e, posteriormente, aplicam-se filtros de reconstruo para obter os dois sinais finais, os quais somados constituem o sinal reconstrudo.

O esquema da reconstruo do sinal consiste em efetuar a anlise via banco de filtros e empregar logo aps o banco de filtros da sntese. O diagrama abaixo ajuda na compreenso deste conceito:

Figura 3.20: Reconstruo perfeita do sinal. Fonte: Phillips, 2003.

A reconstruo perfeita emprega na anlise os filtros de reconstruo denotados na figura por: rh1(n) e rh2(n) cuja nomenclatura se refere reconstruo do filtro h1(n) e h2(n).

Operao de Anlise Operao de Sntese

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Captulo 4: Aplicaes da Transformada Wavelet em duas dimenses.

4. Transformada wavelet discreta em duas dimenses

4.1. Filtragem em sub-bandas

A aplicao da transformada de wavelet a um sinal equivalente realizao da anlise do sinal em sub-bandas. A filtragem em sub-bandas consiste em analisar um sinal passando-o por um banco de filtros passa-banda, o que o torna um mtodo muito empregado em processamento de sinais anlise de espectro. Neste mtodo, cada sub-banda resultante da filtragem com o banco de filtros ento codificada de modo a considerar as caractersticas da sub-banda. Este processo conhecido por subband coding. (Leite, 2003)

De modo geral, a idia central consiste em dividir o espectro do sinal atravs do emprego de dois filtros, um passa-baixo e outro passa-alto, os quais iro subdividir o sinal em dois sinais iguais menores respectivamente: um para as freqncias maiores que um limiar (metade passa-alto) e outro para representar as freqncias menores (metade passa-baixo).

Os filtros passa-baixo, tambm conhecidos como filtros de suavizao, possuem a caracterstica de manterem os mesmos coeficientes para a mscara de convoluo, independente da posio na imagem. Esta caracterstica conhecida como invarincia translao. Outra importante propriedade a implementao dos filtros pela operao de convoluo, em que a mscara caracteriza o tipo de filtro linear empregado.

Como os filtros passa-baixas eliminam os componentes de alta freqncia, so eles tambm os responsveis pela remoo de pequenos detalhes presentes na imagem e na atenuao de rudos.

J os filtros passa-alta tm por funo o realce dos componentes de altas freqncias da imagem, visualizadas pela representao de nveis de cinzas mais claros em uma imagem monocromtica (valores de pixel mais altos) e as componentes de baixa freqncia se tornam mais escuras, o que corresponde a uma aparente acentuao das bordas e outros detalhes finos da imagem. (Santos, 2002)

Na figura abaixo, os filtros passa-baixa so representados nas trs distintas orientaes (horizontal, vertical e diagonal) em dois nveis de resoluo. Os detalhes, correspondentes s baixas freqncias so as imagens em cinza.

42

Figura 4.21: Visualizao da aplicao de filtros passa baixa na transformada wavelet.

Na prtica, a aplicao destes filtros em uma matriz realizada pela iterao entre linhas e colunas da matriz de origem, tal que, a cada nvel de iterao so geradas 3 sub-imagens (cada uma referente uma orientao espacial), que constituem os coeficientes de wavelets armazenados. (Oliveira, 2000)

Como resultado, obtm-se sub-imagens organizadas em diferentes nveis. A vantagem deste esquema consiste no fato de ser necessrio desenhar apenas dois filtros, passa-alta e passa-baixa, sendo os outros filtros obtidos por iteraes sucessivas. Todavia, este mtodo apresenta como desvantagem a cobertura fixa do espectro. (Leite, 2003). As extenses das equaes de dilatao e o algoritmo piramidal (decomposio de Mallat) tambm so vlidas para o caso bidimensional.

Deste modo, os coeficientes obtidos so matrizes e podem ser representados no formato de mosaicos. Na figura abaixo os coeficientes gerados pela wavelet pai (coeficientes da aproximao) so simbolizados por aj, os coeficientes dos detalhes horizontais so simbolizados por dH, os coeficientes dos detalhes verticais por dV e, por fim, os coeficientes dos detalhes diagonais so simbolizados por dD em seus respectivos nveis de resoluo, j.

43

Assim, tem-se:

Figura 4.22: Representao dos coeficientes bidimensionais.

Na figura percebe-se que cada quadrado representa os coeficientes da wavelet, decompostos na parte suave (aproximao) e os detalhes obtidos em cada direo.

Exemplo:

Imagem Original Decomposio em 1 nvel Decomposio em 2 nveis Figura 4.23: Representao da parte suave e detalhes da imagem.

Outra representao possvel obtida atravs des mosaicos que se repetem na mesma proporo. Entretanto, Morettin (1999) tambm apresenta uma representao baseada em mosaicos organizados em propores diferentes. Trata-se de uma

a d

dd

j

j+1

j+1

j+1

H

V D

d j+2V

dD

j+2

dH

j+2

dV

dD

dH

j+3

j+3j+3

aproximao detalhes

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representao grfica baseada em produtos de pares de wavelets e funes escalas, considerando-se escalas distintas.

Figura 4.24: Representao dos coeficientes bidimensionais em mosaicos. Fonte: Morettin, 1999.

A anlise multi-resoluo da transformada wavelet est fundamentada nas projees na base ortogonal formada pela funo de escalamento e na base ortogonal formada pela wavelet.

No tratamento de imagens, ou seja, para sinais bidimensionais, a transformada baseia-se em uma funo de escalamento separvel, denotada por (x,y) e denominada wavelet-pai ou ondaleta-pai.

(x,y)= (x) (y) (4.27)

Com base nisto, pode-se afirmar que a anlise realizada por meio de duas anlises multi-resoluo de uma nica dimenso. O resultado a obteno das ditas wavelets-me, responsveis pelos detalhes da imagem, que caracterizam a projeo ortogonal de uma imagem dita f(x,y) nas bases formadas pelas wavelets nos fornece os detalhes da imagem.

Matematicamente, os detalhes nas direes horizontal, vertical e diagonal respectivamente so expressos pelas seguintes relaes:

HHj fyxd ,),( = (4.28)

VVj fyxd ,),( = (4.29)

DDj fyxd ,),( = (4.30)

45

A aproximao para o caso bidimensional obtida pela projeo ortogonal da funo f(x,y) no conjunto das funes originadas da funo de escalamento. Considerando-se um nvel de resoluo (i), a aproximao descrita por:

(4.31)

Uma outra forma de representao da transformada wavelet de uma dada funo f a forma matricial em que dada uma matriz com 2lx 2l pixels, a qual pode ser armazenada em uma matriz quadrada B, de ordem 2l. Neste caso, cada linha ou coluna dessa matriz tratada como uma imagem unidimensional para o clculo dos coeficientes wavelet, que so representados por um vetor. De modo anlogo, no caso de um sinal bidimensional S(x,z) tm-se suas representaes baseadas na decomposio de uma matriz em submatrizes.

Essa decomposio pode ser obtida de duas maneiras: a decomposio convencional ou a decomposio alternada.

A decomposio convencional consiste em se utilizar a transformada wavelet em uma dimenso seguida pela transformada desta operao em outra dimenso. Deste modo, torna-se possvel obter decomposies em diferentes nveis a partir do sinal original.

J a decomposio alternada de linhas e colunas obtida a partir de representaes em diferentes nveis, ou seja, a partir do produto tensorial de duas bases de dimenso unitria, com escalas distintas para cada dimenso. Cada conjunto de transformadas na linha e na coluna corresponde a um nvel de decomposio na imagem. Como resultado, obtm-se um novo grupo de subespaos denominados aproximao (parte suave) e detalhes (parte ruidosa), divididos em detalhes horizontal, vertical e diagonal.

( ) ( ) ( ) ( ) >=< yxyxfyxai ,,,,

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A cada um desses subespaos atribudo um conjunto de coeficientes suaves e de detalhes.

Figura 4.25: Tipos de decomposio bidimensional. Fonte: Betetto, 2006.

Matematicamente, este novo grupo de subespaos traduz-se pelas seguintes expresses:

= )()(),(21 ,,.

yxyx klklkl (4.32) = )()(),(

21 ,,,yxyx kjkj

hkj wavelet horizontal. (4.33)

= )()(),(21 ,,,

yxyx kjkjv

kj wavelet vertical. (4.34)

= )()(),(21 ,,,

xxyx kjkjd

kj wavelet diagonal. (4.35)

wavelet pai.

Decomposio Convencional Decomposio Alternada

47

4.2. A energia da Transformada Wavelet

A determinao das energias est fundamentada no teorema de Parseval que estabelece que a energia contida no sinal igual soma das energias concentradas nos diferentes nveis de resoluo da sua transformada wavelet. Isso implica que a energia do sinal pode ser decomposta em termos dos seus coeficientes wavelets na forma:

2

1 1

2

1

2

1|)(||)(||)(| ndnanf

j

J

N

n

jj

N

n

N

n

= ===

+=

A variveis empregadas nessa equao tm o seguinte significado:

N: corresponde ao nmero total de amostras do sinal;

2

1|)(| nf

N

n

=

: corresponde a energia do sinal analisado;

2

1|)(| na j

N

n

=

: energia concentrada na verso aproximada de n