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Estruturas de Dados 2
Técnicas de Projeto de Algoritmos
Dividir e Conquistar
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Dividir e Conquistar● Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista
● Introdução● Busca “Recursiva”● Ordenação: InsertionSort, MergeSort, HeapSort e
QuickSort● Resumo
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Dividir e Conquistar● Introdução
● “Dividir e Conquistar” é uma técnica de projeto de
algoritmos que consiste em resolver um problema a
partir da solução de “sub-problemas menores” do
mesmo tipo.
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Dividir e Conquistar● Introdução
● “Dividir e Conquistar” é uma técnica de projeto de
algoritmos que consiste em resolver um problema a
partir da solução de “sub-problemas menores” do
mesmo tipo.● Se os sub-problemas obtidos após a “divisão” ainda
são muito grandes para a solução “direta”, aplica-se
novamente a “divisão”, até ter problemas pequenos o
suficiente para terem solução trivial ou direta.
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Dividir e Conquistar● Introdução
● Após o processo de “divisão” em sub-problemas
menores, e sua “conquista”, basta “combinar” os
resultados dos sub-problemas menores, para obter a
solução para o problema como um todo.
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Dividir e Conquistar Passos para “divisão e conquista”:1. Divisão: propor uma forma de dividir o problema
original em sub-problemas iguais, porém menores
(recursivamente);
2. Conquista: ao se obter sub-problemas “pequenos o
suficiente”, resolvê-los diretamente;
3. Combinação: combinar as soluções de forma a obter
a solução ao problema original.
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Dividir e Conquistar● Vantagens
● Solução “direta” do ponto de vista da recursividade;● Elegância;● Usualmente produz algoritmos eficientes
(complexidade logarítmica!!!)● Desvantagem
● Recursão!!!!
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Dividir e Conquistar● Como aplicar?
● Processo “Indutivo” ao projeto de algoritmos(recursão)● Aplicável sempre que for possível obter “sub-
problemas menores independentes entre si”● Procurar uma divisão “igualitária” de um problema em
diversos sub-problemas.......● Deve ser possível (e de preferência simples e rápido)
combinar os resultados dos sub-problemas....
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Dividir e Conquistar● Justificativa
● Esta técnica pode ser empregada em diversas
situações comuns porém importantes:● Somar N números;● Encontrar um elemento em um vetor ordenado;
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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:
● Como somar N números, a1, a
2, ..., a
n?
● Se n é 1, a soma é o próprio a1.
● Se n>1, podemos dividir o problema em dois sub-problemas menores:1.Somar os números de a
1 até a
n/2 ;
2.Somar os número de an/2
até an ;
3.Somar os resultados!!!
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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:
● Como somar N números, a1, a
2, ..., a
n?
● Eficiência????
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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:
● Como somar N números, a1, a
2, ..., a
n?
● Eficiência????● O(n)......(Melhor que uma abordagem “exaustiva”????)
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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:
● Como somar N números, a1, a
2, ..., a
n?
● Eficiência????● O(n)......(Melhor que uma abordagem “exaustiva”????)● Claramente NÃO!!!!
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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:
● Como somar N números, a1, a
2, ..., a
n?
● Eficiência????● O(n)......(Melhor que uma abordagem “exaustiva”????)● Claramente NÃO!!!!● Portanto, aplicar “Divisão e Conquista” não garante,
por si só, a obtenção de algoritmos eficientes!
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Dividir e Conquistar● OUTRO exemplo: Buscar um elemento!
● Como encontrar o elemento em um vetor de tamanho N: a
1, a
2, ..., a
n?
● Se n é 1, e o elemento a1 é o procurado, achou,
senão não achou!● Se n>1, podemos dividir o problema em dois sub-
problemas menores:1.Encontrar o elemento no vetor de a
1 até a
n/2
2.Encontrar o elemento no vetor de an/2
até an
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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???
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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???●Pode sim.....
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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???●Pode sim.....●Basta aplicá-la “adequadamente”......!
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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???●Pode sim.....●Basta aplicá-la “adequadamente”......!●Exemplo de uso adequado: “Busca Binária”.
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Dividir e Conquistar●Busca Binária:● Encontrar um determinado elemento (chave) em um vetor
ordenado de tamanho N: a1, a
2, ..., a
n?:
● Verificar se a chave está na posição ax = a
n/2:
● Se estiver, encontrou!● Se não estiver, realizar a busca binária nos vetores:
a1 até a
x-1,se chave < a
x ,
ou em ax+1
até an se chave > a
x.
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Dividir e Conquistar●Busca Binária: Exemplo:Encontrar o número 12 na lista:
3 5 7 8 9 11 12 19
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Dividir e Conquistar●Busca Binária: Exemplo:Encontrar o número 12 na lista:
3 5 7 8 9 11 12 19
3 5 7 8 9 11 12 19 (está na posição X=n/2?)Ñ!
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Dividir e Conquistar●Busca Binária: Exemplo:Encontrar o número 12 na lista:
3 5 7 8 9 11 12 19
3 5 7 8 9 11 12 19 (está na posição X=n/2?)Ñ!
3 5 7 8 9 11 12 19 (está na posição X=n/2?)S!
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Dividir e Conquistar●Busca Binária:● Tá, mas e daí????
● Bem, a eficiência deste algoritmo é Θ(lg n).... ● Muito mais eficiente que a abordagem “Força Bruta”.....●....pena que o vetor precisa estar ordenado.......●....mas podemos aplicar a técnica de Divisão e Conquista
para ordenar vetores também!!!!!
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Dividir e Conquistar● Ordenação com Divisão e Conquista:
● Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a1, a
2, ...,
an
● Um vetor de um elemento já está ordenado!● Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela
“intercalação” de dois sub-vetores:1.Um vetor de a
1 até a
n/2
2.Outro vetor de an/2
até an
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Dividir e Conquistar● Ordenação com Divisão e Conquista:
● Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a1, a
2, ...,
an
● Um vetor de um elemento já está ordenado!● Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela
“intercalação” de dois sub-vetores:1.Um vetor de a
1 até a
n/2
2.Outro vetor de an/2
até an
● Esta maneira de ordenar dá origem ao algoritmo recursivo de ordenação “MergeSort”!!!
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Dividir e Conquistar● Ordenação com Divisão e Conquista:
● Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a1, a
2, ...,
an
● Um vetor de um elemento já está ordenado!● Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela
“intercalação” de dois sub-vetores:1.Um vetor de a
1 até a
n/2
2.Outro vetor de an/2
até an
● Esta maneira de ordenar dá origem ao algoritmo recursivo de ordenação “MergeSort”!!!
● Isto é projetar um algoritmo por divisão e conquista!!!
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Dividir e Conquistar● MergeSort:
● Se a função “intercala” for eficiente=O(n)● Detalhe: para conseguir implementar a intercalação de
forma eficiente, é necessário um “vetor auxiliar”, o que
aumenta a memória necessária para o algoritmo...não é
uma ordenação “in-place”,como a Ordenação por
Seleção● T(n) = 2T(n/2) + O(n)● Logo, Mergesort é Θ(n lg n) (Master)
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Dividir e Conquistar● MergeSort(A, e, d): : Pseudo-Código
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Dividir e Conquistar● Intercala(A, e, d): Pseudo-Código
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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento
qualquer de S.
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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento
qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos
elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.
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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento
qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos
elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.
● Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hipótese de indução, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2.
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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento
qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos
elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.
● Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hipótese de indução, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2.
● Podemos obter S ordenado concatenando S1 ordenado, x e S2 ordenado.
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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento
qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos
elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.
● Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hipótese de indução, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2.
● Podemos obter S ordenado concatenando S1 ordenado, x e S2 ordenado.
● Esta abordagem dá origem ao algoritmo “QuickSort”!!!
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Dividir e Conquistar● Em contraste ao Mergesort, no Quicksort é a operação de divisão que é mais custosa: depois de escolhermos o pivô(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x.
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Dividir e Conquistar● Em contraste ao Mergesort, no Quicksort é a operação de divisão que é mais custosa: depois de escolhermos o pivô(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x.●Conseguimos fazer essa divisão com (n) operações: basta varrer o vetor com dois apontadores, um varrendo da direita para a esquerda e outro da esquerda para a direita, em busca de elementos situados na parte errada do vetor, e trocar um par de elementos de lugar quando encontrado.
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Dividir e Conquistar● Em contraste ao Mergesort, no Quicksort é a operação de divisão que é mais custosa: depois de escolhermos o pivô(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x.●Conseguimos fazer essa divisão com (n) operações: basta varrer o vetor com dois apontadores, um varrendo da direita para a esquerda e outro da esquerda para a direita, em busca de elementos situados na parte errada do vetor, e trocar um par de elementos de lugar quando encontrado.●Após essa etapa basta ordenarmos os dois trechos do vetor recursivamente para obtermos o vetor ordenado, ou seja, a conquista é imediata.
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Dividir e Conquistar● Quicksort(A,e,d) - Pseudo-Código:
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Dividir e Conquistar● Quicksort(A,e,d) - Pseudo-Código(cont):
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Dividir e Conquistar
Quicksort- Idéia Base1. Selecionar um elemento para ser o pivô2. Rearranjar a lista de modo que todos os elementos nas posições a esquerda do pivô sejam menores ou iguais a ele, e aqueles a direita do pivô sejam maiores que ele.3. Permutar o pivô com o último elemento da primeira sub-lista(menores ou iguais). Agora o pivô está em sua posição final.4. Ordenar as duas sub-listas.
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Dividir e Conquistar●QuickSort – Exemplo
5 3 1 9 8 2 4 7partition
2 3 1 4 5 8 9 7 2 3 1 4
partition 1 2 3 4
partition 13 4 partition 4
8 9 7partition 7 8 9
7 9
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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo
Quicksort executa no pior caso ?
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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo
Quicksort executa no pior caso ?● Certamente a operação de divisão tem complexidade (n),
mas o tamanho dos dois subproblemas depende do pivô escolhido.
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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo
Quicksort executa no pior caso ?● Certamente a operação de divisão tem complexidade (n),
mas o tamanho dos dois subproblemas depende do pivô escolhido.
● No pior caso, cada divisão sucessiva do Quicksort separa um único elemento dos demais, recaindo na recorrência:
T(n) =
)
0, se n = 1T(n) = T(n − 1) + n, se n > 1,
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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo
Quicksort executa no pior caso ?● Certamente a operação de divisão tem complexidade (n),
mas o tamanho dos dois subproblemas depende do pivô escolhido.
● No pior caso, cada divisão sucessiva do Quicksort separa um único elemento dos demais, recaindo na recorrência:
T(n) =
)
0, se n = 1T(n) = T(n − 1) + n, se n > 1,
● Portanto, (n2) comparações e trocas são executadas no pior caso!!!!!!
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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????
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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????● Então, o algoritmo Quicksort é assintoticamente menos
eficiente que o Mergesort no pior caso.
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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????● Então, o algoritmo Quicksort é assintoticamente menos
eficiente que o Mergesort no pior caso.● Entretanto, no caso médio, o Quicksort efetua (n log n)
comparações e trocas.
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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????● Então, o algoritmo Quicksort é assintoticamente menos
eficiente que o Mergesort no pior caso.● Entretanto, no caso médio, o Quicksort efetua (n log n)
comparações e trocas.● Assim, na prática, o Quicksort é bastante eficiente, com
uma vantagem adicional em relação ao Mergesort: é “in place”, isto é, não utiliza um vetor auxiliar.
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Dividir e Conquistar● Considerando que o pior caso não ocorre com freqüência, pois usualmente, pegando um “pivô” aleatório, é “muito difícil” escolher sempre um pivô que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o pivô, com tamanhos (n-1) e 1....
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Dividir e Conquistar● Considerando que o pior caso não ocorre com freqüência, pois usualmente, pegando um “pivô” aleatório, é “muito difícil” escolher sempre um pivô que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o pivô, com tamanhos (n-1) e 1....●Desta forma, supondo uma divisão do vetor de tamanho n em dois sub-vetores (n/2), e considerando o tempo de separação entre os maiores e os menores que o pivô sendo O(n)....
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Dividir e Conquistar● Considerando que o pior caso não ocorre com freqüência, pois usualmente, pegando um “pivô” aleatório, é “muito difícil” escolher sempre um pivô que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o pivô, com tamanhos (n-1) e 1....●Desta forma, supondo uma divisão do vetor de tamanho n em dois sub-vetores (n/2), e considerando o tempo de separação entre os maiores e os menores que o pivô sendo O(n)....●O tempo médio T(n)=2T(n/2)+O(n) = O(n lg n)
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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?
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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?● Vocês tinham que perguntar?????
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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?● Vocês tinham que perguntar?????● Este algoritmo chama-se “HeapSort”.
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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?● Vocês tinham que perguntar?????● Este algoritmo chama-se “HeapSort”.● E é baseado numa estrutura de dados “inteligente” denominada “Heap”..... implementa uma “fila de prioridades”....● Podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!● (Mas o Quicksort ainda é mais rápido!!!!)
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Dividir e Conquistar● Ordenação por Heap(HeapSort):● Tarefa: Implementar a estrutura de dados “Heap” para podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!
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Dividir e Conquistar● Ordenação por Heap(HeapSort):● Tarefa: Implementar a estrutura de dados “Heap” para podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!● Mas o que é um Heap???
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Dividir e Conquistar● Ordenação por Heap(HeapSort):● Tarefa: Implementar a estrutura de dados “Heap” para podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!● Mas o que é um Heap???● É uma “simulação” de uma árvore binária completa utilizando um vetor!!!!
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Dividir e Conquistar● Heap:● Vetor que apresenta as seguintes características:● Vetor A de tamanho N (lenght(A) = nº de nodos da árvore)● A[1] = raiz da árvore binária (primeira posição do vetor)● Para calcular a posição de qualquer nodo, utilizamos as funções PARENT, LEFT E RIGHT:PARENT(i)
return i/2 ⌊ ⌋LEFT(i)
return 2i RIGHT(i)
return 2i + 1
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Dividir e Conquistar● Heap: (Cormen)
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Dividir e Conquistar● Heap: ● Característica que distingue um Heap de uma árvore binária :● A[PARENT(i)] ≥ A[i] (Max-Heap)
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Dividir e Conquistar● Como utilizar um Heap para Ordenar????● O Heap permite que o elemento máximo do conjunto seja
determinado e corretamente posicionado no vetor em tempo constante, trocando o primeiro elemento do heap com o último.
● O trecho restante do vetor (do índice 1 ao n −1), que pode ter deixado de ter a estrutura de heap, volte a tê-la com número de trocas de elementos proporcional à altura da árvore.
● O algoritmo Heapsort consiste então da construção de um heap com os elementos a serem ordenados, seguida de sucessivas trocas do primeiro com o último elemento e rearranjos do heap.
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Dividir e Conquistar● HeapSort(A, n) - Pseudo-Código:
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Dividir e Conquistar● AjustaHeap(A, i, n) - Pseudo-Código:
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Dividir e Conquistar●Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):
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Dividir e Conquistar●Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):
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Dividir e Conquistar●Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):
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Dividir e Conquistar● Complexidade do HeapSort:● Quantas comparações e quantas trocas são
executadas no pior caso na etapa de ordenação do algoritmo Heapsort?
● No pior caso, a função AjustaHeap efetua (h) comparações e trocas, onde h é a altura do heap que contém os elementos que resta ordenar.
● Como o heap representa uma árvore binária completa, então h ∈ Θ(log i ), onde i é o número de elementos do heap.
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Dividir e Conquistar● Complexidade do HeapSort:● Logo, a complexidade da etapa de ordenação do
Heapsort é:
● Portanto, no pior caso, a etapa de ordenação efetua O(n log n) comparações e trocas!
● Mas e a construção do Heap????
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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap()\
●Se o trecho de 1 a i do vetor tem estrutura de Heap, é fácil adicionar a folha i + 1 ao Heap e em seguida rearranjá-lo,garantindo que o trecho de 1 a i + 1 tem estrutura de Heap.● Esta é a abordagem top-down para construção do Heap.
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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, n) – Pseudo-Código (Top-Down):
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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, n) – (Top-Down):● Quantas comparações e quantas trocas são
executadas no pior caso na construção do heap pela abordagem top-down ?
● O rearranjo do heap na iteração i efetua (h) comparações e trocas no pior caso, onde h é a altura da árvore representada pelo trecho do Heap de 1 a i . Logo, h ∈ Θ(log i ).
● Portanto, o número de comparações e trocas efetuadas construção do Heap por esta abordagem é:
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Dividir e Conquistar● Então, o algoritmo Heapsort efetua ao todo Θ (n log n) comparações e trocas no pior caso.
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Dividir e Conquistar● Então, o algoritmo Heapsort efetua ao todo Θ (n log n) comparações e trocas no pior caso.●(Bem....sendo mais preciso, executa 2 n log n comparações e trocas......)
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Dividir e Conquistar● Então, o algoritmo Heapsort efetua ao todo Θ (n log n) comparações e trocas no pior caso.●(Bem....sendo mais preciso, executa 2 n log n comparações e trocas......)●Mas existe maneira mais eficiente de construir um Heap?
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Dividir e Conquistar● Suponha que o trecho de i a n do vetor é tal que, para
todo j , i ≤ j ≤ n, a subárvore de raiz j representada por esse trecho do vetor tem estrutura de heap.
● Note que, em particular, o trecho de ⌊n/2⌋ + 1 a n do vetor● satisfaz a propriedade, pois inclui apenas folhas da árvore● binária de n elementos.● Podemos então executar AjustaHeap(A, i − 1, n),
garantindo assim que o trecho de i − 1 a n satisfaz a propriedade.
● Esta é a abordagem bottom-up para construção do Heap.
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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, n) – Pseudo-Código Alternativo...:
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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, 6) – Exemplo: A=[2,9,7,6,5,8]
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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap – Complexidade:● Quantas comparações e quantas trocas são executadas
no pior caso na construção do Heap pela abordagem bottom-up ?
● O(n lo g n)!● Mas é possível provar matematicamente que este pior
caso é O(n).... utilizando o conhecimento sobre a “altura” de cada sub-árvore aonde se executa o AjustaHeap().
● Ainda assim, o algoritmo HeapSort() continua sendo Θ(n lo g n)
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Dividir e Conquistar● Parte Prática:● Implementar os algoritmos “MergeSort”, “QuickSort” e “HeapSort” apresentados, rodar uma “batelada” de testes para medir os tempos de execução e a quantidade de comparações executada por cada algoritmo, comparando os resultados!
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Dividir e Conquistar - Conclusão:● Estes slides são baseados no material
disponibilizado pelos profs. Cid Carvalho de Souza e Cândida Nunes da Silva, da UNICAMP.
● Qualquer incorretude é, entretanto, de inteira responsabilidade do prof. João Alberto Fabro, da UTFPR.
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Dividir e Conquistar - Prós e Contras:
● Prós:●
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Dividir e Conquistar - Prós e Contras:
● Contras:●