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LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

ESTRUTURAS DE BETÃO 2

Ano Lectivo 2002/03

VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Prof. Joaquim A. Figueiras

Faculdade de Engenharia da U.P. DECivil Junho 1997

Verificação aos Estados Limites de Utilização

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................1

1.1 ACÇÕES E EFEITOS DAS ACÇÕES .................................................................2

1.1.1 Acções ...................................................................................................2

1.1.2 Combinações de acções.........................................................................3

1.1.3 Métodos de análise para os Estados Limites de Utilização...................4

1.2 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS..................................................................5

2. LIMITAÇÃO DE TENSÕES EM CONDIÇÕES DE SERVIÇO........................................12

2.1 LIMITAÇÃO DE TENSÕES DE TRACÇÃO NO BETÃO ................................12

2.2 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO NO BETÃO ......................13

2.3 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES NA ARMADURA ..............................................15

2.4 MÉTODOS DE VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES ..............................................15

2.4.1 Dispensa de verificação.........................................................................15

2.4.2 Métodos para o cálculo das tensões ......................................................16

3. ESTADOS LIMITES DE FENDILHAÇÃO........................................................................22

3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS...............................................................................22

3.1.1 Limites de abertura de fendas................................................................22

3.1.2 Causas da fendilhação ...........................................................................24

3.1.3 Comportamento em estado fendilhado..................................................30

3.1.4 Mecanismo de formação de fendas .......................................................32

3.1.5 Cálculo da abertura de fendas ...............................................................35

3.1.5 Limites a considerar ..............................................................................38

3.2 ÁREAS MÍNIMAS DE ARMADURA.................................................................39

3.2.1 Solicitações devidas a deformações impostas .......................................39

3.2.2 Critério de não plastificação da armadura.............................................42

3.2.3 Armaduras mínimas (de acordo com o EC2) ........................................44

3.3 PROCESSO SIMPLIFICADO DE CONTROLO DA FENDILHAÇÃO .............49

3.4 ARMADURA COMPLEMENTAR PARA CONTROLAR A FENDILHAÇÃO52

3.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO............................................................................54

3.5.1 Parede sujeita à restrição de deformações impostas .............................54

3.5.2 Lajes com deformação impedida...........................................................56

3.5.3 Laje duma varanda ................................................................................57

3.5.4 Laje de piso de um edifício ...................................................................58

3.5.5 Laje de cobertura em terraço.................................................................59

4. ESTADOS LIMITES DE DEFORMAÇÃO........................................................................61

4.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................61

4.2 PRINCÍPIO DO CÁLCULO “EXACTO” ............................................................62

4.2.1 Modelo idealizado para o cálculo de Deformações em Elementos Fendilhados sujeitos ao Esforço Axial e/ou Momentos flectores.........63

4.2.2 Curvatura média - flexão simples..........................................................68

4.2.3 Cálculo das deformações por integração - princípios ...........................69

3.2.4 Deformações reais .................................................................................70

4.3 MÉTODO BILINEAR - CÁLCULO DE FLECHAS ...........................................71

4.3.1 Flexão simples - simplificações utilizadas ............................................73

4.3.2 Cálculo da flecha provável ....................................................................74

4.3.3 Extensão do método ao cálculo de flechas em lajes..............................77

4.4 MÉTODO DOS COEFICIENTES GLOBAIS - ESTIMATIVA DE FLECHAS .78

4.5 EXEMPLO............................................................................................................81

4.6 RAZÕES PARA O CONTROLO DAS DEFORMAÇÕES..................................83

4.7 ESTIMATIVA DA FLECHA A LONGO PRAZO...............................................87

4.7.1 Exemplo de aplicação............................................................................89

4.8 VERIFICAÇÃO PRÁTICA DAS FLECHAS.......................................................90

4.8.1 Limites da relação vão/altura útil ..........................................................90

VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Joaquim A. Figueiras

1. INTRODUÇÃO

O Eurocódigo 2 trata com algum detalhe os três estados limites de utilização mais comuns:

- limitação de tensões em serviço (cláusula 4.4.1);

- limitação da fendilhação (4.4.2);

- limitação da deformação (cláusula 4.4.3 e Anexo 4).

Outros estados limites particulares como sejam os que se referem às vibrações ou impermeabilidade das estruturas não são tratados no Eurocódigo 2.

Os estados limites de utilização condicionam também o dimensionamento das estruturas de betão, podendo determinar as dimensões das secções de betão e a quantidade e disposição das armaduras. A sua maior ou menor influência no dimensionamento, depende do tipo de acções (forças, deformações impostas, pré-esforço) e dos requisitos exigidos para os elementos estruturais, particularmente no que se refere à aparência, condições de utilização e durabilidade.

O Eurocódigo 2 trata conjuntamente as disposições a aplicar a elementos estruturais de betão armado e de betão pré-esforçado. Em geral as verificações em serviço são mais condicionantes para as estruturas pré-esforçadas.

O dimensionamento para qualquer estado limite requer a definição de:

a) as acções e combinações apropriadas e os métodos de análise estrutural de modo que os efeitos das acções (esforços, tensões, deformações) possam ser calculados;

b) as propriedades dos materiais a serem consideradas na verificação;

c) critérios que definam os limites de desempenho adequado;

Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 2

d) os métodos de cálculo e de verificação dos parâmetros de desempenho.

A secção 4.4 do Eurocódigo 2 trata apenas dos pontos c) e d), podendo o ponto a) ser encontrado no Capítulo 2 (cláusulas 2.3.4 e 2.5.3.1) e o ponto b) no Capítulo 3. Os dois primeiros pontos irão ser sumarizados nesta introdução.

Em muitos casos não será necessário efectuar cálculos explícitos para os estados limites de utilização, pois o Eurocódigo 2 apresenta processos simples de verificação para os três estados limites tratados.

1.1 ACÇÕES E EFEITOS DAS ACÇÕES

1.1.1 Acções

Na verificação aos estados limites de utilização todas as acções, quer directas (cargas aplicadas), quer indirectas (deformações impedidas) devem ser tomadas em conta.

As acções indirectas provêm de deformações impostas à estrutura, devido por exemplo à variação de temperatura, à retracção do betão, a assentamento de apoios, à fluência diferencial do betão, etc. Trata-se geralmente de deformações impedidas, isto é, deformações impostas à estrutura que não se puderam desenvolver livremente devido às ligações super-abundantes (figura 1.1). As solicitações geradas pelas acções indirectas não resultam de considerações de equilíbrio mas sim de compatibilidade de deformações. Quanto mais deformável for a estrutura (EI, GIT, EA baixos) menores são as solicitações. No limite, se a estrutura for muito deformável como é o caso na vizinhança de um mecanismo de rotura dúctil, estas solicitações poderão ser totalmente desprezadas.

Fig. 1.1 - Exemplos de deformações impostas.


Nas estruturas de betão, o papel desempenhado pelas acções indirectas é primordial. No passado foram muitas vezes desprezadas, mas a experiência tem mostrado que uma parte importante dos danos, insuficiências e mau desempenho em serviço resulta não do efeito das cargas, mas do efeito das deformações impostas. O estado de serviço deve pois ser verificado, tendo em conta cuidadosamente os efeitos das deformações impostas. Não se diz o mesmo do estado de rotura onde as deformações impostas podem geralmente ser desprezadas.

1.1.2 Combinações de acções

Para verificação da segurança aos E.L. de Utilização, são três as combinações de acções a considerar, as quais dependem da duração do estado limite em causa.

Combinações raras - correspondem a estados limites de muito curta duração. São combinações de acções que solicitarão a estrutura durante apenas algumas horas do seu período de vida (em geral 50 anos).

Combinações frequentes - correspondem a estados limites de curta duração. Combinações de acções com duração da ordem dos 5% do período de vida da estrutura.

Combinações quase-permanentes - correspondem a estados limites de longa duração. Combinações de acções que poderão actuar na estrutura durante metade do seu período de vida.

As expressões seguintes definem as três combinações de acções para os estados limites de utilização:

Combinação rara (ou característica)

( )∑ ∑>

Ψ+++1

,,01,,i

ikikjk QQPG

Combinação frequente

( )∑ ∑>

Ψ+Ψ++1

,,21,1,1,i

ikikjk QQPG

Combinação quase permanente

( )∑ ∑≥

Ψ++1

,,2,i

ikijk QPG


Para as estruturas de edifícios, a combinação rara pode ser simplificada de acordo com as expressões seguintes, que também podem ser utilizadas para a combinação frequente.

- situações de projecto com uma única acção variável, Qk,1

( )∑ ++ 1,, kjk QPG

- situações de projecto com duas ou mais acções variáveis, Qk,i

( )∑ ∑≥

++1

,, 9.0i

ikjk QPG

A expressão a utilizar é a que conduzir ao valor mais elevado.

No quadro 1.1 apresentam-se os factores de combinação para algumas acções variáveis de acordo com o RSAEP.

Quadro 1.1 - Factores de combinação para algumas acções.

Acção Ψ0 Ψ1 Ψ2

Variações de temperatura 0.6 0.5 0.3

Vento 0.4 (0.6) 0.2 0.0

Neve 0.6 0.3 0.0

Sismos 0.0 0.0 0.0

Sobrecargas em pavimentos

- carácter privado 0.4 0.3 0.2

- escritórios 0.7 0.6 0.4

- garagens 0.8 0.7 0.6

1.1.3 Métodos de análise para os Estados Limites de Utilização

A análise da estrutura em condições de serviço é normalmente baseada na teoria linear elástica, determinando a rigidez do elemento na hipótese de secção não fendilhada e com o módulo de elasticidade do betão, Ecm, definido em 3.1.2.5.2 do EC2.


Nos casos em que a fendilhação do betão tenha um efeito desfavorável significativo sobre o desempenho da estrutura, esta deve ser tomada em consideração na análise.

Para acções de longa duração, os efeitos da fluência do betão podem ser tidos em conta introduzindo o módulo efectivo do betão definido no Anexo 4 do EC2 (A..4.3):

E Ec eff

cm, =

+1 ϕ

onde:

Ecm - é o módulo de elasticidade secante;

ϕ - é o coeficiente de fluência.

Os métodos de análise não linear podem ser utilizados em qualquer situação, mas os métodos de análise plástica não devem ser usados em condições de serviço.

1.2 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

As propriedades dos materiais que geralmente tem mais importância na verificação são, a resistência do betão à tracção, o módulo de elasticidade do aço e do betão, o coeficiente de fluência e a extensão de retracção do betão. Esta informação é dada no Capítulo 3 do EC2 e é aqui apenas sumarizada. Recorde-se que os coeficientes de segurança parciais a aplicar às propriedades dos materias, γM, são tomados iguais a 1.0 nas verificações em serviço.

.1 Resistência do betão à tracção

Os valores médio e característico da resistência à tracção do betão poderão ser obtidos a partir do valor característico da tensão de rotura à compressão em cilindros, fck, de acordo com as seguintes expressões:

f fctm ck= 0 30 2 3. /

f fctk ctm0 05 0 7. .=

f fctk ctm0 95 1 3. .=

em que (ver figura 1.2):

fctm - valor médio da resistência à tracção;


fctk0 05. - valor característico inferior da tensão de rotura à tracção (quantilho de 5%);

fctk0 95. - valor característico superior da tensão de rotura à tracção (quantilho de 95%).

Fig. 1.2 - Distribuição da resistência do betão à tracção.

No quadro 1.2 apresentam-se estes valores para as diferentes classes de resistência do betão.

Quadro 1.2 - Valores característicos da resistência à compressão em cilindros e valores médios e característicos da resistência à tracção do betão.

Classe de resistência do

betão C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fctm 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

fctk 0.05 1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.2 2.5 2.7 2.9

fctk 0.95 2.0 2.5 2.9 3.3 3.8 4.2 4.6 4.9 5.3


Fig. 1.3 - Valores da resistência do betão à tracção.

A resistência do betão à tracção apresenta para uma dada classe de betão uma grande variabilidade (figura 1.3). Os valores extremos podem diferir de mais de 30% em relação ao valor médio.

A resistência efectiva ou aparente do betão à tracção numa obra, fct,ef, pode diferir sensivelmente do seu valor convencional, seja fctm, definido nos regulamentos e válido para pequenos provetes. As razões desta diferença são numerosas e complexas. Provem por um lado das condições de colocação em obra e cura do betão e por outro lado, das condições do ambiente que são muito diferentes. Por estas razões, a resistência à tracção de um elemento em obra é geralmente inferior à dos correspondentes provetes confeccionados do mesmo betão, devido a micro-fissuras superficiais. Estas micro-fendas provém da heterogeneidade do material (inertes, pasta de cimento, armadura) e de estados de tensão auto-equilibrados devidos a gradientes térmicos e à retracção de secagem (figura 1.4). Esta redução de resistência será tanto mais significativa quanto maiores forem as dimensões da secção do elemento. Uma outra razão desta diferença é devida ao efeito do tempo. A resistência do betão à tracção depende, como a sua resistência à compressão, da duração e da idade de aplicação da carga. Estes dois efeitos sobre a resistência à tracção em obra podem eventualmente neutralizarem-se para idades superiores aos 28 dias.


Fig. 1.4 - Influência dos estados auto-equilibrados de tensão na sua resistência à tracção.

A resistência efectiva do betão à tracção em termos médios, pode ser definida por:

f fct ef t h ctm, = ⋅ ⋅η η

em que:

ηt - é um coeficiente de minoração permitindo ter em conta a evolução da resistência à tracção nas idades jovens.

t (dias) 3 7 ≥ 28

ηt 0.5 0.75 1.0

ηh - é um coeficiente de minoração função da espessura h do elemento em obra, que tem em conta a micro-fendilhação e as fendas superficiais que resultam dos estados auto-equilibrados de tensão. Este coeficiente está definido na figura 1.4.

.2 Módulos de Elasticidade

Para o aço da armadura ordinária é tomado o valor Es = 200GPa (ou kN/mm2). Para o aço de pré-esforço o valor Ep = 200GPa é em geral admitido para fios e varões, e um valor Ep = 190GPa é tomado para cordões de pré-esforço.

O valor médio do módulo secante (σc = 0.4 fc) do betão Ecm é função da resistência em cilindros para a idade considerada. Este módulo varia com outros factores para além da resistência (por exemplo, com o tipo de inertes) e se a avaliação das condições de serviço exigirem maior rigor o valor de Ecm deve ser determinado por testes.


O módulo de elasticidade do betão é dado por:

E fcm cm= 9 5 1 3. / com Ecm em kN/mm2

( ) 3/185.9 += ckf fcm, fck em N/mm2

O quadro 1.3 especifica os valores de Ecm para as várias classes de resistência do betão.

Quadro 1.3 - Valores do módulo de elasticidade secante Ecm (em GPa).

Classe de resistência C

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

Ecm 26 27.5 29 30.5 32 33.5 35 36 37

.3 Coeficiente de dilatação térmica

O coeficiente de dilatação térmica do betão pode variar entre 6×10-6 a 15×10-6 dependendo do tipo de inertes e da humidade.

Para efeitos de cálculo, nos casos correntes, o coeficiente de dilatação térmica do betão e do aço poderá considerar-se igual a α = 10×10-6/ºC.

.4 Coeficiente de fluência e extensão de retracção

A fluência e retracção do betão dependem principalmente da humidade ambiente, das dimensões do elemento e da composição do betão. A fluência também é afectada pela maturidade do betão quando do primeiro carregamento e pela duração e intensidade da carga. Qualquer estimativa do coeficiente de fluência, φ(t,t0), e da extensão de retracção, εcs, deverá ter em conta estes parâmetros.

Nos casos em que não seja necessária grande precisão, os valores apresentados nos quadros 1.4 e 1.5 poderão ser considerados , respectivamente, como o coeficiente final de fluência φ(∞,t0) e a extensão de retracção final εcs∞ de um betão de peso normal submetido a uma tensão de compressão não superior a 0.45 fck na idade t0 do primeiro carregamento. No quadro 1.4 o coeficiente de fluência φ(∞,t0) é função de Ecm, determinado de acordo com o quadro 1.3. Quando for necessária uma maior precisão, deverá consultar-se o Anexo 1 do EC2.


Os dados apresentados nos quadros 1.4 e 1.5 aplicam-se a uma gama de temperaturas médias do betão entre 10ºC e 20ºC. Por conseguinte, poderão aceitar-se variações sazonais da temperatura entre -20ºC e +40ºC. Do mesmo modo, são aceitáveis variações da humidade relativa em torno dos valores médios apresentados, que se situem entre RH = 20% e RH = 100%.

Quadro 1.4 - Coeficiente final de fluência φ(∞,t0) para betão de peso normal.

Idade de Espessura equivalente 2Ac/u (em mm)

carregamento 50 150 600 50 150 600

t0 (dias) Atmosfera seca (interior) (RH = 50%) Atmosfera húmida (exterior) (RH = 80%)

1 5.5 4.6 3.7 3.6 3.2 2.9

7 3.9 3.1 2.6 2.6 2.3 2.0

28 3.0 2.5 2.0 1.9 1.7 1.5

90 2.4 2.0 1.6 1.5 1.5 1.4

365 1.8 1.5 1.2 1.1 1.0 1.0

Quadro 1.5 - Extensões finais de retracção εcs∞ (em %o) para betão de peso normal.

Localização do Humidade relativa Espessura equivalente 2Ac/u (mm)

elemento (%) ≤ 150 600

Interior 50 -0.60 -0.50

Exterior 80 -0.33 -0.28

em que:

Ac - é a área da secção transversal do betão;

u - é o perímetro dessa área em contacto com a atmosfera.

O desenvolvimento da fluência e da retracção com o tempo estão ilustrados na figura 1.5.


a)

b)

Fig. 1.5 - Desenvolvimento do coeficiente de fluência e da extensão da retracção com o tempo.


2. LIMITAÇÃO DE TENSÕES EM CONDIÇÕES DE SERVIÇO

As regras de dimensionamento do Eurocódigo 2 para os estados limites últimos podem, em certos casos, conduzir a tensões excessivas no betão, na armadura ordinária e armadura de pré-esforço. Estas tensões podem, em consequência, afectar negativamente a aparência e desempenho em serviço e a durabilidade das estruturas de betão.

Pode, assim, ser necessário verificar em condições de serviço as seguintes limitações de tensões:

- tensões de tracção no betão;

- tensões de compressão no betão;

- tensões de tracção na armadura.

2.1 LIMITAÇÃO DE TENSÕES DE TRACÇÃO NO BETÃO

A limitação de tensões de tracção no betão é muitas vezes uma medida adequada para reduzir o risco de fendilhação.

Estado de Limite de Formação de Fendas

Uma forma expedita de verificar o estado limite de abertura de fendas em elementos pré-esforçados (ex: lajes de elementos pré-esforçadas), ou de atribuir a espessura a um reservatório cilíndrico de betão armado que deve garantir certa estanqueidade, consiste em limitar as tensões de tracção no betão em condições de serviço a:

σc ctkf≤ 0 05. (ou fctm)

Isto é, as tensões na fibra mais traccionada da secção não devem ultrapassar a resistência característica inferior do betão à tracção, ou em certos casos, a sua tensão média.


Estado Limite de Descompressão

O estado limite de descompressão corresponde a exigir que a secção deva estar livre de tensões de tracção, isto é, toda a secção deve estar comprimida. Este estado limite é em geral aplicado às estruturas com armadura de pré-esforço que é muito sensível à corrosão:

σc ≤ 0

em toda a secção ou em zonas localizadas.

Segundo o EC2 o limite de descompressão requer que, sob a combinação frequente de acções, todas as partes dos cabos ou da baínha fiquem pelo menos 25mm dentro do betão em compressão (ver figura 2.1).

1

1 cabo de pré-esforço y0

P

SECÇÃO 1-1

-

σc=0tracções

comp.

y0 25mm≥

Fig. 2.1 - Condições de verificação ao E.L. de Descompressão segundo o EC2.

O cálculo das tensões é baseado nas características das secções não fendilhadas, devendo considerar-se a área e o momento de inércia das secções homogeneizadas.

2.2 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO NO BETÃO

Para limitar o risco de fendilhação longitudinal

Nas estruturas de betão, podem ocorrer fendas longitudinais paralelas aos varões da armadura, se o nível das tensões no betão sob combinações raras de acções exceder um valor crítico. Esta fendilhação, ou micro-fendilhação na vizinhança da armadura aumenta a permeabilidade da superfície de betão reduzindo a durabilidade das estruturas.


Na ausência de outras medidas, tais como o aumento do recobrimento da armadura na zona comprimida ou o confinamento pela armadura transversal (ex: cintas, varões transversais) é conveniente considerar a tensão máxima de compressão limitada a:

σc ckf≤ 0 6. combinações raras

em áreas expostas a ambientes de classe de exposição 3 ou 4 (ver quadro 2.3, pg. 27 do texto “Bases para o Dimensionamento”). Note-se que o REBAP no Artº 71 condiciona o valor da tensão máxima de compressão a σc cdf≤ ( )ckck ff 67.05.1/ ≅= .

M

N

σc

Fs

Fig. 2.2 - Limitação da tensão de compressão no betão para evitar a fendilhação longitudinal.

É de referir que este critério da tensão máxima de compressão pode condicionar o dimensionamento de vigas à flexão simples em particular para percentagens elevadas de armadura longitudinal, ρl. É um critério que pode condicionar o dimensionamento de secções sujeitas à flexão composta especialmente no caso de secções pré-esforçadas.

Para controlar a fluência

As deformações de fluência podem exceder os valores dados pelos métodos indicados no Eurocódigo 2 se as tensões no betão, sob combinações quase permanentes de acções, excederem 0.45 fck.

σc ckf≤ 0 45.

comb. quase permanentes

σc

Esα =cE

= 15

Este limite deve, em geral, ser considerado na verificação em serviço de estruturas pré-esforçadas e no caso de elementos flectidos de betão armado quando a relação vão/altura útil exceder 85% dos valores indicados para satisfazer o estado limite de deformação (quadro 4.__).


Para situações de projecto transitórias (fase de construção) a tensão, σc poderá ser limitada a um valor entre 0.45fck e 0.60fck, dependendo da sua duração.

2.3 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES NA ARMADURA

As tensões na armadura que, em condições de serviço, possam levar a deformações não elásticas do aço (εs > εsy, εsy é a deformação de cedência) devem ser evitadas pois resultam em fendas largas e permanentemente abertas no betão com consequências para a durabilidade.

Este requisito será cumprido desde que sob combinações raras de acções as tensões de tracção na armadura não excedam:

σ s ykf≤ 0 8. , combinações raras.

Deste modo as deformações impostas ou outros efeitos das acções que não posssam ser considerados nos cálculos não levarão à cedência da armadura.

Nos casos em que a tensão seja devida apenas a deformações impostas, um limite de

σ s ykf≤ 1 0. será aceitável.

Por razões idênticas, nas estruturas pré-esforçadas, a tensão nos cordões de pré-esforço, σp, não devem exceder,

σ p pkf≤ 0 75.

depois da transferência do pré-esforço para o betão, onde fpk é a resistência característica do aço de pré-esforço.

2.4 MÉTODOS DE VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES

2.4.1 Dispensa de verificação

Segundo o Eurocódigo 2 (cláusula 4.4.1.2(2)), em geral, pode considerar-se que as limitações das tensões indicadas atrás são satisfeitas (excepto para a armadura de pré-esforço), sem necessidade de outros cálculos desde que:


a) o dimensionamento em relação aos estados limites últimos tenha sido efectuado de acordo com a cláusula 4.3 do EC2;

b) as exigências relativas à armadura mínima estipuladas em 4.4.2.2 (EC2) tenham sido cumpridas;

c) as disposições construtivas respeitem o estipulado no Capítulo 5 (EC2);

d) não tenha sido considerada uma redistribuição superior a 30% na análise relativa ao estado limite último, isto é, 0.7 ≤ δ ≤ 1.0 (ver figura 2.3).

comb. raras

diagramaredistribuído

Msd,el (=400kN.m)

diagrama elástico

As,el

s(=300kN.m)Msd,r A < s,elA

s(=270kN.m)Msk A (comb. raras)δ =0.75A500

(E.L. último)

(E.L. último)

σ s MSd r, , .MPa= =

5001 15

435 σ s Msk, MPa≅ × ≅435 270300

390 ( )LIMITE4008.0 =ykf

Fig. 2.3 - Verificação da tensão máxima da armadura em serviço (comb. raras) num tramo extremo de viga com redistribuição δ = 0.75 do momento no apoio.

2.4.2 Métodos para o cálculo das tensões

Para o cálculo das tensões deve ter-se em conta a possibilidade de fendilhação da secção devida às cargas de serviço e, também, aos efeitos da fluência e da retracção e ainda, da variação de temperatura.


Os efeitos da fluência do betão podem ser tidos em conta usando um módulo de elasticidade equivalente para o betão (ver 1.1.3) na determinação do coeficiente de homogeneização. Quando mais de 50% da tensão é provocada por acções quase permanentes poderá admitir-se um coeficiente de homogeneização α = Es/Ec,eq = 15. Caso contrário, poderá admitir-se um valor de α entre 15 e o valor para acções de curta duração ( )cms EE /=α .

O cálculo das tensões poderá ser conduzido em secção não fendilhada ou em secção fendilhada. Nos casos em que a tensão de tracção máxima no betão, calculada com base numa secção não fendilhada para a combinação rara de acções, for superior a fctm, deverá admitir-se a situação de secção fendilhada.

Análise de tensões em secção não fendilhada (estado I)

As tensões são verificadas considerando que toda a secção de betão está activa e que tanto o aço como o betão são elásticos em tracção e em compressão. Utilizando as expressões da resistência de materiais:

i) no caso de flexão

σcci

MI

y= ⋅ , σ ασs c=

ii) no caso de flexão composta

σcci ci

NA

MI

y= + ⋅ , σ ασs c=

em que M e N são o momento flector e o esforço axial correspondentes à combinação em causa, referentes ao centro geométrico da secção de betão, e Aci e Ici são a área e o momento de inércia da secção homogeneizada.

No caso de percentagens de armadura baixas e não ser exigido grande rigor, podem ser tomadas em conta apenas as características geométricas da secção de betão (Ac e Ic).

Análise de tensões em secção fendilhada (estado II)

No caso de situações de secção fendilhada (σct > fctm - comb. raras), considera-se que o betão é elástico em compressão mas que é incapaz de suportar qualquer tracção.


Não sendo a secção totalmente activa, a posição do eixo neutro na secção terá de ser encontrada por condições de equilíbrio estático, resultando numa equação do 2º grau para uma secção rectangular sujeita apenas a um momento flector (ver figura 2.4).

M

σc

e n d

b

h

cε = Ec cε

=x ξd

Esσ= sα α

sε

esforço extensões tensões

ζz = d = d - 13

x

Fst

forças internas

1/3 x

Sε

FC

Fig. 2.4 - Análise de uma secção fendilhada sujeita a um momento flector.

Com referência à figura 2.4, a equação que permite determinar a posição do eixo neutro para uma secção rectangular sem armadura de compressão:

ξ αρξ αρ2 2 2 0+ − =

a tensão máxima no betão é dada por,

( ) 223/12

bdMC

bdM

cc ⋅=−

=ξξ

σ

e na armadura,

( ) 223/11

bdMC

bdM

ss ⋅=⋅−

=ζρ

σ

sendo:

ξ = x/d; α = Es/Ec; ρ = As/bd; ζ = z/d

No quadro 2.1 estão especificados os valores de ξ, Cs, Cc e ζ para a gama mais corrente de percentagens de armadura e admitindo α = 10. Para valores de α diferentes de 10 deve

entrar-se na tabela com ρ ρ α=

10 e tomar no cálculo de σs o valor de C Cs s=

α10

.


Quadro 2.1 - Coeficientes Cc e Cs para o cálculo das tensões em secções rectangulares à flexão simples sem armadura de compressão (α = 10).

ρ (%) ξ Cc Cs ζ

ρ (%) ξ Cc Cs ζ

0.10 0.12 0.14 0.16 0.18

0.132 0.143 0.154 0.164 0.173

15.87 14.65 13.70 12.93 12.30

1045.9 875.2 752.9 661.1 589.5

0.956 0.952 0.949 0.946 0.943

0.80 0.82 0.84 0.86 0.88

0.328 0.331 0.334 0.338 0.341

6.85 6.78 6.73 6.68 6.62

140.3 137.1 134.0 131.0 128.2

0.891 0.890 0.889 0.887 0.886

0.20 0.22 0.24 0.26 0.28

0.181 0.189 0.197 0.204 0.210

11.76 11.30 10.90 10.54 10.23

532.1 485.1 445.9 412.6 384.1

0.940 0.937 0.935 0.932 0.930

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98

0.344 0.347 0.350 0.352 0.355

6.57 6.52 6.47 6.43 6.38

125.5 122.9 120.4 118.0 115.8

0.885 0.884 0.883 0.882 0.881

0.30 0.32 0.34 0.36 0.38

0.217 0.223 0.229 0.235 0.240

9.94 9.69 9.46 9.25 9.05

359.3 337.6 318.4 301.4 286.1

0.928 0.926 0.924 0.922 0.920

1.00 1.02 1.04 1.06 1.08

0.358 0.361 0.364 0.366 0.369

6.34 6.30 6.26 6.22 6.18

113.6 111.5 109.4 107.5 105.6

0.881 0.880 0.879 0.878 0.877

0.40 0.42 0.44 0.46 0.48

0.246 0.251 0.256 0.261 0.266

8.87 8.70 8.54 8.40 8.26

272.3 259.8 248.5 238.1 228.6

0.918 0.916 0.915 0.913 0.912

1.10 1.12 1.14 1.16 1.18

0.372 0.374 0.377 0.379 0.382

6.14 6.10 6.07 6.03 6.00

103.8 102.0 100.3 98.7 97.1

0.876 0.875 0.874 0.874 0.873

0.50 0.52 0.54 0.56 0.58

0.270 0.275 0.279 0.283 0.288

8.14 8.02 7.90 7.80 7.69

219.8 211.7 204.2 197.2 190.7

0.910 0.909 0.907 0.906 0.904

1.20 1.22 1.24 1.26 1.28

0.384 0.387 0.389 0.392 0.394

5.97 5.94 5.90 5.87 5.84

95.6 94.1 92.7 91.3 89.9

0.872 0.871 0.870 0.869 0.869

0.60 0.62 0.64 0.66 0.68

0.292 0.296 0.300 0.303 0.307

7.60 7.51 7.42 7.34 7.26

184.6 178.9 173.6 168.6 163.9

0.903 0.902 0.900 0.899 0.898

1.30 1.32 1.34 1.36 1.38

0.396 0.399 0.401 0.403 0.405

5.82 5.79 5.76 5.73 5.71

88.6 87.4 86.1 84.9 83.8

0.868 0.867 0.866 0.866 0.865

0.70 0.72 0.74 0.76 0.78

0.311 0.314 0.318 0.321 0.325

7.18 7.11 7.04 6.97 6.91

159.4 155.1 151.1 147.4 143.8

0.897 0.895 0.894 0.893 0.892

1.40 1.50 1.60 1.80 2.00

0.407 0.418 0.428 0.446 0.463

5.68 5.56 5.45 5.26 5.11

82.7 77.5 72.9 65.3 59.1

0.864 0.861 0.857 0.851 0.846

A análise das tensões em secções rectangulares fendilhadas sujeitas à flexão composta é um pouco mais laboriosa, sendo necessário a elaboração de ábacos e tabelas (equivalentes às de cálculo à rotura) para facilitar a análise. Na figura 2.5 apresenta-se um ábaco auxiliar para a análise de secções rectangulares com armadura de flexão ordinária e de pré-esforço (sem armadura de compressão). Com o auxílio do ábaco a relação ξ = x/dr da profundidade do eixo neutro e a relação ζ = z/dr do braço das forças internas (de compressão no betão e de tração no aço) pode ser determinada.


Estes valores são dependentes do parâmetro N d MSd r Sdr* */⋅ em que NSd

* e MSdr* são os esforços

na secção definidos em relação ao centro de gravidade das armaduras de tracção:

N NSdr Sd* =

( )rSdSdSdr zNMM ⋅−=*

dA d A d

A Arp p s s

p s

=++

1 1

1 1

α ρes

c

p s

r

EE

A Ab d

≅+1 1

Fig. 2.5 - Ábaco para a avaliação das relações ξ = x/dr e ζ = z/dr em estado II no caso de secção rectangular sem armadura de compressão [__].

Após consulta de ξ e ζ = 1-ξ/3 no ábaco da figura 2.5 as tensões no estado II resultam directamente de:

11

**

11

psSds

r

Sdss AA

Nd

M+

+

⋅=

ζσ

σ σα

ξξc

s

e

r

s r

dd d2

1= ⋅⋅

− ⋅ com αe = Es/Ec.


Note-se, da expressão anterior, que a tensão instalada na armadura, σs, pode ser avaliada de forma simplificada arbitrando o valor z do braço das forças internas na secção:

+

+=∆= N

zM

AASds

psps

1σσ

MSds - é o momento flector em relação ao centro de gravidade da armadura de tracção.

O valor desta tensão é importante para efectuar um controlo simplificado da fendilhação.


3. ESTADOS LIMITES DE FENDILHAÇÃO

3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

O objectivo da cláusula 4.4.2 do EC2 é o de fornecer regras práticas para o controlo da fendilhação em elementos de betão armado e pré-esforçado de forma a garantir a adequada durabilidade. Com esse propósito são tratados:

a) o comportamento de elementos de betão fendilhado;

b) informação acerca da abertura de fendas que pode ser crítica com relação à durabilidade;

c) expressão adequada para calcular a abertura de fendas;

d) regras simplificadas para controlo da fendilhação que consistem na definição da armadura mínima, a limitação dos diâmetros dos varões e a limitação do espaçamento dos varões.

3.1.1 Limites de abertura de fendas

O aparecimento de fendas é quase inevitável em estruturas de betão. Existem várias razões para limitar a abertura das fendas a valores relativamente pequenos. São as seguintes as razões mais citadas:

• evitar a possível corrosão da armadura devido à penetração de agentes agressivos;

• evitar ou limitar a permeabilidade através das fendas. A falta de estanqueidade pode ser crítica no caso de reservatórios;

• evitar aparência desagradável.

Corrosão das armaduras

Trata-se da razão mais frequente invocada para controlar a fendilhação. A protecção contra a corrosão tem a ver fundamentalmente com requisitos de durabilidade; os limites a estabelecer


para a fendilhação terão a ver, quer com a agressividade do ambiente, quer com a sensibilidade das armaduras à corrosão.

Um adequado recobrimento das armaduras e um betão de boa qualidade (não poroso) são muito importantes como meio para proteger a armadura para além dos limites de fendilhação a impor.

Deve-se resistir à tentação de controlar a fendilhação pelo emprego de um número elevado de varões de pequeno diâmetro. O aumento de varões no seio do betão fendilhado aumenta o risco de aparição de corrosão importante. Para controlar as fendas com vista à corrosão será preferível se necessário recorrer a uma redução da tensão na armadura em vez do uso irrealista de varões e de espaçamentos muito pequenos.

Impermeabilidade aos líquidos

Para certas categorias de estruturas a possibilidade de fuga de água ou de outros líquidos ou gás armazenado através das fendas deverá ser considerada. A importância das fugas depende da natureza e da pressão do líquido ou gás, depende do tipo de fendas (atravessando toda a espessura ou não) e depende ainda da abertura das fendas.

A experiência prática tem demonstrado que fendas com abertura inferior a 0.2mm atravessando a secção podem iunicialmente deixar verter, mas rapidamente conseguem auto-colmatar-se de modo a garantir estanqueidade à água.

Aparência

As fendas podem ser desagradáveis e incomodar os ocupantes ou os proprietários dos imóveis. Hoje em dia não pode ser adoptado o ponto de vista de que interessa apenas uma estrutura segura sem preocupação com o aspecto. Um dos principais elementos para analisar da qualidade da vida humana é a qualidade das habitações. Um dos factores mais importantes para estimar a qualidade é o aspecto.

O valor da abertura de fendas aceitável do ponto de vista do aspecto depende de vários factores. Estudos efectuados sugerem que fendas sobre superfícies lisas com aberturas superiores a 0.3mm podem causar preocupação no público, sendo por isso de admitir aberturas máximas por volta deste valor.


3.1.2 Causas da fendilhação

Nesta secção será dada uma breve descrição das diferentes causas da fendilhação em estruturas de betão assim como as características das fendas resultantes.

.1 Fendilhação devida a acções directas

Corresponde à fendilhação resultante dos esforços nas secções (flexão, esforço transverso, tracção, etc.) devidas às cargas aplicadas. Trata-se do tipo de fendilhação normalmente analisado pelas fórmulas de abertura de fendas e pela teoria da fendilhação que consta no REBAP. Quando se observam fendas com aberturas grandes sob a acção das cargas, isso constitui quase sempre uma indicação que os cálculos em relação ao estado limite último foram mal efectuados. Poderá resultar de erros, ou dos efeitos de um caso particular de carga que foi mal compreendido ou desprezado. A consequência será a ausência de armadura para resistir a uma solicitação particular, ou uma quantidade de armadura insuficiente para essa solicitação que acaba por plastificar sob cargas de serviço.

Nas figuras 3.1 e 3.2 exemplificam-se alguns dos tipos de fendas que podem ocorrer por efeito de cargas aplicadas:

- fendas de tracção que atravessam em geral toda a secção;

- fendas de flexão que se desenvolvem do bordo mais traccionado para a linha neutra;

- fendas de corte que se desenvolvem obliquamente ao eixo da viga;

- fendas de torção inclinadas em relação ao eixo da viga e que se desenvolvem em hélice;

- fendas de aderência fendas que se desenvolvem ao longo das armaduras, partindo frequentemente de fendas de flexão. São as mais críticas sob o aspecto da corrosão;

- fendas por cargas que se desenvolvem na direcção da carga aplicada. concentradas


V

Fig. 3.1 - Fendilhação produzida por cargas aplicadas.


Fig. 3.2 - Fendilhação devida a cargas aplicadas.

.2 Fendilhação resultante de deformações impostas

Corresponde à fendilhação resultante de causas tais como o assentamento diferencial das fundações, a retracção ou a variação de temperatura. A característica de tais acções indirectas reside no facto de as tensões, por consequência das fendas, poderem aparecer quando a estrutura é hiperstática ou no interior das secções certas partes se opõe às deformações impostas. Quanto mais rígida for a estrutura ou as suas ligações para o deslocamento imposto, maiores serão as tensões e mais abertas serão as fendas. As juntas de dilatação nas pontes e nos edifícios constituem uma medida para minimizar os efeitos das acções indirectas.


Um caso típico de uma fendilhação precoce de origem térmica associada também à retracção é a que se pode desenvolver num muro de comprimento bastante superior à altura, encastrado na fundação ou ligado a uma etapa precedente de betonagem. Quando a parede arrefece e tende a encurtar é impedida pela fundação e a fendilhação pode desenvolver-se. A fendilhação típica dum muro sem juntas é a ilustrada na figura 3.3. Uma tal fendilhação pode ser controlada: i) limitando a elevação de temperatura devida à hidratação; ii) betonando etapas de pequeno comprimento; ou iii) por uma disposição adequada de armadura.

Fig. 3.3 - Fendilhação de um muro devido principalmente às deformações térmicas precoces.

.3 Fendilhação devida à retracção plástica e ao assentamento do betão fresco

A fendilhação plástica aparece passadas algumas horas após a colocação em obra do betão, durante as quais este se encontra ainda num estado plástico. Fendas superficiais em rede (figura 3.4a)) originadas geralmente pelas condições iniciais de secagem e desenvolvendo-se na camada superficial com apenas alguns milímetros de profundidade são típicas de retracção plástica.

a) fendas superficiais em rede b) fendas de assentamento ao longo dum varão

Fig. 3.4 - Formas de fendilhação plástica.


Na fendilhação devida ao assentamento do betão fresco é a migração da água que sob a acção das forças de gravidade, provoca uma redução do volume de betão fresco que tem tendência a descer na cofragem. Se este movimento é impedido, quer pela armadura quer pela cofragem, pode resultar em fendilhação. Em numerosos casos as fendas formam-se ao longo dos varões da armadura superior (ver figura 3.4b)).

Torna-se claro que a armadura não pode ajudar a controlar a fendilhação plástica: com efeito, ela pode ser uma das causas.

.4 Fendilhação devida à corrosão

O desenvolvimento da ferrugem do aço é um processo expansivo: os produtos da corrosão ocupam em geral 2 a 3 vezes o volume do metal a partir do qual tiveram origem. Resultam assim forças que tendem a afastar o betão envolvente dos varões, podendo originar a fendilhação ou o descascamento da camada de recobrimento. Esta fendilhação é normalmente a primeira manifestação visível de um problema de corrosão no interior de um elemento. O aspecto geral da fendilhação devida à corrosão está ilustrada na figura 3.5.

Fig. 3.5 - Fendilhação devida à corrosão.

.5 Resumo

Na figura 3.6 é indicada a idade para a qual as várias formas de fendilhação se pode esperar que ocorram. No quadro 3.1 estão resumidos alguns tipos de fendilhação com indicação do momento de aparição e a respectiva forma de manifestação. As seis primeiras categorias de fendilhação deste quadro são provavelmente as que dão origem a problemas mais frequentes na prática. As fendas resultantes do uso da estrutura são raramente causa de reclamação, desde que as secções mínimas de armadura exigidas pelo cálculo tenham sido colocadas. O engenheiro deve estar ao corrente das diferentes maneiras possíveis segundo as quais o betão


pode fendilhar e não deve crer que, por ter feito alguns cálculos para controlar as fendas de flexão, estará assegurado que a fendilhação não porá qualquer problema. Causa da fendilhação

cargas nas condições de serviço

Reacção alcalí-sílica

Corrosão

Retracção

Contracção térmica precoce

Rretracção plástica

Assentamento plástico

Fig. 3.6 - Indicação da idade para a qual podem ocorrer as várias formas de fendilhação.

Quadro 3.1 - Resumo das diferentes formas de fendilhação.

Causa Período de aparição

Manifestação Notas

Assentamento do betão fresco

Algumas horas após a betonagem

Fendas ao longo dos varões; fendas nas mudanças de secção (figura 3.4)

As fendas podem ser largas; podem ser evitadas por medidas adequadas quando da execução

Retracção plástica Algumas horas após a betonagem

Fendilhação em rede ou fendas compridas na superfície de lajes betonadas em condições de secagem rápida (figura 3.4)

As fendas compridas podem ser largas 2 a 4mm pode ser frequente

Fendas precoces de origem térmica

Alguns dias após a betonagem

Fendas longas nas juntas de betonagem de muros; outras fendas dependendo da coacção (figura 3.3)

Pode ser controlada por uma armadura, limitando a dimensão das etapas de betonagem, ou controlando a temperatura

Retracção Geralmente alguns meses após a construção

Semelhante às fendas de flexão ou de tracção (figura 3.1)

Normalmente ligeira se existe armadura suficiente

Corrosão Alguns anos após a betonagem

Fendas ao longo dos varões provocando o descascamento (figura 3.5)

Ligeira a princípio, aumenta com o tempo; aparição de indícios de ferrugem se o ambiente é húmido

Reacção alcali-agregados

Alguns anos após a betonagem

Aparece com certos tipos de agregados em ambientes húmidos, frequentemente como uma fendilhação em rede

As fendas podem ser largas

Cargas durante a utilização

Depende do uso da estrutura

ver figuras 3.1 e 3.2 As cargas permanentes são mais importantes que as de curta duração; fendas largas indicam geralmente uma má compreensão do comportamento da estrutura


3.1.3 Comportamento em estado fendilhado

O comportamento real em condições de serviço de uma estrutura de betão armado ou pré-esforçado pode diferir sensivelmente do modelo elástico linear. A diferença resulta essencialmente da fendilhação do betão, por um lado, e dos efeitos diferidos, ou seja da retracção e fluência do betão, por outro. Quando a solicitação aumenta, um elemento estrutural de betão passa por diferentes estados como ilustra a figura 3.7 no caso de um tirante de betão armado.

Fig. 3.7 - Diagrama força-deformação característica de um tirante de betão armado.

Estado I - o elemento estrutural não está fendilhado e as tensões de tracção permanecem inferiores à resistência do betão à tracção.


Estado II - quando a solicitação ultrapassa o esforço Nr1 correspondente ao valor mínimo da resistência do betão à tracção; a extensão média para a qual aparece a primeira fenda é da ordem de 0.1%o. O estado II pode ser dividido em duas fases:

• fase de formação de fendas - caracterizada por uma diminuição progressiva de rigidez à medida que novas fendas se vão formando. Quando se forma a última fenda a extensão média é da ordem de 1%o.

• fase de fendilhação estabilizada - depois de ultrapassar o valor Nrn, não se formam novas fendas nesta fase e o elemento apresenta um comportamento quase linear com uma rigidez semelhante ao estado II0 (estado fendilhado desprezando a influência do betão traccionado).

Estado de rotura - o comportamento torna-se não linear quando a armadura ultrapassa o seu limite de elasticidade (cerca de 2.3%o para o aço A500). A rotura propriamente dita só se verifica quando a armadura atingir a sua deformação máxima, por volta de 6 a 8% para aços A500 correntes.

A solicitação indicada na figura 3.7 pode resultar de uma força aplicada ou de uma deformação imposta. No caso de uma força aplicada (figura 3.7) observa-se que após a formação de cada nova fenda a deformação aumenta sob uma força N constante (ver figura 3.8a)). No caso de ser imposta uma deformação ao tirante, observa-se pelo contrário, que após a formação de cada nova fenda surge uma diminuição brusca do esforço N sob deformação ∆l constante (ver figura 3.8b)).

Fig. 3.8 - Comportamento diferente da fendilhação conforme a solicitação de tracção é provocada por: a) força aplicada; b) deformação imposta.


3.1.4 Mecanismo de formação de fendas

Seja uma peça com áreas de secção transversal, Ac, de betão e, As, de aço isenta de tensões intrínsecas (figura 3.9). Antes da fendilhação o comportamento é linear elástico com:

( ) ciscct A

NAA

N=

−+=

1ασ

e

σ α σ αs cs

c

EE

= =

Aci - área equivalente de betão (Aci ≅ Ac)

A primeira fenda ocorre na secção da barra em que o betão apresenta menor resistência à tracção, fct

1 , para um valor de N dado por:

( )[ ] 11 1 ctscr fAAN −+= α

Na secção da fenda a tensão no aço aumenta bruscamente de

σ αs ctf1 1=

para

( )

−+== 11111 α

ρσ ct

s

rsr f

AN

a variação de tensão no aço com a fendilhação é de:

∆σ αρs

r

sct ct

NA

f f= − = −

1 1 1 11

∆σs aumenta com fct e com a diminuição da percentagem de armadura, ρ.


Fig. 3.9 - Diagrama de tensões num elemento sujeito à tracção: a) antes e b) depois da abertura da primeira fenda [__].

A tensão na armadura aumenta, assim, consideravelmente na secção da fenda, dando lugar a um aumento de deformação axial dos varões. Esta deformação arrasta consigo as camadas de betão envolventes da armadura devido à aderência desenvolvida na superfície de contacto.

A partir da secção da fenda são assim introduzidas gradualmente novas tensões de tracção no betão envolvente que por sua vez condiciona a deformação na armadura. A figura 3.10 ilustra o mecanismo descrito.


Fig. 3.10 - Mecanismo de interacção aço-betão numa zona fendilhada.

Fendilhação estabilizada

Com o desenvolvimento de tensões de aderência, τ, entre o aço e o betão, o aço transmite ao betão tensões de tracção.

A partir de uma dada distância, sr, da 1ª fenda as tensões tangenciais anulam-se e o betão adquire a tensão máxima, σct, como se a peça não estivesse fendilhada (ver figura 3.9b)).

Com um acréscimo do esforço N, atinge-se a tensão de rotura do betão à tracção numa 2ª secção fct

2.

Esta segunda fenda formar-se-á, em princípio, a uma distância da primeira maior ou igual a sr (s ≥ sr) ver figura 3.11.


primeira fenda

Fig. 3.11 - Mecanismo de fendilhação [__].

Uma terceira fenda entre as duas primeiras pode aparecer somente se as tensões de aderência, τ, são suficientes para transmitir uma força de tracção do aço para o betão, tal que a resistência do betão à tracção, fct, seja de novo atingida. A distância média entre fendas na fendilhação estabilizada terá um valor entre sr e 2×sr.

3.1.5 Cálculo da abertura de fendas

A experiência tem demonstrado que uma avaliação precisa do valor da abertura característica das fendas, wk, que se formam não é possível. A dispersão entre os valores medidos e os valores calculados é sempre muito elevada. Sendo assim, qualquer modelo (ou expressão) para calcular a abertura de fendas, wk, deve ser encarado como indicativo. No Eurocódigo 2 foi adoptada a expressão a seguir descrita e que se apoia nos resultados de numerosos testes.

O valor de cálculo da largura das fendas pode ser obtido a partir da relação:

w sk rm sm= β ε

em que:


wk - valor de cálculo da largura das fendas;

srm - distância média final entre fendas;

ε sm - extensão média tendo em conta, para a combinação de acções apropriada, os

efeitos da rigidez da zona traccionada;

β - é um coeficiente relacionando a largura média das fendas com o valor de cálculo.

Os valores de β podem ser considerados com os valores seguintes:

β = 1.7 para fendilhação devida às acções aplicadas e para fendilhação devida a deformações impedidas em secções com uma dimensão mínima superior a 800mm;

β = 1.3 para fendilhação devida a deformações impedidas em secções com uma altura, largura ou espessura mínima (a que for menor) de 300mm ou menos;

os valores para as dimensões intermédias das secções podem ser interpolados.

ε sm pode ser calculado a partir da relação:

−=

2

211s

sr

s

ssm E σ

σββσε

em que:

σs - tensão na armadura de tracção calculada com base na secção fendilhada;

σsr - tensão na armadura de tracção calculada com base na secção fendilhada nas condições de carregamento que provocam o início da fendilhação;

β1 - é um coeficiente que considera as propriedades de aderência dos varões:

= 1.0 para varões de alta aderência

= 0.5 para varões lisos

β2 - é um coeficiente que considera a duração ou a repetição das cargas

= 1.0 para uma única carga de curta duração;

= 0.5 para cargas actuando com permanência ou para vários ciclos de cargas repetidas


Para elementos sujeitos apenas a deformações impostas intrínsecas, σs pode ser considerado igual a σsr.

A distância média final entre fendas para elementos sujeitos predominantemente à flexão ou à tracção pode ser calculada a partir da expressão:

s k krm r= +50 0 25 1 2. /φ ρ

em que

φ - diâmetro dos varões em mm. Nos casos em que se utilizem varões de diâmetros diferentes pode considerar-se um diâmetro médio;

k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões; k1 = 0.8 para varões de alta aderência e 1.6 para varões lisos. No caso de deformações impostas, k1 deve ser substituído por k1⋅k, sendo k definido na secção 3.2.3.

k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção

= 0.5 para flexão e 1.0 para tracção simples.

Para casos de tracção excêntrica ou para zonas localizadas, devem usar-se valores intermédios de k2 que podem ser calculados a partir da relação:

k21 2

12=

+ε εε

em que ε1 é a maior e ε2 a menor extensão de tracção nas fibras extremas da secção considerada, calculadas com base na secção fendilhada.

ρr - é a percentagem efectiva de armadura, As/Ac,eff, em que As é a área de armadura contida na área de tracção efectiva, Ac,eff.

A área de tracção efectiva é geralmente a área de betão que rodeia a armadura de tracção, com uma altura igual a 2.5 vezes a distância desde a face de tracção da secção até ao baricentro da armadura (ver figura 3.12). Para lajes ou para elementos pré-esforçados em que a altura da zona de tracção possa ser pequena, a altura da área efectiva não deve ser considerada maior do que (h−x)/3.

O valor resultante de srm será expresso em mm.


Fig. 3.12 - Área de tracção efectiva: (a) viga; (b) laje; (c) elemento traccionado.

3.1.5 Limites a considerar

Na ausência de requisitos específicos (por exemplo impermeabilidade), poderá admtir-se que, em geral, para as classes de exposição 2 a 4, será satisfatório limitar a cerca de 0.3mm o valor de cálculo máximo da largura das fendas sob a combinação quase permanente de acções para elementos de betão armado em edifícios, no que respeita ao aspecto e à durabilidade. Relativamente à classe de exposição 1, a largura das fendas não tem influência na durabilidade e o limite poderá ser aumentado, se tal for aceitável por outros motivos.

Para as classes de exposição 2 a 4, a durabilidade de elementos pré-esforçados pode ser mais criticamente afectada pela fendilhação. Na ausência de requisitos mais pormenorizados, consideram-se em geral satisfatórias as limitações indicadas no quadro 3.2. O limite de descompressão requer que, sob a combinação frequente de acções, todas as partes dos cabos ou da baínha fiquem pelo menos 25mm dentro do betão em compressão.

Quadro 3.2 - Critérios para elementos pré-esforçados.

Classe de exposição Valor de cálculo da largura das fendas, wk, sob a combinação frequente de acções (mm)

Pós-tensionados Pré-tensionados 1 |0.2| |0.2| 2 |0.2| 3 |descompressão| ou descompressão

4 protecção da armadura e wk = |0.2|


Relativamente aos elementos sujeitos à classe de exposição 5, podem ser necessárias medidas especiais para limitar a fendilhação. A escolha das medidas apropriadas dependerá da natureza da substância química agressiva envolvida.

Consegue-se limitar as larguras das fendas a valores aceitáveis garantindo:

• que, em todas as secções que possam estar sujeitas a tracção significativa devido ao impedimento das deformações impostas, quer esse impedimento esteja ou não combinado com acções directas, se disponha de uma percentagem mínima de armadura aderente, suficiente para assegurar que a cedência da armadura não ocorrerá para valores dos esforços inferiores aos que provocam a fendilhação, e

• que o afastamento e o diâmetro dos varões sejam limitados de forma a limitar a largura das fendas.

O exposto também se aplica às partes dos elementos pré-esforçados em que se possam desenvolver tracções no betão.

3.2 ÁREAS MÍNIMAS DE ARMADURA

3.2.1 Solicitações devidas a deformações impostas

São esforços que não resultam de forças aplicadas mas sim de deformações impostas, tais como a retracção, variações de temperatura, assentamentos de apoio, que são impedidos de se processarem livremente. Este impedimento pode ser interno ao elemento da estrutura considerado, como por exemplo devido à presença de armadura, originando o aparecimento de estados de tensão auto-equilibrados na secção.

Quando o impedimento se deve a ligações externas, aparecem esforços hiperstáticos para assegurar a compatibilidade de deformações.

Para concretizar, examinemos as solicitações que aparecem numa peça de betão armado encastrada nas duas extremidades submetida a um encurtamento imposto εi (figura 3.13).


Fig. 3.13 - Solicitação num tirante bi-encastrado devido a uma deformação imposta.

Teremos com referência ao tirante da figura 3.13:

• deformação imposta: ∆l l i= ⋅ε

• estabelecendo a compatibilidade de deformações aparece um esforço:

Nl

lE A E Ac ci i c ci= − ⋅ ⋅ = −

∆ε

( ) scci AAA 1−+= α - área homogeneizada da secção;

Ec - módulo de elasticidade do betão, eventualmente o módulo efectivo para ter em conta o tempo de desenvolvimento da acção.

• não haverá fendilhação se, N N A fr ci ct ef≤ = ,

ou fEct ef

ci

, ≥ − ε

• para valores correntes, fct ef, . MPa= 2 0 ,

Ec = 20 GPa


2 020 10

0 13

. . % o×

= ≥ −− ε i para não se verificar fendilhação;

• note-se que seria suficiente a retracção do betão em geral εcs = -0.3%o para causar a

fendilhação.

Note-se que o esforço N que resulta da deformação impedida é aproximadamente independente do valor da deformação imposta (ver figura 3.8b)) e é aproximadamente igual ao valor que provoca a primeira fendilhação.

O caso do tirante analisado na figura 3.13 não é apenas de um exemplo teórico, mas existem muitas situações práticas de deformações impostas que resultam num esforço axial de tracção na estrutura.

É o caso de lintéis de travamento de paredes de alvenaria, é o caso de lajes de edifícios cujo encurtamento é impedido por paredes ou caixas, é o caso de muros ligados à fundação, como está ilustrado na figura 3.14.

l/b 2

Fig. 3.14 - Tensões e fendilhação num muro cuja deformação longitudinal (encurtamento) é impedida [__].


3.2.2 Critério de não plastificação da armadura

Para que o comportamento de uma obra de betão armado ou pré-esforçado seja satisfatório ao estado de fendilhação (que resulta de forças aplicadas e/ou de deformações impostas) é essencial que a armadura não plastifique sob o esforço de tracção, Nr, correspondente ao aparecimento das primeiras fendas.

Com efeito se a armadura não plastificar, poderão formar-se várias fendas e o comportamento do elemento estrutural é dúctil. Se pelo contrário, a armadura plastifica, com a formação da primeira fenda, não é possível transmitir ao betão pelos mecanismos de aderência uma força capaz de gerar nova fendilhação, e a fenda formada aumentará de espessura com o aumento da solicitação.

O critério de não plastificação é a primeira condição a satisfazer para definir uma área mínima de armadura. É uma condição necessária, mas por vezes não suficiente, para manter a fendilhação dentro de limites aceitáveis. Esta armadura mínima pode ser quantificada de forma aproximada conforme se indica (ver figura 3.15):

Fig. 3.15 - Elemento de betão armado solicitado à tracção.

• esforço instalado quando da primeira fenda:

N A f A fr ci ct ef c ctm= ≅,

• condição de não plastificação da armadura:

A f N A fs syk r c ctm⋅ ≥ =

• armadura mínima

A A ffs cctm

syk,min =


A figura 3.16 mostra resultados de ensaios efectuados sobre tirantes submetidos a uma deformação impedida εi = 0.5%o, com diferentes percentagens de armadura. Nota-se claramente que se a armadura é inferior à percentagem mínima (ρmin = fct,ef/fsyk) a abertura das fendas que se formam aumenta bruscamente.

Fig. 3.16 - Resultados de ensaios realizados sobre tirantes de betão armado realizados com betão C25/30 e aço A500 [___].


3.2.3 Armaduras mínimas (de acordo com o EC2)

O Eurocódigo 2 exige que, em todas as secções que possam ser sujeitas a uma tracção significativa devida a deformações impostas combinadas ou não com forças aplicadas, seja colocada uma quantidade mínima de armadura que garanta que a sua plastificação não ocorrerá quando surgirem as primeiras fendas. Este é afinal o critério de não plastificação da armadura que vimos na secção precedente.

Tracção

Seja uma peça de betão armado sujeita à tracção centrada (figura 3.17), a condição de não plastificação exige como vimos que:

A f A f A Affc ct ef s syk s cct ef

syk, ,min

,≤ → =

A ssrNN sr

f ct,effenda cA (=Act )

Fig. 3.17 - Tirante solicitado pelo esforço que provoca a 1ª fenda.

Exemplo

Seja um lintel de 0.30×0.50m2 de secção de betão C20/25 ( )MPa9.2, =effctf e de aço A400 ( )MPa400=sykf que pode ser posto em tracção por efeito de acções directas e/ou variação de

temperatura. A área mínima de armadura a utilizar deverá ser:

( )%725.0cm9.10400

9.25030 min2

min, ==××= ρsA

que poderá ser realizada por 6φ16 ou 4φ20.

Flexão

Consideremos agora um elemento de betão armado sujeito à flexão (figura 3.18):


h/2

b

h

McrcrM

ctN

cz

A ct

z s

fct,ef

N st

Fig. 3.18 - Viga solicitada pelo momento de fendilhação.

A condição de não plastificação da armadura requer:

N z N zct c st s⋅ ≤ ⋅ admitindo zc ≅ 0.8 zs

0 8. N Nct st≤

0 8 12

. ,A f A fct ct ef s syk≤ ⋅

A Aff

k Affs ct

ct ef

sykc ct

ct ef

syk,min

, ,.= =0 4

em que kc é um coeficiente que tem em conta a natureza da distribuição de tensão na secção: kc = 1.0 - tracção pura; kc = 0.4 - flexão (sem esforço normal).

Exemplo

Seja:

fct ef, . MPa= 3 0

fsyk = 400 MPa

ρmin,min

.. %≅ =

× ×=

Abh

bh

bhs

0 42

3400 0 15

a percentagem mínima de armadura na viga armada com aço A400 é de 0.15% como já conhecemos.

Efeito de tensões auto-equilibradas

As tensões auto-equilibradas que podem existir na secção antes da aplicação da solicitação tem um efeito de antecipar a fendilhação, isto é, o esforço que provoca o início da fendilhação


é mais baixo. Este efeito tem consequências benéficas para a quantificação da armadura mínima (figura 3.19).

+ ACÇÃO =

fendas de retracçãosuperficial

h

+

+

−

f ct,ef

ct,medioσ

AUTO-EQUILIBRADASTENSÕES

NA SECÇÃOTENSÕES INSTALADAS

k = ct,mσct,eff

Fig. 3.19 - Efeito das tensões auto-equilibradas.

A expressão para quantificar a armadura mínima fica então:

A k k Affs c ctct ef

syk,min

,=

em que k é um coeficiente que tem em conta o efeito de tensões auto-equilibradas na secção.

Os valores a atribuir a k dependem de duas situações distintas a considerar:

a) k = 1.0 quando as tensões de tracção são devidas a impedimentos a deformações impostas exteriormente ao elemento (deformações extrínsecas);

b) k = 0.8 quando as tensões de tracção são devidas a impedimentos a deformações intrínsecas. No caso de secções rectangulares, os valores de k variam entre 0.5 e 0.8 dependendo da altura da secção (ver figura 3.20).

0.3 0.8

0.5

0.8

k

h(m)

h

Fig. 3.20 - Valores o coeficiente de k no caso de secções rectangulares sujeitas a deformações

intrínsecas.


A figura 3.21 ilustra alguns dos casos mais correntes de deformação impostas distinguindo entre deformações intrínsecas e extrínsecas.

Natureza do impedimento

Esforço dominante

1

Extrínseca flexão

2

Extrínseca flexão

3

Intrínseca tracção

4

Intrínseca flexão

5

Intrínseca tracção

6

Intrínseca flexão

Fig. 3.21 - Deformações impostas intrínsecas e extrínsecas [___].


Expressão do Eurocódigo 2

A não ser que se possa justificar, através de um cálculo mais rigoroso, a utilização de uma área menor de armadura, as áreas mínimas de armadura que são necessárias podem ser calculadas a partir da relação:

A k k f As c ct ef ct s= , / σ

em que:

As - área da armadura na zona traccionada;

Act - área de betão na zona traccionada. A zona traccionada é a parte da secção que é

calculada como estando em tracção imediatamente antes da formação da primeira fenda.

σs - tensão máxima permitida na armadura imediatamente depois da formação da

fenda. Poderá ser considerada como 100% da tensão de cedência da armadura, fyk. No entanto, poderá ser necessário um valor mais baixo para satisfazer as exigências relativas à largura máxima das fendas (ver o Quadro 4.11, EC2 ou figura 3.22);

fct ef, - resistência do betão à tracção, efectiva na altura em que se prevê que, pela

primeira vez, se possam formar fendas. Em muitos casos, como por exemplo quando a deformação imposta predominante resulta de dissipação do calor de hidratação, esta situação pode ocorrer 3-5 dias depois da betonagem dependendo das condições ambientais, da forma do elemento e da natureza da cofragem. Poderão obter-se valores de fct,ef no quadro 3.1 do EC2, sendo a classe considerada definida pela resistência na altura em que se prevê o aparecimento de fendilhação. Se a fendilhação puder ocorrer numa data posterior aos 28 dias, sugere-se a adopção de uma resistência mínima à tracção de 3 N/mm2.

kc - coeficiente que tem em conta a natureza da distribuição de tensões na secção,

imediatamente antes da fendilhação. A distribuição apropriada de tensões é a que resulta da combinação de efeitos de cargas e de deformações impostas impedidas.

= 1.0 para tracção simples

= 0.4 para flexão sem esforço normal de compressão


Para secções sujeitas a esforço normal ou a pré-esforço, ver EC2 4.4.2.2(7).

k - coeficiente que considera o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes.

Indicam-se a seguir valores de k para diversas situações:

- tensões de tracção devidas a impedimentos a deformações intrínsecas em geral k = 0.8

h ≤ 30cm k = 0.8 para secções rectangulares h ≤ 80cm k = 0.5

- tensões de tracção devidas a impedimentos a deformações extrínsecas k = 1.0

Algumas partes de secções distantes da armadura de tracção principal, como por exemplo as partes salientes de uma secção ou as almas de secções de grande altura, podem ser consideradas como estando sujeitas a deformações impostas pelo banzo traccionado do elemento. Nestes casos, será apropriado um valor da ordem de: 0.5 < k < 1.0.

A armadura mínima pode ser reduzida ou mesmo totalmente posta de parte se a deformação imposta for tão pequena que haja poucas probabilidades de haver fendilhação. Nestes casos, será necessário utilizar apenas uma armadura mínima para resistir às tracções devidas ao impedimento.

Seguem-se no Eurocódigo 2 mais algumas regras a aplicar a elementos pré-esforçados.

3.3 PROCESSO SIMPLIFICADO DE CONTROLO DA FENDILHAÇÃO

Da observação da figura 3.16 verifica-se que a utilização de uma percentagem de armadura superior à mínima é essencial para controlar a fendilhação (condição para se formarem várias fendas não muito espaçadas). Mas esta condição só por si não é suficiente para controlar a abertura de fendas a 0.3mm (betão armado) ou a 0.2mm (betão pré-esforçado).

Da expressão da secção 3.1.5 para cálculo da abertura de fendas podemos ver que esta abertura depende essencialmente:

- da tensão na armadura, σs;


- do diâmetro dos varões, φ, e

- da percentagem de armadura, ρr que depende essencialmente do espaçamento dos varões s.

Controlando estes parâmetros é então possível de forma simples controlar a abertura de fendas sem cálculo directo.

No caso de fendilhação provocada predominantemente por deformações impedidas o controlo da fendilhação fica assegurado se os diâmetros dos varões utilizados não excederem os diâmetros indicados na figura 3.22, e as tensões na armadura não ultrapassarem os valores especificados.

Fig. 3.22 - Diâmetros máximos para varões de alta aderência. Controlo da fendilhação para deformações impostas ou cargas aplicadas.

Os valores de φ da figura 3.22 foram calculados para h = 40cm e d = h-4cm. Para h > 40cm o diâmetro máximo (limite) pode ser aumentado, multiplicando o diâmetro indicado na figura por um factor f1, no caso de cargas aplicadas, dado por:

( ) ( ) 0.11.05.2

45.2401 ≥

−=

−×

=dh

hdh

hf

Tensão na armadura

Diâmetros máximos dos varões (mm)

(MPa) secções armadas

secções pré-esforçadas

160

200

240

280

320

360

400

450

32

25

20

16

12

10

8

6

25

16

12

8

6

5

4


No caso de fendilhação devida a deformações impostas o diâmetro máximo (limite) indicado na figura 3.22 deve ainda ser corrigido de um coeficiente, f2, para ter em conta uma resistência à tracção do betão diferente de 2.5N/mm2 que foi considerada nas expressões da figura.

Assim,

f fctm2 2 5

=.

e o diâmetro máximo corrigido será

φ φcor quadro f f= ⋅ ⋅1 2 (deformações impostas)

Note-se que no caso de deformações impedidas a tensão, σs, a considerar na figura 3.22 é a tensão instalada aquando da primeira fendilhação. A figura 3.23 ilustra o ensaio de um tirante sujeito a deformação imposta, com armadura superior à mínima, em que a formação de sucessivas fendas com o incremento da solicitação não faz variar de forma sensível o esforço máximo aplicado.

Fig. 3.23 - Comportamento de um tirante sujeito a deformação imposta.

No caso de fendilhação provocada predominantemente por carregamento o seu controlo fica verificado se se satisfizer o especificado na figura 3.22 ou na figura 3.24.


Fig. 3.24 - Afastamento máximo dos varões de alta aderência. Controlo da fendilhação para cargas aplicadas.

As tensões na armadura devem ser calculadas para o betão armado com base nas acções quase permanentes, e para o betão pré-esforçado com base nas acções frequentes.

O Eurocódigo 2 extende este tipo de controlo simplificado para o caso de fendilhação devida ao esforço transverso e à torção, mas este controlo pode ser efectuado mais simplesmente cumprindo as disposições construtivas do Capítulo 5 do EC2.

3.4 ARMADURA COMPLEMENTAR PARA CONTROLAR A FENDILHAÇÃO

Casos práticos nos quais é necessário prever uma armadura complementar (construtiva) da armadura principal para controlar a fendilhação.

.1 Secção com abas em zona traccionada

Fig. 3.25 - Controlo da fendilhação em secções com abas à tracção.

Tensão na armadura

Espaçamento máximo dos varões (mm)

(MPa) flexão simples

tracção simples

secções pré-esforçadas

(flexão)

160

200

240

280

320

360

300

250

200

150

100

50

200

150

125

75

--

--

200

150

100

50

--

--


.2 Armadura de pele - controla a abertura de fendas à superfície da secção

Fig. 3.26 - Disposição duma armadura de pele para controlar a fendilhação.

.3 Controlo da fendilhação na alma de vigas

Fig. 3.27 - Controlo da fendilhação na alma de vigas de grande altura.

Fig. 3.28 - Altura hw sobre a qual é necessário colocar armadura de alma.


3.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

3.5.1 Parede sujeita à restrição de deformações impostas

Consideremos uma parede de 20cm de espessura fazendo parte de um reservatório. A parede deve ser armada horizontalmente de tal maneira que a abertura característica das fendas seja inferior a 0.15mm afim de assegurar a estanqueidade desejada.

Armadura insuficiente. Pequeno número de fendas largas.

Armadura horizontal suficiente. Numerosas fendas com aberturas pequenas.

Fig. 3.29 - Parede de reservatório.

Aço A500 fsyk = 500 MPa c = 2.0cm

Consideremos betão C25/30, fctm = 2 6. MPa .

Vejamos primeiro qual a percentagem mínima de armadura,

ρmin . . . . %= = =0 8 0 8 2 6500

0 42ffctm

yk

a área As,min2. . cm / m= × × =0 0042 20 100 8 4 , em princípio não será suficiente para limitar a

fendilhação ao desejado (wk = 0.15mm) mas poderá servir de ponto de partida. Varões de 10mm de diâmetro afastados de 17.5cm em cada face correspondem ao valor de As,min.

Da figura 3.22 (ou do quadro 4.11 do EC2) tiramos que a tensão na armadura no caso de se utilizar φ12 e abertura de fendas de 0.2mm (secções pré-esforçadas), não deve ultrapassar σs = 240MPa.


O esforço de tracção horizontal que provoca o início da fendilhação é dado por:

N A fcr ct ctm≅ = × × =0 2 1 0 2 6 0 52. . . . MN/ m

A Ns cr s≥ = ≅ ×

≅

−/ . / m / m

cm / m

2

2

σ 0 52 240 22 10

22

4

Seja φ12//0.10 em cada face. Calculemos a abertura característica das fendas pela expressão da secção 3.1.5.

As = × × =1 13 10 2 22 6. . cm / m2

( ) %74.125.22/2.12

6.22/ =×+

== ctsr AAρ

σ σsr s= =× ×

=2 6 20 100

22 6230.

.MPa

( ) o%575.05.01200000

230=−=smε extensão média da armadura

srm = + × × = + =50 0 25 0 8 1 0 120 0174

50 138 188. . ..

mm distância média entre fendas

w wk m= = × × =1 3 1 3 188 0 000575 0 14. . . . mm

Não ultrapassa a abertura de fendas que foi estipulado para assegurar estanqueidade.

3.5.2 Lajes com deformação impedida

Considere o esquema estrutural indicado na figura correspondente a uma laje maciça de 0.25m de espessura que se apoia em duas fiadas de pilares espaçados de 3.0m e encastrada nas extremidades (com impedimento à deformação longitudinal). Calcule a armadura adicional necessária para controlo da fendilhação.


3.0m

1.5m

6.0m

1.5m

A

A

C20/25A400

CORTE A-A

h=0.25m

f =13.3MPacd= 2.2MPactmf

= 2.8MPactk0.95f

= 400MPasykf

3.0m3.0m3.0m3.0m3.0m

Fig. 3.30 - Laje de piso impedida de se deformar.

Acções:

Gpp = 6 25. kN/ m2

Grev.2. kN/ m= 1 5

Q = 6 0. kN/ m2

Retracção + variação de temperatura

∆T C= − 30º

εct = − × = − ×− −30 10 0 3 105 3.

σ εc ce c ef

ctm

E

f

=

= + × × ×= >

−

,

.MPa0 3 10 20 10

6

3 3

Laje

psk = 6.25 (p.p.) + 1.5 (rev.) + 6.0 (sob.) = 13.75 kN/m2

As+ = 70/0.95×0.225×34.8 = 9.35 cm2/m (φ16+φ12 (alt.)/0.15)

As− = 23/0.95×0.225×34.8 = 3.12 cm2/m (φ8//0.15)

Viga

-23

+70

-23

M = pl /122±


psd = 13.75×1.5×4.5 = 92.8kN/m

MSd =×

≅92 8 3 0

1270

2. . kN.m

( )165cm54.9 2 φ≅±sA

Total

( )( )lajevigas

cm12.538535.954.94 2

, =×+×=totallongsA

As,minfend. 2. . . . cm= × × × × =0 8 1 0 2 8

40025 900 126 0

As,min2. cm / m= 14 0 (longitudinal) φ12//0.15 em cada face. Armadura muito superior

à armadura de cálculo.

3.5.3 Laje duma varanda

Fig. 3.31 - Laje de varanda sujeita a variação de temperatura.

Betão: B25 (C20/25)

Aço: A500 (S500)

ε αi T T= ⋅ = × = ×− −∆ 10 30 0 3 105 3.

( )ctmicc fE =>=×××=⋅= − 2.2MPa6103.01020 33εσ


ρσmin

long ,min , . . . . . %= = = ××

=AA

k kfs

ctc

ct ef

s

0 8 1 0 1 3 2 2500

0 46

As,min2. cm / m= 9 15

φ10//0.15 em cada face

3.5.4 Laje de piso de um edifício

- Deformação impedida por paredes

- Zona enfraquecida por abertura

Fig. 3.32 - Laje de piso com zona enfraquecida.

ε i = − 0 3. %o

Ec eq, . GPa= 12

(Exemplo a resolver)


3.5.5 Laje de cobertura em terraço

Laje maciça armada numa só direcção:

h = 0.24; d = 0.205m

Acção de 0.50m de terra

Betão C25/30

Aço: A500

( ) ( ) ( )[( )] 2kN/m3.31sobrecarga0.25.1

terras0.10.rev5.0.p.p0.635.1

=×+

++=sdq

mSd− ≅ 100 kN.m/ m; As

− ≅ 12 5. cm / m2 ; seja φ16//0.15

armadura na face superior nos apoios de continuidade As = 13 4. cm / m2 .

Verifiquemos se esta armadura é suficiente e com espaçamento adequado para satisfazer as exigências em relação à fendilhação.

Os momentos actuantes para combinações quase permanentes de acções estão ilustradas na figura 3.33.

Fig. 3.33 - Momentos na laje para combinações quase-permanentes de acções.


Calculemos a tensão instalada na armadura em serviço (combinações quase-permanentes) com auxílio do Quadro 2.1 e considerando α = 15.

ρ = =×

=Abd

s 13 4100 20 5

0 654..

. %

ρ ρ αtab = = × =

100 654 15

100 98. . %

Cs tab, .= 115 8 C Cs s tab= =, .α10

173 7

resultando:

σs sC mbd

= =×

×=

−

2

3

2173 7 62 101 0 0 205

256.. .

MPa

Da figura 3.22 verificamos que secções de betão armado com varões de 16mm de diâmetro satisfazem a fendilhação desde que a tensão na armadura não ulstrapasse σs = 280MPa. Logo a laje em análise verifica esta condição σs,cal = 256MPa < 280MPa.

Note-se que o mesmo resultado seria obtido a apartir da consulta da figura 3.24 entrando com o espaçamento escolhido para os varóes, s = 150mm.


4. ESTADOS LIMITES DE DEFORMAÇÃO

4.1 INTRODUÇÃO

A determinação das deformações em peças de betão armado fissurado tendo em conta as combinações de acções, a fluência e a retracção do betão leva a cálculos laboriosos e por vezes complexos. As flechas de peças flectidas podem ser calculadas, com generalidade, pela integração numérica das curvaturas de pequenos troços em que uma viga pode ser dividida (Fig. 4.1). Diagramas momento-curvatura e fórmulas simplificadas para obter as flechas em casos simples de vigas e lajes são dados no Manual do CEB "Fendilhação e Deformação".

No que se segue pretende-se dar uma iniciação a alguns métodos simplificados de cálculo de flechas. Para um estudo mais completo indica-se o Manual do CEB sobre fendilhação e deformação (BI nº 158).

Fig. 4.1 - Variação da rigidez e da curvatura ao longo de uma viga em função do diagrama de momentos e da rigidez à flexão EI.


4.2 PRINCÍPIO DO CÁLCULO “EXACTO”

A deformada devido aos momentos flectores é obtida por dupla integração da curvatura ao longo do elemento,

′′ = = −yr

MEI

1 (1)

tendo em atenção as condições de bordo. A curvatura total no tempo t é a soma da curvatura elástica (1/r)ce e das curvaturas devidas à fluência (1/r)cc e à retracção (1/r)cs,

1 1 1 1r r r rt ce cc cs

=

+

+

(2)

onde, em princípio, cada um dos termos do 2º membro se refere, dependendo do caso considerado, ao estado I, e ao estado II com fendilhação estabilizada, ou a um estado intermédio.

Para o cálculo da curvatura elástica no estado I, a equação (1) é utilizada. Para todos os outros estados esta expressão é substituída com vantagem por:

drsmcm

c

εε −=

1 (3)

com

ε sm - deformação relativa média da armadura;

εcm - deformação relativa média do betão na fibra externa;

d - altura útil.

A curvatura devida à fluência (1/r)cc deve ser calculada como múltiplo da curvatura inicial sob as combinações quase-permanentes de acções.

A curvatura de fluência poderá ser considerada, nos casos correntes, utilizando um módulo efectivo para o betão dado por:

( )ϕ+= 1/, cmeffc EE

em que ϕ é o coeficiente de fluência (ver Quadro 1.4).


Sendo necessário obter valores mais precisos das flechas, como no caso de grandes vãos em consola (executados por avanços sucessivos), ou no caso de estruturas compósitas (betão/aço), a fluência diferencial entre as fibras extremas opostas do elemento deve ser tomada em consideração.

A curvatura devida à retracção (1/r)cs pode ser avaliada de:

ISr ecs

cs

/1 αε=

(4)

onde

εcs - é a extensão de retracção livre (ver Quadro 1.5);

S - é o momento estático da área de armadura em relação ao baricentro da secção;

I - é o momento de inércia da secção;

αe - é o coeficiente de homogeneização efectivo = Es/Ec,ef

S e I deverão ser calculados para a condição não fendilhada e para a condição totalmente fendilhada, sendo a curvatura final avaliada por meio da expressão (17).

4.2.1 Modelo idealizado para o cálculo de Deformações em Elementos Fendilhados sujeitos ao Esforço Axial e/ou Momentos flectores

As estruturas de betão armado e pré-esforçado têm tendência a fendilhar e estão sujeitas aos efeitos diferidos (fluência retracção, relaxação). Resulta assim num comportamento descontínuo segundo se considera a secção fendilhada ou as secções vizinhas. É esta a razão porque necessitamos de definir:

- o valor médio da extensão da armadura traccionada para estimar a fendilhação;

- o valor médio da curvatura para calcular as deformações.

Estes valores médios obtêm-se a partir dos valores extremos correspondentes respectivamente:

- ao estado I : secções não fendilhadas, considerando o betão traccionado, o betão comprimido e a armadura;


- ao estado II0: secções fendilhadas, não considerando senão o betão comprimido e a armadura;

e podem ser definidos com a ajuda de coeficientes de repartição indicando as contribuições respectivas do estado I e do estado II0.

O modelo real pode ser representado por um modelo constituído por duas partes de comprimento l1 e l2 variáveis em função das solicitações: uma trabalhando em estado I e outra em estado II0. O modelo fica definido se conhecermos o comportamento nos estados I e IIo e os comprimentos l1 e l2; estes fixam a partição dos estados extremos ao valor médio. Esta partição é dada pelo coeficiente de repartição ζ que define os comprimentos:

( ) ll ⋅−= ζ11 e

l l2 = ⋅ζ

i) Elementos solicitados à tracção pura

O elemento real de comprimento l, em que actua a força de tracção N constante, é substituído por um modelo composto de duas partes (Fig. 4.2):

- uma trabalhando em estado I (secções não fendilhadas);

- a outra trabalhando em estado II0 (secções fendilhadas, não considerando a contribuição do betao traccionado).

A igualdade das extensões médias da armadura para o elemento real e para o modelo dá:

εε ε

sms sl

ll l

ll l

l= =

+=

⋅ + ⋅∆ ∆ ∆1 2 1 1 2 2

Fig. 4.2 - Modelo de cálculo para a tracção pura.


Com a ajuda do coeficiente de repartição ζ:

( ) 211 sssm εζεζε ⋅+⋅−= (5)

com,

( )ll11 =−ζ e ζ =

ll2

A extensão média do betão será:

( ) 11 ccm εζε ⋅−= (6)

e o valor da extensão média relativa da armadura em relação à do betão vale:

ε ζ εsm r s, = ⋅ 2 (7)

O coeficiente de repartição ζ é obtido por:

2

21

2

221 11

⋅−=

⋅⋅−=

NNr

s

sr ββσσββζ (8)

= 0 para σ σs sr2 < , seja N Nr<

onde,

β1, β2 - são os coeficiente já definidos (ver secção 3.1.5);

N A f A fr ci ct c ct= ⋅ ≅ ⋅ - esforço normal quando da fendilhação do betão;

Aci e Ac - área homogeneizada da secção e secção do betão apenas (estado I).

ii) Elementos solicitados em flexão simples

O elemento real de comprimento l, ao longo do qual se supõe um momento de flexão constante, é substituído por um modelo composto de 2 partes (Fig. 4.3):

- uma trabalhando em estado I (secções não fendilhadas);

- a outra trabalhando em estado II0, denominado por flexão simples II0 (secções fendilhadas, não considerando senão o betão comprimido e a armadura).


Fig. 4.3 - Modelo de cálculo para a flexão simples.

A igualdade das extensões médias da armadura no elemento real e no modelo conduz a:

ε ε εsm

s sll

l ll

l ll

= =+

=⋅ + ⋅∆ ∆ ∆1 2 1 1 2 2

donde

( ) 211 sssm εζεζε ⋅+⋅−= (9)

com

( )ll11 =−ζ e ζ =

ll2

Da mesma forma, a deformação relativa média do betão situado na fibra extrema comprimida será:

( )ε ζ ε ζ εcm c c= − ⋅ + ⋅1 1 2

O coeficiente de repartição ζ intervindo nestas equações é dado por:

2

21

2

221 11

⋅−=

⋅⋅−=

MM r

s

sr ββσσββζ

= 0 para σ σs sr2 < , seja M Mr<

onde , Mr é o momento de fendilhação

(M f Wr ct= ⋅ 1 módulo de flexão).


iii) Elementos solicitados à flexão composta

De forma idêntica poderia ser definido o modelo de cálculo para a flexão composta (Fig. 4.4), mas neste caso a posição do eixo neutro x depende não somente das propriedades geométricas e mecânicas da secção mas também dos esforços.

Fig. 4.4 - Modelo de cálculo para a flexão composta.

A excentricidade da força axial é:

e M N= / (10)

N - é positivo quando de tracção;

M - é positivo quando produz tracção na fibra inferior.

Para uma excentricidade constante, os valores de Nr e o correspondente Mr que geram uma tensão de tracção fct na fibra inferior são:

1

1

1−

+=

we

AfN

cictr M eNr r= (11)

sendo Aci e W1 a área e o módulo de flexão (fibra inferior) homogeneizados em betão.

Quando N > Nr e M > Mr , a fendilhação ocorre e a deformação média pode ser calculada por:

( )( ) 21

21

11

cccm

sssm

ζεεζεζεεζε

+−=+−=

(12)


onde

2

2121

2

221 111

−=

−=

−=

NN

MM rr

s

sr ββββσσββζ (13)

O coeficiente de repartição ζ pode ser expresso em termos de tensões no betão:

2

max1211

−=

σββζ ctf (14)

onde

σ1max- é o valor da tensão de tracção na fibra extrema que ocorreria por aplicação de N e/ou

M admitindo o estado I.

4.2.2 Curvatura média - flexão simples

A curvatura média é definida duma maneira geral pela expressão seguinte:

1r

MEI dm m

sm cm= =−ε ε (15)

Em referência ao modelo de cálculo apresentado (secção 4.2.1) obtêm-se (ver Fig 4.5):

( )( ) 21

21

11

cccm

sssm

εζεζεεζεζε

⋅+−=⋅+−=

(16)

Fig. 4.5 - Curvatura média - flexão simples.


Substituindo (16) em (15) teremos para a curvatura média:

( )21

1111rrrm

⋅+⋅−= ζζ (17)

As curvaturas 1/r1 e 1/r2 correspondem aos estados I e II0 respectivamente. O coeficiente de repartição ζ é dado por:

2

211

⋅⋅−=

MM rββζ

= 0 para M < Mr

com β1 e β2 tendo o significado já especificado.

O momento de fendilhação é dado por:

M W f W fr ct c ct= ⋅ ≅ ⋅1

com

f fct ctk= 0 05. - se se trata de evitar danos;

= fctm - em geral e se se trata de calcular contra flechas;

W1 - módulo de flexão da secção no estado I (com armadura);

Wc - módulo de flexão da secção de betão apenas.

4.2.3 Cálculo das deformações por integração - princípios

A deformação a (flecha, rotação angular) de um elemento de uma estrutura linear pode ser obtido por integração das curvaturas médias aplicando o teorema dos trabalhos virtuais (ver Fig 4.6):


Fig. 4.6 - Teorema dos trabalhos virtuais aplicado ao cálculo da flecha.

O procedimento a seguir para o cálculo é o seguinte:

- determinação da rigidez à flexão EIc;

- determinação do diagrama de momentos Mc;

- determinação das curvaturas em cada secção (troços de comprimento finito) 1r

MEIc

c

c

=

- cálculo das curvaturas 1/r1 e 1/r2 em estados I e II0 respectivamente;

- cálculo da curvatura média 1/rm.

Em geral será necessário o uso de computador para executar a integração acima por meio de um somatório de troços de comprimento finito, cada um com curvatura média constante, em que a peça é dividida. No caso de estruturas hiperestáticas haverá lugar à redistribuição de momentos devida à fendilhação e aos efeitos diferidos e o cálculo da flecha terá de ser iterativo.

3.2.4 Deformações reais

As deformações reais podem diferir sensivelmente dos valores médios calculados, em particular se os valores dos momentos actuantes são próximos do momento de fendilhação. O


afastamento depende da dispersão das características dos materiais, do meio ambiente, das condições de carga e das solicitações anteriores, das condições de apoio, etc..

A variação possível em relação aos valores médios calculados deve ser indicada. Esta variação pode ser estimada por meio do diagrama da Fig. 4.7 que fornece os desvios superiores e inferiores em relação aos valores médios.

Fig. 4.7 - Desvios admissíveis das flechas calculadas.

4.3 MÉTODO BILINEAR - CÁLCULO DE FLECHAS

O método bilinear é um método simplificado que está limitado ao cálculo de flechas. É baseado na constatação que, no estado de serviço, a relação momento-flecha pode ser aproximada por meio de uma lei bilinear (ver Fig. 4.8) que representa de algum modo uma lei ponderada das relações momento-curvatura.


Fig. 4.8 - Relação bilinear momento-flecha.

O método consiste em calcular em princípio, a partir da flecha de base ac (resultante de um cálculo elástico com rigidez EIc do betão apenas), os valores extremos a1 e a2 da flecha nos estados I e II0 (Fig. 4.8). O cálculo das flechas extremas a1 e a2 é efectuado considerando apenas as características da secção determinante o que leva a desprezar o efeito da variação da armadura e da solicitação ao longo do elemento. Consideremos a viga bi-encastrada sujeita à carga uniforme (Fig. 4.9). A flecha resultante do cálculo por integração é fundamentalmente ditada pela zona determinante que corresponde à secção de momentos positivos máximos no vão que aproximadamente coincide com a secção de que queremos determinar a flecha. No caso de vigas em consola a secção determinante coincide com a secção de encastramento.

Note-se que na aplicação do método poderá eventualmente ser efectuada uma ponderação tendo em conta o estado da peça nas outras secções que não a determinante, obtendo-se uma melhor aproximação.

Fig. 4.9 - Zona e secção determinantes para o cálculo da flecha.


4.3.1 Flexão simples - simplificações utilizadas

i) simplificação relativa ao coeficiente de repartição, ζ

ζ β β= − ⋅ ⋅1 1 2

2

2

MM

r

= 0 para M Mr<

Para um dado nível de carga este coeficiente é variável ao longo do elemento. Vamos no entanto admitir as seguintes simplificações:

- o momento de fendilhação Mr é suposto constante ao longo do elemento e igual ao momento de fendilhação calculado na secção determinante:

M Mr rD=

- o momento flector M, variável, é suposto constante; admite-se igual à média geométrica dos momentos MrD e MD na secção determinante, onde MD é o momento total devido às cargas nesta secção, para a combinação em análise:

M M MrD D= ⋅

O coeficiente de repartição, ζb , para o método bilinear é assim:

ζ β β= − ⋅1 1 2MM

rD

D

= 0 para M MD rD<

com

MD - momento flector total, sob a combinação das acções consideradas, na secção determinante;

MrD - momento de fendilhação na secção determinante;

β β1 2, - coeficientes já definidos.


ii) Simplificação relativa às flechas extremas a1 e a2

Se a variação das armaduras na zona determinante é ligeira, podemos calcular as flechas extremas a1 e a2, duma maneira aproximada, apenas considerando as características da secção determinante.

As flechas extremas a1 e a2 para os estados I e II0 são obtidas a partir da flecha ac (considerando o betão no estado I e desprezando a armadura) multiplicando esta flecha por coeficientes de correcção k (ver secções seguintes) a fim de ter em conta:

- o efeito da armadura (coeficientes ks1 e ks2, para os estados I e II0 ou kAI e kA

II );

- o efeito da fluência (coeficientes kψ1 e kψ2 ou k Iψ e k II

ψ );

- o efeito da retracção (coeficientes kcs1 e kcs2 ou ksI e ks

II ).

4.3.2 Cálculo da flecha provável

.1 Flecha ac - valor de base

A flecha ac é a flecha de um elemento não fendilhado, admitindo secções homogéneas e sem ter em conta a armadura ( )cc IEEI = . Representa o valor de base que nos permite exprimir os dois valores extremos aI e aII0

(a1 e a2 ) da flecha a. Para alguns casos correntes da prática as

tabelas do anexo 4.2 facilitam o cálculo de ac.

.2 Flecha aI - estado I

O valor de base, a flecha ac, é calculada sem considerar a influência da armadura (traccionada e comprimida) sobre as características geométricas da secção. Esta influência não é desprezável a partir de um certo valor da percentagem (ρ > 0,5%) e provoca um aumento da rigidez e um deslocamento do centro de gravidade.

Considerando o efeito da armadura, obtemos uma flecha a ac1 < . A introdução do efeito das armaduras pode obter-se com a ajuda de um coeficiente de correcção kA

I e do valor de base ac; para t = 0.

a k aIt

AI

c= = ⋅0 (18)


Para obter a flecha no tempo t, introduzimos o coeficiente k Iψ (para a fluência) e os

coeficientes α s sIk, (para a retracção) e encontramos:

a a a k k l dIt

It

IGt I

s sI

cs= + ⋅ + ⋅ ⋅= =0 0 2ψψ α ε / (19)

se se considera apenas a parcela de cargas permanentes:

( ) cGtI

AtIG akka ⋅⋅+⋅= ψψ1 (20)

Nestas expressões (18), (19) e (20) o significado dos simbolos é o seguinte:

acG - flecha de base devido às cargas permanentes;

( )1aaI = - flecha no estado I;

aIG - flecha aI devido às cargas permanentes;

kAI - coeficientes de correcção dados gráficamente nos anexos - 4.3 para as secções

k Iψ rectangulares

ksI - (ver a obtenção destes coeficientes no anexo 4.3)

α s - coeficiente dependendo do sistema estático e da distribuição longitudinal das

armaduras, com valores aproximados de:

α s = 1 16/ viga duplamente encastrada;

= 1/8 viga simplesmente apoiada; = 1/2 viga em consola.

ψ - coeficiente de fluência (ψc)

εcs - retracção especifica

d - altura útil (para secções em T, d deve ser substituido pela altura total h)

l - vão

.3 Flecha aII0; estado II0

Desprezando a participação do betão traccionado entre fendas, obtemos uma flecha a aII c0>

que evidentemente, pode ser considerada como o extremo superior da flecha provável a.


Exprimindo a flecha aII0 com a ajuda do valor de base ac e dum coeficiente de correcção kA

II ,

obtém-se para t = 0:

Tabb

dhka

aka

ciII

AtII

cIIA

tII

emSecção

rrectangulaSecção3

0

0

0

0

⋅

⋅=

⋅=

=

=

(21)

Introduzindo o coeficiente k IIψ (para a fluência) e os coeficientes α s s

IIk, (para a retracção),

obtém-se para o tempo t,

a a a k k l dIIt

IIt

IIt II

s sII

csG0 0 0

0 0 2= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= =Ψ ψ α ε / (22)

Para uma secção rectangular e considerando apenas cargas permanentes:

( ) cGIIII

AtII akka

Gψψ ⋅+⋅= 1

0 (23)

com

aII0 - flecha no estado II0;

aII G0 - flecha aII0

devida às cargas permanentes;

kAII - coeficientes de correcção dados graficamente nos anexos 4.3 - para secções

k IIψ rectangulares;

ksII - (ver a obtenção destes coeficientes no anexo 4.3).

.4 Flecha provável a

Com a aproximação bilinear, a relação que determina a flecha provável a, no domínio das cargas de utilização, é a seguinte:

( ) rIII

rI

MMaaaMMaa

>+−=<=

se1se

0ζζ

(24)

com M e Mr definidos na secção determinante ( )rDD MMD , e ζ e Mr definidos de acordo com

a Fig. 4.10.


FLEXÃO SIMPLES

ζ β β= − ⋅ ⋅1 1 2MM

rD

D

= <0 para M MD rD M W f W frD D ct c ct= ⋅ ≅ ⋅1 * x12 - distância entre a posição do eixo neutro no estado I e no estado II0.

FLEXÃO COMPOSTA

ζ β β= − ⋅ ⋅1 1 2MM

rD

D

para β β1 2 0⋅ ⋅ ≥M MrD D = <0 para M MD rD

ζ = −1 0MM

D

D

β β1 2 0⋅ ⋅ <M MrD D = <0 0para M MD D

−⋅≅

−=

cctcctrD A

NfWANfWM

11

( )IIs

Is

D kkxNM

/11*

120 −⋅⋅−=

Fig. 4.10 - Definição dos valores ζ, Mr e M0.

4.3.3 Extensão do método ao cálculo de flechas em lajes

Para determinar a flecha provável de uma laje de betão armado ou pré-esforçado poderemos aplicar o método bilinear, procedendo como segue:

i) Cálculo de ac por um método clássico da elasticidade. A este nível, o efeito da

anisotropia pode ser introduzido, sendo no entanto desprezável na maior parte dos casos.

ii) Cálculo dos momentos máximos por faixa de largura unitária, m mx y,max ,max, . A

secção na qual actua o maior momento positivo é a determinante (esta secção não


coincide necessáriamente com a secção de flecha máxima ac ); calcula-se para esta

secção o momento de fendilhação e todos os coeficientes de correcção.

iii) Cálculo de a aI II,0 e da flecha provável a. As quantidades mr ,ρ e ′ρ - são valores

por unidade de largura.

4.4 MÉTODO DOS COEFICIENTES GLOBAIS - ESTIMATIVA DE FLECHAS

Na maior parte dos casos que se apresentam na prática, especialmente em ante-projecto, o engenheiro não está interessado senão numa estimativa (±30%) da flecha provável. O método dos coeficientes globais é um método simples e rápido que permite ao projectista fazer uma estimativa da flecha provável a a partir da flecha de base ac (calculada elasticamente com a rigidez EIc apenas do betão, considerado homogéneo) que será de seguida corrigida por meio

de coeficientes globais de correcção k, a fim de ter em conta os efeitos da armadura, da fendilhação e da fluência. Estes coeficientes são obtidos do método bilinear por meio de certas simplificações.

A flecha a0 sob cargas instantâneas, isto é, não tendo em conta a fluência (ψ = 0 é dada por:

a a kc0 0= ⋅

em que

k0 - é um coeficiente global de correcção para as flechas instantâneas, dependente do nível de solicitação (relação M MrD D/ ) e da armadura traccionada (ρ e α ρ⋅ ). A influência da armadura de compressão é pequena e considera-se ′ =ρ ρ/ .0 25 (const.). (ver Fig.4.11).

Para a flecha sob cargas de longa duração (ψ ≠ 0) a flecha at é obtida pela expressão:

a a kt c t= ⋅ ⋅ η

em que

kt - é um coeficiente global de correcção para as flechas sob cargas de longa duração, tendo em conta o nível de solicitação (relação M MrD D/ ), a armadura traccionada e a fluência (ver Fig. 4.12).

η - é um coeficiente de correcção tendo em conta a influência da armadura de compressão.


No Anexo 4.4 estão ilustrados os ábacos das Figs. 4.11 e 4.12 para obtenção dos coeficientes de correcção de forma mais precisa.

Fig. 4.11 - Método dos coeficientes globais para cálculo da flecha instantânea.


Fig.4.12 -Método dos coeficientes globais para cálculo da flecha sob carga de longa duração.


4.5 EXEMPLO

Pretende-se calcular a flecha a meio vão da viga bi-encastrada da Fig. 4.13, sujeita a uma carga uniforme de G = 13,1 KN/m ( )2/dqG = .

Fig. 4.13 - Viga bi-encastrada sujeita a uma acção permanente.

Secção. %

/ .

Secção. %

.inf

sup

supA A B B

el

−= =′ =

=

−= =′ =

ρ ρρρ ρ

ρ ρρ

0 330

1 0

0 670 33

Adoptam-se os valores seguintes para o betão:

E kN f Nc ct cs= = = =30 5 2 5 2 5 0. / mm ; . / mm ; . ;2 2 ψ ε

a) Cálculo da flecha pelo método bi-linear

- flecha de base:

a glEIc

c

= =×

× ⋅×

=1

3841

38413 1 9 0

30 5 10 0 3 0 512

2 354 4

63

. .

. . .. mm

para

d h/ . ; . . . ; / e . . .= = × = ′ = ⋅ ≅ × =0 9 6 56 0 0033 0 022 0 0 8 2 5 2 0αρ ρ ρ χ ψ


Os gráficos do anexo 4.3 dão para coeficientes de correcção:

k k k kAI I

AII II= = = =0 965 0 9 6 5 0 12. . . .ψ ψ

- flecha no estado I

( )( ) mm4.735.25.29.01965.0

1

mm3.235.2965.00

1

1

=××+=

⋅⋅+⋅==

=×==

cII

A akkatt

at

ψψ

- flecha no estado II0

( )( ) mm0.2035.25.212.015.6

1

mm3.1535.25.60

2

2

=××+×=

⋅⋅+⋅==

=×=⋅==

cIIII

A

cIIA

akkatt

akat

ψψ

O momento na secção determinante é admitido igual ao momento máximo positivo correspondente ao diagrama elástico:

M glD = =

2

2444 2. kN.m

O momento de fendilhação na secção determinante

M W frD c ct≅ ⋅ =×

× × =0 3 0 5

62 5 10 31 25

23. . . . kN.m

O coeficiente de repartiçãoζ ζ β β= = − ⋅b rD DM M1 1 2 /

t

t t

b

b

= = − × ⋅ =

= = − × ⋅ =

0 1 1 0 1 0 31 2544 5

0 29

1 1 0 0 5 31 2544 5

0 65

ζ

ζ

. . ..

.

. . ..

.

A flecha provável é então ( ) 211 aaa bb ⋅+−= ζζ

( )( ) mm6.150.2065.04.765.01

mm0.63.1529.03.229.010=×+×−===×+×−==

attat

b) Cálculo da flecha pelo método dos coeficientes globais

ac = 2 35. mm Md = 44 2. kN.m MrD = 31 25. kN.m

M MrD D/ .= 0 71


para ψ = 2.5; d/h = 0.9; αρ = 0.022; ρ'/ρ = 0 e MrD/MD = 0.71 do anexo 4.4 obtém-se os coeficientes globais,

k0 2 6= . kt = 7 0. η = 1.0

donde os valores das flechas prováveis serão:

t a k at t a k a

c

t t c

= = ⋅ = × =

= = ⋅ ⋅ = × × =

0 2 6 2 35 6 11 0 7 0 2 35 16 4

0 0 . . . mm. . . . mmη

c) O valor encontrado para a flecha utilizando o método “exacto” da integração é de a = 12,2 mm.

4.6 RAZÕES PARA O CONTROLO DAS DEFORMAÇÕES

O projectista deve decidir, em cada caso, quais as verificações que são necessárias para controlar as deformações das estruturas em serviço normal. Estas deformações podem ser flechas, rotações, deslocamentos, etc..

O objectivo será:

- satisfazer às condições de serviço estabelecidas; não prejudicar o funcionamento da estrutura e do equipamento instalado;

- evitar estragos ou destruição de elementos não estruturais (divisórias, acabamentos, etc.);

- usar contra-flechas quando aconselhável.

É geralmente considerado que flechas maiores que l (vão)/250 devem ser evitadas sob o ponto de vista da aparência. A manifestação mais típica de flechas excessivas é no entanto a fissuração de paredes não estruturais ou problemas com janelas. Há dois possíveis caminhos para tratar este problema: ou as flechas são limitadas a um nível que não cause fissuração nos panos de enchimento ou, os elementos não estruturais devem ser projectados para acomodar os movimentos da estrutura. Casos típicos de fendilhação em paredes (alvenaria, tijolo) podem ser observados nas figuras 4.14 e 4.15. Os valores usualmente especificados para as flechas de forma a atenuar estes problemas são de l/500 ou 1 cm (o menor dos dois) para as flechas que ocorrem depois da construção dos panos de enchimento.


Limites de deformação

- analisar limites com o dono da obra;

- consultar ISO4356 - limites de flechas em edifícios.

a l≤ / 250 - para não afectar o aspecto e as condições de utilização (possibilidade de usar contraflechas) - combinações quase-permanentes de acções;

∆a l≤ / 500- para não danificar elementos não estruturais. A variação de flecha após a instalação destes elementos deve ser limitada.

Um outro factor a ter em conta é a possível diminuição de utilidade da estrutura por efeito do aparecimento de deformações excessivas. Alguns casos podem ser mencionados:

- poças de água- se a flecha duma laje de cobertura é excessiva pode conduzir à acumulação de água nos pontos baixos com a formação de poças, crescendo os riscos de infiltração;

- interferência com o funcionamento de portas e janelas;

- interferência com o alinhamento de máquinas e de aparelhos - a conservação dos alinhamentos pode ser dificultada com o desenvolvimento de flechas no tempo;

- problemas de vibração.


Fig. 4.14 - Avarias em elementos não estruturais devidas a deformação excessiva.


Fig. 4.15 - Avarias em paredes divisórias. Fendas inclinadas na parede devido a excessivas tensões de corte.

É de salientar que critérios absolutos para limitar as flechas e outros estados limites de utilização são difíceis (senão impossíveis) de serem especificados. O mesmo não acontece com os estados limites últimos onde o objectivo do cálculo é bastante claro. O projectista deve escolher o sistema estrutural mais adequado e pode então decidir por limites apertados que encarecem a estrutura ou então adoptar valores menos severos que podem levar mais tarde a gastos com a conservação.


Entre os meios para limitar as flechas, particularmente sob acções de longa duração, os seguintes pontos devem ser tidos em conta:

- uso de valores baixos da relação vão/altura, l/h (ver Quadro 4.2);

- uso de sistemas estruturais que forneçam restrição às rotações nos suportes, por exemplo, por meio de continuidade;

- betões de alta resistência, tendo baixa relação água/cimento, - boa cura e endurecimento adequado antes da aplicação da carga, evitar carga excessiva durante a construção;

- reduzir as zonas fendilhadas pré-esforçando;

- adicionar armadura de compressão, se as tensões de compressão para acções de longa duração são altas;

- reduzir as tensões sobre-dimensionando a armadura de tracção longitudinal;

- aplicar as cargas à estrutura o mais tarde possível.

4.7 ESTIMATIVA DA FLECHA A LONGO PRAZO

Para aplicações práticas no caso de vigas e lajes de edifícios e de estruturas solicitadas de maneira análoga, a flecha a longo prazo pode ser estimada por um método simplificado estabelecido a partir do método dos coeficientes globais. Este método, adoptado pelo CEB-FIP Código Modelo 1990, é apenas aplicável a elementos de betão armado e baseia-se nas seguintes relações:

( ) caa ϕ+= 1 para M Md r<

( ) ccm adha ρη 201

3

−

= para M Md r≥

com o momento de fendilhação: M W fr c ct=

onde,

ac - é a flecha elástica calculada com a rigidez EcIc da secção (desprezando a armadura);


Md - é o momento flector a meio vão de uma viga ou uma laje, ou no encastramento de uma

consola, sob combinação frequente de acções;

ρtm - é a percentagem geométrica média da armadura de tracção (ver cálculo de ρm - Fig.

4.16);

ρcm - é a percentagem geométrica média da armadura de compressão (ver cálculo de ρm, Fig.

4.16);

η - é um factor de correcção (ver Quadro 4.1), que inclui os efeitos da fendilhação e da fluência;

ϕ - é o coeficiente de fluência.

Quadro 4.1 - Factor de correcção η para estimativa de flechas

ρtm% 0.15 0.20 0.30 0.50 0.75 1.0 1.5

η 10 8 6 4 3 2.5 2

A percentagem média de armadura ρm, é determinada tendo em conta o seu traçado e o diagrama de momentos flectores no tramo (ver Fig. 4.16).

ρ ρ ρ ρm aa

bbl

lll

ll

= + +00

onde ρ ρa b, e ρ0 são as percentagens de armadura de tracção/compressão nos apoios esquerdo

e direito e na secção de momento máximo no vão, respectivamente.

Uma estimativa dos comprimentos la e lb definindo a mudança de sinal dos momentos é em

geral suficiente.


Fig. 4.16 - Diagrama de momentos de um tramo definindo l0, la e lb.

Este método pode ser aplicado a peças com secções diferentes da rectangular, devendo a secção (qualquer) ser substituída por uma secção rectangular com a mesma altura e o mesmo momento de inércia. O momento de fendilhação Mr é calculado para a secção real.

4.7.1 - Exemplo de aplicação

Apliquemos as expressões deste método simplificado ao exemplo da secção 4.5 (ver Fig. 4.13).

ac = 2 35. mm

M Md r= > =44 2 31 25. kN.m . kN.m

Secção determinante está fendilhada

ρtm = × + × + × =0 67 14

0 33 12

0 67 14

0 5. . . . %

η = 4 (ver Quadro 4.1)

ρcm = × + × + × = =0 33 14

0 0 12

0 33 14

0 165 0 00165. . . . % .

( ) mm5.1235.297.0437.135.200165.0201445.050.0 3

=×××=××−××

=a


A estimativa obtida para a flecha a longo prazo resulta muito próxima da flecha obtida pelo método exacto que é de 12.2mm.

4.8 VERIFICAÇÃO PRÁTICA DAS FLECHAS

No caso de vigas ou lajes de betão armado de edifícios não é, em geral, necessário calcular explicitamente as flechas se forem respeitados os limites da relação vão/altura a seguir especificados.

Fazendo uso da expressão para a estimativa de flechas a longo prazo definida na secção anterior:

( ) ccm adha ρη 201

3

−×

=

que pode ser explicitada em relação a l/d

( )[ ] 3/1lim//1 al

dl δη≤

onde δ é um coeficiente que caracteriza o sistema estrutural;

( )lim/ al é a relação vão/flecha

= 1/250 - funcionamento adequado;

= 1/500 - danos em elementos não estruturais.

É a partir destas expressões e critérios que podem ser derivados os valores limites da relação vão/altura.

4.8.1 Limites da relação vão/altura útil

Em geral, as vigas e lajes de edifícios que satisfaçam a seguinte relação, l/d, não excederão os limites de deformação:

ld

K K KT l s≤ =λ λ σ0


λ0 - valor base da relação l/d tirado do Quadro 4.2.

KT = 1.0 vigas rectangulares ou em T com b/bw < 3

= 0.8 vigas em T com b/bw > 3

Klleff

=7 - vigas e lajes suportando divisórias com leff > 7 0.

Kl = 1 0. se leff ≤ 7 0.

Klleff

=8 5. - lajes fungiformes com leff > 8 5.

=

cals

effs

yk AA

fK

s,

,400σ - correcção de armadura

Quadro 4.2 - Relações de base vão/altura útil para elementos de betão armado sem compressão axial

Sistema estrutural Betão altamente esforçado

vigas (ρ = 1.5%)(a)

Betão ligeiramente esforçado

lajes (ρ = 0.5%)(a)

1. Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções

18 25

2. Vão extremo de uma viga contínua; laje contínua armada numa direcção ou laje armada em duas direcções, contínuas sobre o lado maior

23 32

3. Vão interior de viga ou de laje armada numa ou em duas direcções

25 35

4. Laje apoiada em pilares sem vigas (laje fungiforme) (referência ao maior vão)

21 30

5. Consola 7 10

(a) Sendo conhecida a percentagem de armadura interpolar os valores da tabela.


ANEXOS À SECÇÃO 4 - ESTADOS LIMITES DE DEFORMAÇÃO

[CÓPIA DO MANUAL DO CEB DE FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO]

A4.1 - CARACTERÍSTICAS DE VIGAS EM T

A4.2 - DETERMINAÇÃO DA FLECHA DE BASE ac EM VIGAS E LAJES

A4.3 - COEFICIENTES DE CORRECÇÃO PARA A APLICAÇÃO DO MÉTODO BILINEAR

A4.4 - COEFICIENTES DE CORRECÇÃO PARA A APLICAÇÃO DO MÉTODO DE COEFICIENTES GLOBAIS

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